2014人教A版数学一轮复习指导活页作业 第10章 第8节(理) 二项分布和正态分布 Word版含解析
新人教版高中数学一轮复习二项分布、超几何分布、正态分布培优课件
( √ )
(3)n 重伯努利试验中各次试验的结果相互独立.
( √ )
(4)正态分布是对连续型随机变量而言的.
( √ )
10
目录
2.(2022 年新高考全国Ⅱ卷)已知随机变量 X 服从正态分布 N(2,σ2),且 P(2<X≤2.5)=0.36,则
P(X>2.5)= 0.14
.
[解析] 由题意可知,P(X>2)=0.5,故 P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-
A 发生的次数,则 X 的分布列为 P(X=k)=③
C pk(1-p)n-k
,k=0,1,2,…,n.
如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式,则称随机变量 X 服从二项分布,记作
④
X~B(n,p)
.
5
目录
二、两点分布与二项分布的均值、方差
1.若随机变量 X 服从两点分布,则 E(X)=p,D(X)=⑤
(k=0,1,2,3),
9 9
X 的分布列为
0
64
729
X
P
5
9
1
80
243
2
100
243
3
125
729
5
3
所以 E(X)=3× = .
25
目录
【讲练互动】
例3
考点二 超几何分布
(2023·芜湖模拟)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组
队参加.现有来自甲协会的运动员 3 名,其中种子选手 2 名,乙协会的运动员 5 名,其中种子
独立的;(3)该公式表示 n 次试验中事件 A 恰好发生了 k 次的概率.
高考数学(人教A版理)一轮复习教师用书第10章第8节二项分布与正态分布含解析.doc
第八节二项分布与正态分布［考纲传真］1 .了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念2理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题.3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.知识梳理1.条件概率条件概率的定义条件概率的性质设B为两个事件，且P⑷＞0,称P{B\A) —琴晋为在事件/发生的条件下，事件B 发生的条件概率(1)OWP(B⑷W1；(2)如果〃和C是两个互斥事件，则P(B UC\A)=P(B\A)+P(C\A)(1)定义：设力，B为两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B)f则称事件/与事件B相互独立.(2)性质：①若事件/与B相互独立，则P(B\A)=P(B), P(A\B)=P(A)・②如果事件/与B相互独立，那么/与万，与B,万与万也相互独立.3.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的/7次试验称为/7次独立重复试验，其中40=1,2,…, 力是第j 次试验结果，则P ⑷仙3・・-A n)=P(A,P(42)P(4"…PC4J •(2)二项分布在〃次独立重复试验中，用X表示事件/发生的次数，设每次试验中事件/ 发生的概率为P，则P(X=k) = C^(l -pr^=0,l,2, ・・・，〃)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X〜B(n, p),并称p为成功概率.4.正态分布(1)正态曲线的特点:抓基础•自主学习①曲线位于兀轴上方,与兀轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线X=u对称:③曲线在x=y处达到峰值诂石;④曲线与x轴之间的面积为1;⑤当<7 —定时，曲线的位置由〃确定，曲线随着〃的变化而沿X轴平移；⑥当〃一定时，曲线的形状由"确定，<7越小，曲线越瘦高”,表示总体的分布越集中；"越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(2)止态分布的三个常用数据®P(ju - o<XWp+C = 0.682 6 ；- 2o<XWy+2(J)=0.954_4 ；③一3/VXW”+3小=0.997_4・学情自测■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■▼1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“丿”，错误的打“X”)(1)若事件B相互独立，则P(B\A)=P(B).( )(2)P(AB)表示事件〃同吋发生的概率，一定有P(AB)=P(A) P(B).( )(3)在正态分布函数(p“,(x)=诒蔚—中，“是正态分布的期望值，o是正态分布的标准差.( )(4)二项分布是一个用公式P(X=k) = cM(\_P)"匚A:=0丄2, •••, n表示的概率分布列，它表示了刃次独立重复试验中事件力发生的次数的概率分布.() ［答案］(1)V (2)X (3)V (4) V2.(教材改编)小王通过英语听力测试的概率是*,他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是()A ［所求概率P=C〉(*)・(1 一孑T=£・］3.已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同.甲每次从屮任取一个不放回，在他第一次拿到口球的条件下，第二次拿到红球的概率为()B [设“第一次拿到白球”为事件“第二次拿到红球”为事件乩依题鼻 2 1 2X3 1意P(/,fi)=T0X9=15故W)=^=l-]4.(2015-全国卷I )投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试•已知某同学每次投篮投屮的概率为0.6,且各次投篮是否投屮相互独立，则该同学通过测试的概率为()A. 0.648B.0.432C.0.36D.0.312A [3次投篮投中2次的概率为P(Z:=2) = C3X0.62X(1-0.6),投中3次的概率为P(k=3)=0.6\所以通过测试的概率为尸伙=2)+卩伙=3) = &XO.62X(1 —0.6) + 0.63 = 0.64&故选A.]5.(2017-郑州调研)己知随机变量 <服从正态分布N(2,圧)，且P(c<4) = 0.8,则P(0<<f<4)= ________ .0. 6 [由P@V4)=0.8,得P(&4)=02又正态曲线关于x=2对称.则P@W0)=P(&4)=0・2,・・・P(0 VfV4)= 1 一P(dWO)—P(&4)=0.6.]条件概率⑴从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和事件川“取到的2个数均为偶数”，则P(B\A)=( )【导学号：01772416]B4C*5(2)如图10-8-1, EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内” ,B表示事件“豆子落在扇形(阴影部分)内”，则P(B\A)= _____________ .图10・8・1(1) B (2)| [⑴法一：事件力包括的基本事件：(1,3), (1,5), (3,5), (2,4),即〃⑷=4,事件发生的结果只有(2,4)—种情形，即n(AB)=l.故由古典概型概率4団力)=警箫=£、+ _ &+& 4 C2 1法_：巴)= & =帀P(M)=&=币(2)由题意可得，事件/发生的概率明考向•题型突破| 方谴»例为偶数”，由条件概率计算公式，得P(B|/) =P(AB)12=丄HP(A) =S E方羽EFGH 2 7 1事件AB 表示“豆子落在△EOH 内”,丄P AB 2TI 1 故 P(B|/)= ―=~2=4^兀［规律方法］条件概率的求法P(Ag\(1) 定义法：先求POD 和P(4B),再由P(B ⑷=喰石2求⑷・(2) 基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件力包含的基本事件数腻力),再求事件AB 所包含的基本事件数n(AB),得卩&⑷二賭1［变式训练1］ 1号箱中有2个H 球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个 红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球， 则两次都取到红球的概率是()A-27 C,27D*24C ［设从1号箱取到红球为事件从2号箱取到红球为事件 4 ? 3+14由题意，卩⑷=2+4=亍，⑷=8+ ［ =§, 2 4 8所以 P(AB)=P(B\AyP(A)=^Xg=^fQ所以两次都取到红球的概率为厉.］(2017-南宁质检)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成2 3功的概率分别为彳和寺现安排甲组研发新产品昇，乙组研发新产品3,设甲、乙两 组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品/研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成 功，—X1则P ⑷尸鹭=云？丄 2兀B24预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列.【导学号：01772417］［解］记E=｛甲组研发新产品成功｝, F=｛乙组研发新产品成功｝・由题设知2 —— 13 — 2 一—一P(E)=q, P( E )=亍，P(F)=W，P( F )=p 且事件E 与F, E 与F, E 与F, E 与7都相互独立.2分⑴记H=｛至少有一种新产品研发成功｝，则H=E F,于是P(H)=P(E)P(F)2 13故所求的概率为P(H)= 1 ~P(H)= 1 -^=7^5分(2)设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0,100,120,220.因为P(X=1 2 20)=P(EF)=§X产氐P(X=100)=P(£F)=|x|=|,_ 2 2 4P(X= l20)=P(EF)=^X-=—f2 3 2P(X= 220)=P(EF)= 3 X 5 = 5 • 8 分故所求X的分布列为12分［规律方法］1•求解该类问题关键是正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算.2.求相互独立事件同时发生的概率的主要方法.(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面计算较繁(如求用“至少”表达的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.［变式训练2］在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由 现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手，各位观众须彼此独立地在选票上选3 名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5 号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选 3名歌手.(1) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2) X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X22”的事件概 率.［解］(1)设力表示事件“观众甲选中3号歌手” ,B 表示事件“观众乙选中 3号歌手”,则P ⑷专=|，砂=总=|.2分・・•事件力与B 相互独立，力与B 相互独立，则表示事件“甲选中3号歌 手，且乙没选中3号歌手”・— — 2 2 4 :.P(AB)=P(A) P(B)=P(Ay ［\-P(B)］=^X-=—5 分 (2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”,则 P(C)=|j=|.7 分依题意，A, B, C 相互独立，A , B , C 相互独立,S L ABC, ABC, ABC, /BC 彼此互斥.232223133又 P(X=2) = P(AB C) + P(A B C) + P( A亍XgX§+亍XgXg2 3 3 18P(X= 3)=P(ABC)=亍 X - X 亦.33 18 17・・・尸3上2)=戶3=2)+尸(无=3)=亦+亦=石.12分卜例田(2017-北京东城区质检)在2016〜2017赛季CBA 联赛中，某队甲、3310分乙两名球员在前10场比赛中投篮命中情况统计如下表(注：表中分数希，N表示投篮次数，川表示命中次数)，假设各场比赛相互独立.根据统计表的信息：(1)从上述比赛中等可能随机选择一场，求甲球员在该场比赛中投篮命中率大于0.5的概率；(2)试估计甲、乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过0.5的概率；(3)在接下来的3场比赛中，用X表示这3场比赛中乙球员命中率超过0.5 的场次，试写出X的分布列，并求X的数学期望.【导学号：01772418］［解］(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，甲球员投篮命中率超过0.5 的场次有5场，分别是4,5,6,7,10,所以在随机选择的一场比赛中，甲球员的投篮命中率超过0.5的概率是*.4分⑵在10场比赛中，乙球员投篮命中率超过0.5的场次有4场，分别是3,6,8,10,2所以在随机选择的一场比赛中，乙球员的投篮命中率超过0.5的概率是了6分设在一场比赛中，甲、乙两名运动员恰有一人命中率超过0.5为事件甲队员命中率超过0.5且乙队员命中率不超过0.5为事件耳，乙队员命中率超过0.5 且甲队员命中率不超过0.5为事件13 12 1则/>(^)=P(5I)+/>(52)=2X5_*"2X5=2,8分(2、(3)X的可能取值为0,1,2,3,依题意X〜孔3, T|.P0=1尸邂］悄2=袪； P0=2)=C*訓|)=趕； P (x=3) = d(|)=隹，10 分 X 的分布列如下表：E(y¥)=耳?=3 Xg=§. 12 分［规律方法］1•求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事 件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件，还是能转化为几个相互独立事件同时 发生的积事件，然后用概率公式求解.2. (1)注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有 发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同.(2)牢记公式几(Q=C0(l —p)i,殳=0丄2,…，巾，并深刻理解其含义.［变式训练3］某架飞机载有5位空降兵依次空降到B, C 三个地点，每 位空降兵都要空降到B, C 中的任意一个地点，且空降到每一个地点的概率 都是用d 表示地点C 空降人数，求：⑴地点力空降1人，地点C 各空降2人的概率；(2)随机变量£的分布列与数学期望.［解］(1)设“地点/空降1人，地点3, C 各空降2人”为事件M,易知基 本事件的总数^ = 35= 243个，事件M 发生包含的基本事件M=C!C ； = 30个.故所求事件M 的概率側)=律=話=晋.5分(2)依题意，5位空降兵空降到地点C 相当于5次独立重复试验.・鸞〜彳5,且 < 的取值可能为0,1,2,3,4,5.则陀=Q =C £)( 1_捫*.P(X=0)=C^ 2)。
高考数学一轮复习方案 第10单元第63讲 二项分布及其应用课件 理 新人教A版
第6３讲
二项分布及其应用
第63讲 │ 知识梳理 知识梳理
1．条件概率的定义与性质 (1)定义 一般地，设A、B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝
PAB PA ________ 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，一
般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率． (2)性质 条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间 0≤P(B|A)≤1 ，即_________________ ． P(B|A)＋P(C|A) . 如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝________________
第63讲 │ 要点探究
[思路 ] 三位同学是否中奖是相互独立的，使用 P(AB)＝ P(A)P(B)进行计 算．本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等概率计算，考查运用所学知识 与方法解决实际问题的能力． [解答] (1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为 A、B、C， 1 那么 P(A)＝P(B)＝P(C)＝ . 6 53 125 P( A · B· C )＝P( A )P( B )P( C )＝6 ＝ . 216 125 答：三位同学都没有中奖的概率是 . 216 (2)1－P( A · B· C＋A· B· C＋A· B· C ＋A· B· C) 12 5 13 25 ＝1－3×6 × －6 ＝ ， 6 27 25 或 P( A · B· C ＋A· B· C＋A· B· C＋A· B· C)＝ . 27 25 答：三位同学中至少有两位没有中奖的概率为 . 27
第63讲 │ 要点探究
[点评] 在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多 有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生” 等词语的意义．已知两个事件 A、B，它们的概率分别为 P(A)、P(B)， 则 A、B 中至少有一个发生的事件为 A∪B；A、B 都发生的事件为 AB； A、B 都不发生的事件为 A B ；A、B 恰有一个发生的事件为 A B ∪ A B； A 、 B 至多有一个发生的事件为 AB ∪ A B ∪ A B .对于求“至少”“至 多”有关的事件时，常常先求其对立事件的概率 . 有时也可以从对立事 件入手求解．
高考数学一轮复习12-5二项分布与正态分布课时作业新人教A版
0<p<1，∴ p＝35.
答案
3 5
7．有一批种子的发芽率为 0.9，出芽后的幼苗成活率为 0.8，在这批种子中，随机抽取一粒， 则这粒种子能成长为幼苗的概率为 ________．
解析 设种子发芽为事件 A ，种子成长为幼苗为事件 B( 发芽又成活为幼苗 )．
依题意 P(B|A) ＝ 0.8，P(A) ＝ 0.9.
P(－A ·－B ·
－C
)
＝
－ P( A
)
·P(－B )
·P(－C
)＝
[1 －
P(A)]
[·1 －
1
P(B)]
[·1－ P(C)] ＝
1 1－ 2
×
1 1－ 3
×
1 1－4
＝
1 4.∴击中的概率
P＝
1－
－ P( A
·
－B
·－C
)
3 ＝4.
答案 A
5． (2015 ·天津南开调研 )一袋中有 5 个白球， 3 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个 记下颜色后放回，直到红球出现 10 次时停止，设停止时共取了 X 次球，则 P(X ＝12)等于
∴该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率
2
P＝
12×12＋12×12＋
11 2×2
×
12＝
3 8.
答案 3 8
三、解答题
9．某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有 “奖励一瓶 ”或 “谢谢购买 ”字样，购买一瓶若其瓶盖内
印有 “奖励一瓶 ”字样即为中奖，中奖概率为
1 6.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．
等于
()
A ． 0.20 C． 0.70 解析 因为该正态密度曲线的对称轴方程为 ∴P(X>3) ＝P(X<1) ＝ 0.3，
高考数学一轮复习课时检测 第十章 第八节 二项分布及其应用 理
一、选择题1．(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.34B.23C.35D.12解析：问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P 1＝12；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝34.答案：A2．位于直角坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为13，向右移动的概率为23，则质点P 移动五次后位于点(1,0)的概率是( )A.4243 B.8243 C.40243D.80243解析：依题意得，质点P 移动五次后位于点(1,0)，则这五次移动中必有某两次向左移动，另三次向右移动，因此所求的概率等于C 25·(13)2·(23)3＝80243.答案：D3．(2011·辽宁高考)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18 B.14 C.25D.12解析：P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410，P (AB )＝C 22C 25＝110.由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P ABP A ＝110410＝14.答案：B4．设随机变量ξ～B (2，p )，η～B (4，p )，若P (ξ≥1)＝59，则P (η≥2)的值为( )A.3281B.1127C.6581D.1681解析：因为随机变量ξ～B (2，p )，η～B (4，p )，又P (ξ≥1)＝1－P (ξ＝0)＝1－(1－p )2＝59，解得p ＝13，所以η～B (4，13)，则P (η≥2)＝1－P (η＝0)－P (η＝1)＝1－(1－13)4－C 14(1－13)3(13)＝1127. 答案：B5．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去北京旅游的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )A.5960B.35C.12D.160解析：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13，14，15.因此，他们不去北京旅游的概率分别为23，34，45，所以，至少有1人去北京旅游的概率为P ＝1－23×34×45＝35.答案：B6．(2012·广州模拟)箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是( )A.16625B.96625C.624625D.4625解析：依题意得某人能够获奖的概率为1＋5C 26＝25(注：当摸的两个球中有标号为4的球时，此时两球的号码之积是4的倍数，有5种情况；当摸的两个球中有标号均不是4的球时，此时要使两球的号码之积是4的倍数，只有1种情况)，因此所求概率等于C 34·(25)3·(1－25)＝96625.答案：B 二、填空题7．某篮球运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率为________(用数值作答)．解析：P ＝C 310(12)3(1－12)7＝15128.答案：151288．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为________．解析：设事件A ：甲实习生加工的零件为一等品；事件B ：乙实习生加工的零件为一等品，则P (A )＝23，P (B )＝34，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为：P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝23×(1－34)＋(1－23)×34＝512.答案：5129．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件．解析：由题意知P (B )的值是由A 1，A 2，A 3中某一个事件发生所决定的，故①③错误； ∵P (B |A 1)＝P A 1BP A 1＝12×51112＝511，故②正确；由互斥事件的定义知④正确，故正确结论的编号是②④. 答案：②④三、解答题10．某种植企业同时培育甲、乙两个品种的杉树幼苗，甲品种杉树幼苗培育成功则每株获利润80元，培育失败，则每株亏损20元；乙品种杉树幼苗培育成功则每株获利润150元，培育失败，则每株亏损50元．统计数据表明：甲品种杉树幼苗培育成功率为90%，乙品种杉树幼苗培育成功率为80%.假设每株幼苗是否培育成功相互独立．(1)求培育3株甲品种杉树幼苗成功2株的概率；(2)记X 为培育1株甲品种杉树幼苗与1株乙品种杉树幼苗可获得的总利润，求X 的分布列．解：(1)P ＝C 23×0.92×(1－0.9)＝0.243. (2)ξ的可能取值为230,130,30，－70.ξ的分布列为即：11．(2012·皖南八校联考)一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片．(1)从盒中依次抽取两次卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，求两次取到的卡片的数字既不全是奇数，也不全是偶数的概率；(2)若从盒子中有放回的抽取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到卡片的数字为偶数的概率；(3)从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当抽到记有奇数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X 的分布列和期望．解：(1)因为1,3,5是奇数，2,4是偶数，设事件A 为“两次取到的卡片的数字既不全是奇数，也不全是偶数” P(A )＝C 13·C 12C 25＝35或P (A )＝1－C 23＋C 22C 25＝35.(2)设B 表示事件“有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到的卡片上数字为偶数”，由已知，每次取到的卡片上数字为偶数的概率为25，则P (B )＝C 23·(25)2·(1－25)＝36125.(3)依题意，X 的可能取值为1,2,3. P(X ＝1)＝35，P(X ＝2)＝2×35×4＝310，P(X ＝3)＝2×1×35×4×3＝110，所以X 的分布列为E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.12．(2011·山东高考改编)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列．解：(1)设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则D －，E －，F －分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5， 由对立事件的概率公式知P (D －)＝0.4，P (E －)＝0.5，P (F －)＝0.5.红队至少两人获胜的事件有：DEF －，DE －F ，D －EF ，DEF . 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立， 因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (DE －F )＋P (D －EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55. (2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知D －E －F 、D －EF －、DE －F －是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此P (ξ＝0)＝P (D －E －F －)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P (ξ＝1)＝P (D －E －F )＋P (D －EF －)＋P (DE －F －)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，P (ξ＝3)＝P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＝0.15.由对立事件的概率公式得P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝0.4.所以ξ的分布列为。
高考数学一轮复习 第十章 概率与统计 第3课时二项分布及其应用课时作业 理 新人教版
第3课时二项分布及其应用考纲索引1.条件概率.2.事件的相互独立性.3.独立重复试验与二项分布.课标要求1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题.知识梳理1.条件概率一般地,设A,B为两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)= 为在事件A发生的条件下事件B 发生的条件概率.如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)= .2.事件的相互独立性设A,B为两个事件,如果P(AB)= ,称事件A与事件B相互独立.如果事件A与事件B 相互独立,则A与,与B,与也都相互独立.3.独立重复试验与二项分布一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)= ,k=0,1,2,…,n.此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率.n次独立重复试验中事件A恰好发生k次可看成是个互斥事件的和,其中每一个事件都可看成是k个A事件与n-k个事件同时发生,只是发生的次序不同,其发生的概率都是.因此n次独立重复实验中事件A恰好发生k次的概率为. 基础自测指点迷津P(B|A)与P(AB)的区别P(B|A)的值是P(AB)发生相对于事件A发生的概率的大小,而P(AB)是AB发生相对于原来的全体基本事件而言,一般P(B|A)≠P(AB).考点透析考向一条件概率例1从1,2,3,4,5中任取两个不同的数,事件A=“取到2个数的和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)等于().变式训练1.在100件产品中有95件合格品,5件不合格品.现从中不放回地取两次,每次任取一件,则在第一次取到不合格后,第二次再次取到不合格品的概率为.考向二相互独立事件的概率例2甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为与p,且乙投球2次均末命中的概率为.(1)求乙投球的命中率p;(2)求甲投球2次,至少命中1次概率;(3)若甲、乙两人各投球2次,求共命中2次的概率.【审题视点】注意相互独立事件之间的概率互不影响.【方法总结】1.当从意义上不易判定两件事是否相互独立时,可运用公式P(AB)=P(A)P(B)计算判定.求相互独立事件同时发生的概率时,要搞清楚事件是否相互独立.若能把复杂事件分解为若干简单事件,同时注意运用对立事件可把问题简化.2.由两个事件相互独立的定义,可推广到三个成三个以上相互独立事件的概率计算公式,即若A1,A2,…,A n,相互独立,则P(A1A2…A n)=P(A1)P(A2)…P(A n).3.在解题过程中,要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.若能把相关事件正确地表示出来,同时注意使用逆向思考方法,常常能使问题的解答变得简便.变式训练2. (2013·陕西)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此1至5号中随机选3名歌手.(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列及数学期望.考向三二项分布例3某小学三年级英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词,每周星期五对一周内所学单词随机抽取若干个进行检测(一周所学的单词每个被抽到的可能性相同).(1)英语老师随机抽了4个单词进行检测,求至少有3个是后两天学习过的单词概率;(2)某学生对后两天学过的单词每个能默写对的概率为,对前两天所学过的单词每个能默写对的概率为;若老师从后三天所学单词中各抽取了一个进行检测,求该学生能默写对的单词数ξ的分布列.【审题视点】本题运用二项分布的知识解题.【方法总结】1.独立重复试验是相互独立事件的特例,注意二者的区别.独立重复试验必须具备如下的条件:(1)每次试验的条件完全相同,有关事件的概率不变;(2)各次试验结果互不影响,即每次试验相互独立;(3)每次试验只有两种结果,这两种可能结果的发生是对立的. 2.判断某随机变量是否服从二项分布,主要看以下两点:(1)在每次试验中,试验的结果只有两个,即发生与不发生;(2)在每一次试验中,事件发生的概率相同.若满足,则在n次独立重复试验中就可把事件发生的次数作为随机变量,此时该随机变量服从二项分布.写二项分布时,首先确定X的取值,直接用公式P(X=k)计算概率即可.变式训练经典考题典例(2014·四川)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列.(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比.分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.【解题指南】本题考查了二项分布、随机变量的分布列以及数学期望;独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此),就像对立事件是互斥事件的特例一样,只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单,就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样.【解析】(1)X可能的取值为10,20,100,-200.根据题意,有真题体验1.(2014·广东)随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位:件),获得数据如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下:分组频数频率[25,30] 3 0.12(30,35] 5 0.20(35,40] 8 0.32(40,45] n1f1(45,50] n2f2(1)确定样本频率分布表中n1,n2,f1和f2的值;(2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图;(3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率.2. (2014·湖北)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上,其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:年入流量X40<X<80 80≤X≤120 X>120发电机最多1 2 3可运行台数若某台发电机运行,则该台年利润为5000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?参考答案与解析基础自测考点透析变式训练经典考题真题体验。
高考数学一轮复习 108二项分布及其应用课件 理 新人教
也是不合格品”，则P(A)＝
C41C61＋C24 C120
＝
2 3
，P(AB)＝
C42 C120
＝
2 15
，∴
P(B|A)＝PPAAB＝0.2.
答案 A
4．在4次独立重复试验中事件A出现的概率相同，若事件A至
少发生一次的概率为
65 81
，则事件A在1次试验中出现的概率为
__________．
听 课 记 录 记A表示“第二次摸到红球”，B表示“第一次 摸到红球”，则A|B表示“第一次摸到红球，第二次又摸到红 球”．
方法1：直接利用A|B的含义求解． 由题意，事件B发生后，袋中还有9个球，其中5个红球，4个 白球，则A发生的概率为59，即P(A|B)＝59.
方法2：用公式求解．
P(B)＝
变式思考 1 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取
到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，
则P(B|A)等于( )
1
1
A.8
B.4
2
1
C.5
D.2
解析
P(A)＝C32＋ C25C22＝
4 10
＝25，P(A∩B)＝CC5222
＝
110，由条件概
1 率计算公式，得P(B|A)＝PPA∩AB＝140＝14.
一次的概率为8801，则此射手的命中率为( )
1
2
A.3
B.3
1
2
C.4
D.5
解析 设此射手射击目标命中的概率为P， 由已知1－(1－P)4＝8801，解得P＝23.
答案 B
2．小王通过英语听力测试的概率是
1 3
，他连续测试3次，那
高考一轮总复习数学 第10章 第8讲 n次独立重复试验与二项分布
第8讲 n次独立重复试验与二项分布
1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念. 2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布. 3.能解决一些简单的实际问题.
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点 1 条件概率及其性质
条件概率的定义
条件概率的性质
一般地，设 称 P(B|A)＝
(2)[2015·湖南模拟]如图，EFGH 是以 O 为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到 该圆内，用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形 OHE(阴影部分)内”， 则
2 ①P(A)＝____π____；
1 ②P(B|A)＝___4_____.
解析 该题为几何概型，圆的半径为 1，正方形的边长为 2，∴圆的面积为 π，正方形面积为 2，扇形
面积为π4. 21
故 P(A)＝2π，P(B)＝14，P(B|A)＝PPAAB＝π2·4＝41. π
考向 相互独立事件的概率 例 2 [2015·福建高考]某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误，该银行卡将被锁 定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试， 直至该银行卡被锁定． (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率； (2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为 X，求 X 的分布列和数学期望． [解] (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为 A，则 P(A)＝65×54×43＝21. (2)依题意得，X 所有可能的取值是 1,2,3. 又 P(X＝1)＝16，P(X＝2)＝65×51＝61，P(X＝3)＝56×45×1＝23.
最新-高考理科数学(人教版)一轮复习练习：第十篇第7节二项分布与正态分布(1)-word版
最新-高考理科数学（人教版）一轮复习练习：第十篇第7节二项分布与正态分布(1)-word版【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( B )(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.27%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.45%)(A)4.56% (B)13.59%(C)27.18% (D)31.74%解析:P(-3<ξ<3)=68.27%,P(-6<ξ<6)=95.45%,则P(3<ξ<6)=×(95.45%-68.27%)=13.59%.2.一台机床有的时间加工零件A,其余时间加工零件B,加工零件A时,停机的概率为,加工零件B时,停机的概率是,则这台机床停机的概率为( A )(A) (B) (C) (D)解析:加工零件A停机的概率是×=,加工零件B停机的概率是(1-)×=,所以这台机床停机的概率是+=.故选A.3.(2017·梅州市一模)箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球,从箱中一次摸出两个球,记下号码并放回,如果两球号码之积是4的倍数,则获奖,现有4人参与摸奖,恰好有3人获奖的概率是( B )(A) (B)(C) (D)解析:从6个球中摸出2个,共有=15种结果,两个球的号码之积是4的倍数,有(1,4),(2,4),(3,4),(2,6)(4,5),(4,6),共6种结果,所以摸一次中奖的概率是=,所以有4人参与摸奖,恰好有3人获奖的概率是×()3×=.故选B.4.(2017·岳阳市质检)排球比赛的规则是5局3胜制(无平局),甲队在每局比赛获胜的概率都相等为,前2局中乙队以2∶0领先,则最后乙队获胜的概率是( C )(A) (B) (C) (D)。
最新人教版A版高三数学(理)高考一轮复习9.8 n次独立重复试验与二项分布教学设计及答案
第八节 n 次独立重复试验与二项分布条件概率、相互独立事件及二项分布了解条件概率和两个事件相互独立的概念，解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．知识点一 条件概率P (B |A )＝P (B )．(2)P (B |A )与P (A |B )易混淆为等同．前者是在A 发生的条件下B 发生的概率，后者是在B 发生的条件下A 发生的概率．[自测练习]1．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________．解析：设事件A 为“第一次取到不合格品”，事件B 为“第二次取到不合格品”，则P(AB)＝C25C2100，所以P(B|A)＝P ABP A＝5×4100×995100＝499.答案：4 99知识点二事件的相互独立性1．定义设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．2．性质(1)若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．(2)如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也相互独立．易误提醒易混“相互独立”和“事件互斥”：两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥．[自测练习]2．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立．则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．解析：依题意，该选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题回答正误均有可能．由相互独立事件概率乘法，所求概率P＝1×0.2×0.82＝0.128.答案：0.128知识点三独立重复试验与二项分布由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即n ＝1时的二项分布．[自测练习]3．小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( )A.49 B.29 C.427D.227解析：所求概率P ＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133－1＝49.答案：A4．某一批棉花种子，如果每一粒发芽的概率为45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是( )A.12125B.16125C.48125D.96125解析：用X 表示发芽的粒，独立重复试验服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，45，P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫151＝48125. 答案：C考点一 条件概率|1．(2015·丽江高三检测)把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现反面”为事件B ，则P (B |A )等于( )A.12 B.14 C.16D.18解析：由古典概型知P (A )＝12，P (AB )＝14，则由条件概率知P (B |A )＝P ABP A ＝1412＝12. 答案：A2.如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝________.解：由题意可得，事件A 发生的概率P (A )＝S 正方形EFGH S 圆O ＝2×2π×12＝2π. 事件AB 表示“豆子落在△EOH 内”， 则P (AB )＝S △EOH S 圆O ＝12×12π×12＝12π. 故P (B |A )＝P AB P A ＝12π2π＝14.答案：14条件概率的求法(1)定义法：先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝P ABP A ，求P (B |A )．(2)基本事件法：借古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件n (A )，再求事件AB 所包含的基本事件n (AB )，得P (B |A )＝n ABn A.考点二 相互独立事件概率|(2015·洛阳模拟)某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有1,2,3三个问题，每位参赛者按问题1,2,3的顺序作答，竞赛规则如下：①每位参赛者计分器的初始分均为10分，答对问题1,2,3分别加1分，2分，3分，答错任一题减2分；②每回答一题，积分器显示累计分，当累计分小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分大于或等于12分时，答题结束，进入下一轮；当答完三题，累计分仍不足12分时，答题结束，淘汰出局．已知甲同学回答1,2,3三个问题正确的概率依次为34，12，13，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求甲同学能进入下一轮的概率；(2)用X 表示甲同学本轮答题结束时的累计分，求X 的分布列．[解] (1)设事件A 表示“甲同学问题1回答正确”，事件B 表示“甲同学问题2回答正确”，事件C 表示“甲同学问题3回答正确”，依题意P (A )＝34，P (B )＝12，P (C )＝13.记“甲同学能进入下一轮”为事件D ，则P (D )＝P (A B C ＋AB ＋A BC ) ＝P (A B C )＋P (AB )＋P (A BC )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )＋P (A )P (B )P (C )＝34×12×13＋34×12＋14×12×13＝1324. (2)X 可能的取值是6,7,8,12,13.P (X ＝6)＝P (A －B －)＝14×12＝18， P (X ＝7)＝P (A B －C －)＝34×12×23＝14， P (X ＝8)＝P (A －B C －)＝14×12×23＝112， P (X ＝12)＝P (A B －C )＝34×12×13＝18，P (X ＝13)＝P (AB ＋A －BC )＝P (AB )＋P (A －BC )＝34×12＋14×12×13＝512.∴X 的分布列为X 6 7 8 12 13 P181411218512求解相互独立条件概率问题的三个注意点(1)正确分析所求事件的构成，将其转为几个彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算．(2)注意根据问题情境正确判断事件的独立性．(3)在应用相互独立事件的概率公式时，对含有“至多有一个发生”“至少有一个发生”的情况，可结合对立事件的概率求解．1.如图所示的电路有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是12，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为________．解析：设“a 闭合”为事件A ，“b 闭合”为事件B ，“c 闭合”为事件C ，则甲灯亮应为事件A B C ，且A ，B ，C 之间彼此独立，且P (A )＝P (B )＝P (C )＝12，由独立事件概率公式知P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝18. 答案：18考点三 独立重复试验与二项分布|(2015·江苏西亭中学模拟)某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小点后第2位)．(1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．[解] 令X 表示5次预报中预报准确的次，则X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫5，45，故其分布列为P (X ＝k )＝C k5⎝ ⎛⎭⎪⎫45k ⎝⎛⎭⎪⎫1－455－k (k ＝0,1,2,3,4,5)． (1)“5次预报中恰有2次准确”的概率为P (X ＝2)＝C 25×⎝ ⎛⎭⎪⎫452×⎝⎛⎭⎪⎫1－453＝10×1625×1125≈0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为P (X ≥2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)＝1－C 05×⎝ ⎛⎭⎪⎫450×⎝⎛⎭⎪⎫1－455－C 15×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－454＝1－0.000 32－0.006 4≈0.99.(3)“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为C 14×45×⎝⎛⎭⎪⎫1－453×45≈0.02.利用独立重复试验概率公式可以简求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P n(k)＝C k n p k(1－p)n－k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率．2．挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要过五关：目测、初检、复检、文考(文考试)、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学能通过复检关的概率分别是0.5,0.6,0.75，能通过文考关的概率分别是0.6,0.5,0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响．(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率；(2)设只要通过后三关就可以被录取，求录取人ξ的期望．解：(1)设A，B，C分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，则所求概率P ＝P(A B C)＋P(A B C)＋P(A B C)＝0.5×(1－0.6)×(1－0.75)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.75)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.75＝0.275.(2)甲被录取的概率为P甲＝0.5×0.6＝0.3，同P乙＝0.6×0.5＝0.3，P丙＝0.75×0.4＝0.3.∴甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为0.3，故可看成是独立重复试验，即ξ～B(3,0.3)，∴E(ξ)＝3×0.3＝0.9.24.混淆相互独立事件与独立重复试验致误【典例】(2015·高考湖南卷)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖：若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次为X，求X的分布列和学期望．[解] (1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意，A 1与A 2相互独立，A 1A 2与A 1A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A 2＋A 1A 2，C ＝B 1＋B 2.因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12，所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝15，P (B 2)＝P (A 1A 2＋A 1A 2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2)＝P (A 1)(1－P (A 2))＋(1－P (A 1))P (A 2)＝25×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×12＝12.故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，15.于是P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫150⎝ ⎛⎭⎪⎫453＝64125， P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫151⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝48125，P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫152⎝ ⎛⎭⎪⎫451＝12125，P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫153⎝ ⎛⎭⎪⎫450＝1125. 故X 的分布列为X 的学期望为E (X )＝3×15＝35.[易误点评] (1)本题中所给出的事件较多，在求解第(1)问时注意事件分析与表示．尤其是顾客抽奖1次获二等奖易表示错．(2)对于第(2)问中事件易与相互独立事件混淆其实为三次独立重复试验． [防范措施] (1)正确解相互独立事件与n 次独立重复试验的定义及区别．(2)审题时要学会分析事件，并准确记事件与表示事件．[跟踪练习] (2015·高考全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.312解析：由题意得所求概率P ＝C 23×0.62×(1－0.6)＋C 33×0.63＝0.648.答案：AA 组 考点能力演练1．打靶时甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次，可中靶7次．若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是( )A.35 B.34 C.1225D.1425解析：甲中靶的概率为45，乙中靶的概率为710，两人打靶相互独立，同时中靶的概率为45×710＝1425.答案：D2．若某人每次射击击中目标的概率均为35，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为( )A.81125B.54125C.36125D.27125解析：本题考查概率的知识．至少有两次击中目标包含仅有两次击中，其概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35；或三次都击中，其概率为C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫353，根据互斥事件的概率公式可得，所求概率为P ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝81125，故选A. 答案：A3．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( )A.310B.29C.78D.79解析：设事件A 为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B 为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P (A )＝310，P (AB )＝310×79＝730. 则所求概率为P (B |A )＝P AB P A ＝730310＝79.答案：D4．设随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫6，12，则P (X ＝3)等于( ) A.516 B.316 C.58D.38解析：∵X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫6，12，∴P (X ＝3)＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝516. 答案：A5．(2016·广州模拟)甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( )A ．0.12B ．0.42C ．0.46D ．0.88解析：因为甲、乙两人是否被录取相互独立， 又因为所求事件的对立事件为“两人均未被录取”， 由对立事件和相互独立事件概率公式知，P ＝1－(1－0.6)(1－0.7)＝1－0.12＝0.88. 答案：D6．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是________．解析：由题意知，两个人都不去此地的概率是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＝35，∴至少有一个人去此地的概率是1－35＝25.答案：257．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率为13，用ξ表示5位乘客在第20层下电梯的人，则P (ξ＝4)＝________.解析：考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，即有P (ξ＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k，k ＝0,1,2,3,4,5.故P (ξ＝4)＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫134×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝10243.答案：102438．高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是________．解析：设“甲、乙二人相邻”为事件A ，“甲、丙二人相邻”为事件B ，则所求概率为P (B |A )，由于P (B |A )＝P ABP A，而P (A )＝2A 44A 55＝25.答案：259．如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.(1)求p ；(2)求电流能在M 与N 之间通过的概率．解：记A i 表示事件“电流能通过T i ”，i ＝1,2,3,4，A 表示事件“T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流”，B 表示事件“电流能在M 与N 之间通过”． (1)A ＝A 1A 2A 3，A 1，A 2，A 3相互独立，P (A )＝P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝(1－p )3， 又P (A )＝1－P (A )＝1－0.999＝0.001， 故(1－p )3＝0.001，解得p ＝0.9. (2)B ＝A 4∪(A 4A 1A 3)∪(A 4A 1A 2A 3)，P (B )＝P (A 4)＋P (A 4A 1A 3)＋P (A 4 A 1A 2A 3)＝P (A 4)＋P (A 4)P (A 1)P (A 3)＋P (A 4)P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9＝0.989 1.10．(2016·石家庄模拟)某市的教育研究机构对全市高三学生进行综合素质测试，随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图．(1)估计全市学生综合素质成绩的平均值；(2)若评定成绩不低于80分为优秀，视频率为概率，从全市学生中任选3名学生(看作有放回的抽样)，变量ξ表示3名学生中成绩优秀的人，求变量ξ的分布列及期望E (ξ)．解：(1)依题意可知55×0.12＋65×0.18＋75×0.40＋85×0.22＋95×0.08＝74.6， 所以综合素质成绩的平均值为74.6.(2)由频率分布直方图知优秀率为10×(0.008＋0.022)＝0.3， 由题意知，ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，310，P (ξ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫310k ⎝ ⎛⎭⎪⎫7103－k， 故其分布列为E (ξ)＝3×10＝10.B 组 高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(1)设X(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率．解：(1)设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，∵利润＝产量×市场价格－成本，∴X所有可能的取值为500×10－1 000＝4 000,500×6－1 000＝2 000，300×10－1 000＝2 000,300×6－1 000＝800.P(X＝4 000)＝P(A)P(B)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P(X＝2 000)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，所以X的分布列为(2)设C i i＝1,2,3)，由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，P(Ci)＝P(X＝4 000)＋P(X＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1，2,3)，3季的利润均不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512；3季中有2季利润不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＝3×0.82×0.2＝0.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512＋0.384＝0.896.2．(2015·高考北京卷)A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A组：10,11,12,13,14,15,16；B组：12,13,15,16,17,14，a.假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；(2)如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(3)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)解：设事件A i为“甲是A组的第i个人”，事件B i为“乙是B组的第i个人”，i＝1,2， (7)由题意可知P(A i)＝P(B i)＝17，i＝1,2， (7)(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5∪A6∪A7)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝3 7 .(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知，C＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6. 因此P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A7B3)＋P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝10 49 .(3)a＝11或a＝18.。
2019高三数学理北师大版一轮教师用书第10章 第8节 二项分布与正态分布 Word版含解析
第八节二项分布与正态分布[考纲传真](教师用书独具).了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念.理解次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．(对应学生用书第页)[基础知识填充]．条件概率在已知发生的条件下，事件发生的概率叫作发生时发生的条件概率，用符号()来表示，其公式为()＝(()＞)．．相互独立事件()一般地，对两个事件，，如果()＝()()，则称，相互独立．()如果，相互独立，则与，与，与也相互独立．()如果，，…，相互独立，则有(…)＝()()…()．．独立重复试验与二项分布()独立重复试验在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验，其中(＝，…，)是第次试验结果，则(…)＝()()()…()．()二项分布进行次试验，如果满足以下条件：①每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；②每次试验“成功”的概率均为，“失败”的概率均为－；③各次试验是相互独立的．用表示这次试验中成功的次数，则(＝)＝(－)－(＝，…，)若一个随机变量的分布列如上所述，称服从参数为，的二项分布，简记为～(，)．．正态分布()正态曲线的特点：①曲线位于轴上方，与轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线＝μ对称；③曲线在＝μ处达到峰值；④曲线与轴之间的面积为；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．()正态分布的三个常用数据①(μ－σ＜≤μ＋σ)＝；②(μ－σ＜≤μ＋σ)＝；③(μ－σ＜≤μ＋σ)＝.[基本能力自测]．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) ()相互独立事件就是互斥事件．( )()若事件，相互独立，则()＝()．( )()()表示事件，同时发生的概率，一定有()＝()·()．( )()在正态分布的分布密度上，函数：()＝中，σ是正态分布的标准差．( )()二项分布是一个用公式(＝)＝(－)－，＝，…，表示的概率分布列，它表示了次独立重复试验中事件发生的次数的概率分布．( )[答案]()×()√()×()√()√．已知()＝，()＝，则()等于( )．．．．[由()＝()()，得＝()，所以()＝.]．(教材改编)小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试次，那么其中恰有次获得。
高考数学 第十章 第八节 二项分布、正态分布及其应用
【全程复习方略】（广东专用）2014年高考数学第十章第八节二项分布、正态分布及其应用课时作业理新人教A版一、选择题1.(2013·汕头模拟)设随机变量ξ服从正态分布N(3,4),若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),则a的值为( )(A)错误!未找到引用源。
(B)错误!未找到引用源。
(C)5 (D)32.(2013·邯郸模拟)设随机变量X服从正态分布N(0,1),若P(X>1)=p,则P(-1<X<0)=( )(A)p (B)1-2p(C)错误!未找到引用源。
-p (D)p-错误!未找到引用源。
3.10张奖券中有3张是有奖的,某人从中不放回地依次抽两张,则在第一次抽到中奖券的条件下,第二次也抽到中奖券的概率为( )(A)错误!未找到引用源。
(B)错误!未找到引用源。
(C)错误!未找到引用源。
(D)错误!未找到引用源。
4.如图所示,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )(A)错误!未找到引用源。
(B)错误!未找到引用源。
(C)错误!未找到引用源。
(D)错误!未找到引用源。
5.将一枚硬币连掷5次,如果出现k次正面向上的概率等于出现k+1次正面向上的概率,那么k 的值为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)36.设两个独立事件A和B都不发生的概率为错误!未找到引用源。
,A发生B不发生的概率与B 发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)是( )(A)错误!未找到引用源。
(B)错误!未找到引用源。
(C)错误!未找到引用源。
(D)错误!未找到引用源。
二、填空题7.如图,J A,J B两个开关串联再与开关J C并联,在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.5,计算在这段时间内线路正常工作的概率为.8.(2013·潍坊模拟)市场上供应的灯泡中,甲厂产品占70%,乙厂产品占30%,甲厂产品的合格率是95%,乙厂产品的合格率是80%,则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是.9.某省实验中学高三共有学生600人,一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N(100,σ2),统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的错误!未找到引用源。
高考数学一轮复习第10章 第8节 二项分布和正态分布
P2＝P(A·A)P( B ·B )＝614， P3＝P( A ·A )P(B·B)＝694. 所以甲、乙两人各投球 2 次且共命中 2 次的概率为136＋ 614＋694＝3112.
答案：②④
(2)解：①法 1：设“甲投球一次命中”为事件 A，“乙 投球一次命中”为事件 B.
由题意得(1－P(B))2＝(1－p)2＝116， 解得 p＝34或 p＝54(舍去)，所以乙投球的命中率为34. 法 2：设“甲投球一次命中”为事件 A，“乙投球一次 命中”为事件 B.
由题意得 P( B )P( B )＝116， 于是 P( B )＝14或 P( B )＝－14(舍去)， 故 P＝1－P( B )＝34. 所以乙投球的命中率为34.
单击此处编辑母版文本样式 第二级 • 第三级 – 第四级 »第五级
【活学活用】
1．甲射击命中目标的概率为 0.75，乙射击命中目标的
概率为23，当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概
率为( )
1 A.2
B．1
11
5
C.12
D.6
单击此处编辑母版文本样式 第二级 • 第三级 解析：–P第＝»四34第×级五13＋级14×23＋34×23＝1112.
起命题．另外，正态分布密 度曲线的特点及应用也是考 查的热点．
曲线所表示的意义.
2.从考查形式看，三种题型 都可能出现，属中档题.
单击此处编辑母版文本样式
第条二件级概率的定义
条件概率的性质
近年高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布10.8n次独立重复试验与二项分布课后
2019版高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布10.8 n次独立重复试验与二项分布课后作业理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布10.8 n次独立重复试验与二项分布课后作业理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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10。
8 n次独立重复试验与二项分布[重点保分两级优选练］A级一、选择题1．(2018·广西柳州模拟）把一枚硬币任意抛掷三次,事件A＝“至少有一次出现反面”,事件B＝“恰有一次出现正面”，则P(B|A)＝（）A。
错误! B。
错误! C。
错误! D.错误!答案A解析依题意得P(A）＝1－错误!＝错误!，P(AB）＝错误!＝错误!，因此P （B|A)＝错误!＝错误!，故选A。
2．（2018·厦门模拟）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为错误!，则甲以3∶1的比分获胜的概率为（）A。
错误! B.错误! C.错误! D。
错误!答案A解析第四局甲第三次获胜，并且前三局甲获胜两次,所以所求的概率为P＝C错误!错误!2×错误!×错误!＝错误!.故选A。
3．(2017·山西一模)甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜"制,甲在每局比赛中获胜的概率均为错误!，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下,比赛进行了三局的概率为（)A.错误! B。
2024年高考数学(人教B版)一轮复习学案第10章10.7二项分布超几何分布与正态分布
§10.7二项分布、超几何分布与正态分布考试要求 1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.2.借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．知识梳理1．n次独立重复试验与二项分布(1)n次独立重复试验在相同条件下________n次伯努利试验，约定这n次试验是____________的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验．(2)二项分布一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0,1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝__________(k＝0,1,2，…，n)，因此X的分布列如下表所示：X01…k…nP C0n p0q n C1n p1q n－1…C k n p k q n－k…C n n p n q0由于表中的第二行中的概率值恰好是二项展开式(q＋p)n＝C0n p0q n＋C1n p1q n－1＋…＋C k n p k q n－k ＋…＋C n n p n q0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作____________．(3)两点分布与二项分布的均值、方差①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝______，D(X)＝________.②若X～B(n，p)，则E(X)＝________，D(X)＝________.2．超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝__________________，k ＝t，t＋1，t＋2，…，s，其中，n，N，M∈N＋，M≤N，n≤N，t＝max{0，n－N＋M}，s＝min{n，M}，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．3．正态分布(1)定义一般地，如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总是等于φμ，σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a，b]内围成的________，则称X服从参数为μ与σ的____________．(2)正态曲线的特点①曲线是单峰的，它关于直线________对称；②曲线在________处达到峰值1σ2π； ③当|x |无限增大时，曲线无限接近x 轴．(3)3σ原则P (|X －μ|≤σ)＝P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈________，P (|X －μ|≤2σ)＝P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈________，P (|X －μ|≤3σ)＝P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)≈________.(4)正态分布的均值与方差若X ～N (μ，σ2)，则E (X )＝______，D (X )＝________.常用结论1．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．2．超几何分布有时也记为 X ～H (n ，M ，N )，其均值E (X )＝nM N， D (X )＝nM N ⎝⎛⎭⎫1－M N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n －1N －1. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两点分布是二项分布当n ＝1时的特殊情形．( )(2)若X 表示n 次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X 服从二项分布．( )(3)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X 服从超几何分布．( )(4)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”．( )教材改编题1．如果某一批玉米种子中，每粒发芽的概率均为23，那么播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率是( )A.80243B.8081C.163243D.1637292．某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布N (80,102)，则理论上在80分到90分的人数约是( )A ．32B ．16C ．8D ．203．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X 表示取到的次品的个数，则P (X ＝1)＝________.题型一 二项分布例1 (1)(2023·海口模拟)某班50名学生通过直播软件上网课，为了方便师生互动，直播屏幕分为1个大窗口和5个小窗口，大窗口始终显示老师讲课的画面，5个小窗口显示5名不同学生的画面．小窗口每5分钟切换一次，即再次从全班随机选择5名学生的画面显示，且每次切换相互独立．若一节课40分钟，则该班甲同学一节课在直播屏幕上出现的时间的均值是( )A ．10分钟B ．5分钟C ．4分钟D ．2分钟听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________(2)(2022·衡阳模拟)某地政府为鼓励大学生创业，制定了一系列优惠政策．已知创业项目甲成功的概率为23，项目成功后可获得政府奖金20万元；创业项目乙成功的概率为P 0(0<P 0<1)，项目成功后可获得政府奖金30万元．项目没有成功，则没有奖励，每个项目有且只有一次实施机会，两个项目的实施是否成功互不影响，项目成功后当地政府兑现奖励．①大学毕业生张某选择创业项目甲，毕业生李某选择创业项目乙，记他们获得的奖金累计为X (单位：万元)，若X ≤30的概率为79.求P 0的大小； ②若两位大学毕业生都选择创业项目甲或创业项目乙进行创业，问：他们选择何种创业项目，累计得到的奖金的均值更大？________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 二项分布问题的解题关键(1)定型：①在每一次试验中，事件发生的概率相同．②各次试验中的事件是相互独立的．③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．(2)定参：确定二项分布中的两个参数n 和p ，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．跟踪训练1 (1)已知随机变量X ～B (n ，p )，E (X )＝2，D (X )＝23，则P (X ≥2)等于( ) A.2027 B.23 C.1627 D.1327(2)某中学面向全校所有学生开展一项有关每天睡眠时间的问卷调查，调查结果显示，每天睡眠时间少于7小时的学生占40%，而每天睡眠时间不少于8小时的学生只有30%.现从所有问卷中随机抽取4份问卷进行回访(视频率为概率)．①求抽取到的问卷中至少有2份调查结果为睡眠时间不少于7小时的概率；②记抽取到的问卷中调查结果为睡眠时间少于7小时的问卷份数为X，求X的分布列及均值E(X)．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型二超几何分布例22022年12月4日，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，航天员顺利出舱，神舟十四号载人飞行任务圆满完成．为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校高一年级组织2 000名学生进行了航天知识竞赛(满分：100分)并进行记录，根据得分将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，绘制出如图所示的频率分布直方图．(1)用频率估计概率，从该校随机抽取2名同学，求其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率；(2)从得分在[60,90]的学生中利用分层抽样的方法选出8名学生，若从中选出3人参加有关航天知识演讲活动，求选出的3人中竞赛得分不低于70分的人数X的分布列及均值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列．(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型．跟踪训练2为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期，月度滚动使用．第一阶梯：年用电量在2 160度以下(含2 160度)，执行第一档电价0.565 3元/度；第二阶梯：年用电量在2 161度到4 200度内(含4 200度)，超出2 160度的电量执行第二档电价0.615 3元/度；第三阶梯：年用电量在4 200度以上，超出4 200度的电量执行第三档电价0.865 3元/度．某市的电力部门从本市的用户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下：用户12345678910编号年用电1 000 1 260 1 400 1 8242 180 2 423 2 815 3 3254 411 4 600量/度(1)计算表中编号为10的用户该年应交的电费；(2)现要在这10户中任意选取4户，对其用电情况进行进一步分析，求取到第二阶梯的户数的分布列．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型三正态分布例3(1)(多选)(2023·哈尔滨模拟)某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ22)，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是()A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性(2)(2022·合肥模拟)某市高三年级共有14 000人参加教学质量检测，学生的数学成绩ξ近似服从正态分布N(90，σ2)(试卷满分150分)，且P(ξ≥100)＝0.3，据此可以估计，这次检测数学成绩在80到90分之间的学生人数约为()A．2 800 B．4 200C．5 600 D．7 000听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴为x＝μ.(2)标准差为σ.(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.跟踪训练3(1)(2022·新高考全国Ⅱ)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝________.(2)(2022·安庆模拟)某中学开展学生数学素养测评活动，高一年级测评分值X近似服从正态分布，正态曲线如图①所示．为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，该中学决定在分数段[m，n)内抽取学生，并确定m＝67，且P(m≤X≤n)＝0.818 5.在某班用简单随机抽样的方法得到20名学生的分值分布茎叶图如图②所示．若该班抽取学生分数在分数段[m，n)内的人数为k，则k＝________；这k名学生的平均分为________．(附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997)。
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活页作业 二项分布和正态分布
一、选择题
1．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )
A.3
4 B. 2
3 C.3
5
D.12
3．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )
A.1
8 B.1
4 C.2
5
D.12
解析：∵P (A )＝C 22＋C 2
3C 2
5＝410，P (AB )＝C 22
C 25＝110
， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1
4.
答案：B
4．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去北京旅游的概率分别为14，1
5.假定
三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为 ( )
A.59
60 B.3
5 C. 1
2
D.160
解析：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13，14，1
5，因此，他们不去北京旅游的概
率分别为23，34，45，所以，至少有1人去北京旅游的概率为P ＝1－23×34×45＝3
5
.
答案：B
5．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，已知数列
{a n }中，a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－1第n 次摸取红球
1 第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )
A ．C 57⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫235
B ．
C 27⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫135
C ．C 47⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭
⎫135 D ．C 37⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭
⎫235 解析：由S n ＝3知在7次摸球中，5次摸到白球、2次摸到红球，而摸到白球、红球的
概率分别为13，23
.故所求概率为P ＝C 27⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫135. 答案：B
6.如图所示的电路，有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是1
2
，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为( ) A.1
8 B.14 C.1
2
D.116
二、填空题
7．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮，假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．
解析：记 “该选手回答对第i 个问题”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)，且P (A i )＝0.8. 选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮则该选手第二个问题必回答错，第三、第四个问题必回答对，
∴所求事件概率P ＝P (A 2·A 3·A 4)＝P (A 2)·P (A 3)·P (A 4)＝(1－0.8)×0.8×0.8＝0.128. 答案：0.128
8.(2012·新课标全国高考)某一部件由三个电子元件按如图所示方
式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件
正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常数工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．
求P (A )．
解：(1)依题意知X ～B (4，1
3
)，故X 的分布列为
X 0 1 2 3 4 P
16
81
3281
2481
881
181
(2)设A i 表示事件“第一次击中目标时，击中第i 部分，i ＝1,2”．B i 表示事件“第二次击中目标时，击中第i 部分”，i ＝1,2.依题意知P (A 1)＝P (B 1)＝0.1，P (A 2)＝P (B 2)＝0.3，A ＝A 1B 1∪A 1B 1∪A 1B 1∪A 2B 2，
∴P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 1B 1)＋P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)
＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)＋P (A 2)P (B 2)＝0.1×0.9＋0.9×0.1＋0.1×0.1＋0.3×0.3＝0.28.
10．(2013·大连模拟)张先生家住H 小区，他工作在C 科技园区，从家开车到公司上班路上有L 1，L 2两条路线(如图)，L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率
均为12；L 2路线上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35
.
(1)若走L 1路线，求最多遇到1次红灯的概率； (2)若走L 2路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；
(3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．。