第9讲-有限体积法1
有限体积法 中科大
有限体积法（Finite Volume Method，FVM）是一种数值计算方法，广泛应用于解决流体动力学、热传导等物理现象的偏微分方程。
它将求解域划分为有限数量的控制体积，然后通过对控制体积应用质量、动量、能量守恒等物理原理，将偏微分方程转化为代数方程组，最终用数值方法求解。
有限体积法的基本思想包括以下几个步骤：
1.离散化：将求解域划分为有限数量的控制体积，这些体积通常是规则的立方体或六
面体。
2.建立守恒方程：对每个控制体积应用守恒方程，例如质量守恒、动量守恒、能量守
恒等。
这通常涉及将偏微分方程转化为积分形式。
3.积分：对守恒方程进行积分，将守恒方程应用于控制体积的表面，得到在体积上的
积分方程。
4.离散化方程：将积分方程离散化，将连续域上的方程转化为离散的代数方程。
5.求解代数方程组：利用数值方法求解得到的代数方程组，通常采用迭代方法或直接
求解方法。
6.结果后处理：根据求解得到的数值解进行后处理，如可视化、数据分析等。
有限体积法的优势在于其能够自然地处理复杂的几何形状、多相流体、非结构网格等问题。
它在计算流体动力学、热传导、固体力学等领域有着广泛的应用。
有限体积法介绍
有限体积法介绍有限体积法1 有限体积法基本原理上⼀章讲到的有限差分法将数值⽹格的节点上定义为计算节点，并在⽹格节点上对微分形式的流体基本⽅程进⾏离散，⽤⽹格节点上的物理量的代数⽅程作为原PDE 的近似。
在本章所要学习的有限体积法则采⽤了不同的离散形式。
⾸先，有限体积法离散的是积分形式的流体⼒学基本⽅程：d q ds ds SSΩΩ+??Γ=?φφρφn n v(1)计算域⽤数值⽹格划分成若⼲⼩控制体。
和有限差分法不同的是，有限体积法的⽹格定义了控制体的边界，⽽不是计算节点。
有限体积法的计算节点定义在⼩控制体内部。
⼀般有限体积法的计算节点有两种定义⽅法，⼀种是将⽹格节点定义在控制体的中⼼，另⼀种⽅法中，相邻两个控制体的计算节点到公共边界的距离相等。
第⼀种⽅法的优点在于⽤计算节点的值作为控制体上物理量的平均值具有⼆阶的精度；第⼆种⽅法的好处是在控制体边界上的中⼼差分格式具有较⾼的精度。
积分形式的守恒⽅程在⼩控制体和计算域上都是成⽴的。
为了获得每⼀个控制体上的代数⽅程，⾯积分和体积分需要⽤求⾯积公式来近似。
2 ⾯积分的近似采⽤结构化⽹格，在⼆维情况下，每⼀个控制体有4个⾯，⼆维情况，每⼀个控制体有6个表⾯。
计算节点⽤⼤写字母表⽰，控制体边界和节点⽤⼩写字母表⽰。
为了保证守恒性，控制体不能重叠，每⼀个⾯都是相邻两个控制体的唯⼀公共边界。
控制体边界上的积分等于控制体个表⾯的积分的和：∑??=kkfds fdS(2)上式中，f 可以表⽰n u ρφ或nΓφ。
显然，为了获得边界上的积分，必须知道f 在边界上的详细分布情况，这是不可能实现的，由于只是计算节点上的函数值，因此必须采⽤近似的⽅法来计算积分。
整个近似过程分成两步第⼀步：⽤边界上⼏个点的近似积分公式第⼆步：边界点上的函数值⽤计算节点函数值的插值函数近似⾯积分可采⽤以下不同精度的积分公式：⼆阶精度积分：e e e e S e Sf S f fds F e≈==?(3)上式中e f 为边界中点出的函数值。
计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法138页PPT
3
qnt Anqn RHnS x
迭代收敛后q趋于0， 精度由右端项决定
qnt[A (A)qn]RH n S x
可是，A有正有负，无法单侧 差分化
强行单侧差分会不稳定的
t/x
q n j(A jq n j A j 1 q n j 1 A j 1 q n j 1 A jq n j) Rn H还S 是个三对角的
6
u f (u) 0 t x
积分（精确）
ujn1ujn fˆjn1/2fˆjn1/2 0
t
x
积分方程
离散化
ujn
1 x
xj1/2un(x)dx
xj1/2
ujn un(x)
重构（Reconstruction)
fˆn j1/2
1 t
tj1/2
tj1/2 fj1/2(x)dt
un(x) fˆjn 1/2 1t ttj j 11 //22fj1/2(x)dt反演（evolution)
有限体积法主要优势： 处理复杂网格
差分法处理复杂外形 —— 坐标变换
x x( , , )
y
y (
, ,
)
z z ( , , )
U tˆ fˆ1 f ˆ2 fˆ3 V ˆ1 V ˆ2 V ˆ3
fˆ1J1(xf1yf2zf3)
J1 (x, y, z) (,, )
坐标变换函数必须足够光滑—— 否则损失精度
1
5. 隐格式求解的LU-SGS方法
要点： a. 引入差量，方程线性化 b. 单边差分，隐式代数方程显式（推进）化
u f (u) 0 t x
以一维为例，多维可直接推广
方法1：直接隐式离散
方法2
直接 un j1un j
有限体积法介绍
?SfdS???fds kSk(2)
上式中，f可以表示??un或???。 ?n
1
有限体积法
1 有限体积法基本原理
上一章讲到的有限差分法将数值网格的节点上定义为计算节点，并在网格节点上对微分形式的流体基本方程进行离散，用网格节点上的物理量的代数方程作为原PDE的近似。 在本章所要学习的有限体积法则采用了不同的离散形式。首先，有限体积法离散的是积分形式的流体力学基本方程：
???v?nds???n???ds??SS?q?d?? 算域上都是成立的。为了获得每一个控制体上的代数方程，面积分和体积分需要用求面积公式来近似。
2 面积分的近似
采用结构化网格，在二维情况下，每一个控制体有4个面，二维情况，每一个控制体有6个表面。计算节点用大写字母表示，控制体边界和节点用小写字母表示。为了保证守恒性，控制体不能重叠，每一个面都是相邻两个控制体的唯一公共边界。 控制体边界上的积分等于控制体个表面的积分的和：
有限体积法1
P=
ρuδx = F/D 为 Peclet 数，代表了对流项与扩散项之间 Γ
的比值。 显然有 A(0) =1，A(∞) = 0。
16
◆函数 A 可用较简单的逼近式――乘方律公式
(1 − 0.1 P A( P ) = 0
)
5
P ≤ 10 P ≥ 10
当∣P∣> 10 时扩散项可以不计。 其他逼近式 中心差分格式：相当于取 A(|P|)=1－0.5 |P| 迎风格式（逆风格式） ：相当于取 A(|P|)=1 混合格式：取 A(|P|)=max( 0, 1－0.5 |P| )
是单位时间内通过垂直于 xi 轴的单位面积的该物理量的大小。
2
对流项 ρui φ = 随流动输移的物理量通量， 其方向取决于流 动方向，下游对上游没有影响。 扩散项 − Γ
∂φ =物理量由于粘性、分子扩散或紊动等原因 ∂x i
而产生的扩散通量，其方向指向φ小的一侧。Γ为扩散系数， 与动力粘性系数μ具有同样的量纲。
3
将通量式代入控制方程中得: 物理量在流体中随流输移和扩散过程通用形式基本微分方程
∂ ∂ρφ ∂ (ρu j φ) = + ∂x j ∂x j ∂t ∂φ Γ ∂x j +S
例 1：当物理量为流体自身质量时，φ=1，Γ= 0,S = 0（不 存在质量源项时） ，得到连续性方程
(不可压缩流体ρP0 =ρ = 常数；恒定问题，aP0 = 0。)
22
2．边界条件的处理 出、入流边界（有法向流速分量） ， 固体边界和没有法向流速分量的水域边界， 等。
23
(1)
入流边界的φ值应该给定。
φB = φ
作为边界点 B 点的方程。 (2) 出流边界结点:可以同内部结点一样建立离散方程， 而不必特地给定边界条件。
有限体积法
有限体积法一、基本概念有限体积法是西方物理学家威廉.波音（William Bonynge）1890年提出的一种数值求解的方法，它的基本思想是：体积的变化量等于速度与时间（或位移）的变化量的乘积，可用该方法将求解所需要的复杂积分运算完全转化为一系列可以进行迭代计算的一阶微分方程组或其它形式的差分方程组，从而达到精确求解物理量的目的。
因此，定积分是有效控制精度的唯一手段，具有定积分法所不具有的稳定性和可逆性，因而有限体积法被广泛应用于气象、流体动力学和计算力学领域。
二、理论原理有限体积法的原理是基于一个体积的时间变化：一定体积的运动元件在时间上的体积变化为它的速度变化和位移变化的乘积。
这个变化的积分就是这个体积的变化量。
运用积分的方法，可以求出速度和位移变化总量。
在求解有限体积法时，应遵循以下步骤：（1）准备数据：确定当前体积元件的大小，位置，特性等，也可以准备一些较为精确的拟合值；（2）定义 size variable：对于每个体积元件，用大小变量x来进行描述；（3）定义变量系数：假定每个体积元件有一定的变量系数a来描述其变化量；（4）建立方程：根据上述步骤求出的变量系数a就可以构建积分的代数形式；（5）求值：根据构建的形式可以求解体积的变量系数a，以此来计算出体积变化量。
三、应用有限体积法应用广泛，在流体动力学，气象与空间等诸多领域中得到广泛应用。
有限体积法主要应用于数值计算中，用来求解涡流的发生、动态行为，以及特殊物理量的计算等。
有限体积法主要用来求解涡流问题，它能够对流动过程中的细节进行描述，问题的解决也比较精确。
由于有限体积法有较好的精度、可逆性和可靠性，因而在研究空气流动中用到比较多。
例如，汽车动力学领域中用来分析汽车机车旋转力矩、操纵力、起飞阻力等特性，以及舰船水车结构设计时等。
有限体积法在气象中也得到应用，例如预报气象，探测天气现象的发展趋势以及其影响。
此外，有限体积法也可以用于地性质、物理数学模型、生物物理过程中的求解，用来处理水库沿岸的地质、物理状况，以及景观的改变和积水的形成等问题。
计算流体力学中的有限体积法
计算流体力学中的有限体积法有限体积法（FVM）是计算流体力学（CFD）中常用的数值方法之一，用于求解流体力学方程。
它将求解域划分为离散的有限体积，通过对这些体积进行积分，将偏微分方程转化为代数方程，从而得到离散的数值解。
有限体积法的基本思想是将求解域划分为互不相交的有限体积单元，每个体积单元都包含一个中心点和一个相对应的体积。
在每个体积单元内，通过对流体力学方程进行积分，可以得到一个代表该体积单元平均值的代数方程。
这些代数方程连成一个线性方程组，通过求解这个方程组可以得到流场的数值解。
在FVM中，主要有三个关键步骤：离散化、积分和求解。
离散化是将待求解的方程在各个体积单元上进行离散，最常用的离散方式是采用控制体积法。
控制体积法通过定义控制体积面和控制体积边界上的通量，将方程离散化为一个线性代数方程组。
通常，在离散化过程中，流体力学方程会按照守恒形式进行处理。
积分是将流体力学方程在体积单元上进行积分，得到一个代表该体积单元平均值的代数方程。
通过这种方式，可以避免对方程进行高阶求导，降低计算的复杂性和误差。
在FVM中，除了对流体力学方程进行积分外，还需要对边界条件、源项和湍流模型等进行积分。
这些积分一般会产生一些额外的项，如壁面摩擦力、源项通量等。
求解是通过求解离散化后的线性代数方程组，得到流场的数值解。
求解方程组的方法有很多种，常见的方法包括迭代法、直接法和代数多重网格法等。
与其他数值方法相比，有限体积法在求解非结构网格上的方程组时具有较大的优势。
有限体积法的应用广泛，可以用于求解各种流动问题，如湍流、多相流、辐射传热等。
它在工程实践中具有很高的实用价值，可以为设计和优化流体系统提供有效的数值工具。
在实际应用中，有限体积法还可以与其他数值方法相结合，如有限元法、差分法等。
这样可以充分利用各种数值方法的优势，提高求解的精度和效率。
总之，有限体积法作为一种数值计算方法，被广泛应用于流体力学领域。
它不仅能够准确求解流体力学方程，还能够为工程实践提供有效的数值计算工具。
有限体积法应用
有限体积法应用
有限体积法（Finite Volume Method，FVM）是一种离散化方法，近年来在计算流体力学领域得到了广泛应用。
其基本思想是将计算区域划分为网格，并使每个网格点周围都有一个互不重复的控制体积。
控制方程对每一个控制体积积分，从而得出一组离散方程，其中的未知数为网格点上的因变量。
为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律。
有限体积法的特点包括：
1. 计算效率高：有限体积法在离散过程中直接处理偏微分方程，因此具有较高的计算效率。
2. 守恒性：有限体积法利用控制单元中的物理量守恒来离散求解偏微分方程，因此在理论上具有最强的守恒性。
3. 适应复杂几何：有限体积法能适应复杂的几何形状和边界条件，因此在解决实际问题时具有很大的优势。
4. 内存需求较低：与有限元法相比，有限体积法的内存需求较低。
有限体积法在计算流体力学领域的应用包括：
1. 流体动力学模拟：有限体积法被广泛应用于流体动力学模拟，如湍流、燃烧、传热等问题的求解。
2. 航空航天领域：在航空航天领域，有限体积法被用于模拟飞行器的流体动力性能，如机翼、尾翼等部件的气动特性。
3. 气象预报：在气象预报领域，有限体积法被用于模拟大气流动和气候变化。
4. 生物医学工程：在生物医学工程领域，有限体积法被用于模拟血流、药物扩散等过程。
5. 化工模拟：在化工模拟领域，有限体积法被用于模拟流体流动、传热、化学反应等过程。
总之，有限体积法是一种广泛应用于计算流体力学领域的离散化方法，具有高效、守恒、适应性强等优点。
其应用范围涵盖了流体动力学模拟、航空航天、气象预报、生物医学工程和化工模拟等领域。
计算流体力学中的有限体积法
计算流体力学中的有限体积法
有限体积法（FVM）是一种数值计算方法，用于模拟流体力学问题。
它是通过把流场分成很多个离散化的小体积来描述流体的运动的。
有限体
积法的基本思想是在每一个小体积中应用质量、动量和能量守恒方程，然
后将它们组合成一个离散化的形式，以便于数值计算。
其中，质量守恒方
程描述了流体的连续性，动量守恒方程描述了流体的运动，能量守恒方程
则描述了流体的温度和压力等性质随时间的变化。
有限体积法的计算流程一般包括以下步骤：
1.网格划分：将流场划分成若干个小体积，每个小体积称为一个网格
单元。
2.定义控制体：在每个网格单元内，定义一个控制体。
控制体是一个
虚拟的小体积，它可以是任意形状，但通常为正交体。
3.求解守恒方程：对于每个控制体，应用守恒方程，得到一个自由度
方程组。
4.数值求解：利用数值方法求解自由度方程组，得到解。
5.更新场变量：根据求解得到的解，更新场变量（如速度、压力等）。
6.考虑边界条件：在每个边界上，根据物理条件定义边界条件，用于
修正解。
7.重复以上步骤：对于每个时间步长，重复以上步骤，直到计算结束。
需要注意的是，有限体积法是一种局域方法，只考虑每个网格单元内
部的守恒方程，没有直接考虑两个网格单元之间的相互作用。
因此，在计
算边界处或流场中存在复杂流动结构的区域时，需要采用一些特殊的技术（如插值方法、外推方法等）来处理。
有限体积法介绍
有限体积法1 有限体积法基本原理上一章讲到得有限差分法将数值网格得节点上定义为计算节点,并在网格节点上对微分形式得流体基本方程进行离散,用网格节点上得物理量得代数方程作为原PDE得近似。
在本章所要学习得有限体积法则采用了不同得离散形式。
首先,有限体积法离散得就是积分形式得流体力学基本方程:(1)计算域用数值网格划分成若干小控制体。
与有限差分法不同得就是,有限体积法得网格定义了控制体得边界,而不就是计算节点。
有限体积法得计算节点定义在小控制体内部。
一般有限体积法得计算节点有两种定义方法,一种就是将网格节点定义在控制体得中心,另一种方法中,相邻两个控制体得计算节点到公共边界得距离相等。
第一种方法得优点在于用计算节点得值作为控制体上物理量得平均值具有二阶得精度;第二种方法得好处就是在控制体边界上得中心差分格式具有较高得精度。
积分形式得守恒方程在小控制体与计算域上都就是成立得。
为了获得每一个控制体上得代数方程,面积分与体积分需要用求面积公式来近似。
2 面积分得近似采用结构化网格,在二维情况下,每一个控制体有4个面,二维情况,每一个控制体有6个表面。
计算节点用大写字母表示,控制体边界与节点用小写字母表示。
为了保证守恒性,控制体不能重叠,每一个面都就是相邻两个控制体得唯一公共边界。
控制体边界上得积分等于控制体个表面得积分得与:(2)上式中,f可以表示或。
显然,为了获得边界上得积分,必须知道f 在边界上得详细分布情况,这就是不可能实现得,由于只就是计算节点上得函数值,因此必须采用近似得方法来计算积分。
整个近似过程分成两步第一步:用边界上几个点得近似积分公式第二步:边界点上得函数值用计算节点函数值得插值函数近似 面积分可采用以下不同精度得积分公式: 二阶精度积分:(3) 上式中为边界中点出得函数值。
近似为方格中心点得值乘以方格得面积。
三阶精度积分:(4) 四阶精度积分:(5)应该注意得就是,采用不同精度得积分公式,在相应得边界点得插值时也应采用相应精度得插值函数。
fvm 有限体积法
fvm 有限体积法有限体积法（Finite Volume Method，FVM）是一种常用的数值计算方法，用于求解流体力学和热传导等守恒方程。
它将计算区域划分为离散的控制体，通过在控制体上应用平衡方程，将守恒方程转化为代数方程组，进而得到数值解。
在有限体积法中，计算区域被划分为若干个控制体，每个控制体代表一个小区域，用来计算相应的物理量。
这些控制体之间通过边界面相连，形成一个网格。
在每个控制体内，平均物理量被定义为该控制体上物理量的积分平均值。
通过在控制体上应用平衡方程，可以得到守恒方程的离散形式。
有限体积法的基本思想是，根据质量守恒、动量守恒和能量守恒等守恒方程，将守恒方程在每个控制体上进行积分，然后通过对积分方程进行离散化，得到代数方程组。
这个代数方程组可以通过数值方法求解，得到每个控制体上的物理量的数值解。
在有限体积法中，流体流动被描述为流体在控制体内的质量、动量和能量的变化。
通过在控制体上应用守恒方程，我们可以得到质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程的离散形式。
这些方程是以每个控制体为基础的，通过将守恒方程在控制体上进行积分，可以得到每个控制体上物理量的离散形式。
有限体积法的求解过程包括以下几个步骤：首先，将计算区域划分为离散的控制体，并在每个控制体上定义平均物理量。
然后，通过在控制体上应用守恒方程，将守恒方程转化为代数方程组。
接下来，使用数值方法求解代数方程组，得到每个控制体上物理量的数值解。
最后，根据数值解，可以得到流体流动的各种性质，如速度、压力、温度等。
有限体积法在工程领域得到了广泛的应用。
例如，在流体力学领域，有限体积法可以用来模拟流体的流动，计算流动的速度、压力分布等。
在热传导领域，有限体积法可以用来模拟热量的传输，计算温度的分布等。
在材料科学领域，有限体积法可以用来模拟材料的变形和应力分布等。
有限体积法是一种常用的数值计算方法，适用于求解守恒方程。
它通过在控制体上应用平衡方程，将守恒方程转化为代数方程组，并通过数值方法求解代数方程组，得到物理量的数值解。
有限体积法介绍
有限体积法1 有限体积法基本原理上一章讲到的有限差分法将数值网格的节点上定义为计算节点，并在网格节点上对微分形式的流体基本方程进行离散，用网格节点上的物理量的代数方程作为原PDE 的近似。
在本章所要学习的有限体积法则采用了不同的离散形式。
首先，有限体积法离散的是积分形式的流体力学基本方程：•d q ds ds SS⎰⎰⎰ΩΩ+∇⋅Γ=⋅φφρφn n v(1)计算域用数值网格划分成若干小控制体。
和有限差分法不同的是，有限体积法的网格定义了控制体的边界，而不是计算节点。
有限体积法的计算节点定义在小控制体部。
一般有限体积法的计算节点有两种定义方法，一种是将网格节点定义在控制体的中心，另一种方法中，相邻两个控制体的计算节点到公共边界的距离相等。
第一种方法的优点在于用计算节点的值作为控制体上物理量的平均值具有二阶的精度；第二种方法的好处是在控制体边界上的中心差分格式具有较高的精度。
积分形式的守恒方程在小控制体和计算域上都是成立的。
为了获得每一个控制体上的代数方程，面积分和体积分需要用求面积公式来近似。
2 面积分的近似采用结构化网格，在二维情况下，每一个控制体有4个面，二维情况，每一个控制体有6个表面。
计算节点用大写字母表示，控制体边界和节点用小写字母表示。
为了保证守恒性，控制体不能重叠，每一个面都是相邻两个控制体的唯一公共边界。
控制体边界上的积分等于控制体个表面的积分的和：∑⎰⎰=kS Skfds fdS(2)上式中，f 可以表示n u ρφ或n∂∂Γφ。
显然，为了获得边界上的积分，必须知道f 在边界上的详细分布情况，这是不可能实现的，由于只是计算节点上的函数值，因此必须采用近似的方法来计算积分。
整个近似过程分成两步第一步：用边界上几个点的近似积分公式第二步：边界点上的函数值用计算节点函数值的插值函数近似 面积分可采用以下不同精度的积分公式： 二阶精度积分：e e e e S e Sf S f fds F e≈==⎰(3)上式中e f 为边界中点出的函数值。
有限体积法1
J e = Fe φ P + [D e A ( Pe ) + max(− Fe ,0)] (φ P − φ E ) J w = Fw φP + [Dw A ( Pw ) + max(Fw ,0)] (φW − φP )
其中
De=Γe/(δx)e， 函数
A( P ) =
Dw=Γw/(δx)w
P exp( P ) − 1
等
= (ρu )e (φP + φE ) / 2 + (Γ δx )e (φP − φE )
问题：流速较大时计算结果出现假振。 u、Γ为常数，且 S = 0 时，恒定问题有解析解，在区 间[ xP，xE ]上
exp [Pe x (δ x )e ] φ − φP = exp (Pe ) − 1 φE − φP
∂ ∂ρφ ∂ (ρu j φ) = + ∂x j ∂x j ∂t ∂φ Γ ∂x j +S
例 1：当物理量为流体自身质量时，φ=1，Γ= 0,S = 0（不 存在质量源项时） ，得到连续性方程
∂ρ ∂ (ρu j ) + =0 ∂t ∂x j
4
例 2：物理量为不可压缩流体的动量， 在 xi 方向上φ=ui，Γ=μ，源项 S = ρg i − 得到 Navier-Stokes 方程
(不可压缩流体ρP0 =ρ = 常数；恒定问题，aP0 = 0。)
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2．边界条件的处理 出、入流边界（有法向流速分量） ， 固体边界和没有法向流速分量的水域边界， 等。
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(1)
入流边界的φ值应该给定。
φB = φ
作为边界点 B 点的方程。 (2) 出流边界结点:可以同内部结点一样建立离散方程， 而不必特地给定边界条件。
有限体积法
q
n j
t
An j
q
n j
A q n n j1 j 1
x
RHS
n j
多对角方程组，不好解 （多维情况）
q
n j
(RHS
n j
Anj1q
n
j1
)
/(1
Anj
),
t / x
如果能单侧差分 就好解了！
单侧离散，可推进求解，免受 解方程组之苦。真简单
3 Copyright by Li Xinliang
空间平均 时间平均
u
n 1 j
u
n j
fˆ n j 1/ 2
fˆ n j 1/ 2
0
t
x
精确推导，不含误差
Copyright by Li Xinliang
提示：
u
n j
fˆ n j1/ 2
为区间内的空间及时 间平均值，如果把它 们理解为某点的值， 会产生误差
6
u f (u) 0 t x
积分（精确）
n
LF分裂： A 1 (A *) A A * 2
q
n j
(1
* )
A q n j 1 j 1
A q n j 1 j 1
RHS
n j
近似LU分解
还是个三对 角的
奇思妙想：如果分成 两个子步，各自用单
侧值，就简单多了
Step 1:
q
n j
(1
*
)
A q n j 1 j 1
RHS
n j
离散化
u
n j
1 x
x
j1
/
2
u
n
(
x)dx
有限体积法基础
有限体积法基础什么是有限体积法有限体积法（Finite Volume Method，FVM）是一种数值计算方法，用于求解流体流动、传热以及其他物理现象中的控制方程。
它将计算区域分割成有限数量的小体积，通过质量、能量以及动量守恒方程来描述物理过程，并在整个区域上进行积分。
有限体积法广泛应用于流体力学、热传导、化学反应等领域，在工程和科学研究中发挥着重要作用。
有限体积法的基本原理有限体积法主要基于守恒律原理，在控制体积上进行积分求解控制方程。
它将计算区域划分为若干个小体积，每个体积被称为一个控制体（Control Volume）或单元（Cell）。
对于每个控制体，根据守恒律原理，可以得到质量、能量和动量的守恒方程。
有限体积法中的关键步骤包括网格划分、离散化、数值积分和方程求解。
首先，需要将计算区域划分为有限数量的控制体，并构建相应的网格结构。
然后，对于每个控制体，将守恒方程进行离散化，将连续性方程转化为代数方程。
通过对方程进行数值积分，可以得到控制体内各个参数的平均值。
最后，利用线性代数方法求解代数方程组，从而得到整个计算区域内各个参数的数值解。
有限体积法的优势和应用领域有限体积法具有许多优势，使其成为求解控制方程的常用方法。
首先，有限体积法能够处理复杂的几何形状，适用于不规则的计算区域。
其次，它保持了守恒律原理的严格适应性，得到的解保持了物理量的守恒特性。
此外，有限体积法还具有较好的数值稳定性和精度控制能力，可以有效地解决数值计算中的振荡和不稳定问题。
有限体积法广泛应用于流体力学领域，包括过程工程、气候模拟、风洞试验、航空航天等。
它在流动分析、传热问题以及多相流体等方面都有着重要的应用。
有限体积法还可以用来模拟复杂的流体现象，如湍流、自由涡流、多孔介质流动等。
通过基于体积平均的数值方法，有限体积法能够更好地考虑物理现象的局部变化，并提供准确的数值解。
有限体积法的发展和挑战有限体积法作为一种数值计算方法，经过多年的发展和研究，已经取得了重要的成果。
有限体积法离散原理
有限体积法离散原理
有限体积法是一种数值计算方法，广泛应用于流体动力学、传热学和燃烧学等领域。
其基本原理是将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。
其中的未知数是网格点上的因变量的数值。
为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律。
有限体积法的基本思路是将控制体积界面上的物理量及其导数通过某种方式离散到控制体积中心，从而将微分方程转化为离散的代数方程。
该方法的关键在于如何处理界面上的物理量及其导数的离散。
常用的处理方法是采用加权余量法，通过对界面上的未知量构造离散方程，使得余量在控制体积内积分等于零，从而保证离散方程的守恒性。
有限体积法的离散过程通常采用局部近似的格式，即将微分方程在控制体积内进行积分，并对界面上的物理量及其导数进行离散。
常用的离散格式包括一阶迎风格式、二阶迎风格式、中心差分格式等。
这些离散格式各有优缺点，应根据具体问题的特点和要求选择合适的格式。
离散方程的求解可以采用迭代法或直接法。
迭代法是通过不断迭代更新未知量的值，直到达到收敛要求；直接法则是一次性求解出所有未知量的值。
在具体应用中，应根据问题的规模和复杂度选择合适的求解方法。
总之，有限体积法是一种基于离散思想的数值计算方法，通过对微分方程进行离散化处理，可以得到一组代数方程，从而求出数值解。
该方法具有守恒性、稳定性和适应性等优点，因此在许多工程领域得到了广泛应用。
有限体积法偏微分方程
有限体积法偏微分方程引言有限体积法（Finite Volume Method, FVM）是一种数值计算方法，用于求解偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）。
该方法将求解区域分割成有限数量的体积单元，通过对每个体积单元内的守恒方程进行积分和离散化，得到离散方程组，进而求解得出数值解。
有限体积法的基本思想有限体积法的基本思想是根据守恒定律，将求解区域划分为有限数量的体积单元。
每个体积单元内的物理量在时间上的变化以及空间上的梯度变化被积分求和，以体积平均值来表示。
然后，通过对每个体积单元内的守恒方程进行积分和离散化，得到离散方程组。
最终通过求解离散方程组，得到数值解。
有限体积法的基本步骤1. 网格划分：将求解区域划分为有限数量的体积单元，形成网格结构。
常见的网格结构包括结构化网格和非结构化网格。
2. 守恒方程离散化：对每个体积单元内的守恒方程进行积分和离散化处理。
一般来说，离散化的方法有梯度法、中心差分法、Godunov方法等。
3. 边界条件处理：根据实际问题的边界条件，确定边界上的物理量。
常见的边界条件有Dirichlet边界条件、Neumann边界条件和周期性边界条件等。
4. 求解离散方程组：将离散化后的方程组表示为矩阵形式，通过数值计算方法求解得到数值解。
5. 后处理：对数值解进行分析和处理，得到所需的物理量。
优点和应用领域有限体积法相比其他数值计算方法具有以下优点：1. 适用性广：适用于各种类型的偏微分方程求解，包括椭圆型、抛物型和双曲型等。
2. 自然的守恒性：有限体积法在离散化过程中能够保持物理量的守恒性，如质量、动量和能量等。
3. 网格自由度：有限体积法不依赖于特定的网格结构，可以使用结构化网格和非结构化网格。
有限体积法广泛应用于流体力学、热传导、电磁场等领域的数值计算。
例如，在流体力学中，有限体积法可以用于求解Navier-Stokes方程，模拟流体的流动行为。
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实际问题： 外形复杂， 光滑的结构网格生成困难
差分法
有限体积法
优点 不足
简单、计算量小、易 本身包含几何信息，
于提高精度
易处理复杂网格
差分离散与几何解耦，复杂、不易提高精度 难以处理复杂网格
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9.1.1 有限体积法 的基本概念
u f (u) 0 t x
xj 1 /2 a (t tn) [xj 1 /2 ,xj 1 /2]
则方程为：
ujn1ujn aujnujn1 0
t
x
等价于一阶迎风差分
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若采用线性重构
un(x)ujnDj(xxj)
u(x,t)u0(xa)t
uj 1/2(t)un(xj 1/2a(ttn)) ujnD j(xj 1/2a(ttn)xj)ujnD j( 2 xa(ttn))
x
线化微分方程
3 Copyright by Li Xinliang
求解思路：如果直接离散，得到线性代数方程组，仍需求解，计算量大（多维情况）
qnt Anqn RHnS
x
中心（双侧）离散
如果单侧离 散
qn j tAnj1qn j1 2 xAnj1qn j1RHn j S
qnj tAnjqnj xAnj1qnj1 RHnj S
计算流体力学讲义
第九讲 有限体积法（1）
李新亮 lixlimech.ac ；力学所主楼219； 82543801
知识点：
有限体积法的基本概念—— 重构和反演 迎风型有限体积法——Riemann求解器；Roe格式的新理解：近似Riemann解 多维迎风型有限体积法——坐标旋转
讲义、课件上传至 cfluid (流体中文网） -> “流体论坛” ->“ CFD基础理论 ” 讲课录像及讲义上传至网盘 cid-1cc0dcbff560c149.skydrive.live/browse.aspx/.Public
j-1/2
实质： 把几何信息包含于离散过程中
虽然简单，但有助
j+1/2
于建立基本概念
1. 全离散型过程
j-1
j
j+1
在控制体上积分原方程
tn1 u xj1/2 f(u)
( )dx d0t
t tn xj1/2
x
含义： f在j+1/2点的值 （注意与差分法的区别）
xj 1/2 (un 1 un)d xtn 1(fj 1 /2fj 1 /2)d t0
u u
f(U )u2pu2
0 pF(c) F(p)
(Ep)u (Ep)u 0
思路： 决定特征的关键参数—— 当地Mach数
因此，对Mach数进行分裂更为简洁！
压力项
1 u ,2 u c ,3 u c
2
qn j(1 *)A j 1qn j 1A j 1qn j 1RH n j S
近似LU分解
奇思妙想：如果分成两个子步， 各自用单侧值，就简单多了
Step 1: qjn(1 *)A j1qjn1RH n j S j -1 -> j
Step 2: (1 * )q n jA j 1 q n j 1 (1 * )q jn j+1> j
7
u f (u) 0 t x
积分（精确）
ujn1ujn fˆjn1/2fˆjn1/2 0
t
x
积分方程
离散化
ujn
1 x
xj1/2un(x)dx
xj1/2
ujn un(x)
重构（Reconstruction)
fˆn j1/2
1 t
tj1/2
tj1/2 fj1/2(x)dt
un(x) fˆjn 1/2 1t ttj j 11 //22fj1/2(x)dt反演（evolution)
t
2 x
2 x
u jn 1 u jn a u jn 1 u jn 1 a 2 t(u jn 1 2 u jn u jn 1 )
t
x
2 x
Lax-Wendroff
➢ 一维均匀网格的有限体积法等价于有限差分法
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10
2. 半离散方法
全离散： 积分方程 代数方程 （守恒性好，但复杂） 半离散： 积分方程 常微分方程 （简便，便于使用R-K等成熟方法）
U U L j1/ 2
R j1/ 2
途径1： FVS 途径2：FDS
fˆ
n j
1
/
2
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2. 分裂方法 （1）: FVS方法 （流通矢量分裂 —— 逐点分裂）
fff 保证 f 的Jocabian阵特征值为正，f 的为负
fˆjn 1/2f(U L j 1/2)f(U R j 1/2)
U L j1/2Uj,U R j1/2Uj1
1阶单边重构 ……
U L j 1 /2 1 2 ( 3 U j U j 1 )U ,R j 1 /2 1 2 ( 3 U j 1 U j 2 )
根据特征方向，选择左通量或右通量
右重构值
j+1
差分法—— 同一点的导数可使用向前差分和向后差分，根据特征方向选择之
正通量： 向左偏斜重构； 负通量： 向右偏斜重构
偏重向上游
与迎风差分法类似： 网格基（或权重）偏重上游
k
k
k
2
具体方法： Steger-Warming 分裂 f AU
~f(~λ) 2
(21()~1u12)2~(1u~22(1u~)2~(1uc)2~c2)~23~~3(3u(uc)c2)w
Lax-Friedrichs分裂
0阶重构—— 1阶精度 线性重构—— 2阶精度
f ˆjn 1 /2 1 ttt n n 1 aj 1 u /2 (t)d a t(u j n D j 2 x ) a2fˆjn1/2 0
t
x
Euler方程： 演化过程可通过Riemann 解或近似Riemann解进行
t
x
un A en ikxj j
G An1/An
uunjj1eAiknjx,1eFijkx j k~xeikjx
修正波数
GVC, NND, Roe, Godnov, MUSCL, TVD, WENO 4. Euler (N-S) 方程的通量分裂
k~ikx
逐点分裂、特征投影分裂 （建议使用Roe平均）
均为递推求解 （两次扫描），免受解方程组之苦
以上描述适用于求解定常问题，求解非定常 问题该过程可用于内迭代。
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(DLU)QRHS 近似LU分解
(D L)D 1(D U)Q RHS
LD1UQRHS LQ RHS D 1UQ Q
5
§ 9.1 有限体积法入门
u j n 1 u j n a u j n u j n 1 x ( D j D j 1 ) /2 a 2 t( D j D j 1 )
t
x
2 x
若
Dj
ujn ujn1 x
Dj
un j1
ujn
x
u j n 1 u j n a u j n 2 4 u j n 1 3 u j n a 2 t( u j n 2 2 u j n 1 u j n ) Warming-Beam
(1) 重构过程
A. 零阶重构，假设分片常数
u n(x ) u j
xj 1 /2 x xj 1 /2
j+1
j j-1
B. 线性重构，假设分片线性函数
零阶重构与一阶重构示意图
un(x)ujnDj(xxj)
Dj
ujn ujn1 x
or
Dj
un j1
ujn
x
or
Dj
un j1
ujn1
2x
或其他方法
C. 更高阶的重构例如: 分片二次函数 （PPM）, WENO等
uau0,a0 t x
u(x,t)u0(xa)t
Riemann解
fj 1 /2 (t) aj 1 u /2 (t) an (x u j 1 /2 a (t tn ))
若采用零阶重构：
u n(x ) u j
xj 1 /2 x xj 1 /2
则：
un(xj1/2a(ttn))uj
fˆj1/2 auj
假设时间步长足够小
xj 1/2
tn
定义：
ujn
1 x
xj1/2un(x)dx
xj1/2
fˆjn1/2 1t
tn1 tn
fj1/2(t)dt
空间平均 时间平均
ujn1ujn fˆjn1/2fˆjn1/2 0
t
x
精确推导，不含误差
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提示：
u
n j
fˆ n j1/ 2
为区间内的空间及时 间平均值，如果把它 们理解为某点的值， 会产生误差
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9.1.2 一维Euler方程的迎风型有限体积法
j-1/2
j+1/2
半离散
Uf(U)0 t x
Unj fˆjn1/2 fˆjn1/2 0
t
x
j-1
j
j+1
控制体积
1. 重构
选择不同的模板会得到不同的重构方案
左重构值
向左偏的模板产生
UL j1/ 2
向右偏的模板产生
UR j1/ 2
j j-1
例如： 0阶重构
多对角方程组，不好解 （多维情况）