苏教版数学高二-选修1-1 双曲线及其标准方程

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高中数学(苏教版)选修1-1 名师课件：第2章 2.3 2.3.1 双曲线的标准方程 (共25张PPT)

解：(1)由题设知，a＝4，c＝5，由 c2＝a2＋b2，得 b2＝c2－a2＝52－42＝9. 因为双曲线的焦点在 y 轴上，所以所求双曲线的标准方程为 y2 x2 －＝1. 16 9
(2)由已知得 c＝6，且焦点在 y 轴上．因为点 A(－5,6)在双曲线上，所以点 A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数 2a，即 2a＝ | －5－02＋6＋62 －－5－02＋6－62 |＝ |13－ 5|＝ 8，则 a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20. y2 x2 因此，所求双曲线的标准方程是－＝1. 16 20
(不符合题意，舍去)．
2 y 综上：所求双曲线的标准方程为 x2－＝1. 3
法二：设双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)，因为双曲线过两点 P(－ 2，－ m－ 22＋n－ 32＝1，得 152 2 m ＋ n 2 ＝1， 3
时，表示焦点在 y 轴上的双曲线．
x2 y2 3．k＞9 是方程＋＝1 表示双曲线的____________条件(填“充 9－k k－4 分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．
用待定系数法求双曲线方程
[例 1] 已知双曲线过点 P(－ 2，－
3)，Q 15 ， 2两点， 3
求双曲线的标准方程． [思路点拨] 解答本题可分情况设出双曲线的标准方程，再
构造关于 a、b、c 的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程．也可以设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式，将两点代入，简化运算过程．
即 a2＝1，b2＝3，
2
y2 ∴所求双曲线的标准方程为 x －＝1. 3
当双曲线的焦点在 y 轴上时，设双曲线方程为 y2 x2 －＝1(a>0，b>0)， a2 b2 15 ∵P(－ 2，－ 3)，Q ， 2两点在双曲线上， 3

苏教版选择性必修第一册321双曲线的标准方程课件

当 A,M,C 三点共线时等号成立.
(2)解以 EF 所在直线为 x 轴,EF 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系(图略),
设以 E,F 为焦点且过点 P
由
2
的双曲线方程为 2

−
2
2 =1,焦点为

E(-c,0),F(c,0).
1
tan∠PEF= ,tan∠EFP=-2,tan∠PFx=tan(π-∠EFP)=2,得直线
且a=680,c=1 020,故b2=1 0202-6802=5×3402.
因此,双曲线方程为
2
2
680
−
2
2 =1(x≤-680).①
5×340
又 PA=PC,因此点 P 在直线 y=-x 上,
把 y=-x 代入①式,得 x=-680√5.
所以 P(-680√5,680√5),OP=680√10(m).
故△ =
1
2
1
1
PF
PF
1·
2= ×32=16.
2
2
=
100-100
=0,
2×32
规律方法 1.求双曲线中距离的范围和焦点三角形面积的策略:
(1)数形结合.
利用双曲线的定义,弄清PF1,PF2,F1F2三者之间满足的关系式,一般常用到
三角变换和解三角形的知识.
(2)化归思想.
将原问题等价转化为易解决的问题,在双曲线中,尤其要注意特殊图形的性
提示双曲线标准方程中,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数
为正,那么焦点在y轴上.
重难探究•能力素养全提升
探究点一求双曲线的标准方程
【例1】求适合下列条件的双曲线的标准方程:

高中数学双曲线及其标准方程教案1 苏教版选修1-1

2.3.1双曲线及其标准方程教学目标知识目标：了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，并能初步应用。

能力目标：通过与椭圆类比获得双曲线的知识，培养学生类比、分析、归纳、推理等能力和善于寻找数学规律的能力。

德育目标：在类比探究过程中激发学生的求知欲，培养他们浓厚的学习兴趣及培养学生认真参与积极交流的主体意识，锻炼学生善于发现问题的规律和解决问题的态度。

重点：双曲线的定义及其标方程和简单应用。

难点：对双曲线定义的理解，正确运用双曲线定义推导方程。

教学过程：一.复习提问，引入新课。

问题1.椭圆的定义是什么？问题2.椭圆的标准方程是怎样的？c b a 、、关系如何？问题 3.如果把上述定义中的“距离的和”改为“距离的差”那么点的轨迹会发生怎样的变化？师：（多媒体演示动点轨迹）。

师：同学们观察一下，动点M 所满足的几何条件是什么？生：21MF MF ，长度在变，但常数=-21MF MF 。

师：这个常数与21F F 的大小关系如何？为什么？生：小于21F F ，三角形中两边之差小于第三边。

师：用同样的方法，使常数=-12MF MF ，就得到另一条曲线，这两条曲线合起来叫做双曲线，每条叫做双曲线的一支。

（板书课题）二.形成概念，推导方程。

师：双曲线上的点应满足的条件是什么？生：常数=-21MF MF （小于21F F ）。

师：类比椭圆的定义，请同学概括双曲线的定义。

1.双曲线的定义。

（投影）师：定义中的“绝对值”三字去掉，能否表示双曲线？生：不能，为双曲线的一支。

师：定义中的常数21F F =，轨迹是什么？常数21F F >呢?生：以21F F 、为端点的两条射线。

常数21F F >无轨迹。

2.标准方程的推导。

生：①建系。

使x 轴经过两定点21,F F ，y 轴为线段21F F 的垂直平分线。

②设点。

设),(y x M 是双曲线上任一点，焦距为c 2，那么焦点)0.(),0,(21c F c F -，a MF MF 221=-。

江苏省徐州苏教版高中数学选修1-1学案：2.2.1双曲线的标准方程(2)

一、预习检查1. 焦点的坐标为（-6，0）、（6，0），且经过点A （-5，2）的双曲线的标准方程为．2. 已知双曲线2288kx ky -=的一个焦点为()0,3，则k 的值为． 3. 椭圆134222=+n y x 和双曲线116222=-y nx 有相同的焦点，则实数n 的值是．4.焦点在x 轴上的双曲线过点3)P -，且(0,5)Q 与两焦点的连线互相垂直，则该双曲线的标准方程为．二、问题探究例1、已知B A ,两地相距800m ，一炮弹在某处爆炸，在A 处听到爆炸声的时间比在B 处晚2s ，设声速为340 m ／s ．(1)爆炸点应在什么样的曲线上？ (2)求这条曲线的方程．例2、根据下列条件，求双曲线的标准方程（1）6=c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上；（2）与双曲线221164x y -= 有相同焦点，且经过点()2,23 ．例3、(理)已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两个焦点为1F 、2F ，点A 在双曲线第一象限的图象上，若△21F AF 的面积为1，且21tan 21=∠F AF ，2tan 12-=∠F AF ，求双曲线方程.三、思维训练1、已知21,F F 是双曲线191622=-y x 的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为600，那么PQ QF PF -+22的值为．2、已知双曲线1422=-y x 的两个焦点为分别为21,F F ，点P 在双曲线上且满足=∠21PF F ︒90，则21PF F ∆的面积是．3、判断方程13922=---k y k x 所表示的曲线。

4、已知ABC ∆的底边BC 长为12，且底边固定，顶点A 是动点，使A C B sin 21sin sin =-，求点A 的轨迹四、知识巩固1、若方程22123x y m m -=-- 表示双曲线，则实数m 的取值范围是． 2、设21,F F 是双曲线1422=-y x 的焦点，点P 在双曲线上,且02190=∠PF F ,则点P 到x 轴的距离为．3、P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点，若F 是一个焦点，以PF 为直径的圆与圆222a y x =+的位置关系是．4、求与圆1)3(22=+-y x 及9)3(22=++y x 都外切的动圆圆心的轨迹方程．5、已知定点B A ,且4=AB ，动点P 满足3=-PB PA ，则PA 的最小值是．6、(理)过双曲线12514422=-y x 的一个焦点作x 轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离。

高中数学(苏教版选修1-1)第2章圆锥曲线与方程双曲线1

1.了解双曲线标准方程的推导过程.(难点)2.掌握双曲线两种标准方程的形式.(重点)[基础·初探]教材整理双曲线的标准方程阅读教材P 37～P 38例1以上部分，完成下列问题.1.判断正误：(1)x 22－y 23＝1表示焦点在y 轴上的双曲线.( ) (2)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1中，a ＞0，b ＞0，且a ≠b .( )(3)双曲线的标准方程中，a ，b 的大小关系是a ＞b .( ) 【解析】 (1)×.方程x 22－y 23＝1表示焦点在x 轴上的双曲线.(2)×.当a ＝b 时方程也表示双曲线.(3)×.双曲线的标准方程中a ，b 的大小关系不确定. 【答案】 (1)× (2)× (3)×2.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，c a ＝32，则C 的方程是________.【解析】右焦点为F (3,0)说明两层含义：双曲线的焦点在x 轴上；c ＝3. 又离心率为c a ＝32，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝32－22＝5，故C 的方程为x 24－y 25＝1.【答案】 x 24－y 25＝1[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________[小组合作型]根据下列条件，求双曲线的标准方程.(1)过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上； (3)与双曲线x 24－y 22＝1有相同焦点且过点P (2,1).【精彩点拨】 (1)设双曲线的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，利用待定系数法求解；(2)已知焦点坐标，设双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(0＜λ＜6)，把点(－5,2)的坐标代入求解；(3)根据条件设出双曲线的标准方程解方程组可求.【自主解答】 (1)设双曲线的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为双曲线过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5，所以⎩⎨⎧9m ＋22516n ＝12569m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－116n ＝19，所以所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.(2)因为双曲线的焦点在x 轴上，c ＝6，所以设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(0＜λ＜6).因为双曲线过点(－5,2)，所以25λ－46－λ＝1，解得λ＝5或λ＝30(舍去).所以所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.(3)由题意，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0).∵两双曲线有相同焦点，∴a 2＋b 2＝c 2＝4＋2.①又点P (2,1)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上.∴4a 2－1b2＝1.② 由①、②联立，得a 2＝b 2＝3. 故所求双曲线方程为x 23－y 23＝1.利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论.(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求.[再练一题]1.求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8； (2)焦点在x 轴上，经过点P (4，－2)和点Q (26，22).【解】 (1)由已知得，c ＝5,2a ＝8，即a ＝4.∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝c 2－a 2＝52－42＝9. ∵焦点在x 轴上，∴所求的双曲线标准方程是x 216－y 29＝1.(2)设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n <0)，则⎩⎪⎨⎪⎧16m ＋4n ＝124m ＋8n ＝1，∴⎩⎨⎧m ＝18n ＝－14，∴双曲线方程为x 28－y 24＝1.已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型.【精彩点拨】由方程满足圆、椭圆、双曲线的条件，对k 的值分类讨论，确定曲线类型. 【自主解答】 (1)当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线； (2)当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆； (3)当k ＜0时，方程为y 24－x 2－4k ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线；(4)当0＜k ＜1时，方程为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k ＞1时，方程为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆.将方程化为标准方程的形式，假如方程为x 2m ＋y2n＝1，(1)当mn <0时，方程表示双曲线.若⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，n <0，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线；若⎩⎪⎨⎪⎧m <0，n >0，则方程表示焦点在y 轴上的双曲线.(2)当mn >0且m >0，n >0，m ≠n 时表示椭圆. (3)当m ＝n >0时表示圆.[再练一题]2.(1)双曲线x 2－y 2k＝1的一个焦点是(2,0)，那么实数k 的值为________.【导学号：24830034】(2)若k ∈R ，方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是________.【解析】 (1)由已知c ＝2，∴c 2＝a 2＋b 2即1＋k ＝4，∴k ＝3.(2)由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ＋3>0，k ＋2<0，解得－3<k <－2.【答案】 (1)3 (2)－3<k <－2[探究共研型]探究1 式来表示双曲线的定义吗？【提示】平面内与两个定点F 1，F 2距离的差的绝对值等于常数(小于F 1F 2 的正数)的点的轨迹叫做双曲线.用数学式可表示为|PF 1－PF 2|＝2a (2a ＜F 1F 2)探究2 设∠F 1PF 2＝θ，类比上一节对椭圆中焦点三角形的讨论，能否用双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中的参数来表示三角形PF 1F 2的面积？【提示】在三角形PF 1F 2中，F 1F 2＝2c .由余弦定理可得F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos θ＝(PF 1－PF 2)2＋2PF 1·PF 2(1－cos θ)，即4c 2＝4a 2＋2PF 1·PF 2(1－cos θ)，所以PF 1·PF 2＝2b 21－cos θ，所以S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2sin θ＝b 2sin θ1－cos θ.探究3 设点F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，则三角形PF 1F 2叫做该双曲线的焦点三角形，通过以上探究，我们解决焦点三角形问题时需要注意哪些知识？【提示】要注意充分利用双曲线的定义、正弦定理、余弦定理(勾股定理)和三角形的面积公式.如图2-3-1所示，已知双曲线中c ＝2a ，F 1，F 2为左、右焦点，P 是双曲线上的点，∠F 1PF 2＝60°；S △F 1PF 2＝12 3.求双曲线的标准方程.图2-3-1【精彩点拨】设出双曲线的标准方程，利用双曲线的定义、余弦定理和三角形的面积公式构建方程组，解之可得双曲线的标准方程.【自主解答】由题意可知双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1.由于|PF 1－PF 2|＝2a ，在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos 60°＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝(PF 1－PF 2)2＋2PF 1·PF 2－F 1F 222PF 1·PF 2所以PF 1·PF 2＝4(c 2－a 2)＝4b 2，所以S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2·sin 60°＝2b 2·32＝3b 2，从而有3b 2＝123，所以b 2＝12，c ＝2a ，结合c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝4. 所以双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.1.在椭圆或双曲线中，凡涉及以两焦点和椭圆或双曲线上一点为顶点的三角形(称为焦点三角形)的问题，一般都可以从圆锥曲线的定义和勾股定理(或正、余弦定理)等知识入手来解决问题.2.在解题过程中，应注意到椭圆与双曲线定义的不同，配方时，一个配成(PF 1＋PF 2)2，另一个配成(PF 1－PF 2)2.[再练一题]3.设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若PF 1∶PF 2＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为________.【导学号：24830035】【解析】由已知得2a ＝2，又由双曲线的定义得，|PF 1－PF 2|＝2，又PF 1∶PF 2＝3∶2， ∴PF 1＝6，PF 2＝4.又F 1F 2＝2c ＝213. 由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝62＋42－522×6×4＝0.∴三角形为直角三角形.∴S △PF 1F 2＝12×6×4＝12.【答案】 12[构建·体系]1.双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距为________.【解析】 c 2＝m 2＋12＋4－m 2＝16，∴c ＝4,2c ＝8. 【答案】 82.满足条件a ＝2，一个焦点为(4,0)的双曲线的标准方程为________. 【解析】由a ＝2，c ＝4，得b 2＝c 2－a 2＝12，又一焦点(4,0)在x 轴上， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.【答案】 x 24－y 212＝13.双曲线x 225－y 29＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为________.【解析】 ∵a 2＝25，∴a ＝5，由双曲线定义可得|PF 1－PF 2|＝10，由题意知PF 1＝12， ∴|PF 1－PF 2|＝±10，∴PF 2＝22或2. 【答案】 22或24.设双曲线x 2－y 28＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 是双曲线上的一点，且PF 1∶PF 2＝3∶4，则△PF 1F 2的面积等于________.【解析】依题意F 1F 2＝6，PF 2－PF 1＝2，因为PF 1∶PF 2＝3∶4，所以PF 1＝6，PF 2＝8，所以等腰△PF 1F 2的面积S ＝12×8×62－⎝⎛⎭⎫822＝8 5.【答案】 8 55.如图2-3-2所示，已知定圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，定圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.图2-3-2【解】圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1；圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4，∴|MF 2|－|MF 1|＝3＜10＝|F 1F 2|.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，于是b 2＝c 2－a 2＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程是x 294－y 2914＝1⎝⎛⎭⎫x ≤－32.我还有这些不足：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________。

苏教版数学高二选修1-1测评双曲线的标准方程

学业分层测评(八) 双曲线的标准方程(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.椭圆x 24＋y 2m 2＝1与双曲线x 2m 2－y 22＝1有相同的焦点，则m 的值是________. 【解析】验证法：当m ＝±1时，m 2＝1，对椭圆来说，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3.对双曲线来说，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3，故当m ＝±1时，它们有相同的焦点. 直接法：显然双曲线焦点在x 轴上，故4－m 2＝m 2＋2.∴m 2＝1，即m ＝±1. 【答案】 ±12.已知双曲线的一个焦点坐标为(6，0)，且经过点(－5,2)，则双曲线的标准方程为________.【导学号：24830036】【解析】依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有⎩⎨⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，故双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.【答案】 x 25－y 2＝13.(2016·通州高二检测)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，点P (3，7)在双曲线上，则双曲线方程为________.【解析】 PF 1＝[3－(－2)]2＋(7)2＝42，PF 2＝(3－2)2＋(7)2＝22，PF 1|－PF 2＝22＝2a ，所以a ＝2，又c ＝2，故b 2＝c 2－a 2＝2，所以双曲线的方程为x 22－y 22＝1.【答案】 x 22－y 22＝14.若双曲线2x 2－y 2＝k 的半焦距为3，则k 的值为______.【解析】若焦点在x 轴上，则方程可化为x 2k 2－y 2k ＝1，∴k2＋k ＝32，即k ＝6.若焦点在y 轴上，则方程可化为y 2－k －x 2－k2＝1，∴－k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2＝32，即k ＝－6.综上，k 的值为6或－6. 【答案】 6或－65.若方程x 2m －1＋y 2m 2－4＝3表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的取值范围是________.【解析】由题意，方程可化为y 2m 2－4－x 21－m＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>0，1－m >0，解得m <－2. 【答案】 (－∞，－2)6.(2016·聊城高二检测)设点P 是双曲线x 29－y 216＝1上任意一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，若PF 1＝10，则PF 2＝________.【解析】由双曲线方程，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.当点P 在双曲线的左支上时，由双曲线定义，得|PF 2－PF 1|＝6，所以PF 2＝PF 1＋6＝10＋6＝16；当点P 在双曲线的右支上时，由双曲线定义，得|PF 1－PF 2|＝6，所以PF 2＝PF 1－6＝10－6＝4.故PF 2＝4或PF 2＝16.【答案】 4或167.已知双曲线的两个焦点分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，PF 1·PF 2＝2，则双曲线的标准方程是________.【解析】设PF 1＝m ，PF 2＝n ，在Rt △PF 1F 2中，m 2＋n 2＝(2c )2＝20，m ·n ＝2，由双曲线定义，知(m －n )2＝m 2＋n 2－2mn ＝16. ∴4a 2＝16.∴a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝1. ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.【答案】 x 24－y 2＝18.F 1、F 2是双曲线y 29－x 216＝1的两个焦点，M 是双曲线上一点，且MF 1·MF 2＝32，则△F 1MF 2的面积为________.【解析】由题意可得双曲线的两个焦点是F 1(0，－5)、F 2(0,5)，由双曲线定义得，|MF 1－MF 2|＝6，联立MF 1·MF 2＝32，得MF 21＋MF 22＝100＝F 1F 22，所以△ F 1MF 2是直角三角形，从而其面积为S ＝12MF 1·MF 2＝16. 【答案】 16 二、解答题9.求满足下列条件的双曲线的标准方程. (1)经过点A (42，3)，且a ＝4； (2)经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，233、B (3，－22).【导学号：24830037】【解】 (1)若所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则将a ＝4代入，得x 216－y 2b 2＝1，又点A (42，3)在双曲线上，∴3216－9b 2＝1.解得b 2＝9，则x 216－y 29＝1，若所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0).同上，解得b 2<0，不合题意， ∴双曲线的方程为x 216－y 29＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)， ∵点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，233、B (3，－22)在双曲线上， ∴⎩⎨⎧4m ＋43n ＝1，9m ＋8n ＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，n ＝－14.∴所求双曲线的方程为x 23－y 24＝1.10.已知曲线C ：x 2t 2＋y 2t 2－1＝1(t ≠0，t ＝±1).(1)求t 为何值时，曲线C 分别为椭圆、双曲线； (2)求证：不论t 为何值，曲线C 有相同的焦点.【解】 (1)当|t |>1时，t 2>0，t 2－1>0，且t 2≠t 2－1，曲线C 为椭圆；当|t |<1时，t 2>0，t 2－1<0，曲线C 为双曲线. (2)证明：当|t |>1时，曲线C 是椭圆，且t 2>t 2－1，因此c 2＝a 2－b 2＝t 2－(t 2－1)＝1，∴焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0).当|t |<1时，双曲线C 的方程为x 2t 2－y 21－t 2＝1，∵c 2＝a 2＋b 2＝t 2＋1－t 2＝1， ∴焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0).综上所述，无论t 为何值，曲线C 有相同的焦点.[能力提升]1.已知双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，点A 、B 在双曲线右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一个焦点，则△ABF 1的周长为________.【解析】设△ABF 1的周长为C ，则C ＝AF 1＋BF 1＋AB ＝(AF 1－AF 2)＋(BF 1－BF 2)＋AF 2＋BF 2＋AB＝(AF 1－AF 2)＋(BF 1－BF 2)＋2AB ＝2a ＋2a ＋2m ＝4a ＋2m . 【答案】 4a ＋2m2.已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，则双曲线的方程为________.【解析】椭圆的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，且c ＝3，a 2＋b 2＝9.由条件知，双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4，可得两交点的坐标为A (15，4)、B (－15，4)，由点A 在双曲线上知，16a 2－15b 2＝1.解方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2＝9，16a 2－15b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.∴所求曲线的方程为y 24－x 25＝1.【答案】 y 24－x 25＝13.方程x 24－k ＋y 2k －1＝1表示的曲线为C ，给出下列四个命题：①曲线C 不可能为圆；②若1<k <4，则曲线C 为椭圆；③若曲线C 为双曲线，则k <1或k >4；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<k <52，其中正确的命题是________.【解析】当4－k ＝k －1时，k ＝52，这时4－k ＝k －1>0，∴k ＝52时，方程表示圆，故①错误；当4－k >0，k －1>0且4－k ≠k －1即1<k <4且k ≠52时，曲线表示椭圆，故②错误；当(4－k )(k －1)<0，即k >4或k <1时，曲线表示双曲线，故③正确；若曲线表示焦点在x 轴上的椭圆，有4－k >k －1>0，即1<k <52，故④正确.【答案】 ③④4.已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积.【解】由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理得PF 1－PF 2＝±6，F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1PF 2cos 60°，所以102＝(PF 1－PF 2)2＋PF 1·PF 2，所以PF 1·PF 2＝64，∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.。

苏教版选修1-1高中数学2.2《双曲线的标准方程》ppt课件1

F 0,c
谁正谁对应 a
双曲线与椭圆之间的区别与联系：
椭圆
定义方程焦点
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
+
y2 b2
=
1
y2 a2
+
x2 b2
=1
F（±c，0） F（0，±c）
a.b.c 的关系 a>b>0，a2=b2+c2
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
x2 a2
-
y2 b2
作业：
P 34 习题2.3（1） 1、2、3、4
设P(x, y),则| PF1 PF2 | 2a 即：| （x c)2 y2 （x c)2 y2 | 2a 去绝对值符号得：（x c)2 y2 （x c)2 y2 2a
移项得：（x c)2 y2 （x c)2 y2 2a
椭圆的焦点由__x_2_与_y_2_的_系__数__的__大_小__________ 决定，
双曲线的焦点则由___x_2与__y_2的__系__数__的_正__负______ 决定.
在双曲线的标准方程中a、b、c的关系是 _c_2=_a_2_+_b2_ .
方程Ax2 By2 1表示双曲线的充要条件是 _A_B_<_0_ .

m

2
练习4:
1. 方程mx2-my2=n中mn<0，则其表示焦点在 y
双曲线.
轴上的
2、若方程(k2+k-2)x2+(k+1)y2=1的曲线是焦点在y轴上的双曲线，则k (-1, 1) .
3. 双曲线
x2 k

y2 4

苏教版数学高二-【优化课堂】数学苏教版选修1-1精练双曲线的标准方程

1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是________．解析：∵2x 2－y 2＝8，∴x 24－y 28＝1，∴a ＝2，∴2a ＝4. 答案：42．已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C .给出以下四个判断：①当1<t <4时，曲线C 表示椭圆 ②当t >4或t <1时，曲线C 表示双曲线 ③若曲线C表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52④若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则t >4，其中判断正确的是________(只填正确命题的序号)．解析：①错误，当t ＝52时，曲线C 表示圆；②正确，若C 为双曲线，则(4－t )(t －1)<0，∴t <1或t >4；③正确，若C 为焦点在x 轴上的椭圆，则4－t >t －1>0，∴1<t <52；④正确，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t <0t －1>0，∴t >4.答案：②③④3．双曲线9x 2－16y 2＝－1的焦点坐标为________．解析：双曲线方程可化为y 2116－x 219＝1，∴c ＝a 2＋b 2＝116＋19＝512.∴两焦点为(0，－512)和(0，512)．答案：(0，－512)和(0，512)4．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点，且过点Q (2,1)的双曲线方程是________．解析：由椭圆方程得焦点为F 1(－3，0)和F 2(3，0)，故设双曲线方程为x 2a 2－y 23－a 2＝1，将Q (2,1)坐标代入得4a 2－13－a 2＝1，∴a 4－8a 2＋12＝0.∴a 2＝2或a 2＝6>c 2(舍去)．故所求方程为x 22－y 2＝1. 答案：x 22－y 2＝1一、填空题1．过双曲线x 216－y 29＝1的左焦点F 1的直线l 交双曲线于A ，B 两点，且A ，B 两点在y轴的左侧，F 2为右焦点，|AB |＝10，则△ABF 2的周长为________．解析：∵A ，B 两点在双曲线的左支上，∴|AF 2|－|AF 1|＝8，|BF 2|－|BF 1|＝8.又∵|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝10，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋10＝26.∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝26＋10＝36. 答案：362．已知双曲线x 2－4y 2＝4上任意一点P 到双曲线的一个焦点的距离等于6，那么点P 到另一个焦点的距离等于________．解析：设点P 到另一个焦点的距离为d ，由双曲线的定义得|d －6|＝2×2＝4，即d ＝10或2.答案：10或23．焦点在坐标轴上，中心在原点，且经过点P (27，3)和Q (－7，－62)的双曲线方程是________．解析：设双曲线的方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，把P 、Q 两点的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧m ·(27)2－n ·32＝1m (－7)2－n ·(－62)2＝1，解得⎩⎨⎧m ＝125n ＝175.答案：x 225－y 275＝14．若椭圆x 24＋y 2m ＝1与双曲线x 2m －y 22＝1有相同焦点，则实数m 的值为________．解析：由已知0<m <4，且4－m ＝m ＋2，∴m ＝1. 答案：15．已知点F 1(－2，0)、F 2(2，0)，动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2.当点P 的纵坐标是12时，点P 到坐标原点的距离是________．解析：因为动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2为定值，又2<22，所以P 点的轨迹为双曲线的一支，因为2a ＝2，所以a ＝1，又因为c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝1，所以P 点轨迹为x 2－y 2＝1的一支，当y ＝12时，x 2＝1＋y 2＝54，则P 点到原点的距离为|PO |＝x 2＋y 2＝54＋14＝62. 答案：626．椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)与双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)有相同的焦点F 1，F 2，且P 是这两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|等于________．解析：由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，① 由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a .② 由①2减去②2的差再除以4得|PF 1|·|PF 2|＝m －a .答案：m －a7．曲线x 210－m ＋y 26－m ＝1(m <6)与曲线x 25－n ＋y 29－n＝1(5<n <9)的________相等．解析：曲线x 210－m ＋y 26－m ＝1(m <6)为椭圆方程，焦点在x 轴上，c 2＝(10－m )－(6－m )＝4；曲线x 25－n ＋y 29－n＝1(5<n <9)为双曲线方程，焦点在y 轴上，c 2＝(9－n )＋(n －5)＝4.答案：焦距8．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．解析：A 点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F ′(4,0)，于是由双曲线性质|PF |－|PF ′|＝2a ＝4，而|PA |＋|PF ′|≥|AF ′|＝5，两式相加得|PF |＋|PA |≥9，当且仅当A 、P 、F ′三点共线时等号成立．答案：9 二、解答题9．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a ＝4，且经过点A (1，4103)；(2)焦点在y 轴上，且过点(3，－42)，(94，5)．解：(1)若设所求双曲线方程为x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)，则将a ＝4代入，得x 216－y2b2＝1.又∵点A (1，4103)在双曲线上，∴116－1609b 2＝1. 由此得b 2<0， ∴不合题意，舍去．若设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则将a ＝4代入得y 216－x 2b2＝1，代入点A (1，4103)，得b 2＝9， ∴双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.(2)设所求双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．∵点(3，－42)，(94，5)在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋32n ＝1，8116m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－19，n ＝116.∴双曲线标准方程为y 216－x 29＝1.10．一动圆与两定圆⊙A ：(x ＋5)2＋y 2＝49，⊙B ：(x －5)2＋y 2＝1都外切，求动圆圆心P 的轨迹方程．解：如图所示，设动圆的半径为r ，则|PA |＝r ＋7，|PB |＝1＋r ， ∴|PA |－|PB |＝6.又A ，B 为定点，且6<10，则由双曲线的定义知点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支．设动圆圆心P 的轨迹方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(x ≥a )．∵A (－5,0)，B (5,0)， ∴|AB |＝10＝2c . ∴c ＝5，即c 2＝25.又∵2a ＝6，∴a ＝3，即a 2＝9， ∴b 2＝c 2－a 2＝16.∴动圆圆心P 的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．11．在△ABC 中，|AB |＝42，且三内角A 、B 、C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ．建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解：如图，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则A (－22，0)、B (22，0)．由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c2.从而有CA －CB ＝12AB ＝22<AB .由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支． ∵a ＝2，c ＝22， ∴b 2＝c 2－a 2＝6.∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．。

苏教版高中数学选修1-1：双曲线的标准方程_课件1(1)

4a22－ b1252＝1， a2＋b2＝9，
a2＝4，解得b2＝5.
所以双曲线方程为y42－x52＝1. 法二：设双曲线的方程为 xa22 － by22 ＝ 1(a>0 ， b>0)，将点 A 的纵坐标代入椭圆方程得 A( 15，4)，又两焦点分别为 F1(0,3)，F2(0，－3)，所以 2a＝ 15－02＋4＋32－
双曲线
双曲线的标准方程
学习目标 1.了解双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程． 2.会用双曲线的标准方程处理简单的实际问题．
双曲线的标准方程
课前自主学案课堂互动讲练知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
1．已知椭圆方程：9x2＋25y2＝225，其焦点
坐长_标6_，为_离F_1心_(－_率_4_,__e0＝__)，_45___F_.2_(4_,_0_)，长轴长_1_0，短轴
【思路点拨】
双曲线方程
―双―曲→线
的定义
|PF1|－|PF2|＝±2a
―平―方→ |PF1|2＋|PF2|2的值余―弦―定→理 ∠F1PF2＝90°
面―积―公→式 S△F1PF2
【规范解答】由双曲线方程x92－1y62 ＝1，可知 a＝3，b＝4，c＝ a2＋b2＝5.2 分由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝±2a ＝±6，将此式两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2 －2|PF1|·|PF2|＝36，6 分 ∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2| ＝36＋2×32＝100.8 分
25，－

6，求该双曲
线的标准方程．
解：法一：已知双曲线1x62 －y92＝1. 据 c2＝a2＋b2，

苏教版高中数学选修(1-1)课件江苏省镇江市实验高级中学数学《2-2双曲线标准方程》2

2、已知双曲线16x2-9y2=144 ①求焦点的坐标；
②设P为双曲线上一点，且|PF1||PF2|=32，
S 求；
F1 PF2
③*设P为双曲线上一点，且F1PF2=120，
求.
S F1PF2
的焦点，弦MN过F1且M、
N在同一支上，若|MN|=7，
求△MF2N的周长.
•F1 M •F1
•F2 •F2
N
练习: 1.已知方程kx2+y2=4(k∈R),讨论k取不同实数时方程所表示的曲线.
(1)K=0时,直线y=±2. (2)k=1时,是x2+y2=4,圆. (3)0<k<1时,是焦点在x轴上的椭圆. (4)k>1时,是焦点在y轴上的椭圆. (5)k<0时,焦点在y轴上的双曲线.
(2)双曲线的标准方程为______________
(则3)|双PF曲2|=线__上_4_一或__点1__6Ｐ_若，||PPFF11||==71,0,
则|PF2|=___？___
例2:如果方程表示x2 双曲y线2 ，1
2m m1
求m的取值范围.
分析:由 (2 m)(m 1) 0 得 1 m 2
变式一: 方程表示x2双曲线y2时， 1则m的取值范围
2m m1
变式二:
m 1 或 m 2
x2 y2 1表示焦点在y轴的双曲线时，求m的范围。
2m m1
m 1 0 2 m 0
m2练 Nhomakorabea:1、若方程(k2+k-2)x2+(k+1)y2=1的曲线是焦点在y轴上的
高中数学课件
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一、复习回顾
定义 MF1 MF2 2a，0 2a F1F2

2021-2022年高中数学双曲线知识精讲文苏教版选修1-1

2021-2022年高中数学双曲线知识精讲文苏教版选修1-1【本讲教育信息】一. 教学内容：双曲线二. 重点、难点：重点：双曲线的定义、方程、几何性质．掌握双曲线的标准方程的推导及标准方程．难点：理解参数a、b、c、e的关系及渐近线方程．三. 主要知识点1、双曲线的定义：平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距．说明：双曲线的定义用代数式表示为||MF1|－|MF2||＝2a，其中2a＜|F1F2|，这里要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同．当|MF1|－|MF2|＝2a时，双曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|－|MF2|＝－2a时，双曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2a＝|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.2、标准方程的推导（1）建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的.以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（如图）．设|F1F2|＝2c（c＞0），M（x，y）为双曲线上任意一点，则有F1（－c，0），F2（c，0）．（2）点的集合由定义得出椭圆双曲线集合为：P＝{M||MF1－MF2|＝2a}.=±（32a（4）化简方程（其中c2＝a2+b2）条件标准方程－＝1（a>0，b>0）－＝1（a>0，b>0）图形范围 |x|≥a|y|≥a对称性 x 轴，y 轴，原点顶点坐标（±a ，0）（0，±a ）实轴虚轴 x 轴，实轴长2a y 轴，虚轴长2b y 轴，实轴长2a x 轴，虚轴长2b 焦点坐标（±c ，0）c ＝（0，±c ）c ＝离心率 e ＝， e >1 渐近线y ＝±xy ＝±x 4、方法小结（1）由给定条件求双曲线的方程，常用待定系数法.首先是根据焦点位置设出方程的形式（含有参数），再由题设条件确定参数值，应特别注意：①当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏；②已知渐近线的方程bx ±ay ＝0，求双曲线方程，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ（λ≠0），根据其他条件确定λ的值.若求得λ＞0，则焦点在x 轴上，若求得λ＜0，则焦点在y 轴上．（2）由已知双曲线的方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点位置，防止将焦点坐标和准线方程写错．（3）双曲线中有一个重要的Rt △OAB （如下图），它的三边长分别是a 、b 、c ．易见c 2＝a 2+b 2，若记∠AOB ＝θ，则e ＝＝．xyOF F a b cB A 21（4）参数a 、b 是双曲线的定形条件，两种标准方程中，总有a ＞0，b ＞0；双曲线焦点位置决定标准方程的类型；a 、b 、c 的关系是c 2＝a 2+b 2；在方程Ax 2+By 2＝C 中，只要AB ＜0且C ≠0，就是双曲线的方程．（5）给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线．但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程．但若已知渐近线方程是±＝0，则可把双曲线方程表示为－＝λ（λ≠0），再根据已知条件确定λ的值，求出双曲线的方程．【典型例题】例1. 根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线－＝1有共同的渐近线，且过点（－3，2）；（2）与双曲线－＝1有公共焦点，且过点（3，2）.（3）求中心在原点，两对称轴为坐标轴，并且经过P （3，）Q （，5）．剖析：设双曲线方程为－＝1，求双曲线方程，即求a 、b ，为此需要关于a 、b 的两个方程，由题意易得关于a 、b 的两个方程.解法一：（1）设双曲线的方程为－＝1，由题意得2243(3) =1 b a a ⎧=⎪⎪⎨-⎪⎪⎩ 解得a 2＝，b 2＝4．所以双曲线的方程为－＝1．（2）设双曲线方程为－＝1. 由题意易求c ＝2．又双曲线过点（3，2）， ∴－＝1.又∵a 2+b 2＝（2）2， ∴a 2＝12，b 2＝8．故所求双曲线的方程为－＝1．解法二：（1）设所求双曲线方程为－＝λ（λ≠0），将点（－3，2）代入得λ＝，所以双曲线方程为－＝．（2）设双曲线方程为－＝1，将点（3，2）代入得k ＝4，所以双曲线方程为－＝1．评述：求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素（a 、b 、c 、e ）之间的关系，并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程ax ±by ＝0，可设双曲线方程为a 2x 2－b 2y 2＝λ（λ≠0）．与－＝1同焦点的可设为－＝1（3）设双曲线方程为（mn>0）将PQ 两点坐标代入求得m ＝－16，n ＝－9. 故所求方程为说明：若设－＝1或－＝1两种情况求解，比较繁琐．例2. △ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B （－1，0），C （1，0），求满足sinC －sinB ＝sinA 时，顶点A 的轨迹方程，并画出图形．解：根据正弦定理得c－b＝a＝1即AB－AC＝1，所以点A的轨迹为双曲线又c＝1，a＝，∴b＝c2－a2＝故双曲线方程为2211344x y-=（x>）例3. （xx年全国，19）设点P到点M（－1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y 轴距离之比为2，求m的取值范围．剖析：由|PM|－|PN|＝2m，得||PM|－|PN||＝2|m|．知点P的轨迹是双曲线，由点P 到x轴、y轴距离之比为2，知点P的轨迹是直线，由交轨法求得点P的坐标，进而可求得m的取值范围.解：设点P的坐标为（x，y），依题意得＝2，即y＝±2x（x≠0）．①因此，点P（x，y）、M（－1，0）、N（1，0）三点不共线，得||PM|－|PN||<|MN|＝2．∵||PM|－|PN||＝2|m|>0，∴0<|m|<1．因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上．故－＝1．②将①代入②，并解得x2＝，∵1－m2>0，∴1－5m2>0．解得0<|m|<，即m的取值范围为（－，0）∪（0，）．评述：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力．解决此题的关键是用好双曲线的定义．例4. （xx年春季上海）已知椭圆具有的性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k PM、k PN时，那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线C’：－＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．解：类似的性质为若MN是双曲线－＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k PM、k PN时，那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值．设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（－m，－n），其中－＝1．又设点P的坐标为（x，y），由k PM＝，k PN＝，得k PM·k PN＝·＝，将y2＝x2－b2，n2＝m2－b2，代入得k PM·k PN＝．评注：本题主要考查椭圆、双曲线的基本性质，考查类比、归纳、探索问题的能力.它是一道综合椭圆和双曲线基本知识的综合性题目，对思维能力有较高的要求．【模拟试题】（完成时间60分钟，满分100分）一、选择题（每小题4分，共40分）1. 到两定点、的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是（）A. 椭圆B. 线段C. 双曲线D. 两条射线2. 方程表示双曲线，则的取值范围是（）A. B. C. D. 或3. 双曲线的焦距是（）A. 4B.C. 8D. 与有关4.（xx年天津，4）设P是双曲线－＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|＝3，则|PF2|等于A. 1或5B. 6C. 7D. 95. （xx年春季北京，5）“ab<0”是“曲线ax2+by2＝1为双曲线”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件6. 焦点为，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（）A. B. C. D.7. 若，双曲线与双曲线有（）A. 相同的虚轴B. 相同的实轴C. 相同的渐近线D. 相同的焦点8. 过双曲线左焦点F1的弦AB长为6，则（F2为右焦点）的周长是（）A. 28B. 22C. 14D. 129. 已知双曲线方程为，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有（）A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条10. 给出下列曲线：①4x+2y－1＝0；②x2+y2＝3；③④，其中与直线y＝－2x－3有交点的所有曲线是（）A. ①③B. ②④C. ①②③D. ②③④二、填空题（每小题5分，共20分）11.（xx年上海）给出问题：F1、F2是双曲线－＝1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离．某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||＝8，即|9－|PF2||＝8，得|PF2|＝1或17．该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上．______________________________________________________．12. 过点A（0，2）可以作_________条直线与双曲线x2－＝1有且只有一个公共点．13. 直线与双曲线相交于两点，则＝__________________．14. 过点且被点M平分的双曲线的弦所在直线的方程为．三、解答题（40分）15. （本题满分14分）、已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144．（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．16. （本题满分14分）、已知双曲线x2－＝1与点P（1，2），过点P作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB中点.（1）求直线AB的方程；（2）若Q（1，1），证明不存在以Q为中点的弦.17. （本题满分12分）、某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s．已知各观测点到该中心的距离都是1020m．试确定该巨响发生的位置．（假定当时声音传播的速度为340m/ s：相关各点均在同一平面上）．【试题答案】二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11. |PF 2|＝17 12. 4 13. 14. 三、解答题（40分）15. 解：（1）由16x 2－9y 2＝144得－＝1，…………2' ∴a ＝3，b ＝4，c ＝5.焦点坐标F 1（－5，0），F 2（5，0），…………4' 离心率e ＝，…………6'渐近线方程为y ＝±x.…………8'（2）||PF 1|－|PF 2||＝6，cos ∠F 1PF 2＝ …………10'＝|PF ||PF |2|F F ||PF ||PF |2|)PF ||PF (|2122121221-+-＝＝0. …………12'∴∠F 1PF 2＝90°。

2021年高中苏教版数学选修1-1名师导学：第2章第6课时　双曲线的标准方程

第6课时双曲线的标准方程教学过程一、问题情境问题1前面学习椭圆时争辩了椭圆的哪些问题?解椭圆的标准方程及椭圆的标准方程的求法,并利用椭圆的标准方程争辩了椭圆的几何性质.问题2下面我们来学习双曲线,应当先争辩什么问题呢?解先争辩双曲线的标准方程,如何求双曲线的标准方程呢?如何建立直角坐标系?二、数学建构1.标准方程的推导设双曲线的焦距为2c,双曲线上任意一点到焦点F1,F2的距离的差的确定值等于常数2a(c>a>0).类比求椭圆标准方程的方法由同学来建立直角坐标系.以直线F1F2为x轴,线段F1F2的中垂线为y轴建立直角坐标系,则F1(-c,0),F2(c,0).设P(x,y)为双曲线上任意一点,由双曲线定义知|PF1-PF2|=2a,即|-|=2a.[1]在化简到(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)时,结合双曲线定义中2a<2c,可知c2-a2是正数,与椭圆的标准方程的化简中令b2=a2-c2对比,可以令b2=c2-a2 ,使化简后的标准方程简洁美观,最终得到焦点在x 轴上的双曲线标准方程是-=1(其中a>0,b>0,c2=a2+b2).若焦点在y轴上,则焦点是F1(0,-c),F2(0,c),由双曲线定义得|-|=2a,与焦点在x轴上的双曲线方程|-|=2a比较,它们的结构有什么异同点?解结构相同,只是字母x,y交换了位置.故求焦点在y轴上的双曲线方程时,只需把焦点在x轴上的双曲线标准方中x,y互换即可,易得-=1(其中a>0,b>0,c2=a2+b2).2.双曲线标准方程的特点(1)双曲线的标准方程分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种:当焦点在x轴上时,双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0);当焦点在y轴上时,双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).(2)a,b,c有关系式c2=a2+b2成立,且a>0,b>0,c>0,其中a与b的大小关系可以为a=b,a<b,a>b.3.依据双曲线的标准方程推断焦点的位置从椭圆的标准方程不难看出,椭圆的焦点位置可由方程中含字母x2,y2项的分母的大小来确定,分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴,而双曲线是依据项的正负来推断焦点所在的位置,即x2项的系数是正的,那么焦点在x轴上;y2项的系数是正的,那么焦点在y轴上.三、数学运用【例1】求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)经过点A(0,2),B(2,-5);(2)a=2,且经过点P(2,-5).[2](见同学用书P25)[处理建议]类比椭圆标准方程的求法,用待定系数法可分别设出焦点在x轴上和焦点在y轴上的椭圆的标准方程;也可直接设其方程为mx2+ny2=1(mn<0).[3][规范板书](1)解法一设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),则由条件可知解得故所求双曲线的方程为-=1.解法二由题意可知a=2,且双曲线的焦点在y轴上,所以可设双曲线的方程为-=1.又双曲线过点(2,-5),代入解得b2=16,所以方程为-=1.(2)①当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线的方程为-=1,由其经过点(2,-5),所以-=1,此方程无解,故焦点不行能在x轴上.②当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线的方程为-=1,由其经过点(2,-5),所以-=1,所以b2=16,所以双曲线的方程为-=1.综上,双曲线的方程为-=1.[题后反思]待定系数法是求双曲线标准方程的基本方法,需娴熟把握.接受待定系数法前需明确焦点的位置,若焦点位置不明,则往往需要分类争辩.变式求c=5,且经过点(3,4)的双曲线的标准方程.[规范板书]解当焦点在x轴上时,设双曲线的方程为-=1,则解得a2=45(舍去)或a2=5,所以b2=20;当焦点在y轴上时,设双曲线的方程为-=1,则解得a2=40(舍去)或a2=10,所以b2=15.综上,双曲线的方程为-=1或-=1.[题后反思]还有其他的方法吗?类比椭圆中类似问题——双曲线的定义.当焦点在x轴上时,焦点坐标为(±5,0),所以2a=|2-4|=2,a2=5,b2=c2-a2=20,双曲线的方程为-=1;当焦点在y轴上时,焦点坐标为(0,±5),所以2a=2,a2=10,b2=15,双曲线的方程为-=1.【例2】求下列动圆的圆心M的轨迹方程:(1)与☉C:(x+2)2+y2=2内切,且过点A(2,0);(2)与☉C1:x2+(y-1)2=1和☉C2:x2+(y+1)2=4都外切;(3)与☉C1:(x+3)2+y2=9外切,且与☉C2:(x-3)2+y2=1内切.[4](见同学用书P26)[处理建议]依据两圆内切、外切的条件,找出相关线段之间的关系,再由圆锥曲线的定义确定点M的轨迹及轨迹方程.[规范板书]解设动圆M的半径为r.(1)由于☉C与☉M内切,点A在☉C外,所以MC=r-,MA=r,因此有MA-MC=,所以点M的轨迹是以C,A为焦点的双曲线的左支,即M的轨迹方程是2x2-=1.(2)由于☉M与☉C1,☉C2均外切,所以MC1=r+1,MC2=r+2,因此有MC2-MC1=1,所以点M的轨迹是以C2,C1为焦点的双曲线的上支,即M的轨迹方程是4y2-=1.(3)由于☉M与☉C1外切,且☉M与☉C2内切,所以MC1=r+3,MC2=r-1,因此MC1-MC2=4,所以点M的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的右支,即M 的轨迹方程是-=1(x≥2).[题后反思]定义法是求双曲线标准方程的基本方法,需娴熟把握.*【例3】已知A,B两地相距800 m,一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s,设声速为340 m/s.(1)爆炸点应在什么样的曲线上?(2)求曲线的方程.[5][处理建议]引导同学联想双曲线的定义,并建立合适的直角坐标系.(例3)[规范板书]解(1)由声速及A,B两处听到爆炸声的时间差,可知A,B两处与爆炸点的距离的差,因此爆炸点应位于以A,B为焦点的双曲线上.由于爆炸点离A处比离B处更远,所以爆炸点应在靠近B处的一支上.(2)如图,建立直角坐标系xOy,使A,B两点在x轴上,并且点O与线段AB的中点重合.设爆炸点P的坐标为(x,y),则PA-PB=340×2=680,即2a=680,a=340.又AB=800,所以2c=800,c=400,b2=c2-a2=44 400.由于PA-PB=680>0,所以x>0.故所求曲线的方程为-=1(x>0).[题后反思]解此类实际问题的关键是“能依据条件联想、构造出合适的数学模型”,这种构造转化是以娴熟把握基础学问为前提的.对圆锥曲线而言,必需生疏其相关定义.定义既是建构数学学问的基石,也是解答数学问题的重要工具.因此,在争辩某些几何或实际问题时,若能活用双曲线的定义,则不仅可深化同学对双曲线概念的理解,还能提高其分析问题、解决问题的力气.本例亦可扩展为“确定爆炸点的位置”,参见本课时同学用书(课后练习本)第12题.四、课堂练习1.写出下列曲线的焦点坐标:(1)-=1;(2)3x2-y2=1;(3)-=-1;(4)+=1;(5)3x2+y2=12.解(1)(±,0);(2);(3)(0,±4);(4)(±1,0);(5)(0,±2).2.依据下列条件,求双曲线的标准方程:(1)与双曲线-=1有公共焦点,且过点(3,2);(2)过点P1(3,-4)和P2,且中心在坐标原点,焦点在坐标轴上.解法一(1)设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则解得所以双曲线的标准方程为-=1.(2)若双曲线的焦点在y轴上,设其标准方程为-=1(a>0,b>0).由于点P1,P2在双曲线上,所以解得所以所求双曲线的标准方程为-=1.若双曲线的焦点在x轴上,设其标准方程为-=1(a>0,b>0).依题意得此时无解.综上,双曲线的标准方程为-=1.解法二(1)设双曲线的方程为-=1(16-k>0,4+k>0),所以-=1,解得k=4.所以双曲线的标准方程为-=1.(2)设双曲线的方程为mx2-ny2=1(mn>0).依题意得解得故所求双曲线的标准方程为-=1.3.已知关于x,y的二次方程(4-m)x2+(16-m)y2=m2-14m+48表示双曲线,则m的取值范围是{m|4<m<6或6<m<8或8<m<16}.提示由题意知解得所以4<m<6或6<m<8或8<m<16.4.若椭圆+=1与双曲线x2-=1有相同的焦点,且椭圆与双曲线交于点P,求椭圆及双曲线的方程.解两方程联立消去y,得x2=m+b,代入P,得·=m+b,即8m=b.又椭圆与双曲线有相同的焦点,所以10-m=1+b,即解方程组得故椭圆的方程为+y2=1,双曲线的方程为x2-=1.五、课堂小结1.双曲线的标准方程和标准方程的求法(定义法、待定系数法).2.在解决双曲线的有关问题时可与椭圆中的相应问题进行类比来解决.。