最新北师大版九年级数学上册第四章图形的相似小结与复习
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》知识点总结
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》知识点总结
一．比例线段：
1两条线段的比是 的比。
将“形”的问题转化为“数”的问题。
2.成比例线段：四条线段a,b,c,d 中，如果 ，那么这四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段。
比例线段是有顺序的，即a,b,c,d 是成比例线段，则是a:b=c:d
3.如果c
b b
a ，那么
b 叫做a 和
c 的比例中项； 4.比例的性质：
（1）基本性质：如果 ，那么 。
（）等比性质：如果 ，那么 5.平行线分线段成比例定理：
如图，321////l l l ，则可得比例式： DE//AB,则所得比例式：
6．黄金分割： 黄金比 二．相似三角形：
1.相似三角形的判定方法：
（1）两角对应 的两个三角形相似。
（2）两边对应 且 相等的两个三角形相似。
（3）三边 的两个三角形相似
2.相似三角形的性质：
3.位似图形：
4.位似图形有同向和 两种。
在坐标系中，图形上点的坐标都乘以k 时，得到的图形与原图形关于原点位似，且位似比是|k|.
5.判定两个三角形相似的常用步骤：
先通过已知，平行、对顶角、公共角等，看能否找到两对相等的角； 若只能找到一对相等的角，再分析夹这个角的两边是否成比例； 若找不到相等的角，就分析三边是否成比例。
5.常见的基本模型有 ：
D E F
1l 3
l 2
l m n
B A C。
2024-2025学年北师版初中数学九年级上册教案第四章图形的相似与整理4.3相似多边形
第四章图形的相似3 相似多边形教学目标教学反思1.了解相似多边形的定义，掌握相似多边形的性质.2.在探索相似多边形的性质时掌握类比的方法.3.体会相似多边形与相似三角形的区别与联系.教学重难点重点：相似多边形的判定.难点：两个多边形相似性质的简单应用.教学过程导入新课教师用多媒体出示几个图形，让学生找出形状相同的图形，并连线.然后教师提出问题形状相同的两个图形有什么样的关系？由这一问题来引入本节课要研究的课题.探究新知一、预习新知下图中的两个多边形分别是幻灯片上的多边形ABCDEF和银幕上的多边形A1B1C1D1E1F1.它们的形状相同吗？教学反思师：它们的形状相同吗？生：六边形ABCDEF和六边形A1B1C1D1E1F1形状相同.师：在上面的两个多边形中，是否有相等的内角？设法验证你的猜测.生：∠A与∠A1，∠B与∠B1，∠C与∠C1，∠D与∠D1，∠E与∠E1，∠F与∠F1分别对应相等.师：这样的角我们称为对应角，在上面的两个多边形中，夹相等内角的两边是否成比例？生：通过测量AB与A1B1，BC与B1C1，CD与C1D1，DE与D1E1，EF与E1F1，F A与F1A1的比相等.师：这样的边我们称为对应边.师：从上面的讨论结果来看，大家能否猜到相似多边形的定义呢？生：可以，各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.师：相似怎样表示呢？请同学们认真看书.生：六边形ABCDEF和六边形A1B1C1D1E1F1相似，记作六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1.师：相似多边形对应边的比叫做相似比，一般用字母k表示，“∽”读作“相似于”.在记两个多边形相似时，需要注意什么？生：要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.二、合作探究观察下面两组图形.（1）（2）师：（1）中的两个图形相似吗？生：（1）中的两个图形不相似.师：为什么？教学反思生：虽然这两个图形的对应边成比例，但是对应角不相等，所以这两个图形不相似.师：（2）中的两个图形相似吗？生：也不相似.师：这又是为什么呢？生：虽然这两个图形的对应角相等，但是对应边不成比例，所以这两个图形不相似.教师补充：两个多边形不相似，它们的对应角可能相等，如上面的（2）；两个多边形不相似，它们的对应边可能成比例，如上面的（1）.师：任意两个等边三角形相似吗？生：相似，因为它们的对应角都为60°，对应边成比例.师：任意两个正方形呢？生：也是相似的师：那任意两个正n边形呢？生：两个正n边形的对应角相等，对应边成比例，所以它们都是相似的.师：任意两个菱形相似吗？生：不一定相似师：为什么？生：虽然对应边成比例，但是菱形对应角不一定相等，所以不一定相似.巩固练习在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，下列四个矩形中与矩形ABCD相似的是()答案：A典型例题【例1】如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，求∠A的度数与x 的值．【问题探索】此题考查相似多边形的性质，如何用相似多边形的性质求∠A 的度数与x 的值？【解】由相似图形的性质，知∠A ＝∠A ′＝107°，4x ＝52，x ＝85.【总结】相似多边形的对应边成比例，对应角相等． 【例2】在宽为20 m ，长为30 m 的矩形花坛四周修筑小路．(1)如果四周的小路的宽均相等，都是x ，如图1，那么小路四周所围成的矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 相似吗？请说明理由；(2)如果相对着的两条小路的宽均相等，宽度分别为x ，y ，如图2，试问小路的宽x 与y 的比值为多少时，能使得小路四周所围成的矩形A′B ′C ′D ′和矩形ABCD 相似？请说明理由．图1 图2【问题探索】判断两个矩形是否相似要从边出发，求小路的宽x 与y的比值，要运用相似图形的性质．【解】(1)如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 不相似．理由：设四周的小路的宽为x m.30230x +＝1515x +，20220x +＝1010x+. ∵ 30230x +20220x+≠， ∴ 小路四周所围成的矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 不相似． (2)∵ 当20220y +＝30230x+时，小路四周所围成的矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 相似，解得xy＝32， 教学反思∴路的宽x与y的比值为3∶2时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似．【总结】相似多边形的对应边成比例，对应角相等，两个边数相同的多边形，如果各边对应边成比例，各角对应相等，那么它们就相似．课堂练习1.放大镜中的多边形与原多边形的关系是()A．形状不同，大小不同B．形状相同，大小相同C．形状相同，大小不同D．形状不同，大小相同2.给出下列命题：①所有的正方形都相似；①所有的矩形都相似；①所有的三角形都相似；①所有的等腰直角三角形都相似；①所有的正五边形都相似.其中，正确命题为()A.①①①B.①①①C.①①①D.①①①3.若△ABC①△A′B′C′，且AB︰A′B′=1∶2，则△ABC与△A′B′C′相似比是，△A′B′C′与△ABC的相似比是．4.如图，ABCD∽AEFB，且AB＝3 cm，BC＝6 cm.求AE的长.参考答案1.C2.C3.1224.解：∵ABCD∽AEFB，∴ABAE =BCEF.又∵AB＝3 cm，BC＝6 cm，EF＝AB＝3 cm，∴AE＝3×36=32.课堂小结(学生总结，老师点评)1.相似多边形的定义2.相似多边形的性质3.相似比的定义布置作业习题4.4第1题、第2题板书设计第四章图形的相似3 相似多边形1.相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.2.相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比.。
北师版初三数学上册第四章相似图形知识点讲解
九年级（上）第四章图形的相像(1)形态一样的图形叫相像图形，在相像多边形中，最简洁的是相像三角形.(2) 相像多边形：假如两个边数一样的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相像多 边形．相像多边形对应边长度的比叫做相像比．一．成比例线段（1）线段的比假如选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）成比例线段在四条线段d c b a ,,,中，假如b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有依次的，假如说a ,d c b ,,成比例，那么应得比例式为：b a =dc ． ②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项,假如b=c ，即 a b bd =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
③推断给定的四条线段是否成比例的方法：第一排：现将四条线段的长度统一单位，再按大小依次排列好；第二算:分别算出前两条线的长度之比与后两条线段的长度之比；第三判：若两个比相等，则这四条线段是成比例线段，否则不是（3）比例的性质（留意性质立的条件：分母不能为0） 根本性质：① a:b=c:d 则有 ad=bc （两外项之积等于两内向之积）；② ②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）合、分比性质：a c abcd b d b d ±±=⇔=． （4）等比性质：假如)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b an f d b m e c a =++++++++ ． 注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以削减未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③ 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． （4）比例题常用的方法有：比例合分比法，比例等比法，设参法，连等设k 法，消元法二，平行线分线段成比例（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 留意：是所截的线段成比例，而跟平行线无关，所以比例线段中不行能 有AD,BE,CF 的比例关系（2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即12AC BC AB AC == 简记为：长短＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
2022年北师版九上数学第四章《图形的相似》复习
第四章图形的相似复习【教学目标】知识与技能通过例题的讲解使学生进一步巩固相似三角形的概念、三角形相似的判定及相似三角形的性质等知识。
过程与方法：培养学生把课本上所学知识应用到实践中去的认识以及提高学生解决实际问题的能力。
培养学生将实际问题抽象成数学问题的思想方法。
情感、态度与价值观通过学习，养成严谨科学的学习品质。
【教学重难点】教学重点：通过例题的分析、研究，揭示应用相似三角形有关知识解题的规律。
教学难点：提高分析问题和解决问题的能力。
2、数学知识的综合运用。
【导学过程】【创设情景，引入新课】1、相似三角形的判定：1）相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
2）相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边（或其延长线）分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似。
3）判定定理：两角对应相等，两三角形相似。
4）判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
5）判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。
6）直角三角形相似的判定定理：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似。
2、相似形的性质：相似三角形除具有对应角相等、对应边成比例的性质外，还具有如下性质：（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
（2）相似三角形周长的比等于相似比。
（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
指出判定中第6个定理只适用于直角三角形相似的判定，而第1个相似三角形的定义因用起来较烦，因此平时不使用。
在性质中强调前提条件是相似。
【自主探究】1、判断题1）所有的等边三角形都相似 ( )2）所有的等腰直角三角形都相似 ( )3）所有的直角三角形都相似 ( )4）所有等腰三角形都相似 ( )5）有一个角是100°的两个等腰三角形相似 ( )6）有一个角是70°的两个等腰三角形相似 ( )7）如果两个三角形周长之比是1∶2，那么它的面积之比为1∶4( )8）若两等腰三角形面积之比为9∶25，则它的底边之比为3∶5( )2、填空1）已知两个相似三角形的对应角平分线的比是1∶4，则对应高的比为_____，面积的比为_____。
新北师大数学九年级上册课件：第四章 图形的相似小结与复习
E
B
C
4. 如图，在 □ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE : EC
=1 : 2，连接 AE 交 BD 于点 F，则 △BFE 的面积 与 △DFA 的面积之比为 1 : 9 .
你还有其他 方法吗？
针对训练 如图，小明同学跳起来把一个排球打在离地 2 m
远的地上，然后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的 高度是 1.8 m，排球落地点离墙的距离是 6 m，假设 球一直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？
∴ BC EF ，即 BC 2 ， CD GE 3.6 1.2
∴ BC＝6m. 在 Rt△ABC 中， ∵ ∠A＝30°， ∴ AB＝2BC＝12 m， 即树长 AB 是 12 m.
3.6m
2m 1.2m
例4 星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们 来到 1928 年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立 的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？”请 你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高 度 (画出示意图)，并说明理由．
A
M
E
D
∴CD＝2，AD＝4，
B
MD＝1.
CF
在 Rt△BDM 中，BM 62 32 3 3 ，
BD BM 2 MD2 2 7 ， 由(1) △ABD ∽△CED得，
BD AD，即 2 7 2，
ED CD
ED
∴ ED 7，BE BD E
CF
针对训练
1．如图所示,当满足下列条件之一时，都可判定
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》单元复习课件
ab cd bd
ac bd
4.若线段MN=10，点K为MN的黄金分割点，则KM的长
为
.
5.如图，在△ABC中，已知DE//BC，AD=3BD，S△ABC=48，
求S△ADE.
解：∵ DE∥BC,
A
3 D 1 B
∴△ADE∽△ABC.
∴S△ABC : S△ADE =
E
∵AD : BD = 1：3,
解：过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，
则EH＝AG＝CD＝1.2 m，
DH＝CE＝0.8 m，DG＝CA＝30 m．
因为EF和AB都垂直于地面，所以EF∥AB，
所以∠BGD=∠FHD=90°,∠GBD=∠HFD，
所以△BDG∽△FDH．
所以
FH BG
DH DG
.
由题意，知
FH＝EF－EH＝1.7－1.2＝0.5（m）． ∴ 0.5 0.8 , 解得BG＝18.75（m）．
DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你
的理由.
解：公路 AB 与 CD 平行.
∴
AB BD
AD BC
=
BD DC
=
2， 3
A
28
∴ △ABD∽△BDC， ∴∠ABD=∠BDC，
14 B
D
31.5 21
42
C
∴AB∥DC.
课后练习
1. 如图，△ABC 的高 AD、BE 交于点 F． 求证：AF EF . BF FD
解：∵ DE∥BC，EF∥AB，∴ △ADE ∽△ABC，
∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF，
D
∴△ADE ∽△EFC.
第四章 图形的相似(单元小结)九年级数学上册(北师大版)
8.如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角
形，且△ACP∽△PDB，求∠APB的度数.
解 ∵△ACP∽△PDB
∴∠A=∠BPD，∠B=∠APC
P
∵∠CPD+2∠BPD+2∠APC=180°
且∠CPD=60°
AC D
B
∴2∠BPD+2∠APC=120°
∴∠BPD+∠APC=60°
∴ ∠APB=∠BPD+∠APC+∠CPD =120°
x = 1.6
2x+12 9.6
Ax
解得：x = 3 m
∴两个路灯之间的距离是18 m
1.6 P 12
9.6 Qx B
考点专练
（2）当王华走到路灯B时，他在路灯A下的影长是多少？
解： 设他的影子长为 x m，则由题得：
x 18+x
=
1.6 9.6
解得 x = 3.6 m
9.6
∴他的影子长为 3.6 m
；
(3)
AD AC AC AB
或 AC2 = AD ·AB .
考点专练
3. △ABC 的三边长分别为 5，12，13，与它相似的 △DEF 的最小边长为 15，则 △DEF 的其他两条边长 为 36 和 39 ．
4. 如图，△ABC 中，AB=9，AC=6，点 E 在 AB 上且 AE=3，点 F 在 AC 上，连接 EF，若 △AEF与 △ABC 相似，则 AF = 2 或 4.5 .
考点专练
5. 如图，DE∥AB，CE = 3BE，则 △ABC 与 △DEC
是以点 C 为位似中心的位似图形，其位似比 为 4 : 3 ，面积比为 16 : 9 .
北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似 小结与复习
△DEF 的最小边长为 15，则 △DEF 的其他两条边长
为 36 和 39 ．
3. 如图，△ABC 中，AB = 9，AC = 6，点 E 在 AB 上
且 AE = 3，点 F 在 AC 上，连接 EF，若 △AEF 与
△ABC 相似，则 AF = 2 或 4.5 .
A
E
B
C
4. 如图，在 □ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE : EC
解：作 BM⊥AC 于点 M.
A
∵ AC＝AB＝6，∴ AM＝CM＝3. ∵ AD ＝ 2CD，∴CD＝2，AD＝4，
M
E
MD＝1. 在Rt△ABM和Rt△BDM中，
D
BM 62 32 3 3 ，
B
CF
BD BM 2 MD2 2 7 . 由(1) △ABD ∽△CED得，
BD ED
AD CD
A
1.8 m
B 2 mO
6m D
解：∵∠ABO = ∠CDO = 90°，∠AOB = ∠COD，
∴△AOB ∽ △COD.
∴ AB BO ，即 1.8 2 .
C
CD DO
CD 6
解得 CD = 5.4 m.
故球能碰到墙面
A
离地 5.4 m 高的 1.8 m
地方．
B 2 mO
6m D
考点三 位似的性质及应用
A(A')
A A'
C' C
7. 如图，DE∥AB，CE = 3BE，则 △ABC 与 △DEC
是以点 C 为位似中心的位似图形，其相似比为
4 : 3 ，面积比为16 : 9 .
A D
8. 在平面直角坐标系中，
北师大版九年级上第四章相似三角形复习课件
6. 四边形ABCD是平行四边形,点E是 BC的延长线 上的一点,而CE:BC=1:3,则 △ADG和△EBG的周 长比3：4 ， 9：16 为面积比。
A
D
GF
B
CE
7. 举例说明三角形类似的一些应用． 例如用类似测物体的高度
测山高
测楼高
D
E 1.2m
A 1.6m B 8.4m C
8. 如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝ 80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两 个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
3.如图,DE∥BC,AD:DB=1:2,DC,BE交于点O, 则△DOE与△BOC的周长之比是__1_:_3___, 面积比是___1_:_9___.
A
D
E
O
B
C
4、 两类似三角形对应高之比为3∶4，周长之和为28cm， 则两个三角形周长分别为 12cm与16cm
5、 两类似三角形的类似比为3∶5，它们的面积和为 102cm2，则较大三角形的面积为 75cm2
C2
A
C
B
A2
C1 B2
A
A1 B1
C
B
4、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6， BC=12,点P从A点出发向B以1m/s的速度移动，点Q 从B点出发向C点以2m/s的速度移动，如果P、Q分别 从A、B两地同时出发，几秒后△ PBQ与原三角形类 似？
C
Q Q
B PP A
学以致用：
5.如图⊿ABC中，AB=8cm，BC=16cm ，点P从A点开始沿AB边向点B以2cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向 点C以4cm/s的速度移动。若点P、Q从A 、B处同时出发，经过几秒钟后， ⊿PBQ与⊿ABC类似？
北师大版九年级上册第四章图形相似章节复习
北师大版九年级上册第四章图形的相似章节复习图形的相似学员姓名：初三小组二班课时：2 授课时间：相似三角形的判定、性质及运用相似知识解决实际问题；学习目标图形的位似知识点梳理考点1：比例线段的概念方法点拨a m〔1〕如果选用同一单位量得两条线段a,b的长度分别为m,n，那么就说这两条线段的比是，或写成a:b m:n．注：b n在求线段比时，线段单位要统一。
〔2〕在四条线段a,b,c,d中，如果a和b的比等于c和d的比，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说ab d是b,c,d的第四比例项，那么应得比例式为：．②a cc aa、d叫比例外项，b、c叫比例内项,a、c叫比例前项，b、d叫比例后项，d叫第四比在比例式(a：b c：d)中，b d例项，如果b=c，即a：b b：d那么b叫做a、d的比例中项，此时有b2ad。
例1：以下四组线段中，不成比例线段的是〔〕A．2cm，5cm，10cm，25cm B．4cm，7cm，4cm，7cmC．2cm，cm，cm，4cm D．cm，cm，2cm，5cm 变式1-1：以下a、b、c、d四条线段，成比例线段的是〔〕A．a＝12，b＝4，c＝5，d＝12B．a＝15，b＝3，c＝5，d＝1C．a＝13，b＝2，c＝8，d＝12D．a＝5，b＝，c＝，d＝变式1-2：如果a：b＝3：2，且b 是a、c的比例中项，那么b：c等于〔〕A．4：3B．3：4C．2：3D．3：2变式1-3：甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是〔〕A．B．8cm C．80cm D．800cm．考点2：黄金分割方法点拨1/6黄金分割：把线段AB分成两条线段AC,BC(AC BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，即AC2AB BC，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC51AB≈AB．即ACBC51简2AB AC2记为：长＝短＝51全长2注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
北师版初三数学上册第四章相似图形知识点讲解
九年级（上）第四章图形的相似(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)相似多边形：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比．一．成比例线段（1）线段的比如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nm b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）成比例线段在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a ,d c b ,,成比例，那么应得比例式为：b a =dc ． ②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项,如果b=c ，即a b bd =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项，此时有2b ad =。
③判断给定的四条线段是否成比例的方法：第一排：现将四条线段的长度统一单位，再按大小顺序排列好；第二算:分别算出前两条线的长度之比与后两条线段的长度之比；第三判：若两个比相等，则这四条线段是成比例线段，否则不是（3）比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）基本性质：① a:b=c:d 则有ad=bc （两外项之积等于两内向之积）；② ②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2）更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）合、分比性质：a c a b c db d b d±±=⇔=．（4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ，那么ban f d b m e c a =++++++++ ．注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③ 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． （4）比例题常用的方法有：比例合分比法，比例等比法，设参法，连等设k 法，消元法二，平行线分线段成比例（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 注意：是所截的线段成比例，而跟平行线无关，所以比例线段中不可能 有AD,BE,CF 的比例关系 （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是AB 和2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即AC BC AB AC ==简记为：12长短＝＝全长 注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
北师大版数学九年级上册第四单元图形的相似单元复习课件
（1） 求 的值；
（2） 求 的长.
（1） 求 的值；
解： , . .
（2） 求 的长.
[答案] 如图，过点 作 ，交 的延长线于点 .
， ， . . 是 的中线，
A
A. B. C. D.
3.如图，点 ， 在 的边 上，点 在边 上，且 ， .
（1） 求证： .
（2） 如果 ，求证： .
（1） 求证： .
证明： ， . , . . .
（2） 如果 ，求证： .
[答案] ， . ， .又 ， . . ， . . .
6.如图，在 中， ， ，则图中类似三角形有( )
C
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
Ⅳ.“旋转型”
7.如图，在 和 中， ， .
（1） 写出图中两对类似三角形（不得添加字母和线）；
（2） 请说明其中一对三角形类似的理由.
（1） 写出图中两对类似三角形（不得添加字母和线）；
Ⅱ.斜“A字形”（不平行）
4.如图， ， 两点分别在 的边 ， 上， 与 不平行.当添加条件_______________（写出一个即可）时， ．
如
5.如图，在 中， ， ， ．某一时刻，动点 从点 出发沿 方向以 的速度向点 匀速运动；同时，动点 从点
Ⅱ.反“8字形”（不平行）
9.如图，在 中， 平分 交 于点 ，点 在 的延长线上，且 .
（1） 求证： .
（2） 求证： .
（1） 求证： .
证明： 平分 ， . , . .
（2） 求证： .
[答案] ， . ， .又 ， . ，即 .
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典例精析
、
（-1，2）
A （ 1.如图,在边长为1的小正方形网格纸中 1 4，0） △OAB的顶点O、A、B均在格点上,且O （-2，0） 是直角坐标系的原点,点A在x轴上. (1)以O为位似中心,将△ OAB放大,使得 （ 2，-4） B 放大后的△ OA1B1与△ OAB的相似比为 1 2,画出△ OA1B1.(所画△ OA1B1与△ 解题小结 OAB在原点两侧). (2)写出A1、B1的坐标. 位似中心在连接两个对应点的线段(或延长线)上. 任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似 比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k(在原点的同侧)或 -k(在原点的异侧).
相似三角形的判定
平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线) 相交,所构成的三角形与原三角形相似.
知识回顾
5.如图,P是△ABC中AB边上的一点,要使△ACP和 △ABC相似,则需添加一个条件:_______________ ∠ACP=∠B; 2=AP· 或∠ APC = ∠ ACB ; 或 AP : AC = AC : AB ( 即 A C AB) _____________________________________________.
A
解：作DE⊥AB于E, ∴△ADE∽△EGF.
E 1 6.4 C 1.5 F
？ E B
D
1.2 易错之处:物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分
解得AE=8. G ∴AB=8+1=9 m.
AE 1 5 ∴ 6 4 1 2
小明想利用影长测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.5 m， 其影长为1.2 m，测量教学楼旁的一棵大树影长，因大树靠近 教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4 m，墙上影长为1 m，那么这棵大树多高? A
A
E
B
D
C
y 4 x x 4 A E 1 2 1 1 2 2 ∴ y ( x 4 x) [( x 2) 4] ( x 2) 1 4 4 4
所以当x =2时， y 有最大值， y的最大值为1. 解题小结
解：由（1）△ ADE∽△BEF， AD=4，BE=4-x，得
B
解（1）假设存在这样的点P，使△ABP∽△CDP 则有AB:CD=PB:PD 设PD=x，则PB=14―x， ∴6：4=（14―x）:x
∴x=5.6
A
C
6
B
4
D
x
p P 14―x
（2）假设存在这样的点P,使△ABP∽△PDC,则 则有AB:PD=PB:CD 设PD=x，则PB=14―x， ∴6： x =（14―x）: 4
A
．
B
．
C
．
D
．
巩固练习
4.如图，在Rt△ABC内有边长分别为 a、b、c的三个正方形．则a、b、c满足 的关系式是（A ） A. b=a+c B．b=ac C．b2=a2+c2 D．b=2a=2c
巩固练习
5.如图：小明想测量一颗大树AB的高度，发现树的 影子恰好落在地面BC上和土坡的坡面CD上 ，测得 BC=10 m, CD=4 m，CD与地面成30°角，同时测 得1 m标杆的影长为2 m，那么树的高度是多少？
D
C
2.如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点， EF⊥DE交BC于点F． 求证: △ADE∽△BEF；
F
解题小结 证明：（1）∵四边形ABCD是正 方形， 证三角形相似的方法有多种,应根 ∴∠DAE=∠FBE=90°， 据已知条件合理选用. ∴∠ADE+∠DEA=90°. 在垂直的条件较多时，经常用到 又EF⊥DE， 同角或等角的余角相等。 ∴∠DEA+∠FEB=90°， ∴∠ADE=∠FEB， ∴△ADE∽△BEF .
F B
3.小明想利用影长测量树高.把长为2.4 m的标杆CD 直立在地面上，此时量出标杆的影长为1.6 m，树的影 长为2.8 m,求树高AB是多少？你能解决这个问题吗？ A
C
2.4
E 1.6 D
F 2.8 B
典例精析
解:太阳光是平行光线,因此
A
∠ CED=∠AFB,
又∠CDE=∠ABF=90°, ∴△CDE∽△ABF.
∴x=2或x=12
∴x=2或x=12或x=5.6时，以C、D、P为顶点的三 角形与以P、B、A为顶点的三角形相似
C
CD DE ∴ AB BF 24 1 6 即 AB 2 8
解得AB=4.2 , 因此树高4.2 m.
E
D F
B
解题小结
实际 问题
建立相似三 角形模型 利用对应边的 比相等求解
数学 问题
典例精析
小明想利用影长测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.5 m， 其影长为1.2 m，测量教学楼旁的一棵大树影长，因大树靠近 教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4 m，墙上影长为1 m，那么这棵大树多高?
？ D B 6.4 C H 1
E 1.5 F 1.2 G
易错之处:物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分
巩固练习
1.图中的两个三角形是位似图形，它 们的位似中心是（ A ） A．点P B．点O C．点M D.点N
O
P M N
2．已知△ABC 与△DEF 相似比为3，且△ABC 的周长 为18，则△DEF 的周长为（ C ） A．2 B．3 C．6 D．54 3.下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ B ）
知识回顾
4.如图，E是□ABCD的边BA延长线上 一点，连接EC，交AD于F．在不添加 辅助线的情况下，图中相似三角形有: △EAF∽△EBC ; △EAF∽△CDF ; ________________________________
E
A B F D C
△EBC∽△CDF _________________.
北师大版九年级数学上册
图形的相似
小结与复习
知识回顾
1. 下列各组图中的两个图形相似的是（ C ）
A
B
C
D
相似图形的定义
形状相同的图形叫做相似图形.
知识回顾
2.如图，四边形ABCD与EFGH相似，则∠α ＝ H 20 cm _____, EH＝_______. 85°∠β ＝_____, 80°
10 cm x
点 E
移 合 到 A 与 点
D B
C
C
知识回顾
6.下列每幅图中的两个图形不是位似图形的是( D )
E B O C F A D
A
C
B
位似图形的定义和性质
如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互 相平行,像这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心. 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
A
相似三角形的判定
两角分别相等的两个三角形相似.
B P C
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. 三组对应成比例的两个三角形相似.
知识回顾
A D
相似三角形基本图形
E E A C E C 重 △ADE绕点A 旋转 B B E A C A ∠ACB=Rt∠ CD⊥AB B D D A D
C
B D
B
A
E B C
D F
3、如图，已知：AB⊥DB于点B ，CD⊥DB于点 D，AB=6，CD=4，BD=14. 问：在DB上是否存在P点，使以C、D、P为顶点 的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如 果存在，计算出点P的位置；如果不存在，请说 明理由。
A C
4
D
6 14
B
A C
4
D
6 x P 14―x
D β E
16 cm
A
8 cm 75°
120°
85°
B 相似多边形的性质
C
F
α
G
相似多边形的对应角相等,对应边的比相等. 相似多边形对应边的比叫做相似比. （相似比与叙述的顺序有关）.
知识回顾
3.两个相似三角形的对应中线的比为1:2,则它们的周长 1:2 面积比为______. 1:4 比为_____, 相似三角形(多边形)的性质 （1）相似三角形(多边形)周长的比等于相似比. （2）相似三角形(多边形)面积的比等于相似比的平方. （3）相似三角形(多边形)的对应边上的高、对应中线、 对应角平分线的比等于相似比.