高中数学第二章圆的参数方程、椭圆的参数方程、双曲线的参数方程练习北师大版选修44

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高中数学第二章参数方程2.2直线和圆锥曲线的参数方程2.2.2_2.2.4直线和圆锥曲线的参数方程课后训练北师大版

圆的参数方程、椭圆的参数方程、双曲线的参数方程练习过点()作曲线：(θ为参数)的弦，使为弦的中点，则此弦所在直线方程为( )．．－＝－(－)．－＝－(－)．－＝－(－)．－＝－(－)曲线(θ是参数)的左焦点的坐标是( )．．(－) ．(，－)．(－) ．()圆锥曲线(θ是参数)的焦点坐标是( )．．(－) ．()．(±) ．(，±)(，)是曲线(α为参数)上任意一点，则(－)＋(＋)的最大值为( )．．．．．点(，)在椭圆上，则点到直线＋－＝的距离的最大值为，此时点坐标是．已知，分别是椭圆的右顶点和上顶点，动点在该椭圆上运动，则△的重心的轨迹的参数方程是．求椭圆的参数方程．()设＝φ，φ为参数；()设＝，为参数．已知双曲线方程为－＝，为双曲线上任意一点，点到两条渐近线的距离分别为和，求证：与的乘积是常数．参考答案答案：把曲线的参数方程化为普通方程为＋＝，表示圆心在原点，半径＝的圆，所以过点的弦与线段垂直，又.∴弦所在直线的斜率为－，∴直线方程为－＝－(－)．答案：由得＝，∴左焦点的坐标为(－)．答案：由得＝，∴它的焦点坐标为(±)．答案：由参数方程可知，(－)＋＝，圆心()，另一定点(，－)，∴＝＝.∴(－)＋(＋)的最大值为(＋)＝＝.答案：(－，－) 椭圆参数方程为(θ为参数)，则点(θ，θ)到直线＋－＝的距离＝.当时，.此时，点的坐标为(－，－)．答案：由于动点在该椭圆上运动，故可设点的坐标为( θ，θ)，重心的坐标为(，)，则由题意可知点()，()，由重心坐标公式可知有.答案：分析：把，含参表达式分别代入椭圆方程求出参数方程．解：()把＝φ代入椭圆方程，得，∴＝(－φ)＝φ，即＝± φ.由φ的任意性，可取＝φ.∴的参数方程为(φ为参数)．()把＝代入椭圆方程，得.∴＝(－)，∴.∴参数方程为(为参数)或(为参数)．答案：分析：利用双曲线的参数方程代入距离公式，利用三角函数公式进行转化．证明：设为点到渐近线＝的距离，为点到渐近线＝－的距离，因为点在双曲线－＝上，则可设点的坐标为.，，·＝。

高中数学第二章参数方程 2.2 直线和圆锥曲线的参数方程练习北师大版-4

2.2 直线和圆锥曲线的参数方程2。

2。

2 圆的参数方程2。

2.3 椭圆的参数方程2。

2。

4 双曲线的参数方程课后篇巩固探究A 组1。

曲线{x =5cosθ,y =3sinθ(θ为参数）的左焦点的坐标是( )A.(-4，0）B 。

（0,-4) C.(—2，0） D.（0，2）{x =5cosθ,y =3sinθ（θ为参数）,得x 225+y 29=1，故左焦点的坐标为（-4,0）。

2。

圆锥曲线{x =4cosθ,y =3tanθ(θ为参数)的焦点坐标是( ） A.（—5,0)B 。

(5,0） C.（±5，0)D.(0,±5){x =4cosθ,y =3tanθ(θ为参数), 得x 216−y 29=1，故它的焦点坐标为（±5,0）.3.过点M (2，1)作曲线C :{x =4cosθ,y =4sinθ(θ为参数）的弦，使点M 为弦的中点，则此弦所在直线方程为( ）A 。

y —1=-12(x-2) B.y —1=—2（x —2)C.y-2=-12（x-1） D 。

y —2=—2（x-1)把曲线C 的参数方程化为普通方程为x 2+y 2=16,表示圆心在原点，半径为4的圆， ∴过点M 的弦与线段OM 垂直,又k OM =12， ∴弦所在直线的斜率为-2，∴直线方程为y-1=-2(x —2）.4。

已知P（x,y）是曲线{x=2+cosα,y=sinα（α为参数）上任意一点，则(x—5）2+（y+4）2的最大值为（）A.36 B。

6 C.26 D。

25解析：由参数方程可知,(x—2）2+y2=1,圆心O（2，0），另一定点M（5,—4)，∴｜OM｜=√(5-2)2+(-4-0)2=5。

∴(x—5）2+（y+4)2的最大值为(5+1）2=62=36。

答案:A5。

导学号73144031对任意实数,直线y=x+b与椭圆{x=2cosθ,y=4sinθ（θ为参数,且0≤θ≤2π)恒有公共点,则b的取值范围是.解析:将(2cos θ，4sin θ)代入y=x+b得4sin θ=2cos θ+b.∵恒有公共点，∴以上方程有解.令f(θ）=4sin θ—2cos θ=2√5sin(θ—φ).∴-2√5≤f（θ）≤2√5。

新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试(含答案解析)(2)

一、选择题1．在极坐标系中，曲线C 的方程为22312sin ρθ，以极点O 为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy ，设(),P x y 为曲线C 上一动点，则1x y +-的取值范围为（）A．1⎡⎤⎣⎦B ．[]3,1-C ．[]22-,D ．[]2,1--2．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心3．已知P 为曲线3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ）上一点，O 为原点，直线PO 的倾斜角为4π，则P 点的坐标是（） A ．(3,4)B．⎝ C ．(-3,-4)D ．1212,55⎛⎫⎪⎝⎭ 4．已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,1,350,x y x x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩点(43,31)Q m m +-，则||PQ 的最小值为( ) A ．2B ．115C ．95D ．15．直线30x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2212x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]39，C．D．6．4sin 4πθ⎛⎫=+⎪⎝⎭与直线122{12x y =-=（t 为参数）的位置关系是（）A ．相切B ．相离C ．相交且过圆心D ．相交但不过圆心7．已知椭圆()222210,x y a b M a b+=>>为椭圆上一动点，1F 为椭圆的左焦点则线段1MF 的中点P 的轨迹是（） A ．椭圆 B ．圆 C ．双曲线的一支 D ．线段8．若曲线2sin301sin30x t y t =-︒⎧⎨=-+︒⎩（t为参数）与曲线ρ=B ，C 两点，则BC 的值为（） A．BC．D9．直线34x ty t=-⎧⎨=+⎩，(t 为参数)上与点()3,4P( )A ．()4,3B ．()4,5-或()0,1C ．()2,5D ．()4,3或()2,510．点M的直角坐标是()1-，则点M 的极坐标为（） A ．52,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．72,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．112,6π⎛⎫⎪⎝⎭D ．2,6π⎛⎫⎪⎝⎭11．直线1sin 70{2cos70x t y t =+=+(t 为参数)的倾斜角为 ( )A ．70°B ．20°C ．160°D ．110°12．直线320{20x tsin y tcos =+=- （t 为参数）的倾斜角是( )A ．20B ．70C ．110D ．160二、填空题13．过椭圆C：2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的右焦点F 作直线l ：交C 于M ，N 两点，MF m =，NF n =，则11m n+的值为______. 14．已知点M在直线34x ty t⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）上，点N 为曲线3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的动点，则MN 的最小值为________________.15．已知椭圆C 的方程为2212x y +=，若F 为C 的右焦点，B 为C 的上顶点，P 为C 上位于第一象限内的动点，则四边形OBPF 的面积的最大值为__________．16．曲线1C 的参数方程为：21x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线2C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），曲线1C 与2C 相交于A ，B 两点，则AB =______. 17．在平面直角坐标系xOy 中,点O 是坐标原点,点A(2,1),B(0,2),点P 在圆()2211x y -+=上运动,若OA xOB yOP =+，则2x y +的最小值为________.18．直线:30l x y ++=被圆14cos :24sin x C y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）截得的弦长为______.19．在极坐标系中，圆1C 的方程为424πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程为1cos (1x a y asin θθθ=-+⎧⎨=-+⎩为参数），若圆1C 与圆2C 外切，则正数a = _________. 20．在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩[]0,πθ∈，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 在极坐标系中的方程为sin cos bρθθ=-．若曲线1C 与2C 有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是_______．三、解答题21．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρcos 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭2，曲线C 3：ρ＝2sin θ. (1)求曲线C 1与C 2的交点M 的直角坐标；(2)设点A ，B 分别为曲线C 2，C 3上的动点，求|AB |的最小值． 22．在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程是23cos 3sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为：(cos sin )t ρθθ+=（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设直线θ＝()6R πρ∈与直线l 交于点M ，与曲线C 交于P ，Q 两点，已知｜OM ｜｜OP ｜｜OQ|＝10，求t 的值．23．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x t y t ⎧=⎨=⎩(其中t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，圆2C 的极坐标方程为28sin 150ρρθ-+=.（1）求曲线1C 的方程普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）过圆2C 的圆心2C ，倾斜角为34π的直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，则22C A C B +的值.24．在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩ (其中为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，圆C 2的极坐标方程为28sin 150ρρθ++=.（1）求曲线C 1的方程普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）过圆C 2的圆心，倾斜角为4π的直线l 与曲线C 1交于A 、B 两点，则求22+C A C B 的值.25．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为24x ty t=⎧⎨=⎩（t 为参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin cos m ρθθ=+.（Ⅰ）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若1C 与2C 交于P ，Q 两点，求11OQ OPk k +的值. 26．在直角坐标系xOy 中，已知直线l 过点P （2，2）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ﹣ρcos 2θ﹣4cos θ＝0. （1）求C 的直角坐标方程；（2）若l 与C 交于A ，B 两点，求PA PB PA PB-⋅的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B【分析】将曲线C 的方程22312sin ρθ化为直角坐标形式，可得2213x y +=，设x α=，sin y α=，由三角函数性质可得1x y +-的取值范围.【详解】解：将cos =x ρθ ，sin y ρθ=代入曲线C 的方程22312sin ρθ，可得：2222sin 3ρρθ+=，即2233x y +=，2213x y +=设x α=，sin y α=，可得1sin 1sin )12sin()1213x y πααααα+-=-=+++--=，可得1x y +-的最大值为：1，最小值为：3-，故选：B. 【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的互换及椭圆的参数方程，属于中档题，注意运算准确.2．D解析：D 【分析】分别计算圆和直线的普通方程，根据圆心到直线的距离判断位置关系. 【详解】圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)224x y ⇒+= 直线的极坐标方程为34903490cos sin x y ραρα--=⇐--=圆心到直线的距离为：925d r =<=相交圆心坐标代入直线不满足，所以直线不过圆心. 故答案选D 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆心的位置关系，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.3．D解析：D 【解析】【分析】根据两点斜率公式求出点P 的参数θ即可求解. 【详解】设点P 的坐标为(3cos ,4sin )θθ. 由题意知3cos 4sin θθ=，∴3tan 4θ=，又0θπ， ∴3sin 5θ=，4cos 5θ=， ∴4123cos 355x θ==⨯=，3124sin 455y θ==⨯=， ∴点P 的坐标为1212,55⎛⎫⎪⎝⎭.故选D. 【点睛】本题考查椭圆的参数方程，直线的倾斜角.4．A解析：A 【分析】根据Q 点坐标得到点Q 满足的参数方程，从而得到Q 点所在的直线方程l ，因此将求PQ 最小值问题转化为求可行域上的点(,)P x y 到直线l 的最小距离，然后运用数形结合得到可行域内点B （1，0）到直线l 距离最小，从而求出PQ 的最小值. 【详解】因为(43,31)Q m m +-，则点Q 满足的参数方程为43{31x m y m =+=-（m 为参数），消去参数得到普通方程为l ：34130x y --=，则问题转化为求可行域上的点(,)P x y 到直线l 的最小距离，如图：由图可知当P 点与B 点重合时到直线l 的距离最小，而B 点为（1，0），B 到l 的距离为d ，所以min 223013102534PQ d --====+，答案为A. 【点睛】主要考查线性规划问题，同时也考查了参数方程与普通方程的互化．这类型题的关键在于寻找出目标函数的几何意义，然后利用数形结合的方法寻找出最优解，求出最值，属于中档题.5．B解析：B 【解析】分析：求出A（﹣3，0），B（0，﹣3），=P（α，α），点P到直线x+y+2=0的距离：=，∈，由此能求出△ABP面积的取值范围．详解：∵直线x+y+3=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，∴令x=0，得y=﹣3，令y=0，得x=﹣3，∴A（﹣3，0），B（0，﹣3），=，∵点P在圆（x﹣1）2+y2=2上，∴设P（αα），∴点P到直线x+y+3=0的距离：=，∵sin()4πα+∈[﹣1，1]，∴，∴△ABP面积的最小值为13,2⨯=△ABP面积的最大值为19,2⨯=故答案为：B．点睛：（1）本题主要考查直线与圆的位置关系和三角形的面积，考查圆的参数方程和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是设点P（αα），利用圆的参数方程设点大大地提高了解题效率.6．D解析：D【解析】分析：先应用cos?x y sinρθρθ==，44sinπθ⎛⎫=+⎪⎝⎭化为直角坐标方程，轨迹为圆，再化简1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为直线10x y +-=，利用圆心到直线的距离公式，求出距离，判断与半径的关系，从而确定直线与圆的位置关系)4sin cos 4sin πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，化为直角坐标方程为：22220x y x y +--=即()()22112x y -+-=，圆心为()11，1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩化为普通方程为直线10x y +-==<故直线与圆相交且不过圆心故选D点睛：本题主要考查了极坐标方程转化为直角坐标方程，参数方程转化为普通方程，还考查了直线与圆的位置关系，属于基础题。

新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》检测卷(含答案解析)(4)

一、选择题1．点(, )A x y 是曲线2cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）上的任意一点，则2 -x y 的最大值为（） AB5C ．3D3+2．若直线l ：y kx =与曲线C ：2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）有唯一的公共点，则实数k等于（） AB．CD．±3．4sin 4πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与直线122{12x y =-=（t 为参数）的位置关系是（） A ．相切 B ．相离C ．相交且过圆心D ．相交但不过圆心4．在方程sin {cos 2x y θθ==（θ为参数）所表示的曲线上的点是（）A ．(2,7)B ．12(,)33C ．(1,0)D ．11(,)225．曲线C 的参数方程为2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为12x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则AB 等于（） ABCD6．参数方程2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）和极坐标方程6cos ρθ=-所表示的图形分别是（） A ．圆和直线B ．直线和直线C ．椭圆和直线D ．椭圆和圆7．已知点(),P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，且[),2θππ∈）上，则点P 到直线21x ty t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的距离的取值范围是( )A．⎡⎢⎣⎦ B ．0tan 60x = C．D ．:::2x r r q q q e αα==8．在平面直角坐标系中以原点为极点，以x 轴正方向为极轴建立的极坐标系中，直线:20l y kx ++=与曲线2:cos C ρθ=相交，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．34k ≥-C ．34k <-D ．k ∈R 但0k ≠9．把曲线12cos 2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩：（θ为参数）上各点的横坐标压缩为原来的14，纵坐标压缩为2C 为 A ．221241x y +=B ．224413y x +=C ．2213y x +=D ．22344x y +=10．直线320{20x tsin y tcos =+=- （t 为参数）的倾斜角是( )A ．20B ．70C ．110D ．16011．若动点(,)x y 在曲线2221(0)4x yb b+=>上变化，则22x y +的最大值为（）A ．24(04)42(4)b b b b ⎧+<⎪⎨⎪>⎩B ．24(02)42(4)b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪⎩C ．244b +D ．2b12．已知点A 是曲线2213x y +=上任意一点，则点A到直线sin()6πρθ+=的距离的最大值是（）A．2BCD．二、填空题13．点(),M x y 为此曲线()2234x y ++=上任意一点，则x y +的最大值是______．14．已知直线l的参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则圆心C 到直线l 的距离为___________． 15．坐标系与参数方程选做题）直线截曲线（为参数）的弦长为___________ 16．设点(),x y 是曲线C 2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，且02θπ≤<）上的任意一点，则yx的最大值为________． 17．已知在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是2sin 4cos 0ρθθ+=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，直线l 的参数方程是1123x t t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数），M （03l 与曲线C 的公共点为P ，Q ，则11PM QM+=_______ 18．直线:30l x y ++=被圆14cos :24sin x C y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）截得的弦长为______.19．曲线4cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩上的点到直线220x y +=的最大距离为__________．20．圆1212x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）被直线0y =截得的弦长为__________．三、解答题21．已知直线l 过定点()1,1P ，且倾斜角为4π，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22cos 3ρρθ=+．（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程：（2）若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A 、B ，求AB 及PA PB ⋅的值．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1123x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）（1）将直线l 的参数方程化为极坐标方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.23．在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()3,0P，倾斜角为6π，曲线C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB +的值．24．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），将曲线C 按伸缩变换公式12x x y y =⎧''⎪⎨=⎪⎩，变换得到曲线E（1）求E 的普通方程；（2）直线l 过点()0,2M -，倾斜角为4π，若直线l 与曲线E 交于,A B 两点，N 为AB 的中点，求OMN 的面积.25．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩,（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标；（2）已知直线2l ：()6R πθρ=∈与圆2C：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值. 26．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<）.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线C ：4cos ρθ=.（1）当4πα=时，求C 与l 的交点的极坐标；（2）直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 中点为(1,1)M ，求||AB 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【分析】利用曲线的参数方程得32co sin -32s x y θθ=+-化简求解即可【详解】由题()32cos 3sin 23-s x y θθθϕ=+-=++ 故当()cos 1θϕ+=时，2 -x y3+ 故选D 【点睛】本题考查参数方程求最值，考查辅助角公式，是基础题2．D解析：D 【分析】根据题意，将曲线C 的参数方程消去θ，得到曲线C 的普通方程22(2)1x y -+=，可知曲线C 为圆，又知圆C 与直线相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求得k 。

北师大版数学高二-高中数学2016北师大版选修4-4学案第二章圆的参数方程

2.2 圆的参数方程 2.3 椭圆的参数方程 2.4 双曲线的参数方程1．能依据圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数，写出它们的参数方程． 2．能利用圆锥曲线的参数方程来解决简单的实际问题．1．圆的参数方程(1)圆x 2＋y 2＝r 2的参数方程是______________，参数α的几何意义是________________(O 为坐标原点，P 为圆上任意一点)．(2)圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程是__________________．参数α的几何意义是OP 与x 轴正方向的夹角(P 为圆上任意一点，O 为圆心)．(3)圆的圆心在原点，半径为r ，它与x 轴负半轴的交点为A (－r,0)，点P (x ，y )是圆周上任意不同于A 的一点，此时，圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－k 2r 1＋k2，y ＝2kr1＋k2(k 为参数)．参数k 的几何意义是直线AP 的斜率．选取不同的参数，可以得到不同形式的圆的参数方程．其中(1)(2)两种形式可结合推导过程记忆，(3)了解就行．【做一做1－1】已知圆的方程为x 2＋y 2＝4x ，则它的参数方程是__________．【做一做1－2】直线3x －4y －9＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是( )．A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心 2．椭圆的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程是________________．参数φ的几何意义是以原点为圆心，a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与x 轴正半轴的夹角．(2)中心在点C (x 0，y 0)，长轴平行于x 轴的椭圆的参数方程是__________________．参数φ的几何意义是以C 为圆心，以a 为半径所作圆上一点P 和椭圆中心C 的连线CP 与x轴正半轴的夹角．【做一做2－1】椭圆x 24＋y 29＝1的参数方程为__________．【做一做2－2】椭圆⎩⎨⎧x ＝32cos φ，y ＝23sin φ(φ为参数)的焦距是__________．3．双曲线的参数方程双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程是________________．【做一做3】已知某条曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a (a 为参数)，则该曲线是( )．A ．线段B ．圆C ．双曲线D ．圆的一部分1．椭圆的参数方程中参数φ的几何意义剖析：从几何变换的角度看，通过伸缩变换，令⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1ax ，y ′＝1b y ，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1可以变成圆x ′2＋y ′2＝1.利用圆x ′2＋y ′2＝1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝cos φ，y ′＝sin φ(φ是参数)可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ是参数)．因此，参数φ的几何意义应是椭圆上任意一点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角(称为离心角)，而不是OM 的旋转角，如图．2．圆锥曲线的参数方程不是唯一的剖析：同一条圆锥曲线的参数方程形式是不唯一的．例如，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的参数方程可以是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ的形式，也可以是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin φ，y ＝b cos φ的形式，二者只是形式上不同而已，但实质上都是表示同一个椭圆．同样对于双曲线、抛物线也可以用其他形式的参数方程来表示，只是选取的参数不同，参数的几何意义也就不同．答案：1．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α(α为参数) OP 与x 轴正方向的夹角(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α(α为参数)【做一做1－1】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π) x 2＋y 2＝4x 可化为(x－2)2＋y 2＝4，∴圆心为(2,0)，半径r ＝2.∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)．【做一做1－2】D 将圆的参数方程化为普通方程为x 2＋y 2＝4，所以圆心到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|－9|32＋42＝95＜2，∴直线与圆相交．点(0,0)不在直线3x －4y －9＝0上，故直线与圆相交但不过圆心．2．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数) (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋a cos φ，y ＝y 0＋b sin φ(φ为参数)【做一做2－1】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数) 根据题意，a ＝2，b ＝3，∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)．【做一做2－2】26 根据参数方程，可知a ＝32，b ＝23.∴c ＝322－232＝18－12＝6， ∴焦距为2c ＝2 6.3．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b tan φ(φ为参数)【做一做3】C题型一圆的参数方程的应用【例1】已知点P (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上，求x 2＋2xy ＋3y 2的最大值和最小值．分析：利用参数方程，转化成三角函数的问题来解决．反思：利用参数方程求最值问题是其常见的应用，求解时注意三角公式的应用．题型二椭圆的参数方程的应用【例2】在平面直角坐标系xOy 中，设P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上一个动点，求x ＋y的最大值．分析：将普通方程化为参数方程，利用三角函数的相关知识求最值．反思：利用圆锥曲线的参数方程求最值问题，实质是利用三角函数求最值问题．题型三双曲线的参数方程的应用【例3】如图，设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是两个焦点，证明|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.分析：设P ⎝⎛⎭⎪⎫1cos φ，tan φ，证明等式两边等于同一个式子即可．反思：利用圆锥曲线的参数方程证明恒等式，方法简单、明确，有利于掌握应用．答案：【例1】解：圆x 2＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin α(α为参数)．∴x 2＋2xy ＋3y 2＝cos 2α＋2cos αsin α＋3sin 2α＝1＋cos 2α2＋sin 2α＋3×1－cos 2α2＝2＋sin 2α－cos 2α＝2＋2sin(2α－π4)．则当α＝k π＋3π8(k ∈Z )时，x 2＋2xy ＋3y 2取最大值为2＋2，当α＝k π－π8(k ∈Z )时，x 2＋2xy ＋3y 2取最小值为2－ 2.【例2】解：椭圆方程x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．设椭圆上任一点P (3cos θ，sin θ)，则x ＋y ＝3cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3. ∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈[－1,1]， ∴当sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1时，x ＋y 取最大值2. 【例3】证明：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ，tan φ，∵F 1(－2，0)，F 2(2，0)，∴|PF 1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ＋22＋tan 2φ ＝2cos 2φ＋22cos φ＋1， |PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ－22＋tan 2φ ＝2cos 2φ－22cos φ＋1. ∴|PF 1|·|PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2φ＋12－8cos 2φ＝2cos 2φ－1.∵|OP |2＝1cos 2φ＋tan 2φ＝2cos 2φ－1，∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.1如图，已知椭圆24x ＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线分别交x 轴于P ，Q 两点，则|OP |·|OQ |的值是( )．A ．1B ．2C ．3D ．42点M 0(0,2)到双曲线x 2－y 2＝1的最小距离(即双曲线上任一点M 与点M 0的距离的最小值)是( )．A ．1B ．2C ．3 3参数方程=4sin ,=5cos x y θθ⎧⎨⎩(θ为参数)表示的曲线为__________．4已知抛物线y 2＝2Px ，过顶点的两条弦OA ⊥OB ，求以OA ，OB 为直径的两圆的另一交点Q 的轨迹．答案：1．D 设M (2cos φ，sin φ)，B 1(0，－1)，B 2(0,1)．则MB 1的方程为y ＋1＝sin φ＋12cos φx ，令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即|OP |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ.MB 2的方程为y －1＝sin φ－12cos φx ，∴|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ.∴|OP |·|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ＝4.2．C ∵双曲线方程为x 2－y 2＝1，∴a ＝b ＝1. ∴双曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ.设双曲线上一动点为M ⎝⎛⎭⎪⎫1cos θ，tan θ，则|M 0M |2＝1cos 2θ＋(tan θ－2)2＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－4tan θ＋4)＝2tan 2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3.当tan θ＝1时，|M 0M |2取最小值3，此时有|M 0M |＝ 3.3．椭圆参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sin θ，y ＝5cos θ(θ为参数)可化为⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝x4，cos θ＝y5(θ为参数)①②①2＋②2，得x 216＋y 225＝1，所以曲线为椭圆．4．分析：用参数方程形式设出A ，B 的坐标，求出以OA ，OB 为直径的圆的方程，再求交点．解：设A (2pt 21，2pt 1)，B (2pt 22，2pt 2)，设Q (x ，y )，则以OA 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pt 21x －2pt 1y ＝0，以OB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pt 22x －2pt 2y ＝0，即t 1，t 2为关于t 的方程2pxt 2＋2pyt －x 2－y 2＝0的两根．∴t 1t 2＝－x 2＋y22px.又OA ⊥OB ，∴t 1t 2＝－1，x 2＋y 2－2px ＝0(x ≠0)．∴另一交点Q 的轨迹是以(p,0)为圆心，p 为半径的圆(除去原点(0,0))．。

高中数学第二章参数方程 2.2 圆的参数方程 2.3 椭圆的参数方程 2.4 双曲线的参数方程学案北师大版选修44

2.2 圆的参数方程 2.3 椭圆的参数方程 2.4 双曲线的参数方程对应学生用书P24][自主学习]1．有向线段的数量如果P ，M 是l 上的两点，P 到M 的方向与直线的正方向一致，那么PM 取正值，否则取负值．我们称这个数值为有向线段2．直线参数方程的两种形式(1)经过点P (x 0，y 0)、倾斜角是α的直线的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．其中M(x ，y )为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是从点P 到M的位移，可以用有(2)经过两个定点Q (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx21＋λ，y ＝y 1＋λy 21＋λ(λ为参数，λ≠－1)．其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数λ的几何意义是：动点M 量比QM MP.①当λ>0时，M 为内分点；②当λ<0且λ≠－1时，M 为外分点； ③当λ＝0时，点M 与Q 重合．[合作探究]1．如何引入参数求过定点P (x 0，y 0)且与平面向量a ＝(a ，b )⎝⎛⎭⎪⎫或斜率为b a平行的直线的参数方程？提示：在直线l 上任取一点M (x ，y )，a，＝(x －x 0，y －y 0)，可得x －x 0a ＝y －y 0b ，设这个比值为t ，即：x －x 0a ＝y －y 0b＝t ，则有：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t ∈R )．2．问题1中得到的参数方程中参数何时与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t ∈R )中参数t 具有相同的几何意义？提示：当a 2＋b 2＝1时．对应学生用书P24][例1] (1)写出直线l 的参数方程；(2)求直线l 与直线x －y ＋1＝0的交点．[思路点拨] 本题考查如何根据已知条件确定直线的参数方程及运算求解能力，解答此题需要将条件代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α得到直线的参数方程，然后与x －y ＋1＝0联立可求得交点．[精解详析] (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos 120°，y ＝4＋t sin 120°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3－12t ，y ＝4＋32t (t 为参数)．(2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t 代入x －y ＋1＝0，得3－12t －4－32t ＋1＝0，得t ＝0.把t ＝0代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t ，得两直线的交点为(3,4)．1．已知直线经过的定点与其倾斜角，求参数方程利用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．2．已知直线过两点，求参数方程利用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx21＋λ，y ＝y 1＋λy21＋λλ为参数且λ≠－3．已知直线经过的定点与其方向向量a ＝(a ，b )(或斜率ba)，则其参数方程可为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋ta ，y ＝y 0＋tb(t 为参数)．1．已知两点A (1,3)，B (3,1)和直线l ：y ＝x ，求过点A ，B 的直线的参数方程，并求它与直线l 的交点M 分AB 的比．解：设直线AB 与l 的交点M (x ，y )，且AMMB＝λ，则直线AB 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3λ1＋λ，y ＝3＋λ1＋λ(λ为参数且λ≠－1)．①把①代入y ＝x 得1＋3λ1＋λ＝3＋λ1＋λ，得λ＝1，所以点M 分AB 的比为1∶1.[例2] 写出经过点M 0(－2,3)，倾斜角为4的直线l 的参数方程，并且求出直线l 上与点M 0相距为2的点的坐标．[思路点拨] 本题考查直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)的应用，特别是参数几何意义的应用．解答此题需先求出直线上与点M 0相距为2的点对应的参数t ，然后代入参数方程求此点的坐标．[精解详析] 直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 3π4，y ＝3＋t sin 3π4(t 为参数)．①设直线l 上与已知点M 0相距为2的点为M 点，M 点对应的参数为t ，则|M 0M |＝|t |＝2， ∴t ＝±2.将t 的值代入①式：当t ＝2时，M 点在M 0点上方，其坐标为(－2－2，3＋2)；当t ＝－2时，M 点在M 0点下方，其坐标为(－2＋2，3－2)．1．过定点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，|t |P 与M 间的距离．2．过定点M 0(x 0，y 0)，斜率为ba 的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (a ，b 为常数，t为参数)．当a2＋b 2＝1时，|t |a 2＋b 2≠1时，|t |的长度的1a 2＋b 2.2．过点A (1，－5)的直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝－5＋3t(t 为参数)，它与方程为x－y －23＝0的直线l 2相交于一点P ，求点A 与点P 之间的距离．解：将直线l 1的参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－5＋32t(t 为参数)．⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1且32＞0，令t ′＝2t ，则将t ′代入上述方程得直线l 1的参数方程的标准式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ′，y ＝－5＋32t ′(t ′为参数)．代入x －y －23＝0得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5＋32t ′－23＝0，解得t ′＝43， ∴|AP |＝|t ′|＝4 3.[例3] 已知直线l 过点P (1,0)，倾斜角为3，直线l 与椭圆3＋y 2＝1相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M .(1)求P ，M 两点间的距离； (2)求线段AB 的长|AB |.[思路点拨] 本题考查直线的参数方程在解决直线与圆锥曲线相交中的中点、弦长等问题中的应用，解答此题需要求出直线的形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)的方程，然后利用参数的几何意义求解．[精解详析] (1)∵直线l 过点P (1,0)，倾斜角为π3，cos α＝12，sin α＝32.∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．①∵直线l 和椭圆相交，将直线的参数方程代入椭圆方程并整理得5t 2＋2t －4＝0，Δ＝4＋4×5×4>0.设这个二次方程的两个实根为t 1，t 2.由根与系数的关系得：t 1＋t 2＝－25，t 1t 2＝－45，由M 为AB 的中点，根据t 的几何意义，得|PM |＝|t 1＋t 22|＝15. (2)|AB |＝|t 2－t 1|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝8425＝2215.1．在解决直线与圆锥曲线相交关系的问题中，若涉及到线段中点、弦长、交点坐标等问题，利用直线参数方程中参数t 的几何意义求解，比利用直线l 的普通方程来解决更为方便．2．在求直线l 与曲线C ：f (x ，y )＝0的交点间的距离时，把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α代入f (x ，y )＝0，可以得到一个关于t 的方程f (x 0＋t cos α，y 0＋t sin α)＝0.假设该方程的解为t 1，t 2，对应的直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，那么由参数t 的几何意义可得|AB |＝|t 1－t 2|.(1)弦AB 的长|AB |＝|t 1－t 2|. (2)线段AB 的中点M 对应的参数t ＝t 1＋t 22(解题时可以作为基本结论使用)．3．(江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.本课时常考查直线参数方程的确定与应用，同时考查运算、转化及求解能力，高考、模拟常与极坐标方程及圆锥曲线的参数方程交汇命题．[考题印证](湖南高考)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，则常数a 的值为________．[命题立意] 本题主要考查对参数方程的理解、两直线的位置关系，以及平面直角坐标系下由两直线的位置关系确定参数值的方法．[自主尝试] 先把两直线的参数方程化成普通方程．直线l 1：x －2y －1＝0，直线l 2：2x －ay －a ＝0.因为两直线平行，所以1×(－a )＝－2×2，故a ＝4，经检验，符合题意．[答案] 4对应学生用书P26]一、选择题1．已知直线l 过点A (1,5)，倾斜角为π3，P 是l t 为参数，则直线l 的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋12t ，y ＝5－32tB.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－12t ，y ＝5＋32tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝5－32t解析：选D t t .则参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋－t π3，y ＝5＋－tπ3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝5－32t .故选D.2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t sin 20°，y ＝－t cos 20°(t 为参数)的倾斜角是( )A ．20°B ．70°C ．110°D ．160°解析：选C 法一：将原方程改写成⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝t sin 20°，－y ＝t cos 20°，消去t ，得y ＝tan 110°(x －3)，所以直线的倾斜角为110°.法二：将原参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋－t ，y ＝－t ，令－t ＝t ′，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t ′cos 110°，y ＝t ′sin 110°，所以直线的倾斜角为110°. 3．直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t(t 为参数)上与点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标是( )A ．(－4,5)B ．(－3,4)C ．(－3,4)或(－1,2)D ．(－4,5)或(0,1)解析：选C 设直线上的点Q (－2－2t,3＋2t )与点P (－2,3)的距离等于2，即d ＝－2－2t ＋2＋＋2t －2＝ 2.解得t ＝±22.当t ＝22时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2×22＝－3，y ＝3＋2×22＝4，∴Q (－3,4)．当t ＝－22时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－1，y ＝3＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝2，∴Q (－1,2)．综上，符合题意的点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．4．直线l 经过点M 0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线x －y －2＝0于点M ，则|MM 0|等于( )A.3＋1 B ．6(3＋1) C ．6＋ 3D ．63＋1解析：选B 由题意可得直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)，代入直线方程x －y －2＝0，得1＋12t －⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋32t －2＝0，解得t ＝－6(3＋1)．根据参数t 的几何意义可知|MM 0|＝6(3＋1)．二、填空题5．过P (－4,0)，倾斜角为5π6的直线的参数方程为________．解析：∵直线l 通过P (－4,0)，倾斜角α＝5π6，所以直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋t cos 5π6，y ＝0＋t sin 5π6，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4－32t ，y ＝t 2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4－32t ，y ＝12t6．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t(t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________. 解析：直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t的斜率为－32，∴－4k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－1，k ＝－6.答案：－67．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t sin θ，y ＝－2＋t cos θ(t 为参数)，其中角θ的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则直线l 的倾斜角是________．解析：将原参数方程改写成⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝t sin θ，y ＋2＝t cos θ，消去参数t ，得y ＋2＝(x －1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ，由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π和倾斜角的范围可知直线l 的倾斜角为3π2－θ. 答案：3π2－θ8．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t (t 为参数)与圆x 2＋y 2＝1有两个交点A ，B ，若点P 的坐标为(2，－1)，则|PA |·|PB |＝________.解析：把直线的参数方程代入圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫－1＋12t 2＝1，即t 2－6t ＋8＝0，解得t 1＝2，t 2＝4，∴A (1,0)，B (0,1)．∴|PA |＝12＋12＝2，|PB |＝22＋22＝2 2.∴|PA |·|PB |＝2×22＝4.答案：4三、解答题9．已知P 为半圆C ：x 2＋y 2＝1(0≤y ≤1)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3. (1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求点M 的极坐标；(2)求直线AM 的参数方程．解：(1)由已知，M 点的极角为π3，且M 点的极径等于π3，故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π3. (2)M 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3π6，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－1t ，y ＝3π6t (t 为参数)． 10．已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6. (1)写出直线l 的参数方程； (2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于点A 和点B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积．解：(1)因为直线l 过P (1,1)，且倾斜角α＝π6，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)．(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数分别为t 1，t 2.将直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＝4，整理，得t 2＋(3＋1)t －2＝0.因为t 1，t 2是方程t 2＋(3＋1)t －2＝0的根，所以t 1t 2＝－2.故|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝2.所以点P 到A ，B 两点的距离之积为2. 11．已知圆锥曲线⎩⎨⎧ x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)和定点A (0，3)，F 1，F 2是圆锥曲线的左、右焦点． (1)求经过点F 1垂直于直线AF 2的直线l 的参数方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程．解：(1)圆锥曲线⎩⎨⎧ x ＝2cos θ，y ＝3sin θ化为普通方程是x 24＋y 23＝1，所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则直线AF 2的斜率k ＝0－31－0＝－3，于是经过点F 1垂直于直线AF 2的直线l 的斜率k ′＝33，直线l 的倾斜角是30°，所以直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋t cos30°，y ＝0＋t sin30°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t －1，y ＝12t (t 为参数)． (2)法一：直线AF 2的斜率k ＝0－31－0＝－3，倾斜角是120°，设P (ρ，θ)是直线AF 2上任一点，则根据正弦定理得ρsin60°＝1－θ，即ρsin(120°－θ)＝sin60°，即ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3. 法二：直线AF 2的直角坐标方程是y ＝－3(x －1)，将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得直线AF 2的极坐标方程：ρsin θ＝－3ρcos θ＋3，即ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3.。

高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程精练(含解析)北师大

3.1 双曲线及其标准方程1.在方程mx2-my2=n中,若mn<0,则方程表示的曲线是()A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线解析:将方程化为=1,由mn<0,知->0,所以方程表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线.答案:D2.椭圆=1和双曲线=1有相同的焦点,则实数n的值是()A.±5B.±3C.5D.9解析:由题意知,34-n2=n2+16,∴2n2=18,n2=9,∴n=±3.答案:B3.平面内动点P(x,y)与A(-2,0),B(2,0)两点连线的斜率之积为,动点P的轨迹方程为()A.+y2=1B.-y2=1C.+y2=1(x≠±2)D.-y2=1(x≠±2)解析:依题意有k PA·k PB=,即(x≠±2),整理得-y2=1(x≠±2).答案:D4.设点P在双曲线=1上,若F1,F2为双曲线的两个焦点,且|PF1|∶|PF2|=1∶3,则△F1PF2的周长等于()A.22B.16C.14D.12解析:由双曲线定义知|PF2|-|PF1|=6,又|PF1|∶|PF2|=1∶3,由两式得|PF1|=3,|PF2|=9,进而易得周长为22.答案:A5.焦点分别为(-2,0),(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()A.x2-=1B.-y2=1C.y2-=1D.=1解析:由双曲线定义知,2a==5-3=2,∴a=1.又c=2,∴b2=c2-a2=4-1=3,因此所求双曲线的标准方程为x2-=1.答案:A6.(2015北京高考)已知(2,0)是双曲线x2-=1(b>0)的一个焦点,则b= .解析:由题意知c=2,a=1,b2=c2-a2=3.又b>0,所以b=.答案:7.经过点P(-3,2)和Q(-6,-7),且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是. 解析:设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),则解得故双曲线的标准方程为=1.答案:=18.已知双曲线的两个焦点F1(-,0),F2(,0),P是双曲线上一点,且=0,|PF1|·|PF2|=2,则双曲线的标准方程为.解析:由题意可设双曲线方程为=1(a>0,b>0).由=0,得PF1⊥PF2.根据勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=(2c)2,即|PF1|2+|PF2|2=20.根据双曲线定义有|PF1|-|PF2|=±2a.两边平方并代入|PF1|·|PF2|=2,得20-2×2=4a2,解得a2=4,从而b2=5-4=1,所以双曲线方程为-y2=1.答案:-y2=19.导学号01844023双曲线C与椭圆=1有相同焦点,且经过点(,4).(1)求双曲线C的方程;(2)若F1,F2是双曲线C的两个焦点,点P在双曲线C上,且∠F1PF2=120°,求△F1PF2的面积.解(1)椭圆的焦点为F1(0,-3),F2(0,3),设双曲线的方程为=1,则a2+b2=32=9.①又双曲线经过点(,4),所以=1,②解①②得a2=4,b2=5或a2=36,b2=-27(舍去),所以所求双曲线C的方程为=1.(2)由双曲线C的方程,知a=2,b=,c=3.设|PF1|=m,|PF2|=n,则|m-n|=2a=4,平方得m2-2mn+n2=16.①在△F1PF2中,由余弦定理得(2c)2=m2+n2-2mn cos 120°=m2+n2+mn=36.②由①②得mn=,所以△F1PF2的面积为S=mn sin 120°=.10.导学号01844024设双曲线与椭圆=1有相同的焦点,且与椭圆相交,一个交点A的纵坐标为4,求此双曲线的标准方程.解法一设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),由题意知c2=36-27=9,c=3.又点A的纵坐标为4,则横坐标为±,于是有解得所以双曲线的标准方程为=1.解法二将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(±,4),又两焦点分别为F1(0,3),F2(0,-3),所以2a=||=4,即a=2,b2=c2-a2=9-4=5,所以双曲线的标准方程为=1.。

高中数学第二章解析几何初步 2.2.2 圆的一般方程练习北师大版必修2

2.2 圆的一般方程A组1.若圆的方程为(x-1)(x+2)+(y-2)(y+4)=0,则圆心坐标为()A.(1,-1)B.C.(-1,2)D.解析:将圆的方程化为+(y+1)2=,即可得到圆心坐标为.答案:D2.将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是()A.x+y-1=0B.x+y+3=0C.x-y+1=0D.x-y+3=0解析:能将圆平分的直线必过圆心,将圆方程x2+y2-2x-4y+1=0化成标准方程为(x-1)2+(y-2)2=4,知圆心坐标为(1,2),代入四个选项中,只有C符合.故选C.答案:C3x,y的方程x2+mxy+y2+2x-y+n=0表示的曲线是圆,则m+n的取值范围是()A.B.C.D.解析:依题意应有所以于是m+n<.答案:A4.经过点(-1,1)和(1,3),且圆心在x轴上的圆的方程是()A.x2+y2-4y-6=0B.x2+y2-4x-4y-6=0C.x2+y2-4x-6=0D.x2+y2-4x+4y+6=0解析:设圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0,依题意有解得故所求圆的方程是x2+y2-4x-6=0.答案:C5.方程x(x2+y2-4)=0与x2+(x2+y2-4)2=0表示的曲线()A.都表示一条直线和一个圆B.前者是两个点,后者是一条直线和一个圆C.都表示两个点D.前者是一条直线和一个圆,后者是两个点解析:x(x2+y2-4)=0⇒x=0或x2+y2-4=0,x2+(x2+y2-4)2=0⇒x=0且y=±2.故选D.答案:D6.圆x2+y2-2x-2y+1=0的圆心到直线x-y-2=0的距离为.解析:已知圆的圆心坐标为(1,1),由点到直线的距离公式得圆心到直线x-y-2=0的距离d=.答案:7.动圆x2+y2-2x-k2+2k-2=0的半径的取值范围是.解析:由已知得半径r=,由于(k-1)2≥0,(k-1)2+2≥2,所以r≥,即r的取值范围是[,+∞).答案:[,+∞)8.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是.解析:由于圆心在第一象限且与x轴相切,故设圆心为(a,1),又由圆与直线4x-3y=0相切,得=1,解得a=2或-(舍去).故圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.答案:(x-2)2+(y-1)2=19C的圆经过点A(1,0),B(2,1),且圆心C在y轴上,求此圆的一般方程.解:AB的中点为,且中垂线的斜率k=-1,∴AB的中垂线的方程为y-=-,令x=0,得y=2,即圆心为(0,2).∴圆C的半径r=|CA|=.∴圆的方程:x2+(y-2)2=5,即x2+y2-4x-1=0.10.已知点P在圆C:x2+y2-4x+3=0上运动,求线段OP的中点M的轨迹方程.解:设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),点O的坐标为(0,0),由中点坐标公式,得x=,y=,于是x0=2x,y0=2y.①∵点P在圆(x-2)2+y2=1上,∴点P的坐标满足方程(x-2)2+y2=1,即(x0-2)2+=1.②把①代入②,得(2x-2)2+(2y)2=1.整理,得(x-1)2+y2=.∴点M的轨迹方程是(x-1)2+y2=.B组1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的圆与x轴相切于原点,则()A.D=0,E=0,F≠0B.D=0,E≠0,F=0C.D≠0,E=0,F=0D.D=0,E≠0,F≠0解析:圆心在y轴上,所以D=0,又圆与x轴相切于原点,所以F=0,E≠0.答案:B2.已知圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆面积最大时,圆心坐标为()A.(1,1)B.(0,1)C.(-1,0)D.(0,-1)解析:∵r=,∴当S最大时,k=0,此时圆心坐标为(0,-1).答案:D3.若圆x2+y2-2kx-4=0关于直线2x-y+3=0对称,则k等于()A. B.- C.3 D.-3解析:圆心为(k,0),在直线2x-y+3=0上,所以2k-0+3=0,所以k=-,故选B.答案:B4A,B是直线3x+4y+2=0与圆x2+y2+4y=0的两个交点,则线段AB的垂直平分线的方程是()A.4x-3y-2=0B.4x-3y-6=0C.3x+4y+6=0D.3x+4y+8=0答案:B5.已知圆x2+y2-4x+2y+c=0与y轴交于A,B两点,其圆心为P,若∠APB=90°,则实数c的值是()A.-3B.3C.2D.8解析:圆x2+y2-4x+2y+c=0化成标准方程,得(x-2)2+(y+1)2=5-c,所以圆的圆心为P(2,-1),半径r=.因为圆与y轴交于A,B两点,满足∠APB=90°,所以r=2,解得c=-3.答案:A6.若曲线x2+y2+a2x+(1-a2)y-4=0关于直线y-x=0的对称曲线仍是其本身,则实数a=.解析:若曲线x2+y2+a2x+(1-a2)y-4=0关于直线y-x=0的对称曲线仍是其本身,则它是圆心在此直线上的圆,而圆心坐标是,则-=-,解得a=±.答案:±7x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是.解析:x2+y2-4x-4y-10=0可化为(x-2)2+(y-2)2=(3)2,圆心到直线x+y-14=0的距离d==5>r=3,∴圆上的点到直线的距离的最大值与最小值的差为2r=6.答案:68.一圆经过A(4,2)和B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是2,求该圆的方程.解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,令y=0,得x2+Dx+F=0,所以圆在x轴上的截距之和为x1+x2=-D.同理,圆在y轴上的截距之和为y1+y2=-E,由题设-D-E=2,①又点A,B在圆上,所以16+4+4D+2E+F=0,②1+9-D+3E+F=0,③由①②③联立,解得D=-2,E=0,F=-12.即所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0.9.已知一曲线上的点与定点O(0,0)的距离和定点A(3,0)的距离的比是,求此曲线的方程,并说明此曲线表示的图形.解:设点M(x,y)是曲线上的任意一点,则点M属于集合.由两点间的距离公式,得.化简得x2+y2+2x-3=0,①这就是所求的曲线方程.把方程①的左边配方,得(x+1)2+y2=4.所以曲线是以C(-1,0)为圆心,2为半径的圆.。

新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试卷(含答案解析)(5)

一、选择题1．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(0,0)a b >>的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于D 、E 两点，115,DF F E=2DF =2DF x ⊥轴.若点P 是圆22:1O x y +=上的一个动点，则12PF PF ⋅的取值范围是（）A ．[3,5]B ．[2,5]C ．[2,4]D ．[3,4]2．已知椭圆4cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点分别为,A B ，动点P 是椭圆上任一点，则PAB ∆面积的最大值为（）A．)61B．)61C ．125D ．2453．曲线C 的参数方程为2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为12x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则AB 等于（） ABCD4．已知直线l的参数方程为112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 与圆2216x y +=相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标为（） A ．(3,3)-B．3)-C．(D．3(,5．已知椭圆C 的参数方程为3cos 5sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则C 的两个焦点坐标是（）A ．(4,0)±B ．(0,4)±C．(D．(0,6．已知椭圆()222210,x y a b M a b+=>>为椭圆上一动点，1F 为椭圆的左焦点则线段1MF 的中点P 的轨迹是（） A ．椭圆 B ．圆 C ．双曲线的一支 D ．线段7．已知M 为曲线3sin :cos x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）上的动点，设O 为原点，则OM 的最大值是A ．1B ．2C ．3D ．48．过()0,2P -，倾斜角为60︒的直线与曲线232y x x =-+交于A B 、两点，则PA PB ⋅= ( )A．6+B ．16C ．8D．6-9．直线34x t y t =-⎧⎨=+⎩，(t 为参数)上与点()3,4P( )A ．()4,3B ．()4,5-或()0,1C ．()2,5D ．()4,3或()2,510．曲线C 的参数方程为{2x sin cos y sin cos αααα=-=（α为参数），则它的普通方程为（）A ．21y x =+B ．21y x =-+C ．21y x =-+，x ⎡∈⎣D ．21y x =+，x ⎡∈⎣11．已知圆()22:11M x y -+=,圆()22:11N x y ++=,直线12,l l 分别过圆心,M N ,且1l 与圆M 相交于,A B 两点,2l 与圆N 相交于,C D 两点,点P 是椭圆22149x y+=上任意一点,则PA PB PC PD ⋅+⋅的最小值为（） A ．7B ．8C ．9D ．1012．已知两条曲线的参数方程1C ：5cos 5sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）和2C ：4cos 453sin 45x t y t =+︒⎧⎨=+︒⎩（t 为参数），则这两条曲线的交点为端点的线段的长度是（） A ．5B．C ．7D．二、填空题13．在直角坐标系xOy 中，若直线:x t l y t a =⎧⎨=-⎩（t 为参数）过椭圆4cos :5sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的左顶点，则a =__________．14．已知圆C 的参数方程{ 1x cos y sin αα==+（α为参数），以原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 1ρθ=，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为__________．15．已知圆22:1O x y +=和点()2,0A -，若定点()(),02B b b ≠-和常数λ满足，对圆O 上任意一点M ，都有MB MA λ=，则λ= _____ .16．无论k 取任何实数，直线2y kx =+与椭圆()2 θx cos y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数恒有交点，则实数m 的取值范围是_____。

高中数学第二章参数方程224双曲线的参数方程课件北师大版选修4

得(|F1P|·|F2P|)2＝[(secθ＋ 2)2＋tan2θ]·[(secθ－ 2)2＋tan2θ] ＝(sec2θ＋2 2secθ＋2＋tan2θ)·(sec2θ－2 2secθ＋2＋tan2θ) ＝(2sec2θ＋1)2－(2 2secθ)2 ＝4sec4θ－4sec2θ＋1＝(2sec2θ－1)2. 又|OP|2＝sec2θ＋tan2θ＝2sec2θ－1，由此得|F1P|·|F2P|＝|OP|2.
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题型三抛物线参数方程的应用例 3 由抛物线 y2＝2x 上各点作 y 轴的垂线段，求线段中点的轨迹方程(参数形式)．
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【解析】 ∵抛物线的方程为 y2＝2x， ∴可设抛物线上任一点坐标为(2t2，2t)，向 y 轴作垂线垂足为(0，2t)． ∴它们的中点坐标为(t2，2t)． ∴中点的轨迹方程为yx＝＝2t2t，(t 为参数)．轨迹为一条抛物线．
y＝sinθ
A．抛物线的一部分
B．抛物线
C．双曲线的一部分
D．双曲线
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答案 A 解析 ∵x＝cos2θ＝1－sin2θ，y＝sinθ， ∴x＝1－y2，即 y2＝－x＋1(0≤x≤1)．故曲线为抛物线的一部分．
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3．方程 x＝ 3y2－1所表示的曲线的参数方程为________．
答案
| ab ＋abtanφ| | ab －abtanφ|
cosφ
则 d1·d2＝
b2＋a2
cosφ · b2＋（－a）2
＝a2a＋2b2b2(定值)．
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结束
语同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，考试加油。

高中数学北师大选修学业分层测评 ++ 圆的参数方程椭圆的参数方程双曲线的参数方程含解析

学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.直线：x ＋y ＝1与曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的公共点有( )A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】曲线即x 2＋y 2＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2＋y 2＝4，得2x 2－2x －3＝0.这里Δ>0，故有2个公共点.【答案】 C2.椭圆⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ的长轴长和短轴长分别为( )A.3 2B.6 2C.3 4D.6 4【解析】由方程可知a ＝3，b ＝2，∴2a ＝6,2b ＝4. 【答案】 D3.直线3x －4y －9＝0与圆⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的位置关系是( )【导学号：12990026】A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但不过圆心【解析】圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的普通方程为x 2＋y 2＝4，则圆心(0,0)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3×0－4×0－9|32＋42＝95＜2，又3×0－4×0－9＝－9≠0，故选D. 【答案】 D4.x ，y ∈R 且满足x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0，则x －2y 的最大值是( ) A. 5 B.10 C.9D.5＋2 5【解析】设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos α，y ＝－2＋5sin α(α为参数)，则x －2y ＝1＋5cos α＋4－25sin α＝5sin(α－φ)＋5，故(x －2y )max ＝10. 【答案】 B5.下列双曲线中，与双曲线⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝tan φ(φ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )A.y 23－x 29＝1 B.y 23－x 29＝－1 C.y 23－x 2＝1D.y 23－x 2＝－1【解析】将双曲线⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝tan φ(α为参数)化为普通方程为x 23－y 2＝1, 其渐近线方程为y ＝±33x ，离心率为e ＝233，经验证知B 正确.【答案】 B 二、填空题6.圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，那么它的参数方程为________. 【解析】把ρ＝4cos θ化为x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝2.这里圆心为(2,0)，半径为2，所以它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数).【答案】 ⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)7.直线⎩⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为任意实数)的交点个数为________.【解析】消参后，直线为x ＋y ＝1，曲线为圆x 2＋y 2＝9，圆心(0,0)到直线的距离为22，小于半径3，所以直线与圆相交，因此，交点个数为2.【答案】 28.对于任意实数，直线y ＝x ＋b 与椭圆⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝4sin φ(0≤φ＜2π)恒有公共点，则b 的取值范围是________.【解析】椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝4sin φ可化为x 24＋y 216＝1.把y ＝x ＋b 代入得， 5x 2＋2bx ＋b 2－16＝0， Δ＝4b 2－20(b 2－16)≥0，解得－25≤b ≤2 5. 【答案】 [－25，25] 三、解答题9.已知点M (x ，y )是圆x 2＋y 2＋2x ＝0上的动点，若4x ＋3y －a ≤0恒成立，求实数a 的取值范围.【解】依题意，a ≥(4x ＋3y )max 即可. 由于圆的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝1，参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝sin θ(θ∈R ).于是点M 的坐标为(－1＋cos θ，sin θ)，∴4x ＋3y ＝－4＋4cos θ＋3sin θ＝－4＋5sin(θ＋φ). 其中，tan φ＝43，角φ的终边过点(3,4)，于是当sin θ＝35，cos θ＝45时，(4x ＋3y )max ＝1. 此时，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，35.所以实数a 的取值范围是[1，＋∞).10.如图2-2-7，求椭圆x 29＋y 24＝1的内接矩形中，面积最大的矩形的长和宽及其最大面积.图2-2-7【解】已知椭圆x 29＋y 24＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)，设P (x ，y )是椭圆上在第一象限内的一点，则P 点的坐标是P (3cos φ，2sin φ)，内接矩形面积为S ＝4xy ＝4×3cos φ·2sin φ＝12sin 2φ.当sin 2φ＝1，即φ＝45°时，面积S 有最大值12，这时x ＝3cos 45°＝322，y ＝2sin 45°＝ 2.故面积最大的内接矩形的长为32，宽为22，最大面积为12.[能力提升]1.设P (x ，y )为椭圆(x －1)2＋2y 23＝1上的一点，则x ＋y 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－102，1＋102 B.RC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤102－1，102＋1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－62，1＋62【解析】设⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝62sin α，则x ＋y ＝1＋cos α＋62sin α＝1＋102sin(α＋φ)， ∴1－102≤x ＋y ≤1＋102. 【答案】 A2.直线x 4＋y 3＝1与椭圆x 216＋y 29＝1相交于A ，B 两点，该椭圆上点P 使得△P AB 的面积等于4，这样的点P 共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】设椭圆上一点P 1的坐标为(4cos θ，3sin θ)，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，如图所示，则SP 1-AOB ＝S △OAP 1＋S △OBP 1＝12×4×3sin θ＋12×3×4cos θ＝6(sin θ＋cos θ)＝62sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.当θ＝π4时，SP 1-AOB 有最大值为6 2. 所以S △ABP 1≤62－S △AOB ＝62－6<4.故在直线AB 的右上方不存在点P 使得△P AB 的面积等于4，又S △AOB ＝6>4，所以在直线AB 的左下方，存在2个点满足到直线AB 的距离为85，使得S △P AB ＝4.故椭圆上有两个点使得△P AB的面积等于4.【答案】 B3.设y＝tx(t为参数)，则圆x2＋y2－4y＝0的参数方程为________.【导学号：12990027】【解析】把y＝tx代入圆的方程得x2＋t2x2－4tx＝0，当x＝0时，y＝0.当x≠0时，x＝4t1＋t2，由y＝tx得y＝4t21＋t2，故⎩⎨⎧x＝4t1＋t2，y＝4t21＋t2(t为参数).【答案】⎩⎪⎨⎪⎧x＝4t1＋t2，y＝4t21＋t2(t为参数)4.如图2-2-8，已知椭圆x24＋y2＝1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1，B2的连线分别交x轴于P，Q两点.求证：|OP|·|OQ|为定值.图2-2-8【证明】设M点的坐标为(2cos φ，sin φ)(φ为参数)，B1(0，－1)，B2(0,1).则MB1的方程为y＋1＝sin φ＋12cos φ·x.令y＝0，则x＝2cos φsin φ＋1，即|OP |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ. MB 2的方程为y －1＝sin φ－12cos φx ， ∴|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ. ∴|OP |·|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ＝4. 因此|OP |·|OQ |＝4(定值).。

高中数学第二章参数方程2.2圆的参数方程2.3椭圆的参数方程2.4双曲线的参数方程课件北师大版选修4_4

圆，则圆心 (1 ， 3 ) 到直线 x ＋ 3 y － 2 ＝ 0 的距离为
|1＋ 3× 12＋
33－2 2|＝1，故直线和圆相切．
(2)设圆上的点 P(1＋cos θ， 3＋sin θ)(0≤θ<2π)．
|OP|＝ 1＋cos θ2＋ 3＋sin θ2＝当 θ＝43π时，|OP|min＝1.
的参数方程为xy＝＝23scions
φ， φ
(φ 为参数)，
设 P(x，y)是椭圆上在第一象限内的一点，
则 P 点的坐标是 P(3cos φ，2sin φ)，
内接矩形面积为
S＝4xy＝4×3cos φ·2sin φ＝12sin 2φ.
当 sin 2φ＝1，即 φ＝45°时，面积 S 有最大值 12，
这时 x＝3cos 45°＝322，y＝2sin 45°＝ 2.
故面积最大的内接矩形的长为 3 2，宽为 2 2，最大面积为
12.
与椭圆上的动点 M 有关的最值、定值、轨迹等问题一般利用其参数方程求解．
2．在平面直角坐标系 xOy 中，设 P(x，y)是椭圆x32＋y2＝1 上一个动点，求 x＋y 的最大值．解：椭圆方程x32＋y2＝1 的参数方程为xy＝＝sin3cθos θ， (θ 为参数)．设椭圆上任一点 P( 3cos θ，sin θ)，则 x＋y＝ 3cos θ＋sin θ＝2sinθ＋π3. ∵sinθ＋π3∈[－1,1]， ∴当 sinθ＋π3＝1 时，x＋y 取最大值 2.
x＝rcos α， OM＝OPcos α，MP＝OPsin α，即 y＝rsin α (α 为参
数)．这就是圆心在原点、半径为 r 的圆的参数方程．参数
α 的几何意义是 OP 与 x 轴正方向的夹角．

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