【世纪金榜】2016届高考数学(文)一轮课件：1.2命题及其关系、充分条件与必要条件
【3年高考2年模拟】2016届人教版新课标高三数学(文)一轮复习课件 §1.2充分条件与必要条件、四种命题
故原命题为真,∴逆否命题为真命题.
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有关四种命题需注意的问题:
1.判断四种命题之间的关系时,首先应分清命题的条件与结论,一个命题定 为原命题,也就相应地有了逆命题、否命题、逆否命题. 2.互为逆否命题的两个命题是等价的,依据这个结论可以把一些难以判断 真假的命题转化为判断其逆否命题的真假. 3.否命题与命题的否定是两个不同的概念,否命题同时否定原命题的条 件和结论,命题的否定仅否定原命题的结论.
≤2,即a≤1,所以“a=1”是“函数f(x)=x2-4ax+3在区间[2,+∞)上为增函 数”的充分不必要条件,故选B.
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典例题组
命题的四种形式及其相互关系 典例1 已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,若a+b≥0,则f(a)+f(b)
≥f(-a)+f(-b). (1)写出否命题,判断其真假,并证明你的结论; (2)写出逆否命题,判断其真假,并证明你的结论.
D.既不充分也不必要条件
A
3 1 5 因为A为三角形的内角,所以sin A> 2 ⇔ 6 <A < 6 <A 2 ⇔ 6 π,cos A<
解析
<π,故选A.
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判断充要条件的三种方法:
1.利用定义判断.
2.利用集合间包含关系判断.
记法 关系 结论 A={x|p(x)},B={x|q(x)} A⫋B p是q的充分不 必要条件 B⫋A A=B A⊈B且B⊈A
D.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”,是真命 题.
第1章 第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件
课时规范练A组基础对点练1．(2016·高考天津卷)设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：由x＞y推不出x＞|y|，由x＞|y|能推出x＞y，所以“x＞y”是“x＞|y|”的必要而不充分条件．答案：C2．(2016·高考四川卷)设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x ＋y＞2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若x＞1且y＞1，则有x＋y＞2成立，所以p⇒q；反之由x＋y＞2不能得到x＞1且y＞1.所以p是q的充分不必要条件．答案：A3．函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则()A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析：设f(x)＝x3，f′(0)＝0，但f(x)是单调递增函数，在x＝0处不存在极值，故若p则q是一个假命题，由极值的定义可得若q则p是一个真命题．故选C. 答案：C4．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是() A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0解析：由原命题和逆否命题的关系可知D正确．答案：D5．原命题为“若a n＋a n＋12＜a n，n∈N*，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是() A．真，真，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假解析：从原命题的真假入手，由于a n＋a n＋12＜a n⇔a n＋1＜a n⇔{a n}为递减数列，原命题和逆命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，故选A.答案：A6．(2017·河南质量检测)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“a⊥b”是“α⊥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为α⊥β，b⊥m，所以b⊥α，又直线a在平面α内，所以a⊥b；但直线a，m不一定相交，所以“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分条件，故选B.答案：B7．“x≥1”是“x＋1x≥2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由题意得x＋1x≥2⇔x＞0，所以“x≥1”是“x＋1x≥2”的充分不必要条件，故选A.答案：A8．(2017·天津模拟)已知a，b都是实数，那么“a＞b”是“ln a＞ln b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由ln a＞ln b⇒a＞b＞0⇒a＞b，故必要性成立；当a＝1，b＝0时，满足a＞b，但ln b无意义，所以ln a＞ln b不成立，故充分性不成立，故选B.答案：B9．原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假解析：因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|z1|＝|z2|，当z1＝1，z2＝－1时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题是假的，故否命题也是假的．故选B.答案：B10．设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：不等式|x－2|＜1的解集为{x|1＜x＜3},1＜x＜2可以推出1＜x＜3，反之不成立，所以“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的充分而不必要条件．故选A.答案：A11．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：由x2－2x＋1＝0，解得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件，故选A.答案：A12．“x＞1”是“log 12(x＋2)＜0”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：由log 12(x＋2)＜0，得x＋2＞1，解得x＞－1，所以“x＞1”是“log12(x＋2)＜0”的充分而不必要条件，故选B.答案：B13．“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的() A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直的充要条件为a(a＋2)＋1×(－3)＝0，解得a＝1或－3，故“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x －3y－2＝0垂直”的充分不必要条件．答案：B14．(2017·河南洛阳统考)已知集合A＝{1，m2＋1}，B＝{2,4}，则“m＝3”是“A∩B＝{4}”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若A∩B＝{4}，则m2＋1＝4，∴m＝±3，而当m＝3时，m2＋1＝4，∴“m＝3”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．答案：A15．(2016·高考山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a⊂α，b⊂β，所以P ∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．答案：A16．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的()A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件解析：由正弦定理，得asin A＝bsin B，故a≤b⇔sin A≤sin B，选A.答案：AB组能力提升练1．设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以a＞b＞1⇔log2a＞log2b＞log21＝0，所以“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的充要条件．答案：A2．l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则()A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析：两直线异面，则两直线一定无交点，即两直线一定不相交；而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件，故选A.答案：A3．给定两个命题p，q.若¬p是q的必要而不充分条件，则p是¬q的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由q⇒¬p且¬p q可得p⇒¬q且¬q p，所以p是¬q的充分而不必要条件．答案：A4．(2017·辽宁大连双基检测)已知函数f(x)的定义域为R，则命题p：“函数f(x)为偶函数”是命题q：“∃x0∈R，f(x0)＝f(－x0)”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若f(x)为偶函数，则有f(x)＝f(－x)，所以p⇒q；若f(x)＝x，当x＝0时，f(0)＝f(－0)，而f(x)＝x为奇函数，所以q p，故选A.答案：A5．“x≠y”是“|x|≠|y|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当x≠y时，不可以推出|x|≠|y|，例如：当x＝1，y＝－1时，有|x|＝|y|；但当|x|≠|y|时，可以推出x≠y，故“x≠y”是“|x|≠|y|”的必要不充分条件．答案：B6．已知m∈R，“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝log m x在(0，＋∞)上为减函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若函数y ＝2x ＋m －1有零点，则m ＜1；若函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数，则0＜m ＜1.故选B.答案：B7．“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，当a ＝0时，f (x )＝sin x －1x ，f (－x )＝sin(－x )－1－x＝－sin x ＋1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －1x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数．当f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数时，f (－x )＋f (x )＝0，又f (－x )＋f (x )＝sin(－x )－1－x＋a ＋sin x －1x ＋a ＝2a ，所以2a ＝0，故a ＝0. 所以“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数”的充要条件，故选C.答案：C8．(2017·武汉武昌区调研)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＝0时，f (x )＝|x |在区间(0，＋∞)上单调递增；当a ＜0时，f (x )＝(－ax ＋1)x ＝－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a x ，结合二次函数的图象可知f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，函数f (x )＝|(ax －1)x |的图象大致如图：函数f(x)在区间(0，＋∞)上有增有减．所以“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)上单调递增”的充要条件，故选C.答案：C9．设a、b是实数，则“a＞b＞0”是“a2＞b2”的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件解析：若a＞b＞0，则a2＞b2成立，若a＝－2，b＝1，满足a2＞b2，但a＞b＞0不成立，故“a＞b＞0”是“a2＞b2”的充分不必要条件，故选C.答案：C10．(2017·江西九校联考)下列判断错误的是()A．若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题B．命题“∀x∈R，x3－x2－1≤0”的否定是“∃x0∈R，x30－x20－1＞0”C．“若a∥c且b∥c，则a∥b”是真命题D．“若am2＜bm2，则a＜b”的否命题是假命题解析：选项A、B中的命题显然正确；选项D中命题的否命题为：若am2≥bm2，则a≥b，显然当m＝0时，命题是假命题，所以选项D正确；对于选项C中的命题，当c＝0时，命题是假命题，故选C.答案：C11．(2016·高考四川卷)设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足⎩⎨⎧ y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：取x ＝y ＝0满足条件p ，但不满足条件q ，反之，对于任意的x ，y 满足条件q ，显然必满足条件p ，所以p 是q 的必要不充分条件，选A. 答案：A12．命题“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A ．a ≥4B ．a ＞4C ．a ≥1D ．a ＞1解析：要使“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题，只需要a ≥4， ∴a ＞4是命题为真的充分不必要条件．答案：B13．下列四个结论中正确的个数是( )①“x 2＋x －2＞0”是“x ＞1”的充分不必要条件；②命题：“∀x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“∃x 0∈R ，sin x 0＞1”；③“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为真命题；④若f (x )是R 上的奇函数，则f (log 32)＋f (log 23)＝0.A ．1B ．2C ．3D ．4解析：对于①，由x 2＋x －2＞0，解得x ＜－2或x ＞1，故“x 2＋x －2＞0”是“x ＞1”的必要不充分条件，故①错误；对于②，命题：“∀x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“∃x 0∈R ，sin x 0＞1”，故②正确；对于③，“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为“若tan x ＝1，则x ＝π4”，其为假命题，故③错误；对于④，若f (x )是R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0，∵log 32＝1log 23≠－log 32， ∴log 32与log 23不互为相反数，故④错误．故选A.答案：A14．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件解析：若k ＝1，则直线l ：y ＝x ＋1与圆相交于(0,1)，(－1,0)两点，所以△OAB 的面积S △OAB ＝12×1×1＝12，所以“k ＝1”⇒“△OAB 的面积为12”；若△OAB 的面积为12，则k ＝±1，所以“△OAB 的面积为12” “k ＝1”，所以“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分而不必要条件，故选A.答案：A。
【南方新高考】2016高考数学大一轮总复习 第一章 第2讲 命题及其关系,充分条件与必要条件课件 理
解析：由题意知，A、B、C 的关系用下图来表示．
由上图结合“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则 易得：“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件，故① 错误，②正确，③错误，④错误．
4.给定下列命题： ①若 k＞0，则方程 x2＋2x－k＝0 有实数根； ②若 x＋y≠8，则 x≠2 或 y≠6； ③“矩形的对角线相等”的逆命题； ④“若 xy＝0，则 x、y 中至少有一个为 0”的否命题． 其中真命题的序号是 .
【温馨提示】 (1)熟悉四种命题的概念是判断四种命题 真假的关键；(2)当判断一个命题的真假时，若命题简单可 直接判断；否则，利用其逆否命题进行真假判断；(3)正确 的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例， 这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向， 有时举出反例可能比进行推理论证更困难， 二者同样重要．
【解答过程】当命题 p 成立时，直线 l1：x－y－1＝0 与 直线 l2：x＋ay－2＝0 平行，故两直线的斜率相等，所以 a＝ －1.当 q 成立时，a＝－1，直线 l1：x－y－1＝0 与直线 l2：x ＋ay－2＝0 平行，故命题 p 成立．综上，p 是 q 的充要条件． 答案：A
【例 1】有下列四个命题： (1)“若 xy＝1，则 x，y 互为倒数”的逆命题； (2)“面积相等的三角形全等”的否命题； (3)“若 m≤1，则方程 x2－2x＋m＝0 有实数解”的逆否
命题； (4)“若 A∩B＝A，则 A⊆B”的逆否命题． 其中真命题个数为( A．1 B．2 ) C．3 D．4
【思路点拨】根据倒数的定义判断(1)即可；写出否命题， 然后判断(2)的真假；写出逆否命题，通过解得方程无解的 条件来判断(3)；利用命题与逆否命题真假相同来判断(4)．
2016届高考数学(文)大一轮复习课件：第1章 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
第二十页，编辑于星期五：二十一点 四十七分。
[解] 由 x2－8x－20≤0 得－2≤x≤10， ∴P＝{x|－2≤x≤10}， 由 x∈P 是 x∈S 的必要条件，知 S⊆P.
则11－ －mm≤ ≥1－＋2m，， 1＋m≤10，
∴0≤m≤3.
所以当 0≤m≤3 时，x∈P 是 x∈S 的必要条件，即所求 m 的取 值范围是[0，3].
D．既不充分也不必要条件
解析：p：{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A，
q：{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0 或 x≤－1}＝B，
∵A B，
∴p 是 q 的充分不必要条件．
第十八页，编辑于星期五：二十一点 四十七分。
2．(2015·石家庄第一次模拟)若命题 p：φ＝π2＋kπ，k∈Z，命题 q：
∴P⇒S 且 S P. ∴[－2,10] [1－m,1＋m]． ∴11－＋mm≤＞－102， 或11－＋mm＜≥－102. ， ∴m≥9，即 m 的取值范围是[9，＋∞)．
第二十三页，编辑于星期五：二十一点 四十七 分。
[类题通法]
利用充要条件求参数的值或范围，关键是合理转化条件， 准确地将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合 的运算，一定要注意区间端点值的检验．其思维方式是：
第十四页，编辑于星期五：二十一点 四十七分。
[典题例析]
1．(2014·浙江高考)设四边形 ABCD 的两条对角线为 AC，BD，则“四
边形 ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的
()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当四边形 ABCD 为菱形时，必有对角线互相垂直，即
【世纪金榜】高考数学(文科,全国通用)一轮总复习练习：1.2命题及其关系(含答案解析)
课时提升作业二命题及其关系、充分条件与必要条件(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知命题:若a>2,则a2>4,其逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.原命题显然是真命题,其逆命题为“若a2>4,则a>2”,显然是假命题,由互为逆否命题的等价性知,否命题是假命题,逆否命题是真命题.2.(2016·济南模拟)命题“若a2+b2=0,a,b∈R,则a=b=0”的逆否命题是()A.若a≠b≠0,a,b∈R,则a2+b2=0B.若a=b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0C.若a≠0且b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0D.若a≠0或b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0【解析】选D.“a2+b2=0”的否定为“a2+b2≠0”,“a=b=0”的否定为“a≠0或b≠0”,故选D.【误区警示】解答本题易误选C,出错的原因是对a=b=0的否定出错,a=b=0是a=0且b=0的意思,其否定应为a≠0或b≠0.3.(2016·莱芜模拟)设集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈M”是“a∈N”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.a∈N,则必有a∈M,反之不成立,故选B.【加固训练】(2016·长沙模拟)“1<x<2”是“x<2”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.若1<x<2,则x<2显然成立,反之不成立.4.(2014·浙江高考)设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.“四边形ABCD为菱形”⇒“AC⊥BD”,由“AC⊥BD”推不出“四边形ABCD 为菱形”,所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.5.使a>0,b>0成立的一个必要不充分条件是()A.a+b>0B.a-b>0C.ab>1D.>1 【解析】选A.因为a>0,b>0⇒a+b>0,反之不成立,而由a>0,b>0不能推出a-b>0,ab>1,>1,故选A.【加固训练】下面四个条件中,使a>b成立的充分不必要条件是()A.a>b+1B.a>b-1C.a2>b2D.a3>b3【解析】选A.a>b+1⇒a>b;反之,例如a=2,b=1满足a>b,但a=b+1,即由a>b推不出a>b+1,故a>b+1是a>b成立的充分不必要条件.6.(2015·北京高考)设a,b是非零向量,“a·b=|a||b|”是“a∥b”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题提示】结合向量共线的定义及向量的数量积的运算进行判断.【解析】选A.由a·b=|a||b|得cos<a,b>=1,<a,b>=0,所以a与b同向.而a∥b包括同向与反向两种情况.7.(2016·济南模拟)若a=log2x,b=,则“a>b”是“x>1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.函数a=log2x,b=的图象如图所示,由图象可知,若a>b,则x>2,即x>1成立,反之,若x>1,当x=时,a<b.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2016·日照模拟)命题“若x2-1=0,则x=1或x=-1”的否命题是________.【解析】因为“x=1或x=-1”的否定是“x≠1且x≠-1”.所以否命题为“若x2-1≠0,则x≠1且x≠-1”.答案:若x2-1≠0,则x≠1且x≠-19.(2016·临沂模拟)已知P={x|a-4<x<a+4},Q={x|x2-4x+3<0},若x∈P是x∈Q的必要条件,则实数a的取值范围是__________.【解析】由题意知,Q={x|1<x<3},Q⇒P,所以解得-1≤a≤5.所以实数a的取值范围是[-1,5].答案:[-1,5]【加固训练】已知“命题p:(x-m)2>3(x-m)”是“命题q:x2+3x-4<0”成立的必要不充分条件,则实数m的取值范围为________.【解析】p:x>m+3或x<m,q:-4<x<1,因为p是q成立的必要不充分条件.则{x|-4<x<1}{x|x>m+3或x<m},所以m+3≤-4或m≥1,即m≤-7或m≥1,故m的取值范围为(-∞,-7]∪[1,+∞).答案:(-∞,-7]∪[1,+∞)10.设n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=________.【解析】由Δ=16-4n≥0,得n≤4,又n∈N*,则n=1,2,3,4.方程x2-4x+n=0的根为x=.当n=1,2时,方程没有整数根,当n=3时,方程有整数根1,3,当n=4时,方程有整数根2,综上知n=3或4.答案:3或4(20分钟35分)1.(5分)已知p:x2≤x,q:≥1,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题提示】先解不等式化简p,q,再进行判断.【解析】选B.x2≤x⇔x2-x≤0⇔0≤x≤1,即p:0≤x≤1.≥1⇔-1≥0⇔≥0⇔≤0⇔0<x≤1,即q:0<x≤1.因为{x|0<x≤1}{x|0≤x≤1},所以p是q的必要不充分条件.【误区警示】解答本题易误选A,出错的原因是误解不等式≥1为x≤1.【加固训练】1.(2016·烟台模拟)已知a,b,c是实数,则b2≠ac是a,b,c不成等比数列的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题提示】从正、反两个方面推理时,可用与其等价的逆否命题的真假进行判断.【解析】选A.因为命题“若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列”的逆否命题为“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”,是真命题,所以b2≠ac是a,b,c不成等比数列的充分条件;因为“若b2=ac,则a,b,c成等比数列”是假命题,所以“若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac”是假命题,即b2≠ac不是a,b,c不成等比数列的必要条件.2.已知a>0,b>0,则“a2+b2<1”是“ab+1>a+b”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.满足条件a2+b2<1的点M(a,b)在以原点为圆心,1为半径的圆内,又因为a>0,b>0,所以0<a<1,0<b<1.又由ab+1>a+b得ab+1-a-b>0,(a-1)b+(1-a)>0,(a-1)(b-1)>0,所以a>1,b>1或a<1,b<1.又因为a>0,b>0,所以a>1,b>1或0<a<1,0<b<1,所以a2+b2<1⇒ab+1>a+b,反之不成立.【一题多解】本题还可采用如下解法:选 B.因为a>0,b>0,若a2+b2<1,则a2+2ab+b2<1+2ab<1+2ab+(ab)2,即(a+b)2< (1+ab)2,所以a+b<1+ab成立;反之,当a=b=2时,有1+ab>a+b成立,但a2+b2<1不成立,所以“a2+b2<1”是“ab+1>a+b”的充分不必要条件.2.(5分)(2016·滨州模拟)以下命题中,正确命题的序号是________.①△ABC中,A>B的充要条件是sinA>sinB;②函数y=f(x)在区间(1,2)上存在零点的充要条件是f(1)·f(2)<0;③在等比数列{a n}中,a1=1,a5=16,则a3=±4;④把函数y=sin(2-2x)的图象向右平移2个单位后,得到的图象对应的解析式为y=sin(4-2x). 【解题提示】利用各相关知识逐一判断.【解析】由正弦定理=知A>B⇔a>b⇔sinA>sinB,所以①正确;若函数y=f(x)在区间(1,2)上的图象不连续,即使f(1)f(2)<0,f(x)在(1,2)上也可能不存在零点,故②不正确;因为在等比数列中,所有的奇数项同号,所以③不正确;由函数图象的平移法则知,平移后的解析式为y=sin[2-2(x-2)]=sin(6-2x),所以④不正确.答案:①3.(12分)已知p:x2-7x+12≤0,q:(x-a)(x-a-1)≤0.(1)是否存在实数a,使p是q的充分不必要条件,若存在,求实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.(2)是否存在实数a,使p是q的充要条件,若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.【解析】因为p:3≤x≤4,q:a≤x≤a+1.(1)因为p是q的充分不必要条件,所以p⇒q,且q p,所以q⇒p,且p q,即q是p的充分不必要条件,故{x|a≤x≤a+1}{x|3≤x≤4},所以或无解,所以不存在实数a,使p是q的充分不必要条件.(2)若p是q的充要条件,则{x|a≤x≤a+1}={x|3≤x≤4},所以解得a=3.故存在实数a=3,使p是q的充要条件.【加固训练】已知集合若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数m的取值范围.【解析】y=x2-x+1=+,因为x∈,所以≤y≤2,所以A=.由x+m2≥1,得x≥1-m2,所以B={x|x≥1-m2}.因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件,所以A⊆B,所以1-m2≤,解得m≥或m≤-,故实数m的取值范围是∪.4.(13分)已知函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,a,b∈R,对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”.(1)写出否命题,判断其真假,并证明你的结论.(2)写出逆否命题,判断其真假,并证明你的结论.【解析】(1)否命题:已知函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,a,b∈R,若a+b<0,则f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b).该命题是真命题,证明如下:因为a+b<0,所以a<-b,b<-a.又因为f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.所以f(a)<f(-b),f(b)<f(-a),因此f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),所以否命题为真命题.(2)逆否命题:已知函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,a,b∈R,若f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),则a+b<0. 真命题,可通过证明原命题为真来证明它.因为a+b≥0,所以a≥-b,b≥-a,因为f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,所以f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a),所以f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),故原命题为真命题,所以逆否命题为真命题.。
【世纪金榜】2016届高三文科数学总复习课件：热点专题突破系列(四)平行、垂直的综合问题
4 4
2
2
此时S四边形ABMO=S△AOB+S△OMB
2 2 1 1 1 3 5 3 3 1 . 2 2 2 2 8 1 = 1 ·AO·OB+ ·BM·OM
所以四棱锥P-ABMO的体积
VPABMO 1 1 5 3 3 5 S四边形ABMO PO . 3 3 8 2 16
热点专题突破系列(四) 平行、垂直的综合问题
考点一
平行、垂直关系的证明与体积的计算
【考情分析】以空间几何体(主要是柱、锥或简单组合体)为载体,通 过空间平行、垂直关系的论证命制,主要考查公理4及线、面平行与垂 直的判定定理与性质定理,常与平面图形的有关性质及体积的计算等 知识交汇考查,考查学生的空间想象能力和推理论证能力以及转化与 化归思想,一般以解答题的形式出现,难度中等.
公式求解.
【规范解答】(1)在题图1中,因为AC=6,BC=3,∠ABC=90°,所以
∠A=30°,∠ACB=60°.
因为CD为∠ACB的平分线,所以∠BCD=∠ACD=30°, 所以CD=2 3 .
2 2 2 CE CD DE 因为CE=4,∠DCE=30°,由余弦定理可得cos30°= , 2CE CD 2 2 2 即 3 4 (2 3) DE ,解得DE=2.则CD2+DE2=EC2,所以 2 2 4 2 3
【规律方法】 1.空间两直线位置关系的判定方法 (1)对于平行直线可通过作辅助线,利用三角形或梯形中位线的性质及 线面平行与面面平行的性质定理. (2)垂直关系可采用线面垂直的性质解决.
2.空间线面的位置关系的判定方法 (1)证明直线与平面平行,设法在平面内找到一条直线与已知直线平行 , 解答时合理利用中位线性质、线面平行的性质,或构造平行四边形,寻 求比例关系确定两直线平行. (2)证明直线与平面垂直,主要途径是找到一条直线与平面内的两条相 交直线垂直.解题时注意分析观察几何图形,寻求隐含条件.
新高考数学一轮复习教师用书：第1章 2 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且⇒/ pp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3＜0”是命题．( )(2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则﹁q”．( )(3)若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( )(4)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件．( )(5)q不是p的必要条件时,“p ⇒/q”成立．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√[教材衍化]1．(选修2－1P12A组T2改编)命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是________,是________命题(填“真”或“假”)解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是“若x≤y,则x2≤y2”．答案：若x≤y,则x2≤y2假2．(选修2－1P12A组T3改编)设x∈R,则“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的________条件．解析：2－x≥0,则x≤2,(x－1)2≤1,则－1≤x－1≤1,即0≤x≤2,据此可知,“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分条件．答案：必要不充分[易错纠偏](1)命题的条件与结论不明确；(2)对充分必要条件判断错误．1．命题“若a2＋b2＝0,a,b∈R,则a＝b＝0”的逆否命题是________．答案：若a≠0或b≠0,a,b∈R,则a2＋b2≠02．条件p：x>a,条件q：x≥2.(1)若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是________；(2)若p是q的必要不充分条件,则a的取值范围是________．解析：设A＝{x|x>a},B＝{x|x≥2},(1)因为p是q的充分不必要条件,所以A B,所以a≥2；(2)因为p是q的必要不充分条件,所以B A,所以a<2.答案：(1)a≥2(2)a<2四种命题的相互关系及真假判断(1)(2020·浙江重点中学模拟)已知命题p：“正数a的平方不等于0”,命题q：“若a不是正数,则它的平方等于0”,则q是p的( )A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定(2)(2020·温州模拟)命题“若x2＋y2＝0,x,y∈R,则x＝y＝0”的逆否命题是( )A．若x≠y≠0,x,y∈R,则x2＋y2＝0B．若x＝y≠0,x,y∈R,则x2＋y2≠0C．若x≠0且y≠0,x,y∈R,则x2＋y2≠0D．若x≠0或y≠0,x,y∈R,则x2＋y2≠0【解析】 (1)命题p ：“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数,则它的平方不等于0”,从而q 是p 的否命题,故选B.(2)将原命题的条件和结论否定,并互换位置即可．由x ＝y ＝0知x ＝0且y ＝0,其否定是x≠0或y≠0. 【答案】 (1)B (2)D(1)写一个命题的其他三种命题时需关注2点 ①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写． ②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提．[提醒] 四种命题的关系具有相对性,一旦一个命题定为原命题,相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．(2)判断命题真假的2种方法①直接判断：判断一个命题为真命题,要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题,只需举出一个反例即可．②间接判断：当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假．1．命题“若a 2>b 2,则a>b”的否命题是( ) A ．若a 2>b 2,则a≤b B ．若a 2≤b 2,则a≤b C ．若a≤b ,则a 2>b 2D ．若a≤b ,则a 2≤b 2解析：选B.根据命题的否命题若“﹁p,则﹁q”知选B. 2．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x ＞1,则x 2＞1”的否命题 B ．命题“若x ＞y,则x ＞|y|”的逆命题 C ．命题“若x ＝1,则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若1x＞1,则x ＞1”的逆否命题解析：选B.对于A,命题“若x ＞1,则x 2＞1”的否命题为“若x≤1,则x 2≤1”,易知当x ＝－2时,x2＝4＞1,故为假命题；对于B,命题“若x ＞y,则x ＞|y|”的逆命题为“若x ＞|y|,则x ＞y”,分析可知为真命题；对于C,命题“若x ＝1,则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x≠1,则x 2＋x －2≠0”,易知当x ＝－2时,x2＋x －2＝0,故为假命题；对于D,命题“若1x ＞1,则x ＞1”的逆否命题为“若x≤1,则1x ≤1”,易知为假命题,故选B.充分条件、必要条件的判断(高频考点)充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点,常以选择题的形式出现,作为一个重要载体,考查的知识面很广,几乎涉及数学知识的各个方面．主要命题角度有：(1)判断指定条件与结论之间的关系； (2)与命题的真假性相交汇命题． 角度一 判断指定条件与结论之间的关系(1)(2019·高考浙江卷)设a>0,b>0,则“a＋b≤4”是“ab≤4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·高考浙江卷)已知平面α,直线m,n 满足m ⊄α,n ⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 (1)通解：因为a>0,b>0,所以a ＋b≥2ab,由a ＋b≤4可得2ab ≤4,解得ab≤4,所以充分性成立；当ab≤4时,取a ＝8,b ＝13,满足ab≤4,但a ＋b>4,所以必要性不成立,所以“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A.优解：在同一坐标系内作出函数b ＝4－a,b ＝4a 的图象,如图,则不等式a ＋b≤4与ab≤4表示的平面区域分别是直线a ＋b ＝4及其左下方(第一象限中的部分)与曲线b ＝4a 及其左下方(第一象限中的部分),易知当a ＋b≤4成立时,ab ≤4成立,而当ab≤4成立时,a ＋b≤4不一定成立．故选A.(2)若m ⊄α,n ⊂α,m ∥n,由线面平行的判定定理知m ∥α.若m∥α,m ⊄α,n ⊂α,不一定推出m∥n ,直线m 与n 可能异面,故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A.【答案】 (1)A (2)A角度二 与命题的真假性相交汇命题(2020·杭州模拟)下列有关命题的说法正确的是( ) A ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件 B ．p ：A∩B＝A ；q ：AB,则p 是q 的充分不必要条件C ．已知数列{a n },若p ：对于任意的n∈N *,点P n (n,a n )都在直线y ＝2x ＋1上；q ：{a n }为等差数列,则p 是q 的充要条件D ．“x<0”是“ln(1＋x)<0”的必要不充分条件【解析】 选项A ：当x ＝－1时,x 2－5x －6＝0,所以x ＝－1是x 2－5x －6＝0的充分条件,故A 错． 选项B ：因为A∩B＝A ⇒/AB(如A ＝B),而A B ⇒A ∩B ＝A,从而p ⇒/ q,q ⇒p,所以p 是q 的必要不充分条件,故B 错． 选项C ：因为P n (n,a n )在直线y ＝2x ＋1上． 所以a n ＝2n ＋1(n∈N *),则a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋1－(2n ＋1)＝2,又由n 的任意性可知数列{a n }是公差为2的等差数列,即p ⇒q.但反之则不成立,如：令a n ＝n,则{a n }为等差数列,但点(n,n)不在直线y ＝2x ＋1上,从而q ⇒/ p. 从而可知p 是q 的充分不必要条件,故C 错．选项D ：利用充分条件和必要条件的概念判断．因为ln(x ＋1)<0⇔0<x ＋1<1⇔－1<x<0,所以“x<0”是“ln(x ＋1)<0”的必要不充分条件．故D 正确．【答案】 D判断充要条件的3种常用方法(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．(2)等价法：利用A ⇒B 与﹁B ⇒﹁A,B ⇒A 与﹁A ⇒﹁B,A ⇔B 与﹁B ⇔﹁A 的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A ⊆B,则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B,则A 是B 的充要条件．[提醒] 判断充要条件需注意3点 (1)要分清条件与结论分别是什么． (2)要从充分性、必要性两个方面进行判断． (3)直接判断比较困难时,可举出反例说明．1．(2020·杭州市富阳二中高三开学检测)若a,b 为实数,则“ 3a <3b”是“1|a|>1|b|”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D.根据题意,若“3a <3b”,则有a<b,而“1|a|>1|b|”不一定成立,如a ＝－3,b ＝1；若“1|a|>1|b|”,则有|a|<|b|,“3a <3b ”不一定成立,如a ＝1,b ＝－3,故“3a <3b”是“1|a|>1|b|”的既不充分也不必要条件．2．(2020·“超级全能生”高考浙江省联考)已知函数f(x)＝sin x,x ∈[0,2π),则“f(x)≥0”是“f(x 2)≥0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.由f(x)≥0⇒x ∈[0,π],由f(x 2)≥0⇒x 2∈[0,π]⇒x ∈[0,π], 因为[0,π]⊆[0,π],由集合性质可知为必要不充分条件．充分条件、必要条件的应用(1)已知p ：|x ＋1|＞2,q ：x ＞a,且﹁p 是﹁q 的充分不必要条件,则a 的取值范围是( ) A ．a ≤1 B ．a ≤－3 C ．a ≥－1D ．a ≥1(2)已知P ＝{x|x 2－8x －20≤0},非空集合S ＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若“x∈P”是“x∈S”的必要条件,则m 的取值范围为________．【解析】 (1)由|x ＋1|＞2,解得x ＞1或x ＜－3,因为﹁p 是﹁q 的充分不必要条件,所以q 是p 的充分不必要条件, 从而可得(a,＋∞)是(－∞,－3)∪(1,＋∞)的真子集, 所以a≥1,故选D.(2)由x 2－8x －20≤0,得－2≤x≤10, 所以P ＝{x|－2≤x≤10},由x∈P 是x∈S 的必要条件,知S ⊆P. 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤1＋m ，1－m≥－2，1＋m≤10，所以0≤m≤3. 所以当0≤m≤3时,x ∈P 是x∈S 的必要条件, 即所求m 的取值范围是[0,3]． 【答案】 (1)D (2)[0,3](变问法)本例(2)条件不变,若“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件,求实数m 的取值范围． 解：由例题知P ＝{x|－2≤x≤10},因为“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件, 所以P ⇒S 且S ⇒/ P.所以[－2,10][1－m,1＋m]．所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m≥10.所以m≥9,即m 的取值范围是[9,＋∞)．利用充要条件求参数应关注2点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时,要注意边界或区间端点值的检验,从而确定取舍．[提醒] 含有参数的问题,要注意分类讨论．(2020·金华一模)已知命题p：实数m满足m2＋12a2<7am(a>0),命题q：实数m满足方程x2m－1＋y22－m＝1表示焦点在y轴上的椭圆．若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围为________．解析：由a>0,m2－7am＋12a2<0,得3a<m<4a,即命题p：3a<m<4a,a>0.由x2m－1＋y22－m＝1表示焦点在y轴上的椭圆,可得2－m>m－1>0,解得1<m<32,即命题q：1<m<32.因为p是q的充分不必要条件,所以⎩⎪⎨⎪⎧3a≥14a≤32,解得13≤a≤38,所以实数a的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，38.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，38[基础题组练]1．下列命题是真命题的是( )A．若1x＝1y,则x＝y B．若x2＝1,则x＝1C．若x＝y,则x＝y D．若x＜y,则x2＜y2解析：选A.由1x＝1y得x＝y,A正确；由x2＝1得x＝±1,B错误；由x＝y,x,y不一定有意义,C错误；由x＜y不一定能得到x2＜y2,如x＝－2,y＝－1,D错误,故选A.2．命题“若x＞1,则x＞0”的逆否命题是( )A．若x≤0,则x≤1 B．若x≤0,则x＞1C．若x＞0,则x≤1 D．若x＜0,则x＜1解析：选A.依题意,命题“若x＞1,则x＞0”的逆否命题是“若x≤0,则x≤1”,故选A.3．设a,b 是实数,则“a＋b>0”是“ab>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D.特值法：当a ＝10,b ＝－1时,a ＋b ＞0,ab ＜0,故a ＋b ＞0⇒/ ab ＞0；当a ＝－2,b ＝－1时,ab ＞0,但a ＋b ＜0,所以ab ＞0⇒/ a ＋b ＞0.故“a＋b ＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．4．(2020·金华市东阳二中高三调研)若“0<x<1”是“(x－a)[x －(a ＋2)]≤0”的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．(－1,0)C ．(－∞,0]∪[1,＋∞)D ．(－∞,－1]∪[0,＋∞)解析：选A.由(x －a)[x －(a ＋2)]≤0得a≤x≤a＋2,要使“0<x<1”是“(x－a)[x －(a ＋2)]≤0”的充分不必要条件,则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≥1a≤0,所以－1≤a≤0.5．(2020·杭州中学高三月考)已知a,b ∈R,条件p ：“a>b”,条件q ：“2a >2b－1”,则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由条件p ：“a>b”,再根据函数y ＝2x是增函数,可得2a>2b,所以2a>2b－1,故条件q ：“2a>2b－1”成立,故充分性成立．但由条件q ：“2a>2b－1”成立,不能推出条件p ：“a>b”成立,例如由20>20－1成立,不能推出0>0,故必要性不成立．故p 是q 的充分不必要条件,故选A.6．已知a,b ∈R,则使|a|＋|b|>4成立的一个充分不必要条件是( ) A ．|a|＋|b|≥4 B ．|a|≥4C ．|a|≥2且|b|≥2D ．b<－4解析：选D.由b<－4可得|a|＋|b|>4,但由|a|＋|b|>4得不到b<－4,如a ＝1,b ＝5. 7．已知直线l,m,其中只有m 在平面α内,则“l∥α”是“l∥m”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.当l∥α时,直线l 与平面α内的直线m 平行、异面都有可能,所以l∥m 不一定成立；当l∥m 时,根据直线与平面平行的判定定理知直线l∥α,即“l∥α”是“l∥m”的必要不充分条件,故选B.8．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则“sin A＞sin B”是“a＞b”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.设△ABC外接圆的半径为R,若sin A＞sin B,则2Rsin A＞2Rsin B,即a＞b；若a＞b,则a2R＞b2R,即sin A＞sin B,所以在△ABC中,“sin A＞sin B”是“a＞b”的充要条件,故选C.9．设向量a＝(1,x－1),b＝(x＋1,3),则“x＝2”是“a∥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.依题意,注意到a∥b的充要条件是1×3＝(x－1)(x＋1),即x＝±2.因此,由x＝2可得a∥b,“x＝2”是“a∥b”的充分条件；由a∥b不能得到x＝2,“x＝2”不是“a∥b”的必要条件,故“x＝2”是“a∥b”的充分不必要条件,选A.10．下列选项中,p是q的必要不充分条件的是( )A．p：x＝1,q：x2＝xB．p：|a|>|b|,q：a2>b2C．p：x>a2＋b2,q：x>2abD．p：a＋c>b＋d,q：a>b且c>d解析：选D.A中,x＝1⇒x2＝x,x2＝x⇒x＝0或x＝1⇒/ x＝1,故p是q的充分不必要条件；B中,因为|a|>|b|,根据不等式的性质可得a2>b2,反之也成立,故p是q的充要条件；C中,因为a2＋b2≥2ab,由x>a2＋b2,得x>2ab,反之不成立,故p是q的充分不必要条件；D中,取a＝－1,b＝1,c＝0,d＝－3,满足a＋c>b ＋d,但是a<b,c>d,反之,由同向不等式可加性得a>b,c>d⇒a＋c>b＋d,故p是q的必要不充分条件．综上所述,故选D.11．对于原命题：“已知a、b、c∈R,若ac2＞bc2,则a＞b”,以及它的逆命题、否命题、逆否命题,真命题的个数为________．解析：原命题为真命题,故逆否命题为真；逆命题：若a＞b,则ac2＞bc2为假命题,故否命题为假命题,所以真命题个数为2.答案：212．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．解析：已知函数f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称,则m＝－2；反之也成立．所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.答案：m＝－213已知α：x≥a,β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件,则实数a的取值范围为________．解析：α：x≥a,可看作集合A＝{x|x≥a},因为β：|x－1|<1,所以0<x<2,所以β可看作集合B ＝{x|0<x<2}． 又因为α是β的必要不充分条件． 所以BA,所以a≤0.答案：(－∞,0]14．设平面α与平面β相交于直线m,直线a 在平面α内,直线b 在平面β内,且b⊥m ,则“a⊥b”是“α⊥β”的________条件(只填充分不必要、必要不充分、充分必要,既不充分也不必要)．解析：因为α⊥β,b⊥m ,所以b⊥α,又直线a 在平面α内,所以a⊥b；又直线a,m 不一定相交,所以“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分条件．答案：必要不充分15．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题,则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立,当a ＝0时,－3≤0成立；当a≠0时,得⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ＝4a 2＋12a≤0，解得－3≤a<0,故－3≤a≤0.答案：[－3,0]16．已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2,q ：1－m≤x≤1＋m(m>0),且綈p 是綈q 的必要而不充分条件,则实数m 的取值范围为________．解析：法一：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2,得－2≤x≤10, 所以綈p 对应的集合为{x|x>10或x<－2}, 设A ＝{x|x>10或x<－2}． 1－m≤x≤1＋m(m>0),所以綈q 对应的集合为{x|x>m ＋1或x<1－m,m>0}, 设B ＝{x|x>m ＋1或x<1－m,m>0}． 因为﹁p 是﹁q 的必要而不充分条件,所以B A,所以⎩⎪⎨⎪⎧m>0，1－m≤－2，1＋m≥10，且不能同时取得等号．解得m≥9,所以实数m 的取值范围为[9,＋∞)． 法二：因为﹁p 是﹁q 的必要而不充分条件, 所以q 是p 的必要而不充分条件． 即p 是q 的充分而不必要条件,因为q 对应的集合为{x|1－m≤x≤1＋m,m>0}, 设M ＝{x|1－m≤x≤1＋m,m>0},又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2,得－2≤x≤10, 所以p 对应的集合为{x|－2≤x≤10},设N ＝{x|－2≤x≤10}．由p 是q 的充分而不必要条件知N M,所以⎩⎪⎨⎪⎧m>0，1－m≤－2，1＋m≥10，且不能同时取等号,解得m≥9.所以实数m 的取值范围为[9,＋∞)．答案：[9,＋∞)17．给出下列命题：①已知集合A ＝{1,a},B ＝{1,2,3},则“a＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件；②“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的必要不充分条件；③“函数f(x)＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a＝1”的充要条件；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件是“a·b ＜0”．其中正确命题的序号是________．(把所有正确命题的序号都写上)解析：①因为“a＝3”可以推出“A ⊆B ”,但“A ⊆B ”不能推出“a＝3”,所以“a＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件,故①正确；②“x＜0”不能推出“ln(x ＋1)＜0”,但“ln(x ＋1)＜0”可以推出“x＜0”,所以“x＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的必要不充分条件,故②正确；③f(x)＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos 2ax,若其最小正周期为π,则2π2|a|＝π⇒a ＝±1,因此“函数f(x)＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a＝1”的必要不充分条件,故③错误；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”可以推出“a·b＜0”,但由“a·b＜0”,得“平面向量a 与b 的夹角是钝角或平角”,所以“a·b＜0”是“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的必要不充分条件,故④错误．正确命题的序号是①②.答案：①②[综合题组练]1．设θ∈R ,则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇔－π12＜θ－π12＜π12⇔0＜θ＜π6, sin θ＜12⇔θ∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π－7π6，2k π＋π6,k ∈Z,⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－7π6，2k π＋π6,k ∈Z, 所以“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件． 2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<2x <8，x ∈R ,B ＝{x|－1<x<m ＋1,x ∈R},若x∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A,则实数m 的取值范围是________．解析：因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<2x <8，x ∈R ＝{x|－1<x<3},x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x∈A , 所以A B,所以m ＋1>3,即m>2.答案：m ＞23．已知函数f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数,a,b ∈R,对命题“若a ＋b≥0,则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)写出否命题,判断其真假,并证明你的结论；(2)写出逆否命题,判断其真假,并证明你的结论．解：(1)否命题：已知函数f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数,a,b ∈R,若a ＋b<0,则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．该命题是真命题,证明如下：因为a ＋b<0,所以a<－b,b<－a.又因为f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数．所以f(a)<f(－b),f(b)<f(－a),因此f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b),所以否命题为真命题．(2)逆否命题：已知函数f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数,a,b ∈R,若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b),则a ＋b<0.真命题,可通过证明原命题为真来证明它．因为a ＋b≥0,所以a≥－b,b ≥－a,因为f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数,所以f(a)≥f(－b),f(b)≥f(－a),所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b),故原命题为真命题,所以逆否命题为真命题．4．已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0,求两方程的根都是整数的充要条件．解：因为mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程,所以m≠0.又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0,且两方程都要有实根,所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16（1－m ）≥0，Δ2＝16m 2－4（4m 2－4m －5）≥0，解得m∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1. 因为两方程的根都是整数,故其根的和与积也为整数,所以⎩⎪⎨⎪⎧4m ∈Z ，4m ∈Z ，4m 2－4m －5∈Z. 所以m 为4的约数．又因为m∈错误!,所以m ＝－1或1.当m ＝－1时,第一个方程x 2＋4x －4＝0的根为非整数；而当m ＝1时,两方程的根均为整数,所以两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1.5．已知p ：x 2－7x ＋12≤0,q ：(x －a)(x －a －1)≤0.(1)是否存在实数a,使﹁p 是﹁q 的充分不必要条件,若存在,求实数a 的取值范围；若不存在,请说明理由．(2)是否存在实数a,使p 是q 的充要条件,若存在,求出a 的值；若不存在,请说明理由．解：因为p ：3≤x≤4,q ：a≤x≤a＋1.(1)因为﹁p 是﹁q 的充分不必要条件,所以﹁p ⇒﹁q,且﹁q ⇒/﹁p,所以q ⇒p,且p ⇒/ q,即q 是p 的充分不必要条件,故{x|a≤x≤a＋1}{x|3≤x ≤4},所以⎩⎪⎨⎪⎧a>3，a ＋1≤4或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，a ＋1<4，无解, 所以不存在实数a,使﹁p 是﹁q 的充分不必要条件．(2)若p 是q 的充要条件,则{x|a≤x≤a＋1}＝{x|3≤x ≤4},所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a ＋1＝4， 解得a ＝3.故存在实数a ＝3,使p 是q 的充要条件．。
高三数学第一轮复习课件(ppt)目录
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目录 CONTENTS
第二章
2.1 函数及其表示 2.2 函数的单调性与最值 2.3 函数的奇偶性与周期性 2.4 一次函数、二次函数 2.5 指数与指数函数 2.6 对数与对数函数 2.7 幂函数 2.8 函数的图象及其变换 2.9 函数与方程
函数
2.10 函数模型及其应用
第一讲：三角函数
S ABC=1/2bcsinA=1/2absinC=1/2ah，可得sinA=√15/8，sinC=√15/4。
∴cosA=7/8,cosC=1/4，
∴cos（A-C）=7/8 x 1/4 + √15/8 x √15/4
=11/16 c=2
A
b=2
h=√15/2
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B
C 1/2 a
1/2
C、﹙1，＋∞﹚
D、[1，＋∞﹚
解析：由于3x＞0，所以3x+1＞1，所以f（x）＞0，集合表示为（0，＋∞），答案为A
2、已知函数y=2x＋1的值域为（5,7），则对应的自变量x的范围为（
）
A、[2,3）
B、[2,3]
C、(2,3)
D、（2,3]
解析：根据题意：5＜2x+1＜7,解得2＜x＜3，用集合表示为（2,3），答案为C
A [1,2]
解析：解二元一次不等式x2 +2x-8≤0，可得-4≤x≤2，所以M为[-4,2]; 解不等式3x-2≥2x-1,可得x≥1,所以N为[1,＋∞﹚。此时我们可以应用数轴马 上解决问题：
-4 0 1 2
如图所示，阴影部分即为所求。答案：A 启示：掌握好数轴工具，在集合、函数问题（ B
B、﹙－∞，5]
）
D、[5，＋∞﹚
2016届高考数学文科一轮复习课件1-2命题及其关系、充分条件与必要条件
接
若 p q，q p，则 p 是 q 的_既___不__充__分__也__不__必__要__条件．
第十页，编辑于星期五：二十一点 十二分。
课前自修
六、用反证法证明命题的一般步骤
1．假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立．
2．从这个假设出发，经过正确的逻辑推理，得出矛盾．
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目
3．由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结论成立．
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C．若x＞1或x＜－1，则x2＞1
目
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
链
接
解析：由逆否命题的变换可知，命题“若x2<1，则－1<x<1” 的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”，故选D.
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课前自修
2．(2014•广东卷)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别
在四种形式的命题中真命题的个数只能为0或2或4.
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课前自修
五、用推出符号“⇒”概括充分条件、必要条件、 充要条件
若 p q，q p，则 p 是 q 的充分不必要条件．
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目
若 p q，q p，则 p 是 q 的__必__要__不__充__分______条件．
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若 p q，q p，则 p 是 q 的___充__要___________条件．
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考点探究
当一个命题有大前提而要写出其他三个命题时，必须保留大前提 且不作改换．另外，在判断命题的真假时，如果不易直接判断它的真假 ，可以转化为判断其逆否命题的真假．
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解析：若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0与l2：a2x＋b2y＋c2＝0平 行，则必有a1b2－a2b1＝0，但当a1b2－a2b1＝0时，直线l1与l2不一定平
【世纪金榜】高考数学(文科)一轮总复习阶段滚动月考卷(一)集合与常用逻辑用语、函数与导数(含答案解析)
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阶段滚动月考卷(一)集合与常用逻辑用语、函数与导数(时间:120分钟分值:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合P={x|x2-x-2≥0},Q=,则P∩Q= ( )A.{m|-1≤m<2}B.{m|-1<m<2}C.{m|m≥2}D.{-1}2.(2016·德州模拟)已知集合A={x|4≤2x≤16},B=[a,b],若A B,则实数a-b的取值范围是( )A.(-∞,-2]B.[-2,+∞)C.(-∞,2]D.[2,+∞)3.(2016·潍坊模拟)已知幂函数f(x)的图象过点,则f(8)的值为( )A. B.64 C.2 D.4.“a≤-2”是“函数f(x)=|x-a|在[-1,+∞)上单调递增”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2016·烟台模拟)已知函数f(x)=lnx,则函数g(x)=f(x)-f ′(x)的零点所在的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)6.设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极小值点,以下结论一定正确的是( )A. x∈R,f(x)≥f(x0)B.-x0是f(-x)的极大值点C.-x0是-f(x)的极小值点D.-x0是-f(-x)的极大值点7.(2016·青岛模拟)设a=20.3,b=0.32,c=log x(x2+0.3)(x>1),则a,b,c 的大小关系是( )A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a8.过函数f(x)=3x-x3图象上一点A(2,-2)的切线方程为( )A.y=-2B.y=2C.9x+y-16=0D.9x+y-16=0或y=-29.(2015·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同的路程,三辆汽车中,甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该城市用丙车比用乙车更省油10.(2016·大连模拟)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≤0时,f(x)=(x+1)3e x+1,那么函数f(x)的极值点的个数是( )A.5B.4C.3D.2二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2016·北京模拟)曲线y=x3+mx+c在点P(1,n)处的切线方程为y=2x+1,其中m,n,c∈R,则m+n+c= .12.(2016·烟台模拟)已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x+2)=-,当2≤x≤3时,f(x)=x,则f= .13.f(x)=log2a[(a2-3a)x]在(-∞,0)上是减函数,则实数a的取值范围是.14.(2016·绍兴模拟)已知函数f(x)满足f(x+1)=-,且f(x)是偶函数,当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-log a(x+2)有4个零点,则实数a的取值范围是. 15.(2016·莱芜模拟)已知定义域为R的函数f(x),对于x∈R,满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x,设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,则实数x0的值为.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2016·泰安模拟)已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈R}, B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.(1)若A∩B=[0,3],求实数m的值.(2)若AðB,求实数m的取值范围.R17.(12分)设a>0,且a≠1,已知函数f(x)=log a是奇函数.(1)求实数b的值.(2)求函数f(x)的单调区间.(3)当x∈(1,a-2)时,函数f(x)的值域为(1,+∞),求实数a的值. 18.(12分)某地拟建一座长为640米的大桥AB,假设桥墩等距离分布,经设计部门测算,两端桥墩A,B造价总共为100万元,当相邻两个桥墩的距离为x米时(其中64<x<100),中间每个桥墩的平均造价为万元,桥面每1米长的平均造价为万元.(1)试将桥的总造价表示为x的函数f(x).(2)为使桥的总造价最低,试问这座大桥中间(两端桥墩A,B除外)应建多少个桥墩?19.(12分)(2016·济宁模拟)已知函数f(x)=--ax(a∈R).(1)当a=时,求函数f(x)的单调区间.(2)若函数f(x)在[-1,1]上为单调函数,求实数a的取值范围.20.(13分)已知函数f(x)=lnx+-x(a>0).(1)求f(x)的极值.(2)若曲线y=f(x)上总存在不同两点P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)),使得曲线y=f(x)在P,Q两点处的切线互相平行,证明x1+x2>2.21.(14分)(2016·威海模拟)已知函数f(x)=lnx-ax2+x,a∈R.(1)若关于x的不等式f(x)≤ax-1恒成立,求整数a的最小值.(2)若a=-2,正实数x1,x2满足f(x1)+f(x2)+x1x2=0,证明:x1+x2≥.答案解析1.C P={x|x≥2或x≤-1},又x∈P时,y=x2-1∈,故Q=,故P∩Q={m|m≥2}.2.【解题提示】先化简A,注意运用指数函数的单调性解不等式,再根据集合的包含关系,求出a,b的范围,运用不等式的性质,求出a-b的取值范围.A 集合A={x|4≤2x≤16}={x|22≤2x≤24}={x|2≤x≤4}=[2,4],因为A B,B=[a,b],所以a≤2,b≥4,所以a-b≤2-4=-2,即a-b的取值范围是(-≦,-2].3.A 因为函数f(x)为幂函数,所以设f(x)=xα,因为其图象过点,所以=4α,解得α=-,所以f(x)=,所以f(8)==.4.A 函数f(x)=|x-a|=则f(x)的单调增区间是[a,+≦).而函数f(x)=|x-a|在[-1,+≦)上单调递增⇔a≤-1,所以“a≤-2”是“函数f(x)=|x-a|在[-1,+≦)上单调递增”的充分不必要条件.5.B 由题意可知g(x)=lnx-,因为g(1)=-1<0,g(2)=ln2-=ln2-ln>0.所以函数g(x)的零点所在区间是(1,2).6.D 因为x0是f(x)的极小值点,y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称,所以-x0是y=-f(-x)的极大值点.7.B 因为x>1,所以c=log x(x2+0.3)>log x x2=2,又因为1<a<2,0<b<1,所以b<a<c.8.D 设切点为P(x0,y0),f′(x)=3-3x2,所以切线斜率k=3-3,切线方程为y-(3x0-)=(3-3)(x-x0),又因为点A(2,-2)在切线上,所以-2-(3x0-)=(3-3)(2-x0),解之得x0=2或x0=-1,所以k=-9或k=0,所以切线方程为9x+y-16=0或y=-2.【加固训练】若曲线y=e-ax+1在点(0,2)处的切线与直线x+2y-1=0垂直,则a=( ) A.-2 B.2 C.- D.A 依题意知y′=-ae-ax,所以曲线在点(0,2)处的切线斜率k=-a,又其切线与直线x+2y-1=0垂直,所以(-a)〓=-1,即a=-2.9.D 选项A,问的是纵坐标最大值.选项B,消耗1升油甲走最远,则反过来路程相同甲最省油.选项C,此时甲走过了80千米,消耗8升汽油.选项D,80千米/小时以下丙“燃油效率”更高,更省油.10.C 当x≤0时,f′(x)=3(x+1)2e x+1+(x+1)3e x+1=(x+1)2e x+1(x+4),解f′(x)=0,得x=-4或x=-1.因为x∈(-≦,-4)时,f′(x)<0;x∈(-4,-1)时,f′(x)>0;x∈(-1,0)时,f′(x)>0,则f(x)在区间x∈(-≦,-4)上单调递减,在区间x∈(-4,0)上单调递增.又因为f(x)是定义域为R的偶函数,由其对称性可得,f(x)在区间x∈(0,4)上单调递减,在区间x ∈(4,+≦)上单调递增,所以函数f(x)在x=〒4或x=0处取得极值.11.【解析】y′=3x2+m,由题意知所以所以m+n+c=5.答案:512.【解析】由f(x+2)=-可得,f(x+4)=-=f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数,f=f=f=.答案:13.【解析】由x∈(-≦,0)可得a2-3a<0,得0<a<3,所以y=(a2-3a)x在(-≦,0)上是减函数,又f(x)=log2a[(a2-3a)x]在(-≦,0)上是减函数,所以2a>1,故<a<3.答案:14.【解析】由于f(x+1)=-,则有f(x+2)=f(x),即f(x)是周期为2的周期函数,又f(x)是偶函数,当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,则有当x∈[0,1]时,f(x)=x2,故当x∈[-1,1]时,f(x)=x2,那么当x∈[1,3]时,f(x)=(x-2)2,而函数g(x)=f(x)-log a(x+2)有4个零点,故函数y=f(x)的图象与y=log a(x+2)有4个交点,数形结合可得1≥log a(3+2),解得a≥5.答案:[5,+≦)15.【解析】因为对任意x∈R,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)=x0所以对任意x∈R,有f(x)-x2+x=x0,在上式中令x=x0,有f(x0)-+x0=x0,又因为f(x0)=x0,所以x0-=0,故x0=0或x0=1,若x0=0,则f(x)-x2+x=0,即f(x)=x2-x,但方程x2-x=x有两个不相同实根,与题设条件矛盾.故x0≠0,若x0=1,则有f(x)-x2+x=1,即f(x)=x2-x+1,此时f(x)=x有且仅有一个实数1,综上,x0=1.答案:116.【解析】由已知得:A={x|-1≤x≤3},B={x|m-2≤x≤m+2}.(1)因为A∩B=[0,3],所以所以所以m=2.(2)ðB={x|x<m-2或x>m+2}.R因为AðB,所以m-2>3或m+2<-1,R所以m>5或m<-3,所以m的取值范围为(-≦,-3)∪(5,+≦).17.【解题提示】(1)由函数f(x)是奇函数可得f(-x)=-f(x),代入函数f(x)的解析式可解得实数b的值.(2)首先求出函数f(x)的定义域,再求出其导函数f′(x),最后分别令f′(x)>0和f′(x)<0即可求出函数f(x)的单调增区间和单调减区间.(3)由a-2>1得a>3,结合(2)可得,f(x)在(1,a-2)上单调递减,于是可得f(a-2)=1,解之即可得到实数a的值.【解析】(1)因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).从而f(-x)+f(x)=0,即log a+log a=0,于是,(b2-1)x2=0,由x的任意性知b2-1=0,解得b=-1或b=1(舍),所以b=-1.(2)由(1)得f(x)=log a,(x<-1或x>1),f′(x)=.当0<a<1时,f′(x)>0,即f(x)的增区间为(-≦,-1),(1,+≦);当a>1时,f′(x)<0,即f(x)的减区间为(-≦,-1),(1,+≦).(3)由a-2>1得a>3,所以f(x)在(1,a-2)上单调递减,从而f(a-2)=1,即log a=1,又a>3,得a=2+.18.【解析】(1)由桥的总长为640米,相邻两个桥墩的距离为x米,知中间共有个桥墩,于是桥的总造价f(x)=640++100,即f(x)=+-+1380=+-+1380(64<x<100).(2)由(1)可求f′(x)=--,整理得f′(x)=(9x2-80x-640〓80),由f′(x)=0,解得x1=80,x2=-(舍去),又当x∈(64,80)时,f′(x)<0;当x∈(80,100)时,f′(x)>0,所以当x=80时桥的总造价最低,此时桥墩数为-1=7.19.【解析】(1)当a=时,f(x)=--x,f′(x)=[(e x)2-3e x+2]=(e x-1)(e x-2),令f′(x)=0,得e x=1或e x=2,即x=0或x=ln2,令f′(x)>0,则x<0或x>ln2,令f′(x)<0,则0<x<ln2,所以f(x)在(-≦,0],[ln2,+≦)上单调递增,在(0,ln2)上单调递减.(2)f′(x)=+-a,令e x=t,由于x∈[-1,1],所以t∈.令h(t)=+,h′(t)=-=,所以当t∈时h′(t)<0,函数h(t)为单调减函数; 当t∈(,e]时h′(t)>0,函数h(t)为单调增函数,所以≤h(t)≤e+.因为函数f(x)在[-1,1]上为单调函数,所以若函数f(x)在[-1,1]上单调递增,则a≤+对t∈恒成立,所以a≤;若函数f(x)在[-1,1]上单调递减,则a≥+对t∈恒成立,所以a ≥e+,综上可得a≤或a≥e+.20.【解析】(1)f′(x)=--1=-=-(x>0).当a>1时,0<<a,f(x)的单调递减区间是,(a,+≦),单调递增区间是.f(x)极小值=f=ln+a-=-lna+a-,f(x)极大值=f(a)=lna-a+.当a=1时,f′(x)=-≤0,f(x)无极值.当0<a<1时,0<a<,f(x)的单调递减区间是(0,a),,单调递增区间是.f(x)极大值=f=-lna+a-,f(x)极小值=f(a)=lna-a+.(2)依题意知,f′(x1)=--1=f′(x2)=--1,故a+=+=.由x1+x2>2得x1x2<,故>,故存在x1,x2使a+=>,即x1+x2>.当a>0时,a+≥2,当且仅当a=1时取等号.所以x1+x2>=2.即x1+x2>2.21.【解析】(1)令g(x)=f(x)-(ax-1)=lnx-ax2+(1-a)x+1,所以g′(x)=-ax+(1-a)=,当a≤0时,因为x>0,所以g′(x)>0,所以g(x)在(0,+≦)上是递增函数,又因为g(1)=ln1-a〓12+(1-a)+1=-a+2>0,所以关于x的不等式f(x)≤ax-1不能恒成立.当a>0时,g′(x)==-,令g′(x)=0,得x=.所以当x∈时,g′(x)>0;当x∈时,g′(x)<0, 因此函数g(x)在x∈是增函数,在x∈是减函数.故函数g(x)的最大值为g=ln-a〓+(1-a)〓+1=-lna.令h(a)=-lna,因为h(1)=>0,h(2)=-ln2<0,又因为h(a)在a∈(0,+≦)是减函数,所以当a≥2时,h(a)<0,所以整数a的最小值为2.【一题多解】本题还可以采用以下方法由f(x)≤ax-1恒成立,得lnx-ax2+x≤ax-1在(0,+≦)上恒成立,问题等价于a≥在(0,+≦)上恒成立.令g(x)=,只要a≥g(x)max,因为g′(x)=.令g′(x)=0,得-x-lnx=0.设h(x)=-x-lnx,因为h′(x)=--<0,所以h(x)在(0,+≦)上单调递减,不妨设-x-lnx=0的根为x0.当x∈(0,x0)时,g′(x)>0;当x∈(x0,+≦)时,g′(x)<0,所以g(x)在x∈(0,x0)上是增函数;在x∈(x0,+≦)上是减函数.所以g(x)max=g(x0)===,因为h=ln2->0,h(1)=-<0,所以<x0<1,此时1<<2,即g(x)max∈(1,2).所以a≥2,即整数a的最小值为2.(2)当a=-2时,f(x)=lnx+x2+x,x>0,由f(x1)+f(x2)+x1x2=0,即lnx1++x1+lnx2++x2+x1x2=0,从而(x1+x2)2+(x1+x2)=x1·x2-ln(x1·x2)令t=x1·x2,则由φ(t)=t-lnt得,φ′(t)=,可知,φ(t)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+≦)上单调递增.所以φ(t)≥φ(1)=1,所以(x1+x2)2+(x1+x2)≥1,因此x1+x2≥成立.关闭Word文档返回原板块。
2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识 高频考点 解题训练)命题及其关系、充分条件与必要条件(含解析汇报)
2016届高考数学一轮复习教学案 命题及其关系、充分条件与必要条件[知识能否忆起]一、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．二、四种命题及其关系 1．四种命题2．四种命题间的逆否关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 三、充分条件与必要条件1．如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 2．如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．[小题能否全取]1．(教材习题改编)下列命题是真命题的为( ) A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2解析：选A 由1x ＝1y得x ＝y ，A 正确，易知B 、C 、D 错误．2．(2012·湖南高考)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4解析：选C 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．3．(2012·温州适应性测试)设集合A ，B ，则A ⊆B 是A ∩B ＝A 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由A ⊆B ，得A ∩B ＝A ；反过来，由A ∩B ＝A ，且(A ∩B )⊆B ，得A ⊆B .因此，A ⊆B 是A ∩B ＝A 成立的充要条件．4．“在△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为：____________________.解析：原命题的条件：在△ABC 中，∠C ＝90°， 结论：∠A 、∠B 都是锐角．否命题是否定条件和结论． 即“在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A 、∠B 不都是锐角”． 答案：“在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A 、∠B 不都是锐角” 5．下列命题中所有真命题的序号是________． ①“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件； ②“|a |>|b |”是“a 2>b 2”的必要条件； ③“a >b ”是“a ＋c >b ＋c ”的充要条件．解析：①由2>－3⇒/ 22>(－3)2知，该命题为假；②由a 2>b 2⇒|a |2>|b |2⇒|a |>|b |知，该命题为真；③a >b ⇒a ＋c >b ＋c ，又a ＋c >b ＋c ⇒a >b ，∴“a >b ”是“a ＋c >b ＋c ”的充要条件为真命题．答案：②③1.充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p 是q 的充分条件，则q 是p 的必要条件，即“p ⇒q ”⇔“q ⇐p ”； (2)传递性：若p 是q 的充分(必要)条件，q 是r 的充分(必要)条件，则p 是r 的充分(必要)条件．注意区分“p 是q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必要条件是q ”两者的不同，前者是“p ⇒q ”而后者是“q ⇒p ”．2．从逆否命题，谈等价转换由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”．典题导入[例1] 下列命题中正确的是( )①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题； ②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题； ④“若x －312是有理数，则x 是无理数”的逆否命题．A ．①②③④B ．①③④C ．②③④D ．①④[自主解答] ①中否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”，正确；③中，Δ＝1＋4m ，当m >0时，Δ>0，原命题正确，故其逆否命题正确；②中逆命题不正确；④中原命题正确故逆否命题正确．[答案] B由题悟法在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．以题试法1．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log 2a >0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”； ③命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．解析：对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，所以函数f(x)＝log a x在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b ∈M，则a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.答案：②④典题导入[例2] (1)(2012·福州质检)“x<2”是“x2－2x<0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2012·北京高考)设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[自主解答] (1)取x＝0，则x2－2x＝0，故由x<2不能推出x2－2x<0；由x2－2x<0得0<x<2，故由x2－2x<0可以推出x<2.所以“x<2”是“x2－2x<0”的必要而不充分条件．(2)当a＝0，且b＝0时，a＋b i不是纯虚数；若a＋b i是纯虚数，则a＝0.故“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的必要而不充分条件．[答案] (1)B (2)B由题悟法充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A是B的什么条件”中，A是条件，B是结论，而“A的什么条件是B”中，A是结论，B是条件．有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分．以题试法2．下列各题中，p是q的什么条件？(1)在△ABC中，p：A＝B，q：sin A＝sin B；(2)p：|x|＝x，q：x2＋x≥0.解：(1)若A＝B，则sin A＝sin B，即p⇒q.又若sin A＝sin B，则2R sin A＝2R sin B，即a＝b.故A＝B，即q⇒p.所以p 是q 的充要条件．(2)p ：{x ||x |＝x }＝{x |x ≥0}＝A ，q ：{x |x 2＋x ≥0}＝{x |x ≥0，或x ≤－1}＝B ，∵AB ，∴p 是q 的充分不必要条件．典题导入[例3] 已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(x －3)<0，且q 是p 的充分而不必要条件，则a 的取值范围为________．[自主解答] 设q ，p 表示的范围为集合A ，B ， 则A ＝(2,3)，B ＝(a －4，a ＋4)． 由于q 是p 的充分而不必要条件，则有A B ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4>3或⎩⎪⎨⎪⎧a －4<2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6.[答案] [－1,6]由题悟法利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围，其依据是充分、必要条件的定义，其思维方式是：(1)若p 是q 的充分不必要条件，则p ⇒q 且q ⇒/ p ； (2)若p 是q 的必要不充分条件，则p ⇒/ q ，且q ⇒p ； (3)若p 是q 的充要条件，则p ⇔q .以题试法3．(2013·兰州调研)“x ∈{3，a }”是不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[)3，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪()3，＋∞ 解析：选D 由2x 2－5x －3≥0得x ≤－12或x ≥3.∵x ∈{3，a }是不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件，又根据集合元素的互异性a ≠3，∴a ≤－12或a >3.1．(2012·福建高考)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( ) A ．x ＝－12 B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0解析：选D a ⊥b ⇔2(x －1)＋2＝0，得x ＝0.2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：选B 原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数． 3．(2013·武汉适应性训练)设a ，b ∈R ，则“a >0，b >0”是“a ＋b2>ab ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D 由a >0，b >0不能得知a ＋b2>ab ，如取a ＝b ＝1时，a ＋b2＝ab ；由a ＋b2>ab不能得知a >0，b >0，如取a ＝4，b ＝0时，满足a ＋b2>ab ，但b ＝0.综上所述，“a >0，b >0”是“a ＋b2>ab ”的既不充分也不必要条件．4．已知p ：“a ＝2”，q ：“直线x ＋y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切”，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由直线x ＋y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切得，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离等于圆的半径，即有|a |2＝1，a ＝± 2.因此，p 是q 的充分不必要条件． 5．(2012·广州模拟)命题：“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( ) A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1 B ．若－1<x <1，则x 2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析：选D x2<1的否定为：x2≥1；－1<x<1的否定为x≥1或x≤－1，故原命题的逆否命题为：若x≥1或x≤－1，则x2≥1.6．(2011·天津高考)设集合A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x(x－2)＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C A∪B＝{x∈R|x＜0，或x＞2}，C＝{x∈R|x＜0，或x＞2}，∵A∪B＝C，∴x∈A∪B是x∈C的充分必要条件．7．下列命题中为真命题的是( )A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题解析：选A 对于A，其逆命题是：若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y；对于B，否命题是：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25>1；对于C，其否命题是：若x≠1，则x2＋x－2≠0，由于x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以是假命题；对于D，若x2>0，则x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题．8．对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B 若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，∴|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，∴y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，如y＝f(x)＝x2，而它不是奇函数．9．命题“若x>0，则x2>0”的否命题是________命题．(填“真”或“假”)解析：其否命题为“若x≤0，则x2≤0”，它是假命题．答案：假10．已知集合A＝{x|y＝lg(4－x)}，集合B＝{x|x<a}，若P：“x∈A”是Q：“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．解析：A＝{x|x<4}，由题意得A B结合数轴易得a>4.答案：(4，＋∞)11．(2013·绍兴模拟)“－3<a <1”是“方程x 2a ＋3＋y 21－a＝1表示椭圆”的____________条件．解析：方程表示椭圆时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3>0，1－a >0，a ＋3≠1－a解得－3<a <1且a ≠－1，故“－3<a <1”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件． 答案：必要不充分12．若“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为________．解析：由x 2>1，得x <－1或x >1，又“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，知由“x <a ”可以推出“x 2>1”，反之不成立，所以a ≤－1，即a 的最大值为－1.答案：－1 13．下列命题： ①若ac 2>bc 2，则a >b ；②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件； ④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数． 其中正确命题的序号是________．解析：对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，∴a >b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°⇒/ 30°＝150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2⇒/ A 2C 1，所以③正确；④显然正确．答案：①③④14．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x －6<1，B ＝{x |log 4(x ＋a )<1}，若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x －6<1，即x 2－x －6>0，解得x <－2或x >3，故A ＝{x |x <－2，或x >3}；由log 4(x ＋a )<1，即0<x ＋a <4，解得－a <x <4－a ，故B ＝{x |－a <x <4－a }，由题意，可知BA ，所以4－a ≤－2或－a ≥3，解得a ≥6或a ≤－3.答案：(－∞，－3]∪[6，＋∞)1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，则“A <B ”是“cos 2A >cos 2B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由大边对大角可知，A <B ⇔a <b .由正弦定理可知a sin A ＝bsin B ，故a <b ⇔sin A <sin B .而cos 2A ＝1－2sin 2A ，cos 2B ＝1－2sin 2B ，又sin A >0，sin B >0，所以sin A <sin B ⇔cos 2A >cos 2B .所以a <b ⇔cos 2A >cos 2B ，即“A <B ”是“cos 2A >cos 2B ”的充要条件．2．设x 、y 是两个实数，命题“x 、y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y >2C ．x 2＋y 2>2D ．xy >1解析：选B 命题“x 、y 中至少有一个数大于1”等价于“x >1或y >1”． 若x ＋y >2，必有x >1或y >1，否则x ＋y ≤2；而当x ＝2，y ＝－1时，2－1＝1<2，所以x >1或y >1不能推出x ＋y >2. 对于x ＋y ＝2，当x ＝1，且y ＝1时，满足x ＋y ＝2，不能推出x >1或y >1. 对于x 2＋y 2>2，当x <－1，y <－1时，满足x 2＋y 2>2，故不能推出x >1或y >1. 对于xy >1，当x <－1，y <－1时，满足xy >1，不能推出x >1或y >1，故选B.3．已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是________．解析：由题意知：“13<x <12”是“不等式|x －m |<1”成立的充分不必要条件．所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <12是{x ||x －m |<1}的真子集． 而{x ||x －m |<1}＝{x |－1＋m <x <1＋m }， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ≤13，1＋m ≥12，解得－12≤m ≤43.所以m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43 4．在“a ，b 是实数”的大前提之下，已知原命题是“若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集，则a 2－4b ≥0”，给出下列命题：①若a 2－4b ≥0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集； ②若a 2－4b <0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集； ③若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集，则a 2－4b <0； ④若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集，则a 2－4b <0； ⑤若a 2－4b <0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集； ⑥若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集，则a 2－4b ≥0.其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定的命题的序号依次是________(按要求的顺序填写)．解析：“非空集”的否定是“空集”，“大于或等于”的否定是“小于”，根据命题的构造规则，题目的答案是①③②④.答案：①③②④5．设条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解：条件p 为：12≤x ≤1，条件q 为：a ≤x ≤a ＋1.綈p 对应的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx >1，或x <12，綈q 对应的集合B ＝{x |x >a ＋1，或x <a }．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴BA ，∴a ＋1>1且a ≤12或a ＋1≥1且a <12.∴0≤a ≤12.故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 6．已知集合M ＝{x |x <－3，或x >5}，P ＝{x |(x －a )·(x －8)≤0}． (1)求M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件；(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件． 解：(1)由M ∩P ＝{x |5<x ≤8}，得－3≤a ≤5，因此M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件是－3≤a ≤5；(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a |－3≤a ≤5}中取一个值，如取a ＝0，此时必有M ∩P ＝{x |5<x ≤8}；反之，M ∩P ＝{x |5<x ≤8}未必有a ＝0，故a ＝0是M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分不必要条件．1．(2012·济南模拟)在命题p 的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，正确命题的个数记为f (p )，已知命题p ：“若两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，则a 1b 2－a 2b 1＝0”．那么f (p )＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：选B 若两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0与l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，则必有a 1b 2－a 2b 1＝0，但当a 1b 2－a 2b 1＝0时，直线l 1与l 2不一定平行，还有可能重合，因此命题p 是真命题，但其逆命题是假命题，从而其否命题为假命题，逆否命题为真命题，所以在命题p 的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，有2个正确命题，即f (p )＝2.2．条件p ：π4<α<π2，条件q ：f (x )＝log tan αx 在(0，＋∞)内是增函数，则p 是q 的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选B ∵f (x )＝log tan αx 在(0，＋∞)内是增函数，∴tan α>1，得α∈⎝⎛⎭⎪⎫π4＋k π，π2＋k π，k ∈Z ，而⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋k π，π2＋k π(k ∈Z )．∴p 是q 的充分不必要条件．3．判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假．解：法一：写出逆否命题进行判断．原命题：若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根．逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0.判断如下：∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a <0，∴a <－14<0， ∴“若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0”为真命题．法二：利用原命题与逆否命题同真同假(即等价关系)判断．∵a ≥0，∴4a ≥0，∴4a ＋1>0，∴方程x 2＋x －a ＝0的判别式Δ＝4a ＋1>0，∴方程x 2＋x －a ＝0有实根．故原命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”为真．又因原命题与其逆否命题等价，所以“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题为真．法三：利用充要条件与集合关系判断．令A ＝{a ∈R |a ≥0}，B ＝{a ∈R |方程x 2＋x －a ＝0有实根}＝a ∈R a ≥－14，则A B .∴“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”为真，其逆否命题也为真．。
高考数学一轮复习 1-2命题及其关系、充分条件与必要条件课件 文 北师大版
3 ．在判断四种命题之间的关系时，首先要分 清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件 与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相 对性，一个命题定为原命题，也就相应地有了 它的“逆命题”、“否命题”和“逆否命 题”．
例1 (2010年营口模拟)分别写出下列命题的逆 命题形． (2)若q<1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根． (3)若x2＋y2＝0，则实数x、y全为零．
考点一 命题的关系及命题真假的判断 1 ．判断一个语句是不是命题，就是要看它是 否符合“是陈述句 ”和“可以判断真假 ”这两 个条件．只有这两个条件都具备的语句才是命 题． 2 ．对于命题真假的判定，关键是分清命题的 条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合 所涉及的知识才能正确地判断命题的真假．
2．四种命题及其关系 (1)四种命题
命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 表述形式 若p，则q 若q，则p 若¬p，则¬q 若¬q，则¬p
(2)四种命题间的逆否关系
(3)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假 性； ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的 真假性没有关系．
解析：对于①，其否命题是“若x2＋y2＝0，则 x、y全为零”．这显然是正确的，故①为真命 题；对于②，其逆命题是 “若两多边形相似， 它们一定是正多边形”，这显然是错误的，故 ② 为 假 命 题 ； 对 于 ③ ， 由 于 Δ ＝ 1 ＋ 4m ， 当 m>0 时， Δ>0 ，所以原命题正确，其逆否命题 也正确，即③为真命题；对于④，原命题为真， 故逆否命题也为真．因此正确的是①③④，选 B. 答案：B
【解析】 (1)逆命题：全等三角形的面积相等，真命题．否命 题：面积不相等的两个三角形不是全等三角形，真命题．逆否 命题：两个不全等的三角形的面积不相等，假命题． (2)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q<1，假命题． 否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，假命题． 逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，真命题． (3)逆命题：若实数x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题． 否命题：若x2＋y2≠0，则实数x，y不全为零，真命题． 逆否命题：若实数x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．
(通用版)高考数学一轮复习1.2命题及其关系、充分条件与必要条件讲义理
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系四种命题间的相互关系四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系3．充分条件、必要条件的判定⇐充分条件与必要条件的定义从集合角度理解若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必 p 成立的对象的集合为 A，q 成立的对象要条件的集合为 Bp 是 q 的充分不必要条件p⇒q 且 q⇒/ pA 是 B 的真子集p 是 q 的必要不充分条件p⇒/ q 且 q⇒ pp 是 q 的充要条件p⇔qB 是 A 的真子集 A＝B集合与充要条件 的关系⇐p 是 q 的既不充分也不必 要条件p⇒/ q 且 q ⇒/ pA，B 互不包含否命题对题设和结论都进行否定．在判断充分、必要条件的时候，一定要从 p 能否推出 q，q 能否推出 p 两方面去判断：对于 q⇒p，要能够证明，而对于 p⇒/ q，只需举一反例即可．小可以推大，大不可以推小，如 x>2(小范围)⇒x>1(大范围)，x>1(大范围)⇒/ x>2(小范围)． [熟记常用结论]1．充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性：若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”． (2)传递性：若 p 是 q 的充分(必要)条件，q 是 r 的充分(必要)条件，则 p 是 r 的充分(必要)条件，即“p⇒q 且 q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q 且 q⇐r”⇒“p⇐r”)． 2．利用互为逆否命题“同真、同假”的特点，可得： (1)p⇒q 等价于綈 q⇒綈 p； (2)q⇒/ p 等价于綈 p ⇒/ 綈 q.[小题查验基础] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)“x2＋2x－8＜0”是命题．( ) (2)一个命题非真即假．( ) (3)四种形式的命题中，真命题的个数为 0 或 2 或 4.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、选填题 1．已知命题 p：若 x≥a2＋b2，则 x≥2ab，则下列说法正确的是( ) A．命题 p 的逆命题是“若 x＜a2＋b2，则 x＜2ab” B．命题 p 的逆命题是“若 x＜2ab，则 x＜a2＋b2” C．命题 p 的否命题是“若 x＜a2＋b2，则 x＜2ab” D．命题 p 的否命题是“若 x≥a2＋b2，则 x＜2ab” 解析：选 C 命题 p 的逆命题是“若 x≥2ab，则 x≥a2＋b2”，故 A、B 都错误；命题 p 的否命题是“若 x＜ a2＋b2，则 x＜2ab”，故 C 正确，D 错误． 2．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 A 因为 cos 2α＝cos2α－sin2α＝0，所以 sin α＝±cos α，所以“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件．故选 A.3．原命题“设 a，b，c∈R，若 a>b，则 ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A．0 B．1C．2D．4解析：选 C 当 c＝0 时，ac2＝bc2，所以原命题是假命题；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是假命题；逆命题为“设 a，b，c∈R，若 ac2>bc2，则 a>b”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以否命题也是真命题．综上所述，真命题有 2 个．4．(2019·青岛模拟)命题“若 a，b 都是偶数，则 ab 是偶数”的逆否命题为______________________．答案：若 ab 不是偶数，则 a，b 不都是偶数5．“x(x－1)＝0”是“x＝1”的________条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．解析：x(x－1)＝0⇒x＝0 或 x＝1，即 x(x－1)＝0 不一定有 x＝1 成立；但 x＝1 能推出 x(x－1)＝0 成立．故“x(x－1)＝0”是“x＝1”的必要不充分条件．答案：必要不充分考点一[基础自学过关] 命题及其关系[题组练透]1．命题“若 x2＋y2＝0(x，y∈R)，则 x＝y＝0”的逆否命题是( )A．若 x≠y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2＝0B．若 x＝y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2≠0C．若 x≠0 且 y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2≠0D．若 x≠0 或 y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2≠0解析：选 D x2＋y2＝0 的否定为 x2＋y2≠0；x＝y＝0 的否定为 x≠0 或 y≠0.故“若 x2＋y2＝0(x，y∈R)，则 x＝y＝0”的逆否命题为“若 x≠0 或 y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2≠0”．2．有以下命题：①“若 xy＝1，则 x，y 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若 m≤1，则 x2－2x＋m＝0 有实数解”的逆否命题；④“若 A∩B＝B，则 A⊆B”的逆否命题．其中真命题为( )A．①② B．②③C．④D．①②③解析：选 D ①“若 x，y 互为倒数，则 xy＝1”是真命题；②“面积不相等的两个三角形一定不全等”，是真命题；③若 m≤1，则 Δ＝4－4m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由 A∩B＝B，得 B⊆A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题．故选 D.3．给出命题：若函数 y＝f(x)是幂函数，则函数 y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A．3B．2C．1D．0解析：选 C 易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题只有一个．[名师微点]1．由原命题写出其他 3 种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．[提醒] (1)对于不是“若 p，则 q”形式的命题，需先改写；(2)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提．2．判断命题真假的 2 种方法(1)直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．(2)间接判断：根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其逆否命题的真假．考点二[师生共研过关] 充分条件、必要条件的判定[典例精析]| | (1)(2018·天津高考)设 x∈R，则“ x－12＜1”是“x3＜1”的( ) 2A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2018·北京高考)设 a，b，c，d 是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d 成等比数列”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(3)“a＝0”是“函数 f(x)＝sin x－1x＋a 为奇函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件| | | | [解析] (1)由 x－12＜12，得 0＜x＜1，则 0＜x3＜1，即“ x－12＜1”⇒“x3＜1”； 2| | 由 x3＜1，得 x＜1，当 x≤0 时， x－12≥1， 2| | 即“x3＜1”⇒/ “ x－12＜1”． 2| | 所以“ x－12＜1”是“x3＜1”的充分而不必要条件． 2(2)a，b，c，d 是非零实数，若 a＜0，d＜0，b>0，c>0，且 ad＝bc，则 a，b，c，d 不成等比数列(可以假设 a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若 a，b，c，d 成等比数列，则由等比数列的性质可知 ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d 成等比数列”的必要而不充分条件．(3)f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当 a＝0 时，f(x)＝sin x－1x，f(－x)＝sin(－x)－－1x＝－sin x( ) ＋1x＝－ sin x－1x ＝－f(x)，故 f(x)为奇函数；反之，当 f(x)＝sin x－1x＋a 为奇函数时，f(－x)＋f(x)＝0，又 f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－－1x＋a＋sin x－1x＋ a＝2a，故 a＝0，所以“a＝0”是“函数 f(x)＝sin x－1x＋a 为奇函数”的充要条件，故选 C.[答案] (1)A (2)B (3)C[解题技法]充分、必要条件的判断 3 种方法利用定义判 直接判断“若 p，则 q”“若 q，则 p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结断论是什么从集合的角 利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，度判断 即可解决充分必要性的问题利用等价转 化法条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假[过关训练]1．(2018·衡阳模拟)对于函数 y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于 y 轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 B 若 y＝f(x)为奇函数，则 y＝|f(x)|的图象关于 y 轴对称，反过来不成立，因为当 y＝f(x)为偶函数时，y＝|f(x)|的图象也关于 y 轴对称．故选 B.2．(2018·北京高考)设 a，b 均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 C 由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2，即 a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b.又 a，b 均为单位向量，所以 a2＝b2＝1，所以 a·b＝0，能推出 a⊥b.由 a⊥b 得|a－3b|＝ 10，|3a＋b|＝ 10， 能推出|a－3b|＝|3a＋b|，所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要条件．3．设 a，b 是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 D a>b 不能推出 a2>b2，例如 a＝－1，b＝－2；a2>b2 也不能推出 a>b，例如 a＝－2，b＝1.故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件．考点三[师生共研过关] 充分条件、必要条件的探求与应用[典例精析](1)命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A．a≥9B．a≤9C．a≥10D．a≤10(2)已知 P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合 S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若 x∈P 是 x∈S 的必要条件，则 m 的取值范围为________．[解析] (1)命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”⇔“∀x∈[1,3]，x2≤a”⇔9≤a.则 a≥10 是命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．(2)由 x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．∵x∈P 是 x∈S 的必要条件，则 S⊆P，∴Error!解得 0≤m≤3，故 0≤m≤3 时，x∈P 是 x∈S 的必要条件．[答案] (1)C (2)[0,3][变式发散] 1．(变条件)本例(2)中条件“若 x∈P 是 x∈S 的必要条件”变为“綈 P 是綈 S 的必要不充分条件”，其他条件不变．求实数 m 的取值范围．解：由例题知 P＝{x|－2≤x≤10}．∵綈 P 是綈 S 的必要不充分条件，∴P 是 S 的充分不必要条件，∴P⇒S 且 S⇒/ P. ∴[－2,10]⇐[1－m,1＋m]．∴Error!或Error!∴m≥9，则 m 的取值范围是[9，＋∞)．2．(变设问)本例(2)条件不变，问是否存在实数 m，使 x∈P 是 x∈S 的充要条件？并说明理由．解：由例题知 P＝{x|－2≤x≤10}．若 x∈P 是 x∈S 的充要条件，则 P＝S，∴Error!∴Error!这样的 m 不存在．[解题技法]根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[过关训练]1．使 a>0，b>0 成立的一个必要不充分条件是( )A．a＋b>0B．a－b>0C．ab>1 D.ab>1 解析：选 A 因为 a>0，b>0⇒a＋b>0，反之不成立，而由 a>0，b>0 不能推出 a－b>0，ab>1，ab>1， 故选 A.2．已知命题 p：x2＋2x－3>0；命题 q：x>a，且綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p，则 a 的取值范围是( )A．[1，＋∞)B．(－∞，1]C．[－1，＋∞)D．(－∞，－3]解析：选 A 由 x2＋2x－3>0，得 x＜－3 或 x>1，由綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p，可知綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，等价于 q 是 p 的充分不必要条件，故 a≥1.故选 A.[课时跟踪检测]一、题点全面练1．命题“若 a>b，则 a＋c>b＋c”的否命题是( )A．若 a≤b，则 a＋c≤b＋c B．若 a＋c≤b＋c，则 a≤bC．若 a＋c>b＋c，则 a>bD．若 a>b，则 a＋c≤b＋c解析：选 A “若 p，则 q”的否命题是“若綈 p，则綈 q”，所以原命题的否命题是“若 a≤b，则 a＋c≤b＋c”，故选 A.2．命题“若 α＝π，则 tan α＝1”的逆否命题是( ) 4A．若 α≠π，则 tan α≠1 4B．若 α＝π，则 tan α≠1 4C．若 tan α≠1，则 α≠π 4D．若 tan α≠1，则 α＝π 4解析：选 C 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若 α＝π，则 tan α＝ 41”的逆否命题是“若 tan α≠1，则 α≠π”． 43．有下列几个命题：①“若 a>b，则1a>1b”的否命题； ②“若 x＋y＝0，则 x，y 互为相反数”的逆命题；③“若 x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是( )A．① B．①②C．②③D．①②③解析：选 C ①原命题的否命题为“若 a≤b，则1a≤1b”，假命题；②原命题的逆命题为“若 x，y 互为相反 数，则 x＋y＝0”，真命题；③原命题为真命题，故逆否命题为真命题．所以真命题的序号是②③.4．设 A，B 是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 C 由 A∩B＝A 可得 A⊆B，由 A⊆B 可得 A∩B＝A.所以“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件．故选C.5．(2019·西城区模拟)设平面向量 a，b，c 均为非零向量，则“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 B 由 b＝c，得 b－c＝0，得 a·(b－c)＝0；反之不成立．故“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的必要不充分条件．6．(2019·抚州七校联考)A，B，C 三个学生参加了一次考试，A，B 的得分均为 70 分，C 的得分为 65分．已知命题 p：若及格分低于 70 分，则 A，B，C 都没有及格．则下列四个命题中为 p 的逆否命题的是( )A．若及格分不低于 70 分，则 A，B，C 都及格B．若 A，B，C 都及格，则及格分不低于 70 分C．若 A，B，C 至少有一人及格，则及格分不低于 70 分D．若 A，B，C 至少有一人及格，则及格分高于 70 分解析：选 C 根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题 p 的逆否命题是若 A，B，C 至少有一人及格，则及格分不低于 70 分．故选 C.7．(2019·湘东五校联考)“不等式 x2－x＋m>0 在 R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A．m>14 C．m>0B．0＜m＜1 D．m>1解析：选 C 若不等式 x2－x＋m>0 在 R 上恒成立，则 Δ＝(－1)2－4m＜0，解得 m>1，因此当不等式 4x2－x＋m>0 在 R 上恒成立时，必有 m>0，但当 m>0 时，不一定推出不等式在 R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是 m>0.8．(2019·安阳模拟)设 p：f(x)＝ex＋2x2＋mx＋1 在[0，＋∞)上单调递增，q：m＋5≥0，则 p 是 q 的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A 函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，只需f′(x)＝e x＋4x＋m≥0在[0，＋∞)上恒成立，又因为f′(x)＝e x＋4x＋m在[0，＋∞)上单调递增，所以f′(0)＝1＋m≥0，即m≥－1，故p是q的充分不必要条件．二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知α，β是两个不同的平面，直线l⊂β，则“α∥β”是“l∥α”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A ∵α，β是两个不同的平面，直线l⊂β，则“α∥β”⇒“l∥α”，反之不成立，∴α，β是两个不同的平面，直线l⊂β，则“α∥β”是“l∥α”的充分不必要条件．故选A.”的( )2．(2019·太原模拟)“m＝2”是“函数y＝|cos mx|(m∈R)的最小正周期为π2A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A ∵当函数y＝|cos mx|(m∈R)的最小正周期为π时，m＝±2，∴“m＝2”是“函数y＝|cos mx|(m2”的充分不必要条件．∈R)的最小正周期为π23．“单调函数不是周期函数”的逆否命题是_______________________________．解析：原命题可改写为“若函数是单调函数，则函数不是周期函数”，故其逆否命题是“若函数是周期函数，则函数不是单调函数”，简化为“周期函数不是单调函数”．答案：周期函数不是单调函数(二)素养专练——学会更学通4．[逻辑推理]若命题A的逆命题为B，命题A的否命题为C，则B是C的( )A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．都不对解析：选C 根据题意，设命题A为“若p，则q”，则命题B为“若q，则p”，命题C为“若綈p，则綈q”，显然，B与C是互为逆否命题．故选C.5．[逻辑推理]若a，b都是正整数，则a＋b>ab成立的充要条件是( )A．a＝b＝1 B．a，b至少有一个为1C．a＝b＝2 D．a>1且b>1解析：选B ∵a＋b>ab，∴(a－1)(b－1)＜1.∵a，b∈N*，∴(a－1)(b－1)∈N，∴(a－1)(b－1)＝0，∴a＝1或b＝1.故选B.6．[数学运算]圆x2＋y2＝1与直线y＝kx－3有公共点的充分不必要条件是( )A．k≤－22或k≥22B．k≤－22C．k≥2D．k≤－22或k>2≤1，即k2＋1解析：选B 若直线与圆有公共点，则圆心(0,0)到直线kx－y－3＝0的距离d＝|－3|k2＋1≥3，∴k2＋1≥9，即k2≥8，∴k≥22或k≤－22，∴圆x2＋y2＝1与直线y＝kx－3有公共点的充分不必要条件是k≤－22，故选B.7．[数学运算]方程x2－2x＋a＋1＝0有一正一负两实根的充要条件是( )A．a＜0 B．a＜－1C．－1＜a＜0 D．a>－1解析：选B ∵方程x2－2x＋a＋1＝0有一正一负两实根，∴Error!解得a＜－1.故选B.8．[数学抽象]能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．解析：设f(x)＝sin x，则f(x)在[0，π2]上是增函数，在[π2，2]上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x∈(0,2]时，f(x)>f(0)＝sin 0＝0，故f(x)＝sin x满足条件f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，但f(x)在[0,2]上不一直都是增函数．答案：f(x)＝sin x(答案不唯一)。
2016版高考数学大一轮复习课件：第1章-第2节命题及其关系、充分条件与必要条件
向
检
测
菜单
第十一页，编辑于星期五：二十三点 五十四分。
名师金典·新课标高考总复习·理科数学
基 础 知 识 点
6．(2014·陕西高考)原命题为“若 z1，z2 互为共轭复数， 则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判
方 法 技 巧
断依次如下，正确的是( )
A．真，假，真
B．假，假，真
基 础 知 识 点
2．命题“若 α＝π4，则 tan α＝1”的逆否命题是(
)
方 法 技 巧
A．若 α≠π4，则 tan α≠1 B．若 α＝π4，则 tan α≠1
C．若 tan α≠1，则 α≠π4 D．若 tan α≠1，则 α＝π4
核
【答案】 C
课 时
心
限
考
时
向
检
测
菜单
第八页，编辑于星期五：二十三点 五十四分。
B．若 x＋y 是偶数，则 x 与 y 都不是偶数 课
核
时
心
C．若 x＋y 不是偶数，则 x 与 y 不都是偶数
限
考
时
向
D．若 x＋y 不是偶数，则 x 与 y 都不是偶数
检 测
菜单
第十三页，编辑于星期五：二十三点 五十四分。
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(2)以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正
确命题的序号)．
基 础 知 识 点
①“若 log2a＞0，则函数 f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定 义域内是减函数”是真命题；
方 法 技 巧
②命题“若 a＝0，则 ab＝0”的否命题是“若 a≠0，则
2016高考数学一轮复习课件 1-2 命题及其关系 充分条件与必要条件 新人教A版必修1
A．0＜a≤1
B．a＜1
C．a≤1
D．0＜a≤1或a＜0
第十六页，编辑于星期六：点 二十一分。
解析 (1)若 q＞1，则当 a1＝－1 时，an＝－qn－1，{an}为递减数 列，所以“q＞1”⇒/ “{an}为递增数列”；若{an}为递增数列， 则当 an＝－12n时，a1＝－12，q＝12＜1，即“{an}为递增数列”
B．必要不充分的条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要的条件
(2)命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必
要条件是
()
A．a≥4
B．a≤4
C．a≥5
D．a≤5
第二十页，编辑于星期六：点 二十一分。
解析 (1)由Venn易知充分性成立．反之， A∩B＝∅时，由Venn图(如图)可知，存在 A＝C，同时满足A⊆C，B⊆∁UC. 故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充要条件. (2)命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4，故其 充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集，正确选项为C. 答案 (1)C (2)C
(1)“x2＋2x－8＜0”是命题．
(× )
(2)一个命题非真即假．
(√ )
(3)命题“三角形的内角和是 180°”的否命题是“三角形的
内角和不是 180°”．
(× )
(4)“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的必要不充分条件．( × )
(5)给定两个命题 p，q.若 p 是 q 的充分不必要条件，则綈 p
第七页，编辑于星期六：点 二十一分。
4．(2014·浙江卷)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，
则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的
2016届新课标数学一轮复习课件 第一章 第3讲 命题及其关系、充要条件
考点一
四种命题及其相互关系
考点二
充分条件、必要条件的判断(高频考点)
考点三
充分条件、必要条件的应用
栏目 第十一页，编辑于星期五：十九点导二分引。
考点一 四种命题及其相互关系
第一章 集合与常用逻辑用语
B
否命题
栏目 第十二页，编辑于星期五：十九点导二分引。
第一章 集合与常用逻辑用语
栏目 第十三页，编辑于星期五：十九点导二分引。
第一章 集合与常用逻辑用语
A C
栏目 第十八页，编辑于与常用逻辑用语
①④
栏目 第十九页，编辑于星期五：十九点导二分引。
第一章 集合与常用逻辑用语
栏目 第二十页，编辑于星期五：十九点导二分引。
第一章 集合与常用逻辑用语
栏目 第二十一页，编辑于星期五：十九导点 二引分。
第一章 集合与常用逻辑用语
p是q
q是p
充要条件
充要条件
栏目 第四页，编辑于星期五：十九点 二导分。引
第一章 集合与常用逻辑用语
D
C
栏目 第五页，编辑于星期五：十九点 二导分。引
第一章 集合与常用逻辑用语
A
栏目 第六页，编辑于星期五：十九点 二导分。引
第一章 集合与常用逻辑用语
栏目 第七页，编辑于星期五：十九点 二导分。引
栏目 第三十三页，编辑于星期五：十九导点 二引分。
第一章 集合与常用逻辑用语
栏目 第三十四页，编辑于星期五：十九导点 二引分。
第一章 集合与常用逻辑用语
A
栏目 第三十五页，编辑于星期五：十九导点 二引分。
第一章 集合与常用逻辑用语
A
栏目 第三十六页，编辑于星期五：十九导点 二引分。
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2.教材改编
链接教材
练一练Leabharlann (1)(选修1-1P8T2(1)改编)命题“若a,b都是偶数,则a+b是偶数”的 逆否命题为 .
【解析】“a,b都是偶数”的否定为“a,b不都是偶数,”“a+b是偶 数”的否定为“a+b不是偶数”,故其逆否命题为“若a+b不是偶数,则 a,b不都是偶数”. 答案:若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数
3.必用技法
核心总结
看一看
(1)常用方法:充分条件、必要条件的判断方法:定义法、集合法、等
价转化法.
(2)数学思想:化归与转化思想.
(3)记忆口诀:真假能判是命题,条件结论很清楚.
命题形式有四种,分成两双同真假.
若p则q真命题,p是q充分条件,
q是p必要条件,原逆皆真称充要.
【小题快练】
1.思考辨析 静心思考 判一判 ) )
把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得 ,故①正确,②错误,
③正确,选A.
考点1
四种命题及其真假判断
【典例1】(1)已知命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则 m≤1”,则下列结论正确的是( )
A.否命题是“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”是真 命题 B.逆命题是“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数”是假
正确的是 ( )
A.真,真,真
C.真,真,假
B.假,假,真
D.假,假,假
【解题提示】(1)先判断否命题,逆命题、逆否命题是否正确,再判断
其真假.
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
【知识梳理】
1.必会知识
(1)命题:
教材回扣
填一填
判断真假 的陈述句叫做命题.其中 用语言、符号或式子表达的,可以_________ 判断为真 的语句叫做真命题,_________ 判断为假 的语句叫做假命题. _________
(2)四种命题及其相互关系:
【解题提示】验证充分性与必要性.
【解析】选D.“a>b”推不出“a2>b2”,
例如,2>-3,但4<9;
“a2>b2”也推不出“a>b”,
例如,9>4,但-3<2.
(2)(2014·浙江高考)设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边 形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 )
p⇔q
p q 且q p
2.必备结论
教材提炼
记一记
(1)四种命题中的等价关系:
逆否命题 否命题等价于_______, 逆命题 在四种形式的命题 原命题等价于_________, 中真命题的个数只能是0或2或4. (2)等价转化法判断充分条件、必要条件: 充分不必要 条件.其他 p是q的充分不必要条件,等价于﹁q是﹁p的___________ 情况依次类推.
命题
C.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数”是
真命题
D.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”
是真命题
(2)(2014·陕西高考)原命题为“若
a n a n 1 ＜a n , n∈N+,则{an}为递 2
减数列”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,
(3)用集合的关系判断充分条件、必要条件: p成立的对象构成的集合为A, q成立的对象构成的集合为B p是q的充分条件 A⊆B _____ B⊆A _____
p是q的必要条件
p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件
AÜ B ______
B Ü A ______
A=B ____
若q，则p
若p，则q
若q，则p
(3)充要条件:
充分 条件,q是p的_____ 必要 条件 若p⇒q,则p是q的_____
充分不必要 条件 p是q的___________
p⇒q且q p
p q且q⇒p
必要不充分 条件 p是q的___________
充要 条件 p是q的_____ 既不充分也不必要 条件 p是q的_________________
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.“四边形ABCD为菱形”⇒“AC⊥BD”,“AC⊥BD”推不 出“四边形ABCD为菱形”,所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD” 的充分不必要条件.
(3)(2015·焦作模拟)已知命题α :如果x<3,那么x<5;命题β :如果 x≥3,那么x≥5;命题γ :如果x≥5,那么x≥3.关于这三个命题之间的 关系.下列三种说法正确的是( )
①命题α 是命题β 的否命题,且命题γ 是命题β 的逆命题; ②命题α 是命题β 的逆命题,且命题γ 是命题β 的否命题; ③命题β 是命题α 的否命题,且命题γ 是命题α 的逆否命题. A.①③ B.② C.②③ D.①②③
【解析】选A.本题考查命题的四种形式,逆命题是把原命题中的条件
和结论互换,否命题是把原命题的条件和结论都加以否定 ,逆否命题是
(1)语句x2-3x+2=0是命题.(
(2)一个命题的逆命题与否命题,它们的真假没有关系.(
(3)命题“如果p不成立,则q不成立”等价于“如果q成立,则p成 立”.( )
(4)“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”表达的 意义相同.( )
【解析】(1)错误.无法判断真假,故不是命题. (2)错误.一个命题的逆命题与否命题是互为逆否命题 ,它们的真假性 相同. (3)正确.一个命题与其逆否命题等价. (4)错误.“p是q的充分不必要条件”即为“p⇒q且q p”,“p的充 分不必要条件是q”即为“q⇒p且p q ”. 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×
(2)(选修1-1P10T3(2)改编)“(x-a)(x-b)=0”是“x=a”的 条件. 【解析】x=a⇒(x-a)(x-b)=0,反之不一定成立,因此“(x-a)(x-b) =0”是“x=a”的必要不充分条件. 答案:必要不充分
3.真题小试
感悟考题
试一试 )
(1)(2014·北京高考)设a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件