大学物理22-7

ψ (x )
ψ1
ψ2 ψ3
o
a
x
∂x h h
P2 E = Ek = 2m
——一维自由粒 一维自由粒 子的薛定谔方程
i = − Eψ h
22.7 薛定谔方程 薛定谔方程—— 量子物理基础
2. 一维势场 一维势场U(x,t)中运动粒子薛定谔方程 中运动粒子薛定谔方程
P2 E = Ek + U = +U 2m i ∂Ψ EΨ = − ∂t h 2 P2 ∂ Ψ = − 2 Ψ 2 ∂x h i P2 ∂Ψ =− [ + U ( x , t )]Ψ ∂t h 2m
i ∂Ψ = − Eψ 0e ∂t h
E = hν
p=
−i
h
i − ( Et −Px ) h
Ψ ( x, t ) = Ψ0 e
2பைடு நூலகம்2
2π ( Et − px ) h
λ
h ∂Ψ ∂Ψ i 2 2 = ih − ( Et−Px) P2 − ∂Ψ P 2 ∂t =− 2 Ψoe h =− 2 Ψ 2m ∂x 2
h2 ∂ 2 d2 − ψ ( x ) = Eψ ( x ) ⇒ 2 ψ ( x ) + 2mE ψ ( x ) = 0 2m ∂x 2 dx h2 ∂2 2mE k 2 = 2 ⇒ 2 ψ ( x ) + k 2ψ ( x ) = 0 ∂x h
解为： 解为： ψ = A sin( kx + φ ),0 ≤ x ≤ a 由波函数的单值有限且连续可知 ka π 所以， = n X=0,A sin ϕ = 0 ；x=a, A sin( ka + ϕ ) = 0 所以，ka=nππ nπ 则 ψ = A sin a x , n = 1, 2, 3, K 2 2 2 nπ 概率密度为 ψ = A sin a x 由归以化条件可得 A =
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经典力学
量子力学
不考虑物质的波粒二象性 经典质点有运动轨道概念
针对物质的波粒二象性 微观粒子无运动轨道概念
牛顿力学方程 根据初始条件可求出经典质 点的 运动状态
是否存在一个 量子力学方程 根据某种条件可求出 微观粒子的运动状态 波函数
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2 nπ 波函数为 ψ = a sin a x , n = 1, 2, 3,K 2 a
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π2h 2 2 能量可能值 En = n 2 2ma
(n = 1,2,3,L)
讨论： 讨论：
1 粒子能量量子化 粒子能量量子化 能 量
π2h 2 2 En = n 2 2ma (n = 1,2,3,L)
x
Ep =
0,
0< x<a
Ep → ∞, x ≤ 0, x ≥ a
是固体物理金属中自由电子的简化模型； 是固体物理金属中自由电子的简化模型； 阱外 的区域， 即x<0和x>a的区域，由于 ∞，所以必须有Ψ=0 和 的区域 由于U=∞ 所以必须有Ψ 阱内： 阱内：
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Ψ dV = 1 ∫∫∫
2
波函数归一化条件
波函数满足的条件：单值、有限、连续、 波函数满足的条件：单值、有限、连续、归一
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二、一维无限深方势阱中的粒子
U→∞ →∞ U(x) U→∞ →∞
粒子势能 满足边界 边界条件 粒子势能 Ep 满足边界条件
E
U=0 0 a
从经典理论来看, 当粒子能量 E < Ep0 时，从经典理论来看 粒子不可 能穿过进入 但用量子力学分析， 能穿过进入 x > a的区域 .但用量子力学分析，粒子有 但用量子力学分析 一定概率穿透势垒，事实表明，量子力学是正确的. 一定概率穿透势垒，事实表明，量子力学是正确的 粒子的能量虽不 但在势垒中似乎有一 粒子的能量虽不足以超越势垒 ,但在势垒中似乎有一 但在势垒 个隧道,能使少量粒子穿过而进入 的区域， 个隧道 能使少量粒子穿过而进入 x>a 的区域，此现 象人们形象地称为隧道效应 人们形象地称为隧道效应. 称为隧道效应 隧道效应的本质 : 来 源于微观粒子的波粒二象 性.
2 粒子在势阱中各处出现的概率密度不同 粒子在势阱中各处出现的概率密度不同 概率密度 波 函 数 概率密度
ψ ( x) =
2
2 nπ sin x a a
2 2 nπ ψ ( x) = sin ( x) a a
例如， 例如，当 n =1时， 粒子在 x = a /2处出现的概率最大 时 处出现的概率最大
P2 h ∂ 2Ψ Ψ − = 2 2m ∂x 2m
h 2 ∂ 2Ψ ∂Ψ − + U ( x , t )Ψ = i h 2 2m ∂ x ∂t
3. 定态薛定谔方程 1）定态 ） 若势能U 无关，仅是坐标的函数。 若势能 与t 无关，仅是坐标的函数。粒子在空间各 处出现的概率不随时间变化的。 处出现的概率不随时间变化的。 定态： 定态：概率不随时间变化的状态
一、薛定谔方程 1.自由粒子薛定谔方程的建立 自由粒子薛定谔方程的建立 自由粒子 自由粒子平面波函数 自由粒子平面波函数
2π −i ( Et − px) h
y = A cos 2π ( vt −
x
Ψ ( x, t ) = Ψ0e
x − i 2π ( vt − )
λ
)
λ
Ψ ( x, t ) = ψ 0e
h ∂ Ψ − + U Ψ = EΨ 2 2m ∂x
2 2
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波函数满足的条件 单值： 在一个地方出现只有一种可能性； 1、单值： 在一个地方出现只有一种可能性； 连续：概率不会在某处发生突变； 2、连续：概率不会在某处发生突变； 3、有限 4、粒子在整个空间出现的总概率等于 1
基 态 能 量 E1 =
π 2h 2
2m a
2
, ( n = 1)
En = n2 激发态能量 激发态能量
π 2h 2
2ma 2
= n 2 E1 , ( n = 2, 3, L)
一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的 一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的 . 能量
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三 势垒穿透 一维方势垒
Ep (x)
0, x < 0, x > a Ep ( x) = E p0 , 0 ≤ x ≤ a
粒子的能量 隧道效应
Ep0
E < Ep0
ψ ( x)
o
a
x
从左方射入 的粒子， 的粒子，在各区 域内的波函数
ψ1
ψ2
ψ3
x
o
a
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