高考复习高三数学期末综合练习(六)
高三数学复习第六章数列第四讲数列的综合应用理省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
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数学
第六章·第四讲
题型全突破 22
数列综合应用
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数学
第六章·第四讲
题型全突破 23
数列综合应用
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考情精解读 2
考纲解读
考点 • 全国
命题规律 命题趋势
• 等差、 等比
• 数列综 合
• 应用
• 【15%】
• 全国
• 全国
自主命题区域
• ·四 川,19,12 分
• ·四 川,16,12 分
• ·山 东,19,12 分
• ·天津,11,5
分
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数学
第六章·第四讲
考情精解读 3
数列综合应用
考纲解读 命题规律 命题趋势
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数列综合应用
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考法一 等差、等比数列综合应用
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题型全突破 2
数列综合应用
考法示例1 数列{an}前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1 (n≥1). (1)求{an}通项公式; (2)等差数列{bn}各项为正,其前n项和为Tn,且T3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,求 Tn. 思绪分析 (1)依据已知递推关系求通项公式;(2)依据等比关系列方程求公差,则前n项 和易求. 解析 (1)由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1 (n≥2), 两式相减得an+1-an=2an,则an+1=3an (n≥2). 又a2=2S1+1=3,所以a2=3a1. 故{an}是首项为1,公比为3等比数列,所以an=3n-1. (2)设{bn}公差为d.
2020高考冲刺数学总复习压轴解答：函数、不等式与导数的综合问题(附答案及解析)
专题三 压轴解答题第六关 函数、不等式与导数的综合问题【名师综述】1.本专题在高考中的地位导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点， 所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 2．本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用【考点方向标】方向一 用导数研究函数的性质典例1．（2020·山东高三期末）已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =+-+． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）是否存在实数a ，使函数34()()9g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【举一反三】（2020·云南昆明一中高三期末（理））已知函数2()(1)xx f x e ax e =-+⋅，且()0f x …. （1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一极大值点0x ，且()0316f x <.方向二 导数、函数与不等式典例2．（2020·四川省泸县第二中学高三月考）已知函数()sin f x x ax =-.（1）对于(0,1)x ∈，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当1a =时，令()()sin ln 1h x f x x x =-++，求()h x 的最大值； （3） 求证：1111ln(1)1231n n n+<+++⋅⋅⋅++-*()n N ∈.【举一反三】（2020·黑龙江哈尔滨三中高三月考）已知111123S n =++⋅⋅⋅+，211121S n =++⋅⋅⋅+-，直线1x =，x n =，0y =与曲线1y x=所围成的曲边梯形的面积为S .其中n N ∈，且2n ≥.（1）当0x >时，()ln 11axx ax x <+<+恒成立，求实数a 的值； （2）请指出1S ，S ，2S 的大小，并且证明；（3）求证：131112lnln 3132313n i n n i i i =+⎛⎫<+-< ⎪+--⎝⎭∑.方向三 恒成立及求参数范围问题典例3．（2020·天津高三期末）已知函数()2ln h x ax x =-+. （1）当1a =时，求()h x 在()()2,2h 处的切线方程； （2）令()()22a f x x h x =+，已知函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1212x x >，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若存在012x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()()()()20ln 1112ln 2f x a m a a ++>--++对任意a （取值范围内的值）恒成立，求实数m 的取值范围.【举一反三】（2020·江苏高三专题练习）已知函数()(32)xf x e x =-，()(2)g x a x =-，其中,a x R ∈. （1）求过点(2,0)和函数()y f x =的图像相切的直线方程； （2）若对任意x ∈R ，有()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）若存在唯一的整数0x ，使得00()()f x g x <，求a 的取值范围.【压轴选编】1．（2020·山西高三开学考试）已知函数()()()222ln ,2ln f x x ax a x a R g x x x x =--+∈=-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）求证：当1a =时，对于任意()0,x ∈+∞，都有()()f x g x <.2．（2020·河南鹤壁高中高三月考）已知函数2()ln (0,)a xf x x a a R x a=++≠∈ （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）设1()2a x g x x a a=+-+，当0a >时，证明：()()f x g x ≥.3．（2020·四川石室中学高三月考）已知函数()22ln f x x x =-+．（1）求函数()f x 的最大值； （2）若函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点． ①求实数a 的值；①若对于121,,3x x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦（e 为自然对数的底数），不等式()()1211f xg x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围．4．（2020·江西高三）已知函数()()ln f x x x a b =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线为210x y --=.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的()1,x ∈+∞，()()1f x m x ≥-恒成立，求正整数m 的最大值.5．（2020·江西高三）已知函数()e 2xf x m x m =--.（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）若()0f x >在(0,)+∞上恒成立，求m 的取值范围．6．（2020·江西高三）已知函数()()2xf x x e =-.（1）求()f x 的单调区间；（2）证明：对任意的()0,x ∈+∞，不等式()2ln 6xf x x x >-恒成立.7．（2020·四川高三月考）已知函数21()(32)()2xf x m e x m R =--∈. （1）若0x =是函数()f x 的一个极值点，试讨论()ln ()()h x b x f x b R =+∈的单调性； （2）若()f x 在R 上有且仅有一个零点，求m 的取值范围.8．（2020·山西高三）已知函数()2ln 21f x a x x =-+（其中a R ∈）. （1）讨论函数()f x 的极值；（2）对任意0x >，2()2f x a ≤-恒成立，求a 的取值范围.9．（2020·北京高三期末）已知函数()2xf x x e =（1）求()f x 的单调区间；（2）过点()1,0P 存在几条直线与曲线()y f x =相切，并说明理由； （3）若()()1f x k x ≥-对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围.10．（2020·全国高三专题练习）已知函数()()33114ln 10f f x ax x x '=--的图象在点()()1,1f 处的切线方程为100++=x y b . （1）求a ，b 的值； （2）若()13f x m >对()0,x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围.11．（2020·天津静海一中高三月考）已知函数()ln 1()f x ax x a R =--∈． （1）讨论()f x 的单调性并指出相应单调区间； （2）若21())1(2g x x x x f ---=，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32a ≥，且()()12g x g x k -≥恒成立，求实数k 的取值范围．12.（2020·山东高三期末）已知函数()()2sin ln 12x f x x x =+-+.（1）证明：()0f x ≥； （2）数列{}n a 满足：1102a <<，()1n n a f a +=（n *∈N ）. （①）证明：1102a <<（n *∈N ）； （①）证明：n *∀∈N ，1n n a a +<.13．（2020·四川三台中学实验学校高三开学考试）已知函数()ln f x x x a =+，()ln ,g x x ax a =-∈R . （1）求函数()f x 的极值； （2）若10a e<<，其中e 为自然对数的底数，求证：函数()g x 有2个不同的零点； （3）若对任意的1x >，()()0f x g x +>恒成立，求实数a 的最大值.14．（2020·河北高三期末）已知函数()f x 满足:①定义为R ；①2()2()9xx f x f x e e+-=+-. （1）求()f x 的解析式；（2）若12,[1,1]x x ∀∈-；均有()()21122(2)61x a x x f x -+-+-…成立，求a 的取值范围；（3）设2(),(0)()21,(0)f x x g x x x x >⎧=⎨--+≤⎩，试求方程[()]10g g x -=的解.15．（2020·湖南高三月考）已知函数2()()af x x ax a R x=+-∈. （1）当1a =且1x >-时，求函数()f x 的单调区间；（2）当21e a e ≥+时，若函数2()()ln g x f x x x =--的两个极值点分别为1x 、2x ，证明12240()()1g x g x e <-<+.16．（2020·江西高三期末）已知函数2()x f x e ax x =--（e 为自然对数的底数）在点(1,(1))f 的切线方程为(3)y e x b =-+. （1）求实数,a b 的值；（2）若关于x 的不等式4()5f x m >+对于任意(0,)x ∈+∞恒成立，求整数m 的最大值.17．（2020·江西高三期末）已知函数()()()2,xf x x m e nxm n R =--∈在1x =处的切线方程为y ex e =-.（1）求,m n 的值；（2）当0x >时，()3f x ax -…恒成立，求整数a 的最大值.18．（2020·河南高三期末）已知函数()()ln 1mxf x x x m=+-+，()1,0x ∈-. （1）若1m =，判断函数()f x 的单调性并说明理由； （2）若2m ≤-，求证：关于x 的不等式()()()21xx m f x e x-+⋅<-在()1,0-上恒成立.19．（2020·江西高三月考）已知函数32()32f x x x x =-+，()g x tx t R =∈，，()xe x xφ=. （1）求函数()()y f x x φ=⋅的单调增区间；（2）令()()()h x f x g x =-，且函数()h x 有三个彼此不相等的零点0m n ，，，其中m n <. ①若12m n =，求函数()h x 在x m =处的切线方程； ①若对[]x m n ∀∈，，()16h x t ≤-恒成立，求实数M 的取值范围.专题三 压轴解答题第六关 函数、不等式与导数的综合问题【名师综述】1.本专题在高考中的地位导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点， 所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 2．本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用【考点方向标】方向一 用导数研究函数的性质典例1．（2020·山东高三期末）已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =+-+． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）是否存在实数a ，使函数34()()9g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()f x 的单调递增区间为(]0,1和[)2,+∞，单调递减区间为()1,2（2）存在,724a ≥ 【解析】（1）当1a =时，21()2ln 3(0)2f x x x x x =+->． 所以2()3f x x x '=+-=232(2)(1)x x x x x x-+--=令()0f x '≥，则01x <≤或2x ≥，令()0f x '<，则12x <<， 所以()f x 的单调递增区间为(]0,1和[)2,+∞，单调递减区间为()1,2 （2）存在724a ≥，满足题设，因为函数34()()9g x f x ax x =++=23142ln 229x a x x x +-+所以224()23a g x x x x '=+-+，要使函数()g x 在0,∞（+）上单调递增，224()20,(0,)3a g x x x x x '=+-≥+∈+∞，即3243660x x x a +-+≥，(0,)x ∈+∞⇔324366x x xa +-≥-，(0,)x ∈+∞ 令32436()6x x x h x +-=，(0,)x ∈+∞，则2()21(21)(1)h x x x x x '=+-=-+，所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以12x =是()h x 的极小值点，也是最小值点，且17224h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴324366x x x+--在(0,)+∞上的最大值为724．所以存在724a ≥，满足题设．【举一反三】（2020·云南昆明一中高三期末（理））已知函数2()(1)xx f x e ax e =-+⋅，且()0f x …. （1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一极大值点0x ，且()0316f x <. 【答案】（1）1a =；（2）证明见解析. 【解析】（1）因为()()ee 10xxf x ax =--≥,且e0x>,所以e 10x ax --≥,构造函数()e 1xu x ax =--,则()'e xu x a =-,又()00u =,若0a ≤,则()'0u x >,则()u x 在R 上单调递增,则当0x <时,()0u x <矛盾,舍去；若01a <<,则ln 0a <,则当ln 0a x <<时,'()0u x >,则()u x 在(ln ,0)a 上单调递增,则()()ln 00u a u <=矛盾,舍去；若1a >,则ln 0a >,则当0ln x a <<时,'()0u x <,则()u x 在(0,ln )a 上单调递减,则()()ln 00u a u <=矛盾,舍去；若1a =,则当0x <时,'()0u x <,当0x >时,'()0u x >, 则()u x 在(,0)-∞上单调递减,在(0,)+∞上单调递增, 故()()00u x u ≥=,则()()e 0xf x u x =⋅≥,满足题意；综上所述,1a =.（2）证明:由（1）可知()()2e 1e xxf x x =-+⋅,则()()'e2e 2xxf x x =--,构造函数()2e 2xg x x =--,则()'2e 1xg x =-,又()'g x 在R 上单调递增,且()'ln20g -=,故当ln2x <-时,)'(0g x <,当ln 2x >-时,'()0g x >, 则()g x 在(,ln 2)-∞-上单调递减,在(ln 2,)-+∞上单调递增,又()00g =,()2220e g -=>,又33233332223214e 16e 022e 2e 8e 2e g --⎛⎫-=-==< ⎪⎝⎭+, 结合零点存在性定理知,在区间3(2,)2--存在唯一实数0x ,使得()00g x =, 当0x x <时,()'0f x >,当00x x <<时,()'0f x <,当0x >时,()'0f x >, 故()f x 在()0,x -∞单调递增,在()0,0x 单调递减,在()0,∞+单调递增,故()f x 存在唯一极大值点0x ,因为()0002e 20xg x x =--=,所以00e 12xx =+, 故()()()()022200000011e1e 11112244x x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=+-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为0322x -<<-,所以()201133144216f x ⎛⎫<--+<⎪⎝⎭. 方向二 导数、函数与不等式典例2．（2020·四川省泸县第二中学高三月考）已知函数()sin f x x ax =-. （1）对于(0,1)x ∈，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当1a =时，令()()sin ln 1h x f x x x =-++，求()h x 的最大值；（3） 求证：1111ln(1)1231n n n+<+++⋅⋅⋅++-*()n N ∈. 【答案】（1）sin1a ≤.（2）max ()(1)0h x h ==.（3）见解析.【解析】（1）由()0f x >，得：sin 0x ax ->，因为01x <<，所以sin xa x<， 令sin ()x g x x=，()2cos sin 'x x xg x x -=， 再令()cos sin m x x x x =-，()'cos sin cos sin 0m x x x x x x x =--=-<， 所以()m x 在()0,1上单调递减， 所以()()0m x m <，所以()'0g x <，则()g x 在()0,1上单调递减， 所以()(1)sin1g x g >=，所以sin1a ≤. （2）当1a =时，()sin f x x x =-， ①()ln 1h x x x =-+，()11'1x h x x x-=-=， 由()'0h x =，得：1x =，当()0,1x ∈时，()'0h x >，()h x 在()0,1上单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()'0h x <，()h x 在()1,+∞上单调递减； ①()max (1)0h x h ==.（3）由（2）可知，当()1,x ∈+∞时，()0h x <， 即ln 1x x <-， 令1n x n +=，则11ln1n n n n ++<-，即()1ln 1ln n n n+-<， 分别令1,2,3,,n n =L 得，()11ln 2ln11,ln 3ln 2,,ln 1ln 2n n n-<-<+-<L ，将上述n 个式子相加得：()()*111ln 1121n n N n n+<++++∈-L . 【举一反三】（2020·黑龙江哈尔滨三中高三月考）已知111123S n =++⋅⋅⋅+，211121S n =++⋅⋅⋅+-，直线1x =，x n =，0y =与曲线1y x=所围成的曲边梯形的面积为S .其中n N ∈，且2n ≥.（1）当0x >时，()ln 11axx ax x <+<+恒成立，求实数a 的值； （2）请指出1S ，S ，2S 的大小，并且证明；（3）求证：131112lnln 3132313n i n n i i i =+⎛⎫<+-< ⎪+--⎝⎭∑. 【答案】（1）1；（2）12S S S <<，证明见解析；（3）见解析 【解析】（1）由已知得0a ≤时，不合题意，所以0a >.()ln 11axx x <++恒成立，即()()()1ln 10ax x x x <++>恒成立. 令()()()1ln 1m x x x ax =++-，()()'ln 11m x x a =++-. 当1a ≤时，()m x 在()0,∞+上为增函数，此时()0m x >成立.当1a >时，()m x 在()10,1a e --上为减函数，不合题意，所以1a ≤.令()()ln 1n x ax x x =-+，()1'1n x a x =-+，当1a ≥时，()n x 在()0,∞+上为增函数，此时()0n x >，()ln 1x ax +<恒成立.当01a <<时，()n x 在10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数，不合题意，所以1a ≥.综上得1a =. （2）由（1）知()()ln 101x x x x x <+<>+.令1x i =，得111ln 11i i i⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭， 从而11111111ln 112321n i n i n -=⎛⎫+++<+<+++ ⎪-⎝⎭∑L L ，又因为11ln nS dx n x==⎰，则12S S S <<. （3）由已知111232313ni i i i =⎛⎫+- ⎪--⎝⎭∑1111111123323n n ⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭L 111123n n n =++⋅⋅⋅+++，因为111ln 11i i i⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，所以 111111ln 1ln 1ln 1123123n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>++++++ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 31ln1n n +=+， 111123ln ln ln 123131n n n n n n n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+++ ⎪ ⎪ ⎪+++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ln 3=.从而131112lnln 3132313n i n n i i i =+⎛⎫<+-< ⎪+--⎝⎭∑. 方向三 恒成立及求参数范围问题典例3．（2020·天津高三期末）已知函数()2ln h x ax x =-+. （1）当1a =时，求()h x 在()()2,2h 处的切线方程； （2）令()()22a f x x h x =+，已知函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1212x x >，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若存在0122x ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，使不等式()()()()20ln 1112ln 2f x a m a a ++>--++对任意a （取值范围内的值）恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）322ln 220x y +-+=（2）()1,2（3）1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】()1当1a =时，()()12ln ,'2h x x x h x x=-+=-+2x =时，()()3'2,24ln 22h h =-=-+()h x ∴在()()2,2h 处的切线方程为()34ln 222y x +-=--，化简得：322ln 220x y +-+= ()2对函数求导可得，()()221'0ax ax f x x x-+=>，令()'0f x =，可得2210ax ax -+=20440112a a a a ⎧⎪≠⎪∴->⎨⎪⎪>⎩，解得a 的取值范围为()1,2 ()3由2210ax ax -+=，解得1211x x ==+而()f x 在()10,x 上递增，在()12,x x 上递减，在()2,x +∞上递增12a <<Q211x ∴=+<()f x ∴在122⎡⎤+⎢⎥⎣⎦单调递增 ∴在1,22⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上，()()max 22ln 2f x f a ==-+012x ⎡⎤∴∃∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()()()()20ln 1112ln 2f x a m a a ++>--++对a M ∀∈恒成立等价于不等式2(2ln 2ln 1112))()n (l 2a a m a a -+++>--++恒成立 即不等式2()ln 1ln 210a ma a m +--+-+>对任意的()12a a <<恒成立令()()2ln 1ln 21g a a ma a m =+--+-+，则()()121210,'1ma a m g g a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭==+ ①当0m ≥时，()()'0,g a g a <在()1,2上递减()()10g a g <=不合题意①当0m <时，()1212'1ma a m g a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=+ 12a <<Q若1112m ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即104m -<<时，则()g a 在()1,2上先递减 ()10g =Q12a ∴<<时，()0g a >不能恒成立若111,2m ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭即14m ≤-，则()g a 在()1,2上单调递增 ()()10g a g ∴>=恒成立m ∴的取值范围为1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【举一反三】（2020·江苏高三专题练习）已知函数()(32)xf x e x =-，()(2)g x a x =-，其中,a x R ∈. （1）求过点(2,0)和函数()y f x =的图像相切的直线方程； （2）若对任意x ∈R ，有()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）若存在唯一的整数0x ，使得00()()f x g x <，求a 的取值范围. 【答案】（1）2y x =-，8833918y e x e =-.（2）8319a e ≤≤.（3）345[,1)(7,5]3a e e e∈⋃. 【解析】（1）设切点为()00,x y ，()()'31xf x e x =+，则切线斜率为()0031x e x +，所以切线方程为()()000031x y y e x x x -=+-，因为切线过()2,0，所以()()()000032312x x ex e x x --=+-，化简得200380x x -=，解得080,3x =. 当00x =时，切线方程为2y x =-， 当083x =时，切线方程为8833918y e x e =-. （2）由题意，对任意x R ∈有()()322xe x a x -≥-恒成立，①当(),2x ∈-∞时，()()323222x x maxe x e x a a x x ⎡⎤--≥⇒≥⎢⎥--⎣⎦，令()()322x e x F x x -=-，则()()()2238'2x e x xF x x -=-，令()'0F x =得0x =，()()max 01F x F ==，故此时1a ≥.①当2x =时，恒成立，故此时a R ∈. ①当()2,x ∈+∞时，()()min323222x x e x e x a a x x ⎡⎤--≤⇒≤⎢⎥--⎣⎦，令()8'03F x x =⇒=，()83min 893F x F e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故此时839a e ≤.综上：8319a e ≤≤.（3）因为()()f x g x <，即()()322xex a x -<-，由（2）知()83,19,a e ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，令()()322x e x F x x -=-，则当(),2x ∈-∞，存在唯一的整数0x 使得()()00f x g x <， 等价于()322x e x a x -<-存在唯一的整数0x 成立，因为()01F =最大，()513F e -=，()11F e =-，所以当53a e<时，至少有两个整数成立， 所以5,13a e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 当()2,x ∈+∞，存在唯一的整数0x 使得()()00f x g x <， 等价于()322x e x a x ->-存在唯一的整数0x 成立，因为83893F e ⎛⎫= ⎪⎝⎭最小，且()337F e =，()445F e =，所以当45a e >时，至少有两个整数成立，所以当37a e ≤时，没有整数成立，所有(347,5a e e ⎤∈⎦.综上：(345,17,53a e e e ⎡⎫⎤∈⋃⎪⎦⎢⎣⎭. 【压轴选编】1．（2020·山西高三开学考试）已知函数()()()222ln ,2ln f x x ax a x a R g x x x x =--+∈=-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）求证：当1a =时，对于任意()0,x ∈+∞，都有()()f x g x <. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）由题意()f x 的定义域为()0,∞+，且()()()222222x a x a a x ax a f x x a x x x--+--+'=--+==， 当0a =时，()20f x x '=-<； 当0a >时，2a x >时，()0f x '<；02ax <<时，()0f x '>； 当0a <时，x a >-时，()0f x '<；0x a <<-时，()0f x '>；综上所述，当0a =时，()f x 在()0,∞+上为减函数； 当0a >时，()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数； 当0a <时，()f x 在()0,a -上为增函数，在(),a -+∞上为减函数. （2）要证()()f x g x <，即证()21ln 0x x x -+>，当12x =时，不等式显然成立； 当12x >时，即证ln 021x x x +>-；当102x <<时，即证ln 021xx x +<-； 令()ln 21x F x x x =+-，则()()()()()22411112121x x F x x x x x ---'=+=--， 当12x >时，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上()0F x '<，()F x 为减函数；在()1,+∞上()0F x '>，()F x 为增函数，①()()min 110F x F ==>，①ln 021xx x +>-.当102x <<时，在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0F x '>，()F x 为增函数；在11,42⎛⎫⎪⎝⎭上()0F x '<，()F x 为减函数， ①()max 111ln 0442F x F ⎛⎫==-<⎪⎝⎭，①ln 021x x x +<-， 综上所述，当0x >时，()()f x g x <成立.2．（2020·河南鹤壁高中高三月考）已知函数2()ln (0,)a xf x x a a R x a=++≠∈ （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）设1()2a x g x x a a=+-+，当0a >时，证明：()()f x g x ≥. 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析【解析】（1）22121(2)()()a x a x a f x x x a ax+-'=-+= 当0a >时，()0f x x a '>⇒>，()00f x x a '<⇒<<当0a <时，()002f x x a '>⇒<<-，()02f x x a '<⇒>- ①0a >时，()f x 在(0,)a 上递减，在(,)a +∞递增 0a <时，()f x 在(0,2)a -上递增，在(2,)a -+∞递减（2）设1()()()ln 2a F x f x g x x x a=-=++- 则221()(0)a x aF x x x x x-'=-=> Q 0a >，(0,)x a ∴∈时，()0F x '<，()F x 递减(,)x a ∈+∞，()0,F x '>()F x 递增，1()()ln 1F x F a a a∴≥=+-设1()ln 1h x x x =+-，(0)x >,则22111()(0)x h x x x x x-'=-=>1x >时，()0,h x '>时，()h x 递增， 01x <<时，()0h x '<，∴()h x 递减()(1)0h x h ∴≥=，()()0F a h a ∴=≥()0F x ∴≥，即()()f x g x ≥3．（2020·四川石室中学高三月考）已知函数()22ln f x x x =-+．（1）求函数()f x 的最大值； （2）若函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点． ①求实数a 的值；①若对于121,,3x x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦（e 为自然对数的底数），不等式()()1211f xg x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（①）()11f =-；（①）（①）1； （①）()34 ,2ln31,3⎛⎤-∞-+⋃+∞ ⎥⎝⎦． 【解析】（1）22(1)(1)()2(0)x x f x x x x x+-'=-+=->， 由()0{0f x x >>'得01x <<，由()0{0f x x <>'得1x >，①()f x 在(0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数， ①函数()f x 的最大值为(1)1f =-； （2）①()a g x x x=+，①2()1a g x x =-'，（①）由（1）知，1x =是函数()f x 的极值点，又①函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点， ①1x =是函数()g x 的极值点，①(1)10g a =-='，解得1a =， 经检验，当1a =时，函数()g x 取到极小值，符合题意；（①）①211()2f e e =--，(1)1f =-，(3)92ln 3f =-+， ①2192ln 321e -+<--<-， 即1(3)()(1)f f f e <<，①1[,3]x e∀∈，min max ()(3)92ln 3,()(1)1f x f f x f ==-+==-，由（①）知1()g x x x =+，①21()1g x x =-'，当1[,1)x e∈时，()0g x '<，当(1,3]x ∈时，()0g x '>，故()g x 在1[,1)e 为减函数，在(1,3]上为增函数，①11110(),(1)2,(3)333g e g g e e =+==+=，而11023e e <+<，①1(1)()(3)g g g e <<，①1[,3]x e ∀∈，min max 10()(1)2,()(3)3g x g g x g ====，①当10k ->，即1k >时，对于121,[,3]x x e ∀∈，不等式12()()11f xg x k -≤-恒成立12max 1[()()]k f x g x ⇔-≥-12max [()()]1k f x g x ⇔≥-+，①12()()(1)(1)123f x g x f g -≤-=--=-，①312k ≥-+=-，又①1k >，①1k >， ①当10k -<，即1k <时，对于121,[,]x x e e ∀∈，不等式12()()11f xg x k -≤-，12min 1[()()]k f x g x ⇔-≤-12min [()()]1k f x g x ⇔≤-+，①121037()()(3)(3)92ln 32ln 333f x g x f g -≥-=-+-=-+，①342ln 33k ≤-+，又①1k <， ①342ln 33k ≤-+．综上，所求的实数k 的取值范围为34(,2ln 3](1,)3-∞-+⋃+∞． 4．（2020·江西高三）已知函数()()ln f x x x a b =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线为210x y --=.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的()1,x ∈+∞，()()1f x m x ≥-恒成立，求正整数m 的最大值. 【答案】（1）1a =，0b =；（2）3【解析】（1）由()()ln f x x x a b =++得：()ln 1f x x a '=++ 由切线方程可知：()1211f =-=()112f a '∴=+=，()11f a b =+=，解得：1a =，0b =（2）由（1）知()()ln 1f x x x =+则()1,x ∈+∞时，()()1f x m x ≥-恒成立等价于()1,x ∈+∞时，()ln 11x x m x +≤-恒成立令()()ln 11x x g x x +=-，1x >，则()()2ln 21x x g x x --'=-. 令()ln 2hx x x =--，则()111x h x x x-'=-=∴当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，则()h x 单调递增()31ln30h =-<Q ，()422ln20h =-> ()03,4x ∴∃∈，使得()00h x =当()01,x x ∈时，()0g x '<；()0,x x ∈+∞时，()0g x '>()()()000min0ln 11x x g x g x x +∴==-()000ln 20h x x x =--=Q 00ln 2x x ∴=- ()()()()0000min 0213,41x x g x g x x x -+∴===∈-()03,4m x ∴≤∈，即正整数m 的最大值为35．（2020·江西高三）已知函数()e 2xf x m x m =--.（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）若()0f x >在(0,)+∞上恒成立，求m 的取值范围． 【答案】（1）y x =-；（2）[2,)+∞【解析】（1）因为1m =,所以()e 21xf x x =--,所以()e 2xf x '=-,则(0)0,(0)1f f '==-,故曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-.（2）因为()e 2x f x m x m =--,所以()e 2xf x m '=-,①当2m ≥时,()0f x '>在(0,)+∞上恒成立,则()f x 在(0,)+∞上单调递增,从而()(0)0f x f >=成立,故2m ≥符合题意; ①当02m <<时,令()0f x '<,解得20lnx m <<,即()f x 在20,ln m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,则2ln(0)0f f m ⎛⎫<= ⎪⎝⎭,故02m <<不符合题意; ①当0m ≤时,0()e 2x f x m '-<=在(0,)+∞上恒成立,即()f x 在(0,)+∞上单调递减,则()(0)0f x f <=,故0m ≤不符合题意.综上,m 的取值范围为[2,)+∞. 6．（2020·江西高三）已知函数()()2x f x x e =-.（1）求()f x 的单调区间；（2）证明：对任意的()0,x ∈+∞，不等式()2ln 6xf x x x >-恒成立.【答案】（1）单调递增区间为()1,+?，单调递减区间为(),1-∞（2）证明见解析【解析】（1）因为()()2x f x x e =-，所以()()1x f x x e '=-，令()0f x ¢>，解得1x >；令()0f x ¢<，解得1x <.故()f x 的单调递增区间为()1,+?，单调递减区间为(),1-∞.（2）要证()2ln 6xf x x x >-，只需证()ln 32x f x x>-.由（1）可知()()min 1f x f e ==-.令()ln 3(0)2x h x x x =->，则()21ln 2xh x x -'=， 令()21ln 0ln 102xh x x x e x-'=>⇒<⇒<<， 所以当()0,x e ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当(),x e ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减， 则()()max 132h x h e e==-. 因为 2.71828e =⋅⋅⋅，所以 2.75e ->-，所以1133 2.7524e -<-=-， 从而132e e->-，则当0x >时，()()min max f x h x >.故当0x >时，()()f x h x >恒成立，即对任意的()0,x ∈+∞，()2ln 6xf x x x >-.7．（2020·四川高三月考）已知函数21()(32)()2xf x m e x m R =--∈. （1）若0x =是函数()f x 的一个极值点，试讨论()ln ()()h x b x f x b R =+∈的单调性； （2）若()f x 在R 上有且仅有一个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）当0b …时，()h x 在(0,)+∞上单调递减；当0b >时，()h x 在上单调递增，在)+∞上单调递减；（2）2222,333e ⎧⎫⎛⎫++∞⋃⎨⎬⎪⎩⎭⎝⎭. 【解析】（1）()(32)xf x m e x '=--，因为0x =是函数()f x 的一个极值点，则(0)320f m '=-=，所以23m =，则21()ln (0)2h x b x x x =->，当2()b b x h x x x x-'=-=，当0b …时，()0h x '…恒成立，()h x 在(0,)+∞上单调递减，当0b >时，2()000h x b x x '>⇒->⇒<<所以()h x 在上单调递增，在)+∞上单调递减. 综上所述：当0b …时，()h x 在(0,)+∞上单调递减；当0b >时，()h x 在上单调递增，在)+∞上单调递减. （2）()f x 在R 上有且仅有一个零点，即方程2322x x m e -=有唯一的解，令2()2xx g x e=， 可得(2)()0,()2xx x g x g x e -'>=， 由(2)()02xx x g x e -'==， 得0x =或2x =，（1）当0x …时，()0g x '…，所以()g x 在(,0]-∞上单调递减，所以()(0)0g x g =…，所以()g x 的取值范围为[0,)+∞. （2）当02x <<时，()0g x '>，所以()g x 在(0,2)上单调递增， 所以0()(2)g x g <<，即220()g x e<<， 故()g x 的取值范围为220,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （3）当2x …时，()0g x '…，所以()g x 在[2,)+∞上单调递减， 所以(0)()(2)g g x g <…，即220()g x e <…， 即()g x 的取值范围为220,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦. 所以，当320m -=或2232m e ->， 即23m =或22233m e >+时，()f x 在R 上有且只有一个零点，故m 的取值范围为2222,333e ⎧⎫⎛⎫++∞⋃⎨⎬⎪⎩⎭⎝⎭. 8．（2020·山西高三）已知函数()2ln 21f x a x x =-+（其中a R ∈）. （1）讨论函数()f x 的极值；（2）对任意0x >，2()2f x a ≤-恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）[1,)+∞ 【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，2'()2af x x=-， ①当0a ≤时，'()0f x <，所以()f x 在(0,)+∞上是减函数，()f x 无极值. ①当0a >时，令'()0f x =，得x a =，在(0,)a 上，'()0f x >，()f x 是增函数；在(,)a +∞上，'()0f x <，()f x 是减函数. 所以()f x 有极大值()2ln 21f a a a a =-+，无极小值.（2）由（1）知，①当0a ≤时，()f x 是减函数，令2a x e =，则0(0,1]x ∈，222220()(2)21(2)320a a f x a a e a e --=-+--=->，不符合题意，①当0a >时，()f x 的最大值为()2ln 21f a a a a =-+， 要使得对任意0x >，2()(1)f x a ≤-恒成立， 即要使不等式22ln 212a a a a -+≤-成立， 则22ln 230a a a a --+≤有解.令2()2ln 23(0)g a a a a a a =--+>，所以'()2ln 2g a a a =-令()'()2ln 2h a g a a a ==-，由22'()0ah a a-==，得1a =. 在(0,1)上，'()0h a >，则()'()h a g a =在(0,1)上是增函数； 在(1,)+∞上，'()0h a <，则()'()h a g a =在(1,)+∞上是减函数. 所以max ()(1)20h a h ==-<，即'()0g a <， 故()g a 在(0,)+∞上是减函数，又(1)0g =，要使()0g a ≤成立，则1a ≥，即a 的取值范围为[1,)+∞. 9．（2020·北京高三期末）已知函数()2xf x x e =（1）求()f x 的单调区间；（2）过点()1,0P 存在几条直线与曲线()y f x =相切，并说明理由； （3）若()()1f x k x ≥-对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）增区间为(),2-∞-，()0,∞+，单调减区间为()2,0-；（2）三条切线，理由见解析；（3）0,2⎡+⎣ 【解析】（1）()()()222xxf x x x e x x e '==++，()0f x '>得，2x <-或0x >；()0f x '<得，20x -<<；所以()f x 的单调增区间为(),2-∞-，()0,∞+；单调减区间为()2,0-； （2）过()1,0P 点可做()f x 的三条切线；理由如下：设切点坐标为()0200,x x x e，所以切线斜率()()00002xx x k x e f '=+= 所以过切点的切线方程为：()()002200002x x x e x x e x y x -=+-，切线过()1,0P 点，代入得()()0022*******x x x e x x e x -=+-，化简得(0000x x x x e=，方程有三个解，00x =，0x =0x 所以过()1,0P 点可做()f x 的三条切线. （3）设()()21xg x x e k x -=-，①0k =时，因为20x ≥，0x e >，所以显然20x x e ≥对任意x ∈R 恒成立； ①k 0<时，若0x =，则()()0001f k k =>-=-不成立， 所以k 0<不合题意.①0k >时，1x ≤时，()()210xg x x e k x -=->显然成立，只需考虑1x >时情况；转化为21xx e k x ≥-对任意()1,x ∈+∞恒成立令()21xx e h x x =-（1x >），则()min k h x ≤，()()()(()2222(2)111xx xx x x ex x e x x e h x x x +--'==--，当1x <<时，()0h x '<，()h x 单调减；当x >()0h x '>，()h x 单调增；所以()(min 2h x h==+=所以(2k ≤+综上所述，k 的取值范围(0,2+⎡⎣. 10．（2020·全国高三专题练习）已知函数()()33114ln 10f f x ax x x '=--的图象在点()()1,1f 处的切线方程为100++=x y b . （1）求a ，b 的值；（2）若()13f x m >对()0,x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）13a =,403=-b ；（2）2642ln 2<-m【解析】（1）()()23114310f f x ax x''=--, 因为()f x 在()()1,1f 处的切线方程为100++=x y b ,即10y x b =--,此时切线斜率10k =-,则()3(1)13141010f f a k ''=--==-,解得13a =,所以()()333101114ln 314ln 3103f x x x x x x x ⨯-=--=+-, 所以()31110113114ln13333f =⨯+⨯-=+=,则10103b =--,解得403=-b（2）由（1）知()31314ln 3f x x x x =+-, ()32143143x x f x x x x+-'=+-=, 设函数()()33140g x xx x =+->,则()2330g x x '=+>,所以()g x 在()0,∞+为增函数,因为()20g =,令()0g x <,得02x <<；令()0g x >,得2x >, 所以当02x <<时,()0f x '<；当2x >时,()0f x '>, 所以()()3min 126223214ln 214ln 233f x f ==⨯+⨯-=-, 从而12614ln 233<-m ,即2642ln 2<-m 11．（2020·天津静海一中高三月考）已知函数()ln 1()f x ax x a R =--∈．（1）讨论()f x 的单调性并指出相应单调区间； （2）若21())1(2g x x x x f ---=，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32a ≥，且()()12g x g x k -≥恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）15,2ln 28⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】（1）由()ln 1f x ax x =--，(0,)x ∈+∞， 则11()ax f x a x x'-=-=， 当0a ≤时，则()0f x '≤，故()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，令1()0f x x a'=⇒=， 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．综上所述：当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． （2）①21()ln (1)2g x x x a x =+-+， 21(1)1()(1)x a x g x x a x x-++'=+-+=, 由()0g x '=得2(1)10x a x -++=，①121x x a +=+，121=x x ，①211x x =①32a ≥①111115210x x x x ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩解得1102x <≤.①()()()()222112121211221111ln(1)2ln 22x g x g x x x a x x x x x x ⎛⎫-=+--+-=-- ⎪⎝⎭. 设22111()2ln 022h x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--<≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()2233121()0x h x x x x x '--=--=<,①()h x 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减；当112x =时，min 115()2ln 228h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. ①152ln 28k ≤-，即所求k 的取值范围为15,2ln 28⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.12.（2020·山东高三期末）已知函数()()2sin ln 12x f x x x =+-+.（1）证明：()0f x ≥； （2）数列{}n a 满足：1102a <<，()1n n a f a +=（n *∈N ）. （①）证明：1102a <<（n *∈N ）； （①）证明：n *∀∈N ，1n n a a +<.【答案】（1）证明见解析（2）（i ）证明见解析（ii ）证明见解析 【解析】（1）由题意知，()1cos 1f x x x x'=+-+，()1,x ∈-+∞， 当()1,0x ∈-时，()1101f x x x x'<+-<<+，所以()f x 在区间()1,0-上单调递减， 当()0,x ∈+∞时，()()g x f x '=，因为()()()22111sin 011g x x x x '=+->>++所以()g x 在区间()0,∞+上单调递增，因此()()00g x g >=，故当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在区间()0,∞+上单调递增， 因此当()1,x ∈-+∞时，()()00f x f ≥=，所以()0f x ≥ （2）（①）()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()()00f x f >=，因为881288311111C C 147122224e ⎛⎫⎛⎫=+=+++>++=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ， 故83318ln ln ln 022e ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，所以()1113131131sin ln sin ln 18ln 22826822822f x f π⎛⎫⎛⎫<=+-<+-=+-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()01f x <<，又因为110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()()()()()()12110,2n n n a f a ff a f f f a --⎛⎫====∈ ⎪⎝⎭LL L（①）函数()()h x f x x =-（102x <<），则()()11cos 11h x f x x x x''=-=+--+， 令()()x h x ϕ='，则()()0x g x ϕ''=>，所以()x ϕ在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；因此()()111217cos 1cos 0222326h x x ϕϕ⎛⎫'=≤=+--=-<⎪⎝⎭， 所以()h x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()()00h x h <=， 因此()()10n n n n n a a f a a g a +-=-=<， 所以x *∀∈N ，1n n a a +<13．（2020·四川三台中学实验学校高三开学考试）已知函数()ln f x x x a =+，()ln ,g x x ax a =-∈R . （1）求函数()f x 的极值； （2）若10a e<<，其中e 为自然对数的底数，求证：函数()g x 有2个不同的零点； （3）若对任意的1x >，()()0f x g x +>恒成立，求实数a 的最大值. 【答案】（1）极小值为1a e-+；无极大值（2）证明过程见解析；（3）2. 【解析】（1）函数()f x 的定义域为0x >，因为()ln f x x x a =+，所以()ln 1f x x =+‘，当1x e >时，()0f x >‘，所以函数()f x 单调递增；当10x e<<时，()0f x <‘，所以函数()f x 单调递减，因此1e是函数()f x 的极小值，故函数()f x 的极值为极小值，值为11()f a e e =-+；无极大值（2）函数()g x 的定义域为0x >，因为()ln ,g x x ax =-所以'1()g x a x=-，因为10a e <<，所以当1x a >时，'()0g x <，因此函数()g x 是递减函数，当10x a<<时，'()0g x >，。
高考数学一轮复习 第六章 平面向量与复数 第1节 平面向量的概念及线性运算练习-人教版高三全册数学试
第1节 平面向量的概念及线性运算[A 级 基础巩固]1．(多选题)已知下列各式：①AB →＋BC →＋CA →；②AB →＋MB →＋BO →＋OM →；③OA →＋OB →＋BO →＋CO →；④AB →－AC →＋BD →－CD →，其中结果为零向量的是()A ．①B ．②C ．③D ．④解析：由题知结果为零向量的是①④. 答案：AD2．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是()A ．a ＝2bB ．a ∥bC ．a ＝－13b D ．a ⊥b解析：由a |a |＋b |b |＝0得a |a |＝－b |b |≠0，即a ＝－b|b |·|a |≠0，则a 与b 共线且方向相反，因此当向量a 与向量b 共线且方向相反时，能使a |a |＋b|b |＝0成立．观察选项，C 项中a ，b 共线且方向相反． 答案：C3．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是() A ．A ，B ，C B ．A ，B ，D C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D解析：因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．答案：B4．在△ABC 中，G 为重心，记AB →＝a ，AC →＝b ，则CG →＝() A.13a －23b B.13a ＋23b C.23a －13b D.23a ＋13b 解析：因为G 为△ABC 的重心，所以AG →＝13(AB →＋AC →)＝13a ＋13b ，所以CG →＝CA →＋AG →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b .答案：A5．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是() A ．a 与λa 的方向相反B ．a 与λ2a 的方向相同 C ．|－λa |≥|a | D ．|－λa |≥|λ|·a解析：对于A ，当λ>0时，a 与λa 的方向相同，当λ<0时，a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小．答案：B6．已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则() A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上解析：因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上． 答案：B7.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为O 为BC 的中点，所以AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n2AN →，因为M ，O ，N 三点共线，所以m 2＋n2＝1，所以m ＋n ＝2.答案：B8．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值X 围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 解析：设CO →＝yBC →，因为AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →. 因为BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，所以y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13， 因为AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，所以x ＝－y ，所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. 答案：D9.如图所示，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量OA →相等的向量有________个．解析：根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量OA →相等的向量有CB →，DO →，EF →，共3个．答案：310．(2020·武邑中学质检)在锐角△ABC 中，CM →＝3 MB →，AM →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R)，则xy＝________．解析：由题设可得CA →＋AM →＝3(AB →－AM →)， 即4AM →＝3AB →＋AC →，亦即AM →＝34AB →＋14AC →，则x ＝34，y ＝14.故xy ＝3.答案：311．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________． 解析：因为λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以λa ＋b ＝t (a ＋2b )， 即λa ＋b ＝ta ＋2tb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.答案：1212．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，因为DE →＝λ1AB →＋λ2AC →， 所以λ1＝－16，λ2＝23，因此λ1＋λ2＝12.答案：12[B 级 能力提升]13．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于()A.58B.14 C ．1 D.516解析：DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58.答案：A14．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值X 围是()A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(1， 2 ]D ．(－1，0) 解析：设OC →＝mOD →，则m >1， 因为OC →＝λOA →＋μOB →， 所以mOD →＝λOA →＋μOB →， 即OD →＝λm OA →＋μmOB →，又知A ，B ，D 三点共线， 所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ， 所以λ＋μ>1. 答案：B15．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．解析：取AC 的中点D ，连接OD ，则OA →＋OC →＝2OD →，所以OB →＝－OD →，所以O 是AC 边上的中线BD 的中点， 所以S △ABC ＝2S △OAC ，所以△ABC 与△AOC 面积之比为2∶1. 答案：2∶1[C 级 素养升华]16．(多选题)(2020·某某四校联考)如图所示，在△ABC 中，点D 在边BC 上，且CD ＝2DB ，点E 在边AD 上，且AD ＝3AE ，则()A.CE →＝29AB →＋89AC →B.CE →＝29AB →－89AC →C.CE →＝13AD →＋AC →D.CE →＝13AD →－AC →解析：因为CE →＝CA →＋AE →，AE →＝13AD →，AD →＝AB →＋BD →，BD →＝13BC →，BC →＝BA →＋AC →，所以CE →＝13AD →－AC →，BD →＝13(BA →＋AC →)，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BA →＋13AC →， 所以AE →＝13(AB →＋13BA →＋13AC →)，所以CE →＝CA →＋13AB →＋19BA →＋19AC →＝13AB →＋19BA →＋CA →＋19AC →＝29AB →－89AC →. 答案：BD素养培育直观想象——共线向量定理的推广(自主阅读)共线定理：已知PA →，PB →为平面内两个不共线的向量，设PC →＝xPA →＋yPB →，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为x ＋y ＝1.推广形式：如图所示，直线DE ∥AB ，C 为直线DE 上任一点，设PC →＝xPA →＋yPB →(x ，y ∈R)．当直线DE 不过点P 时，直线PC 与直线AB 的交点记为F ，因为点F 在直线AB 上，所以由三点共线结论可知，若PF →＝λPA →＋μPB →(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1.由△PAB 与△PED 相似，知必存在一个常数m ∈R ，使得PC →＝mPF →，则PC →＝mPF →＝mλPA →＋mμPB →.又PC →＝xPA →＋yPB →(x ，y ∈R)， 所以x ＋y ＝mλ＋mμ＝m . 以上过程可逆．因此得到结论：PC →＝xPA →＋yPB →， 则x ＋y ＝m (定值)，反之亦成立．[典例1] 如图，在正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括边界)的动点，设AP →＝αAB →＋βAF →(α，β∈R)，则α＋β的取值X 围是________．解析：当P 在△CDE 内时，直线EC 是最近的平行线，过D 点的平行线是最远的，所以α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤AN AM ，AD AM ＝[3，4]．答案：[3，4][典例2] 如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值X 围是________．解析：由点D 是圆O 外的一点，可设BD →＝λBA →(λ>1)，则OD →＝OB →＋BD →＝OB →＋λBA →＝λOA →＋(1－λ)OB →.因为C 、O 、D 三点共线，令OD →＝－μOC →(μ>1)．所以OC →＝－λμOA →－1－λμOB →(λ>1，μ>1)．因为OC →＝mOA →＋nOB →，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ，所以m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1，0)．答案：(－1，0)。
(浙江专用)高考数学一轮复习 专题6 数列 第43练 数列小题综合练练习(含解析)-人教版高三全册数
第43练 数列小题综合练[基础保分练]1.(2019·某某十校联考)已知数列{a n }是等比数列，其公比为q ，则“q >1”是“数列{a n }为单调递增数列”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2019·某某某某二中模拟)已知数列{a n }是各项为正数的等比数列，点M (2，log 2a 2)，N (5，log 2a 5)都在直线y ＝x －1上，则数列{a n }的前n 项和为( ) A.2n－2B.2n ＋1－2 C.2n －1D.2n ＋1－13.已知等比数列{a n }中，a n >0，a 1，a 99为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 20·a 50·a 80等于( ) A.32B.64C.256D.±64.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递增，若数列{a n }是等差数列，且a 3>0，则f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋f (a 4)＋f (a 5)的值( ) A.恒为正数B.恒为负数 C.恒为0D.可正可负5.(2018·某某柯桥区调研)已知等比数列{a n }中有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且a 7＝b 7，则b 5＋b 9等于( )A.2B.4C.8D.166.(2019·某某模拟)数列{a n }的前n 项的和满足S n ＝32a n －n ，n ∈N *，则下列为等比数列的是( )A.{a n ＋1}B.{a n －1}C.{S n ＋1}D.{S n －1}7.两个等差数列{a n }和{b n }，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝7n ＋2n ＋3，则a 2＋a 20b 7＋b 15等于( )A.94B.378C.7914D.149248.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 8＝36，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为( )A.1n ＋1B.n n ＋1C.n －1n D.n －1n ＋19.(2018·某某高级中学模拟)已知等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝7，设其前n 项和为S n ，且S 4＝S 6，则其公差d ＝______，其前n 项和S n 取得最大值时n ＝________.10.(2019·某某模拟)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝12，S 7＝49.若记[x ]表示不超过x 的最大整数，(如[0.9]＝0，[2.6]＝2).令b n ＝[lg a n ]，则数列{b n }的前2000项和为________.[能力提升练]1.(2019·某某某某一中模拟)已知函数y ＝f (x )为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调递增函数，函数g (x )＝f (x －5)＋x ，数列{a n }为等差数列，且公差不为0，若g (a 1)＋g (a 2)＋…＋g (a 9)＝45，则a 1＋a 2＋…＋a 9等于( ) A.45B.15C.10D.02.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为( ) A.2B.3C.4D.53.已知每项均大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1且前n 项和S n 满足S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1(n ∈N *且n ≥2)，则a 81等于 ( ) A.641B.640C.639D.6384.若三个非零且互不相等的实数x 1，x 2，x 3成等差数列且满足1x 1＋1x 2＝2x 3，则称x 1，x 2，x 3成一个“β等差数列”.已知集合M ＝{x ||x |≤100，x ∈Z }，则由M 中的三个元素组成的所有数列中，“β等差数列”的个数为( ) A.25B.50C.51D.1005.对于数列{a n }，定义H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a nn为{a n }的“优值”，现在已知某数列{a n }的“优值”H n ＝2n ＋1，记数列{a n －kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 5对任意的n 恒成立，则实数k 的取值X 围是________.6.(2019·某某某某一中模拟)已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且S 1，S 22，S 44成等比数列，则S n ＝________，a n ＝________.答案精析基础保分练1.D2.C3.B4.A5.C6.A7.D8.B9.－1 5解析 由S 4＝S 6，知a 5＋a 6＝0， 则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋2d ＝7，a 1＋4d ＋a 1＋5d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝92，d ＝－1，所以a n ＝92＋(n －1)×(－1)＝112－n .由112－n ≥0，得n ≤112，又n ∈N *，所以当n ＝5时，S n取得最大值. 10.5445解析 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＋a 4＝12，S 7＝49，∴2a 1＋5d ＝12,7a 1＋7×62d ＝49，解得a 1＝1，d ＝2.∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，b n ＝[lg a n ]＝[lg(2n －1)]，n ＝1,2,3,4,5时，b n ＝0. 6≤n ≤50时，b n ＝1；51≤n ≤500时，b n ＝2； 501≤n ≤2000时，b n ＝3.∴数列{b n }的前2000项和为45＋450×2＋1500×3＝5445. 能力提升练1.A [函数y ＝f (x )为定义域R 上的奇函数， 则f (－x )＝－f (x )，关于点(0,0)中心对称， 那么y ＝f (x －5)关于点(－5,0)中心对称， 由等差中项的性质和对称性可知：a 1－5＋a 9－52＝a 5－5，故f (a 1－5)＋f (a 9－5)＝0，由此f (a 2－5)＋f (a 8－5)＝f (a 3－5)＋f (a 7－5)＝f (a 4－5)＋f (a 6－5)＝2f (a 5－5)＝0， 又g (x )＝f (x －5)＋x ，若g (a 1)＋g (a 2)＋…＋g (a 9)＝f (a 1－5)＋f (a 2－5)＋…＋f (a 9－5)＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝45，则a 1＋a 2＋…＋a 9＝45，故选A.]2.C [因为S 4＝2(a 2＋a 3)，所以a 2＋a 3≥5，又S 5＝5a 3，所以a 3≤3，而a 4＝3a 3－(a 2＋a 3)，故a 4≤4，当a 2＝2，a 3＝3时等号成立，所以a 4的最大值为4.]3.B [因为S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1，所以S n －S n －1＝2，即{S n }为等差数列，首项为1，公差为2， 所以S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以S n ＝(2n －1)2，因此a 81＝S 81－S 80＝1612－1592＝640，故选B.]4.B [由三个非零且互不相等的实数x 1，x 2，x 3成等差数列且满足1x 1＋1x 2＝2x 3，知⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝x 1＋x 3，1x 1＋1x 2＝2x 3消去x 2，并整理得(2x 1＋x 3)(x 1－x 3)＝0. 所以x 1＝x 3(舍去)，x 3＝－2x 1， 于是有x 2＝－12x 1.在集合M ＝{x ||x |≤100，x ∈Z }中，三个元素组成的所有数列必为整数列， 所以x 1必为2的倍数，且x 1∈[－50,50]，x 1≠0，故这样的数组共50组.]5.⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，125 解析 由题意，H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n n＝2n ＋1，则a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n ＝n 2n ＋1.n ≥2时，a 1＋2a 2＋…＋2n －2a n －1＝(n －1)2n ，两式相减，则2n －1a n ＝n 2n ＋1－(n －1)2n ＝(n ＋1)2n ，则a n ＝2(n ＋1)，对a 1也成立， 故a n ＝2(n ＋1)，∴a n －kn ＝(2－k )n ＋2，记b n ＝a n －kn ，则数列{b n }为等差数列，故S n ≤S 5对任意的n 恒成立化为b 5≥0，b 6≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧52－k ＋2≥0，62－k ＋2≤0，解得73≤k ≤125，则实数k 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，125.6.2n 24n －2解析 由题意知S 224＝S 1×S 44，设数列{a n }的公差为d ，则2a 1＋d24＝a 1·4a 1＋6d4，又a 1＝2，d ≠0，解得d ＝4，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －2，S n ＝n a 1＋a n 2＝2n 2.。
柏梓中学高三上期期末数学试题(六)高考模拟
7882466792柏梓中学高三上期数学期末巩固训练（六）命题人 蒋红伟 一、选择题（5×10=50分）1．已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则()U C A B 为（ ）A ．{}1,2,4B ．{}2,3,4C ．{}0,2,4D ．{}0,2,3,4 2．设命题132:<-x p ，021:≤--x x q ，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+20202x x-y y-x ，表示的平面区域的面积是（ ）A ．24B ．4C ．22D ．24．若ABC ∆的三个内角C B A 、、满足6sin 4sin 3sin A B C ==,则ABC ∆（ ）A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形5．已知b a b a b a b a与则,33)3()(,4,3=+⋅+==的夹角为 （ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 6．若复数34sin cos 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，则tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．7-或17- B ．17-C ．7D ． 7-7．函数)1,0(23≠>-=+a a ay x 的图像恒过定点A ，若点A 在直线1-=+ny m x 上，且0,>n m ，则n m +3的最小值为 （ ）A ．13B ．16C ．2611+D ．28 8．曲线x x y ln 2-=在点)2,1(处的切线方程为( )A ．1--=x yB ．3+-=x yC ．1+=x yD ．1-=x y 9．已知m x x f 2)62sin()(-π-=在]2,0[π∈x 上有两个零点，则m 的取值范围为（ ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛21,41 B ．[21,41] C ．(21,41] D ． [21,41)10．已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为030的直线与双曲线的一条渐近平行，则此双曲线离心率是（ ） A．3B ．1 C．3D ．2 二、填空题（5×5=25分）11．命题“存在x R ∈，使得2250x x ++=”的否定是12．如图是2013年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为_ _ 13．数列{}n a 的前n 项和24n S n n =-，则1210a a a +++ =_______ 14．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是______.15．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为三、解答题（75分）16．（本题满分13分）（1）已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若312S =，且1232,,1a a a +成等比数列.求{}n a 的通项公式. （2）数列}{n a 中，41,4111==+n n a a a 已知，*)(log 3241N n a b n n ∈=+.求}{n b 的通项公式．17．（本小题满分13分）如图，正方形O ABC 的边长为2.（1）在其四边或内部取点(,)P x y ，且,x y Z ∈，求事件：“1OP >”的概率；（2）在其内部取点(,)P x y ，且,x y R ∈，求事件“,,POA PAB ∆∆∆的面积均大于23”的概率.18．（本小题满分13分）已知向量(,1),(sin ,cos )a m b x x ==，()f x a b =⋅且满足()12f π=.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）求函数()y f x =的最小正周期、最值及其对应的x 值； （3）锐角A B C ∆中，若()12f Aπ=，且2A B =，3A C =，求B C 的长19．（本小题满分12分）已知函数()11(0,0)f x a x a x=->>.（1）求证：函数()f x 在(0,)+∞上是单调递增函数； （2）当25a =时，求函数在1[,2)2上的最值；（3）函数()f x 在[1,2]上恒有()3f x ≥成立，求a 的取值范围.20．（本小题满分12分）如图，正三棱柱111C B A ABC -中，D 是BC 的中点，a AB AA ==1 （1）求证：D B AD 1⊥； （2）求证：//1C A 平面D AB 1； （3）求三棱锥D AB C 1-的体积.21．（本小题满分12分）已知椭圆E 的中心在原点O ，焦点1F ，2F 在x 轴上，经过点2(C ，)2,且抛物线=2y-的焦点为1F .（1）求椭圆E 的方程；（2）垂直于OC 的直线l 与椭圆E 交于A ,B 两点，当以AB 为直径的圆P 与y 轴相切时，求直线l 的方程和圆P 的方程.柏梓中学高三上期数学期末巩固训练（六）参考答案BABCC DBCDC 11．对任意x R ∈，都有2250x x ++≠ 12．3.2 13．68 14．321a 15．1016．（1）3=d 或4-=d （舍），23-=n a n 7分 （2）23-=n b n 13分17．解：（1）(,)P x y 共9种情形：(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2) 满足1OP >，即1>，共有6种 因此所求概率为6293=7分（2）设P 到O A 的距离为d ，则12223S d =⨯⨯>，即23d >P ∴到O A 、AB 、B C 、C O 的距离均大于23∴概率为22(22)13229-⨯=⨯ 13分18．解：（1） (,1),(sin ,cos )a m b x x ==且()f x a b =⋅∴()sin cos f x m x x =+ 又()12f π= s i n c o s 122m ππ∴+= 1m ∴=()sin cos )4f x x x x π∴=+=+4分（2）π2=T 5分Z k k x x f Z k k x x f ∈+=-=∈+==,245,2)(;,24,2)(min max ππππ9分（3）7=BC 13分19．（1）定义法或导数法 4分 （2）21)(min =x f ，无最大值 8分（3）⎥⎦⎤ ⎝⎛∈41,0a 12分20．（1）证明：∵ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱，∴BB 1⊥平面ABC ，∴BD 是B 1D 在平面ABC 上的射影在正△ABC 中，∵D 是BC 的中点，∴AD ⊥BD ， 根据三垂线定理得，AD ⊥B 1D 4分 （2）解：连接A 1B ，设A 1B∩AB 1 = E ，连接DE.∵AA 1=AB ∴四边形A 1ABB 1是正方形，∴E 是A 1B 的中点， 又D 是BC 的中点，∴DE ∥A 1C ∵DE平面AB 1D ，A 1C平面AB 1D ，∴A 1C ∥平面AB 1D . 8分（3）3243a 12 分21．解：设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by ax ，则14422=+ba①∵抛物线2y =-的焦点为F 1，∴c =②又a 2=b 2+c 2③，由①、②、③得a 2=12，b 2=6 所以椭圆E 的方程为221126xy+= 5分（2） 依题意，直线OC 斜率为1，由此设直线l 的方程为y =-x +m ， 代入椭圆E 方程，得3x 2-4mx +2m 2-12=0. 由Δ=16m 2-12(2m 2-12)=8(18-m 2)，得m 2＜18. 记A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，x 1+x 2=43m x 1x 2=22123m -，圆P 的圆心为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，即32(m P ，)221y y +，半径12|r x x =-=31822m-=，当圆P 与y 轴相切时，32m r =31822m-=，即m 2=9＜18，m =±3，当m =3时，直线l 方程为y =-x +3，此时，x 1+x 2=4，圆心为(2，1)，半径为2，圆P 的方程为(x -2)2+(y -1)2=4；同理，当m =-3时，直线l 方程为y =-x -3，圆P 的方程为(x +2)2+(y +1)2=4 12分。
高三数学复习计划格式版（2篇）
高三数学复习计划格式版一、一年任务早知道-科学安排时间如果我们对各门功课的复习制订切实可行的计划，那么成绩的提高是指日可待。
复习时间的安排有长期、中期和短期。
长期要与老师的安排大体一致，即整体进度跟着老师走。
中期安排就数学而言，主要是抓好几大分支：函数、三角、数列、不等式等以及解析几何、立体几何。
其中函数（含不等式）、数列、解析几何是重中之重。
第一轮复习时要注意各分支之间的有机结合，综合程度要根据自己的实际情况而定，普通中学的学生对综合程度高的难题，可以暂时回避，先把基础内容掌握好。
立体几何近年上海卷因两种教材并行考查相对容易。
近期安排就是以章为单位或一周为单位，做个可行的计划，有时计划可以安排每天做些什么，任务要具体明确，操作性强。
计划要结合老师的近期安排，跟着老师的节奏并在完成老师布置的作业后，针对自己的薄弱环节重点突破（如忘掉的公式要记住，生疏的方法要熟练）。
第一轮复习务必要把基本概念、解决一类问题的基本方法等扎实掌握。
二、计划关键在落实-提高学习效率“一年之际在于春”的意义谁都明白，对新高三的同学，____月份是关键时期，要适应高三的快节奏、大运动量的学习生活。
“双基”落实到位。
即要掌握各章节的基本概念和常见问题的解题方法，以及相应的技能技巧。
有些同学之所以“一听就懂，一看就会，一做就错”的原因就在这方面做的不到位。
课堂上不仅要和老师同步思考，还要争取与老师同步或快于老师算出正确答案。
只听懂是远远不够的，它离掌握知识、形成能力还有很远距离。
要知道“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”。
限时做好作业。
做作业要给自己规定时间，像考试一样“进入状态”，同样遵循先易后难的原则，遇到难题要认真思考，但一时做不出要学会“放弃”。
老师在批改时发现不会做或错误较多的地方会集体讲评。
提倡“做后满分”，就是对做错的题目要认真订正，不妨准备一本错题集，记下错误原因，过段时间再回顾一下，争取不犯同样错误。
有些同学做作业毫无时间观念，一边看公式一边做题，甚至互相对答案，这种作业不能反映实际水平，一旦考试就眼高手低，不是速度慢就是计算差错多。
2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)6-2 古典概型及条件概率(精练)(解析版)(1)
6.2 古典概型及条件概率（精练）（基础版）题组一古典概型1．（2022·山东滨州）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：(1)求a；(2)根据频率分布直方图，估计该地年轻人每天阅读时间的中位数（精确到0.1）（单位：分钟）；(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于[80,90)的概率.2．（2022·青海西宁）新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动，开学后，某校采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查.已知该校高一年级共有学生660人，抽取的样本中高二年级有50人，高三年级有45人.下表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表.分组频数频率[)6,6.550.10[)6.5,780.16[)7,7.5x0.14[)7.5,812y(1)求该校学生总数及频率分布表中实数,,x y z 的值；(2)已知日睡眠时间在区间[)6,6.5的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选2人进行面谈，求选中的2人恰好为一男一女的概率.3．（2022·河北张家口）英才中学为普及法律知识，组织高一学生学习法律常识小册子，并随机抽出100名学生进行法律常识考试，并将其成绩制成如图所示的频率分布直方图.(1)估计这100人的平均成绩；(2)若成绩在[]90,100的学生中恰有两位是男生，现从成绩在[]90,100的学生中抽取3人去校外参加社会法律知识竞赛，求其中恰有一位男生的概率.4．（2022·河南·商丘市）蹦床是一项将运动和美学完美结合的运动，随着全民健身时代的到来，蹦床越来越受到人们的喜爱，某大型蹦床主题公园为吸引顾客，推出优惠活动对首次消费的顾客，先注册成为会员，首次按60元收费，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：该蹦床主题公园从注册的会员中，随机抽取了100位统计他们的消费次数，得到数据如下：假设每消费一次，蹦床主题公园的成本为30元，根据所给数据，解答下列问题： (1)以频率估计概率，估计该蹦床主题公园一位会员至少消费2次的概率； (2)某会员消费6次，求这6次消费中，该蹦床主题公园获得的平均利润；(3)以样本估计总体，假设从消费次数为3次和4次的会员中采用分层抽样的方法共抽取6人进行满意度调查，再从这6人中随机选取3人进一步了解情况，求抽取的3人中恰有一人的消费次数为4次的概率． 5．（2022·广西柳州）某政府部门为促进党风建设，拟对政府部门的服务质量进行量化考核，每个群众办完业务后可以对服务质量进行打分，最高分为100分.上个月该部门对100名群众进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组[)0,20，第二组[)20,40，第三组[)40,60，第四组[)60,80，第五组[]80,100，得到频率分布直方图如图所示.(1)估计所打分数的众数，平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）(2)该部门在第一､二组群众中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名群众进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率. 1．（2022·吉林）先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次，观察向上的点数．在第一次向上的点数为奇数的条件下，两次点数和不大于7的概率为（ ） A ．1318B ．712C ．310D ．232（2022·江西·高三阶段练习（理））从1，2，…，6这六个数字中随机抽取2个不同的数字，记事件A =“恰好抽取的是2，4”，B =“恰好抽取的是4，5”，C =“抽取的数字里含有4”．则下列说法正确的是（ ） A ．()()()P AB P A P B =B ．1()6P C =C ．()()P C P AB = D ．(|)(|)P A C P B C =3．（2022·福建·莆田华侨中学模拟预测）甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A 表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，再从乙罐中随机取出一球，以B 表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，则下列说法错误的是（ ） A ．()25P A =B ．()3|5P B A =C ．()1325P B =D ．()1|2P A B =题组二 条件概型4．（2022·山东济宁）在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回的从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（ ） A ．128B ．110 C ．19D ．275．（2022·黑龙江）已知()12P AB =，()35P A =，则()P B A 等于（ ）．A ．56B ．910C ．310D ．1106．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）每年的6月6日是全国爱眼日，某位志愿者跟踪调查电子产品对视力的影响，据调查，某高校大约有45%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天操作电子产品超过1h ，这些人的近视率约为50%.现从每天操作电子产品不超过1h 的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（ ） A ．716B ．38C ．516 D ．147．（2022·河北张家口·高二期末）某个闯关游戏规定：闯过前一关才能去闯后一关，若某一关没有通过，则游戏结束.小明闯过第一关的概率为34，连续闯过前两关的概率为12，连续闯过前三关的概率为13，且各关相互独立.事件A 表示小明第一关闯关成功，事件C 表示小明第三关闯关成功，则()|P C A =（ ）A ．18B ．23C ．13D ．498．（2022·山东济宁）（多选）设M 、N 是两个随机事件，则下列等式一定成立的是（ ）A ．()()()P M N P M P N ⋃=+ B ．()()1P MN P MN =- C ．()()()|P MN P M P N M =D ．()()()()||P N M P M P M N P N =9．（2022·福建福州）（多选）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以12,A A 和3A 表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则（ ） A ．事件B 与事件3A 相互独立 B ．()159P A B =C ．()2655P A B =D ．()922P B =题组三 古典与条件综合运用1．（2022·河南）从标有1，2，3，4的卡片中不放回地先后抽出两张卡片，则4号卡片“第一次被抽到的概率”、“第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是（）A．14，14，12B．14，14，14C．13，13，12D．14，13，122．（2023·全国·高三专题练习（理））一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．(|)(|)P B AP B A与(|)(|)P B AP B A的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（ⅰ）证明：(|)(|)(|)(|)P A B P A BRP A B P A B=⋅；（ⅰ）利用该调查数据，给出(|),(|)P A B P A B的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．附22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，3．（2022·全国·高三专题练习）现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.6.2 古典概型及条件概率（精练）（基础版）1．（2022·山东滨州）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：(1)求a ；(2)根据频率分布直方图，估计该地年轻人每天阅读时间的中位数（精确到0.1）（单位：分钟）； (3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于[80,90)的概率.【答案】(1)0.020a =(2)74.4分钟(3)310【解析】（1）因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1，所以(0.0100.0450.005)101a a ++++⨯=，解得0.020a =.（2）因为(0.0100.020)100.30.5+⨯=<，(0.0100.0200.045)100.750.5++⨯=>.则中位数位于区间[70,80)内，设中位数为x ，则0.3(70)0.0450.5x +-⨯=，解得74.4x ≈，所以估计该地年轻人阅读时间的中位数约为74.4分钟.（3）由题意，阅读时间位于[50,60)的人数为1000.110⨯=，阅读时间位于[60,70)的人数为1000.220⨯=，阅读时间位于[80,90)的人数为1000.220⨯=，所以在这三组中按照分层抽样抽取5人的抽样比例为515010=，则抽取的5人中位于区间[50,60)有1人，设为a ，位于区间[60,70)有2人，设为1b ，2b ，位于区间[80,90)有2人，设为1c ，2c .则从5人中任取3人，样本空间()()()(){12111221Ω,,,,,,,,,,,,a b b a b c a b c a b c =()()()()()()}2212121122112212,,,,,,,,,,,,,,,,,a b c a c c b b c b b c b c c b c c .含有10个样本点.设事件A 为“恰有2人每天阅题组一 古典概型读时间在[80,90)”，()()(){}12112212,,,,,,,,A a c c b c c b c c =，含有3个样本点.所以3()10P A =，所以恰好有2人每天阅读时间位于[80,90)的概率为310. 2．（2022·青海西宁）新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动，开学后，某校采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查.已知该校高一年级共有学生660人，抽取的样本中高二年级有50人，高三年级有45人.下表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间（单位：h ）的频率分布表.(1)求该校学生总数及频率分布表中实数,,x y z 的值；(2)已知日睡眠时间在区间[)6,6.5的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选2人进行面谈，求选中的2人恰好为一男一女的概率.【答案】(1)1800人，7,0.24,8x y z ===(2)35【解析】(1)设该校学生总数为n ，由题意1501505045660n --=，解得1800n =， ∴该校学生总数为1800人.由题意0.1450x=，解得127,0.2450x y ===，()505812108.z x =-----= (2)记“选中的2人恰好为一男一女”为事件A ，记5名高二学生中女生为12,F F ，男生为123,,M M M ， 从中任选2人有以下情况：()()()()()()()12111213212223,,,,,,,,,,,,,F F F M F M F M F M F M F M ，()()()121323,,,,,M M M M M M ，基本事件共有10个，其中事件A 包含的基本事件有6个，故()63105P A ==， 所以选中的2人恰好为一男一女的概率为35.3．（2022·河北张家口）英才中学为普及法律知识，组织高一学生学习法律常识小册子，并随机抽出100名学生进行法律常识考试，并将其成绩制成如图所示的频率分布直方图.(1)估计这100人的平均成绩；(2)若成绩在[]90,100的学生中恰有两位是男生，现从成绩在[]90,100的学生中抽取3人去校外参加社会法律知识竞赛，求其中恰有一位男生的概率.【答案】(1)73分(2)35【解析】(1)由频率分布直方图可知()0.0050.040.030.005101a ++++⨯=，解得0.02a =， 所以这100人的平均成绩为：()550.005650.04750.03850.02950.0051073⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=， 即这100人的平均成绩为73分.(2)依题意可知成绩在[]90,100的有1000.005105⨯⨯=人，其中2位男生、3位女生，设3位女生分别为a 、b 、c ，2位男生为A 、B ，从中任取3人的取法有(),,a b c 、(),,a b A 、(),,a b B 、(),,a c A 、(),,a c B ，(),,a A B ，(),,b c A ，(),,b c B ，(),,b A B ，(),,c A B 共10种取法，其中恰有一个男生的有(),,a b A 、(),,a b B 、(),,a c A 、(),,a c B ，(),,b c A ，(),,b c B 共6种， 所以恰有一位男生的概率63105P ==. 4．（2022·河南·商丘市）蹦床是一项将运动和美学完美结合的运动，随着全民健身时代的到来，蹦床越来越受到人们的喜爱，某大型蹦床主题公园为吸引顾客，推出优惠活动对首次消费的顾客，先注册成为会员，首次按60元收费，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：该蹦床主题公园从注册的会员中，随机抽取了100位统计他们的消费次数，得到数据如下：假设每消费一次，蹦床主题公园的成本为30元，根据所给数据，解答下列问题： (1)以频率估计概率，估计该蹦床主题公园一位会员至少消费2次的概率； (2)某会员消费6次，求这6次消费中，该蹦床主题公园获得的平均利润；(3)以样本估计总体，假设从消费次数为3次和4次的会员中采用分层抽样的方法共抽取6人进行满意度调查，再从这6人中随机选取3人进一步了解情况，求抽取的3人中恰有一人的消费次数为4次的概率．【答案】(1)25(2)23（元）(3)35【解析】(1)随机抽取的100位会员中，至少消费2次的会员有20105540+++=（位）， 所以该蹦床主题公园一位会员至少消费2次的概率4021005P == (2)第1次消费时，蹦床主题公园获取的利润为603030-=（元）， 第2次消费时，蹦床主题公园获取的利润为600.953027⨯-=（元）， 第3次消费时，蹦床主题公园获取的利润为600.903024⨯-=（元）， 第4次消费时，蹦床主题公园获取的利润为600.853021⨯-=（元）， 第5次或第6次消费时，蹦床主题公园获取的利润为600.803018⨯-=（元） 所以这6次消费中，该蹦床主题公园获得的平均利润为302724211818236+++++=（元）(3)由题意知，从消费次数为3次和4次的会员中抽取的人数分别为4人，2人， 这6人中，将消费3次的会员分别记为a ，b ，c ，d ，消费4次的会员分别记为e ，f 从6人中随机抽取3人的情况有(,,),(,,),(,,),(,,)a b c a b d a b e a b f ;(,,),(,,),(,,)a c d a c e a c f ;(,,),(,,)a d e a d f ;(,,)a e f ;(,,),(,,),(,,)b c d b c e b c f ;(,,),(,,)b d e b d f ；(,,)b e f ；(,,),(,,)(,,)c d e c d f c e f ；(,,)d e f ，共20种设“抽取的3人中恰有一人的消费次数为4次”为事件A ，则事件A 包含的情况有(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)a b e a b f a c e a c f a d e a d f b c e b c f b d e b d f c d e c d f ，共12种．根据古典概型的概率计算公式可得，()123205P A ==5．（2022·广西柳州）某政府部门为促进党风建设，拟对政府部门的服务质量进行量化考核，每个群众办完业务后可以对服务质量进行打分，最高分为100分.上个月该部门对100名群众进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组[)0,20，第二组[)20,40，第三组[)40,60，第四组[)60,80，第五组[]80,100，得到频率分布直方图如图所示.(1)估计所打分数的众数，平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）(2)该部门在第一､二组群众中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名群众进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率. 【答案】(1)众数为70，平均数为65；(2)815【解析】(1)由频率分布直方图可知，众数为6080=702+； 5个组的频率分别为0.05，0.1，0.2，0.35，0.3，所以平均数为 100.05300.1500.2700.35900.365⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；(2)由频率分布直方图可知第一组的频率为0.05，第二组的频率为0.1， 则第一组的人数为5人，第二组的人数为10人， 所以按分层抽样的方法抽到的6人中，第一组抽2人，记为12、a a ；第二组抽4人，记为1234b b b b 、、、，则121112131421222324121314232434{,,,,,,,,,,,,,,}a a a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b b b b b b b Ω=， 设事件A 为抽到的2人来着不同的组，则1112131421222324{,,,,,,,}A a b a b a b a b a b a b a b a b =，所以8()15P A =. 1．（2022·吉林）先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次，观察向上的点数．在第一次向上的点数为奇数的条件下，两次点数和不大于7的概率为（ ） A ．1318B ．712C ．310D ．23【答案】D【解析】设事件A 表示“先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次，第一次向上的点数为奇数”，题组二 条件概型事件B 表示“先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次，两次点数和不大于7”， 则1()2P A =，121()363P AB ==,所以1()23()1()32P AB P B A P A ===.故选：D. 2（2022·江西·高三阶段练习（理））从1，2，…，6这六个数字中随机抽取2个不同的数字，记事件A =“恰好抽取的是2，4”，B =“恰好抽取的是4，5”，C =“抽取的数字里含有4”．则下列说法正确的是（ ） A ．()()()P AB P A P B = B ．1()6P C =C ．()()P C P AB =D ．(|)(|)P A C P B C =【答案】D【解析】由题知，从6个数中随机抽取2个数，共有2615C =种可能情况，则1()15P A =，1()15P B =．对于A 选项，“恰好抽取的是2，4”和“恰好抽取的是4，5”为互斥事件，()0P AB =，()()0≠P A P B ，故A 错误；对于B 选项，1526C 1()C 3P C ==，故B 错误； 对于C 选项，()0P AB =，故C 错误；对于D 选项，由于1()()15P AC P BC ==，故由条件概率公式得()()()()(|)(|)P AC P BC P A C P B C P C P C ===，故D正确． 故选:D ．3．（2022·福建·莆田华侨中学模拟预测）甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A 表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，再从乙罐中随机取出一球，以B 表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，则下列说法错误的是（ ） A ．()25P A =B ．()3|5P B A =C ．()1325P B = D ．()1|2P A B =【答案】C 【解析】因为甲罐中有3个红球、2个黑球，所以()25P A =，故选项A 正确； 因为236()5525P AB =⨯=，所以()()()6325|255P AB P B A P A ===，故选项B 正确； 因为()233212555525P B =⨯+⨯=，故选项C 错误；因为()2365525P AB =⨯=，所以()()()6125|12225P AB P A B P B ===，故选项D 正确. 故选：C .4．（2022·山东济宁）在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回的从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（ ） A ．128B ．110 C ．19D ．27【答案】D【解析】当第一次抽到次品后，还剩余2件次品，5件合格品，所以第二次抽到次品的概率为27.故选：D 5．（2022·黑龙江）已知()12P AB =，()35P A =，则()P B A 等于（ ）．A ．56B ．910C ．310D ．110【答案】A【解析】()()()152365P AB P B A P A ===.故选：A. 6．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）每年的6月6日是全国爱眼日，某位志愿者跟踪调查电子产品对视力的影响，据调查，某高校大约有45%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天操作电子产品超过1h ，这些人的近视率约为50%.现从每天操作电子产品不超过1h 的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（ ） A ．716B ．38C ．516 D ．14【答案】A【解析】令事件1A =“玩手机时间超过1h 的学生”，2A =“玩手机时间不超过1h 的学生”，B =“任意调查一人，此人近视”，则样本空间12ΩA A =⋃，且12,A A 互斥，()()()()1210.2,0.8,0.5,0.45P A P A P B A P B ====∣， 依题意，()()()()()()112220.20.50.80.45P B P A P B A P A P B A P B A =+=⨯+⨯=∣∣∣， 解得()2716P BA =∣，所以所求近视的概率为716. 故选：A .7．（2022·河北张家口·高二期末）某个闯关游戏规定：闯过前一关才能去闯后一关，若某一关没有通过，则游戏结束.小明闯过第一关的概率为34，连续闯过前两关的概率为12，连续闯过前三关的概率为13，且各关相互独立.事件A 表示小明第一关闯关成功，事件C 表示小明第三关闯关成功，则()|P C A =（ ）A ．18B ．23C ．13D ．49【答案】D【解析】设事件B 表示小明第二关闯关成功，可得()()P AC P ABC =， 由条件概率的计算公式，可得()()()143394P ABC P CA P A ===∣.故选：D. 8．（2022·山东济宁）（多选）设M 、N 是两个随机事件，则下列等式一定成立的是（ ） A ．()()()P M N P M P N ⋃=+B ．()()1P MN P MN =-C ．()()()|P MN P M P N M =D ．()()()()||P N M P M P M N P N =【答案】CD【解析】对A ，当,M N 不互斥时，()()()P M N P M P N ⋃=+不成立，故A 错误；对B ，当,M N 为对立事件时，()()0P MN P MN ==，则()()1P MN P MN =-不成立，故B 错误； 对C ，当()0P M =时，()()()|0P MN P M P N M ==成立，当()0P M ≠时，根据条件概率的公式()()()|P MN P N M P M =可得()()()|P MN P M P N M =成立，故C 正确；对D ，根据条件概率的公式，结合C 选项可得()()()()()()||P MN P N M P M P M N P N P N ==成立，故D 正确；故选：CD 9．（2022·福建福州）（多选）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以12,A A 和3A 表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则（ ） A ．事件B 与事件3A 相互独立 B ．()159P A B =C ．()2655P A B = D ．()922P B =【答案】BD【解析】由题意知：()151102P A ==，()221105P A ==，()3310P A =，()1511P B A =，()2411P B A =，()3411P B A =， ()()()()()()()112233P B P A P B A P A P B A P A P B A ∴=++1514349211511101122=⨯+⨯+⨯=，D 正确；()()()()()()11111552119922P A P B A P A B P A B P B P B ⨯====，B 正确；()()()22214451155P A B P A P B A ==⨯=，C 错误；()()()333346101155P A B P A P B A ==⨯=，()()339271022220P A P B =⨯=， ()()()33P A B P A P B ∴≠，∴事件B 与事件3A 不相互独立，A 错误.故选：BD. 1．（2022·河南）从标有1，2，3，4的卡片中不放回地先后抽出两张卡片，则4号卡片“第一次被抽到的概率”、“第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是（ ）A ．14，14，12B ．14，14，14C ．13，13，12D ．14，13，12【答案】A【解析】4号卡片“第一次被抽到的概率”114P =， “第二次被抽到的概率”2311434P =⨯=，“在整个抽样过程中被抽到的概率”313114432P =+⨯=． 故选：A.2．（2023·全国·高三专题练习（理））一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？题组三 古典与条件综合运用(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”．(|)(|)P B A P B A 与(|)(|)P B A P B A 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R ．（ⅰ）证明：(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅；（ⅰ）利用该调查数据，给出(|),(|)P A B P A B 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计值．附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，【答案】(1)答案见解析 (2)（i ）证明见解析；(ii)6R =；【解析】（1）由已知222()200(40906010)=24()()()()50150100100n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==++++⨯⨯⨯，又2( 6.635)=0.01P K ≥，24 6.635>，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.（2）(i)因为(|)(|)()()()()=(|)(|)()()()()P B A P B A P AB P A P AB P A R P B A P B A P A P AB P A P AB =⋅⋅⋅⋅，所以()()()()()()()()P AB P B P AB P B R P B P AB P B P AB =⋅⋅⋅所以(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅，(ii) 由已知40(|)100P A B =，10(|)100P A B =，又60(|)100P A B =，90(|)100P A B =，所以(|)(|)=6(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅3．（2022·全国·高三专题练习）现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.【答案】(1)23(2)25(3)35【解析】(1)设第1次抽到舞蹈节目为事件A ，第2次抽到舞蹈节目为事件B ，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB ，从6个节目中不放回地依次抽取2个的基本事件总数为()26A 30n Ω==，根据分步计数原理有()1145A A 20n A ==，所以()()()202303n A P A n Ω===.(2)由(1)知，()24A 12n AB ==，所以()()()122305n AB P AB n Ω===. (3)由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为 ()()()235253P AB P B A P A ===.。
高考数学复习----《函数的奇偶性的综合应用》典型例题讲解
高考数学复习----《函数的奇偶性的综合应用》典型例题讲解【典型例题】例1、（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 在(],3−∞上单调递增，且()3f x +为偶函数，则不等式()()12f x f x +>的解集为（ ）A ．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()5,1,3⎛⎫−∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(),1−∞D ．()1,+∞【答案】B【解析】∵()3f x +为偶函数， ∴()()33f x f x −+=+，即函数()f x 关于3x =对称，又函数()f x 在(],3−∞上单调递增，∴函数()f x 在[)3,+∞上单调递减，由()()12f x f x +>，可得1323x x +−<−，整理得，23850x x −+>，解得1x <或53x >． 故选：B ．例2、（2023·全国·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，不等式()()24f x f x ≥的解集为（ ）A ．(][),04,−∞+∞UB ．[]0,4C ．(][),02,−∞⋃+∞D ．[]0,2【答案】C 【解析】根据题意，当0x ≥时，()2f x x =，所以()f x 在[0,)+∞上为增函数，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在R 上为增函数，因为20x ≥，所以24()f x x =，24124x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以221()42x f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以不等式()()24f x f x ≥可化为2()2x f f x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 所以22x x ≥，解得0x ≤或2x ≥， 所以不等式()()24f x f x ≥的解集为(][),02,−∞⋃+∞，故选：C例3、（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数()f x 的定义域为R ，且当0x ≥时，()11x f x x −=+，则使不等式()2122f a a −<成立的实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3−B ．()3,3−C ．()1,1−D ．(),3−∞【答案】A 【解析】当0x ≥时，()()12121111x x f x x x x +−−===−+++，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增， 且()132f =，不等式()2122f a a −<即为()()223f a a f −<． 又因为()f x 是偶函数，所以不等式()()223f a a f −<等价于()()223f a a f −<， 则223a a −<，所以，222323a a a a ⎧−<⎨−>−⎩，解得13a −<<． 综上可知，实数a 的取值范围为()1,3−，故选：A ．例4、（2023·全国·高三专题练习）定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]−∞上单调递增，且(2)2f −=−，则不等式1(lg )lg 4f x f x ⎛⎫−> ⎪⎝⎭的解集为（ ） A ．10,100⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(0,100)D ．(100,)+∞【答案】D【解析】因为函数()f x 为奇函数，所以()()f x f x −=−，又(2)2f −=−，(2)2f =， 所以不等式1(lg )lg 4f x f x ⎛⎫−> ⎪⎝⎭，可化为()2(lg )422f x f >=， 即()(lg )2f x f >，又因为()f x 在(,0]−∞上单调递增，所以()f x 在R 上单调递增，所以lg 2x >，解得100x >．故选：D ．例5、（2023春·广西·高三期末）()f x 是定义在R 上的函数，1122f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭为奇函数，则()()20232022f f +−=（ ）A ．－1B ．12−C ．12D ．1【答案】A 【解析】()f x 是定义在R 上的函数，1122f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭为奇函数，则 1111111222222f x f x f x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−++=−++⇒−+++=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． ∴()()40451404512023202212222f f f f ⎛⎫⎛⎫+−=++−+=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：A 例6、（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）若函数f （x ）=e e sin x x x x −−+−，则满足()()22ln 102x f a x f ⎛⎫−++≥ ⎪⎝⎭恒成立的实数a 的取值范围为（ ）A ．12ln 2,2⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭B ．1(ln 2,)4−+∞C ．[7,)4+∞D ．[3,)2+∞ 【答案】A 【解析】因为()e e sin ()x x f x x x f x −−−=−+=−，所以()f x 是R 上的奇函数，由()e +e cos 1x x f x x −'=+−cos 11cos 0x x ≥−=+≥ ，所以()f x 是R 上的增函数， 所以2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫−++≥ ⎪⎝⎭等价于： 22(2ln(1))22x x f a x f f ⎛⎫⎛⎫−+≥−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即22ln(1)2x a x −+≥−， 所以22ln(1)2x a x ≥−++， 令2()2ln(1)2x g x x =−++， 则问题转化为：max ()a g x ≥，因为()()g x g x −=且定义域为R ，所以()g x =22ln(1)2x x −++是R 上的偶函数， 所以只需求()g x 在()0,∞+上的最大值即可．当[)0,x ∈+∞时，2()2ln(1)2x g x x =−++， ()()22122()111x x x x g x x x x x +−−−+'=−+==−+++， 则当()0,1x ∈时，()0g x '>；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<； 所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，可得：max 1()(1)2ln 22g x g ==−， 即12ln 22a ≥−， 故选：A ． 本课结束。
卷6-备战2022年高考数学(理)【名校地市好题必刷】全真模拟卷(全国卷专用)第二辑(解析版)
备战2022年高考数学（理）【名校地市好题必刷】全真模拟卷（全国卷专用）第六模拟（本卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（2022·河南·高三期末（理））已知集合{}0,N A x x a x =≤≤∈，{}1,2,3B =，若A B B =，则a 的取值范围是（ ） A ．{}3 B ．()3,+∞C ．[)3,4D ．[)3,+∞【答案】D 【解析】解：因为A B B =，所以B A ⊆， 又{}0,N A x x a x =≤≤∈，{}1,2,3B =， 所以3a ≥. 故选：D.2．（2022·安徽蚌埠·高三期末（理））设复数202212i 2i z +⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则z =（ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -【答案】B 【解析】()()()()12i 2i 12i 5i i 2i 2i 2i 5+++===--+，因此()()1011101120222i i 11z ===-=-. 故选：B.3．（2022·内蒙古赤峰·高三期末（理））设0x >且1x ≠，0y >且1y ≠，则“log 0x y <”是“()()110x y --<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】01log 01x x y y <<⎧<⇒⎨>⎩或101x y >⎧⎨<<⎩，因此有(1)(1)0x y --<，充分性满足，当(1)(1)0x y --<时，10,10x y --或10,10x y ->-<，结合前提条件可得log 0x y <，必要性满足．因此是充分必要条件． 故选：C ．4．（2022·吉林白山·高三期末（理））某保险公司销售某种保险产品，根据2020年全年该产品的销售额（单位：万元）和该产品的销售额占总销售额的百分比，绘制出如图所示的双层饼图.根据双层饼图，下列说法正确的是（ ）A ．2020年第四季度的销售额为380万元B ．2020年上半年的总销售额为500万元C ．2020年2月份的销售额为60万元D ．2020年12个月的月销售额的众数为60万元 【答案】D 【解析】不妨设全年总销售额为x 万元，则第二季度的销售额可得，(6%9%11%)260x ++=，解得，1000x =，选项A ：第四季度销售额为100028%280⨯=(万元)，故A 错误； 选项B ：由图可知，上半年销售额为160260420+=(万元)，故B 错误； 选项C ：由图可知，1月份和3月份销售额之和为1000(5%6%)110⨯+=(万元)， 故2月份的销售额为16011050-=(万元)，故C 错误；选项D ：由图易知，2月份的销售额占比为5%，从而由图可知，月销售额占比为6%的月份最多，故月销售额的众数为10006%60⨯=(万元)，故D 正确. 故选：D.5．（2022·内蒙古通辽·高三期末（理））酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量在20~80mg 之间为酒后驾车，80mg 及以上为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.2mg/mL ，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（ ）（参考数据：lg 20.3≈，lg30.48≈）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C 【解析】设该驾驶员至少需经过x 个小时才能驾驶汽车，则()120120%20x-<，所以81106x⎛⎫< ⎪⎝⎭，则8101lg 6lg 2lg3log 7.86lg 0.83lg 21x --->==≈-，所以该驾驶员至少需经过约8个小时才能驾驶汽车. 故选：C6．（2021·江西宜春·高三期末（理））我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来琢磨函数图象的特征.函数ln ||cos ()sin x xf x x x⋅=+在[,0)(0,]ππ-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 ()()ln ||cos ()sin x x f x f x x x-⋅--==---，为奇函数，排除A(1)0f =，()02f π=，()03f π>，()0f π<故选：D 【点睛】由解析式找图像的问题，可根据奇偶性，单调性，对称性，特殊值等排除选项，找出答案. 7．（2022·四川巴中·一模（理））已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则下列命题中错误的是（ ） A ．1n n n S S a q +=+⋅ B ．11n n S S qS +=+C ．2S ，42S S -，64S S -成等比数列D ．“12q =-”是“n S ，2n S +，1n S +成等差数列”的充要条件【答案】C 【解析】对于选项A ，因为11n n n S S a ++-=，又等比数列{}n a 的公比为q ，所以1n n a a q +=⋅ 所以1n n n S S a q +-=⋅，即1n n n S S a q +=+⋅，故A 正确；因为()111231123......n n n S qS a q a a a a a a q a q a q a q +=+++++=+++++ 12311...n n a a a a S ++=++++=，所以11n n S S qS +=+，故B 正确；当1q =-时，224640S S S S S =-=-=，显然此时2S ，42S S -，64S S -不能成等比数列，故C 错误；若n S ，2n S +，1n S +成等差数列，则212n n n n S S S S +++-=-，所以221n n n a a a ++++=-， 即122n n a a ++=-，所以1212n n a q a ++==，所以“12q =-”是“n S ，2n S +，1n S +成等差数列”的充要条件，故D 正确.8．（2022·吉林四平·高三期末（理））如图，1F 、2F 分别是双曲线C ：22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于点A 、B ．若2ABF 为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．4B 7C 23D 3【答案】B 【解析】解：根据双曲线的定义可得122BF BF a -=，因为2ABF 为等边三角形，所以2BF AB =，12120F AF ∠=︒ 所以112BF AB AF a -==，因为212AF AF a -=，所以2124AF AF a a =+=， 因为在12AF F △中，122,4AF a AF a ==，12120F AF ∠=︒， 所以2221212122cos120F F AF AF AF AF =+-⋅︒， 即222214416224282c a a a a a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以7c a ，所以双曲线的离心率为7ce a= 故选：B9．（2022·四川雅安·高三期末（理））我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛民用于抢险救灾､视频拍摄､环保监测等领域．如图，有一个从地面A 处垂直上升的无人机P ，对地面,B C 两受灾点的视角为BPC ∠，且1tan 3BPC ∠=．已知地面上三处受灾点,,B C D 共线，且90ADB ∠=，1km BC CD DA ===，则无人机P 到地面受灾点D 处的遥测距离PD 的长度是（ ）A 2kmB ．2kmC 3kmD ．4km【答案】B 【解析】提示：法一：由题意，得BD ⊥面,PAD BD PD ∴⊥．设,PD x =记,PBD PCD ∠α∠β==， ()212tan ,tan ,tan tan 22312xx x x x x x x αβθβα-∴==∴=-===++⋅，解得1x =或2x =，又在Rt PDA △中有1, 2.x x >∴=∴选B ．法二：由题，BD ⊥面,PAD BD PD ∴⊥．设PA x =，则22225,2PB x PC x =+=+．由1tan 3BPC ∠=33cos BPC ∠⇒=PBC 中，由余弦定理得2222310521252x x x x +++-=++23x =，进而21 2.PD x +=∴选B. 故选：B.10．（2022·广西·南宁市东盟中学高三期末（理））已知函数()()2sin (00)2f x x πωϕωϕ=+><<，的最小正周期为π，且它的图象关于直线23x π=对称，则下列说法正确的个数为（ ）①将()f x 的图象向右平移ϕ个单位长度后，得到函数2sin y x ω=的图象；②()f x 的图象经过点()01，； ③()f x 的图象的一个对称中心是5012⎛⎫⎪⎝⎭，π；④()f x 在123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数；A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】由最小正周期为π，得2ω=；由23x π=为对称轴，得()4 32k k Z ππϕπ+=+∈，02πϕ<<， 故k 取1，6π=ϕ，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．①()f x 的图象向右平移ϕ个单位长度后，得2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，错误；②()02sin 16f π==，正确；③52sin 012f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，正确； ④52636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，错误； 故选：C ．11．（2022·宁夏六盘山高级中学高三期末（理））已知圆C ：()()22232x y -+-=．若直线l ：0x y m ++=上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得60APB ∠=︒，则m 的取值范围是（ ） A ．(),9-∞- B ．(][),91,-∞⋃-+∞ C ．()1,-+∞ D ．[]9,1--【答案】D 【解析】解：根据题意，圆C ：()()22232x y -+-=的圆心为()2,3，半径2r =过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，连接PC ， 若60APB ∠=︒，则30APC ∠=︒，又由CA PA ⊥， 则||2||222PC CA r ===若直线l ：0x y m ++=上存在点P ，满足60APB ∠=︒， 则有C 到直线l 的距离2211d =≤+ 解可得：91m -≤≤-，即m 的取值范围为[]9,1--， 故选：D ．12．（2022·黑龙江·高三期末（理））已知函数()e sin xf x a x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．当1a =-时，()f x 在(0,)+∞单调递减B ．当1a =-时，()f x 在()()0,0f 处的切线为x 轴C ．当1a =时，()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<D ．对任意0a >，()f x 在()π,-+∞一定存在零点 【答案】C 【解析】对于选项A ，当1a =-时，()sin x f x e x =-，(0,)x ∈+∞，()cos 0x f x e x -'=>恒成立，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，故选项A 不正确；对于选项B ，当时，()sin x f x e x =-，(0)1f =，故切点为(0,1) ，()cos x f x e x '=-，所以切线斜率0)0k f ='(=，故直线方程为：10(0)y x -=-，即切线方程为：1y = ，故选项B 不正确；对于选项C ，当1a =时，()+sin x f x e x =，(,0)x π∈-，()+cos x f x e x '=，()sin 0x f x e x ''=->恒成立，所以()f x '单调递增，又3433()cos()044f e πππ-'-=+-<，2()02f e ππ-'-=> 故()f x '存在唯一极值点，不妨设3,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ ，则0()=0f x '，即00+cos =0x e x ，且003,()0;,()042x x f x x x f x ππ''-<<<<<->， 所以极小值000000()=+sin sin cos =2)(1,0)4xf x e x x x x π=--∈-，故选项C 正确；对于选项D ，对于()+sin x f x e a x =，(,+)x π∈-∞，令()0f x =，即+sin 0x e a x =，当,1x k k π=>-，且Z k ∈， 显然没有零点，故,1x k k π≠>-，且Z k ∈，所以sin x e a x =-则令()sin x e F x x =-，2(cos sin )()sin x e x x F x x -'=，令()=0F x '，解得+,14x k k k Z ππ=≥-∈，，所以3(,)4x ππ∈-- 单调递减，3(,0)4x π∈- 单调递增，有极小值343()240F e ππ-->，于是知(,0)x π∈-时得34()2F x e π- ，所以当342)a e π-∈时，函数无零点，对于条件中任意的0a >均有零点矛盾，故选项D 不正确；故选：C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（2022·安徽宣城·高三期末（理））已知向量()2,1a =，()1,b λ=-，若()2a b a +⊥，则a 与b 的夹角的余弦值是______． 【答案】213【解析】()()()24,21,3,2a b λλ+=+-=+，由于()2a b a +⊥，所以()()3,22,16280,8λλλλ+⋅=++=+==-， 则()1,8b =--，所以a 与b 的夹角的余弦值是2213565513a b a b⋅--===⨯⨯⋅.故答案为：21314．（2022·山西·祁县中学高三阶段练习（理））曲线()31()e x f x x mx -=-在点(1(1))f ，处的切线与直线410x y --=垂直，则该切线的方程为__________. 【答案】410x y +-= 【解析】由题意得()321()3e x f x x x mx m ---'=+，则(1)42f m '=-， 所以切线的斜率142k m =-.直线410x y --=的斜率214k =. 因为两直线相互垂直，所以121(42)14k k m =-=-，解得4m =， 则1(1)4k f '==-.所以()31()4e x f x x x -=-，则(1)3f =-， 故该切线的方程为34(1)y x +=--，即410x y +-=. 故答案为：410x y +-=15．（2022·云南昆明·高三期末（理））在ABC 中，60BAC ∠=︒，3BC =，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，若2AD =，则ABC 的面积为__________.33【解析】∴由正弦定理，sin sin6BDAD B π=，sin sin 6DC ADC π=，即1sin sin 6sin AD BD B Bπ=⋅=，1sin sin 6sin AD DC C Cπ=⋅=，而3BC =， ∴113sin sin B C+=， ∵23sin sin sin AB AC BC C B BAC ===∠123sin C =123sin B =， ∴113AC AB +=3AB AC AB +=⋅， 又由余弦定理知：2222cos AC AB AC AB BAC BC +-⋅⋅∠=，∴229AC AB AC AB +-⋅=，即2()39AC AB AC AB +-⋅=，令x AC AB =⋅， ∴24120x x --=，即6x =（2x =-舍去）， ∴133sin 2ABCSAC AB BAC =⋅⋅∠=3316．（2022·四川南充·高三期末（理））已知O 为坐标原点，抛物线C ：()220y px p =>上一点A 到焦点F 的距离为4，设点M 为抛物线C 准线l 上的动点，给出以下命题： ①若△MAF 为正三角形时，则抛物线C 方程为24y x =； ②若AM l ⊥于M ，则抛物线在A 点处的切线平分MAF ∠； ③若3MF FA =，则抛物线C 方程为26y x =；④若OM MA +的最小值为213，则抛物线C 方程为28y x =． 其中所有正确的命题序号是________． 【答案】①②③④ 【解析】①若△MAF 为正三角形时，122p AM ==，故①正确； ②若AM l ⊥于M ，设 ()00,A x y ，过A 的切线m 方程为:00x ty ty x =-+，代入22y px =得2002220y pty pty x -+-=，()()20024220pt pty x ∆=---=，又202y px =，()200tp y ∴-=， 0y t p=，所以过A 点的切线的斜率为0p k y =，因为00022MF y yk p p p -==---，所以过A 的切线m MF ⊥，又AM AF =, 故抛物线在A 点处的切线平分MAF ∠，②正确③若3MF FA =，则A M F 、、三点共线，4,12AF MF ==， 由三角形的相似比得12,3164pp ==，故③正确；④设(),0B p -则214,82A p p p ⎛-±- ⎝，O B 、关于准线l 对称，OM BM =，2221482132O p M BM MA A M B p p A ⎛⎫⎛⎫=+≥==++±- ⎪⎪⎝⎭⎭+ ⎝1402p ->,解得4p =，故④正确. 故答案为: ①②③④三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（2022·安徽宣城·高三期末（理））记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列{}n S 的前n 项和，已知2n n S T +=．（1）求证：数列{}n S 是等比数列； （2）求数列{}n na 的前n 项和n A ． 【解析】（1）因为n T 为数列{}n S 的前n 项和， 当1n =时，1111122S T S S S +=+==，则11S = 当2n ≥时，1n n n T T S --=2n n S T +=① 112n n S T --+=②，①－②得()122n n S S n -=≥，得()1122n n S n S -=≥ 所以数列{}n S 是首项为1公比为12的等比数列．（2）由（1）可得，数列{}n S 是以11S =为首项，以12为公比的等比数列，所以112n n S -⎛⎫= ⎪⎝⎭．当1n =时，1111a S T ===，当2n ≥时，1211111222n n n n n n a S S ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，显然对于1n =不成立，所以11,11,22n n n a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 当1n =时，111A a ==当2n ≥时，21111123222n n A n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦23111112322222nn A n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦上下相减可得2311111111222222n nn A n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++-⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()211142111112122212n n nn n -⎡⎤⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-+-⋅=-++⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎢⎥⎣⎦则()11222n n A n -⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭又1n =时，13121A =⨯-=综上，()11222n n A n -⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭18．（2022·安徽蚌埠·高三期末（理））第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京举行，冬季两项是冬奥会的正式项目之一，冬季两项是把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起进行的运动，要求运动员既要有由动转静的能力，又要有由静转动的能力.20km 男子个人赛是冬季两项中最古老的奥运项目，分成5个阶段：第1圈滑行后卧射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后卧射，第4圈滑行后立射，第5圈滑行直达终点．比赛时，运动员单个出发，随身携带枪支和20发子弹，每轮射击发射5发子弹，每脱靶一次加罚1分钟．成绩的计算是越野滑雪的全程时间加被罚的时间，比赛结束所耗总时间少者获胜．已知甲、乙两名参赛选手在射击时每发子弹命中目标的概率均为0.8． （1）试求甲选手在一轮射击中，被罚时间X 的分布列及期望；（2）若甲、乙两名选手在滑道上滑行所耗时间相同，在前三轮射击中甲选手比乙选手多罚了3分钟，试求在四轮射击结束后，甲选手所罚总时间比乙选手所罚总时间少的概率（保留小数点后4位）．（参考数据：50.80.32768=，40.80.4096=．） 【解析】（1）因为一轮射击中，共发射5发子弹，脱靶一次罚时1分钟， 所以一轮射击中，被罚时间X 的值可能为0，1，2，3，4，5．()500.80.32768P X ===，()1451C 0.20.80.4096P X ==⨯=，()()22352C 0.20.80.2048P X ==⨯=，()()33253C 0.20.80.0512P X ==⨯=，()()4454C 0.20.80.0064P X ==⨯=，()()5555C 0.20.00032P X ===，所以X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P0.327680.40960.20480.05120.00640.00032（2）依题意，甲选手所罚总时间比乙选手所罚总时间少，在第四轮射击中，共有两种可能，第一种情况，甲5发子弹都击中，乙击中0发或1发；第二种情况，甲击中4发子弹，乙击中0发，所以甲选手所罚总时间比乙选手所罚总时间少的概率为()5514145550.80.2C 0.20.8C 0.20.80.20.0023P =⨯+⨯+⨯⨯=．19．（2022·江西·新余市第一中学高三期末（理））如图1，已知ADE 为等边三角形，四边形ABCD 为平行四边形，1,2,5BC BD BA ===把ADE 沿AD 向上折起，使点E 到达点P 位置，如图2所示；且平面PAD ⊥平面PBD ．（1）证明：PA BD ⊥；（2）在（1）的条件下求二面角A PB C --的余弦值． 【解析】（1）证明：如图，设PD 的中点为F ，连接AF ．∵ADP △为等边三角形，∴AF PD ⊥．又平面PAD ⊥平面PBD ，平面PAD 平面PBD PD =，∴AF ⊥平面PBD ．∵BD ⊂平面PBD ，∴BD AF ⊥． ∵1,2,5AD BC BD BA ==== ∴222AD BD AB +=，∴BD AD ⊥． 又ADAF A =，∴BD ⊥平面PAD ．又∵PA ⊂平面PAD ，∴PA BD ⊥．（2）由（1）知BD ⊥平面PAD ，则平面PAD ⊥平面ABD ． 设AD 中点为O ，连接PO ，则PO AD ⊥．又平面PAD ⊥平面ABD ，平面PAD 平面ABD AD =，∴PO ⊥平面ABD ． 设AB 中点为O '，连接OO '． ∵//OO BD '，∴OO AD '⊥，故以点O 为坐标原点，OA ，OO '，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则1133,0,0,,2,0,,2,0,222A B C P ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴1313,0,,,2,222PA PB ⎛⎫⎛=-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，33,2,2PC ⎛=- ⎝⎭．设平面PAB 的法向量为(,,)m x y z =，由130,213202m AP x m PB x y z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩得3,3,x z y ⎧=⎪⎨=⎪⎩取 2z =，则(23,3,2)m =设平面PBC 的法向量为(,,)n a b c =，由1320,233202n PB a b n PC a b ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩得0,3a b =⎧⎪⎨=⎪⎩取4c =-，则(0,3,4)n =--，11cos ,19||||1919m n m n m n ⋅-〈〉===-⨯∴二面角A PB C --的余弦值为1119-20．（2022·四川·成都七中高三期末（理））已知两圆222212:(2)54,:(2)6C x y C x y -+=++=，动圆M 在圆1C 内部且和圆1C 内切，和圆2C 外切. （1）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（2）过点()3,0A 的直线与曲线C 交于,P Q 两点.P 关于x 轴的对称点为R ，求ARQ 面积的最大值. 【解析】（1）依题意，圆1C 的圆心()12,0C ，半径136r =，圆2C 的圆心()22,0C -，半径26r 设圆M 的半径为r ，则有11MC r r =-，22MC r r =+，因此，121212464MC MC r r C C +=+=>=，于是得点M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴长246a =24c =，短半轴长b 有：22220b a c =-=，所以动圆圆心M 的轨迹C 的方程为：2212420x y +=. （2）显然直线PQ 不垂直于坐标轴，设直线PQ 的方程为3(0)x my m =+≠，1122(,),(,)P x y Q x y ， 由22356120x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得：22(56)30750m x my ++-=，则1223056my y m +-+=，1227565y y m =-+，点P 关于x 轴的对称点11(,)R x y -，1211|2|||2PQRSy x x =⋅⋅-，111232APRS y x =⋅⋅-，如图，显然1x 与2x 在3的两侧，即21x x -与13x -同号， 于是得()()()1211121133AQRPQRAPRSSSy x x x y x x x =-=---=⋅---121212275||656765||5|5||5302||3|||||||||||m y x y m m m my my y m m ++⋅=≤==⋅-=⋅==， 当且仅当|||65|m m =，即30m =“=”，因此，当30m =时，max(50)3AQR S =所以ARQ 530. 21．（2022·江西·新余市第一中学高三期末（理））已知函数1()ln f x x a x=++. （1）当12a =-时，求函数()f x 在(2,(2))f 处的切线方程；（2）当(0,2)a ln ∈，证明：函数()()x g x e f x =存在唯一极值点0x ，且0()0g x >. 【解析】解：（1）当12a =-时，11()ln 2f x x x =+-，22111()x f x x x x -'=-=，f ∴'（2）14=，f （2）ln 2=， ∴函数()f x 在(2，f （2）)处的切线方程为：1ln 2(2)4y x -=-，整理为44ln 220x y -+-=.（2）证明：函数1()()()x x g x e f x e lnx a x==++，(0,)x ∈+∞.221()(ln )x g x e x a x x '=+-+， 设221()ln h x x a x x =+-+， x R ∀∈，0x e >，因此()'g x 与()h x 的符号相同.2233122(1)1()x h x x x x x '-+=-+=，显然，当0x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增.又h （1）02110a a =+-+=+>，11()ln 44ln 2022h a a =+-+=-<.((0,2))a ln ∈，∴存在唯一01(2x ∈，1)，使得0()0h x =.对于()g x ，则有0(0,)x x ∈时，()0g x '<；0(x x ∈，)+∞时，()0g x '>.∴函数()()x g x e f x =存在唯一极值点0x ，01(2x ∈，1).由0()0h x =，可得：020021ln 0x a x x +-+=，解得020021ln a x x x =--+，0000000222000000111211()(ln ln )()x x x x g x e x x e e x x x x x x -∴=++--=-=， 01(2x ∈，1)，0()0g x ∴>.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（2022·西藏昌都市第三高级中学高三期末（理））在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数，0απ<<）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos sin θρθ=. （1）求曲线C 以及直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，若||8AB =，求α值. 【解析】 解：（1）由22cos sin θρθ=，得2sin 2cos ρθθ=，22sin 2cos ρθρθ∴=，即22y x =， 由题知sin y t α=，代入1cos 2x t α=+整理得2sin 2cos sin 0x y ααα--=. （2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程得：22sin 2cos 10t t αα--= ()222cos 4sin 40αα∆=-+=>设12,t t 是方程的根，则：1222cos sin t t αα+=，1221sin t t α=- ∴()221212124224cos 4248sin sin sin AB t t t t t t αααα=-+-+== 21sin 4α∴=，又0απ<< 1sin 2α∴=6πα∴=或56π23．（2022·陕西宝鸡·一模（理））关于x 的不等式3ax x -≤的解集为[]1,b ，其中1a >． （1）求实数a ，b 的值； （2）若正数m ，n 满足2m a n +=，求2n m+的最小值． 【解析】（1）依题意，不等式3ax x -≤化为：22(1)690a x ax --+≤，而1a >，则1,b 是方程22(1)690a x ax --+=的二根，且1b >，因此，2680a a -+=且291b a =-，解2680a a -+=得2a =或4a =， 当2a =时，3b =，符合题意，当4a =时，315b =<不符合题意， 所以2a =，3b =. （2）由(1)知，2a =，22m n+=，而0,0m n >>， 则有21221414()()(4)(42)4222n m n mn mn m n m mn mn+=++=++≥+⋅=，当且仅当4mn mn =时取“=”，由422mn mn m n ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得：1,2m n ==，所以当1,2m n ==时，2n m+取最小值4.。
新(全国甲卷)高考数学大二轮总复习与增分策略 专题六 解析几何 第1讲 直线与圆练习 文-人教版高三
第1讲 直线与圆1．(2016·山东改编)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是________． 答案 相交解析 ∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2， ∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1为a ， 圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2，由几何知识得⎝⎛⎭⎪⎫|a |22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2. ∴M (0,2)，r 1＝2.又圆N 的圆心坐标为N (1,1)，半径r 2＝1， ∴MN ＝1－02＋1－22＝2，r 1＋r 2＝3，r 1－r 2＝1.∴r 1－r 2＜MN ＜r 1＋r 2，∴两圆相交．2．(2016·上海)已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1与l 2的距离是________． 答案2553．(2016·浙江)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是______．半径是______． 答案 (－2，－4) 5解析 由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．4．(2016·课标全国乙)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若AB ＝23，则圆C 的面积为________．答案 4π解析 圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0，即C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由AB ＝23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以圆的面积为π(a 2＋2)＝4π.考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题．直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以填空题的形式出现．热点一 直线的方程及应用 1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在． 2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． 3．两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2. (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.例1 (1)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是________．(2)过点(5,2)且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是______________． 答案 (1)3或5 (2)2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0解析 (1)两直线平行，则A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0，所以有－2(k －3)－2(k －3)(4－k )＝0，解得k ＝3或5，且满足条件A 1C 2－A 2C 1≠0.(2)若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为y ＝kx ，由直线过点(5,2)，可得k ＝25，此时直线方程为2x －5y ＝0；若直线在坐标轴上的截距不为0，根据题意设直线方程为x a ＋y2a＝1，由直线过点(5,2)，可得a ＝6，此时直线方程为2x ＋y －12＝0.思维升华 (1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．跟踪演练1 已知直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0与直线l 2：(3－a )x －y ＋a ＝0，若l 1⊥l 2，则a 的值为________． 答案 1或2解析 由l 1⊥l 2，则a (3－a )－2＝0， 即a ＝1或a ＝2.热点二 圆的方程及应用 1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2. 2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以(－D 2，－E 2)为圆心，D 2＋E 2－4F2为半径的圆．例2 (1)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为______________． (2)过点A (a ，a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的两条切线，则实数a 的取值范围为________________．答案 (1)(x －2)2＋(y ±3)2＝4 (2)a <－3或1<a <32解析 (1)因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(2－1)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝± 3.(2)圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的圆心为(a,0)，且a <32，并且(a ，a )在圆外，即有a 2>3－2a ，解得a <－3或1<a <32.思维升华 解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．跟踪演练2 (1)(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________________．(2)两条互相垂直的直线2x ＋y ＋2＝0和ax ＋4y －2＝0的交点为P ，若圆C 过点P 和点M (－3,2)，且圆心在直线y ＝12x 上，则圆C 的标准方程为______________．答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254(2)(x ＋6)2＋(y ＋3)2＝34解析 (1)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点， (4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2)， 令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为52. 得该圆的标准方程为(x －32)2＋y 2＝254.(2)由直线2x ＋y ＋2＝0和直线ax ＋4y －2＝0垂直得2a ＋4＝0，故a ＝－2，代入直线方程，联立解得交点坐标为P (－1,0)，易求得线段MP 的垂直平分线的方程为x －y ＋3＝0，设圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，则圆心(a ，b )为直线x －y ＋3＝0与直线y ＝12x的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＝0，y ＝12x ，解得圆心坐标为(－6，－3)，从而得到r 2＝34，所以圆C 的标准方程为(x ＋6)2＋(y ＋3)2＝34.热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法． (1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则d <r ⇔直线与圆相交，d ＝r ⇔直线与圆相切，d >r ⇔直线与圆相离．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2＋y －b2＝r2消去y ，得关于x 的一元二次方程根的判别式Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．设圆C 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21，圆C 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22，两圆心之间的距离为d ，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下： (1)d >r 1＋r 2⇔两圆外离； (2)d ＝r 1＋r 2⇔两圆外切； (3)|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2⇔两圆相交； (4)d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内切； (5)0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内含．例3 (1)已知直线y ＝kx (k >0)与圆C ：(x －2)2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，若AB ＝255，则k ＝_________.(2)若直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2恰有一个公共点，则b 的取值范围是____________． 答案 (1)12(2)(－1,1]∪{－2}解析 (1)圆心C ()2，0，半径为1，圆心到直线的距离d ＝||2k k 2＋1，而AB ＝255，得(||2k k 2＋1)2＋⎝⎛⎭⎪⎫552＝1，解得k ＝12. (2)曲线x ＝1－y 2，即x 2＋y 2＝1(x ≥0)表示一个半径为1的半圆，如图所示．当直线y ＝x ＋b 经过点A (0,1)时，求得b ＝1； 当直线y ＝x ＋b 经过点B (1,0)时，求得b ＝－1；当直线和半圆相切于点D 时，由圆心O 到直线y ＝x ＋b 的距离等于半径， 可得|0－0＋b |2＝1，求得b ＝－2，或b ＝2(舍去)．故当直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2恰有一个公共点时，b 的取值范围是－1<b ≤1或b ＝－2.思维升华 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．跟踪演练3 (1)过点P (－4,0)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝5相交于A ，B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为____________．(2)已知在平面直角坐标系中，点A (22，0)，B (0,1)到直线l 的距离分别为1,2，则这样的直线l 共有________条． 答案 (1)x ±3y ＋4＝0 (2)3解析 (1)如果直线l 与x 轴平行，则A (1－5，0)，B (1＋5，0)，A 不是PB 的中点，则直线l 与x 轴不平行；设l ：x ＝my －4，圆心C 到直线l 的距离d ＝5m 2＋1，令AB 中点为Q ，则AQ ＝5－d 2，PQ ＝3AQ ＝35－d 2，在Rt△CPQ 中PQ 2＋CQ 2＝PC 2，得d 2＝52＝251＋m 2，解得m ＝±3，则直线l 的方程为x ±3y ＋4＝0.(2)由题意得直线l 为圆(x －22)2＋y 2＝1(A 为圆心)与圆x 2＋(y －1)2＝4(B 为圆心)的公切线，∵AB ＝222＋－12＝3＝1＋2，∴两圆外切，∴两圆共有3条公切线．故答案为3.1．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成的两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为______________．押题依据 直线和圆的方程是高考的必考点，经常以填空题的形式出现，利用几何法求圆的方程也是数形结合思想的应用． 答案 x 2＋(y ±33)2＝43解析 由已知得圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π.设圆心坐标为(0，a )，半径为r ， 则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33， 故圆C 的方程为x 2＋(y ±33)2＝43. 2．设m ，n 为正实数，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －4＝0与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0相切，则mn 的最小值为________．押题依据 直线与圆的位置关系是高考命题的热点，本题与基本不等式结合考查，灵活新颖，加之直线与圆的位置关系本身承载着不等关系，因此此类题在高考中出现的可能性很大． 答案 3＋2 2解析 根据圆心到直线的距离是2得到m ，n 的关系，然后结合不等式即可求解． 由直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －4＝0与圆(x －2)2＋(y －2)2＝4相切，可得2|m ＋n |m ＋12＋n ＋12＝2，整理得m ＋n ＋1＝mn ，由m ，n 为正实数，可知m ＋n ≥2mn ，令t ＝mn ，则2t ＋1≤t 2，因为t >0，所以t ≥1＋2，所以mn ≥3＋2 2.故mn 有最小值3＋22，无最大值．3．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0(a >0)相交，公共弦的长为22，则a ＝________. 押题依据 本题已知公共弦长，求参数的范围，情境新颖，符合高考命题的思路． 答案102解析 联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0，可得公共弦所在直线方程为ax ＋2ay －5＝0， 故圆心(0,0)到直线ax ＋2ay －5＝0的距离为|－5|a 2＋4a2＝5a (a >0)．故222－5a2＝22，解得a 2＝52，因为a >0，所以a ＝102.A 组 专题通关1．设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且PA ＝PB ，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是____________． 答案 x ＋y －5＝0解析 由于直线PA 的倾斜角为45°，且PA ＝PB ，故直线PB 的倾斜角为135°，又由题意知P (2,3)，∴直线PB 的方程为y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0.2．(教材改编)设直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则a ＝________. 答案 0解析 由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，得(|a ＋1|a 2＋1)2＋(－3)2＝22，解得a ＝0.3．过坐标原点且与圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋52＝0相切的直线的方程为________________．答案 3x ＋y ＝0或x －3y ＝0解析 设直线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0. ∵圆方程可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝52，∴圆心为(2，－1)，半径为102. 依题意有|2k ＋1|k 2＋1＝102，解得k ＝－3或k ＝13，∴直线方程为3x ＋y ＝0或x －3y ＝0.4．已知圆O 1的方程为x 2＋y 2＝4，圆O 2的方程为(x －a )2＋y 2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a 的所有取值构成的集合是____________． 答案 {1，－1,3，－3}解析 ∵两个圆有且只有一个公共点， ∴两个圆内切或外切．内切时，|a |＝1；外切时，|a |＝3，∴实数a 的取值集合是{1，－1,3，－3}．5．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM ＋PN 的最小值为__________． 答案 52－4解析 两圆的圆心均在第一象限，先求PC 1＋PC 2的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C 1′(2，－3)，则(PC 1＋PC 2)min ＝C 1′C 2＝52，所以(PM ＋PN )min ＝52－(1＋3)＝52－4.6．已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋1＝0，l 1∥l 2，则a 的值为________，直线l 1与l 2间的距离为________．答案 －12解析 ∵l 1∥l 2，∴a ·1＝－1·1⇒a ＝－1， 此时l 1：x ＋y －1＝0，∴l 1，l 2之间的距离为|1－－1|2＝ 2.7．在平面直角坐标系xOy 中，过点P ()－2，0的直线与圆x 2＋y 2＝1相切于点T ，与圆()x －a 2＋()y －32＝3相交于点R ，S ，且PT ＝RS ，则正数a 的值为________．答案 4解析 由题意得PT ＝22－1＝3，k PT ＝33，PT ：y ＝33(x ＋2)，即x －3y ＋2＝0，又RS ＝PT ＝3，所以圆()x －a 2＋()y －32＝3的圆心到直线PT 距离为3－322＝32，从而|a －1|2＝32，因此正数a 的值为4. 8．(2016·课标全国丙)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若AB ＝23，则CD ＝______.答案 4解析 设AB 的中点为M ，由题意知，圆的半径R ＝23，AB ＝23，所以OM ＝3，解得m ＝－33， 由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，解得A (－3，3)，B (0,23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x＋3)，BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0，解得C (－2,0)，D (2,0)，所以CD ＝4. 9．已知点A (3,3)，B (5,2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程．解 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得交点P (1,2)．①若点A ，B 在直线l 的同侧，则l ∥AB . 而k AB ＝3－23－5＝－12，由点斜式得直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.②若点A ，B 分别在直线l 的异侧，则直线l 经过线段AB 的中点(4，52)，由两点式得直线l 的方程为y －2x －1＝52－24－1，即x －6y ＋11＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或x －6y ＋11＝0.10．(2015·课标全国Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求MN . 解 (1)由题设可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝41＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k 1＋k 1＋k2＋8. 由题设可得4k 1＋k 1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1， 所以l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在l 上，所以MN ＝2.B 组 能力提高11．直线y ＝k (x －1)与以A (3,2)，B (2，3)为端点的线段有公共点，则k 的取值范围是________． 答案 [1,3]解析 因为直线y ＝k (x －1)恒过P (1,0)，画出图形，直线y ＝k (x －1)与以A (3,2)，B (2,3)为端点的线段有公共点，则直线落在阴影区域内，因为k PA ＝2－03－1＝1， k PB ＝3－02－1＝3，故k 的取值范围是[1,3]．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x －1)2＋y 2＝2，圆C 2：(x －m )2＋(y ＋m )2＝m 2，若圆C 2上存在点P 满足：过点P 向圆C 1作两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，△ABP 的面积为1，则正数m 的取值范围是__________．答案 [1,3＋23]解析 设P (x ，y )，设PA ，PB 的夹角为2θ.△ABP 的面积S ＝12PA 2sin 2θ＝PA 2·2PC 1·PA PC 1＝1. 由2PA 3＝PC 21＝PA 2＋2，解得PA ＝2，所以PC 1＝2，所以点P 在圆(x －1)2＋y 2＝4上．所以|m －2|≤m －12＋－m 2≤m ＋2，解得1≤m ≤3＋2 3.13．已知圆O ：x 2＋y 2＝4，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P 、Q 两点，且满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为________．答案 ±1解析 设l ：y ＝kx ＋b (b ≠0)，代入圆的方程，化简得(1＋k 2)x 2＋2kbx ＋b 2－4＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，得x 1＋x 2＝－2kb 1＋k 2，x 1x 2＝b 2－41＋k 2， k OP ·k OQ ＝y 1x 1·y 2x 2＝(k ＋bx 1)(k ＋b x 2) ＝k 2＋kb (x 1＋x 2x 1x 2)＋b 2x 1x 2 ＝k 2＋kb (－2kb b 2－4)＋b 21＋k 2b 2－4＝k 2b 2－4－2k 2b 2＋k 2b 2＋b 2b 2－4＝b 2－4k 2b 2－4， 由k OP ·k OQ ＝k 2l ，得b 2－4k 2b 2－4＝k 2， 解得k ＝±1.14．已知以点C (t ，2t)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点． (1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．(1)证明 由题意知圆C 过原点O ，且OC 2＝t 2＋4t 2. 则圆C 的方程为(x －t )2＋(y －2t )2＝t 2＋4t 2， 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t； 令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t .故S △OAB ＝12OA ×OB ＝12×|2t |×|4t|＝4， 即△OAB 的面积为定值．(2)解 ∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，∴OC 垂直平分线段MN .∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12，∴直线OC 的方程为y ＝12x ， ∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15＜5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点；当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95>5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴t ＝－2不符合题意，应舍去．综上，圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.。
2023届新高考数学复习：专项(等高线问题)经典题提分练习(附答案)
2023届新高考数学复习：专项（等高线问题）经典题提分练习一、单选题1．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设函数()22,0ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩①若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是()0,1②若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++的取值范围是()0,∞+③若方程()f x ax =有四个不同的实根，则a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭④方程()()2110f x a f x a ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭的不同实根的个数只能是1，2，3，6四个结论中，正确的结论个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()221,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1234,,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则()3122341x x x x x ⋅++⋅的取值范围是（ ）A ．(]1,1-B ．[]1,1-C ．[)1,1-D ．()1,1-3．（2023秋ꞏ四川泸州ꞏ高一四川省泸县第四中学校考阶段练习）已知函数()32log ,031108,333x x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若方程()f x m =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，则()()341233x x x x --的取值范围是（ ）A ．()0,3B ．(]0,4C ．(]3,4D ．()1,34．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数f (x )＝11,1211,12xx x x ⎧⎛⎫-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪-+>⎪⎩…，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则123111222x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎭⎝的取值范围是（ ）A ．（95,42）B ．（1，4）C ．4）D ．（4，6）5．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知定义域为()0,6的函数()y f x =的图象关于3x =对称，当(]0,3x ∈时，()ln f x x =，若方程()f x t =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<时，都有()223412190k x x x x -++-≥成立，则实数k 的最小值为（ ）A ．724 B ．13C ．12D ．1136．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()22,0,()2,0xx x f x g x x x e x >⎧==-+⎨≤⎩（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())0g f x m -=恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则21322x x x --的最小值为（ ） A ．ln 33-B ．3ln 22-C ．ln 23-D ．1-7．（2023ꞏ吉林长春ꞏ东北师大附中校考模拟预测）已知函数3e ,0()3,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()22g x x x=-+（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程()(())F x g f x m =-恰有三个不同的零点123,,x x x ，且123x x x <<，则12333x x x -+的最大值为（ ）A ．31ln 4+B ．41ln 3+C ．3ln 3-D ．3ln 3+8．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()22322,,log ,,x mx m x m f x x x m ⎧-++≤⎪=⎨>⎪⎩，其中01m <<，若存在实数a ，使得关于x 的方程()f x a =恰有三个互异的实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,14⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,19⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,9⎛⎫ ⎪⎝⎭9．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数lg ,0()lg(),0x x g x x x ⎧>⎪=⎨--<⎪⎩，若关于x 的方程()()5222g x g x -+=有四个不等根1234,,,x x x x ，则()()()()12341234x x x x g x g x g x g x +++++++的值是（ ）A ．0B ．2C ．4D ．810．（2023秋ꞏ宁夏ꞏ高三宁夏大学附属中学校考阶段练习）已知函数22,0(){|log |,0x x f x x x +≤=>，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个不同实数解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则1234x x x x +++的取值范围为 （ ） A ．1(2,4-B ．1[2,]4-C ．[2,)-+∞D ．(2,)-+∞11．（2023秋ꞏ湖北武汉ꞏ高一期末）已知函数()()2242,1,log 1,1,x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，若关于x 的方程()f x t =有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则)1234122x x x x ++的最小值为（ ） A ．72B ．8C ．92D ．1212．（2023秋ꞏ河南郑州ꞏ高一新密市第一高级中学校考阶段练习）已知函数()()22log 1,131255,322x x f x x x x ⎧+-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =有四个不同的实数解1234,,,x x x x ，且满足1234x x x x <<<，则下列结论正确的是（ ）A ．121x x =-B ．[]3421,25x x ∈C ．3422x x +=D ．12111x x +=- 13．（2023秋ꞏ江西上饶ꞏ高一统考期末）已知函数()()221,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x 且1234x x x x <<<，则()3122342x x x x x -+的取值范围是（ ） A ．()4,5 B ．(]4,5C ．()4,+∞D ．[)4,+∞14．（2023春ꞏ全国ꞏ高三校联考专题练习）已知函数11()||||f x x a x b xa x=++-+--有五个不同的零点，且所有零点之和为52，则实数b 的值为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．7二、多选题15．（2023秋ꞏ云南昆明ꞏ高一统考期末）已知函数ln(2),(2,0]()(2),(0,2]x x f x f x x ⎧+∈-=⎨-∈⎩，函数()y f x m =-有四个不同的零点，且从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，则下列结论正确的是（ ）A ．121=x xB ．1201≤<x xC ．341x x =D ．2410-<≤x x16．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()e ,0,lg ,010,11,10,x x x f x x x x x ⎧⋅≤⎪=<<⎨⎪-+≥⎩，若22()3()()2g x f x mf x m =--有6个不同的零点分别为123456,,,,,x x x x x x ，且()()()123456345,x x x x x x f x f x f x <<<<<==，则下列说法正确的是（ ）A ．当0x ≤时，()10ef x -≤≤B ．34x x +的取值范围为1012,10⎛⎫⎪⎝⎭C ．当0m <时，()()()()1234563f x f x f x x x f x +++的取值范围为1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．当0m >时，()()()()1234563f x f x f x x x f x +++的取值范围为20,3e ⎛⎫⎪⎝⎭17．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设函数22,0()ln ,0x x x f x x x ⎧--⎪=⎨>⎪⎩…，则下列命题中正确的是（ ）A ．若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是(0,1)B ．若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++的取值范围是(0,)+∞C ．若方程()f x ax =有四个不同的实根，则a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．方程21()()()10f x a f x a-++=的不同实根的个数只能是1，2，3，618．（2023秋ꞏ辽宁大连ꞏ高一育明高中校考期末）已知函数()()22log 2,241617,42x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若方程()f x m =有四个不同的实根1234,,,x x x x ，满足1234x x x x <<<，则下列说法正确的是（ ）A ．()121242x x x x +=+B ．3412x x +=C ．()3432,34x x ∈D ．函数()()()()21g x f x m f x m =+--的零点为12346,,,,x x x x19．（2023秋ꞏ山西太原ꞏ高一古交市第一中学校校考阶段练习）已知函数22log ,02()813,2x x f x x x x ⎧<<=⎨-+≥⎩，若f (x )=a 有四个不同的实数解x 1，x 2，x 3，x 4，且满足x 1<x 2<x 3<x 4，则下列命题正确的是（ ） A ．0<a <1B．12922x x ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭C ．12342110,2x x x x ⎛⎫+++∈ ⎪⎝⎭D．)122x x ⎡+∈⎣20．（2023秋ꞏ重庆铜梁ꞏ高一校考期中）已知奇函数()f x 的定义域为R ，()3f x +为偶函数，且()f x 在[]0,3上单调递减．若关于x 的方程()f x a =在区间[]12,12-上有4个不同的根1234,,,x x x x ，则（ ） A ．()()6f x f x =+B ．()f x 的图象关于直线3x =对称C ．1234x x x x +++的值可能为12-D ．1234x x x x +++的值可能为1221．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设函数()2101,0lg ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的值可能是（ ） A ．0B ．1C ．99D ．100三、填空题22．（2023秋ꞏ石河子一中校考阶段练习）已知函数()2e ,0ln ,>0x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪⎩，若函数()y f x b=-有四个不同的零点1x 、2x 、3x 、4x ，且1234x x x x <<<，则以下结论正确的是_____.①22342x x +>；②20eb <<； ③122x x +=-； ④()13422x x x x +<-.23．（2023ꞏ贵州贵阳ꞏ校联考模拟预测）已知函数()()22log 1,13,1910,3,22x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩若方程()f x m =有四个不同的实根1234,,,x x x x ，满足1234x x x x <<<，则()()()()34121111x x x x ----的取值范围是______.24．（2023秋ꞏ河南郑州ꞏ高一郑州市第七中学校考期末）已知函数()()2121xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，，，若方程()f x a =有四个不相等的实数根1x ，2x ，3x ，4x ，则22222341x x x x +++的取值范围为__________.25．（2023春ꞏ广东揭阳ꞏ高一校考阶段练习）已知函数()()ln ,036,36x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，若当方程()f x m =有四个不等实根()12341234,,,x x x x x x x x <<<时，不等式22341230kx x x x k ++≤+恒成立，则实数k 的最大值为____________.26．（2023秋ꞏ江西宜春ꞏ高一江西省丰城中学校考阶段练习）设()()ln ,024,24x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩若方程()f x m =有四个不相等的实根()1,2,3,4i x i =，且1234x x x x <<<，则()2221234x x x x +++的取值范围为___________.27．（2023秋ꞏ湖北ꞏ高一赤壁一中校联考阶段练习）()22log ,0269,2x x f x x x x ⎧<<=⎨-+≥⎩，若关于x 的方程()()()()222100f x t f x t t t -+++=≤有且仅有四个不相等的实数根1x 、2x 、3x 、()41234x x x x x <<<，则1234x x x x t +++的取值范围为__________.28．（2023ꞏ江苏ꞏ高一期末）已知函数22122,0()2log ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩，若关于x 的方程 f （x ） =a 有四个不同的解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则212344x x x x x ++的取值范围是 _________ 29．（2023秋ꞏ河南濮阳ꞏ高三濮阳南乐一高校考阶段练习）已知函数()()()333322f x x a x b x a x =++-+--有五个不同的零点，且所有零点之和为52，则实数b 的值为______．30．（2023秋ꞏ福建福州ꞏ高一福州四中校考期末）已知函数22sin (10)()44(01)log (1)x x f x x x x x x π-<⎧⎪=-<⎨⎪-⎩………，若()()h x f x a =-有5个零点，则这五个零点之和的取值范围是____________． 四、双空题31．（2023秋ꞏ江西抚州ꞏ高二校联考阶段练习）已知函数ln ,02()(4),24x x f x f x x ⎧<≤=⎨-<<⎩，若当方程()f x m =有四个不等实根1x 、2x 、3x 、4x ，(1x ＜2x ＜3x ＜4x ) 时，不等式22341211kx x x x k ⋅++≥+恒成立，则x 1ꞏx 2=________，实数k 的最小值为___________．32．（2023秋ꞏ天津和平ꞏ高三耀华中学校考阶段练习）设()()ln ,024,24x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，若方程() f x m =恰有三个不相等的实根，则这三个根之和为________；若方程() f x m =有四个不相等的实根()1,2,3,4i x i =，则()2221234x x x x +++的取值范围为______. 33．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()12,011,04x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩ ，若函数3()()2g x f x =-有4个零点1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++=____________；若关于x 的方程25()()02f x f x a -+= ()a R ∈有8个不相等的实数根，则a 的取值范围是____________． 34．（2023秋ꞏ广东汕头ꞏ高一统考期末）设函数()22122,02log ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩，若关于x 的方程()f x m =有四个不同的解，1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则m 的取值范围是_____，1234244x x x x x ++的取值范围是__________．参考答案一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）设函数()22,0ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩①若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是()0,1②若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++的取值范围是()0,∞+ ③若方程()f x ax =有四个不同的实根，则a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭④方程()()2110f x a f x a ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭的不同实根的个数只能是1，2，3，6四个结论中，正确的结论个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【过程解析】对于①：作出()f x 的图像如下：若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则01a <<，不妨设1234x x x x <<<， 则1x ，2x 是方程220x x a ---=的两个不等的实数根，3x ，4x 是方程|ln |x a =的两个不等的实数根，所以12x x a =，34ln ln x x -=，所以43ln ln 0x x +=，所以341x x =， 所以1234(0,1)x x x x a =∈，故①正确；对于②：由上可知，122x x +=-，34ln ln x x a -==，且01a <<， 所以341x x =，所以31,1ex ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4e (1,)x ∈，所以344411(2,e ex x x x +=+∈+， 所以12341(0,e e2)x x x x +++∈+-，故②错误；对于③：方程()f x ax =的实数根的个数，即为函数()y f x =与y ax =的交点个数，因为y ax =恒过坐标原点，当0a =时，有3个交点，当a<0时最多2个交点，所以0a >， 当y ax =与ln (1)y x x =>相切时，设切点为()00,ln x x ， 即1y x '=，所以0000ln 1|x x x y x x ='==，解得0e x =，所以0e 1|x x y ='=，所以1ea =，所以当y ax =与ln (1)y x x =>相切时， 即1ea =时，此时有4个交点，若()f x ax =有4个实数根，即有4个交点，当1e>a 时由图可知只有3个交点，当10e a <<时，令()ln g x x ax =-，()1,x ∈+∞，则()11ax g x a x x-'=-=，则当11x a <<时()0g x '>，即()g x 单调递增，当1x a>时()0g x '<，即()g x 单调递减， 所以当1x a =时，函数取得极大值即最大值，()max 1ln 10g x g a a ⎛⎫==--> ⎪⎝⎭， 又()10g a =-<及对数函数与一次函数的增长趋势可知，当x 无限大时()0g x <，即()g x 在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内各有一个零点，即()f x ax =有5个实数根，故③错误； 对于④：21()(()10f x a f x a -++=，所以1[()][()]0f x a f x a--=， 所以()f x a =或1()f x a =， 由图可知，当1m >时，()f x m =的交点个数为2， 当1m =，0时，()f x m =的交点个数为3， 当01m <<时，()f x m =的交点个数为4， 当0m <时，()f x m =的交点个数为1，所以若1a >时，则1(0,1)a∈，交点的个数为246+=个， 若1a =时，则11a=，交点的个数为3个，若01a <<，则11a>，交点有426+=个， 若a<0且1a ≠-时，则10a<且1a a ≠，交点有112+=个，若11a a=-=，交点有1个，综上所述，交点可能有1，2，3，6个，即方程不同实数根1，2，3，6，故④正确； 故选：B ．2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()221,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1234,,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则()3122341x x x x x ⋅++⋅的取值范围是（ ） A ．(]1,1- B ．[]1,1-C ．[)1,1-D ．()1,1-【答案】A【过程解析】21log 12x x =-⇒=. 先作()f x 图象，由图象可得12343121,1.2x x x x x ⎡⎫+=-=∈⎪⎢⎣⎭，，因此()31232343112x x x x x x x ⋅++=-+⋅为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减函数， 11121,2111212-⨯+=-⨯+=-， 从而()(]31223411,1x x x x x ⋅++∈-⋅. 故选：A3．（2023秋·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考阶段练习）已知函数()32log ,031108,333x x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若方程()f x m =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，则()()341233x x x x --的取值范围是（ ）A ．()0,3B ．(]0,4C ．(]3,4D ．()1,3【答案】A【过程解析】作出函数()32log ,031108,333x x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩的图象，如图所示：方程()f x m =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<， 则01m <<，()33,4x ∈3log x m =即：3231log ,log x m x m ==-，所以3231log log 0x x +=， 321log 0x x =，所以211x x =，根据二次函数的对称性可得：3410x x +=，()()()()341212343423333391*********x x x x x x xx x x x x x x --==-+--=-+-+，()33,4x ∈考虑函数()21021,3,4y x x x =-+-∈单调递增，3,0x y ==，4,3x y ==所以()33,4x ∈时2331021x x -+-的取值范围为()0,3.故选：A4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f (x )＝11,1211,12xx x x ⎧⎛⎫-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪-+>⎪⎩…，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则123111222x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎭⎝的取值范围是（ ）A ．（95,42）B ．（1，4）C ．4）D ．（4，6）【答案】A【过程解析】画出分段函数f (x )＝11,1211,12xx x x ⎧⎛⎫-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪-+>⎪⎩…的图像如图：令互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝t ，t ∈（0，12）， 则x 1∈22(log ,0)3，x 2∈（0，1），x 3∈（1，2）， 则123111222xxx⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎭⎝＝1+t +1﹣t +22t ﹣2＝2+22t ﹣2， 又t ∈（0，12），∴123111222x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎭⎝∈（95,42）．故选：A ．5．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为()0,6的函数()y f x =的图象关于3x =对称，当(]0,3x ∈时，()ln f x x =，若方程()f x t =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<时，都有()223412190k x x x x -++-≥成立，则实数k 的最小值为（ ）A ．724 B ．13C ．12D ．113【答案】A【过程解析】作出函数()f x 的图象，如图，作直线y t =，它与()f x 图象的四个交点的横坐标依次为1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<，因为函数()y f x =的图象关于3x =对称，所以32416,6x x x x =-=-，12ln ln x x -=，即121=x x ，且213x <<，显然341x x >，不等式()223412190k x x x x -++-≥变形为2212349()1x x k x x -+≥-，3421121212(6)(6)366()376()x x x x x x x x x x =--=-++=-+，222212121212()2()2x x x x x x x x +=+-=+-，所以222121234129()11()1366()x x x x x x x x -+-+=--+，由勾形函数性质知12221x x x x +=+在2(1,3)x ∈时是增函数，所以12221102,3x x x x ⎛⎫+=+∈ ⎪⎝⎭， 令12t x x =+，则102,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，211()6(6)t g t t -=-2116(6)t t -=-，22(6)25()6(6)t g t t --'=-，当102,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g t '<，()g t 单调递减，所以7()(2)24g t g <=，所以724k ≥，即k 的最小值是724． 故选：A ．6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()22,0,()2,0xx x f x g x x x e x >⎧==-+⎨≤⎩（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())0g f x m -=恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则21322x x x --的最小值为（ ）A ．ln 33-B ．3ln 22-C ．ln 23-D ．1-【答案】A【过程解析】由题意设()f x t =，根据方程(())0g f x m -=恰有三个不等实根， 即2()20g t t t m =-+-=必有两个不相等的实根12,t t ，不妨设12t t <122t t ∴+=，则212t t =-，作出()f x 的图象，函数y t =与()f x 三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，那么1221xx e t ==，可得312x t =-，101t <≤，所以21311223ln 4x x x t t --=--，构造新函数1()3ln 4(01),()3h t t t t h t t'=--<≤=-当()0h t '<时，10,,()3t h t ⎛⎫∈∴ ⎪⎝⎭在10,3⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；当()0h t '>时，1,1,()3t h t ⎛⎫∈∴ ⎪⎝⎭在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增；∴当13t =时，(t)h 取得最小值为ln 33-，即21322x x x --的最小值为ln 33-； 故选：A7．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知函数3e ,0()3,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()22g x x x =-+（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程()(())F x g f x m =-恰有三个不同的零点123,,x x x ，且123x x x <<，则12333x x x -+的最大值为（ ）A ．31ln 4+B ．41ln 3+C ．3ln 3-D ．3ln 3+【答案】A【过程解析】由()f x 过程解析式，在(,0]-∞上()f x 单调递增且值域为(0,1]，在(0,)+∞上()f x 单调递增且值域为(0,)+∞， 函数()f x 图象如下：所以，()f x 的值域在(0,1]上任意函数值都有两个x 值与之对应，值域在(1,)+∞上任意函数值都有一个x 值与之对应，要使()(())F x g f x m =-恰有三个不同的零点123,,x x x ，则()g x 与y m =的交点横坐标一个在(0,1]上，另一个在(1,)+∞上，由2()2g x x x =-+开口向下且对称轴为1x =，由上图知：01m <<，此时12()()g t g t m ==且12012t t <<<<，122t t +=，结合()f x 图象及123x x x <<有1321e 3xx t ==，323x t =，则112123ln ,,333t t tx x x ===， 所以11123121433ln ln 233t tx x x t t t -+=-+=-+，且101t <<， 令4()ln 23h x x x =-+且01x <<，则1434()33xh x x x -=='-，当3(0,4x ∈时()0h x '>，()h x 递增；当3(,1)4x ∈时()0h x '<，()h x 递减；所以max 33()()ln 144h x h ==+，故12333x x x -+最大值为3ln 14+.故选：A8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()22322,,log ,,x mx m x m f x x x m ⎧-++≤⎪=⎨>⎪⎩，其中01m <<，若存在实数a ，使得关于x 的方程()f x a =恰有三个互异的实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,14⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,19⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,9⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【过程解析】因为01m <<， 所以()f x 的大致图象，如图所示：当x m ≤时，()()222f x x m =-+≥，因为存在实数a ，使得关于x 的方程()f x a =恰有三个互异的实数解， 所以3log 2m >，又01m <<， 解得109m <<， 故选：D9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数lg ,0()lg(),0x x g x x x ⎧>⎪=⎨--<⎪⎩，若关于x 的方程()()5222g x g x -+=有四个不等根1234,,,x x x x ，则()()()()12341234x x x x g x g x g x g x +++++++的值是（ ）A ．0B ．2C ．4D ．8【答案】A【过程解析】由方程()()5222g x g x -+=可得()1g x =±， 因为函数lg ,0()lg(),0x x g x x x ⎧>⎪=⎨--<⎪⎩， 设0x >，则0x -<，则()()|lg |(|lg ()|)|lg ||lg |0g x g x x x x x +-=+---=-=， 所以()g x 为奇函数且1x ，2x ，3x ，4x 是()1g x =±的根， 所以12340x x x x +++=，不妨有12()()1g x g x ==-，34()()1g x g x ==， 所以1234()()()()0g x g x g x g x +++=．故12341234()()()()x x x x g x g x g x g x +++++++的值是0． 故选：A ．10．（2023秋·宁夏·高三宁夏大学附属中学校考阶段练习）已知函数22,0(){|log |,0x x f x x x +≤=>，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个不同实数解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则1234x x x x +++的取值范围为 （ ） A ．1(2,4-B ．1[2,]4-C ．[2,)-+∞D ．(2,)-+∞【答案】A【过程解析】作出函数()f x 的图象，如图，作直线y a =，当02a <≤时，直线y a =与函数()f x 图象有四个交点，由图象知124x x +=-，2324log log x x -=，即341x x =，(0)2f =， 2log 2x -=，14x =，所以3114x ≤<， 所以12343314x x x x x x +++=-++，由对勾函数性质知函数3314y x x =-++在31,14x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上是减函数，所以31,14x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，331142,4y x x ⎛⎤=-++∈- ⎥⎝⎦．故选：A ．11．（2023秋·湖北武汉·高一期末）已知函数()()2242,1,log 1,1,x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，若关于x 的方程()f x t =有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则)1234122x x x x ++的最小值为（ ） A ．72B ．8C ．92D ．12【答案】D【过程解析】函数图像如图所示，()17f =，(]0,7t ∈，1234212x x x x <-<≤<<<，124x x +=-，由()()()()()()333433434log 1log 1log 110111x x x x x x --=-⇒--=⇒--=，∴()()34342112122251x x x x =-+++-5922≥=， 当且仅当343,32x x ==时，等号成立，此时1t =；)()2212121212422x x x x x x x x ⎛⎫+⎛⎫-=-≥-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1222x x =-=-+1t =.所以)1234122x x x x ++的最小值为91422-=. 故选：D12．（2023秋·河南郑州·高一新密市第一高级中学校考阶段练习）已知函数()()22log 1,131255,322x x f x x x x ⎧+-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =有四个不同的实数解1234,,,x x x x ，且满足1234x x x x <<<，则下列结论正确的是（ ）A ．121x x =-B ．[]3421,25x x ∈C ．3422x x +=D ．12111x x +=- 【答案】D【过程解析】作函数()y f x =和y m =的图象，如图所示：当1m =时，()()2122log 1log 1x x +=+，即()()2122log 11,log 11x x +=-+=，解得121,12x x =-=，此时1212x x =-，故A 错误；结合图象知，02m <<，当3x >时，可知34,x x 是方程()2125522f x x x m =-+=，即2102520x x m -+-=的二根，故3410x x +=，()3425221,25x x m =-∈，端点取不到，故BC错误；当13x -<≤时，()()2122log 1log 1x x +=+，即()()2122log 1log 1x x -+=+， 故()2221log log 111x x =++，即21111x x =++，所以()()21111x x ++=， 故1212x x x x +=-，即12121x x x x +=-，所以12111x x +=-，故D 正确. 故选：D.13．（2023秋·江西上饶·高一统考期末）已知函数()()221,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a=有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x 且1234x x x x <<<，则()3122342x x x x x -+的取值范围是（ ）A ．()4,5B ．(]4,5C ．()4,+∞D ．[)4,+∞【答案】B【过程解析】作出函数()221,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩的图象如下：因为方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<， 所以有122x x +=-，341x x =， 故3123234322()2x x x x x x x -+=+， 再由2log 1x =可得2x =或12x =，即3112x <≤， 令2()2g x x x =+，（112x ≤<）， 任取12112x x ≤<<，则120x x -<，12110x x ->， 所以()12121212122211()()2222g x g x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()12121210x x x x ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，即12()()<g x g x ， 所以函数2()2g x x x =+在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减， 又152g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，4(1)g =，所以()(4,5]g x ∈.即3122342()x x x x x -+的取值范围是(4,5]. 故选：B.14．（2023春·全国·高三校联考专题练习）已知函数11()||||f x x a x b x a x=++-+--有五个不同的零点，且所有零点之和为52，则实数b 的值为（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7【答案】C【过程解析】因为11()||||f x x a x b x a x =++-+--，11()||||()f a x a x x b f x a x x-=-+++-=-，所以函数()f x 的图象关于直线2ax =对称， 设五个零点分别为12345,,,,x x x x x ，且12345x x x x x <<<<， 则15243,,2a x x a x x a x +=+==， 所以1234555222a a x x x x x a a ++++=++==,所以1a =， 则312x =，由3333311()|||1|01f x x x b x x =++-+-=-，可得11|2||12|22b ++-+=，则5b =.故选：C. 二、多选题15．（2023秋·云南昆明·高一统考期末）已知函数ln(2),(2,0]()(2),(0,2]x x f x f x x ⎧+∈-=⎨-∈⎩，函数()y f x m =-有四个不同的零点，且从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，则下列结论正确的是（ ）A ．121=x xB ．1201≤<x xC ．341x x =D ．2410-<≤x x【答案】BCD【过程解析】因为ln(2),(2,0]()(2),(0,2]x x f x f x x ⎧+∈-=⎨-∈⎩，所以当(2,0]x ∈-时，()ln(2)f x x =+， 当2(]0,x ∈时，()(2)f x f x =-，所以2(2,0]x -∈-时，(2)ln(22)ln f x x x -=-+=， 所以ln(2),(2,0]()ln ,(0,2]x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨∈⎪⎩， 作出()f x 的图象如图所示，若()f x m =有4个解，则()y f x =与y m =的图象有4个交点，如图(0,ln 2]m ∈，所以1113,1,()ln(2)2x f x x ⎡⎫∈--=-+⎪⎢⎣⎭，(]2221,0,()ln(2)x f x x ∈-=+，由12()()f x f x =，得12ln(2)ln(2)x x -+=+， 即12ln(2)ln(2)0x x +++=，所以12ln[(2)(2)]0x x ++=，所以12(2)(2)1x x ++=， 所以12122()30x x x x +++=，当20x =时，120x x =； 当20x <时，由基本不等式可得12x x +<-所以1230x x ->，解得01<<3>（舍）； 所以12[0,1)x x ∈， 所以A 错误，B 正确，对于C ，3331,1,()ln 2x f x x ⎡⎫∈=-⎪⎢⎣⎭，(]4441,2,()ln x f x x ∈=，因为34()()f x f x =，所以34ln ln x x -=，所以34ln ln 0x x +=，即()34ln 0x x =， 所以341x x =，所以C 正确，对于D ，因为2424(1,0],(1,2],2x x x x ∈-∈+=，所以()()224222211(1,0]x x x x x =+=+-∈-，所以D 正确. 故选：BCD16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()e ,0,lg ,010,11,10,x x x f x x x x x ⎧⋅≤⎪=<<⎨⎪-+≥⎩，若22()3()()2g x f x mf x m =--有6个不同的零点分别为123456,,,,,x x x x x x ，且()()()123456345,x x x x x x f x f x f x <<<<<==，则下列说法正确的是（ ）A ．当0x ≤时，()10ef x -≤≤B ．34x x +的取值范围为1012,10⎛⎫⎪⎝⎭C ．当0m <时，()()()()1234563f x f x f x x x f x +++的取值范围为1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．当0m >时，()()()()1234563f x f x f x x x f x +++的取值范围为20,3e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】AC【过程解析】当0x ≤时，()e x f x x =⋅，此时()(1)e x f x x '=+⋅，令()0f x '>，解得10-<≤x ，令()0f x '<，解得1x <-，可得()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,0)-上单调递增，且1(1),(0)0ef f -=-=，∴当0x ≤时，1()0ef x -≤≤，故A 正确； 作出如图所示图像：由22()3()()2g x f x mf x m =--有6个不同的零点， 等价于223()()20f x mf x m --=有6个不同的实数根， 解得()f x m =或2()3m f x =-， ∵341x x ⋅=，∴若343311012,10x x x x ⎛⎫+=+∈ ⎪⎝⎭，可得31110x <<，而当0m >时，120e 3m -<-<，可得302e m <<，而3112e 10f ⎛⎫<= ⎪⎝⎭；当0m <时，10e m -<<，可得22033e m <-<而2113e 10f ⎛⎫<= ⎪⎝⎭， 故3x 的范围为1,110⎛⎫ ⎪⎝⎭的子集，34x x +的取值范围不可能为1012,10⎛⎫⎪⎝⎭，故B 选项错误；该方程有6个根，且()()()345f x f x f x ==，知341x x ⋅=且()()()126f x f x f x ==，当0m <时，()()()1261,0e f x f x f x m ⎛⎫===∈- ⎪⎝⎭，()()()3452(0,1)3m f x f x f x ===-∈，联立解得1,0e m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， ()()()()()()12345615133332,0e f x f x f x x x f x f x f x m m m ⎛⎫+++=+=-=∈- ⎪⎝⎭，故C 正确；当0m >时，()()()12621,03e m f x f x f x ⎛⎫===-∈- ⎪⎝⎭， ()()()345(0,1)f x f x f x m ===∈，联立解得30,2e m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()()()()()123456153333230,2e f x f x f x x x f x f x f x m m m ⎛⎫+++=+=-+=∈ ⎪⎝⎭．故D 错误.故选：AC.17．（2023·全国·高三专题练习）设函数22,0()ln ,0x x x f x x x ⎧--⎪=⎨>⎪⎩…，则下列命题中正确的是（ ）A ．若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是(0,1)B ．若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++的取值范围是(0,)+∞C ．若方程()f x ax =有四个不同的实根，则a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．方程21()()()10f x a f x a -++=的不同实根的个数只能是1，2，3，6【答案】AD【过程解析】对于A ：作出()f x 的图像如下：若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则01a <<，不妨设1234x x x x <<<， 则1x ，2x 是方程220x x a ---=的两个不等的实数根，3x ，4x 是方程|ln |x a =的两个不等的实数根，所以12x x a =，34ln ln x x -=，所以43ln ln 0x x +=，所以341x x =， 所以1234(0,1)x x x x a =∈，故A 正确；对于B ：由上可知，122x x +=-，34ln ln x x a -==，且01a <<， 所以341x x =，所以31,1ex ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4e (1,)x ∈，所以344411(2,1)e x x x x +=+∈+，所以12341(0,1)ex x x x +++∈+，故B 错误；对于C ：方程()f x ax =的实数根的个数，即可函数()y f x =与y ax =的交点个数，因为y ax =恒过坐标原点，当0a =时，有3个交点，当a<0时最多2个交点，所以0a >， 当y ax =与ln (1)y x x =>相切时，设切点为()00,ln x x ， 即1y x '=，所以0000ln 1|x x x y x x ='==，解得0e x =，所以0e 1|x x y ='=，所以1ea =，所以当y ax =与ln (1)y x x =>相切时， 即1ea =时，此时有4个交点，若()f x ax =有4个实数根，即有4个交点，当1e>a 时由图可知只有3个交点，当10e a <<时，令()ln g x x ax =-，()1,x ∈+∞，则()11ax g x a x x-'=-=，则当11x a <<时()0g x '>，即()g x 单调递增，当1x a >时()0g x '<，即()g x 单调递减，所以当1x a =时，函数取得极大值即最大值，()max 1ln 10g x g a a ⎛⎫==--> ⎪⎝⎭，又()10g a =-<及对数函数与一次函数的增长趋势可知，当x 无限大时()0g x <，即()g x 在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内各有一个零点，即()f x ax =有5个实数根，故C 错误； 对于D ：21()()()10f x a f x a -++=，所以1[()][()]0f x a f x a--=，所以()f x a =或1()f x a=， 由图可知，当1m >时，()f x m =的交点个数为2， 当1m =，0时，()f x m =的交点个数为3， 当01m <<时，()f x m =的交点个数为4， 当0m <时，()f x m =的交点个数为1，所以若1a >时，则1(0,1)a∈，交点的个数为246+=个， 若1a =时，则11a=，交点的个数为3个， 若01a <<，则11a>，交点有426+=个， 若a<0且1a ≠-时，则10a<且1a a ≠，交点有112+=个，若11a a=-=，交点有1个，综上所述，交点可能由1，2，3，6个，即方程不同实数根1，2，3，6，故D 正确； 故选：AD ．18．（2023秋·辽宁大连·高一育明高中校考期末）已知函数()()22log 2,241617,42x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若方程()f x m =有四个不同的实根1234,,,x x x x ，满足1234x x x x <<<，则下列说法正确的是（ ）A ．()121242x x x x +=+B ．3412x x +=C ．()3432,34x x ∈D ．函数()()()()21g x f x m f x m =+--的零点为12346,,,,x x x x【答案】BCD【过程解析】由过程解析式可得()f x 图象如下图所示：若()f x m =有四个不同的实数根，则()f x 与y m =有四个不同的交点， 由图象可知：123423468x x x x <<<<<<<<，01m <<； 对于A ，()()12f x f x = ，即()()2122log 2log 2x x -=-，()()2122log 2log 2x x ∴--=-，()22211log log 22x x ∴=--，()()12221x x ∴--=， 整理可得：()1212412x x x x +=++，A 错误；对于B ，()()34f x f x = ，3x ∴与4x 关于直线6x =对称，3412x x ∴+=，B 正确； 对于C ，3x 与4x 是方程()2161702x m f m x x -+-==-的两根， ()34217342x x m m ∴=-=-，又01m <<，()3432,34x x ∴∈，C 正确；对于D ，()()()()()()211g x f x m f x m f x m f x =+--=-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，由()0g x =得：()f x m =或()1f x =-，()f x m =的根为1234,,,x x x x ；()1f x =-的根为6，()g x ∴的零点为12346,,,,x x x x ，D 正确.故选：BCD.19．（2023秋·山西太原·高一古交市第一中学校校考阶段练习）已知函数22log ,02()813,2x x f x x x x ⎧<<=⎨-+≥⎩，若f (x )=a 有四个不同的实数解x 1，x 2，x 3，x 4，且满足x 1<x 2<x 3<x 4，则下列命题正确的是（ ）A ．0<a <1B．12922x x ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭C ．12342110,2x x x x ⎛⎫+++∈ ⎪⎝⎭D．)122x x ⎡+∈⎣【答案】ACD 【过程解析】函数()f x 的图象如上所示，方程()f x a =的解可以转化为函数()f x 与y a =图象交点的横坐标，由图可知01a <<，故A 正确；由题意可知2122log log x x -=，即212log 0x x =，解得121=x x ，由图可知212x <<，所以1222122x x x x +=+，令2212=+y x x ，则函数2212=+y x x 在()1,2上单调递增，当21x =时，3y =，22x =时，92y =，所以122xx +的范围为93,2⎛⎫⎪⎝⎭，故B 错；函数2813y x x =-+的对称轴为4x =，所以348x x +=，又121=x x ，所以12342218x x x x x x +++=++，函数()22218g x x x =++在()1,2上单调递增，()110g =，()2122g =，所以12342110,2x x x x ⎛⎫+++∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；122222x x x x +=+，函数()2222h x x x =+在(上单调递减，)2上单调递增，h=，()13h =，()23h =，所以)122x x ⎡+∈⎣，故D 正确.故选：ACD.20．（2023秋·重庆铜梁·高一校考期中）已知奇函数()f x 的定义域为R ，()3f x +为偶函数，且()f x 在[]0,3上单调递减．若关于x 的方程()f x a =在区间[]12,12-上有4个不同的根1234,,,x x x x ，则（ ）A ．()()6f x f x =+B ．()f x 的图象关于直线3x =对称C ．1234x x x x +++的值可能为12-D ．1234x x x x +++的值可能为12【答案】BCD【过程解析】()()()()()12939366f x f x f x f x f x +=++=--+=--=-+()()()()3333f x f x f x f x =-++=---+=--=.所以()()12f x f x =+，A 错误．因为()()33f x f x +=-+，所以()f x 的图象关于直线3x =对称，B 正确． 画出()f x 的一种可能图象，如图所示，不妨假设1234x x x x <<<．根据对称性有： 当()03a f <<-时，126x x +=-，3418x x +=，123412x x x x +++=，C 正确． 当()30f a <<时，1218x x +=-，346x x +=，123412x x x x +++=-，D 正确． 故选：BCD21．（2023·全国·高三专题练习）设函数()2101,0lg ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的值可能是（ ）A ．0B ．1C ．99D ．100【答案】BC【过程解析】如图所示：因为关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，所以01a <≤.2101y x x =++的对称轴为5x =-，所以1210x x +=-. 因为34lg lg x x =，所以34lg lg 0x x +=，即341x x =，431x x =. 因为3lg 1x ≤，所以31110x ≤<. 所以()()123433110x x x x x x ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭， 因为110y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1110x ≤<为减函数，所以()()(]1234330110,99x x x x x x ⎛⎫∈ ⎪⎭-⎝+-=-.故选：BC 三、填空题22．（2023秋·石河子一中校考阶段练习）已知函数()2e ,0ln ,>0xx x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪⎩，若函数()y f x b=-有四个不同的零点1x 、2x 、3x 、4x ，且1234x x x x <<<，则以下结论正确的是_____.①22342x x +>；②20eb <<； ③122x x +=-； ④()13422x x x x +<-. 【答案】①②④【过程解析】设()2e xg x x =-，其中x ∈R ，则()()21e xg x x '=-+，当1x <-时，()0g x ¢>，此时函数()g x 单调递增， 当1x >-时，()0g x ¢<，此时函数()g x 单调递减， 所以，函数()g x 的极大值为()21eg -=，且当0x <时，()0g x >， 作出函数()f x 、y b =的图象如下图所示：。
高考数学一轮复习专题06 非线性回归方程(原卷版)
概率与统计 专题六:非线性回归方程一、知识储备当经验回归方程并非形如y bx a =+(,a b R ∈）时，称之为非线性经验回归方程，当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来模拟，常见的非线性经验回归方程的转换方式总结如下：建立非线性经验回归模型的基本步骤1.确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是响应变量；2.由经验确定非线性经验回归方程的模型；3.通过变换（一般题目都有明显的暗示如何换元，换元成什么变量），将非线性经验回归模型转化为线性经验回归模型（特别注意：使用线性回归方程的公式，注意代入变换后的变量）；4.按照公式计算经验回归方程中的参数，得到经验回归方程；5.消去新元，得到非线性经验回归方程；6.得出结果后分析残差图是否有异常 ． 二、例题讲解1．（2022·全国高三专题练习（文））人类已经进入大数据时代.目前，数据量级已经从TB (1TB =1024GB )级别跃升到PB (1PB =1024TB )，EB (1EB =1024PB )乃至ZB (1ZB =1024EB )级别.国际数据公司(IDC )研究结果表明，2008年全球产生的数据量为0.49ZB ，2009年数据量为0.8ZB ，2010年增长到1.2ZB ，2011年数据量更是高达1.82ZB .下表是国际数据公司(IDC )研究的全球近6年每年产生的数据量(单位：ZB )及相关统计量的值：表中ln i i z y =，6116i i z z ==∑. （1）根据上表数据信息判断，方程21c xy c e =⋅(e 是自然对数的底数)更适宜作为该公司统计的年数据量y 关于年份序号x 的回归方程类型，试求此回归方程(2c 精确到0.01).（2）有人预计2022年全世界产生的数据规模将超过2011年的50倍.根据（1）中的回归方程，说明这种判断是否准确，并说明理由.参考数据： 4.5695.58e ≈， 4.5897.51e ≈，回归方程y a bx =+中，斜率最小二乘法公式为()()()1122211n niii ii i nniij i x x y y x y nxyb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.2．（2022·全国高三专题练习（文））有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁.中国高铁经过十几年的发展，取得了举世瞩目的成就，使我国完成了从较落后向先进铁路国的跨越式转变.中国的高铁技术不但越来越成熟，而且还走向国外，帮助不少国家修建了高铁.高铁可以说是中国一张行走的名片.截至到2021年，中国高铁运营里程已经达到3.9万公里.下表是2013年至2021年中国高铁每年的运营里程统计表，它反映了中国高铁近几年的飞速发展：根据以上数据，回答下面问题.（1）甲同学用曲线y bx a =+来拟合，并算得相关系数10.97r =，乙同学用曲线dxy ce =来拟合，并算得转化为线性回归方程所对应的相关系数10.99r =，试问哪一个更适合作为y 关于x 的回归方程类型，并说明理由；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，求y 关于y 的回归方程(系数精确到0.01).参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：121()()ˆˆ,()niii nii x x y y ba y bxx x ==--==--∑∑；参考数据：882112.48,()()15.50,()42.00,i i i i i y x x y y x x ===--=-=∑∑令()()()8820.1411ln ,0.84, 6.50, 1.01, 1.15.i i i i i w y w x x w w w w e ====--=-==∑∑三、实战练习1．（2022·山东菏泽·高三二模）“十四五”是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，乘势而上开启全面建设社会主现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的第一个五年，实施时间为2022年到2025年．某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备加大研发资金投入，为了解年研发资金投入额x （单位：亿元）对年盈利额y （单位：亿元）的影响，通过对“十二五”和“十三五”规划发展10年期间年研发资金投入额i x 和年盈利额i y ()1,2,,10i =数据进行分析，建立了两个函数模型：2y x αβ=+；e x t y λ+=，其中α，β ，λ，t 均为常数，e 为自然对数的底数令2,ln i ii i u x v y ==()1,2,,10i =，经计算得如下数据：26x =，215y =，680u =， 5.36v =，()2101100i i x x=-=∑，()102122500ii u u =-=∑，()()101260i ii u uy y =--=∑，()21014ii y y =-=∑，()21014i i v v=-=∑，()()10118i i i x x v v =--=∑，问：（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合度更好？（2）根据（1）的选择及表中数据，建立，y 关于x 的回归方程（系数精确到0.01）（3）若希望2022年盈利额y 为500亿元，请预测2022年的研发资金投入额x 为多少亿元？（结果精确到0.01）附：①相关系数r()()niix x yy --∑回归直线y bx a =+中：121()()()niii nii x x yy b x x ==--=-∑∑，a y bx =-参考数据：ln 20.693=，ln5 1.609=．2．（2022·重庆高三三模）近几年，快递业的迅速发展导致行业内竞争日趋激烈.某快递网点需了解一天中收发一件快递的平均成本y (单位：元)与当天揽收的快递件数x (单位：千件)之间的关系，对该网点近5天的每日揽件量i x (单位：千件)与当日收发一件快递的平均成本i y (单位；元)(i =1，2，3，4，5)数据进行了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中i i w x =，5115i i w w ==∑. （1）根据散点图判断，y a bx =+与dy c x=+哪一个适宜作为y 关于x 的回归方程类型？并根据判断结果及表中数据求出y 关于x 的回归方程；（2）各快递业为提高快递揽收量并实现总利润的增长，除了提升服务质量､提高时效保障外，价格优惠也是重要策略之一.已知该网点每天揽收快递的件数x (单位：千件)与单件快递的平均价格t (单位；元)之间的关系是()252512x t t =-≤≤，收发一件快递的利润等于单件的平均价格减去平均成本，根据（1）中建立的回归方程解决以下问题：①预测该网点某天揽收2000件快递可获得的总利润；②单件快递的平均价格t 为何值时，该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大？附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121nii i nii uu v vuuβ==--=-∑∑，v u αβ=-.3．（2022·安徽蚌埠二中高三模拟预测（文））自从新型冠状病毒爆发以来，美国疫情持续升级，以下是美国2021年4月9日-12月14日每隔25天统计1次共计11次累计确诊人数（万）．（1）将4月9日作为第1次统计，若将统计时间序号作为变量x ，每次累计确诊人数作为变量x ，得到函数关系()0,0bxy aea b =>>，对上表的数据作初步处理，得到部分数据已作近似处理的一些统计量的值6x =，603.09y =，1111ln 5.9811i i y ==∑，()()11115835.70i i i x y x y =--=∑，()1121110i i x x=-=∑，()1121ln ln 11.90i i y y=-=∑，()()111ln ln 35.10iii x x y y =--=∑， 4.0657.97e≈， 4.0758.56e ≈， 4.0859.15e ≈，根据相关数据，确定该函数关系式（参数a ，b 的取值精确到0.01）；（2）为了了解患新冠肺炎与年龄的关系，已知某地曾患新冠肺炎的老年、中年、青年的人数分别为45人，30人，15人，按分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从6人中随机抽取2人进行调查结果对比，求这2人中至少有一人是老年人的概率．参考公式：线性回归方程y bx a =+中，()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-；4．（2022·贵州（理））某二手车交易市场对2021年某品牌二手车的交易进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图和散点图.用x 表示该车的使用时间（单位：年），y 表示其相应的平均交易价格（单位：万元）.（Ⅰ）已知2021年在此交易市场成交的该品牌二手车为100辆，求使用时间在[]12,20的车辆数； （Ⅱ）由散点图分析后，可用bx a y e +=作为此交易市场上该种车辆的平均交易价格y 关于其使用时间x 的回归方程.表中ln z y=，1110i i z z ==∑.根据上述相关数据，求y 关于x 的回归方程.附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1221ˆni i i nii u vnuv unu β==-=-∑∑，ˆˆv u αβ=-.5．（2022·河南洛阳市·高三二模（理））某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量()g y 与尺寸()mm x 之间近似满足关系式b y c x =⋅（b 、c 为大于0的常数）.按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间(),0.302,0.38897e e ⎛⎫≈ ⎪内时为优等品.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：（1）现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记ξ为取到优等品的件数，试求随机变量ξ的期望； （2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如表：（i ）根据所给统计量，求y 关于x 的回归方程；（ii ）已知优等品的收益z （单位：千元）与x 、y 的关系为20.32z y x =-，则当优等品的尺寸x 为何值时，收益z 的预报值最大？ 附：对于样本()(),1,2,,n i i v u i =，其回归直线u b v a =⋅+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211ˆn niii i i i nniii i v v u u v unvu bv v vnv====---==--∑∑∑∑，a u bv =-， 2.7182e ≈.6．（2022·全国（文））2021年新型冠状病毒肺炎疫情席卷金球，我国在全力保障口罩、防护服等医疗物资供给基础上，重点开展医疗救治急需的呼吸机、心电监护仪等医疗设备的组织生产和及时供应，统筹协调医用物资生产企业高速生产，支援世界各国抗击肺炎疫情．我市某医疗器械公司转型升级，从9月1日开始投入呼吸机生产，该公司9月1目~9月9日连续9天的呼吸机日生产量为i y （单位：百台．．，1,2,,9i =），数据作了初步处理；得到如图所示的散点图．注：图中日期代码1~9分别对应9月1日~9月9日；表中iy i z e =，1919i i z z ==∑（1）从9个样本点中任意选取2个，在2个样本点的生产量都不高于300台的条件下，求2个样本点都高于200台的概率；（2）由散点图分析，样本点都集中在曲线ln()y bt a =+的附近，求y 关于t 的方程ln()y bt a =+，并估计该公司从生产之日起，需要多少天呼吸机日生产量可超过500台．参考公式：回归直线方程是ˆˆv βμα=+；1122211()()()()innii i ii i n nii i v v v n vn μμμμβμμμμ====---==--∑∑∑∑， ˆˆv αβμ=-， 参考数据：5148.4e ≈．7．（2022·全国高三专题练习）某公司为了了解年研发资金投人量x （单位：亿元）对年销售额y （单位：亿元）的影响.对公司近12年的年研发资金投入量i x 和年销售额i y 的数据，进行了对比分析，建立了两个函数模型：①2y x αβ=+，②2x t y e +=，其中α、β、λ、t 均为常数，e 为自然对数的底数.并得到一些统计量的值.令2i i u x =，ln (1,2,,12)i i y i ν==，经计算得如下数据：（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ （2）①根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；②若下一年销售额y 需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x 是多少亿元？附：相关系数：()()ni i x x y y r --=∑ˆˆˆya bx =+中公式分别为：121()()ˆ()niii nii x x yy b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-； 参考数据：308477=⨯9.4868，4499890e ≈.8．（2022·四川达州·高三二模（理））在能源和环保的压力下，新能源汽车将成为未来汽车的发展方向．我国大力发展新能源汽车的生产和销售．某市近6年的新能源汽车保有量数据如下表（1）从这6年中任意选取两年，求这两年中仅有1年的新能源汽车保有量大于4万辆的概率；（2）用函数模型(0)dx y ce c =>对两个变量x ，y 的关系进行拟合，根据表中数据求出y 关于x 的回归方程（条数精确到0.01）．参考数据： 3.5x =， 4.1y =，62191i i x ==∑；设61ln , 1.16,31.89i i i i i t y t x t ====∑．参考公式：回归直线ˆˆv a u β=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：0.351221ˆˆˆ,,0.7047ni i ni i i u v nuvav u e unu ββ-==-==-≈-∑∑．9．（2022·陕西高三二模（理））为了迎接十四运，提高智慧城市水平，西安公交公司近期推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表下所示：根据以上数据，绘制了散点图．（1）根据散点图判断，在推广期内，y a bx =+与x y c d =⋅（,c d 均为大于零的常数），哪一个适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立y 与x 的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下表：西安公交六公司车队为缓解周边居民出行压力，以90万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆车每个月的运营成本约为0.66万元．已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有16的概率享受7折优惠，有13的概率享受8折优惠，有12的概率享受9折优惠．预计该车队每辆车每个月有2万人次乘车，根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，请你估计这批车辆需要几年（结果取整数年）才能盈利？参考数据：其中其中lg i i v y =，7117i i v v ==∑，参考公式：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线ˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni i i nii u v nu vunu β==-⋅=-∑∑，ˆˆv u αβ=-．10．（2022·吉林高三模拟预测（文））全球化时代，中国企业靠什么在激烈的竞争中成为世界一流企业呢？由人民日报社指导，《中国经济周刊》主办的第十八届中国经济论坛在人民日报社举行，就中国企业如何提升全球行业竞争力进行了研讨.数据显示，某企业近年加大了科技研发资金的投入，其科技投入x (百万元)与收益y (百万元)的数据统计如下：根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线2bx a y +=的周围，据此他对数据进行了一些初步处理.如下表：其中2log i i z y =，7117i i z z ==∑.（1）请根据表中数据，建立y 关于x 的回归方程(系数ˆb精确到0.1)； （2）①乙认为样本点分布在直线y mx n =+的周围，并计算得回归方程为ˆ8.253yx =+，以及该回归模型的决定系数(即相关指数)20.893R =乙，试比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？②由①所得的结论，计算该企业欲使收益达到1亿元，科技投入的费用至少要多少百万元？(精确到0.1) 附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ⋯，其回归直线方程ˆˆˆvu βα=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为()()()1122211ˆn ni i i i i i nniii i u u v v u v n u u un μνβμ====---==--∑∑∑∑，ˆˆανβμ=-，决定系数：()()22121ˆ1ni i nii v vR v v ==-=--∑∑.参考数据：2log 5 2.3≈.11．（2022·江西（文））每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”．从进入大数据时代以来，人们阅读方式发生了改变，数字媒体阅读方式因为便携，容量大等优点越来越被大众接受，下表是国际数据公司（IDC ）研究的全球近6年每年数字媒体阅读产生的数据量（单位：ZB ）及相关统计量的值：表中ln i i z y =，6116i i z z ==∑．（1）根据上表数据信息判断，方程21e c xy c =⋅（e 是自然对数的底数）更适宜作为该公司统计的年数据量y关于年份序号x 的回归方程类型，试求此回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，预计2024年全世界数字媒体阅读产生的数据量是2022年的多少倍？并说明理由．（参考数据：e 2.718≈ 1.648≈，结果精确到0.1）参考数据：回归方程ˆˆˆy a bx =+中，斜率最小二乘法公式为()()()121ˆni i i nij x x y y bxx ==--=-∑∑1221ni ii nii x ynxyxnx ==-=-∑∑，ˆˆa y bx =-．12．（2022·山东济宁一中高三开学考试）某公司对某产品作市场调研，获得了该产品的定价x （单位：万元/吨）和一天销售量y （单位：吨）的一组数据，制作了如下的数据统计表，并作出了散点图．表中1z x=0.45≈ 2.19． （1）根据散点图判断，ya bx =+与1y c k x -=+⋅哪一个更适合作为y 关于x 的回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果，试建立y 关于x 的回归方程；（3）若生产1吨该产品的成本为0.20万元，依据（2）的回归方程，预计定价为多少时，该产品一天的利润最大，并求此时的月利润．（每月按30天计算，计算结果保留两位小数）（参考公式：回归方程y bx a =+，其中()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nxyb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-）。
(完整版)高三数学综合测试题试题及答案
高三数学综合测试题一、选择题1、设会合U =1,2,3,4， M = x U x25x+ p = 0 ，若 C U M = 2,3，则实数 p 的值为 (B)A ．4B．4C．6 D ．62．条件p : x1, y1, 条件 q : x y2, xy1，则条件p是条件q的A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C. 充要条件D.既不充足也不用要条件B.{ 1,0,1,2}C.{ 1,0,2,3}D.{ 0,1,2,3}3. 设函数f (x) 1 e x的图象与x轴订交于点P,则曲线在点P的切线方程为( C )（ A ）y x1（B ）y x 1（C）y x（D ）y x114．设 a= 2，b= 2， c=lg0.7 ，则 (C)A ． c＜ b＜ a B． b＜ a＜ cC．c＜ a＜ b D．a＜ b＜ c5．函数 f (x)=e x- x- 2 的零点所在的区间为( C)A．(-1，0)B． (0， 1)C．(1， 2)D．(2， 3)6 、设函数f (x)( 1 )x7, x0，则实数 a 的取值范围是2，若 f (a) 1x , x0（C）A 、(,3)B、(1,)C、(3,1) D 、(,3) U (1,)7 f ( x)log a x,f (| x |1)的图象大概是(D)．已知对数函数是增函数则函数8．函数 y＝log a(x＋ 1)＋ x2－ 2(0＜a＜ 1)的零点的个数为 ()A ． 0B． 1C．2D．没法确立新课标第一网分析：选 C.令 log a(x＋ 1)＋ x2－ 2＝ 0，方程解的个数即为所求函数零点的个数．即考察图象1a22的交点个数y ＝ log(x＋ 1)与 y＝－ x ＋ 29．若函数 f (x)= - x3+bx 在区间 (0，1)上单一递加，且方程 f (x)=0 的根都在区间 [ - 2，2]上，则实数 b 的取值范围为(D)A．[0，4]B．3，C．[2，4]D．[3， 4]10．已知定义在R 上的奇函数 f ( x) 是，0 上的增函数，且 f (1)= 2， f ( - 2)= - 4，设P={ x|f (x+t)- 4<0} ，Q={ x|f (x)<- 2} ．若“ x∈P”是“ x∈ Q”的充足不用要条件，则实数t 的取值范围是（B）A ． t≤ - 1B． t>3C． t≥ 3 D ． t>- 1二、填空题11．命题“若x21，则1x 1 ”的逆否命题为________________ 4n n 212．已知偶函数 f (x)= x2(n∈ Z) 在(0 ，+∞ )上是增函数，则 n=2．13、已知函数f ( x)x3mx2(m 6) x 1 既存在极大值又存在极小值，则实数 m 的取值范围是 __、m 6 或 m3_____________14．若不等式 1 一 log a( 10a x ) ＜0有解，则实数a 的范围是；15．已知函数 f ( x)定义域为 [-1, 5], 部分对应值如表x-1045f ( x)1221f ( x) 的导函数 f ( x) 的图象如下图,以下对于函数 f (x) 的命题①函数 f ( x) 的值域为[1,2];②函数 f ( x) 在[0,2]上是减函数;③假如当 x[1, t] 时,f (x) 的最大值是2,那么 t 的最大值为4;④当 1 a 2时 ,函数 y f (x) a 有4个零点.此中真命题是②(只须填上序号 ).yy f(x)-1012345x16题三、解答题16．已知命题：“x x |1x1，使等式 x2x m 0 建立”是真命题，（1）务实数 m 的取值会合 M ；（2）设不等式( x a)( x a2)0 的解集为N，若x∈N是x∈M的必需条件，求 a 的取 范 ．答案 :(1)Mm1m 2 4(2) a9a1或 4417．（本 分12 分）已知二次函数 y= f (x)的 象 点 (1， - 4)，且不等式 f (x)<0 的解集是(0， 5)．（Ⅰ）求函数f (x)的分析式；（Ⅱ）g(x)=x 3- (4k- 10)x+5 ，若函数h(x)=2 f (x)+ g(x)在 [ - 4，- 2]上 增，在 [- 2，0]上 减，求y=h(x)在[ - 3， 1]上的最大 和最小 ．17． 解：（Ⅰ）由已知y= f (x) 是二次函数，且 f (x)<0 的解集是 (0，5) ， 可得 f (x)=0 的两根 0， 5，于是 二次函数f (x)=ax(x- 5)，代入点 (1，- 4)，得 - 4=a ×1×(1- 5) ，解得 a=1，∴ f (x)=x(x- 5) ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分（Ⅱ） h(x)=2f (x)+g(x)=2 x(x- 5)+ x 3- (4k- 10)x+5= x 3 +2x 2- 4kx+5，于是 h (x) 3x 2 4 x 4k ，∵ h(x)在 [ - 4， - 2] 上 增，在 [- 2， 0]上 减， ∴ x=- 2 是h(x)的极大 点，∴ h ( 2) 3( 2)24 ( 2) 4k 0 ，解得 k=1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分∴ h(x)=x 3+2x 2- 4x+5 ， 而得 h ( x) 3x 2 4x4 ．令 h ( x) 3x 24x 4 3(x2)( x 2)0 ， 得 x 12，x 22 ．33由下表：x(-3，-2)- 2 (-2， 2)2 (2，1)333h (x)+ 0- 0+ h(x)↗极大↘极小↗可知： h(- 2)=( - 2)3+2×(- 2)2- 4×(- 2)+5=13 ， h(1)=1 3+2×12 - 4×1+5=4，3 22 23 2 2 2 95 ， h( - 3)=( - 3) +2×(- 3) - 4×(- 3)+5=8 ，h()=()+2×( ) - 4× +5=3 33327∴ h(x)的最大 13，最小95．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分2718、（本 分12 分）x 1 0,a 1)已知函数 f ( x) log a(ax1（1）求 f ( x ) 的定 域，判断 f ( x ) 的奇偶性并 明；（2） 于 x [2,4] ， f ( x ) log am恒建立，求 m 的取 范 。
空间几何体的结构特征、表面积与体积6题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习考点突破和专题检测
专题31空间几何体的结构特征、表面积与体积6题型分类1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环2.直观图(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中x ′轴、y ′轴的夹角为45°或135°，z ′轴与x ′轴和y ′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，长度在直观图中变为原来的一半．3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrlS 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l4．柱、锥、台、球的表面积和体积常用结论1．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理)．2．直观图与原平面图形面积间的关系：S 直观图＝24S 原图形，S 原图形＝22S 直观图．（一）1.空间几何体结构特征的判断技巧(1)说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．(2)在斜二测画法中，平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．(3)在解决空间折线(段)最短问题时一般考虑其展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化．2.多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状．3.最大路径问题：大胆展开，把问题变为平面两点间线段最短问题．2-2．（2024高一下·上海奉贤·期末）如图，23O A O B ''''==，，则AB 的长度为2-3．（2024高一上·山东济宁·阶段练习）有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示）.ABC ∠=2-4．（2024高二上·宁夏石嘴山·正方形，则原来图形的面积是3-3．（2024·安徽黄山·一模）如图，以AD为斜边的等腰直角三角形，为.题型4：最短路径问题4-1．（2024高三·全国·专题练习）如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点为（）.A ．153B ．323527πC ．128281πD ．8334-2．（2024高一下·河南开封·期中）如图，已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长为23，侧面等腰三角形的顶角为30︒，则从A 点出发环绕侧面一周后回到A 点的最短路程为（）A ．26B ．23C ．6D ．64-3．（2024·辽宁·三模）盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商要为棱长为4cm 的正四面体魔方设计一款正方体的包装盒，需要保证该魔方可以在包装盒内任意转动，则包装盒的棱长最短为（）A ．6cmB ．26cmC ．46cmD ．6cm4-4．（2024高一下·湖北武汉·期中）如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为4的边旋转二周后所得如图的一开口容器（下表面密封），P 是BC 中点，现有一只妈蚁位于外壁A 处，内壁P 处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点P 处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（）A ．2π36+B ．2π16+C ．24π36+D ．241π+4-5．（2024高一·全国·课后作业）如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，12AA =，由顶点B 沿棱柱侧面(经过棱1AA )到达顶点1C ，与1AA 的交点记为M ，则从点B 经点M 到1C 的最短路线长为（）A．22B．25C．4D．45（二）基本立体图形的表面积的体积1.（1）多面体的表面积是各个面的面积之和．（2）旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和．（3）组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理．2.空间几何体的体积的常用方法公式法规则几何体的体积，直接利用公式割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体等体积法通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积A．27 722+三模）陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址A ．()1441213π+C ．()1081213π+5-4．（2024·河北·模拟预测）棱台）建筑物为方亭.”1111ABCD A B C D -的正四棱台（如图所示）面边长的3倍.已知方亭的体积为A ．2380m B ．2400m C ．2450m 5-5．（2024高三下·海南海口·期中）如图是一个圆台形的水杯，圆台的母线长为分别为4cm 和2cm .为了防烫和防滑，该水杯配有一个皮革杯套，包裹住水杯杯和杯套的厚度忽略不计，则此杯套使用的皮革的面积为（A ．238πcmB ．2124πcm 3C ．2140πcm 3D ．248πcm A ．242B ．246-4．（2024·浙江·模拟预测）如图是我国古代量粮食的器具为20cm 和10cm ，侧棱长为56cm ．约可装()31000cm 1L =（）A ．1.5LB ．1.7LC ．2.3LD ．2.7L6-5．（2024高三上·广西·阶段练习）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D 内，放入一个以1AC 为铀线的圆柱，且圆柱的底面所在平面截正方体所得的截面为三角形，则该圆柱体积的最大值为．一、单选题1．（2024高三下·安徽·阶段练习）已知几何体，“有两个面平行，其余各面都是平行四边形”是“几何体为棱柱”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2024高三·全国·对口高考）设有三个命题；甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；乙：底面是矩形的平行六面体是长方体；丙：直四棱柱是平行六面体．以上命题中真命题的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．（2024高二上·安徽合肥·阶段练习）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）A ．是棱台B ．是圆台C ．不是棱柱D ．是棱锥4．（2024·西藏拉萨·一模）位于徐州园博园中心位置的国际馆（一云落雨），使用现代科技雾化“造云”，打造温室客厅，如图，这个国际馆中3个展馆的顶部均采用正四棱锥这种经典几何形式，表达了理性主义与浪漫主义的对立与统一.其中最大的是3号展馆，其顶部所对应的正四棱锥底面边长为19.2m ，高为9m ，则该正四棱锥的侧面面积与底面面积之比约为（）13.16≈）A ．2B ．1.71C ．1.37D ．15．（2024高三下·湖南长沙·阶段练习）为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”.如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥的高与底面边长的比为2:3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为（）A ．8B C ．19D ．1276．（2024·甘肃张掖·模拟预测）仿钧玫瑰紫釉盘是收藏于北京故宫博物院的一件明代宣德年间产的瓷器．该盘盘口微撇，弧腹，圈足．足底切削整齐．通体施玫瑰紫釉，釉面棕眼密集，美不胜收．仿钧玫瑰紫釉盘的形状可近似看成是圆台和圆柱的组合体，其口径为15.5cm ，足径为9.2cm ，顶部到底部的高为4.1cm ，底部圆柱高为0.7cm ，则该仿钧玫瑰紫釉盘圆台部分的侧面积约为（）（参考数据：π的值取3 4.6≈）A ．2143.1cmB ．2151.53cmC ．2155.42cmD ．2170.43cm 7．（2024·广东梅州·三模）在马致远的《汉宫秋》楔子中写道：“毡帐秋风迷宿草，穹庐夜月听悲笳.”毡帐是古代北方游牧民族以为居室、毡制帷幔.如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4，侧面积为15π，圆柱的侧面积为18π，则该毡帐的体积为（）A ．39πB ．18πC ．38πD ．45π8．（2024高三上·广东河源·开学考试）最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度=器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数据如图（注意：单位cm ），则平地降雪厚度的近似值为（）A ．91cm 12B ．31cm 4C ．95cm 12D ．97cm 129．（2024高一下·陕西宝鸡·期末）盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商要为棱长为2cm 的正四面体魔方设计一款正方体的包装盒，需要保证该魔方可以在包装盒内任意转动，则包装盒的棱长最短为（）A 6cmB ．26cmC ．6cmD ．6cm10．（2024高二下·安徽·阶段练习）我们知道立体图形上的最短路径问题通常是把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.请根据此方法求函数()2222,313130,0)f x y x x y y x xy y x y =-+-+-+>>的最小值（）A 2B 3C 6D ．2311．（2024·全国）已知圆锥PO 3O 为底面圆心，PA ，PB 为圆锥的母线，120AOB ∠=︒，若PAB 934）A ．πB 6πC ．3πD ．36π12．（2024·全国）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．上升到1575m ．时，增加的水量2.65≈）（）A ．931.010m ⨯B ．931.210m ⨯C ．931.410m ⨯D ．931.610m ⨯13．（2024高一·全国·课后作业）若一个正方体的体对角线长为a ，则这个正方体的全面积为（）A ．22a B ．2C ．2D ．214．（2004·重庆）如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是（）A ．258B ．234C ．222D ．21015．（2024高一下·贵州黔西·期末）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.地区不同，制作的粽子形状也不同，黔西南州最出名的就是鲜肉的灰色粽子，其形状接近于正三棱锥（如图）.若正三棱锥的底面边长为2，高为1，则该三棱锥的侧面积为（）AB ．C ．D ．16．（2024·河南·模拟预测）在正四棱锥P ABCD -中，AB =，若正四棱锥P ABCD -的体积是8，则该四棱锥的侧面积是（）AB ．C ．D ．17．（2024高三上·辽宁·期末）已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，侧面均为腰长为4的等腰梯形，则该四棱台的表面积为（）A ．10+B ．34C ．20+D ．6818．（2024高三上·广东·阶段练习）“李白斗酒诗百篇，长安市上酒家眠”，本诗句中的“斗”的本义是指盛酒的器具，后又作为计量粮食的工具，某数学兴趣小组利用相关材料制作了一个如图所示的正四棱台来模拟“斗”，用它研究“斗”的相关几何性质，已知该四棱台的上、下底的边长分别是2、4，高为1，则该四棱台的表面积为（）A ．B ．32C ．20+D ．20+19．（2024高三上·湖北·开学考试）已知正四棱台上底面边长为2，下底面边长4，高为3，则其表面积为（）A ．36B ．20C ．20+D ．4820．（2024高一下·全国·课后作业）已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A ．122ππ+B ．144ππ+C ．12ππ+D ．142ππ+21．（2024·广东湛江·二模）如图，将一个圆柱()*2n n ∈N 等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，n 越大，重新组合成的几何体就越接近一个“长方体”．若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积为（）A ．10πB ．20πC ．10πnD ．18π22．（2024·福建）以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于A ．2πB ．πC ．2D ．123．（2024高三上·全国·阶段练习）已知圆锥的底面半径为2，高为）A ．4πB ．12πC ．16πD ．π324．（2024·四川成都·二模）若圆锥的表面积为12π，底面圆的半径为2，则该圆锥的高为（）A ．4B ．C ．2D25．（2024高三上·河南·阶段练习）佛兰德现代艺术中心是比利时洛默尔市的地标性建筑，该建筑是一座全玻璃建筑，整体成圆锥形，它利用现代设计手法令空间与其展示的艺术品无缝交融，形成一个统一的整体，气势恢宏，美轮美英．佛兰德现代艺术中心的底面直径为8m ，侧面积为2229m ，则该建筑的高为（）A ．26mB ．28mC ．30mD ．36m26．（2024高三上·河南·开学考试）圆台1OO 轴截面面积为1:2，母线与底面所成角为60 ，则圆台侧面积为（）A ．B ．C ．6πD ．9π27．（2024高二上·江苏镇江·开学考试）已知圆台的上下底面半径分别为2和5，且母线与下底面所成为角的正切值为43，则该圆台的表面积为（）A ．59πB ．61πC ．63πD ．64π28．（2024·甘肃兰州·模拟预测）攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、图所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是不含下底面的正四棱台和正三棱柱的组合体，已知正四棱台上底、下底、侧棱的长度（单位：dm ）分别为2，6，4，正三棱柱各棱长均相等，则该结构表面积为（）A ．28dmB ．244dmC ．248dmD ．28dm29．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·期中）正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成30︒角，则此三棱柱的体积为（）A B ．14C D 30．（2008·四川）若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为060的菱形，则该棱柱的体积等于A B ．C ．D ．31．（2024高三上·河南焦作·开学考试）把过棱锥的顶点且与底面垂直的直线称为棱锥的轴，过棱锥的轴的截面称为棱锥的轴截面．现有一个正三棱锥、一个正四棱锥、一个正六棱锥，它们的高相等，轴截面面积的最大值也相等，则此正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥的体积之比为（）A ．91::34B ．91::38C ．98D ．3232．（2024·广东深圳·二模）设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为1V 、2V 和3V ，则（）A ．123V V V <<B ．213<<V V V C ．312V V V <<D ．321V V V <<33．（2024·河南郑州·模拟预测）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.意思是一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若长方体的体积为V ，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为1V ，2V ，3V ，则下列等式错误的是（）A ．123V V V V ++=B ．122V V =C ．232V V =D ．236VV V -=34．（2024高三下·浙江杭州·阶段练习）已知矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，E 是AD 的中点，沿直线BE 将△ABE 翻折成△A BE '，则三棱锥A BDE '-的体积的最大值为（）A ．3B C D ．335．（2024·全国）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A ．20+B ．C ．563D ．336．（2024高一下·江苏连云港·阶段练习）在《九章算术⋅商功》中将正四面形棱台体(棱台的上、下底面均为正方形)称为方亭．在方亭1111ABCD A B C D -中，1122AB A B ==，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为）A ．72B ．76C D 37．（2024高三上·山西运城·期中）已知一个正四棱台的上下底面边长为1、3，则棱台的体积为（）A ．B ．3C ．12D ．1338．（2024·河南·模拟预测）光岳楼，又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇海楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，光岳楼的墩台上底面正方形的边长约为32m ，下底面正方形的边长约为34.5m ，高的4倍比上底面的边长长4m ，则光岳楼墩台的体积约为（）A ．39872.75mB ．39954.75mC ．39988.45mD ．39998.25m 39．（四川省仁寿第一中学校（北校区）2023-2024学年高三上学期9月月考文科数学试题）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A ．πB ．π2C ．3π4D ．π440．（2024高三上·江苏苏州·开学考试）若某圆柱体的底面半径与某球体的半径相等，圆柱体与球体的体积之比和它们的表面积之比的比值相等，则该圆柱体的高与球体的半径的比值为（）A ．54B ．43C ．32D ．241．（2024·河南·模拟预测）圆锥的高为2，其侧面展开图的圆心角为2π3，则该圆锥的体积为（）.A ．π4B ．π3C ．π2D ．2π642．（2024高三上·福建厦门·阶段练习）已知母线长为5的圆锥的侧面积为15π，则这个圆锥的体积为（）A ．12πB ．16πC ．24πD ．48π43．（2024高三下·河南开封·阶段练习）木桶作为一种容器，在我国使用的历史已经达到了几千年，其形状可视为一个圆台．若某圆台形木桶上、下底面的半径分别为20cm,13cm ，母线长为25cm ，木板厚度忽略不计，则该木桶的容积为（）A ．314225πcm 3B ．34552πcmC ．320725πcm 3D ．36632πcm 44．（2024高三上·福建厦门·阶段练习）用一个平行于圆锥C 底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为23，则该圆台与圆锥C 的体积之比为（）A ．58B ．1727C ．1927D ．34二、多选题45．（2024·全国）如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，,2FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为123,,V V V ，则（）A ．322V V =B ．31V V =C ．312V V V =+D ．3123V V =46．（2024·福建·模拟预测）等腰梯形的上下底边之比为13，若绕该梯形的对称轴旋转一周所得几何体的表面积为16π，则该梯形的周长可能为（）A ．B ．8C ．D ．1647．（2024·河南·模拟预测）如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，高为3，F 为棱1AA 的中点，,D E 分别在棱11,BB CC 上，且满足1A D DE EA ++取得最小值．记四棱锥111A B C ED -、三棱锥1,F A DE A DEF --的体积分别为123,,V V V ，则（）A ．123334V V V ++<B ．23V V =C ．1223V V =D ．123V V V =+48．（2024高三上·湖南·5）A ．该正方体的体积为5B 556C ．该正方体的表面积为30D ．该正方体的外接球的表面积为15π三、填空题49．（2024·辽宁锦州·模拟预测）已知用斜二测画法画梯形OABC 的直观图O A B C ''''如图所示，3O A C B ''''=，C E O A ''''⊥，8OABC S =，//CD y '''轴，22C E ''=D ¢为O A ''的三等分点，则四边形OABC 绕y 轴旋转一周形成的空间几何体的体积为．50．（2024高三·全国·对口高考）若正ABC 用斜二测画法画出的水平放置图形的直观图为A B C ''' ，当A B C ''' 3ABC 的面积为．51．（2024高三下·上海宝山·开学考试）我们知道一条线段在“斜二测”画法中它的长度可能会发生变化的，现直角坐标系平面上一条长为4cm 线段AB 按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为A B ''，则A B ''最短长度为cm （结果用精确值表示）52．（2024高三·全国·阶段练习）如图，梯形ABCD 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中=45∠ ABC ，1AB AD ==，DC BC ⊥，则原图形的面积为．53．（2024高三上·上海普陀·期中）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成果着陆．如图，在返回过程中使用的主降落伞外表面积达到1200平方米，若主降落伞完全展开后可以近似看着一个半球，则完全展开后伞口的直径约为米（精确到整数）54．（2024高一下·四川成都·阶段练习）已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为．55．（2024·安徽·模拟预测）如图，在三棱锥P -ABC 的平面展开图中，CD AB ∥，AB AC ⊥，22AB AC ==，CD =，cos BCF ∠65=，则三棱锥-P ABC 外接球表面积为．56．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知三棱锥P －ABC 的底面ABC 为等边三角形．如图，在三棱锥P －ABC的平面展开图中，P ，F ，E 三点共线，B ，C ，E 三点共线，cos PCF ∠=PC =，则PB ＝．57．（2024高三上·山西大同·阶段练习）如图，在三棱锥-P ABC 的平面展开图中，1AC =，AB AD ==AB AC ⊥，AB AD ⊥，30CAE ∠=︒，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为．58．（2024高三·河北·专题练习）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点E 为1AA 的中点，在对角面11BB D D 上取一点M ，使AM ME +最小，其最小值为59．（2024高三上·四川成都·开学考试）如图一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为10cm ，高为20cm ，则这个茶叶盒的表面积为2cm .60．（2024高二上·上海黄浦·阶段练习）若长方体的对角线的长为9cm ，其长、宽、高的和是15cm ，则长方体的全面积是．61．（2024·全国·模拟预测）正四棱锥P -ABCD 的各条棱长均为2，则该四棱锥的表面积为．62．（2024高三·全国·专题练习）一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm 和6cm ，高是32cm ．则三棱台的斜高为；三棱台的侧面积为；表面积为．63．（2024高三·全国·专题练习）若矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，求圆柱侧面积的最大值为．64．（2024高二上·北京海淀·期中）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为是．65．（2024高三上·全国·专题练习）某地球仪上北纬030纬线的长度为12()cm π，该地球仪的半径是cm ，表面积是cm2．66．（2024·全国）已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，32OK =，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60 则球O 的表面积等于.67．（2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅱ））设OA 是球O 的半径,M 是OA 的中点,过M 且与OA 成45 角的平面截球O 的表面得到圆C ．若圆C 的面积等于74π,则球O 的表面积等于68．（2024·全国）用平面α截半径为R 的球，如果球心到截面的距离为2R ，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为．69．（2024高三上·广东广州·阶段练习）陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，也称陀罗，图l 是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中A 是圆锥的顶点，B ，C 分别是圆柱的上､下底面圆的圆心，且1AB =，3AC =，底面圆的半径为1，则该陀螺的表面积是.70．（2024高三·全国·专题练习）如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A ，B ，C ，D 在同一个平面内．如果四边形ABCD 是边长为30cm 的正方形，那么这个八面体的表面积是2cm .71．（2024高三上·天津北辰·阶段练习）已知一个圆柱的高是底面半径的2倍，且其上、下底面的圆周均在球面上，若球的体积为23，则圆柱的体积为．72．（2024高三上·云南昆明·､则该圆锥的体积为.73．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知圆锥的底面半径为1，侧面积为2π，则此圆锥的体积是．74．（2024高三上·广东广州·阶段练习）已知圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形.把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为1，则圆台的体积为.。
直线、平面垂直的判定与性质6题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测原卷版
专题34直线、平面垂直的判定与性质6题型分类1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义一般地，如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直．(2)判定定理与性质定理2.直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°.(2)范围：0，π2.3．二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．(3)二面角的范围：[0，π]．4．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理与性质定理常用结论1．三垂线定理平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．2．三垂线定理的逆定理平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．（一）证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．2-2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱2-3．（2024高三·全国·专题练习）已知三棱柱111ABC A B C -中，1112,2,90,AB AC A A A B A C BAC E=====∠=︒是BC 的中点，F 是线段11AC 上一点.求证：AB EF ⊥；2-4．（2024高三·全国·专题练习）在梯形ABCD 中，//AB DC ，90DAB ∠=︒，2CD =，4AC AB ==，如图1.沿对角线AC 将DAC △折起，使点D 到达点P 的位置，E 为BC 的中点，如图2.证明：PE AC ⊥.题型3：证线面垂直3-1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱ABC -是1AA 的中点，且90,60ACB DAC ∠∠== .证明：AA3-2．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC ．证明：BC ⊥平面PAB ；3-3．（2024高三·全国·专题练习）如图1，在五边形ABCDE 中，四边形ABCE 为正方形，CD DE ⊥，CD DE =，如图2，将ABE 沿BE 折起，使得A 至1A 处，且11A B A D ⊥．证明：DE ⊥平面1A BE ；3-4．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥C ABD -中，CD ⊥平面ABD ，E 为AB 的中点，2AB BC AC ===，2CG EG =.证明：AB ⊥平面CED ；（二）(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义．②面面垂直的判定定理．(2)面面垂直性质的应用①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．①BD A C '⊥；②平面A OC '⊥平面BCD ；③平面A BC '⊥平面A CD '；④三棱锥A BCD -'体积为1.其中正确命题序号为（）A ．①②③B ．②③C ．③④4-3．（2024·河南·模拟预测）已知,αβ是两个不同的平面，（）A ．若,,m m n αβα⊥⊥⊥，则n β⊥B ．若αβ∥C ．若,,m n m n αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥D ．若⊥m α5-2．（2024高三·全国·专题练习）如图，中点，点F 在线段AB 上，且5-3．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱2AB BC ==，1AC AB ==5-4．（2024高三·全国·专题练习）平面ACD ，直线EB ⊥平面ABC5-5．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在几何体PABCD 中，AD ⊥平面PAB ，点C 在平面PAB 的投影在线段PB 上()BC PC <，6BP =，23AB AP ==，2DC =，CD ∥平面PAB .证明：平面PCD ⊥平面PAD .（三）垂直关系的综合应用(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．(2)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证．题型6：垂直关系的综合应用6-1．（2024·安徽淮北·一模）如图，已知四棱锥2BC AB =，60ABC ∠=︒，PB (1)求证：面PAB ⊥面ABCD ；(2)设Q 为侧棱PD 上一点，四边形BEQF的位置；若不存在，说明理由．C (1)证明：//AF 平面1A DE ；(2)在棱1BB 上是否存在一点G ，使平面若不存在，请说明理由.6-3．（2024·天津·二模）如图，在三棱锥＝2，BC ＝BD ＝2，∠CBD ＝90°（1）求证：AD ⊥平面ABC ；（2）求二面角B ﹣AE ﹣C 的余弦值；（3）已知P 是平面ABD 内一点，点6-4．（2024·全国·模拟预测）如图，在正三棱柱三角形）中，1BC CC =，M 、N(1)求证：平面//NPC 平面1AB M ；(2)在线段1BB 上是否存在一点Q 使1AB ⊥平面1A MQ ？若存在，确定点Q 的位置；若不存在，也请说明理由．一、单选题1．（2024高三上·湖北·开学考试）已知a ，b 是两条不重合的直线，α为一个平面，且a ⊥α，则“b ⊥α”是“a //b ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2024高三上·山东潍坊·阶段练习）在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为45，则直线1AD 与直线1B C 的距离为（）A ．2B ．1CD 3．（2024高一下·全国·课后作业）若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（）A ．αγPB ．αγ⊥C ．α与γ相交但不垂直D ．以上都有可能4．（2024高三·全国·专题练习）空间中直线l 和三角形的两边AC ，BC 同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB 的位置关系是（）A ．平行B ．垂直C ．相交D ．不确定5．（2024·全国）在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π66．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知两条不同的直线l ，m 及三个不同的平面α，β，γ，下列条件中能推出//αβ的是（）A ．l 与α，β所成角相等B ．αγ⊥，βγ⊥C ．l α⊥，m β⊥，//l mD ．l ⊂α，m β⊂，//l m7．（2024·北京海淀·模拟预测）设,,αβγ是三个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，给出下列三个结论：①若,m n αα⊥⊥，则//m n ；②若,m m αβ⊥⊥，则//αβ；③若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ．其中，正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．38．（2024高三·全国·专题练习）平行四边形ABCD 中，AB AD >，将三角形ABD 沿着BD 翻折至三角形A BD '，则下列直线中有可能与直线A B '垂直的是（）①直线BC ；②直线CD ；③直线BD ；④直线A C '.A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④9．（2024高一·江苏·课后作业）对于直线m ，n 和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（）A ．m ⊥n ，m ∥α，n ∥βB ．m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂αC ．m ∥n ，n ⊥β，m ⊂αD ．m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β10．（2024高一下·吉林·期末）设a ，b ，c 表示空间中三条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A ．若b αP ，c α⊂，则b cP B ．若b α⊂，c α⊂，a b ⊥r r，a c ⊥，则a α⊥C ．若a α⊥，b α⊥，则a b D ．若a αP ，a β⊂，则αβ∥11．（2024高一·全国·课后作业）已知直线l ⊥平面α，则经过l 且和α垂直的平面（）A ．有一个B ．有两个C ．有无数个D ．不存在12．（2024高一下·浙江宁波·期末）给出下列4个命题，其中正确的命题是（）．①垂直于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一平面的两条直线平行；③垂直于同一直线的两个平面平行；④垂直于同一平面的两个平面平行．A ．①②B ．③④C ．②③D ．①④13．（2024高二上·北京·期中）在三棱锥A BCD -中，若AD BC ⊥，AD BD ⊥，那么必有（）A ．平面ADC ⊥平面BCDB ．平面ABC ⊥平面BCD C ．平面ABD ⊥平面ADCD ．平面ABD ⊥平面ABC14．（2024高一下·河南·期末）如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，3PA AB ==，4BC =，90ABC ∠=︒，则点A 到平面PBC 的距离为（）．A ．2B ．32C ．3D ．215．（2024高二上·北京·期中）如图，四边形ABCD 中，AB =AD =CD =1，BA ⊥AD ，BD ⊥CD ，将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A BCD -'，使平面A BD '⊥平面BCD ，则四面体A BCD -'的体积为（）A ．16B ．14C ．13D ．1216．（2024高一下·福建厦门·期末）如图（1）平行六面体容器1111ABCD A B C D -盛有高度为h 的水，12AB AD AA ===，1A AB ∠=160A AD BAD ∠=∠=︒.固定容器底而一边BC 于地面上，将容器倾斜到图（2）时，水面恰好过A ，1B ，1C ，D 四点，则h 的值为（）A 33B 63C 233D 26317．（2024高一下·山西太原·期末）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =.1BC =.则直线1AA 与平面11BDD B 的距离为（）A 5B 55C 255D ．2518．（2024高二上·北京丰台·期中）棱长为1正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A B 的中点，则E 到面11ABC D的距离（）A ．2B C ．13D 19．（2024高二下·江苏泰州·期末）已知球O 的半径为2，A ，B ，C 为球面上的三个点，2AB =，点P 在AB 上运动，若OP 与平面ABC 所成角的最大值为3π，则O 到平面ABC 的距离为（）A ．32B C ．7D 20．（2024·浙江）如图已知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（）A ．直线1A D 与直线1DB 垂直，直线//MN 平面ABCD B ．直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD BC ．直线1AD 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCD D ．直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B 21．（2024·全国）在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为,AB BC 的中点，则（）A ．平面1B EF ⊥平面1BDD B ．平面1B EF ⊥平面1A BDC ．平面1//B EF 平面1A ACD ．平面1//B EF 平面11AC D22．（2024高三·云南昆明·阶段练习）过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 的平面α与直线1AC 垂直，且平面α与平面11ABB A 的交线为直线l ，平面α与平面11ADD A 的交线为直线m ，则直线l 与直线m 所成角的大小为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π223．（2024·河南·模拟预测）在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为AB ，CD 的中点，则（）A ．1AB 平面1BC QB ．平面11AB D ∥平面1BC QC ．1A Q ⊥平面1B DPD ．平面1B CD ⊥平面1B DP24．（2024·全国·一模）设m ，n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①//////αββγαγ⎫⇒⎬⎭；②//a m m ββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭；③//m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⎭；④////m n m n αα⎫⇒⎬⊂⎭.其中正确的命题是（）A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④25．（2024高三·全国·专题练习）下列结论正确的是（）A ．已知直线,,a b c ，若,a b b c ⊥⊥，则//a c .B ．设,m n 是两条不同的直线，α是一个平面，若//m n ，m α⊥，则n α⊥.C ．若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．D ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则αβ⊥.二、多选题26．（2024·全国）如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点．则满足MN OP ⊥的是（）A ．B ．C ．D ．27．（2024高三上·广东潮州·期末）如图，四棱锥S ABCD -的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中正确的是（）A ．AC SB ⊥B ．AD SC⊥C ．平面SAC ⊥平面SBD D ．BD SA⊥28．（2024高二下·云南普洱·期末）如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列结论正确的是（）A ．三棱锥1A D PC -的体积不变B ．1AP ⊥平面1ACD C ．1DP BC ^D ．平面1PDB ^平面1ACD 三、填空题29．（2024高一下·全国·专题练习）已知如图边长为a 的正方形ABCD 外有一点P 且PA ⊥平面ABCD ，PA a =，二面角P BD A --的大小的正切值．30．（2024高二上·上海徐汇·期末）已知正方体1111ABCD A B C D -中，6AB =，点P 在平面11AB D 内，132A P =求点P 到1BC 距离的最小值为.31．（2024高三·全国·专题练习）已知直线a ，b 和平面α，且a b ⊥，a α⊥，则b 与α的位置关系是．32．（2024高三·全国·专题练习）正方体1111ABCD A B C D -中与1AD 垂直的平面有（填序号）．①平面11DD C C ；②平面1A DB ；③平面1111D C B A ；④平面11A DB ．33．（2024高三下·河北衡水·阶段练习）如图，在棱长均为ABCD 中，M 为AC 中点，E 为AB 中点，P 是DM 上的动点，Q 是平面ECD 上的动点，则AP +PQ 的最小值是．34．（2024高二上·山东枣庄·期中）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60DAB ∠=︒，E 是AB 的中点，将ADE V 沿直线DE 翻折至1A DE △的位置，使得面1A ED ⊥面BCDE ，则点1A 到直线DB 的距离为.35．（2024高三·全国·专题练习）在三棱锥-P ABC 中，点P 在平面ABC 中的射影为点O .（1）若PA ＝PB ＝PC ，则点O 是△ABC 的心．（2）若PA ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥PA ，则点O 是△ABC 的心．四、解答题36．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知,a a αβ⊂⊥，证明：αβ⊥.37．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知,,,,l a l b a b a b P αα⊥⊥⊂⊂⋂=.证明：l α⊥.38．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PD ⊥面ABCD ．求证：面PAB ⊥面PAD ；39．（2024高三·全国·专题练习）正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1AA 的中点，求平面1EB C 和平面1111D C B A 夹角的余弦值.40．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知αβ⊥，=l αβ ，,a a l α⊂⊥.证明：a β⊥.41．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥-P ABC 中，M 为AC 的中点，PA PC ⊥，AB BC ⊥，AB BC =，2PB =2AC =，30PAC ∠=︒.证明：BM ⊥平面PAC .42．（2024高三·全国·专题练习）已知正方体1111ABCD A B C D -.求证：1AD ⊥平面A 1D C .43．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知,a b αα⊥⊥.证明：a ∥b .44．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，12AB CD =，CD CE ⊥，45ADC EDC ∠=∠= ，2AD =3BE =求证：平面ABE ⊥平面ABCD ；45．（2024高三·全国·专题练习）如图，在几何体ABCDEF 中，矩形BDEF 所在平面与平面ABCD 互相垂直，且1AB BC BF ===，3AD CD ==2EF =．求证：BC ⊥平面CDE ；46．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥P OABC -中，已知π1,2,,3OP CP CPO ∠===，π2AOC ∠=.证明：CO ⊥平面AOP ；47．（2024高三上·陕西汉中·阶段练习）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，底面ABCD满足//AD BC ，且12AB AD AA ===，BD DC ==(1)求证：AB ⊥平面11ADD A ；(2)求四棱锥11C BDD B -的体积.48．（2024·江苏南京·二模）如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥平面PAB ，AP ⊥AB ．（1）求证：CD ⊥AP ；（2）若CD ⊥PD ，求证：CD ∥平面PAB ；49．（2024高三·全国·专题练习）如图，三棱锥-P ABC 中，,,PA PB PC 两两垂直，PA PB =，且,M N 分别为线段,AB PC 的中点.求证：平面PCM ⊥平面ABC .50．（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，1AA AB =，点D ，E 分别为棱BC ，11B C 上的点，且111(01)C E BD t t BC C B ==<<，二面角1C AD C --的大小为π3，求实数t 的值．51．（2024高二上·上海静安·期中）如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°(1)证明：C 1C ⊥BD ；(2)当1CD CC 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ?请给出证明．52．（2024·河北邯郸·二模）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别是棱BC ，AB 的中点，点F 在棱CC 1上，已知AB ＝AC ，AA 1＝3，BC ＝CF ＝2．（1）求证：C 1E //平面ADF ；（2）设点M 在棱BB 1上，当BM 为何值时，平面CAM ⊥平面ADF ．53．（2024·全国·模拟预测）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，11AD A D E = ，11CD C D F = .（1）求证：EF BD ⊥；（2）在线段1BC 上，是否存在点H ，使得1BC ⊥平面DEH ？并说明理由.54．（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1AB AC ==．试在平面1A BC 内确定一点H ，使得AH ⊥平面1A BC ，并写出证明过程；55．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，122,4,AB BC AA P ===为棱AB 的中点．(1)证明：平面1PCD ⊥平面1PDD ；(2)画出平面1D PC 与平面11A ADD 的交线，并说明理由；(3)求过1,,D P C 三点的平面α将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比．56．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四面体ABCD 中，平面BAD ⊥平面CAD ，∠BAD ＝90°.M ，N ，Q 分别为棱AD ，BD ，AC 的中点．（1）求证：CD ∥平面MNQ ；（2）求证：平面MNQ ⊥平面CAD .57．（2024·河南·模拟预测）如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，2AB AC ==，11122A A B A A C ===，90BAC ∠=︒，E 是BC 的中点，F 是线段11AC 上一点.(1)求证：AB EF ⊥；(2)设P 是棱1AA 上的动点（不包括边界），当PBC 的面积最小时，求棱锥-P ABC 的体积.58．（2024高三·全国·专题练习）图1是由直角梯形ABCD 和以CD 为直径的半圆组成的平面图形，AD BC ∥，AD AB ⊥，112AD AB BC ===．E 是半圆上的一个动点，当CDE 周长最大时，将半圆沿着CD 折起，使平面PCD ⊥平面ABCD ，此时的点E 到达点P 的位置，如图2．求证：BD PD ⊥；。
高考复习高三数学期末综合练习(六)
高三数学期末综合练习〔六〕一、选择题：〔本大题12个小题,每题5分,共60分〕各题答案必需答在做题卡上. 1. 全集}5,4,3,2,1{U =, }4,3,1{A =, }3,2{B =, 那么 (C U A) B 是 ( ) A. }2{ B. }3{ C. }4,3,2,1{ D. }5,3,2{ 2. x sin x cos y 42-=的最小正周期为 ( )A. 4πB. 2πC. πD. 2π 3. 函数)3x 1(x log 1y 3≤≤+= 的反函数是 ( )A. )0x (3y 1x ≥=+ B. )0x (3y 1x ≥=-C. )2x 1(3y 1x ≤≤=+ D. )2x 1(3y 1x ≤≤=-4. 假设一个等差数列的前3项的和为34, 最后3项的和为146, 且所有项的和为390, 那么这个数列共有 ( )A. 13项B. 12项C. 11项D. 10项 5. 球的体积为36π, 那么该球的外表积为 ( ) A. 9π B. 12π C. 24π D. 36π6. 平行四边形ABCD 的顶点A 〔3,－1〕,C 〔2,－3〕,点D 在直线3x －y+1=0上移动,那么点B 轨迹方程为 〔 〕 A ．3x －y －20=0(x ≠13) B ．3x －y －10=0(x ≠13) C ．3x －y －9=0(x ≠2) D ．3x －y －12=0(x ≠5)7. 假设抛物线)0p (px 2y 2>= 过点)8,8(A - , 那么点A 与抛物线焦点F 的距离为 ( )A. 9B. 10C. 12D. 458. 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+3x 005y x 0y x , 表示的平面区域的面积是 ( )A. 48B. 36C. 24D. 12 9. 函数)3x sin(y π-=的单调递增区间为 ( ) A. ]65k 2,6k 2[π+ππ-π )Z k (∈ B. ]611k 2,65k 2[π+ππ+π )Z k (∈C. ]34k 2,3k 2[π+ππ+π )Z k (∈ D. ]3k 2,32k 2[π+ππ-π )Z k (∈ 10. 将圆1y x 22=+按向量)1,2(-= a 平移后, 恰好与直线0b y x =+-相切, 那么实数b 的值为 ( ) A. 23± B. 23±- C. 21± D. 22±- 11. 平面 α平面β=l , 异于直线l 的直线α⊂a , 异于直线l 的直线β⊂b , 且β⊥α, 命题p: a ⊥l , 命题q: a ⊥b 那么p 是q 的 ( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 12. 设函数)R x (x )x (f 3∈= , 假设20π≤θ≤时, 0)m 1(f )sin m (f >-+θ⋅恒成立, 那么实数m 的取值范围是 ( )A. )1,0(B. )0,( -∞C. )1,( -∞D. )21,( -∞二. 填空题：(本大题共4小题；每题4分,共16分) 13. 不等式0x13x >-+的解集为 . 14. 条件p:|x －2|>2－x ；条件q:x >a ,假设p 是q 的充分不必要条件,那么a 的取值范围是 .15. 给出以下四个命题： ①假设直线l ⊥平面α,l //平面β,那么α⊥β； ②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱； ③一个二面角的两个半平面所在平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面所在平面,那么这两个二面角的平面角互为补角； ④过空间任意一点一定可以做一个和两个异面直线都平行的平面.其中,正确的命题的是 . 16. 数列}a {n 满足,1a 1=)1n (a 1n 1a 31a 21a a 1n 321n >-++++=- , 假设2004a n =,那么=n .高三数学期末综合练习〔六〕班级 姓名 学号 得分〔〕13. ; 14. ; 15. ; 16. ;三、解做题：〔本大题6个小题,共74分〕各题解答必需答在做题卡Ⅱ上〔必需写出必要 的文字说明、推理过程或计算步骤〕.17.〔此题12分〕数列}a {n 为等差列,,7a 2=15a 5=. (1) 求数列}a {n 的通项公式;(2) 设n S 是数列}a {n 的前n 项和,请比拟n S ·2n S +与21n S +的大小.18. (此题12分) 向量)3x 5sin ,3x 5(cos a =,)3x sin ,3x (cos -= b , ]2,0[x π∈ . (1) 求a ·b 及||b a +;(2) 假设||2)x (f b a b a +λ-⋅=(其中0>λ)的最小值是23-, 求λ的值.19. (此题12分) 如图, 在三棱S —ABC 中, △ABC 是边长为8的正三角形, SA ＝SC ＝27, 二面角S —AC —B 为60°. (1) 求证: AC ⊥SB;(2) 求二面角S —BC —A 的正切值.20.〔此题12分〕设函数54)(2--=x x x f . 〔1〕在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像； 〔2〕设集合{}),6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥= B x f x A . 试判断集合A 和B 之间的关系,并给出证实；〔3〕当2>k 时,求证：在区间]5,1[-上,3y kx k =+的图像位于函数)(x f 图像的上方.21. (此题12分) 如图 ,椭圆的中央在原点, 焦点在x 轴上, 过其右焦点F 作斜率为1的直线, 交椭圆于A 、B 两点, 假设椭圆上存在一点C, 使OA ＋OB ＝OC . (1) 求椭圆的离心率; (2) 假设|AB |＝15, 求这个椭圆的方程.22. 〔此题14分〕数列3021,,,a a a ,其中1021,,,a a a 是首项为1,公差为1的等差数列；201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列〔0≠d 〕. 〔1〕假设4020=a ,求d ；〔2〕试写出30a 关于d 的关系式,并求30a 的取值范围；〔3〕续写数列,使得403130,,,a a a 是公差为3d 的等差数列,……,依次类推,把数列推广为无穷数列. 提出同〔2〕类似的问题〔〔2〕应当作为特例〕,并进行研究,你能得到什么样的结论？高三数学期末综合练习〔六〕参考答案及评分标准〔每题4分,共16分〕13. (－3, 1) ; 14. 2<a ; 15. ①; 16. 4008 ; 三. 解做题〔共74分〕 17．〔本小题总分值12分〕解: (1)设公差为d, 由可得: ,2d ,5a 1==所以等差数列}a {n 的通项公式为;.3n 2a n +=……(4分)(2) }a {n 的前n 项和为,n 4n S 2n +=……(6分)22222221n 2n n )5n ()1n ()6n )(2n )(4n (n )]1n (4)1n [()]2n (4)2n )[(n 4n (S S S +++++=+++++++=⋅++ )25n 10n )(1n 2n ()24n 10n )(n 2n (2222+++++++=……(10分) ∵,0n 2n 1n 2n 22>+>++,024n 10n 25n 10n 22>++>++∴,11n 2n n 2n 22<+++,125n 10n 24n 10n 22<++++= ∴1S S S 21n 2n n <⋅++ ∴.S S S 21n 2n n ++<⋅…(12分)18．〔本小题总分值12分〕解: (1)x 2cos 3xsin 3x 5sin 3x cos 3x 5cos=-=⋅b a . ……(3分) |x cos |2)3xsin 3x 5(sin )3x cos 3x 5(cos ||22=+++=+ b a ,……(6分)∵]2,0[x π∈ , ∴.x cos 2||=+ b a ……(7分)(2)x cos 41x cos 2x cos 41x cos 2x cos 4x 2cos )x (f 22λ--=λ--=λ-=,21)x (cos 222λ--λ-=……(8分) ∵]2,0[x π∈ , ∴.1x cos 0≤≤①当10≤λ<时, 当且仅当1x cos =时, )x (f 取的最小值221λ--,由得23212-=λ--, 解得21=λ, ……(9分)②当1>λ时, 当且仅当λ=x cos 时, )x (f 取得最小值λ-41,由得2341-=λ-, 解得85=λ,这与1>λ矛盾.……(11分) 综上所述,21=λ为所求.……(12分 19．〔本小题总分值12分〕证实: (1)取AC 的中点D, 连结SD 、BD, ∵SA ＝SC, D 为AC 的中点, ∴SD ⊥AC.…(2分) ∵AB ＝BC, D 为的AC 中点, ∴BD ⊥AC. 又SD BD ＝D, ∴AC ⊥面SBD, 又SB ⊂面SBD,∴AC ⊥SB. ……(4分)(2)过O 作OH ⊥BC 于H, 连SH, 那么SH ⊥BC. ∴∠SHO 为二面角S —BC —A 的平面角.……(9分)∵正△ABC 的边长为8, ∴BD ＝34. ∵3SO SD OD 22=-=,∴.33OB =在Rt △OHB 中, .323OB 2130sin OB OH ==⋅=……(10分) 在Rt △SOH 中, 3322333OH SO SHO tan ===∠ 即二面角S —BC —A 的正切值为332.……(12分)20．〔本小题总分值12分〕 解: 〔1〕〔2〕方程5)(=x f 的解分别是4,0,142-和142+,由于)(x f 在]1,(-∞-和]5,2[上单调递减,在]2,1[-和),5[∞+上单调递增,因此(][)∞++-∞-=,142]4,0[142, A .……8分由A B ⊂∴->-<+,2142,6142. 〔3〕[解法一] 当]5,1[-∈x 时,54)(2++-=x x x f .)54()3()(2++--+=x x x k x g )53()4(2-+-+=k x k x436202422+--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=k k k x ,∴>,2k 124<-k. 又51≤≤-x ,① 当1241<-≤-k ,即62≤<k 时,取24kx -=, min )(x g ()[]6410414362022---=+--=k k k .064)10(,64)10(1622<--∴<-≤k k , 那么0)(min >x g . ② 当124-<-k,即6>k 时,取1-=x , min )(x g ＝02>k . 由 ①、②可知,当2>k 时,0)(>x g ,]5,1[-∈x .因此,在区间]5,1[-上,)3(+=x k y 的图像位于函数)(x f 图像的上方. [解法二] 当]5,1[-∈x 时,54)(2++-=x x x f .由⎩⎨⎧++-=+=,54),3(2x x y x k y 得0)53()4(2=-+-+k x k x , 令 0)53(4)4(2=---=∆k k ,解得 2=k 或18=k ,在区间]5,1[-上,当2=k 时,)3(2+=x y 的图像与函数)(x f 的图像只交于一点)8,1(； 当18=k 时,)3(18+=x y 的图像与函数)(x f 的图像没有交点.如图可知,由于直线)3(+=x k y 过点)0,3(-,当2>k 时,直线)3(+=x k y 是由直线)3(2+=x y 绕点)0,3(-逆时针方向旋转得到. 因此,在区间]5,1[-上,)3(+=x k y 的图像位于函数)(x f 图像的上方. 21．〔本小题总分值12分〕解: (1)设椭圆的方程为1b y a x 2222=+, 焦距为c 2, 那么直线l 的方程为:c x y -=,代入椭圆方程, 得0b a c a cx a 2x )b a (22222222=-+-+, 设点)y ,x (A 11 、)y ,x (B 22 ,那么,b a c a 2x x 22221+=+,ba cb 2c 2x x y y 2222121+-=-+=+……(2分) ∵OA ＋OB OC =, ∴C 点坐标为)ba cb 2,b ac a 2(222222+-+ . ∵C 点在椭圆上, ∴1)b a (c b 4)b a (c a 42222222222=+++ .∴,1b a c 4222=+ ∴.b a c 4222+=……(4分) 又,a b c 222=+∴.a 2c 522=∴510a c e ==……(6分)(2) ∵)ex a ()ex a (|BF ||AF ||AB |21-+-=+=,2a3c 4ac 2a 2b a ac 2a 2b a c a 2a c a 2)x x (e a 22222222221=-=+-=+⨯-=+-=……(9分) 由,10a ,152a3==从而102a 510c ==. ∴60c a b 222=-=.故椭圆的方程为:1100y 100x 22=+.……(12分) 22．〔本小题总分值14分〕解: 〔1〕3,401010.102010=∴=+==d d a a . …… 3分 〔2〕())0(11010222030≠++=+=d d d d a a , …… 6分⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432110230d a ,当),0()0,(∞+∞-∈ d 时,[)307.5,a ∈+∞. …… 10分 〔3〕所给数列可推广为无穷数列{}n a ,其中1021,,,a a a 是首项为1,公差为1的等差数列,当1≥n 时,数列)1(1011010,,,++n n n a a a 是公差为n d 的等差数列.研究的问题可以是：试写出)1(10+n a 关于d 的关系式,并求)1(10+n a 的取值范围.…… 12分 研究的结论可以是：由()323304011010d d d d a a +++=+=, 依次类推可得 ()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--⨯=+++=++.1),1(10,1,11101101)1(10d n d d d d d a n nn 当0>d 时,)1(10+n a 的取值范围为),10(∞+等. …… 14分。
高考复习高三数学期末综合练习(七)
高考复习高三数学期末综合练习(七)一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分）各题答案必需答在答题卡上。
1．cos600°= （ ）A ．21-B ．21C ．23-D ．232．已知函数)(,)(,11lg )(a f b a f x x x f -=+-=则若=（ ）A ．bB ．－bC ．b1D ．－b1 3．函数)0(2)(2≤+=x x x f 的反函数的图象大致是 （ ）（ ）4．一元二次方程)0(0122≠=++a x ax 有一个正实数根和一个负实数根的充分不必要条件 是 （ ） A ．1<a B ．0>a C ．1-<a D ．1>a 5．若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是( )（A ）b a 11<. （B ）22b a >. （C ）1122+>+c b c a .（D ）||||c b c a >. 6．已知平面α、β都垂直于平面γ，且.,b a =⋂=⋂γβγα给出下列四个命题：①若βα⊥⊥则,b a ；②若βα//,//则b a ；③若b a ⊥⊥则,βα；④若b a //,//则βα.其中真命题的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．17．若把函数)(x f y =的图象按向量)2,3(--=πa 平移后，得到函数x y cos =的图象，则原图象的函数解析式能够为（ ）A ．2)3cos(+-=πx y B ．2)3cos(--=πx yC ．2)3cos(++=πx yD ．2)3cos(-+=πx y8．已知奇函数)(x f 的定义域为),0()0,(+∞⋃-∞，且对任意正实数)(,2121x x x x ≠，恒有0)()(2121>--x x x f x f ，则一定有（ ）A ．)5()3(->f fB ．)5()3(-<-f fC ．)3()5(f f >-D ．)5()3(->-f f9．已知平面上直线l 的方向向量e =)53,54(-，点O （0，0）和A （1，－2）在l 上的射影分别是O 1和A 1，则e λ=11A O ，其中λ= （ ）A ．511 B ．－511 C ．2D ． －210．若双曲线12222=-by a x 和椭圆)0,0(12222>>>=+b m a b y m x 的离心率互为倒数，那么以a ，b ，m 为边长的三角形是 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 11．若正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则该球的体积为（ ）A ．)3612(16π-B ．18πC ．36πD ．)246(64π-12．某都市各类土地单位面积租金y （万元）与该地段离开市中心的距离x （km ）关系如图所示， 其中l 1表示商业用地，l 2表示工业用地，l 3表 示居住用地，该市规划局单位面积租金最高为 标准规划用地，应将工业用地划在（ ） A ．与市中心距离分别为3km 和5km 的圆环区域内B ．与市中心距离分别为1km 和4km 的圆环形区域内C ．与市中心距离为5km 的区域外D ．与市中心距离为5km 的区域内 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上.13．已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O 为坐标原 点，则三角形OAB 面积的最小值为 . 14．以正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的8个顶点中4个为顶点，且4个面均为直角三角形的四面体是 （只要写出一个四面体即可）. 15．若双曲线)0(222>=-k k y x 的焦点到相应于该焦点的准线的距离是2，则k= . 16．若含有集合A={1，2，4，8，16}中三个元素的A 的所有子集依次记为B 1，B 2，B 3，…，B n （其中n ∈N *），又将集合B i （i =1，2，3，…，n ）的元素的和记为i a ，则321a a a ++ n a ++ = .高三数学期末综合练习（七）班级 姓名 学号 得分（）13. ; 14. ; 15. ; 16. ;三、解答题：（本大题6个小题，共74分）各题解答必需答在答题卡Ⅱ上（必需写出必要 的文字说明、推理过程或运算步骤）。
高考复习高三数学期末综合练习
高考复习高三数学期末综合练习一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分）各题答案必需答在答题卡上。
1．若集合{}{}|20,|12M x x N x x =-<=-< ，则MN =A ．{}|22x x -<<B ．{}|2x x <C ．{}|12x x -<<D ．{}|13x x -<< 2．数30.330.3,3,log 0.3a b c ===的大小关系是A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．b a c >> 3．条件p ：不等式()2log 11x -<的解；条件q ：不等式2230x x --<的解，则p 是q 的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件4．若()12:12,:24160l x m y m l mx y ++=-++= 的图象是两条平行直线，则m 的值是 A ．1m =或2m =- B ．1m = C ．2m =- D ．m 的值不存在 5．在()0,2π内使sin cos x x >成立的x 的取值范畴是A ．5,,424ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ B ．,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．53,,442πππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．5,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭6．若函数()f x 的图象过点()0,1，则函数()4f x -的图象必过点 A ．()4,1 B ．()1,4 C ．()3,0 D ．()0,37．在正项等比数列{}n a 中，199,a a 是方程210160x x -+=的两个根，则405060a a a 的值为A ．32B ．64C ．64±D ．2568．若函数()()()()tan 02lg 0x x f x x x ⎧≥⎪+=⎨-<⎪⎩ ，则()2984f f π⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭A ．12 B ．12- C ．2 D ．2- 9．已知直线12:,:0l y x l ax y =-= ，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在0,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭内变动时，a 的取值范畴是A．⎫⎪⎪⎝⎭ B．( C．()1,3⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎝ 10．已知()f x 是R 上的增函数，点()()1,1,1,3A B -在它的图象上，()1f x -是它的反函数，那么不等式()12log 1f x -<的解集为A ．{}|11x x -<<B ．{}|28x x <<C ．{}|13x x <<D ．{}|03x x <<11．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>与双曲线()222210,0x y m n m n-=>> 有相同的焦点(),0c -和(),0c ，若c 是,a m 的等比中项，2n 是22m 与2c 的等差中项，则椭圆的离心率是AB C ．14 D ．1212．某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平稳后给顾客；然后又将5g 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平稳后又给顾客，则顾客实际所得黄金A ．大于10gB ．小于10gC ．大于等于10gD ．小于等于10g二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）各题答案必须填写在答题卡Ⅱ上（只填结果，不要过程）。
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高三数学期末综合练习（六）一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分）各题答案必需答在答题卡上。
1. 已知全集}5,4,3,2,1{U =, }4,3,1{A =, }3,2{B =, 则 (C U A) B 是 ( ) A. }2{ B. }3{ C. }4,3,2,1{ D. }5,3,2{ 2. x sin x cos y 42-=的最小正周期为 ( )A.4π B. 2πC. πD. 2π 3. 函数)3x 1(x log 1y 3≤≤+= 的反函数是 ( )A. )0x (3y 1x ≥=+B. )0x (3y 1x ≥=-C. )2x 1(3y 1x ≤≤=+D. )2x 1(3y 1x ≤≤=-4. 若一个等差数列的前3项的和为34, 最后3项的和为146, 且所有项的和为390, 则这个数列共有 ( )A. 13项B. 12项C. 11项D. 10项 5. 已知球的体积为36π, 则该球的表面积为 ( ) A. 9π B. 12π C. 24π D. 36π 6. 已知平行四边形ABCD 的顶点A （3，－1），C （2，－3），点D 在直线3x －y+1=0上移动，则点B 轨迹方程为 （ ） A ．3x －y －20=0(x ≠13) B ．3x －y －10=0(x ≠13) C ．3x －y －9=0(x ≠2) D ．3x －y －12=0(x ≠5) 7. 若抛物线)0p (px 2y 2>= 过点)8,8(A - , 则点A 与抛物线焦点F 的距离为 ( ) A. 9 B. 10 C. 12 D. 458. 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+3x 005y x 0y x , 表示的平面区域的面积是 ( )A. 48B. 36C. 24D. 12 9. 函数)3x sin(y π-=的单调递增区间为 ( ) A. ]65k 2,6k 2[π+ππ-π )Z k (∈ B. ]611k 2,65k 2[π+ππ+π )Z k (∈ C. ]34k 2,3k 2[π+ππ+π )Z k (∈ D. ]3k 2,32k 2[π+ππ-π )Z k (∈ 10. 将圆1y x 22=+按向量)1,2(-= a 平移后, 恰好与直线0b y x =+-相切, 则实数b的值为 ( ) A. 23± B. 23±- C. 21± D. 22±- 11. 已知平面 α平面β=l , 异于直线l 的直线α⊂a , 异于直线l 的直线β⊂b , 且β⊥α, 命题p: a ⊥l , 命题q: a ⊥b 则p 是q 的 ( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件12. 设函数)R x (x )x (f 3∈= , 若20π≤θ≤时, 0)m 1(f )sin m (f >-+θ⋅恒成立, 则实数m 的取值范围是 ( )A. )1,0(B. )0,( -∞C. )1,( -∞D. )21,( -∞二. 填空题：(本大题共4小题；每小题4分，共16分) 13. 不等式0x13x >-+的解集为 . 14. 条件p:|x －2|>2－x ；条件q:x >a ，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是 . 15. 给出下列四个命题： ①若直线l ⊥平面α，l //平面β，则α⊥β； ②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱； ③一个二面角的两个半平面所在平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面所在平面，则这两个二面角的平面角互为补角； ④过空间任意一点一定可以做一个和两个异面直线都平行的平面。
其中，正确的命题的是 . 16. 已知数列}a {n 满足,1a 1=)1n (a 1n 1a 31a 21a a 1n 321n >-++++=- , 若2004a n =,则=n .高三数学期末综合练习（六）班级 姓名 学号 得分（）13. ; 14. ; 15. ; 16. ;三、解答题：（本大题6个小题，共74分）各题解答必需答在答题卡Ⅱ上（必需写出必要 的文字说明、推理过程或计算步骤）。
17.（本题12分）已知数列}a {n 为等差列,,7a 2=15a 5=. (1) 求数列}a {n 的通项公式;(2) 设n S 是数列}a {n 的前n 项和,请比较n S ·2n S +与21n S +的大小.18. (本题12分) 已知向量)3x 5sin ,3x 5(cos a =,)3x sin ,3x (cos -= b , ]2,0[x π∈ . (1) 求a ·b 及||b a +;(2) 若||2)x (f b a b a +λ-⋅=(其中0>λ)的最小值是23-, 求λ的值.19. (本题12分) 如图, 在三棱S —ABC 中, △ABC 是边长为8的正三角形, SA ＝SC ＝27,二面角S —AC —B 为60°.(1) 求证: AC ⊥SB;(2) 求二面角S —BC —A 的正切值.20.（本题12分）设函数54)(2--=x x x f . （1）在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像； （2）设集合{}),6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥= B x f x A . 试判断集合A 和B 之间的关系，并给出证明；（3）当2>k 时，求证：在区间]5,1[-上，3y kx k =+的图像位于函数)(x f 图像的上方.21. (本题12分) 如图 ,椭圆的中心在原点, 焦点在x 轴上, 过其右焦点F 作斜率为1的直线,交椭圆于A 、B 两点, 若椭圆上存在一点C, 使OA ＋OB ＝OC . (1) 求椭圆的离心率; (2) 若||＝15, 求这个椭圆的方程.22. （本题14分）已知数列3021,,,a a a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0≠d ）.（1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a 是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？高三数学期末综合练习（六）参考答案及评分标准（每小题4分，共16分）13. (－3, 1) ; 14. 2<a ; 15. ①; 16. 4008 ; 三. 解答题（共74分） 17．（本小题满分12分）解: (1)设公差为d, 由已知可得: ,2d ,5a 1==所以等差数列}a {n 的通项公式为;.3n 2a n +=……(4分)(2) }a {n 的前n 项和为,n 4n S 2n +=……(6分)22222221n 2n n )5n ()1n ()6n )(2n )(4n (n )]1n (4)1n [()]2n (4)2n )[(n 4n (S S S +++++=+++++++=⋅++ )25n 10n )(1n 2n ()24n 10n )(n 2n (2222+++++++=……(10分) ∵,0n 2n 1n 2n 22>+>++,024n 10n 25n 10n 22>++>++∴,11n 2n n 2n 22<+++,125n 10n 24n 10n 22<++++= ∴1S S S 21n 2n n <⋅++ ∴.S S S 21n 2n n ++<⋅…(12分)18．（本小题满分12分）解: (1)x 2cos 3xsin 3x 5sin 3x cos 3x 5cos=-=⋅b a . ……(3分) |x cos |2)3xsin 3x 5(sin )3x cos 3x 5(cos ||22=+++=+ b a ,……(6分)∵]2,0[x π∈ , ∴.x cos 2||=+ b a ……(7分)(2)x cos 41x cos 2x cos 41x cos 2x cos 4x 2cos )x (f 22λ--=λ--=λ-=,21)x (cos 222λ--λ-=……(8分) ∵]2,0[x π∈ , ∴.1x cos 0≤≤①当10≤λ<时, 当且仅当1x cos =时, )x (f 取的最小值221λ--,由已知得23212-=λ--, 解得21=λ, ……(9分)②当1>λ时, 当且仅当λ=x cos 时, )x (f 取得最小值λ-41,由已知得2341-=λ-, 解得85=λ,这与1>λ矛盾.……(11分)综上所述,21=λ为所求.……(12分 19．（本小题满分12分）证明: (1)取AC 的中点D, 连结SD 、BD, ∵SA ＝SC, D 为AC 的中点, ∴SD ⊥AC.…(2分) ∵AB ＝BC, D 为的AC 中点, ∴BD ⊥AC. 又SD BD ＝D, ∴AC ⊥面SBD, 又SB ⊂面SBD,∴AC ⊥SB. ……(4分)(2)过O 作OH ⊥BC 于H, 连SH, 则SH ⊥BC. ∴∠SHO 为二面角S —BC —A 的平面角.……(9分)∵正△ABC 的边长为8, ∴BD ＝34. ∵3S O S D OD 22=-=, ∴.33OB =在Rt △OHB 中, .323OB 2130sin OB OH ==⋅=……(10分)在Rt △SOH 中, 3322333OH SO SHO tan ===∠ 即二面角S —BC —A 的正切值为332.……(12分) 20．（本小题满分12分） 解: （1）（2）方程5)(=x f 的解分别是4,0,142-和142+，由于)(x f 在]1,(-∞-和]5,2[上单调递减，在]2,1[-和),5[∞+上单调递增，因此(][)∞++-∞-=,142]4,0[142, A .……8分由A B ⊂∴->-<+,2142,6142. （3）[解法一] 当]5,1[-∈x 时，54)(2++-=x x x f . )54()3()(2++--+=x x x k x g )53()4(2-+-+=k x k x436202422+--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=k k k x ，∴>,2k 124<-k. 又51≤≤-x ， ① 当1241<-≤-k ，即62≤<k 时，取24kx -=，min )(x g ()[]6410414362022---=+--=k k k . 064)10(,64)10(1622<--∴<-≤k k ， 则0)(min >x g . ② 当124-<-k，即6>k 时，取1-=x ， m i n )(x g ＝02>k . 由 ①、②可知，当2>k 时，0)(>x g ，]5,1[-∈x .因此，在区间]5,1[-上，)3(+=x k y 的图像位于函数)(x f 图像的上方. [解法二] 当]5,1[-∈x 时，54)(2++-=x x x f .由⎩⎨⎧++-=+=,54),3(2x x y x k y 得0)53()4(2=-+-+k x k x ， 令 0)53(4)4(2=---=∆k k ，解得 2=k 或18=k ，在区间]5,1[-上，当2=k 时，)3(2+=x y 的图像与函数)(x f 的图像只交于一点)8,1(； 当18=k 时，)3(18+=x y 的图像与函数)(x f 的图像没有交点.如图可知，由于直线)3(+=x k y 过点)0,3(-，当2>k 时，直线)3(+=x k y 是由直线)3(2+=x y 绕点)0,3(-逆时针方向旋转得到. 因此，在区间]5,1[-上，)3(+=x k y 的图像位于函数)(x f 图像的上方. 21．（本小题满分12分）解: (1)设椭圆的方程为1b y a x 2222=+, 焦距为c 2, 则直线l 的方程为:c x y -=,代入椭圆方程, 得0b a c a cx a 2x )b a (22222222=-+-+, 设点)y ,x (A 11 、)y ,x (B 22 ,则,b a c a 2x x 22221+=+,ba cb 2c 2x x y y 2222121+-=-+=+……(2分) ∵OA ＋OB OC =, ∴C 点坐标为)b a cb 2,b ac a 2(222222+-+ .∵C 点在椭圆上, ∴1)b a (c b 4)b a (c a 42222222222=+++ . ∴,1ba c 4222=+ ∴.b a c 4222+=……(4分) 又,a b c 222=+∴.a 2c 522=∴510a c e ==……(6分)(2) ∵)ex a ()ex a (|BF ||AF ||AB |21-+-=+=,2a3c4ac 2a 2b a ac 2a 2b a c a 2a c a 2)x x (e a 22222222221=-=+-=+⨯-=+-=……(9分) 由已知,10a ,152a 3==从而102a 510c ==. ∴60c a b 222=-=.故椭圆的方程为:1100y 100x 22=+.……(12分) 22．（本小题满分14分）解: （1）3,401010.102010=∴=+==d d a a . …… 3分 （2）())0(11010222030≠++=+=d d d d a a ， …… 6分⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432110230d a ，当),0()0,(∞+∞-∈ d 时，[)307.5,a ∈+∞. …… 10分 （3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列，当1≥n 时，数列)1(1011010,,,++n n n a a a 是公差为n d 的等差数列.研究的问题可以是：试写出)1(10+n a 关于d 的关系式，并求)1(10+n a 的取值范围.…… 12分 研究的结论可以是：由()323304011010d d d d a a +++=+=， 依次类推可得 ()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--⨯=+++=++.1),1(10,1,11101101)1(10d n d d d d d a n nn 当0>d 时，)1(10+n a 的取值范围为),10(∞+等. …… 14分。