2019届高三数学二轮专题复习文档：专题七选考系列 第1讲 坐标系与参数方程 Word版含解析

第1讲 坐标系与参数方程高考定位 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.真 题 感 悟1.(2018·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos α，y ＝2＋tsin α(t 为参数).(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1，2)，求l 的斜率. 解 (1)曲线C 的直角坐标方程为x24＋y216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α， 当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1. (2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程， 整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4 (2cos α＋sin α)t －8＝0.① 因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1，2)在C 内， 所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0. 又由①得t 1＋t 2＝－4（2cos α＋sin α）1＋3cos2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2. 2.(2018·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0. (1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程. 解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －3＝0， 即(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)由(1)知C 2是圆心为A (－1，0)，半径为2的圆.由题设知，C 1是过点B (0，2)且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点. 当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2， 所以|－k ＋2|k2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0. 经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点. 当l 2与C 2只有一个公共点时， A 到l 2所在直线的距离为2， 所以|k ＋2|k2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43. 经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点； 当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点. 综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.考 点 整 合1.直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x2＋y2，tan θ＝y x （x≠0）. 2.直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α). 几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a ，0)(a >0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b .3.圆的极坐标方程几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)当圆心位于M (r ，0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ.4.直线的参数方程经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x0＋tcos α，y ＝y0＋tsin α(t 为参数).设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P0P →的数量.5.圆、椭圆的参数方程(1)圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x0＋rcos θ，y ＝y0＋rsin θ(θ为参数，0≤θ≤2π).(2)椭圆x2a2＋y2b2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数).热点一 曲线的极坐标方程 【例1】(2017·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)设点M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值. 解 (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0). 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0). 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0). (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0).由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积 S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋3. 所以△OAB 面积的最大值为2＋3.探究提高1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧.2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解. 【训练1】(2018·江苏卷)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝2，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长.解因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ， 所以曲线C 是圆心为(2，0)，直径为4的圆.因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝2，则直线l 过A (4，0)，倾斜角为π6， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点. 设另一个交点为B ，则∠OAB ＝π6.连接OB .因为OA 为直径，从而∠OBA ＝π2， 所以AB ＝OA ·cos ∠OAB ＝4cos π6＝23.因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为23. 热点二 参数方程及其应用 【例2】(2017·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数).(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 解 (1)a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0. 曲线C 的标准方程是x29＋y 2＝1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x29＋y2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.则C 与l 交点坐标是(3，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425.(2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0. 设曲线C 上点P (3cos θ，sin θ). 则P 到l 距离d ＝|3cos θ＋4sin θ－4－a|17＝|5sin （θ＋φ）－4－a|17，其中tan φ＝34.又点C 到直线l 距离的最大值为17. ∴|5sin(θ＋φ)－4－a |的最大值为17. 若a ≥0，则－5－4－a ＝－17，∴a ＝8. 若a <0，则5－4－a ＝17，∴a ＝－16. 综上，实数a 的值为a ＝－16或a ＝8.探究提高 1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件. 2.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解. 【训练2】(2018·石家庄调研)已知在极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2π3，C 是线段AB 的中点.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线Ω的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝－2＋2sin θ(θ为参数).(1)求点C 的直角坐标，并求曲线Ω的普通方程； (2)设直线l 过点C 交曲线Ω于P ，Q 两点，求CP →·CQ→的值. 解 (1)将点A ，B 的极坐标化为直角坐标，得A (3，1)和B (－3，3). 所以点C 的直角坐标为(0，2).将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝－2＋2sin θ消去参数θ，得x 2＋(y ＋2)2＝4， ∴曲线Ω的普通方程为x 2＋(y ＋2)2＝4.(2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝2＋tsin α(t 为参数，α为直线l 的倾斜角)，代入x 2＋(y ＋2)2＝4，整理得：t 2＋8t sin α＋12＝0. 设点P ，Q 对应的参数值分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝12， CP →·CQ →＝|CP →||CQ →|＝|t 1t 2|＝12.热点三 极坐标与参数方程的综合应用 【例3】(2018·菏泽模拟)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos φ，y ＝2＋tsin φ(t 为参数，0≤φ<π)，曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝8sin θ. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当φ变化时，求|AB |的最小值. 解(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos φ，y ＝2＋tsin φ消去t 得x sin φ－y cos φ＋2cos φ＝0，所以直线l 的普通方程为x sin φ－y cos φ＋2cos φ＝0. 由ρcos 2θ＝8sin θ，得(ρcos θ)2＝8ρsin θ， 把x ＝ρcos φ，y ＝ρsin φ代入上式，得x 2＝8y ， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＝8y .(2)将直线l 的参数方程代入x 2＝8y ， 得t 2cos 2φ－8t sin φ－16＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝8sin φcos2φ，t 1t 2＝－16cos2φ， 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝（t1＋t2）2－4t1t2 ＝64sin2φcos4φ＋64cos2φ＝8cos2φ.当φ＝0时，|AB |的最小值为8.探究提高1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.2.数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的. 【训练3】已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4. (1)写出曲线C 的极坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若射线θ＝π3与曲线C 交于O ，A 两点，与直线l 交于B 点，射线θ＝11π6与曲线C 交于O ，P 两点，求△P AB 的面积. 解(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，消去θ.得普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.从而曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ，因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4，即32ρsin θ＋12ρcos θ＝4，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －8＝0.(2)依题意，联立射线θ＝π3与曲线C 的极坐标方程，得A ，B 两点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝⎛⎭⎪⎫4，π3，联立射线θ＝11π6与曲线C 的极坐标方程，得P 点极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，11π6，∴|AB |＝2，∴S △P AB ＝12×2×23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝23.1.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.2.要熟悉常见曲线的参数方程、极坐标方程，如：圆、椭圆、及过一点的直线，在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解答.3.过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x0＋tcos α，y ＝y0＋tsin α(t 为参数)，t 的几何意义是P0P→的数量，即|t |表示P 0到P 的距离，t 有正负之分.使用该式时直线上任意两点P 1，P 2对应的参数分别为t 1，t 2，则|P 1P 2|＝|t 1－t 2|，P 1P 2的中点对应的参数为12(t 1＋t 2).1.(2017·江苏卷)在平面坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t 2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s2，y ＝22s(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值. 解 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2消去t . 得l 的普通方程为x －2y ＋8＝0， 因为点P 在曲线C 上，设点P (2s 2，22s ). 则点P 到直线l 的距离d ＝|2s2－42s ＋8|5＝2（s －2）2＋45，所以当s ＝2时，d 有最小值45＝455. 因此当P 的坐标为(4，4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取最小值455.2.(2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt(t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数).设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径. 解(1)由l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt(t 为参数)消去t ，得l 1的普通方程y ＝k (x －2)，①同理得直线l 2的普通方程为x ＋2＝ky ，② 联立①，②消去k ，得x 2－y 2＝4(y ≠0). 所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0). (2)将直线l 3化为普通方程为x ＋y ＝2， 联立⎩⎨⎧x ＋y ＝2，x2－y2＝4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝322，y ＝－22，∴ρ2＝x 2＋y 2＝184＋24＝5， ∴l 3与C 的交点M 的极径为5. 3.(2018·安徽联合质检)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2－22ρsin⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－2＝0，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π4，C 1与C 2相交于A ，B 两点. (1)把C 1和C 2的极坐标方程化为直角坐标方程，并求点A ，B 的直角坐标； (2)若P 为C 1上的动点，求|P A |2＋|PB |2的取值范围. 解(1)由题意知，曲线C 1与曲线C 2的直角坐标方程分别为C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，C 2：x －y ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2＋（y －1）2＝4，x －y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即A (－1，－1)，B (1，1)或A (1，1)，B (－1，－1).(2)设P (－1＋2cos α，1＋2sin α)，不妨设A (－1，－1)，B (1，1)，则|P A |2＋|PB |2 ＝(2cos α)2＋(2sin α＋2)2＋(2cos α－2)2＋(2sin α)2＝16＋8sin α－8cos α＝16＋82sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4，所以|P A |2＋|PB |2的取值范围为[16－82，16＋82]. 4.(2018·湖南六校联考)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2 018t ，y ＝3＋2 0183t(t 为参数).在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝4ρcos θ＋23ρsin θ－4.(1)求直线l 普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|OA |·|OB |.解 (1)由⎩⎨⎧x ＝1＋2 018t ，y ＝3＋2 0183t 消去t ，得y －3＝3(x －1)，即y ＝3x . ∴直线l 的普通方程为y ＝3x . 曲线C ：ρ2＝4ρcos θ＋23ρsin θ－4. ∴其直角坐标方程x 2＋y 2＝4x ＋23y －4， 即(x －2)2＋(y －3)2＝3.(2)易由y ＝3x ，得直线l 的极坐标方程为θ＝π3. 代入曲线C 的极坐标方程为ρ2－5ρ＋4＝0， 所以|OA |·|OB |＝|ρA ·ρB |＝4.5.(2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos t ，y ＝1＋asin t(t 为参数，a >0).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. (1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程； (2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2，C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆. 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)，a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上.所以a ＝1.6.(2018·全国Ⅲ卷)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点.(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程.解 (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1.当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点.当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx －2.l 与⊙O 交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋k2<1， 解得k <－1或k >1，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4. 综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4. (2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α(t 为参数，π4<α<3π4). 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝tA ＋tB 2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0. 于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝tPcos α，y ＝－2＋tPsin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α(α为参数，π4<α<3π4). 7.(2018·武汉调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝21＋sin2θ，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，求|P A |·|PB |的值. 解 (1)l 的普通方程为x ＋y －1＝0；又∵ρ2＋ρ2sin 2θ＝2，∴x 2＋y 2＋y 2＝2，即曲线C 的直角坐标方程为x22＋y 2＝1.(2)点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12. 法一P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12在直线l 上，直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－22t′，y ＝12＋22t′(t ′为参数)， 代入曲线C 的直角坐标方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－22t′2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋22t′2－2＝0， 即32t ′2＋22t ′－54＝0，|P A |·|PB |＝|t 1′|·|t 2′|＝|t 1′t 2′|＝56.法二 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x ，x2＋2y2＝23x 2－4x ＝0x 1＝0，x 2＝43，∴A (0，1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－13，∴|P A |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝22， |PB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－122＝526， |P A |·|PB |＝22·526＝56.8.(2018·郑州质检)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋tcos α，y ＝2＋tsin α(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)已知直线l 上一点M (3，2)，若直线l 与圆C 交于不同两点A ，B ，求1|MA|＋1|MB|的取值范围.解 (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋tcos α，y ＝2＋tsin α， 得普通方程为x sin α－y cos α＋2cos α－3sin α＝0，将ρ＝x2＋y2，cos θ＝x ρ代入圆C 的极坐标方程ρ＝2cos θ中， 得圆的普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0.(2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋tcos α，y ＝2＋tsin α代入圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，得t 2＋(4cos α＋4sinα)t ＋7＝0(*)，设点A ，B 对应的参数值分别为t 1，t 2，由题意t 1＋t 2＝－4(cos α＋sin α)，t 1·t 2＝7.1|MA|＋1|MB|＝|MA|＋|MB||MA|·|MB|＝|t1＋t2||t1t2|＝47|sin α＋cos α|. 因为方程(*)有两个不同的实根，所以Δ＝16(cos α＋sin α)2－28>0，则|sin α＋cos α|>72. 又sin α＋cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈[－2，2]， 所以|sin α＋cos α|∈⎝ ⎛⎦⎥⎤72，2.所以47|sin α＋cos α|∈⎝⎛⎦⎥⎤277，427.所以277<1|MA|＋1|MB|≤427.。