高中数学 1.3.1 空间几何体的表面积课后知能检测 苏教

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.3.1 空间几
何体的表面积课后知能检测 苏教版必修2
一、填空题
1．下列有四个结论，其中正确的是________． (1)各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； (2)三条侧棱都相等的棱锥是正棱锥； (3)底面是正三角形的棱锥是正三棱锥；
(4)顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是外心的棱锥必是正棱锥． 【解析】 (1)不正确，正棱锥必备两点，一是底面为正多边形，二是顶点在底面内的射影是底面的中心；(2)缺少第一个条件；(3)缺少第二个条件；而(4)可推出以上两个条件都具备．
【答案】 (4)
2．下列说法中不正确的是________． ①棱长都相等的长方体是正方体； ②有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱； ③有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱；
④底面为菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱．
【解析】 由正四棱柱、正方体的定义可知①④正确；对于②，相邻两侧面为矩形，则侧棱垂直于底面，所以该棱柱为直棱柱，故②正确；对于③，若这两个侧面都是平行四边形，则不一定是直棱柱．故填③.
【答案】 ③
3．矩形的两条邻边长为a ，b ，分别以a 、b 所在直线为轴旋转一周，若a <b ，则所得两个旋转体的侧面积S 1和S 2的大小关系是________．
【解析】 S 1＝2πab ，S 2＝2πab ，故S 1＝S 2. 【答案】 S 1＝S 2
4．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________．
【解析】 ∵l ＝R ＋r
2
，∴S 侧＝π(R ＋r )l ＝2πl 2
＝32π，
∴l ＝4.
【答案】 4
5．(2013·泰州检测)底面边长为2，高为1的正三棱锥的全面积为________．
【解析】 如图所示，SO ⊥平面ABC ，且AB ＝2，SO ＝1，连OC 交AB 于D ，则由正三棱锥的性质可知OD ⊥AB ，且OD ＝13CD ＝36AB ＝3
3
.
连结SD ，则在Rt △SDO 中，SD ＝SO 2
＋OD 2
＝1＋13＝233
. ∴正三棱锥的全面积为：S △ABC ＋3S △SAB ＝12AB ×CD ＋3×1
2AB ×SD ＝12×2×32×2＋3×12×2×233 ＝3＋23＝3 3. 【答案】 3 3
6．(2012·吉林检测)已知圆锥的侧面展开图为半圆，半圆的面积为S ，则圆锥的底面面积是__________．
【解析】 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l .则由题意得S ＝12πl 2，S ＝πrl ，∴12πl
2＝πrl .
于是l ＝2r 代入S ＝πrl 得S ＝2πr 2， ∴圆锥的底面面积πr 2
＝S
2.
【答案】 S
2
7．(2013·厦门检测)设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．
【解析】 由长方体与球的切接关系可知， 球的半径为R ＝
1
2
2a
2＋a 2＋a 2
＝
6
2
a ∴球的表面积为4πR 2
＝4π(
62
a )2
＝6πa 2.
【答案】 6πa 2
图1－3－4
8．(2013·南通检测)如图1－3－4，有一圆柱形的开口容器(下表面密封)，其轴截面是边长为2的正方形，P 是BC 中点，现有一只蚂蚁位于外壁A 处，内壁P 处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为________．
【解析】 ∵ABCD 为圆柱形容器的轴截面，且点P 位于内壁，点A 位于外壁，要使蚂蚁所经过的路程最短，只要其行走的轨迹是一条直线(在平面展开图中)即可．如图中AP 所示．又AB ＝π，BP ＝2＋1＝3，
∴AP ＝π2
＋9. 【答案】 π2
＋9
二、解答题
9．直平行六面体的底面为菱形，过不相邻两条侧棱的截面面积分别为Q 1、Q 2，求它的侧面积．
【解】 设直平行六面体的底面边长为a ，侧棱长为l ，如图，S 侧＝4al ， ∵过A 1A 、C 1C 与B 1B 、D 1D 的截面都为矩形，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
Q 1＝AC ·l ，Q 2＝BD ·l ，即AC ＝Q 1
l ，BD ＝Q 2l
.
∵AC ⊥BD ，∴(AC
2)2
＋(BD
2)2＝a 2
，
即(Q 1
2l )2
＋(Q 2
2l
)2＝a 2
.
∴4a 2l 2
＝Q 2
1＋Q 2
2，∴2al ＝Q 2
1＋Q 2
2.
∴S 侧＝4al ＝2Q 21＋Q 2
2.
10．(2013·常州检测)已知正四棱台的高是12 cm ，两底面边长之差为10 cm ，表面积为512 cm 2
，求底面的边长．
【解】 如图所示，设上底面边长为x cm ，则下底面边长为(x ＋10)cm.在Rt △E 1FE 中，
EF ＝
x ＋10－x
2
＝5.
∵E 1F ＝12 cm ， ∴斜高E 1E ＝13 cm ，
∴S 侧＝4×1
2
(x ＋x ＋10)×13＝52(x ＋5)，
S 表＝52(x ＋5)＋x 2＋(x ＋10)2＝2x 2＋72x ＋360.
∵S 表＝512，∴2x 2
＋72x ＋360＝512， ∴x 2
＋36x －76＝0.
解得x 1＝－38(舍去)，x 2＝2，x 2＋10＝12， ∴正四棱台的上、下底面边长分别为2 cm,12 cm.
11．已知一个圆锥的底面半径为R ，高为h ，在圆锥内部有一个高为x 的内接圆柱． (1)画出圆锥及其内接圆柱的轴截面； (2)求圆柱的侧面积；
(3)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？
【解】 (1)圆锥及其内接圆柱的轴截面如图所示．
(2)设所求的圆柱的底面半径为r ，高为x (0<x <h )，则它的侧面积S ＝2πr ·x . ∵r R ＝
h －x h ，∴r ＝R －R
h
x ，
∴S 侧＝2πrx ＝2πRx －2πR h
x 2.
即圆柱的侧面积S 是关于x 的二次函数． ∴S ＝－2πR h
x 2
＋2πRx (0<x <h )．
(3)S ＝－2πR h x 2＋2πRx ＝－2πR h [(x －h 2)2－h 2
4]
＝－2πR h (x －h 2)2＋πhR
2
.
∴当x ＝h
2，即圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面积最大.。