一章直角三角形的边角关系
第1章 直角三角形的边角关系
知识点 方向角的定义及应用
1.航海问题. 2.导航问题.
知识点 利用三角函数解决实际问题
三角函数最早的研究可以追溯到公元前2000年,在埃及数学和巴比 伦数学中,主要用于测量.例如:如果知道测量点距泰姬陵的位置与仰角的 大小,则可以轻松地求得泰姬陵的高度.
知识点 利用三角函数解决实际问题
在常见图形中解直角三角形时,常以“公共边”为桥梁,分别在两个 直角三角形中,选择恰当的三角函数,构建关系式进行求解.
知识点 解直角三角形的类型与解法
如图所示的是意大利的比萨斜塔,设塔顶中心点为B,塔身中心线与垂 直中心线的交点为A ,过B点向垂直中心线作垂线,垂足为C,在Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=5.2 m,AB=54.5 m,显然可以求出∠A的正弦值,利用计算器 求出∠A的度数.
知识点 解直角三角形的类型与解法
知识点 锐角的正弦、余弦
为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设 水管,在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡 的坡角(∠A)为30°,为使出水口的高度为35 m,显然可利用∠A的正弦 求出需要准备的水管长度.
知识点 锐角的正弦、余弦
锐角的正弦和余弦是在直角三角形中定义的,sin A的值随着∠A 的增大而增大,cos A的值随着∠A的增大而减小.
第一章 直角三角形 的边角关系
6 利用三角函数测高
知识点 测量倾斜角
俗话说:工欲善其事,必先利其器,为了测量仰角和俯角,如果没有专门 的仪器,可以自制一个简易测倾器,简易测倾器由铅垂、度盘、支杆组成, 可以按如图所示的步骤组装一个简易测倾器.
知识点 测量物体的高度
“不登山可以知道山高,不过河可以知道河宽.” 为了测量东方明珠塔的高度,小林和同学们在距离东方明珠塔 200 m处的地面上,用高1.20 m的测倾器测得东方明珠塔顶的仰角为 60°48',小林和同学利用解直角三角形的知识马上得出东方明珠塔的 高度约为359.06 m.
直角三角形的边角关系
直角三角形的边角关系
直角三角形的角关系:任意两条边的长度之和大于第三条边，任意两条边的长度之差小于第三条边。
斜边的平方等于两条直角边的平方和。
直角三角形的判断:有一个直角的三角形是直角三角形；两个锐角互补的三角形是直角三角形；如果三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
直角三角形的性质:1。
角的性质:直角三角形的两个锐角是互补的。
2.边的性质:直角三角形的三条边满足勾股定理，这是直角三角形最重要的性质。
3.斜边上的高度:直角三角形的斜边上的高度高于两个直角除以斜边的乘积，这是一种很常见的求高度线的方法。
4.斜边上的中线:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，常用于几何计算和证明。
5、一副直角三角形包含两个特殊的三角形，含30°角的直角三角形和等腰直角三角形，在含有30°角的直角三角形中，30°角所对应的直角边是斜边的一半。
6、HL定理，判断两个直角三角形全等的特殊定理，本质是全等三角形的SSS定理，注意本定理只能在直角三角形中才能运用。
第一章直角三角形的边角关系锐角三角函数(1)
锐角三角函数（1）教学目标了解锐角三角函数的概念，熟记特殊角的三角函数值，会计算各种三角函数值。
重难点分析重点：1、锐角三角函数的概念；2、特殊角锐角三角函数值；3、利用直角三角形计算函数值。
难点：1、锐角三角函数值的计算；2、直角三角形的构造；3、特殊角锐角三角函数值的记忆。
知识点梳理1、正切的概念如图所示，在ABCRt∆中，如果锐角A确定，那么A∠的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做的正切，记作Atan，即＝AA∠∠的对边的邻边。
2、正弦的概念如图所示，在中，如果锐角确定，那么的对边与斜边的比也随之确定．的对边与斜边的比叫做的正弦，记作Asin，即＝A∠的对边斜边。
3、余弦的概念如图所示，在中，如果锐角确定，那么的邻边与斜边的比也随之确定．的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作Acos，即＝A∠的邻边斜边。
注意：（1）正弦、余弦、正切只是一个数值，没有单位，其大小只与角的大小有关，与三角形的大小无关；（2）正弦、正切越大，表明角度越大，余弦越大，表明角度越小。
知识点1：锐角三角函数的概念【例1】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，那么A cos 的值等于【 】 A.34 B.43 C.35 D.45【随堂练习】1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝1，AC ＝2，则A sin 的值为【 】 A ．55B ．255C ．12D ．22、如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝2，AC ＝3，则B sin 的值是【 】A.23B.32C.34D.433、在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB=5，则A tan 的值为【 】 A ．55 B ．255 C ．12D ．2【例2】已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，54sin =A ，则=BC ______，=∠B tan _______。
直角三角形的边角关系
直角三角形的边角关系直角三角形是一种特殊的三角形，它的一个角是90度，另外两个角是锐角。
直角三角形的边角关系是指三条边和三个角之间的关系。
边角定义在直角三角形中，我们通常将底边称为底边，直角所对的边称为斜边，另外一个边称为高。
以直角三角形ABC为例，边AB为底边，边AC为高，边BC为斜边。
直角三角形中的两个锐角分别称为锐角A和锐角B。
锐角A位于底边AB的顶点A，锐角B位于直角C的顶点B。
边角关系直角三角形的边角关系非常重要，它们之间存在着多个重要的数学关系。
下面是直角三角形的边角关系的详细介绍：边与角的关系1. 底边与斜边的关系：根据勾股定理，底边的平方加上高的平方等于斜边的平方。
用公式表示为：AB² + AC² = BC²2. 斜边与锐角的关系：在直角三角形中，斜边与锐角的关系可以用三角函数来表示。
以锐角A为例，斜边BC与锐角A的正弦比等于底边AB 与斜边BC的比值，用公式表示为：sin(A) = AB / BC角与角的关系1. 直角和锐角的关系：直角是直角三角形的特殊角，它的度数为90度。
而锐角是小于90度的角。
2. 锐角之间的关系：直角三角形中的两个锐角之和等于90度。
用公式表示为：A +B = 90°边与角之间的关系1. 高与锐角的关系：直角三角形中的高与锐角之间存在正弦和余弦的关系。
以锐角A为例，高AC与锐角A的正弦比等于底边AB与斜边BC的比值，用公式表示为：sin(A) = AC / BC2. 底边与锐角的关系：直角三角形中的底边与锐角之间存在正切关系。
以锐角A 为例，底边AB与锐角A的正切比等于高AC与底边AB的比值，用公式表示为：tan(A) = AC / AB总结直角三角形的边角关系是数学中一种重要的关系，它涉及到边与角之间的联系。
通过掌握这些关系，我们可以在解决三角形相关问题时更加方便和高效。
一个直角三角形中，底边与斜边的关系可以由勾股定理给出，斜边与锐角之间的关系可以用正弦比来表示，高与锐角之间的关系可以用正弦比来表示，底边与锐角的关系可以用正切比来表示。
九下第一章直角三角形的边角关系重点强化专题解直角三角形__“化斜为直”构造直角三角形的四种常见类型作
重点强化专题 解直角三角形 ——“化斜为直”构造直角三角形的四种常见类型
【方法技巧】锐角三角函数是在直角三角形中定义的，与锐角三角函数有关的问题 都需要在直角三角形中解决．
类型一 作高→解非直角三角形(斜三角形) 1．如图，在锐角△ABC 中，AB＝AC，sin A＝1123 ，求 tan B 的值．
解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，∵在 Rt△ACD 中，sin A＝CADC
＝12 13
，∴可设 CD
＝12a，则 AC＝AB＝13a，AD＝ AC2－CD2 ＝5a，∴BD＝AB－AD＝8a，∴在 Rt△BCD
中，tan
B＝CBDD
＝12a 8a
＝3 2
类型二 作垂线→解决已知三角函数不能直接运用的问题 2．如图，在△ABC 中，D 是 AB 的中点，DC⊥AC，且 tan ∠BCD＝1，tan
A＝
3 2
，∠B＝120°，∠C＝150°，AB＝4，CD
＝ 3 ，求 BC 的长.
解：延长 AB 与 DC 相交于点 E，则∠EBC＝60°，∠ECB＝30°，∴∠E＝90°，设
BE＝x，则 CE＝ 3 x，BC＝2x.∴DE＝ 3 x＋ 3 ，AE＝4＋x，∵在 Rt△ADE 中，
解：过点 D 作 DE⊥CD 交 BC 于点 E.∵tan ∠BCD＝DE ＝1 ，∴可设 DE＝a， CD 3
CD＝3a，∵DE∥AC，∴DACE
＝BD AB
＝1 2
，∴AC＝2DE＝2a，∴在 Rt△ACD 中，tan A
＝CD ＝3a ＝3 AC 2a 2
类型三 延长→解决隐含直角三角形的问题
解：由翻折的性质可知 EB＝EF＝EC＝1 BC＝ 5 ，∠AEB＝∠AEF，∵∠ECF 2
直角三角形的边角关系
第一章直角三角形的边角关系1.锐角三角函数（1）一、教材分析这节课的内容是：义务教育课程标准实验教科书（北师大版）九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》中《锐角三角函数》的第一节，是属于数学新知识教学。
学生已经学过有关直角三角形的知识，但关于直角三角形了解只能停留在边与边之间的关系（勾股定理）和角与角之间的关系（直角三角形两锐角互余）。
那么，是不是有某种介质能把直角三角形的边与角之间联系在一路呢？这对具有必然数学能力的九年级学生来讲，是有挑战性，因为他们是不同类的两个事物（一个是角度的大小，另一个是线段的长度）。
因此，本节课从农村生活中常见的实物——梯子动身，让学生观看多种梯子倾斜的情形。
而关于梯子的倾斜问题学生在生活中也有必然的生活体会，能够通过观看分析出简单的梯子倾斜情形，但关于倾斜角度超级接近的情形，就需要通过本节课的学习，利用直角三角形边和角的关系来判定。
锐角三角函数是在现实生活中有着重要的的作用。
如在测量、建筑、交通运输、工程技术和物理学中，人们常常碰到距离、高度、角度、方位的计算问题，这些问题最终归结于直角三角形的边角关系。
但相较之下，在实际生活中“正切”是最经常使用，如物体的倾斜程度，高山的坡度等都往往用正切，后面要学的正弦、余弦的概念也能由正切的概念类比取得。
因此本节的内容在教材中的作用超级大。
二、学情分析九年级的学生具有必然的数学基础知识和大体技术，拥有一些数学思想和数学模型，因此他们思维敏捷，自我意识强。
经历观看、质疑、猜想、交流、合作、归纳等进程，利用数形结合，从特殊到一样，能熟悉事物的一样规律。
但关于农村初中的学生来讲，他们的视野范围窄、思维局限、抽象能力不强，专门是自主学习、自主探讨的能力差。
三、教学目标分析知识与技术1.了解正切的产生背景，并明白得它的概念，会用它表示生活中物体的倾斜程度、坡度等。
2.能够用tanA表示直角三角形中两直角边的比，用正切进行简单的计算。
北师大版九年级数学下册：第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》教案
北师大版九年级数学下册：第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》主要介绍了直角三角形的性质，包括锐角三角函数的概念、直角三角形的边角关系等。
本章内容是初中数学的重要知识点，为后续学习三角形相似、解直角三角形等知识打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了三角形的基本概念和性质，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但学生在学习过程中，可能对锐角三角函数的理解和应用存在困难，因此需要通过本章内容的学习，帮助学生巩固直角三角形的性质，提高解题能力。
三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握锐角三角函数的概念。
2.学会运用直角三角形的性质解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.重点：直角三角形的性质，锐角三角函数的概念。
2.难点：锐角三角函数的应用，解直角三角形。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等，引导学生主动探究、积极思考，提高学生的学习兴趣和参与度。
六. 教学准备1.教学课件：制作直角三角形性质、锐角三角函数的课件。
2.教学素材：提供相关案例，如实际问题、例题等。
3.学习工具：准备好直角三角形、锐角三角函数的相关资料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如测量身高、测距等，引出直角三角形的性质和锐角三角函数的概念。
激发学生的学习兴趣，引导学生思考直角三角形在实际生活中的应用。
2.呈现（15分钟）呈现直角三角形的性质和锐角三角函数的定义，通过动画、图片等形式展示，帮助学生直观地理解。
同时，给出相关案例，让学生体会直角三角形性质和锐角三角函数在实际问题中的作用。
3.操练（15分钟）针对直角三角形的性质和锐角三角函数，设计一系列练习题。
让学生独立完成，巩固所学知识。
教师及时批改、讲解，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）通过小组合作学习，让学生运用直角三角形的性质和锐角三角函数解决实际问题。
直角三角形的边角关系(初中锐角三角函数)
直角三角形的边角关系（一）三角函数概念及性质1.Rt △ABC 中，∠C=90°，锐角Ａ的对边与斜边的比叫做∠Ａ的正弦，记作sin Ａ，即sinA ＝；锐角Ａ的邻边与斜边的比叫做∠Ａ的余弦，记作cos Ａ，即cosA ＝；锐角Ａ的对边与邻边的比叫做∠Ａ的正切，记作tan Ａ，即tanA ＝；锐角Ａ的正弦、余弦、正切都叫做∠Ａ的三角函数。
注：①正弦、余弦、正切、余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义；②sinA 不是sin 与Ａ的乘积，是三角形函数记号，是一个整体。
“sinA ”表示一个比值，其他三个三角函数记号也是一样的；③锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。
2.一些特殊角的三角函数值（1）互余关系sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) （2）0<sinA<1,0<cosA<1 （3）平方关系 1cos sin 22=+A A（4）弦切关系 tanA=AAcos sin 4.锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）acbcab（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）【练习】练习1（求三角函数）1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，a = 1 , c = 4 , 则sinA 的值是___A 、B 、C 、D 、 2、在△ABC 中，若三边BC ，CA ，AB 满足BC ：CA ：AB=5：12：13，则cosB=（ ）A 、512B 、125C 、513D 、12133、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tan θ＝______.4、在Rt△ABC 中,∠C=90°,若AC=2BC,则sin A 的值是( )A ．12B ．2 CD5、直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE 的值是（ ）A ．247BC ．724D ．136、如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，M 、N 两点关于对角线AC 对称，若DM=1，则tan ∠ADN= ．7、如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分別是AB 、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC 等于（ ）151541314158、如图，在△ABC 中，∠B=30°，P 为AB 上一点，BP AP =12，PQ ⊥BC 于Q ，连结AQ ，则cos ∠AQC=（ ）A 、217 B 、233 C 、277 D 、23219、如图所示，已知AD 是等腰△ABC 底边上的高，且tan ∠B= 34，AC 上有一点E ，满足AE ：CE=2：3，则tan ∠ADE 的值是（ ）A 、35 B 、8 9 C 、45D 、7910、如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α= ．练习2（网格）1、如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin ∠ABC 等于_______________2、在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，则cos B ∠的值为（ ）A ．12B ．2C D 3、如图，△ABC 的三个顶点在正方形网格的格点上，则tan ∠A 的值是___________4、如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为_______。
北师版九年级下册第一章直角三角形的边角关系知识点及习题
九年级下册第一章 直角三角形的边角关系【知识要点】一、锐角三角函数：正切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即b A atan =; 正弦．．：．在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即ca sin =A ; 余弦：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cA bcos =; 余切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cA b cot =; 注：（1）sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). （2）sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A,习惯省去“∠”号； （3）sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位. （4）sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长无关. （5）角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等. 1、三角函数和角的关系tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
sinA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，sinA 的值越大。
cosA 的值越小，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，cosA 的值越大。
2、三角函数之间的关系 （1）互为余角的函数之间的关系0º 30 º 45 º 60 º 90 º若∠A 为锐角，则①)90cos(sin A A ∠-︒=；)90sin(cos A A ∠-︒=②)90cot(tan A A ∠-︒=；)90tan(cot A A ∠-︒=（2）同角的三角函数的关系 1)平方关系：sinA 2＋cosA 2＝1 2)倒数关系：tanA ·cotA ＝13)商的关系：tanA ＝A o A s c sin ，cotA ＝A Asin cos二、解直角三角形：※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。
第一章 直角三角形的边角关系
本章总结提升 图1－T－3
本章总结提升
[解析] 过点A作AE∥BC交CD于点E，则所求CD转化为CE＋DE， 而CE＝AB＝25 cm，只要求出DE，而DE＝DF－EF，分别在 Rt△DAF与Rt△EAF中表示出DF与EF. 解：如图所示，过点A作AE∥BC交CD于点E，则∠EAF＝∠CBG＝ θ 2，且EC＝AB＝25 cm.
本章总结提升
在 Rt△DAF 中，∠DAF＝θ 1，DF＝AFtanθ 1， 在 Rt△EAF 中，∠EAF＝θ 2，EF＝AFtanθ 2， ∴DE＝DF－EF＝AF(tanθ 1－tanθ 2)． 又∵AF＝140 cm，tanθ 1＝1.082，tanθ 2＝0.412， ∴DE＝140×(1.082－0.412)＝93.8(cm)， ∴CD＝DE＋EC＝93.8＋25＝118.8 ≈119(cm)． 答：支架CD的高约为119 cm.
本章总结提升
[解析] 本题中CD是Rt△CDB和Rt△ADC的公共直角边，那么可用 CD来表示出AD和BD，再根据AB的长来求出CD.
解：设 CD＝x 海里，在 Rt△BCD 中，
∵∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝x 海里．
又∵AB＝30×2＝60(海里)，∴AD＝(60＋x)海里．
在
Rt△ACD
(2)原式＝－1－8＋1＋3
3－9× 33＝－8.
本章总结提升
[点评] 记忆特殊角的三角函数值要准确，注意零指数幂、负 整数指数幂的性质和绝对值的化简方法，化简后根据运算顺序 进行计算即可．
本章总结提升
类型之三 解直角三角形
例 3 如图 1－T－1，AD 是△ABC 的中线，tanB＝13，cosC＝ 22，AC＝ 2.求：
数学课本_直角三角形的边角关系
您可曾想过，如何利用地面两处所测量的仰角，来计算远方建筑物的高度？国中数学课程中，介绍了直角三角形的勾股定理及三角形的许多全等与相似性质。
本章中我们介绍三角学，引入三角函数，将三角形的相似性质数量化，然后应用在实际的测量问题上。
1三角1-1直角三角形的边角关系●直角三角形边的比例●sinθ，cosθ，tanθ的性质●锐角的三角函数1-2广义角与极坐标●广义角●广义角的三角函数●广义角三角函数的性质●极坐标●弧度1-3正弦定理、余弦定理●面积公式●正弦定理●余弦定理●海龙公式1-4和角公式与差角公式●和角公式与差角公式●倍角公式●半角公式1-5三角测量●三角函数值的求法●平面测量与立体测量1-1直角三角形的边角关系在国中的时候，我们知道：相似的三角形，其三边长的比例是固定的，不因三角形的大小不同而改变。
在本节里，我们将探讨直角三角形的边角关系。
1直角三角形边的比例观察图1 这几个大小不同的30°－60°－90°直角三角形：图1我们可以发现：这几个直角三角形彼此都相似，而且三边长的比都是12。
事实上，所有 30°－60°－90°直角三角形都是如此。
因此，在图 2 的 30°－60°－90°直角三角形中，不论三角形的大小为何，我们都可以得到30的對邊長斜邊長︒＝12，30的鄰邊長斜邊長︒3030的對邊長的鄰邊長︒︒。
图 2随堂练习 --------------------------------------------------------------------------------------------------------- (1) 在 30°－60°－90°直角三角形中，试求下列三个比值：60︒的對邊長斜邊長，60︒的鄰邊長斜邊長，6060︒︒的對邊長的鄰邊長。
(2) 在 45°－45°－90°直角三角形中，试求下列三个比值：45︒的對邊長斜邊長，45︒的鄰邊長斜邊長，4545︒︒的對邊長的鄰邊長。
九年级 第一章 直角三角形的边角关系
九年级下册第一章 直角三角形的边角关系 §1.1 从梯子的倾斜程度谈起(一) 一 知识要点1. 能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生 活中物体的倾斜程度、坡度等正切的定义:在Rt △ABC 中,锐角A 的 与 锐角A 的比叫做∠A 的正切，记作tanA,即 tanA=2. 能够用正切进行简单的计算. 二、典型例题与分析例1：如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?跟踪练习1、在Rt △ABC 中,锐角A 的对边和邻边同时扩大100 倍,tanA 的值（ ）A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变D.不能确定 2、已知∠A,∠B 为锐角(1)若∠A=∠B,则tanA tanB; (2)若tanA=tanB,则∠A ∠B.例2：在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AB=20cm ，求tanA 和tanB 的值.随堂练习(见课本P 6 1、2)3、补充:在等腰△ABC 中,AB=AC=13,BC=10,求tanB.三、拓展训练例3如图，Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB 的长为12 m ，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD ，求DB 的长.(结果保留根号)四、中考链接1：若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高_______米2、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tanθ＝______.§1.2从梯子的倾斜程度谈起(2)正弦与余弦一．知识要点：1.正弦,余弦的定义（1）.在Rt△ABC中,锐角A的与的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即sinA=（2）.在Rt△ABC中,锐角A的与的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即cosA=总结：①锐角三角函数的定义.锐角A的, , 都叫做∠A的三角函数.②定义中应该注意的几个问题（1）sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).（2）sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A,习惯省去“∠”号；（3）sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位.（4）sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.（5）角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.练习：如图,分别根据图(1)和图(2)求∠A的三个三角函数值.二．典型例题与分析：例1.如图:在Rt△ABC中,∠B=090,AC=200,sinA=0.6.求:BC的长.跟踪练习：1．如图，已知直角三角形A B C中，斜边A B的长为m，40B∠=，则直角边B C的长是（）A．s in40m B．co s40mC．tan40m D．ta n40m2.如图, ∠C=90°CD⊥AB.（1）SinB=()()=()()=()()（2）若BD=6,CD=12.求cosA的值.3.在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,求sinB,cosB.三．基础练习：A BC 1．已知△ABC 中，90=∠C ，3cosB=2， AC=52 ，则AB= ． 2.在Rt ABC ∆中，90=∠C ，如果2=AB ，1=BC ，那么Bsin的值是（ ）A.21B.23C.33D.33.在R t A B C △中，90C ∠=°，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，的对边，若2b a =，则tan A =4.如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离A C =3米，3c o s 4B AC ∠=，则梯子A B 的长度为 米．5.如果a ∠是等腰直角三角形的一个锐角，则tan α的值是（ ） Ａ．12Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．2四．知识延伸1.如图，P 是∠α的边OA 上一点，且点 P 的坐标为（3，4）， 则sin α= ( ) A ．35B ．45C ．34D ．432．如图，A D C D ⊥，13A B =，12B C =，3C D =，4A D =，则sin B =（ ） A ．513B ．1213C ．35D ．453.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将A B C △如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为D E ，则tan C B E ∠的值是（ ） A ．247B ．3C ．724D ．134.如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DEF ，则cosE 的值等于 （ ） A. 12223五．中考链接 1．正方形网格中，A O B ∠如图放置，则co s A O B∠的值为（） 55Ｃ．12Ｄ．22.如图，在A B C △中，90A C B ∠=，C D A B ⊥于D ，若A C =A B =tan B C D ∠的值为（ ）2333.如图，在A B C ∆中，90C ∠=︒，点D 、E 分别在A C 、A B 上，B D 平分A B C ∠，D E A B ⊥，6A E =，3c o s 5A =.求（1）D E 、C D 的长； （2）tan D B C ∠的值.§1.3 300，450，600角的三角函数值(1)D ABCABO第1题一、知识要点（1）直角三角形中的边角关系（2）特殊角300,450,600角的三角函数值. （3）互余两角之间的三角函数关系. （4）同角之间的三角函数关系 二、典型例题例1：(1)sin300﹢cos450(2) sin 2600+cos 2600﹣tan450跟踪练习：(1)sin600﹣cos450; (2)cos600+tan600例2： 如图:一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为600,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m).跟踪练习：2.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为300,高为7m,扶梯的长度是多少?例3、如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°, ∠A,∠B ,∠C 的对边分别是a,b,c.求证:sin 2A+cos 2A=1C跟踪练习：1.tan α×tan300 =1,且α为锐角。
九年级数学直角三角形边角关系
详细描述
在直角三角形中，可以利用代数方法建 立方程组或不等式，通过解方程或不等 式求解未知量。这种方法适用于较为复 杂的问题，需要一定的代数基础。
5
练习与巩固
基础练习题
总结词
掌握基础知识
详细描述
基础练习题主要涉及直角三角形的基本性质和边角关系，包括勾股定理、锐角三角函数等基本概念。通过这些练 习，学生可以加深对基础知识的理解，提高解题的准确性和速度。
三角函数概念
在直角三角形中，锐角的正弦、余弦、正 切值分别等于对边、邻边、对边与邻边之 比。
学习心得体会
通过学习直角三角形边角关系，我深入理解了三角形的性质和分类，掌握了勾股定 理的应用，对三角函数有了初步的认识。
在学习过程中，我遇到了一些困难，如理解三角函数的定义和运用勾股定理解决实 际问题。但在老师和同学的帮助下，我克服了这些困难，取得了进步。
九年级数学直角三角 形边角关系
目录
• 引言 • 直角三角形的基本性质 • 边角关系的应用 • 解题技巧与策略 • 练习与巩固 • 总结与回顾
01
引言
主题简介
01
直角三角形边角关系是九年级数 学的一个重要知识点，主要涉及 直角三角形的边和角之间的相互 关系。
02
这些关系在几何学、三角函数、 解析几何等领域有着广泛的应用 。
应用场景
在实际生活中，如测量、建筑、航海 等领域，经常需要解直角三角形来解 决问题。
实际问题中的应用
解决实际问题
直角三角形边角关系可以用于解 决实际问题，如计算斜坡的角度 、建筑物的稳定性分析等。
实际应用的意义
掌握直角三角形边角关系在实际 问题中的应用，有助于提高解决 实际问题的能力。
直角三角形边角关系
直角三角形边角关系直角三角形边角关系是指在一个直角三角形中，它的三条边和三个内角之间存在着明确的联系。
这些联系可以用数学表达式来表示，使得我们能够使用数学方法去求解一个直角三角形的边长和角度。
任意一个直角三角形都有三条边：a、b、c，三个内角：α、β、γ，其中α=90°代表直角，另外两个角为锐角。
由于直角三角形的特殊性，它的三条边和三个内角之间存在着明确的联系，以下是三角形边角关系的具体表达式：1. 三角形的周长：a+b+c = L2. 三角形的面积：S = ab*sin(γ)/23. 三角形内角和：α + β + γ = 180°4. 根据勾股定理：a^2 + b^2 = c^25. 根据余弦定理：cosα = (b^2+c^2-a^2)/2bc6. 根据正弦定理：sinα = (2S)/(bc)根据上述六个公式可以求解出任意一个直角三角形的三边长和三个角度的大小。
在求解时，可以先从周长求起，然后依次利用勾股定理、正弦定理和余弦定理，去求解三角形的三条边和三个角度的大小。
例如，已知直角三角形的三边a=4，b=5，c=6，求α、β、γ三个角度的大小，我们可以按照以下步骤求解：1. 先求出三角形的面积S：S = ab*sin(γ)/2 =4×5×sin(γ)/2 2. 根据正弦定理求出γ的大小：sinγ = 2S/bc = 2×20/(4×5) = 0.8 3. 根据余弦定理求出α的大小：cosα = (b^2+c^2-a^2)/2bc = (5^2+6^2-4^2)/2×5×6 = 0.6 4. 由三角形内角和的公式求出β的大小：α + β + γ = 180°，因此β = 180°-90°-γ = 180°-90°-0.8 = 89.2°上述步骤即可求出直角三角形α、β、γ三个角度的大小，分别为α=53.13°，β=89.2°，γ=37.67°。
第一章 直角三角形的边角关系5 三角函数的应用
BC . tan 35
4m 35° 40°
B
AD AC DC
1 1 BC ( ) tan 35 tan 40
1 1 BD sin 40( ) tan 35 tan 40
┌
A
D
C
0.61m .
答:楼梯多占约0.61m长的一段地面.
探究四
如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地面成40°夹角,且
5 三角函数的应用
1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角 函数在解决问题过程中的应用. 2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器 进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.
温故知新
直角三角形的边角关系
直角三角形三边的关系: 勾股定理
a2+b2=c2.
直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 ∠A+∠B=90°. 直角三角形边与角之间的关系:锐角三角 A x
25º
BD tan 55 x
B
tan 25 CD x
C 20 D B 解：根据题意可知，∠BAD=55°， C D ∠CAD=25°，BC= 20海里. 20 20 x 设AD=x，则 tan 55 tan 25 1.428 0.466 BD tan 25 CD ， tan 55 ; 20.79 海里 10( 海里) x x BD x tan55，CD x tan 25 答:货轮继续向西航行途中没
a tan A , b
a b sin A cos B , cos A sin B , c c
A
c a b ┌ C
特殊角：30°,45°,60°角的三角函数值.
北师大版九年级数学下册：第一章直角三角形的边角关系-回顾与思考(教案)
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《直角三角形的边角关系》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量高度或距离的情况？”（如测量树的高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索直角三角形边角关系的奥秘。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理、三角函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对直角三角形边角关系的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“直角三角形的边角关系在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
5.培养学生严谨的数学态度和良好的数学学习习惯，形成对数学知识的深度理解和长期记忆。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：勾股定理及其应用、正弦、余弦、正切函数的定义及性质、直角三角形的边角关系。
-重点讲解：
a.勾股定理的推导、证明及其在直角三角形中的应用；
b.正弦、余弦、正切函数的图形表示、定义域、值域及基本性质；
c.直角三角形中各角度与各边的关系，以及在实际问题中的应用。
九年级数学上册第1章 直角三角形的边角关系
4.已知∠A为锐角，且tan A＝ 3，则∠A的大小为 60° .
数学
5.在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，sin A＝23，则边AC的长
是( A )
A．2 5
B．6
C．38
D．2 13
数学 6.如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1∶2，坡高BC＝ 5m，则坡面AB的长度为( D )
A．10m C．5 3 m
∴ 3x＝x＋2000， 解得x＝1000 3＋1000， ∴CD＝ 3x＝3000＋1000 3， ∴CE＝CD＋DE＝3000＋1000 3＋2200＝5200＋1000 3 ≈5200＋1000×1.732＝6932＜ 7062.68， ∴“蛟龙”号能在保证安全的情况下打捞位于海底的黑匣子.
数学 【例8】如图，某湖心岛上有一亭子A，在亭子A的正东方向 上的湖边有一棵树B，在这个湖心岛的湖边C处测得亭子A在 北偏西45°方向上，测得树B在北偏东36°方向上，又测得B， C之间的距离等于200米，求A，B之间的距离(结果精确到1 米；参考数据： 2≈1.414，sin 36°≈0.588，cos 36°≈ 0.809，tan 36°≈0.727)．
时，cos A的值的变化情况是( B )
A．不断变大
B．不断减小
C．不变
D．不能确定
数学
知识要点2 特殊角的三角函数值 【例3】计算：2s3inta2n606°0－°1＝ 6 3 . 【例4】在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，如果sin A＝12， cos B＝ 22，那么∠C＝ 105°.
数学
的黑匣子C(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)．
数学 解：如图，过C作CD⊥AB于D，交海面于E. 设BD＝x，∵∠CBD＝60°， ∴tan∠CBD＝CBDD＝ 3， ∴CD＝ 3x，∵AB＝2000， ∴AD＝x＋2000， ∵∠CAD＝45°， ∴tan∠CAD＝CADD＝1，
数学习作_直角三角形的边角关系
高中数学习作A直角三角形的边角关系5三角1-1直角三角形的边角关系一、正弦、余弦及正切当θ为一锐角，能够画出一个三个角为θ，90°－θ，90°的直角三角形。
我们定义sinθ＝的對邊長，称为θ的正弦。
斜邊長cosθ＝的鄰邊長，称为θ的余弦。
斜邊長tanθ＝的對邊長，称为θ的正切。
的鄰邊長二、商数关系设 0°＜θ＜90°，则sin＝tanθ。
cos三、平方关系设 0°＜θ＜90°，则 sin2θ＋cos2θ＝1。
四、余角关系设0°＜θ＜90°，则sin（90°－θ）＝cosθ，cos（90°－θ）＝ sinθ。
五、锐角的三角函数的大小关系将 30°，45°及 60°的正弦、余弦及正切的值，列表以下：θ45°60°值30°sinθ123222cosθ321222tanθ313 3从上边的表格中，我们能够发现：当锐角θ的度数渐渐变大的时候， sinθ与 tanθ的值也随着渐渐变大，但cosθ的值则渐渐变小。
基础题1.试求以下各值：(1)sin 30 ＋°cos 60 ＋°tan 45 。
°（4 分）(2)sin2 60 °＋ cos2 30 °＋tan2 30 °。
（5 分）高中数学习作 A 直角三角形的边角关系 6解 (1) sin 30 ＋ °cos 60 ＋°tan 45 ＝°1 ＋ 1＋1＝222222(2) sin 2 60°＋cos 230°＋tan 230°＝ 3＋3＋1223＝3＋ 3＋ 1＝114 4 3 62. 已知直角三角形 ABC 中，∠C ＝90°， sin A ＝ 2， AB ＝ 10，试求 BC 的长。
直角三角形的边角关系
第一章直角三角形的边角关系一、本章知识要点：1、锐角三角函数的概念；2、解直角三角形。
二、本章教材分析：（一）.使学生正确理解和掌握三角函数的定义，才能正确理解和掌握直角三角形中边与角的相互关系，进而才能利用直角三角形的边与角的相互关系去解直角三角形，因此三角形函数定义既是本章的重点又是理解本章知识的关键,而且也是本章知识的难点。
如何解决这一关键问题，教材采取了以下的教学步骤：1.从实际中提出问题，如修建扬水站的实例，这一实例可归结为已知RtΔ的一个锐角和斜边求已知角的对边的问题。
显然用勾股定理和直角三角形两个锐角互余中的边与边或角与角的关系无法解出了，因此需要进一步来研究直角三角形中边与角的相互关系。
2.教材又采取了从特殊到一般的研究方法利用学生的旧知识，以含30°、45°的直角三角形为例：揭示了直角三角形中一个锐角确定为30°时，那么这角的对边与斜边之比就确定比值为1：2，接着以等腰直角三角形为例，说明当一个锐角确定为45°时，其对边与斜边之比就确定为,同时也说明了锐角的度数变化了,由30°变为45°后,其对边与斜边的比值也随之变化了,由到。
这样就突出了直角三角形中边与角之间的相互关系。
3.从特殊角的例子得到的结论是否也适用于一般角度的情况呢？教材中应用了相似三角形的性质证明了:当直角三角形的一个锐角取任意一个固定值时，那么这个角的对边与斜边之比的值仍是一个固定的值，从而得出了正弦函数和余弦函数的定义，同理也可得出正切、余切函数的定义。
4.在最开始给出三角函数符号时，应该把正确的读法和写法加强练习，使学生熟练掌握。
同时要强调三角函数的实质是比值。
防止学生产生sinX=60°,sinX=等错误，要讲清sinA不是sin*A而是一个整体。
如果学生产生类似的错误，应引导学生重新复习三角函数定义。
5.在总结规律的基础上，要求学生对特殊角的函数值要记准、记牢,再通过有关的练习加以巩固。
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值也随之唯一确定；比值和三角形的大小无关，只
和倾斜角的大小有关。
在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠ A的
对边与邻边的比叫做∠A的正切(tangent),
记作tanA,即
B
tan
A
A的对边 A的邻边
A
∠A的邻边
∠A的对边
┌ C
1）tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号 里习惯省去角的符号“∠”。 但∠BAC的正切表示为:tan∠BAC,∠1的正切表示 为:tan∠1
九年级数学(下)
第一章 直角三角形的边角关系
1.1 从梯子的倾斜程度谈起
a b
三亚市实验中学 刘凡
A
实例1:如图，梯子AB和EF哪个更陡？ 你是怎样判断的？
A
E
5m
5m
F
B
2.5m C
D 2m
实例2:如图，梯子AB和EF哪个更陡？ 你是怎样判断的？
小明想知道梯子的倾斜程度， 你能帮帮他吗?
• 4.如图6, ∠ACB=90°CD⊥AB BC=3 AC=4 求tan∠ACD的值.
C
┌
A
DB
图5
图6
1.在Rt △ ABC中,如果锐角∠A确定,那么∠A的对
边与邻边的比便随之确定,这个比叫做∠A的正切
(tangent),记作tanA,即
B
tan
A
A的对边 A的邻边
∠A的对边
┌ A ∠A的邻边 C
B1
B2
C2
A
C1
B2
A
C2
B1
(1)Rt△AC1B1和Rt△AC2B2有
什么关系?
(2) B1C1 和 B2C2 有什么关系 ?
AC1 AC2 C1
∵∠A=∠A ∠AC1B1=∠AC2B2 ∴Rt△AC1B1∽Rt△AC2B2
∴
B1C1 B2C2
=
AC1
AC2
B1C1 B2C2 AC1 AC2
D
如果任意改变B2在梯子上的位置呢?
B1C1 B2C2 AC1 AC2
还成立吗?
∠A的大小确定, ∠A的对边与 邻边的比值不变。
B2
B1 D1
如果改变∠A 的大小,
∠A的对边与邻边的比值会
随之改变吗?
A
C2
C1
∠A的大小改变, ∠A的对边与邻边的比值随之改变。
∠A越大.比值越大。
结论：
当直角三角形的锐角确定后，它的对边与邻边的比
AC
3
A C
则AC= 20 3 米.
又∵AB2=BC2+AC2
∴AB=√202+( 20 )32=40米
1.如图2，在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中
线,CD=2.5, AC=3, tanB=
3 4
图2
2.如图4，已知:tanB= 3
5
, AC=6,则BC=(10)
图4
1
• 3.如图5，在高为2m,坡度为 2的楼梯上铺地 毯,地毯的长度为（6m）
E
F
梯子AB的倾斜程度与tanA有关吗?
B2 B
B1
A1 A
A2
C
tanA的值越大,梯子AB越陡.
正切通常也用来描述山坡的倾斜
程度,此时叫做坡度.（坡度：铅直高
度与水平宽度的比，也称为坡比.坡
度常用i表示)
斜坡AB的坡 度 i tan A BC
B
AC
பைடு நூலகம்
铅 直 高 度
水平宽度
A
D
C
例1 下图表示两个自动扶梯,那一个自动扶 梯比较陡?
2） tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中 锐角∠A的对边与邻边的比。
3）初中阶段，只学习直角三角形中锐角的正切。
B
一. 去假存真： 1. 如图 (1) tanA= 5 ( × ).
12
5 A 12 C
(1)
2．如图 (2) tanB=
4 3
(√
).
3.把一个三角形扩大3倍,那么角的正切
值也扩大3倍 ( ×).
A
B
5m
3m
4m C (2)
二. 填空: AC 1.tan B = BC
A
BC
tanA= AC
2.如图, ∠C=90°CD⊥AB.
tan∠ACD= AD
A
AC CDCD
tanB= BC BD
C
B C
┌ DB
4.正方形网格中, Rt△ABC如图所示放置,则 tanA=(2 )
2.若∠A+ ∠B=90°，则tanA t.anB=1。
3. tanA的值越大,梯子越陡 4.坡度:坡面的铅直高度与水平宽度的比.
5.坡度越大,坡面越陡.
作业:p6 习题1.1 1. 2.
甲
6m ┐
8m
α
13m 乙β
5m ┌
解:甲梯中, tan 6 3 .
84
乙梯中,
tan 5 5 .
132 52 12
∵ tanα> tanβ,
∴甲梯更陡.
例2 如图，拦水坝的坡度i＝１： 3 ，若坝高
BC=２０米，求坝面ＡＢ的长。
B
解:在Rt△ABC中,BC=20米
∵坡度i＝１： 3
∴ BC 1