天津市河东区高考数学二模试卷文(含解析)

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天津市河东区2021届新高考第二次质量检测数学试题含解析

天津市河东区2021届新高考第二次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z 满足32i z i ⋅=+（i 是虚数单位），则z =（） A ．23i + B ．23i - C ． 23i -+ D ． 23i --【答案】A 【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：由32i z i ⋅=+，得()()2323223i i i z i i i +-+===--，∴23z i =+．故选A ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 2．231+=-ii （） A ．15i 22-+ B ．1522i -- C ．5522i + D ．5122i - 【答案】A 【解析】【分析】分子分母同乘1i +,即根据复数的除法法则求解即可. 【详解】解:23(23)(1)151(1)(1)22i i i i i i i +++==-+--+, 故选:A 【点睛】本题考查复数的除法运算,属于基础题.3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e ，抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0)，若e p =，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．y =B ．y =±C．2y x =± D．2y x =±【答案】A 【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a ，b 关系，即可得到双曲线的渐近线方程．【详解】抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点坐标为（1，0），则p ＝2，又e ＝p ，所以e ca==2，可得c 2＝4a 2＝a 2+b 2，可得：b =，所以双曲线的渐近线方程为：y ＝．故选：A ．【点睛】本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用．4．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+u u u r u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为（）AB ．3CD ．2【答案】A 【解析】【分析】设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为b x y c a =-，联立方程得到()312222ab y y b a c +=-，()2412222a b y y b a c=-，根据向量关系化简到229b a =，得到离心率.【详解】设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为bx y c a=-. 联立2222,1,b x y c a x y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩整理得()44232420b a y ab cy a b --+=，则()()3241212222222,ab a b y y y y b a c b a c +==--.因为11122OP OF OQ =+u u u r u u u r u u u r，所以P 为线段1QF 的中点，所以212y y =，()()()()22622221222222224124942a b b a c y y b y y b a b a c a b -+===⋅--，整理得229b a =，故该双曲线的离心率10e =. 故选：A .【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.5．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（）A ．27πB ．28πC ．29πD ．30π【答案】C 【解析】【分析】作出三棱锥的实物图P ACD -，然后补成直四棱锥P ABCD -，且底面为矩形，可得知三棱锥P ACD -的外接球和直四棱锥P ABCD -的外接球为同一个球，然后计算出矩形ABCD 的外接圆直径AC ，利用公式222R PB AC =+可计算出外接球的直径2R ，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积. 【详解】三棱锥P ACD -的实物图如下图所示：将其补成直四棱锥P ABCD -，PB ⊥底面ABCD ，可知四边形ABCD 为矩形，且3AB =，4BC =.矩形ABCD 的外接圆直径5AC =，且2PB =.所以，三棱锥P ACD -外接球的直径为2R =因此，该三棱锥的外接球的表面积为()224229R R πππ=⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.6．以下三个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③对分类变量X 与Y 的随机变量2k 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大；其中真命题的个数为（） A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】C 【解析】【分析】根据抽样方式的特征，可判断①；根据相关系数的性质，可判断②；根据独立性检验的方法和步骤，可判断③．【详解】①根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0；故②为真命题；③对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越小，故③为假命题．故选：C ．【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点，属于基础题． 7．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A ．193B ．4C ．254D ．132【答案】A 【解析】【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的,x M 的值，当3x =，1943M =>，退出循环，输出结果. 【详解】程序运行过程如下：3x =，0M =；23x =，23M =；12x =-，16M =；3x =，196M =；23x =，236M =； 12x =-，103M =；3x =，1943M =>，退出循环，输出结果为193，故选：A. 【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有判断程序框图输出结果，属于基础题目. 8．命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得()0sin sin x x x +=-恒成立；q ：0a ∀>，()ln a xf x a x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是（） A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∧【答案】A 【解析】【分析】分别判断命题p 和q 的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项. 【详解】对于命题p ，由于()sin sin x x π+=-，所以命题p 为真命题.对于命题q ，由于0a >，由0a xa x+>-解得a x a -<<，且()()1ln ln ln a x a x a x f x f x a x a x a x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭，所以()f x 是奇函数，故q 为真命题.所以p q ∧为真命题. ()()p q ⌝∨⌝、()p q ∧⌝、()p q ⌝∧都是假命题. 故选：A 【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题. 9．下列不等式成立的是（） A ．11sincos 22> B ．11231122⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．112311log log 32< D ．11331123⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误. 【详解】对于A ，1024π<<Q ，11sin cos 22∴<，A 错误；对于B ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭Q 在R 上单调递减，11231122⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 错误；对于C ，1221log log 313=>Q ，1331log log 212=<，112311log log 32∴>，C 错误；对于D ，13y x =Q 在R 上单调递增，11331123⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎭∴⎝，D 正确.故选：D . 【点睛】本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幂函数的单调性.10．设m r ，n r 均为非零的平面向量，则“存在负数λ，使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论．【详解】因为m r ，n r 均为非零的平面向量，存在负数λ，使得m n λ=r r，所以向量m r ，n r共线且方向相反，所以0m n ⋅<r r，即充分性成立；反之，当向量m r ，n r 的夹角为钝角时，满足0m n ⋅<r r ，但此时m r ，n r不共线且反向，所以必要性不成立．所以“存在负数λ，使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r”的充分不必要条件．故选B ．【点睛】判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p ，定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确． 11．已知x 与y 之间的一组数据：若y 关于x 的线性回归方程为$ 2.10.25y x =-，则m 的值为（） A ．1.5 B ．2.5C ．3.5D ．4.5【答案】D 【解析】【分析】利用表格中的数据，可求解得到 2.5,x =代入回归方程，可得5y =，再结合表格数据，即得解. 【详解】利用表格中数据，可得 2.5,x = 又 2.10.25,5y x y =-∴=，3.24.87.520m ∴+++=．解得 4.5m = 故选：D 【点睛】本题考查了线性回归方程过样本中心点的性质，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.12．设复数z 满足31ii z=+，则z =（）A ．1122i + B ．1122-+i C ．1122i - D ．1122i -- 【答案】D【分析】根据复数运算，即可容易求得结果. 【详解】3(1)1111(1)(1)222i i i i z i i i i ----====--++-.故选：D. 【点睛】本题考查复数的四则运算，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023年天津市河东区高考数学二模试卷+答案解析(附后)

2023年天津市河东区高考数学二模试卷1. 已知集合，，则等于( )A. B. C. D.2. 设，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件3. 函数的大致图象是( )A. B.C. D.4. 为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据单位：的分组区间为将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A. 8B. 12C. 16D. 185. 已知奇函数在R上是增函数．若，，，则a，b，c的大小关系为 ( )A. B. C. D.6. 已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，，则此球的表面积等于( )A. B. C. D.7. 已知函数的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则是减函数的区间为( )A. B. C. D.8. 已知双曲线的左焦点为F，以OF为直径的圆与双曲线C的渐近线交于不同于原点O的A，B两点.若四边形AOBF的面积为，则双曲线C的渐近线方程为( )A. B. C. D.9. 已知函数且在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是( )A. B. C. D.10. i是虚数单位，数，则______ .11. 在的二项展开式中，x的系数为__________用数字作答12. 已知圆C的圆心在直线上，且与直线l：相切于点，则圆C被直线截得的弦长为______ .13. 现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为X，则______ ，______ .14. 已知实数，，，则的最小值是__________.15. 如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，则m的值为______ ；若的面积为，的最小值为______ .16. 中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，，求边a及的值；求的值.17. 如图，且，，且，且，平面ABCD，若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：平面CDE；求平面EBC与平面BCF的夹角的正弦值；若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为，求线段DP的长.18.设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，，分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点的直线l与椭圆C交于M，N 两点.求椭圆C的方程：若，求直线l的方程：已知直线l斜率存在，若AB是椭圆C经过原点O的弦，且，求证：为定值.19. 已知等比数列的公比，且满足，，数列的前n 项和，求数列和的通项公式；设，求数列的前2n项和20. 已知函数，若，求曲线在点处的切线方程；当时，求函数的单调区间和极值；若对于任意都有成立，求实数m的取值范围.答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查并集及其运算，解题时要认真审题，属于基础题.先求出集合A，B，由此利用并集的定义能求出的值．【解答】解：集合，，故选2.【答案】A【解析】解：解之得：，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：先解出不等式，根据集合的包含关系，判断充要性．本题考查充要性，以及集合的包含关系，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：函数，定义域为，，是奇函数，图象关于原点对称，排除A，C；当时，，当时，，当时，，排除故选：根据的对称性，函数值的符号进行判断．本题考查了函数图象判断，考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查频率分布直方图的性质，属于较易题．结合已知条件和频率分布直方图求出志愿者的总人数，进而求出第三组的总人数，由此能求出结果．【解答】解：志愿者的总人数为，第3组的人数为，有疗效的人数为故选5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题．根据奇函数在R上是增函数，化简a、b、c，进而可得出a，b，c的大小．【解答】解：奇函数在R上是增函数，，，，又，，即故选：6.【答案】A【解析】【分析】本题考查三棱柱的体积及三棱柱的棱长与外接球的半径之间的关系，及球的表面积公式，属于中档题．由，，可得三角形ABC的面积及外接圆的半径，再由三棱柱的侧棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，可得外接球的半径，进而求出外接球的表面积．【解答】解：由，，，由余弦定理可得，所以，所以，所以可得，设三角形ABC的外接圆的半径为r，所以，因为三棱柱的侧棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，设外接球的半径为R，则，所以外接球的表面积，故答案选：7.【答案】B【解析】解：已知函数的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，则的周期为，则，即，则，则，令，，则，，即函数的减区间为，，当时，，即选项B正确；显然，，不是，的子集，即选项A、C、D错误．故选：由两角和与差的三角函数，结合三角函数图象的变换及三角函数的性质求解即可．本题考查了两角和与差的三角函数，重点考查了三角函数图象的变换及三角函数的性质，属基础题．8.【答案】D【解析】解：由题意得，双曲线C的焦点F到C的一条渐近线的距离为，则，，即，，故双曲线C的渐近线方程为故选：利用点到直线的距离以及三角形的面积公式结合已知条件求解，即可得出答案．本题考查双曲线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了方程的解的个数问题，以及参数的取值范围，考查了学生的分析问题和解决问题的能力，以及数形结合的思想．根据分段函数的单调性判断出a的大致范围，再利用函数的图象，推出a的范围．【解答】解：函数在R上单调递减，则：，解得；在同一直角坐标系中，画出函数和函数的图象，如下图：由图象可知，在上，有且仅有一个解，故在上，有且仅有一个解，当即时，联立，即，，则，解得或舍去，当时，方程可化为，符合题意；当即时，由图象可知，符合条件，综上：a的取值范围为，故选：10.【答案】【解析】解：，所以，故答案为：根据复数的除法运算和共轭复数的概念求解．本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．11.【答案】【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．写出展开式的通项公式，再令x的幂指数等于1，求得r的值，即可求得x的系数．【解答】解：的二项展开式的通项公式为，令，解得，故x的系数为，故答案为：12.【答案】8【解析】解：设圆心坐标为，则，由圆的几何性质可得，直线l的斜率为1，则，解得，则圆心为，圆C的半径为，所以圆C的方程为，圆心C到直线的距离为，因此所求弦长为故答案为：设圆心坐标为，根据圆的几何性质可知，直线PC与直线l垂直，可求得a的值，进而可求得圆的方程，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得结果．本题考查直线与圆的位置关系，圆的弦长公式的应用，属中档题．13.【答案】【解析】解：从写有数字1，2，2，3，4，5，6的7张卡片中任取3张共有种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有种，所以，由已知可得，，，所以故答案为：利用古典概型概率公式求，由条件求X分布列，再由期望公式求其期望．本题考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于基础题．14.【答案】【解析】【分析】本题考查了利用基本不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．由题意可得，则，再由基本不等式可得结果.【解答】解：由，，得，又，得，则，当且仅当时，即，时，取等号.故答案为：15.【答案】【解析】解：，，，又，P，D三点共线，，，，两边平方得：，由于的面积为，，，即，当且仅当时，等号成立，的最小值为故答案为：；将表示为，的线性组合，由C，P，D三点共线知系数和为1，可解得m的值，对两边平方，再结合基本不等式即可求出的最小值．本题主要考查了平面向量的线性运算，考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．16.【答案】解：因为，，可得，由，可得，由，得，，由余弦定理，可得，由正弦定理，可得；在中，，由可知：，由于，，所以，，所以【解析】本题考查三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理以及三角函数恒等变换的应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．利用同角三角函数基本关系式可求的值，根据三角形的面积公式可求bc的值，结合，可得b，c的值，进而利用余弦定理可求a的值，利用正弦定理可求的值；由可求，利用诱导公式，二倍角公式可求，的值，进而根据两角差的余弦公式即可求解．17.【答案】证明：依题意，以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．可得，，，，，，，，设为平面CDE的法向量，则，不妨令，可得；又，可得又直线平面CDE，平面CDE；解：依题意，可得，，设为平面BCE的法向量，则，不妨令，可得设为平面BCF的法向量，则，不妨令，可得因此有，，于是，二面角的正弦值为；解：设线段DP的长为h，，则点P的坐标为，可得，而为平面ADGE的一个法向量，故，由题意，可得，解得线段DP的长为【解析】依题意，以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．求出对应点的坐标，求出平面CDE的法向量及，由，结合直线平面CDE，可得平面CDE；分别求出平面BCE与平面平面BCF的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的正弦值；设线段DP的长为h，，则点P的坐标为，求出，而为平面ADGE的一个法向量，由直线BP与平面ADGE所成的角为，可得线段DP的长．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，属中档题．18.【答案】解：抛物线的焦点为，由题意得，解得，所以椭圆C的方程为由可得，由题意知，直线l与椭圆必相交，当直线斜率k不存在时，由，解得或，不妨令，则，不合题意；当直线斜率存在时，设直线，设，，联立，消去y整理得，所以，则，解得，所以直线方程为或证明：由可得，设直线AB：，设，，联立，消去y得，所以，所以，所以，即为定值．【解析】首先求出抛物线的焦点坐标，依题意可得，解得a，即可求出椭圆方程；分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率不存在时，直接求出M、N的坐标，即可判断；当直线k存在时，设直线，，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，由，得到方程，求出k的值，即可求出直线方程；由弦长公式表示出，设直线AB：，，，联立求出、，即可表示，代入即可得证．本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系中的定值问题，属于中档题．19.【答案】解：依题意，由，，可得，解得，，，，对于数列：当时，，当时，，当时，也满足上式，，由题意及，可知当n为奇数时，，当n为偶数时，，令…，…，则……，……，…，两式相减，可得…，…，，，，………【解析】本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的运算，以及数列求和问题．考查了方程思想，分类讨论思想，转化与化归能力，整体思想，裂项相消法和错位相减法求和，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属于较难题．本题第题根据题干已知条件可列出关于首项与公比q的方程组，解出与q的值，即可计算出数列的通项公式，再根据公式进行计算可得数列的通项公式；第题先分n为奇数和n为偶数分别计算出数列的通项公式，在求前2n项和时，对奇数项运用裂项相消法求和，对偶数项运用错位相减法求和，最后相加进行计算即可得到前2n项和20.【答案】解：，，，则 (3)所以在点处的切线方程为即 (5)因为，所以， (6)①当时，因为，所以，函数的单调增区间是，无单调减区间，无极值 (7)②当时，令，解得，当时，；当，，所以函数的单调减区间是，单调增区间是， (9)在区间上的极小值为，无极大值． (10)因为对于任意，都有成立，所以，即问题转化为对于恒成立，即对于恒成立， (11)令，则，令，，则，所以在区间上单调递增，故，进而， (13)所以在区间上单调递增，函数， (15)要使对于恒成立，只要，所以，即实数m的取值范围是 (16)【解析】求出函数的导数，求出切线的斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程．求出导数通过①当时，②当时，判断导函数的符号，判断函数的单调性求解函数的极值即可．题目化为，问题转化为对于恒成立，即对于恒成立，构造函数，求出导函数，令，，利用导函数求解最小值，推出，在区间上单调递增，然后求解最大值推出结果即可．本题考查函数的导数的应用，二次导数的应用，构造法以及转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力，是难题．。

2023年天津市部分区高考数学二模试卷+答案解析(附后)

2023年天津市部分区高考数学二模试卷1. 设全集，集合，，则( )A. B. C. D.2. “”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数的图象大致为( )A. B.C. D.4. 已知，则( )A.3 B. 5 C. D.5. 设，则a，b，c的大小关系为( )A. B. C. D.6. 红薯于1593年被商人陈振龙引入中国，也叫甘薯、番薯等，因其生食多汁、熟食如蜜，成为人们喜爱的美食甜点.敦敦和融融在步行街买了一根香气扑鼻的烤红薯，准备分着吃.如图，该红薯可近似看作三个部分：左边部分是半径为R的半球；中间部分是底面半径是为R、高为2R的圆柱；右边部分是底面半径为R、高为R的圆锥，若敦敦准备从中间部分的A 处将红薯切成两块，则两块红薯体积差的绝对值为( )A. B. C. D.7. 若函数在区间上具有单调性，则的最大值是( )A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知双曲线的离心率为2，抛物线的焦点为F，过F 过直线l交抛物线于A，B两点，若l与双曲线的一条渐近线平行，则( )A. 16B.C. 8D.9. 设函数，当时，与的图象所有交点的横坐标之和为( )A. 4051B. 4049C. 2025D. 202310. i是虚数单位，复数______ .11. 展开式中的常数项等于______ .12. 经过点，，的圆的方程为______ .13. 某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行5个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲第一轮通过的概率为______ ；甲5个轮次通过的次数X的期望是______ .14. 已知实数x，y满足，则的最小值为______ .15. 在中，，角A为锐角，且向量在向量上的投影向量的模是3，则______ ；若，则函数的最小值为______ .16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，已知，，求b的值；求的值；求的值.17. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，，求证：；求直线EC与平面ACF所成角的正弦值；在线段DE上是否存在点G，使得直线BG与AD所成角的余弦值为，若存在，求出点G 到平面ACF的距离，若不存在，请说明理由.18. 已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，离心率为，且求椭圆的方程；过点A作斜率为的直线与椭圆交于另一点B，C是y轴上一点，且满足，若直线BC的斜率为，求直线AB的方程.19.已知为等差数列，数列满足，且，，求和的通项公式；若，求数列的前2n项和；设的前n项和为，证明：20. 已知a，，函数当，时，求的单调区间；当时，设的导函数为，若恒成立，求证：存在，使得；设，，若存在，，使得，证明：答案和解析1.【答案】B【解析】解：全集，集合，，，，故选：根据补集和交集的定义，计算即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.【答案】A【解析】解：即，即，因为能推出，而不能推出，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：根据充分不必要条件的定义求解．本题考查充分不必要条件的判断，考查不等式的应用，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：函数是奇函数，排除A、B，当时，，排除故选：利用函数的奇偶性排除选项，结合特殊值对应的点，即可得到结果．本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊值，是常用方法，是基础题．4.【答案】A【解析】解：，，则故选：利用指数式与对数式的互化，将x表示出来计算即可．本题考查指数式与对数式的互化，考查对数的运算，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：因为函数在R上单调递减，且，所以，即，所以，又因为，所以，所以故选：利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．6.【答案】A【解析】解：由题意可知两块红薯体积差的绝对值为：故选：由球和圆柱、圆锥的体积公式能求出两块红薯体积差的绝对值．本题考查球和圆柱、圆锥的体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7.【答案】B【解析】解：因为，所以，若函数在区间上具有单调性，则，，所以，，又，解得的最大值为故选：由，得，若函数在区间上具有单调性，则，，即可得出答案．本题考查三角函数的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：依题意，双曲线的离心率为2，可得，，双曲线的一条渐近线的斜率为：，抛物线的焦点F的坐标为，设直线l的方程为，联立方程组，消去y并整理得：，设，，则，，则故选：利用双曲线的离心率，求解渐近线的斜率，然后求解直线方程，代入抛物线方程，求解解得的横坐标，利用抛物线的性质，转化求解即可．本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的应用，双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．9.【答案】B【解析】解：易知函数与函数均关于直线对称，作出函数与函数的部分图象如下，函数的周期为2，由图象可知，在一个周期内，函数与函数的图象有2个交点，则在区间上共有个交点，又在上有1个交点，在上有一个交点，则在共有2024个交点，由对称性可知，在上也有2024个交点，故两函数在的交点的横坐标之和为，注意还有一个交点的横坐标为1，则所有的横坐标之和为故选：作出函数与函数的图象，结合图象可知两函数在的交点的横坐标之和为，再加上1即可得解．本题考查函数性质的综合运用，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．10.【答案】【解析】解：故答案为：根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．11.【答案】180【解析】解：展开式的通项公式为：，令，解得展开式中常数项为故答案为：根据二项式的展开式的通项公式，求出展开式中常数项．本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．12.【答案】【解析】解：设，，，则线段OA的垂直平分线方程为，OB 的中点坐标为，，则线段OB的垂直平分线方程为，即联立，解得，即所求圆的圆心坐标为，半径为则所求圆的方程为故答案为：由已知求得圆心坐标，进一步求解圆的半径，则圆的方程可求．本题考查圆的方程的求法，是基础题．13.【答案】【解析】解：由题意可得甲第一轮通过的概率为；又由题意可得，则故答案为：；由离散型随机变量的期望的求法，结合二项分布求解即可．本题考查了离散型随机变量的期望的求法，重点考查了二项分布，属基础题．14.【答案】【解析】解：，设，，，，，其中，的最小值为故答案为：根据条件得出，然后设，，从而得出，，然后根据二倍角的正弦和余弦公式可得出，然后根据辅助角公式即可求出的最小值．本题考查了，二倍角的正余弦公式，辅助角公式，正弦函数的最小值，考查了计算能力，属于中档题．15.【答案】【解析】解：中，，角A为锐角，且向量在向量上的投影向量的模是，所以，所以；设，，，；若，则函数，如图所示：作点D关于AB的对称点，连接，则，当点P在上时取“=”，又，所以，所以，即的最小值为故答案为：；根据投影向量的模长求出，再根据A是锐角求出A，设，，，把函数化为，结合图形作点D关于AB的对称点，得出，由此求出的最小值．本题考查了平面向量的运算问题，也考查了转化思想，是难题．16.【答案】解：因为，所以由正弦定理，可得，又，，所以由余弦定理，可得，解得或舍去；由可得，又，所以由正弦定理，可得；因为，A为锐角，，可得，所以，，所以【解析】由正弦定理化简已知等式可得，进而利用余弦定理即可解得b的值；由可求得a的值，利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而利用正弦定理即可求解的值；利用同角三角函数基本关系式可求得的值，利用二倍角公式可求，的值，进而利用两角和的正弦公式即可求解的值．本题考查了正弦定理，余弦定理以及三角函数恒等变换在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17.【答案】解：依题意，以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，，，，，，，证明：，，所以，所以，所以依题意可得，，设为平面ACF的法向量，则，设，可得，因为，设直线EC与平面ACF所成角为，则，，所以直线EC与平面ACF所成角的正弦值为设线段DE上存在一点，使得BG与AD所成角的余弦值为，则，又，所以，，解得，所以存在满足条件，所以，所以由可知平面ACF的一个法向量，所以点G到平面ACF的距离为【解析】依题意，以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，计算，即可得出答案．设为平面ACF的法向量，则，解得的坐标，设直线EC与平面ACF所成角为，则，，即可得出答案．设线段DE上存在一点，使得BG与AD所成角的余弦值为，则，，解得h，进而可得点G到平面ACF的距离为本题考查直线与直线的位置关系，点到平面的距离，解题中需要理清思路，属于中档题．18.【答案】解：设椭圆左焦点，依题意，，，解得，，，则椭圆方程为：；设直线AB的方程为联立，消去y，得设，，，，，则，由，，直线FC的方程为，令，，，，即，解得，，，或，直线AB的方程为或【解析】由已知列关于a，c的方程组，求得a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；设直线AB的方程为联立方程组可得，，可求B的坐标，进而可得C的坐标，进而可得，求解即可．本题考查椭圆方程的求法，考查运算求解能力，属中档题．19.【答案】解：由，可得是公比为2的等比数列；设等差数列的公差为d，由，，可得，，又，解得，，则，；，则数列的前2n项和为，设，可得；设，则，两式相减可得，化简可得，所以数列的前2n项和为证明：，可得，由柯西不等式可得，则【解析】由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公差、公比，进而得到所求；由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，数列的错位相减法求和，可得所求和；由数列的裂项相消求和与柯西不等式、不等式的性质，即可得证．本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的错位相减法求和、裂项相消求和与分组求和，考查转化思想、方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．20.【答案】解：当，时，，所以，令，解得，令，解得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为证明：当，时，，，当时，，所以不等式恒成立，当时，，取，则，，所以当恒成立时，存在，使得证明：设时，则由，得，设，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以，即，所以，设，则，所以当时，，则，所以，所以，由可得，化简的，所以【解析】当，时，，求导分析得符号，进而可得的单调性．当，时，，求导可得，分两种情况：当时，当时，讨论是否存在，使得，即可得出答案．设时，则由得，设，求导分析单调性，可得，则设，求导分析单调性，可得，则，由可得，化简即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．。

2020届天津市河东区高三第二次模拟考试数学模拟试题(文)有答案(加精)

河东区高考二模考试数学试卷（文史类）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数i t z +=21,i z 212-=,若21z z 为实数,则实数t 的值是( ) A ．41-B ．-1C ．41D ．1 2. 设集合}01{2<-=x x A ,},2{A x y y B x∈==,则=B A I ( ) A ．(0,1) B ．(-1,2) C ．),1(+∞- D ．)1,21(3. 已知函数⎩⎨⎧<≥•=-0,20,2)(x x a x f x x (R a ∈).若1)]1([=-f f ,则=a ( )A ．41 B ．21C ．2D ． 1 4. 若a ,R b ∈，直线l :b ax y +=,圆C :122=+y x .命题p :直线l 与圆C 相交；命题q ：12->b a .则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5. 为丰富少儿文体活动，某学校从篮球，足球，排球，橄榄球中任选2种球给甲班学生使用，剩余的2种球给乙班学生使用，则篮球和足球不在同一班的概率是( ) A ．31 B ．21 C. 32 D ．65 6. 已知抛物线x y 82=的准线与双曲线116222=-y a x 相交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，ABF ∆为直角三角形，则双曲线的离心率为( )A ．3B ．12+ C.2 D ．37. 若数列}{n a ，}{n b 的通项公式分别为a a n n •-=+2016)1(，nb n n 2017)1(2+-+=，且n n b a <，对任意*∈Nn 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．)21,1[- B ．[-1,1） C.[-2,1) D ．)23,2[-8. 已知函数⎩⎨⎧≤++<+=ax x x ax x x f ,25,2)(2，若函数x x f x g 2)()(-=恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[-1,1)B ．[-1,2) C. [-2,2) D ．[0,2]第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.函数xe x xf )3()(-=的单调递增区间为．10.执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b 值分别为0和9，则输出的i 值为．11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．12.已知0>a ，0>b ，且42=+b a ，则ab1的最小值是． 13.已知0>ω，在函数x y ωsin =与x y ωcos =的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为3，则ω值为．14.如图，已知ABC ∆中，点M 在线段AC 上，点P 在线段BM 上，且满足2==PBMPMC AM ，2=AB ，3=AC ，︒=∠120BAC ，则•的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利分别为100%和50%，可能的最大亏损分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.投资人对甲乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？最大盈利额为多少？16. 在ABC∆中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知2)4tan(=+Aπ.（Ⅰ）求)32cos(π+A的值；（Ⅱ）若4π=B，3=a，求ABC∆的面积.17. 如图，在四棱锥ABCDP-中，⊥PA平面ABCD，BCAD//，且，3===ACADAB，4==BCPA，M为线段AD上一点，MDAM2=，且N为PC的中点.（Ⅰ）证明：//MN平面PAB；（Ⅱ）求证：平面⊥PMC平面PAD；（Ⅲ）求直线AN与平面PMC所成角的正弦值.18. 已知数列}{na的前n项和nnSn832+=，}{nb是等差数列，且1++=nnnbba.（Ⅰ）求数列}{nb的通项公式；（Ⅱ）令nnnnn bac)2()1(1++=+，求数列}{nc的前n项和nT.19. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：)0(12222>>=+babyax的离心率为23，直线xy=被椭圆C截得的线段长为5104.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点），点D 在椭圆C 上，且AB AD ⊥.直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点.设直线BD ，AM 的斜率分别为1k ，2k ，证明存在常数λ使得21k k λ=，并求出λ的值. 20.选修4-4：坐标系与参数方程设函数xmx x f +=ln )(，R m ∈. （Ⅰ）当e m =时，求函数)(x f 的极小值；（Ⅱ）讨论函数3)()(xx f x g -'=零点的个数；（Ⅲ）若对任意的0>>a b ，1)()(<--ab b f a f 恒成立，求m 的取值范围.河东区高考二模考试数学试卷（文史类）参考答案一、选择题1-5:ADABC 6-8:ADB二、填空题9. ),2(+∞ 10.3 11.335 12. 2113. π 14.-2 三、解答题15.解：设甲、乙两个项目的投资分别为x 万元，y 万元，利润为z （万元），由题意有：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+,0,0,8.11.03.0,10y x y x y x即⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+,0,0,8.113,10yxyxyxyxz5.0+=.作出不等式组的平面区域：当直线zxy22+-=过点M时，纵横距最大，这时z也取得最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+18310yxyx.得4=x，6=y，即)6,4(M.765.041=⨯+⨯=z.故投资人投资甲项目4万元，投资乙项目6万元，可能的盈利最大，最大盈利7万元.16.解：（Ⅰ）∵2)4tan(=+Aπ，则2tan4tan1tan4tan=-+AAππ，∴31tan=A.∵A为三角形内角，则),0(π∈A，则1010sin=A，10103cos=A，∴53cossin22sin==AAA，541cos22cos2=-=AA，∴3cos2cos)32cos(ππAA=+1010343sin2sin-=-πA.（Ⅱ）由正弦定理可知，AaBbsinsin=∴53=b.∵BABAC cossin)sin(sin=+=552sincos=+BA.∴9sin21==CabS.17.解：（1）取PB，BC中点E，F，连EN，AE，AF，由N为PC中点，所以BCEN//，且221==BCEN.由MDAM2=，3=AC，则2=AM，又BCAD//，则AMEN//.所以四边形ENMA为平行四边形，所以AEMN//，且⊂AE面PAB，⊄MN面PAB，则//MN面PAB. （2）∵ACAB=，∴BCAF⊥，又FCAM//，2==FCAM所以四边形AFCM为平行四边形，故AD CM ⊥.又∵⊥PA 面ABCD .⊂CM 面ABCD ，∴⊥CM PA .又A PA AD =I ，所以⊥CM 面PAD ，∵⊂CM 面ABCD ，∴面⊥PMC 面PAD .（3）过A 作PM AG ⊥，垂足为G .由（2）知面⊥PMC 面PAD ，面I PMC 面PAD PM =，⊂AG 面PAD ，∴⊥AG 面PMC ，连接AN ，GN .则GN 为AN 在平面PMC 上的射影，∴ANG ∠为AN 与平面PMC 所成角. ANG Rt ∆中==PC AN 21252122=+AC PA ， 55422=+•=AM PA AM PA AG ，2558sin ==∠AN AG ANG ， ∴AN 与平面PMC 所成角正弦值为2558.18. 解：（Ⅰ）由题知，当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ；当1=n 时，1111==S a ，符合上式. 所以56+=n a n .设数列}{n b 的公差d ，由⎩⎨⎧+=+=,,322211b b a b b a 即为⎩⎨⎧+=+=,3217,21111d b d b ，解得41=b ，3=d ，所以13+=n b n .（Ⅱ）112)1(3)33()66(+++=++=n nn n n n n c ，n n c c c T +++=...21，则 +⨯+⨯⨯=322322[3n T ]2)1(...1+⨯++n n ， +⨯+⨯⨯=432322[32n T ]2)1(...2+⨯++n n ，两式作差，得+++⨯⨯=-4322222[3n T ]2)1(2...21++⨯+-+n n n]2)1(21)21(44[32+⨯+---+⨯=n n n223+•-=n n .所以223+•=n n n T .19. 解：（Ⅰ）∵23=e ，∴23=a c ，4322222=-=a b a a c ，∴224b a =.①设直线x y =与椭圆C 交于P ，Q 两点，不妨设点P 为第一象限内的交点.∴5104=PQ ，∴)552,552(P 代入椭圆方程可得222245b a b a =+.② 由①②知42=a ，12=b ，所以椭圆的方程为：1422=+y x . （Ⅱ）设)0)(,(1111≠y x y x A ),(22y x D ，则),(11y x B --，直线AB 的斜率为11x y k AB =，又AD AB ⊥，故直线AD 的斜率为11x y k -=.设直线AD 的方程为m kx y +=，由题知 0≠k ，0≠m 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y ，得mkx x k 8)41(22++0442=-+m . ∴221418k mk x x +=+，)(2121x x k y y +=+24122km m +=+，由题意知021≠+x x ， ∴1121211441x y k x x y y k =-=++=，直线BD 的方程为)(41111x x x y y y +=+.令0=y ，得13x x =，即)0,3(1x M ，可得=2k 112x y -，∴2121k k -=，即21-=λ. 因此存在常数21-=λ使得结论成立. 20. 解：（1）由题设，当e m =时，xex x f +=ln )(，易得函数)(x f 的定义域为),0(+∞， 221)(xex x e x x f -=-='.∴当),0(e x ∈时，0)(<'x f ，)(x f 在),0(e 上单调递减； ∴当),(+∞∈e x 时，0)(>'x f ，)(x f 在),(+∞e 上单调递增；所以当e x =时，)(x f 取得极小值2ln )(=+=eee ef ，所以)(x f 的极小值为2. （2）函数=-'=3)()(x x f xg 312x x m x --)0(>x ，令0)(=x g ，得x x m +-=231)0(>x . 设)0(31)(2≥+-=x x x x ϕ，则=+-='1)(2x x ϕ)1)(1(+--x x . ∴当)1,0(∈x 时，0)(>'x ϕ，)(x ϕ在（0,1）上单调递增； ∴当),1(+∞∈x 时，0)(<'x ϕ，)(x ϕ在),1(+∞上单调递减；所以)(x ϕ的最大值为32131)1(=+-=ϕ，又0)0(=ϕ，可知：①当32>m 时，函数)(x g 没有零点； ②当32=m 时，函数)(x g 有且仅有1个零点； ③当320<<m 时，函数)(x g 有2个零点； ④当0≤m 时，函数)(x g 有且只有1个零点. 综上所述：当32>m 时，函数)(x g 没有零点；当32=m 或0≤m 时，函数)(x g 有且仅有1个零点；当320<<m 时，函数)(x g 有2个零点. （3）对任意0>>a b ，1)()(<--ab a f b f 恒成立，等价于a a f b b f -<-)()(恒成立. )(*.设=-=x x f x h )()()0(ln >-+x x xmx ，∴)(*等价于)(x h 在),0(+∞上单调递减. ∴011)(2≤--='xmx x h 在),0(+∞上恒成立， ∴=+-≥x x m 241)21(2+--x )0(>x 恒成立， ∴41≥m （对41=m ，0)(='x h 仅在21=x 时成立）.∴m 的取值范围是),41[+∞.。

2020年天津市河东区高考数学二模试卷(文科)含答案解析

2020年天津市河东区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.1．i是虚数单位，已知=bi+1，则a+b为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．1﹣i2．执行如图所示的程序框图，则S的值为（）A．55 B．65 C．36 D．783．已知双曲线的一个焦点为F1（5，0），它的渐近线方程为y=±x，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．4．已知函数f（x）=lnx与g（x）=，则它们的图象交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．不确定5．“a=2“是“点P（2，0）不在圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0外”的什么条件（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件6．下列选项中为函数f（x）=cos（2x﹣）sin2x﹣的对称中心为（）A．B．C．D．7．如图所示，在三角形ABC中，AD⊥BC，AD=1，BC=4，点E为AC的中点，=，则AB的长度为（）A．2 B．C．D．8．已知f（c）=（c﹣a）（c﹣b），其中a+b=1﹣c且c≥0，a≥0，b≥0．则f（c）的取值范围为（）A．[﹣，1]B．[0，1]C．[0，]D．[﹣，1]二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）9．集合A={a+3，log2（a+1）}，B={1，b}，A=B，则b=．10．从1、2、3、4、5中不重复的随机选取两个数，它们的和为奇数的概率为．11．已知函数f（x）为偶函数，且f（x）=x2﹣（x＞0），则f′（﹣1）=．12．如图所示，一款儿童玩具的三视图中俯视图是以3为半径的圆，则该儿童玩具的体积为．13．如图所示，圆O上的弦AB不为直径，DA切圆O于点A，点E在BA的延长线上且DE∥AC，点C为BD与圆交点，若AE=3，DE=6，CD=2，则AD=．14．已知函数f（x）=|x﹣a|+a，g（x）=4﹣x2，若存在x∈R使g（x）≥f（x），则a的取值范围是．三、解答题：（本大题6个题，共80分）15．某企业生产A、B两种产品，它们的原料中均含甲、乙两种溶液，生产每件产品所需两种溶液的剂量如下表所示：单位：升 A B甲 4 2乙 1 5生产产品A和B每件分别获得利润2万元、3万元，现只有甲、乙两种溶液各60升，该企业有三种生产方案，方案一：只生产A．方案二：只生产B．方案三：按一定比例生产A、B实现利润最大化．（1）方案一和方案二中哪种方案利润较高；（2）按照方案三生产，则产品A、B各生产多少件，最大利润为多少，判断方案三是否优于方案一和方案二．16．设△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知=（Ⅰ）求角B（Ⅱ）若b=3，cosA=，求△ABC的面积．17．如图四棱锥P﹣ABCD，三角形ABC为正三角形，边长为2，AD⊥DC，AD=1，PO垂直于平面ABCD于O，O为AC的中点．（1）证明PA⊥BO；（2）证明DO∥平面PAB；（3）若PD=，直线PD与平面PAC所成角的正切值．18．椭圆C：=1（a＞b＞0）的右顶点为Q，O为坐标原点，过OQ的中点作x轴的垂线与椭圆在第一象限交于点A，点A的纵坐标为c，c为半焦距．（1）求椭圆的离心率；（2）过点A斜率为的直线l与椭圆交于另一点B，以AB为直径的圆过点P（，），求椭圆方程．19．已知数列{a n}的前n项和S n，数列{b n}为等差数列，b1=1，b n＞0（n≥2），b2S n+a n=2且3a2=2a3+a1（1）求{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n=，T n=，证明：T n＜．20．已知函数f（x）=ae x x﹣2ae x﹣x2+x．（1）求函数f（x）在（2，f（2））处切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）对任意x1，x2∈[0，1]，f（x2）﹣f（x1）≤a+1恒成立，求a的范围．2020年天津市河东区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.1．i是虚数单位，已知=bi+1，则a+b为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：由==bi+1，得a=1，b=﹣1，∴a+b=0．故选：B．2．执行如图所示的程序框图，则S的值为（）A．55 B．65 C．36 D．78【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的a，S，i的值，当i=13时不满足条件i ≤12，退出循环，输出S的值为78，从而得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=0，i=1，S=0执行循环体，a=3，S=3，i=3满足条件i≤12，执行循环体，a=7，S=10，i=5满足条件i≤12，执行循环体，a=11，S=21，i=7满足条件i≤12，执行循环体，a=15，S=36，i=9满足条件i≤12，执行循环体，a=19，S=55，i=11满足条件i≤12，执行循环体，a=23，S=78，i=13不满足条件i≤12，退出循环，输出S的值为78．故选：D．3．已知双曲线的一个焦点为F1（5，0），它的渐近线方程为y=±x，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的渐近线方程，利用待定系数法进行求解即可．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y=±x，即，∴对应的双曲线方程为，∵双曲线的一个焦点为F1（5，0），∴c=5，且λ＞0，则﹣=1，则a2=9λ，b2=16λ，则c2=9λ+16λ=25λ=25，则λ=1，即双曲线的方程为，故选：C4．已知函数f（x）=lnx与g（x）=，则它们的图象交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．不确定【考点】函数的图象．【分析】令h（x）=lnx﹣，判断h（x）的单调性并计算h（x）的极值，根据极值与0的大小关系判断h（x）的零点个数，得出答案．【解答】解：令h（x）=lnx﹣，则h′（x）=．∴当0＜x＜e时，h′（x）＞0，当x＞e时，h′（x）＜0．∴当x=e时，h（x）取得最大值h（e）=0．∴h（x）=lnx﹣只有一个零点，即f（x）与g（x）的图象只有1个交点，故选：B．5．“a=2“是“点P（2，0）不在圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0外”的什么条件（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】点P（2，0）不在圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0外，则≤4，解出即可判断出结论．【解答】解：圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0配方化为：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4，若点P（2，0）不在圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0外，则≤4，解得≤a≤2+2，∴“a=2“是“点P（2，0）不在圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0外”的充分不必要条件．故选：A．6．下列选项中为函数f（x）=cos（2x﹣）sin2x﹣的对称中心为（）A．B．C．D．【考点】余弦函数的图象．【分析】利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的对称中心．【解答】解：函数f（x）=cos（2x﹣）sin2x﹣=[cos2x+sin2x]sin2x﹣=sin2xcos2x+sin22x﹣sin4x+•﹣=sin（4x﹣），令4x﹣=kπ，求得x=+，可得函数的对称中心为（+，0），k∈Z，当k=1时，函数的对称中心为．故选：D．7．如图所示，在三角形ABC中，AD⊥BC，AD=1，BC=4，点E为AC的中点，=，则AB的长度为（）A．2 B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可以D为坐标原点，BC，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，并设BD=x，从而CD=4﹣x，这样便可写出图形上各点的坐标，从而可求出向量的坐标，根据进行向量数量积的坐标运算便可建立关于x的方程，解出x，从而得出点B的坐标，从而便可得出AB的长度．【解答】解：以D为原点，分别以BC，AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，设BD=x，CD=4﹣x，则：D（0，0），A（0，﹣1），B（﹣x，0），C（4﹣x，0），E（）；∴；∴；∵x＞0，∴解得x=1；∴B（﹣1，0），又A（0，﹣1）；∴．故选：C．8．已知f（c）=（c﹣a）（c﹣b），其中a+b=1﹣c且c≥0，a≥0，b≥0．则f（c）的取值范围为（）A．[﹣，1]B．[0，1]C．[0，]D．[﹣，1]【考点】函数的值域．【分析】由f（c）=（c﹣a）（c﹣b）=c2﹣（a+b）c+ab，缩小后利用配方法求得f（c）的最小值；然后再由基本不等式放大，再由配方法求得f（c）的最大值．【解答】解：f（c）=（c﹣a）（c﹣b）=c2﹣（a+b）c+ab≥c2﹣c（a+b）=c2﹣c（1﹣c）=，当c=，a=0，b=时，f（c）=，∴f（c）的最小值为﹣；又f（c）=c2﹣（1﹣c）c+ab===，由0≤c=1﹣a﹣b≤1，得当c=1时，f（c）有最大值为1．∴f（c）的取值范围为[]．故选：A．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）9．集合A={a+3，log2（a+1）}，B={1，b}，A=B，则b=4．【考点】集合的相等．【分析】由A=B，可得或，解出即可得出．【解答】解：∵A=B，∴或，解得a=﹣2（舍去），或a=1，b=4．故答案为：4．10．从1、2、3、4、5中不重复的随机选取两个数，它们的和为奇数的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】从1、2、3、4、5中不重复的随机选取两个数，求出基本事件总数，再求出它们的和为奇数包含的基本事件个数，由此能求出它们的和为奇数的概率．【解答】解：从1、2、3、4、5中不重复的随机选取两个数，基本事件总数n==10，它们的和为奇数包含的基本事件个数m==6，∴它们的和为奇数的概率为p===．故答案为：．11．已知函数f（x）为偶函数，且f（x）=x2﹣（x＞0），则f′（﹣1）=﹣3．【考点】导数的运算；函数奇偶性的性质．【分析】设x＜0，则﹣x＞0．由于f（x）=x2﹣（x＞0），可得f（﹣x）=x2+．因此f （x）=x2+．利用导数的运算法则即可得出．【解答】解：∵设x＜0，则﹣x＞0．∵f（x）=x2﹣（x＞0），∴f（﹣x）=x2+．∴f（x）=x2+．f′（x）=2x﹣，则f′（﹣1）=﹣2﹣1=﹣3．故答案为：﹣3．12．如图所示，一款儿童玩具的三视图中俯视图是以3为半径的圆，则该儿童玩具的体积为54π．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个球，下面是一个圆锥．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个球，下面是一个圆锥．∴该儿童玩具的体积V=×33+×6=54π．故答案为：54π．13．如图所示，圆O上的弦AB不为直径，DA切圆O于点A，点E在BA的延长线上且DE∥AC，点C为BD与圆交点，若AE=3，DE=6，CD=2，则AD=4．【考点】弦切角；与圆有关的比例线段．【分析】利用圆的弦切角定理与平行线的性质可证明△ADE∽△DBE．解得AB，再利用平行线的性质可得BC，利用切线长定理即可得出．【解答】解：∵DA切圆O于点A，∴∠DAC=∠B．∵DE∥AC，∴∠DAC=∠ADE．∴∠ADE=∠B．又∠AED公用，∴△ADE∽△DBE．∴，即=，解得AB=9．由DE∥AC，∴=，∴，解得BC=6．∵DA切圆O于点A，∴AD2=DC•DB=2×（2+6）=16，解得AD=4．故答案为：4．14．已知函数f（x）=|x﹣a|+a，g（x）=4﹣x2，若存在x∈R使g（x）≥f（x），则a的取值范围是．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】通过讨论x的范围结合二次函数的性质得到△≥0，求出a的范围即可．【解答】解：若存在x∈R使g（x）≥f（x），即x2+|x﹣a|+a﹣4≤0有解，x≥a时，x2+x﹣4≤0，显然有解，x＜a时，x2﹣x+2a﹣4≤0，由△=1﹣4（2a﹣4）≥0，解得：a≤，故答案为：．三、解答题：（本大题6个题，共80分）15．某企业生产A、B两种产品，它们的原料中均含甲、乙两种溶液，生产每件产品所需两种溶液的剂量如下表所示：单位：升 A B甲 4 2乙 1 5生产产品A和B每件分别获得利润2万元、3万元，现只有甲、乙两种溶液各60升，该企业有三种生产方案，方案一：只生产A．方案二：只生产B．方案三：按一定比例生产A、B实现利润最大化．（1）方案一和方案二中哪种方案利润较高；（2）按照方案三生产，则产品A、B各生产多少件，最大利润为多少，判断方案三是否优于方案一和方案二．【考点】简单线性规划的应用．【分析】（1）分别求出方案一和方案二中的利润，即可得出结论；（2）产品A、B分别生产x，y件，利润设为z，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．【解答】解：（1）方案1，可生产A共15件，获利为30万元；…方案2，可生产B共12件，获利为36万元，利润较高；…（2）设产品A、B分别生产x，y件，利润设为z…目标函数为z=2x+3y……作出二元一次不等式组的平面区域即可行域直线为随z变化的直线，当直线经过两直线交点时z最大…交点坐标为（10，10）所以z的最大值为50即利润为50万元方案3优于方案1、2．…16．设△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知=（Ⅰ）求角B（Ⅱ）若b=3，cosA=，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简已知等式可得a2﹣b2=ac﹣c2，利用余弦定理可求cosB，又结合范围0＜B＜π，即可求得B的值；（Ⅱ）由已知及同角三角函数关系式可求sinA，结合正弦定理可求a，求得sinC后，即可利用三角形面积公式求解．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以a2﹣b2=ac﹣c2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又因为0＜B＜π，所以B=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由b=3，cosA=可得sinA=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由可得a=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣而sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以△ABC的面积=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣17．如图四棱锥P﹣ABCD，三角形ABC为正三角形，边长为2，AD⊥DC，AD=1，PO垂直于平面ABCD于O，O为AC的中点．（1）证明PA⊥BO；（2）证明DO∥平面PAB；（3）若PD=，直线PD与平面PAC所成角的正切值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）由PO⊥底面ABCD可得PO⊥OB，由正三角形的性质得出AC⊥OB，于是OB⊥平面PAC，故而OB⊥PA；（2）由直角三角形性质可得OD=AO=1，故△AOD为等边三角形，于是∠OAD=∠BAC=60°，故OD∥AB，从而得出DO∥AB，于是OD∥平面PAB；（3）过D做DF垂直AC于F，连接PF，则可证DF⊥平面PAC，于是∠DPF为所求角，计算DF，PF得出tan∠DPF．【解答】证明：（1）∵三角形ABC为正三角形，O为AC的中点．∴BO⊥AC，∵PO⊥平面ABCD，BO⊂平面ABCD，∴BO⊥PO，又PO⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PO∩AC=O，∴BO⊥平面PAC，∵PA⊂平面PAC，∴PA⊥BO．（2）∵AD⊥CD，O是AC的中点，∴OD=AO=AC=1，又AD=1，∴△AOD是等边三角形，又△ABC是等边三角形，∴∠OAD=∠BAC=60°，∴DO∥AB，又AB⊂平面PAB，DO⊄平面PAB，∴DO∥平面PAB．（3）过D做DF垂直AC于F，连接PF．∵PO⊥平面ABCD，DF⊂平面ABCD，∴PO⊥DF，又DO⊥AC，PO⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PO∩AC=O，∴DF⊥平面PAC，∴∠DPF为直线PD与平面PAC所成角．∵CD==，∴DF==，∴PF==，∴tan∠DPF==．即直线PD与平面PAC所成角的正切值为．18．椭圆C：=1（a＞b＞0）的右顶点为Q，O为坐标原点，过OQ的中点作x轴的垂线与椭圆在第一象限交于点A，点A的纵坐标为c，c为半焦距．（1）求椭圆的离心率；（2）过点A斜率为的直线l与椭圆交于另一点B，以AB为直径的圆过点P（，），求椭圆方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知得到A的坐标，代入椭圆方程得到b，c的关系式，结合隐含条件即可求得椭圆的离心率；（2）由离心率得到a，c的关系，写出直线l的方程，与椭圆方程联立，求得B点坐标，由求得c值，则椭圆方程可求．【解答】解：（1）由已知可知椭圆过点，代入方程有，得b2=3c2，又a2=b2+c2，∴a2=4c2，∴；（2）由，得，∴点，直线，联立，解得B（﹣2c，0）．又P（，），由已知，即．得．解得c=2．∴a=4，b2=a2﹣c2=12．∴椭圆方程为．19．已知数列{a n}的前n项和S n，数列{b n}为等差数列，b1=1，b n＞0（n≥2），b2S n+a n=2且3a2=2a3+a1（1）求{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n=，T n=，证明：T n＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用递推关系、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”即可得出．【解答】（1）解：设b n的公差为d，d＞1，b2=﹣1+d，b n=﹣1+d（n﹣1），当n=1时，，当n≥2时，b2S n+a n，①b2S n﹣1+a n﹣1，②由①﹣②得到，，由已知，解为d=2，d=1（舍）．{b n}，{a n}的通项公式分别为n∈N*．（2）证明：，当n≥2时，，设，①，②由①﹣②得到，∴，整理为，∴．20．已知函数f（x）=ae x x﹣2ae x﹣x2+x．（1）求函数f（x）在（2，f（2））处切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）对任意x1，x2∈[0，1]，f（x2）﹣f（x1）≤a+1恒成立，求a的范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程；（2）求出f（x）的导数f′（x）=（x﹣1）（ae x﹣1），对a讨论，分a≤0时，a=时，a＞时，0＜a＜时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0可得减区间；（3）通过讨论a的范围，确定函数在闭区间[0，1]上的单调性，求出f（x）在[0，1]上的最大值和最小值，解关于a的不等式，求出即可．【解答】解：（1）函数f（x）=ae x x﹣2ae x﹣x2+x的导数为：f′（x）=a（e x+xe x）﹣2ae x﹣x+1=（x﹣1）（ae x﹣1），可得f（x）在（2，f（2））处切线斜率为ae2﹣1，切点为（2，0），即有切线的方程为y﹣0=（ae2﹣1）（x﹣2），即为y=（ae2﹣1）（x﹣2）；（2）由f（x）的导数为f′（x）=（x﹣1）（ae x﹣1），①当a=0时，f′（x）=﹣（x﹣1），当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；②当a＜0时，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；③当a＞0时，若a=，则f′（x）=（x﹣1）（e x﹣1﹣1），f（x）在R上递增；若a＞，则f′（x）＞0即为（x﹣1）（x﹣ln）＞0，可得x＞1或x＜ln；f′（x）＜0即为（x﹣1）（x﹣ln）＜0，可得ln＜x＜1；若0＜a＜，则f′（x）＞0即为（x﹣1）（x﹣ln）＞0，可得x＜1或x＞ln；f′（x）＜0即为（x﹣1）（x﹣ln）＜0，可得1＜x＜ln．综上可得，a≤0时，f（x）的增区间为（﹣∞，1），减区间为（1，+∞）；a=时，f（x）的增区间为R；a＞时，f（x）的增区间为（1，+∞），（﹣∞，ln），减区间为（ln，1）；0＜a＜时，f（x）的增区间为（ln，+∞），（﹣∞，1），减区间为（1，ln）；（3）由（2）得：①a≤0时，f（x）在[0，1]递增，f（x）max=f（1）=﹣ae，f（x）min=f（0）=﹣2a，∴﹣ae+2a≤a+1，解得：≤a≤0，②0＜a≤时，ln＞1，∴f（x）在[0，1]递增，f（x）max=f（1）=﹣ae，f（x）min=f（0）=﹣2a，∴﹣ae+2a≤a+1，解得：≤a，故0＜a≤符合题意，③＜a＜1时，0＜ln＜1，f（x）在[0，ln）递增，在（ln，1]递减，而f（1）﹣f（0）=+a（2﹣e）＜0，∴f（x）max=f（ln）=，f（x）min=f（1）=﹣ae，∴2ln﹣2﹣+ae﹣）≤a+1，不等式无解，④a≥1时，f（x）在[0，1]递减，∴f（x）max=f（0）=﹣2a，f（x）min=f（1）=﹣ae，∴﹣2a+ae﹣≤a+1，解得：a≥﹣，综上，a∈[，]∪[1，+∞）．2020年8月16日。

【解析版】天津市河东区2013届高三第二次模拟考试数学(文)试题

2013年天津市河东区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共8个小题，每小题5分．共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求．2．（5分）（2013•河东区二模）已知实数x，y满足条件，那么2x﹣y的最大值为（）3．（5分）（2013•河东区二模）函数图象的一个对称轴方程是（）B）（）cos[））2x+ ++x=4．（5分）（2013•河东区二模）已知，则a、b、c的大小为（）b==5．（5分）（2013•河东区二模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）．曲线的一条切线的斜率为，﹣=，解得7．（5分）（2013•河东区二模）（其中m、n为正数），若，则2+解：∵∴=3++3+2=3+2当且仅当=的最小值是，8．（5分）（2013•河东区二模）己知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1对，f（x）=x2．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是（）或．或时，直线与曲线相切，联立，消，或二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．）9．（5分）（2013•河东区二模）已知i为虚单位，则复数的虚部为﹣1．==复数的虚部为﹣10．（5分）（2013•河东区二模）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为8．s=s=←；←；11．（5分）（2013•河东区二模）过双曲线的右焦点，直平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是4x﹣3y﹣20=0’，由点斜式可得方程，化为一般式即可．，±由题意可知所要求的直线斜率为（12．（5分）（2013•河东区二模）如图，以△ABC的边AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E，EF⊥AB于点F，AF=3BF，BE=2EC=2．那么CD=．FB= R=，∴=故答案为13．（5分）（2013•河东区二模）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．V=（3=故答案为：．14．（5分）（2013•河东区二模）在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2，设点P，Q满足．若，则λ=．根据平面向量的线性运算，得到、，代入）]λ=可解出解：∵，，∴=又∵，∴，得∴，即=∵||=1，解之得故答案为：满足的向量式，在已知三、解答题：（本大题6个题，共80分）15．（13分）（2013•河东区二模）已知函数f（x）=（sin2x+cos2x）2﹣2sin22x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当x∈[0，]时，求y=g（x）的最大值和最小值．，由此求得函数的范围求得2x=sin4x+cos4x=）的最小正周期为．[．因为，所以，即）取最大值2000人，各年级男，女生人数如下表：0.19．（1）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少名？（2）已知y≥245，z≥245，求高三年级中女生比男生多的概率．）∵，∴应在高三年级抽取的人数为∴17．（13分）（2012•黑龙江）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．（I）证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．××1=×1=，18．（13分）（2005•安徽）设正项等比数列{a n}的首项，前n项和为S n，且210S30﹣（210+1）S20+S10=0．（Ⅰ）求{a n}的通项；（Ⅱ）求{nS n}的前n项和T n．）由题设知，，解得，因而）由题意知，前两式相减，得=19．（14分）（2013•河东区二模）已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e．（Ⅰ）若，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点．若坐标原点O在以MN 为直径的圆上，且，求k的取值范围．）由题意得，得）由，因为，得所以，椭圆的方程为．）由所以，因为所以，将其整理为．因为，所以所以20．（14分）（2012•黑龙江）设函数f（x）=e x﹣ax﹣2（Ⅰ）求f（x）的单调区间（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f´（x）+x+1＞0，求k的最大值．＜=＜。

2018届天津市河东区高三高考二模数学文试题(解析版)

2018届天津市河东区高三高考二模数学文试题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确结论的代号填在下表内．1.是虚数单位，复数在复平面上对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】分析：首先根据复数的运算法则，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，将其化简，从而得到复数的实部和虚部，之后借助于其在复平面内对应的点的坐标的符号判断得出结果.详解：因为，所以该复数在复平面内对应的点的坐标为，所以该复数在复平面内对应的点在第三象限，故选C.点睛：该题考查的是有关复数的概念和计算，以及复数在复平面内对应的点的坐标的形式，从而求得结果，属于基础题.2. 执行图所示的程序框图，则S的值为（）A. 16B. 32C. 64D. 128【答案】D【解析】分析：模拟程序框图运行即得解.详解：模拟程序的运行，可得i=1，S=1，执行循环体，S=2，i=2，满足条件i≤4，执行循环体，S=8，i=4满足条件i≤4，执行循环体，S=128，i=8此时，不满足条件i≤4，退出循环，输出S的值为128．故答案为：D点睛：(1)本题主要考查程序框图，意在考查学生对程序框图等基础知识的掌握能力.(2)模拟程序运行时，要注意把好输出关，在输出时，看清条件.3. 若实数满足条件，则的最大值为（）A. 10B. 6C. 4D.【答案】B【解析】分析：首先根据题中所给的约束条件画出相应的可行域，再将目标函数化为直线方程的斜截式，再画出直线，结合z的几何意义，从而得到将直线移动到过哪个点时取得最大值，接着联立方程组求得最优解，之后代入目标函数解析式，求得结果.详解：根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，如图所示：将目标函数化为，在图中画出直线，上下移动该直线，可以发现直线越往下，截距就越小，而目标函数z就越大，从而得到当直线过x轴与直线的交点时，截距达到了最小，从而z就取到最大，由，解得，此时，故选B.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.4. 设，则“”是“”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】分析：首先利用绝对值不等式和分式不等式的解法，求得不等式的解集，之后应用集合的真包含关系，得到其为必要不充分条件.详解：由解得，由解得，因为，所以“”是“”的必要非充分条件，故选A.5. 双曲线方程为，其中，双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先根据题中所给的双曲线的方程，可以求得双曲线的渐近线方程，根据题中所给的圆的方程，可以求得圆心坐标和半径长，根据直线与圆相切，得到点到直线的距离等于半径，应用点到直线的距离求得结果.详解：根据题意，可以求得双曲线的渐近线的方程为，而圆的圆心为，半径为1，结合题意有，结合的条件，求得，所以，所以有，故选A.点睛：该题考查的是直线与圆的位置关系以及双曲线的离心率问题，在解题的过程中，需要根据双曲线的方程求得渐近线的方程，利用圆的方程得到圆心的坐标和半径长，利用直线与圆相切，求得圆心到直线的距离等于半径，应用点到直线的距离等于半径求得相应的参数的值，最后应用双曲线的离心率公式求得其离心率的大小.6. 函数在下列区间单调递增的为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：首先需要做的就是利用倍角公式将其降次升角，之后应用诱导公式将其化简得到，之后应用正弦型函数的单调区间以及复合函数的单调性法则，求得其相应的单调区间，之后逐项检验，即可得结果.详解：因为，令，解得，即函数的单调递增区间为，将选项一一对照，可以得到D项可以，故选D.7. 已知正实数满足，当取最小值时，的最大值为（）A. 2B.C.D.【答案】C【解析】分析：首先根据题中的条件可以得到，之后将式子中的c用来代换，接着化简为，能够发现当前的式子满足积为定值，从而得到和取最小值时，是当相等的时候，从而得到，接着将化为关于的式子，配方即可得结果.详解：根据题意，，所以，当且仅当，即时取等号，所以有，所以可以发现，当时取得最大值，故选C.点睛：该题考查的是有关应用基本不等式求最值的问题，在求解的过程中，可以发现式子中有三个未知数，利用题的条件，逐步转化，首先将c代换，求得当取得最小值时的关系，之后将化成关于的二次式，配方求得结果.8. 已知函数满足，当时，，若在区间上方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：首先根据题意，求得函数在相应的区间上的解析式，之后在同一个坐标系内画出函数的图像，之后将函数的零点问题转化为对应曲线交点的个数问题，结合图形，得到结果.详解：当时，，，在同一坐标系内画出的图像，动直线过定点，当再过时，斜率，由图象可知当时，两图象有两个不同的交点，从而有两个不同的零点，故选D.点睛：该题考查的是有关函数零点个数的问题，在解题的过程中，需要先确定函数的解析式，之后在同一个坐标系内画出相应的曲线，将函数的零点个数转化为曲线的交点个数来解决，非常直观，在做题的时候，需要把握动直线中的定因素.二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，满分30分．请将答案填在题中横线上．9. 集合，，，则的取值范围是_______．【答案】【解析】分析：首先根据偶次根式要求被开方式大于等于零，求得集合A，再根据，得到，利用子集的概念，求得所满足的条件，从而求得结果.详解：根据题意，可以求得，，因为，所以，结合数轴可以求得，所以的取值范围是，故选A.点睛：该题考查的是有关集合的问题，解决此类问题的关键一是要确定集合中的元素都有谁，二是需要从题的条件中得到集合间的关系，三是要明确子集的概念，从而求得结果.10. 函数在点处切线斜率为3，则值为_______．【答案】2【解析】分析：首先对函数求导，利用导数的几何意义，即为导函数在相应的点的函数值等于3，从而得到其所满足的等量关系式，从而求得结果.详解：根据题意可得，，令，解得，则，所以的值为2.点睛：该题考查的是有关导数的几何意义的问题，在求解的过程中，要明确函数图像在某个点处切线的斜率就是函数在相应点处的导数，从而求得结果.11. 麻团又叫煎堆，呈球形，华北地区称麻团，是一种古老的中华传统特色油炸面食，寓意团圆。

2020年天津市河东区高考数学二模试卷(二)(有答案解析)

2020年天津市河东区高考数学二模试卷（二）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.集合M={x|x＜1}，N={x|x2-x＜0}，则（）A. M∩N={x|x＜1}B. M∪N={x|x＞0}C. M⊆ND. N⊆M2.已知a∈R，+i∈R，则a=（）A. 4B. 3C. 2D. 13.设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＞0”是“对任意的正整数n，a2n-1+a2n＞0”的（）A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（）A. 32πB. 34πC. 36πD. 38π5.若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（bmodm），例如83≡5（bmod6）．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A. 2019B. 2023C. 2031D. 20476.已知函数的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，则在下列区间中使y=g（x）是减函数的是（）A. B. C. D.7.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点为F1、F2，以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与双曲线的两条渐近线在y轴左侧交于A、B两点，且△ABF2是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D.8.函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1，x2（x1＜x2）都有，记，则a，b，c之间的大小关系为（）A. a＞b＞cB. b＞c＞aC. c＞b＞aD. a＞c＞b二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.若x，y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是______．10.在（2-x）（1+2x）5的展开式中，x2的系数为______．11.已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，若直线l与该圆C相交所得弦长为，则m的值为______．12.函数f（x）=a x-1-2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx-ny-1=0上，其中m＞0，n＞0，则+的最小值为______．13.如图，已知||=||=||，AB=2，∠ABC=135°，•=2，则•=______．14.已知函数f（x）=，F（x）=f（x）-ax有4个零点，则a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题．规定正确回答问题者进入下一个阶段竞赛，否则即遭淘汰．已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别为、、，且各阶段通过与否相互独立．（1）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；（2）该选手在竞赛中回答问题的个数为ξ，求ξ的分布列与均值．16.已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，b+c=7，△ABC 的面积为，求边a的长．17.如图，已知菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，其中BE∥AF，AB⊥AF，AB=BE=AF=2，∠CBA=，P为DF的中点．（1）求证：PE∥平面ABCD；（2）求二面角D-EF-A的余弦值；（3）设G为线段AD上一点，=λ，若直线FG与平面ABEF所成角的正弦值为，求AG的长．18.已知单调递增的等比数列满足：,且是,的等差中项．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ若,,对任意正整数n,恒成立,试求m的取值范围．19.在平面直角坐标系xOy中，已知R（x0，y0）是椭圆C：+=1（a＞b＞0）上一点，从原点O向圆R：（x-x0）2+（y-y0）2=8作两条切线，分别交P、Q两点．（1）若R点在第一象限，且直线OP⊥OQ，求圆R的方程；（2）若直线OP、OQ的斜率存在，并记为k1、k2，求k1•k2；（3）试问OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．20.设函数f（x）=x2-2x+a ln x（a∈R）（1）当a=2时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2）①求实数a的范围；②证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：N={x|0＜x＜1}；∴M∩N={x|0＜x＜1}，M∪N={x|x＜1}，N⊊M．故选：D．可求出集合N={x|0＜x＜1}，从而得出N是M的真子集，即选项D正确．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，真子集的定义．2.答案：A解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求解．【解答】解：∵+i==∈R，∴4-a=0，得a=4．故选A．3.答案：B解析：解：因为{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，当q＞0时，a n=a1q n-1＞0，即对任意的正整数n，a2n-1+a2n＞0，当对任意的正整数n，a2n-1+a2n＞0，则a1q2n-2（1+q）＞0，即q＞-1且q≠0，即“q＞0”是“对任意的正整数n，a2n-1+a2n＞0”的充分不必要条件，故选：B．由等比数列的通项公式及充分必要条件得：当q＞0时，a n=a1q n-1＞0，即对任意的正整数n，a2n-1+a2n＞0，当对任意的正整数n，a2n-1+a2n＞0，则a1q2n-2（1+q）＞0，即q＞-1且q≠0，即“q＞0”是“对任意的正整数n，a2n-1+a2n＞0”的充分不必要条件，得解．本题考查了等比数列的通项公式及充分必要条件，属中档题．4.答案：B解析：解：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，侧棱PD=3，且PD⊥底面ABCD，底面是一个矩形，且AD=3，DC=4．连接对角线AC、BD相交于点M，则DM===2.5．设此四棱锥的外接球的球心为O，则OM⊥底面ABCD．连接OP、OD，则OP=OD，取PD的中点N，则ON⊥PD，DN=1.5．于是此四棱锥的外接球的半径r==，∴该棱锥的外接球的表面积=4πr2=4π×8.5=34π．故选：B．由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，侧棱PD=3，且PD⊥底面ABCD，底面是一个矩形，且AD=3，DC=4．其外接球的球心O是在过底面ABCD对角线的交点M且与底面垂直的直线上和PD的中垂面的交点．据此可求出外接球的半径，进而求出答案．由三视图正确恢复原几何体和求出外接球的半径是解决问题的关键．5.答案：C解析：【分析】本题考查的知识要点：程序框图的应用．直接利用程序框图和整除问题求出结果．【解答】解：根据正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（bmodm），则：执行循环时，n=2017，i=2，n=2017+2=2019，由于2019≡3（mod6），所以2019≡1（mod5），执行下一次循环，…当n=2031时，2031≡1（mod5），输出n=2031．故选：C．6.答案：B解析：解：函数=2sin（ωx-）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于=，∴ω=4，若将函数y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）=2sin（4x+-）=2sin（4x+）的图象，则在区间（-，0）上，4x+∈（-π，），y=g（x）没有单调性，故排除A；在区间（，）上，4x+∈（，），y=g（x）单调递减，故满足条件；在区间（0，）上，4x+∈（，），y=g（x）没有单调递性，故排除C；在区间（，）上，4x+∈（，），y=g（x）没有单调递性，故排除D，故选：B．利用三角恒等变换化简函数的解析式，根据正弦函数的周期性求得ω，根据函数y=A sin （ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题．7.答案：A解析：解：以|F1O|为半径的圆与该双曲线的两条渐近线在y轴左侧交于A，B两点，且△F2AB是等边三角形．与双曲线的两条渐近线y=±x相交于A、B两点，可设A（-c，），B（-c，-），由△F2AB为等边三角形，，则，c2-a2=3a2，解得e=．故选：A．求得双曲线的渐近线方程和A，B的坐标，由△F2AB为等边三角形，可得ab的关系|，再由离心率公式，可得所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和直角三角形的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．8.答案：A解析：解：构造函数g（x）=，则函数单调递减，∵0.22＜1＜log35，，∴a＞b＞c，故选：A．构造函数g（x）=，则函数单调递减，比较变量的大小，即可得出结论．本题考查函数的单调性，考查构造方法的运用，正确构造函数是关键．9.答案：[4，+∞）解析：解：x，y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）．故答案为：[4，+∞）．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．10.答案：70解析：解：在（2-x）（1+2x）5的展开式中，x2的系数为2••22-•2=70，故答案为：70．直接利用二项展开式的通项公式，求得（2-x）（1+2x）5的展开式中，x2的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．11.答案：m=-或m=-解析：解：由消去t得4x-3y+3m=0，由ρ=2cosθ得ρ2=2ρcosθ得（x-1）2+y2=1，依题意得12=（）2+（）2，解得m=-或m=-．故答案为：m=-或m=-先把直线l和曲线化成直角坐标方程，然后在圆中用勾股定理可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．12.答案：解析：【分析】利用题意首先确定m，n的关系式，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果．本题考查了指数函数恒过定点问题，均值不等式及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．【解答】解：由指数函数的性质可得A（1，-1），点在直线上，则：m+n-1=0，m+n=1．则：，当且仅当时等号成立．综上可得：的最小值为．故答案为：．13.答案：2解析：解：因为||=2，所以||=2，即22-2=4，又||=||，•=2，所以||=||=||=2，即∠ABO=60°，又∠ABC=135°，所以∠OBC=∠OCB=75°，即∠BOC=30°，即=||||cos30°=2，故答案为：2．由平面向量数量积的性质及其运算得：因为||=2，所以||=2，即22-2=4，又||=||，•=2，所以||=||=||=2，即∠ABO=60°，又∠ABC=135°，所以∠OBC=∠OCB=75°，即∠BOC=30°，即=||||cos30°=2，得解．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．14.答案：（0，）解析：解：∵当e＜x≤2e时，f（x）=f（2e-x），∴f（x）的图象关于直线x=e对称，做出f（x）的函数图象如图所示：∵F（x）=f（x）-ax有4个零点，∴y=ax与y=f（x）的图象有4个交点，当直线y=k1x经过点（e，1）时，k1=，设直线y=kx与y=ln x相切，切点为（x0，y0），则，解得x0=e，y0=1，k2=．∴0＜a＜．故答案为：（0，）．做出f（x）的函数图象，根据直线y=ax与y=f（x）有4个交点得出a的范围．本题考查了函数零点与函数图象的关系，考查函数对称性，切线斜率等知识，属于中档题．15.答案：解：（1）记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，“该选手通过决赛”为事件C，则P（A）=，P（B）=，P（C）=；…（2分）那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率为P=P（A）=P（A）P（）=；…（4分）（2）由题意知ξ可能取值为1，2，3；…（5分）计算P（ξ=1）=1-=，…（6分）P（ξ=2）=，…（7分）P（ξ=3）=+=；…（9分）所以ξ的分布列为：ξ123P…（10分）数学期望为Eξ═1×+2×+3×=2．…（12分）解析：（1）根据相互独立事件的概率计算公式求出该选手在复赛阶段被淘汰的概率；（2）由题意知ξ的可能取值，计算所求的概率，写出分布列，求出数学期望值．本题考查了相互独立事件的概率计算与离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，是中档题．16.答案：解：（Ⅰ）函数，可得，所以f（x）的最小正周期；令2kπ+≤2x-≤2kπ+，解得kπ+≤x≤kπ+，所以f（x）的单调递减区间是（k∈Z）；（Ⅱ）∵，，∴，又可得A-=即，∵b+c=7，△ABC的面积为，即bc sin A=bc=2，∴bc=8，=（b+c）2-3bc=25，∴a=5．解析：本题考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换和正弦函数的图象和性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．（Ⅰ）运用两角和的正弦公式和二倍角的余弦公式，化简函数f（x），再由正弦函数的周期公式和单调减区间，解不等式可得减区间；（Ⅱ）由A的范围，结合正弦函数值，可得A，再由三角形的面积公式和余弦定理可得所求值．17.答案：（本小题满分13分）解：（Ⅰ）取AD的中点Q，连接PQ，BQ，则PQ∥AF∥BE，且，所以四边形BEPQ为平行四边形，…（2分）所以PE∥BQ，又BQ⊂平面ABCD，PE⊄平面ABCD，则PE∥平面ABCD．…（3分）（Ⅱ）取AB中点O，连接CO，则CO⊥AB，因为平面ABCD⊥平面ABEF，交线为AB，则CO⊥平面ABEF…（4分）作OM∥AF，分别以OB，OM，OC所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则…（5分）于是，设平面DEF的法向量，则令x=1，则…（6分）平面AEF的法向量…（7分）所以…（8分）又因为二面角D-EF-A为锐角，所以其余弦值为．…（9分）（Ⅲ），则，，而平面ABEF的法向量为，设直线FG与平面ABEF所成角为θ，于是…（11分）于是，．…（13分）解析：（Ⅰ）取AD的中点Q，连接PQ，BQ，证明PE∥BQ，即可证明PE∥平面ABCD．（Ⅱ）取AB中点O，连接CO，分别以OB，OM，OC所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面DEF的法向量，平面AEF的法向量，利用向量的数量积求解二面角D-EF-A的余弦值．（Ⅲ）求出，平面ABEF的法向量，设直线FG与平面ABEF所成角为θ，利用数量积列出方程求解即可．本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面市场价的求法，直线与平面平行的判断，考查空间想象能力以及计算能力．18.答案：解：Ⅰ设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q．依题意，有2（a3+2）=a2+a4，代入a2+a3+a4=28，得a3=8．∴a2+a4=20．∴,解之得，或,又{a n}单调递增，∴q=2，a1=2，∴a n=2n，Ⅱb n=2n•=-n•2n，∴-S n=1×2+2×22+3×23++n×2n①-2S n=1×22+2×23++（n-1）2n+n•2n+1②①-②得，S n=2+22+23++2n-n•2n+1=-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1由S n+（n+m）a n+1＜0，即2n+1-2-n•2n+1+n•2n+1+m•2n+1＜0对任意正整数n恒成立，∴m•2n+1＜2-2n+1．对任意正整数n，m＜-1恒成立．即m＜,∵-1＞-1，∴m≤-1．即m的取值范围是（-∞，-1]．解析：本题主要考查等比数列的性质，错位相减求和，考查了学生综合运算的能力，属于中档题.Ⅰ设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，根据2（a3+2）=a2+a4，可求得a3．进而求得a2+a4=20．两式联立方程即可求得a1和q的值，最后根据等比数列的通项公式求得a n．Ⅱ把（1）中的a n代入b n，再利用错位相减法求得S n，再由S n+（n+m）a n+1＜0恒成立进而求得m的范围．19.答案：解：（1）由圆R的方程知圆R的半径r=2，因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切，所以|OR|=r=4，即x02+y02=16①又点R在椭圆C上，所以+=1②联立①②，解得x0=y0=2，所以，所求圆R的方程为（x-2）2+（y-2）2=8；（2）因为直线OP：y=k1x和OQ：y=k2x都与圆R相切，所以=2，=2，两边平方可得k1，k2为（x02-8）k2-2x0y0k+（y02-8）=0的两根，可得k1•k2=，因为点R（x0，y0）在椭圆C上，所以+=1，即y02=12-x02，所以k1k2==-；（3）①当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由（2）知2k1k2+1=0，所以+1=0，故y12y22=x12x22，因为P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，所以+=1，+=1，即y12=12-x12，y22=12-x22，所以（12-x12）（12-x22）=x12x22，整理得x12+x22=24，所以y12+y22=（12-x12）+（12-x22）=12，所以OP2+OQ2=x12+y12+x22+y22=（x12+x22）+（y12+y22）=36．②当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=36．综上可得，OP2+OQ2为定值36．解析：（1）求得圆的半径r，由两直线垂直和相切的性质，可得|OR|=4，解方程可得圆心R的坐标，进而得到圆的方程；（2）设出直线OP：y=k1x和OQ：y=k2x，由直线和圆相切的条件：d=r，化简整理，运用韦达定理，由R在椭圆上，即可得到k1•k2的值；（3）讨论①当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），运用点满足椭圆方程，由两点的距离公式，化简整理，即可得到定值36；②当直线OP，OQ 落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=36．本题考查椭圆方程的运用，以及直线和圆的位置关系：相切，考查点到直线的距离公式和直线方程的运用，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．20.答案：解：（1）当a=2时，函数f（x）=x2-2x+2ln x（x＞0），f′（x）=2x-2+=，可得f（1）=-1，f′（1）=2∴在点（1，f（1））处的切线方程为：y-（-1）=2（x-1），即2x-y-3=0．（2），（x＞0），①∵函数f（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2）．∴2x2-2x+a=0有两个不等正实根，∴，∴∴实数a的范围为（0，）．②∵a=2x1x2=2x2（1-x2），1-x1=x2，∴===，（）．令h（t）=t+2（1-t）ln（1-t）-，（），，∴h（t）在（）递增，∴．∴．解析：本题考查了导数的几何意义、导数与单调性、最值，属于中档题．（1）当a=2时，f′（x）=2x-2+=，可得f（1）=-1，f′（1）=2，即可得点（1，f（1））处的切线方程．（2），（x＞0），①，⇒②===，（）．令h（t）=t+2（1-t）ln（1-t）-，（），利用导数即可证明．。

2024届天津市河东区高三第二次模拟考试语文试题

2024届天津市河东区高三第二次模拟考试语文试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、语言文字运用阅读下面一段文字，完成下面小题。

清人沈德潜说，李白“笔阵纵横，如虬飞蠖动，起雷霆于指顾之间”，正因为如此，“太白所以为仙才也”。

李白的风格豪迈、奔放，充满着激情，所以他的奇是超俗的、变化无穷的、豪放不羁的，，令人目不暇接。

诗中的历史神话传说富有悲剧的崇高美，而描绘景色则用大幅度的跳跃手法，忽而山，忽而水，忽而峰巅，忽而深渊，犹如一组组（）的电影镜头拼接在一起，在我们的眼前快速掠过，读者的心为之震荡！李白的奇，并不表现在用僻词冷字来做文章，而是一种压倒一切的气势，一种行气如虹、走云连风的艺术境界。

《蜀道难》这首诗遣词造句自然流畅，如同大江一泻千里。

它有一种感染力，使之和作者一起跳动，紧紧地攫住读煮的心，它控制着读者的情感脉搏。

这样，作者、作品和读者常常（），当我们欣赏这首诗的时候，似乎和诗人一同（）了蜀道的艰难，对于那些险峻的蜀地山川，竟会有身临其境之感。

1．依次填入括号内的词语，最恰当的一组是（）A．惊艳融会贯通体验B．惊险融为一体体验C．惊艳融为一体体悟D．惊险融会贯通体悟2．下列填入文中画线的句子，最恰当的一项是（）A．通过天马行空似的驰骋想象，瑰丽的神话传说，诗人的笔下展现出了一连串奇丽峭拔的蜀地风光。

B．通过一连串奇丽峭拔的蜀地风光，瑰丽的神话传说，诗人的笔下展现出了天马行空似的驰骋想象。

C．通过瑰丽的神话传说，天马行空似的驰骋想象，诗人的笔下展现出了一连串奇丽峭拔的蜀地风光。

D．通过瑰丽的神话传说，一连串奇丽峭拔的蜀地风光，诗人的笔下展现出了天马行空似的驰骋想象。

3．文中划波浪线的句子有语病，下列修改最恰当的一项是（）A．它有一种感染力，紧紧地攫住读者的心，它驾驭着读者的情感脉搏，使之和作者一起跳动。

B．它有一种感染力，紧紧地攫住读者的心，它感动着读者的情感脉搏，使之和作者一起跳动。

2025届天津市高三第二次模拟考试数学试卷含解析

2025届天津市高三第二次模拟考试数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()cos2xf x x =的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．2．已知函数()1xf x xe-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（） A ．(1,]eB ．2(,]e e e -C ．22(,]e e e e-+ D ．2(1,]e e-3．已知曲线cos(2)||2C y x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭：的一条对称轴方程为3x π=，曲线C 向左平移(0)θθ>个单位长度，得到曲线E 的一个对称中心的坐标为,04π⎛⎫⎪⎝⎭，则θ的最小值是（） A ．6π B ．4π C ．3π D ．12π4．已知0x >，a x =，22xb x =-，ln(1)c x =+，则（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<5．函数2sin 1x xy x +=+的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．6．方程()()f x f x '=的实数根0x 叫作函数()f x 的“新驻点”，如果函数()ln g x x =的“新驻点”为a ，那么a 满足（）A ．1a =B ．01a <<C ．23a <<D ．12a <<7．已知数列{}n a 为等比数列，若a a a 76826++=，且a a 5936⋅=，则a a a 768111++=（） A ．1318B ．1318或1936C ．139D ．1368．已知{}1A x x =<，{}21xB x =<，则A B =（）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,-+∞D ．(),1-∞9．设a R ∈，0b >，则“32a b >”是“3log a b >”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题： ①若m αβ=，n ⊂α，n m ⊥，则αβ⊥；②若m α⊥，m β⊥，则//αβ；③若//m n ，m α⊂，//αβ，则βn//；④若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥ 其中正确的是（） A ．①② B ．③④C ．①④D ．②④11．设，则"是""的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．若双曲线E ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的一个焦点为(3,0)F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为（）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22136x y -=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

天津市河东区2021届新高考数学考前模拟卷(2)含解析

天津市河东区2021届新高考数学考前模拟卷（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列函数中，在区间()0,∞+上为减函数的是（）A ．y =B ．21y x =-C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．2log y x =【答案】C 【解析】【分析】利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间()0,∞+上的单调性，进而可得出结果. 【详解】对于A 选项，函数y =()0,∞+上为增函数；对于B 选项，函数21y x =-在区间()0,∞+上为增函数；对于C 选项，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()0,∞+上为减函数；对于D 选项，函数2log y x =在区间()0,∞+上为增函数. 故选：C. 【点睛】本题考查函数在区间上单调性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的关键，属于基础题.2．已知集合{2,0,1,3}A =-，{B x x =<<，则集合A B I 子集的个数为（） A ．4 B ．8C ．16D ．32【答案】B 【解析】【分析】首先求出A B I ，再根据含有n 个元素的集合有2n 个子集，计算可得. 【详解】解：{2,0,1,3}A =-Q ，{B x x =<<，{2,0,1}A B ∴=-I ，A B ∴I 子集的个数为328=.考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，集合子集个数的计算公式，属于基础题．3．已知双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为8，一条渐近线方程为y =，则C 为（）A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2211648x y -=D ．2214816x y -=【答案】A 【解析】【分析】由题意求得c 与ba的值，结合隐含条件列式求得a 2，b 2，则答案可求. 【详解】由题意，2c ＝8，则c ＝4，又ba=a 2+b 2＝c 2，解得a 2＝4，b 2＝12.∴双曲线C 的方程为221412x y -=.故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质，属于基础题.4．已知复数z 满足()1i +z =2i ，则z =（）A B ．1C ．2D ．12【答案】A 【解析】【分析】根据复数的运算法则，可得z ，然后利用复数模的概念，可得结果. 【详解】由题可知：()()()22212221111i i i i i z i i i i --===++-- 由2，所以故选：A 【点睛】本题主要考查复数的运算，考验计算，属基础题.5．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A ⋃B ，则集合中的元素共有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】A 【解析】试题分析：{}3,4,5,7,8,9U A B =⋃=,{}4,7,9A B ⋂=,所以{}()3,5,8U C A B ⋂=，即集合()U C A B ⋂中共有3个元素，故选A ．考点：集合的运算．6．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5、0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（） A ．0.18 B ．0.3C ．0.24D ．0.36【答案】B 【解析】【分析】甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元，或同为2元，或同为3元，由独立事件的概率公式计算即得．【详解】由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是0.3,0.4， ∴甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为0.50.20.20.40.30.40.3P =⨯+⨯+⨯=．故选：B ．【点睛】本题考查独立性事件的概率．掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础．7．已知双曲线2222:1(0)x y M b a a b-=>>的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是（） A ．2] B ．2,3]C ．(2,5]D ．3,5]【答案】B由b a >可得2e >；由过点T 所作的圆的两条切线互相垂直可得2TF a =,又焦点(c,0)F 到双曲线渐近线的距离为b ,则2TF a b =≥,进而求解.【详解】b a >Q ,所以离心率212c b e a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭,又圆222()a c y x +=-是以(c,0)F 为圆心,半径r a =的圆,要使得经过点T 所作的圆的两条切线互相垂直,必有2TF a =,而焦点(c,0)F 到双曲线渐近线的距离为b ,所以2TF a b =≥,即2ba≤,所以213c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭≤,所以双曲线M 的离心率的取值范围是(2,3]. 故选:B【点睛】本题考查双曲线的离心率的范围,考查双曲线的性质的应用.8．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）A ．该市总有 15000 户低收入家庭B ．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户C ．在该市无业人员中，低收入家庭有4350户D ．在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有 800 户【答案】D根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案. 【详解】解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%，则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A 正确，该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B 正确，该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C 正确，该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D 错误．故选：D. 【点睛】本题主要考查对统计图表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基础题.9．把函数2()sin f x x =的图象向右平移12π个单位，得到函数()g x 的图象．给出下列四个命题①()g x 的值域为(0,1] ②()g x 的一个对称轴是12x π=③()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫⎪⎝⎭ ④()g x 存在两条互相垂直的切线其中正确的命题个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】【分析】由图象变换的原则可得11()cos 2262g x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,由cos 2[1,1]6x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭可求得值域；利用代入检验法判断②③；对()g x 求导,并得到导函数的值域,即可判断④. 【详解】由题,21cos 2()sin 2x f x x -==, 则向右平移12π个单位可得,1cos 21112()cos 22262x g x x ππ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭==--+ ⎪⎝⎭当12x π=时,206x π-=,所以12x π=是函数()g x 的一条对称轴,②正确；当3x π=时,226x ππ-=,所以()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫⎪⎝⎭,③正确； ()sin 2[1,1]6g x x π⎛⎫'=-∈- ⎪⎝⎭,则1212,,()1,()1x x R g x g x ''∃∈=-=,使得12()()1g x g x ''⋅=-,则()g x 在1x x =和2x x =处的切线互相垂直,④正确.即②③④正确,共3个. 故选:C 【点睛】本题考查三角函数的图像变换,考查代入检验法判断余弦型函数的对称轴和对称中心,考查导函数的几何意义的应用.10．已知双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线方程为y =，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且13PF =，则2PF =( ) A ．9 B ．5C ．2或9D ．1或5【答案】B 【解析】【分析】根据渐近线方程求得b ，再利用双曲线定义即可求得2PF . 【详解】由于ba=b = 又122PF PF -=且22PF c a ≥-=，故选：B. 【点睛】本题考查由渐近线方程求双曲线方程，涉及双曲线的定义，属基础题.11．已知向量a r ，b r满足4a =r ，b r 在a r 上投影为2-，则3a b -r r 的最小值为( )A ．12B ．10CD ．2【答案】B 【解析】根据b r 在a r 上投影为2-，以及[)cos ,1,0a b <>∈-rr ，可得min 2b =r ；再对所求模长进行平方运算，可将问题转化为模长和夹角运算，代入minbr即可求得min3a b -r r.【详解】b r 在a r 上投影为2-，即cos ,2b a b <>=-r rr 0b >r Q cos ,0a b∴<><r r又[)cos ,1,0a b <>∈-rr min 2b ∴=r2222223696cos ,9964a b a a b b a a b a b b b -=-⋅+=-<>+=+r r r r rr r r r r r r rmin310a b∴-==r r本题正确选项：B 【点睛】本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到b r的最小值.12．已知实数0a >，1a ≠，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．12a <≤ B ．5a < C ．35a << D ．25a ≤≤【答案】D 【解析】【分析】根据题意，对于函数分2段分析：当1,()xx f x a <=，由指数函数的性质分析可得1a >①，当241,()ln x f x x a x x ≥=++，由导数与函数单调性的关系可得24()20af x x x x'=-+≥，在[1,)+∞上恒成立，变形可得2a ≥②，再结合函数的单调性，分析可得14a ≤+③，联立三个式子，分析可得答案. 【详解】解：根据题意，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，当1,()xx f x a <=，若()f x 为增函数，则1a >①，当241,()ln x f x x a x ≥=++，若()f x 为增函数，必有24()20af x x x x'=-+≥在[1,)+∞上恒成立，变形可得：242a x x≥-，又由1x ≥，可得()242g x x x =-在[1,)+∞上单调递减，则2442212x x -≤-=，若242a x x≥-在[1,)+∞上恒成立，则有2a ≥②，若函数()f x 在R 上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值，则需有145a ≤+=，③ 联立①②③可得：25a ≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年天津市河东区高考数学二模试卷(文科)含答案解析

2019年天津市河东区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.1．i是虚数单位，已知=bi+1，则a+b为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．1﹣i2．执行如图所示的程序框图，则S的值为（）A．55 B．65 C．36 D．783．已知双曲线的一个焦点为F1（5，0），它的渐近线方程为y=±x，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．4．已知函数f（x）=lnx与g（x）=，则它们的图象交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．不确定5．“a=2“是“点P（2，0）不在圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0外”的什么条件（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件6．下列选项中为函数f（x）=cos（2x﹣）sin2x﹣的对称中心为（）A．B．C．D．7．如图所示，在三角形ABC中，AD⊥BC，AD=1，BC=4，点E为AC的中点，=，则AB的长度为（）A．2 B．C．D．8．已知f（c）=（c﹣a）（c﹣b），其中a+b=1﹣c且c≥0，a≥0，b≥0．则f（c）的取值范围为（）A．[﹣，1]B．[0，1]C．[0，]D．[﹣，1]二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）9．集合A={a+3，log2（a+1）}，B={1，b}，A=B，则b=．10．从1、2、3、4、5中不重复的随机选取两个数，它们的和为奇数的概率为．11．已知函数f（x）为偶函数，且f（x）=x2﹣（x＞0），则f′（﹣1）=．12．如图所示，一款儿童玩具的三视图中俯视图是以3为半径的圆，则该儿童玩具的体积为．13．如图所示，圆O上的弦AB不为直径，DA切圆O于点A，点E在BA的延长线上且DE∥AC，点C为BD与圆交点，若AE=3，DE=6，CD=2，则AD=．14．已知函数f（x）=|x﹣a|+a，g（x）=4﹣x2，若存在x∈R使g（x）≥f（x），则a的取值范围是．三、解答题：（本大题6个题，共80分）15．某企业生产A、B两种产品，它们的原料中均含甲、乙两种溶液，生产每件产品所需两60升，该企业有三种生产方案，方案一：只生产A．方案二：只生产B．方案三：按一定比例生产A、B实现利润最大化．（1）方案一和方案二中哪种方案利润较高；（2）按照方案三生产，则产品A、B各生产多少件，最大利润为多少，判断方案三是否优于方案一和方案二．16．设△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知=（Ⅰ）求角B（Ⅱ）若b=3，cosA=，求△ABC的面积．17．如图四棱锥P﹣ABCD，三角形ABC为正三角形，边长为2，AD⊥DC，AD=1，PO垂直于平面ABCD于O，O为AC的中点．（1）证明PA⊥BO；（2）证明DO∥平面PAB；（3）若PD=，直线PD与平面PAC所成角的正切值．18．椭圆C：=1（a＞b＞0）的右顶点为Q，O为坐标原点，过OQ的中点作x轴的垂线与椭圆在第一象限交于点A，点A的纵坐标为c，c为半焦距．（1）求椭圆的离心率；（2）过点A斜率为的直线l与椭圆交于另一点B，以AB为直径的圆过点P（，），求椭圆方程．19．已知数列{a n}的前n项和S n，数列{b n}为等差数列，b1=1，b n＞0（n≥2），b2S n+a n=2且3a2=2a3+a1（1）求{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n=，T n=，证明：T n＜．20．已知函数f（x）=ae x x﹣2ae x﹣x2+x．（1）求函数f（x）在（2，f（2））处切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）对任意x1，x2∈[0，1]，f（x2）﹣f（x1）≤a+1恒成立，求a的范围．2019年天津市河东区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.1．i是虚数单位，已知=bi+1，则a+b为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：由==bi+1，得a=1，b=﹣1，∴a+b=0．故选：B．2．执行如图所示的程序框图，则S的值为（）A．55 B．65 C．36 D．78【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的a，S，i的值，当i=13时不满足条件i ≤12，退出循环，输出S的值为78，从而得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=0，i=1，S=0执行循环体，a=3，S=3，i=3满足条件i≤12，执行循环体，a=7，S=10，i=5满足条件i≤12，执行循环体，a=11，S=21，i=7满足条件i≤12，执行循环体，a=15，S=36，i=9满足条件i≤12，执行循环体，a=19，S=55，i=11满足条件i≤12，执行循环体，a=23，S=78，i=13不满足条件i≤12，退出循环，输出S的值为78．故选：D．3．已知双曲线的一个焦点为F1（5，0），它的渐近线方程为y=±x，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的渐近线方程，利用待定系数法进行求解即可．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y=±x，即，∴对应的双曲线方程为，∵双曲线的一个焦点为F1（5，0），∴c=5，且λ＞0，则﹣=1，则a2=9λ，b2=16λ，则c2=9λ+16λ=25λ=25，则λ=1，即双曲线的方程为，故选：C4．已知函数f（x）=lnx与g（x）=，则它们的图象交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．不确定【考点】函数的图象．【分析】令h（x）=lnx﹣，判断h（x）的单调性并计算h（x）的极值，根据极值与0的大小关系判断h（x）的零点个数，得出答案．【解答】解：令h（x）=lnx﹣，则h′（x）=．∴当0＜x＜e时，h′（x）＞0，当x＞e时，h′（x）＜0．∴当x=e时，h（x）取得最大值h（e）=0．∴h（x）=lnx﹣只有一个零点，即f（x）与g（x）的图象只有1个交点，故选：B．5．“a=2“是“点P（2，0）不在圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0外”的什么条件（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】点P（2，0）不在圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0外，则≤4，解出即可判断出结论．【解答】解：圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0配方化为：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4，若点P（2，0）不在圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0外，则≤4，解得≤a≤2+2，∴“a=2“是“点P（2，0）不在圆x2﹣2ax+a2+y2﹣4y=0外”的充分不必要条件．故选：A．6．下列选项中为函数f（x）=cos（2x﹣）sin2x﹣的对称中心为（）A．B．C．D．【考点】余弦函数的图象．【分析】利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的对称中心．【解答】解：函数f（x）=cos（2x﹣）sin2x﹣=[cos2x+sin2x]sin2x﹣=sin2xcos2x+sin22x﹣sin4x+•﹣=sin（4x﹣），令4x﹣=kπ，求得x=+，可得函数的对称中心为（+，0），k∈Z，当k=1时，函数的对称中心为．故选：D．7．如图所示，在三角形ABC中，AD⊥BC，AD=1，BC=4，点E为AC的中点，=，则AB的长度为（）A．2 B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可以D为坐标原点，BC，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，并设BD=x，从而CD=4﹣x，这样便可写出图形上各点的坐标，从而可求出向量的坐标，根据进行向量数量积的坐标运算便可建立关于x的方程，解出x，从而得出点B的坐标，从而便可得出AB的长度．【解答】解：以D为原点，分别以BC，AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，设BD=x，CD=4﹣x，则：D（0，0），A（0，﹣1），B（﹣x，0），C（4﹣x，0），E（）；∴；∴；∵x＞0，∴解得x=1；∴B（﹣1，0），又A（0，﹣1）；∴．故选：C．8．已知f（c）=（c﹣a）（c﹣b），其中a+b=1﹣c且c≥0，a≥0，b≥0．则f（c）的取值范围为（）A．[﹣，1]B．[0，1]C．[0，]D．[﹣，1]【考点】函数的值域．【分析】由f（c）=（c﹣a）（c﹣b）=c2﹣（a+b）c+ab，缩小后利用配方法求得f（c）的最小值；然后再由基本不等式放大，再由配方法求得f（c）的最大值．【解答】解：f（c）=（c﹣a）（c﹣b）=c2﹣（a+b）c+ab≥c2﹣c（a+b）=c2﹣c（1﹣c）=，当c=，a=0，b=时，f（c）=，∴f（c）的最小值为﹣；又f（c）=c2﹣（1﹣c）c+ab===，由0≤c=1﹣a﹣b≤1，得当c=1时，f（c）有最大值为1．∴f（c）的取值范围为[]．故选：A．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）9．集合A={a+3，log2（a+1）}，B={1，b}，A=B，则b=4．【考点】集合的相等．【分析】由A=B，可得或，解出即可得出．【解答】解：∵A=B，∴或，解得a=﹣2（舍去），或a=1，b=4．故答案为：4．10．从1、2、3、4、5中不重复的随机选取两个数，它们的和为奇数的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】从1、2、3、4、5中不重复的随机选取两个数，求出基本事件总数，再求出它们的和为奇数包含的基本事件个数，由此能求出它们的和为奇数的概率．【解答】解：从1、2、3、4、5中不重复的随机选取两个数，基本事件总数n==10，它们的和为奇数包含的基本事件个数m==6，∴它们的和为奇数的概率为p===．故答案为：．11．已知函数f（x）为偶函数，且f（x）=x2﹣（x＞0），则f′（﹣1）=﹣3．【考点】导数的运算；函数奇偶性的性质．【分析】设x＜0，则﹣x＞0．由于f（x）=x2﹣（x＞0），可得f（﹣x）=x2+．因此f（x）=x2+．利用导数的运算法则即可得出．【解答】解：∵设x＜0，则﹣x＞0．∵f（x）=x2﹣（x＞0），∴f（﹣x）=x2+．∴f（x）=x2+．f′（x）=2x﹣，则f′（﹣1）=﹣2﹣1=﹣3．故答案为：﹣3．12．如图所示，一款儿童玩具的三视图中俯视图是以3为半径的圆，则该儿童玩具的体积为54π．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个球，下面是一个圆锥．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个球，下面是一个圆锥．∴该儿童玩具的体积V=×33+×6=54π．故答案为：54π．13．如图所示，圆O上的弦AB不为直径，DA切圆O于点A，点E在BA的延长线上且DE∥AC，点C为BD与圆交点，若AE=3，DE=6，CD=2，则AD=4．【考点】弦切角；与圆有关的比例线段．【分析】利用圆的弦切角定理与平行线的性质可证明△ADE∽△DBE．解得AB，再利用平行线的性质可得BC，利用切线长定理即可得出．【解答】解：∵DA切圆O于点A，∴∠DAC=∠B．∵DE∥AC，∴∠DAC=∠ADE．∴∠ADE=∠B．又∠AED公用，∴△ADE∽△DBE．∴，即=，解得AB=9．由DE∥AC，∴=，∴，解得BC=6．∵DA切圆O于点A，∴AD2=DC•DB=2×（2+6）=16，解得AD=4．故答案为：4．14．已知函数f（x）=|x﹣a|+a，g（x）=4﹣x2，若存在x∈R使g（x）≥f（x），则a的取值范围是．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】通过讨论x的范围结合二次函数的性质得到△≥0，求出a的范围即可．【解答】解：若存在x∈R使g（x）≥f（x），即x2+|x﹣a|+a﹣4≤0有解，x≥a时，x2+x﹣4≤0，显然有解，x＜a时，x2﹣x+2a﹣4≤0，由△=1﹣4（2a﹣4）≥0，解得：a≤，故答案为：．三、解答题：（本大题6个题，共80分）15．某企业生产A、B两种产品，它们的原料中均含甲、乙两种溶液，生产每件产品所需两60升，该企业有三种生产方案，方案一：只生产A．方案二：只生产B．方案三：按一定比例生产A、B实现利润最大化．（1）方案一和方案二中哪种方案利润较高；（2）按照方案三生产，则产品A、B各生产多少件，最大利润为多少，判断方案三是否优于方案一和方案二．【考点】简单线性规划的应用．【分析】（1）分别求出方案一和方案二中的利润，即可得出结论；（2）产品A、B分别生产x，y件，利润设为z，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．【解答】解：（1）方案1，可生产A共15件，获利为30万元；…方案2，可生产B共12件，获利为36万元，利润较高；…（2）设产品A、B分别生产x，y件，利润设为z…目标函数为z=2x+3y……作出二元一次不等式组的平面区域即可行域直线为随z变化的直线，当直线经过两直线交点时z最大…交点坐标为（10，10）所以z的最大值为50即利润为50万元方案3优于方案1、2．…16．设△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知=（Ⅰ）求角B（Ⅱ）若b=3，cosA=，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简已知等式可得a2﹣b2=ac﹣c2，利用余弦定理可求cosB，又结合范围0＜B＜π，即可求得B的值；（Ⅱ）由已知及同角三角函数关系式可求sinA，结合正弦定理可求a，求得sinC后，即可利用三角形面积公式求解．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以a2﹣b2=ac﹣c2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又因为0＜B＜π，所以B=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由b=3，cosA=可得sinA=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由可得a=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣而sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以△ABC的面积=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣17．如图四棱锥P﹣ABCD，三角形ABC为正三角形，边长为2，AD⊥DC，AD=1，PO垂直于平面ABCD于O，O为AC的中点．（1）证明PA⊥BO；（2）证明DO∥平面PAB；（3）若PD=，直线PD与平面PAC所成角的正切值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）由PO⊥底面ABCD可得PO⊥OB，由正三角形的性质得出AC⊥OB，于是OB⊥平面PAC，故而OB⊥PA；（2）由直角三角形性质可得OD=AO=1，故△AOD为等边三角形，于是∠OAD=∠BAC=60°，故OD∥AB，从而得出DO∥AB，于是OD∥平面PAB；（3）过D做DF垂直AC于F，连接PF，则可证DF⊥平面PAC，于是∠DPF为所求角，计算DF，PF得出tan∠DPF．【解答】证明：（1）∵三角形ABC为正三角形，O为AC的中点．∴BO ⊥AC ，∵PO ⊥平面ABCD ，BO ⊂平面ABCD ，∴BO ⊥PO ，又PO ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PO ∩AC=O ，∴BO ⊥平面PAC ，∵PA ⊂平面PAC ，∴PA ⊥BO ．（2）∵AD ⊥CD ，O 是AC 的中点，∴OD=AO=AC=1，又AD=1，∴△AOD 是等边三角形，又△ABC 是等边三角形，∴∠OAD=∠BAC=60°，∴DO ∥AB ，又AB ⊂平面PAB ，DO ⊄平面PAB ，∴DO ∥平面PAB ．（3）过D 做DF 垂直AC 于F ，连接PF ．∵PO ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥DF ，又DO ⊥AC ，PO ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PO ∩AC=O ，∴DF ⊥平面PAC ，∴∠DPF 为直线PD 与平面PAC 所成角．∵CD==，∴DF==，∴PF==，∴tan ∠DPF==．即直线PD 与平面PAC 所成角的正切值为．18．椭圆C ： =1（a ＞b ＞0）的右顶点为Q ，O 为坐标原点，过OQ 的中点作x 轴的垂线与椭圆在第一象限交于点A ，点A 的纵坐标为c ，c 为半焦距．（1）求椭圆的离心率；（2）过点A 斜率为的直线l 与椭圆交于另一点B ，以AB 为直径的圆过点P （，），求椭圆方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知得到A的坐标，代入椭圆方程得到b，c的关系式，结合隐含条件即可求得椭圆的离心率；（2）由离心率得到a，c的关系，写出直线l的方程，与椭圆方程联立，求得B点坐标，由求得c值，则椭圆方程可求．【解答】解：（1）由已知可知椭圆过点，代入方程有，得b2=3c2，又a2=b2+c2，∴a2=4c2，∴；（2）由，得，∴点，直线，联立，解得B（﹣2c，0）．又P（，），由已知，即．得．解得c=2．∴a=4，b2=a2﹣c2=12．∴椭圆方程为．19．已知数列{a n}的前n项和S n，数列{b n}为等差数列，b1=1，b n＞0（n≥2），b2S n+a n=2且3a2=2a3+a1（1）求{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n=，T n=，证明：T n＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用递推关系、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”即可得出．【解答】（1）解：设b n的公差为d，d＞1，b2=﹣1+d，b n=﹣1+d（n﹣1），当n=1时，，当n≥2时，b2S n+a n，①b2S n﹣1+a n﹣1，②由①﹣②得到，，由已知，解为d=2，d=1（舍）．{b n}，{a n}的通项公式分别为n∈N*．（2）证明：，当n≥2时，，设，①，②由①﹣②得到，∴，整理为，∴．20．已知函数f（x）=ae x x﹣2ae x﹣x2+x．（1）求函数f（x）在（2，f（2））处切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）对任意x1，x2∈[0，1]，f（x2）﹣f（x1）≤a+1恒成立，求a的范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程；（2）求出f（x）的导数f′（x）=（x﹣1）（ae x﹣1），对a讨论，分a≤0时，a=时，a＞时，0＜a＜时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0可得减区间；（3）通过讨论a的范围，确定函数在闭区间[0，1]上的单调性，求出f（x）在[0，1]上的最大值和最小值，解关于a的不等式，求出即可．【解答】解：（1）函数f（x）=ae x x﹣2ae x﹣x2+x的导数为：f′（x）=a（e x+xe x）﹣2ae x﹣x+1=（x﹣1）（ae x﹣1），可得f（x）在（2，f（2））处切线斜率为ae2﹣1，切点为（2，0），即有切线的方程为y﹣0=（ae2﹣1）（x﹣2），即为y=（ae2﹣1）（x﹣2）；（2）由f（x）的导数为f′（x）=（x﹣1）（ae x﹣1），①当a=0时，f′（x）=﹣（x﹣1），当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；②当a＜0时，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；③当a＞0时，若a=，则f′（x）=（x﹣1）（e x﹣1﹣1），f（x）在R上递增；若a＞，则f′（x）＞0即为（x﹣1）（x﹣ln）＞0，可得x＞1或x＜ln；f′（x）＜0即为（x﹣1）（x﹣ln）＜0，可得ln＜x＜1；若0＜a＜，则f′（x）＞0即为（x﹣1）（x﹣ln）＞0，可得x＜1或x＞ln；f′（x）＜0即为（x﹣1）（x﹣ln）＜0，可得1＜x＜ln．综上可得，a≤0时，f（x）的增区间为（﹣∞，1），减区间为（1，+∞）；a=时，f（x）的增区间为R；a＞时，f（x）的增区间为（1，+∞），（﹣∞，ln），减区间为（ln，1）；0＜a＜时，f（x）的增区间为（ln，+∞），（﹣∞，1），减区间为（1，ln）；（3）由（2）得：①a≤0时，f（x）在[0，1]递增，f（x）max=f（1）=﹣ae，f（x）min=f（0）=﹣2a，∴﹣ae+2a≤a+1，解得：≤a≤0，②0＜a≤时，ln＞1，∴f（x）在[0，1]递增，f（x）max=f（1）=﹣ae，f（x）min=f（0）=﹣2a，∴﹣ae+2a≤a+1，解得：≤a，故0＜a≤符合题意，③＜a＜1时，0＜ln＜1，f（x）在[0，ln）递增，在（ln，1]递减，而f（1）﹣f（0）=+a（2﹣e）＜0，∴f（x）max=f（ln）=，f（x）min=f（1）=﹣ae，∴2ln﹣2﹣+ae﹣）≤a+1，不等式无解，④a≥1时，f（x）在[0，1]递减，∴f（x）max=f（0）=﹣2a，f（x）min=f（1）=﹣ae，∴﹣2a+ae﹣≤a+1，解得：a≥﹣，综上，a∈[，]∪[1，+∞）．2019年8月16日。

天津市河东区高三数学二模考试文(河东二模,无答案)

河东区201 4年高三二模考试数学试卷（文史类）本试卷分第I 卷（选择题）和第1I 卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第I 卷l 至2页，第II 卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡…并交回．祝各位考生考试顺利！第I 卷（选择题共40分）一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求．1．复数143i i++的虚部是( ) A ． 125i B ． 125 C ．125i - D.125- 2．已知命题“ ,a b R ∀∈，如果ab>0．则a>0”，则它的否命题是( )A. ,a b R ∀∈．如果ab<0，则a<0B. ,a b R ∀∈，如果ab ≤0，则a ≤0C ． ,a b R ∃∈，如果ab<0，则a<0D. ,a b R ∃∈，如果ab ≤0，则a ≤03．设变量x,y 满足约束条件： ,22,2y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则z=x-3y 的最小值( )A. -2B. -4C. -6D. -84．已知等比数列 {}n a 中，有a3all=4a7，31174a a a =,数列{}n b 是等差数列，且 77b a =，则59b b +=( )A ．2B ．4C ．8D ．165．设 10.23121log 3,(),23a b c ===，则( ) A ． a<b<c B. c<b<a C. c<a<b D. b<a<c6．若函数 cos ()y x N ωω*=∈的一个对称中心是 ,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则 ω的最小值为 A.2 B.3 C.6 D.97．已知抛物线 2:4C x y =的焦点为F ，直线x-2y+4 =0与C 交于A ，B 两点．则 cos AFB ∠的值为A ． 45B ． 35 C. 35- D ． 45- 8．直线y=x 与函数 22 x>m ()4 2 x m f x x x ⎧=⎨++≤⎩的图像恰有三个公共点，则实数m 的值范围是( )A. [)1,2-B. []1,2-C. [)2,+∞D. (],1-∞-第II 卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上）9．曲线 324y x x =-+在(1，3)处的切线的倾斜角为___________．10某人5次上班途中所花的时问（单位：分钟），分别为x ，y ，10，11，9。

天津市河东区高三第二次模拟考试数学(文)试题

天津市河东区2016年高三年级第二次模拟考试数学试卷（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.1. i 是虚数单位，已知11+=+bi iai ，则b a +为（A ．2-B ．0C ．2D ．i -12. 执行右图所示的程序框图，则S 的值为（） A ．55 B ．65 C ．36 D ．783. 已知双曲线的一个焦点为)0,5(1F 它的渐近线方程为x y 34±=，则该双曲线的方程为( ) A ．191622=-y x B ． 191622=-x y C ．116922=-y x D ．116922=-x y 4. 已知函数x x f ln )(=与exx g =)(，则它们的图象交点个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定5．“2=a ”是“点)0,2(P 不在圆042222=-++-y y a ax x 外”的什么条件（） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C . 既不充分也不必要条件 D . 充要条件 6. 下列选项中为函数412sin )62cos()(--=x x x f π的对称中心为( ) 密封装订线密封线内不要答题学校班姓名A ．)0,12(πB ．)41,3(-π C ．)0,3(π D ．)0,247(π7. 如右图所示，在三角形ABC 中，BC AD ⊥，1=AD , 4=BC ，点E 为AC 的中点，215=∙，则AB 的长度为( ) A ．2 B ．23C ．2D ．38. 已知))(()(b c a c c f --=，其中c b a -=+1且，则的取值范围为( ) A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,81 B ．[]1,0 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡41,0 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,91二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.） 9. 集合)}1(log ,3{2++=a a A ，},1{b B =，B A =则=b ________．10. 从1、2、3、4、5中不重复的随机选取两个数，它们的和为奇数的概率为． 11. 已知函数)(x f 为偶函数，且)0(,1)(2>-=x xx x f ，则=-')1(f ． 12. 如右图所示，一款儿童玩具的三视图中俯视图是以3为半径的圆，则该儿童玩具的体积为______．13. 如右图所示，圆O 上的弦AB 不为直径，DA 切圆O 于点A ，点E 在BA 的延长线上且AC DE //，点C 为BD 与圆交点，若2,6,3===CD DE AE ，则=AD ________．14. 已知函数()a a x x f +-=，()24x x g -=，若存在R x ∈使()()x f x g ≥，则a 的取D值范围是 __________．三、解答题：（本大题6个题，共80分） 15. （本小题满分13分）某企业生产A 、B 两种产品，它们的原料中均含甲、乙两种溶液，生产每件产品所需两种溶液的剂量如下表所示：生产产品A 和B 每件分别获得利润2万元、3万元，现只有甲、乙两种溶液各60升，该企业有三种生产方案，方案一：只生产A 。

天津市河东区高三第二次模拟考试数学(文)试题

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.1. i 是虚数单位，已知11+=+bi iai ，则b a +为（）A ．2-B ．0C ．2D ．i -12. 执行右图所示的程序框图，则S 的值为（） A ．55 B ．65 C ．36 D ．783. 已知双曲线的一个焦点为)0,5(1F 它的渐近线方程为x y 34±=，则该双曲线的方程为( ) A ．191622=-y x B ． 191622=-x y C ．116922=-y x D ．116922=-x y 4. 已知函数x x f ln )(=与exx g =)(，则它们的图象交点个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定5．“2=a ”是“点)0,2(P 不在圆042222=-++-y y a ax x 外”的什么条件（） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C . 既不充分也不必要条件 D . 充要条件6. 下列选项中为函数412sin )62cos()(--=x x x f π的对称中心为( )A ．)0,12(πB ．)41,3(-πC ．)0,3(πD ．)0,247(π7. 如右图所示，在三角形ABC 中，BC AD ⊥，1=AD , 4=BC ，点E 为AC 的中点，215=•，则AB 的长度为( )密封线内不要答题开始,1,0===S i a 12+=i a a S S +=2+=i i12≤i 是输出S结束否EDCA BA ．2B ．23C ．2D ．38. 已知))(()(b c a c c f --=，其中c b a -=+1且0,0,0≥≥≥b a c ，则()c f 的取值范围为( ) A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,81 B ．[]1,0 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡41,0 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,91二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.） 9. 集合)}1(log ,3{2++=a a A ，},1{b B =，B A =则=b ________．10. 从1、2、3、4、5中不重复的随机选取两个数，它们的和为奇数的概率为． 11. 已知函数)(x f 为偶函数，且)0(,1)(2>-=x xx x f ，则=-')1(f ． 12. 如右图所示，一款儿童玩具的三视图中俯视图是以3为半径的圆，则该儿童玩具的体积为______．13. 如右图所示，圆O 上的弦AB 不为直径，DA 切圆O 于点A ，点E 在BA 的延长线上且AC DE //，点C 为BD 与圆交点，若2,6,3===CD DE AE ，则=AD ________．14. 已知函数()a a x x f +-=，()24x x g -=，若存在R x ∈使()()x f x g ≥，则a 的取值范围是 __________．三、解答题：（本大题6个题，共80分） 15. （本小题满分13分）某企业生产A 、B 两种产品，它们的原料中均含甲、乙两种溶液，生产每件产品所需两种溶液的剂量如下表所示：单位：升 A B 甲 4 2 乙15·OA BEDC生产产品A 和B 每件分别获得利润2万元、3万元，现只有甲、乙两种溶液各60升，该企业有三种生产方案，方案一：只生产A 。

天津市河东区2023届高三下学期二模数学试题+答案解析

一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求天津市河东区2023届高三下学期二模数学试题的。

1.设集合，，，则( )A.，B.， C.，D.，3，2.已知命题p ：，命题q ：，则命题p 是命题q 成立的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数在的图象大致为( )A. B.C. D.4.为了解一片经济树林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长单位：，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．那么在这100株树木中，底部周长小于110cm 的株数n 是( )A. 30B. 60C. 70D. 805.设，，，则a ，b ，c 大小关系为( )A.B.C.D.6.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以圆形攒尖为例．如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面过圆锥旋转轴的截面是底边长为6m，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的体积约为( )A. B. C. D.7.已知离心率为的双曲线的左、右焦点分别是，若点P是抛物线的准线与C的渐近线的一个交点，且满足，则双曲线的方程是( )A. B. C. D.8.已知函数的最小正周期为，且它的图象关于直线对称，则下列说法正确的个数为( )将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象；的图象经过点；的图象的一个对称中心是；在上是减函数；A. 1B. 2C. 3D. 49.已知函数，，若方程有4个实根，则a的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

10.i是虚数单位，则复数__________.11.在的二项展开式中，含的项的系数是__________用数字作答12.圆与圆的公共弦长为__________.13.设正实数满足，则的最小值为__________.14.在中，点是线段BC上的两点，，，则__________，的取值范围是__________.15.甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为，，，现要求三人各投篮一次.假设每人投篮相互独立，则至少有一人命中的概率为__________；记三人命中总次数为X，则__________ .三、解答题：本题共5小题，共60分。

天津市河东区2023-2024学年高三下学期二模数学试卷

天津市河东区2023-2024学年高三下学期二模数学试卷一、单选题1．设全集{}0,1,2,3,4,5U =，{}1,2,3,4A =，{}1,3,5B =，则()U A B =I ð（） A ．∅B ．{}0C ．{}0,2,4D ．{}0,2,4,52．已知a ，b 为非零实数，则“01ab<<”是“a b <”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．函数1()tan ,{|00}tan 22f x x x x x x x ππ=+∈-<<<<或的图像为（） A ． B ．C ．D ．4．已知函数1()f x x x=-，若0.550.5log 2,log 0.2,0.5a b c -===，则（） A ．()()()f b f a f c << B ．()()()f c f b f a << C ．()()()f b f c f a <<D ．()()()f a f b f c <<5．将函数()sin(2)3f x x π=+的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法不正确的是（）A ．()g x 的最小正周期为πB ．6g π⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．6x π=是()g x 图象的一条对称轴 D ．()g x 为奇函数6．已知直线340x y a ++=与圆22:450C x y x +--=相交于,A B 两点，且30CAB ∠=︒，则实数=a （）A ．32或272-B ．52C ．52或232-D ．327．下列说法中正确的是（）A ．具有线性相关关系的变量x ，y ，其线性回归方程为0.2y x m =-，若样本的中心(),3.2m ，则4m =B ．数据3，4，2，8，1，5，8，6的中位数为5C ．将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差变大D ．若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.91-和0.89，则甲组数据的线性相关性更强 8．如图，已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为,VE 是棱11C D 的中点，平面1AB E 将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为（）A ．724V B ．717V C ．7V 15 D ．12V9．双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，Q 为线段12F F 上一点，P为双曲线上第一象限内一点，122PQF PQF S S =△△，1PQF △与2PQF V 的周长之和为10a ，且它们的内切圆半径相等，则双曲线的离心率为（） A ．2B ．4C ．5D ．6二、填空题10．i 是虚数单位，复数82ii-=+． 11．在52(2)a x x+的展开式中4x -的系数为320，则实数=a ． 12．甲袋中有3个红球，2个白球和1个黑球，乙袋中有4个红球，1 个白球和1个黑球（除颜色外，球的大小、形状完全相同）.先从甲袋中随机取出1球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1球.分别以1A ，2A ，3A 表示由甲袋取出的球是红球，白球和黑球的事件，以B 表示由乙袋取出的球是红球的事件，则P ()1|P B A =，()P B =. 13．a b c >>，*N n ∈，且11n a b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值为．14．如图所示，正方形ABCD EFGH 边长为1，则AE AG ⋅u u u r u u u r的值为.若在线段AB 上有一个动点M ，则ME MG ⋅u u u r u u u u r的最小值为.15．已知函数()f x x a a =--+，()243g x x x =-+，若方程()()f x g x =恰有2个不同的实数根，则实数a 的取值范围为.三、解答题16．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知πsin cos 6b A a B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(1)求角B 的大小；(2)设2a =，c =b 和()sin 2C B -的值．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，其中AD ∥1,,2,4,2BC AB AD AB AD BC PA E ⊥====为棱BC 上的点，且1,4BE BC Q =为棱CP 上的点，23CQ CP =.(1)求证：DE ⊥平面PAC ；(2)求平面PAC 与平面PCD 的夹角的的余弦值； (3)求直线QE 与平面PAC 所成角的正弦值.18．已知椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b+=>>的左焦点为()11,0F -，且过点81,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)过1F 作一条斜率不为0的直线PQ 交椭圆Γ于P 、Q 两点，D 为椭圆的左顶点，若直线DP 、DQ 与直线:40l x +=分别交于M 、N 两点，l 与x 轴的交点为R ，则MR N R ⋅是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．19．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，满足11a =，459a a a +=，正项数列{}n b 的前n项和为n S ，且31nn S =-．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)在1b 和2b 之间插入1个数11c ，使1b ，11c ，2b 成等差数列；在2b 和3b 之间插入2个数21c ，22c ，使2b ，21c ，22c ，3b 成等差数列；…；在n b 和1n b +之间插入n 个数1n c ，2n c ，…，mn c ，使n b ，1n c ，2n c ，nn c ，1n b +成等差数列．（ⅰ）求nk c ；（ⅱ）求11212212n n nn c c c c c c +++++++L L 的值． 20．已知函数()214ln 22x a x f x x =---，其中a 为正实数.（1）若函数()y f x =在1x =处的切线斜率为2，求a 的值；（2）求函数()y f x =的单调区间；（3）若函数()y f x =有两个极值点12,x x ，求证：()()126ln f x f x a +<-。

天津市河东区2023届高三二模数学试题

一、单选题二、多选题1.已知是第一象限角，且角的终边关于y 轴对称，则( )A．B．C．D．2.已知函数，过原点作曲线的切线，则切点的坐标为（）A．B．C．D．3. 甲､乙两所学校各有3名志愿者参加一次公益活动，活动结束后，站成前后两排合影留念，每排3人，若每排同一个学校的两名志愿者不相邻，则不同的站法种数有（）A ．36B ．72C ．144D ．2884. 已知复数、在复平面内对应的点关于虚轴对称，，则=A ．2B．C．D ．15. 下面四个条件中，使成立的充要条件为（）A．B．C．D．6. 将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在上有两个不同的零点，，则（）A．B．C．D．7. 已知函数，下列命题正确的是（）①是奇函数；②方程有且仅有1个实数根；③在上是增函数；④如果对任意，都有，那么的最大值为2.A ．①②④B ．①③④C ．①②③D ．②③④8. 某地为了鼓励村民在家乡创业，进行了一系列改革，一年以后当地村民的经济收入增加了一倍，已知改革前后当地村民经济收入构成比例如图所示，则下列说法正确的是（）A ．改革后，其他收入减少B．改革后，外出打工收入是改革前的C ．改革后，养殖收入增加了一倍D ．改革后，种植有机蔬菜收入所占比例增幅最大9. 已知直线经过双曲线（，）的左焦点，且与C 交于A ，B 两点，若存在两条直线，使得的最小值为4，则下列四个点中，C 经过的点为（）A．B．C．D．天津市河东区2023届高三二模数学试题天津市河东区2023届高三二模数学试题三、填空题10. “外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为，将其外观描述为“个”，则第二项为；将描述为“个”，则第三项为；将描述为“个，个”，则第四项为；将1描述为“个，个，个”，则第五项为，，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．则对于外观数列，下列说法正确的是（）A ．若，则从开始出现数字B．若，则的最后一个数字均为C ．不可能为等差数列或等比数列D ．若，则均不包含数字11. （多选）如图1所示，已知四棱锥P -ABCD 的底面为矩形，PC ⊥平面ABCD ，AB =BC =PC =2，O 为AP 的中点，则下列说法正确的是（）A ．若平面PAB ∩平面PCD =l，则B ．过点O 且与PC 平行的平面截该四棱锥，截面可能是五边形C ．平面PBD截该四棱锥外接球所得的截面面积为D ．A为球心，表面积为的球的表面与四棱锥表面的交线长度之和等于12. 古希腊数学家托勒密（Ptolemy 85-165）对三角学的发展做出了重要贡献，他研究出角与弦之间的对应关系，创造了世界上第一张弦表.托勒密用圆的半径的作为一个度量单位来度量弦长，将圆心角（）所对的弦长记为.例如圆心角所对弦长等于60个度量单位，即.则（）A．B．若，则C．D．（）13.已知三角形数表：现把数表按从上到下、从左到右的顺序展开为数列，记此数列的前项和为．若，则的最小值是_____．14. 在中，点在线段上，且，若，则___________.15. 如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换.如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换.有下列3种变换：四、解答题①对，变换：求集合A 的补集；②对任意，变换：求z 的共轭复数；③对任意，变换：（k ，b 均为非零实数）.其中是“回归”变换的是______.16. 某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核.（I ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（II ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（III ）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望.17. 北京市某区针对高三年级的一次测试做调研分析，随机抽取同时选考物理､化学的学生330名，下表是物理､化学成绩等级和人数的数据分布情况：物理成绩等级化学成绩等级人数（名）11053255701531210(1)从该区高三年级同时选考物理､化学的学生中随机抽取1人，已知该生的物理成绩等级为，估计该生的化学成绩等级为的概率；(2)从该区高三年级同时选考物理､化学的学生中随机抽取2人，以表示这2人中物理､化学成绩等级均为的人数，求的分布列和数学期望（以上表中物理､化学成绩等级均为的频率作为每名学生物理､化学成绩等级均为的概率）；(3)记抽取的330名学生在这次考试中数学成绩（满分150分）的方差为，排名前的成绩方差为，排名后的成绩方差为，则不可能同时大于和，这种判断是否正确.（直接写出结论）.18. 五一假期，大学生李明与张红两位同学在某景区的游乐场射箭比赛，两人约定：先射中者获胜，比赛结束；或每人都已射击3次时比赛结束经过抽签确定李明先射，根据以往经验，李明每次射箭射中的概率为，张红每次射箭射中的概率为，且各次射箭互不影响.（1）求李明获胜的概率；（2）求射箭比赛结束时李明的射击次数的分布列和数学期望.19. 某年某省有40万考生参加高考．已知考试总分为750分，一本院校在该省计划招生6万人．经考试后统计，考试成绩X 服从正态分布，若以省计划招生数确定一本最低录取分数．（1）已知，则该省这一年的一本最低录取分数约为多少？（2）某公司为考生制定了如下奖励方案：所有高考成绩不低于一本最低录取分数的考生均可参加“线上抽奖送话费”活动，每个考生只能抽奖一次．抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数（10，11，…，99），若产生的两位数字相同，则可奖励20元话费，否则奖励5元，假如所有符合条件的考生均参加抽奖活动，估计这次活动奖励的话费总额是多少？20. 已知椭圆的左焦点为，长轴长为.过右焦点的直线交椭圆C于两点，直线分别交直线于点.(1)求椭圆C 的方程；(2)设线段中点为，当点位于轴异侧时，求到直线的距离的取值范围.21. 已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若两个不相等的正实数a ，b 满足，求证：；(3)若，求证：.。

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