2019湖北全省各地区中考数学试卷真题全集

2019年湖北省鄂州市中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2019的绝对值是（）
A．2019B．﹣2019C．
1
2019
D．−
1
2019
2．（3分）下列运算正确的是（）
A．a3•a2 ＝a6B．a7÷a3 ＝a4
C．（﹣3a）2 ＝﹣6a2D．（a﹣1）2＝a2 ﹣1
3．（3分）据统计，2019年全国高考人数再次突破千万，高达1031万人．数据1031万用科学记数法可表示为（）
A．0.1031×106B．1.031×107C．1.031×108D．10.31×109 4．（3分）如图是由7个小正方体组合成的几何体，则其左视图为（）
A．B．
C．D．
5．（3分）如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若∠2＝35°，则∠1的度数为（）
A．45°B．55°C．65°D．75°
6．（3分）已知一组数据为7，2，5，x，8，它们的平均数是5，则这组数据的方差为（）
A．3B．4.5C．5.2D．6
7．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为（）
A．7
4
B．
7
5
C．
7
6
D．0
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+k与y=k
x（k为常数，且k≠0）的
图象大致是（）
A．B．
C．D．
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：
①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实
数）．其中结论正确的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…A n在x轴上，B1、B2、
B3…B n在直线y=√3
3x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…
S n．则S n可表示为（）
A．22n√3B．22n﹣1√3C．22n﹣2√3D．22n﹣3√3
二.填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：4ax2﹣4ax+a＝．
12．（3分）若关于x、y的二元一次方程组{x−3y=4m+3
x+5y=5的解满足x+y≤0，则m
的取值范围是．
13．（3分）一个圆锥的底面半径r＝5，高h＝10，则这个圆锥的侧面积是．14．（3分）在平面直角坐标系中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离公式
为：d=00
√A+B ，则点P（3，﹣3）到直线y=−
2
3x+
5
3的距离为．
15．（3分）如图，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，P点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为．
三.解答题（17～21题每题8分，22、23题每题10分，24题12分，共72分）17．（8分）先化简，再从﹣1、2、3、4中选一个合适的数作为x的值代入求值．
（
x2−2x
x2−4x+4
−
4
x−2
）÷
x−4
x2−4
18．（8分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）当DE＝DF时，求EF的长．
19．（8分）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分． 类别 A B C D E 类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲 人数
11
20
40
m
4
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）统计表中m 的值为 ，统计图中n 的值为 ，A 类对应扇形的圆心角为 度；
（2）该校共有1500名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱体育节目的学生人数；
（3）样本数据中最喜爱戏曲节目的有4人，其中仅有1名男生．从这4人中任选2名同学去观赏戏曲表演，请用树状图或列表求所选2名同学中有男生的概率．
20．（8分）已知关于x 的方程x 2﹣2x +2k ﹣1＝0有实数根． （1）求k 的取值范围；
（2）设方程的两根分别是x 1、x 2，且
x 2x 1
+
x 1x 2
=x 1•x 2，试求k 的值．
21．（8分）为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB ，他站在距离教学楼底部E 处6米远的地面C 处，测得宣传牌的底部B 的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D 处的仰角为30°（A 、B 、D 、E 在同一直线上）．然后，小明沿坡度i ＝1：1.5的斜坡从C 走到F 处，此时DF 正好与地面CE 平行．
（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；
（2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB（结果精确到0.1米，√2≈1.41，√3≈1.73）．
22．（10分）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O 于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证：E为△PAB的内心；
（3）若cos∠PAB=√10
10，BC＝1，求PO的长．
23．（10分）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
24．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB＝4，交y轴于点C，对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x＝1的对称点F正好落在BC 上，求点F的坐标；
（3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒．
①若△AOC与△BMN相似，请直接写出t的值；
②△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
2019年湖北省鄂州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2019的绝对值是（）
A．2019B．﹣2019C．
1
2019
D．−
1
2019
【解答】解：﹣2019的绝对值是：2019．
故选：A．
2．（3分）下列运算正确的是（）
A．a3•a2 ＝a6B．a7÷a3 ＝a4
C．（﹣3a）2 ＝﹣6a2D．（a﹣1）2＝a2 ﹣1
【解答】解：A、原式＝a5，不符合题意；
B、原式＝a4，符合题意；
C、原式＝9a2，不符合题意；
D、原式＝a2﹣2a+1，不符合题意，
故选：B．
3．（3分）据统计，2019年全国高考人数再次突破千万，高达1031万人．数据1031万用科学记数法可表示为（）
A．0.1031×106B．1.031×107C．1.031×108D．10.31×109【解答】解：将1031万用科学记数法可表示为1.031×107．
故选：B．
4．（3分）如图是由7个小正方体组合成的几何体，则其左视图为（）
A．B．
C．D．
【解答】解：从左面看易得其左视图为：
故选：A．
5．（3分）如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若∠2＝35°，则∠1的度数为（）
A．45°B．55°C．65°D．75°
【解答】解：如图，
作EF∥AB∥CD，
∴∠2＝∠AEF＝35°，∠1＝∠FEC，
∵∠AEC＝90°，
∴∠1＝90°﹣35°＝55°，
故选：B．
6．（3分）已知一组数据为7，2，5，x，8，它们的平均数是5，则这组数据的方差为（）
A．3B．4.5C．5.2D．6
【解答】解：∵一组数据7，2，5，x，8的平均数是5，
∴5=1
5（7+2+5+x+8），
∴x＝5×5﹣7﹣2﹣5﹣8＝3，
∴s2=15[（7﹣5）2+（2﹣5）2+（5﹣5）2+（3﹣5）2+（8﹣5）2]＝5.2，
故选：C．
7．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为（）
A．7
4
B．
7
5
C．
7
6
D．0
【解答】解：∵x1+x2＝4，
∴x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5，
∴x2=1 2，
把x2=1
2代入x
2﹣4x+m＝0得：（
1
2
）2﹣4×
1
2
+m＝0，
解得：m=7 4，
故选：A．
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+k与y=k
x（k为常数，且k≠0）的
图象大致是（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵函数y＝﹣x+k与y=k
x（k为常数，且k≠0），
∴当k＞0时，y＝﹣x+k经过第一、二、四象限，y=k
x经过第一、三象限，故选项
A、B错误，
当k＜0时，y＝﹣x+k经过第二、三、四象限，y=k
x经过第二、四象限，故选项C
正确，选项D错误，
故选：C．
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：
①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实
数）．其中结论正确的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴b＜0
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，①错误；
②当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，
∵−b
2a
=1，∴b＝﹣2a，
把b＝﹣2a代入a﹣b+c＞0中得3a+c＞0，所以②正确；
③当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，
∴a+c＜﹣b，
当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＜0，
∴a+c＞b，
∴|a+c|＜|b|
∴（a+c）2＜b2，即（a+c）2﹣b2＜0，所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝1时，函数的最小值为a+b+c，
∴a+b+c≤am2+mb+c，
即a+b≤m（am+b），所以④正确．
故选：C．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…A n在x轴上，B1、B2、
B3…B n在直线y=√3
3x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…
S n．则S n可表示为（）
A．22n√3B．22n﹣1√3C．22n﹣2√3D．22n﹣3√3
【解答】解：∵△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥A n B n，B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥B n A n+1，△A1B1A2、△
A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，
∵直线y=√3
3x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，
∴∠OB1A1＝30°，
∴OA1＝A1B1，
∵A1（1，0），
∴A1B1＝1，
同理∠OB2A2＝30°，…，∠OB n A n＝30°，
∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，B n A n＝2n﹣1，易得∠OB1A2＝90°，…，∠OB n A n+1＝90°，∴B1B2=√3，B2B3＝2√3，…，B n B n+1＝2n√3，
∴S1=1
2
×1×√3=√3
2，S2=
1
2
×2×2√3=2√3，…，S n=1
2
×2n﹣1×2n√3=
22n−3√3；
故选：D．
二.填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：4ax2﹣4ax+a＝a（2x﹣1）2．【解答】解：原式＝a（4x2﹣4x+1）＝a（2x﹣1）2，故答案为：a（2x﹣1）2
12．（3分）若关于x、y的二元一次方程组{x−3y=4m+3
x+5y=5的解满足x+y≤0，则m
的取值范围是m≤﹣2．
【解答】解：{x−3y=4m+3①x+5y=5②
，
①+②得2x+2y＝4m+8，
则x+y＝2m+4，
根据题意得2m+4≤0，
解得m≤﹣2．
故答案是：m≤﹣2．
13．（3分）一个圆锥的底面半径r＝5，高h＝10，则这个圆锥的侧面积是25√5π．
【解答】解：∵圆锥的底面半径r＝5，高h＝10，
∴圆锥的母线长为√52+102=5√5，
∴圆锥的侧面积为π×5√5×5=25√5π，
故答案为：25√5π．
14．（3分）在平面直角坐标系中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离公式
为：d=00
√A+B ，则点P（3，﹣3）到直线y=−
2
3x+
5
3的距离为
8
13
√13．
【解答】解：∵y=−2
3x+
5
3
∴2x+3y﹣5＝0
∴点P（3，﹣3）到直线y=−2
3x+
5
3的距离为：√22+32
=
8
13
√13，
故答案为：8
13
√13．
15．（3分）如图，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，P点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝2或2√3或2√7．
【解答】解：∵AO＝OB＝2，
∴当BP＝2时，∠APB＝90°，
当∠PAB＝90°时，∵∠AOP＝60°，
∴AP＝OA•tan∠AOP＝2√3，
∴BP=√AB2+AP2=2√7，
当∠PBA＝90°时，∵∠AOP＝60°，
∴BP＝OB•tan∠1＝2√3，
故答案为：2或2√3或2√7．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为16．
【解答】解：连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，
∵C（3，4），
∴OC=√32+42=5，
∵以点C为圆心的圆与y轴相切．
∴⊙C的半径为3，
∴OP＝OA＝OB＝8，
∵AB是直径，
∴∠APB＝90°，
∴AB长度的最大值为16，
故答案为16．
三.解答题（17～21题每题8分，22、23题每题10分，24题12分，共72分） 17．（8分）先化简，再从﹣1、2、3、4中选一个合适的数作为x 的值代入求值． （
x 2−2x x 2−4x+4
−
4x−2
）÷
x−4
x 2−4
【解答】解：原式＝[
x(x−2)(x−2)2
−
4x−2
]÷
x−4
x 2−4
＝[
x
x−2
−
4
x−2
]）÷
x−4
x 2−4
=x−4x−2•(x−2)(x+2)
x−4
＝x +2
∵x ﹣2≠0，x ﹣4≠0， ∴x ≠2且x ≠4， ∴当x ＝﹣1时， 原式＝﹣1+2＝1．
18．（8分）如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝6，点O 是对角线BD 的中点，过点O 的直线分别交AB 、CD 边于点E 、F ． （1）求证：四边形DEBF 是平行四边形； （2）当DE ＝DF 时，求EF 的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ， ∴∠DFO ＝∠BEO ，
又因为∠DOF ＝∠BOE ，OD ＝OB ， ∴△DOF ≌△BOE （ASA ）， ∴DF ＝BE ， 又因为DF ∥BE ，
∴四边形BEDF 是平行四边形；
（2）解：∵DE ＝DF ，四边形BEDF 是平行四边形 ∴四边形BEDF 是菱形， ∴DE ＝BE ，EF ⊥BD ，OE ＝OF ， 设AE ＝x ，则DE ＝BE ＝8﹣x
在Rt △ADE 中，根据勾股定理，有AE 2+AD 2＝DE 2 ∴x 2+62＝（8﹣x ）2， 解之得：x =7
4， ∴DE ＝8−7
4=254，
在Rt △ABD 中，根据勾股定理，有AB 2+AD 2＝BD 2 ∴BD =√62+82=10， ∴OD =12 BD ＝5，
在Rt △DOE 中，根据勾股定理，有DE 2 ﹣OD 2＝OE 2， ∴OE =√(25
4)2−52=15
4， ∴EF ＝2OE =152．
19．（8分）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
类别A B C D E
类型新闻体育动画娱乐戏曲
人数112040m4
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）统计表中m的值为25，统计图中n的值为25，A类对应扇形的圆心角为39.6度；
（2）该校共有1500名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱体育节目的学生人数；
（3）样本数据中最喜爱戏曲节目的有4人，其中仅有1名男生．从这4人中任选2名同学去观赏戏曲表演，请用树状图或列表求所选2名同学中有男生的概率．
【解答】解：（1）∵样本容量为20÷20%＝100，
∴m＝100﹣（11+20+40+4）＝25，n%=25
100
×100%＝25%，A类对应扇形的圆心角
为360°×11
100
=39.6°，
故答案为：25、25、39.6．
（2）1500×20
100
=300（人）
答：该校最喜爱体育节目的人数约有300人；（3）画树状图如下：
共有12种情况，所选2名同学中有男生的有6种结果， 所以所选2名同学中有男生的概率为1
2．
20．（8分）已知关于x 的方程x 2﹣2x +2k ﹣1＝0有实数根． （1）求k 的取值范围；
（2）设方程的两根分别是x 1、x 2，且
x 2x 1
+
x 1x 2
=x 1•x 2，试求k 的值．
【解答】（1）解：∵原方程有实数根， ∴b 2﹣4ac ≥0∴（﹣2）2﹣4（2k ﹣1）≥0 ∴k ≤1
（2）∵x 1，x 2是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得： x 1+x 2 ＝2，x 1 •x 2 ＝2k ﹣1 又∵
x 2x 1
+
x 1x 2
=x 1•x 2，
∴
x 12+x 2
2x 1⋅x 2
=x 1⋅x 2
∴（x 1+x 2）2﹣2x 1 x 2 ＝（x 1 •x 2）2 ∴22﹣2（2k ﹣1）＝（2k ﹣1）2 解之，得：k 1=√5
2
，k 2=−√5
2．经检验，都符合原分式方程的根
∵k ≤1 ∴k =−√5
2．
21．（8分）为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB ，他站在距离教学楼
底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度i＝1：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行．
（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；
（2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB（结果精确到0.1米，√2≈1.41，√3≈1.73）．
【解答】解：（1）过点F作FG⊥EC于G，
依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°；
∴四边形DEGF是矩形；
∴FG＝DE；
在Rt△CDE中，
DE＝CE•tan∠DCE；
＝6×tan30o＝2√3（米）；
∴点F到地面的距离为2√3米；
（2）∵斜坡CF的坡度为i＝1：1.5．
∴Rt△CFG中，CG＝1.5FG＝2√3×1.5＝3√3，
∴FD＝EG＝3√3+6．
在Rt△BCE中，
BE＝CE•tan∠BCE＝6×tan60o＝6√3．
∴AB＝AD+DE﹣BE．
＝3√3+6+2√3−6√3=6−√3≈4.3 （米）．
答：宣传牌的高度约为4.3米．
22．（10分）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O 于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证：E为△PAB的内心；
（3）若cos∠PAB=√10
10，BC＝1，求PO的长．
【解答】（1）证明：连结OB，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵AB⊥PO，
∴PO∥BC
∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C，
∴∠AOP＝∠POB，
在△AOP和△BOP中，
{
OA=OB
∠AOP=∠POB
PO=PO
，
∴△AOP≌△BOP（SAS），
∴∠OBP＝∠OAP，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠OBP＝90°，
∴PB是⊙O的切线；
（2）证明：连结AE，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAE+∠OAE＝90°，
∵AD⊥ED，
∴∠EAD+∠AED＝90°，
∵OE＝OA，
∴∠OAE＝∠AED，
∴∠PAE＝∠DAE，即EA平分∠PAD，
∵PA、PD为⊙O的切线，
∴PD平分∠APB
∴E为△PAB的内心；
（3）解：∵∠PAB+∠BAC＝90°，∠C+∠BAC＝90°，∴∠PAB＝∠C，
∴cos∠C＝cos∠PAB=√10 10，
在Rt△ABC中，cos∠C=BC
AC
=1
AC
=√10
10，
∴AC=√10，AO=√10 2，
∵△PAO∽△ABC，
∴PO
AC
=
AO
BC
，
∴PO=AO
BC
⋅AC=
√10
2
1
⋅√10=5．
23．（10分）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
【解答】解：（1）由题意可得：y＝100+5（80﹣x）整理得y＝﹣5x+500；
（2）由题意，得：
w＝（x﹣40）（﹣5x+500）
＝﹣5x2+700x﹣20000
＝﹣5（x﹣70）2+4500
∵a＝﹣5＜0∴w有最大值
即当x＝70时，w最大值＝4500
∴应降价80﹣70＝10（元）
答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；
（3）由题意，得：
﹣5（x﹣70）2+4500＝4220+200
解之，得：x1＝66，x2 ＝74，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝70，
∴当66≤x≤74时，符合该网店要求
而为了让顾客得到最大实惠，故x＝66
∴当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．24．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB＝4，交y轴于点C，对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x＝1的对称点F正好落在BC 上，求点F的坐标；
（3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒．
①若△AOC与△BMN相似，请直接写出t的值；
②△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1））∵点A 、B 关于直线x ＝1对称，AB ＝4，
∴A （﹣1，0），B （3，0），
代入y ＝﹣x 2+bx +c 中，得：{−9+3b +c =0−1−b +c =0，解得{b =2c =3，
∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3，
∴C 点坐标为（0，3）；
（2）设直线BC 的解析式为y ＝mx +n ，
则有：{n =33m +n =0，解得{m =−1n =3，
∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x +3，
∵点E 、F 关于直线x ＝1对称，
又E 到对称轴的距离为1，
∴EF ＝2，
∴F 点的横坐标为2，将x ＝2代入y ＝﹣x +3中，
得：y ＝﹣2+3＝1，
∴F （2，1）；
（3）①如下图，连接BC 交MN 于Q ，
MN＝﹣4t2+4t+3，MB＝3﹣2t，
△AOC与△BMN相似，则MB
MN
=
OA
OC
或
OC
OA
，
即：3−2t
−4t2+4t+3=3或
1
3
，
解得：t=3
2或−
1
3或3或1（舍去
3
2
、−
1
3、3），
故：t＝1；
②∵M（2t，0），MN⊥x轴，∴Q（2t，3﹣2t），∵△BOQ为等腰三角形，∴分三种情况讨论，
第一种，当OQ＝BQ时，
∵QM⊥OB
∴OM＝MB
∴2t＝3﹣2t
∴t=3 4；
第二种，当BO＝BQ时，在Rt△BMQ中∵∠OBQ＝45°，
∴BQ=√2BM，
∴BO=√2BM，
即3=√2(3−2t)，
∴t=6−3√2
4；
第三种，当OQ＝OB时，则点Q、C重合，此时t＝0而t＞0，故不符合题意
综上述，当t=3
4
秒或
6−3√2
4
秒时，△BOQ为等腰三角形．2019年湖北省黄冈市中考数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的4个选项中，有且只有一个答案是正确的）
1．（3分）﹣3的绝对值是（）
A．﹣3B．−1
3C．3D．±3
2．（3分）为纪念中华人民共和国成立70周年，我市各中小学积极开展了以“祖国在我心中”为主题的各类教育活动，全市约有550000名中小学生参加，其中数据550000用科学记数法表示为（）
A．5.5×106B．5.5×105C．55×104D．0.55×106 3．（3分）下列运算正确的是（）
A．a•a2＝a2B．5a•5b＝5ab C．a5÷a3＝a2D．2a+3b＝5ab 4．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两根，则x1•x2的值为（）A．﹣5B．5C．﹣4D．4
5．（3分）已知点A的坐标为（2，1），将点A向下平移4个单位长度，得到的点A′的坐标是（）
A．（6，1）B．（﹣2，1）C．（2，5）D．（2，﹣3）6．（3分）如图，是由棱长都相等的四个小正方体组成的几何体．该几何体的左视图是（）
A．B．C．D．
7．（3分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB
̂），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是AB
̂的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（）
A．25m B．24m C．30m D．60m
8．（3分）已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：林茂从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中x表示时间，y表示林茂离家的距离．依据图中的信息，下列说法错误的是（）
A．体育场离林茂家2.5km
B．体育场离文具店1km
C．林茂从体育场出发到文具店的平均速度是50m/min
D．林茂从文具店回家的平均速度是60m/min
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）计算（√3）2+1的结果是．
10．（3分）−1
2x
2y是次单项式．
11．（3分）分解因式3x2﹣27y2＝．
12．（3分）一组数据1，7，8，5，4的中位数是a，则a的值是．
13．（3分）如图，直线AB∥CD，直线EC分别与AB，CD相交于点A、点C，AD平分∠BAC，已知∠ACD＝80°，则∠DAC的度数为．
14．（3分）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为．
15．（3分）如图，一直线经过原点O，且与反比例函数y=k
x（k＞0）相交于点A、点
B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，连接BC．若△ABC面积为8，则k＝．
16．（3分）如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是．
三、解答题（本题共9题，满分72分）
17．（6分）先化简，再求值．
（5a+3b
a2−b2
+
8b
b2−a2
）÷
1
a2b+ab2
，其中a=√2，b＝1．
18．（6分）解不等式组{5x−1
6
+2＞x+54
2x+5≤3(5−x)
．
19．（6分）如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G．求证：BF﹣DG＝FG．
20．（7分）为了对学生进行革命传统教育，红旗中学开展了“清明节祭扫”活动．全校学生从学校同时出发，步行4000米到达烈士纪念馆．学校要求九（1）班提前到达目的地，做好活动的准备工作．行走过程中，九（1）班步行的平均速度是其他班的1.25倍，结果比其他班提前10分钟到达．分别求九（1）班、其他班步行的平均速度．
21．（8分）某校开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程．为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类），先将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图中“书画”、“戏曲”的空缺部分；
（3）若该校共有1200名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数；
（4）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，用树形图或列表法求处恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字幕A，B，C，D表示）
22．（7分）如图，两座建筑物的水平距离BC为40m，从A点测得D点的俯角α为45°，测得C点的俯角β为60°．求这两座建筑物AB，CD的高度．（结果保留小数点后一位，√2≈1.414，√3≈1.732．）
23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E，连接OE．
（1）求证：△DBE是等腰三角形；
（2）求证：△COE∽△CAB．
24．（10分）某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召，决定成立草莓产销合作社，负责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红．经市场调研发现，草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的关系如图所示（0≤x≤100）．已知草莓的产销投入总成本p（万元）与产量x（吨）之间满足p＝x+1．（1）直接写出草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式；
（2）求该合作社所获利润w（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式；
（3）为提高农民种植草莓的积极性，合作社决定按0.3万元/吨的标准奖励扶贫对象种植户，为确保合作社所获利润w′（万元）不低于55万元，产量至少要达到多少吨？
25．（14分）如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，2），B（﹣2，0），C（0，2），D（2，0）四点，动点M以每秒√2个单位长度的速度沿B→C→D运动（M不与点B、点D重合），设运动时间为t（秒）．
（1）求经过A、C、D三点的抛物线的解析式；
（2）点P在（1）中的抛物线上，当M为BC的中点时，若△PAM≌△PBM，求点P的坐标；
（3）当M在CD上运动时，如图②．过点M作MF⊥x轴，垂足为F，ME⊥AB，垂足为E．设矩形MEBF与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；
（4）点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交于点H，与y轴交于点K．是否存在点Q，使得△HOK为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
2019年湖北省黄冈市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的4个选项中，有且只有一个答案是正确的）
1．（3分）﹣3的绝对值是（）
A．﹣3B．−1
3C．3D．±3
【解答】解：﹣3的绝对值是3．
故选：C．
2．（3分）为纪念中华人民共和国成立70周年，我市各中小学积极开展了以“祖国在我心中”为主题的各类教育活动，全市约有550000名中小学生参加，其中数据550000用科学记数法表示为（）
A．5.5×106B．5.5×105C．55×104D．0.55×106
【解答】解：将550000用科学记数法表示为：5.5×105．
故选：B．
3．（3分）下列运算正确的是（）
A．a•a2＝a2B．5a•5b＝5ab C．a5÷a3＝a2D．2a+3b＝5ab 【解答】解：A、a•a2＝a3，故此选项错误；
B、5a•5b＝25ab，故此选项错误；
C、a5÷a3＝a2，正确；
D、2a+3b，无法计算，故此选项错误．
故选：C．
4．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两根，则x1•x2的值为（）A．﹣5B．5C．﹣4D．4
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两根，
∴x1•x2=c
a
=−5．
故选：A．
5．（3分）已知点A的坐标为（2，1），将点A向下平移4个单位长度，得到的点A′的坐标是（）
A．（6，1）B．（﹣2，1）C．（2，5）D．（2，﹣3）【解答】解：∵点A的坐标为（2，1），
∴将点A向下平移4个单位长度，得到的点A′的坐标是（2，﹣3），
故选：D．
6．（3分）如图，是由棱长都相等的四个小正方体组成的几何体．该几何体的左视图是（）
A．B．C．D．
【解答】解：该几何体的左视图只有一列，含有两个正方形．
故选：B．
7．（3分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB
̂），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是AB
̂的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（）
A．25m B．24m C．30m D．60m
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD＝DB＝20m，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，
解得：r＝25m，
∴这段弯路的半径为25m
故选：A．
8．（3分）已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：林茂从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中x表示时间，y表示林茂离家的距离．依据图中的信息，下列说法错误的是（）
A．体育场离林茂家2.5km
B．体育场离文具店1km
C．林茂从体育场出发到文具店的平均速度是50m/min
D．林茂从文具店回家的平均速度是60m/min
【解答】解：从图中可知：体育场离文具店的距离是：2.5﹣1.5＝1km＝1000m，所用时间是（45﹣30）＝15分钟，
∴体育场出发到文具店的平均速度=1000
15
=200
3m/min
故选：C．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）计算（√3）2+1的结果是4．【解答】解：原式＝3+1＝4．
故答案为：4．
10．（3分）−1
2x
2y是3次单项式．
【解答】解：∵单项式−1
2x
2y中所有字母指数的和＝2+1＝3，
∴此单项式的次数是3．
故答案为：3．
11．（3分）分解因式3x2﹣27y2＝3（x+3y）（x﹣3y）．
【解答】解：原式＝3（x2﹣9y2）＝3（x+3y）（x﹣3y），
故答案为：3（x+3y）（x﹣3y）
12．（3分）一组数据1，7，8，5，4的中位数是a，则a的值是5．【解答】解：先把原数据按从小到大排列：1，4，5，7，8，正中间的数5，
所以这组数据的中位数a的值是5．
故答案为：5．
13．（3分）如图，直线AB∥CD，直线EC分别与AB，CD相交于点A、点C，AD平分∠BAC，已知∠ACD＝80°，则∠DAC的度数为50°．
【解答】解：∵AB∥CD，∠ACD＝80°，
∴∠BAC＝100°，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=1
2∠BAC＝50°，
故答案为：50°．
14．（3分）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为4π．
【解答】解：扇形的弧长=120π×6
180
=4π，
∴圆锥的底面半径为4π÷2π＝2．∴面积为：4π，
故答案为：4π．
15．（3分）如图，一直线经过原点O，且与反比例函数y=k
x（k＞0）相交于点A、点
B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，连接BC．若△ABC面积为8，则k＝8．
【解答】解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，
∴A、B两点关于原点对称，
∴OA＝OB，
∴△BOC的面积＝△AOC的面积＝8÷2＝4，
又∵A是反比例函数y=k
x图象上的点，且AC⊥y轴于点C，
∴△AOC的面积=1
2|k|，
∴1
2
|k|＝4，
∵k＞0，
∴k＝8．
故答案为8．
16．（3分）如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是14．
【解答】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．∵∠CMD＝120°，
∴∠AMC+∠DMB＝60°，
∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，
∴∠A′MB′＝60°，
∵MA′＝MB′，
∴△A′MB′为等边三角形
∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝2+4+8＝14，
∴CD的最大值为14，
故答案为14．
三、解答题（本题共9题，满分72分）
17．（6分）先化简，再求值．
（5a+3b
a2−b2
+
8b
b2−a2
）÷
1
a2b+ab2
，其中a=√2，b＝1．
【解答】解：原式=5a+3b−8b
a2−b2
÷1
ab(a+b)
=5(a−b)
(a+b)(a−b)•ab（a+b）
＝5ab ，
当a =√2，b ＝1时，
原式＝5√2．
18．（6分）解不等式组{5x−16+2＞x+542x +5≤3(5−x)
． 【解答】解：{5x−16+2＞x+54①2x +5≤3(5−x)②
， 解①得：x ＞﹣1，
解②得：x ≤2，
则不等式组的解集是：﹣1＜x ≤2．
19．（6分）如图，ABCD 是正方形，E 是CD 边上任意一点，连接AE ，作BF ⊥AE ，
DG ⊥AE ，垂足分别为F ，G ．求证：BF ﹣DG ＝FG ．
【解答】证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB ＝AD ，∠DAB ＝90°，
∵BF ⊥AE ，DG ⊥AE ，
∴∠AFB ＝∠AGD ＝∠ADG +∠DAG ＝90°，
∵∠DAG +∠BAF ＝90°，
∴∠ADG ＝∠BAF ，
在△BAF 和△ADG 中，
∵{∠BAF =∠ADG ∠AFB =∠AGD AB =AD
，
∴△BAF ≌△ADG （AAS ）， ∴BF ＝AG ，AF ＝DG ， ∵AG ＝AF +FG ， ∴BF ＝AG ＝DG +FG ， ∴BF ﹣DG ＝FG ．
20．（7分）为了对学生进行革命传统教育，红旗中学开展了“清明节祭扫”活动．全校学生从学校同时出发，步行4000米到达烈士纪念馆．学校要求九（1）班提前到达目的地，做好活动的准备工作．行走过程中，九（1）班步行的平均速度是其他班的1.25倍，结果比其他班提前10分钟到达．分别求九（1）班、其他班步行的平均速度．
【解答】解：设其他班步行的平均速度为x 米/分，则九（1）班步行的平均速度为1.25x 米/分， 依题意，得：
4000x
−
40001.25x
=10，
解得：x ＝80，
经检验，x ＝80是原方程的解，且符合题意， ∴1.25x ＝100．
答：九（1）班步行的平均速度为100米/分，其他班步行的平均速度为80米/分． 21．（8分）某校开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程．为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类），先将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图中“书画”、“戏曲”的空缺部分；
（3）若该校共有1200名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数；
（4）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，用树形图或列表法求处恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字幕A，B，C，D表示）
【解答】解：（1）本次随机调查的学生人数为30÷15%＝200（人）；
（2）书画的人数为200×25%＝50（人），戏曲的人数为200﹣（50+80+30）＝40（人），
补全图形如下：
（3）估计全校学生选择“戏曲”类的人数约为1200×40
200
=240（人）；
（4）列表得：
A B C D
A A
B A
C AD
B BA B
C BD
C CA CB CD
D DA DB DC
∵共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的有2种结果，。