【人教课标A版】【理科数学】高考一轮复习精品课件第5讲 函数的单调性与最值
高考理科数学总复习课件函数的单调性与最值
3 强化训练
通过大量的练习题，加深对知识点的理解和记忆，提高 解题能力和应试水平。
4 总结归纳
及时总结归纳学习过程中的重点和难点，形成自己的知 识网络，便于回顾和复习。
感谢您的观看
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02
函数最值求解方法
闭区间上连续函数最值定理
定理内容：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连 续，则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值 。
3. 比较上述各点处的函数值，最大的为 最大值，最小的为最小值。
2. 计算f(x)在可疑极值点和区间端点a,b 处的函数值；
求解步骤
1. 求出函数f(x)在(a,b)内的可疑极值点 ，即f'(x)=0的点；
设函数$f(x) = xe^{x} - ax^2 - bx$有两个不 同的零点，且满足极限$lim_{{x to -infty}} frac{f(x)}{x} = 1$，则实数$a, b$的关系是 ____。
编题
已知函数$f(x) = ln x - ax^2 + bx$在点$(1, f(1))$处的切线方程为$y = x - 1$，若函数 $f(x)$有两个不同的零点，则实数$a$的取值 范围是____。
解题思路
设$-1 < x_1 < x_2 < 1$，计算$f(x_1) f(x_2)$的符号，通过分子有理化和不等式性 质证明$f(x_1) < f(x_2)$，从而证明函数在区 间$(-1, 1)$上单调递增。
利用导数求函数极值和最值问题举例
例题1
解题思路
例题2
解题思路
求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 5$的极值和最值。
应对策略：明确极值和最值的定义及区别，知道极值是局部性质，而最 值是全局性质。在求函数最值时，需考虑函数在定义域内的所有可能取 值情况，包括端点处的取值。
2021年新高考数学一轮专题复习第05讲-函数的单调性与最值(讲义版)
【例
2－1】（2020·安徽省六安一中高一月考）若函数
f
x
2x2 1
3 x2
，则
f
x
的值域为（
）
A． ,3
B． 2,3
C． 2,3
D．3,
【答案】C 【分析】
利用分子分离法化简 f x ，再根据不等式的性质求函数的值域.
【详解】
f
x
2x2 3 1 x2
2(x2 1) 1 1 x2
2
1
1 x
考点一 确定函数的单调性(区间)
【例 1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数 f(x)在[a，b]上是增函数，
对于任意的 x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论不正确的是( )
A．
f
x1
x1
f x2
x2
>0
B．f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)
C．(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]>0
取到.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值). 2.函数 y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与 y＝－f(x)，y＝ 1 的单调性相反.
f（x） 3.“对勾函数”y＝x＋a(a>0)的增区间为(－∞，－ a)，( a，＋∞)；单调减区间是[－ a，0)，
x (0， a].
三、 经典例题
的最大值为（ ）
A．-2
B．-3
C．-4
D．-6
10．（2020·安徽省六安一中高一月考）已知函数 f (x) log 1 (3x2 ax 5) 在 (1, ) 上是减函数，则实数 a
2
第5讲函数的单调性与最值课件-高考理科数学一轮复习
减函数,所以最大值为 f(2)=1,最小
值为 f(5)=12.所以最大值与最小值 之和为 1+12=32.
课前双基巩固
4.函数 f(x)=|x-a|+1 在[2,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范
围是
.
[答案] a≤2 [解析] 因为函数 f(x)=|x-a|+1 的
单调递增区间是[a,+∞),当 f(x)在
课前双基巩固
2.单调性定义的等价形式:设 x1,x2∈[a,b],x1≠x2.
(1)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0
或������
(������ 1 )-������ (������ 2 ������ 1 -������ 2
)>0,则
f(x)在闭区间[a,b]上是增函数;
(2)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0
数的定义域为(-1,3).
由二次函数的性质可知,t=-(x-1)2+4,x∈(-1,3)
的单调递增区间为(-1,1],
故函数 y=ln(-x2+2x+3)的单调递增区间是 (-1,1].
������2,������ > 1, (2)由题意知 g(x)= 0,������ = 1, 该
-������2,������ < 1,
解:该函数在(-2,+∞)上单调递增.证明如下:
任取 x1,x2∈(-2,+∞),不妨设 x1<x2,则 x2-x1>0,x1+2>0,x2+2>0, 又 a>1,
所以������������2 >������������1 ,即有������������2 -������������1 >0,
高考数学 热点题型和提分秘籍 专题05 函数的单调性与最值 理(含解析)新人教A版-新人教A版高三全
2016年高考数学 热点题型和提分秘籍 专题05 函数的单调性与最值理（含解析）新人教A 版【高频考点解读】1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2.会运用函数的图象理解和研究函数的性质． 【热点题型】题型一 函数单调性的判断例1、(1)下列函数f (x )中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x－x D ．f (x )＝ln(x ＋1)(2)函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是________(填“增函数”或“减函数”)． 【答案】 (1)C(2)减函数 【解析】【提分秘籍】(1)图象法作图象→看升降→归纳单调性区间(2)转化法(3)导数法求导→判断f′x正、负→单调性区间(4)定义法取值→作差→变形→定号→单调性区间求函数的单调区间，一定要注意定义域优先原则．【举一反三】下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．y＝x＋1B．y＝(x－1)2C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)【答案】A【解析】题型二求函数的单调区间例2、求下列函数的单调区间：(1)y＝－x2＋2|x|＋1；(2)y＝log1(x2－3x＋2)．2解析(1)由于y＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1x ≥0，－x 2－2x ＋1x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －12＋2x ≥0，－x ＋12＋2x <0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．【提分秘籍】(1)求函数的单调区间与确定单调性的方法一致．常用的方法有：①利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． ②定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间．③图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的直观性写出它的单调区间．④导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．(2)若函数f (x )的定义域上(或某一区间上)是增函数，则f (x 1)<f (x 2)⇔x 1<x 2.利用上式，可以去掉抽象函数的符号，将函数不等式(或方程)的求解化为一般不等式(或方程)的求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的X 围内进行．【举一反三】求下列函数的单调区间，并指出其增减性． (1)y ＝(a >0且a ≠1)；(2)y ＝log 12(4x －x 2)．题型三函数单调性的应用例3、已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f (x )＝e x＋sin x ，则( )A ．f (1)<f (2)<f (3)B ．f (2)<f (3)<f (1)C ．f (3)<f (2)<f (1)D ．f (3)<f (1)<f (2) 【答案】D【解析】由f (x )＝f (π－x )，得函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，又当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f ′(x )＝e x ＋cos x >0恒成立，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上为增函数，f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)，且0<π－3<1<π－2<π2，所以f (π－3)<f (1)<f (π－2)，即f (3)<f (1)<f (2)．【提分秘籍】1．高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中．2．高考对函数单调性的考查主要有以下几个命题角度： (1)利用函数的单调性比较大小．(2)利用函数的单调性解决与抽象函数有关的不等式问题． (3)利用函数的单调性求参数．(4)利用函数的单调性求解最值(或恒成立)问题．【方法规律】(1)含“f ”号不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．(2)分段函数单调性解法为了保证函数在整个定义域内是单调的，除了要分别保证各段表达式在对应区间上的单调性一致外，还要注意两段连接点的衔接.【举一反三】已知函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，如果对于0<x <y ，都有f (x )>f (y )．(1)求f (1)的值；(2)解不等式f (－x )＋f (3－x )≥－2.则⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2·3－x 2≤1，解得－1≤x <0.∴不等式的解集为{x |－1≤x <0}． 【变式探究】已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a x －a x <1log a x x ≥1是(－∞，＋∞)上的增函数，则a 的取值X 围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,3) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3 【解析】【高考风向标】【2015高考某某，理6】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B【解析】因为()f x 是R 上的增函数，令x x f =)(，所以x a x g )1()(-=，因为1>a ，所以)(x g 是R 上的减函数，由符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0sgn[()]0,0sgn 1,0x g x x x x ->⎧⎪===-⎨⎪<⎩.【2015高考某某，理15】设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是.（写出所有正确条件的编号）①3,3a b =-=-；②3,2a b =-=；③3,2a b =->；④0,2a b ==；⑤1,2a b ==. 【答案】①③④⑤ 【解析】（2014·卷）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1) 【答案】A【解析】由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在(0，1)上递减，选项C ，D 中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B ，C ，D ，选A.（2014·某某卷）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞) 【答案】D【解析】由函数f (x )的解析式知，f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数；当x >0时，令f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1； 当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x )∈[－1，1]；∴函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．（2014·某某卷）设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________．【答案】1【解析】由题意可知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1. （2014·某某卷）以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R，∃a ∈D ，f (a )＝b ”；②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值；③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)∉B；④若函数f(x)＝a ln(x＋2)＋xx2＋1(x>－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)【答案】①③④【解析】（2014·某某卷）已知函数f(x)＝e x－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求a的取值X围．【解析】(2)设x 0为f (x )在区间(0，1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知，f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负． 故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1. 同理g (x )在区间(x 0，1)内存在零点x 2. 故g (x )在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点；当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．所以12<a <e 2.此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 因此x 1∈(0，ln(2a )]，x 2∈(ln(2a )，1)，必有g (0)＝1－b >0，g (1)＝e －2a －b >0.由f (1)＝0得a ＋b ＝e －1<2， 则g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0， 解得e －2<a <1.当e －2<a <1时，g (x )在区间[0，1]内有最小值g (ln(2a ))． 若g (ln(2a ))≥0，则g (x )≥0(x ∈[0，1])，从而f (x )在区间[0，1]内单调递增，这与f (0)＝f (1)＝0矛盾，所以g (ln(2a ))<0. 又g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0.故此时g (x )在(0，ln(2a ))和(ln(2a )，1)内各只有一个零点x 1和x 2.由此可知f (x )在[0，x 1]上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在[x 2，1]上单调递增． 所以f (x 1)>f (0)＝0，f (x 2)<f (1)＝0， 故f (x )在(x 1，x 2)内有零点．综上可知，a 的取值X 围是(e －2，1)．（2013·某某卷）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ，x<0，lnx ，x>0，其中a 是实数．设A(x 1，f(x 1))，B(x 2，f(x 2))为该函数图像上的两点，且x 1<x 2. (1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2<0，求x 2－x 1的最小值； (3)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值X 围． 【解析】所以，函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直时，x2－x1的最小值为1.（2013·某某卷）设函数f(x)＝e x＋x－a(a∈R，e为自然对数的底数)．若曲线y＝sinx上存在(x0，y0)使得f(f(y0))＝y0，则a的取值X围是( )A．[1，e] B．[e－1－1，1]C．[1，e＋1] D．[e－1－1，e＋1]【答案】A【解析】因为y0＝sin x0∈[－1，1]，且f(x)在[－1，1]上(有意义时)是增函数，对于y 0∈[－1，1]，如果f(y 0)＝c ＞y 0，则f(f(y 0))＝f(c)＞f(y 0)＝c ＞y 0，不可能有f(f(y 0))＝y 0.同理，当f(y 0)＝d ＜y 0时，则f(f(y 0))＝f(d)＜f(y 0)＝d ＜y 0，也不可能有f(f(y 0))＝y 0，因此必有f(y 0)＝y 0，即方程f(x)＝x 在[－1，1]上有解，即e x＋x －a ＝x 在[－1，1]上有解．显然，当x ＜0时，方程无解，即需要e x＋x －a ＝x 在[0，1]上有解．当x≥0时，两边平方得e x＋x －a ＝x 2，故a ＝e x－x 2＋x.记g(x)＝e x－x 2＋x ，则g′(x)＝e x－2x ＋1.当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，e x＞0，－2x ＋1≥0，故g′(x)＞0，当x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，e x＞e ＞1，0>－2x ＋1≥－1，故g′(x)＞0.综上，g′(x)在x∈[0，1]上恒大于0，所以g(x)在[0，1]上为增函数，值域为[1，e]，从而a 的取值X 围是[1，e]．（2013·某某卷）函数y ＝x33x －1的图像大致是( )【答案】C【解析】函数的定义域是{x∈R|x≠0}，排除选项A ；当x<0时，x 3<0，3x－1<0，故y>0，排除选项B ；当x→＋∞时，y>0且y→0，故为选项C 中的图像．（2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( ) A ．x 0∈R，f(x 0)＝0B ．函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形C ．若x 0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f(x)的极值点，则f′(x 0)＝0 【答案】C【解析】【高考押题】1.函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A. k >12 B. k <12C. k >－12D. k <－12【答案】D【解析】使y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则2k ＋1<0，即k <－12.2.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( ) A. y ＝x 3B. y ＝|x |＋1C. y ＝－x 2＋1 D. y ＝2－|x |【答案】B 【解析】3.已知奇函数f (x )对任意的正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0，则一定正确的是( )A. f (4)>f (－6)B. f (－4)<f (－6)C. f (－4)>f (－6)D. f (4)<f (－6) 【答案】C【解析】由(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0知f (x )在(0，＋∞)上递增，∴f (4)<f (6)⇔f (－4)>f (－6)．4. 函数y ＝(12)2x 2－3x ＋1的递减区间为( )A. (1，＋∞)B. (－∞，34)C. (12，＋∞)D. [34，＋∞)【答案】D【解析】设t ＝2x 2－3x ＋1，其递增区间为[34，＋∞)，∴复合函数递减区间为[34，＋∞)，选D 项．5. 函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( ) A. (－∞，0)∪(12，2] B. (－∞，2]C. (－∞，12)∪[2，＋∞) D. (0，＋∞)【答案】A【解析】∵x ∈(－∞，1)∪[2,5)，y ＝2x －1在(－∞，1)上为减函数，在[2,5)上也为减函数，则x －1∈(－∞，0)∪[1,4)． ∴2x －1∈(－∞，0)∪(12，2]． 6. 设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R)，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧gx ＋x ＋4，x <g x ，g x －x ，x ≥g x .则f (x )的值域是( )A. [－94，0]∪(1，＋∞)B. [0，＋∞)C. [－94，＋∞)D. [－94，0]∪(2，＋∞)【答案】D 【解析】7. 函数f (x )＝x 2－2x －3的单调增区间为________． 【答案】[3，＋∞)【解析】定义域x 2－2x －3≥0，∴x ≤－1或x ≥3，函数的递增区间为[3，＋∞)． 8. 函数y ＝xx ＋a在(－2，＋∞)上为增函数，则a 的取值X 围是________．【答案】a ≥2 【解析】y ＝xx ＋a＝1－ax ＋a，依题意，得函数的单调增区间为(－∞，－a )、(－a ，＋∞)，要使函数在(－2，＋∞)上为增函数，只要－2≥－a ，即a ≥2.9.设函数f (x )的图象关于y 轴对称，又已知f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (1)＝0，则不等式f －x ＋f xx<0的解集为________．【答案】(－1,0)∪(1，＋∞) 【解析】10.已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (13)＝1.(1)求f (1)；(2)若f (x )＋f (2－x )<2，求x 的取值X 围．解：(1)令x ＝y ＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)，∴f (1)＝0. (2)∵2＝1＋1＝f (13)＋f (13)＝f (19)，∴原不等式等价于f [x (2－x )]<f (19)，由f (x )为(0，＋∞)上的减函数，得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，2－x >0，x 2－x >19，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >0，2－x >0，1－223<x <1＋223，⇒1－223<x <1＋223，即x 的取值X 围为(1－223，1＋223)．11. 已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值X 围．12.已知函数g (x )＝x ＋1，h (x )＝1x ＋3，x ∈(－3，a ]，其中a 为常数且a >0，令函数f (x )＝g (x )·h (x )．(1)求函数f (x )的表达式，并求其定义域； (2)当a ＝14时，求函数f (x )的值域．解：(1)f (x )＝x ＋1x ＋3，x ∈[0，a ]，(a >0)． (2)函数f (x )的定义域为[0，14]，令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈[1，32]，f (x )＝F (t )＝tt 2－2t ＋4＝1t ＋4t－2， ∵t ＝4t 时，t ＝±2∉[1，32]，又t ∈[1，32]时，t ＋4t 单调递减，F (t )单调递增，F (t )∈[13，613]． 即函数f (x )的值域为[13，613]．。
高中数学人教新课标A版：函数的单调性与最大(小)值 课件
2．(多选)关于函数 f(x)＝ －x2＋2x＋3的结论正确的是 A．定义域、值域分别是[－1,3]，[0，＋∞) B．单调增区间是(－∞，1] C．定义域、值域分别是[－1,3]，[0,2] D．单调增区间是[－1,1]
()
解析： f(x)＝ －x2＋2x＋3的定义域满足：－x2＋2x＋3≥0，解得－1≤x≤3， 即定义域为[－1,3]．考虑函数 y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4 在－1≤x≤3 上 有最大值 4，最小值 0，在[－1,1]上单调递增，在(1,3]上单调递减．故 f(x)＝
第二节 函数的单调性与最大(小)值 课标要求1.借助图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小 值. 2.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.
一、“基础知识”掌握牢
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间
命题点一 确定函数的单调性或单调区间(自主练通)
[题组练透]
1．(2020·荆州高三期末)设 max{a，b}＝ba，，aa<≥bb，， 则函数 f(x)＝max{x2－x,
1－x2}的单调增区间为
()
A．[－1,0]，12，＋∞ C．－∞，－12，[0,1]
B．(－∞，－1]，0，12 D．－12，0，[1，＋∞)
存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M 存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M
结论
M 为最大值
M 为最小值
谨记结论·谨防易错 (1)并非所有的函数都具有单调性．
例如：函数 f(x)＝
1，x为有理数， 0，x为无理数，
它的定义域为 R，但不具有单调性．
一轮复习节函数的单调性与最值PPT课件
(1)利用对称性将函数值转化到区间[1，＋∞)上，根据单调性判断大小． (2)由单调性得到x2＋x>a－x，即a<x2＋2x恒成立，转化为求函数g(x)＝x2＋2x的 最小值． (3)①函数含有绝对值，故可将其转化为分段函数后作出图象求解；②中的函数为 函数y＝log2u，u＝x2－1的复合函数，要注意其定义域．
x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2)”的是( )
A．f(x)＝1x
B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex
D．f(x)＝ln(x＋1)
解析：由条件知函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，四个选项中只有A满足．
答案：A
第9页/共60页
2．(2013·许昌模拟)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
第21页/共60页
则 f(x2)－f(x1)＞0，f(x)在[ a，＋∞)上是增函数． 综上，f(x)在(0， a)上为减函数，在( a，＋∞)上为增 函数． 方法二：求导数得，f′(x)＝1－xa2. 令 f′(x)≥0，即 1－xa2≥0，xa2≤1. ∴x2≥a，∵x＞0，a＞0， ∴x≥ a，即 f(x)在[ a，＋∞)上是增函数．
第19页/共60页
(1)根据常见函数的单调性进行判断；
(2)利用定义法或导数法进行判断．
(1)解析：A 中函数 f(x)＝－x2＋x＋1 在定义域上不单调；
B 中 f(x)＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，但在定义域
上不单调；C 中函数 f(x)在定义域上不单调；D 中，定义域
为(－∞，2)，由复合函数的单调性知 f(x)＝ln(2－x)在(－∞，
由题意知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞) ∵f(－x)＝－x＋－ax＝－x＋ax＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数． ∴f(x)在(－∞，－ a)和( a，＋∞)上为增函数； f(x)在(－ a，0)和(0， a)上为减函数．
函数的单调性与最值课件-2025届高三数学一轮复习
2
1
单调递减，所以B不符合要求；对于C，由反比例函数的图象可知， f ( x )＝－ 在
(0，＋∞)上单调递增，所以C符合要求；对于D，当0＜ x ＜1时， y ＝3｜ x －1｜＝31－ x
在(0，1)上单调递减，所以D不符合要求.故选C.
(2)[全国卷Ⅱ]函数 f ( x )＝ln( x 2－2 x －8)的单调递增区间是( D
2025届高考数学一轮复习讲义
函数之 函数的单调性与最值
一、知识点讲解及规律方法结论总结
1. 函数的单调性
单调递增
单调递减
一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I，
定
义
当x1＜x2时，都有① f(x1)＜f(x2)
，那 当x1＜x2时，都有② f(x1)＞f(x2)
，那
A. f(x)＝－ln x
1
C. f(x)＝－
B.
1
f(x)＝
2
D. f(x)＝3｜x－1｜
C )
[解析] 对于A，因为函数 y ＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，所以 f ( x )＝－ln x 在(0，
1
1 x
＋∞)上单调递减，所以A不符合要求；对于B，因为 f ( x )＝ ＝( ) 在(0，＋∞)上
D. (－1，＋∞)
B )
3. [教材改编] y ＝
[解析]
2+1
的值域为
−3
(－∞，2)∪(2，＋∞) .
2+1
2(−3)+7
7
7
y＝
＝
＝2＋
，显然
≠0，所以 y ≠2.故函数的值域
函数的单调性与最值 课件-2025届高考数学一轮复习
求函数最值（值域）的五种常用方法及注意点（1）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.（2）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.（3）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.（4）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.（5）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
递增
递减
单调区间
（1）单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示；（2）有多个单调区间应分开写，不能用“∪ ”连接，也不能用“或”连接，只能用“,”或“和”连接.
2.函数的最值
前提
一般地，设函数的定义域为,如果存在实数 满足
条件
,都有⑪__________; ,使得⑫___________
,都有⑬__________; ,使得⑭___________
√
2.已知函数的定义域为，且对任意两个不相等的实数， ，都有，则不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
解析：选B.不妨设，因为 ，所以，故是 上的增函数，所以原不等式等价于，解得 .故选B.
√
例1（1） 求函数 的单调区间；
【解】由题得
画出函数 的图象如图所示，可知单调递增区间为和，单调递减区间为和 .
√
考点三 函数单调性的应用
比较函数值的大小的方法利用函数的单调性比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，或采用中间量法比较大小.
函数的单调性与最值课件理 新人教A版课件
(2)复合函数单调性的判断法则：“同增异减”，即对于 y＝ f[g(x)]型的复合函数，我们令 t＝g(x)，则可以把它看成由 y＝f(t) 和 t＝g(x)复合而成的，若它们的单调性相同，则复合后的函数为 增函数；若它们的单调性相反，则复合后的函数为减函数．
(3)利用函数的运算性质：若 f(x)，g(x)为增函数，则 ①f(x)＋g(x)为增函数； ②f1x为减函数(f(x)＞0)； ③ fx为增函数(f(x)≥0)； ④f(x)·g(x)为增函数(f(x)＞0，g(x)＞0)； ⑤－f(x)为减函数． (4)图象法：根据图象上升或下降来确定函数的单调性． (5)导数法：利用导数研究函数的单调性．
(2)∵y＝log2(x2－1)， ∴该函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 又∵y＝log2(x2－1)可看作由 y＝log2μ 和 μ＝x2－1 两个函数 复合而成的，且 y＝log2μ 在 μ∈(0，＋∞)上为增函数，而 μ＝x2 －1 在(－∞，－1)上为减函数且 μ>0，在(1，＋∞)上为增函数且 μ>0. ∴当 x∈(－∞，－1)时，y＝log2(x2－1)为减函数， 当 x∈(1，＋∞)时，y＝log2(x2－1)为增函数．
[解] 解法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0) ∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取 x1，x2，令 x1＜x2，那么 f(x2) －f(x1)＝(x2＋xk2)－(x1＋xk1)＝(x2－x1)＋k(x12－x11)＝(x2－x1)x1xx12x－2 k.
因为 0＜x1＜x2，所以 x2－x1＞0，x1x2＞0.
第二节 函数的单调性与最值
1.理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调 性．
2．理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能求出一些简 单的函数的最大(小)值．
函数的单调性与最值课件-2025届高三数学一轮复习
.
(8) = + − − 的值域是
.
(9) = + − + 的值域是
.
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五、单调性应用
求函数值域
思路四：换元法
思路五：判别式法
+−
(10)函数＝
的值域为____________
++
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与函数 的值域相同，则的取值范围是（ ）
A. ,
B.(, +∞)
C. , +∞
2025届高三一轮复
三、分段函数单调性
− + , ≤ ,
例8.已知函数 =
若 () 在 (−∞, +∞) 上是增函数，
− − + , > ,
,
(, )
2025届高三一轮复习课件
, = − + − = 正方形对角线长度一半
例3.已知函数() = | + | + | + |(, ∈ )，
当 ∈ [−, ]时，记()的最大值为(, )，则(, )的最小值为
五、单调性应用
求函数值域
思路二：图象法
(3)已知{, , }表示, , 中的最大值，若函数 = − + , − + , + ，
则()的最小值为
.
(4)函数 = + | − |的最小值____________
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五、单调性应用
求函数值域
(5)函数＝
思路二：图象法
思路三：分离常数法
2025届高中数学一轮复习课件《函数的单调性和最值》PPT
函数
函数
高考一轮总复习•数学
增函数
减函数
第6页
图象 描述
自左向右看图象是 上升的
自左向右看图象是 下降的
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第7页
2.单调区间的定义 若函数 y＝f(x)在区间 I 上是 增函数 或 减函数 ，则称函数 y＝f(x)在这一区间具有(严
格的)单调性，区间 I 叫做 y＝f(x)的单调区间．
解析 答案
高考一轮总复习•数学
第14页
3．(1)函数 y＝11－＋xx的单调递减区间是___(_－__∞__，__－__1_)，__(_－__1_，__＋__∞__)_____． (2)函数 y＝ 11－＋xx的单调递减区间是__(_－__1_,_1_] __．
解析：(1)∵y＝11－＋xx＝－1＋1＋2 x，故其单调递减区间为(－1，＋∞)，(－∞，－1)． (2)由11－＋xx≥0，得 x∈(－1,1]，即为函数 y＝ 11－＋xx的单调递减区间．
高考一轮总复习•数学
第25页
解：函数 f(x)在(－1,1)上是增函数，证明如下： 任取 x1，x2∈(－1,1)且 x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝x21x＋1 1－x22x＋2 1 ＝x1xx22＋12＋x11－xx2221＋x2－1 x2 ＝x1x2xx122＋－1x1＋x22＋x11－ x2 ＝x1x－21＋x211x－22＋x11x2， 变形后因式分解，得到关键因子即为 1－x1x2. 它影响代数式的符号，讨论 1－x1x2 的 符号变化，才能得到函数的单调性．
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第9页
三 利用定义判断函数单调性的步骤 1．取值；2.作差；3.化简判断；4.下结论．
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高考理科数学公开课优质课件精选函数的单调性与最值复习课
＝lnπ1，b＝(ln π)2，c＝ln π，则
()
A．f(a)>f(b)>f(c)
B．f(b)>f(a)>f(c)
C．f(c)>f(a)>f(b)
D．f(c)>f(b)>f(a)
解析：由题意可知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(a)＝
f(|a|)，f(b)＝f(|b|)，f(c)＝f(|c|)，又|a|＝ln π>1，|b|＝(ln
当 a≠0 时，二次函数 f(x)的对称轴为 x＝－1a，
因为 f(x)在(－∞，4)上单调递增，
所以 a<0，且－1a≥4，解得－14≤a<0.
综上所述得－14≤a≤0.
[答案] D
(2)设函数 f(x)＝－ logx22x＋，4xx>，4.x≤4， 若函数 y＝f(x)在区间
(a，a＋1)上单调递增，则实数 a 的取值范围是
π)2>|a|，|c|＝12ln π，且0<12ln π<|a|，故|b|>|a|>|c|>0，
∴f(|c|)>f(|a|)>f(|b|)，即f(c)>f(a)>f(b)． 答案：C
3．[考点二·应用(二)](2017·太原模拟)定义在R上的奇函数y＝f(x)
在(0，＋∞)上单调递增，且f
1 2
＝0，则满足flog
()
A．(－∞，1]
B．[1,4]
C．[4，＋∞)
D．(－∞，1]∪[4，＋∞)
[解析] 作出函数 f(x)的图象如
图所示，由图象可知 f(x)在(a，a＋1)
上单调递增，需满足 a≥4 或 a＋1≤2，
即 a≤1 或 a≥4，故选 D. [答案] D
2020届高三理科数学一轮复习讲义教师用书第5讲 函数的单调性与最值
x 1－x2＞0⇔f(x)在[a ，b ]上是增函数；f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0⇔f(x)在[a ，b ]上是第 2 讲 函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数一般地，设函数 f(x)的定义域为 I ，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任定义意两个自变量的值 x 1，x 2当 x 1<x 2 时，都有 f(x 1)<f(x 2)，那么就 说函数 f(x)在区间 D 上是增函数图象描述自左向右看图象是上升的当 x 1<x 2 时，都有 f(x 1)>f(x 2)，那么就 说函数 f(x)在区间 D 上是减函数自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数 y ＝f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 y ＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做函数 y ＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数 y ＝f(x)的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足(1)对于任意 x ∈I ，都有条件f(x)≤M ；(2)存在 x 0∈I ，使得 f(x 0)＝M(1)对于任意 x ∈I ，都有 f(x)≥M ；(2)存在 x 0∈I ，使得 f(x 0)＝M结论M 为最大值M 为最小值导师提醒1．掌握函数单调性的两种等价形式设任意 x ，x ∈[a ，b ]且 x ≠x ，12 1 2(1)f （x 1）－f （x 2）减函数．(2)(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]＞0⇔f(x)在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]＜0⇔f(x)在[a ，b ](1)对勾函数 y ＝x ＋ (a ＞0)的增区间为 (－∞，－ a]和[ a ，＋∞)，减区间为 [－ a ，0)和(3)函数 y ＝ 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．()解析：选 A.y ＝3－x 在 R 上递减，y ＝ 在(0，＋∞)上递减，y ＝－x 2＋4 在(0，＋∞)上递上是减函数．2．注意单调性的两个易错点(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．(2) 有多个单调区间应分别写，不能用符号 “∪” 连接，也不能用 “ 或 ” 连接，只能用“，”或“和”连接．3．记牢五条常用结论ax(0， a]．(2)在区间 D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．(3)函数 f(g (x))的单调性与函数 y ＝f(u)，u ＝g (x)的单调性的关系是“同增异减”．(4)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端 点处取到．(5)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若定义在 R 上的函数 f(x)，有 f(－1)<f(3)，则函数 f(x)在 R 上为增函数．()(2)函数 y ＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数 f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)．( )1x(4)所有的单调函数都有最值．()(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．()(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到． ( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是( )A ．y ＝|x|B ．y ＝3－xC ．y ＝ 1xD ．y ＝－x 2＋41x减，故选 A.函数 y ＝x 2－6x ＋10 在区间(2，4)上( )解析：因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，即k＜－.答案：(－∞，－)＝f(6)＝2.A.⎣2，＋∞⎭B.⎣1，2⎦和[2，＋∞)C．(－∞，1]和⎣2，2⎦ D.⎝－∞，2⎦和[2，＋∞)如图所示，函数的单调递增区间是⎡1，⎤和[2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1]和⎡，2⎤.A．递减C．先递减后递增B．递增D．先递增后递减解析：选C.因为函数y＝x2－6x＋10的图象为抛物线，且开口向上，对称轴为直线x＝3，所以函数y＝x2－6x＋10在(2，3)上为减函数，在(3，4)上为增函数．若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________．1212(教材习题改编)已知函数f(x)＝2x－1，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为________，最小值为__________．解析：可判断函数f(x)＝2答案：252在[2，6]上为减函数，所以f(x)x－1max＝f(2)＝2，f(x)min5确定函数的单调性(区间)(多维探究)角度一求函数的单调区间(1)函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是()⎡3⎫⎡3⎤⎡3⎤⎛3⎤(2)函数y＝x2＋x－6的单调递增区间为________，单调递减区间为________．【解析】(1)y＝|x2－3x＋2|⎧x2－3x＋2，x≤1或x≥2，＝⎨⎩－（x2－3x＋2），1＜x＜2.33⎣2⎦⎣2⎦x －1⎛x －1＋1⎫ ⎛ 1 ⎫f(x)＝a⎪＝a 1＋ ⎪， ⎝ x －1 ⎭ ⎝ ⎛1＋ 1 ⎫ －a 1＋ f(x 1)－f(x 2)＝a x 1－1⎭ ⎝ x 2－1⎭＝ a （x 2－x 1） 故当a ＞0 时，f(x)－f(x )＞0，即 f(x )＞f(x )，当 a ＜0 时，f(x )－f(x )＜0，即 f(x )＜f(x )， 法二：f ′)＝＝ ，故选 B.(2)令 u ＝x 2＋x －6，则 y ＝ x 2＋x －6可以看作是由 y ＝ u 与 u ＝x 2＋x －6 复合而成的函数．令 u ＝x 2＋x －6≥0，得 x ≤－3 或 x ≥2.易知 u ＝x 2＋x －6 在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而 y ＝ u 在[0，＋∞)上是增函数，所以 y ＝ x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．【答案】 (1)B (2)[2，＋∞) (－∞，－3]角度二 含参函数的单调性(一题多解)判断并证明函数 f(x)＝ ax(a ≠0)在(－1，1)上的单调性．【解】 法一：设－1＜x 1＜x 2＜1，x －1⎭⎛ 1 ⎫⎪ ⎪ ⎝（x －1）（x －1），由于－1＜x 1＜x 2＜1，12所以 x －x ＞0，x －1＜0，x －1＜0， 21121212函数 f(x)在(－1，1)上递减；1 2 1 2函数 f(x)在(－1，1)上递增．a （x －1）－ax－a （x －1）2 （x －1）2所以当 a >0 时，f ′(x)<0，当 a <0 时，f ′(x)>0，即当 a >0 时，f(x)在(－1，1)上为单调减函数，当 a <0 时，f(x)在(－1，1)上为单调增函数．2．判断并证明函数 f(x)＝ax 2＋ (其中 1＜a ＜3)在 x ∈[1，2]上的单调性． f(x 2)－f(x 1)＝ax 22＋ －⎝ax 21＋x ⎭＝(x －x )⎡a （x ＋x ）－ x 1x2⎦，由 1≤x ＜x ≤2，得 x －x ＞0，2＜x ＋x ＜4，所以 2＜a(x ＋x )＜12， x 1x2确定函数单调性的 4 种方法(1)定义法．利用定义判断．(2)导数法．适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．(3)图象法． 由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子 集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用 “和”或“，”连接，不能用“∪”连接．(4)性质法． 利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数 “同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．[提醒] 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．1．函数 y ＝－x 2＋2|x|＋3 的单调递减区间是________．解析：由题意知，当 x ≥0 时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当 x ＜0 时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，二次函数的图象如图，由图象可知，函数 y ＝－x 2＋2|x|＋3 的单调递减区间为[－1，0]，[1，＋∞)．答案：[－1，0]，[1，＋∞)1 x解：设 1≤x 1＜x 2≤2，则1 ⎛ 1 ⎫ x2 121⎣1 21 ⎤1221121＜x 1x 2＜4，－1＜－ 1 ＜－1.x 1x 2 4又 1＜a ＜3，1 2得 a(x ＋x )－ 1＞0，从而 f(x )－f(x )＞0， 1221即 f(x )＞f(x )，成立，设 a ＝f ⎝－2⎭，b ＝f(2)，c ＝f(e)，则 a ，b ，c 的大小关系为(【解析】因为 f(x)的图象关于直线 x ＝1 对称，所以 f ⎝－2⎭＝f ⎝2⎭.由 x 2＞x 1＞1 时，[f(x 2)－因为 1＜2＜5＜e ，所以 f(2)＞f ⎛ ⎫＞f(e)，⎩21故当 a ∈(1，3)时，f(x)在[1，2]上单调递增．函数单调性的应用(多维探究)角度一 比较大小已知函数 f(x)的图象关于直线 x ＝1 对称，当 x 2＞x 1＞1 时，[f(x 2)－f(x 1)](x 2－x 1)＜0 恒⎛ 1⎫)A ．c ＞a ＞bC ．a ＞c ＞bB ．c ＞b ＞aD ．b ＞a ＞c⎛ 1⎫ ⎛5⎫f(x 1)]·(x 2－x 1)＜0 恒成立，知 f(x)在(1，＋∞)上单调递减．5 2 ⎝2⎭所以 b ＞a ＞c.【答案】 D角度二 解函数不等式定义在[－2，2]上的函数 f(x)满足(x 1－x 2)·[f(x 1)－f(x 2)]＞0，x 1≠x 2，且 f(a 2－a)＞f(2a－2)，则实数 a 的取值范围为()A ．[－1，2)C ．[0，1)B ．[0，2)D ．[－1，1)【解析】 因为函数 f(x)满足(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]＞0，x 1≠x 2，所以函数在[－2，2]上单调递增，所以－2≤2a －2＜a 2－a ≤2，解得 0≤a ＜1，故选 C.【答案】 C角度三 根据函数的单调性求参数(1)(2019· 郑州模拟 )函数 y ＝()A ．a ＝－3C ．a ≤－3x －5 x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则 a 的取值范围是B ．a ＜3D ．a ≥－3⎧⎪－x 2＋4x ，x ≤4，(2)设函数 f(x)＝⎨ 若函数 y ＝f(x)在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数 a 的⎪log 2x ，x>4.⎩取值范围是()A ．(－∞，1]B ．[1，4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)x －a －2＋a －3 a －3 a －3【解析】(1)y ＝＝1＋ ＝1＋ ， x －a －2 x －a －2 x －（a ＋2）⎧a －3＜0，由题意知⎨ 得 a ≤－3.⎩a ＋2≤－1，所以 a 的取值范围是 a ≤－3.(2)作出函数 f(x)的图象如图所示，由图象可知 f(x)在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足 a ≥4 或 a＋1≤2，即 a ≤1 或 a ≥4，故选 D.【答案】 (1)C (2)D函数单调性应用问题的 3 种常见类型及解题策略(1)比较大小． 比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式． 在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数． 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．[提醒] ①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的； ②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．⎧⎪x 3，x ≤0，1．已知函数 f(x)＝⎨ 若 f(2－x 2)>f(x)，则实数 x 的取值范围是()⎪ln （x ＋1），x >0，A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)⎪⎩ x (2)已知函数 y ＝ 1－x ＋ x ＋3的最大值为 M ，最小值为 m ，则 的值为________．当 x ＞1 时，y ＝x ＋6≥2 6，当且仅当 x ＝ 6时，等号成立，此时 f(x)C ．(－1，2)D ．(－2，1)解析：选 D.因为当 x ＝0 时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数的图象是一条连续的曲线．因为当 x ≤0 时，函数 f(x)＝x 3 为增函数，当 x >0 时，f(x)＝ln(x ＋1)也是增函数，所以函数 f(x)是定义在 R 上的增函数．因此，不等式 f(2－x 2)>f(x)等价于 2－x 2>x ，即 x 2＋x －2<0，解得－2<x<1.2．(2019·武汉模拟)若函数 f(x)＝2|x －a|＋3 在区间[1，＋∞)上不单调，则 a 的取值范围是()A ．[1，＋∞)C ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)D ．(－∞，1]⎧2x －2a ＋3，x ≥a解析：选 B.因为函数 f(x)＝2|x －a|＋3＝⎨， ⎩－2x ＋2a ＋3，x ＜a因为函数 f(x)＝2|x －a|＋3 在区间[1，＋∞)上不单调，所以 a ＞1.所以 a 的取值范围是(1，＋∞)．故选 B.函数的最值问题(师生共研)⎧⎪x 2，x ≤1，(1)已知函数 f(x)＝⎨ 6则 f(x)的最小值是________． x ＋ －6，x ＞1，mM【解析】 (1)因为 y ＝x 2 在(－∞，0)上单调递减，在 [0，＋∞)上单调递增，所以当 x ≤1时，f(x) min ＝f(0)＝0.又 2 6－6＜0，x min ＝2 6－6.所以m ＝ 2.＋3，配方得 y ＝⎛t ＋所以 f(x) min ＝2 6－6.⎧1－x ≥0，(2)由⎨得函数的定义域是{x|－3≤x ≤1}， ⎩x ＋3≥0由题意知 y ＞0，则y 2＝4＋2 1－xx ＋3＝4＋2 －（x ＋1）2＋4，当 x ＝－1 时，y 取得最大值 M ＝2 2；当 x ＝－3 或 1 时，y 取得最小值 m ＝2，M 2【答案】 (1)2 6－6 (2) 22求函数最值的 5 种常用方法及其思路1．(一题多解)函数 y ＝x ＋ x －1的最小值为________．解析：法一：令 t ＝ x －1，且 t ≥0，则 x ＝t 2＋1，所以原函数变为 y ＝t 2＋1＋t ，t ≥0.1⎫2 ⎝ 2⎭ 4又因为 t ≥0，所以 y ≥1＋3＝1，4 4故函数 y ＝x ＋ x －1的最小值为 1.法二：因为函数 y ＝x 和 y ＝ x －1在定义域内均为增函数，故函数 y ＝x ＋ x －1在[1，＋∞)内为增函数，所以 y min ＝1.⎪⎩⎧log x，0＜x≤2，法二：依题意，h(x)＝⎨当0＜x≤2时，h(x)＝log x是增函数，3．函数f(x)＝1在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________．⎧⎪1＝1，即⎨1，⎪f（b）＝3⎪⎩1＝1，⎪答案：1⎧a，a≤b，2．(一题多解)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝⎨设函数f(x)＝－x＋3，g(x)⎪b，a＞b.＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．解析：法一：在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)图象，依题意，h(x)的图象如图所示．易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1.2⎩－x＋3，x＞2.2当x＞2时，h(x)＝3－x是减函数，所以h(x)在x＝2处取得最大值h(2)＝1.答案：1x－113⎧f（a）＝1，a－1⎧a＝2，解析：易知f(x)在[a，b]上为减函数，所以⎨所以⎨所以a⎩b＝4.b－1＋b＝6.答案：6函数单调性问题中的核心素养已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1；②当x＞0时，f(x)＞－1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数．(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4.【解】(1)令x＝y＝0得f(0)＝－1.在R上任取x1＞x2，则x－x＞0，f(x－x)＞－1.又f(x)＝f((x－x)＋x)＝f(x－x)＋f(x)＋1＞f(x)，A．y＝－x解析：选A.对于A，y1＝在(0，＋∞)内是减函数，y2＝x在(0，＋∞)内是增函数，则y＝x 121211221222所以，函数f(x)在R上是单调增函数．(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.由f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4得f(x2＋x＋1)＞f(3)，又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1＞3，解得x＜－2或x＞1，故原不等式的解集为{x|x＜－2或x＞1}．依据增函数、减函数的定义证明函数单调性，通常按照设元、作差、变形、判号、定论这五个步骤进行，充分体现了“逻辑推理”的核心素养．若f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则当f(x)＋f(x －8)≤2时，x的取值范围是()A．(8，＋∞)C．[8，9]解析：选B.2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，B．(8，9]D．(0，8)⎧⎪x＞0，所以有⎨x－8＞0，⎪⎩x（x－8）≤9，解得8＜x≤9.[基础题组练]1．下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是()1xC．y＝ln x－xB．y＝x2－xD．y＝e x－x11x －x在(0，＋∞)内是减函数；B，C选项中的函数在(0，＋∞)上均不单调；选项D中，y′＝e x－B.⎣0，2⎦D.⎝2，＋∞⎭由图易知原函数在⎡0，⎤上单调递增．故选B.A.⎣－3，－3⎦5．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f⎝⎪x⎪⎭＜f(1)的实数x的取值范围是(⎧⎪⎪1⎪＞1，⎧|x|＜1，解析：选C.由f(x)为R上的减函数且f⎝⎪x⎪⎭＜f(1)，得⎨⎛⎪1⎪⎫⎪x⎪⎪⎩x≠0，1，而当x∈(0，＋∞)时，y′＞0，所以函数y＝e x－x在(0，＋∞)上是增函数．2．函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2)C．(1，＋∞)B．(－∞，1)D．(4，＋∞)解析：选D.由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)，注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．3．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是()A．(－∞，0)C．[0，＋∞)⎧x（1－x），x≥0，⎧－x2＋x，x≥0，解析：选B.y＝|x|(1－x)＝⎨＝⎨函数的草图如图所示．⎩－x（1－x），x＜0⎩x2－x，x＜01⎣2⎦4．若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a 的取值范围是()⎡11⎤C．[－3，－22]B．[－6，－4]D．[－4，－3]解析：选B.由于f(x)为R上的偶函数，因此只需考虑函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f(x)在[3，＋∞)上为增函数，在[1，2]上为减函数，故－a∈[2，3]，即a∈[－26，－4]．⎛⎪1⎪⎫) A．(－1，1)C．(－1，0)∪(0，1)B．(0，1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)即⎨所以－1＜x＜0⎩x≠0.4－x－⎩或0＜x＜1.故选C.6．函数f(x)＝4－x－x＋2的值域为________．⎧4－x≥0，解析：因为⎨所以－2≤x≤4，⎩x＋2≥0，所以函数f(x)的定义域为[－2，4]．又y＝4－x，y＝－12x＋2在区间[－2，4]上均为减函数，所以f(x)＝x＋2在[－2，4]上为减函数，所以f(4)≤f(x)≤f(－2)．即－6≤f(x)≤ 6.答案：[－6，6]⎧⎪m＋x2，|x|≥1，7．设函数f(x)＝⎨的图象过点(1，1)，函数g(x)是二次函数，若函数f(g(x))⎪x，|x|＜1的值域是[0，＋∞)，则函数g(x)的值域是________．解析：⎧m＋x2，|x|≥1，因为函数f(x)＝⎨的图象过点(1，1)，所以m＋1＝1，解得m＝0，所以f(x)⎩x，|x|＜1⎧x2，|x|≥1，＝⎨画出函数y＝f(x)的大致图象如图所示，观察图象可知，当纵坐标在[0，＋∞)上⎩x，|x|＜1.时，横坐标在(－∞，－1]∪[0，＋∞)上变化．而f(x)的值域为[－1，＋∞)，f(g(x))的值域为[0，＋∞)，因为g(x)是二次函数，所以g(x)的值域是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)⎧⎪（3a－1）x＋4a，x＜1，8．若f(x)＝⎨是定义在R上的减函数，则a的取值范围是⎪⎩－ax，x≥1________．⎧a ＜ ，33a －1＜0，⎧⎪⎫所以 a ∈⎡ ， . 答案：⎣8，3⎭ ⎧⎪x ，x >1，则f(x )－f(x )＝ x 1x 2－ ＝ 2（x 1－x 2） .所以f(x)－f(x )＜0，即 f(x )＜f(x )，则f(x )－f(x )＝ x 1x 2－ ＝ a （x 2－x 1） .因为 a ＞0，x －x ＞0，所以要使 f(x)－f(x )＞0，10．已知 f(x)＝ x(x ≠a)．x 1＋2 x 2＋2 （x ＋2）（x ＋2） x 1－a x 2－a （x －a ）（x －a ）1解析：由题意知，⎨（3a －1）×1＋4a ≥－a ，解得⎨a ≥1，⎪⎩a ＞0，⎩8a ＞0，1 1 ⎣8 3⎭⎡1 1⎫⎧⎪1，x >0，9．设函数 f(x)＝⎨0，x ＝0， g (x)＝x 2f(x －1)，则函数 g (x)的递减区间⎪⎩－1，x <0，是________．2 解析：由题意知 g (x)＝⎨0，x ＝1， 函数图象如图所示，其递减区间是⎪⎩－x 2，x<1.[0，1)．答案：[0，1)x －a(1)若 a ＝－2，试证 f(x)在(－∞，－2)上单调递增；(2)若 a ＞0 且 f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求 a 的取值范围．解：(1)证明：设 x 1＜x 2＜－2，1 2 12因为(x ＋2)(x ＋2)＞0，x －x ＜0， 12121212所以 f(x)在(－∞，－2)上单调递增．(2)设 1＜x 1＜x 2，1 2 122112只需(x －a)(x －a)＞0 恒成立，12所以 a ≤1.综上所述，0＜a ≤1.所以当 x ＞2 时，f(x)单调递增，则－a ≤2，即 a ≥－4.当－1＜x ≤2 时，f(x)单调递增，则a ≤－1.1 1 x 1－x 当 x ∈(2，＋∞)时，f(x )>f(2)＝0，即f(x)<0，f(x )>0.故选 B.11．已知函数 f(x)＝x 2＋a|x －2|－4.(1)当 a ＝2 时，求 f(x)在[0，3]上的最大值和最小值；(2)若 f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，求实数 a 的取值范围．⎧x 2＋2x －8，x ≥2 ⎧（x ＋1）2－9，x ≥2解：(1)当 a ＝2 时，f(x)＝x 2＋2|x －2|－4＝⎨＝⎨ ， ⎩x 2－2x ，x ＜2 ⎩（x －1）2－1，x ＜2当 x ∈[0，2]时，－1≤f(x)≤0，当 x ∈[2，3]时，0≤f(x)≤7，所以 f(x)在[0，3]上的最大值为 7，最小值为－1.⎧x 2＋ax －2a －4，x ＞2(2)因为 f(x)＝⎨， ⎩x 2－ax ＋2a －4，x ≤2又 f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，22即 a ≤－2，且 4＋2a －2a －4≥4－2a ＋2a －4 恒成立，故 a 的取值范围为[－4，－2]．[综合题组练]1．(应用型)已知函数 f(x)＝log 2x ＋ － ，若 x 1∈(1，2)，x 2∈(2，＋∞)，则(A ．f(x 1)<0，f(x 2)<0B ．f(x 1)<0，f(x 2)>0)C ．f(x 1)>0，f(x 2)<0解析：选 B.因为函数 f(x)＝log 2x ＋ D ．f(x 1)>0，f(x 2)>01在(1，＋∞)上为增函数，且 f(2)＝0，所以当 x ∈(1，12)时，f(x 1)<f(2)＝0；2212⎧⎪（x －a ）2，x ≤0，2．设 f(x)＝⎨ 1若 f(0)是 f(x)的最小值，则 a 的取值范围为()⎪⎩x ＋x ＋a ，x ＞0.A ．[－1，2]C ．[1，2]B ．[－1，0]D ．[0，2]解析：选 D.因为当 x ≤0 时，f(x)＝(x －a)2，f(0)是 f(x)的最小值，所以 a ≥0.当 x ＞0 时，f(x)＝x ＋1＋a ≥2＋a ，当且仅当 x ＝1 时取“＝”．要满足 f(0)是 f(x)的最小值，需 2＋a ≥f(0)＝a 2，x4．(创新型)如果函数 y ＝f(x)在区间 I 上是增函数，且函数 y ＝f （x ）那么称函数 y ＝f(x)是区间 I 上的“缓增函数”，区间 I 叫做“缓增区间”．若函数 f(x)＝ x 2－x＋ 是区间 I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( )解析：选 D.因为函数 f(x)＝ x 2－x ＋ 的对称轴为 x ＝1，所以函数 y ＝f(x)在区间[1，＋∞)上＝1x －1＋ 3 ，令 g (x)＝1x －1＋ 3 (x ≥1)，则 g ′(x)＝1－ 3 ＝ 由 g ′(x)≤0 得 1≤x ≤ 3，即函数 ＝1x －1＋ 3 在区间[1， 3]上单调递减，故“缓增区6．已知函数 f(x)＝lg(x ＋ －2)，其中 a 是大于 0 的常数．即 a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2，所以 a 的取值范围是 0≤a ≤2.故选 D.3．(2019· 西安模拟)已知函数 y ＝log 2(ax －1)在(1，2)上单调递增，则实数 a 的取值范围是 ()A ．(0，1]C ．[1，＋∞)B ．[1，2]D ．[2，＋∞)解析：选 C.要使 y ＝log 2(ax －1)在(1，2)上单调递增，则 a ＞0 且 a －1≥0，所以 a ≥1.故选C.x 在区间 I 上是减函数，1232A ．[1，＋∞)C ．[0，1]B ．[0， 3]D ．[1， 3]1 32 2是增函数，又当 x ≥1 时，f （x ） x 2 2x 2 2x 2 2x 2x 2－32x 2，f （x ） x 2 2x间”I 为[1， 3]．5．(应用型)用 min{a ，b ，c }表示 a ，b ，c 三个数中的最小值，则函数 f(x)＝min{4x ＋1，x＋4，－x ＋8}的最大值是__________．解析：在同一直角坐标系中分别作出函数 y ＝4x ＋1，y ＝x ＋4，y＝－x ＋8 的图象后，取位于下方的部分得到函数 f(x)＝min{4x ＋1，x＋4，－x ＋8}的图象，如图所示，不难看出函数 f(x)在 x ＝2 处取得最大值 6.答案：6ax(1)当 a ∈(1，4)时，求函数 f(x)在[2，＋∞)上的最小值；＝＝f(2)＝ln a. ＋9在[2，＋∞)上是减函数，所以 h (x) 由于 h (x)＝－⎛x －(2)若对任意 x ∈[2，＋∞)恒有 f(x)>0，试确定 a 的取值范围．解：(1)设 g (x)＝x ＋ a －2，当 a ∈(1，4)，x ∈[2，＋∞)时，g ′(x)＝1－ ax 2－a x x 2 x 2>0.因此 g (x)在[2，＋∞)上是增函数，所以 f(x)在[2，＋∞)上是增函数．则 f(x)(2)对任意 x ∈[2，＋∞)，恒有 f(x)>0.即 x ＋a－2>1 对 x ∈[2，＋∞)恒成立．x所以 a >3x －x 2.令 h(x)＝3x －x 2，x ∈[2，＋∞)．min 23⎫2 ⎝ 2⎭ 4故 a >2 时，恒有 f(x)>0.因此实数 a 的取值范围为(2，＋∞)．max ＝h (2)＝2.。
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2 所以 f(x)＝2x＋ (x≠－1)． x＋1 2 (2)结论：f(x)＝2x＋ (x≠－1)在(－1,0]上是减函数． x＋1 证明： 设 x1， x2 是(－1,0]内的任意两个不相等的实数， 且 x1<x2.
第5讲 │要点探究
2 2 则 f(x1)－f(x2)＝2x1＋ －2x2＋x ＋1 x1 ＋ 1 2 2x2－x1 ＝2(x1－x2)＋ x1＋1x2＋1 x2＋x11＋x2 ＝2(x1－x2)· . x1＋1x2＋1 又－1<x1≤0， －1<x2≤0， x1<x2， 故 x1－x2<0,1＋x1>0,1＋x2>0， x2＋x1(1＋x2)<0. x2＋x11＋x2 于是，2(x1－x2)· >0， x1＋1x2＋1 即 f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)． 2 所以，函数 f(x)＝2x＋ (x≠－1)在(－1,0]上是减函数． x＋1
第5讲 │知识梳理
(6)简单性质：奇函数在其关于原点对称区间上的单调性 相同 ，偶函数在其关于原点对称区间上的单调性_______ 相反． _______ 2．函数的最值 对于函数f(x)，假定其定义域为A，则 (1)若存在x0∈A，使得对于任意x∈A，恒有f(x)≥f(x0)成立，则称 最小值 f(x0)是函数f(x)的________ ； (2)若存在x0∈A，使得对于任意x∈A，恒有f(x)≤f(x0)成立，则称 最大值 f(x0)是函数f(x)的_________ ．
第5讲 │要点探究
[点评] 用定义证明单调性必须走程序化的步骤，其关键一步 是对 Δy 变形，变形的目的是能够判断 Δy 的符号，为此常：①多 项式分解因式或配方；②分式通分后分子、分母因式分解；③根 式分母或分子有理化；④幂、指、对数要用各自的运算法则． 判断含有参数的函数的单调性，需注意对参数进行讨论以及 确定分类讨论的依据是什么， 应根据具体的题目进行具体的分析， 比如下面的变式题．
第5讲 │函数的单调性与最值
第 5讲ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
函数的单调性与最值
第5讲 │知识梳理 知识梳理
1．函数的单调性及性质 (1)定义：一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果对于定义 x1<x2 域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2，当___________ f(x1)>f(x2) ， f(x1)<f(x2) 时， 都有___________(_____________) 那么就说 f(x)在区间 D 上是 增函数 减函数 ．如果函数 y＝f(x)在某个区间上是增函数或 _________(_________) 是减函数，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性， 区间 D 叫做 y＝f(x)的单调区间． (2)单调性定义的等价形式：设 x1，x2∈[a，b]，x1≠x2，那么(x1 fx1－fx2 － x2)[f(x1) － f(x2)]>0 ⇔ >0 ⇔ f(x) 在 [a ， b] 是增函数 ______ ； (x1 － x1－x2 fx1－fx2 x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔ <0⇔f(x)在[a，b]是减函数 ______； x1－x2
第5讲 │知识梳理
②图象法：在区间I上，如果函数的图象从左向右是上升的，则 函数在区间I上为______ 增函数，如果函数的图象从左向右是下降的， 则函数在区间I上为______ 减函数； ③导数法：设函数y＝f(x)在某区间I内可导，若f′(x)>0，则函数y ＝f(x)为区间I上的______ 增函数，若f′(x)<0，则函数y＝f(x)为区间I上的 减函数 ______ ； ④运算法：在公共定义域内，增函数＋增函数＝______ 增函数，减函数 ＋减函数＝______ 减函数； ⑤复合函数单调性的判断方法：“同增异减”，即若y＝f(x)和u＝ g(x)的单调性相同，则函数y＝f(g(x))是_______ 增函数 ，若y＝f(x)和u＝ g(x)的单调性相反，则函数y＝f(g(x))是______ 减函数；
第5讲 │要点探究 要点探究
► 探究点1 判断、证明函数的单调性 例1 [ 2010· 黄浦模拟] 已知a、b是正整数，函数f(x)＝ax ＋(x≠－b)的图象经过点(1,3)． (1)求函数f(x)的解析式； (2)判断函数f(x)在(－1,0]上的单调性，并用单调性定义证明 你的结论．
[思路] (1)利用函数过定点以及 a，b 为正整数，求得 a，b 的值，从而得到函数 f(x)的解析式；(2)严格按照用定义证明单调 性的步骤进行．
第5讲 │ 要点探究
判断函数f(x)＝x＋(a≠0)在区间上的单调性，并用定 义加以证明．
[解答] 当 a>0 时，函数在( a，＋∞)上是增函数，在(0， a) 上是减函数，当 a<0 时，函数在(0，＋∞)上是增函数． ax1－x2 a a 证明：f(x2)－f(x1)＝x2＋ －x1－ ＝(x2－x1)＋ ＝(x2 x2 x1 x1x2 x1x2－a －x1) x x . 1 2 当 a>0 时，若 a<x1<x2，则 x1x2>a， x1x2－a ∴(x2－x1) x x >0， 1 2 即 f(x2)>f(x1)， 若 0＜x1<x2＜ a，则 0<x1x2<a，
第5讲 │要点探究
[解答] (1)由函数 f(x)＝ax＋ 2 3＝a＋ ，则(3－a)(b＋1)＝2. 1＋b 又 a、b 均为正整数， 故
3－a＝1， 3－a>0，b＋1≥2.于是，必有 b＋1＝2， a＝2， 即 b＝1.
2 (x≠－b)的图象过点(1,3)知 x＋b
第5讲 │知识梳理
(3)设复合函数y＝f，其中u＝g(x)．如果y＝f(u)和u＝g(x)的 增 函数；如果y＝f(u)和u＝g(x)的单调 单调性相同，那么y＝f是____ 减 函数． 性相反，那么y＝f是____ (4)利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般 步骤： ①任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差； ③变形(通常是因式分解和配方)； ④判断符号(即判断f(x1)－f(x2)的正负)； ⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)． (5)判断方法： ①定义法：在区间I上，函数值y随x的增大而增大，则函数在区 间I上为______ 增函数，函数值y随x的增大而减小，则函数区间I上为 减函数 ______；