2015高中数学 1.6微积分基本定理 课件(人教A版选修2-2)(1)
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高中数学_1.6微积分基本定理(1)课件_新人教A版选修2-2
并且F’(x)=f(x),则
b a
b
a
f ( x )dx F(b) F(a )
或 f ( x )dx F ( x ) |b a F (b ) F ( a )
(F(x)叫做f(x)的原函数,f(x)就是F(x)的导函数)
关 b b f ( x)dx F ( x) |a F (b) F (a) 键： a
a a
b
b
复习回顾： 定积分的基本性质
性质3. 定积分关于积分区间具有可加性
b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
a c
c
b
y
y f ( x)
O
a
c1 c2 a c1
Ｃ
b x
b c2
b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
1 1 ( ) 2 x x
1 3 1 1 76 3 3 =x | | 1 (3 1 ) ( ) x 3 1 3
3 3 1
练习：
(1) (-3t + 2)dt ______ 1
2 0
1
1 2 23/6 (2) (x + ) dx = ______ 1 x
2
9 (3) (3x + 2x -1) dx = ______
s (b ) ) s (a
S s(b) s(a) s1 s2 si sn
ba S s1 s2 si sn Si v(t ) n i 1 i 1
b a
b
a
f ( x )dx F(b) F(a )
或 f ( x )dx F ( x ) |b a F (b ) F ( a )
(F(x)叫做f(x)的原函数,f(x)就是F(x)的导函数)
关 b b f ( x)dx F ( x) |a F (b) F (a) 键： a
a a
b
b
复习回顾： 定积分的基本性质
性质3. 定积分关于积分区间具有可加性
b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
a c
c
b
y
y f ( x)
O
a
c1 c2 a c1
Ｃ
b x
b c2
b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
1 1 ( ) 2 x x
1 3 1 1 76 3 3 =x | | 1 (3 1 ) ( ) x 3 1 3
3 3 1
练习：
(1) (-3t + 2)dt ______ 1
2 0
1
1 2 23/6 (2) (x + ) dx = ______ 1 x
2
9 (3) (3x + 2x -1) dx = ______
s (b ) ) s (a
S s(b) s(a) s1 s2 si sn
ba S s1 s2 si sn Si v(t ) n i 1 i 1
2015高中数学-1.6微积分基本定理-课件(人教A版选修2-2)
[解]
∵f(x)＝－ x
(12t＋
a
4a)dt
＝ (6t2＋ 4at)|x－ a ＝ 6x2＋ 4ax－ (6a2－ 4a2 )
＝ 6x2＋ 4ax－ 2a2，
∴ F(a)＝01[f(x)＋ 3a2 ]dx＝01(6x2＋ 4ax＋ a2)dx
＝ (2x3＋ 2ax2＋ a2 x)|10＝ a2＋ 2a＋ 2 ＝ (a＋ 1)2＋ 1≥ 1，
4
4.02(x2－23x)dx＝ ____3____.
第一章 导数及其应用
B．01 (x＋ 1)dx D．0112dx
第7页，共30页。
栏目 导引
第一章 导数及其应用
求简单函数的定积分
计算下列定积分：
(1)121xdx；(2)02πsin xdx；(3)13(2x－x12)dx；
(4)0－
(cos
9＋2× 3
93－ 2
(4＋2× 3
43)＝ 2
27－(4＋16)＝53.
33
第11页，共30页。
栏目 导引
第一章 导数及其应用
计算分段函数的定积分
计算下列定积分：
(1)若 f(x)＝x2
x≤ 0
cos x－1 x＞0
，求－ π2
f(x)dx；
1
(2)12
[解]
|3－ (1)
2x|dx.
－ π2
第一章 导数及其应用
1．6 微积分基本定理
第1页，共30页。
第一章 导数及其应用
学习导航
学习 目标
1.了解微积分基本定理的内容与含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． (重点、难点)
通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，直观 学法 了解微积分基本定理的含义．微积分基本定理不仅揭示 指导 了导数和定积分之间的内在联系，而且还提供了计算定
高中数学 1.6微积分基本定理课件 新人教A版选修2-2
首页 1 2
XINZHIDAOXUE 新知 ZHONGNANTANJIU 重难探究 DANGTANGJ 当堂 导学 检测
练一练 1
若 f'(x)=ex ,则 f(x)可以是( ) A.ex +x B.ex +x2 C.ex +ln x D.ex +C(C 为常数) 答案 :D
练一练 2
2 1
1 + ������
试一试
曲线 y=cos x ������∈ 0, 为
3π 2
与 x 轴、y 轴围成的图形的面积
. 解析 :如图,阴影部分面积即为所求.
∴S=
sin
3π 2
0
π 2
cos xd x-
-sin
π 2
3 π 2 π 2
cos xd x=sin x|0 -sin x|
π 2
3π 2 π 2
= sin -sin0 −
(4) 思路分析:根据导数与定积分的关系,求定积分要先找到一个导数等于 被积函数的原函数,再根据牛顿—莱布尼茨公式写出答案,找原函数可结合 导数公式表.
首页 探究 一
∴
探究 探究 探究 二 三 四 1 3 解 :(1)∵ ������ + ������ 2 + 3������ '=x2+2x+3,
首页 探究 一 探究 二 探究 三 探究 四
XINZHIDAOXUE 新知 ZHONGNANTANJIU 当堂 重难探究 DANGTANGJ 导学 检测
典型例题 1
计算下列定积分: 2 (1) 1 (x2+2x+3)d x; (2) (3)
0 x (cos xe )d x; -π e 1 d x; 1 ������ 3 2 ������3-1 d x. 1 ������2
( 人教A版)高中数学选修22：1.6微积分基本定理课件 (共38张PPT)
1 1
f(x)dx＝－4，求
a，b，c
的值．
解析：由 f(1)＝2，得 a＋b＋c＝2.①
f′(x)＝2ax＋b，又 f′(0)＝0，所以 b＝0.②
因为
1 1
f(x)dx＝
1 1
(ax2＋bx＋c)dx
＝(13ax3＋12bx2＋cx)1－1 ＝－4，
所以23a＋2c＝－4，③ 联立①②③，得 a＝6，b＝0，c＝－4.
怎样解答微积分基本定理的应用问题？ (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分 基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提． (2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数 f(x)、积分上限与积 分下限、积分区间与函数 F(x)等概念．
3．已知 f(x)＝ax2＋bx＋c，且 f(1)＝2，f′(0)＝0，
1.6 微积分基本定理
考纲定位
重难突破
1.了解并掌握微积分基 重点：1.微积分基本定理.
本定理的含义.
2.利用微积分基本定理求定积分.
2.会利用微积分基本定 难点：用微积分基本定理解决与之相关
理求函数的积分.
的综合问题.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
一、微积分基本定理
2x， x∈[2，3]
在区间[0,3]上的定积分；
(2)求3 (|2x＋3|＋|3－2x|)dx. -3
[解析] (1)3f(x)dx＝1f(x)dx＋2f(x)dx＋3f(x)dx
0
0
1
2
＝1x3dx＋2 xdx＋32xdx
0
1
2
＝14x410＋23x
3 2
数学选修2-2人教新课标A版1-6微积分基本定理课件(27张)
＝a2－1＋ln a＝3＋ln 2，
解得a＝2.
1 234
解析答案
2.ʃ20(x2－23x)dx＝___43_____. 解析 ʃ20(x2－23x)dx＝ʃ20x2dx－ʃ2023xdx ＝ x3320－ x3220＝83－43＝43.
1 234
解析答案
1 234
3.已知 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且 f(－1)＝2，f′(0)＝0，ʃ10f(x)dx＝－2.求 a，b，c 的值.
例 1 (1)定积分ʃ10(2x＋ex)dx 的值为( C )
A.e＋2
B.e＋1ຫໍສະໝຸດ C.eD.e－1解析 ʃ10(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|10＝(1＋e)－1＝e.故选 C.
重点难点 个个击破
解析答案
(2)ʃ20|1－x2|dx＝____2____. 解析 |1－x2|＝1x2－－x12， ，01≤ <xx≤≤21. ， ʃ20|1－x2|dx＝ʃ10(1－x2)dx＋ʃ21(x2－1)dx ＝ x－13x310＋ 31x3－x21 ＝23＋73－1＝2.
解析 ʃ10f(x)dx＝ʃ10(ax2＋c)dx
＝ 31ax3＋cx10＝a3＋c. f(x0)＝ax20＋c，
∴a3＝ax20，即
x0＝
33或－
3 3.
∵0≤x0≤1，∴x0＝
3 3.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 2 (1)已知 x∈(0,1]，f(x)＝ʃ10(1－2x＋2t)dt，则 f(x)的值域 是__[_0_,_2_) __. 解析 f(x)＝ʃ10(1－2x＋2t)dt ＝(t－2xt＋t2)|10＝－2x＋2(x∈(0,1]). ∴f(x)的值域为[0,2).
人教a版数学【选修2-2】1.6《微积分基本定理》ppt课件
2
①
xf(x)dx＝ (ax
1 3 1 21 ＋bx)dx＝3ax ＋2bx 0
1 1 17 ＝3a＋2b＝ 6 .
a＝4 由①②得 b＝3
② ，∴f(x)＝4x＋3.
3．求下列定积分：
1 (1) xdx＝________.
0
(2)
1
sinxdx＝________.
a
′(x)＝
2．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F ′(x)
原函数 ，利用求导运 ＝f(x)的函数F(x)，即找被积函数的__________
算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导 公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)．
3．被积函数的原函数有很多，即若 F(x)是被积函数 f(x)的
1 1 2 2 ＝ln2－ln1＝ [解析] (1)因为(lnx)′＝ x ，所以 d x ＝ ln x 1 x
1
ln2.
1 4 1 4 1 3 1 3 (2)∵ 4x ′＝x ，∴ x d x ＝ x 0 4
0
1 ＝4. 1 ＝e－e .
1 (9) x2dx＝________.
2 1
1 (10) x dx＝________. 1 2 [答案] (1)2 (2)1 (3)ln2
e 1
(4)0
(5)2
1 (6)－6
3π2 (7) 8 ＋
1 (8)24
1 (9)2
(10)1
2 x2 x 1 1 1 [解析] (1)∵( 2 )′＝x，∴ xdx＝ 2 |0＝2. 0
e 1
典例探究学案
利用牛顿—莱布尼茨公式求定积分
①
xf(x)dx＝ (ax
1 3 1 21 ＋bx)dx＝3ax ＋2bx 0
1 1 17 ＝3a＋2b＝ 6 .
a＝4 由①②得 b＝3
② ，∴f(x)＝4x＋3.
3．求下列定积分：
1 (1) xdx＝________.
0
(2)
1
sinxdx＝________.
a
′(x)＝
2．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F ′(x)
原函数 ，利用求导运 ＝f(x)的函数F(x)，即找被积函数的__________
算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导 公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)．
3．被积函数的原函数有很多，即若 F(x)是被积函数 f(x)的
1 1 2 2 ＝ln2－ln1＝ [解析] (1)因为(lnx)′＝ x ，所以 d x ＝ ln x 1 x
1
ln2.
1 4 1 4 1 3 1 3 (2)∵ 4x ′＝x ，∴ x d x ＝ x 0 4
0
1 ＝4. 1 ＝e－e .
1 (9) x2dx＝________.
2 1
1 (10) x dx＝________. 1 2 [答案] (1)2 (2)1 (3)ln2
e 1
(4)0
(5)2
1 (6)－6
3π2 (7) 8 ＋
1 (8)24
1 (9)2
(10)1
2 x2 x 1 1 1 [解析] (1)∵( 2 )′＝x，∴ xdx＝ 2 |0＝2. 0
e 1
典例探究学案
利用牛顿—莱布尼茨公式求定积分
(vip免费)【数学】1.6《微积分基本定理(第1课时)》课件(人教A版选修2-2)
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校： 北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远 的学生，而且具有很好的学习品质。学 习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同 学两三个小时才能完成的作业，她一个 小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力 很强，这一点在平常的考试中可以体现 。每当杨蕙心在某科考试中出现了问题 ，她能很快找到问题的原因，并马上拿 出解决办法。
Si
t
s'
(ti 1 )
b
n
a
v(ti 1 )
S s1 s2
si
sn
n i 1
Si
n i 1
b a v(t) n
n
n ba
S
lim
n
i 1
Si
lim
n
i 1
n
v(t)
b
v(t)dt
a
b s' (t)dt s(b) s(a)
a
由定积分的定义得
b
b
S a v(t)dt a s '(t)dt s(b) s(a)
公式1:
b a
1dx x
=
lnx|ab
公式2:
b a
xndx
=
nxn++11|ab
作业：P６２ A 1 (2)(3)(5)(6)
语文
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附赠 中高考状元学习方法
前言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
高中数学人教A版选修2-2课件：1-6 微积分基本定理
反思求函数f(x)在某个区间上的定积分时,要注意: (1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则,正确求解导数 等于被积函数的函数.当这个函数不易求时,可将被积函数适当变 形后再求解.具体方法是能化简的化简,不能化简的变为幂函数、 正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数与常数的和或差. (2)准确定位积分区间,分清积分下限与积分上限.
1 eπ
0 -π
2 1
������2d������ +
2 1
2������d������ +
2 1
3d������
cos xdx−
0 -π
e������d������
0 =sin ������|0 − e ������ | = -π -π
− 1.
(3) = =
1 2 1 2
������ sin2 d������ 0 2
������ ������
������ (������)d������ = ������ (������)|������ = ������ (������) − ������ (������). ������
栏目 导引
第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三 题型四
利用微积分基本定理计算定积分 【例1】 计算下列定积分:
1-������ , ������2
第一章 典例透析三角函数
题】 计算下列定积分:
(1) (2) (3)
π 2
-1 3 0 2 0
������ 2 ,������ ≤ 0, ������(������)d������, 其中������ (������) = cos������-1,������ > 0; |������2 − 4|d������ ; (|������ − 1| + |������ − 3|)d������.
高中数学 1.6 微积分基本定理课件 新人教A版 选修22
第二十三页，共37页。
解析： (1)图象如图所示，
5－1f(x)dx＝－ 1 1x2dx＋13xdx＋533dx＝13x3|
1－1＋12x2|
31＋3x|
5 3
＝23＋4＋6＝1023.
第二十四页，共37页。
(2)f(x)＝x42－－x42， ，
x≥2或x≤－2， －2<x<2，
3
2
3
∴0|x2－4|dx＝0(4－x2)dx＋2(x2－4)dx
a2－1＝3， ∴a>1，
a＝2，
∴a＝2.
答案： 2
第十二页，共37页。
4．已知
f(x)＝xco2，s x－1，
x≤0， x>0，
1
试求－1f(x)dx.
解析： － 1 1f(x)dx＝0－1x2dx＋01(cos x－1)dx ＝13x3| 0－1＋(sin x－x)| 10＝sin 1－23.
第六页，共37页。
定积分和曲边梯形面积(miàn jī)的关系
设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S
则 下．
b
(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图①，则
a
f(x)dx＝
__S_上___．
第七页，共37页。
b
(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图②，则af(x)dx＝ ____－__S_下___．
3 2
＝6×3－32－33＋14×34－6×2－22－23＋14×24
＝94－4＝－1.75.
第二十一页，共37页。
(3)
3 1
x＋ 1x26xdx＝31x＋1x＋26xdx
3
＝ 1
(6x2＋6＋12x)dx
人教A版高中数学选修2-2课件《1.6微积分基本定理(2)》
1.6微积分基本定理
（2）
•
典例讲评
例1计算下列定积分，利用曲边梯形的面 积，你能从计算结果中发现什么结论吗？
组.卷.网
（1）；（ 2）； sin xdx 0 2 （3 ）.
ò
p
ò
2p
p
sin xdx
－2
ò
2p
0
sin xdx
0
•
典例讲评
y
ò
p
0
sin xdx = 2
ò
O
2p
0
π
sin xdx = 0 2π x
ò
•
2p
p
sin xdx = - 2
形成结论
（1）当定积分对应的曲边梯形位于x轴 上方时，定积分的值为正数，且等于曲 边梯形的面积； （2）当定积分对应的曲边梯形位于x轴 下方时，定积分的值为负数，且等于曲 边梯形的面积的相反数；
•
形成结论
（3）当定积分对应的曲边梯形位于x 轴上方部分的面积与位于x轴下方部分 的面积相等时，定积分的值为零.
s=
ò
5
0
(10 - 2t )dt = (10t - t ) | = 25(m )
2
5 0
•
布置作业
P55习题1.6B组：1，2，3.
•
（4）若f(x)为奇函数，则 a ； f (x )dx = 0
ò
-a
•
形成结论
（5）若f(x)为偶函数，则 a a ， f (x )dx = 2 f (x )dx
蝌
-a
0
其中a＞0为常数.
•
典例讲评
例2计算下列定积分： 2 x2 - 1 （1）； ò1 x dx
（2）
•
典例讲评
例1计算下列定积分，利用曲边梯形的面 积，你能从计算结果中发现什么结论吗？
组.卷.网
（1）；（ 2）； sin xdx 0 2 （3 ）.
ò
p
ò
2p
p
sin xdx
－2
ò
2p
0
sin xdx
0
•
典例讲评
y
ò
p
0
sin xdx = 2
ò
O
2p
0
π
sin xdx = 0 2π x
ò
•
2p
p
sin xdx = - 2
形成结论
（1）当定积分对应的曲边梯形位于x轴 上方时，定积分的值为正数，且等于曲 边梯形的面积； （2）当定积分对应的曲边梯形位于x轴 下方时，定积分的值为负数，且等于曲 边梯形的面积的相反数；
•
形成结论
（3）当定积分对应的曲边梯形位于x 轴上方部分的面积与位于x轴下方部分 的面积相等时，定积分的值为零.
s=
ò
5
0
(10 - 2t )dt = (10t - t ) | = 25(m )
2
5 0
•
布置作业
P55习题1.6B组：1，2，3.
•
（4）若f(x)为奇函数，则 a ； f (x )dx = 0
ò
-a
•
形成结论
（5）若f(x)为偶函数，则 a a ， f (x )dx = 2 f (x )dx
蝌
-a
0
其中a＞0为常数.
•
典例讲评
例2计算下列定积分： 2 x2 - 1 （1）； ò1 x dx
2015高中数学选修2-2课件 1-6 微积分基本定理(共29张PPT)
(2)
(3)
g(x)dx
h(x)dx
提示:(1)>
0
0
(2)<
(3)>
第七页，编辑于星期五：十二点 十四分。
1.6
问题导学
微积分基本定理
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
一、简单定积分的计算
活动与探究
1.回忆导数的物理意义:s'(t0)为物体在 t0 时刻的瞬时速度,结合变速
当堂检测
三、微积分基本定理的应用
活动与探究
例 3 已知 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且
f(-1)=2,f'(0)=0,
1
0
f(x)dx=-2,求 a,b,c 的值.
思路分析:解决本题的关键是根据题设条件,列出方程组,通过解方
程组求出 a,b,c 的值.
第二十页，编辑于星期五：十二点 十四分。
1.6
微积分基本定理
问题导学
所以
KETANG HEZUO TANJIU
3-,∈[2,3),
-3,∈[3,5],
5
2
|x-3|dx=
3
2
1
2
= 3- 2 |32 +
(3)
课堂合作探究
当堂检测
解:(1)由于|x-3|=
(2)
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
π
2
0
1
2
0
sin2xdx=
1.6
微积分基本定理
问题导学
高中数学选修2-2课件1.6微积分基本定理2(新人教A版)
的值域.
[0，2]
ò 例6 已知函数 f (x) = x (t 2 + 2t - 8)dt 0
（1）求函数f(x)的单调区间； （2）求函数f(x)在区间[1，3]上的最值. （1）在(0，2)上为减函数，
在(2，＋∞)上是增函数.
（2）最大值是－6，最小值是- 28. 3
例7 已知f(x)是一次函数，且
4
x
3
（3）
3
Hale Waihona Puke | x2 -1 |dx ；
22
ò0
（4） 4 4x - 1 dx .
3
0
ò- 4 2x
例2 计算下列定积分：
p
ò （1）
2 -p
sin2 xdx
；
2
p 2
ò- 1
（2）
dx
.7
- 2 (5x + 11)3 72
例3 汽车以36km/h的速度行驶，到某处 需减速停车.设汽车以加速度a＝2m/s2刹 车，试问：从开始刹车到停车，汽车走 过的路程是多少m？
1
1
ò ò f (x )dx = 1 ，求证： f 2(x)dx > 1 .
0
0
设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则
ò1 f 2(x )dx
=
k2
+
1>
1
0
12
作业： P55习题1.6 B组：2，3.
v = 10 - 2t
5
ò s =
(10 -
0
2t )dt
=
(10t -
t 2) |50=
25(m )
1
例4 已知 ò (x 3 + ax + 3a - b)dx = 2a + 6 -1
[0，2]
ò 例6 已知函数 f (x) = x (t 2 + 2t - 8)dt 0
（1）求函数f(x)的单调区间； （2）求函数f(x)在区间[1，3]上的最值. （1）在(0，2)上为减函数，
在(2，＋∞)上是增函数.
（2）最大值是－6，最小值是- 28. 3
例7 已知f(x)是一次函数，且
4
x
3
（3）
3
Hale Waihona Puke | x2 -1 |dx ；
22
ò0
（4） 4 4x - 1 dx .
3
0
ò- 4 2x
例2 计算下列定积分：
p
ò （1）
2 -p
sin2 xdx
；
2
p 2
ò- 1
（2）
dx
.7
- 2 (5x + 11)3 72
例3 汽车以36km/h的速度行驶，到某处 需减速停车.设汽车以加速度a＝2m/s2刹 车，试问：从开始刹车到停车，汽车走 过的路程是多少m？
1
1
ò ò f (x )dx = 1 ，求证： f 2(x)dx > 1 .
0
0
设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则
ò1 f 2(x )dx
=
k2
+
1>
1
0
12
作业： P55习题1.6 B组：2，3.
v = 10 - 2t
5
ò s =
(10 -
0
2t )dt
=
(10t -
t 2) |50=
25(m )
1
例4 已知 ò (x 3 + ax + 3a - b)dx = 2a + 6 -1
2015高中数学选修2-2课件：1-6 微积分基本定理
a
f(x)、直线x＝a、x＝b及x轴所围成的曲边梯形(图1)的面积S，即
bf(x)dx.
S＝
a
第5页
第一章
1.6
第五页，编辑于星期五：十二点 十五分。
高考调研
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
第6页
第一章
1.6
第六页，编辑于星期五：十二点 十五分。
高考调研
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
(2)如果在区间[a，b]上，函数f(x)≤0时，那么曲边梯形位于
b
f(x)dx在几何
a
上表示图3所示的几个小曲边形面积的代数和(x轴上方的面积取 正号，x轴下方的面积取负号)，即bf(x)dx＝ －S1＋S2－S3 .
a
第8页
第一章
1.6
第八页，编辑于星期五：十二点 十五分。
高考调研
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
1．如何运用微积分基本定理求定积分bf(x)dx? a
∴(ex＋12e2x)′＝ex＋e2x.
第21页
第一章
1.6
第二十一页，编辑于星期五：十二点 十五分。
高考调研
∴ln2ex(1＋ex)dx＝ln2(ex＋e2x)dx
0
0
＝(ex＋12e2x) |l0n2＝eln2＋12e2ln2－e0－12e0
＝2＋12×4－1－12＝52.
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
答：求bf(x)dx的关键是用求导公式反方向求出使 a
F′(x)＝f(x)成立的一个函数F(x)． 若F′(x)＝f(x)＝xn，则F(x)＝n＋1 1xn＋1＋c；
第9页
第一章
1.6
第九页，编辑于星期五：十二点 十五分。
高中数学人教A版选修2-2第一章 1.6 微积分基本定理课件
法二：设 ab＝t，得 a＋b＝－3t＋2 1， 故 a，b 为方程 x2＋3t＋2 1x＋t＝0 的两个实数根， 所以 Δ＝3t＋4 12－4t≥0，整理，得 9t2－10t＋1≥0， 即(t－1)(9t－1)≥0，解得 t≤19或 t≥1. 所以 ab 的取值范围是－∞，19∪[1，＋∞)．
是_________．
1
(2)已知0[(3ax＋1)(x＋b)]dx＝0，a，b∈R，试求 ab 的取值范围．
[解析]
1
(1)0(1－2x＋2t)dt＝[(1－2x)t＋t2]
1 0
＝2－2x，即 f(x)
＝－2x＋2，
因为 x∈(0,1]，所以 f(1)≤f(x)<f(0)，
含有参数的定积分问题的处理办法与注意点 (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综 合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决 此类综合问题的前提．
(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被 积函数 f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数 F(x) 等概念．
[活学活用]
x
(2)牛顿－莱布尼茨公式指出了求连续函数定积分的一般方 法，把求定积分的问题，转化成求原函数(F(x)叫做 f(x)的原函数) 的问题，提示了导数和定积分的内在联系，同时也提供计算定积 分的一种有效方法．
2．定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，在 x 轴下方的面积为 S 则 下．
0
0
1
＝(2x3＋2ax2＋a2x)
0
＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1≥1，
∴当 a＝－1 时，F(a)最小值＝1.
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十一)” (单击进入电子文档)
高中数学人教A版选修2-2课件：1.6微积分基本定理
−
e|0-π
sin2 d
0
2
0
π
2
0
9
4
2
1
2d +
2
1
2d +
25
3 2
2
2
.
|1 + 2|1 + 3|1 =
=
3
3
π
2
π
2
典例透析
典例透析
题型四
0
-π
(cos x-ex)dx=
|0-π
重难聚焦
=
=
1
eπ
cos xdx−
0
-π
2
1
3d
ed
− 1.
π
2
1
(1 − cos x)dx
-1
(3 + )d = 0.
1
(3 + )d +
-1
(3 − )d
-1
=0+(3a-b)[1-(-1)]=6a-2b.
∴6a-2b=2a+6,即 2a-b=3.①
又 f(t)=
4
4
+ 2
2
+ (3-)
)为偶函数,
∴3a-b=0.②
由①②,得 a=-3,b=-9.
(1 + )d.
分析:第(1)(2)小题属简单函数的定积分,利用微积分基本定理求
解即可;而第(3)(4)小题属较复杂函数的定积分,可按如下步骤进行
计算:
化简被积函数→转化为基本函数的定积分→求定积分
-4-
目标导航
题型一
题型二
解:(1)
(2)
0
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函数)的问题，揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也
提供计算定积分的一种有效方法．
1．下列值等于 1 的是( )
1
A．0xdx
1
C．01dx
1
B.0(x＋1)dx D．1012dx
解析： 10xdx＝12x2| 10＝12；10(x＋1)dx＝12x2＋x| 10＝32；
1
01dx＝x|
10＝1；1012dx＝12x|
0
∴ －π
(ex－cos
x)dx＝(ex－sin
x)|
0 －π
＝(e0－sin 0)－[e－π－sin(－π)]
＝1－e－π.
•
求简单的定积分关键注意两点
：
• (1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则 ，正确求解被积函数的原函数，当原函数不 易求时，可将被积函数适当变形后再求解；
• (2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分 上限．
求复杂函数的定积分
x2，－1≤x≤1 (1)先作出函数 f(x)＝x，1≤x≤3
3，3≤x≤5
的图象，
5
再求－1f(x)dx；
3
(2)0|x2－4|dx.
• [思路点拨] 所求两个定积分的原函数都无 法一眼看出，可以先把被积函数化简后，应 用定积分的性质转化为易求原函数的定积分 再求解．
解析： (1)图象如图所示，
求简单函数的定积分
•
求下列定积分：
2
(1) (3x2＋x－1)dx； 0
2π
(2)π (cos x＋sin x)dx；
0
(3)
(ex－cos x)dx.
－π
• [思路点拨] 先求被积函数的原函数，然后 利用微积分基本定理求解．
(1)∵x3＋12x2－x′＝3x2＋x－1，
∴20(3x2＋x－1)dx＝x3＋12x2－x|
3 2
＝4×2－13×23－0＋13·33－4×3－13×23－4×2＝233.•来自求复杂函数定积分的方法：
• (1)掌握基本初等函数的导数及导数的运算法 则，正确求解被积函数的原函数．当原函数 不易求解时，可以先把原函数变形．
＝6x－x2－x3＋14x4|
3 2
＝6×3－32－33＋14×34－6×2－22－23＋14×24
＝94－4＝－1.75.
(3)
3 1
x＋ 1x26xdx＝31x＋1x＋26xdx
3
＝ 1
(6x2＋6＋12x)dx
＝(2x3＋6x＋6x2)|
3 1
＝(54＋18＋54)－(2＋6＋6)
＝112.
a2－1＝3， ∴a>1，
a＝2，
∴a＝2.
答案： 2
4．已知
f(x)＝xco2，s x－1，
x≤0， x>0，
1
试求－1f(x)dx.
解析： － 1 1f(x)dx＝0－1x2dx＋01(cos x－1)dx ＝13x3| 0－1＋(sin x－x)| 10＝sin 1－23.
合作探究 课堂互动
1．求下列定积分．
(1) 01xndx；
3
(2)
2
(2－x2)(3－x)dx；
(3)
3 1
x＋ 1x26xdx.
解析：
(1)10xndx＝n＋1 1xn＋1|
1 0
＝n＋1 1×1n＋1－n＋1 1×0n＋1＝n＋1 1.
3
(2)
2
(2－x2)(3－x)dx
3
＝ 2
(6－2x－3x2＋x3)dx
2 0
＝23＋12·22－2－0＝8.
(2)∵(sin x－cos x)′＝cos x＋sin x，
2π
∴ π
(cos
x＋sin
x)dx＝(sin
x－cos
x)|
2π π
＝(sin 2π－cos 2π)－(sin π－cos π)
＝(0－1)－[0－(－1)]
＝－1－1＝－2.
(3)∵(ex－sin x)′＝ex－cos x，
•1．6 微积分基本定理
自主学习 新知突破
• 1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． • 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分．
• 已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x，
• [问题1] • [提示1]
[问题 2]
f(x)和F(x)有何关系？
F′(x)＝f(x)．
2
利用定积分的几何意义求0 (2x＋1)dx 的值．
10＝12.
答案： C
2． (1＋cos x)dx 等于( )
A．π
B．2
C．π－2
D．π＋2
解析：
＝π2＋sin2π－－π2＋sin－π2＝π＋2. 答案： D
3．若a12x＋1xdx＝3＋ln 2，则a的值是________．
解析：
a12x＋1xdx＝(x2＋ln
x)|
a 1
＝(a2＋ln a)－(1＋ln 1)＝(a2－1)＋ln a＝3＋ln 2.
a
f(x)dx＝
__S_上___．
b
(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图②，则af(x)dx＝ ____－__S_下___．
(3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在时，如
图
③
，
则
b
a
f(x)dx
＝
_S_上_－__S_下____
，
若
S
上＝S
b
下
，
则
a
f(x)dx
＝
___0_____.
对微积分基本定理的理解
b
(1)微积分基本定理表明，计算定积分
a
f(x)dx的关键是找
到满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)，通常，我们可以运用基本初等
函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)．
(2)牛顿－莱布尼兹公式指出了求连续函数定积分的一般
方法，把求定积分的问题，转化成求原函数(F(x)叫做f(x)的原
容 F′(x)＝__f_(x_)___，那么baf(x)dx＝_F_(_b_)－__F_(a_)____
符 号
abfxdx＝Fxba＝__F_(b_)_－_F_(_a)__
定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S
则 下．
b
(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图①，则
5－1f(x)dx＝－ 1 1x2dx＋13xdx＋533dx＝13x3|
1－1＋12x2|
31＋3x|
5 3
＝23＋4＋6＝1023.
(2)f(x)＝x42－－x42， ，
x≥2或x≤－2， －2<x<2，
3
2
3
∴0|x2－4|dx＝0(4－x2)dx＋2(x2－4)dx
＝4x－13x3|
20＋13x3－4x|
2
[提示2] 由定积分的几何意义得0 (2x＋1)dx＝6.
• [问题3] • [提示3] • [问题4]
[提示4]
求F(2)－F(0)的值． F(2)－F(0)＝4＋2＝6. 你得出什么结论？
2
0f(x)dx＝F(2)－F(0)，且F′(x)＝f(x)．
微积分基本定理
内 如果f(x)是区间[a，b]上的__连_续____函数，并且