培优数学七年级上第一讲 有理数讲义及答案
最新人教版七年级上册数学 有理数(培优篇)(Word版 含解析)
一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1．通过学习绝对值,我们知道的几何意义是数轴上表示数在数轴上的对应点与原点的距离,如：表示在数轴上的对应点到原点的距离. ,即表示、在数轴上对应的两点之间的距离,类似的, ，即表示、在数轴上对应的两点之间的距离；一般地，点，在数轴上分别表示数、，那么，之间的距离可表示为 .请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上表示和的两点之间的距离是________；数轴上、两点的距离为，点表示的数是，则点表示的数是________.（2）点，，在数轴上分别表示数、、 ,那么到点 .点的距离之和可表示为_ (用含绝对值的式子表示)；若到点 .点的距离之和有最小值，则的取值范围是_ __.（3）的最小值为_ __.【答案】（1）2；1或7（2）|x+1|+|x-2||-1≤x≤2（3）3【解析】【解答】解：（1）数轴上表示2和4的两点之间的距离是4-2=2；数轴上P、Q两点的距离为3，点P表示的数是4，则点Q表示的数是4-3=1或4+3=7；（ 2 ）A到B的距离与A到C的距离之和，可表示为|x+1|+|x-2|，∵|x-3|+|x+2|=7，当x＜-1时，|x+1|+|x-2|=2-x-x-1=1-2x无最小值，当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|=x+1+2-x=3，当x＞2时，x+1+x-2=2x-1＞3，故若A到点B、点C的距离之和有最小值，则x的取值范围是-1≤x≤2；（3）原式=|x-1|+|x-4|.当1≤x≤4时，|x-1|+|x-4|有最小值为|4-1|=3故答案为：（1）2，1或7；（2）|x+1|+|x-2|，-1≤x≤2；（3）3【分析】（1）根据数轴上两点间的距离的求法“数轴上两点间的距离即数轴上表示两个点的数的差的绝对值．”可求解；（2）同理可求解；（3）由（2）中求得的x的取值范围去绝对值，然后合并同类项即可求解.2．如图，数轴上点A，B分别对应数a，b.其中a＜0，b＞0.（1）当a＝﹣2，b＝6时，线段AB的中点对应的数是________；（直接填结果）（2）若该数轴上另有一点M对应着数m.①当m＝2，b＞2，且AM＝2BM时，求代数式a+2b+20的值；②当a＝﹣2，且AM＝3BM时，小安演算发现代数式3b﹣4m是一个定值.老师点评：你的演算发现还不完整!请通过演算解释：为什么“小安的演算发现”是不完整的？【答案】（1）2（2）解：①当m＝2，b＞2时，点M在点A，B之间，∵AM＝2BM，∴m﹣a＝2（b﹣m），∴2﹣a＝2（b﹣2），∴a+2b＝6，∴a+2b+20＝6+20＝26；②小安只考虑了一种情况，故老师点评“小安的演算发现”是不完整的.当点M在点A，B之间时，a＝﹣2，∵AM＝3BM，∴m+2＝3（b﹣m），∴m+2＝3b﹣3m，∴3b﹣4m＝2，∴代数式3b﹣4m是一个定值.当点M在点B右侧时，∵AM＝3BM，∴m+2＝3（m﹣b），∴m+2＝3m﹣3b，∴2m﹣3b＝2，∴代数式2m﹣3b也是一个定值.【解析】【解答】解：（1）由题意得出，线段AB的中点对应的数是2，故答案为：2.【分析】（1）首先根据数轴的性质，即可得出中点对应的数值；（2）①首先判定点M 在点A，B之间，然后根据等式列出关系式，即可得解；②根据题意，分两种情况进行求解：点M在点A，B之间和点M在点B右侧时，通过列出等式，即可判定.3．同学们都知道，|3-（-1）∣表示3与-1的差的绝对值，其结果为4，实际上也可以理解为3与-1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，其距离同样是4；同理，∣x-5|也可以理解为x与5两数在数轴上所应的两点之间的距离，试利用数轴探索：（1）试用“| |”符号表示：4与-2在数轴上对应的两点之间的距离，并求出其结果；（2）若|x-2|=4，求x的值；（3）同理，|x-3|+|x+2|表示数轴上有理数x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和，请你直接写出所有符合条件的整数x，使得|x-3|+|x+2|=5；试求代数式|x-3|+|x+2|的最小值.【答案】（1）解：|4-（-2）|=6（2）解：x与2的距离是4，在数轴上可以找到x=-2或6（3）解：当-2≤x≤3时，x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和是5，∴符合条件的整数x=-2，-1，0，1，2，3；当x<-2或x>3时，x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和大于5，∴|x-3|+|x+2|的最小值是5【解析】【分析】（1）根据已知列式求解即可；（2）按照已知去绝对值符号即可求解.（3）当-2≤x≤3时，x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和是5；当x<-2或x>3时，x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和大于5，由此即可得出结论.4．阅读填空，并完成问题：“绝对值”一节学习后，数学老师对同学们的学习进行了拓展.数学老师向同学们提出了这样的问题：“在数轴上，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离.那么，如果用P（a）表示数轴上的点P表示有理数a，Q（b）表示数轴上的点Q表示有理数b，那么点P与点Q的距离是多少？”（1）聪明的小明经过思考回答说：这个问题应该有两种情况.一种是点P和点Q在原点的两侧，此时点P与点Q的距离是a和b的绝对值的和，即∣a∣＋∣b∣.例如：点A（－3）与点B（5）的距离为∣－3∣＋∣－5∣=________；另一种是点P和点Q在原点的同侧，此时点P与点Q的距离的a和b中，较大的绝对值减去较小的绝对值，即∣a∣－∣b∣或∣b∣－∣a∣.例如：点A（－3）与点B（－5）的距离为∣－5∣－∣－3∣=________；你认为小明的说法有道理吗？如果没有道理，请你指出错误之处；如果有道理，请你模仿求出数轴上点M（）与N（）之间和点C（－2）与D（－7）之间的距离. ________（2）小颖在听了小明的方法后，提出了不同的方法，小颖说：我们可以不考虑点P和点Q 所在的位置，无论点P与点Q的位置如何，它们之间的距离就是数a与b的差的绝对值，即∣a－b∣.例如：点A（－3）与点B（5）的距离就是∣－3－5∣=________；点A（－3）与点B（－5）的距离就是∣（－3）－（－5）∣= ________；你认为小颖的说法有道理吗？如果没有道理，请你指出错误之处；如果有道理，请你模仿求出数轴上点M（）与N（）之间和点C（－1.5）与D（－3.5）之间的距离.________【答案】（1）解：8；2；有道理；点M与点N之间的距离为点C与点D之间的距离为（2）解：8；2；有道理；点M与点N之间的距离为点C与点的之间的距离为【解析】【分析】（1）数轴上的点，原点两侧两点之间的距离即点到原点绝对值的相加之和。
七年级上册数学培优讲义(有理数的概念)第一讲
模块一 正负数的概念正数：像3．1．0.33+等的数.叫做正数.在小学学过的数.除0外都是正数.正数都大于0.负数：像1-． 3.12-．175-．2008-等在正数前加上“－”（读作负）号的数.叫做负数..负数都小于0. 0既不是正数.也不是负数.一个数字前面的“＋”.“－”号叫做它的符号.正数前面的“＋”可以省略.注意3与3+表示是同一个正数.用正．负数表示相反意义的量：如果正数表示某种意义.那么负数表示它的相反的意义.反之亦然. 譬如：用正数表示向南.那么向北3km 可以用负数表示为3km -.“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量.【经典例题1】杭州北高峰高于海平面536米记作+536米.那么吐鲁番艾丁湖湖底低于海平面150米记作（ ）A ．150B ．-150C ．150米D ．-150米 【题目难度】★【解题思路】解题关键是理解“正”和“负”的相对性.明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中.先规定其中一个为正.则另一个就用负表示．【解题过程】“正”和“负”相对.所以高于海平面536米记作+536米.那么吐鲁番艾丁湖湖底低于海平面150米记作-150米．故选D．【重点考点】解题关键是理解“正”和“负”的相对性.确定一对具有相反意义的量．【经典例题2】飞机上升了-80米.实际上是（）A．上升80米B．下降-80米C．先上升80米.再下降80米D．下降80米【题目难度】★【解题思路】解题的关键是理解“正”和“负”的相对性.确定一对具有相反意义的量．负号表示与上升意义相反.即下降．【解题过程】负号表示与上升意义相反.即下降.则飞机上升了-80米.实际上是下降80米．故选D．【重点考点】解题关键是理解“正”和“负”的相对性.明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中.先规定其中一个为正.则另一个就用负表示．【经典例题3】下列语句：①不带“-”号的数都是正数；②带“-”号的数一定是负数；③不存在既不是正数也不是负数的数；④0℃表示没有温度．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【题目难度】★【解题思路】首先审清题意.明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．【解题过程】①0不带“-”号.但是它不是正数．②-0带负号.但是它不是负数．③0既不是正数也不是负数．④0℃表示有温度.温度为0度.温度可以为负数（零下）也可以为正数（零上）．【重点考点】解题关键是理解“正”和“负”的相对性.明确正数和负数的定义.并且注意0这个特殊的数字.既不是正数也不是负数．【经典例题4】生活中常有用正负数表示范围的情形.例如某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃.由此可知在___18℃～22℃范围内保存该药品才合适．【题目难度】★【解题思路】这是一道给出中心值根据误差判断药品的保存温度范围的问题．【解题过程】根据题意某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃表示20℃以上记作“正”.低于20℃记作负.由此可知在18℃～22℃范围内保存该药品才合适．故答案为18℃～22℃范围内保存该药品才合适．【重点考点】解题关键是理解“正”和“负”的相对性.确定一对具有相反意义的量．【经典例题5】台风“桑美”给我县的电力造成严重的影响.一突击队乘汽车抢修供电线路.南记为正.则北记为负．某天自A地出发.所走路程（单位：千米）为：+8.-6.-2.+4.-5.+2问：①最后他们是否回到出发点？若没有.则在A地的什么位置？答：他们____（填：有或没有）回到出发点.在A地的正______南方向.距A地____千米．②若每千米耗油1.5升.则今天共耗油_______40.5升.【题目难度】★★【解题思路】首先审清题意.明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．【解题过程】①根据题意可得：南记为正.北记为负.则距A的距离为（+8）+（-6）+（-2）+（+4）+（-5）+（+2）=+1．最后他们没有回到出发点.在A地的正南方向.距A地1千米．②从A地出发.汽车共走了|+8|+|-6|+|-2|+|+4|+|-5|+|+2|=27km；故从A地出发到收工时耗油量为27×1.5=40.5（升）．【重点考点】解题关键是理解“正”和“负”的相对性.明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中.先规定其中一个为正.则另一个就用负表示．模块二有理数的分类有理数:整数与分数统称有理数.()⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数()()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数注：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数.【经典例题6】下列各数中：+3．-2.1．．9．．-（-8）．0．-|+3|.负有理数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【题目难度】★【解题思路】把各式化简得：3.-2.1.- .9.1.4.8.0.-3．【解题过程】-2.1为负数有限小数.- 为负数无限循环小数.- 是负整数.所以是负有理数．共3个．【重点考点】判断一个数是有理数还是无理数.要把它化简成最后形式再判断．概念：无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数整数和分数统称为有理数【经典例题7】下列四种说法：①0是整数；②0是自然数；③0是偶数；④0是非负数．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【题目难度】★【解题思路】根据0的特殊规定和性质对各选项作出判断后选取答案.注意：2002年国际数学协会规定.零为偶数；我国2004年也规定零为偶数．【解题过程】①0是整数.故本选项正确；②0是自然数.故本选项正确；③能被2整除的数是偶数.0可以.故本选项正确；④非负数包括正数和0.故本选项正确．所以①②③④都正确.共4个．故选A．【重点考点】本题主要对0的特殊性的考查.熟练掌握是解题的关键．【经典例题8】下列说法正确的是（）A．非负有理数就是正有理数B．零表示没有.是有理数C．正整数和负整数统称为整数D．整数和分数统称为有理数【题目难度】★【解题思路】根据有理数的分类.采用排除法判断． 【解题过程】0是非负有理数.但不是正有理数.A 错误；零不是没有.它是整数.也是有理数.B 错误； 0也是整数.C 错误；整数和分数统称为有理数.这是定义.D 正确． 故选D ．【重点考点】本题主要考查有理数学习中概念的理解.必须熟练掌握．【经典例题9】既是正数.又是分数的数是（ ）A ．+2B ．0C ．3.5D ．312- 【题目难度】★【解题思路】按照有理数的分类进行选择即可．【解题过程】A ．+2虽然是正数.但不是分数.不合题意.故A 错误；B ．0既不是正数.也不是分数.故B 错误；C ．符合题意.故C 正确；D ．312-虽然是分数.但不是正数.故D 错误． 故选C ．【重点考点】认真掌握正数．负数．整数．分数的定义与特点．注意整数和正数的区别.注意0是整数.但不是正数．【经典例题10】最小的正整数是 _____1.最大的负整数是 _______. 【题目难度】★【解题思路】根据有理数的相关知识进行解答． 【解题过程】最小的正整数是1.最大的负整数是-1．【重点考点】认真掌握正数．负数．整数的定义与特点．需注意的是：0是整数.但0既不是正数也不是负数．【巩固练习】请写出三个既是负数.又是分数的有理数：__________【题目难度】★【解题思路】：按照有理数的分类填写【解题过程】- ．-0.5．．-0.25．等都符合题意．【重点考点】本题主要考查了有理数的分类．在解答时.认真掌握正数．负数．整数．分数．正有理数．负有理数．非负数的定义与特点．【巩固练习】有理数中.是整数而不是正数的数是_______0和负整数.是负数而不是分数的是________. 【题目难度】★【解题思路】①按照有理数的分类填写②有理数分成正数．0．负数．正数又分成正整数和正分数.负数分成负整数和负分数．【解题过程】零既不是正数也不是负数．故在有理数中.是整数而不是正数的数是0和负整数；是负数而不是分数的是负整数．故答案为：0和负整数；负整数．【重点考点】本题主要考查的是有理数的定义．本题容易在0的分类上出错.注意：零既不是正数也不是负数．模块三数轴数轴：规定了原点．正方向和单位长度的直线.注意：⑴原点．正方向．单位长度称为数轴的三要素.三者缺一不可.⑵单位长度和长度单位是两个不同的概念.前者指所取度量单位的长度.后者指所取度量单位的名称.即单位长度是一条人为规定的代表“1’的线段.这条线段可长可短.按实际情况来规定.同一数轴上的单位长度一旦确定.则不能再改变.⑶数轴的画法及常见错误分析①画一条水平的直线；②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：③确定向右的方向为正方向.用箭头表示；④选取适当的长度作单位长度.用细短线画出.并对应标注各数.同时要注意同一数轴的单位长度要一致.数轴画法的常见错误举例：有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上.右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.正数都大于0.负数都小于0.正数大于一切负数.注意：数轴上的点不都代表有理数.如 .利用数轴比较有理数的大小：数轴上右边的数总大于左边的数.因此.正数总大于零.负数总小于零.正数大于负数.【经典例题11】数轴上有一个点从原点开始向左移动3个长度单位.再向右移动5个长度单位后.它所表示的有理数是（）A．3 B．5 C．-3 D．2【题目难度】★【解题思路】根据数轴上的点表示的数从原点开始左减右加的原则进行计算．【解题过程】数轴上的点表示的数从原点开始左减右加的原则可知.此点所表示的数为：0-3+5=2．故选D．【重点考点】本题考查的是数轴上点的坐标特点.解答此题的关键是熟知数轴上的点表示的数从原点开始左减右加的原则．【经典例题12】与在数轴上表示数2的点距离等于3个单位的点所表示的数是（）A．-1 B．5 C．3或-3 D．-1或5【经典例题13】有理数a．b在数轴上的位置如图所示.则下列各式正确的是（）aA．a＞b B．a＞-b C．a＜b D．-a＜b【题目难度】★★【解题思路】数轴上右边表示的数总大于左边表示的数．原点左边的数为负数.原点右边的数为正数．从图中可以看出0＜b＜1.a＜-1.|b|＜|a|．【解题过程】根据数轴上a.b两点的位置可知.a＜-1＜0＜b＜1.|a|＞|b|.∴a＜b.-a＞b.-b＞a；故选C．【重点考点】本题主要考查了利用数轴来比较有理数大小的题目．此类题目比较简单.可根据数轴上各点的坐标特点利用取特殊值的方法进行比较.以简化计算．【经典例题14】在数轴上.-2与-5之间的有理数有（）个．A．无数个B．4个C．3个D．2个【题目难度】★★【解题思路】数轴上的点和实数是一一对应的.两个数之间有无数个点.则对应的有理数或无理数有无数个．【解题过程】在数轴上任意两个有理数之间都有无数个的有理数．故选A．【重点考点】本题主要考查了数轴与实数之间的关系：数轴上任意两个有理数之间都有无数个的有理数．【经典例题15】老师在黑板上画数轴.取了原点O后.用一个铁丝做的圆环作为工具.以圆环的直径在数轴上画出单位长1.再将圆环拉直成一线段.在数轴的正方向上以此线段长自原点O起截得A点.则A点表示的数是__________.【重点考点】考查了数轴的几何意义．【经典例题16】已知在纸面上有一数轴（如图）.折叠纸面．（1）若折叠后.数1表示的点与数-1表示的点重合.则此时数-2表示的点与数_____表示的点重合；（2）若折叠后.数3表示的点与数-1表示的点重合.则此时数5表示的点与数_____表示的点重合；若这样折叠后.数轴上有A．B两点也重合.且A．B两点之间的距离为9（A在B的左侧）.则A点表示的数为______.B点表示的数为______【题目难度】★★★【解题思路】（1）数1表示的点与数-1表示的点重合.则这两点关于原点对称.求出-2关于原点的对称点即可；（2）若折叠后.数3表示的点与数-1表示的点重合.则这两点一定关于1对称.即两个数的平均数是1.若这样折叠后.数轴上有A．B两点也重合.且A．B两点之间的距离为9（A在B的左侧）.则这两点到1的距离是4.5.即可求解．【解题过程】（1）2．（2）-3；A表示-3.5.B表示5.5．【重点考点】本题借助数轴理解比较直观.形象．由于引进了数轴.我们把数和点对应起来.也就是把“数”和“形”结合起来.二者互相补充.相辅相成.把很多复杂的问题转化为简单的问题.在学习中要注意培养数形结合的数学思想．模块四 相反数相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数．特别地.0的相反数是0. 相反数的性质：⑴代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.特别地.0的相反数是0． 相反数必须成对出现.不能单独存在．例如5+和5-互为相反数.或者说5+是5-的相反数.5-是5+ 的相反数. 而单独的一个数不能说是相反数．另外.定义中的“只有”指除符号以外.两个数完全相同.注意应与“只要符号不同”区分开． 例如3+与3-互为相反数.而3+与2-虽然符号不同.但它们不是相反数．⑵几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧.并且到原点的距离相等．这两点是关于原点对称的．⑶求任意一个数的相反数.只要在这个数的前面添上“—”号即可． 一般地.数a 的相反数是a -；这里以a 表示任意一个数.可以为正数．0．负数.也可以是任意一个代数式．注意a -不一定是负数．当0a >时.0a -<；当0a =时.0a -=；当0a <时.0a ->. ⑷互为相反数的两个数的和为零.即若a 与b 互为相反数.则0a b +=.反之.若0a b +=.则a 与b 互为相反数．⑸多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“＋”号.都可以全部去掉； 一个正数前面有偶数个“－”号.也可以把“－”号全部去掉；一个正数前面有奇数个“－”号.则化简后只保留一个“－”号.既“奇负偶正”（其中“奇偶”是指正数前面的“－”号的个数的奇偶数.“负正”是指化简的最后结果的符号）.【经典例题17】12-的相反数是（ ）A ．2B ．12 C ．-2 D ．12- 【题目难度】★【解题思路】根据相反数的定义.只有符号不同的两个数是互为相反数.- 的相反数为 ． 【解题过程】与- 符号相反的数是 .所以- 的相反数是 ； 故选B ．【重点考点】本题主要相反数的意义.只有符号不同的两个数互为相反数.a 的相反数是-a ．【经典例题18】如果a表示有理数.那么下列说法中正确的是（）A．+a和-（-a）互为相反数B．+a和-a一定不相等C．-a一定是负数D．-（+a）和+（-a）一定相等【题目难度】★★【解题思路】根据相反数的定义去判断各选项．【解题过程】A．+a和-（-a）互为相反数；错误.二者相等；B．+a和-a一定不相等；错误.当a=0时二者相等；C．-a一定是负数；错误.当a=0时不符合；D．-（+a）和+（-a）一定相等；正确．故选D．【重点考点】本题考查了相反数的定义及性质.在判定时需注意0的界限．【经典例题19】若a.b互为相反数.则下列各对数中不是互为相反数的是（）A．-2a和-2b B．a+1和b+1 C．a+1和b-1 D．2a和2b【题目难度】★★★【解题思路】若a.b互为相反数.则a+b=0.根据这个性质.四个选项中.两个数的和只要不是0的.一定不是互为相反数．【解题过程】∵a.b互为相反数.∴a+b=0．A中.-2a+（-2b）=-2（a+b）=0.它们互为相反数；B中.a+1+b+1=2≠0.即a+1和b+1不是互为相反数；C中.a+1+b-1=a+b=0.它们互为相反数；D中.2a+2b=2（a+b）=0.它们互为相反数．故选B．【重点考点】本题考查了互为相反数的意义和性质：只有符号不同的两个数互为相反数.0的相反数是0；一对相反数的和是0．【经典例题20】相反数不大于它本身的数是（）A．正数B．负数C．非正数D．非负数【题目难度】★★【解题思路】设这数是a.得到a的不等式.求解即可；也可采用特殊值法进行筛选．【解题过程】设这个数为a.根据题意.有-a≤a.所以a≥0．故选D．【重点考点】理解相反数的定义．实数a的相反数为-a；同时要理解不大于．不小于．非负数．非正数的含义．【巩固练习】的相反数是它本身．【题目难度】１星【解题思路】只有符号不同的两个数.绝对值相等叫做互为相反数．【解题过程】∵在数轴上.绝对值相等的两个互为相反数的实数是0.故答案是：0．【重点考点】本题主要考查了相反数的定义．①在数轴上.互为相反数（0除外）的两个点位于原点的两旁.并且关于原点对称；②正数的相反数是负数.负数的相反数是正数；③0的相反数是0．【经典例题21】已知代数式3x+1与代数式5-2x的值互为相反数.则x=_________【题目难度】★★★【解题思路】根据相数的定义列出关于x的方程.3x+1+5-2x=0.解方程即可．【解题过程】根据题意.有3x+1+5-2x=0.解之得x=-6．故答案为-6．【重点考点】熟练掌握相反数的概念和一元一次方程的解法．若两个数互为相反数.则它们的和为零.反之也成立．模块五 绝对值绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算.运算符号是“”.求一个数的绝对值.就是根据性质去掉绝对值符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性.取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值.如：5-符号是负号.绝对值是5. 求字母a 的绝对值：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ ②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【重点考点】本题主要考查的是正数和负数.及绝对值．去括号的法则是：①括号前面有“+“号.把括号和它前面的“+”号去掉.括号里各项的符号不改变；③括号前面是“-“号.把括号和它前面的“-”号去掉.括号里各项的符号都要改变为相反的符号．【经典例题23】下列说法.不正确的是（）A．数轴上的数.右边的数总比左边的数大B．绝对值最小的有理数是0C．在数轴上.右边的数的绝对值比左边的数的绝对值大D．离原点越远的点.表示的数的绝对值越大【题目难度】★★【解题思路】：根据实数与数轴的对应关系以及实数的意义即可判定选项A．C．D是否正确.0的上绝对值是0．【解题过程】：A：一般来说.当数轴方向朝右时.右边的数比左边的数大.故此选项正确；B：绝对值最小的有理数是0.故此选项正确；C：-3在-2的左边.-3的绝对值大于-2的绝对值.故此选项错误；D：离原点越远的点.表示的数的绝对值越大.故此窜项正确．故选C．【重点考点】本题主要考查了数轴和有理数之间的关系.0的绝对值是0．【经典例题24】如图.下列各数中.数轴上点A表示的可能是（）A．2的平方B．-3.4的绝对值C．-4.2的相反数D．的倒数【题目难度】★★★【解题思路】先根据数轴上A点的位置确定A的取值范围.再根据每个选项中的数值进行判断即可．【解题过程】由数轴上A 点所表示的位置可知.3＜A ＜4.A ．22=4.故本选项错误；B ．|-3.4|=3.4.3＜3.4＜4.故本选项正确；C ．4.2的相反数是4.2＞4.故本选项错误；D ．的倒数是=2.4.2.4＜3.故本选项错误．故选B ．【重点考点】本题考查的是数轴的特点及相反数．倒数的定义.能根据数轴的特点确定出A 的取值范围是解答此题的关键．板块六．科学计数法．有效数字科学记数法：把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中110a ≤<.n 是整数）.此种记法叫做科学记数法．例如：5200000210=⨯就是科学记数法表示数的形式． 710200000 1.0210=⨯也是科学记数法表示数的形式．有效数字： 从一个数的左边第一个非0数字起.到末位数字止.所有数字都是这个数的有效数字． 如：0.00027有两个有效数字：2.7 ；1.2027有5个有效数字：1.2.0.2.7． 注意：万410=.亿810=常考点及易错点：科学计数法中的单位转换.精确到什么位与保留有效数字的差别．记忆方法：移动几位小数点问题．比如：1800000要科学记数法.实际就是小数点向左移动到1和8之间.移动了6位.故记为61.810⨯．【经典例题25】我国第六欢人口普查的结果表明.目前肇庆市的人口约为4050000人.这个数用科学记教法表示为（ ）A ．410405⨯ B ．51005.4⨯C ．61005.4⨯D ．71005.4⨯【题目难度】★【解题思路】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式.其中1≤|a|＜10.n 为整数．确定n 的值时.要看把原数变成a 时.小数点移动了多少位.n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时.n 是正数；当原数的绝对值＜1时.n 是负数．【解题过程】61005.44050000⨯= 故选：C ．【重点考点】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式.其中1≤|a|＜10.n 为整数.表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．【经典例题26】某种鲸的体重约为1.36×105kg ．关于这个近似数.下列说法正确的是（ ）A ．精确到百分位.有3个有效数字B ．精确到个位.有6个有效数字C ．精确到千位.有6个有效数字D ．精确到千位.有3个有效数字 【题目难度】★★【解题思路】有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起.后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a 有关.与10的多少次方无关．【解题过程】1.36×105kg 最后一位的6表示6千.共有1．3．6三个有效数字．故选D ．【重点考点】此题考查了科学记数法表示的数的有效数字的确定方法.要注意10的n 次方限定的乘号前面的最后一位数表示的数位．【经典例题27】用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似值.其中错误的是（ ）A ．0.1（精确到0.1）B ．0.05（精确到百分位）C ．0.05（精确到千分位）D ．0.050（精确到0.001）【题目难度】★★【解题思路】根据近似数与有效数字的概念对四个选项进行逐一分析即可．【解题过程】A ．0.05049精确到0.1应保留一个有效数字.故是0.1.故本选项正确；B ．0.05049精确到百分位应保留一个有效数字.故是0.05.故本选项正确；C ．0.05049精确到千分位应是0.050.故本选项错误；D ．0.05049精确到0.001应是0．050.故本选项正确． 故选C ．【重点考点】本题考查的是近似数与有效数字.即从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止.所有的数字都是这个数的有效数字．【经典例题28】据国家统计局2011年4月28日发布的《2011年第六次全国人口普查主要数据公报（第一号）》.总人口为1370536875人.这一数字用科学记数法表示为（ ）（保留四个有效数字）A ．91037.1⨯ B ．81037.1⨯ C ．910371.1⨯ D ．810371.1⨯ 【题目难度】★★【解题思路】科学记数法的表示形式为na 10⨯的形式.其中1≤|a|＜10.n 为整数．确定n 的值是易错点.由于1370536875有10位.所以可以确定n=10-1=9．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起.后面所有的数字都是有效数字． 用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a 有关.与10的多少次方无关．【解题过程】1370536875=9910371.110370536875.1⨯≈⨯故选：C ．【重点考点】此题主要考查了科学记数法的表示方法.以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．练习1. 在下列选项中.具有相反意义的量是（ ）A ．胜二局与负三局B ．盈利3万元与支出3万元课堂检测C．气温升高3℃与气温为-3℃D．向东行20米和向南行20米【题目难度】★【解题思路】首先审清题意.明确“正”和“负”所表示的意义.再分析选项.选择正确答案．【解题过程】A．胜二局与负三局.符合相反意义的量.故选项正确；B．盈利与亏损才符合相反意义的量.而盈利与支出不是相反意义.应为盈利3万元与亏损3万元.故选项错误；C．升高与下降才符合相反意义的量.而升高3℃与气温本身为-3℃不是相反意义的量.应为气温升高3℃与气温下降-3℃.故选项错误；D．东行和西行才符合相反意义的量.而东行和南行则不是相反意义量.应为向东行20米和向西行20米.故选项错误．故选A．【重点考点】解题关键是理解“正”和“负”的相对性.明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中.先规定其中一个为正.则另一个就用负表示．练习2. 在有理数中.不存在这样的一个数a.它（）A．既是自然数又是整数B．既是分数又是负数C．既是非正的数又是非负的数D．既是正数又是负数【题目难度】★★【解题思路】本题需要根据有理数的分类．自然数．整数．分数．负数．正数的特点及定义对各个选项逐个分析.找出正确选项即可．【解题过程】因为自然数是整数.所以A错因为负分数即是分数由是负数.所以B错因为0既是非正的数又是非负的数.所以C错故选D．。
七年级数学上册 第一章《有理数》1.2 有理数能力培优讲义 (新版)新人教版
（2）说说 的意义．
12、有理数x、y在数轴上对应点如图所示：
（1）在数轴上表示－x、－y；
（2）试把x、y、O、－x、－y这五个数从大到小用“<”号连接起来．
专题五绝对值的意义与性质
13、|a|=3，|b|=6，且a，b异号，求a与b的值．
（1）在数轴上，A球在坐标原点，B球代表的数为30，找出C球及右挡板E代表的数．
（2）碰撞实验中（钢球大小、相撞时间不记），钢球的运动都是匀速的，当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动，现A球以每秒10cm的速度向右匀速运动，问多少秒后B球第二次撞向右挡板E？
专题一有理数的分类
1、下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？哪些是非负数？哪些是正分数？
＋7，－23，59，0， ，－3.14，0.009，－888．
正数（）；负数（）；
非负数（）；正分数（）.
2、已知有A、B、C三个数集，每个数集中所含的数都写在各自的大括号内，请把这些数填入图中相应的部分．
A.{－5，2.7，－9.7，2.1}
（3）在前面的条件下，当3个钢球运动的路程和为6米时，哪个球正在运动?此时A、B、C三个钢球在数轴上代表的数分别是什么？
专题四相反数的定义与性质
10、化简下列各数：
（1）－（＋2.7）；（2）－（－ ）；（3）＋（－701）；
（4）－[＋（－2）]；（5）－｛－[－（－2）]｝；（6）－｛＋[－（－2）]｝．
（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是；
人教版七年级数学上册培优精华
七年级数学上册培优训练第一讲 有理数（一）一、【问题引入与概括】1、正负数，数轴，相反数，有理数等观点。
2、有理数的两种分类：3、有理数的实质定义，能表成m（ n 0, m, n 互质）。
n4、性质：①次序性（可比较大小） ；②四则运算的关闭性（ 0 不作除数）；③浓密性：随意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值的意义与性质：① | a |a(a 0) ②非负性 (| a | 0, a 2 0)a( a 0)③非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。
ii ）几个非负数的和为0，则他们都为 0。
二、【典型例题分析】：1、若 ab f 0, 则| a ||b | | ab | 的值等于多少？a b ab2．假如 m 是大于 1 的有理数，那么 m 必定小于它的（） A. 相反数 B. 倒数 C.绝对值 D.平方3 、已知 两数 a 、 b 互为相 反数， c 、 d 互为倒 数， x 的绝对值是 2 ，求 x 2 (a bcd ) x (a b)2006 ( cd ) 2007 的值。
4、假如在数轴上表示 a 、b 两上实数点的地点， 以以下图所示，那么 | a b || a b |化简的结果等于（ )A. 2aB. 2aC.0D. 2b5、已知 (a 3)2|b2 | 0 ，求 a b 的值是（）6、有 3 个有理数 a,b,c ，两两不等，那么a b , bc , c a中有几个负数？b c ca ab7、设三个互不相等的有理数，既可表示为 1， a b, a 的形式式，又可表示为 0，b， b 的形式，求 a 2006b 2007 。
a8 三个有理数 a,b, c 的 数，和 正数，且Xab c | ab | | bc | | ac | ax 3 bx 2 cx 1 的 是多少？| a | | b | |c |ab bc ac9、若 a, b,c 整数，且 | a b |2007| c a |2007 1， 求 | ca | | ab | |bc |的 。
初一上数学-有理数-培优讲义.docx
文档来源 :从网收集整理.word 版本可 .迎下支持.有理数培优能力提升 1 ：有理数的运算有理数范内可以行加、减、乘、除（除数不0）四运算，于相同的有理数相乘，我定了捷算法——有理数的乘方运算，除了要熟悉四运算的法之外，注意到：1、有理数加、减、乘、除（除数不0）四运算的果是封的（仍是有理数）。
2、在有理数范内、加法交律、合律、乘法交律、合律都成立，乘法加法分配律也成立。
3、由于有了正、数，加法与减法的界限消失，加、减可以互相，一代数和。
如（-3） -7=（ -3） +（ -7）。
在有理数范内，除法可以化乘法，比如（-5）÷ 7=（ -5 ）1。
7能力提升 2 ：有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基．它要求同学在理解有理数的有关概念、法的基上，能根据法、公式等正确、迅速地行运算．不如此，要善于根据目条件，将推理与算相合，灵活巧妙地合理的捷的算法解决，从而提高运算能力，展思的敏捷性与灵活性．（一）括号的使用在代数运算中，可以根据运算法和运算律，去掉或者添上括号，以此来改运算的次序，使复的得．1计算：( 2)3( 1)199812(1)2（2）2 41(1) ()12.算下式的：211× 555+445× 789+555× 789+211× 445．3.算： S=1-2+3-4+ ⋯ +(-1)n+1 · n．4.在数 1，2， 3，⋯， 1998 前添符号“ +”和“ -”，并依次运算，所得可能的最小非数是多少？（二）用字母表示数我先来算 (100+2) ×(100-2) 的：(100+2) × (100-2)=100 × 100-2 × 100+2× 100-4=1002-22 ．是一个具体数的运算，若用字母 a 代 100，用字母 b 代2，上述运算程(a+b)(a-b)=a 2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我得到了一个重要的算公式：(a+b)(a-b)=a 2-b2①个公式叫平方差公式，以后用个公式算，不必重复公式的明程，可直接利用公式算．5算 3001× 2999 的．6算 103× 97× 10 009 的．7算：8算： (2+1)(2 2+1)(2 4+1)(2 8+1)(2 16+1)(2 32+1) ．文档来源 :从网收集整理 .word版本可 .迎下支持 .9 算：(11111 22)(12 )⋯(12 )(1 2 )391010. 算：(11⋯1)(11⋯1)(11⋯1)(11⋯1)2319992199821999231998（三）察算式找律11.某班 20 名学生的数学期末考成如下，算他的分与平均分．87， 91， 94， 88， 93， 91，89， 87，92， 86， 90， 92， 88， 90， 91， 86， 89， 92， 95， 88．12.算 1+3+5+7+ ⋯+1997+1999 的．13.算 1+5+52 +53+⋯ +5 99+5100的．14.算：1+11⋯+1 23++1999 12341998能力提升 3 ：绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的、化代数式、明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式，常会遇到含有符号的，同学要学会根据的定来解决些．下面我先复一下有关的基本知，然后行例分析．一个正数的是它本身；一个数的是它的相反数；零的是零．即的几何意可以借助于数来，它与距离的概念密切相关．在数上表示一个数的点离开原点的距离叫个数的．合相反数的概念可知，除零外，相等的数有两个，它恰好互相反数．反之，相反数的相等也成立．由此可得到一个常用的：任何一个数的是非数．1.a， b 数，下列各式？若不，附加什么条件？(1)｜a+b｜ =｜a｜ +｜ b｜；(2)｜ab｜ =｜a｜｜ b｜； (3) ｜ a-b｜=｜ b-a｜；(4)若｜ a｜ =b， a=b；(5)若｜ a｜＜｜ b｜， a＜ b；(6)若 a＞ b，｜ a｜＞｜ b｜．2.有理数 a， b， c 在数上的点如 1-1 所示，化｜ b-a｜+｜ a+c｜ +｜c-b｜．3.已知 x＜ -3，化：｜ 3+｜ 2-｜ 1+x｜｜｜．4.若abc0a b c，| b |的所有可能是什么？| a || c |5. 若｜ x｜=3，｜ y｜ =2，且｜ x-y｜ =y-x ，求 x+y 的．6.若 a， b，c 整数，且｜a-b｜ 19+｜ c-a｜ 99=1，算｜ c-a｜+｜ a-b｜ +｜ b-c｜的．7.若| x y 3| 与 | x y 1999 | 互相反数，求x 2 y的。
七年级数学上册有理数的运算培优讲义
7．学习乘方注意事项： （ 1）注意乘方的含义； （ 2）注意分清底数，如：－ an的底数是 a，而不是－ a ．
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二、例题精讲
例 1.用 “>””或<”“=”号填空：
（ 1）若 a>0, b<0,则 a－ b
0
(2)若 a<0,b>0,则 a－ b
0
(3)若 a<0,b>0,︱ a︱ <︱b︱ ,则 a－b
分，第三次比第二次 ）
A.90 分
B.75 分
C.91 分
D.81 分
3.计算
等于（
）
A. －1
B.1
C.－4
D.4
4.计算
的值是（
）
A.
B.
Ｃ.
D.
5.若 的相反数是 ，
，则
的值为 ______.
___.
6.甲、乙两同学进行数字猜谜游戏，甲说：一个数
的相反数就是它本身，乙说：一个数
的
倒数也等于它本身，请你猜一猜
2
4
(3)
1 1
5
×
－(－
5
)
×2
1
+( －
1
)
2 ÷1
；
(4) － 14－ [1 － (1－ 0.5 ×1 ) ×6]
27
7 2 25
3
12. 计算：
（1） 24 3 ( 1)2000 ( 2)2
（ 2） 14
( 5)2
(
5 )
0.8 1
3
（3） 14 1 0.5 1 3
3
3
3
3
2
（4）
七年级上学期第一章《有理数》能力培优讲义1.3 有理数的加减运算 能力培优(含答案)
1.3有理数的加减运算知识要点：1.有理数的加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0（3）一个数同0相加，仍得这个数．2.有理数的加法的运算律：（1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变.即：a ＋b ＝b ＋a ；（2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.即：（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）；3.有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，即：a －b ＝a ＋（－b ）．温馨提示：1.有理数相加，先定符号，再求绝对值；2.有理数的减法法则，实质是将减法运算转化为加法运算；3.减法没有交换律和结合律，所以不要出现“1－2－2=1”的错误；4.利用交换律，交换加数位置时，不要漏掉每个加数前面的符号.方法技巧：1.有理数加减法的常用运算技巧：把正负数分别结合相加；把相加得零的数分别结合相加；分数相加，凑整相加分组结合.2.当加数比较多且都在某个基本数附近时，求它们和的简便方法是：①找准基准数；②超过用正数来表示，不足用负数来表示；③求出超过或者不足的和（累积和）；④利用总和＝基准数×加数个数+累计和.专题一 利用有理数的加、减法则进行运算1、两个有理数的和为负数，那么这两个数一定（ ）A.都是负数B.至少有一个负数C.有一个是0D.绝对值不相等2、如果a 是不等于0的有理数，那么2a a a 化简的结果应该是（ ） A.0 B.1C.－1D.0或者－1 3、我国古代的“河图”是由3×3的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．如图，给出了“河图”的部分点图，请你推算出P 处所对应的点图是（ ）专题二 有理数的加减法在实际生活中的应用5、请阅读一小段约翰·斯特劳斯的作品，根据乐谱中的信息，确定最后一个音符的时间长应为（ ）6、蚂蚁在一条直线上来回爬行，若向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为：（单位：厘米） +5，－3，+10，－8，－6，12，－10，+6（1）蚂蚁最后是否回到出发点？（2）在爬行过程中，每爬行１厘米奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻？专题三 利用运算律对有理数加减做简便运算7、下列各题运用加法交换律、结合律变形错误的是（ ）A 、)]75.0()25.0[(1)75.0()25.0(1-+-+=-+-+B 、)65()43()21(654321-+-+-=-+-+-C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+--3261214332216143D 、)26()8()37(26387++-+-=++--8、利用简便方法计算：（1）(14)(4)(2)(26)(3)++-+-+++-； （2）117－48＋54－116；（3）77()( 2.3)(0.1)( 2.2)()( 3.5)1010-+++-+-++++；（4）11113(2)()0.25()2436--+--++ （5）7＋97＋997＋9997＋99997；（6）1+2－3－4+5+6－7－8+9+……+2014+2015－2016－2017+20189、某自行车厂计划每天生产200辆自行车，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：（1）根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车 辆；（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车 辆；（4）该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得30元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖20元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？专题四 规律探索题中的有理数加减法10、我们把分子为1的分数叫理想分数，如12，13，14，....任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如613121+=；31=12141+；2015141+=…….根据对上述式子的观察，请你思考：如果理想分数119=b a 11+，那么a +b =___________.11.对于正数x ，规定 1()1f x x =+，例如：11(4)145f ==+，114()14514f ==+， 则111(2018)(2017)(2)(1)(1)+()()()220172018f f f f f f f f ++++++++=…… .1.3答案:1.B 解析：根据有理数的加法法则：如果两个加数都是负数则和是负数；如果两个加数一正一负，负数的绝对值大，则和也是负数，负数的绝对值小，则和为正数；如果两个加数为正数，则和为正数；负数加0，结果为负数，正数加0，结果为正数.所以如果两个有理数的和为负数，则至少有一个数为负数.2.D 解析：当a＜0时，原式=()2122a a aa a--==---；当a＞0时，原式=22a aa a-==.3.C 解析：通过观察，我们不难看出此题实质上是让2个点与5个点的和等于1个点与P所在位置的点的和，所以P=2+5－1=6．所以P点的点数为6．4.A 解析：由表中数据可知：A－C=90①，C－D=80②，D－E=60③，E－F=－50④，F－G=70⑤，G－B=－40⑥，①+②+③+…+⑥，得：（A－C）+（C－D）+（D－E）+（E－F）+（F－G）+（G－B）=A－B=90+80+60－50+70－40=210．∴观测点A相对观测点B的高度是210米．6.解析:（1）根据题意可得：向右爬行的路程记为“+”，向左爬行的路程记为“－”.则蚂蚁最后离开出发点的距离是：（+5）+（－3）+（+10）+（－8）+（－6）+（12）+（－10）+（+6）=+6（厘米）．答：蚂蚁最后在出发点的右边，与出发点相距6厘米．（2）蚂蚁从离开出发点开始走的路程是：|+5|+|－3|+|+10|+|－8|+|－6|+|12|+|－10|+|+6|=60（厘米），所以在爬行过程中，蚂蚁得到的奖励是：60×2=120（粒）．7.C 解析：C选项去掉括号后等号的右边=31124263+-+，与等号的左边不相等，所以不正确.8.解：（1）原式= [（＋14）+（+26）]＋[（－4）+（－2）+（－3）] =（+40）+（－9）= 31；（2）原式= （117－116）+（－48＋54）= 1＋6 = 7；（3）原式=77[()()][( 2.3)(0.1)( 2.2)]( 3.5)1010-+++++-+-++= 0＋0＋（＋3.5）= 3.5；（4）原式=1111(20.25)(3)4236-+-+=11321(2)(3)44666-+-+= 2＋133=153；（5）原式＝（10－3）＋（100－3）＋（1000－3）＋（10000－3）＋（100000－3）＝111110－3×5＝111095；（6）原式＝1+（2－3－4+5）+（6－7－8+9）+……（2015－2016－2017+2018）＝1+0+0+……+0＝1.9.解析：（1）该厂星期四生产自行车200+12=212辆；（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车16－（－10）=26辆；（4）这一周的工资总额是200×7×30+（6+12+16）×（30+20）+〔（－2）+（－4）+（－10）+（－8）〕×（30+15）=42620（元）．10. 400 解析：根据给出的理想分数定义可得第2个分数的分母比第1个分数的分母大1，第三个分数的分母是第1个分数的分母与第2个分数的分母的乘积.不难得到在119=ba11+中，a=19+1=20，b=19×20，a+b=20+19×20=20×（1+19）=400. 11. 2018 解析：当x=1时，f（1）=12；当x=2时，f（2）=13；当x=12时，f（12）=23；当x=3时，f（3）=14，当x=13时，f（13）=34…，故f（2）+f（12）=1，f（3）+f（13）=1，…，111。
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最新人教版 七年级数学上册培优辅导讲义第1讲 与有理数有关的概念考点·方法·破译1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米 ⑵收人－50元 ⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）A ． －18%B ． －8%C ． ＋2%D ． ＋8%02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )A ． －5吨B ． ＋5吨C ． －3吨D ． ＋3吨03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间15：00，纽约时问是_ ___【例２】在－227，π，0，0.033.3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；（2）按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数，0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】01．在7，0，15，－12，－301，31.25，－18，100，1，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－19，215，－138，0.1，－5.32，123, 2.333【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14，－15，16，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007. 【变式题组】01（湖北宜昌）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四个数是17＝9＋8…观察并猜想第六个数是 .02．（毕节）毕达哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____.03．（茂名）有一组数1，2，5，10，17，26…请 观察规律，则第8个数为__ __ .【例４】（2008年河北张家口）若1＋m 2的相反数是－3，则m 的相反数是____. 【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫 互为相反数，本题m 2＝2,m ＝4，则m 的相反数－4。
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知识网络结构图第一章有理数知识点 1：有理数的基本概念中考要求：有理数 理解有理数的意义会比较有理数的大小数轴 能用数轴上的点表示有理数；知道实数与数轴上的点的对应关系会借助数轴比较有 理数的大小相反数 会用有理数表示具有相反意义的量，借助数轴理解相反数的意义，会求实数的相反 数掌握相反数的性质绝对值 借助数轴理解绝对值的意义， 会求实数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化 简问题知识点总结： 正数、负数、有理数随着同学们视野的拓展，小学学过的自然数、分数和小数已经不能满足认知需要了 . 譬 如一些具有相反意义的量，收入 300元和支出 200元，向东50米和向西 30米，零上6 C 和 零下 4 C 等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量， 怎么表示它们呢？我们把一种意 义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的量规定为负的，这样就产生了正数和负数 . 正数：像3、1、 0.33等的数，叫做正数 .在小学学过的数， 除0外都是正数 .正数都大于 0. 负数： 像 1、 3.12、 17 、 2008等在正数前加上“－”（读作负）号的数，叫做负数.5负数都小于 0. 0既不是正数， 也不是负数 .一个数字前面的“＋”， “－”号叫做它的符号 . 正数前面的“＋”可以省略，注意 3与 3 表示是同一个正数 .用正、负数表示相反意义的量： 如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然 . 譬如：用正数表示向南，那么向北 3km 可以用负数表示为 3km .“相反意义的量”包括两个方面的含意： 一是相反意义； 二是相反意义的基础上要有 量.有理数 : 按定义整数与分数统称有理数 .有理数 （ 按定义分类 ） 负整数正整数正有理数正分数有理数 （按符号分类 ） 零（零既不是正数 , 也不是负数 ）注：⑴正数和零统称为非负数； ⑵负数和零统称为非正数； ⑶正整数和零统称为非负整数； ⑷负整数和零统称为非正整数板块一、基本概念 例题讲解正整数整数 零自然数分数正分数 负分数负有理数负整数负分数1、选择下面是关于 0的一些说法，其中正确说法的个数是（ ）①0既不是正数也不是负数；② 0是最小的自然数；③ 0是最小的正数；④ 0是最小的非负 数；⑤ 0既不是奇数也不是偶数 .A. 0B.1C.2D.32、下面关于有理数的说法正确的是（）．A ．有理数可分为正有理数和负有理数两大类 . B. 正整数集合与负整数集合合在一起就构成整数集合 C. 整数和分数统称为有理数D. 正数、负数和零的统称为有理数 板块二、数轴、相反数、倒数、绝对值 3、 a 和 b 是满足 ab ≠0的有理数，现有四个命题：① a 2 2 的相反数是 22 a ；② a b 的相反数是 a 的相反数与 b 的相反数的差； b 2 4 b24③ ab 的相反数是 a 的相反数和 b 的相反数的乘积；④ ab 的倒数是 a 的倒数和 b 的倒数的乘积．其中真命题有 （ ）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个 4、一个数的绝对值大于它本身，那么这个数是 A 、正有理数 B 、负有理数 C 、零 5、数轴上离开原点 2 个单位长度的点表示的数是 6、有理数 -3，0，20，-1.25 ，1.75 ，-∣-12 ∣ 非负数有 ______ 个；7、绝对值最小的有理数是 ________ ；绝对值等于 是 _____ ；绝对值等于相反数的数是 _______ 8、 -2.5 的相反数是 _______ ，绝对值是，倒数是 ___________ 。
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02．（毕节）毕选哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填
____.
03．（茂名）有一组数 l ，2，5，10，17，26…请观察规律，则第 8 个数为 ____.
m 【例４】（ 2008 年河北张家口）若 l ＋2的相反数是－ 3，则 m的相反数是 ____.
【解法指导】 理解相反数的代数意义和几何意义， 代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数
专业资料
第 1 讲 与有理数有关的概念
考点·方法·破译
1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量
.
2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想
.
3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝
对值、倒数 .
经典·考题·赏析
【例 1】写出下列各语句的实际意义
其中正确的个数为（
）
A． 4 个 B ． 3 个 C ． 2 个 D ． 1 个
|a| |b| |c|
02． a、 b、c 三个数在数轴上的位置如图，则
a＋ b ＋c ＝
.
abc 03． a、 b、c 为不等于 O的有理散，则 |a| ＋ |b| ＋ |c| 的值可能是 ____.
a+b 【例６】（江西课改）已知 |a － 4| ＋ |b － 8| ＝ 0，则 ab 的值 .
03．（山西）北京与纽约的时差－ 13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚） . 如现在是北京时间
纽约时问是 ____
l5 ： 00，
.
【例２】在－
22 7 ，π，
0.0 33 3 这四个数中有理数的个数（
)
A． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个
人教版七年级上册培优01 第1章 有理数(要点梳理+典例变式+课后检测)有答案
第1章有理数学生年级七年级姓名编号数学授课教师授课日期授课时段一、课前衔接（一）上次课堂作业检查讲解（二）课前小测（错题本错题再练）二、教学过程专题01 有理数1、教学重点、难点：有理数的加减法、乘除法及乘方的计算；2、教学易错点：有理数的加减法、乘除法及乘方的计算；3、教学目标：（1）理解正负数的意义，掌握有理数的概念；（2）理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算；（3）学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识；（4）理解科学记数法及近似数的相关概念并能灵活应用；（5）体会数学知识中体现的一些数学思想；【要点梳理】要点一、有理数的相关概念1．有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如π．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“-”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 4．绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a 的绝对值记作a ．（2）几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离． 要点二、有理数的运算 1 ．法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．(0)||0(0)(0)aa a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． ②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a ÷b=a ·1b (b ≠0) ．（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； ②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序： ①先乘方，再乘除，最后加减； ②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： 2(3)9-=， 3(3)27-=-． 2．运算律：（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a ； ②乘法交换律:ab=ba ；（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab ）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 要点三、有理数的大小比较 比较大小常用的方法有： （1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法． （3）作商比较法； （5)倒数比较法．要点四、科学记数法、近似数及精确度1.科学记数法：把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中110a ≤<，n 是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=5210⨯．2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 要点诠释：（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.（2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到0.1米，说明结果与实际数相差不超过0.05米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些.【典型例题】类型一、有理数相关概念1．下列说法正确的是（ ）A 、 在一个数前面加“−”号就得到负数B 、 0既不是正数，也不是负数，但0是有理数C 、 非负数就是正数D 、 不带“−”号的数是正数解析：A 反例：在“0”前面加“−”号，不能得到负数．B 正确．C ，0是非负数，但不是正数．D 、0不带“−”号，但也不是正数；变式1、下面的说法正确的是（ ） A 、 正有理数和负有理数统称有理数B 、 整数和分数统称有理数C 、 正整数和负整数统称整数D 、 有理数包括整数、自然数、零、负数和分数解析：A 、正有理数、0和负有理数统称有理数，故本选项错误；B 、整数和分数统称为有理数，故本选项正确；C 、整数还包括0，故本选项错误；D 、零属于自然数的范围，这样的表达不正确，故本选项错误2.某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5.8元的意义是 ；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是 .变式 1.如果自行车车条长度超过标准长度 2 mm ，记作＋2 mm ，那么比标准长度短1.5 mm ，记作 .变式2.如果全班某次数学成绩的平均成绩为83分，某同学考了85分，记作＋2分，那么得90分记作 分，－5分表示的是 分．3. 若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则=++)(323b a cd .变式1.已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，|m|=2，求代数式2m ﹣（a+b ﹣1）+3cd 的值．4.近似数0.4062精确到 位，近似数5.47×105精确到 位，近似数3.5万精确到 位， 3.4030×105精确到千位是 .变式1.我市今年参加中考人数约为42000人，将42000用科学记数法表示为（ ） A.4.2×104 B. 0.42×105 C. 4.2×103 D. 42×1035．（2015春•射洪县月考）如果|x+3|+|y ﹣4|=0，求x+2y 的值．变式1.若|x|=5，则x= ；若|x-3|=2，x= 。
最新人教版数学七年级上册 有理数(培优篇)(Word版 含解析)
一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是________；表示-3和2两点之间的距离是________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|.（2）如果|x+1|=3，那么x=________；（3）若|a-3|=2，|b+2|=1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B 两点间的最大距离是________.（4）若数轴上表示a的点位于-4与2之间，则|a+4|+|a-2=________.【答案】（1）3；5（2）2或-4（3）8（4）6【解析】【解答】解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是：；表示和两点之间的距离是：故答案为：或或故答案为：或（3）或或当时，则两点间的最大距离是，当a=5，b=-1时，A、B两点间的距离是6，当a=1，b=-3时，A、B两点间的距离是4，当时，则两点间的最小距离是，则两点间的最大距离是，最小距离是故答案为：（4）数轴上表示a的点位于-4与2之间，则故答案为：【分析】（1）根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示的数的绝对值即可算出答案；（2）根据绝对值的意义去绝对值的符号，再解方程即可；（3）根据绝对值的意义去绝对值的符号，再解方程求出a,b的值，然后分四种情况求出ab 之间的距离，再比大小即可；（4）根据数轴上的点所表示的数的特点可知-4＜a＜2，所以a+4＞0,a-2＜0，再根据绝对值的意义去绝对值符号并合并同类项即可.2．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等.类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”.（1）（【初步探究】直接写出计算结果：2③=________，（- ）⑤=________；（2）【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？Ⅰ.试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式.（﹣3）④=________；5⑥=________；(- ) ⑩=________.Ⅱ.想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于________；Ⅲ.算一算：12²÷(- )④×(-2)⑤－(- )⑥÷3³.________【答案】（1）；-8（2）；；；；解：【解析】【解答】解：（1）【初步探究】，故答案为：，-8；（ 2 ）【深入思考】Ⅰ.；；故答案为：；；；Ⅱ.【分析】（1）①按除方法则进行计算即可；②按除方法则进行计算即可；（2）①把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果；②结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为，则aⓝ＝a×(）n−1= ；③将第二问的规律代入计算，注意运算顺序．3．在学习绝对值后，我们知道，|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而|5|=|5﹣0|，即|5﹣0|表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，有：|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|．请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：（1）画一条数轴，并在数轴上分别用A、B表示出1和3的两点（2）数轴上表示1和3的两点之间的距离是________；（3）点A、B、C在数轴上分别表示有理数1、3、x，那么C到A的距离与C到B的距离之和可表示为________（用含绝对值的式子表示）（4）若将数轴折叠，使得表示1和3的两点重合，则原点与表示数________的点重合【答案】（1）解：如图所示，（2）2（3）（4）4【解析】【解答】解：（2）数轴上表示1和3的两点之间的距离=，故答案为2；（3）由题意得，C到A的距离与C到B的距离之和可表示为：，故答案为：；（4）在数轴上，1和3中点的数为：，设与原点重合的点的数为x，由题意得：, ∴x-2=±2，解得x=0或4，∴则原点与表示数4的点重合，故答案为：4.【分析】（1）画出数轴，在数轴上找出1、3点，分别用A、B表示即可；（2）根据题意，计算数轴上表示1和3的两点之间的距离即可；（3）根据题意，把C到A的距离与C到B的距离之和表示出来即可；（4）首先求出1和3中点表示的数，再设与原点重合的点的数为x，根据题意列式求出x 即可.4．如图，在数轴上，点A表示﹣5，点B表示10．动点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴负方向以每秒2个单位的速度匀速运动，设运动时间为t秒：（1）当t为________秒时，P、Q两点相遇，求出相遇点所对应的数________；（2）当t为何值时，P、Q两点的距离为3个单位长度，并求出此时点P对应的数．【答案】（1）5；0（2）解：若P、Q两点相遇前距离为3，则有t+2t+3=10-(-5)，解得：t=4，此时P点对应的数为：-5+t=-5+4=-1；若P、Q两点相遇后距离为3，则有t+2t-3=10-(-5)，解得：t=6，此时P点对应的数为：-5+t=-5+6=1；综上可知，当t为4或6时，P，Q两点的距离为3个单位长度，此时点P对应的数分别为-1或1.【解析】【解答】（1）解：由题意可知运动t秒时P点表示的数为-5+t，Q点表示的数为10-2t；若P，Q两点相遇，则有-5+t=10-2t，解得：t=5，-5+t=-5+5=0，即相遇点所对应的数为0，故答案为5；相遇点所对应的数为0；【分析】（1）由题意可知运动t秒时P点表示的数为-5+t，Q点表示的数为10-2t，若P、Q相遇，则P、Q两点表示的数相等，由此可得关于t的方程，解方程即可求得答案；（2）分相遇前相距3个单位长度与相遇后相距3个单位长度两种情况分别求解即可得.5．已知数轴上A，B两点对应数分别为-2和5，P为数轴上一点，对应数为x.（1）若P为线段AB的三等分点（把一条线段平均分成相等的三部分的两个点），求P点对应的数.（2）数轴上是否存在点P，使P点到A点，B点距离和为10？若存在，求出x值；若不存在，请说明理由.（3）若点A，点B和点P（P点在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1，6，3个长度单位/分，则第几分钟时，A，B，P三点中，其中一点是另外两点连成的线段的中点？【答案】（1）解：因数轴上A、B两点对应的数分别是﹣2和5，所以AB=7，又因P为线段AB的三等分点，所以 AP=7÷3= 或AP=7÷3×2= ，所以P点对应的数为或（2）解：若P在A点左侧，则﹣2﹣x+5﹣x=10，解得：x=﹣；若P在A点、B中间.∵AB=7，∴不存在这样的点P；若P在B点右侧，则x﹣5+x+2=10，解得：x=（3）解：设第x分钟时，点A的位置为：﹣2﹣x，点B的位置为：5﹣6x，点P的位置为：﹣3x，①当P为AB的中点，则5﹣6x+（﹣2﹣x）=2×（﹣3x），解得：x=3；②当A为BP中点时，则2×（﹣2﹣x）=5﹣6x﹣3x，解得：x= ；③当B为AP中点时，则2×（5﹣6x）=﹣2﹣x﹣3x，解得：x= .答：第分钟时，A为BP的中点；第分钟时，B为AP的中点；第3分钟时，P为AB的中点.【解析】【分析】（1）根据两点间的距离公式得出AB=7，又因P为线段AB的三等分点，所以 AP 或，进而再根据数轴上两点间的距离公式即可求出点P所表示的数；（2）分类讨论：若P在A点左侧，根据两点间的距离公式由PA+PB=10列出方程，求解算出x的值；若P在A点、B中间，由于PA+PB=AB=7,故不存在这样的点P；若P在B点右侧，根据两点间的距离公式由PA+PB=10列出方程，求解算出x的值，综上所述即可得出答案；（3）设第x分钟时，点A的位置为：﹣2﹣x，点B的位置为：5﹣6x，点P的位置为：﹣3x ，然后分类讨论：①当P为AB的中点，②当A为BP中点时，③当B为AP中点时三种情况根据线段的中点性质列出方程，求解即可。
七年级数学上册 第一章《有理数》1.4 有理数的乘除法能力培优讲义 (新版)新人教版
1.4有理数的乘除法专题一 有理数乘除法运算1、计算的结果是（ ）A 、－1B 、1C 、D 、2、若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1，…，则的值为（ ）A 、B 、 99!C 、9900D 、2！ 3、计算：（1）； （2）（－）÷3×÷（－）.专题二 运用运算律简化有理数乘除法运算4、计算：（1）（－10）×13×（－0.1）×6； （2）；（3）43510.712(15)0.7(15)9494⨯+⨯-+⨯+⨯-； （4）.5、阅读下列材料：计算：50÷（－+）．解法一：原式=50÷－50÷+50÷=50×3－50×4+50×12=550．解法二：原式=50÷（－+）=50÷=50×6=300．解法三：原式的倒数为（－+）÷50=（－+）×=×－×+×=．故原式=300．上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_______是错误的．观察下面的问题，选择一种合适的方法解决：计算：（－）÷（－+－）．6、阅读第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题．（1）计算：解：原式=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-)21()3()4317()32()9()65()5( =[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-+-++-+-)21(43)32()65()3(17)9()5(=． 上面这种解题方法叫做拆项法．（2）计算：．专题三 有理数混合运算7、观察下列图形：图① 图② 图③ 图④ 图⑤请用你发现的规律直接写出图④中的数y ： ；图⑤中的数x ： ．8、计算：（1）； （2）（；（3）； （4）.专题四 中考中的有理数混合运算规律题9、某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序数的倒数加1，第1位同学报(+1)，第2位同学报 (+1)，第3位同学报(+1)……这样得到的20个数的积为 ．10、若x 是不等于1的有理数，我们把称为x 的差倒数，如2的差倒数是，－1的差倒数为，现已知，x 1＝，x 2是x 1的差倒数，x 3是x 2的差倒数，x 4是x 3的差倒数，……，依次类推，则x xx ＝ .答案:1.C 解析：原式=.2.C 解析：==10099=9900.3.解析 ：（1）原式=；（2）原式=.4.解析 (1)原式=10×0.1×13×6=2; （2）原式；（3）原式4531(0.710.7)[2(15)(15)]9944=⨯+⨯+⨯-+⨯- ；（4）原式.5．解析：（－）÷（－+－）的倒数为：（－+－）÷（－）=（－+－）×（－42）=－7+9－28+12=－14.故（－）÷（－+－）=－.6.解析：原式==[]5221(2018)(2019)4038(1)()()()6332⎡⎤-+-++-+-+-++-⎢⎥⎣⎦ =；7. 12 －2 解析：观察图①得5×2－1×（－2）=10+2=12;观察图②得1×8－（－3）×4=8+12=20;观察图③得4×（－7）－5×（－3）=－28+15=－13;所以y =0×3－6×（－2）=12；4×（－5）－9x =－2，化简得－9x =18,解得x =－2.8.解析：（1）原式＝＝＝－；（2）原式＝＝（9＋4－18）÷5＝－1；（3）原式＝－×（－）×＝1；（4）原式222222721227222221()()77322227227322=⨯-⨯⨯=⨯⨯-⨯=－4. 9.2110. 解析：因为x 1＝，所以x 2＝＝，x 3＝＝4，x 4＝＝－，计算每三个一个循环，而xx÷3＝672……2，所以x xx ＝x 2＝.。
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第一讲有理数知识导引本讲的主要内容是从自然数到分数和有理数的概念，小学数学主要学习了自然数、分数（小数）及数的运算，并且这种“数”的概念是建立在一种意义上的，实际上，仅有自然数和分数是不够的，数还需作进一步的扩展，实际生活、生产中大量的量从其意义上来理解却具有相反的意义，为了准确地区分这些相反意义的量就有必要引入负数，用正数和负数来区分这些具有相反意义的量，这样就产生了有理数的概念，所以有理数其实是对数的进一步认识，是数的一次重要扩充。
建立了有理数的概念之后，又不要对有理数进行分类，有理数通常按两种不同的标准进行分类：一是以有理数的正负性为主要标准，将有理数分为正数、零和负数三大类；二是以有理数的整数和非整数为主要标准，将有理数分为整数和分数两大类。
这里要注意的是零既不是正数也不是负数，具体的数的概念应从其意义上理解，例如“负整数”应理解为“负数中的整数”等等。
典例精析例1：珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地处都标有表明高度的数（单位：米），如图所示，这些数通常称为海拔，它是相对于海平面来讲的，请说出图中所示的数8848和－155表示的实际意义，海平面的高度用什么数表示？例2：（1）如果把商店盈利100元记做＋100，那么亏损20元记做（2）如果把仪表的指针逆时针转3圈记做＋3，那么－2圈表示把仪表的指针（3）正常水位为0，水位高于正常水位0.2米时可记做＋0.2米，那么－0.5米表示什么意思？例2—1：（1）下列说法中，不具有相反意义的一对量是（）A、向东3.5米和向南2千米B、上升5米和下降1.8米C、收入5000元和亏损1500元D、零上6℃和零下7℃（2）若火箭发射点火前5秒记为－5秒，那么火箭发射点火后10秒应记为（）A、－10秒B、－5秒C、＋5秒D、＋10秒例3：把数－7，4.8，4，0，－9，－7.9，－12，213-，23，800%，54，851-分别填在相应的位置内。
正数：{ }； 负数：{ }； 整数：{ }； 正整数：{ }； 负分数：{ }； 非负数：{ }。
例4：佳佳和小超玩一个抽卡片游戏：有一叠卡片，每张上面都写着一个数字，两人轮流从中抽取，若抽到的卡片上的数字大于10，就加上这个数字，若抽到的卡片上的数字不大于10，就减去这个数字。
第一轮抽卡完毕（没人抽4张），两人抽到的卡片如图所示，若规定从0开始计算，结果小者为胜， 那么第一轮抽卡谁获胜？例5：在一次游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数，abc （a 、b 、c 依次是这个数的百位、十位和个位数字），并请这个人算出5个数acb ，bac ，bca ，cab 和cba 的和N ，把N 告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数abc 。
现在设N ＝3194，请你当魔术师，求出数abc 来。
例6：图1是一个9×9的方格图，有粗线隔成9个横竖各有3个格的“小九宫”格，其中，有一些方格填有1至9中的数字，小鸣在第九行的空格中各填入了一个不大于9的正整数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小鸣将第9行的数字从左向右写成一个9位数，请写出这个9位数，并简单说明理由。
探究活动例：观察下列式子：211211-=⨯，3121321-=⨯，4131431-=⨯ 将以上三个等式两边分别相加得：4341141313121211431321211=-=-+-+-=⨯+⨯+⨯ （1）猜想并写出：=+)1(1n n ；（2）直接写出下列各式的计算结果： ①=⨯+⋯+⨯+⨯+⨯201620151431321211 ； ②=++⋯+⨯+⨯+⨯)1(1431321211n n ； （3）计算：201620141861641421⨯+⋯+⨯+⨯+⨯学力训练A 组 务实基础1、关于0有下列说法：①既不是正数，也不是负数；②是整数；③不是最小的整数，是最小的有理数；④不是自然数，是有理数。
其中正确的个数有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个2、下列说法正确的是（ ）A 、“向东5米”与“向西5米”不是相反意义的量B 、如果气球上升25米记做＋25米，那么－15米的意义就是下降15米C 、如果气温下降6℃记做－6℃，那么＋8℃的意义就是下降零上8℃D 、若将高1米设为标准0，高1.20米记做＋0.2米，那么－0.05米所表示的高为0.95米 3、黄石市某日一天的温差为11℃，最高气温为t ℃，则最低气温可表示为（ ） A 、（11＋t ）℃ B 、（11－t ）℃ C 、（t －11）℃ D 、（－t －11）℃ 4、实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度，下表是某次测量数据的部分记录（用A —C 表示观测点A 相对观测点C 的高度）根据这次测量的数据，可得观测点A 相对观测点B 的高度是（ ）A 、201米B 、130米C 、390米D 、－210米 5、把下列个数填入相应的数集圈： －2.1，0，－2，51，10，25，＋5.8，6.2·，50%正数集 负数集分数集 整数集6、观察下列各数，找出规律并填空： （1）1，3，6，10， ； （2）1，2，4，7，11， ；（3）1，1，2，3，5，8， ；（4）1，2，－3，－4，5，6，－7，－8， ， ， ， ，…，……7、正整数按图中的规律排列，请写出第20行、第21行的数字： 。
8、一点P 从距原点1个单位的A 点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA 的中点1A 处，第二次从1A 点跳动到1OA 的中点2A 处，第三次从2A 点跳动到2OA 的中点3A 处，如此不断的跳下去，则第五次跳动后，该点P 到原点O 的距离为9、宁波慈溪盛产杨梅，M 公司今年获得大丰收，共产杨梅162吨，其中第一批成熟的杨梅有62吨，批发价是每千克10元；第二批成熟的杨梅有60吨，批发价是每千克8元；第三批成熟的杨梅每千克4元，问：M 公司今年的杨梅总共卖了多少钱？10、某检修小组从A 地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下（单位：千米）：（1）求收工时距A 地多远。
（2）在第 次记录时距A 地最远。
（3）若每行驶1千米耗油0.3升，则共耗油多少升？B 组 瞄准中考1、（安徽中考）在－1，0，1，2这四个数中，既不是正数也不是负数的是（）A、－1B、0C、1D、22、（成都中考）如果某台家用电冰箱灵藏室的温度是4℃，冷冻室的温度比冷藏室的温度低22℃，那么这台电冰箱冷冻室的温度为（）A、－26℃B、－22℃C、－18℃D、－16℃3、（嘉兴中考）一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（）A、2017个B、2017个C、2017个D、2017个4、（南昌中考）按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为－2，则输出的值为5、（南京中考）如图所示，A是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点O（A点与O点重合），假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上的点‘A重合，则点‘A对应的数是6、（深圳中考）邓老师设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下：那么，当输入的数据为7时，输出的数据是7、（南京中考）甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依循环报数，规定：①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1，2，3，4，接着甲报5，乙报6，…，按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数打1，当报到的数是50时，报数结束；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍一次手，在此过程中，甲同学需拍手的此数为8、（南平中考）水葫芦是一种水生漂浮植物。
，有着惊人的繁殖能力，据报道，现已经造成某些流域河道堵塞、水体污染等严重后果，据研究表明：适量的水葫芦生长对水体的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株（不考虑植株死亡、被打捞等其他因素）。
（1）假设江面上现有1株水葫芦，请填写下表：（2）假设某些流域内水葫芦维持在33万株以内对水体净化有利，现若有10株水葫芦，请你尝试利用计算器进行探究：照上述生长速度，多少天后水葫芦约有33万株？ 9、（资阳中考）某市有一块土地共100亩，某房地产商以每亩80万元的价格购得此地，准备修建“和谐花园”住宅区．计划在该住宅区内建造八个小区（A 区，B 区，C 区…H 区），其中A 区，B 区各修建一栋24层楼房；C 区，D 区，E 区各修建一栋18层楼房；F 区，G 区，H 区各修建一栋16层楼房．为了满足市民不同购房需求，开发准备将A 区，B 区两个小区都修建成高档住宅，每层8002m ，初步核算成本为800元/2m ；将C 区，D 区，E 区三个小区都修建成中档住宅，每层8002m ，初步核算成本为700元/2m ；将F 区，G 区，H 区三个小区都修建成经济适用房，每层7502m ，初步核算成本为600元/2m ．整个小区内其他空余部分土地用于修建小区公路通道，植树造林，建花园，运动场和居民生活商店等，这费用加物业管理费，设置安装楼层电梯等费用共计需要9900万元．开发商打算在修建完工后，将高档，中档和经济适用房平均分别为3000元/2m ，2600元/2m 和2100元/2m 的价格销售．若房屋全部出售完，请你帮忙计算出房地产开发商的赢利是多少万元？10、（杭州中考）如果a 、b 、c 是三个任意的整数，那么在2b a +，2c b +，2ac +这三个数中至少会有几个整数？请利用整数的奇偶性简单说明理由．C 组 冲击金牌1、在一个办公室里，经理在一天的不同时刻要交给秘书打印的信件，每次将信件放在秘书的信堆的最上面，秘书有时间就将信堆最上面的信件取来打印，假定共有5封信，按经理交来的时间顺序分别编号为1，2，3，4，5（最先拿来的是1号），在下列各选项中，哪一个顺序不可能是秘书打印的顺序（ ）A 、12345B 、45231C 、24351D 、354212、从巴兹尔家到游泳池的路上有17棵树．在去游泳池和返回时，巴兹尔用红丝带系在一些树上做标记．去游泳池的时候，他在第一棵树、第三棵树、第五棵树……上做了标记．返回时，他在遇到的第一棵树、第四棵树、第七棵树……上做了标记，每次都留下两棵树没做标记．他回到家时，没有被标记的树的棵数为（ ）A 、4棵B 、5棵C 、6棵D 、7棵3、李老师从油条的制作中受到启发，设计了一个数学问题：如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB ，对折后（点A 与点B 重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（如在第一次操作后，原线段AB 上的41，43均变成21，21变成1等）．那么在线段AB 上（除点A ，B ）的点中，在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数的和是 ．（第3题图） （第4题图）4、如图，时钟的钟面上标有1，2，3，…，12，共12个数，一条直线把钟面分成了两个部分．请你再用一条直线分割钟面，使钟面被分成三个不同的部分且各部分所包含的几个数的和都相等，则其中的三个部分所包含的几个数分别是 ； 和 ．5、一些确定的并排排列的数叫做数列，数列中的一个一个数叫做项，如果对于第一项乘上一个数可以得出第二项，第二项再乘上相同的数可以得出第三项（乘数不只限于整数），依此类推，可以得到一个等比数列．现在请做出一个项数最多的等比数列，其每一项都是100以上、1000以下的整数，不包括乘以1的数列，请列出此等比数列的每一项．第一讲 有理数参考答案典例精析1、图中所示的数8848表示海拔为高于海平面8848米，图中所示－155表示海拔为低于海平面155米，海平面的高度用数字0来表示。