第5章--多自由度系统的数值计算题解
机械设计基础习题解答
《机械设计基础》习题解答机械工程学院目录第0章绪论-------------------------------------------------------------------1第一章平面机构运动简图及其自由度----------------------------------2第二章平面连杆机构---------------------------------------------------------4第三章凸轮机构-------------------------------------------------------------6第四章齿轮机构------------------------------------------------------- -----8第五章轮系及其设计------------------------------------------------------19第六章间歇运动机构------------------------------------------------------26第七章机械的调速及平衡------------------------------------------------29第八章带传动---------------------------------------------------------------34第九章链传动---------------------------------------------------------------38第十章联接------------------------------------------------------------------42第十一章轴------------------------------------------------------------------46第十二章滚动轴承---------------------------------------------------------50第十三章滑动轴承-------------------------------------------------------- 56第十四章联轴器和离合器------------------------------- 59第十五章弹簧------------------------------------------62第十六章机械传动系统的设计----------------------------65第0章绪论0-1机器的特征是什么？机器和机构有何区别？[解] 1）都是许多人为实物的组合；2）实物之间具有确定的相对运动；3）能完成有用的机械功能或转换机械能。
(NEW)杨可桢《机械设计基础》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(修订版)
第1章 平面机构的自由度和速度分析 1.1 复习笔记 1.2 课后习题详解 1.3 名校考研真题详解
第2章 平面连杆机构 2.1 复习笔记 2.2 课后习题详解 2.3 名校考研真题详解
第3章 凸轮机构
3.1 复习笔记 3.2 课后习题详解 3.3 名校考研真题详解 第4章 齿轮机构 4.1 复习笔记 4.2 课后习题详解 4.3 名校考研真题详解 第5章 轮 系 5.1 复习笔记 5.2 课后习题详解
图1-2-1 唧筒机构
图1-2-2 回转柱塞泵
图1-2-3 缝纫机下针机构
图1-2-4 偏心轮机构 答：机构运动简图分别如图1-2-5～图1-2-8所示。
1-5至1-13．指出（图1-2-9～图1-2-17）机构运动简图中的复合铰链、局
部自由度和虚约束，计算各机构的自由度。
解：（1）图1-2-9所示机构的自由度为 （2）图1-2-10中，滚子1处有一个局部自由度，则该机构的自由度为 （3）图1-2-11中，滚子1处有一个局部自由度，则该机构的自由度为 （4）图1-2-12所示机构的自由度为
（5）图1-2-13所示机构的自由度为 （6）图1-2-14中，滚子1处有一个局部自由度，则该机构的自由度为 （7）图1-2-15中，滚子1处有一个局部自由度，A处为三个构件汇交的 复合铰链，移动副B、B＇的其中之一为虚约束。则该机构的自由度为 （8）图1-2-16中，A处为机架、杆、齿轮三构件汇交的复合铰链。则该 机构的自由度为 （9）图1-2-17所示机构的自由度为 1-14．求出图1-2-18导杆机构的全部瞬心和构件1、3的角速比。
2015研、厦门大学2011研]
【答案】自由度大于0，且自由度数等于原动件数
2．两构件通过______或______接触组成的运动副称为高副。[常州大学 2015研]
第五章 多相平衡答案
（2）C = = 2, P = 3, F = = 1. （3）C = = 1, P = 2, F = 1.
（4）C = 2, P = 2, F == 2.
（5）C = 3, P = 2, F = 2.
5.2 试指出下述系统的自由度数、如 f ≠ 0,则指出变量是什么？ （1） 在标准压力下，水与水蒸气平衡 （2） 水与水蒸气平衡 （3） 在标准压力下，I2 在水中和 CCl4 中分配已达平衡，无 I2(S)存在 （4）NH3、H2、N2 三种气体已达平衡 解：（1）f＝0 体系为无变量体系 （2）f = 1 体系为单变量体系，变量是温度或压力中的任一个 （3）f = 2 体系为双组分变量，变量为温度和 I2 在水或 CCl4 中的任一个浓度。 （4）f = 3 体系为多变量体系，变量为温度、压力和某种物质浓度。 5.3 今把一批装有注射液的安培放入高压消毒锅内加热消毒，若用 151.99 kPa 的水 蒸气进行加热，问锅内的温度有多少度？（已知 ΔvapHm = 40.67 kJ/mol）
xB(l) =0.88 , yB=0.50 n(l) GK 0.8 − 0.50 n(g) = KL = 0.88 − 0.8 n(g)+n(l)=5 mol 解得：n(l)= 4.0mol；n(g)=1.0 mol
(2) t1=200 ℃时，处于液相；t3 =600 ℃时，处于气相。
5.16 水-异丁醇系统液相部分互溶。在 101.325 kPa 下， 系统的共沸点为 89.7 。气C (G)、液(L1)、液(L2)三相平衡时
（5）欲将甲醇水溶液完全分离，要采取什么步骤？ 解： （1）如图(a)所示，K 点代表的总组成 x(CH3OH)=0.33 时，系统为气、液两相平衡,
L 点为平衡液相, x(CH3OH)=0.15，G 点为平衡气相，y(CH3OH)=0.52； （2）由图(b)可知，馏出液组成 yB,1=0.52，残液组成 xB,1=0.15。经过简单蒸馏，馏
大学物理基础教程答案第05章习题分析与解答
5-1 若理想气体的体积为V ,压强为p ，温度为T ，一个分子的质量为m ，k 为玻尔兹曼常数，R 为摩尔气体常数，则该理想气体的分子数为（ ）。
（A ）PV m （B ）PV kT （C ）PV RT （D ） PVmT解：由N p nkT kT V ==得，pVN kT=,故选B 5-2 两个体积相同的容器，分别储有氢气和氧气（视为刚性气体），以1E 和2E 分别表示氢气和氧气的内能，若它们的压强相同，则（ ）。
（A ）12E E = （B ）12E E > （C ）12E E < （D ） 无法确定 解：pV RT ν=，式中ν为摩尔数，由于两种气体的压强和体积相同，则T ν相同。
又刚性双原子气体的内能52RT ν,所以氢气和氧气的内能相等，故选A 5-3 两瓶不同种类的气体，分子平均平动动能相同，但气体分子数密度不同，则下列说法正确的是（ ）。
（A ）温度和压强都相同 （B ）温度相同，压强不同 （C ）温度和压强都不同（D ）温度相同，内能也一定相等解：所有气体分子的平均平动动能均为32kT ，平均平动动能相同则温度相同，又由p nkT =可知，温度相同，分子数密度不同，则压强不同，故选B5-4 两个容器中分别装有氦气和水蒸气，它们的温度相同，则下列各量中相同的量是（ ）。
（A ）分子平均动能 （B ）分子平均速率 （C ）分子平均平动动能 （D ）最概然速率解：分子的平均速率和最概然速率均与温度的平方根成正比，与气体摩尔质量的平方根成反比，两种气体温度相同，摩尔质量不同的气体，所以B 和D 不正确。
分子的平均动能2i kT ε=,两种气体温度相同，自由度不同，平均动能则不同，故A 也不正确。
而所有分子的平均平动动能均为k 32kT ε=,只要温度相同，平均平动动能就相同，如选C 5-5 理想气体的压强公式 ，从气体动理论的观点看，气体对器壁所作用的压强是大量气体分子对器壁不断碰撞的结果。
09-多自由度系统的数值计算方法
A a1 1 a2 2 a s s
1 , 2 ,, s 是选取的s个线性独立的假设振型
1 2 s , a a1 a2 a s
T
n s 矩阵
A a
Theory of Vibration with Applications
ET max U max
U max T
2 n
Theory of Vibration with Applications
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多自由度系统
多自由度系统的数值计算方法—瑞利法
设A为振型矢量，对于简谐振动，其最大动能和最大势能为
M x K x 0
1 Tmax 2 A T MA 2 1 Vmax A T KA 2
A C1 AN C2 AN Cn AN Ci ANi AN C 1 2 n
i 1 n
Theory of Vibration with Applications
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多自由度系统
多自由度系统的数值计算方法—瑞利法
现取假设振型A是正则振型矢量的线性组合，即
i 1 n
n
C
i 1
2 i
2 2 C 2 2 C 2 2 Cn n 1 2 2 3 3 C C C 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 C2 C3 Cn 1 C C C 1 1 1
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多自由度系统
多自由度系统的数值计算方法—瑞利法
瑞利第一商值是否为系统某一主频率的平方，则决定于 所取矢量A。如果A与某一主振型矢量接近，则所得瑞利 商是相应的固有频率的近似值。实际上，对高阶振型很难 做出合理的假设，而对于第一阶主振型则比较容易估计， 所以此方法常用于求基频，现推证如下。 按照振型叠加的原理，系统的任何可能位移，包括假设 振型，都可以描述为各阶主振型的线性组合。现取假设振 型A是正则振型矢量的线性组合，即
第五章 习题解答
Q = ΔU −W = 2090 − (−52.8) = 2143(J)
（c） ΔU , ΔH 同（a）。W = 0 看作向真空膨胀。 Q = ΔU = 2090 (J)
（2）该过程实为部分水蒸气液化的可逆相变过程。
W
=
− p (V2
−V1 )
=
− p( m ρg
− V1 )
=
−101325
×
⎛ ⎜ ⎝
解：先看理想气体：
( ) ΔS = nRT ln
p1 p2
=
8.314
×
300
ln
105 106
= −19.14
J ⋅ K-1
4
ΔA = ΔU − Δ (TS ) = 0 − (−19.14× 300) = 5743(J)
ΔG = ΔH − Δ (TS ) = 0 − (−19.14× 300) = 5743(J)
/
J·mol-1
S
O m
/
J·K-1·mol-1
Cp,m / J·K-1·mol-1
Sn（白锡）
0
52.30
26.15
Sn（灰锡）
-2197
解：计算
10℃时白锡转化为灰锡的
Δ
GΟ
trs m
。
44.76
25.73
( ) ( ) ∫ Δ
trs
H
O m
T
=
Δ trs
H
O m
298.15K +
T
298.15K ΔtrsC p,mdT
2
解：水物质的量： n = pV = 50.663×103 ×100×10−3 = 1.6377 (mol)
理论力学 第5章 小振动
2. 单自由度系统的小振动
三、复摆系统的自由振动 绕不通过质心的光滑水平轴摆动的刚体
d M mgl sin I 2 d t ( 5 )
d mgl I 2 dt
2
2
M l F
转动正向 O 向外
l
*C
d 2 0 2 dt
2. 单自由度系统的小振动
例2：已知 m, OA=AB=L, 求系统微振动固有频率 解：系统的动能和势能 1 1 1 1 2 2 2 2 T J o mv c J c mv B 2 2 2 2 xc 1.5L cos , yc 0.5L sin , xB 2L cos 1 2 2 2 ~ T ( mL 6mL2 sin 2 ) k 6g 2 3 ~ V 4mgL(1 cos ) m L 2 2 1 1~ 2 ~ 2 m mL mq T m (0) q 3 2 2 1 1~ 2 ~ 2 V (q) V " (0)q k q k 4mgL 2 2
3.1 多自由度系统小振动问题（推导）
ˆ 0 ˆ A ˆ 2M K
本征值问题（求本征值 2 和本征矢量 A ）
f ( 2 ) det k m 2 0
即
k11 m11 2 k21 m21 2 ks1 ms1 2
k12 m12 2
T ——周期，每振动一次所经历的时间。 T
2
0
f —— 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T 。
0 —— 固有频率，振体在2秒内振动的次数。
反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。
2. 单自由度系统的小振动
物理化学中国石油大学课后习题答案第5章
第五章 相平衡1．Ag 2O 分解的计量方程为)g (O 21)s (Ag 2)s (O Ag 22+= 当Ag 2O(s)进行分解时，体系的组分数，自由度和可能平衡共存的最大相数各为多少？ 解：独立组分数 'C S R R =−−物种数S =3，独立化学平衡数R =1，无浓度限制关系，'0R =则 3102C =−−=.Ag 2O(s)一开始分解，就至少有三个相存在，根据相律有22321f C =−Φ+=−+=。
自由度为0时，相数最多，22024C f Φ=−+=−+=。
2．指出下列各体系的独立组分数，相数和自由度数各为若干？（1） NH 2Cl(s)部分分解为NH 3(g)和HCl(g)（2） 若在上述体系中额外再加入少量NH 3(g)（3） NHHS(s)和任意量的NH 3(g),H 2S(g)混合达到平衡。
（4） C(s)与CO(g),O 2(g)在937K 时达到平衡解：（1）NH 4Cl(s)=NH 3(g)+HCl(g)'3111C S R R =−−=−−=2Φ=(一个固相，一个气相)21221f C =−Φ+=−+=（2）若在上述体系中额外加入少量NH 3(s)，则浓度限度条件就没有了，故'3102C S R R =−−=−−=2Φ=22222f C =−Φ+=−+=（3）NH 4HS(s)=NH 3(g)+H 2S(g)'3102C S R R =−−=−−=2Φ=22222f C =−Φ+=−+=（4） 系统存在4种物质，有4个化学平衡)g (CO )g (O 21)s (C 2=+ (a))g (CO )g (O 21)g (CO 22=+ (b))g (CO )g (O )s (C 22=+ (c))g (CO 2)g (CO )s (C 2=+ (d)但（a ）+(b)=(c),(a)—(b)=(d)，所以系统中只有2个独立的化学平衡关系。
第05章 空间机构的自由度分析
(5-7)
对于一般的没有公共约束的空间机构， λ =0，d=6。 在许多教科书中都是这样指出，平面机构
及球面机构都有 3 个公共约束， λ =3，是三阶机构 d=3 。并解释说，由于平面机构中所有转动
副轴线相互平行，所有构件都受到数量相等和性质相同的约束，都失去两个转动和一个移动运
动，构件只能在与轴线垂直的平面内作三自由度的运动，即沿平面内相互垂直的两方向的移动
1
··
论自由度与输入的关系。 关于自由度公式的发展，俄罗斯人有自己的看法。认为平面机构的自由度公式是切贝契夫
(Чебышев)[24,25]于1869年首先提出的；空间机构的自由度公式是马雷舍夫（Maлышев）提出的 [24,25]。1953年阿尔托波列夫斯基(Apтоболевский)在他的书中就提出应考虑机构的过约束修正自 由度公式 [26]。俄罗斯人的追求值得尊敬。
由度。最简单的例子就是门扇上的两个合页（转动副）。从运动学上说，一个合页就决定了门
的转动运动，另一个合页则没有起到对运动的任何约束作用，这即是过约束。上述前3种自由度 的计算公式共同存在一个问题是没有考虑过约束的情况，后两种企图考虑过约束，但人们也不
3
··
知道如何考虑。本书将在下节应用螺旋理论来考虑过约束情况，介绍普遍适用的自由度计算的 方法。
若在三维空间中有n个完全不受约束的物体，任选其中的一个为固定参照物，由于每个物体 相对参照物都有 6 个自由度，则系统中的 n 个物体相对选 定的参照物共有 6(n-1) 个自由度。若所有的物体之间都用 运动副连接起来，设第 i 个运动副带来的约束为 ui，由于 运动副的类型不同此约束可以是 1 和 5 之间的任何数，如 果运动副数目为 g，则这时机构的自由度就是所有运动构 件总的自由度减去所有的约束数的总和，即
第5章多自由度系统的数值计算方法
第5章多自由度系统的数值计算方法在工程实践中，我们经常会遇到多自由度系统（Multiple Degree of Freedom，简称MDOF）的问题，例如振动台、建筑结构等。
这些系统通常由多个自由度所组成，因此其运动方程会比单自由度系统更加复杂。
因此，我们需要使用数值计算方法来求解这些系统。
在本章中，我们将介绍两种常见的数值计算方法，包括直接积分法和模态叠加法。
一、直接积分法直接积分法，也称为时步法或时间积分法，是一种常用的求解MDOF系统的数值计算方法。
它的基本原理是将多自由度系统的运动方程转换为一组一阶常微分方程。
然后，利用数值积分方法，如欧拉法、Runge-Kutta法等，对这组常微分方程进行求解，得到系统的运动响应。
直接积分法的主要步骤如下：1.确定系统的运动方程：根据多自由度系统的动力学原理，可以得到系统的运动方程。
一般来说，这个方程是非线性方程，通常需要进行线性化处理。
2.将运动方程转化为一阶常微分方程组：将系统的运动方程进行适当的变换，将其转化为一组一阶常微分方程。
这样，就可以使用数值积分方法对其进行求解。
3. 选择数值积分方法：选择适合系统的数值积分方法，例如欧拉法、Runge-Kutta法等。
这些方法的基本思想是将微分方程转化为差分方程，通过迭代来逼近准确解。
4.进行数值计算：根据选择的数值积分方法，进行迭代计算，得到系统的运动响应。
尽管直接积分法是一种广泛应用的数值计算方法，但也存在一些问题。
例如，随着自由度的增加，计算量会大大增加。
此外，由于数值积分方法的局限性，可能会出现数值不稳定、数值发散等问题。
二、模态叠加法模态叠加法是求解MDOF系统的另一种常用数值计算方法。
该方法基于模态分析的思想，将MDOF系统的运动方程转化为一组无耦合的一自由度系统的运动方程。
然后，按照模态响应的叠加原理，将各个模态的响应相加，得到系统的总体响应。
模态叠加法的主要步骤如下：1.确定系统的模态参数：通过模态分析方法，可以得到系统的模态参数，包括模态频率、振型等。
自动控制原理第5章 部分题解
K 12 T 1
5-3 RLC无源网络如图E5.1所示。当=10弧度/秒时， 其A()=1，()=-90°，求其传递函数。
L + ur – i C R + u0 –
图E5.1 题5.3图
4
L + ur –
R + i C u0 –
图E5.1 题5.3图
解：画出系统的动态结构图如下
180
系统闭环稳定
对数相频特性曲线
幅相频率特性曲线
15
b) 系统开环传递函数为
G (s) 1000 1 1 ( s 1)( s 1)( s 1) 10 200
L dB
60 0
–20 –40 200 1 10 100 (b) –60
20lg K 60dB
( )
Ur
1 Ls R
1 Cs
Uc
Uc( s) 1 则 ( s) Ur( s) LCs 2 RCs 1
5
Uc( s) 1 则G ( s) Ur( s ) LCs 2 RCs 1
系统的频率特性为：
1 G ( j ) LC 2 jRC 1 1 RC 1 tg 2 2 2 2 1 LC (1 LC ) ( RC )
则 G ( s)
Ks
1 ( s 1) 20
由最低频段对数幅频近似公式，可求得
L( ) 20lg K
L() 10 20lg10K 0
0.1s G (s) 1 ( s 1) 20
K 0.1
10
(c) 由Bode图(后页）可知，系统的开环传函由比例和 二阶振荡环节构成。
(1).当=1时，
第五章分析力学
2P cos
Q cos
Q cos
sin sin
0
是独立的
P Q ctgtg 1
2
四、广义力
1、广义力
主动力的虚功
W
Fi
ri
而其中ri
i
一般不是独立的。
下面将用广义坐标来描述主动力的虚功，来表示
虚功原理。
则：
ri
ri (q1,
q2
qs ,t)
(i 1,2,n)
第五章 分析力学
理论力学牛 分顿 析力矢学量力学
一、分析力学的产生和发展
1. 产生背景 十八、九世纪工业革命，手工业生产发展为机器生产，
在工程技术上，从大机器(连杆机构、轮系联动机构等)中 提出了许多迫切要求解决的实际问题，很多是属于质点系
(或刚体系)的约束运动问题。机构越复杂 设质点数为 n ， 约束越多设受k个约束，方程数目越多方程数为3n k，用牛顿
Q 0
α=1、2、……s
上式即为受理想完整约束的力学体系在广义坐标中 的平衡方程
3、广义力的物理意义
Q
n i 1
Fi
ri q
n i 1
Fix
xi q
Fiy
yi q
Fiz
zi q
是力学体系诸主动力在广义坐标轴qα上的投影之和。
举例：质点作直线运动
y
取x、y为一般坐标，r为广义坐标。
Fc Qj rC yC j
Q
由，W
n
Fi
ri
0，得
y
i1
Pi (xBi yB j ) Qj yC j
x
A
W Fi ri Px B QyC 0
第五章多自由自由度系统的数值解法
1 1 1 1 即： =
n1 11 22
nn
(8)
例：质量为 m1 ，长为 的均质悬臂梁，其端部有集 中质量 m ，试确定 n1 。假设梁的弯曲刚度为EI。 EI 1 解：对于端部带有质量m，而 m 略去梁本身质量的悬臂梁，其固频 为： 2 3EI 11 3 m 均质悬臂梁的第一阶固频为：
1 9 1.00 设 V 1 1 进行迭代： V 2 G V 1 15 9 1.67 9 1.00 1
[M ]{u} [K ]{u}
2 n
将上式两端前乘柔度矩阵[D]得：
[D][M]{u}={u}
或写成： ([D][M]1
(1) (2)
2 n
[I]){u}={0}
以两个自由度系统为例来说明二个自由度系统，其特 征值问题方程为：
d11 d12 m11 d 21 d 22 0
n 1 的求法 四、
而 n1 j 的解不可能由 n n1求得 。 由(11)知，要求得 n 1 ，关键是求得 n1 j ( j 1.2n)
除{u}1 外振型矩阵[u]中的其它列向量仍是未知 的。
为了得到n1 j (j=1,2,,n),利用特征向量的正交关系 ：
u M u M 1 T M u M u I
q1 n11 q2 0 q 0 3 n12 1 0 n3 0 1
1
0 0 0 q1 0 1 0 q 2 q 0 0 1 3
或{q} [n]1{q}
n11 [n]1 0 0
2 1 s 1
由方程(7)知：当S足够大时，级数(6)的第一项是决定 性的，级数将收敛于 c1u1 ，即vs 和vs 1 都可认为是 u1 1 满足方程(2)。vs 和vs 1 相互成比例，比例常数为 ，由 1 u1 和1 此得：
第5章 多自由度系统振动的运动微分方程
第2页 共20页
2010/9/5 21:47
第5章 多自由度系统振动的运动微分方程
题4-2图
用瞬心法求 ：
/gchzhd/xlxt/class/ch4.htm
自由度，选 为广 义坐标。 半圆柱体在任意位 置的动能为：
故 系统具有理想约束，重力的元功为
图中：kx、m 应反向。方程应为
4-9 为了使结构隔离机器产生的振动，将机器安装在一很大的机座上，机座由弹簧支承，如题4-9图所 示。试求机座在图示平面内的运动方程。
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第5章 多自由度系统振动的运动微分方程
/gchzhd/xlxt/class/ch4.htm
(h) 与运动方程
(i) 两端简支的梁，显然是满足边界条件式(h)的。
4-7 应用拉格朗日方程导出题4-7图所示系统的运动微分方程。
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题4-7图
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第5章 多自由度系统振动的运动微分方程
/gchzhd/xlxt/class/ch4.htm
质量矩阵
刚度矩阵 位移列阵 4-8 在地震研究中，建筑物可简化为支承在两弹簧上的质量为m的刚体，其中直线弹簧的弹性系数为k，扭 转弹簧的弹性系数为kT，如题4-8图所示。设IG为建筑物相对质心G的转动惯量，试利用坐标x（相对于平衡位 置的直线运动）及描述建筑物转动的坐标q，求出运动方程。
（b）
运动的分离体图如图（b）所示。 地震中可设q为微小角度，因此
应用动能定理的微分形式
等式两边同除 ，
，等式两边同除 故微分方程为
若为小摆动
，
动的微分方程为
① ，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆
自-题解第5章数理统计的基本概念
习题 5.11． 为了解2010年云南省某师范学院新生的每月消费情况，调查了该校50名新生。
试问：(1）研究的总体是什么？(２)研究的样本是什么？（３）样本容量是多少？解 (１）总体为该师范学院所有新生的每月消费。
（２)样本为5０名该师范学院新生的每月消费。
（３）样本容量为５0。
2. 某厂生产的灯泡使用寿命X 服从参数为λ的指数分布，为了研究其平均寿命，从中抽取一个样本容量为n 的样本12(,)n X X X ,试写出该样本的密度函数。
解 因为总体的密度函数为()0,0x 0.x e x f x λλ-⎧>=⎨≤⎩，，所以，样本12(,)n X X X 的密度函数为()112121,0,,()0nii x nn n i i e x x x f x x x f x λλ=-=⎧∑⎪>==⎨⎪⎩∏ ， ， 其余.3. 设某厂大量生产某种产品,其次品率p 未知，每m 件产品包装为一盒,为了检查产品的质量,任意抽取n 盒,查其中的次品数，试在这个统计问题中说明什么是总体,样本以及它们的分布。
解 总体X 表示一盒产品中的产次品数,X 服从参数是(),m p 的二项分布。
这是由于产品的批量很大,次品率为p ,从大批产品中取m 件,可以认为每件产品的取出是相互独立的，从而次品数服从二项分布。
样本1(,,)n X X 表示所抽取的n 盒产品中的次品数。
由样本的独立性与代表性得1(,,)n X X 的联合分布列为11(,...,)n n P X x X x ===11()P X x =…()n n P X x == 111(1)(1)n n n x x m x x xm x m m C p p C p p ----＝1[(1)]i i inx x m x m i C p p -=-∏． 4. 从总体ξ中抽取了一个容量为5的样本，样本值为(5,3,1,2,0)--,试求ξ的经验分布函数。
解 经验分布函数为()0,3,1,31,52,10,53,02,54,25,51, 5.n x x x F x x x x <-⎧⎪-≤<-⎪⎪-≤<⎪⎪=⎨≤<⎪⎪⎪≤<⎪≥⎪⎩5. 研究某地区小学五年级男生身高的分布,抽取了100名男生进行测量。
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习 题5-1 用瑞利法求题4-6系统的基频。
解：由材料力学公式知：柔度矩阵：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∆911911161191197683EJ l质量矩阵：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=m m m M设振型为：()TA 1,1,1=3T A MA m =Q 2396768Tm l A M MA EJ∆=Q32124mlEJMA M A MA A P T T =∆=∴所以基频为： 31899.4ml EJP =5-2 用瑞利法求题4-8系统的基频。
解：系统的质量矩阵和柔度矩阵为000000m M m m ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦题4-6图题4-8图3331111113333311212112123333331123121121222424242424242424242424242424h h h EJ EJ EJ h h h h h EJ EJ EJ EJ EJ h h h h h h EJ EJ EJ EJ EJ EJ ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦设(123)T =A ，则()R A =312EJmh；133.464EJ p mh ≈ 设(356)T A =，则70TA MA m = 23418.58Tm h A M MA EJ⨯∆=于是3()0.16738EJ R A mh ==30.02091EJmh5-3 用里兹法求题4-6系统的第一、二阶固有频率。
解；有已知条件得系统的质量矩阵和柔度矩阵分别为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=911711161171197683EJ l ∆⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=m m m 000000M 设振型T T=(1.000,1.414,1.000) =(-1.000,0.000,1.000)12ψψ由**,TTM M M M ψψδψδψ==，得*4002TM M m ψψ⎛⎫== ⎪⎝⎭；3*126.206004768Tml M M EJ δψδψ⎛⎫== ⎪⎝⎭将**,M δ代入*2*()0M p a δ-=和*2*0M p δ-=，即题4-6图22312232126.206400768*******p m l m a EJ a m p l m EJ ⎛⎫-⎪⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-⎪⎝⎭解得：12p p == 另解：由已知条件可求出系统的质量矩阵和柔度矩阵分别为000000m M m m ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦； 391171116117687119l EJ⎡⎤⎢⎥∆=⎢⎥⎢⎥⎣⎦设振型()()120.000.50 1.000.200.60 1.00TT ψψ==， 0.000.200.500.601.00 1.00ψ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则可得* 1.25 1.301.3 1.40T M M ψψ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ 32*2428.428.432.76768Tl m M M EJψψ⎡⎤∆=∆=⎢⎥⎣⎦把它们代入下式*2**2*()0||0M p a M p -∆=-∆=可求得：12P P ==5-4 用邓克莱法求题4-6系统的基频。
解：按材料力学挠度公式，则有22211313443256l l l EJl EJδ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22222122348l l l EJl EJ δ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22233313443256l l l EJl EJ δ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭123m m m m ===由邓克莱公式得222211122331111p p p p ≈++111222333m m m δδδ=++2233333481616l m l m l m EI EI EI=++30.0442708l m EI = 21322.588EJp ml=；134.75EJ p ml =5-5 用邓克莱法求题4-8系统的基频。
解：由材料力学知，1311124EJ h =δδ1312124EJ h =δ1313124EJ h =δ 同理：232131222424EJ h EJ h +=δ333232131********EJ h EJ h EJ h ++=δ 由邓克莱法知：EJ mh m m m P 81333322211121=++=δδδ解之得：31828.2mh EJ p =5-6 用矩阵迭代法计算题4-6系统的固有频率和主振型。
解：如图所示取广义坐标，则质量矩阵为题4-6图题4-8图题4-6图⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=m m m 000000M用柔度影响系数法及材料力学的知识得柔度矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∆911711161171197683EJ l 可得到动力矩阵：391171116117687119ml D M EJ ⎛⎫⎪=∆= ⎪ ⎪⎝⎭对初始假设矩阵()()11110=A 进行迭代()()11333310768270000.14074.10000.17682727382776811191171116117119768A EJ ml EJ mlEJ ml EJ ml DA =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= ()()123333117684814.310000.14141.10000.17684814.314814.315184.444814.317680000.14074.10000.191171116117119768A EJ ml EJ ml EJ ml EJ ml DA =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 133333127685551.310000.14142.10000.17685551.315551.316256.445551.317680000.14141.10000.191171116117119768A EJ ml EJ ml EJ ml EJ ml DA =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= ()143333137685562.310000.14142.10000.17685562.315562.316272.445562.317680000.14142.10000.191171116117119768A EJ ml EJ ml EJ ml EJ ml DA =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= ()()1413A A =ΘEJ ml p7685562.31132=∴ ，3215551.31768ml EJ p =，319334.4ml EJ p = 与之对应的第一阶主振型为：()()TA0000.14142.10000.11=下面是求第二阶主频率和主振型：()()()m MA A M T0000.4111==()()()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=-=*1112.11563.08888.01563.02226.01563.08888.01563.01112.1768321111EJ ml p M M A A D D T对初始假设矩阵()()TA 11120-=进行迭代()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=*1563.22224.08437.176********.12226.08888.01563.02222.01563.08888.01563.01112.17683320EJ ml EJ ml A D ()21337688437.11696.11206.00000.17688437.1A EJ ml EJ ml =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-= ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=*2073.20533.01319.27681696.11206.00000.11112.12226.08888.01563.02222.01563.08888.01563.01112.17683321EJ ml EJ ml A D ()2230354.10250.00000.17681319.2A D EJ ml *=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=*0432.20111.00276.27680354.10250.00000.11112.12226.08888.01563.02222.01563.08888.01563.01112.17683322EJ ml EJ ml A D ()2330077.10055.00000.17680276.2A D EJ ml *=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=*0094.20024.00060.27680077.10055.00000.11112.12226.08888.01563.02222.01563.08888.01563.01112.17683323EJ ml EJ ml A D ()24337680060.20017.10012.00000.17680060.2A EJ ml EJ ml =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-= ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=*0021.20005.00013.27680017.10012.00000.11112.12226.08888.01563.02222.01563.08888.01563.01112.17683324EJ ml EJ ml A D()25337680013.20004.10002.00000.17680013.2A EJ ml EJ ml =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-= ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=*0005.20001.00003.27680004.10002.00000.11112.12226.08888.01563.02222.01563.08888.01563.01112.17683325EJ ml EJ ml A D ()26337680003.20001.10001.00000.17680003.2A EJ ml EJ ml =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-= ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=*0001.20000.00001.27680001.10001.00000.11112.12226.08888.01563.02222.01563.08888.01563.01112.17683326EJ ml EJ ml A D ()27337680001.20000.10000.00000.17680001.2A EJ ml EJ ml =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-= ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=*0000.20000.00000.27680000.10000.00000.11112.12226.08888.01563.02222.01563.08888.01563.01112.17683327EJ ml EJ ml A D ()28337680000.20000.10000.00000.17680000.2A EJ ml EJ ml =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-= 经过6次迭代，()()TA0000.10000.000000.12-=323225959.19,384mlEJp ml EJ p ==下面是求第三阶主频率和主振型：()()m A M A M T 0000.8)(2122==()()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=-=***8612.01563.01388.11563.02226.01563.01388.11563.08612.0768)(322222EJ ml p M M A A D D T对初始假设矩阵()()TA 11130--=进行迭代经过六次迭代，得()TA 0000.14142.10000.13-=332317324435.0768ml EJml EJ p ==，336.41ml EJ p = 所以系统的主振型为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0000.10000.10000.14142.104142.10000.10000.10000.1A 固有频率分别为319334.4ml EJ p =，325959.19ml EJ p =，336.41mlEJ p =5-7 用矩阵迭代法计算题4-8系统的固有频率和主振型。