浙江省数学中考考点达标训练16 特殊三角形

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浙教版八年级数学上册特殊三角形知识点归纳及练习

A．2 个 B．4 个 C．6 个 D．8 个
9．如图所示，已知△ABC 中，AB=6，AC=9，AD⊥BC 于 D，M 为 AD 上任一点，则 MC2=MB2 等于( ) A．9 B．35 C．45 D．无法计算 10．若△ABC 是直角三角形，两条直角边分别为 5 和 12，在三角形内有一点 D，D 到△ABC 各边的距离都相等，则这个距离等于 ( ) A．2 B．3 C．4 D．5
①等腰三角形两腰_______；等腰三角形两底角______(即在同一个三角形中，等边对 __________)；
②等腰三角形三线合一，这三线是指 ________________、________________、________________，也就是说这三线为同一条线段；
③等腰三角形是________图形，它的对称轴有_________条。 2．等腰三角形的判定：
22．如图，已知点 B，C，D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，BE 交 AC 于点 F，AD 交 CE 于点 H．(1)说明：△BCE≌△ACD；(2)说明：CF=CH；(3)判断△CFH 的形状并说明理由．
19．如图，△ABC 是等边三角形，ABCD 是等腰直角三角形，其中∠BCD=90°，求∠BAD 的度数．
20．如图，E 为等边三角形 ABC 边 AC 上的点，∠1=∠2，CD=BE，判断△ADE 的形状．
21．如图所示，已知：在△ABC 中，∠A=80°，BD=BE，CD=CF．求∠EDF 的度数．
例 2：如图，AB=AC，BD=BC，若∠A=40°，则∠ABD 的度数是（）
A．20°
B．30°
C．35°
D．40°
例 3：如图所示，在等腰△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，点 E 在 AD 上。求证：BE=CE。

2024年中考数学(浙教版)二轮专题复习课件：特殊三角形

又∵ ∠DBC－∠EBC＝∠ABE＝β，∴ 2α＝β.
11. 如图，A，B是公路l（l为东西走向）同侧的两个村庄，A村庄到公路l的距离AC
＝2km，B村庄到公路l的距离BD＝4km，CD＝8km.为了方便运输A，B两个村庄的
垃圾，现计划在公路边建一个垃圾中转站M，要求该垃圾中转站到A，B两个村庄的
E，使得CE＝AD，连结DE，AE，过点C作CM⊥DE于点M.若BC＝6，AD＝5，则
S△ABC∶S△MCE等于（
A. 11∶1
C ）
B. 44∶3
C. 24∶5
D. 44∶5
6. 如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线相交于点P，PE⊥OC于点E，
PF⊥OD于点F.有下列结论：① PE＝PF；② 点P在∠COD的平分线上；③ ∠APB

∴ ∠ACE＝（180°－∠ACB）＝60°.

∴ ∠DCE＝∠ACB＋∠ACE＝120°＝∠AFD.
∵ ∠ADC是△ABD的外角，
∴ ∠ADC＝∠B＋∠BAD＝60°＋∠BAD.
∵ ∠ADE＝60°，∴ ∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝60°＋∠EDC.∴
∠BAD＝∠EDC.
在△AFD和△DCE中，
∠ = ∠，
∵ ＝，
第10题
（2）设∠ACD＝α，∠ABE＝β，判断α与β之间的数量关系，并说明理由.
解：（2） 2α＝β
理由：设∠BCD＝x.
∵ BE＝BC，∴ ∠BEC＝∠BCE＝α＋x，∠EBC＝180°－2（α＋x）.
∵ BD＝BC，∴ ∠DBC＝180°－2x.
∴ ∠DBC－∠EBC＝（180°－2x）－[180°－2（α＋x）]＝2α.
解：（2） AD＝ED

浙教八年级上册数学特殊三角形经典习题(含答案)

浙教数学八年级上册特殊三角形历年中考典型习题一、等腰三角形1．如图，△ABC中，AB=AC，AM是BC边上的中线，点N在AM上，求证：NB=NC．2．如图，∠AOB的内部有一点P，在射线OA，OB边上各取一点P1，P2 ，使得△PP1P2的周长最小，作出点P1，P2 ，叙述作图过程（作法），保留作图痕迹．3．已知：如图，在△ABC中，∠1＝∠2，DE∥AC，求证：△ADE是等腰三角形．4．如图，△ABC中，AD⊥BC，点E在AC的垂直平分线上，且BD＝DE．(1)如果∠BAE＝40°，那么∠B＝，∠C＝°；(2)如果△ABC的周长为13 cm，AC＝6 cm，那么△ABE的周长＝cm；(3)你发现线段AB与BD的和等于图中哪条线段的长？并证明你的结论．5．如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．（1）若∠ABC=70°，则∠NMA的度数是度．（2）若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．6．如图，∠AOB=30̊，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于D，PE垂直OA于E，若OD=4cm，求PE的长．7.如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：EF=CF．8．如图，在四边形ABCD中，AD=4，BC=1，∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，求CD的长．9．如图，△ABC 为等边三角形，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ∥BC 交AB 于点E ．（1）求证：△ADE 是等边三角形．（2）求证：AE =21AB ．10．如图所示，D 、E 分别是 △ABC 的边 BC 、AC 上的点，且 AB =AC ，AD =AE ．（1）若 ∠BAD =20̊，则∠EDC = ；（2）若 ∠EDC =20̊，则∠BAD = ；（3）设∠BAD =ɑ ，∠EDC =β，你能由（1）（2）中的结果找到 ɑ、β 所满足的关系吗?请说明理由．11．如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．（1）依题意补全图形；（2）若∠ACN=α，求∠BDC的大小（用含的式子表示）；（3）用等式表示线段PB，PC与PE之间的数量关系，并证明．12．如图，点A、B、C在同一直线上，△ABD，△BCE都是等边三角形。

2020浙江新中考数学一轮复习第16讲特殊三角形第1课时

【解后感悟】等边三角形常涉及计算．若遇共顶点的两个等边三角形，常伴有全等．
2．(2018·台州模拟)如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等
边△ADE，则∠BED 的度数是__4_5_°．
3．(2017·河北模拟)如图，在等边△ABC 中，点 D、E 分别在边 BC、AB 上，且 BD＝AE，AD 与 CE 交于点 F. (1)求证：AD＝CE； (2)求∠DFC 的度数．
(2)应用点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC＝3，AB＝1.如图 2 所示，分别以 AB，AC 为边，作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE，连结 CD，BE. ①请找出图中与 BE 相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段 BE 长的最大值；
图1
图2
(3)拓展如图 3，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(2，0)，点 B 的坐标为(5，0)，点 P 为线段 AB 外一动点，且 PA ＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°.请直接写出线段 AM 长的最大值及此时点 P 的坐标．
②以 BP 为腰，B 为顶点时：以 B 为圆心，BP 为半径作圆，与正方形的边交于 Q4 和 Q1； ③以 BP 为底时：作 BP 的垂直平分线交正方形的边于 Q5 和 Q1. 综上所述，共有 5 个点，故答案为 5.
【解后感悟】遇边讨论，常需要用圆规作图.
4．(2017·西宁模拟)如图，等腰直角三角形 BDC 的顶
弧相交于点 M，N，连结 MN 与 AC 相交于点 D，则△BDC
的周长为( A )
A．8
B．10
C．11
D．13
2．(2019·衢州)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒 OA，OB 组成，两根棒在 O 点相连并可绕 O 转动，C 点固定，OC ＝CD＝DE，点 D，E 可在槽中滑动，若∠BDE＝75°，则

特殊三角形(压轴必刷30题)—2024学年八年级数学上册同步讲义(浙教版)(解析版)

特殊三角形（压轴必刷30题7种题型专项训练）一．全等三角形的判定与性质（共1小题）1．（2022秋•南昌期中）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上时，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝°．（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如图2，当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由．②当点D在直线BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．【分析】（1）先用等式的性质得出∠CAE＝∠BAD，进而得出△ABD≌△ACE，有∠B＝∠ACE，最后用等式的性质即可得出结论；（2）①由（1）的结论即可得出α+β＝180°；②同（1）的方法即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠DAE＝∠BAC，∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC；∴∠CAE＝∠BAD；在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）；∴∠B＝∠ACE；∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝∠BCA+∠B＝180°﹣∠BAC＝90°；故答案为90°；（2）①由（1）中可知β＝180°﹣α，∴α、β存在的数量关系为α+β＝180°；②当点D在射线BC上时，如图1，同（1）的方法即可得出，△ABD≌△ACE（SAS）；∴∠ABD＝∠ACE，∴β＝∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠ABD＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，∴α+β＝180°；当点D在射线BC的反向延长线上时，如图2，同（1）的方法即可得出，△ABD≌△ACE（SAS）；∴∠ABD＝∠ACE，∴β＝∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝∠ABD﹣∠ACB＝∠BAC＝α，∴α＝β．【点评】此题是作图﹣﹣﹣复杂作图，主要考查了等式的性质，全等三角形的判定，解本题的关键是得出△ABD≌△ACE．二．等腰三角形的性质（共7小题）2．（2022秋•拱墅区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE平分∠ADC，交AC与点E，EF⊥AB于点F，且交AD于点G，若AG＝2，BC＝12，则AF＝．【分析】过点B作BH⊥AC于H，过点D作DK⊥AC于K，过点E作EM⊥CD于M，EN⊥AD于N，连接BE，先证得△DEG≌△DEC（AAS），运用勾股定理可得AB＝10，利用面积法可求得：DK＝，BH＝，EM＝EN＝，AE＝，EF＝，再运用勾股定理即可求得答案．【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于H，过点D作DK⊥AC于K，过点E作EM⊥CD于M，EN⊥AD于N，连接BE，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝×12＝6，∠BAD+∠ABC＝90°，∠ABC＝∠C，∵EF⊥AB，∴∠BAD+∠AGF＝90°，∴∠ABC＝∠AGF＝∠C，∵∠AGF＝∠DGE，∴∠DGE＝∠C，∵DE平分∠ADC，EM⊥CD，EN⊥AD，∴EM＝EN，∠EDG＝∠EDC，在△DEG和△DEC中，，∴△DEG≌△DEC（AAS），∴DG＝CD＝6，∵AG＝2，∴AD＝AG+DG＝2+6＝8，在Rt△ABD中，AB＝＝＝10，∴AC＝AB＝10，∵AC•DK＝AD•CD，∴10DK＝8×6，∴DK＝，∵AC•BH＝BC•AD，∴10BH＝12×8，∴BH＝，∵S△ADE+S△CDE＝S△ACD，∴AD•EN+CD•EM＝AD•CD，∴4EN+3EM＝24，∵EN＝EM，∴7EN＝24，∴EN＝，∴EM＝EN＝，∵DK•AE＝AD•EN，∴AE＝8×，∴AE＝，∵AB•EF＝AE•BH，∴10EF＝×，∴EF＝，在Rt△AEF中，AF＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等边对等角，直角三角形性质，勾股定理，三角形面积，全等三角形的判定和性质等，综合性强，有一定难度，添加辅助线作三角形的高，运用面积法是解题关键．3．（2022秋•金华期中）已知：如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝30°；试求∠B和∠C的度数．【分析】由题意，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝30°，根据等腰三角形的性质可以求出底角，再根据三角形内角与外角的关系即可求出内角∠C．【解答】解：在△ABC中，AB＝AD＝DC，∵AB＝AD，在三角形ABD中，∠B＝∠ADB＝（180°﹣30°）＝75°，又∵AD＝DC，在三角形ADC中，∴∠C＝∠ADB＝37.5°．∴∠B＝75°，∠C＝37.5°．【点评】本题考查等腰三角形的性质及应用等腰三角形两底角相等，还考查了三角形的内角和定理及内4．（2022秋•余杭区校级期中）已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA．（1）AD与CE相等吗？为什么；（2）若∠BCD＝75°，求∠ACE的度数；（3）若∠BCE＝α，∠ACE＝β，则α，β之间满足一定的数量关系，请直接写出这个结论．【分析】（1）由SAS证明△ABD≌△EBC，根据全等三角形的性质即可得出AD＝CE；（2）根据等腰三角形的性质可得∠BCD＝∠BDC＝75°，由三角形的内角和以及角平分线的定义得出∠DBC＝∠ABD＝30°，再根据全等三角形的性质和三角形的内角和即可求解；（3）根据等腰三角形的性质可得∠BCD＝∠BDC，由角平分线的定义得∠DBC＝∠ABD，再根据全等三角形的性质和三角形的内角和得∠ACE＝∠ABD＝∠DBC＝β，由∠BCE＝∠BCD+∠ACE＝α和三角形的内角和即可得出结论．【解答】解：（1）AD＝CE，理由：∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△EBC中，，∴△ABD≌△EBC（SAS），∴AD＝CE；（2）∵BD＝BC，∠BCD＝75°∴∠BCD＝∠BDC＝75°，∴∠DBC＝∠ABD＝30°，∴∠ABC＝60°，由（1）知△ABD≌△EBC，∴∠BAD＝∠BEC，∵∠ADB＝∠EDC，∴∠ACE＝∠ABD＝30°；（3）∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC，∵BD为△ABC的角平分线，∴∠DBC＝∠ABD，由（1）知△ABD≌△EBC，∴∠BAD＝∠BEC，∵∠ADB＝∠EDC，∴∠ACE＝∠ABD＝∠DBC＝β，∵∠BCE＝∠BCD+∠ACE＝α，∴∠BCD＝∠BDC＝α﹣β，∵∠DBC+∠BDC+∠BCD＝180°，∴β+（α﹣β）+（α﹣β）＝180°，∴2α﹣β＝180°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定、三角形内角和定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．5．（2022秋•隆回县期中）探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC 上，AE＝AD，连接DE．（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；（2）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系．【分析】（1）CAD＝∠BAD＝60°，由于AD＝AE，于是得到∠ADE＝60°，根据三角形的内角和即可得到∠CDE＝75°﹣45°＝30°；（2）设∠BAD＝x，于是得到∠CAD＝90°﹣x，根据等腰三角形的性质得到∠AED＝45°+，于是得到结论；（3）设∠CDE＝x，∠C＝y，由等腰三角形的性质和外角的性质可求解．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠BAD＝60°，∴∠DAE＝30°，∵AD＝AE，∴∠AED＝75°，∴∠CDE＝∠AED＝∠C＝30°；（2）设∠BAD＝x，∴∠CAD＝90°﹣x，∵AE＝AD，∴∠AED＝45°+，∴∠CDE＝x，∴∠BAD＝2∠CDE；（3）设∠CDE＝x，∠C＝y，∵AB＝AC，∠C＝y，∴∠B＝∠C＝y，∵∠CDE＝x，∴∠AED＝y+x，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝y+x，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∴y+∠BAD＝y+x+x，∴∠BAD＝2∠CDE．【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．6．（2022秋•岳阳县校级期中）在△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝（2）如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．【分析】（1）等腰三角形三线合一，所以∠DAE＝30°，又因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝75°，所以∠DEC＝15°．（2）同理，易证∠ADE＝70°，所以∠DEC＝20°．（3）通过（1）（2）题的结论可知，∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC＝∠BAD）．（4）由于AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED，根据已知，易证∠BAD+∠B＝2∠EDC+∠C，而B＝∠C，所以∠BAD＝2∠EDC．【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝30°，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠EDC＝15°．（2）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝40°，∴∠BAD＝∠CAD＝40°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝70°，∴∠EDC＝20°．（3）∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC＝∠BAD）（4）仍成立，理由如下∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠BAD+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠EDC＝（∠EDC+∠C）+∠EDC＝2∠EDC+∠C又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C∴∠BAD＝2∠EDC．故分别填15°，20°，∠EDC＝∠BAD【点评】本题考查了等腰三角形三线合一这一性质，即等腰三角形底边上中线、高线以及顶角的平分线三线合一．得到角之间的关系是正确解答本题的关键．7．（2022秋•余姚市校级期中）若a、b是△ABC的两边且|a﹣3|+（b﹣4）2＝0（1）试求a、b的值，并求第三边c的取值范围．（2）若△ABC是等腰三角形，试求此三角形的周长．（3）若另一等腰△DEF，其中一内角为x°，另一个内角为（2x﹣20）°试求此三角形各内角度数．【分析】（1）利用非负数的性质可求得a、b的值，根据三角形三边关系可求得c的范围；（2）分腰长为3或4两种情况进行计算；（3）分这两个内角一个为顶角和两个都是底角三种情况，结合三角形内角和定理可求得x，可得出三个角的度数．【解答】解：（1）∵|a﹣3|+（b﹣4）2＝0，∴a＝3 b＝4，∵b﹣a＜c＜b+a，∴1＜c＜7；（2）当腰长为3时，此时三角形的三边为3、3、4，满足三角形三边关系，周长为10；当腰长为4时，此时三角形的三边长为4、4、3，满足三角形三边关系，周长为11；综上可知等腰三角形的周长为10或11；（3）当底角为x°、顶角为（2x﹣20）°时，则根据三角形内角和为180°可得：x+x+2x﹣20＝180，解得x＝50，此时三个内角分别为50°、50°、80°；当顶角为x°、底角为（2x﹣20）°时，则根据三角形内角和为180°可得：x+2x﹣20+2x﹣20＝180，解得x＝44，此时三个内角分别为44°、68°、68°；当底角为x°、（2x﹣20）°时，则等腰三角形性质可得：x＝2x﹣20，解得x＝20，此时三个内角分别为20°、20°、140°；综上可知三角形三个内角为50度、50度、80度或44度、68度、68度或20度、20度、140度．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等、两底角相等是解题的关键．8．（2022秋•金华期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD为△ABC的角平分线；（1）若AB＝BD，则∠A的度数为°（直接写出结果）；（2）如图1，若E为线段BC上一点，∠DEC＝∠A；求证：AB＝EC．（3）如图2，若E为线段BD上一点，∠DEC＝∠A，求证：AB＝EC．【分析】（1）如图1中，设∠C＝x．则可证∠A＝∠ADB＝2x，利用三角形内角和定理，构建方程求出x 即可解决问题；（2）证明△ABD≌△ECD（AAS），可得结论；（3）如图2中，延长BD到T，使得CD＝CT．证明△ABD≌△ECT（AAS），可得结论．【解答】（1）解：如图1中，设∠C＝x．∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝2x，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝x，∵AB＝BD，∴∠A＝∠ADB＝∠DBC+∠C＝2x，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴2x+2x+x＝180°，∴x＝36°，∴∠A＝2x＝72°，故答案为：72．（2）证明：如图1中，∵∠ABD＝∠DBC＝∠C，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（AAS），∴AB＝EC．（3）证明：如图2中，延长BD到T，使得CD＝CT．∵CD＝CT，∴∠T＝∠CDT＝∠ADB，∵BD＝CD，∴BD＝CT，在△ABD和△ECT中，，∴△ABD≌△ECT（AAS），∴AB＝EC．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题．三．等腰三角形的判定（共3小题）9．（2022秋•泗洪县期中）如图，已知直线OM垂直于直线ON，点A在直线OM上，且∠OAB＝30°，点B在直线ON上，在直线OM或直线ON上找一点C（与A、B不重合），使△ABC成为一个等腰三角形，这样的点C能找到个．【分析】分两种情况讨论，当AB是底边时，当AB是腰时，即可求解．【解答】解：（1）当AB是底边时，作AB的垂直平分线，分别与AO，线段BO的延长线相交，共两个交点，都符合题意；（2）当AB是腰时①以A圆心AB长为半径画圆交直线OM于两点，交线段BO延长线于一点（该点与前面的点重合）②以B圆心AB长为半径画圆交直线ON于两点（有一个点与前面的点重合），交线段AO延长线于一点，有两个交点符合题意，因此这样的点C能找到6个，使△ABC成为等腰三角形．故答案为：6．【点评】本题考查等腰三角形，关键是分两种情况讨论，并注意有重合的点．10．（2022秋•涟源市期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）BP＝（用t的代数式表示）（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，出发秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？【分析】（1）根据题意即可用t可分别表示出BP；（2）结合（1），根据题意再表示出BQ，然后根据等腰三角形的性质可得到BP＝BQ，可得到关于t的方程，可求得t；（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分CQ＝BC和BQ＝CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．【解答】解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，∵AB＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，故答案为：（16﹣t）cm；（2）当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，即16﹣t＝2t，解得t＝，∴出发秒后，△PQB能形成等腰三角形；（3）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示，则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10（cm），∴BC+CQ＝22（cm），∴t＝22÷2＝11；②当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示，则BC+CQ＝24（cm），∴t＝24÷2＝12，综上所述：当t为11或12时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．故答案为：11秒或12．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．11．（2022秋•江干区校级期中）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．（1）求证：AB＝AC；（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．【分析】（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD＝AE，根据三线合一的性质，可得DF＝EF，又由BD＝CE，可得BF＝CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB＝AC．（2）根据等腰三角形的判定解答即可．【解答】证明：（1）过点A作AF⊥BC于点F，∵AD＝AE，∴DF＝EF，∵BD＝CE，∴BF＝CF，∴AB＝AC．（2）∵∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．四．等腰三角形的判定与性质（共2小题）12．（2022秋•拱墅区校级期中）（1）如图1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点O，过点O 作EF∥BC分别交AB、AC于E、F．①求证：OE＝BE；②若△ABC的周长是25，BC＝9，试求出△AEF的周长；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，试探求∠BAC与∠P AC的数量关系式．【分析】（1）①由等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论；②根据三角形的周长公式即可得到结论；（2）根据角平分线的性质即可得出答案．【解答】解：（1）①∵BO平分∠ABC，∴∠EBO＝∠OBC，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∴∠EOB＝∠EBO，∴OE＝BE；②△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+AF+EB+FC＝AB+AC＝25﹣9＝16；（2）解：延长BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∴∠F AP＝∠P AC，∴∠F AC＝2∠P AC，∵∠F AC+∠BAC＝180°，∴2∠P AC+∠BAC＝180°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．13．（2022秋•房县期中）如图，A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE 的平分线与AD交于点D，连接CD．（1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．【分析】（1）①根据平行线的性质得到∠ADB＝∠DBC，由角平分线的定义得到∠ABD＝∠DBC，等量代换得到∠ABD＝∠ADB，根据等腰三角形的判定即可得到AB＝AD；②根据平行线的性质得到∠ADC＝∠DCE，由①知AB＝AD，等量代换得到AC＝AD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD＝∠ADC，求得∠ACD＝∠DCE，即可得到结论；（2）根据角平分线的定义得到∠DBC＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，由于∠BDC+∠DBC＝∠DCE于是得到∠BDC+∠ABC＝∠ACE，由∠BAC+∠ABC＝∠ACE，于是得到∠DC+∠ABC＝∠ABC+∠BAC，即可得到结论．【解答】解：（1）①∵AD∥BE，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD；②∵AD∥BE，∴∠ADC＝∠DCE，由①知AB＝AD，又∵AB＝AC，∴AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∴∠ACD＝∠DCE，∴CD平分∠ACE；（2）∠BDC＝∠BAC，∵BD、CD分别平分∠ABE，∠ACE，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，∵∠BDC+∠DBC＝∠DCE，∴∠BDC+∠ABC＝∠ACE，∵∠BAC+∠ABC＝∠ACE，∴∠BDC+∠ABC＝∠ABC+∠BAC，∴∠BDC＝∠BAC．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．五．勾股定理（共8小题）14．（2022秋•镇海区校级期中）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC 边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；（2）设出发t秒钟后，△PQB能形成等腰三角形，则BP＝BQ，由BQ＝2t，BP＝8﹣t，列式求得t即可；（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：①当CQ＝BQ时，则∠C＝∠CBQ，可证明∠A＝∠ABQ，则BQ＝AQ，则CQ＝AQ，从而求得t；②当CQ＝BC时，则BC+CQ＝12，易求得t；③当BC＝BQ时，过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．【解答】解：（1）∵BQ＝2×24（cm），BP＝AB﹣AP＝16﹣2×1＝14（cm），∠B＝90°，∴PQ＝＝＝（cm）；（2）BQ＝2t，BP＝16﹣t，根据题意得：2t＝16﹣t，解得：t＝，即出发秒钟后，△PQB能形成等腰三角形；（3）①当CQ＝BQ时，如图1所示，则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10，∴BC+CQ＝22，∴t＝22÷2＝11秒．②当CQ＝BC时，如图2所示，则BC+CQ＝24，∴t＝24÷2＝12秒．③当BC＝BQ时，如图3所示，过B点作BE⊥AC于点E，则BE＝＝，∴CE＝，∴CQ＝2CE＝14.4，∴BC+CQ＝26.4，∴t＝26.4÷2＝13.2秒．综上所述：当t为11秒或1213.2秒时，△BCQ为等腰三角形．【点评】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用．15．（2022秋•嵊州市期中）如图，△ABC中，BA＝BC，CO⊥AB于点O，AO＝4，BO＝6．（1）求BC，AC的长；（2）若点D是射线OB上的一个动点，作DE⊥AC于点E，连结OE．①当点D在线段OB上时，若△AOE是以AO为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的OD的长．②设DE交直线BC于点F，连结OF，若S△OBF：S△OCF＝1：4，则BD的长为（直接写出所有结果）．【分析】（1）由勾股定理即可计算；（2）①分两种情况：AO＝OE或AO＝AE，由等腰三角形的性质和判定，余角的性质，全等三角形的判定和性质，即可求解；②分两种情况：点D在线段OB上时或点D在线段OB延长线上时，由余角的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形面积公式，即可求解．【解答】解：（1）∵AB＝AO+BO＝4+6＝10，∴BC＝AB＝10，∵CO⊥AB，∴CO＝＝＝8，∴AC＝＝＝4；（2）①当AO＝OE时，∴∠A＝∠AEO，∵∠OED+∠AEO＝∠ODE+∠A＝90°，∴∠ODE＝∠OED，∴OD＝OE＝AO＝4；当AO＝AE时，∵∠A＝∠A，∠AOC＝∠AED＝90°，∴△AED≌△AOC（ASA），∴AD＝AC＝4，∴OD＝AD﹣AO＝4﹣4，②当点D在线段OB上时，∵S△OBF：S△OCF＝1：4，∴BF：CF＝1：4，∴BF：BC＝1：3，∵BC＝10，∴BF＝，∵BC＝BA，∴∠A＝∠BCA，∵∠EDA+∠A＝90°，∠BDF＝∠EDA，∴∠BDF+∠A＝90°，∵∠BFD+∠BCA＝90°，∴∠BDF＝∠BFD，∴BD＝BF＝，当点D在线段OB的延长线上时，∵S△OBF：S△OCF＝1：4，∴BF：CF＝1：4，∴BF：BC＝1：5，∵BC＝10，∴BF＝2，同理可证：∠D＝∠DFB，∴BD＝BF＝2．故答案为：或2．【点评】本题考查勾股定理，三角形全等判定和性质，等腰三角形的判定和性质，余角的性质，关键是熟练掌握以上知识点，并注意解题时分情况讨论．16．（2022秋•天宁区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B 出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．【分析】（1）直接根据勾股定理求出BC的长度；（2）当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可；（3）当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP值．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64，∴BC＝8（cm）；（2）由题意知BP＝2tcm，①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8cm，即t＝4；②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣8）cm，AC＝6cm，在Rt△ACP中，AP2＝62+（2t﹣8）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，即：102+[62+（2t﹣8）2]＝（2t）2，解得：t＝，故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝；（3）①当AB＝BP时，t＝5；②当AB＝AP时，BP＝2BC＝16cm，t＝8；③当BP＝AP时，AP＝BP＝2tcm，CP＝|2t﹣8|cm，AC＝6cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以（2t）2＝62+（2t﹣8）2，解得：t＝，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．【点评】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．17．（2022秋•闵行区期中）阅读材料：在直角三角形中，斜边和两条直角边满足定理：两条直角边的平方和，等于斜边的平方．因此如果已知两条边的长，根据定理就能求出第三边的长．例如：在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由定理得AC2+BC2＝AB2，代入数据计算求得AB＝5．请结合上述材料和已学几何知识解答以下问题：已知：如图，∠C＝90°，AB∥CD，AB＝5，CD＝11，AC＝8，点E是BD的中点，那么AE的长为．【分析】作EG⊥AC，垂足为G．根据△ABF∽△CDF，求出AF＝AC＝×8＝，FC＝，然后利用勾股定理求出BF，DF，然后求出EB，EF．根据△ABF∽△GEF，求出EG、FG，然后利用勾股定理求出AE的长．【解答】解：作EG⊥AC，垂足为G．∵AB∥CD∴△ABF∽△CDF，∴＝，∵AB＝5，DC＝11，∴＝，∴AF＝AC＝×8＝；∴FC＝8﹣2.5＝，∴BF＝＝，DF＝＝，∴EB＝×（+）＝4，∴EF＝4﹣＝．易得，△ABF∽△GEF，∴，，∴，，∴EG＝3，FG＝，∴AG＝+＝4，在Rt△AEG中，AE＝＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了勾股定理和相似三角形，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．18．（2022秋•莲都区期中）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）当t＝2秒时，求PQ的长；（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；（2）由题意得出BQ＝BP，即2t＝8﹣t，解方程即可；（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：①当CQ＝BQ时（图1），则∠C＝∠CBQ，可证明∠A＝∠ABQ，则BQ＝AQ，则CQ＝AQ，从而求得t；②当CQ＝BC时（图2），则BC+CQ＝12（cm），易求得t；③当BC＝BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．【解答】（1）解：（1）BQ＝2×2＝4cm，BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，∵∠B＝90°，PQ＝＝＝2（cm）；（2）解：根据题意得：BQ＝BP，即2t＝8﹣t，解得：t＝；即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形；（3）解：分三种情况：①当CQ＝BQ时，如图1所示：则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ∴BQ＝AQ，∵∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，∴AC＝＝10（cm），∴CQ＝AQ＝AC＝5（cm），∴BC+CQ＝11（cm），∴t＝11÷2＝5.5秒．②当CQ＝BC时，如图2则BC+CQ＝12（cm），∴t＝12÷2＝6秒．③当BC＝BQ时，如图3所示：过B点作BE⊥AC于点E，则BE＝＝＝4.8（cm）∴CE＝＝3.6cm，∴CQ＝2CE＝7.2cm，∴BC+CQ＝13.2cm，∴t＝13.2÷2＝6.6秒．由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形．【点评】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．19．（2022秋•江干区校级期中）如图，△ABC中，BA＝BC，CO⊥AB于点O，AO＝6，BO＝9．（1）求BC，AC的长；（2）若点D是射线OB上的一个动点，作DE⊥AC于点E，连结OE．①当点D在线段OB是以AO为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的OD的长．②设直线DE交直线BC于点F连结OF，CD，若S△OBF：S△OCF＝1：4，则CD的长为（直接写出结果）．【分析】（1）根据BA＝BC可得BC的长，分别根据勾股定理可得OC和AC的长；（2）①分两种情况：AO＝OE和AO＝AE时，分别画图，根据三角形的中位线定理和证明三角形全等可解决问题；②分两种情况：i）当D在线段OB上时，如图3，过B作BG⊥EF于G，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，得＝，可得BF＝5，证明△BDF是等腰三角形，得BD＝BF＝5，最后利用勾股定理可得结论；ii）当D在线段OB的延长线上时，过B作BG⊥DE于G，同i）计算可得结论．【解答】解：（1）∵AO＝6，BO＝9，∴AB＝15，∵BA＝BC，∴BC＝15，∵CO⊥AB，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，由勾股定理得：CO＝＝＝12，AC＝＝＝6；（2）①分两种情况：i）当AO＝OE＝4时，过O作ON⊥AC于N，如图1所示：∴AN＝EN，∵DE⊥AC，∴ON∥DE，∴ON是△ADE的中位线，∴OD＝AO＝6；ii）当AO＝AE＝4时，如图2所示：在△CAO和△DAE中，，∴△CAO≌△DAE（ASA），∴AD＝AC＝6，∴OD＝AD﹣AO＝6﹣6；综上所述，OD的长为6或6﹣6；②分两种情况：i）当D在线段OB上时，过B作BG⊥EF于G，如图3所示：∵S△OBF：S△OCF＝1：4，∴＝，∴＝，∵CB＝15，∴BF＝5，∵EF⊥AC，∴BG∥AC，∴∠GBF＝∠ACB，∵AE∥BG，∴∠A＝∠DBG，∵AB＝BC，∴∠A＝∠ACB，∴∠DBG＝∠GBF，∵BG⊥DF，∴△BDF是等腰三角形，∴BD＝BF＝5，∴OD＝OB﹣BD＝9﹣5＝4，∴CD＝＝＝4；ii）当D在线段OB的延长线上时，过B作BG⊥DE于G，如图4所示：同理得：＝，∵BC＝15，∴BF＝3，同理得：△BDF是等腰三角形，∴BD＝BF＝3，∴OD＝BO+BD＝9+3＝12，Rt△COD中，CD＝＝＝12；综上所述，CD的长为4或12，故答案为：4或12．【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的面积、勾股定理、分类讨论等知识；证明△BDF是等腰三角形是解题的关键．20．（2022秋•上城区校级期中）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD，（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）若AB＝21，AD＝9，BC＝CD＝10，求AC的长．【分析】（1）要证明△BCE≌△DCF，已知一对直角相等和一对边相等，只需再创造一个条件，所以根据已知条件运用角平分线的性质定理即可证明另一对边对应相等；（2）结合（1）中的结论进行分析，发现：AB＝AE+BE＝AF+BE＝AD+DE+BE＝AD+2BE，求出BE的长，再根据勾股定理求得CE的长，再运用勾股定理进行求解即可．【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴∠CFD＝90°，∠CEB＝90°（垂线的意义）CE＝CF（角平分线的性质）∵BC＝CD（已知）∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）（2）解：由（1）得，Rt△BCE≌Rt△DCF∴DF＝EB，设DF＝EB＝x，∵∠CFD＝90°，∠CEB＝90°，CE＝CF，AC＝AC∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL）∴AF＝AE即：AD+DF＝AB﹣BE∵AB＝21，AD＝9，DF＝EB＝x∴9+x＝21﹣x解得，x＝6在Rt△DCF中，∵DF＝6，CD＝10∴CF＝8∴Rt△AFC中，AC2＝CF2+AF2＝82+（9+6）2＝289∴AC＝17答：AC的长为17．【点评】（1）掌握全等三角形的判定方法，能够根据已知条件探求需要的边相等或角相等；（2）注意线段的等量代换，熟练运用勾股定理．21．（2022秋•江阴市期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE．（1）按要求作出草图，并求∠ADE＝；（直接写出结果）（2）当AB＝3，AC＝5时，求△ABE的周长．【分析】（1）根据题意作出图形；根据题意可知MN是线段AC的垂直平分线，由此可得出结论；（2）先根据勾股定理求出BC的长，再根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．【解答】解：（1）如图所示．∵由题意可知MN是线段AC的垂直平分线，∴∠ADE＝90°．故答案为：90°；（2）∵MN是线段AC的中垂线，∴EA＝EC，在Rt△ABC中，BC＝，∴C△ABE＝AB+BE+EA＝AB+BE+EC＝AB+BC＝3+4＝7．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，勾股定理，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．六．作图-轴对称变换（共5小题）22．（2022秋•滨江区校级期中）直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F．（1）如果∠AFE＝65°，求∠CDF的度数；（2）若折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．【分析】（1）在△CDF中，求出∠CFD即可解决问题；（2）先确定△CDF是等腰三角形，得出∠CFD＝∠CDF＝45°，因为不确定△BDE是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①DE＝DB，②BD＝BE，③DE＝BE，然后分别利用角的关系得出答案即可．【解答】解：（1）根据翻折不变性可知：∠AFE＝∠DFE＝65°，∴∠CFD＝180°﹣65°﹣65°＝50°，∵∠C＝90°，∴∠CDF＝90°﹣50°＝40°．（2）∵△CDF中，∠C＝90°，且△CDF是等腰三角形，∴CF＝CD，∴∠CFD＝∠CDF＝45°，设∠DAE＝x°，由对称性可知，AF＝FD，AE＝DE，∴∠FDA＝∠CFD＝22.5°，∠DEB＝2x°，分类如下：①当DE＝DB时，∠B＝∠DEB＝2x°，由∠CDE＝∠DEB+∠B，得45°+22.5°+x＝4x，解得：x＝22.5°．此时∠B＝2x＝45°；见图形（1），说明：图中AD应平分∠CAB．②当BD＝BE时，则∠B＝（180°﹣4x）°，由∠CDE＝∠DEB+∠B得：45°+22.5°+x＝2x+180°﹣4x，解得x＝37.5°，此时∠B＝（180﹣4x）°＝30°．图形（2）说明：∠CAB＝60°，∠CAD＝22.5°．③DE＝BE时，则∠B＝（）°，由∠CDE＝∠DEB+∠B得，45°+22.5°+x＝2x+，此方程无解．∴DE＝BE不成立．综上所述∠B＝45°或30°．【点评】本题考查了翻折变换及等腰三角形的知识，有一定的综合性，在不确定等腰三角形的腰时要注意分类讨论，不要漏解，另外要注意方程思想在求解几何问题中的应用．23．（2022秋•西湖区校级期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；（2）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短．【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用轴对称求最短路线求法得出P点位置．【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求；（2）如图所示：点P即为所求．【点评】此题主要考查了轴对称变换以及最短路径求法，正确得出对应点位置是解题关键．24．（2022秋•城阳区期中）（1）在下面的平面直角坐标系中画△ABC，使△ABC各顶点坐标分别为A（2，﹣1），B（﹣2，0），C（0，﹣2）；（2）使ABC各点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘﹣1，得△A1B1C1，画出△A1B1C1并说明△A1B1C1与△ABC有怎样的位置关系？【分析】（1）直接利用A，B，C各点的坐标画出三角形即可；（2）利用坐标之间的关系得出△A1B1C1各顶点位置，进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：△ABC即为所求；（2）如图所示：△A1B1C1即为所求，△A1B1C1与△ABC关于x轴对称．【点评】此题主要考查了轴对称变换，正确得出各对应点位置是解题关键．25．（2022秋•泸县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．（2）写出点A1，B1，C1的坐标．（3）求出△ABC的面积．。

【初中数学】特殊三角形单元测试题浙教版

ABCD(2)《特殊三角形》测试题学号姓名成绩一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列能判断△ABC 是等腰三角形的是（）A .∠A =30°, ∠B =60° B . ∠A =50° , ∠B =80°C .AB =AC =2, BC =4D . AB =3,BC =6,周长为122．如图(1)，以知等腰△ABC 中，顶角平分线AD 交底边BC 于D ,则以下结论中错误的是（） A ．∠B =∠C B ． BD =CD C ．AD ⊥BC D .AD=BC 3．五根火材棒（不折断）首尾顺次相连，能搭成（）A ．等边三角形 B.等腰三角形 C ．直角三角形 D ．以上都不能4．如图（2）将两快直角三角尺的直角顶点重合，若∠AOD =110°,则∠BOC 等于（）A .45° B.55 ° C.60° D.70°5. 如图（3），分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积积之和等于较大的半圆面积，则这个三角形为…………………………（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 锐角三角形或钝角三角形6.在△ABC 中, ∠A 的相邻外角是110,要使△ABC 为等腰三角形,则底角∠B 的度数是 ( )A.70°B.55°C.70° 或 55°D.60° 7.根据下列条件判断,以a,b,c 为边的三角形不是．．直角三角形的是 ( ) A. a =32,b =42,c =52 B. a =30, b =40, c =45 C. a =1, b =2, c =3 D. a ：b ：c =5：12：13(1)(8)ABDE(7)8. △ABC 与△A´B´C´中,下列条件不能．．判断这两个三角形全等的是 ( ) A. ∠A =∠A´,AB=A´B´, ∠B =∠B ´ B. AC=A´C´,AB=A´B ´, ∠C =∠C ´=90° C. AC=A´C´,BC=B´C´, ∠C =∠C´ D. AC=A´C´, AB=A´B´, ∠B=∠B´9．如图（4），在下列三角形中,若AB=AC ,则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（）A ．(1)(2)(3)B ．(1)(2)(4) C. (2)(3)(4) D ．(1)(3)(4) 10. 如图(5)，在等边ABC △中，9AC =，点O 在AC 上，且3AO =，点P 是AB 上一动点，连结OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ．要使点D 恰好落在BC上，则AP 的长是（）A ．4B ．5C ．6D ．8二、填空题（每小题3分，共30分）11.在Rt △ABC 中,锐角∠A =35°，则另一个锐角∠B =__________.12.已知等腰三角形的两边长是1cm 和2cm ，则这个等腰三角形的周长是__________cm. 13.已知等腰三角形的一个内角是80度,则顶角是___________度. 14.直角三角形的两直角边分别为54和53,则它的斜边长为__________. 15. 如图(6)，已知Rt ABC △中，C ∠=90°，A ∠=30°，6AC =．沿DE 折叠，使得点A 与点B 重合，则折痕DE 的长为．16.如图(7),已知在△ABC 中,BC =8,AB 的中垂线交BC 于D ,AC 的中垂线交BC 于E ,则 △ADE 的周长等于________________.(5)108︒(4)CBA(3)90︒C A(2)45︒CBA(1)36︒CA（4）Ａ30图(6)17.如图（8）在△ABC 中，∠ACB =90°，D 是AB 的中点，AC =5,BC =12,则CD =_________. 18.木工师傅做一个长方形桌面,测量得桌面的长为70cm,宽为24cm,对角线为74cm,这个桌面____________. (填“合格”或“不合格”)19.如图(9), △ABC 中, ∠B 和∠C 的平分线交于点O ,过O 作EF ∥BC ,交AB 于E ,交AC 于F ,AB =7,AC =6,则△AEF 的周长是____________.20. 如图(10)，点A 是5×5网格图形中的一个格点（小正方形的顶点），图中每个小正方形的边长为1；以A 为其中的一个顶点，面积等于2的格点等腰直角三角形（三角形的三个顶点都是格点）的个数是 .三、解答题：（共5题，40分） 21.如图（11），在△ABC 中，∠B =∠C ，AD ⊥BC 于D ，E 为AC 的中点，AB =6，求DE 的长．（6分）22．如图（12）,已知△ABC 中，点D 、E 在BC 上，AB =AC ，AD =AE .请说明BD =CE 的理由．（6分）EFO(9)BADC B AE （11）AB CDE (10)（15）23．如图（13）,在Rt △ABC 中,∠B=90°，AB =36cm,CD 平分∠ACB ,DE ⊥AC 于 E,DB ∶AD =4∶5,求AE 的长. （8分）24．如图（14），在等边ABC △中，点D E ，分别在边BC AB ，上，且BD AE =，AD 与CE 交于点F ．（8分）（1）试说明AD CE =的理由；（2）求DFC ∠的度数．25．如图（15），在ABC △中，2C B ∠=∠，D 是BC 上的一点，且AD AB ⊥，点E 是BD 的中点，连结AE ．(1)说明AEC C ∠=∠成立的理由; (2)说明BD =(3)若 6.5AE =，5AD =，那么ABE △(14)A B CE （13） (14)答案一、选择题BDBDB CBDDC二、选择题11、55° 12、5 13、80或20 14、1 15、2 16、8 17、21318、合格 19、13 20、12 21、略23、AE=12cm24、解：（1）ABC △是等边三角形， BAC B ∴=∠∠=60°，AB AC = 又AE BD =(SAS)AEC BDA ∴△≌△，AD CE ∴=．（2）解由（1）AEC BDA △≌△，得ACE BAD =∠∠DFC FAC ACE ∴=+∠∠∠FAC BAD =+∠∠=60° 25、解:（1）AD AB ⊥∵ABD ∴△为直角三角形又∵点E 是BD 的中点12AE BD =∴ 又12BE BD =∵ AE BE =∴ B BAE ∠=∠∴又AEC B BAE ∠=∠+∠∵2AEC B B B ∠=∠+∠=∠∴又2C B ∠=∠∵AEC C ∠=∠∴（2）由（1）可得AE AC = 又12AE BD =∵ 12BD AC =∴ 2BD AC =∴．（3）解：在Rt ABD △中，5AD =，22 6.513BD AE ==⨯=12AB ==∴ABE ∴△的周长12 6.5 6.525AB BE AE =++=++=。

(完整版)【初中数学】特殊三角形单元测试题浙教版

C. a=1, b= 2 , c=D. a : b : c=5: 12： 13《特殊三角形》测试题、选择题（每小题 3分，共30 分） 1.下列能判断△ ABC 是等腰三角形的是5. 如图（3）,分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积积之和等于较大的半圆面积，则这个三角形为C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形6. 在厶ABC 中，/ A 的相邻外角是110,要使△ ABC 为等腰三角形，则底角Z B 的度数是（） A. 70°B.55°C.70° 或 55°D.60°7. 根据下列条件判断，以a,b,c 为边的三角形不是.直角三角形的是（）A. a=3 2 ,b=4 - 2 ,c=5 ■- 2B. a=30,b=40, c=45学号姓名成绩A. / A=30° , / B=60°B. / A=50 / B=80°C. AB=AC=2, BC=4D.AB=3,BC=6,周长为 122 .如图⑴，以知等腰厶ABC 中，顶角平分线 AD 交底边BC 于D,则以下结论中错误的是（3. A . Z B=Z CB . BD=CDC . AD 丄 BCD.AD=BC五根火材棒（不折断）首尾顺次相连，能搭成 A .等边三角形 B.等腰三角形 C •直角三角形 D .以上都不能4. 如图（2）将两快直角三角尺的直角顶点重合，若ZAOD=110，则Z BOC 等于（A. 45 °B.55C.60°D.70°A. 锐角三角形B. 直角三角形CB D(38. △ ABC 与厶A'B'C'中,下列条件不能判断这两个三角形全等的是（） △ ADE 的周长等于A. / A= / A',AB=A' B', / B=Z B 'B. AC=A' C',AB=A 'B / C=Z C'=90°C. AC=A C' , BC=B' C' , / C= / C'D. AC=A' C' , AB=A B '，/ B= Z B '9.如图(4),在下列三角形中，若AB=AC ,则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是()二、填空题（每小题 3分，共30 分） 11.在 Rt △ ABC 中，锐角 Z A=3516. 如图（7）,已知在△ ABC 中,BC=8,AB 的中垂线交 BC 于D,AC 的中垂线交 BC 于E,则A . (1)(2)(3) 10•如图⑸，在等边△ ABC 中，AC点O 在AC 上，且 AO 3,点P是AB 上一动点，连结 OP ，将线段 OP 绕点O 逆时针旋转 60°得到线段OD •要使点D 恰好落在BC上，贝U AP 的长是（）12.已知等腰三角形的两边长是 1cm 和2cm,则这个等腰三角形的周长是 cm.13.已知等腰三角形的一个内角是 80度,则顶角是14.直角三角形的两直角边分别为 4 3 工和三,则它的斜边长为55 15.如图⑹，已知Rt △ ABC 中，C =90° ,A =30°, AC6 .沿DE 折叠，使得点A 与，则另一个锐角Z B=B . (1)(2)(4)C.⑵(3)(4)D.(1)(3)(4)(5)点B 重合，则折痕DE 的长为图(6)AC17. 如图（8）在厶 ABC 中，/ ACB=90°, D 是 AB 的中点，AC=5, BC=12,贝U CD= __________ . 18. 木工师傅做一个长方形桌面 ,测量得桌面的长为 70cm,宽为24cm,对角线为74cm,这个桌面___________ .（填“合格”或“不合格”）19. 如图（9）, △ ABC 中，/ B 和/ C 的平分线交于点 O,过O 作EF // BC,交AB 于E,交AC 于F,AB=7,AC=6,则厶AEF 的周长是 _____________ .20. 如图（10），点A 是5X5网格图形中的一个格点（小正方形的顶点），图中每个小正方形的边长为1 ;以A 为其中的一个顶点，面积等于2的格点等腰直角三角形（三角形的三个顶点都是格点）的个数是 ____________三、解答题：（共5题，40分）21. 如图（11）,在厶ABC 中，/ B=Z C, AD 丄BC 于D , E 为AC 的中点，AB=6,求DE 的长.（6 分）22 .如图（12），已知△ ABC 中，点 D 、E 在 BC 上, AB=AC , AD=AE.请说明BD=CE 的理由.（6分）(11)BD E23. 如图(13),在 Rt △ ABC 中，/B=90°,AB=36cm,CD 平分/ ACB,DE 丄AC 于 E,DB : AD=4 :5,求AE 的长.(8分)的中点，连结AE .24•如图(14),在等边△ ABC 中，点D , E 分别在边BC , AB 上，且BD AE , AD 与CE 交于点F . (8分)(1)试说明AD CE 的理由；(2)求/DFC 的度数.25.如图(15),在厶ABC 中, C 2 B , D 是BC 上的一点，且AD AB ,点E 是BD(1)说明 (3)若 AEAEC 6.5 ,B(14)BE(15)D C答案、选择题BDBDB CBDDC二、选择题11、55°12 、5 13 、80或20 14 、1 15 、21316、8 17 、18、合格19 、13 20 、12221、略23、AE=12cm24、解：(1) Q A ABC是等边三角形,/ BAC / B=60 ° AB AC又Q AE BD△ AEC BDA(SAS),AD CE .(2)解由(1) A AEC BDA,得/ ACE / BAD/ DFC /FAC / ACE/ FAC / BAD =60 °25、解：(1) •/ AD AB•••△ABD为直角三角形又•••点E是BD的中点1••• AE -BD21又••• BE -BD2•AE BE• B BAE又T AEC B BAE•AEC B B 2 B又••• C 2 BAEC(2)由(1)可得AE ACp 1又:AE - BD2/• - BD AC2••• BD 2AC .（3）解：在Rt A ABD 中，AD 5 , BD 2AE 2 6.5 13•AB . BD^__AD7 1325212•△ABE 的周长AB BE AE 12 6.5 6.5 25小学少先队组织机构少先队组织由少先队大队部及各中队组成，其成员包括少先队辅导员、大队长、中队长、小队长、少先队员，为了健全完善我校少先队组织，特制定以下方案：一、成员的确定1、大队长由纪律部门、卫生部门、升旗手、鼓号队四个组织各推荐一名优秀学生担任（共四名），该部门就主要由大队长负责部门内的纪律。

2020浙江新中考数学一轮复习第16讲特殊三角形第2课时

【答案】①44° ②22.5° ③60° 12 6 3
【解后感悟】含 30°角的直角三角形三边之比为 1∶ 3∶2.
1．(2019·邵阳)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝
90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将
△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与
AB相交于点E，则∠BED等于(B )
∴该矩形的面积＝－7＋2 97＋3(－7＋2 97＋4)＝24，故选：B.
【解后感悟】本题利用勾股定理，运用方程思想解决问题．求出小正方形的边长是解题的关键．
3．(2019·宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图 1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图 2 的方式放置在最大正方形内．若知道图中
坐标是 2，4或2，－4或2，－2或2，－2．
类型三勾股定理的应用
例3 (2018·温州)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古
人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直
角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图
形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，
A．1
B．2
C．3
D．4
4．(2019·巴中)如图，等边三角形 ABC 内有一点 P，分别
连结 AP、BP、CP，若 AP＝6，BP＝8，CP＝10.则
S ＋S ＝ △ABP
△BPC
24＋16 3
．
5．如图，四个全等的直角三角形纸片既可以拼成(内角不
是直角)的菱形 ABCD，也可以拼成正方形 EFGH，则菱形 ABCD
【答案】(1)50°或 90° (2)①当这两个角是锐角，设直角三角形中一个锐角为 x，另一个锐角为 2x－60°，∴x ＋2x－60°＝90°，∴x＝50°，∴较小角为 90°－50° ＝40°， ②设当这两个角中有一个角是 90°，直角三角形中一个锐角为 x，则有 2x－60°＝90°，x＝75°， ∴另一个锐角为 15°，较小的角为 15°.故答案为 40°或 15°.

中考数学真题汇编(特殊三角形)

中考数学真题汇编（特殊三角形）一、选择题1．（浙江省丽江市）如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°,AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2 , l 2，l 3之间的距离为3 ,则AC 的长是（ A ） A ．172 B ．52 C ．24 D ．72．（2009白银市）如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE ＝（ C ） A ．2B ．3C．D．3．（2009年烟台市）如图，等边△ABC 的边长为3，P 为BC 上一点，且BP ＝1，D 为AC 上一点，若∠APD ＝60°，则CD 的长为（ B ） A ．32B ．23C ．12D ．344．（2009泰安）如图，△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，BF 平分∠ABC ，交DE 于点F ，若BC ＝6，则DF 的长是（ B ）（A ）2 （B ）3 （C ）25（D ）4 5．(2009年温州)如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝8，AE 平分么BAC 交BC 于点E ，点D 为AB的中点，连结DE ，则△BDE 的周长是( B ) A ．7+5 B ．10 C ．4+25 D ．126．(2009年温州)一张等腰三角形纸片，底边长l5cm ，底边上的高长22．5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是(C )A ．第4张B ．第5张C ．第6张D ．第7张AD CPB60°l 1l 2 l 3ACB7.（2009呼和浩特）在等腰ABC △中，AB AC =，一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ C ） A ．7 B ．11 C ．7或11 D ．7或108.（2010 黄冈）如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（）A ．13 B ．12 C ．23D ．不能确定9．（2010湖北武汉）如图，△ABC 内有一点D ，且DA=DB=DC ，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC 的大小是（）A.100°B.80°C.70°D.50°10．（2010 湖南株洲）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC ∆为等腰三角形．．．．．，则点C 的个数是（） A ．6B ．7C ．8D ．911．（2010 山东东营）如图，点C 是线段AB 上的一个动点，△ACD 和△BCE 是在AB 同侧的两个等边三角形，DM ，EN 分别是△ACD 和△BCE 的高，点C 在线段AB 上沿着从点A 向点B 的方向移动(不与点A ，B 重合)，连接DE ，得到四边形DMNE ．这个四边形的面积变化情况为（）（A ）逐渐增大 (B) 逐渐减小 (C) 始终不变 (D) 先增大后变小 12．（2010黑龙江绥化）如图所示，已知△ABC 和△DCE 均是等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，连结OC 、FG ，则下列结论：①AE ＝BD ②AG ＝BF ③FG ∥BE ④∠BOC ＝∠EOC ，其中正确结论的个数（ D ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个D13、（2011内蒙古赤峰，8，3分）如图，在△ABC中，AB=20㎝，AC=12㎝，点P从点B出发以每秒3㎝的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2㎝的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是（D ）A．2.5 B．3秒C．3.5秒D．4秒二、填空题1．(2009年泸州)如图1，在边长为1的等边△ABC中，中线AD与中线BE相交于点O，则OA长度为33．2．（2009年泸州）如图2，已知Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA1，A1C1，12C A，…，则CA1＝512，=5554CAAC453．(2009年安顺)图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。

浙教版特殊三角形知识点及训练

浙教版特殊三角形知识点及训练三角形是初中数学中非常重要的一个几何图形，而特殊三角形更是具有独特的性质和特点。

在浙教版数学教材中，特殊三角形主要包括等腰三角形、等边三角形和直角三角形。

接下来，让我们一起深入了解这些特殊三角形的知识点，并通过相关训练来巩固和应用。

一、等腰三角形1、定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。

2、性质：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。

3、判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。

二、等边三角形1、定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

2、性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°。

等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。

3、判定：三个角都相等的三角形是等边三角形。

有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。

三、直角三角形1、定义：有一个角为 90°的三角形叫做直角三角形。

2、性质：直角三角形的两个锐角互余。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，那么 a²＋ b²＝ c²。

3、判定：如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a²＋ b²＝ c²，那么这个三角形是直角三角形。

接下来，我们通过一些练习题来巩固这些知识点。

一、选择题1、等腰三角形的一个角是 80°，则它顶角的度数是（）A 80°B 80°或 20°C 80°或 50°D 20°2、下列条件中，不能判定一个三角形是直角三角形的是（）A 三个角的度数之比为 1∶2∶3B 三条边的长度之比为 1∶2∶√5C 三条边的长度之比为 1∶1∶2D 三个角满足关系∠B ＋∠C ＝∠A3、已知等边三角形的边长为 2，则它的面积是（）A √3B 2√3C 3√3D 4√3二、填空题1、等腰三角形的周长为 16，其中一边长为 6，则另两边的长为_____。

浙江省数学中考考点达标训练16 特殊三角形

考点达标训练16特殊三角形训练一等腰三角形和等边三角形等腰三角形的边和角1. (2014·江苏盐城)若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角的度数为()A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°2. 若等腰三角形的两条边长分别为7 cm和14 cm，则它的周长为________cm.等腰三角形的性质与判定3. (2014·江苏苏州)如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝80°，则∠C的度数为()A. 30°B. 40°C. 45°D. 60°,(第3题)),(第4题))4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B的度数为()A. 30°B. 36°C. 40°D. 45°5. (2014·浙江衢州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D.若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是________．,(第5题)),(第6题))6. (2015·浙江嘉兴)如图，有一张三角形纸片ABC，AB＝AC＝5.折叠该纸片使点A落在边BC的中点上，折痕经过AC上的点E，则线段AE的长为________．7. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，线段AG，BG分别交CD于点E，F，DE＝CF.求证：△GAB是等腰三角形．(第7题)等边三角形的性质与判定8. 下列说法中，错误．．的是()A. 有两个内角分别是70°和40°的三角形是等腰三角形B. 有两个内角相等的三角形是等边三角形C. 有两个角是60°的三角形是等边三角形D. 等边三角形一定是等腰三角形9. 如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于()A. 1∶3B. 2∶3C. 3∶2D. 3∶3,(第9题)),(第10题))10. (2015·浙江绍兴)由于木质衣架没有柔韧性，在挂衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆OA＝OB ＝18 cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图②，则此时A，B两点间的距离是________cm.11. 在△ABC中，已知∠A＝60°.给出下列条件：①AB＝AC；②∠B＝∠C；③D是BC 的中点，且AD⊥BC；④边AB，AC上的高线相等．若要选出一个条件判定△ABC是等边三角形，则符合的条件有________(填序号)．12. 如图，△ABC为等边三角形，点F在AD上，点E在CF上，点D在BE上，∠1＝∠2＝∠3.求证：△DEF是等边三角形．(第12题)(第13题)13. 如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为Q .若BF ＝2，则PE 的长为( )A. 2B. 2 2C. 3D. 314. 已知等腰三角形ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD ＝12BC ，则△ABC 底角的度数为________．(第15题)15. 如图，已知矩形ABCD ，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连结DE ，BE .若△ABE 是等边三角形，则S △DCES △ABE＝______． 16. (2015·江苏南京)如图，在边长为4的正方形ABCD 中，请画出以A 为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD 的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．(要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3),(第16题))17. 如图，已知△ABC 是等边三角形，D 是边BC 上的一点，以AD 为边作等边三角形ADE ，过点C 作CF ∥DE 交AB 于点F .,(第17题))(1)若D 是边BC 的中点(如图①)，求证：EF ＝CD . (2)在(1)的条件下直接写出△AEF 和△ABC 的面积比． (3)若D 是边BC 上的任意一点(除点B ，C 外，如图②)，那么(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．训练二直角三角形与勾股定理考点精讲本P50直角三角形的性质与判定1. 在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C＝5∶2∶7，则这个三角形是()A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形2. (2015·北京)如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2 km，则M，C两点间的距离为()A. 0.5 kmB. 0.6 kmC. 0.9 kmD. 1.2 km,(第2题)),(第3题))3. 如图，CD是等腰直角三角形ABC斜边AB上的中线，DE⊥BC于点E，则图中等腰直角三角形的个数是()A. 3B. 4C. 5D. 6(第4题)4. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠CDA＝70°，则∠A＝________，∠B＝________．5. 如图，在△ABC中，点A在DE上，CD⊥DE，BE⊥DE，垂足分别是D，E，且AD ＝BE，CD＝AE.求证：△ABC是等腰直角三角形．(第5题)6. 如图，AB∥CD，E是AD的中点，CE＝EF.求证：CF⊥AB.(第6题)直角三角形的面积与勾股定理7. (2014·山东滨州)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是()A. 4，5，6B. 1.5，2，2.5C. 2，3，4D. 1，2，38. (2015·浙江台州)如果将长为6 cm，宽为5 cm的矩形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能．．．是()A. 8 cmB. 5 2 cmC. 5.5 cmD. 1 cm9. 如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是()A. 48B. 60C. 76D. 80,(第9题)),(第10题))10. 如图所示为一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是()A. 13B. 26C. 47D. 94(第11题)11. (2014·江苏无锡)如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于________．12. 如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长(图②中的实线)是________．,(第12题))13. 如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，折痕与CD边交于点E.已知AB＝8 cm，BC＝10 cm，求CE的长．(第13题)14. (2015·四川眉山)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于点D，E是垂足，连结CD.若BD＝1，则AC的长是()A. 2 3B. 2C. 4 3D. 4,(第14题)),(第15题))15. 蜂巢的构造非常美丽、科学，如图所示为由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，设定AB边如图所示，则能使△ABC是直角三角形的点C的个数为()A. 4B. 6C. 8D. 1016. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3.D是BC边上一动点(不与点B，C重合)，过点D作DE⊥BC交AB于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处．当△AEF为直角三角形时，BD的长为________．17. 一个等腰三角形花圃的面积为30 m2，其中一边长为10 m，求该等腰三角形花圃的另两边长．18. 在△ABC中，∠ABC＝90°，点E在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，且M为EC的中点，连结BM，DM.(1)如图①，点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系，请你写出所得结论并给予证明．,(第18题))(2)如图②，若点E在BA的延长线上，你在(1)中得到的结论是否发生变化？(3)若点E在AB的延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系．参考答案训练一等腰三角形和等边三角形1．D 2．35 3．B 4．B 5．20 6．2．5 7．提示：证△ADE ≌△BCF (SAS )，得∠AED ＝∠BFC ，再得∠GEF ＝∠GFE ，再证∠GAB ＝∠GBA ． 8．B 9．A 10．18 11．①②③④ 12．略 13．C[∵△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，∴∠EBP ＝∠QBF ＝30°．又∵BF ＝2，FQ ⊥BP ，∴BQ ＝BF ·cos 30°＝3．∵FQ 是BP 的垂直平分线，∴BP ＝2BQ ＝23．在Rt △BEP 中，∵∠EBP ＝30°，∴PE ＝12BP ＝3．] 14．15°或45°或75°[分三种情况：①如解图①，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ．∵AD ＝12BC ，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴底角为45°．(第14题解)②如解图②，∵AB ＝BC ，AD ＝12BC ，∴AD ＝12AB ．∵AD ⊥BC ，∴∠ABD ＝30°，∴∠BAC＝∠C ＝15°，即底角为15°．③如解图③，∵AB ＝BC ，AD ＝12BC ，∴AD ＝12AB ．∵AD⊥BC ，∴∠B ＝30°，∴∠BAC ＝∠C ＝75°，即底角为75°．综上所述，底角为15°或45°或75°．] 15．13[过点E 作EM ⊥AB 于点M ，交DC 于点N ．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ∥DC ，AB ＝DC ．又∵MN ⊥AB ，∴∠NMB ＝∠MNC ＝90°，∴四边形MNCB 也是矩形．∴MN ＝BC ，EN ⊥DC ．∵△ABE 是等边三角形，点B 和点E 关于直线AC 对称，∴∠EAC ＝∠BAC ＝30°．设AB ＝AE ＝BE ＝2a ，则BC ＝2a ·tan 30°＝23 3a ，∴MN ＝23 3a ．∵△ABE 是等边三角形，EM ⊥AB ，∴AM ＝12AB ＝a ．在Rt △AEM 中，由勾股定理，得EM ＝（2a ）2－a 2＝3a ．∴EN ＝EM －MN ＝33a ．∵△DCE 的底DC和△ABE 的底AB 相等，∴S △DCE S △ABE ＝EN EM ＝33a3a ＝13．] 16．满足条件的所有等腰三角形如解图所示．(第16题解)17．(1)∵D 是等边三角形ABC 的边BC 上的中点，∴AD ⊥BC ，∠BAD ＝∠DAC ＝30°．又∵△AED 是等边三角形，∴∠EAB ＝∠BAD ＝30°，∴AB ⊥ED ．∵ED ∥FC ，∴CF ⊥AB ．∵AD 和CF 都是等边三角形ABC 的高，∴AD ＝CF ．∴ED ＝AD ＝CF ．又∵CF ∥DE ，∴四边形EFCD 是平行四边形，∴EF ＝CD ．(2)∵S △AEF ＝12EF ·12AD ＝18BC ·AD ＝14S △ABC ，∴S △AEF ∶S △ABC ＝1∶4． (3)仍然成立．证明如下：连结BE ．∵△ABC 与△ADE 均为等边三角形，∴AE ＝AD ，AB ＝AC ，∠EAD ＝∠BAC＝60°．∴∠EAB ＝∠DAC ．∴△AEB ≌△ADC (SAS )，∴BE ＝CD ，∠ABE ＝∠ACD ＝60°＝∠ADE ．∵CF ∥DE ，∴∠FCB ＝∠EDB ，∴180°－∠FCB －60°＝180°－∠EDB －60°，即∠BFC ＝∠CDA ．又∵BC ＝CA ，∠FBC ＝∠ACD ，∴△BFC ≌△CDA (AAS )．∴BF ＝CD ＝BE ．∴△EBF 是等边三角形．∴EF ＝BE ＝CD ．训练二直角三角形与勾股定理1．C 2．D 3．C 4．55° 35° 5．提示：证△ACD ≌△BAE (SAS )． 6．提示：延长CE 交BA 的延长线于点G ，证△CDE ≌△GAE (AAS )． 7．B 8．A 9．C 10．C 11．8 12．76 13． 3 cm ． 14．A[在Rt △ABC 中，∵∠B ＝90°，∠A ＝30°，∴∠ACB ＝60°．∵DE 垂直平分斜边AC ，∴AD ＝CD ．∴∠ACD ＝∠A ＝30°，∴∠DCB ＝60°－30°＝30°．∴CD ＝2BD ＝2．∴BC ＝22－12＝3．又∵∠A ＝30°，∴AC ＝2BC ＝23．](第15题解)15．D[如解图．当AB 是直角边时，满足题意的点C 有6个；当AB 是斜边时，满足题意的点C 有4个．综上所述，满足题意的点C 的个数为6＋4＝10．] 16．1或2[分情况讨论：①当点F 在线段BC 上时，要使△AEF 为直角三角形，则必有∠AFE ＝90°．由折叠的性质，得BE ＝EF ，∠BFE ＝∠B ＝30°，∴∠AEF ＝60°，∴∠EAF ＝30°，∴AE ＝2EF ＝2BE ，∴AB ＝3BE ．在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，BC ＝3，∴AB ＝23，∴BE ＝23 3．∵DE ⊥BC ，∠B ＝30°，∴BD ＝32BE ＝1．②当点F 在线段BC 的延长线上时，要使△AEF 为直角三角形，则必有∠EAF ＝90°，同理可得BD ＝2．] 17．(1)当底为10时，∵面积＝30，∴高为6，∴腰＝62＋52＝61．(2)当腰为10时，∵面积＝30，∴腰上的高为6．①当为锐角三角形时，102－62＝8，则腰被分成8与2的两段，∴底边＝62＋22＝210；②当为钝角三角形时，102－62＝8，∴底边＝62＋（10＋8）2＝610．综上所述，另两边长为61 m ，61 m 或10 m ，2错误! m 或10 m ，6错误! m ． 18．(1)结论：BM ＝DM ，∠BMD ＝2∠BCD ．证明如下：∵M 是Rt △EBC ，Rt △EDC 的斜边中点，∴BM ＝12CE ＝DM ＝MC ，∴∠MCB ＝∠MBC ，∴∠BME ＝2∠BCM ．同理，∠DME ＝2∠DCM ．∴∠BMD ＝∠BME ＋∠DME ＝2(∠BCM ＋∠DCM )＝2∠BCD ． (2)在(1)中得到的结论不变，即BM ＝DM ，∠BMD ＝2∠BCD ．理由如下：∵M 是Rt △EBC 和Rt △EDC 的斜边中点，∴BM ＝12CE ＝DM ＝MC ，∴∠MBC ＝∠MCB ，∠MDC ＝∠MCD ．∴∠BME ＝2∠MCB ，∠DME ＝2∠MCD ．∴∠BMD ＝∠BME －∠DME ＝2(∠MCB －∠MCD )＝2∠BCD ． (3)所画图形如解图所示，分三种情况：(第18题解)①解图①中有BM ＝DM ，∠BMD ＝2∠BCD ；②解图②中∠BCD 不存在，有BM ＝DM ；③解图③中有BM ＝DM ，∠BMD ＝360°－2∠BCD ．。

2024年中考数学一轮复习考点16 特殊三角形(等腰三角形与直角三角形)(精讲)(解析版)7

考点16.特殊三角形（等腰三角形与直角三角形）（精讲）【命题趋势】特殊的三角形重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查等腰（等边）三角形性质与判定和勾股（逆）定理、直角三角形的性质、尺规作图等知识点结合考查，这部分知识需要学生扎实地掌握基础，并且会灵活运用。

在解答题中会出现等腰三角形与直角三角形的性质和判定，这部分知识主要考查基础。

【知识清单】1：等腰（等边）三角形的性质与判定（☆☆☆）1）等腰三角形的定义：有两边相等的三角形角等腰三角形。

2）等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）。

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”）。

3）等腰三角形的判定：若某三角形有两个角相等，那这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。

4）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形。

5）等边三角形的性质：（1）等边三角形的三条边相等；（2）三个内角都相等，且每个内角都是60°；（3）等边三角形（边长为a6）等边三角形的判定：（1）三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

2：垂直平分线的性质与判定（☆☆）1）垂直平分线的定理：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）。

2）垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

3）垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

3：勾股定理与逆定理及其应用（☆☆）1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．2）勾股定理的逆定理：若三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．4：直角三角形的性质及计算（☆☆☆）1）直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．2）直角三角形的性质：（1）直角三角形两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

浙江省中考数学复习第一部分考点研究第四单元三角形第16课时线段、角、相交线与平行线(含近9年中考真

浙江省2018年中考数学复习第一部分考点研究第四单元三角形第16课时线段、角、相交线与平行线（含近9年中考真题）试题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（浙江省2018年中考数学复习第一部分考点研究第四单元三角形第16课时线段、角、相交线与平行线（含近9年中考真题）试题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第一部分考点研究第四单元三角形第16课时线段、角、相交线与平行线（3～12分）浙江近9年中考真题精选命题点1平行线的性质及判定(杭州2考，台州3考，温州2考)1。

(2015金华9题3分)以下四种沿AB折叠的方法中,不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（）第1题图A。

如图①，展开后测得∠1＝∠2B。

如图②,展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4C。

如图③，测得∠1＝∠2D. 如图④,展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA＝OB，OC＝OD2。

（2016宁波8题4分）如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,CD∥AB,∠ACD＝40°，则∠B的度数为（）A. 40°B。

50°C. 60°D. 70°第2题图3。

（2017台州12题5分）如图，已知直线a∥b，∠1＝70°,则∠2＝________．第3题图4. (2015杭州14题4分)如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD。

若∠ECA 为α度，则∠GFB为________度（用关于α的代数式表示)．第4题图5。

备战中考数学(浙教版)巩固复习特殊三角形(含解析)

备战中考数学（浙教版）巩固复习特殊三角形（含解析）一、单选题1.如图，长方形纸片ABCD，AB=a，BC=b，且b＜a＜2b，则∠ADC 的平分线DE折叠纸片，点A落在CD边上的点F处，再沿∠BEF的平分线EG折叠纸片，点B落在EF边上的点H处，则四边形CGHF的周长是（）A.2aB.2bC.2（a﹣b）D.a+b2.下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（）A.斜边相等B.面积相等C.两锐角对应相等 D.两直角边对应相等3.用反证法证明“x＞1”时应假设（）A.x＞﹣1B.x＜1C.x=1D.x≤14.如图所示，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点，已知图中A、B为两格点，请在图中再查找另一格点C，使△ABC成为等腰三角形．则满足条件的C点的个数为（）A.10个B.8个C.6个D.4个5.如图,△ABC中,AB=AC,D是BC中点,下列结论中不正确的是()A.∠B=∠C B.AD⊥BC C.AD平分∠BAC D.AB=2BD6.三角形的三边长a、b、c满足，则此三角形是（）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形7.如图，OE平分∠AOB，EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D，ED与E C的长度关系为（）A.ED＞EC B.ED =ECC.ED＜EC D.无法确定8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，则其斜边上的高为（）A. 6 cmB.8.5 cmC.cmD.cm二、填空题9.已知两线段长分别为6cm，10cm，则当第三条线段长为________cm 时，这三条线段能组成直角三角形．10.请阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 ，试判定△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 ，A∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2），B∴c2=a2+b2 ，C∴△ABC为直角三角形．D问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始显现错误：________（2）错误的缘故是：________（3）本题正确的结论是：________11.甲、乙两同学在某地分手后，甲向北走了30米，乙向东走了40米，现在两人相距________米．12.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，且CD=5，则点D到AB的距离为________13.小明想明白学校旗杆有多高，他发觉旗杆上的绳子垂到地面还余1 m，当他把绳子下端拉开5m后，发觉下端刚好接触地面，则旗杆高度为__ ______米．14.已知+（b﹣5）2=0，那么以a、b为边长的直角三角形的第三边长为________．15.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，D是BC边的中点，连接AD，则∠BAD=________．三、解答题16.用反证法证明“一个三角形中不可能有两个角是钝角”已知：△ABC求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是钝角证明：假设．17.如图所示，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=4，BC=1 3，CD=12．试求四边形ABCD的面积．四、综合题18.如图，△ABC中，AB=AC，BE⊥AC于E，且D、E分别是AB、A C的中点．延长BC至点F，使CF=CE．（1）求∠ABC的度数；（2）求证：BE=FE；（3）若AB=2，求△CEF的面积．19.如图，△ABC中，AB=5，BC=6，边BC上的中线AD=4．（1）AD与BC互相垂直吗？什么缘故？（2）求AC的长．答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】解：由折叠得：DF=AD=b，BE=EH，∴FC=DC﹣DF =AB﹣DF=a﹣b，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠A=90°，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠EDC=45°，∵DC∥AB，∴∠EDC=∠AED=45°，由折叠得：∠AED=∠DEF=45°，∴∠AEF=90°，∴∠ADC=∠A=∠AEF=90°，∴四边形DAEF是矩形，同理四边形CFEB是矩形，四边形CFHG是矩形，∴BE=FC=a﹣b，AD=EF=b，∴EH=BE=a﹣b，∴FH=EF﹣EH=b﹣（a﹣b）=2b﹣a，∴四边形CGHF的周长是：2FC+2FH=2（a﹣b）+2（2b﹣a）=2b；故选B．2.【答案】D【考点】直角三角形全等的判定【解析】【解答】直角三角形全等的判定方法有SSS、SAS、AAS、AS A以及HL判定定理，依照判定方法只有D选项能够进行判定．【分析】直角三角形全等的判定方法除了一般三角形的判定方法外，还有HL,依照方法一一判定即可。

2022年浙江省中考数学复习课件：第16课三角形及全等三角形

∴∠CBA＝∠FED(两直线平行，同位角相等)，
∠CAB＝∠FDE
在△ABC 和△DEF 中，AB＝DE
，∴△ABC≌△DEF(ASA).
∠CBA＝∠FED
【知识清单】
一、三角形定义：由__不__在__同___一__条__直__线__上___的三条线段_首__尾___顺__次__相接所组成的
图形叫做三角形．二、三角形的分类
【解析】(1)∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD＝BD＝DC，∠ABC＝∠ACB
＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，∵AB＝2，∴AD＝BD＝DC＝ 2 ，∵∠AMN＝30°， ∴∠BMD＝60°，∴∠MBD＝30°，∴BM＝2DM，由勾股定理得，BM2－DM2＝BD2，
即(2DM)2－DM2＝(
三、三角形的三边关系三角形的两边之和___大__于____第三边，三角形的两边之差___小__于____第三边．四、三角形的内角和定理及推论 1．定理：三角形三个内角的和等于___1_8_0_°__． 2．推论：(1)三角形的一个外角等于和它___不__相__邻__的__两__个__内__角____的和． (2)直角三角形的两个锐角___互__余____．
3．(2021·重庆 A 卷)如图，点 B，F，C，E 共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个
条件，不能判断△ABC≌△DEF 的是( C)
A．AB＝DE C．AC＝DF
B．∠A＝∠D D．AC∥FD
4．(2021·云南)如图，在四边形 ABCD 中，AD＝BC，AC＝BD，AC 与 BD 相交于点 E.求证：∠DAC＝∠CBD.
2
)2，解得，DM＝
6 3
，∴AM＝AD－DM＝
2

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