第9讲-有限体积法1
有限体积方法
有限体积方法
引言
有限体积法(FVM)是在物理空间上积分形式的守恒方程进行直接离散的数值方法。与有限差分方法相比有限体积方法更具有一般性，适用于任意形式的网格，结构网格与非结构网格均适用。有限体积法是一种基于将CFD中最基本的量在单元内的平均值，这是与有限差分及有限元方法区别的地方，后边两种方法的数值量都取为在网格点上。FVM方法一个重要优势是跟守恒性离散这个重要的概念联系起来，它可以自动满足具有守恒性的离散。另一个优点就是适用于任意的网格。
5．1 守恒性离散
对于量U守恒律的一般积分形式可以由式(1.1.1)给出如下
将上式的最终表面源项合并到通量项中得到
该表达式的基本特点是存在表面积分以及在体积内U的时间变化只依赖于表面上的通量. 如图5.1.1所示可将一个体积元分解成三个亚体元,对于每个亚体元写出守恒律表达式
将这些表面积分进行加和,内部线ADB以及DE总是两次出现,但是方向相反,将三部分积分守恒律相加,这些内部的贡献量就会抵消,只剩下外边界的贡献量.例如,对于有一个通量的贡献量
而对于也有一个相似的项:
这样这两项相加就可以抵消. 故要保证格式是守恒的,通量的数值离散必须满足这样一个基本性质.下面我们以一维守恒律的情形来说明这个问题
结合图5.1.2来说明这个问题
其中f是矢量通量的x方向分量, 参考上图, 定义一个一维有限体积网格,并把中间点定义为“单元面”. 例如, 对于元(i), 单元面就是i-1/2与i+1/2的中点.
对该有限体积网格应用中心差分, 在i, i+1与i-1点处分别离散得到
第9讲-有限体积法1
Copyright by Li Xinliang
6
实质： 把几何信息包含于离散过程中
9.1.1 有限体积法 的基本概念
u f (u) 0 t x
j-1/2 j+1/2
虽然简单，但有助 于建立基本概念
j+1
j-1
j
1. 全离散型过程
在控制体上积分原方程
t n 1 tn
x j 1 / 2
J 1
( x, y , z ) ( , , )
坐标变换函数必须足够光滑—— 否则损失精度 实际问题： 外形复杂， 光滑的结构网格生成困难 差分法 优点 有限体积法
简单、计算量小、易 本身包含几何信息， 于提高精度 易处理复杂网格
不足
差分离散与几何解耦，复杂、不易提高精度 难以处理复杂网格
n j
x j 1 / 2
x j 1 / 2
u ( x)dx
n
空间平均 时间平均
提示：
u jn
fˆ jn1 / 2
1 tn1 ˆ f f j 1/ 2 (t )dt t tn ˆ ˆ u jn 1 u jn f jn1 / 2 f jn1 / 2 0 t x
x x( , , ) y y ( , , ) z z ( , , )
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ U f1 f 2 f 3 V1 V2 V3 t
计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1知识分享
知识回顾
1. 差分方法的基本概念：
差分格式、修正方程、相容性、收敛性、稳定性、LAX等价定理
u au 0 t x
2. 精度分析、稳定性分析与分辨率分析（修正波数）
Taylor分析
Fourier分析
3. 激波捕捉格式
unj1unj aunj unj1 0
3 Copyright by Li Xinliang
qnt AnqnRHnS x
迭代收敛后q趋于0， 精度由右端项决定
qnt[A (A)qn]RH n S x
可是，A有正有负，无法单侧 差分化
强行单侧差分会不稳定的
t/x
q n j(A jq n j A j 1 q n j 1 A j 1 q n j 1 A jq n j) Rn H还S 是个三对角的
t
x
精确推导，不含误差
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提示：
u
n j
fˆ n j1/ 2
为区间内的空间及时 间平均值，如果把它 们理解为某点的值， 会产生误差
7
uf(u) 0 t x
积分（精确）
离散化
ujn
1 x
xj1/2un(x)dx
xj1/2
ujn1ujnfˆjn1/2fˆjn1/2 0
有限体积法介绍
有限体积法介绍
有限体积法
1 有限体积法基本原理
上⼀章讲到的有限差分法将数值⽹格的节点上定义为计算节点，并在⽹格节点上对微分形式的流体基本⽅程进⾏离散，⽤⽹格节点上的物理量的代数⽅程作为原PDE 的近似。
在本章所要学习的有限体积法则采⽤了不同的离散形式。⾸先，有限体积法离散的是积分形式的流体⼒学基本⽅程：
d q ds ds S
S
Ω
Ω+??Γ=?φφρφn n v
(1)
计算域⽤数值⽹格划分成若⼲⼩控制体。和有限差分法不同的是，有限体积法的⽹格定
义了控制体的边界，⽽不是计算节点。有限体积法的计算节点定义在⼩控制体内部。⼀般有限体积法的计算节点有两种定义⽅法，⼀种是将⽹格节点定义在控制体的中⼼，另⼀种⽅法中，相邻两个控制体的计算节点到公共边界的距离相等。第⼀种⽅法的优点在于⽤计算节点的值作为控制体上物理量的平均值具有⼆阶的精度；第⼆种⽅法的好处是在控制体边界上的中⼼差分格式具有较⾼的精度。
积分形式的守恒⽅程在⼩控制体和计算域上都是成⽴的。为了获得每⼀个控制体上的代数⽅程，⾯积分和体积分需要⽤求⾯积公式来近似。
2 ⾯积分的近似
采⽤结构化⽹格，在⼆维情况下，每⼀个控制体有4个⾯，⼆维情况，每⼀个控制体有6个表⾯。计算节点⽤⼤写字母表⽰，控制体边界和节点⽤⼩写字母表⽰。为了保证守恒性，控制体不能重叠，每⼀个⾯都是相邻两个控制体的唯⼀公共边界。
控制体边界上的积分等于控制体个表⾯的积分的和：
∑??
=k
k
fds fdS
(2)
上式中，f 可以表⽰n u ρφ或n
Γ
φ。
显然，为了获得边界上的积分，必须知道f 在边界上的详细分布情况，这是不可能实现的，由于只是计算节点上的函数值，因此必须采⽤近似的⽅法来计算积分。整个近似过程分成两步
volume of fluid 有限体积法
volume of fluid 有限体积法
Volume of Fluid (VOF) method 和有限体积法（Finite Volume Method）都是计算流体力学中的数值方法，用于模拟和分析流体流动。
Volume of Fluid (VOF) method 是一种界面捕捉方法，利用流体体积函数处理界面破碎、融合以及大变形等问题。这种方法通过求解体积分数的输运方程，实现多相流动界面形状及演化的计算。体积分数的空间分布隐含着界面的位置和形状，通过求解体积分数的输运方程，可以计算多相流动界面形状及演化的计算。
有限体积法（Finite Volume Method）是一种常用的数值算法，着重从物理观点来构造离散方程。每一个离散方程都是有限大小体积上某种物理量守恒的表示式，推导过程物理概念清晰，离散方程系数具有一定的物理意义，并可保证离散方程具有守恒特性。这种方法将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，每一个控制体积都有一个节点作代表，将待求的守恒型微分方程在任一控制体积及一定时间间隔内对空间与时间作积分。
总之，这两种方法都是计算流体力学中常用的数值方法，用于模拟和分析流体流动。VOF方法更适合处理界面捕捉问题，而有限体积法更适合处理物理量守恒的问题。
有限体积法 有限差分法 有限元法
有限体积法有限差分法有限元法
有限体积法、有限差分法、有限元法是三种数学方法，它们分别
用于求解偏微分方程问题。在工程、物理、气象、地质和生物等领域
中都有广泛的应用。它们之间的区别在于采用不同的逼近方法和离散
化技术。
有限体积法是一种数值方法，通过离散化空间来对流体动力学等
宏观定律进行描述。通过建立小区域的质量平衡方程，计算该区域内
的物理量积分，并通过解析物理方程，确定小区域物理量的变化率。
这种方法适用于偏微分方程的求解，同时可以避免非物理现象的出现，在计算过程中也不会涉及到边界值问题。
有限差分法是一种离散化的数学方法，可以将一个连续的函数微
分方程转换成一个差分方程。在计算差分方程时，需要将函数在有限
点处进行展开，将其转化为有限项的多项式。这个多项式可以用于近
似函数，从而求解微分方程的数值解。有限差分法可以应用于所有类
型的偏微分方程，包括椭圆型、双曲型和抛物型方程。
有限元法是一种基于函数空间分析的数学方法，用于解决连续性
和光滑性强的问题。将连续问题转化为一组代数方程，通过将求解域
分成无限多的小元素或区域，将标量或矢量场用有限个基函数来逼近。将这些基函数带入微分方程中，并将未知系数替换为求解域中的节点
上的未知量，就可以得到代数方程组。最终，通过解决代数方程组来
计算微分方程的数值解。
总之，有限体积法、有限差分法和有限元法是三种常用的数值方法。它们在求解各种复杂偏微分方程方面都具有优越性。但是它们在
适用条件、误差分析、计算量等方面都有各自独特的特点和限制，因
此需要根据不同的实际应用来选择和使用。
有限体积法1
28
或
aP a φ P = ∑ a nb φnb + b + (1 − α ) P φ ∗ P α α
α<1 时为欠松弛,迭代进度放慢。
29
非恒定问题的求解： 从给定的初始条件出发，逐个时间步长地求解下一时刻各 结点的φ值。 每一时间步均形成并求解离散化的代数方程组，非线性的 代数方程组要用迭代法求解。
P=
ρuδx = F/D 为 Peclet 数，代表了对流项与扩散项之间 Γ
的比值。 显然有 A(0) =1，A(∞) = 0。
16
◆函数 A 可用较简单的逼近式――乘方律公式
(1 − 0.1 P A( P ) = 0
)
5
P ≤ 10 P ≥ 10
当∣P∣> 10 时扩散项可以不计。 其他逼近式 中心差分格式：相当于取 A(|P|)=1－0.5 |P| 迎风格式（逆风格式） ：相当于取 A(|P|)=1 混合格式：取 A(|P|)=max( 0, 1－0.5 |P| )
∂ρφ ∆ x = J B − J e + S ∆x ∂t = q B − J e + (S C + S P φ B )∆x
qB B e E (δx)e
计算流体力学中的有限体积法
计算流体力学中的有限体积法
有限体积法（FVM）是计算流体力学（CFD）中常用的数值方法之一，
用于求解流体力学方程。它将求解域划分为离散的有限体积，通过对这些
体积进行积分，将偏微分方程转化为代数方程，从而得到离散的数值解。
有限体积法的基本思想是将求解域划分为互不相交的有限体积单元，
每个体积单元都包含一个中心点和一个相对应的体积。在每个体积单元内，通过对流体力学方程进行积分，可以得到一个代表该体积单元平均值的代
数方程。这些代数方程连成一个线性方程组，通过求解这个方程组可以得
到流场的数值解。
在FVM中，主要有三个关键步骤：离散化、积分和求解。
离散化是将待求解的方程在各个体积单元上进行离散，最常用的离散
方式是采用控制体积法。控制体积法通过定义控制体积面和控制体积边界
上的通量，将方程离散化为一个线性代数方程组。通常，在离散化过程中，流体力学方程会按照守恒形式进行处理。
积分是将流体力学方程在体积单元上进行积分，得到一个代表该体积
单元平均值的代数方程。通过这种方式，可以避免对方程进行高阶求导，
降低计算的复杂性和误差。
在FVM中，除了对流体力学方程进行积分外，还需要对边界条件、源
项和湍流模型等进行积分。这些积分一般会产生一些额外的项，如壁面摩
擦力、源项通量等。
求解是通过求解离散化后的线性代数方程组，得到流场的数值解。求
解方程组的方法有很多种，常见的方法包括迭代法、直接法和代数多重网
格法等。与其他数值方法相比，有限体积法在求解非结构网格上的方程组时具有较大的优势。
有限体积法的应用广泛，可以用于求解各种流动问题，如湍流、多相流、辐射传热等。它在工程实践中具有很高的实用价值，可以为设计和优化流体系统提供有效的数值工具。
计算流体力学中的有限体积法
计算流体力学中的有限体积法
有限体积法（FVM）是一种数值计算方法，用于模拟流体力学问题。
它是通过把流场分成很多个离散化的小体积来描述流体的运动的。有限体
积法的基本思想是在每一个小体积中应用质量、动量和能量守恒方程，然
后将它们组合成一个离散化的形式，以便于数值计算。其中，质量守恒方
程描述了流体的连续性，动量守恒方程描述了流体的运动，能量守恒方程
则描述了流体的温度和压力等性质随时间的变化。
有限体积法的计算流程一般包括以下步骤：
1.网格划分：将流场划分成若干个小体积，每个小体积称为一个网格
单元。
2.定义控制体：在每个网格单元内，定义一个控制体。控制体是一个
虚拟的小体积，它可以是任意形状，但通常为正交体。
3.求解守恒方程：对于每个控制体，应用守恒方程，得到一个自由度
方程组。
4.数值求解：利用数值方法求解自由度方程组，得到解。
5.更新场变量：根据求解得到的解，更新场变量（如速度、压力等）。
6.考虑边界条件：在每个边界上，根据物理条件定义边界条件，用于
修正解。
7.重复以上步骤：对于每个时间步长，重复以上步骤，直到计算结束。
需要注意的是，有限体积法是一种局域方法，只考虑每个网格单元内
部的守恒方程，没有直接考虑两个网格单元之间的相互作用。因此，在计
算边界处或流场中存在复杂流动结构的区域时，需要采用一些特殊的技术（如插值方法、外推方法等）来处理。
有限体积法
有限体积法
一、基本概念
有限体积法是西方物理学家威廉.波音（William Bonynge）1890年提出的一种数值求解的方法，它的基本思想是：体积的变化量等于速度与时间（或位移）的变化量的乘积，可用该方法将求解所需要的复杂积分运算完全转化为一系列可以进行迭代计算的一阶微分方程组或其它形式的差分方程组，从而达到精确求解物理量的目的。因此，定积分是有效控制精度的唯一手段，具有定积分法所不具有的稳定性和可逆性，因而有限体积法被广泛应用于气象、流体动力学和计算力学领域。
二、理论原理
有限体积法的原理是基于一个体积的时间变化：一定体积的运动元件在时间上的体积变化为它的速度变化和位移变化的乘积。这个变化的积分就是这个体积的变化量。运用积分的方法，可以求出速度和位移变化总量。在求解有限体积法时，应遵循以下步骤：
（1）准备数据：确定当前体积元件的大小，位置，特性等，也可以准备一些较为精确的拟合值；
（2）定义 size variable：对于每个体积元件，用大小变量x来进行描述；
（3）定义变量系数：假定每个体积元件有一定的变量系数a来描述其变化量；
（4）建立方程：根据上述步骤求出的变量系数a就可以构建积分的代数形式；
（5）求值：根据构建的形式可以求解体积的变量系数a，以此来计算出体积变化量。
三、应用
有限体积法应用广泛，在流体动力学，气象与空间等诸多领域中得到广泛应用。
有限体积法主要应用于数值计算中，用来求解涡流的发生、动态行为，以及特殊物理量的计算等。有限体积法主要用来求解涡流问题，它能够对流动过程中的细节进行描述，问题的解决也比较精确。由于有限体积法有较好的精度、可逆性和可靠性，因而在研究空气流动中用到比较多。例如，汽车动力学领域中用来分析汽车机车旋转力矩、操纵力、起飞阻力等特性，以及舰船水车结构设计时等。
有限差分和有限体积法
有限差分和有限体积法
有限差分和有限体积法是数值计算中常用的两种方法，它们在解决偏微分方程数值解时有广泛应用。
有限差分法是一种离散化方法，将偏微分方程中的连续变量转化为离散形式，然后利用差商的概念，将微分方程转化为差分方程，进而得到数值解。有限差分法适用于解决一维和二维的偏微分方程问题，且具有计算简单、易于实现和易于理解等优点。
有限体积法是一种基于守恒律的数值解法，将偏微分方程中的守恒量表示为一个控制体积中的平均值，然后利用守恒律对控制体积进行积分，从而得到数值解。有限体积法适用于解决守恒律方程，如流体力学、气体动力学等问题，具有保守性、精度高、通用性强等特点。
无论是有限差分法还是有限体积法，都是将连续性问题转化为离散性问题，从而得到数值解。在实际应用中，需要根据具体问题的特点选择合适的数值解法，并进行数值模拟和验证。
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计算流体力学中的有限体积法 pdf
计算流体力学中的有限体积法 pdf 有限体积法（Finite Volume Method）是计算流体力学中一种常
用的数值求解方法，它通过将流域划分为离散的有限体积单元来近似
描述流体的宏观守恒方程。这一方法在许多领域中得到广泛应用，如
流体动力学、热传导、质量传递等。
有限体积法通过将流域划分为有限体积单元，将守恒方程应用于
每个单元，并通过积分得到方程在单元内的平均值。在有限体积单元内，流体的宏观守恒方程可以表示为一个线性代数方程组。通过对方
程组进行离散化，可以得到数值解，进一步用于模拟和预测流体力学
现象的特性。
在有限体积法中，流域被划分为网格，通常是结构化或非结构化
网格。结构化网格以规则的矩形或立方体单元组织，而非结构化网格
则根据流体流动的特性灵活调整单元的形状和大小。无论是结构化还
是非结构化网格，有限体积法都能够准确地处理流体流动的各种边界
条件。
有限体积法的优势之一是它保持了宏观物理量的守恒性质。例如，在处理流体流动时，有限体积法能够准确地保持质量、能量和动量的
守恒。这使得有限体积法在工程领域的应用十分重要。例如，在空气
动力学中，有限体积法可以精确地模拟飞机周围的空气流动，从而帮
助设计师优化飞行器的性能。
为了得到准确的数值解，有限体积法需要进行离散化和数值逼近。通常使用线性或高阶的插值方法对守恒方程进行离散化。此外，为了
解决方程组中的非线性项，可以采用迭代方法，如简单迭代或牛顿迭代。
有限体积法在多相流、湍流流动和传热等领域有着广泛的应用。
例如，在化工工艺中，有限体积法可以模拟复杂的多相流动，从而帮
fvm 有限体积法
fvm 有限体积法
有限体积法（Finite Volume Method，FVM）是一种常用的数值计算方法，用于求解流体力学和热传导等守恒方程。它将计算区域划分为离散的控制体，通过在控制体上应用平衡方程，将守恒方程转化为代数方程组，进而得到数值解。
在有限体积法中，计算区域被划分为若干个控制体，每个控制体代表一个小区域，用来计算相应的物理量。这些控制体之间通过边界面相连，形成一个网格。在每个控制体内，平均物理量被定义为该控制体上物理量的积分平均值。通过在控制体上应用平衡方程，可以得到守恒方程的离散形式。
有限体积法的基本思想是，根据质量守恒、动量守恒和能量守恒等守恒方程，将守恒方程在每个控制体上进行积分，然后通过对积分方程进行离散化，得到代数方程组。这个代数方程组可以通过数值方法求解，得到每个控制体上的物理量的数值解。
在有限体积法中，流体流动被描述为流体在控制体内的质量、动量和能量的变化。通过在控制体上应用守恒方程，我们可以得到质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程的离散形式。这些方程是以每个控制体为基础的，通过将守恒方程在控制体上进行积分，可以得到每个控制体上物理量的离散形式。
有限体积法的求解过程包括以下几个步骤：首先，将计算区域划分
为离散的控制体，并在每个控制体上定义平均物理量。然后，通过在控制体上应用守恒方程，将守恒方程转化为代数方程组。接下来，使用数值方法求解代数方程组，得到每个控制体上物理量的数值解。最后，根据数值解，可以得到流体流动的各种性质，如速度、压力、温度等。
有限体积法在工程领域得到了广泛的应用。例如，在流体力学领域，有限体积法可以用来模拟流体的流动，计算流动的速度、压力分布等。在热传导领域，有限体积法可以用来模拟热量的传输，计算温度的分布等。在材料科学领域，有限体积法可以用来模拟材料的变形和应力分布等。
计算流体力学有限体积法
计算流体力学有限体积法
【中英文版】
Title: Calculation of Fluid Mechanics using Finite Volume Method
Title: 计算流体力学有限体积法
Section 1: Introduction to Finite Volume Method
The Finite Volume Method (FVM) is a numerical technique used to solve partial differential equations which describe fluid flow and other physical phenomena.In FVM, the domain of interest is discretized into a finite number of control volumes or cells.
第一部分：有限体积法简介
有限体积法（FVM）是一种用于求解描述流体流动和其他物理现象的偏微分方程的数值技术。在FVM中，感兴趣的域被离散化为有限数量的控制体积或单元。
Section 2: Discretization Process
The discretization process involves dividing the domain into smaller sub-domains known as control volumes.The governing equations are then applied to each control volume, leading to a set of algebraic equations which can be solved to obtain the solution at each node.
有限体积法()ppt课件
θ=0，离散格式为显式，0<θ<=1，加权隐式，θ=1/2， Clank-Nicholson格式， θ=1，全隐格式。
离散方程
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精选ppt
θ=0时， 0<θ<=1时，
显式 隐式
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精选ppt
状态变量分布近似
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精选ppt
状态变量分布近似 单元界面e处内外侧状态：
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精选ppt
状态变量分布近似 单元界面e处内外侧状态：
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精选ppt
解:
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精选ppt
对中间节点2,3,4:
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精选ppt
边界节点1:
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精选ppt
整理得到:
51
精选ppt
边界节点5:
整理得到:
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精选ppt
工况1
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精选ppt
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精选ppt
工况2
改进办法:需要增加网格数
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精选ppt
工况3
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精选ppt
差分格式问题
,
x e x w
隐格式较难实现，粘性项处理困难；
数值解后处理工作量大；
二阶非结构FVM 较易实现，若要扩展到高阶 格式，则需花费较大的代价。
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精选ppt
方程离散
一维对流扩散方程：
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有限体积法1
n 为控制面的外法向单位矢量，Jn 为 J 在 n 方向的分量，则
∂ ∫ ρφdV + cs ∫ J ndA = cv ∫SdV ∂t cv
物理意义：单位时间内，控制体内某物理量总量的增加＋控 制面上该物理量的净输出量＝控制体内部源项产生的增量。
7
一．一维问题的有限体积法
各要素为时间 t 和坐标 x 的函数，方程为
J e = De (φP − φE )
相当于取φ为线性分布。
19
◆ 在通量式中对φ取线性近似分布式，相当于在差分法中对 对流项取中心差商，当 Peclet 数较大时计算结果会出现不 合理的振荡。 ◆ 迎风差分格式则相当于在离散格式中取
A ( Pe ) = A ( Pw ) = A (0) = 1 ，得到较大的虚假扩散。
(不可压缩流体ρP0 =ρ = 常数；恒定问题，aP0 = 0。)
22
2．边界条件的处理 出、入流边界（有法向流速分量） ， 固体边界和没有法向流速分量的水域边界， 等。
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(1)
入流边界的φ值应该给定。
φB = φ
作为边界点 B 点的方程。 (2) 出流边界结点:可以同内部结点一样建立离散方程， 而不必特地给定边界条件。
aB 0=ρB0Δx/Δt，b = aB0φB0+ SCΔx + qB 另一种处理方法： 对边界之内的结点 P 取控 制体，方程为 aPφP = aE φE + b 其中 a E = D e A ( Pe ) + max(− Fe ,0) ，
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则方程为：
ujn1ujn aujnujn1 0
t
x
等价于一阶迎风差分
Copyright by Li Xinliang
9
若采用线性重构
un(x)ujnDj(xxj)
u(x,t)u0(xa)t
uj 1/2(t)un(xj 1/2a(ttn)) ujnD j(xj 1/2a(ttn)xj)ujnD j( 2 xa(ttn))
t
x
un A en ikxj j
G An1/An
uunjj1eAiknjx,1eFijkx j k~xeikjx
修正波数
GVC, NND, Roe, Godnov, MUSCL, TVD, WENO 4. Euler (N-S) 方程的通量分裂
k~ikx
逐点分裂、特征投影分裂 （建议使用Roe平均）
计算流体力学讲义
第九讲 有限体积法（1）
李新亮 lixlimech.ac ；力学所主楼219； 82543801
知识点：
有限体积法的基本概念—— 重构和反演 迎风型有限体积法——Riemann求解器；Roe格式的新理解：近似Riemann解 多维迎风型有限体积法——坐标旋转
讲义、课件上传至 cfluid (流体中文网） -> “流体论坛” ->“ CFD基础理论 ” 讲课录像及讲义上传至网盘 cid-1cc0dcbff560c149.skydrive.live/browse.aspx/.Public
均为递推求解 （两次扫描），免受解方程组之苦
以上描述适用于求解定常问题，求解非定常 问题该过程可用于内迭代。
Copyright by Li Xinliang
(DLU)QRHS 近似LU分解
(D L)D 1(D U)Q RHS
LD1UQRHS LQ RHS D 1UQ Q
5
§ 9.1 有限体积法入门
11
9.1.2 一维Euler方程的迎风型有限体积法
j-1/2
j+1/2
半离散
Uf(U)0 t x
Unj fˆjn1/2 fˆjn1/2 0
t
x
j-1
j
j+1
控制体积
1. 重构
选择不同的模板会得到不同的重构方案
左重构值
向左偏的模板产生
UL j1/ 2
向右偏的模板产生
UR j1/ 2
j j-1
例如： 0阶重构
U U L j1/ 2
R j1/ 2
途径1： FVS 途径2：FDS
fˆ
n j
1
/
2
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12
2. 分裂方法 （1）: FVS方法 （流通矢量分裂 —— 逐点分裂）
fff 保证 f 的Jocabian阵特征值为正，f 的为负
fˆjn 1/2f(U L j 1/2)f(U R j 1/2)
有限体积法主要优势： 处理复杂网格
差分法处理复杂外形 —— 坐标变换
x x( , , )
y
y (
, ,
)
z z ( , , )
U tˆ fˆ1 f ˆ2 fˆ3 V ˆ1 V ˆ2 V ˆ3
fˆ1J1(xf1yf2zf3)
J1 (x, y, z) (,, )
坐标变换函数必须足够光滑—— 否则损失精度
0阶重构—— 1阶精度 线性重构—— 2阶精度
f ˆjn 1 /2 1 ttt n n 1 aj 1 u /2 (t)d a t(u j n D j 2 x ) a 2 2D j t
ujn1ujn fˆjn1/2fˆjn1/2 0
t
x
Euler方程： 演化过程可通过Riemann 解或近似Riemann解进行
xj 1/2
tn
定义：
ujn
1 x
xj1/2un(x)dx
xj1/2
fˆjn1/2 1t
tn1 tn
fj1/2(t)dt
空间平均 时间平均
ujn1ujn fˆjn1/2fˆjn1/2 0
t
x
精确推导，不含误差
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提示：
u
n j
fˆ n j1/ 2
为区间内的空间及时 间平均值，如果把它 们理解为某点的值， 会产生误差
x
线化微分方程
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求解思路：如果直接离散，得到线性代数方程组，仍需求解，计算量大（多维情况）
qnt Anqn RHnS
x
中心（双侧）离散
如果单侧离 散
qn j tAnj1qn j1 2 xAnj1qn j1RHn j S
qnj tAnjqnj xAnj1qnj1 RHnj S
u f (u) 0 仅空间积分
t x
u xj1/2 f(u)
( )dx0
t xj1/2
x
1 xj1/2
uj(t)x
u(x,t)dx
xj1/2
ujn
n
fj1/2
fn j1/2
0
t
x
f 在j+1/2点的值，仍需要 使用周围点 f (uk ) 进行插值
fn j1/ 2
通常无法精确计算， 可采用近似值
j-1/2
实质： 把几何信息包含于离散过程中
虽然简单，但有助
j+1/2
于建立基本概念
1. 全离散型过程
j-1
j
j+1
在控制体上积分原方程
tn1 u xj1/2 f(u)
( )dx d0t
t tn xj1/2
x
含义： f在j+1/2点的值 （注意与差分法的区别）
xj 1/2 (un 1 un)d xtn 1(fj 1 /2fj 1 /2)d t0
代替 fˆ n j1/ 2
j-1/2
j+1/2
ujn fˆjn1/2 fˆjn1/2 0
t
x
半离散
j-1
j
j+1
重构
ujn u ˆn(x) fˆj 1/2f(u ˆn(xj 1 /2))
fˆn j1/2
aujn
ujn1 2
ujn aujn1ujn1 0
t
2x
等价于二阶中心差分
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多对角方程组，不好解 （多维情况）
q n j ( Rn j H A n j 1 q n j S 1 ) /1 (A n j), t/ x
如果能单侧差分就好解了！
单侧离散，可推进求解，免受解方程组之苦。真 简单
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qnt Anqn RHnS x
迭代收敛后q趋于0， 精度由右端项决定
qnt[A (A)qn]RH n S x
可是，A有正有负，无法单侧 差分化
强行单侧差分会不稳定的
t/x
q n j(A jq n j A j 1 q n j 1 A j 1 q n j 1 A jq n j) Rn H还S 是个三对角的
L分 F A 裂 1(A ： *) A A *
(1) 重构过程
A. 零阶重构，假设分片常数
u n(x ) u j
xj 1 /2 x xj 1 /2
j+1
j j-1
B. 线性重构，假设分片线性函数
零阶重构与一阶重构示意图
un(x)ujnDj(xxj)
Dj
ujn ujn1 x
or
Dj
un j1
ujn
x
or
Dj
un j1
ujn1
2x
或其他方法
C. 更高阶的重构例如: 分片二次函数 （PPM）, WENO等
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5. 隐格式求解的LU-SGS方法
要点： a. 引入差量，方程线性化 b. 单边差分，隐式代数方程显式（推进）化
u f (u) 0 t x
以一维为例，多维可直接推广
方法1：直接隐式离散
方法2
直接 un j1un j
n1
f f j1/2
n1 j1/2
t
2 x
2 x
u jn 1 u jn a u jn 1 u jn 1 a 2 t(u jn 1 2 u jn u jn 1 )
t
x
2 x
Lax-Wendroff
➢ 一维均匀网格的有限体积法等价于有限差分法
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2. 半离散方法
全离散： 积分方程 代数方程 （守恒性好，但复杂） 半离散： 积分方程 常微分方程 （简便，便于使用R-K等成熟方法）
u u
f(U )u2pu2
0 pF(c) F(p)
(Ep)u (Ep)u 0
思路： 决定特征的关键参数—— 当地Mach数
因此，对Mach数进行分裂更为简洁！
压力项
1 u ,2 u c ,3 u c
7ห้องสมุดไป่ตู้
u f (u) 0 t x
积分（精确）
ujn1ujn fˆjn1/2fˆjn1/2 0
t
x
积分方程
离散化
ujn
1 x
xj1/2un(x)dx
xj1/2
ujn un(x)
重构（Reconstruction)
fˆn j1/2
1 t
tj1/2
tj1/2 fj1/2(x)dt
un(x) fˆjn 1/2 1t ttj j 11 //22fj1/2(x)dt反演（evolution)
u j n 1 u j n a u j n u j n 1 x ( D j D j 1 ) /2 a 2 t( D j D j 1 )
t
x
2 x
若
Dj
ujn ujn1 x
Dj
un j1
ujn
x
u j n 1 u j n a u j n 2 4 u j n 1 3 u j n a 2 t( u j n 2 2 u j n 1 u j n ) Warming-Beam
正通量： 向左偏斜重构； 负通量： 向右偏斜重构
偏重向上游
与迎风差分法类似： 网格基（或权重）偏重上游
k
k
k
2
具体方法： Steger-Warming 分裂 f AU
~f(~λ) 2
(21()~1u12)2~(1u~22(1u~)2~(1uc)2~c2)~23~~3(3u(uc)c2)w
Lax-Friedrichs分裂
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知识回顾
1. 差分方法的基本概念：
差分格式、修正方程、相容性、收敛性、稳定性、LAX等价定理
u au 0 t x
2. 精度分析、稳定性分析与分辨率分析（修正波数）
Taylor分析
Fourier分析
3. 激波捕捉格式
unj1unj aunj unj1 0
➢有限差分法的离散：数值微分过程 ➢有限体积法的离散：数值积分过程
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重构是有限体积的空间离散化 过程，有多种方法
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（2） 演化过程 （以线性方程为例）
uf(u)0,f(u)a,u a0 t x
fˆjn1/2
1 t
tn1 tn
fj1/2(t)dt
需要得知时间演化信息，通常利用特征方程
实际问题： 外形复杂， 光滑的结构网格生成困难
差分法
有限体积法
优点 不足
简单、计算量小、易 本身包含几何信息，
于提高精度
易处理复杂网格
差分离散与几何解耦，复杂、不易提高精度 难以处理复杂网格
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9.1.1 有限体积法 的基本概念
u f (u) 0 t x
0
求解 t
x
非线性方程组，计算量大
差量化
u n 1 u n[f(u n 1 )f(u n) ][f(u n)] f(u n 1)f(u n)A n u n,A n fn, u n u n 1 u n
t x
x
u
线性化
qn un
已知项
qn tA nqn t[f(un) ]RH n S
x
uau0,a0 t x
u(x,t)u0(xa)t
Riemann解
fj 1 /2 (t) aj 1 u /2 (t) an (x u j 1 /2 a (t tn ))
若采用零阶重构：
u n(x ) u j
xj 1 /2 x xj 1 /2
则：
un(xj1/2a(ttn))uj
fˆj1/2 auj
假设时间步长足够小
2
qn j(1 *)A j 1qn j 1A j 1qn j 1RH n j S
近似LU分解
奇思妙想：如果分成两个子步， 各自用单侧值，就简单多了
Step 1: qjn(1 *)A j1qjn1RH n j S j -1 -> j
Step 2: (1 * )q n jA j 1 q n j 1 (1 * )q jn j+1> j
f (f*U)/2
Van Leer分裂： 根据当地Mach数分裂
Liou-Steffen分裂： （压力项与其他项分开， AUSM类格式的基础）
差分、有限体积都可使用
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小知识： Liou-Steffen分裂
类似 Van Leer分裂，但压力单独处理
对流项
U L j1/2Uj,U R j1/2Uj1
1阶单边重构 ……
U L j 1 /2 1 2 ( 3 U j U j 1 )U ,R j 1 /2 1 2 ( 3 U j 1 U j 2 )
根据特征方向，选择左通量或右通量
右重构值
j+1
差分法—— 同一点的导数可使用向前差分和向后差分，根据特征方向选择之