2020届高三数学(文)“大题精练”12

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2020届高三12月大联考数学(文)试题 pdf版含答案

7.设 a Z ，函数 f (x) ex x a ，命题 p :“ x (1,1), f (x) 0 ”是假命题，则 a 的
取值个数有 A. 4 个 B.3 个 C.2 个 D. l 个
8.已知 m > 0 ,执行如图所本程序框图，若输入的 x = 2020,输出的 y = l2,则 m
n
(xi x)( yi y)
bˆ i1 n
, aˆ y bˆx
(xi x)2
i1
18. (12 分）
已知数列{ an
}满足 a1
1,
(an
an an1 1)(an1 1)
1 2
.
（1）证明数列{
1 an
1
}是等差数列,并求数列{
an
}的通项公式;
（2）设 bn
an an
1 3
，证明 b1b2
A.0 B.1 C.2 D.e 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
x 3y 6 0 13.已知 x, y 满足约束条件 x y 2 0 ，则 z 2x y 的最大值为 .
x 3
14. 为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在中国传统节日：春节、元宵节、清明节、
某种新型嫁接巨丰葡萄，在新疆地区种植一般亩产不低于 5 千斤，产量高的达到上万斤，受嫁接年限的影响，其产量一般逐年衰减，若在新疆地区不均亩产量低于 5 千斤，则从新嫁接.以下是新疆某地区从 2014 年开始嫁接后每年的不均亩产量单位：千斤）的数据表：
（1）求 y 关于 x 的线性回归方程. （2）利用(1)中的回归直线方程，预计哪一年开始从新嫁接. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
∵PO∩CO＝O，∴AB⊥平面 POC，∴AB⊥PC.(4 分)

2020届高考数学陕西省文数试题含解析

陕西省高考文科数试模拟题一一、选择题（每题一个选项，每题5分共60分）1．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则（）A．A⊆B B．C⊆B C．D⊆C D．A⊆D2．设z是复数z的共轭复数，且（1﹣2i）z=5i，则|z|＝（）A．3 B．5 C．√3D．√53．一个体积可忽略不计的小球在边长为2的正方形区域内随机滚动，则它在离4个顶点距离都大于1的区域内的概率为（）A．π4B．1−π4C．π2−1D．2π4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＝2b cos C”是“△ABC是等腰三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的面积之和为（）A．2 B．3 C．4 D．56．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i＝1，2，…，n）都在直线y=12x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．﹣1 B．0 C．12D．17．已知两个非零单位向量e1→，e2→的夹角为θ，则下列结论不正确的是（）A．∀θ∈R，（e1→+e2→）⊥（e1→−e2→）B．e1→在e2→方向上的投影为sinθC．e1→2=e2→2D．不存在θ，使e1→•e2→=√28．已知命题p：直线a∥b，且b⊂平面α，则a∥α；命题q：直线l⊥平面α，任意直线m⊂α，则l⊥m．下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（非q）C．（非p）∧q D．p∧（非q）9．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1 B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1 D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝110．抛物线y2＝ax（a＞0）的准线与双曲线C：x28−y24=1的两条渐近线所围成的三角形面积为2√2，则a的值为（）A．8 B．6 C．4 D．211．函数y＝sin（2x+π3）的图象经下列怎样的平移后所得的图象关于点（−π12，0）中心对称（）A．向左平移π12B．向右平移π12C．向左平移π6D．向右平移π612．已知定义在R上的函数f（x）满足f（3﹣x）＝f（3+x），且对任意x1，x2∈（0，3）都有f(x2)−f(x1)x2−x1＜0，若a=2−√3，b＝log23，c＝e ln4，则下面结论正确的是（）A．f（a）＜f（b）＜f（c）B．f（c）＜f（a）＜f（b）C．f（c）＜f（b）＜f（a）D．f（a）＜f（c）＜f（b）二、填空题（每小题5分，每题5分共20分）13．若sin（π2+α）=−35，α∈（0，π），则sinα＝．14．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为．15．已知正方体内切球的体积为36π，则正方体的体对角线长为．16．已知椭圆x2a12+y2b12=1（a1＞b1＞0）与双曲线x2a22−y2b22=1（a2＞0，b2＞0）有公共的左、右焦点F1，F2，它们在第一象限交于点P，其离心率分别为e1，e2，以F1，F2为直径的圆恰好过点P，则1e12+1e22=．三．解答题：（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知正项等比数列{a n}满足a1+a2＝6，a3﹣a2＝4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=1log2a n log2a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）销售某种活海鲜，根据以往的销售情况，按日需量x（公斤）属于[0，100），[100，200），[200，300），[300，400），[400，500]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．这种海鲜经销商进价成本为每公斤20元，当天进货当天以每公斤30元进行销售，当天未售出的须全部以每公斤10元卖给冷冻库．某海鲜产品经销商某天购进了300公斤这种海鲜，设当天利润为Y元．（Ⅰ）求Y关于x的函数关系式；（Ⅱ）结合直方图估计利润Y不小于800元的概率．19．（12分）如图1，在平面多边形BCDEF中，四边形ABCD为正方形，EF∥AB，AB＝2EF＝2，沿着AB 将图形折成图2，其中∠AED＝90°，AE＝ED，H为AD的中点．（1）求证：EH⊥BD；（2）求四棱锥D﹣ABFE的体积．20．（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上的点到两个焦点的距离之和为23，短轴长为12，直线l与椭圆C交于M、N两点．（I）求椭圆C的方程；（II）若直线l与圆O：x2+y2=125相切，证明：∠MON为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+a（1﹣x）．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）当f （x ）有最大值，且最大值大于2a ﹣2时，求a 的取值范围．选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为：{x =tcosαy =1+tsinα（t 为参数，α∈[0，π）），曲线C 的极坐标方程为：ρ＝4sinα．（1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，若|PQ|=√15，求直线l 的斜率． [选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x ）＝|x +1|+|x ﹣2|．（1）求不等式f （x ）≤3 的解集；（2）当x ∈[2，3]时，f （x ）≥﹣x 2+2x +m 恒成立，求m 的取值范围．一、选择题（每题一个选项，每题5分共60分）1．【详解详析】因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D ⊂A ，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B ⊂A ，C ⊂A ，正方形是矩形，所以C ⊆B ．故选：B ．2．【详解详析】由（1﹣2i ）z =5i ，得z =5i1−2i =5i(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−2+i ， ∴|z |＝|z |=√5．故选：D ．3．【详解详析】以四个顶点为圆心，1为半径作圆，当小球在边长为2的正方形区域内随机滚动，离顶点的距离不大于1，其面积为π， ∵边长为2的正方形的面积为4，∴它在离4个顶点距离都大于1的区域内的概率为P =4−π4=1−π4．故选：B ．4．【详解详析】∵当a ＝2b cos C 时， ∴cos C =a2b ∵cos C =a 2+b 2−c 22ab∴a2b =a 2+b 2−c 22ab，化简整理得b ＝c∴△ABC 为等腰三角形．反之，“△ABC 是等腰三角形，不一定有b ＝c ，从而a ＝2b cos C 不一定成立．则“a ＝2b cos C ”是“△ABC 是等腰三角形”的充分不必要条件．故选：A ．5．【详解详析】三棱锥P ﹣BCD 的正视图是底面边长为1，高为2的三角形，面积为：1；三棱锥P ﹣BCD 的假视图也是底面边长为1，高为2的三角形，面积为：1；故三棱锥P ﹣BCD 的正视图与侧视图的面积之和为2，故选：A ．6．【详解详析】由题设知，所有样本点（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，n ）都在直线y =12x +1上，∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选：D ．7．【详解详析】∵|e 1→|=|e 2→|=1，∴(e 1→+e 2→)⋅(e 1→−e 2→)=e 1→2−e 2→2=1−1=0，∴(e 1→+e 2→)⊥(e 1→−e 2→)，∴A 正确；e 1→在e 2→方向上的投影为|e 1→|cosθ=cosθ，∴B 错误；显然e 1→2=e 2→2，∴C正确；e 1→⋅e 2→=cosθ＜√2，∴不存在θ，使e 1→•e 2→=√2，∴D 正确．故选：B ．8．【详解详析】根据线面平行的判定，我们易得命题p ：若直线a ∥b ，直线b ⊂平面α，则直线a ∥平面α或直线a 在平面α内，命题p 为假命题；根据线面垂直的定义，我们易得命题q ：若直线l ⊥平面α，则若直线l 与平面α内的任意直线都垂直，命题q 为真命题；故：A 命题“p ∧q ”为假命题； B 命题“p ∨（￢q ）”为假命题； C 命题“（￢p ）∧q ”为真命题； D 命题“p ∧（￢q ）”为假命题．故选：C ．9．【详解详析】设圆心坐标为（a ，b ）（a ＞0，b ＞0），由圆与直线4x ﹣3y ＝0相切，可得圆心到直线的距离d =|4a−3b|5=r ＝1，化简得：|4a ﹣3b |＝5①，又圆与x 轴相切，可得|b |＝r ＝1，解得b ＝1或b ＝﹣1（舍去），把b ＝1代入①得：4a ﹣3＝5或4a ﹣3＝﹣5，解得a ＝2或a =−12（舍去）， ∴圆心坐标为（2，1），则圆的标准方程为：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝1．故选：A ．10．【详解详析】抛物线y 2＝ax 的准线为x =−a4，双曲线C ：x 28−y 24=1的两条渐近线为y ＝±√22x ，可得两交点为（−a 4，√28a ），（−a 4，−√28a ），即有三角形的面积为12•a 4•√24a ＝2√2，解得a ＝8，故选：A ．11．【详解详析】假设将函数y ＝sin （2x +π3）的图象平移ρ个单位得到：y ＝sin （2x +2ρ+π3）关于点（−π12，0）中心对称∴将x =−π12代入得到：sin （−π6+2ρ+π3）＝sin （π6+2ρ）＝0 ∴π6+2ρ＝k π，∴ρ=−π12+kπ2，当k ＝0时，ρ=−π12 故选：B ．12．【详解详析】根据题意，定义在R 上的函数f （x ）满足f （3﹣x ）＝f （3+x ），则函数f （x ）关于直线x ＝3对称，c ＝e ln 4＝4，f （c ）＝f （4）＝f （2），又由对任意x 1，x 2∈（0，3）都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜0，则函数f （x ）在（0，3）上为减函数，若a =2−√3=3，b ＝log 23，则有0＜a ＜1＜b ＜2，则f （c ）＜f （b ）＜f （a ），。

梅河口市第五中学2020届高三数学下学期模拟考试试题文含解析

(2）若圆的半径为2，点，满足 ,求直线被圆截得弦长的最大值。
【答案】（1)
（2）
【解析】
【分析】
（1)根据题意先计算出点坐标,然后得到直线的方程,根据直线与圆相切，得到半径的大小，从而得到所求圆的方程；(2）先计算斜率不存在时,被圆截得弦长，斜率存在时设为，与椭圆联立，得到和，代入到得到的关系，表示出直线被圆截得的弦长，代入的关系，从而得到弦长的最大值.
7.在中,角的对边分别为，若， ,则（ )
A。 1B。 2C。 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将已知条件利用正弦定理化简即可得到答案。
【详解】因为，由正弦定理,得，所以 ,
故选:A
【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题。
8.在区间上随机取一个数x,则的值介于0到之间的概率为
∴ ,∴ 或，解得 ,∴实数的取值范围是，故选B。
11.已知过球面上三点， , 的截面到球心距离等于球半径的一半,且，，则球面面积为（）
A. B. C。 D。
【答案】C
【解析】
【分析】
设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出两个半径,再求球的表面积．
【详解】如图,设球的半径为R，O′是△ABC的外心,外接圆半径为r，
【解析】
【分析】
全称命题的否定为，对结论进行否定,即可得到结果.
【详解】由全称命题的否定是特称命题,
可得命题的否定是“ ”，
故选:C
【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.
4。已知向量且，则
A。 1B. C。 D。
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，求得 ,根据，列出关于的方程，即可求解．

2020届高考数学(文)总复习试题：第五章第二节等差数列及其前n项和

课时规范练A 组基础对点练1．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝( )A ．－1B ．0 C.14 D.12解析：由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又∵a 2a 4＝34，数列{a n }单调递增，∴a 2＝12，a 4＝32.∴公差d ＝a 4－a 22＝12.∴a 1＝a 2－d ＝0.答案：B2．等差数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝100(n ≥3)．若{a n }的公差为某一自然数，则n 的所有可能取值为( )A ．3,7,9,15,100B ．4,10,12,34,100C ．5,11,16,30,100D ．4,10,13,43,100解析：由等差数列的通项公式得，公差d ＝a n －a 1n －1＝99n －1.又因为d ∈N ，n ≥3，所以n －1可能为3,9,11,33,99，n 的所有可能取值为4,10,12,34,100，故选B. 答案：B3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( )A ．5B ．7C ．9D ．11解析：因为{a n }是等差数列，∴a 1＋a 5＝2a 3，即a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，∴a 3＝1，∴S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5，故选A. 答案：A4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8－S 4＝36，a 6＝2a 4，则a 1＝( )A ．－2B ．0C ．2D ．4 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 8－S 4＝36，a 6＝2a 4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 1＋8×72d －⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋4×32d ＝36，a 1＋5d ＝2a 1＋6d ，解得⎩⎨⎧a 1＝－2，d ＝2.故选A. 答案：A 5．若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( )A ．12B ．13C ．14D ．15解析：由S 5＝(a 2＋a 4)·52，得25＝(3＋a 4)·52，解得a 4＝7，所以7＝3＋2d ，即d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝7＋3×2＝13.答案：B6．已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．97解析：由题意可知，⎩⎨⎧a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，解得a 1＝－1，d ＝1，所以a 100＝－1＋99×1＝98.答案：C7．已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若n ≥2且a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，S 2n －1＝38，则n 等于__________．解析：∵{a n }是等差数列，∴2a n ＝a n －1＋a n ＋1，又∵a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，∴2a n －a 2n ＝0，即a n (2－a n )＝0.∵a n ≠0，∴a n ＝2.∴S 2n －1＝(2n －1)a n ＝2(2n －1)＝38，解得n ＝10.答案：108．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．解析：设数列首项为a 1，则a 1＋2 0152＝1 010，故a 1＝5.答案：59．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110.(1)求a 及k 的值．(2)已知数列{b n }满足b n ＝S n n ，证明数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .解析：(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k (k －1)2·d ＝2k ＋k (k －1)2×2＝k 2＋k .由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10.(2)由(1)得S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)，则b n ＝S n n ＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)2. 10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n ＝1a n(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解析：(1)证明：∵b n ＝1a n，且a n ＝a n －12a n －1＋1， ∴b n ＋1＝1a n ＋1＝1a n 2a n ＋1＝2a n ＋1a n， ∴b n ＋1－b n ＝2a n ＋1a n －1a n＝2. 又∵b 1＝1a 1＝1，∴数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)知数列{b n }的通项公式为b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，又b n ＝1a n，∴a n ＝1b n ＝12n －1.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝12n －1. B 组能力提升练11．(2019·唐山统考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8＝( )A ．18B ．12C ．9D ．6解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(2a 1＋10d )2＝22，即a 1＋5d ＝2，所以a 3＋a 7＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＋a 1＋7d ＝3(a 1＋5d )＝6，故选D.答案：D12．已知数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，公比为q ，数列{c n }中，c n＝a n b n ，S n 是数列{c n }的前n 项和．若S m ＝11，S 2m ＝7，S 3m ＝－201(m 为正偶数)，则S 4m 的值为( )A ．－1 601B ．－1 801C ．－2 001D ．－2 201解析：令A ＝S m ＝11，B ＝S 2m －S m ＝－4，C ＝S 3m －S 2m ＝－208，则q m ·A ＝(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a m b m )q m ＝a 1b m ＋1＋…＋a m b 2m .故B －q m ·A ＝(a m ＋1－a 1)b m ＋1＋…＋(a 2m －a m )b 2m ＝md (b m ＋1＋…＋b 2m )，其中，d 是数列{a n }的公差，q 是数列{b n }的公比．同理C －q m ·B ＝md (b 2m ＋1＋…＋b 3m )＝md (b m ＋1＋…＋b 2m )·q m ，故C －q m ·B ＝q m (B －q m ·A )．代入已知条件，可得11(q m )2＋8q m －208＝0，解得q m ＝4或q m ＝－5211(因m 为正偶数，舍去)．又S 4m －S 3m ＝(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a m b m )q 3m ＋3md (b m ＋1＋…＋b 2m )q 2m ＝11×43＋3(B －q m ·A )×42＝11×43－3×12×43＝－1 600.故S 4m ＝S 3m －1 600＝－1 801.答案：B13．(2019·长春质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5＝911，则当S n 取最大值时，n 的值为( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：由题意，不妨设a 6＝9t ，a 5＝11t ，则公差d ＝－2t ，其中t >0，因此a 10＝t ，a 11＝－t ，即当n ＝10时，S n 取得最大值，故选B.答案：B14．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意正整数n 都有S n T n＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．解析：因为{a n }，{b n }为等差数列，所以a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6，因为S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941. 所以a 6b 6＝1941. 答案：194115．(2019·银川模拟)在等差数列{a n }中，已知a 3＝7，a 6＝16，依次将等差数列的各项排成如图所示的三角形数阵，则此数阵中，第10行从左到右的第5个数是________．解析：由题知公差d ＝a 6－a 36－3＝16－73＝3，所以a n ＝7＋(n －3)d ＝3n －2，第10行从左到右的第5个数是原等差数列中第1＋2＋…＋9＋5＝50项，即为 a 50＝3×50－2＝148.答案：14816．(2019·太原模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＜0，S 2 015＝0.(1)求S n 的最小值及此时n 的值．(2)求n 的取值集合，使其满足a n ≥S n .解析：(1)设公差为d ，则由S 2 015＝a 1＋2 015×2 0142d ＝a 1＋1 007d ＝0，d ＝－11 007a 1，a 1＋a n ＝2 015－n 1 007a 1，所以S n ＝n 2(a 1＋a n )＝n 2·20 15－n 1 007a 1＝a 12 014(2 015n －n 2 )．因为a 1＜0，n ∈N *，所以当n ＝1 007或1 008时，S n 取最小值504a 1.(2)a n ＝1 008－n 1 007a 1，S n ≤a n a 12 014(2 015n －n 2)≤1 008－n 1 007a 1.因为a 1＜0，所以n 2－2 017n ＋2 016≤0，即(n －1)(n －2 016)≤0，解得1≤n ≤2 016.故所求n 的取值集合为{n |1≤n ≤2 016，n ∈N *}．。

2020年5月湖南师范大学附属中学2020届高三毕业班高考模拟考试数学(文)试题(解析版)

绝密★启用前炎德·英才大联考湖南师范大学附属中学2020届高三毕业班下学期高考模拟考试数学(文)试题(解析版)2020年5月本试卷共6页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合(){}(){}2,2,,A x y x y B x y y x =+===，则A B =（） A. (){}1,1B. (){}2,4-C. ()(){}1,1,2,4-D. ∅ 【答案】C【解析】【分析】首先注意到集合A 与集合B 均为点集，联立22x y y x +=⎧⎨=⎩，解得方程组的解，从而得到结果.【详解】首先注意到集合A 与集合B 均为点集，联立22x y y x +=⎧⎨=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，或24x y =-⎧⎨=⎩，从而集合{(1,1),(2,4)}A B =-，故选C.【点睛】本题考查交集的概念及运算，考查二元方程组的解法，属于基础题.2. 已知2(1)i z-=1i +（i 为虚数单位），则复数z = （） A. 1i +B. 1i -C. 1i -+D. 1i --【答案】D【解析】试题分析：由2(1)1i i z-=+，得2(1)22(1)111(1)(1)i i i i z i i i i i --====--+++-，故选D. 考点：复数的运算.3. 现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B【解析】【分析】结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人.【详解】结合题意分类讨论：若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意；若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意；若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意；若丁获奖，则说假话人为：甲乙丙丁，不合题意；。

2020年高考数学(文数)解答题强化专练——立体几何含答案

（文数）解答题强化专练——立体几何一、解答题（本大题共10小题，共120.0分）1.如图，在三棱锥S-ABC中，SA=SC，AB⊥AC，D为BC的中点，E为AC上一点，且DE∥平面SAB．求证：（1）直线AB∥平面SDE；（2）平面ABC⊥平面SDE．2.如图，在四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，点P在底面ABCD的射影O落在AD上．（1）求证：平面PAB⊥平面PAD；（2）若O、M分别是AD、PB的中点，且求三棱锥M-PDC的体积．3.如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．（1）求证：AC∥平面BEF；（2）求四面体BDEF的体积．4.如图，将边长为2的正六边形ABDEF沿对角线BE翻折，连接AC、FD，形成如图所示的多面体，且AC=．（1）证明：平面ABEF⊥平面BCDE；（2）求三棱锥E-ABC的体积．5.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E是边AD上的一点，且AE=2ED，点H是BE的中点，将△ABE沿着BE折起，使点A运动到点S处，且有SC=SD．（1）证明：SH⊥平面BCDE．（2）求四棱锥S-BCDE的体积．6.如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥底面ABCD，ED∥PA，且PA＝2ED＝2．(1)证明：平面PAC⊥平面PCE；(2)若∠ABC＝60°，求三棱锥P﹣ACE的体积．7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA=PD，AB=AD，∠BAD=60°（1）求证：AD⊥PB；（2）若AB=PA=2，PB=，求点C到平面PBD的距离．8.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1中点，若AB=BC=2，AA1=．（1）求证：平面AB1D1⊥平面CB1D1；（2）求点O到平面AB1C的距离．9.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，AA1⊥平面ABCD．AB=2AD=4，．（1）证明：平面D1BC⊥平面D1BD；（2）若直线D1B与底面ABCD所成角为，M，N，Q分别为BD，CD，D1D的中点，求三棱锥C-MNQ的体积．10.如图，多面体ABCDB1C1是正三棱柱ABC-A1B1C1沿平面DB1C1切除部分所得，BC=CC1=1，点D为AA1的中点．（1）求证：BC1⊥平面B1CD；（2）求点B1到平面BCD的距离．答案和解析1.【答案】证明：（1）因为DE∥平面SAB，DE⊂平面ABC，平面SAB∩平面ABC=AB，所以DE∥AB，因为DE⊂平面SDE，AB⊄平面SDE，所以AB∥平面SDE，（2）因为D为BC的中点，DE∥AB，所以E为AC的中点．又因为SA=SC，所以SE⊥AC，又AB⊥AC，DE∥AB，所以DE⊥AC，∵DE⊂平面SDE，SE⊂平面SDE，DE∩SE=E，所以AC⊥平面SDE，因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面SDE．【解析】本题考查了线面平行的性质与判定，面面垂直的判定，属于中档题．（1）由线面平行可得DE∥AB，故而AB∥平面SDE；（2）证得SE⊥AC，DE⊥AC可得AC⊥平面SDE，故而平面ABC⊥平面SDE．2.【答案】（1）证明：依题意，PO⊥平面ABCD，又AB⊂平面ABCD，所以PO⊥AB．又AD⊥AB，AD∩PO=O，所以AB⊥平面PAD．又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．（2）因为PO⊥平面ABCD，O是AD的中点，所以△PAD是等腰三角形，又AD=2，，所以PO=1．因为M是PB的中点，所以M到平面PDC的距离等于点B到平面PDC距离的一半，连接BD，所以=．【解析】（1）根据PO⊥平面ABCD可得PO⊥AB，结合AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，于是平面PAB⊥平面PAD；（2）计算PO，根据计算棱锥的体积．本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．3.【答案】证明：（1）设AC∩BD=O，取BE中点G，连接FG，OG，所以，OG∥DE，且OG=DE．因为AF∥DE，DE=2AF，所以AF∥OG，且OG=AF，从而四边形AFGO是平行四边形，FG∥OA．因为FG⊂平面BEF，AO⊄平面BEF，所以AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF．解：（2）因为平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，所以AB⊥平面ADEF．因为AF∥DE，∠ADE=90°，DE=DA=2AF=2所以△DEF的面积为S△DEF=×ED×AD=2，所以四面体BDEF的体积V=•S△DEF×AB=【解析】（1）设正方形ABCD的中心为O，取BE中点G，连接FG，OG，由中位线定理，我们易得四边形AFGO是平行四边形，即FG∥OA，由直线与平面平行的判定定理即可得到AC∥平面BEF；（2）由已知中正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，我们可以得到AB⊥平面ADEF，结合DE=DA=2AF=2．分别计算棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式即可求出四面体BDEF的体积．本题考查的知识点是直线与平面平行的判定及棱锥的体积，（1）的关键是证明出FG∥OA，（2）的关键是得到AB⊥平面ADEF，即四面体BDEF的高为AB．4.【答案】（1）证明：正六边形ABCDEF中，连结AC、BE，交点为G，由边长为2的正六边形ABCDEF的性质得AC⊥BE，且AG=CG=，在多面体中，由AC=，得AG2+CG2=AC2，∴AG⊥GC，又GC∩BE=G，GC，BE⊂平面BCDE，∴AG⊥平面BCDE，又AG⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面BCDE．（2）解：连结AE，CE，则AG为三棱锥A-BCE的高，GC为△BCE的高，在正六边形ABCDEF中，BE=2AF=4，∴，∴V E-ABC=V A-BCE==2．【解析】（1）连结AC、BE，交点为G，由边长为2的正六边形ABCDEF的性质得AC⊥BE，且AG=CG=，由勾股定理得AG⊥GC，从而AG⊥平面BCDE，由此能证明平面ABEF⊥平面BCDE．（2）连结AE，CE，则AG为三棱锥A-BCE的高，GC为△BCE的高，利用V E-ABC=V A-BCE，能求出三棱锥E-ABC的体积．本小题主要考查空间线面关系、面面垂直的证明、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．5.【答案】（1）证明：取CD的中点M，连接HM，SM，由已知得AE=AB=2，所以SE=SB=2，又点H是BE的中点，所以SH⊥BE．因为SC=SD，点M是线段CD的中点，所以SM⊥CD．又因为HM∥BC，所以HM⊥CD，从而CD⊥平面SHM，所以CD⊥SH，又CD，BE不平行，所以SH⊥平面BCDE．（2）解：由（1）知，，底面BCDE的面积为，所以四棱锥S-BCDE的体积．【解析】（1）取CD的中点M，连接HM，SM，证明SH⊥BE．SM⊥CD．HM⊥CD，推出CD⊥平面SHM，即可证明SH⊥平面BCDE．（2）求出棱锥的底面面积与高，即可求解几何体的体积．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，如果是考试，可以参考评分细则：（1）第（1）问中，不管用哪种方法，证出结论得（6分）；（2）第（2）问，计算出高，得（2分），算出底面积S=4，得（2分），正确算出四棱锥的体积本小问共得（6分）．6.【答案】（1）证明：连接BD，交AC于点O，设PC中点为F，连接OF，EF．∵O，F分别为AC，PC的中点，∴OF∥PA，且OF=，∵DE∥PA，且，∴OF∥DE，且OF=DE．∴四边形OFED为平行四边形，则OD∥EF，即BD∥EF，因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∵BD∥EF，∴EF⊥平面PAC，∵EF⊂平面PCE，∴平面PAC⊥平面PCE．（2）解：∵∠ABC=60°，∴ABC是等边三角形，可得AC=2．又∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PA⊥AC．∴，∵EF⊥平面PAC，∴EF是三棱锥E-PAC的高．∵，∴=．【解析】本题考查平面与平面垂直的判定，三棱锥体积的计算，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．（1）连接BD，交AC于点O，设PC中点为F，由已知结合三角形中位线定理可得四边形OFED为平行四边形，则OD∥EF，即BD∥EF．再由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BD．又四边形ABCD是菱形，得BD⊥AC．由线面垂直的判定可得BD⊥平面PAC，则EF⊥平面PAC．进一步得到平面PAC⊥平面PCE．（2）由∠ABC=60°，可得△ABC是等边三角形，得AC=2．再由PA⊥平面ABCD，得PA⊥AC．求出三角形PAC的面积，证得EF是三棱锥E-PAC的高，即可求出结果.7.【答案】解：（1）证明：∵AB=AD，且∠BAD=60°∴△ABD是等边三角形设O是AD的中点，连接PO，BO，则BO⊥AD，∵△APD是等腰三角形∴PO⊥AD，∵PO∩BO=O，∴AD⊥平面PBO，∴AD⊥PB；（2）设PB中点为E，连接DE，∵AB=PA=2，PB=，∴AP=PD=AD=BD=2，OB=，DE=1，DE⊥BP，∴OP=BO=，OP2+OB2=PB2∴OP⊥OB，∵OP⊥AD，AD∩OB=O，∴OP⊥面ABCD，S△BCD=S△ABD=•OB•AD==，S△BDP=•DE•BP=×1×=，设点C到平面PBD的距离为h，∵V P-BCD=V C-BDP∴×OP×S△BCD=×h×S△BDP，即××=×h×，解得h=．【解析】（1）设O是AD的中点，连接PO，BO，通过证明AD⊥平面PBO，证出AD⊥PB；（2）利用等体积法，即可求点C到平面PAB的距离本题考查空间直线、平面位置关系的判断，考查点面距离的计算，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力8.【答案】（1）证明：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，∵AB=AD=2，AA1=，∴B1C=D1C，∵O为D1B1的中点，∴CO⊥B1D1，同理AO⊥B1D1，∴∠AOC就是平面AB1D1与平面CB1D1所成二面角的平面角．在三角形AOC中，可得AO=OC==2，∵AC=2，∴AO2+OC2=AC2，即OC⊥OA．∴∠AOC=90°．即平面AB1D1⊥平面CB1D1；（2）解：由（1）知，OB1⊥平面AOC，△AOC为直角三角形，且AO=OC=2．∴V=V，∴．∵，=2．∴d=1，∴点O到平面AB1C的距离为1．【解析】（1）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，由已知证明CO⊥B1D1，∴∠AOC就是平面AB1D1与平面CB1D1所成二面角的平面角．求解三角形可得OC⊥OA即可；（2）由（1）知，OB1⊥平面AOC，△AOC为直角三角形，然后利用等积法即可求解．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求距离，是中档题．9.【答案】证明：（1）∵D1D⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴D1D⊥BC．又AB=4，AD=2，，∴，∵AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD．又∵AD∥BC，∴BC⊥BD．又∵D1D∩BD=D，BD⊂平面D1BD，D1D⊂平面D1BD，∴BC⊥平面D1BD，而BC⊂平面D1BC，∴平面D1BC⊥平面D1BD．解：（2）∵D1D⊥平面ABCD，∴∠D1BD即为直线D1B与底面ABCD所成的角，即，而，∴DD1=2．，∴三棱锥C-MNQ的体积．【解析】（1）推导出D1D⊥BC，AD⊥BD，BC⊥BD．从而BC⊥平面D1BD，由此能证明平面D1BC⊥平面D1BD．（2）由D1D⊥平面ABCD，得∠D1BD即为直线D1B与底面ABCD所成的角，即，由，能求出三棱锥C-MNQ的体积．本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．10.【答案】解：（1）设BC1与B1C交于点E，连接DE，∵多面体ABCDB1C1是正三棱柱ABC-A1B1C1沿平面DB1C1切除部分所得，BC=CC1=1．∴四边形BB1C1C是正方形，四边形CC1DA，ABB1D均为直角梯形，且AB⊥AD，AC⊥AD．∵点D为AA1的中点．AA1=BB1，AA1∥BB1．∴，DC1=，∴BD=C1D．，BC1⊥DE，又∵BC1⊥B1C，B1C∩DE=E，∴BC1⊥平面B1CD；（2）设点B1到平面BCD的距离为d．∵，点D到面BCC1B1的距离即为△ABC边BC上的高，即为．∴∵．∴，S=，∴．即点B1到平面BCD的距离为．【解析】（1）设BC1与B1C交于点E，连接DE，可得BD=C1D，BC1⊥DE，即可证明BC1⊥平面B1CD；（2）利用等体积法求点B1到平面BCD的距离．本题考查了线面垂直的证明、点到面的距离，属于中档题．。

全国卷Ⅱ2020届高三高考压轴卷数学试题(文)(含解析)

【详解】A＝{0，1，2，3}，B＝{x∈R|﹣2＜x＜2}；
∴A∩B＝{0，1}．故选：A． 2. 答案 A
解析
，则，则复数的虚部是 z
=
1− i 1+ 2i
=
(1− i)(1− 2i) (1+ 2i)(1− 2i)
=
−1− 3i 5
=
−
1 5
−
3i 5
z =−1+3i 55
z
3
.
5
故选：A. 3. 答案 D
命题，使的否定是：均有 C. “∃x∈ R x2 + x −1 < 0 ”
“ ∀x ∈ R x2 + x −1 > 0 ”
D. 命题“若 x = y ，则sin x = sin y ”的逆否命题为真命题
D. − 3 i 5
sin (α −π ) + cos(π −α )
角4. α 的终边在直线 y = 2x 上，则 sin (π +α ) − cos(π −α ) = （）
线方程．
23. （本小题 10 分）
设函数 f (x) = x +1 − x 的最大值为 m.
（1）求 m 的值；
（2）若正实数，a b 满足 a + b = m，求 a2 + b2 的最小值. b+1 a +1
6 / 17
2020 新课标 2 高考压轴卷数学（文）Word 版含解析
参考答案
1. 答案 A 解析可解出集合 A，然后进行交集的运算即可．
（）
A.
B.
C.
D.
2 / 17
11.双曲线
C：

2020届高三联考试题数学(文) 含答案

18.(本小题满分 12 分) 已知在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，b(cosB＋cosAcosC)＝2asinBcosC。 (1)求 tanC 的值；
1
(2)若 a＝6，cosB＝，求 b。
3
19.(本小题满分 12 分) 如图，在正三棱柱 ABC－A1B1C1 (侧棱垂直于底面，且底面三角形 ABC 是等边三角形)中，BC ＝CC1，M，N，P 分别是 CC1，AB，BB1、的中点。
则称 f(x)为“M 函数”。给出下列函数：①y＝－x2＋2x＋1；②y＝( 1 )3x＋1；③y＝e－x－ex；④ 2
ln x , x 0
f(x)＝
0,
x
0
，其中为“M 函数”的是
A.①②③ B.①② C.②③ D.②④
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.曲线 y＝2x3＋lnx 在点(1，2)处的切线的斜率为
(1)求证：平面 NPC//平面 AB1M； (2)在线段 BB1 上是否存在一点 Q 使 AB1⊥平面 A1MQ?若存在，确定点 Q 的位置；若不存在，也请说明理由。
1.设全集 U＝{1，2，3，4，5}，集合 A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则 A∩ ðU B＝
A.{1} B.{2} C.{1，2，3} D.{1，3}
1i 2.若 i 是虚数单位，则 1 2i
5
10
2
1
A.
B.
C.
D.
5
5
5
5
3.在“新零售”模式的背景下，自由职业越来越流行，诸如淘宝店主、微商等等。现调研某行业自由职业者的工资收入情况，对该行业 10 个自由职业者人均年收入 y(千元)与平均每天的工

2020届湘豫名校高三联考(6月)数学(文)试题(解析版)

2020届湘豫名校高三联考（6月）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{(2)0}M xx x =-<∣，{2,1,0,1,2}N =--，则M N =（）A ．{0，1}B ．{－2，－1}C ．{1}D ．{0，1，2}【答案】C【解析】先求{(2)0}={02}M xx x x x =-<<<∣∣，再和{2,1,0,1,2}N =--直接求交集即可得解. 【详解】由{(2)0}={02}M xx x x x =-<<<∣∣， {2,1,0,1,2}N =--，可得{}1M N ⋂=，故选：C. 【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了一元二次不等式的计算，属于基础题. 2．已知纯虚数z 满足()122i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 等于（） A ．1- B ．1C ．2-D ．2【答案】B【解析】先根据复数的除法表示出z ，然后根据z 是纯虚数求解出对应的a 的值即可. 【详解】因为()122i z ai -=+，所以()()()()()21222421212125ai i a a iai z i i i ++-+++===--+，又因为z 是纯虚数，所以220a -=，所以1a =. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值，难度较易.若复数z a bi =+为纯虚数，则有0,0a b =≠.3．已知向量(3,1)a =，(21,)b k k =-，且()a b a +⊥，则k 的值是（）A ．1-B ．37C ．35D ．35【答案】A【解析】求出(22,1)a b k k +=++，再结合向量垂直的坐标运算求出得解. 【详解】由题意得(22,1)a b k k +=++，∵()a b a +⊥， ∴3(22)(1)0k k +++=，解得1k =-. 故选:A.本题考查向量的坐标运算，属于基础题.4．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（） A ．14B ．38C ．12D ．58【答案】B【解析】分析总的基本事件的个数和所求基本事件的个数，按照古典概型的概率公式即可求出结果. 【详解】从写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件的个数为4416⨯=，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的基本事件为()2,1，()3,1，()3,2，()4,1，()4,2，()4,3共6个，因此抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为63168=. 故选：B . 【点睛】本题考查古典概型的概率公式，考查不放回抽取求基本事件，属于基础题. 5．设ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos 4csin a C A =，已知ABC 的面积等于10，4b =，则a 的值为（）A ．233B ．283C ．263D ．253【答案】D【解析】先利用正弦定理化简3cos 4csin a C A =，可得3sin 5C =，然后利用三角形的面积为10，列方程可求出a 的值【详解】3cos 4sin a C c A =，∴由正弦定理可得3sin cos 4sin sin A C C A =，sin 0A ≠，3cos 4sin C C ∴=，即4cos sin 3C C =，222221625sin cos sin sin sin 199C C C C C ∴+=+==，解得，3sin 5C =或3sin 5C =-（舍去）4b =，ABC 的面积11310sin 4225S ab C a ===⨯⨯⨯，∴解得253a =. 故选：D 【点睛】此题考查了正弦定理、同角三角函数的关系、三角形的面积公式等知识，属于基础题. 6．如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形，ED ⊥平面ABCD ，FC ⊥平面ABCD ，22ED FC ==，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为（）A ．13B ．5 C ．310D ．23【答案】C【解析】根据题意画出图形,取ED 中点P ,连接,AP PF ,可得//AP BF ,故EAP ∠为异面直线AE 与BF 所成角,结合已知,即可求得答案. 【详解】根据题意画出图形,取ED 中点P ,连接,AP PF//PD FC 且PD FC =∴四边形PDFC 是平行四边形 ∴//PF DC 且PF DC =又四边形ABCD 是的正方形可得//AB DC 且AB DC = 故//AB PF 且AB PF =∴四边形ABPF 是的平行四边形 ∴//BF AP 且BF AP =故EAP ∠为异面直线AE 与BF 所成角在Rt APD 根据勾股定理可得:2222215AP AD DP =+=+=在Rt EAD 根据勾股定理可得:22222222AE AD ED =+=+=在EAP 中根据余弦定理:2222cos EP EA AP EA AP EAP =+-⋅⋅∠可得：222cos 2EA AP EP EAP EA AP+-∠=⋅222523105===⋅⋅⋅ 故选:C 【点睛】本题考查求异面直线夹角,解题关键是掌握异面直线夹角的定义和将异面直线夹角转化为共面夹角的求法,考查分析能力和计算能力,属于中档题.7．函数2()ln(1)x xe ef x x --=+在[3,3]-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先根据函数奇偶性排除B ，再根据函数极值排除A ；结合特殊值即可排除D ，即可得解. 【详解】函数2()ln(1)x xe ef x x --=+，则2()()ln(1)x xe ef x f x x ---==-+，所以()f x 为奇函数，排除B 选项；当x →+∞时，2()ln(1)x xe ef x x --=→+∞+，所以排除A 选项；当1x =时，11 2.720.37(1) 3.4ln(11)ln 20.69e e e ef -----==≈≈+，排除D 选项；综上可知，C 为正确选项，故选：C. 【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图像，注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用，属于基础题.8．执行如下的程序框图，则输出的S 是（）A ．36B ．45C ．36-D ．45-【答案】A【解析】列出每一步算法循环，可得出输出结果S 的值. 【详解】18i =≤满足，执行第一次循环，()120111S =+-⨯=-，112i =+=； 28i =≤成立，执行第二次循环，()221123S =-+-⨯=，213i =+=； 38i =≤成立，执行第三次循环，()323136S =+-⨯=-，314i =+=； 48i =≤成立，执行第四次循环，()4261410S =-+-⨯=，415i =+=； 58i =≤成立，执行第五次循环，()52101515S =+-⨯=-，516i =+=； 68i =≤成立，执行第六次循环，()62151621S =-+-⨯=，617i =+=； 78i =≤成立，执行第七次循环，()72211728S =+-⨯=-，718i =+=； 88i =≤成立，执行第八次循环，()82281836S =-+-⨯=，819i =+=； 98i =≤不成立，跳出循环体，输出S 的值为36，故选A.【点睛】本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.9．若将函数()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移23π个单位长度后与原函数的图象关于x 轴对称，则ω的最小正值是（） A ．32B ．3C ．92D ．6【答案】A【解析】求出平移后图象对应的解析式，利用其与()f x 的关系结合诱导公式可求ω的最小值. 【详解】()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移23π个单位长度，得到()2sin 36g x x ππω⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ()g x 与()f x 关于x 轴对称，则()()0g x f x +=，令6x πωα+=，则2sin sin 03ωπαα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭即2sin sin 3ωπαα⎛⎫=- ⎪⎝⎭对任意的α∈R 恒成立，于是22,3k k Z ωπααππ⎛⎫+-=+∈ ⎪⎝⎭，故223k ωπππ=+()k ∈Z ，解得332k ω=+（k ∈Z ），故ω的最小正值是32，故选：A. 【点睛】本题考查三角函数中的图象变换以及诱导公式，注意两个角的正弦相等时，这两个角的终边要么重合，要么关于y 轴对称，本题属于中档题.10．已知O 为直角坐标系的坐标原点，双曲线C ：22221x y a b-=（0b a >>）上有一点)Pm （0m >），点P 在x 轴上的射影恰好是双曲线C 的右焦点，过点P 作双曲线C 两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A ，B ，若平行四边形PAOB 的面积为34，则双曲线的标准方程是（） A ．2214yx -= B ．22123x y -= C ．2211922x y -= D ．2213722x y -=【答案】C【解析】由已知联立方程(b y x a b y m x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩求得A x ，则A OA x =，利用点到直线的距离公式求得P 到直线b y x a =的距离d ，根据面积公式34OA d ⋅=，化简计算求得,a b 即可得出结果. 【详解】据题意，双曲线的半焦距c =可设一条平行线方程为(b y m x a -=-，由(b y x ab y m x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得A x =则OA =P 到直线b y x a =的距离d =，2225324b m a ab-==，又22222222515m b a m a b a b-=⇒-=，∴32ab =，又c =2a =，2b =，所以双曲线的标准方程是2211922x y -=，故选:C. 【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质、双曲线的渐近线及待定系数法求双曲线方程，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.11．已知圆锥1SO 的顶点和底面圆周均在球O 的球面上，且该圆锥的高为8.母线12SA =，点B 在SA 上，且2SB BA =，则过点B 的平面被该球O 截得的截面面积的最小值为（）A ．27πB ．32πC ．45πD ．81π【答案】B【解析】设球半径为R ，由题意可得11,OA SO AO ，的长，在1O OA 中由勾股定理可求得R,取AS 中点N ，由已知条件可得OB 长，当截面圆面积最小时，当且仅当OB 垂直于截面，由勾股定理可得截面圆的半径，进而求得面积. 【详解】如图,球的球心为O ，半径为R ，则18SO =，OA R =，221145AO SA SO =-=，所以22211OA OO AO=+，即()()222845R R =-+，解得9R =，取SA 的中点N ，12SA =，2SB BA =，则2BN =，所以2235ON R AN =-=，227OB ON BN =+=，过点B 的平面被该球O 截，若截面面积最小，则OB 垂直于截面，此时截面圆半径为2242r R OB =-=，所以截面面积的最小值为232r ππ=.故选：B.【点睛】本题考查被球截得的截面面积最小值的求法，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力，是中档题．12．已知函数2ln ,0,(),0,x x f x x ax x >⎧=⎨--⎩若方程()0f x x a --=有3个不同实数根，则实数a 的取值范围是（） A ．(0,1) B ．(2,1)--C ．(1,0)-D ．(,1)-∞-【答案】D【解析】当0x >时求出直线y x a =+与曲线ln y x =相切时得1a =-.再分别讨论1a <-，1a >-方程解的个数得解. 【详解】当直线y x a =+与曲线ln y x =相切时，设切点为(,ln )t t ，则切线斜率1(ln )1x tk x t'====，所以1t =，即10a +=，解得1a =-.又当0x ≤时，()()()10f x x a x x a =+⇔++=.所以：（1）当1a =-时，ln x x a =+（0x >）有1个实数根，此时()()()100x x a x ++=≤有1个实数根，不满足题意；（2）当1a <-时，ln x x a =+（0x >）有2个实数根，此时()()()100x x a x ++=≤有1个实数根，满足题意；（3）当1a >-时，ln x x a =+（0x >）无实数根，此时()()()100x x a x ++=≤最多有2个实数根，不满足题意. 综上得1a <-，故选:D 【点睛】本题考查函数与方程,讨论根的个数求解参数范围问题，属于基础题.二、填空题13．已知函数()()2log 3,021,0x x x f x x ⎧-≤=⎨->⎩，若()112f a -=，则实数a =______.【答案】2log 3【解析】利用分段函数解析式列方程，解方程求得a 的值. 【详解】当0x ≤时，33x -≥，()2221log 3log 3log 2x -≥>=. 所以10a ->，故()1122133121,2,1log log 31222a a f a a ---=-==-==-，所以2log 3a =. 故答案为：2log 3【点睛】本小题主要考查根据分段函数函数值求参数，属于基础题.14．若sin 2cos αα=，则22sin 22cos 2sin(4)ααπα-=-__________. 【答案】112【解析】根据同角公式得到tan 2α=，再根据二倍角公式得到4tan 23α=-，将所求式子用tan2α表示即可得到结果. 【详解】sin 2cos αα=，tan 2α∴=，则22tan 4tan 21tan 3ααα==--. 2222222sin 22cos 2sin 22cos 2sin 22cos 2tan 22sin(4)sin 42sin 2cos 22tan 2αααααααπααααα----∴===-2421341223⎛⎫-- ⎪⎝⎭==⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭.故答案为：112. 【点睛】本题考查了同角公式、诱导公式、二倍角的正弦、正切公式，属于基础题.15．已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>2，点P 为椭圆上任意一点，则1214PF PF +的最小值是______. 【答案】94【解析】根据离心率以及短轴长，求得12PF PF +，再利用均值不等式，即可求得和的最小值. 【详解】据题意c a =1b =，解得2a =，c =1224PF PF a +==，所以()121212141144PF PF PF PF PF PF ⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭∣(2112411955444PF PF PF PF ⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当212PF PF =，即283PF =，143PF =时等号成立. 故答案为：94. 【点睛】本题考查椭圆中的最值，涉及椭圆定义以及均值不等式的使用，属综合中档题. 16．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆现有ABC ，6AC =，sin 2sin C A =，则当ABC 的面积最大时，它的内切圆的半径为______.1【解析】ABC ，6AC =，sin 2sin C A =,即2ca=．根据阿波罗尼斯圆可得：点B 的轨迹为圆, 以线段AC 中点为原点，AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系,求出B 的轨迹方程，当ABC 面积最大时，AC 边上的高为圆的半径4,进而求得ABC 的面积，根据内切圆的性质，计算可得半径，进而得出结论．【详解】∵sin 2sin C A =，∴sin 2sin AB CCB A==为非零常数，故点B 的轨迹是圆. 以线段AC 中点为原点，AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则()30A -,，()3,0C ，设(),B x y ， ∵2AB CB ==，221090x y x +-+=，整理得()22516x y -+=，因此，当ABC 面积最大时，AC 边上的高为圆的半径4.此时BC ==，AB =设内切圆的半径为r ，则()1164622r ⨯⨯=⨯，解得1r ==.1 【点睛】本题考查了阿波罗尼斯圆的应用、正弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题17．已知数列{}n a 中，11a =，0n a >，前n 项和为n S ，若n a =*n N ∈，且2n ≥）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记132nn n a c +-=，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；（2）2n nn T =.【解析】（11=，再求出2n S n =即得解；（2）求出22n nnc -=，再利用错位相减法求数列{}n c 的前n 项和n T . 【详解】（1）数列{}n a 中，1n n n a S S -=-（n *∈N ，且2n ≥）①，又n a n *∈N ，且2n ≥）②，÷①②()12n =≥，则数列1=为首项，公差为1的等差数列，()11n n =+-=，则2n S n =，当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-，11a =也符合该式，则21n a n =-.（2）由（1）的结论得，21n a n =-，则13222n n n n a nc +--==；则2310122222n nnT --=++++，∴2341110132222222n n n n nT +---=+++++，两式错位相减可得：2312311111121111222222222222n n n n n n nT ++-----⎛⎫=++++-=-+++-⎪⎝⎭ 21111112222122212n n n n n ++-⋅-=--=-，∴2n n nT =.【点睛】本题主要考查等差数列的判定和数列通项的求法，考查错位相减法对数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.18．如图，在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，22MB MD ==.（1）证明：平面ABM ⊥平面ABCD ；（2）若//CD AB ，2CD AB =，E 为线段BM 上一点，且2BE EM =，求三棱锥D CEM -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）29. 【解析】（1）先根据边长关系得AB AM ⊥，AD AM ⊥，从而证明AM ⊥平面ABCD ，再证明平面ABM ⊥平面ABCD ；（2）连接BD ，由2BE EM =得13DEM MDB S S =△△，再用等体积转化求解即可. 【详解】（1）∵在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，22MB MD ==∴222AB AM BM +=，222AD AM DM +=，∴AB AM ⊥，AD AM ⊥，∵AD AB A ⋂=，∴AM ⊥平面ABCD又AM ⊂平面ABM ，所以平面ABM ⊥平面ABCD .（2）连接BD ，∵2BE EM =，∴13DEM MDB S S =△△，于是1133D CEM C DEM C DBM M BCD V V V V ----===，又∵CDAB ，AB AD ⊥，∴CD AD ⊥，∴1112122CDB S CD AD =⨯⨯=⨯⨯=△， ∴11212333M BCD BCD V S MA -=⋅=⨯⨯=△，即1239D CEM M BCD V V --==. 【点睛】本题考查面面垂直的证明，等体积转化求几何体的体积，考查逻辑推理能力与数学运算能力，是中档题.19．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点(),2A a ，点P 为抛物线C 上的动点. （1）若PA PF +的最小值为4，求实数a 的值；（2）设线段OP 的中点为M ，其中O 为坐标原点，若MOA MAO AOF ∠=∠=∠，求OPA 外接圆的方程.【答案】（1）3或123-（2）()()22228x y -+-=.【解析】（1）对线段AF 与抛物线C 是否有公共点进行分类讨论，利用抛物线的定义以及三点共线可得出PA PF +的最小值，进而可求得实数a 的值；（2）推导出//MA x 轴且MO MA MP ==，设点(),2M t ，可得点()2,4P t ，将点P 的坐标代入抛物线C 的方程，求得t 的值，进而可求得OPA 外接圆的方程.【详解】（1）由题意()1,0F ，联立224y y x =⎧⎨=⎩，可得12x y =⎧⎨=⎩.①若线段AF 与抛物线C 没有公共点，即1a >时，点P 在抛物线准线1x =-上的射影为D ，由抛物线的定义可得PD PF =，则当A 、D 、P 三点共线时，PA PF +的最小值为()14AD a =--=，此时3a =； ②若线段AF 与抛物线C 有公共点，即1a ≤时，则当A 、P 、F 三点共线时，PA PF +的最小值为()22124AF a =-+=，此时123a =-，综上，实数a 的值为3或13-（2）因为MOA MAO AOF ∠=∠=∠，所以//MA x 轴且MO MA MP ==，设(),2M t ，则()2,4P t ，代入抛物线C 的方程得816t =，解得2t =，于是22MO MA MP ===，所以OPA 外接圆的方程为()()22228x y -+-=. 【点睛】本题考查利用抛物线的定义求折线段长度之和的最小值，同时也考查了三角形外接圆方程的求解，考查计算能力，属于中等题.20．为推进中小学体育评价体系改革，某调研员从一中学4000名学生中按照男女学生比例采用分层抽样的方法，从中随机抽取了400名学生进行某项体育测试（满分100分），记录他们的成绩，将记录的数据分成7组：(]30,40，(]40,50，(]50,60，(]60,70，(]70,80，(]80,90，(]90,100，并整理得到如图频率分布直方图.（1）根据该频率分布直方图，估计样本数据的中位数及4000名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（精确到0.01）；（2）已知样本中有三分之二的男生分数高于60分，且分数高于60分的男女人数相等，试估计该校男生和女生人数的比例；（3）若测试成绩2x x s <-（其中x 是成绩的平均值，s 是标准差），则认为该生测试成绩不达标，试估计该中学测试成绩不达标人数. 参考公式：()221nii i s x x p ==-∑（i p 是第i 组的频率）1.4≈10.8≈.【答案】（1）中位数为71.67，平均数为69；（2）9:7；（3）175.【解析】（1）根据中位数是频率分布直方图中使得两边面积相等数求解即可；平均数用每组中点值乘以每组的频率求解即可；（2）根据频率分布直方图计算出样本中高于60分的人数，在根据题意得到样本中男生的总人数为225人，女生的总人数175，再根据分层抽样得男女比例；（3）根据公式计算方差得标准差，再计算2x x s <-的范围，结合频率分布直方图得到不达标的占比，再估算即可. 【详解】解：（1）前4组的频率和为0.050.10.10.20.45+++=，故中位数为0.055707071.670.033+=+≈ 4000名学生的平均成绩为：0.05350.1450.1550.2650.3750.2850.059569⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）由频率分布直方图得样本中高于60分的人数占总人数的0.75，又因为分数高于60分的男女人数相等，故高于60分的男生、女生人数均为4000.750.5150⨯⨯=人，又因为样本中有三分之二的男生分数高于60分，所以样本中共有男生的21502253÷=人，女生175人，又因为样本是按照男女学生比例采用分层抽样的方法得到，故该校男生和女生人数的比例为225:1759:7=；（3）()()()2222135690.0545690.1nii i s x x p ==-=-⨯+-⨯∑()255690.1+-⨯()()2265690.275690.3+-⨯+-⨯()()2285690.295690.05234+-⨯+-⨯=所以15.12s ==≈，26915.12238.76x s -=-⨯=故测试成绩2x x s <-占比为0.050.8760.0438⨯=，该中学测试成绩不达标人数约为0.0438*******⨯≈. 【点睛】本题考查样本估计总体的相关知识，是中档题. 21．已知函数()ln 2f x x kx =++. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()2x e g x x ax=-+，当1k =-且202e a <≤，求证：()()g x f x >.【答案】（1）当0k ≥时()f x 在()0,∞+递增；当k 0<时()f x 增区间为10,k ⎛⎫-⎪⎝⎭；减区间为1,k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.（2）证明见解析. 【解析】（1）根据函数解析式，求得定义域及导函数，讨论k 的取值情况，即可判断导函数符号，进而可得函数()f x 的单调区间；（2）将1k =-代入解析式，并将两个解析式代入不等式化简可得21ln 2xe e x >.当01x <<易证不等式成立，当1x >时，结合202e a <≤可将不等式化为21ln 2x e e x >，构造函数()22ln x e h x x x-=-，并求得()h x '，再构造函数()()221x x e x x -Φ=--，并求得()x Φ'.根据零点存在定理可证明存在()01,2x ∈使得()00x Φ'=，即()x Φ在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增；由()110Φ=-<，()20Φ=，可证明()h x 的单调情况，进而可知()h x 在2x =处取得最小值，即证明()()20h x h ≥>即可证明()()g x f x >成立. 【详解】（1）函数()ln 2f x x kx =++. 函数定义域为()0,∞+，()1+1kx f x k x x'=+= 当0k ≥时，可知()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+单调递增；当k 0<时，令()0f x '=，解得1x k=-，所以当10x k<<-时，()0f x '>；当1x k>-时()0f x '<；故此时()f x 单调增区间为10,k ⎛⎫-⎪⎝⎭；单调减区间为1,k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；综上所述：当0k ≥时()f x 在()0,∞+递增；当k 0<时()f x 增区间为10,k ⎛⎫-⎪⎝⎭；减区间为1,k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. （2）证明：将1k =-代入函数解析式可得()ln 2f x x x =-+，()2xe g x x ax=-+，定义域为()0,∞+，要证()()g x f x >，即证ln x e ax x >，①当01x <≤时，e 1x >，ln 0ax x ≤，不等式显然成立， ②当1x >时，ln 0x x >，结合已知2102a e <≤可得，210ln ln 2ax x e x x <≤，于是转化为21ln 2xe e x >，即证22ln 0x e x x-->，令()22ln x e h x x x -=-，则()()2221x e x x h x x ---'=，令()()221x x e x x -Φ=--，则()221x x xe -'Φ=-，且在()0,∞+上单调递增，∵()2110e'Φ=-<，()230'Φ=>，存在()01,2x ∈使得()00x Φ'=，即02021x x e -=，∴()x Φ在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，又()110Φ=-<，()20Φ=，故当()1,2x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()2,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， ∴()()21ln 20h x h ≥=->，故()0h x >，得证()()g x f x >. 【点睛】本题考查了利用导数分类讨论函数的单调性，通过构造函数法及导函数的符号判断函数的单调性，由零点存在定理判断极值点和极值，进而证明不等式成立，是高考的常考点，综合性强，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点M 的极坐标为()4,0，射线04πθαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭分别交1C 、2C 于A 、B 两点（异于极点），当4AMB π∠=时，求tan α.【答案】（1）4cos ρθ=；()2224x y +-=（或2240x y y +-=）；（2）1tan 2α=. 【解析】（1）在曲线1C 的参数方程中消去参数ϕ，可得曲线1C 的直角坐标方程，再由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可将曲线1C 的直角坐标方程化为极坐标方程，在曲线2C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，得出24sin ρρθ=，再由极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可得曲线2C 的直角坐标方程；（2）设点A 、B 的极坐标分别为()1,A ρα、()2,B ρα，将θα=分别代入曲线1C 、2C 的极坐标方程，可得14cos ρα=，24sin ρα=，进而可得出4cos 4sin AB αα=-及4sin AM α=，再由AB AM =可求得tan α的值.【详解】（1）22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），得22cos 2sin x y ϕϕ-=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）， ∴曲线1C 的普通方程为()2224x y -+=，即2240x y x +-=.cos x ρθ=，sin y ρθ=，24cos 0ρρθ∴-=，所以，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，即24sin ρρθ=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以，曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程得224x y y +=，即()2224x y +-=；（2）依题意设()1,A ρα、()2,B ρα，由4cos θαρθ=⎧⎨=⎩得14cos ρα=，由4sin θαρθ=⎧⎨=⎩得24sin ρα=， 04πα<<，12ρρ∴>，124cos 4sin AB OA OB ρραα∴=-=-=-. OM 是圆1C 的直径，2OAM π∴∠=. 在Rt OAM 中，4sin AM α=，在Rt BAM 中，4AMB π∠=，AB AM ∴=，即4cos 4sin 4sin ααα-=，4cos 8sin αα∴=，即1tan 2α=.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程之间的相互转化，同时也考查了利用极坐标方程解决实际问题，考查计算能力，属于中等题.23．已知x ，y ，z 均为正数.（1）若1xy <，证明：4x z y z xyz +⋅+>；（2）若13xyz x y z =++，求2222xy y xx ⋅⋅的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）8.【解析】（1）利用基本不等式可得|x |2242z y z xz yz z xy +⋅+≥=01xy <<时，即可证明4x z y z xyz +⋅+>；（2）由xyz x y z ++＝13, 得1113yz xz xy ++=，然后利用基本不等式即可得到3xy yz xz ++≥，从而求出2222xy y xx ⋅⋅的最小值.【详解】（1）∵x ，y ，z 均为正数，∴()()4x z y z x z y z +⋅+=++≥=，当且仅当x y z ==时取等号.又∵01xy <<，∴44xyz >， ∴4x z y z xyz +⋅+>.（2）∵13xyz x y z =++，即1113yz xz xy++=.∵12yz yz +≥=，12xz xz +≥=，12xy xy +≥=，当且仅当1x y z ===时取等号， ∴1116xy yz xz xy yz xz+++++≥， ∴3xy yz xz ++≥，∴22228xy yx xz xy yz xz ++⋅⋅=≥，∴2222xy y xx ⋅⋅的最小值为8.【点睛】本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属于中档题．。

湖北省武汉市部分市级示范高中2020届高三12月联考数学(文科)试题Word版含解析

湖北省武汉市部分市级示范高中2020届高三12月联考数学（文科）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数是纯虚数（其中为虚数单位，），则的虚部为（）A. -1B. 1C.D.2.函数是定义在上的奇函数，当时，，则A. B. C. D.3.若变量满足约束条件，那么的最小值是（）A. -2B. -3C. 1D. -44.已知正项等比数列的前项和为，且,与的等差中项为，则（）A. B. C. D.5.直线是曲线的一条切线，则实数的值为（）A. 2B.C.D.6.为得到函数的图像，只需将函数的图像（）A. 向右平移个长度单位B. 向左平移个长度单位C. 向右平移个长度单位D. 向左平移个长度单位7.已知，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.8.函数的导函数的图像大致是（）A. B. C. D.9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A. B.C. D.10.是双曲线的右焦点，过点向曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. 2 C. D.11.等差数列的前项和，若，，则下列结论正确的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，12.设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若角为锐角，，，且，则角的值为__________．14.已知圆过的直线,过直线上的点引圆的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线的斜率=___________15.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________．16.在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足，由点集所表示的区域的面积是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数.(1)求的单调递增区间；(2)求在区间上的最小值.18.已知等差数列的公差为2，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和，求使成立的最大正整数的值.19.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，分别为线段的中点.（1）求证：平面；（2）若平面平面，求三棱锥的体积.20.在中，角，，的对边分别为，，，已知．（1）若，的面积为，求的值；（2）若，求的取值范围．21.已知椭圆的左、右焦点分别为，设点与椭圆短轴的一个端点构成斜边长为4的直角三角形.（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆上的三点，满足，记线段的中点的轨迹为，若直线与轨迹相交于两点，求的值.22.已知函数.（1）若函数在点处的切线与直线平行，求实数的值；（2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围.湖北省武汉市部分市级示范高中2020届高三12月联考数学（文科）试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数是纯虚数（其中为虚数单位，），则的虚部为（）A. -1B. 1C.D.【答案】B【解析】因为 ,所以 ,的虚部为1,选B2.函数是定义在上的奇函数，当时，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用奇函数的性质求出的值.【详解】由题得，故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查奇函数的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)奇函数f(-x)=-f(x).3.若变量满足约束条件，那么的最小值是（）A. -2B. -3C. 1D. -4【答案】B【解析】实数满足的线性区域如图所示：可化为，由图可知当直线经过点时，截距取最小值，即.故选B.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4.已知正项等比数列的前项和为，且,与的等差中项为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，∴，故，又，∴，∴，，，故选D．5.直线是曲线的一条切线，则实数的值为（）A. 2B.C.D.【答案】C【解析】y′=（lnx）′=, ，令得x=2，∴切点为（2，ln2），代入直线方程, ∴ln2=1+b∴b=ln2-1．故选C．点睛：对于直线是曲线的切线问题，都是先求导数，令直线斜率与导数值相等得出切点坐标，再代入直线方程即可得出参数值.6.为得到函数的图像，只需将函数的图像（）A. 向右平移个长度单位B. 向左平移个长度单位C. 向右平移个长度单位D. 向左平移个长度单位【答案】D【解析】，平移k个单位（k>0,向左；k<0,向右）得。

广州市2020届高三数学(文)上学期12月测试卷附答案解析

广州市2020届高三上学期12月测试数学（文）试卷2019.12试卷满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.已知复数z=i435，则复数z 的虚部为（）A.4iB.C.54i D.542.设集合A={x|x 2−2x−3}≤0，B={x|y=ln(2−x)}，则A ∩B=（）A.[−3,2)B.(2,3]C.[−1,2)D.(−1,2)3.如图所示的风车图案中，黑色部分和白色部分分别由全等的等腰直角三角形构成，在图案内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A.41B.3C.32 D.434.命题“∀x>0,lnx ≥1−x 1”的否定是（）A.∃x ≤0，lnx ≥1−x 1B.∃x ≤0，lnx<1−x1C.∃x>0，lnx ≥1−x1 D.∃x>0，lnx<1−x15.设a ，b 是单位向量，a 与b 的夹角是60°，则c =a +3b 的模为（）A.13B.13C.16D.46.已知实数x ，y 满足，则z=x−3y 的最小值为（）A.−7B.−6C.1D.67.已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m−1)x n 的图像上，设a=f(33)，b=f(lnπ)，c=f(22)，则a,b,c 的大小关系为（）A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.a<c<b8.已知F 为双曲线C:12222=-by a x 的右焦点，过点F 作C 的渐近线的垂线FD ，垂足为D ，且满足|FD|=|OF|（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（）A.332 B.2 C.3 D.3109函数f(x ）=xx e e x x -+-|2|ln 的图象大致为（）10.已知函数f(x)=sin(2x+ϕ)0<ϕ<2π，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的函数的图象关于y 轴对称，则下列说法错误的是（）A.f(x)在（-32π，2π）上单调递减 B.f(x)在（0,3π）上单调递增C.f(x)的图象关于（125π,0）对称 D.f(x)的图象关于x=−3π对称11.已知三棱锥P−ABC 中，PA=1，PB=7，AB=22，CA=CB=5，面PAB ⊥面ABC ，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A.920π B.1225π C.325π D.35π12.已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足122log ,02)12(+==---n an nn nn b S S ，若[x]表示不超过x 的最大正数，则2021202032212020....20202020b b b b b b +++=（）A.2018B.2019C.2020D.2021二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知抛物线x 2=2py(p>0)的焦点与椭圆=1的一个焦点重合，则p=__________.14.设数列{a}为等比数列，若2a ，4a ，8a 成等差数列，则等比数列{a}的公比为__________.15.奇函数f(x)=x (xxe ae +)（其中e 为的底数）在x=0处的切线方程为__________.16.已知正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 为CC 1的中点，若AM ⊥平面α，且B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为__________.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知csin(A+3)−asinC=0.（1）求角A 的值；（2）若∆ABC 的面积为3，周长为6，求a 的值.18．（本小题满分12分）随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们交流的一中形式，某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频率分布及“使用微信交流”赞成人数如下表.年龄（岁）[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)频数510151055赞成人数51012721（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关：年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计赞成不赞成合计（2）若从年龄在[55,65)的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率.附：19．（本小题满分12分）如图，已知四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC=60，平面AEFC ⊥平面ABCD ，EF AC ，且AE=1，AC=2EF.（1）求证：平面BED ⊥平面AEFC ；（2）若四边形AEFC 为直角梯形，且EA ⊥AC ，求点A 到平面FCD 的距离.20.（本小题满分12分）已知椭圆C:13222=+y ax (a>0)的右焦点F 到左顶点的距离为3（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A,B 不在x 轴上），若OBOA OE +=延长AO 交椭圆于点G ，求四边形AGBE 的面积S 的最大值.21.（本小题满分12分）已知a ≥1，函数f(x)=xlnx−ax+1+a(x−1)2.（1）若a=1，求f(x)的单调区间；（2）讨论f(x)的零点个数.（二）选考题：共10分。

2020届高考数学(文)“大题精练”(6)含答案

2020届高三数学（文）“大题精练”617．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为()122n n S n N ++=-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）如图，多面体ABCDEF 中，21AB DE AD ===，，平面CDE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，BC ∥EF ，点G 在线段CE上，且23EG GC AB ==．(1)求证：DE ⊥平面ABCD ；(2)若2EF BC =，求多面体ABCDEF 被平面BDG 分成的大、小两部分的体积比．19．（本小题满分12分）一项针对某一线城市30～50岁都市中年人的消费水平进行调查，现抽查500名（200名女性，300名男性）此城市中年人，最近一年内购买六类高价商品（电子产品、服装、手表、运动与户外用品、珠宝首饰、箱包）的金额（万元）的频数分布表如下：（1）将频率视为概率，估计该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于5000元的概率．（2）把购买六类高价商品的金额不低于5000元的中年人称为“高收入人群”，根据已知条件完成2⨯2列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“高收入人群”与性别有关？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++参考附表：20．（本小题满分12分）已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点F 在y 轴的正半轴上，过点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足3.4OA OB ⋅=-u u u v u u u v（1）求抛物线C 的方程；（2）若P 是抛物线C 上的动点，点,M N 在x 轴上，圆2211x y +-=（）内切于PMN ∆，求PMN ∆面积的最小值．21．（本小题满分12分）已知函数()2(12)ln af x x a x x=+-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）如果方程()f x m =有两个不相等的解12,x x ，且12x x <，证明：1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为4212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρ=（1）在曲线1C 上任取一点Q ，连接OQ ，在射线OQ 上取一点P ，使4OP OQ =g ，求P 点轨迹的极坐标方程；（2）在曲线1C 上任取一点M ，在曲线2C 上任取一点N ，求MN 的最小值．23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知函数()2f x x x t =-+-（0t >）的最小值为2．（Ⅰ）求不等式()48f x x +-≥的解集；（Ⅰ）若22252352a b c t ++=，求23ac bc +的最大值．2020届高三数学（文）“大题精练”6（答案解析）17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为()122n n S n N ++=-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【解析】（1）由122n n S +=-可得：当2n ≥时，122n n S -=-，上述两式相减可得2nn a =．当1n =时：111112222a S +==-==成立，故所求()2nn a n N +=∈．（2）2nn a =，22log 2n nb a n ==，()11111122241n n b b n n n n +⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭，故所求111111111141223141n T n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()41n n N n +=∈+．18．（本小题满分12分）如图，多面体ABCDEF 中，21AB DE AD ===，，平面CDE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，BC ∥EF ，点G 在线段CE上，且23EG GC AB ==．(1)求证：DE ⊥平面ABCD ；(2)若2EF BC =，求多面体ABCDEF 被平面BDG 分成的大、小两部分的体积比．【解析】（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴CD =AB ．∵AB =DE =2，∴CD =DE =2． ∵点G 在线段CE 上，且EG =2GC=3AB ， ∴EC=222DE CD EC +=，即DE CD ⊥．又平面CDE ⊥平面ABCD ，平面CDE I 平面ABCD =CD ，DE ⊂平面CDE ，∴DE ⊥平面ABCD ．(2)设三棱锥G -BCD 的体积为1，连接EB ，AE ． ∵EG =2GC ，∴CG =13EC ，∴33E BCD G BCD V V --==．易知 3.E BCD E ABD V V --==又EF =2BC ，BC ∥EF ，∴2ABD EFA S S ∆∆=，故2B ABD B AEF V V --=，又3B ABE E ABD V V --==，∴6B AEF V -=，故633111.B AFE E ABD E BDG V V V ---++=++-= 故多面体ABCDEF 被平面BDG 分成的大、小两部分的体积比为11：1． 19．（本小题满分12分）一项针对某一线城市30～50岁都市中年人的消费水平进行调查，现抽查500名（200名女性，300名男性）此城市中年人，最近一年内购买六类高价商品（电子产品、服装、手表、运动与户外用品、珠宝首饰、箱包）的金额（万元）的频数分布表如下：（1）将频率视为概率，估计该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于5000元的概率．（2）把购买六类高价商品的金额不低于5000元的中年人称为“高收入人群”，根据已知条件完成2⨯2列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“高收入人群”与性别有关？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++参考附表：【解析】（1）该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于5000元的频数为805010906030320+++++=，∴该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于5000元的概率为：3201650025P ==．（2）根据频数分布表得：高收入人群中女性有140人，男性有180人，非高收入人群中女性有60人，男性有120人，完成列联表如下：根据列联表中的数据，计算得22500(14012060180) 5.208 3.841200300180320K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为“高收入人群”与性别有关． 20．（本小题满分12分）已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点F 在y 轴的正半轴上，过点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足3.4OA OB ⋅=-u u u v u u u v（1）求抛物线C 的方程；（2）若P 是抛物线C 上的动点，点,M N 在x 轴上，圆2211x y +-=（）内切于PMN ∆，求PMN ∆面积的最小值．【解析】（1）由题意，设抛物线C 的方程为22(0)x py p =>，则焦点F 的坐标为02p（，）．设直线l 的方程为()()11222py kx A x y B x y =+，，，，，联立方程得222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去y 得2222220,440x pkx p p k p --=∆=+>，∴221212122.4p x x pk x x p y y +==-=，，∵121234OA OB x x y y ⋅=+=-u u u v u u u v，∴ 1.p =故抛物线的方程为22x y =．(2)设()()()()0000000P x y x y M m N n ≠,,,,,，易知点M N ,的横坐标与P 的横坐标均不相同，不妨设m n >，易得直线PM 的方程为()00y y x m x m=--化简得()0000y x x m y my ---=，又圆心（0，1）到直线PM 的距离为11=，∴()()()222220000002x m y x m my x m m y -+=-+-+，不难发现02y >，故上式可化为()2000220y m x m y -+-=，同理可得()2000220y n x n y -+-=，,m n ∴可以看作是()2000220y t x t y -+-=的两个实数根，则0000222x y m n mn y y --+==--,,∴()()()2222000204484.2x y y m n m n mn y +--=+-=- ∵()00P x y ，是抛物线C 上的点，∴2002x y =，则()()222042y m n y -=-，又02y >，∴002,2y mn y =- 从而()02000000014242222PMNy y S m n y y y y y y ∆=-=⋅==-++---48≥=，当且仅当()2024y -=时取得等号，此时004,y x ==±，故△PMN 面积的最小值为8． 21．（本小题满分12分）已知函数()2(12)ln af x x a x x=+-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）如果方程()f x m =有两个不相等的解12,x x ，且12x x <，证明：1202x x f +⎛⎫'>⎪⎝⎭．【解析】（1）2222122(12)()(21)()2(0)a a x a x a x a x f x x x x x x-+---+'=+-==>． ①当0a …时，(0,),()0,()x f x f x '∈+∞>单调递增；②当0a >时，(0,),()0,()x a f x f x '∈<单调递减；(,),()0,()x a f x f x '∈+∞>单调递增．综上：当0a „时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增．（2）由（1）知，当0a „时，()f x 在(0,)+∞单调递增，()f x m =至多一个根，不符合题意；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，则()0f a '=．不妨设120x a x <<<，要证1202x x f +⎛⎫'>⎪⎝⎭，即证122x x a +>，即证122x x a +>，即证212x a x >-． ∵()f x 在(,)a +∞单调递增，即证()()212f x f a x >-，∵()()21f x f x =，∴即证()()112f x f a x >-，即证()()f a x f a x +<-．令()()()g x f a x f a x =+--2()(12)ln()2()(12)ln()a a a x a a x a x a a x a x a x ⎡⎤⎡⎤=++-++--+--+⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦4(12)ln()(12)ln()a ax a a x a a x a x a x=+-+---+-+-， 221212()4()()a a a ag x a x a x a x a x --'=++--+-+-()()22222222222242(12)4()()()()a a x x x a a a a a x a x a x a x a x +---=+-=-+-+-．当(0,)x a ∈时，()0,()g x g x '<单调递减，又(0)(0)(0)0g f a f a =+--=，∴(0,)x a ∈时，()(0)0g x g <=，即()()f a x f a x +<-，即()(2)f x f a x >-．又1(0,)x a ∈，∴()()112f x f a x >-，∴1202x x f +⎛⎫'>⎪⎝⎭．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为412x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρ=（1）在曲线1C 上任取一点Q ，连接OQ ，在射线OQ 上取一点P ，使4OP OQ =g ，求P 点轨迹的极坐标方程；（2）在曲线1C 上任取一点M ，在曲线2C 上任取一点N ，求MN 的最小值．【解析】（1）∵曲线1C的参数方程为412x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），∴1C化为普通方程为40x --=，故1C 的极坐标方程为cos 23πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，设()()00,,,Q P ρθρθ，则004,ρρθθ=⎧⎨=⎩，即04ρρθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 00cos 23πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭Q ，4cos 23πθρ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，∴ P 点轨迹的极坐标方程为()2cos 03πρθρ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭．（2）∵曲线2C的极坐标方程为ρ=，∴2C 化为直角坐标方程为2214x y +=．故2C 可化为参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），MN 的最小值为椭圆2C 上的点N 到直线1C 距离的最小值．设()2cos ,sin N ϕϕ，则()42a d ϕ-===min d =minMN ∴=． 23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知函数()2f x x x t =-+-（0t >）的最小值为2．（Ⅰ）求不等式()48f x x +-≥的解集；（Ⅰ）若22252352a b c t ++=，求23ac bc +的最大值．【解析】（Ⅰ）∵()()2222x x t x x t t -+-≥---=-=，∴4t =（0t =舍去），∴()103,22246,24310,4x x f x x t x x x x x x -<⎧⎪+-=-+-=-≤≤⎨⎪->⎩，当2x <时，令1038x -≥，得23x ≤，∴23x ≤；当24x ≤≤时，令68x -≥，得2x -≤，无解；当4x >时，令3108x -≥，得6x ≥，∴6x ≥． ∴不等式的解集为2| 63x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或．（Ⅰ）22223510a b c ++=，∴()()2222222102352346a b c a cbc ac bc =++=+++≥+，∴235ac bc +≤，当且仅当1a b c ===±时等号成立，∴23ac bc +的最大值为5.。

2020届高三数学(文)“大题精练”2

2020届高三数学（文）“大题精练”217.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若223a =，3462a a a =. (1)n S t <恒成立，求t 的最小值； (2)设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值；（2）估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？优秀非优秀合计男生 40女生 50合计100参考公式及数据：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++ 20()P K K ≥ 0.100.05 0.025 0.010 0.005 0.0010K2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82819.如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右顶点分别为(),0A a -，(),0B a ，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k 、2k ，且1213k k ⋅=-，椭圆的焦距长为4.（1）求椭圆C 的离心率；（2）过右焦点F 且倾斜角为30°的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，分别记ABM ∆，ABN ∆的面积为1S 、2S ，求12S S -的值.21．在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为21x y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为π2cos 4ρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）判断曲线1C 与曲线2C 的位置关系；（2）设点(),M x y 为曲线2C 上任意一点，求2x y +的最大值.22．已知实数正数x , y 满足1x y +=．（1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤；（2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2020届高三数学（文）“大题精练”2（答案解析）17.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若223a =，3462a a a =. (1)n S t <恒成立，求t 的最小值； (2)设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【解】(1)因为{}n a 为等比数列，所以3416a a a a =，所以341662a a a a a ==，60a ≠，所以12a =，又223a =，所以13q =，所以121313131313n n n S ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎝⎭==-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，因为n S t <恒成立，所以3t ≥，即t 的最小值是3.(2)由(1)可知22123n n n a a q--=⋅=，所以132n n n b -⋅=，故01113233222n n n T -⨯⨯⨯=+++L ① ()112131323332222n n n n n T --⨯⨯⨯⨯=++++L ② ① -②得：0111333322222n n n n T -⨯⨯-=+++-L ，()1313131322132n nn --⨯⨯+--=整理得，()21318n n n T -+=18.为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值；（2）估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？参考公式及数据：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++【解】（1）由题可得()0.0050.0100.0200.0300.010101a +++++⨯= ，解得0.025a =．（2）平均成绩为：450.05550.1650.2750.3850.25950.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯74=（3）由（2）知，在抽取的100名学生中，比赛成绩优秀的有1000.3535⨯=人，由此可得完整的22⨯列联表：∵2K 的观测值()2100102525409009.89010.8283565505091k ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，∴没有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”．19.如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．【解】（1）因为AP =CP =AC =4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP =23．连结OB ．因为AB =BC =22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB =12AC =2．由222OP OB PB +=知，OP ⊥OB ．由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC ．（2）作CH ⊥OM ，垂足为H ．又由（1）可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM ．故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC =12AC =2，CM =23BC =423，∠ACB =45°．所以OM =25，CH =sin OC MC ACB OM ⋅⋅∠=45．所以点C 到平面POM 的距离为45． 20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右顶点分别为(),0A a -，(),0B a ，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k 、2k ，且1213k k ⋅=-，椭圆的焦距长为4.（1）求椭圆C 的离心率；（2）过右焦点F 且倾斜角为30°的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，分别记ABM ∆，ABN ∆的面积为1S 、2S ，求12S S -的值.【解】（1）设点()()000,P x y x a ≠，则2200221x y a b+=，①∵2000122200013y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==-+--，② ∴联立①②得()()222230b axa--=，∴()2203a a b x =≠，∴22222212133a b e a a c -===-=，∴e =. （2）由题意知，24c =，即2c =，由（1）知，223a b =，∴22224a b c b =+=+，∴22b =，26a =，∴椭圆C 的方程为：22162x y +=，由已知得l：)2y x =-.联立)2223162y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得2210x x --=.设()11,M x y ，()22,N x y ，根据韦达定理，得122x x +=，于是)12121212S S y x x -=⨯+=+21.在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为21x y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为π2cos 4ρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）判断曲线1C 与曲线2C 的位置关系；（2）设点(),M x y 为曲线2C 上任意一点，求2x y +的最大值.【解】（1）消去t 得1C 的普通方程为10x y +-=，由π2cos 4ρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭得ρθθ=-，∴2cos sin ρθθ，即220x y -++=，化为标准方程为221x y ⎛⎛++= ⎝⎭⎝⎭，即曲线2C是以,22⎛-⎝⎭为圆心，半径为1的圆，圆心到直线10x y +-=的距离12d ==<，故曲线1C 与曲线2C 相交. （2）由(),M x y 为曲线2C上任意一点，可设cos 2sin 2x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，则()22cos sin x y θθθϕ+=++=+，其中tan 2ϕ=， ∴2x y +的最大值是2+ 22.已知实数正数x , y 满足1x y +=．（1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤；（2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解】（1）1,0,0x y x y +=>>Q 且0152522212x x y x y x x <<⎧⎪∴++-≤⇔⎨-+-≤⎪⎩01011112121222x x x x x x x <<⎧<<⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎛⎫-+≤-≤+-≤+ ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩，解得116x ≤<，所以不等式的解集为1,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭ （2）解法1： 1,x y +=Q 且0,0x y >>， ()()222222221111x y x x y y x y x y +-+-⎛⎫⎛⎫∴--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222xy y xy x x y ++=⋅ 222222y y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭225x y y x =++59≥=.当且仅当12x y ==时，等号成立. 解法2： 1,x y +=Q 且0,0x y >>，222222111111x y x y x y ⎛⎫--⎛⎫∴--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()221111x x y y x y +-+-=⋅ ()()2211x y y xx y ++=⋅ 1x y xy xy +++= 21xy =+ 22192x y ≥+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭，当且仅当12x y ==时，等号成立.。

2020届高三全国统一考试联考试卷数学(文)(含答案)

2020年普通高等学校招生全国统一考试·联考文科数学本试卷共5页，23小题（含选考题），满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型（B ）填在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}02=-=x x x A ,则集合A 的真子集的个数为（） A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图,复数21,z z 在复平面上分别对应点A,B,则21z z ⋅=（） A.0 B.2+i C.-2-i D.-1+2i3.若向量a =(x-4,2)与向量b =(1,-1)平行,则|a |=（）A.22.B.2C.2D.84.若函数f(x)=122+-x x a的图像关于y 轴对称, 则常数a=（）A.-1B.1C. 1或-1D.05.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,判断下列结论: (1)月接待游客量逐月增加; (2)年接待游客量逐年增加;(3)各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月；(4)各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小，变化比较平稳. 其中正确结论的个数为（）A.1B.2C.3D.46.若抛物线)0(22>=p px y 的焦点是双曲线1322=-py p x 的一个焦点,则p=（） A.2 B.4 C.8 D.16 7.函数xx x y 2)(3⋅-=的图象大致是（）8.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”。

福建省2020届高三上学期12月三校联考数学(文)试题Word版含解析

福建省2020届高三上学期12月三校联考数学（文）试题（考试时间：120分钟总分：150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中。

)1.已知集合{}1,3,9,27A =，3{|log ,}B y y x x A ==?，则A B?（）A. {}1,3B. {}1,3,9C. {}3,9,27D. {}1,3,9,27【答案】A【解析】分析：可得出{}0,1,2,3B =，然后进行交集的运算即可.详解：{}1,3,9,27A =，{}0,1,2,3B = {}1,3A B\?，故选：A. 点睛：考查列举法、描述法表示集合的概念，以及交集的运算.2.若复数z 满足(1)12i z i +?+，则z 等于（）A. 12B. 2C. 32D. 2 【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】由（1+i ）z ＝12i +，得()()()()121123111122i i i z i i i i +-+===+++-，∴|z |2==．故选：D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.已知1a =，2b =，且()a a b ^-，则向量a 与b 的夹角为（） A. 4p B. 3p C. 23p D. 34p 【答案】A【解析】【分析】根据题目所给条件求得a b ×，利用向量夹角的余弦公式求出所求角的余弦值，再根据余弦值即可求出向量的夹角．【详解】()2||0a a b a a b ?=-?，所以1﹣1cos a b =＜，＞0，解得cos 22a b =＜，＞，即4a b p =＜，＞，故选：A ．【点睛】本题考查了利用数量积表示两个向量的夹角,考查了数量积的相关运算．4.已知角a 的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =-上，则cos2a =（） A. 45- B. 35- C. 35 D. 45【答案】B【解析】【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tan a 的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cos a 的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cos a 的平方代入即可求出值．【详解】根据题意得：tan a ＝﹣2，∴cos 221115tan a a ==+，则cos2a ＝2cos 2a ﹣125=-135=-．故选B ．【点睛】此题考查了任意角的三角函数定义，同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．5.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，则C 的渐近线方程为（）A. 3y x =?B. y =?C. 2y x =?D. y =?【答案】B【解析】根据题意,双曲线的方程为：22221x y a b -=，其焦点在x 轴上,其渐近线方程为bxy a =?，又由其离心率2ce a == ，则c=2a ，则b =,则其渐近线方程y =?；故选：B.6.已知m ，n 是空间中两条不同的直线，a ，b 为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（） A. 若m a Ì，则m b ^ B. 若m a Ì，n b Ì，则m n ^C. 若m a Ë，m b ^，则//m aD. 若m a b ?，n m ^，则n a ^【答案】C【解析】由题设，,a b ^ 则A. 若m a Ì，则m b ^，错误；B. 若m a Ì，n b Ì，则m n ^错误；D. 若m a b ?，n m ^，当n b Ë 时不能得到n a ^，错误.故选C.7.已知函数1()1x f x x +=-的图像在点(2,(2))f 处的切线与直线10ax y ++=平行，则实数a =（）A. 2B. 12C. 12- D. -2【答案】A【解析】【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x ＝2处的导数，由导数值等于2-求得实数a 的值．【详解】由f （x ）＝()12111x f x x x +==+--，得 ()22x 1f x =-¢-（），则()22f ¢=-． ∵函数f （x ）图象在x ＝2处的切线与直线10ax y ++=平行，∴-2a =-，即a ＝2．故选A ．【点睛】本题考查了利用导数研究函数在某点处的切线方程的问题，在曲线上某点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数值，属于中档题．8.下列说法正确的是（）A. 命题p ，q 都是假命题，则命题“p q 刭”为真命题.B. R j "?，函数()sin(2)f x x j =+都不是奇函数.C. 函数()sin(2)3f x x p =-的图像关于512x p =对称 . D. 将函数sin 2y x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到sin 4y x =【答案】C【解析】【分析】运用复合命题的真假可判断A ；可取φp =，结合诱导公式和奇函数的定义可判断B ,由f （512p ）＝1，可判断C ；运用图象变换可判断D .【详解】对于A ，命题p ，q 都是假命题，可得￢p 为真，则命题“￢p ∧q ”为假命题，故A 错误；对于B ，当φp =时，f （x ）＝sin （2x p +），即f （x ）＝-sin （2x ）为奇函数，故B 错误．对于C ，函数f （x ）＝sin （2x 3p -），由f （512p ）＝sin （563p p -）＝1，且为f （x ）的最大值，可得f （x ）的图象关于x 512p =对称，故C 正确；对于D ，将函数y ＝sin2x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到y ＝sin x ，故D 错误；故选：C ．【点睛】本题考查三角函数的对称性和图象变换规律、复合命题的真假判断和全称命题的真假判断，考查运算能力和推理能力，属于基础题．9.执行下面的程序框图，如果输入的48m =，36n =，则输出的k ，m 的值分别为（）A. 2，12B. 2，3C. 3，12D. 3，3【答案】B【解析】【分析】模拟执行程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果．【详解】执行如图所示的程序框图，输入m ＝48，n ＝36，满足m 、n 都是偶数，k ＝1，m ＝24，n ＝18，满足m 、n 都是偶数，k ＝2，m ＝12，n ＝9，不满足m 、n 都是偶数，满足m ≠n ，d ＝|m ﹣n |＝3，m ＝9，n ＝3，满足m ≠n ，d ＝|m ﹣n |＝6，m ＝3，n ＝6，满足m ≠n ，d ＝|m ﹣n |＝3，m ＝6，n ＝3，满足m ≠n ，d ＝|m ﹣n |＝3，m ＝3，n ＝3，不满足m ≠n ，退出循环，输出k ＝2，m ＝3．故选：B ．【点睛】本题考查了程序框图的运行问题，是基础题目．10.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为B. 2pC. 6pD. 24p【答案】C【解析】【分析】由题可知该几何体为四棱锥P ﹣ABCD ．底面ABCD 为矩形，其中PD ⊥底面ABCD ，可得该阳马的外接球的直径为PB ，计算得出结果即可.【详解】如图所示，该几何体为四棱锥P ﹣ABCD ．底面ABCD 为矩形，其中PD ⊥底面ABCD ．AB ＝1，AD ＝2，PD ＝1．则该阳马的外接球的直径为PB =∴该阳马的外接球的表面积：246p p ?．故选：C ．【点睛】本题考查了四棱锥的三视图及锥体中的数量关系、球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.已知等差数列{}n a 中，100a =，公差()2,0d ?，若222222447474cos cos sin sin cos sin a a a a a a -+-()56cos a a =-+，56cos()0a a +?，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（）A. pB. 5pC. 10pD. 15p【答案】D【解析】【分析】由100a =，可得a 1＝﹣9d ．由cos 2a 4﹣cos 2a 4sin 2a 7+sin 2a 4cos 2a 7﹣sin 2a 4，利用平方关系、和差公式、等差数列的性质可得：cos （a 4+a 7）cos （a 4﹣a 7）＝﹣c os （a 5+a 6）．cos （a 4﹣a 7）＝﹣1，可得a 4﹣a 7＝﹣3d ＝π+2k π，根据公差d ∈（-2，0）可得d ，a 1．由a n ≥0，得n 范围即可得出n S 的最大值．【详解】∵100a =，∴a 1＝﹣9d ．∵cos 2a 4﹣cos 2a 4sin 2a 7+sin 2a 4cos 2a 7﹣sin 2a 4＝cos 2a 4cos 2a 7﹣sin 2a 4sin 2a 7＝（cos a 4cos a 7+sin a 4sin a 7）（cos a 4cos a 7-sin a 4sin a 7）＝cos （a 4+a 7）cos （a 4﹣a 7）＝﹣c os （a 5+a 6）．又∵a 4+a 7=a 5+a 6∴cos （a 4﹣a 7）＝﹣1，∴a 4﹣a 7＝﹣3d ＝π+2k π，d 23k p p +=-． ∵公差d ∈（-2，0），∴d 3p =-，a 1＝3π．由a n ＝3π+（n ﹣1）（3p -）≥0，得n ≤10． ∴S 9或S 10最大，最大值为S 10＝10×3π10923p 骣´琪+?=琪桫15π．故选D ．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其性质与求和公式、三角函数求值、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.若方程286ln x x x m =++仅有一个解，则实数m 的取值范围为（）A. (,7)-?B. (156ln 3,)-+?C. (126ln 3,)-+?D. (,7)(156ln3,)-ト-+?【答案】D【解析】【分析】方程286ln x x x m =++仅有一个解，转化为研究函数m （x ）＝x 2﹣8x +6lnx +m 的零点问题，通过导数得到函数的极值，把函数的极值同0进行比较，得到结果．【详解】方程286ln x x x m =++仅有一个解，则函数m （x ）＝x 2﹣8x +6lnx +m 的图象与x 轴有且只有一个交点．∵m （x ）＝x 2﹣8x +6lnx +m ，（x>0） ∴()()()22136286'28x x x x x x x x xf ---+=-+==，当x ∈（0，1）时，m '（x ）＞0，m （x ）是增函数；当x ∈（1，3）时，m '（x ）＜0，m （x ）是减函数；当x ∈（3，+∞）时，m '（x ）＞0，m （x ）是增函数；当x ＝1，或x ＝3时，m '（x ）＝0．∴m （x ）极大值＝m （1）＝m ﹣7，m （x ）极小值＝m （3）＝m +6ln 3﹣15．∵当x 趋近于0时，m （x ）趋近于负无穷小，当x 趋近于无穷大时，m （x ）趋近于正无穷大． ∴要使m （x ）的图象与x 轴有一个交点，必须且只须()70x m f =-<极大值或()63150x m ln f =+->极小值即m ＜7或m>15﹣6ln 3．故选D.【点睛】本小题主要考查函数单调性和极值的基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合等数学思想方法，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,请将正确答案填入答题卷中。