高考数学文一轮复习第四合情推理和演绎推理苏教江苏专用

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高考数学一轮复习考点知识专题讲解49---推理与证明

高考数学一轮复习考点知识专题讲解推理与证明考点要求1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理.3.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.4.了解反证法的思考过程和特点.知识梳理1．合情推理类型定义特点归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊2.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．3．直接证明(1)综合法①定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：P⇒Q1―→Q1⇒Q2―→Q2⇒Q3―→…―→Q n⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)．③思维过程：由因导果．(2)分析法①定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．②框图表示：Q⇐P1―→P1⇐P2―→P2⇐P3―→…―→得到一个明显成立的条件(其中Q表示要证明的结论)．③思维过程：执果索因．4．间接证明反证法：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)(2)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)(3)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(×)(4)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”．(×)教材改编题1．已知在数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是()A．a n＝3n－1B．a n＝4n－3C．a n＝n2D．a n＝3n－1答案C解析a2＝a1＋3＝4，a3＝a2＋5＝9，a4＝a3＋7＝16，a1＝12，a2＝22，a3＝32，a4＝42，猜想a＝n2.n2．给出下列命题：“①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等，③正方形是矩形”，按照三段论证明，正确的是()A．①②⇒③B．①③⇒②C．②③⇒①D．以上都不对答案C解析“矩形的对角线相等”是大前提，“正方形是矩形”是小前提，“正方形的对角线相等”是结论．所以②③⇒①.3．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要作的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根答案A解析方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根.题型一合情推理与演绎推理命题点1归纳推理例1如图，第1个图形由正三角形扩展而成，共12个顶点．第n个图形由正n＋2边形扩展而来，其中n∈N*，则第n个图形的顶点个数是()A．(2n＋1)(2n＋2) B．3(2n＋2)C．2n(5n＋1) D．(n＋2)(n＋3)答案D解析由已知中的图形可以得到：当n＝1时，图形的顶点个数为12＝3×4，当n＝2时，图形的顶点个数为20＝4×5，当n＝3时，图形的顶点个数为30＝5×6，当n＝4时，图形的顶点个数为42＝6×7，……由此可以推断，第n个图形的顶点个数为(n＋2)(n＋3)．命题点2类比推理例2(2022·铜仁质检)在△ABC中，BC⊥AC，AC＝a，BC＝b，则△ABC的外接圆的半径r＝a2＋b22，将此结论类比推广到空间中可得：在四面体P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝a，PB＝b，PC＝c，则四面体P－ABC的外接球的半径R＝________.答案a2＋b2＋c22解析可以类比得到：在四面体P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝a，PB＝b，PC＝c，四面体P－ABC的外接球的半径R＝a2＋b2＋c22.下面进行证明：可将图形补成以PA，PB，PC为邻边的长方体，则四面体P－ABC的外接球即为长方体的外接球，所以半径R＝a2＋b2＋c22.命题点3演绎推理例3下面是小明同学利用三段论模式给出的一个推理过程：①若{a n}是等比数列，则{a n ＋a n＋1}是等比数列(大前提)，②若b n＝(－1)n，则数列{b n}是等比数列(小前提)，③所以数列{b n＋b n＋1}是等比数列(结论)，以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确答案B解析大前提错误：当a n＝(－1)n时，an＋a n＋1＝0，此时{a n＋a n＋1}不是等比数列；小前提正确：∵b n＝(－1)n，∴bnbn－1＝(－1)n(－1)n－1＝－1(n≥2，n∈N*)为常数，∴数列{b n}是首项为－1，公比为－1的等比数列；结论错误：b n＋b n＋1＝(－1)n＋(－1)n＋1＝0，故数列{b n＋b n＋1}不是等比数列．教师备选1．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72023的末两位数字为() A．01 B．43 C．07 D．49答案B解析∵72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807,76＝117649,78＝823543，…，∴7n(n≥2，n∈N*)的末两位数字具备周期性，且周期为4，∵2023＝4×505＋3，∴72023和73的末两位数字相同，故72023的末两位数字为43.2．在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b11＝1，则有()A．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b19－n(n<19且n∈N*)B．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b21－n(n<21且n∈N*)C．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b19－n(n<19且n∈N*)D．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b21－n(n<21且n∈N*)答案B解析在等差数列{a n}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N*)，则a s＋a t＝a p＋a q，若a m＝0，则a n＋1＋a n＋2＋…＋a2m－2－n＋a2m－1－n＝0，所以a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a2m－1－n成立，当m＝10时，a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N*)成立，在等比数列{b n}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N*)，则b s b t＝b p b q，若b m＝1，则b n＋1b n＋2·…·b2m－2－n b2m－1－n＝1，所以b1b2·…·b n＝b1b2·…·b2m－1－n成立，当m＝11时，b1b2·…·b n＝b1b2·…·b21－n(n<21且n∈N*)成立．3．“对数函数是非奇非偶函数，f(x)＝log2|x|是对数函数，因此f(x)＝log2|x|是非奇非偶函数”，以上推理()A．结论正确B．大前提错误C．小前提错误D．推理形式错误答案C解析本命题的小前提是f(x)＝log2|x|是对数函数，但是这个小前提是错误的，因为f(x)＝log2|x|不是对数函数，它是一个复合函数，只有形如y＝log a x(a>0且a≠1)的才是对数函数．故选C.思维升华(1)归纳推理问题的常见类型及解题策略①与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号．②与式子有关的推理．观察每个式子的特点，注意纵向对比，找到规律．③与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．(2)类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差与等比数列类比；运算类比；数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等．跟踪训练1(1)(2022·南昌模拟)已知x>0，不等式x＋1x≥2，x＋4x2≥3，x＋27x3≥4，…，可推广为x＋ax n≥n＋1，则a的值为()A．n2 B．n n C．2n D．22n－2答案B解析由题意，当分母的指数为1时，分子为11＝1；当分母的指数为2时，分子为22＝4；当分母的指数为3时，分子为33＝27；据此归纳可得x＋ax n≥n＋1中，a的值为n n.(2)类比是学习探索中一种常用的思想方法，在等差数列与等比数列的学习中我们发现：只要将等差数列的一个关系式中的运算“＋”改为“×”，“－”改为“÷”，正整数改为正整数指数幂，相应地就可以得到与等比数列的一个形式相同的关系式，反之也成立．在等差数列{a n}中有a n－k＋a n＋k＝2a n(n>k)，借助类比，在等比数列{b n}中有________．答案b n－k b n＋k＝b2n(n>k)解析由题设描述，将左式加改乘，则相当于a n－k＋a n＋k改写为b n－k b n＋k；将右式正整数2改为指数，则相当于2a n改写为b2n，∴等比数列{b n}中有b n－k b n＋k＝b2n(n>k)．(3)(2022·银川模拟)一道四个选项的选择题，赵、钱、孙、李各选了一个选项，且选的恰好各不相同．赵说：“我选的是A.”钱说：“我选的是B，C，D之一．”孙说：“我选的是C.”李说：“我选的是D.”已知四人中只有一人说了假话，则说假话的人可能是________．答案孙、李解析赵不可能说谎，否则由于钱不选A，则孙和李之一选A，出现两人说谎．钱不可能说谎，否则与赵同时说谎；所以可能的情况是赵、钱、孙、李选择的分别为(A，C，B，D)或(A，D，C，B)，所以说假话的人可能是孙、李．题型二直接证明与间接证明命题点1综合法例4设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ca ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.证明(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1，所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13，当且仅当“a ＝b ＝c ”时等号成立．(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，当且仅当“a 2＝b 2＝c 2”时等号成立，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，则a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.命题点2分析法例5用分析法证明：当x ≥0，y ≥0时，2y ≥x ＋2y －x . 证明要证不等式成立，只需证x ＋2y ≥x ＋2y 成立，即证(x ＋2y )2≥(x ＋2y )2成立，即证x ＋2y ＋22xy ≥x ＋2y 成立，即证2xy ≥0成立，因为x ≥0，y ≥0，所以2xy ≥0，所以原不等式成立．命题点3反证法例6已知非零实数a ，b ，c 两两不相等．证明：三个一元二次方程ax 2＋2bx ＋c ＝0，bx 2＋2cx ＋a ＝0，cx 2＋2ax ＋b ＝0不可能都只有一个实根．证明假设三个方程都只有一个实根，则⎩⎨⎧b 2－ac ＝0，①c 2－ab ＝0，②a 2－bc ＝0.③①＋②＋③，得a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca ＝0， ④ ④化为(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0. ⑤ 于是a ＝b ＝c ，这与已知条件相矛盾．因此，所给三个方程不可能都只有一个实根．教师备选(2022·贵州质检)请在综合法、分析法、反证法中选择两种不同的方法证明： (1)如果a >0，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b 2；(2)22－7>10－3.解(1)方法一(综合法)因为a >0，b >0，所以a＋b2≥ab，所以lg a＋b2≥lg ab.因为lg ab＝12lg(ab)＝12(lg a＋lg b)，所以lg a＋b2≥lg a＋lg b2.方法二(分析法)要证lg a＋b2≥lg a＋lg b2，即证lg a＋b2≥12lg(ab)＝lg ab，即证a＋b2≥ab，由a>0，b>0，上式显然成立，则原不等式成立．(2)方法一(分析法)要证22－7>10－3，即证22＋3>10＋7，即证(22＋3)2>(10＋7)2.即证17＋122>17＋270，即证122>270，即证62>70.因为(62)2＝72>(70)2＝70，所以62>70成立．由上述分析可知22－7>10－3成立．方法二(综合法)由22－7＝122＋7，且10－3＝110＋3，由22<10，7<3，可得22＋7<10＋3，可得122＋7>110＋3，即22－7>10－3成立．思维升华(1)综合法证题从已知条件出发，分析法从要证结论入手，证明一些复杂问题，可采用两头凑的方法．(2)反证法适用于不好直接证明的问题，应用反证法证明时必须先否定结论．跟踪训练2(1)已知a>0，b>0，求证：a＋b2≥2aba＋b；(2)已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求证：a>0，b>0，c>0.证明(1)∵a>0，b>0，要证a＋b2≥2aba＋b，只要证(a＋b)2≥4ab，只要证(a＋b)2－4ab≥0，即证a2－2ab＋b2≥0，而a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0恒成立，故a＋b2≥2aba＋b成立．(2)假设a，b，c不全是正数，即至少有一个不是正数，不妨先设a≤0，下面分a＝0和a<0两种情况讨论，如果a＝0，则abc＝0与abc>0矛盾，所以a＝0不可能，如果a<0，那么由abc>0可得，bc<0，又因为a＋b＋c>0，所以b＋c>－a>0，于是ab＋bc＋ca＝a(b＋c )＋bc <0，这和已知ab ＋bc ＋ca >0相矛盾，因此，a <0也不可能，综上所述，a >0，同理可证b >0，c >0，所以原命题成立．课时精练1．指数函数都是增函数(大前提)，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x是增函数(结论)．上述推理错误的原因是() A ．小前提不正确B ．大前提不正确 C ．推理形式不正确D ．大、小前提都不正确答案B解析大前提错误．因为指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在a >1时是增函数，而在0<a <1时为减函数．2．(2022·大庆联考)用反证法证明命题：“若a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝0，则a ，b ，c ，d 都为0”．下列假设中正确的是() A ．假设a ，b ，c ，d 都不为0 B ．假设a ，b ，c ，d 至多有一个为0 C ．假设a ，b ，c ，d 不都为0 D ．假设a ，b ，c ，d 至少有两个为0 答案C解析需假设a ，b ，c ，d 不都为0.3．若一个带分数的算术平方根等于带分数的整数部分乘以分数部分的算术平方根，则称该带分数为“穿墙数”，例如223＝223.若一个“穿墙数”的整数部分等于log 28，则分数部分等于()A.37B.49C.38D.716 答案C解析因为log 28＝3，所以可设这个“穿墙数”为3＋nm，则3＋n m ＝3n m，等式两边平方得3＋n m ＝9nm，即n m ＝38. 4．下面几种推理是合情推理的是() ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，归纳出n 边形内角和是(n －2)·180°. A ．①② B ．①③④ C ．①②④ D ．②④ 答案C解析①为类比推理，从特殊到特殊，正确；②④为归纳推理，从特殊到一般，正确；③不符合类比推理和归纳推理的定义，错误．5．(2022·普宁模拟)有一个游戏，将标有数字1,2,3,4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示：甲、乙、丙、丁4个人的预测都不正确，那么丁拿到卡片上的数字为() A．1B．2C．3D．4答案C解析乙、丙、丁所说为假⇒甲拿4，甲、乙所说为假⇒丙拿1，甲所说为假⇒乙拿2，故甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为4,2,1,3.6．观察下列数的特点：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，则第2023项是()A．61B．62C．63D．64答案D解析由规律可得，数字相同的数的个数依次为1,2,3,4，…，n.由n(n＋1)2≤2023，得n≤63，且n∈N*，当n＝63时，共有63×642＝2016项，则第2017项至第2080项均为64，即第2023项是64.7．观察下列各式：已知a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则归纳猜测a7＋b7＝________.答案29解析观察发现，1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11，又7＋11＝18,11＋18＝29，∴a7＋b7＝29.8．若三角形内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则三角形的面积S＝12(a＋b＋c)r，利用类比思想：若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1，S2，S3，S4，则四面体的体积V＝________.答案13R(S1＋S2＋S3＋S4)解析设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．9．选用恰当的证明方法，证明下列不等式．(1)证明：6＋7>22＋5；(2)设a，b，c都是正数，求证：bca＋acb＋abc≥a＋b＋c.证明(1)要证6＋7>22＋5，只需证明(6＋7)2>(22＋5)2，即证明242>240，也就是证明42>40，式子显然成立，故原不等式成立．(2)2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ac b ＋ab c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ac b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ab c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ac b ＋ab c≥2abc 2ab ＋2acb 2ac ＋2bca 2bc＝2c ＋2b ＋2a ，所以bc a ＋ac b ＋abc≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 10．若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋xy <2与1＋yx<2中至少有一个成立．解假设1＋x y <2和1＋y x<2都不成立，即1＋x y ≥2和1＋yx≥2同时成立．∵x >0且y >0， ∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x .两式相加得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，即x ＋y ≤2. 此与已知条件x ＋y >2相矛盾， ∴1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立．11．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定x ＝2，类比上述解决方法，则正数1＋11＋11＋…等于()A.1＋32B.1＋52C.－1＋52D.－1＋32答案B解析依题意1＋1x＝x，其中x为正数，即x2－x－1＝0，解得x＝1＋52(负根舍去)．12．大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，…，若m3分裂后，其中有一个奇数是103，则m的值是() A．9 B．10 C．11 D．12答案B解析因为底数为2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，所以m3有m个奇数，则从底数是2到底数是m一共有2＋3＋4＋…＋m＝(2＋m)(m－1)2个奇数，又2n＋1＝103时，有n＝51，则奇数103是从3开始的第52个奇数，因为(9＋2)(9－1)2＝44，(10＋2)(10－1)2＝54，所以第52个奇数是底数为10的数的立方分裂的奇数的其中一个，即m＝10.13．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2,4；第三次取3个连续奇数5,7,9；第四次取4个连续偶数10,12,14,16；第五次取5个连续奇数17,19,21,23,25，按此规律取下去，得到一个子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19，…，则在这个子数列中第2022个数是()A．3976 B．3978 C．3980 D．3982答案C解析由题意可得，奇数次取奇数个数，偶数次取偶数个数，前n次共取了1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2个数，且第n次取的最后一个数为n2，当n＝63时，63×(63＋1)2＝2016，即前63次共取了2016个数，第63次取的数都为奇数，并且最后一个数为632＝3969，即第2016个数为3969，所以当n＝64时，依次取3970,3972,3974,3976,3978,3980，…，所以第2022个数是3980.14．(2022·平顶山模拟)某市为了缓解交通压力，实行机动车限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周六和周日不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可推测出今天是星期________．答案四解析由题意，A，C只能在每周前三天限行，又昨天B限行，E车明天可以上路，因此今天不能是一周的前3天，因此今天是周四．这样周一、周二A，C限行，周三B限行，周四E限行，周五D限行．满足题意．15．已知a ，b ，c ∈R ，若b a ·c a >1且b a ＋c a≥－2，则下列结论成立的是()A ．a ，b ，c 同号B ．b ，c 同号，a 与它们异号C ．a ，c 同号，b 与它们异号D ．b ，c 同号，a 与b ，c 的符号关系不确定答案A 解析由b a ·c a >1知b a 与c a 同号，若b a >0且c a >0，不等式b a ＋c a ≥－2显然成立，若b a <0且c a<0，则－b a >0，－c a >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－c a ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c a >2，即b a ＋c a <－2，这与b a ＋c a ≥－2矛盾，故b a >0且c a >0，即a ，b ，c 同号．16．已知α，β为锐角，求证：1cos 2α＋1sin 2αsin 2βcos 2β≥9. 解要证1cos 2α＋1sin 2αsin 2βcos 2β≥9，只需证1cos 2α＋4sin 2αsin 22β≥9，① 考虑到sin 22β≤1，可知4sin 2αsin 22β≥4sin 2α，因而要证①应先证1cos 2α＋4sin 2α≥9，即证sin 2α＋cos 2αcos 2α＋4(sin 2α＋cos 2α)sin 2α≥9，又sin2α＋cos2αcos2α＋4(sin2α＋cos2α)sin2α＝sin2αcos2α＋4cos2αsin2α＋5≥9，所以原不等式成立．。

苏教版高三数学复习课件11.1 合情推理与演绎推理

内容之一，几乎每年都有涉及，主要以填空题的形式出现，考查归纳
推理和类比推理的运用以及同学们的逻辑推理能力．
【应试对策】
1．在归纳推理中，前提和结论之间的联系不是必然的，在前提真实的情况下，结论未必真．运用归纳推理的一般步骤是：首先，通过观察个别情况发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般规律(猜想)；最后，对所得出的一般性命题进行检验．
猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC猜想四面体A－BCD中，AB、AC、AD两两垂直，
AE⊥平面BCD，则＝如图(2)，连接BE交CD于F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD. 而AF⊂面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF， ∴ ∴ 在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴ 故猜想正确． .
结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理，因此，我们不仅要学会证
明，也要学会猜想． 4．在推理论证的过程中，一个稍复杂的证明题经常要由几个三段论式才能完成，大前提通常省略不写，或者写在结论后面的小括号内，小前提
【知识拓展】
合情推理的应用
(1) 合情推理主要包括归纳推理和类比推理．在数学研究中，在得到一个
1．归纳推理 (1)归纳推理的定义从个别事实中推演出推理．
一般
的结论，像这样的推理通常称为归纳

(2)归纳推理的思维过程大致如图
2．类比推理 (1)根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他
相似的性质

方面也具有相同或
(2)类比推理的思维过程是：

答案：一切奇数都不能被 2 整除， … … ( 大前提 ) , 2 1 0 0 ＋ 1 是奇

高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第四节合情推理与演绎推理课件苏教版

考点二
类比推理
已知命题：平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 顶点 x2 y 2 A(－p,0)和 C(p,0)，顶点 B 在椭圆 2＋ 2＝1(m＞n＞0，p＝ m n sinA＋sinC 1 2 2 m －n )上，椭圆的离心率是 e，则＝e ，试将该 sinB 命题类比到双曲线中，给出一个结论．
解：如图所示，
由射影定理知 AD2＝BD· DC，AB2＝BD· BC， AC2＝BC· DC， 1 1 ∴ 2＝ AD BD· DC
BC2 BC2 2 2 2 ＝＝ 2 2.又 BC ＝AB ＋AC ， BD· BC· DC· BC AB · AC AB2＋AC2 1 1 1 1 1 1 ∴ 2＝＝＋ .所以 2＝ 2＋ 2. AD AB2· AC2 AB2 AC2 AD AB AC 猜想：类比 AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面体 ABCD 中，AB、AC、AD 两两垂直，AE⊥平面 BCD. 1 1 1 1 则 2＝ 2＋ 2＋ 2. AE AB AC AD
其中结论正确的个数是________(填序号)．
解析：①②不正确，③正确．答案：③
①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；演绎模式：三段论 ③结论——根据一般原理，对特殊 2. 推情况做出的判断. 理特点：演绎推理是由一般到特殊的推理.
x 已知 f(x)＝，设 f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1[fn－1(x)](n＞1，且 1－x n∈N*)，求 f3(x)的表达式，并猜想 fn(x)(n∈N*)的表达式．
解：由 f1(x)＝f(x)和 fn(x)＝fn－1[fn－1(x)](n＞1 且 n∈N*)，得 x 1－x x f2(x)＝f1[f1(x)]＝ x ＝1－2x， 1－ 1－x x 1－2x x f3(x)＝f2[f2(x)]＝＝，…， 2x 1－22x 1－ 1－2x x * 由此猜想 fn(x)＝ n－1 (n∈N )． 1－ 2 x

高考数学一轮复习第九章第四节合情推理与演绎推理突破热点题型文

第四节合情推理与演绎推理高频考点考点一归纳推理1．归纳推理是每年高考的常考内容，题型多为选择题和填空题，难度稍大，属中高档题．2．高考对归纳推理的考查常有以下几个命题角度： (1)归纳推理与等式或不等式“共舞”问题； (2)归纳推理与数列“牵手”问题； (3)归纳推理与图形变化“相融”问题．[例1] (1)(2013·陕西高考)观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， ……照此规律，第n 个等式可为________．(2)(2013·湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n n ＋12＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ， ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________.(3)(2014·青岛模拟)某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．一级分形图二级分形图三级分形图 ①n 级分形图中共有________条线段；②n 级分形图中所有线段长度之和为________．[自主解答] (1)观察规律可知，第n 个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n＋1n n＋12.(2)N(n，k)＝a k n2＋b k n(k≥3)，其中数列{a k}是以12为首项，12为公差的等差数列；数列{b k}是以12为首项，－12为公差的等差数列．所以N(n,24)＝11n2－10n，当n＝10时，N(10，24)＝11×102－10×10＝1 000.(3)①分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3＝(3×2－3)条线段，二级分形图有9＝(3×22－3)条线段，三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段，按此规律n级分形图中的线段条数a n＝(3×2n－3)(n∈N*)．②分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，∴n级分形图中第n 级的所有线段的长度为b n＝3×⎝⎛⎭⎪⎫23n－1(n∈N*)，∴n级分形图中所有线段长度之和为Sn＝3×⎝⎛⎭⎪⎫230＋3×⎝⎛⎭⎪⎫231＋ (3)⎝⎛⎭⎪⎫23n－1＝3×1－⎝⎛⎭⎪⎫23n1－23＝9－9×⎝⎛⎭⎪⎫23n.[答案] (1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1n n＋12(2)1 000 (3)①3×2n－3 ②9－9×⎝⎛⎭⎪⎫23n归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与等式或不等式“共舞”问题．观察所给的几个等式或不等式两边式子的特点，注意是纵向看，发现隐含的规律．(2)与数列“牵手”问题．先求出几个特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包含的范围，从而由特殊的结论推广到一般结论．(3)与图形变化“相融”问题．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．1．设函数f(x)＝xx＋2(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝________.解析：根据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…，可知f n(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n－1，故f n(x)＝f(f n－1(x))＝x2n－1x＋2n.答案：x2n－1x＋2n2．(2014·温州模拟)如图的倒三角形数阵满足：①第1行的n个数，分别是1,3,5，…，2n－1；②从第2行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和；③数阵共有n行．当n＝2 012时，第32行的第17个数是________．1 3 5 7 9 11 ……4 8 12 16 20 ……12 20 28 36 …………解析：每行的第1个数分别是1,4,12,32，…，记为数列{a n}，它的通项公式为a n＝n×2n－1，则第32行的第1个数为a32＝32×232－1＝236，而在第32行的各个数成等差数列，且公差为232，所以第17个数是236＋(17－1)×232＝236＋24×232＝2×236＝237.答案：2373．仔细观察下面○和●的排列规律：○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●……，若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________．解析：进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，则前n组两种圈的总数是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝n n＋32，易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n ＝14.答案：14考点二类比推理[例2]如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为a i(i＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为h i(i＝1,2,3,4)，若a11＝a22＝a33＝a44＝k，则1×h1＋2×h2＋3×h3＋4×h4＝2Sk.类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S i(i ＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为H i(i＝1,2,3,4)，若S11＝S22＝S33＝S44＝k，则H1＋2H2＋3H3＋4H4值为( )A.4VkB.3VkC.2VkD.Vk[自主解答]在平面凸四边形中，连接P点与各个顶点，将其分成四个小三角形，根据三角形面积公式，得S ＝12(a 1h 1＋a 2h 2＋a 3h 3＋a 4h 4)＝12(kh 1＋2kh 2＋3kh 3＋4kh 4)＝k 2(h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4)．所以h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4＝2S k. 类似地，连接Q 点与三棱锥的四个顶点，将其分成四个小三棱锥，则有 V ＝13(S 1H 1＋S 2H 2＋S 3H 3＋S 4H 4)＝13(kH 1＋2kH 2＋3kH 3＋4kH 4)＝k3(H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4)，所以H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3Vk.[答案] B【方法规律】类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －man －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝________.解析：法一：设数列{a n }的公差为d 1，则d 1＝a n －a m n －m ＝b －an －m.所以a m ＋n ＝a m ＋nd 1＝a ＋n ·b －a n －m ＝bn －am n －m.类比推导方法可知：设数列{b n }的公比为q ，由b n ＝b m q n －m ，可知d ＝cq n －m ，所以q ＝n －m d c ，所以b m ＋n ＝b m q n ＝c ·n －m ⎝ ⎛⎭⎪⎫d c n＝n －m d nc m . 法二：(直接类比)设数列{a n }的公差为d 1，数列{b n }的公比为q ，因为等差数列中a n ＝a 1＋(n －1)d 1，等比数列中b n ＝b 1q n －1，因为a m ＋n ＝nb －man －m ，所以b m ＋n ＝n －m d nc m.答案：n －m d nc m考点三演绎推理[例3] 已知函数f (x )＝a x＋bx ，其中a >0，b >0，x ∈(0，＋∞)，试确定f (x )的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性．[自主解答] 设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 1＋bx 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 2＋bx 2＝(x 2－x 1)·⎝⎛⎭⎪⎫ax 1x 2－b . 当0<x 1<x 2≤ a b 时，∵a >0，b >0，∴x 2－x 1>0,0<x 1x 2<a b ，ax 1x 2>b ，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤0， a b 上是减函数；当x 2>x 1≥ a b >0时，x 2－x 1>0，x 1x 2>a b ，ax 1x 2<b ，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫a b ，＋∞上是增函数．【方法规律】应用演绎推理应注意的问题演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．已知函数f (x )＝2x－12x ＋1(x ∈R )．(1)判定函数f (x )的奇偶性；(2)判定函数f (x )在R 上的单调性，并证明．解：(1)对任意x ∈R ，有－x ∈R ，并且f (－x )＝2－x－12－x ＋1＝1－2x 1＋2x ＝－2x－12x＋1＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2)f (x )在R 上单调递增，证明如下：任取x 1，x 2∈R ，并且x 1>x 2，f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－12x 1＋1－2x 2－12x 2＋1＝2x 1－12x 2＋1－2x 2－12x 1＋12x 1＋12x 2＋1＝22x 1－2x 22x 1＋12x 2＋1.∵x 1>x 2，∴2x 1>2x 2>0，即2x 1－2x 2>0.又∵2x 1＋1>0,2x 2＋1>0，∴22x 1－2x 22x 1＋12x 2＋1>0.∴f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在R 上为单调递增函数．———————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1个区别——合情推理与演绎推理的区别 (1)归纳是由特殊到一般的推理； (2)类比是由特殊到特殊的推理； (3)演绎推理是由一般到特殊的推理；(4)从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；若大前提和小前提正确，则演绎推理得到的结论一定正确．2个步骤——归纳推理与类比推理的步骤 (1)归纳推理的一般步骤：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论 (2)类比推理的一般步骤：观察、比较→联想、类推→猜想新结论3个注意点——应用合情推理与演绎推理应注意的问题(1)在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．(2)合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．(3)演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．。

届江苏苏教版学海导航高中新课标总复习第轮文数第讲合情推理与演绎推理共40页文档

下面给出严格的证明．
如图，作AO 平面BCD于点O，
AE BC于点E.由三个侧面两两
垂直可知三条侧棱AB、AC、AD
两两互相垂直，故O为 BCD的垂
心．在Rt DAE中，AO DE，有：
AE
2＝
EO
·ED，
所
以
S2 ABC
＝ 1 BC 2 AE 2＝( 1 BC EO) ( 1 BC ED)＝S
届江苏苏教版学海导航高中新课标总复习第轮文数第讲
合情推理与演绎推理
41、实际上，我们想要的不是针对犯罪的法律，而是针对疯狂的法律。 ——马克·吐温
42、法律的力量应当跟随着公民，就像影子跟随着身体一样。— —贝卡利亚
43、法律和制度必须跟上人类思想进步。— —杰弗逊
44、人类受制于法律，法律受制于情理。— —托·富勒
【证明】1一组对边平行且相等的四边形是
平行四边形(大前提) 取CD的中点M，连结OM.
在矩形ABCD中，OM / / 1 BC. 2
又EF / / 1 BC, 2
则EF / / OM(小前提)．
连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形 (结论)，所以FO/ /EM. 平面外一条直线和平面内一条直线平行，则这条直线平行于这个平面(大前提)．又因为 FO 平面CDE，EM 平面CDE(小前提)，所以FO 平面CDE(结论)．
【变式练习3】将推理“函数y＝2x2＋x－1的图象是抛物线”改写成三段论的形式为 __二__次__函__数__的__图__象__是__抛__物__线__(_大__前__提__)_；__ __函__数__y_＝__2_x_2_＋__x_－__1_是__二__次___函__数__(_小__前__ __提__)_；__函__数__y_＝__2_x_2_＋__x_－__1_的__图___象__是__抛__ __物__线__(结__论__)_____________________.

高考数学一轮配套学案讲解：《合情推理与演绎推理》(苏教版)

§7.4合情推理与演绎推理1.推理从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理.推理一般分为合情推理与演绎推理两类.2.合情推理3.(1)定义：由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理；(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；(3)模式：三段论.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确. (×)(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理. (√)(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适. (×)(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.(√)(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n ＝n (n ∈N *).( × ) (6)2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…， 6＋b a ＝6ba(a ，b 均为实数)，则可以推测a ＝35，b ＝6.( √ ) 2.数列2,5,11,20，x,47，…中的x 等于________. 答案 32解析 5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，推出x －20＝12，所以x ＝32.3.观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 011的后四位数字为________. 答案 8 125解析 55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125，可得59与55的后四位数字相同，…，由此可归纳出5m ＋4k 与5m (k ∈N *，m ＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 011＝4×501＋7，所以52 011与57后四位数字相同为8125. 4.(2013·陕西)观察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为________.答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2解析观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n 个等式左边有n 项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n ＋1n 2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，….设此数列为{a n }，则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，…，a n －a n －1＝n ，各式相加得a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n ，即a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.所以第n 个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2. 5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列.类比以上结论有设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列.答案T 8T 4 T 12T 8解析对于等比数列，通过类比，有等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4＝a 1a 2a 3a 4，T 8＝a 1a 2…a 8，T 12＝a 1a 2…a 12， T 16＝a 1a 2…a 16，因此T 8T 4＝a 5a 6a 7a 8，T 12T 8＝a 9a 10a 11a 12，T 16T 12＝a 13a 14a 15a 16，而T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列.题型一归纳推理例1设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明. 思维启迪解题的关键是由f (x )计算各式，利用归纳推理得出结论并证明. 解 f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，同理可得：f (－1)＋f (2)＝33， f (－2)＋f (3)＝33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时，均为f (x 1)＋f (x 2)＝33. 证明：设x 1＋x 2＝1， ∵f (x 1)＋f (x 2)＝33133121+++x x 3)33(333233)33)(33()33()33(2121212121+++++=+++++=+x x xx x x x x x x .33)3233(3323332)33(3323321212121=++++=⨯++++=x x x x x x x x 思维升华 (1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围.(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的. (3)归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用.(1)观察下列等式 1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第五个等式应为___________________.(2)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，则有________.答案 (1)5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81 (2)f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N *) 解析 (1)由于1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81. (2)由题意得f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，f (25)>72，所以当n ≥2时，有f (2n )>n ＋22.故填f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N *).题型二类比推理例2 已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －man －m .类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝________. 思维启迪等差数列{a n }和等比数列{b n }类比时，等差数列的公差对应等比数列的公比，等差数列的加减法运算对应等比数列的乘除法运算，等差数列的乘除法运算对应等比数列中的乘方开方运算. 答案 n －m d nc m解析设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q .因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1q n －1，a m ＋n ＝nb －man －m，所以类比得b m ＋n ＝n －m d nc m思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等.(3)在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应法则，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等.(1)给出下列三个类比结论：①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中结论正确的序号是________.(2)把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r ＝a 2＋b 22(其中a ，b 为直角三角形两直角边长).类比此方法可得三条侧棱长分别为a ，b ，c 且两两垂直的三棱锥的外接球半径R ＝________.答案 (1)③ (2)R ＝a 2＋b 2＋c 22解析 (1)①②错误，③正确.(2)由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球半径. 题型三演绎推理例3已知函数f (x )＝－aa x ＋a(a >0，且a ≠1).(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－12)对称；(2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值.思维启迪证明本题依据的大前提是中心对称的定义，函数y ＝f (x )的图象上的任一点关于对称中心的对称点仍在图象上.小前提是f (x )＝－a a x ＋a(a >0且a ≠1)的图象关于点(12，－12)对称.(1)证明函数f (x )的定义域为全体实数，任取一点(x ，y )，它关于点(12，－12)对称的点的坐标为(1－x ，－1－y ).由已知得y ＝－aa x ＋a ，则－1－y＝－1＋a a x ＋a ＝－a xa x ＋a ，f (1－x )＝－a a 1－x ＋a ＝－aa a x ＋a＝－a ·a x a ＋a ·a x ＝－a xa x ＋a，∴－1－y ＝f (1－x )，即函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－12)对称.(2)解由(1)知－1－f (x )＝f (1－x )，即f (x )＋f (1－x )＝－1. ∴f (－2)＋f (3)＝－1，f (－1)＋f (2)＝－1，f (0)＋f (1)＝－1. 则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3.思维升华演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.已知函数y ＝f (x )，满足：对任意a ，b ∈R ，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数. 证明设x1，x2∈R，取x1<x2，则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，∵x1<x2，∴f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1).所以y＝f(x)为R上的单调增函数.高考中的合情推理问题典例：(1)(5分)(2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数N (n,4)＝n 2，五边形数N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n………………………………………可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________.思维启迪从已知的部分k 边形数观察一般规律写出N (n ，k )，然后求N (10,24).解析由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k 2n ， ∴N (10,24)＝24－22×100＋4－242×10 ＝1 100－100＝1 000.答案 1 000(2)(5分)若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0y b 2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________.思维启迪直接类比可得.解析设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1，P 2的切线方程分别是x 1x a 2－y 1y b 2＝1，x 2x a 2－y 2y b 2＝1.因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上，故有x 1x 0a 2－y 1y 0b 2＝1， x 2x 0a 2－y 2y 0b 2＝1，这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a 2－y 0y b 2＝1上，故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2－y 0y b 2＝1. 答案 x 0x a 2－y 0y b 2＝1 (3)(5分)在计算“1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项：k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，由此得 1×2＝13(1×2×3－0×1×2)， 2×3＝13(2×3×4－1×2×3)， …，n (n ＋1)＝13[n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1)]. 相加，得1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＝13n (n ＋1)·(n ＋2). 类比上述方法，请你计算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n (n ＋1)·(n ＋2)”，其结果为 _______________________.思维启迪根据两个数积的和规律猜想，可以利用前几个式子验证.解析类比已知条件得k (k ＋1)(k ＋2)＝14[k (k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)－(k －1)k (k ＋1)(k ＋2)]，由此得1×2×3＝14(1×2×3×4－0×1×2×3)， 2×3×4＝14(2×3×4×5－1×2×3×4)， 3×4×5＝14(3×4×5×6－2×3×4×5)， …，n (n ＋1)(n ＋2)＝14[n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)－(n －1)n (n ＋1)(n ＋2)].以上几个式子相加得：1×2×3＋2×3×4＋…＋n (n ＋1)(n ＋2)＝14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3). 答案 14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3) 温馨提醒 (1)合情推理可以考查学生的抽象思维能力和创新能力，在每年的高考中经常会考到；(2)合情推理的结论要通过演绎推理来判断是否正确.方法与技巧1.合情推理的过程概括为从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想2.演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.失误与防范1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明.2.演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.3.合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、填空题1.(2012·江西改编)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝______.答案123解析观察规律，归纳推理.从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.2.定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：(1)1*1=1,(2)(n+1)*0=n*1+1,则n*1=.答案n解析由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1*1+(n-1).又∵1*1=1，∴n*1=n.3.下列推理是归纳推理的是________.(填序号)①A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆②由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式③由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积S ＝πab ④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案 ②解析从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以②是归纳推理.4.在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体A －BCD 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________. 答案 127解析平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，∴V 1V 2＝127. 5.若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }(b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n)也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为________.答案 d n ＝n c 1·c 2·…·c n解析若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ， ∴b n ＝a 1＋(n －1)2d ＝d 2n ＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·2)1(-n n q ，∴d n ＝n c 1·c 2·…·c n ＝c 1·21-n q ，即{d n }为等比数列.6.仔细观察下面○和●的排列规律：○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________.答案 14解析进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，则前n 组两种圈的总数是f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＝n (n ＋3)2，易知f (14)＝119，f (15)＝135，故n ＝14.7.若函数f (x )＝x x ＋2(x >0)，且f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2，当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f [f n －1(x )]，则f 3(x )＝________，猜想f n (x )(n ∈N *)的表达式为________.答案 x 7x ＋8 x (2n －1)x ＋2n解析 ∵f 1(x )＝x x ＋2，f n (x )＝f [f n －1(x )](n ≥2)， ∴f 2(x )＝f (x x ＋2)＝xx ＋2(x x ＋2＋2)＝x 3x ＋4. f 3(x )＝f [f 2(x )]＝f (x 3x ＋4)＝x3x ＋4(x 3x ＋4＋2)＝x 7x ＋8. 由所求等式知，分子都是x ，分母中常数项为2n ，x 的系数比常数项少1，为2n －1，故f n (x )＝x (2n －1)x ＋2n. 8.在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE EB ＝AC BC，把这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中(如图所示)，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 相交于点E ，则类比得到的结论是________.答案 BE EA ＝S △BCD S △ACD解析易知点E 到平面BCD 与平面ACD 的距离相等，故V E －BCD V E －ACD ＝BE EA ＝S △BCD S △ACD. 二、解答题9.已知等差数列{a n }的公差d ＝2，首项a 1＝5.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝n (2a n －5)，求S 1，S 2，S 3，S 4，S 5；T 1，T 2，T 3，T 4，T 5，并归纳出S n 与T n 的大小规律.解 (1)由于a 1＝5，d ＝2，∴S n ＝5n ＋n (n －1)2×2＝n (n ＋4). (2)∵T n ＝n (2a n －5)＝n [2(2n ＋3)－5]＝4n 2＋n .∴T 1＝5，T 2＝4×22＋2＝18，T 3＝4×32＋3＝39，T 4＝4×42＋4＝68，T 5＝4×52＋5＝105.S 1＝5，S 2＝2×(2＋4)＝12，S 3＝3×(3＋4)＝21，S 4＝4×(4＋4)＝32，S 5＝5×(5＋4)＝45.由此可知S 1＝T 1，当n ≥2时，S n <T n .归纳猜想：当n ＝1时，S n ＝T n ；当n ≥2，n ∈N 时，S n <T n .10.在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由.解如图所示，由射影定理AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ，∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. 猜想，在四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，证明：则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 如图，连结BE 并延长交CD 于F ，连结AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ACD .∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，∴1AE 2＝1AB 2＋1AF 2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2.B 组专项能力提升(时间：40分钟)1.给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”；②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③若“a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”.其中类比结论正确的个数是________.答案 2解析 ①②正确，③错误.因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小.2.设是R 的一个运算，A 是R 的非空子集.若对于任意a ，b ∈A ，有ab ∈A ，则称A 对运算封闭.下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是______.(填序号)①自然数集②整数集 ③有理数集 ④无理数集答案 ③解析 ①错：因为自然数集对减法、除法不封闭；②错：因为整数集对除法不封闭；③对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；④错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭.3.平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为________.答案 n 2＋n ＋22解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域. 4.对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7，…；23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，….根据上述分解规律，若m 2＝1＋3＋5＋…＋11，p 3的分解中最小的正整数是21，则m ＋p ＝________.答案 11解析由22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7，…，可知n 2＝1＋3＋5＋…＋(2n －1). 由m 2＝1＋3＋5＋…＋11，可知m ＝6，易知53＝21＋23＋25＋27＋29，则21是53的分解中最小的正整数，可得p ＝5.故m ＋p ＝11.5.如图，类比直线方程的截距式和点到直线的距离公式，则点 H (4，2,1)到平面ABC 的距离是________. 答案326161解析平面ABC 的方程为x －4＋y －2＋z3＝1，即3x ＋6y －4z ＋12＝ 0，故所求距离d ＝|3×4＋6×2－4×1＋12|32＋62＋(－4)2＝326161.6.数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ∈N *).证明：(1)数列{S nn }是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，(小前提)故{S nn }是以2为公比，1为首项的等比数列.(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2).(小前提) 又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提)∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n . (结论)7.对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据这一发现，(1)求函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心；(2)计算f (12 013)＋f (22 013)＋f (32 013)＋f (42 013)＋…＋f (2 0122 013).解 (1)f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1，由f ″(x )＝0，即2x －1＝0，解得x ＝12.f (12)＝13×(12)3－12×(12)2＋3×12－512＝1. 由题中给出的结论，可知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1).(2)由(1)，知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1)，所以f (12＋x )＋f (12－x )＝2，即f (x )＋f (1－x )＝2.故f (12 013)＋f (2 0122 013)＝2，f (22 013)＋f (2 0112 013)＝2， f (32 013)＋f (2 0102 013)＝2， …f (2 0122 013)＋f (12 013)＝2. 所以f (12 013)＋f (22 013)＋f (32 013)＋f (42 013)＋…＋f (2 0122 013)＝12×2×2 012＝2 012.。

高三数学合情推理与演绎推理复习学案文苏教版

2013届高三数学（文）复习学案：合情推理与演绎推理一、课前准备：【自主梳理】1．归纳推理就是由，或者由．简言之，归纳推理是由，由的推理．2．类比推理就是由，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理由到的推理．3．从出发，推出，我们把这种推理称为演绎推理．4．演绎推理中的三段论结构是指．【自我检测】1.下列说法正确的是①合情推理就是归纳推理②合情推理的结论不一定正确，有待证明③演绎推理的结论一定正确，不需证明④类比推理是从特殊到一般的推理2．归纳数列0,1,3,7,15,31的一个通项公式是3．在平面上，圆有如下性质：经过圆心且垂直与切线的直线必经过切点，根据圆的性质，可以猜测在空间球有类似的性质：4.在等差数列}{n a 中，若),,,(*N q p n m q p n m ∈+=+，则q p n m a a a a +=+，通过类比，在等比数列}{n a 中，5．两条直线相交，对顶角相等，∠A 和∠B 是对顶角，则∠A ＝∠B .该证明过程中大前提是________，小前提是________，结论是________．（说明：以上内容学生自主完成，原则上教师课堂不讲）二、课堂活动：【例1】填空题（1）由8＞7,16＞9,32＞11,64＞13，…，则对n ∈N*有______________________．（2）把空间中的平行六面体与平面上的平行四边形类比，由“平行四边形的对边相等”得出平行六面体的相关性质是___________________________（3）观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为______________________．（4）三段论：“①救援飞机准时起飞就能准时到达玉树灾区，②这架救援飞机准时到达了玉树灾区，③这架救援飞机是准时起飞的”中，“小前提”是________．(填序号)【例2】先解答（1），再通过类比解答（2）（1）已知正三角形的边长为a ，求它的内切圆的半径r（2）已知正四面体的棱长为a ，求它的内切球的半径r【例3】试用合情推理回答下列问题：（1）设R k ∈,当k 变化时，直线0)11()3()12(=--+--k y k x k 有什么不变的性质？（2）设*N n ∈，试问：n n n f 2)(3+=能被3整除吗？课堂小结三、课后作业1. 写出数列7777777777-- ，，，，的一个通项公式是_____________ 2. 关于平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：①=··a b b a ；②()()a b c a b c =····；③()a b c a b a c +=+···；④a b a b =··； ⑤由(0)ab ac a =≠··，可得b c =．以上通过类比得到的结论正确的个数是_________3. 数列{}n a 中，11121n n n a a a a +==+，，试推测出数列{}n a 的通项公式为n a = ． 4.“因为四边形ABCD 是矩形，所以四边形ABCD 的对角线相等”以上推理的大前提是 __________________5.推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是_____________(只填序号)6.把“函数12++=x x y 的图像是一条抛物线”恢复成完整的三段论__________________7. 通过圆与球的类比，由“半径为R 的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为22R ．”猜想关于球的相应命题为．8．类比平面上的命题（1，给出在空间中的类似命题（2）的猜想．（1）如果ABC △的三条边BC CA AB ，，上的高分别为a b h h ，和c h ，ABC △内任意一点P 到三条边BC CA AB ，，的距离分别为a b c P P P ，，，那么1a b c a b cp p p h h h ++=．（2）．9．观察下列等式，从中归纳出一般性法则：（1）16=42156=342111556=334211115556=3342…（2）1=122+3+4=323+4+5+6+7=524+5+6+7+8+9+10=72…10．当5,4,3,2,1=n 时，41)(2++=n n n f 的值分别是43，47，53，61，71，它们都是素数，由归纳法你能得到什么猜想？所得的猜想都是正确的吗？答案： 1. 17(1)(101)9n n n a +=-- 2. 2个3.121n - 4.矩形都是对角线相等的四边形5. ②6.二次函数的图像是一条抛物线（大前提），函数12++=x x y 是二次函数（小前提），所以，函数12++=x x y 的图像是一条抛物线（结论）7．关径为R3 8. 从四面体的四个顶点A B C D ，，，分别向所对的面作垂线，垂线长分别为a b c h h h ，，和d h ．P 为四面体内任意一点，从点P 向A B C D ，，，四个顶点所对的面作垂线，垂线长分别为a b c P P P ，，和d P ，那么类比所得的关系式是1a b c d a b c d p p p p h h h p +++= 9、（1） )43...3365...551...11*11N n n n n ∈=--（个个个（2）)()12()]1(2[...)2()1(*2N n n n n n n n ∈-=-+++++++10、猜想：))((*N n n f ∈为素数，所得猜想不正确，因为241)40(=f 不是素数。

(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习合情推理与演绎推理教案(含解析)

§7.5合情推理与演绎推理考情考向分析以理解类比推理、归纳推理和演绎推理的推理方法为主，常以演绎推理的方法根据几个人的不同说法作出推理判断进行命题．注重培养学生的推理能力；在高考中以填空题的形式进行考查，属于中低档题．1．合情推理(1)归纳推理①定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理(简称归纳法)．②特点：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理(简称类比法)．②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．(3)合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——一般性的原理；②小前提——特殊对象；③结论——揭示了一般原理与特殊对象的内在联系．概念方法微思考1．合情推理所得结论一定是正确的吗？提示合情推理所得结论是猜想，不一定正确，用演绎推理能够证明的猜想是正确的，否则不正确．2．合情推理对我们学习数学有什么帮助？提示合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论，证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．3．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括大前提，小前提，结论，在用其进行推理时，大前提是否可以省略？提示大前提是已知的一般原理，当已知问题背景很清楚的时候，大前提可以省略．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( √)(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ×)(3)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( √)(4)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n＝n(n∈N*)．( ×)(5)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( ×)题组二教材改编2．[P64例1]已知在数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是________．答案a n＝n2解析a2＝a1＋3＝4，a3＝a2＋5＝9，a4＝a3＋7＝16，a1＝12，a2＝22，a3＝32，a4＝42，猜想a n ＝n2.3．[P68T4]在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则存在的等式为________________．答案b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)解析利用类比推理，借助等比数列的性质，b29＝b1＋n·b17－n，可知存在的等式为b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)．题组三易错自纠4．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理错误的原因是________．答案小前提错误解析 f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误．5．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论： ①垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．则正确的结论是________．(填序号) 答案 ①④解析显然①④正确；对于②，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于③，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交． 6．观察下列关系式：1＋x ＝1＋x ；()1＋x 2≥1＋2x ，()1＋x 3≥1＋3x ，……，由此规律，得到的第n 个关系式为________．答案 (1＋x )n≥1＋nx解析左边为等比数列，右边为等差数列，所以第n 个关系式为(1＋x )n≥1＋nx (n ∈N *)．题型一归纳推理命题点1 与数式有关的的推理例1(1)《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是________．答案17解析由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为1×20＋0×21＋0×22＋0×23＋1×24＋0×25＝17.(2)观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，根据以上式子可以猜想：1＋122＋132＋…＋120192<________.解析由题意得，不等式右边分数的分母是左边最后一个分数的分母的底数，所以猜想的分母是2019，分子组成了一个以3为首项，2为公差的等差数列，所以a2018＝3＋(2018－1)×2＝4037.命题点2 与图形变化有关的推理例2分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n＝6时，该黑色三角形内去掉小三角形个数为________．答案364解析由图可知，每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的3倍加1，所以，n＝1时，a1＝1；n＝2时，a2＝3＋1＝4；n＝3时，a3＝3×4＋1＝13；n＝4时，a4＝3×13＋1＝40；n＝5时，a5＝3×40＋1＝121；n＝6时，a6＝3×121＋1＝364.思维升华归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．(2)与式子有关的推理．观察每个式子的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．(3)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．跟踪训练1某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为________．答案55解析由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55.题型二类比推理例3(1)已知{a n}为等差数列，a1010＝5，a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝5×2019.若{b n}为等比数列，b1010＝5，则{b n}类似的结论是________________．答案b1b2b3…b2019＝52019解析在等差数列{a n}中，令S＝a1＋a2＋a3＋…＋a2019，则S＝a2019＋a2018＋a2017＋…＋a1，∴2S＝(a1＋a2019)＋(a2＋a2018)＋(a3＋a2017)＋…＋(a2019＋a1)＝2019(a1＋a2019)＝2019×2a1010＝10×2019，∴S＝a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝5×2019.在等比数列{b n}中，令T＝b1b2b3 (2019)则T＝b2019b2018b2017 (1)∴T2＝(b1b2019)(b2b2018)(b3b2017)…(b2019b1)＝(b21010)2019，∴T＝b1b2b3…b2019＝(b1010)2019＝52019.(2)祖暅是我国古代的伟大科学家，他在5世纪末提出祖暅：“幂势即同，则积不容异”，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．祖暅原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积，例如由圆锥和圆柱的体积推导半球体的体积，其示意图如图所示，其中图(1)是一个半径为R的半球体，图(2)是从圆柱中挖去一个圆锥所得到的几何体．(圆柱和圆锥的底面半径和高均为R)利用类似的方法，可以计算抛物体的体积：在xOy坐标系中，设抛物线C的方程为y＝1－x2(－1≤x≤1)，将曲线C围绕y轴旋转，得到的旋转体称为抛物体．利用祖暅原理可计算得该抛物体的体积为________．答案π2解析构造如图所示的直三棱柱，高设为x，底面两个直角边长为2,1，由底面积相等得到，2x ＝π×12，x ＝π2.下面说明截面面积相等，设截面距底面为t ，矩形截面长为a ，圆形截面半径为r ，由左图得到，a 2＝1－t1，∴a ＝2(1－t )，∴截面面积为2(1－t )×π2＝(1－t )π，由右图得到，t ＝1－r 2(坐标系中(图略)易得)， ∴r 2＝1－t ，∴截面面积为(1－t )π， ∴二者截面面积相等，∴体积相等．∴抛物体的体积为V 三棱柱＝Sh ＝12×2×1×π2＝π2.思维升华类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差与等比数列类比；运算类比(加与乘，乘与乘方，减与除，除与开方)．数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等．跟踪训练2在平面上，设h a ，h b ，h c 是△ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c＝1.把它类比到空间中，则三棱锥中的类似结论为____________________．答案P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1 解析设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1.题型三演绎推理例4设同时满足条件：①b n ＋b n ＋22≤b n ＋1(n ∈N *)；②b n ≤M (n ∈N *，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{b n }叫“特界”数列． (1)若数列{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，a 3＝4，S 3＝18，求S n ； (2)判断(1)中的数列{S n }是否为“特界”数列，并说明理由．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋2d ＝4,3a 1＋3d ＝18，解得a 1＝8，d ＝－2，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋9n .(2){S n }为“特界”数列．理由如下：由S n ＋S n ＋22－S n ＋1＝(S n ＋2－S n ＋1)－(S n ＋1－S n )2＝a n ＋2－a n ＋12＝d 2＝－1<0，得S n ＋S n ＋22<S n ＋1，故数列{S n }满足条件①；而S n ＝－n 2＋9n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922＋814(n ∈N *)，则当n ＝4或5时，S n 有最大值20，即S n ≤20，故数列{S n }满足条件②.综上，数列{S n }是“特界”数列．思维升华演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题，应当首先明确什么是大前提和小前提，若前提是显然的，则可以省略．跟踪训练3某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知今天是星期________．答案四解析因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E车明天可以上路，E车周四限行，所以今天不是周三；因为B车昨天限行，所以今天不是周一，不是周五，也不是周日；因为A，C两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周二和周六，所以今天是周四．1．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是____________________．答案n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2解析由题中式子可以归纳：等式左边为连续自然数的和，有2n－1项，且第一项为n，则最后一项为3n －2，等式右边均为2n －1的平方． 2．观察下列三角形数阵： 1 13 15 17 19 111 113 115 117 119 ……按照以上排列的规律，第16行从左到右的第2个数为________．答案1243解析前15行共有15×(15＋1)2＝120(个)数，所以第16行第2个数为a 122＝12×122－1＝1243.3．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c.类比这个结论可知：四面体P －ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，四面体P －ABC 的体积为V ，则r ＝________.答案3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析由类比推理可知r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.4．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，类比这些等式，若6＋a b＝6ab(a ，b 均为正数)，则a ＋b ＝________. 答案 41 解析观察等式2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，第n 个应该是n ＋1＋n ＋1(n ＋1)2－1＝(n ＋1)n ＋1(n ＋1)2－1，则第5个等式中a ＝6，b ＝a 2－1＝35，a ＋b＝41.5．有一个游戏，将标有数字1,2,3,4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示：这4人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为________．答案 4,2,1,3解析由于4个人预测不正确，其各自的对立事件正确，即甲：乙、丙没拿到3；乙：甲、丙没拿到2；丙：甲没拿到1；丁：甲没拿到3.综上，甲没拿到1,2,3，故甲拿到了4，丁拿到了3，丙拿到了1，乙拿到了2. 6．已知f (x )＝x1＋x，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N *，则f 2019(x )的表达式为________．答案 f 2019(x )＝x1＋2019x解析 f 1(x )＝x 1＋x ，f 2(x )＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x 1＋2x ，f 3(x )＝x1＋2x 1＋x 1＋2x ＝x1＋3x，…，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))＝x1＋(n ＋1)x，归纳可得f 2019(x )＝x1＋2019x.7．二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3.应用合情推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度V ＝12πr 3，则其四维测度W ＝________. 答案 3πr 4解析二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；观察发现S ′＝l ，三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S ，∴四维空间中“特级球”的三维测度V ＝12πr 3，猜想其四维测度W ，则W ′＝V ＝12πr 3，∴W ＝3πr 4.8．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推．已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立80年时为________年．答案己酉解析天干是以10为一个周期循环，地支以12为一个周期循环，从1949年到2029年经过80年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为起点，则80÷10＝8，则2029的天干为己，80÷12＝6余8，则2029的地支为酉． 9．已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比得x ＋ax n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________. 答案 n n解析第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n.10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2018这2017个整数中能被2除余1且被3除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列的项数______．答案 336解析因为这些整数能被2除余1且被3除余1，所以这些数组成的数列的通项a n ＝6n ＋1，设6n ＋1≤2018，∴6n ≤2017，∴n ≤33616.所以此数列的项数为336.11．设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解 f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，同理可得f (－1)＋f (2)＝33，f (－2)＋f (3)＝33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.归纳猜想得当x 1＋x 2＝1时，均有f (x 1)＋f (x 2)＝33. 证明：设x 1＋x 2＝1，f (x 1)＋f (x 2)12x x12x x＝33. 12．设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，若a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，证明： (1)a >0且－2<ba<－1；(2)方程f (x )＝0在(0,1)内有两个实根．证明 (1)因为f (0)>0，f (1)>0，所以c >0,3a ＋2b ＋c >0.由a ＋b ＋c ＝0，消去b 得a >c >0；再由条件a ＋b ＋c ＝0，消去c 得a ＋b <0且2a ＋b >0，所以－2<b a<－1.(2)因为抛物线f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c 的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 3a，3ac －b 23a ，又因为－2<b a<－1，所以13<－b 3a <23.因为f (0)>0，f (1)>0，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 3a ＝3ac －b 23a ＝－a 2＋c 2－ac 3a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －c 22＋3c243a<0，所以方程f (x )＝0在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，－b 3a 与⎝ ⎛⎭⎪⎫－b3a ，1内分别有一个实根，故方程f (x )＝0在(0,1)内有两个实根．13．一质点从坐标原点出发，按如图的运动轨迹运动，每步运动一个单位，例如第3步结束时该质点所在位置的坐标为(0,1)，第4步结束时质点所在位置的坐标为(－1,1)，那么第2018步结束时该质点所在位置的坐标为________．答案 (16，－22)解析当运动：1＋1＋2＋2步时，坐标为(－1，－1)；当运动：1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4步时，坐标为(－2，－2)；当运动：1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6步时，坐标为(－3，－3)； ……当运动：1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋…＋n ＋n (n 为偶数)步时，坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－n 2，－n 2.而1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋…＋n ＋n ≤2018，即n(n＋1)≤2018(n∈N*)，解得n≤44.当n＝44时，该点的坐标为(－22，－22)，共走了1980步，此时还需向右走38步，故最终坐标为(16，－22)．14.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为________．答案8解析由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n(n≥2，n∈N*)层的点数为6(n－1)．设一个点阵有n(n≥2，n∈N*)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n－1)＝1＋6·n(n－1)2＝3n2－3n＋1，由题意，得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)·(n－8)＝0，所以n＝8，故共有8层．15.某电子设备的锁屏图案设计的操作界面如图①所示，屏幕解锁图案的设计规则如下：从九个点中选择一个点为起点，手指依次划过某些点(点的个数在1到9个之间)就形成了一个线路图(线上的点只有首次被划到时才起到确定线路的作用，即第二次被划到不会成为确定线路的点)，这个线路图就形成一个屏幕解锁的图案，则图②所给线路中可以成为屏幕解锁图案的是________．(填序号)答案ab解析由解锁图案的设计规则可知，所给的线路图可以成为屏幕解锁图案的充分条件是：构成线路图的所有的点能且只能起到一次确定线段的作用．将屏保九宫格编号如下：则能形成a线路的方案是：a：1→5→9→2→8→6→4→3→7或者b：7→5→3→4→6→8→2→9→1，两者都能成为屏幕解锁图案；能形成b线路的方案是：c：6→5→4→2→7→8→9→5→8或者d：6→5→4→2→7→8→5→9→8或者e：8→9→5→8→7→2→4→6或者f：8→5→9→7→2→4→6或者g：8→5→4→2→7→9→5→6，其中f能成为屏幕解锁图案；能形成c线路的方案是：h：7→6→5→9→3→2→1→6或者i：7→6→1→2→3→9→5→6或者j：6→5→9→3→2→1→6→7或者k：6→1→2→3→9→5→6→7或者l：7→6→3→2→1→6→9→5→6或者m：7→6→3→2→1→6→5→9→6或者n：7→6→9→5→6→1→2→3→6，其中点6在所有的方案中至少起到两次确定线段的作用，都不能成为屏幕解锁图案．故本题正确答案为ab.16．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB 的长度为a ，在线段AB 上取两个点C ，D ，使得AC ＝DB ＝14AB ，以CD 为一边在线段AB 的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD ，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF 做相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n 个图形(图1为第1个图形)中的所有线段长的和为S n ，现给出有关数列{S n }的四个命题： ①数列{S n }不是等比数列；②数列{S n }是递增数列；③存在最小的正数a ，使得对任意的正整数n ，都有S n >2019；④存在最大的正数a ，使得对任意的正整数n ，都有S n <2019.其中真命题的序号是________．(请写出所有真命题的序号)答案 ①②④解析由题意，得图1中的线段为a ，S 1＝a ，图2中的正六边形的边长为a 2， S 2＝S 1＋a 2×4＝S 1＋2a ，图3中的最小正六边形的边长为a 4， S 3＝S 2＋a 4×4＝S 2＋a ，图4中的最小正六边形的边长为a 8，S 4＝S 3＋a 8×4＝S 3＋a 2，由此类推，S n －S n －1＝a2n －3(n ≥2)，即{S n }为递增数列，且不是等比数列， (S n )min ＝S 1＝a ，若使对任意正整数n ，都有S n >2019，则a >2019. 所以不存在最小的正数a . 即①②正确，③错误；因为S n ＝S 1＋(S 2－S 1)＋(S 3－S 2)＋…＋(S n －S n －1)＝a ＋2a ＋a ＋a 2＋…＋a 2n －3＝a ＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12＝a ＋4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1<5a (n ≥2，n ∈N *)，又S 1＝a <5a ，所以存在最大的正数a ＝20195，使得对任意的正整数n ，都有S n <2019，即④正确．。

【高考】高考数学一轮复习第6章第4节合情推理与演绎推理课后限时自测理苏教版

【关键字】高考【高考讲坛】高考数学一轮复习第6章第4节合情推理与演绎推理课后限时自测理苏教版[A级基础达标练]一、填空题1．(2014·泰州调研)已知在等差数列{an}中，若m＋2n＋p＝s＋2t＋r，m，n，p，s，t，r∈N*，则am＋2an＋ap＝as＋2at＋ar，仿此类比，可得到等比数列{bn}中的一个正确命题：若m＋2n＋p＝s＋2t＋r，m，n，p，s，t，r∈N*，则________．[解析] 等差数列中的加法运算转化为等比数列中的乘法运算，倍数转化为乘方，注意结构对应．[答案] bmbbp＝bsbbr.2．(2012·江西高考改编)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝________.[解析] 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.[答案] 1233．(2014·镇江模拟)观察下列等式：×＝1－，×＋×＝1－，×＋×＋×＝1－，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，×＋×＋…＋×＝________.[解析] 观察1后面的分式的分母结构，为(n＋1)2n，结果为1－.[答案] 1－4．如图6-4-3所示是某年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是________(填序号)．图6-4-3[解析] 该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是①.[答案] ①5．(2014·扬州中学开学检测)求“方程x＋x＝1的解”有如下解题思路：设f(x)＝x＋x，则f(x)在R上单调递减，且f(2)＝1，所以原方程有唯一解x＝2.类比上述解题思路，方程x6＋x2＝(x＋2)3＋x＋2的解集为________．[解析] 设函数f(t)＝t3＋t，则f(t)在R上单调递增，若x2≠x＋2，则f(x2)≠f(x＋2)，原方程不成立，∴必有x2＝x＋2，解得x＝－1或x＝2.[答案] {－1,2}6．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．[解析] 由前四个式子可得，第n个不等式的左边应当为f(2n)，右边应当为，即可得一般的结论为f(2n)≥.[答案] f(2n)≥7．(2014·淮安模拟)若数列{an}是各项均为正数的等比数列，则当bn＝时，数列{bn}也是等比数列；类比上述性质，若数列{cn}是等差数列，则当dn＝________时，数列{dn}也是等差数列．[解析] 由条件类比可知，几何平均数→算术平均数dn＝.[答案]8．给出下列命题：命题1：点(1,1)是直线y＝x与双曲线y＝的一个交点；命题2：点(2,4)是直线y＝2x与双曲线y＝的一个交点；命题3：点(3,9)是直线y＝3x与双曲线y＝的一个交点；……请观察上面的命题，猜想出命题n(n是正整数)为：________.[解析] 根据命题1,2,3的规律知，命题n为点(n，n2)是直线y＝nx与双曲线y＝的一个交点．[答案] 点(n，n2)是直线y＝nx与双曲线y＝的一个交点2、解答题9．已知函数f(x)＝，(1)分别求f(2)＋f，f(3)＋f，f(4)＋f的值；(2)归纳猜想一般性结论，并给出证明．[解] (1)∵f(x)＝，∴f(2)＋f＝＋＝＋＝1，同理可得f(3)＋f＝1，f(4)＋f＝1.(2)由(1)猜想f(x)＋f＝1，证明：f(x)＋f＝＋＝＋＝1.10．老师布置了一道作业题，已知圆C 的方程是x2＋y2＝r2，求证过⊙C 上点M(x0，y0)的切线方程为x0x ＋y0y ＝r2，聪明的小明又对该题进行猜想，有如下结论：若⊙C 的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r2，则过⊙C 上点M(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x －a)＋(y0－b)(y －b)＝r2.你认为猜想正确吗？若正确，给出证明；若不正确，请说明理由．[解] 正确．证明如下：设P(x ，y)为切线上任一点，则＝(x0－x ，y0－y)，＝(x0－a ，y0－b)．又⊥，∴·＝0，即(x0－x)(x0－a)＋(y0－y)(y0－b)＝0.①又(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，化简①得(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2为所求切线． [B 级能力提升练]一、填空题1．(2014·连云港调研)观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 011的末两位数字为________．[解析] ∵72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807,76＝117 649,77＝823 543，… ∴7n (n ∈Z ，且n ≥2)的末两位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，又∵2 011＝502×4＋3，∴72 011与73的末两位相同，末两位数字为43. [答案] 432．已知命题：若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b (m ≠n ，m 、n ∈N *)，则a m ＋n ＝bn －am n －m ；现已知等比数列{b n }(b ≠0，n ∈N *)，b m ＝a ，b n ＝b (m ≠n ，m 、n ∈N *)，若类比上述结论，则可得到b m ＋n ＝________.[解析] 等差数列中的bn 和am 可以类比等比数列中的b n 和a m，等差数列中的bn －am 可以类比等比数列中的b n a m ，等差数列中的bn －am n －m 可以类比等比数列中的n －m b n a m，故b m ＋n ＝n －m b na m. [答案] n －m b na m二、解答题3．(2014·苏州模拟)定义映射f ：A →B ，其中A ＝{(m ，n )|m ，n ∈R}，B ＝R ，已知对所有的有序正整数对(m，n)满足下述条件：①f(m,1)＝1，②若n>m，f(m，n)＝0；③f(m＋1，n)＝n[f(m，n)＋f(m，n－1)]，求f(n,2)．[解]根据定义得f(2,2)＝f(1＋1,2)＝2[f(1,2)＋f(1,1)]＝2f(1,1)＝2×1＝22－2.f(3,2)＝f(2＋1,2)＝2[f(2,2)＋f(2,1)]＝2×(2＋1)＝6＝23－2f(4,2)＝f(3＋1,2)＝2[f(3,2)＋f(3,1)]＝2×(6＋1)＝14＝24－2f(5,2)＝f(4＋1,2)＝2[f(4,2)＋f(4,1)]＝2×(14＋1)＝30＝25－2，所以根据归纳推理可知f(n,2)＝2n－2.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。

苏教版高三数学一轮复习---专项解析13.2 合情推理与演绎推理

13.2 合情推理与演绎推理一、填空题1．下列表述正确的是________．①归纳推理是由部分到整体的推理 ②归纳推理是由一般到一般的推理 ③演绎推理是由一般到特殊的推理 ④类比推理是由特殊到一般的推理 ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理解析归纳推理是由个别到一般的推理，故②错．答案 ①③⑤2．已知数列{a n }满足a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)(n ∈N *)，定义使a 1·a 2·a 3·…·a k 为整数的数k (k ∈N *)叫做幸运数，则k ∈[1,2 011]内所有的幸运数的和为________．解析 a 1·a 2·a 3·…·a k ＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·lg 5lg 4·…·lgk ＋2lgk ＋1＝lg k ＋2lg 2＝log 2(k ＋2)为整数，所以k ＝2t －2(t ∈N *)，又k ∈[1,2 011]，所以k ＝2,22,23，…，210，和为2(210－1)＝2 046. 答案 2 0463．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝________.解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．答案－g (x )4．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析 ∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为1∶8. 答案 1∶85.设等差数列{n a }的前n 项和为n S ,则484S S S ,-,1281612S S S S -,-成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{n b }的前n 项积为n T ,则4T , , 1612T T ,成等比数列.解析由于等差数列与等比数列具有类比性,且等差数列与和、差有关,等比数列与积、商有关,因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时,类比到等比数列为依次每4项的积成等比数列.下面证明该结论的正确性: 设等比数列{n b }的公比为q,首项为1b ,则46812782841811T b q T b q b q +++=,==,K 12121112661211T b q b q +++==,K ∴4224388121148T T b q b q T T =,=, 即2812448()T TT T T =⋅, 故812448T T T T T ,,成等比数列. 答案84T T 128TT 6．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直线坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A (－3,4)，且法向量为n ＝ (1，－2)的直线(点法式)方程为1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A (1,2,3)且法向量为n ＝(－1，－2,1)的平面(点法式)方程为________(请写出化简后的结果)；解析类比可得－1×(x －1)－2×(y －2)＋(z －3)＝0，即x ＋2y －z －2＝0. 答案 x ＋2y －z －2＝0 7．已知5×5数字方阵⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 11 a 12 a 13 a 14 a 15a 21 a 22 a 23 a 24 a 25a 31 a 32 a 33 a 34 a 35a 41 a 42 a 43 a 44 a 45a 51a 52a 53a 54a 55中，a ij＝⎩⎨⎧1 j 是i 的整数倍，－1j 不是i 的整数倍.则∑j ＝25a 3j ＋∑i ＝24a i4＝________.解析∑j ＝25a3j＋∑i ＝24a i4＝(a 32＋a 33＋a 34＋a 35)＋(a 24＋a 34＋a 44)＝(－1＋1－1－1)＋(1－1＋1)＝－1.答案－18.已知a n ＝(13)n ，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9…记A(s ，t)表示第s 行的第t 个数，则A(11,12)＝________.解析由于该三角形数阵的每一行数据个数分别为1,3,5,7,9，…，可得前10行共有10(1＋19)2＝100个数，A(11,12)表示第11行的第12个数，则A(11,12)是数列{a n }的第100＋12＝112个数，即可得A(11,12)＝(13)112，故应选D.答案 (13)1129．观察下列等式： ①cos 2α＝2cos 2α－1；②cos 4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos 6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；④cos 8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1；⑤cos 10α＝m cos 10α－1 280cos 8α＋1 120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1. 可以推测m －n ＋p ＝________. 解析 m ＝29＝512，p ＝5×10＝50. 又m －1 280＋1 120＋n ＋p －1＝1， ∴n ＝－400. 答案 96210．如图是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两个数的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行，第10个数为________．1 2 3 4 5 6 7 …3 5 7 9 11 13 …8 12 16 20 24 … … … …解析观察数表可知，每行数分别构成公差为20,21,22,23，…的等差数列，所以第13行的公差为212.又每行第一个数分别为1,3＝2＋1×20,8＝22＋2×2,20＝23＋3×22,48＝24＋4×23,256＝25＋5×24，…故第13行第一个数为212＋12×211＝7×212，第10个数为7×212＋9×212＝16×212＝216. 答案 216(或65 536)11．已知m ＞0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，可推广为x ＋mxn ≥n ＋1，则m 的值为________．解析 x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3，易得其展开后各项之积为定值1，所以可猜想出x ＋mx n ＝x n ＋x n ＋…＋x n ＋m xn ，也满足各项乘积为定值1，于是m ＝n n . 答案 n n12．已知结论：“在三边长都相等的△ABC 中，若D 是BC 的中点，点G 是△ABC 外接圆的圆心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD 中，若点M 是△BCD 的三边中线交点，O 为四面体ABCD 外接球的球心，则AO OM＝________”．解析如图，设四面体ABCD 的棱长为a ，则由M 是△BCD 的重心，得BM ＝33a ，AM ＝63a ，设OA ＝R ，则OB ＝R ，OM ＝63a －R ，于是由R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫63a －R 2，解得R ＝64a ，所以AOOM ＝64a 63a －64a ＝3.答案 313.将正△ABC 分割成n 2(n ≥2，n ∈N *)个全等的小正三角形((1)，(2)分别给出了n ＝2,3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC 的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别依次成等差数列，若顶点A ，B ，C 处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f (n )，则有f (2)＝2，f (3)＝，…，f (n )＝ .解析当n ＝3时，如图所示，分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知a ＋b ＋c ＝1，x 1＋x 2＝a ＋b ，y 1＋y 2＝b ＋c ， z 1＋z 2＝c ＋a ，x 1＋x 2＋y 1＋y 2＋z 1＋z 2＝2(a ＋b ＋c )＝2,2g ＝x 1＋y 2＝x 2＋z 1＝y 1＋z 2，6g ＝x 1＋x 2＋y 1＋y 2＋z 1＋z 2＝2(a ＋b ＋c )＝2，即g ＝13而f (3)＝a ＋b ＋c ＋x 1＋x 2＋y 1＋y 2＋z 1＋z 2＋g ＝1＋2＋13＝103，进一步可求得f (4)＝5.由上知f (1)中有三个数，f (2)中有6个数，f (3)中共有10个数相加，f (4)中有15个数相加…，若f (n －1)中有a n －1(n ＞1)个数相加，可得f (n )中有(a n －1＋n ＋1)个数相加，且由f (1)＝1＝33，f (2)＝63＝3＋33＝f (1)＋33，f (3)＝103＝f (2)＋43，f (4)＝5＝f (3)＋53，…可得f (n )＝f (n －1)＋n ＋13，所以f (n )＝f (n －1)＋n ＋13＝f (n －2)＋n ＋13＋n3＝…＝n ＋13＋n 3＋n －13＋…＋33＋f (1)＝n ＋13＋n 3＋n －13＋…＋33＋23＋13＝16(n ＋1)(n ＋2)．答案103 16(n ＋1)·(n ＋2) 二、解答题14.如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点. (1)求第n 行实心圆点个数与第n －1，n －2行实心圆点个数的关系. (2)求第11行的实心圆点的个数.【解题指南】设出第n 行实心圆点的个数a n ，空心圆点的个数b n ，则它与第n －1行的关系由题意不难得出，整理可得解.【解析】(1)设第n 行实心圆点有a n 个，空心圆点有b n 个，由树形图的生长规律可得⎩⎨⎧b n ＝a n －1a n ＝a n －1＋b n －1，∴a n ＝a n －1＋b n －1＝a n －1＋a n －2，即第n 行实心圆点个数等于第n －1行与第n －2行实心圆点个数之和. (2)由(1)可得数列{a n }为0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89，…，∴第11行实心圆点的个数就是该数列的第11项55. 【方法技巧】解决“生成”数列的方法解决生成数列的关键在于抓住该数列的生成规律，一方面可以通过不完全归纳法来猜想结论，另一方面也可以通过第n 项与第n －1项的关系来分析与处理.此类问题是高考的热点.15．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；……请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．解析由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为： (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； (2)四面体的体积V ＝13×底面积×高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14.16．如图所示，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 上的点，∠BFD ＝∠A ，且DE ∥BA .求证：ED ＝AF (要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来)．证明 (1)同位角相等，两条直线平行，(大前提) ∠BFD 与∠A 是同位角，且∠BFD ＝∠A ，(小前提) 所以DF ∥EA .(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DE ∥FA 且DF ∥EA ，(小前提)所以四边形AFDE 为平行四边形．(结论) (3)平行四边形的对边相等，(大前提)ED 和AF 为平行四边形的对边，(小前提) 所以ED ＝AF .(结论) 上面的证明可简略地写成：⎭⎬⎫∠BFD ＝∠A ⇒DF ∥EA DE ∥FA ⇒四边形AFDE 是平行四边形⇒ED ＝AF .17．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，(1)求a 18的值；(2)求该数列的前n 项和S n . 解析 (1)由等和数列的定义，数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，易知a 2n －1＝2，a 2n ＝3(n ＝1,2，…)，故a 18＝3. (2)当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a n ) ＝2＋2＋…＋2n 2个2＋3＋3＋…＋3n 2个3＝52n ；当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋a n ＝52(n －1)＋2＝52n －12. 综上所述：S n＝⎩⎪⎨⎪⎧52nn 为偶数，52n －12n 为奇数.18．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式； (3)求1f 1＋1f 2－1＋1f 3－1＋…＋1f n －1的值．解析 (1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2，f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4， ……由上式规律，所以得出f (n ＋1)－f (n )＝4n . 因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ⇒f (n ＋1)＝f (n )＋4n ⇒f (n )＝f (n －1)＋4(n －1) ＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3) ＝…＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1. (3)当n ≥2时，1f n －1＝12nn －1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n . ∴1f 1＋1f 2－1＋1f 3－1＋…＋1f n－1＝1＋12· ⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝32－12n .。

苏教版高三数学一轮复习---13.2 合情推理与演绎推理

§13.2合情推理与演绎推理2020高考会这样考 1.从近几年的高考来看，本部分主要考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论，试题的难度以低、中档为主；2.演绎推理主要与立体几何、解析几何、函数与导数等知识结合在一起命制综合题．复习备考要这样做 1.联系具体实例，体会几种推理的概念和特点，并结合这些方法解决一些应用问题；2.培养归纳、类比、演绎的推理思维模式，培养分析、解决问题的能力．1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．合情推理的过程(1)归纳推理：从个别事实中推演出一般性的结论的推理．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．归纳推理的基本模式：a、b、c∈M且a、b、c具有某属性，结论：∀d∈M，d也具有某属性．(2)类比推理：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同的推理．类比推理是由特殊到特殊的推理．2．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(2)“三段论”可以表示为①大前提：M是P；②小前提：S是M；③结论：S是P.用集合说明：即若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P.[难点正本疑点清源]1．在解决问题过程中，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用．合情推理的结论可能为真，也可能为假，结论的正确性有待于进一步的证明．2．应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．3．演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．1．(2012·陕西)观察下列不等式：1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， ……照此规律，第五个．．．不等式为________．答案 1＋122＋132＋142＋152＋162<116解析观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．∴第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.2．(2011·山东)设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8，f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.答案 x(2n －1)x ＋2n解析依题意，先求函数结果的分母中x 项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为a n ＝2n －1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为b n ＝2n .所以当n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝x(2n －1)x ＋2n . 3．给出下列三个类比结论：①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中结论正确的个数是________．答案 14．“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝⎝⎛⎭⎫13x是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 是增函数(结论)”，上面推理的错误在于________________．答案大前提错误5．(2012·江西改编)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝ 11，…，则a 10＋b 10＝________. 答案 123解析观察规律，归纳推理．从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a 10＋b 10＝123.题型一归纳推理例1 已知函数f (x )＝x 21＋x 2，(1)分别求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13，f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14的值； (2)归纳猜想一般性结论，并给出证明； (3)求值：f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12 012. 思维启迪：所求函数值的和应该具有规律性、经观察可发现f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1. 解 (1)∵f (x )＝x 21＋x2， ∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝221＋22＋⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝221＋22＋122＋1＝1，同理可得f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1，f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1. (2)由(1)猜想f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1，证明：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝1. (3)由(2)可得，原式＝f (1)＋⎣⎡⎦⎤f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋⎣⎡⎦⎤f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋⎣⎡⎦⎤f (2 012)＋f ⎝⎛⎭⎫12 012 ＝f (1)＋2 011＝12＋2 011＝4 0232.探究提高本题实质是根据前几项，归纳猜想一般规律，归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．已知经过计算和验证有下列正确的不等式：3＋17<210，7.5＋12.5<210，8＋2＋12－2<210，根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数m ， n 都成立的条件不等式________．答案若m >0，n >0，则当m ＋n ＝20时，有m ＋n <210解析观察所给不等式可以发现：不等式左边两个根式的被开方数的和等于20，不等式的右边都是210，因此对正实数m ，n 都成立的条件不等式是若m >0，n >0，则当m ＋n ＝20时，有m ＋n <210.题型二类比推理例2 在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC2，那么在四面体A－BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．思维启迪：①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；②三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象；③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；⑤三角形的面积公式中的“二分之一”与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象．解如图①所示，由射影定理知图①AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ， AC 2＝BC ·DC ，∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. ∴1AD 2＝1AB 2＋1AC 2. 类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC 猜想：四面体A —BCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2.如图②，连结BE 并延长交CD 于F ，图②连结AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面ACD .而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF ，在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD2.∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2，故猜想正确．探究提高 (1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为 ①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．(2)类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．已知命题：若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b (m ≠n ，m 、n ∈N *)，则a m ＋n ＝bn －amn －m ；现已知等比数列{b n } (b ≠0，n ∈N *)，b m ＝a ，b n ＝b (m ≠n ，m 、n ∈N *)，若类比上述结论，则可得到b m ＋n ＝__________. 答案 n －m b na m解析等差数列中的bn 和am 可以类比等比数列中的b n 和a m ，等差数列中的bn －am 可以类比等比数列中的b na m ，等差数列中的bn －am n －m 可以类比等比数列中的n －mb n a m ，故b m ＋n ＝n －m b na m.题型三演绎推理例3 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n·S n (n ∈N *)，证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .思维启迪：在推理论证过程中，一些稍复杂的证明题常常要由几个三段论才能完成．大前提通常省略不写，或者写在结论后面的括号内，小前提有时也可以省略，而采取某种简明的推理模式．证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n .∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意的正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论) (第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)探究提高演绎推理的一般模式为三段论，应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提，小前提，然后再找结论．已知函数f (x )＝－aa x ＋a(a >0且a ≠1)．(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫12，－12对称； (2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值．(1)证明函数f (x )的定义域为全体实数，任取一点(x ，y )，它关于点⎝⎛⎭⎫12，－12对称的点的坐标为(1－x ，－1－y )．由已知得y ＝－aa x ＋a，则－1－y ＝－1＋a a x ＋a ＝－a xa x ＋a ，f (1－x )＝－aa 1－x ＋a＝－aa a x＋a＝－a ·a xa ＋a ·a x ＝－a xa x ＋a，∴－1－y ＝f (1－x )，即函数y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫12，－12对称． (2)解由(1)有－1－f (x )＝f (1－x )，即f (x )＋f (1－x )＝－1.∴f (－2)＋f (3)＝－1，f (－1)＋f (2)＝－1， f (0)＋f (1)＝－1.则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3.归纳不准确致误典例：(5分)如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{a n}(n∈N*)的前12项，如下表所示．按如此规律下去，则a2 009＋a2 010＋a2 011＝__________.易错分析本题中的“按如此规律下去”就是要求由题目给出的6个点的坐标和数列的对应法则，归纳出该数列的一般关系．可能出现的错误有两种：一是归纳时找不准“前几项”的规律，胡乱猜测；二是弄错奇偶项的关系．本题中各个点的纵坐标对应数列的偶数项，并且逐一递增，即a2n＝n(n∈N*)，各个点的横坐标对应数列的奇数项，正负交替后逐一递增，并且满足a4n－3＋a4n－1＝0(n∈N*)，如果弄错这些关系就会得到错误的结果，如认为当n为偶数时a n＝n，就会得到a2 009＋a2 010＋a2 011＝2 010的错误结论．解析a1＝1，a2＝1，a3＝－1，a4＝2，a5＝2，a6＝3，a7＝－2，a8＝4，…，这个数列的规律是奇数项为1，－1,2，－2,3，…，偶数项为1,2,3，…，故a2 009＋a2 011＝0，a2 010＝1 005，故a2 009＋a2 010＋a2 011＝1 005.答案 1 005温馨提醒由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验．因此，它不能作为数学证明的工具.方法与技巧1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．3．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．失误与防范1．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．2．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．3．合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据．A 组专项基础训练 (时间：35分钟，满分：62分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．下面是关于演绎推理的几种叙述：①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得出的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”；④“三段论”中的大前提有时可以省略．其中正确的说法是________．(填序号) 答案 ①③④解析根据课本知识容易得知①③④都是正确的，只有在大前提和小前提都正确的时候才能保证演绎推理的结论正确．2．由710>58，911>810，1325>921，…，若a >b >0，m >0，则b ＋m a ＋m 与b a之间的大小关系为________．答案 b ＋m a ＋m >b a3．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”；⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝ab ”．以上式子中，类比得到的结论正确的个数是________．答案 2解析 ①②正确；③④⑤⑥错误．4那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是________．答案 n 2＋n解析由题中数表知：第n 行中的项分别为n,2n,3n ，…，组成一等差数列，所以第n 行第n ＋1列的数是n 2＋n .5．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 外接圆半径r ＝a 2＋b 22.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a ，b ，c ，则其外接球的半径R ＝________.答案 a 2＋b 2＋c 22解析 (构造法)通过类比可得R ＝a 2＋b 2＋c 22.证明：作一个在同一个顶点处棱长分别为a ，b ，c 的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是a 2＋b 2＋c 2，故这个长方体的外接球的半径是a 2＋b 2＋c 22，这也是所求的三棱锥的外接球的半径．6．在平面内有n (n ∈N *，n ≥3)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这n 条直线把平面分成f (n )个平面区域，则f (5)的值是______，f (n )的表达式是________．答案 16 f (n )＝n 2＋n ＋22解析由题意得，n 条直线将平面分成n (n ＋1)2＋1个平面区域，故f (5)＝16，f (n )＝n 2＋n ＋22. 7．仔细观察下面○和●的排列规律：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○ ●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________．答案 14解析进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，则前n 组两种圈的总数是f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＝n (n ＋3)2，易知f (14)＝119，f (15)＝135，故n ＝14. 二、解答题(共27分)8．(13分)已知函数y ＝f (x )，满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )，试证明：f (x )为R 上的单调增函数．证明设x 1，x 2∈R ，取x 1<x 2，则由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)， ∴x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]>0， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0，∵x 1<x 2，∴f (x 2)－f (x 1)>0，f (x 2)>f (x 1)．所以y ＝f (x )为R 上的单调增函数．9．(14分)f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解 f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13(1＋3) ＝33(1＋3)＋13(1＋3)＝33，同理可得：f (－1)＋f (2)＝33，f (－2)＋f (3)＝33. 由此猜想f (x )＋f (1－x )＝33.证明：f (x )＋f (1－x )＝13x ＋3＋131－x ＋3＝13x ＋3＋3x3＋3·3x＝13x ＋3＋3x3(3＋3x ) ＝3＋3x3(3＋3x )＝33.B 组专项能力提升 (时间：35分钟，满分：58分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质： (1)1*1=1，（2）（n +1）*1=n *1+1，则n *1= . 答案 n解析由(n ＋1)*1＝n *1＋1，得n *1＝(n －1)*1＋1＝(n －2)*1＋2=…=1*1+（n -1）. 又∵1*1=1,∴n *1=n .2．设正数数列{a n }前n 项和为S n ，且存在正数t ，使得对所有自然数n ，有tS n ＝t ＋a n 2，则通过归纳猜想可得到S n ＝________. 答案 n 2t解析令n ＝1，则ta 1＝t ＋a 12，∴S 1＝a 1＝t .令n ＝2，则t (a 1＋a 2)＝t ＋a 22，则a 2＝3t .∴S 2＝4t .同理S 3＝9t .归纳S n ＝n 2t .3．(2012·课标全国改编)设点P 在曲线y ＝12e x 上，点Q 在曲线y ＝ln(2x )上，则|PQ |的最小值为____________．答案2(1－ln 2)解析由题意知函数y ＝12e x 与y ＝ln(2x )互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，两曲线上点之间的最小距离就是y ＝x 与y ＝12e x 上点的最小距离的2倍，设y ＝12e x 上点(x 0，y 0)处的切线与y ＝x 平行，有12e x 0＝1，x 0＝ln 2，y 0＝1，∴y ＝x 与y ＝12e x 上点的最小距离是22(1－ln 2)， ∴所求距离为22(1－ln 2)×2＝2(1－ln 2)． 4．给出下列命题：命题1：点(1,1)是直线y ＝x 与双曲线y ＝1x的一个交点；命题2：点(2,4)是直线y ＝2x 与双曲线y ＝8x的一个交点；命题3：点(3,9)是直线y ＝3x 与双曲线y ＝27x的一个交点； …请观察上面命题，猜想出命题n (n 是正整数)为__________________．答案点(n ，n 2)是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n 3x的一个交点解析观察题中给出的命题易知，命题n 中交点坐标为(n ，n 2)，直线方程为y ＝nx ，双曲线方程为y ＝n 3x .故猜想命题n ：点(n ，n 2)是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n 3x的一个交点． 5．(2012·湖北)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3 443,94 249等．显然2位回文数有9个，11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n ＋1(n ∈N ＋)位回文数有________个．答案 90 9×10n解析 (1)4位回文数有1001,1111,1221，…，1991,10个2001,2112,2222，…，2992,10个……9009,9119,9229，…，9999,10个共90个．(2)5位回文数有⎭⎪⎬⎪⎫10001，10101，10201，…，10901，10个11011，11111，11211，…，11911，10个12021，12121，12321，…，12921，10个……19091，19191，19291，…，19991，10个100个． ……⎭⎪⎬⎪⎫90009，90109，90209，…，9090991019，91119，91219，…，9191992029，92129，92229，…，92929……99099，99199，99299，…，99999.100个5位回文数共9×102个，又3位回文数有9×101个 2n ＋1位回文数共9×10n 个． 6．(2012·福建)数列{a n }的通项公式a n ＝n cosn π2＋1，前n 项和为S n ，则S 2 012＝________. 答案 3 018解析当n ＝4k ＋1(k ∈N )时，a n ＝(4k ＋1)·cos 4k ＋12π＋1＝1，当n ＝4k ＋2(k ∈N )时，a n ＝(4k ＋2)·cos4k ＋22π＋1 ＝－(4k ＋2)＋1＝－4k －1，当n ＝4k ＋3(k ∈N )时，a n ＝(4k ＋3)·cos 4k ＋32π＋1＝1，当n ＝4k ＋4(k ∈N )时，a n ＝(4k ＋4)·cos4k ＋42π＋1 ＝(4k ＋4)＋1＝4k ＋5，∴a 4k ＋1＋a 4k ＋2＋a 4k ＋3＋a 4k ＋4＝1－4k －1＋1＋4k ＋5＝6.∴S 2 012＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋…＋a 2 012＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 2 009＋a 2 010＋a 2 011＋a 2 012)＝6×503＝3 018.二、解答题(共28分)7．(14分)在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C .证明 ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B >π2， ∴A >π2－B ，∵y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数， ∴sin A >sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ，同理可得sin B >cos C ，sin C >cos A ，∴sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C .8．(14分)已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，公差为d ，S n 为其前n 项和，且满足a 2n ＝S 2n －1，n ∈N *.数列{b n }满足b n ＝1a n a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和． (1)求a 1、d 和T n ；(2)若对任意的n ∈N *，不等式λT n <n ＋8·(－1)n 恒成立，求实数λ的取值范围．解 (1)在a 2n ＝S 2n －1中，分别令n ＝1，n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＝S 1，a 22＝S 3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 21＝a 1，(a 1＋d )2＝3a 1＋3d ，解得a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1.∵b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝n 2n ＋1. (2)①当n 为偶数时，要使不等式λT n <n ＋8·(－1)n恒成立，即需不等式λ<(n ＋8)(2n ＋1)n＝2n ＋8n＋17恒成立． ∵2n ＋8n ≥8，等号在n ＝2时取得， ∴此时λ需满足λ<25.②当n 为奇数时，要使不等式λT n <n ＋8·(－1)n 恒成立，即需不等式λ<(n －8)(2n ＋1)n ＝2n －8n－15恒成立． ∵2n －8n是随n 的增大而增大， ∴n ＝1时2n －8n取得最小值－6， ∴此时λ需满足λ<－21.综合①②可得λ<－21，∴λ的取值范围是{λ|λ<－21}．。

高考数学一轮总复习课时作业41 合情推理与演绎推理(含解析)苏教版-苏教版高三全册数学试题

课时作业41 合情推理与演绎推理一、选择题1．下列推理是归纳推理的是( B )A ．M ，N 为定点，动点P 满足||PM |－|PN ||＝2a <|MN |(a >0)，则动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线B ．若a 1＝2，a n ＝3n －1求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列{a n }的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积S ＝πab D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇解析：A 选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．B 选项根据前3个S 1，S 2，S 3的值，猜想出S n 的表达式，属于归纳推理，符合要求．C 选项由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积S ＝πab ，用的是类比推理，不符合要求．D 选项用的是类比推理，不符合要求．故选B.2．若a ，b ，c ∈R ，下列使用类比推理得到的结论正确的是( C )A ．“若a ·2＝b ·2，则a ＝b ”类比推出“若a ·c ＝b ·c ，则a ＝b ”B ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋b c(c ≠0)” D ．“(ab )n ＝a n b n ”类比推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n (n ∈N *)”解析：对于A ，若“a ·2＝b ·2，则a ＝b ”类比推出“若a ·c ＝b ·c ，则a ＝b ”，不正确，比如c ＝0，则a ，b 不一定相等，故A 错；对于B ，“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c＝ac ·bc ”，而(a ·b )c ＝ac ·b ＝a ·bc ，故B 错；对于C ，“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋b c＝a c ＋b c(c ≠0)”，故C 正确；对于D ，由“(ab )n ＝a n b n ”类比推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n (n ∈N *)”，当n ＝2时，(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，故D 错．3．“对数函数是非奇非偶函数，f (x )＝log 2|x |是对数函数，因此f (x )＝log 2|x |是非奇非偶函数”，以上推理( C )A．结论正确B．大前提错误C．小前提错误D．推理形式错误解析：本命题的小前提是f(x)＝log2|x|是对数函数，但是这个小前提是错误的，因为f(x)＝log2|x|不是对数函数，它是一个复合函数，只有形如y＝log a x(a>0且a≠1)的才是对数函数．故选C.4．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(B)A．121B．123C．231D．211解析：令a n＝a n＋b n，则a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝7，a5＝11，…，得a n＋2＝a n＋a n＋1，从而a6＝18，a7＝29，a8＝47，a9＝76，a10＝123.5．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102.根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63等于(C)A．192B．202C．212D．222解析：因为13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，等式的右端依次为(1＋2)2，(1＋2＋3)2，(1＋2＋3＋4)2，所以13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212，故选C.6．中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造．据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年．算筹记数的方法是：个位、百位、万位…的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位…的数按横式的数码摆出，如7738可用算筹表示为.1～9这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则3log264的运算结果可用算筹表示为(D)解析：根据题意，3log264＝36＝729，用算筹记数法表示为，故选D.7．我国的刺绣有着悠久的历史，如图，(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(n)的表达式为(D)A．f(n)＝2n－1 B．f(n)＝2n2C．f(n)＝2n2－2n D．f(n)＝2n2－2n＋1解析：因为f(2)－f(1)＝4，f(3)－f(2)＝8，f(4)－f(3)＝12，…，结合图形不难得到f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，累加得f(n)－f(1)＝2n(n－1)＝2n2－2n，故f(n)＝2n2－2n＋1.8．(2020·某某评估)我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角．以下数表的构造思路就来源于杨辉三角．从第二行起，每一行中的数均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a，则a的值为(C)A．2 018×21 008B．2 018×21 009C．2 020×21 008D．2 020×21 009解析：解法1：当第一行有2个数时，最后一行为4＝2×21，当第一行有3个数时，最后一行为12＝3×22，当第一行有4个数时，最后一行为32＝4×23，当第一行有5个数时，最后一行为80＝5×24，依次类推，当第一行有1 010个数时，最后一行为a＝1 010×21 009＝2 020×21 008，故选C.解法2：该三角形数表，从第一行开始，每行中间的数或中间两数的均值依次为1 010,2 020,4 040,8 080，…，易知上述数列是一个首项为1 010，公比为2的等比数列．该三角形数表共有1 010行，所以最后一行的数a＝1 010×21 010－1＝1 010×21 009＝2 020×21 008，故选C.9．(2020·某某七校联考)某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C 两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是(A) A．今天是周四B．今天是周六C．A车周三限行D．C车周五限行解析：在限行政策下，要保证每天至少有四辆车可以上路行驶，周一到周五每天只能有一辆车限行．由周末不限行，B车昨天限行知，今天不是周一，也不是周日；由E车周四限行且明天可以上路可知，今天不是周三；由E车周四限行，B车昨天限行知，今天不是周五；从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，如果今天是周二，A，C两车连续行驶到周五，只能同时在周一限行，不符合题意；如果今天是周六，则B车周五限行，A，C两车连续行驶到周二，只能同时在周三限行，不符合题意．所以今天是周四．故选A.10．(2019·全国卷Ⅲ)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为(A)A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙解析：依题意，若甲预测正确，则乙、丙均预测错误，此时三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若乙预测正确，此时丙预测也正确，这与题意相矛盾；若丙预测正确，则甲预测错误，此时乙预测正确，这与题意相矛盾．综上所述，三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙，选A.二、填空题11．在平面上，设h a ，h b ，h c 是△ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c＝1.把它类比到空间中，则三棱锥中的类似结论为P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P d h d＝1. 解析：设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A -BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A -BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P d h d＝1.12．已知a i >0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式：a 1＋a 22≥a 1a 2； a 1＋a 2＋a 33≥3a 1a 2a 3； a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4a 1a 2a 3a 4； …照此规律，当n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n .解析：根据题意得a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n (n ∈N *，n ≥2)． 13．已知f (x )＝x 1＋x，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N *，则f 2 019(x )的表达式为f 2 019(x )＝x 1＋2 019x.解析：f1(x)＝x1＋x，f2(x)＝x1＋x1＋x1＋x＝x1＋2x，f3(x)＝x1＋2x1＋x1＋2x＝x1＋3x，…，f n＋1(x)＝f(f n(x))＝x1＋(n＋1)x，归纳可得f2 019(x)＝x1＋2 019x.14．如图所示，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，截下的是一个直角三角形，有勾股定理c2＝a2＋b2.空间中的正方体，用一平面去截正方体的一角，截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，若这三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，截面面积为S，类比平面的结论有S2＝S21＋S22＋S23.解析：三角形类比空间中的三棱锥，线段的长度类比图形的面积，于是作出猜想：S2＝S21＋S22＋S23.15．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2 018这2 017个整数中能被2除余1且被3除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为336.解析：因为这些整数能被2除余1且被3除余1，所以这些数组成的数列的通项a n ＝6n ＋1，设6n ＋1≤2 018，所以6n ≤2 017，所以n ≤33616. 所以此数列的项数为336.。

2020届江苏高考数学(文)总复习讲义：合情推理与演绎推理

• •)必过数材美2 •演绎推理(1) 定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理•简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.(2) “三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ① 大前提 -- 已知的一般原理； ② 小前提一一所研究的特殊情况；③ 结论一一根据一般原理，对特殊情况做出的判断. ［小题体验］1. _____________ 已知数列｛a n ｝中，a i = 1, n > 2时，a “ = a “-1 + 2n - 1，依次计算a ?,比,后，猜想 a n 的表达式是 _______ •答案：a n = n 22.已知数列｛a n ｝的第1项a 1= 1，且a n +1 = 齐二⑴=1,2,3, ^式 a = ________ .答案：1n3.在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1 : 2,则它们的面积比为 1 :4.类似地,在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1 : 2,则它们的体积比为 ___________ .答案：1 : 8必过易措关1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明.第三节合情推理与演绎推理…)，归纳该数列的通项公2•演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.3•合情推理中运用猜想不能凭空想象，要有猜想或拓展依据.［小题纠偏］答案:2 •推理：“①矩形是平行四边形； ②三角形不是平行四边形； ③所以三角形不是矩形” 中的小前提是 ________ (填序号)•解析：由三段论的形式，可知小前提是三角形不是平行四边形•故填② 答案：②考点一类比推理基础送分型考点一一自主练透［题组练透］2 21.若P o (x o , y o )在椭圆字+存=1(a >b >0)夕卜，过P 2,则切点弦P i P 2所在的直线方程是学+ y oy = 1，那么对于双曲线则有如下命题：若P(X o ,弦P i P 2所在直线的方程是 ___________ •2 2解析：类比椭圆的切点弦方程可得双曲线拿一b ^= i 的切点弦方程为xa ^^—翠=i. 答案：Xo X 一遐=i2•半径为x(x >o)的圆的面积函数f(x)的导数等于该圆的周长的函数•对于半径为 R(R> o)的球，类似的结论为 _______________________________ •解析：因为半径为x(x > o)的圆的面积函数f(x) = n 2, 所以 f ' (x)= 2 Ttx.类似地，半径为 R(R >o)的球的体积函数 V(R) = ;d R 3，所以 V (R)= 4冗R 2. 故对于半径为 R(R > o)的球，类似的结论为半径为 R(R > o)的球的体积函数 V(R)的导数等于该球的表面积的函数.答案：半径为R(R > o)的球的体积函数V(R)的导数等于该球的表面积的函数kkk**3. (2oi8宿迁期末)对于自然数方幕和S k (n)= i + 2+・・・+ n (n € N , k € N ), S i (n) =n n； 1 , S 2(n) = 12+ 22+…+ n 2,求和方法如下：d .2 , 3 2 , 41•由 3v 4, 3<5,…，猜想若m >。

高考数学(苏教版文)一轮配套学案：合情推理与演绎推理

第2讲合情推理与演绎推理知识梳理1．归纳推理(1)定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性的推理．或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．(2)归纳推理的特点①归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理；②归纳推理的结论不一定为真；③归纳的个别情况越多，越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠．2．类比推理(1)定义：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征的推理，称为类比推理．类比推理是两类事物特征之间的推理．(2)类比推理的特点①类比推理是由特殊到特殊的推理；②类比推理属于合情推理，其结论具有或然性，可能为真，也可能为假；③类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，类比得出的命题就越可靠．3．演绎推理(1)定义：演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．(2)演绎推理的特点①演绎推理是由一般到特殊的推理；②当前提为真时，结论必然为真．(3)演绎推理的主要形式是三段论，其一般模式为：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．辨析感悟1．对合情推理的认识(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(√)(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×)(4)(教材习题改编)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n＝n(n ∈N*)．(×)(5)(2014·安庆调研改编)在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.(√)2．对演绎推理的认识(6)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)(7)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(×)[感悟·提升]三点提醒一是合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的．二是在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误，如(3)．三是应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．如(7).考点一归纳推理【例1】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________.解析由N (n,3)＝12n 2＋12n ，N (n,4)＝22n 2＋02n ，N (n,5)＝32n 2＋－12n ，N (n,6)＝42n 2＋－22n ，推测N (n ，k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －22n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－k 2n ，k ≥3. 从而N (n,24)＝11n 2－10n ，N (10,24)＝1 000.答案 1 000规律方法归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．【训练1】 (1)(2014·佛山质检)观察下列不等式： ①12＜1；②12＋16＜2；③12＋16＋112＜ 3. 则第5个不等式为________．(2)(2013·陕西卷)观察下列等式(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5……照此规律，第n 个等式可为________．解析 (2)由已知的三个等式左边的变化规律，得第n 个等式左边为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n 个等式右边为2n 与n 个奇数之积，即2n ×1×3×5×…×(2n －1)．答案 (1)12＋16＋112＋120＋130＜ 5 (2)(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)考点二类比推理【例2】在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，则三角形面积为S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为________”．审题路线三角形面积类比为四面体的体积⇒三角形的边长类比为四面体四个面的面积⇒内切圆半径类比为内切球的半径⇒二维图形中12类比为三维图形中的13⇒得出结论．答案 V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r规律方法在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．【训练2】二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S .则四维空间中“超球”的四维测度W ＝2πr 4，猜想其三维测度V ＝________.解析由已知，可得圆的一维测度为二维测度的导函数；球的二维测度是三维测度的导函数．类比上述结论，“超球”的三维测度是四维测度的导函数，即V ＝W ′＝(2πr 4)′＝8πr 3.答案 8πr 3考点三演绎推理【例3】数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n .∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n ＋1n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提)∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)规律方法演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．【训练3】“因为对数函数y＝log a x是增函数(大前提)，而y＝log 14x是对数函数(小前提)，所以y＝log 14x是增函数(结论)”，以下推理的错误是________．①大前提错误导致结论错误；②小前提错误导致结论错误；③推理形式错误导致结论错误；④大前提和小前提错误导致结论错误．解析当a＞1时，函数y＝log a x是增函数；当0＜a＜1时，函数y＝log a x是减函数．故大前提错误导致结论错误．答案①1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．3．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．创新突破9——新定义下的归纳推理【典例】(2013.湖南卷)对于E＝{a1，a2，...，a100}的子集X＝{ai1，ai2，...，ai k}，定义X的“特征数列”为x1，x2， (x100)其中xi 1＝xi 2＝…＝xi k ＝1，其余项均为0.❶例如：子集{a 2，a 3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0.❷(1)子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”的前3项和等于______；(2)若E 的子集P 的“特征数列”p 1，p 2，…，p 100满足p 1＝1，p i ＋p i ＋1＝1,1≤i ≤99；E 的子集Q 的“特征数列”q 1，q 2，…，q 100满足q 1＝1，q j ＋q j ＋1＋q j ＋2＝1,1≤j ≤98，则P ∩Q 的元素个数为________．错误!解析 (1)根据题意可知子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,0，…，0，此数列前3项和为2.(2)根据题意可写出子集P 的“特征数列”为1,0,1,0,1，0，…，1,0，则P ＝{a 1，a 3，…，a 2n －1，…，a 99}(1≤n ≤50)，子集Q 的“特征数列”为1,0,0,1,0,0，…，1,0,0,1，则Q ＝{a 1，a 4，…，a 3k －2，…，a 100}(1≤k ≤34)，则P ∩Q ＝{a 1，a 7，a 13，…，a 97}，共有17项．答案 (1)2 (2)17[反思感悟] 此类问题一定要抓住题设中的例子与定义的紧密结合，细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，需有一定的逻辑推理能力．【自主体验】若定义在区间D 上的函数f (x )对于D 上的n 个值x 1，x 2，…，x n 总满足1n [f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，称函数f (x )为D 上的凸函数．现已知f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．解析已知1n [f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，(大前提) 因为f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，(小前提)所以f (A )＋f (B )＋f (C )≤3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3，(结论) 即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332.因此sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是332.答案 332基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理________．①结论正确；②大前提不正确；③小前提不正确；④全不正确．解析 f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数而是复合函数，所以小前提不正确．答案 ③2．(2014·西安五校联考)观察下式：1＝12；2＋3＋4＝32；3＋4＋5＋6＋7＝52；4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则得出第n 个式子的结论：________.解析各等式的左边是第n 个自然数到第3n －2个连续自然数的和，右边是中间奇数的平方，故得出结论：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2. 答案 n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)23．若等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，且通项为S n n ＝a 1＋(n －1)·d 2，类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{b n }的首项为b 1，公比为q ，前n 项的积为T n ，则________．答案数列{n T n }为等比数列，且通项为n T n ＝b 1(q )n －14．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理得：若定义在R上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝________. 解析由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．答案－g (x )5．(2012·江西卷改编)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于________．解析从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a 10＋b 10＝123. 答案 1236．(2014·长春调研)类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S (x )＝a x －a －x ，C (x )＝a x ＋a －x ，其中a ＞0，且a ≠1，下面正确的运算公式是________． ①S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；②S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )；③2S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；④2S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )．解析经验证易知①②错误．依题意，注意到2S (x ＋y )＝2(a x ＋y －a －x －y )，S (x )C (y )＋C (x )S (y )＝2(a x ＋y －a －x －y )，因此有2S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；同理有2S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )．答案 ③④7．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”；③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”；⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”；⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a b ”．以上式子中，类比得到的结论正确的是________．解析 ①②正确；③④⑤⑥错误．答案①②8．(2014·南京一模)给出下列等式：2＝2cos π4，2＋2＝2cosπ8，2＋2＋2＝2cos π16，请从中归纳出第n个等式：2＋…＋2＋2＝________.答案2cosπ2n＋1二、解答题9．给出下面的数表序列：表1表2表31131354 4812…其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n个数是1,3，5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．解表4为13574812122032它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．10．f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解f(0)＋f(1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13(1＋3)＝33(1＋3)＋13(1＋3)＝33，同理可得：f(－1)＋f(2)＝33，f(－2)＋f(3)＝33.由此猜想f(x)＋f(1－x)＝3 3.证明：f(x)＋f(1－x)＝13x＋3＋131－x＋3＝13x＋3＋3x3＋3·3x＝13x＋3＋3x3(3＋3x)＝3＋3x3(3＋3x)＝33.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(2012·江西卷改编)观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为________．解析由|x|＋|y|＝1的不同整数解的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x|＋|y|＝n的不同整数解的个数为4n，故|x|＋|y|＝20的不同整数解的个数为80.答案802．观察下列各式9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为________．解析9－1＝(1＋2)2－12＝4(1＋1)，16－4＝(2＋2)2－22＝4(2＋1)，25－9＝(3＋2)2－32＝4(4＋1)，36－16＝(4＋2)2－42＝4×(5＋1)，…，一般地，有(n＋2)2－n2＝4(n ＋1)(n∈N*)．答案(n＋2)2－n2＝4(n＋1)(n∈N*)3．(2013·湖北卷)在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是________；(2)已知格点多边形的面积可表示为S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则S＝________(用数值作答)．解析(1)四边形DEFG是一个直角梯形，观察图形可知：S＝(2＋22)×2×1 2＝3，N＝1，L＝6.(2)由(1)知，S四边形DEFG＝a＋6b＋c＝3.S△ABC＝4b＋c＝1.在平面直角坐标系中，取一“田”字型四边形，构成边长为2的正方形，该正方形中S＝4，N＝1，L＝8.则S＝a＋8b＋c＝4.联立解得a＝1，b＝12.c＝－1.∴S＝N＋12L－1，∴若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则S＝71＋12×18－1＝79.答案(1)3,1,6(2)79二、解答题4．(2012·福建卷)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－1 4＝3 4.(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝3 4.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sinα·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin2α＋34cos2α＋32sin αcos α＋14sin2α－32sin αcos α－12sin2α＝34sin2α＋34cos2α＝34.。

高考数学文一轮复习第四合情推理和演绎推理苏教江苏专用

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