《微积分(上)》总复习题答案
高等数学微积分上复习题及解答
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(D)a、b、c 都任意
22、设 f (x)
=
1 − e−x2 x
0
(A)0
(B) 1 2
x ≠ 0 , 则 f ′(0) = ( D )。 x=0
(C)-1
(D)1
23、设 f (x) 是可导函数, 则 ( A )
(A)若 f (x) 为奇函数, 则 f ′(x) 为偶函数
(B)若 f (x) 为奇函数, 则 f ′(x) 亦为奇函数
(D)- 1 (1 − x 2 )3/ 2 + C 3
∫ 30、当 ( C ) 时,广义积分 0 e−kxdx 收敛。 −∞
(A) k >0
(B) k ≥0
(C) k <0
(D) k ≤0
∫ 31、设 f (x=) sin x sin t2dt, g(x=) x3 + x4 ,则当 x → 0 时 f (x) 是 g(x) 的(B )无穷小. 0
1− x x ≥ 0
1− x2 x < 0 (D)
1+ x x ≥ 0
42. 设 x → 0 时, esin x − ex 与 xn 是同阶无穷小,则 n = ( C ).
(A)1
(B)2
(C)3
(D) 4
43. 设 f (x) 在 x = 0 的某个领域内可导,且 f ′(0) = 0 及 lim f ′(x) = 1 ,则( A ). x→0 1− cos x 2
(D) A, B,C 都不对
1− x
41.
设
g(x)
=
x
+
1
x≤0
x2
x
>
0
,
f
微积分复习题集带参考答案(二)
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微积分习题集带参考答案综合练习题1(函数、极限与连续部分)1.填空题 (1)函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 . 答案:2>x 且3≠x .(2)函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 .答案:]2,1()1,2(-⋃--(3)函数74)2(2++=+x x x f ,则=)(x f . 答案:3)(2+=x x f(4)若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续,则=k .答案:1=k (5)函数x x x f 2)1(2-=-,则=)(x f .答案:1)(2-=x x f(6)函数1322+--=x x x y 的间断点是 .答案:1-=x(7)=∞→xx x 1sin lim .答案:1(8)若2sin 4sin lim 0=→kxxx ,则=k .答案:2=k2.单项选择题(1)设函数2e e xx y +=-,则该函数是( ).A .奇函数B .偶函数C .非奇非偶函数D .既奇又偶函数 答案:B(2)下列函数中为奇函数是().A .x x sinB .2e e x x +- C .)1ln(2x x ++ D .2x x +答案:C(3)函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为( ). A .5->x B .4-≠x C .5->x 且0≠x D .5->x 且4-≠x答案:D(4)设1)1(2-=+x x f ,则=)(x f ( ) A .)1(+x x B .2xC .)2(-x xD .)1)(2(-+x x 答案:C(5)当=k ( )时,函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A .0B .1C .2D .3 答案:D(6)当=k ( )时,函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ,在0=x 处连续.A .0B .1C .2D .1- 答案:B (7)函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是( ) A .2,1==x xB .3=xC .3,2,1===x x xD .无间断点 答案:A 3.计算题(1)423lim 222-+-→x x x x . 解:4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x (2)329lim 223---→x x x x解:234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x (3)4586lim 224+-+-→x x x x x解:3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2(导数与微分部分)1.填空题 (1)曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 .答案:21 (2)曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是 . 答案:1+=x y(3)已知xx x f 3)(3+=,则)3(f '= . 答案:3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27()3ln 1+(4)已知x x f ln )(=,则)(x f ''= . 答案:x x f 1)(=',)(x f ''=21x- (5)若xx x f -=e )(,则='')0(f.答案:xx x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题 (1)若x x f xcos e)(-=,则)0(f '=( ).A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案:C (2)设,则( ). A . B .C .D .答案:B(3)设)(x f y =是可微函数,则=)2(cos d x f ( ). A .x x f d )2(cos 2' B .x x x f d22sin )2(cos 'C .x x x f d 2sin )2(cos 2'D .x x x f d22sin )2(cos '- 答案:D(4)若3sin )(a x x f +=,其中a 是常数,则='')(x f ( ).A .23cos a x + B .a x 6sin + C .x sin - D .x cos 答案:C3.计算题(1)设xx y 12e =,求y '.解: )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x(2)设x x y 3cos 4sin +=,求y '.解:)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=(3)设xy x 2e 1+=+,求y '. 解:2121(21exx y x -+='+ (4)设x x x y cos ln +=,求y '.解:)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3(导数应用部分)1.填空题 (1)函数的单调增加区间是 .答案:),1(+∞(2)函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加,则a 应满足 . 答案:0>a2.单项选择题(1)函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是( )A .单调增加B .单调减少C .先增后减D .先减后增 答案:D(2)满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的( ). A .极值点 B .最值点 C .驻点 D . 间断点 答案:C(3)下列结论中( )不正确. A .)(x f 在0x x =处连续,则一定在0x 处可微. B .)(x f 在0x x =处不连续,则一定在0x 处不可导. C .可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D .函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案: B(4)下列函数在指定区间上单调增加的是( ).A .x sinB .xe C .2x D .x -3答案:B3.应用题(以几何应用为主)(1)欲做一个底为正方形,容积为108m 3的长方体开口容器,怎样做法用料最省?解:设底边的边长为x m ,高为h m ,容器的表面积为y m 2。
微积分上复习题
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(6) x ln(x 2 +1) − 2x + 2 arctan x + C; (7) [cos(lnx) + sin(ln x)] + C; (8) x(arcsin x)2 + 2 1 − x2 arcsin x − 2x + C;
x 2
2 −2 x x x 1 1 1 e (cos + 4 sin ) + C ; (10) e x ( − sin 2 x − cos 2 x ) + C. 17 2 2 2 5 10 5.计算下列各题:
(9) − (1) xf ' ( x ) − f ( x ) + C ; (2) x ln x + C. 6.利用函数的奇偶性计算下列定积分: (1) 7.计算下列定积分:
3 12/5/2006
π3 ; ; (2)0.. 324
1 1 3 π 1 π (1) ; (2) ; (3) 1; (4) ; (5) 2 − ; (6) 2 ln 2 − 1; (7) ; (8) 1 − 2 ln 2; (9) ; 4 2 2 6 2 4
x 2
arcsin x 1+ x
dx ; (5) ∫
ln x d x ; x2
1 12/5/2006
(1) ∫ 2 1
− 2
1
(arcsin x ) 2 1− x2
dx ; (2) ∫
3 −3
x 3 sin 2 x x 4 + 2 x 2 +1
dx .
7.计算下列定积分: (1) ∫ 2 sin x cos3 xdx ; (2) ∫
2.求下列不定积分: (1) − (5) −
2020年6月山东农业大学高等数学(微积分)期末考试试题及参考答案
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第一学期《高等数学(微积分)》(专)复习题一、单选题(每题5分,共10道小题,总分值50分)1.image.png(5分)Aimage.pngB不存在C1D0纠错正确答案C2.image.png(5分)Aimage.pngB1C1/3D-1正确答案B3.image.png(5分)Aimage.pngBimage.pngCimage.pngDimage.png正确答案C4.下列函数中,有界的是()。
(5分)Aimage.pngBimage.pngCimage.pngDimage.png正确答案A5.image.png(5分)Aimage.pngBimage.pngCimage.pngD6正确答案B6.image.png(5分)Aimage.pngBimage.pngCimage.pngDimage.png正确答案C7.下列变量在给定的变化过程中是无穷大量的有()。
(5分)Aimage.pngBimage.pngCimage.pngDimage.png正确答案A8.image.png(5分)Bimage.pngCimage.pngDimage.png正确答案B9.image.png(5分)Aimage.pngBimage.pngCimage.pngDimage.png正确答案C10.image.png(5分)Aimage.pngBimage.pngC0D1/2正确答案A二、简答题(每题5分,共10道小题,总分值50分)1.image.png ____(5分)正确答案1正确答案2.image.png ____(5分)正确答案R正确答案3.image.png ____(5分)正确答案image.png正确答案4.image.png ____(5分)正确答案x=1正确答案5.image.png(5分)正确答案-3正确答案6.image.png(5分)正确答案2正确答案7.image.png ____(5分)正确答案-6正确答案8.image.png ____(5分)正确答案(-5,2)正确答案9.image.png(5分)正确答案y=2x正确答案10.image.png ____(5分)正确答案-3/2正确答案第一学期《高等数学(微积分)》(专)在线作业练习题一、单选题(每题5分,共10道小题,总分值50分)1.image.png(5分)B1C1/3D-1纠错正确答案B2.image.png(5分)Aimage.pngBimage.pngCimage.pngDimage.png正确答案C3.image.png(5分)Aimage.pngB不存在C1D0正确答案C4.image.png(5分)Aimage.pngBimage.pngC0D1/2正确答案A5.image.png(5分)Aimage.pngBimage.pngCimage.pngDimage.png正确答案C6.image.png(5分)Aimage.pngBimage.pngCimage.pngD6正确答案B7.下列函数中,有界的是()。
数学微积分复习题集及答案
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数学微积分复习题集及答案导言微积分是数学的一个重要分支,广泛应用于物理、工程、经济等领域。
为了帮助学生复习微积分知识,本文提供了一套包括复习题和答案的微积分复习题集。
通过解答这些问题,学生可以巩固对微积分的理解,提高解题能力和应用能力。
一、求导篇1. 求函数f(x) = 3x^2 + 2x + 1的导函数f'(x)。
答案:f'(x) = 6x + 2。
2. 求函数g(x) = sin(x) + cos(x)的导函数g'(x)。
答案:g'(x) = cos(x) - sin(x)。
3. 求函数h(x) = ln(x^2)的导函数h'(x)。
答案:h'(x) = 2/x。
二、定积分篇4. 求函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1在区间[1, 3]上的定积分∫[1,3] f(x) dx。
答案:∫[1,3] f(x) dx = 26/3。
5. 求函数g(x) = e^x的不定积分F(x)。
答案:F(x) = e^x + C,其中C为任意常数。
6. 求函数h(x) = sin(x)在区间[0, π]上的定积分∫[0,π] sin(x) dx。
答案:∫[0,π] sin(x) dx = 2。
三、微分方程篇7. 求微分方程y' = 2x的通解。
答案:y = x^2 + C,其中C为任意常数。
8. 求微分方程y' = y的通解。
答案:y = Ce^x,其中C为任意常数。
9. 求微分方程y'' + y = 0的通解。
答案:y = A*sin(x) + B*cos(x),其中A和B为任意常数。
四、面积与体积篇10. 求曲线y = x^2和直线y = 2x的交点坐标,并求由该曲线、直线以及x轴所围成的面积。
答案:交点坐标为(0, 0)和(2, 4),所围成的面积为8/3。
11. 求曲线y = sin(x)在区间[0, π]上绕x轴旋转一周所形成的体积。
微积分(上)复习题
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微积分(上)复习题浙江工业大学成人教育学院二O O四年八月微积分(上)复习题第一章 函数与极限一、单项选择题1.函数y=5-x +ln(x -1)的定义域是( )A. (0,5)B. (1,5)C. (1,5)D. (1,+∞) 2.函数f(x)=21xx -的定义域是( )A.(-∞,+∞)B.(0,1)C.(-1,0)D.(-1,1)3.函数45)(2+-=x x x f 的定义域为 ( )A. (]1,∞-B. [)+∞,4C. (][)+∞⋃∞-,41,D. ()()+∞⋃∞-,41, 4.下列各对函数中,表示同一个函数的是( ) A.f(x)=1x 1x 2+-与g(x)=x-1B.f(x)=lgx 2与g(x)=2lgxC.f(x)=x cos 12-与g(x)=sinxD.f(x)=|x|与g(x)=2x5.下列函数中为奇函数的是( )A.y=cos 3xB.y=x 2+sinxC.y=ln(x 2+x 4) D.y=1e 1e x x +-6.函数f(x)=1+xsin2x 是( ) A.奇函数B.偶函数C.有界函数D.非奇非偶函数7.函数y=2a a xx -+(a>0,a ≠1)是( )A.奇函数 B.非奇非偶函数 C.偶函数 D.奇偶性取决于a 的取值 8.当x →0时,下列无穷小量与x 为等价无穷小的是( )A. sin 2xB. ln(1+2x)C. xsin x1D.x 1x 1--+9.下列极限正确的是( )A.11sinlim =∞→x x x B.11sin lim 0=→x x x ;C.1sin lim =∞→x x x ;D.12sin lim 0=→xx x ; 10.=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→2xx x 11lim ( ) A.e 2B.21eC.e -2D.21e-11.nn 211(lim +∞→)=( ) A. 0 B. 1 C.不存在 D. 2 12.=+∞→xx x)21(lim ( ) A. e -2 B. e -1 C. e 2 D.e 13.xx x 21sin3lim ⋅∞→=( ) A.∞ B. 0 C. 23 D.32 14.=→2xtan3xlim 0x ( )A.∞B.23C.0D.115.=-+-→xx x x x 32112lim ( ) A.21B. 0C. 1D. ∞16.limsin2xxx →∞等于( )A. 0B. 1C. 12D. 217.x mxx sin lim0→ (m 为常数) 等于 ( )A.0B. 1C.m1D. m 18. hx )h x (lim 320h -+→ =( )。
四川大学高数微积分I(上)考前复习用2018年期末真题试卷(含答案)
![四川大学高数微积分I(上)考前复习用2018年期末真题试卷(含答案)](https://img.taocdn.com/s3/m/0889c44d76c66137ee0619b9.png)
x
1
x4
2
x2
d 1
x
而
1 0
x4
2x 2x2
dx 1
1 2d x 2,
0
1
x4
2x 2x2
dx 1
1
2 x3
d
x
1,
故原无穷限广义积分也收敛.
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
1.设两曲线为 l1 : y x2 ,l2 : x y 2 .
n1
n n1 n
(1)n1 1 xn
n1
n
f
(2017) (0)
a2017
2017!
2 2017
2017!
2 2016!
注 前一问 6 分,后一问 2 分.
6.判断无穷限广义积分
0
x4
2x 2x2
d 1
x
的敛散性.
解 1
2x
f ( x2 y) (2xy x2 dy ) e x y (1 dy ) 1
dx
dx
解之得 dy dx
f
( x2 f (
y x
)
2
2xy e x y) x2 e
x
y
y
1
.
y) 2xy e x y f ( x2 y) x2 e x y
(2) 由(1)知, x0 为极值点,所以 f ( x0 ) 0. 将函数 f ( x) 在点 x x0 处展开,得
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
微积分考试试题及答案
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微积分考试试题及答案一、选择题1. 下列哪个是微积分的基本定理?A. 韦达定理B. 牛顿-莱布尼兹公式C. 洛必达法则D. 极限定义答案:B. 牛顿-莱布尼兹公式2. 对于函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$,求其导数$f'(x)$。
A. $3x^2 - 2x$B. $6x - 2$C. $6x - 2x$D. $6x - 2$答案:D. $6x - 2$3. 已知函数$y = 2x^3 + 4x - 1$,求其在点$(1, 5)$处的切线斜率。
A. 6B. 8C. 10D. 12答案:B. 8二、填空题1. 函数$y = \sin x$在$x = \pi/2$处的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案:$1$2. 函数$y = e^x$的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案:$e^x$3. 函数$y = \ln x$的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案:$\frac{1}{x}$三、简答题1. 请解释一下微积分中的基本概念:导数和积分的关系。
答:导数和积分是微积分的两个基本概念,导数表示函数在某一点上的变化率,而积分表示函数在某一区间上的累积效果。
导数和积分互为逆运算,导数可以用来求解函数的斜率和最值,积分可以用来求解函数的面积和定积分。
2. 为什么微积分在物理学和工程学中如此重要?答:微积分在物理学和工程学中具有重要作用,因为微积分提供了一种精确的方法来描述和分析连续变化的过程。
通过微积分,可以求解物体在运动过程中的速度、加速度、轨迹等物理量,以及工程中涉及到的曲线、曲面、体积等问题。
微积分为物理学和工程学提供了丰富的数学工具,可以更准确地描述和解决实际问题。
四、计算题1. 计算定积分$\int_{0}^{1} x^2 dx$。
答:$\frac{1}{3}$2. 求函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$在区间$[1, 2]$上的定积分。
答:$\frac{19}{3}$以上就是微积分考试的试题及答案,希望对你的复习有所帮助。
微积分复习试题及答案10套(大学期末复习资料)
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微积分复习试题及答案10套(大学期末复习资料)习题一(A) 1、求下列函数的定义域:ln(4),x2(1) (2) (3) y,y,logarcsinxyx,,4a||2x,113y,,log(2x,3)(4) (5) yx,,,1arctanax,2x2、求下列函数的反函数及其定义域xx,32(1) (2) (3) yy,,yx,,,1ln(2)x2,1x,3x,,(4)yx,,,2sin,[,] 3223、将下列复合函分解成若干个基本初等函数2x(1) (2) (3) yx,lnlnlnyx,,(32ln)ye,,arcsin123(4) y,logcosxa4、求下列函数的解析式:112,求. (1)设fxx(),,,fx()2xx2(2)设,求 fgxgfx[()],[()]fxxgxx()1,()cos,,,5、用数列极限定义证明下列极限:1232n,1,,(1)lim(3)3 (2) lim, (3) ,lim0nn,,n,,n,,3353n,n6、用函数极限定义证明下列极限:x,31x,32lim(8)1x,,lim1,lim,(1) (2) (3) 23x,x,,x,,3xx,967、求下列数列极限22nn,,211020100nn,,3100n,limlimlim(1) (2) (3)32n,,n,,n,,54n,n,144nn,,,12n111,,,,?,lim,,lim,,,(4)? (5) ,,222,,x,,x,,1223n(n1),,,nnn,,,,1111,,k,0(6) (7)() lim,,,?lim,,2x,,x,,n,31541,,nknnkn,,,111,,,,?12n222lim(1)nnn,,(8) (9) limx,,x,,111,,,,?12n5558、用极限的定义说明下列极限不存在:1x,3limcosx(1) (2) (3) limsinlimx,,x,0x,3x|3|x,9、求下列函数极限:22xx,,56xx,,562(1) (2) (3) limlimlim(21)xx,,x,x,13x,3x,3x,2222256x,xx,,44()xx,,,(4) (5) (6) limlimlim2x,x,,,220xx,,21x,2,nx,1x,9x,1(7) (8) (9) limlimlimm3,1xx,9x,1x,1x,3x,1 2nnxxx,,,,?13x,,12(10), (11)lim() (12)limlim33x,1,x1x,1xx,,111,xx,110、求下列函数极限:22xx,,56xx,,56 (2) (1)limlim2x,,x,,x,3x,3nn,1axaxaxa,,,,?011nn,lim(11)xx,,,(3) (4)lim,(,0)ab,00mm,1x,,x,,bxbxbxb,,,,?011mm,lim(11)xxx,,,(5) x,,11、求下列极限式中的参变量的值:2axbx,,6lim3,(1)设,求的值; ab,x,,23x,2xaxb,,lim5,,(2)设,求的值; ab,x,11x,22axbxc,,lim1,(3)设,求的值; abc,,x,,31x,12x,0arcsin~xxtan~xx1cos~,xx12、证明:当时,有:(1),(2) ,(3); 213、利用等价无穷小的性质,求下列极限:sin2xsin2xsecxlimlimlim(1) (2) (3) 2x,0x,0x,0,tan5x3x2x3sinx21111sin,,x,limlim()(4) (5)lim (6)x,0x,0x,0xxx,tansinxxtansin1cos,x14、利用重要极限的性质,求下列极限:sin2xsinsinxa,xxsin(1) (2) (3) limlimlimx,0xa,x,0,sin3xxa,1cos2x xsinxx,tan3sin2xx,4,,(4) (5) (6) limlimlim1,,,x,0x,0,,xsinxx,3xx,, xxx,3xk,21,,,,,,(7) (8) (9) limlim1,,lim1,,,,,,,,,,xxx,,xxxk,,,,,,, 1/x(10)lim12,x ,,,,x15、讨论下列函数的连续性:,,,xx1,,2fxxx()11,,,,(1) ,,211xx,,,x,x,0,sinx,x,0(2)若,在处连续,则为何值. fxax()0,,a,,1,1sin1,,xxx,x,e(0,x,1)(3) 为何值时函数f(x),在[0,2]上连续 a,a,x(1,x,2),53xx,,,52016、证明方程在区间上至少有一个根. (0,1)32x,0x,317、证明曲线在与之间至少与轴有一交点. xyxxx,,,,252(B)arccoslg(3,x)y,1、函数的定义域为 ( ) 228,3x,x(A) ,,,,,7,3 (B) (-7, 3) (C) ,7,2.9 (D) (-7, 2.9),1 2、若与互为反函数,则关系式( )成立。
微积分上学期答案
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1微积分答案 第一章 函数一、1.B; 2.D; 3.A; 4.C; 5.D二、1.1cos -x 或22sin2x ;2.100010-<⎧⎪=⎨⎪>⎩x x x 或()f x ; 3.4,-1;4.y =[0,1];5.1(1)2y x =-. 三、1. (1)[1,2)(2,4)D =⋃; (2)[3,2][3,4]D =--⋃. 2.(1)102,1y u u x ==+ ;(2)1,sin ,u y e u v v x===;(3) 2arctan ,ln ,1y u u v v x===+.3. 211,12,()12400,44ab C C x x x ====++ ()1400124c x C x x x==++.4. (1)90010090(100)0.011001600751600x P x x x <≤⎧⎪=--⋅<<⎨⎪≥⎩;(3)L=21000(元). (2)2300100(60)310.011001600151600x x L P x x xx x x ≤≤⎧⎪=-=-<<⎨⎪≥⎩;四、略.第二章 极限与连续(一)一、1.C ; 2. D ; 3.C ; 4.B ; 5.C 二、1. -2; 2. 不存在; 3. 14; 4. 1; 5.ab e .三、 1、(1)4; (2)25; (3)1; (4)5; (5)2.2、(1)3; (2)0; (3)2; (4)5e -; (5)2e-.3、11,2=-=-αβ 4、利用夹逼定理:11←<<→四、略。
第二章 极限与连续(二)一、1. D ; 2. C ; 3. B ; 4. C ; 5. B 二、1、0; 2、-2; 3、0; 4、2; 5、0,1x x ==-.2三、1、(1)1=x 是可去间断点;2=x 是连续点.(2)=xk π是第二类间断点(无穷间断点); 2=+x k ππ是可去间断点.(3)0=x 是可去间断点. (4)1x =是跳跃间断点.2、1()011⎧<⎪==⎨⎪->⎩x x f x x x x ,1=±x是跳跃间断点.3、(1)0;(2)cos α;(3)1; (4)0;(5)12.四、略。
微积分(上)复习
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n
n−1
同步练习P6 同步练习 一、13,33,35 , , 二、6,9,16 , ,
11/58
(6)幂指函数求导法 幂指函数求导法
y = [ f ( x )] g ( x )
①取自然对数化为隐函数再求导. 取自然对数化为隐函数再求导. 利用对数恒等式化为以 为底的复合函数 再求导. 为底的复合函数, ②利用对数恒等式化为以e为底的复合函数,再求导.
6/58
第一类间断点 (左右极限都存 在的点). 在的点). (3) 间 断 点
①可去间断点(左 可去间断点( 右极限相等) 右极限相等) ②跳跃间断点(左 跳跃间断点( 右极限不相等) 右极限不相等) 无穷间断点(左右 无穷间断点( 极限至少有一个为 ∞) 非无穷间断点 例如: 例如:振荡
同步练习P5 同步练习 二、15
推论: 推论
f ′( x ) ≡ 0 ⇒ f ( x ) = C f ′( x ) ≡ g ′( x ) ⇒ f ( x ) − g ( x ) = C
(3)柯西中值定理 柯西中值定理
f ′(ξ ) f (b) − f ( a ) (至少有一个 ξ ∈ (a , b)) 闭连开导 ⇒ = g′(ξ ) g(b) − g(a )
x → x0
( 3) lim f ( x ) = A ⇔ f ( x ) = A + α , lim α = 0
x → x0
x → x0
2.无穷小与无穷大的概念与性质 无穷小与无穷大的概念与性质 (1)无穷小 (lim α = 0) )
有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。 有界量与无穷小量的积仍是无穷小。 有界量与无穷小量的积仍是无穷小。
微积分( 微积分(上)
微积分总复习题详细答案
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微积分总复习题详细答案一、极限与连续性1. 极限的定义- 极限是描述函数在某点或无穷远处的行为。
对于函数f(x),当x趋近于a时,如果存在一个实数L,使得对于任意给定的正数ε,总存在一个正数δ,使得当0 < |x - a| < δ时,都有|f(x) - L| < ε,则称L为函数f(x)在x趋近于a时的极限。
2. 极限的运算法则- 极限的加法法则:lim(x→a) (f(x) + g(x)) = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)- 极限的乘法法则:lim(x→a) (f(x) * g(x)) = (lim(x→a)f(x)) * (lim(x→a) g(x))- 极限的除法法则:lim(x→a) (f(x) / g(x)) = (lim(x→a)f(x)) / (lim(x→a) g(x)),前提是lim(x→a) g(x) ≠ 0。
3. 连续性的定义- 函数f(x)在点a处连续,如果lim(x→a) f(x) = f(a)。
4. 间断点的类型- 可去间断点:函数在a点的左极限或右极限存在,但不等于f(a)。
- 跳跃间断点:函数在a点的左极限和右极限都存在,但两者不相等。
- 无穷间断点:函数在a点的左极限或右极限为无穷大。
二、导数与微分1. 导数的定义- 函数f(x)在点a处的导数定义为:f'(a) = lim(h→0) [(f(a+h)- f(a)) / h]。
2. 导数的几何意义- 导数表示函数在某点处的切线斜率。
3. 基本导数公式- (c)' = 0,其中c是常数。
- (x^n)' = nx^(n-1),其中n是实数。
- (sin(x))' = cos(x)。
- (cos(x))' = -sin(x)。
- (e^x)' = e^x。
4. 高阶导数- 高阶导数是一阶导数的导数,记作f''(x)。
《微积分》总复习试题
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(B) y yy y 0
2
(C) y y y y x 0
2 2
(D) y yy x 0
三、求解下列微分方程 1.求 ydx+(x2y-x)dy=0,满足 y 2.求 y y
x 1
1 的特解,
1 的通解 1 ex
2x
是方程 y 4 y 0 的
(A)通解; (B)特解; (C)解,但既非通解也非特解(D)以上都不对 3.微分方程 2 y 5 y cos x 的特解应具有形式(其中,a,b,c 为常数)
2
(A) x ( a cos x b sin x ); (C)a+bcos2x;
lim u n 0 是级数 u n 发散的
n n 0
。
A、 必要条件; B、充分条件; C、充要条件; D、既非充分又非必要。
总复习 吖恰制作
广东工业大学华立学院(微积分课程)吖恰制作
3.在区域 D : 0 y
2 2
R 2 x 2 上的 xy 2 d 值为 2 3
4
4
(D) e
2 y=y(x)是微分方程 y y e
0 的解,且 f ( x 0 ) 0 ,则 f(x)在
(A) x0的某个邻域内单调增加 (B)x0的某个邻域内单调减少 (C)x0处的取极小值 (D)x0处取极大值 3.一曲线通过点 m(4.3),且该曲线上任意一点 p 处的切线在 y 轴上的截距等于原点到 p 的距 离,则此曲线方程为 (A) x y 25 (B) y 2
x
2
dydz z 2 dxdy ,其中 为 z x 2 y 2 和 z 1 所围立体边界的外侧。
中南财经政法大学微积分上期末复习题
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一、填空题:1、()3201sinlim arctan x x x x →= . 2、lim x →+∞= . 3、设0x →时,()()21cos ln 1x x -+是比sin n x x 高阶的无穷小,而sin n x x 是比()21x e -高阶的无穷小,则正整数n = .4、()f x 二阶可导,()()000lim 1x f x f x →'''==,,则()0f 是()f x 的 (填极大值、极小值)。
5、曲线()()2121arctan 12x x x y e x x +-=⋅+-的水平渐近线为 . 6、设0tan ()lim (1)x tx f t t x→=+,0t ≠,则()f t '= . 7≈ (答案请用分数表示)。
8、()f x =,则0x =是函数的 (填间断点具体类型)。
9、微分方程'2sin 0y y x -=的通解为__________________________________.10、设()ln 1f x x '=+,且()01f =,则()f x = .二、计算题:1. 求极限sin 01lim (ln ).x x x +→2. ()3221.1dx x +⎰3. 已知()y f x =在(,)-∞+∞连续, 其导函数()f x '的图形如下图所示. 指出()y f x =的极大、极小值点, 并说明理由。
4. 设2()3(ln )fx y f x e =,其中()f x 可导,求.y ' 5. 已知22ln 40y x y x +-=,求dy .6. 求.x7.设()F x 为()f x 的原函数,且当0≥x 时,()()2xxe f x F x =. 又已知(0)2F =,()0>F x ,试求()f x .8. 求极限1.lim()→∞+x x x三、证明题:已知函数()f x 在[]0,1上连续,在()0,1内可导,且()()00,11f f ==.证明:(1)存在()0,1ξ∈,使得()1f ξξ=-;(2)存在两个不同的点(),0,1ηζ∈,使得()()1f f ηζ''=.四、应用题:某产品的成本函数2()C Q aQ bQ c =++,需求函数为1()Q d P e=-,其中C 为成本,Q 为需求量(即产量),P 为单价;,,,,a b c d e 为正数,且d b >. 试求:(1)产量为何值时利润最大;(2)价格取何值时,商品的需求弹性为单位弹性,并说明其经济含义。
高中数学微积分复习 题集附答案
![高中数学微积分复习 题集附答案](https://img.taocdn.com/s3/m/cba6e974a22d7375a417866fb84ae45c3b35c298.png)
高中数学微积分复习题集附答案高中数学微积分复习题集附答案一、函数基本概念复习1. 试求函数f(x)=3x^2-4x的定义域。
解:要求函数f(x)有意义,即无零除的问题。
所以需要满足:3x^2-4x ≠ 0即3x(x-4) ≠ 0解得:x ≠ 0, x ≠ 4所以定义域为:(-∞, 0)∪(0, 4)∪(4, +∞)2. 已知函数f(x)=x^3+2x^2-5x,求其奇偶性。
解:函数f(x)是奇函数,即满足:f(-x) = -f(x)我们来验证:f(-x) = (-x)^3+2(-x)^2-5(-x) = -x^3+2x^2+5x-f(x) = -(x^3+2x^2-5x) = -x^3-2x^2+5x两者相等,所以函数f(x)是奇函数。
二、函数的导数与微分复习1. 求函数f(x)=3x^2-4x的导数。
解:函数f(x)=3x^2-4x对x求导,即可得到导函数。
f'(x) = 6x-42. 已知函数f(x)=x^3+2x^2-5x,求其在点x=2处的切线方程。
解:首先求得函数f(x)在x=2处的导数:f'(x) = 3x^2+4x-5将x=2带入,得到切线斜率k:k = f'(2) = 3(2)^2+4(2)-5 = 17所以切线方程为:y = 17(x-2) + f(2)三、极限与连续性复习1. 求极限lim(x→∞)(4x^3-2x^2+3x-1)/(3x^3+5x^2-2)。
解:我们可以采用洛必达法则来求解:lim(x→∞)(4x^3-2x^2+3x-1)/(3x^3+5x^2-2) = lim(x→∞)(12x^2-4x+3)/(9x^2+10x)继续采用洛必达法则:= lim(x→∞)(24x-4)/(18x+10)再次应用洛必达法则:= 24/18 = 4/3所以极限为4/3。
2. 函数f(x) = |x-2|在x=2处是否连续?解:函数f(x)在x=2处不连续。
北航1212考试批次微积分(上)复习题一 (1)
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北航1212考试批次《微积分(上)》复习题一本模拟题页码标注所用教材为:经济应用数学基础(一) 微积分(第三版)赵树嫄2007年6月第3版中国人民大学出版社书如学员使用其他版本教材,请参考相关知识点一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 1.函数4121y x x =++在定义域内( C ). A.单调递增;B.单调递减;C.上凹;D.下凹.2.函数()f x 在0x x =在以下( C )条件下,必取得极大值.A.0()0f x '=;B.0()0f x ''<;C. 0()0f x '=且0()0f x ''<;D.0()0f x = 3.设函数()122+=-x x f ,则()=+1x f ( C ) A .222++x x B. 222+-x x C .1062++x x D. 1062+-x x 4.函数21+-=x y 的极小值点是( B ) A .0 B. 1 C.2 D.35.如果函数()x f 的定义域为(0,1),则下列函数中,定义域为(-1,0)的为:( B )A .()x f -1 B. ()x f +1 C. ()x f sin D. ()x f cos 6. x x y arctan +=单调区间增区间为(B )A .()+∞,0 B. ()+∞∞-, C. ()0,∞- D. ()1,0 7.函数x x y 4cos 2sin +=的周期为( A )A .π B. π2 C. π3 D. π4 8.函数()1ln -=x y 在区间( D )内有界。
A .()+∞,2 B. ()+∞,1 C. ()2,1 D. ()3,29.下列函数中( C )是奇函数。
A .x x sin B. x x cos + C. x x sin + D. x x cos + 10.函数x y sin =在0=x 处( C )A .无定义 B.有定义,但不连续 C.连续 D.无定义,但连续 二、判断题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 11. 连续函数在闭区间内一定有最值. ( A )A .对B .错12. 函数()sin xf x x =(0)x ≠在0点处的极限值为1。
微积分复习题附答案
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微积分复习题附答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 函数\( f(x) = x^2 \)在点x=1处的导数是:A. 1B. 2C. 0D. 32. 定积分\( \int_{0}^{1} x^2 dx \)的值是:A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/43. 以下哪个函数是奇函数?A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = |x| \)C. \( f(x) = sin(x) \)D. \( f(x) = cos(x) \)4. 函数\( f(x) = e^x \)的泰勒展开式在x=0处的前两项是:A. \( 1 + x \)B. \( e + x \)C. \( 1 + e \cdot x \)D. \( e + e^2 \cdot x \)5. 以下哪个级数是收敛的?A. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)B. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)C. \( \sum_{n=1}^{\infty} n \)D. \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \)二、填空题(每题3分,共15分)6. 函数\( g(x) = sin(x) + cos(x) \)的导数是_________。
7. 函数\( h(x) = \ln(x) \)的定义域是_________。
8. 函数\( F(x) = \int_{1}^{x} t^2 dt \)的原函数是_________。
9. 函数\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \)的极值点是_________。
10. 函数\( G(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 \)的拐点是_________。
三、解答题(每题10分,共65分)11. 求函数\( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5 \)的导数,并找出其单调区间。
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微积分(上)总复习题答案()___________220102sin 12=⎪⎭⎫⎝⎛⎩⎨⎧<≤+<<-=πf x xx xx f 则设函数代入函数可得答案,220≤≤π答案:412π+_________2422的定义域是函数--=x x y 即可得到答案且由02-04-2≠≥x x答案:](()∞+⋃-∞-,22,()[]()的定义域求的定义域是设2,1,0.3x f x f y = []的范围,进而得到的范围是者函数由原函数定义域知道后x x 1,02 答案:[]1,1-()()()[]______1,ln 14=+=+=x g f x x g x x f 则已知 ()()[][]()1ln 11,1++=+=+=x x fx g f x x g()()()x f d c b a dcx bax x f 1,,,5-++=求反函数为常数设()可知反函数,--,--,0--,a cy dyb x dy b x a cy b ax dy cxy d cx b ax y ===+++=答案:acx dxb -- _________1sinlim 63310=→x x x 答案:0______sin lim 7=+∞→xx x x 是有界的由于x x xx x sin 1sin lim =+∞→()a a a x a a xa xx x x x x ln 1ln lim 1lim 0______1lim 8000==->=-→→→()()()()()1111lim 1ln lim 1ln lim lim 1lim _____1lim 900101ln 1011-=-=-=-=-=-→→→-→→→x x x x ex x x x xx x xx xx xx案带回上面式子可得到答答案:1-e4m ,222cos 2cos lim 2sin sin lim ______,22sin sin lim10000======→→→所以则若m x m x m x m x m xm xx x x答案:4()()_____11sin 00sin 111=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<=k x f x x x x k x xx x f 则在其定义域内连续若函数设 解:因为()在其定义域内连续函数x f ,所以1sin limk 0==→xxx()()1-4-,1-,2-_____41212====+++=x x x x x x x y ,最后得出是检验三个点,即的间断点是函数答案:1-=x_____321132的连续区间是函数--=x x y就是分母不能为0答案:()()()∞+⋃-⋃-∞-,33,11,__________,,14lim 1421===+++-→b a b x ax x x 则设解:()34lim 145lim,5,04lim 12121=+=+++===++-→-→-→x x x x b a ax x x x x 。
_____sin lim15=∞→x xx答案:0 ()211111lim lim lim1622-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--=--∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n 求 ()()()()452223lim46lim 172222=-+-+=--+→→x x x x x x x x x 计算 ()13123lim 18-→-x x x 求解:()()()()()661211131121lim 23lim --⋅-→-→=-+=-e x x x x x x()e x x x x xx xx =+=+→→cot 1cot 0)1(lim 1lim 19求342344232341lim 2323lim 20e x x x x x x x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--∞→∞→求()1112lim11lim212222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+++=+--+++∞→+∞→x x x x x x x x x x x 7a 0,6a -1 516lim 2221==+-=-+-→的值求已知a x ax x x ()x x x x 319lim 232-++∞→解: ()61319lim319lim 22=++=-++∞→+∞→xx x x x x x x 。
的值求若b a b ax x x x ,012lim 242=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---∞→解:因为()(),0121lim ,012lim 22=---++-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---∞→∞→x bx b a x a b ax x x x x所以 1,1-==b a 。
_______,3ln 25='=y y 则设 答案:0()21,1,21________1,112623-='=-='=-y x x y xy 处切线的斜率是在点曲线答案:21-_______,127=+=dxdyxe y y 则已知 解: y yyyxee dx dy y xe e y -='++='1,0。
()()()()1,0,11,11______0,1ln 282-=''=+-=''+='=''+=y x x y x y f x x f 则设 答案:-1()()()()!10.......678910.......110________,1291091010=⨯⨯⨯⨯=+='=+=yx y y x y 则若答案:10!()()[]()()[]()()[]()[]()()[]b ax f n a b ax f b ax f n n a y b ax f an y b ax f n x f n n n n n +=++-=''+='=+--!......1,_______,30221则阶导数存在的设()49,23-,3-23-310562,31002===='=+-=y x x y y x y x x y 率应为,根据题意,该切线斜直线的斜率是垂直使该点的切线与直线上求一点在抛物线()()()()()()()2ln 3ln --1ln -12-,ln 232+-+-='-'+-'=''--=-y x y x y y x yx y y x y y x y y x y x x y 求导两边对求设 ()y x y x'=求设,ln 33 解:()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+='='='x x eex y xx xx xln 1ln ln ln ln ln ln ln 。
()10-010,02--,34--02='='+==='''+=-=-y y y x x ye y e y y xe e x dx dyx ye xe y y y y x y y 代入上式求导两边对求设()()()x f x x x f 20,21ln35求设++=解:()()()()()()n n x x x f2ln 1ln +-+=()()()()()()()nn nn n x n x n x x 21!1111!112111111+---+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=---()()()()20202021!1911!19+++-=x x x f的微分求12ln 36++=x x y解:因为()()(),121211ln 212ln 12ln +-+='⎪⎭⎫⎝⎛+-+='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++='x x x x x x y 所以()dx x x dy ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=12121 y xarcctgx y '∙=求,337答案:299arctan x xx ++1010,0,00380='='-==='--'-'=--=y y y x y x y y e e y xy e e y x x y x 求()n y x x y 求设,1392-= 解:因为,11112112⎪⎭⎫⎝⎛+---=-=x x x x y ()()()()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+---=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+----=++1111!111!121111*********n nn n n n n n x n x n x x x x y3,72,0,063______,_____7340223=====-='+-=y y x x x x y x x y 极小值是的极大值是答案:7,3()()()()a xx a xx a xx x ax ax =+=-+-+→→→1ln lim11lim11lim4100为实数求21lim 1lim lim 42000=--+-=--→-→-→x e x e x e e x x x x x x x 求3ln 2ln 3ln 2ln lim 1312lim 4300==--→→x x x x x x 求答案:3ln 2ln2,12405202,52,21,5ln 14422-=-=+-=++=+-=''++='=++==b a b a b a b x ay bx x a y b a x x bx x a y x 的值求为其拐点横坐标的极值点是函数已知()[]()()()0cos sin ,0,,045=+'∈εεεεπεπf f x f 使得证明存在一点上可导在设证:令()(),sin x x f x F =因为()x F 在[]π,0上连续,在()π,0上可导,所以至少有一点()πξ,0∈使得()0='ξF ;即()()0cos sin =+'ξξξξf f。