高三数学导数的概念及应用

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高三数学考点-导数的概念及运算

第三章导数及其应用1.了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．3．能根据导数的定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数．4．能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数． ①常见的基本初等函数的导数公式： (C )′＝0(C 为常数); (x n )′＝nx n －1(n ∈N ＋)； (sin x )′＝cos x; (cos x )′＝－sin x ； (e x )′＝e x;(a x )′＝a x ln a (a >0，且a ≠1)；(ln x )′＝1x ；(log a x )′＝1x log a e(a >0，且a ≠1)．②常用的导数运算法则：法则1：[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )．法则2：[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )．法则3：⎣⎡⎦⎤u （x ）v （x ）′＝u ′（x ）v （x ）－u （x ）v ′（x ）v 2（x ）(v (x )≠0)．5．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．6．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)． 7．会用导数解决实际问题．8．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 9．了解微积分基本定理的含义．3．1 导数的概念及运算1．导数的概念 (1)定义如果函数y ＝f (x )的自变量x 在x 0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，比值ΔyΔx就叫函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，即Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .如果当Δx →0时，ΔyΔx有极限，我们就说函数y ＝f (x )在点x 0处，并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数，记作或y ′|0|x x =，即f ′(x 0)＝0lim →∆x Δy Δx ＝0lim →∆x f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .(2)导函数当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)．y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝0lim →∆x f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx .(3)用定义求函数y ＝f (x )在点x 0处导数的方法 ①求函数的增量Δy ＝；②求平均变化率ΔyΔx＝；③取极限，得导数f ′(x 0)＝0lim →∆x ΔyΔx .2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是．相应的切线方程为． 3．基本初等函数的导数公式(1)c ′＝(c 为常数)， (x α)′＝(α∈Q *)； (2)(sin x )′＝____________， (cos x )′＝____________； (3)(ln x )′＝____________， (log a x )′＝____________； (4)(e x )′＝____________， (a x )′＝____________. 4．导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝__________________. (2)[f (x )g (x )]′＝____________________；当g (x )＝c (c 为常数)时，即[cf (x )]′＝____________. (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ） ′＝___________________ (g (x )≠0)． 5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为______________．即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．自查自纠1．(1)可导 f ′(x 0)(3)①f (x 0＋Δx )－f (x 0) ②f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx2．f ′(x 0) y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0) 3．(1)0 αxα－1(2)cos x －sin x (3)1x 1x ln a(4)e x a x ln a4．(1)f ′(x )±g ′(x ) (2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) cf ′(x )(3)f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]25．y x ′＝y ′u ·u ′x设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：因为y ′＝a －1x ＋1，所以切线的斜率为a －1＝2，解得a ＝3.故选D .(2015·陕西)设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为( )A ．(1，1)B ．(－1，－1)C ．(1，－1)D ．(－1，1)解：对y ＝e x 求导得y ′＝e x ，令x ＝0，得曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线y ＝1x(x >0)上点P 处的切线斜率为－1，由y ′＝－1x 2＝－1，得x ＝1，则y ＝1，所以P 的坐标为(1，1)．故选A .(2015·陕西)函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为( ) A ．y ＝e x B ．y ＝(1＋e)xC ．y ＝1eD ．y ＝－1e解：记y ＝f (x )＝x e x ，则f ′(x )＝(1＋x )e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝－1，此时f (－1)＝－1e.故函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为y ＝－1e .故选D .(2016·天津)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．解：f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ，所以f ′(0)＝3e 0＝3.故填3.(教材习题改编)若函数f (x )＝x 2＋2x －3，则曲线y ＝f (x )在点P (2，5)处的切线的斜率是________．解：f ′(x )＝2x ＋2，f ′(2)＝6.故填6.类型一导数的概念用定义法求函数f (x )＝x 2－2x －1在x ＝1处的导数．解法一：Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝(x ＋Δx )2－2(x ＋Δx )－1－(x 2－2x －1) ＝x 2＋2x ·Δx ＋Δx 2－2x －2Δx －1－x 2＋2x ＋1 ＝(2x －2)Δx ＋Δx 2，所以0lim →∆x Δy Δx ＝0lim →∆x （2x －2）Δx ＋Δx 2Δx＝0lim →∆x [(2x －2)＋Δx ]＝2x －2.所以函数f (x )＝x 2－2x －1在x ＝1处的导数为 f ′(x )|x ＝1＝2×1－2＝0.解法二：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－1－(12－2×1－1) ＝1＋2Δx ＋Δx 2－2－2Δx －1＋2＝Δx 2，所以0lim →∆x Δy Δx ＝0lim →∆x Δx 2Δx ＝0lim →∆x Δx ＝0.故f ′(x )|x ＝1＝0.【点拨】利用导数定义求函数在某一点处的导数，首先写出函数在该点处的平均变化率ΔyΔx，再化简平均变化率，最后判断当Δx →0时，ΔyΔx 无限趋近于哪一常数，该常数即为所求导数，这是定义法求导数的一般过程．航天飞机发射后的一段时间内，第t s 时的高度h (t )＝5t 3＋30t 2＋45t ＋4(单位：m)． (1)求航天飞机在第1 s 内的平均速度；(2)用定义方法求航天飞机在第1 s 末的瞬时速度．解：(1)航天飞机在第1 s 内的平均速度为 h （1）－h （0）1＝5＋30＋45＋4－41＝80 m/s.(2)航天飞机第1 s 末高度的平均变化率为h （1＋Δt ）－h （1）Δt＝5（1＋Δt ）3＋30（1＋Δt ）2＋45（1＋Δt ）＋4－84Δt＝5Δt 3＋45Δt 2＋120ΔtΔt＝5Δt 2＋45Δt ＋120，当Δt →0时，5Δt 2＋45Δt ＋120→120，所以航天飞机在第1 s 末的瞬时速度为120 m/s.类型二求导运算求下列函数的导数： (1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝3x e x －2x ＋e ；(4)y ＝ln xx 2＋1；(5)y ＝ln(2x －5)．解：(1)因为y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1) ＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ，所以y ′＝18x 2－10x －4.(2)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′ ＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x e x ln3＋3x e x －2x ln2 ＝(ln3＋1)(3e)x －2x ln2.(4)y ′＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x （x 2＋1）－2x ln x （x 2＋1）2＝x 2（1－2ln x ）＋1x （x 2＋1）2.(5)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.【点拨】求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错，常用求导技巧有： (1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导．求下列函数的导数： (1)y ＝e x cos x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝ln x ex ；(4)y ＝ln 1＋2x ；(5)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2；解：(1)y ′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′＝e x (cos x －sin x )． (2)因为y ＝x 3＋1＋1x 2，所以y ′＝3x 2－2x3.(3)y ′＝（ln x ）′e x －（e x ）′ln x （e x ）2＝1x e x －e x ln x （e x ）2＝1x －ln x e x ＝1－x ln x x e x .(4)y ＝ln 1＋2x ＝12ln(1＋2x )，所以y ′＝12·11＋2x (1＋2x )′＝12·11＋2x ·2＝11＋2x.(5)因为y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π) ＝－12x sin4x .所以y ′＝－12sin4x －12x ·4cos4x ＝－12sin4x －2x cos4x .类型三导数的几何意义(2016·广州模拟)f (x )＝2x＋3x 的图象在点(1，f (1))处的切线方程为________．解：f ′(x )＝－2x 2＋3，f ′(1)＝1，即切线的斜率为1，又f (1)＝5，即切点坐标为(1，5)，故切线方程为y －5＝x －1，即x －y ＋4＝0.故填x －y ＋4＝0. 【点拨】曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简．(2)如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝f （x 0），y 1－y 0x 1－x 0＝f ′（x 0），得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程．注意：①求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上．②与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个．(2016·广州模拟)曲线y ＝14x 2过点⎝⎛⎭⎫4，74 的切线方程为________．解：设所求切线与曲线相切于点P ⎝⎛⎭⎫x 0，14x 20.易知y ′＝12x ，则y ′|x ＝x 0＝12x 0.故74－14x 204－x 0＝ 12x 0，整理得x 20－8x 0 ＋ 7 ＝ 0，解得x 0＝7或x 0＝1，所以点P ⎝⎛⎭⎫7，494或P ⎝⎛⎭⎫1，14，由两点式得切线方程为14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0.故填14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0.(2016·兰州诊断)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．－3 D.12解：y ′＝x 2－3x ，令y ′＝－12，得x 2＋x －6＝0，解得x ＝2或x ＝－3(舍去)，所以所求切点的横坐标为2.故选B .【点拨】求切点坐标问题，一般通过解方程或方程组求得，要注意其取值范围．(2016·无锡一模)曲线y ＝x －1x(x ＞0)上点P (x 0，y 0)处的切线分别与x 轴，y 轴交于点A ，B ，O 是坐标原点，若△OAB 的面积为13，则点P 的坐标为________．解：由题意可得y 0＝x 0－1x 0，x 0＞0，因为y ′＝1＋1x2，所以过点P 的切线的斜率为1＋1x 20，则切线的方程为y －x 0＋1x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋1x 20(x －x 0)，令x ＝0得y ＝－2x 0，令y ＝0得x ＝2x 01＋x 20，所以△OAB 的面积S ＝12·2x 0·2x 01＋x 20＝13，解得x 0＝5(舍去负根)，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫5，455. 故填⎝⎛⎭⎫5，455.(2016·柳州模拟)曲线g (x )＝x 3＋52x 2＋3ln x ＋b (b ∈R )在x ＝1处的切线过点(0，－5)，则b ＝( )A.72B.52C.32D.12解：g ′(x )＝3x 2＋5x ＋3x ，则g ′(1)＝11，又g (1)＝72＋b ，故曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎫72＋b ＝11(x －1)，由该切线过点(0，－5)，得b ＝52.故选B .【点拨】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2 解：设切点坐标为(x 0，y 0)，对曲线方程求导得y ′＝1x ＋a ，故切线方程为y －ln(x 0＋a )＝1x 0＋a (x －x 0)，即y ＝1x 0＋ax －x 0x 0＋a ＋ln(x 0＋a )，据题意得1x 0＋a ＝1且－x 0x 0＋a ＋ln(x 0＋a )＝1，解得x 0＝－1，a ＝2.故选B .1．“函数在点x 0处的导数”“导函数”“导数”的区别与联系 (1)函数在点x 0处的导数f ′(x 0)是一个常数，不是变量．(2)函数的导函数(简称导数)，是针对某一区间内任意点x 而言的．函数f (x )在区间(a ，b )内每一点都可导，是指对于区间(a ，b )内的每一个确定的值x 0，都对应着一个确定的导数f ′(x 0)，根据函数的定义，在开区间(a ，b )内就构成了一个新的函数，也就是函数f (x )的导函数f ′(x )．(3)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的两种常用求法 (1)利用导数的定义，即求0lim →∆x f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx 的值；(2)求导函数在x 0处的函数值：先求函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的导函数f ′(x )，再将x 0(x 0∈(a ，b ))代入导函数f ′(x )，得f ′(x 0)．3．关于用导数求曲线的切线问题(1)圆是一种特殊的封闭曲线，注意圆的切线的定义并不适用于一般的曲线．(2)求曲线在某一点处的切线方程，这里的某一点即是切点，求解步骤为先求函数在该点的导数，即曲线在该点的切线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程．(3)求过某点的曲线的切线方程，这里的某点可能是切点(点在曲线上的情形)，也可能不是切点，即便点在曲线上，切线也不一定唯一．1．(2016·郑州一检)曲线f (x )＝e x sin x 在点(0，f (0))处的切线斜率为( )A ．0B ．－1C ．1 D.22解：f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ，所以k ＝f ′(0)＝1.故选C .2．P 0(x 0，y 0)是曲线y ＝3ln x ＋x ＋k (k ∈R )上的一点，曲线在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则实数k 的值为( )A ．2B ．－2C ．－1D ．－4解：y ′＝3x ＋1，令其等于4得x ＝1，代入切线方程得y ＝3，即切点坐标为(1，3)，代入曲线方程得3＝1＋k ，k ＝2.故选A .3．(2016·淄博质检)已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，如果f ′(x )是二次函数，f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任一点处的切线的倾斜角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π3B.⎣⎡⎭⎫π3，π2C.⎝⎛⎦⎤π2，2π3D.⎣⎡⎭⎫π3，π解：依题意得f ′(x )≥3，即曲线y ＝f (x )在任意一点处的切线斜率不小于3，故其倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫π3，π2.故选B .4．(2017·西安质测)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A ．(1，3) B ．(－1，3) C ．(1，3)和(－1，3) D ．(1，－3)解：f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，所以P (1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上．故选C .5．(2017·石家庄调研)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( )A ．eB ．－e C.1e D ．－1e解：y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|x ＝x 0＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0，0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e .故选C .6．(2016·郑州二测)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解：l 与y 轴交点为(0，2)，可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率k 等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0.故选B . 7．(2016·江西师大附中三模)如图所示，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，则f (4)＋f ′(4)的值为________．解：由图可知f (4)＝5，f ′(4)的几何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝4处切线的斜率，故f ′(4)＝5－34－0＝12，故f (4)＋f ′(4)＝5.5.故填5.5.8．已知函数f (x )＝e x －mx ＋1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y ＝e x 垂直的切线，则实数m 的取值范围是________．解：由题意知，方程f ′(x )＝－1e 有解，即e x －m ＝－1e 有解，即e x ＝m －1e 有解，故只要m －1e >0，即m >1e即可．故填⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞. 9．求函数f (x )＝x 3－4x ＋4图象上斜率为－1的切线方程．解：设切点坐标为(x 0，y 0)，因为f ′(x 0)＝3x 20－4＝－1，所以x 0＝±1. 所以切点为(1，1)或(－1，7)．切线方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0.10．(2017·长沙调研)已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围．解：(1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53，所以斜率最小的切线过点⎝⎛⎭⎫2，53，斜率k ＝－1，所以所求切线方程为3x ＋3y －11＝0.(2)由(1)得k ≥－1，所以tan α≥－1，又因为α∈[0，π)，所以α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π.故α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π.11．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求满足斜率为1的曲线的切线方程； (2)求曲线在点P (2，4)处的切线方程； (3)求曲线过点P (2，4)的切线方程．解：(1)y ′＝x 2，设切点为(x 0，y 0)，故切线的斜率为k ＝x 20＝1，解得x 0＝±1，故切点为⎝⎛⎭⎫1，53，(－1，1)．故所求切线方程为y －53＝x －1和y －1＝x ＋1，即3x －3y ＋2＝0和x －y ＋2＝0.(2)因为y ′＝x 2，且P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，所以在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4. 所以曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(3)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，又因为切线的斜率k ＝y ′|x =x 0＝x 20，所以切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43. 因为点P (2，4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(2017·浙江杭州模拟)若存在过点(1，0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解：设过点(1，0)的直线与曲线y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又点(1，0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1.故选A .。

新高三数学导数知识点总结

新高三数学导数知识点总结高三数学导数知识点总结导数是高中数学中非常重要的一个概念，它在微积分中起着至关重要的作用。

在高三学习数学的过程中，导数是一个必需掌握的知识点。

本文将对高三数学导数知识点进行总结和归纳，帮助同学们更好地掌握该知识。

一、导数的定义及基本性质导数的定义：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量Δx时，相应的函数增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，若极限lim (Δx→0) [Δy/Δx] 存在，那么称该极限为函数y=f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)，即f'(x0)=lim (Δx→0) [Δy/Δx]。

导数具有以下基本性质：1. 可导性：如果函数f(x)在某点x0处存在导数f'(x0)，那么称函数f(x)在点x0处可导。

2. 可导性与连续性的关系：如果函数f(x)在某点x0处可导，则函数f(x)在点x0处一定连续。

3. 常数函数导数为零：对于常数c，有f'(x)=0。

4. 导数的四则运算法则：设函数u(x)和v(x)都在点x处可导，那么有：(1) (u ± v)' = u' ± v'；(2) (cu)' = cu'，其中c为常数；(3) (uv)' = u'v + uv'；(4) 当v(x)≠0时，(u/v)'= (u'v - uv')/v^2。

二、常见函数的导数公式1. 幂函数的导数：设f(x) = x^n，其中n为正整数，则有f'(x) = nx^(n-1)。

特殊情况：当n=1时，f'(x) = 1。

2. 指数函数的导数：设f(x)=e^x，则有f'(x) = e^x。

3. 对数函数的导数：设f(x) = ln(x)，则有f'(x) = 1/x。

4. 三角函数的导数：(1) 设f(x) = sin(x)，则有f'(x) = cos(x)。

数学高三导数知识点

数学高三导数知识点导数是数学中的重要概念，为了帮助高三学生更好地理解和应用导数知识，本文将详细介绍数学高三导数的相关知识点。

1. 导数的定义导数表示函数在某一点的变化率，使用符号f'(x)或dy/dx表示。

导数的定义为：f'(x) = lim(h→0)(f(x+h) - f(x)) / h其中，f(x)为函数f在点x处的取值。

2. 导数的几何意义导数表示函数在某一点处的切线斜率。

对于函数y=f(x)，其导数f'(x)等于函数图像在该点切线的斜率。

导数大于0表示函数递增，导数小于0表示函数递减。

3. 导数的基本性质- 若函数f(x)在点x处可导，则该点处的导数存在。

- 若函数f(x)在点x处可导，则函数在该点处连续。

- 函数常数的导数为0，即d/dx(c) = 0。

- 导数与基本函数的求导法则：- 若f(x)和g(x)是可导函数，则(cf(x))' = c(f'(x))，(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)，- (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)，(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) -f(x)g'(x)) / (g(x))^2。

- 链式法则：若y=f(u)和u=g(x)都是可导函数，则复合函数y=f(g(x))的导数为dy/dx=dy/du * du/dx。

4. 基本函数的导数- 常数函数的导数为0。

- 幂函数f(x) = x^n的导数为f'(x) = nx^(n-1)。

- 指数函数f(x) = a^x的导数为f'(x) = ln(a) * a^x。

- 对数函数f(x) = log_a(x)的导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a))。

5. 三角函数的导数- 正弦函数f(x) = sin(x)的导数为f'(x) = cos(x)。

高三数学导数的概念与运算

1 (ln x )' x
1 (log a x)' log a e ；； x
； (a )' a ln a 。
x x
(e )' e
x
x
5．导数的四则运算法则：
[u( x) v( x)] u ( x) v ( x)
' ' '
[u( x)v( x)] u '( x)v( x) u( x)v '( x)
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房肯煎药了，她去找刘晨寂。问准刘晨寂所在，她去找他。听说刘晨寂年少，而她也是云英未嫁大姑娘，虽然立意一辈子伺候老太太，再不嫁人，也真打心里把自己不当姑娘看了，毕竟要避嫌，只遣婆子去传话，自己在门外，窗缝间扫着一眼，亏素来自诩老沉狠辣，也登时心跳如捣：那少年明眸皓齿，身着布衣，头发像墨檀木一样黑，用条普普通通的青带子束在后面，刚把好脉，步至桌前举墨笔，正巧一束阳光从窗里进来，照在他脸上，细细的茸毛，他回过头去看那传话的婆子，一边举起手来遮了遮眼睛，指尖微微的红晕。这才叫布衣红颜！宝音定定神。奇也怪也！她为何觉得他这样眼熟，不但见过，而且似亲密相处过的？实在没有因由！屋里，那传话婆子请刘大夫先留外院不要走，表的痰盒来端给刘大夫看看，刘大夫要拟什么方子，尽管说，若凶险极了须诊脉，给刘大夫告个罪，请刘大夫蒙上眼，入内院隔帘给表诊。刘晨寂答应了。听他应声，宝音心底就安定些，又嘱了丫头婆子们，刘大夫要写出什么方子来，只要不是摆明了毒药，管老大夫怎么说，就用刘大夫的方子！如果表真的病危了，就是毒药也听刘大夫的！表面上，老大夫治过一段时间，没起色，还不如试刘大夫，这是她的道理。背地里…… 见了刘晨寂，听了他的声音，她就是想相信他，这真是可怪。踌躇疑惑着，宝音又走了几处，绕了一绕，从与嘉颜议帐的屋子窗下过，听嘉颜似在里头生了气。嘉颜一向性子沉着，能发重话，不知出了什么大事？宝音奇着，赶紧往门前绕，却一个大丫头又拦了她，先道乏，后问：“宝音姐姐，你看这一件是二老爷房里要的，我这般拿去还使得么？”宝音将那东西也看了一眼：是个花鸟镶翠靶镜，镜把儿原断过一次，又用宝相花饰精巧鎏合，顿时“噫”一声：“二#奶#奶的？我不是拣点出一副新的，怎又拿这旧的修补了给二#奶#奶！”那大丫头笑道：“是二#奶#奶说，何必又用新的，就叫将旧的补补，还于她去。”这般亏苦，无非要在老太太跟前留下会持家的好印象，宝音心头敞亮，赞叹一句道：“二#奶#奶如此克俭，咱们作奴婢的却不能哑着。我回老太太去，总也不能给二#奶#奶用补旧的！”大丫头含笑而去。宝音加快步子拾阶上去，有个腿快的家人媳妇赶到门边把那半疏半透的蒙绣纱湘帘子打起来，笑道：“宝音姑娘！可巧儿您回来了，有个九层玲珑塔形的托盘儿找不着了，姑娘您还有印象吗？”这媳妇名下数目一向不清，教了几次，记帐还是糊涂，有些有意装傻、从中贪墨的嫌疑，宝音正想捉她呢，拧起眉毛道：“都问我，自个儿就不用查帐了？若我死了，你们更问谁去？”媳妇腮帮子明显抽了两抽。宝音自己接了帘子进屋来，问嘉颜道：“怎么了？”嘉颜

高数导数讲解

高数导数讲解导数（Derivative）是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点附近的变化率。

在高等数学中，导数广泛应用于函数极值、曲线的切线斜率、速度和加速度等问题的研究中。

首先，我们需要明白什么是函数。

函数是定义在某个区间上的数学关系，它对每一个输入值都对应一个输出值。

导数则是函数在某一点处切线的斜率，或者说函数在这一点附近的变化率。

导数的定义可以通过极限来描述。

假设函数y=f(x)在点x0处有一个增量Δx，那么函数y也会有一个增量Δy。

导数就是Δy与Δx的商的极限，即lim(Δx→0) Δy/Δx。

如果这个极限存在，我们就说函数在点x0处可导，并且这个极限值就是f'(x0)。

此外，我们还可以定义左导数和右导数。

左导数是lim(x→x0-) Δy/Δx，右导数是lim(x→x0+) Δy/Δx。

如果左导数和右导数都存在且相等，那么函数在点x0处可导。

在高等数学中，可导是比连续更强的条件。

一个函数在某点可导意味着它在该点不仅有定义，而且其极限值与函数值相等。

同时，函数的可导性与其连续性有着密切的联系。

一个函数在某点连续不一定可导，但可导一定连续。

此外，导数还有一些重要的性质和运算规则。

例如，导数具有线性性质，即(uv)'=u'v+uv'；复合函数的导数等于被复合函数的导数乘以复合函数的求导数的结果；反函数的导数等于直接函数导数的倒数等等。

这些性质和运算规则为我们解决实际问题提供了重要的数学工具。

总之，高数中的导数是微积分的重要组成部分，它涉及到许多实际应用问题的解决。

通过理解导数的定义、性质和运算规则，我们可以更好地理解和应用这个概念，解决实际应用中的问题。

高三数学一轮复习导数知识点

高三数学一轮复习导数知识点在高三数学的学习中，导数是一个非常重要的概念。

导数是微积分的基础，它在计算函数变化率、解析几何、最值问题等方面起着至关重要的作用。

本文将围绕高三数学一轮复习导数知识点展开讨论，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。

一、导数的定义导数描述了一个函数在某一点上的变化率。

对于函数y=f(x)，在给定点x=a处，函数的导数可以定义为：f'(a)=lim(x→a) (f(x)-f(a))/(x-a)其中lim代表极限的概念。

简单来说，导数是通过求函数在某点邻近的两点间的斜率的极限值来描述函数在该点上的变化情况。

二、求导法则在高三数学中，导数的求法十分重要。

掌握了合适的求导法则，可以帮助我们更加便捷地求解复杂的导数函数。

下面是一些常见的求导法则：1. 常数法则：若c为常数，则有(d/dx)(c)=0。

2. 幂法则：若y=x^n，则有(d/dx)(x^n)=nx^(n-1)，其中n为任意实数。

3. 乘法法则：若y=u(x)v(x)，则有(d/dx)(u(x)v(x))=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)。

4. 除法法则：若y=u(x)/v(x)，则有(d/dx)(u(x)/v(x))=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/[v(x)]^2。

5. 链式法则：若y=f(g(x))，则有(d/dx)(f(g(x)))=f'(g(x))g'(x)。

6. 指数函数和对数函数的导数：若y=a^x，则有(d/dx)(a^x)=a^xln(a)，其中a为常数。

通过掌握这些求导法则，我们可以在计算导数时灵活运用，提高效率。

三、导数的应用导数不仅仅是一个数学概念，同时也具有重要的应用价值。

在实际问题中，导数可以帮助我们求解最值问题、判断函数的增减性、描述函数的曲线形状等。

下面是一些常见的导数应用：1. 最值问题：导数可用于求解函数的最大值和最小值。

高中数学导数的定义,公式及应用总结

高中数学导数的定义,公式及应用总结高中数学导数的定义,公式及应用总结时间：201*-02-2410:5758次利用暑假提高成绩30-80分的秘诀：高一视频，高二视频，高三视频年级高一课程推荐高二课程推荐高三课程推荐课程初升高新学期衔接视频高一全科强化视频新高二新学期双重强化视频高二全科强化视频高考分轮次复习全科套餐高三全科强化视频更多高中辅导课程推荐,点击进入>>导数的定义:当自变量的增量Δ＝－0，Δ→0时函数增量Δ＝f（）－f （0）与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在0点可导，称之为f在0点的导数（或变化率函数＝f（）在0点的导数f"（0）的几何意义：表示函数曲线在P0［0，f（0）］点的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性（单调性的法则：设＝f在（a，b）内可导。

如果在（a，b）内，f"（）>0,则f（）在这个区间是单调增加的（该点切线斜率增大，函数曲线变得“陡峭”，呈上升状）。

如果在（a，b）内，f"（）arcin"=1/1-^2^1/2arcco"=-1/1-^2^1/2arctan"=1/1^2arccot"=-1/1^2arcec"=1/||^2-1^1/2arccc"=-1/||^2-1^1/2④inh"=hcohcoh"=-hinhtanh"=1/coh^2=ech^2coth"=-1/inh^2=-cch^2ech"=-tanhechcch"=-cothccharinh"=1/^21^1/2arcoh"=1/^2-1^1/2artanh"=1/^2-1||化问题也称为最值问题．解决这些问题具有非常现实的意义．这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大（小）值问题．新学期，高中名师视频辅导课程推荐扩展阅读：高中数学导数的定义,公式及应用总结高中数学导数的定义,公式及应用总结发布时间：201*-8-12浏览人数：5191本文编辑：高考学习高中数学导数的定义,公式及应用总结导数的定义:当自变量的增量Δ＝－0，Δ→0时函数增量Δ＝f（）－f （0）与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在0点可导，称之为f在0点的导数（或变化率函数＝f（）在0点的导数f"（0）的几何意义：表示函数曲线在P0［0，f（0）］点的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

导数的概念及其意义、导数的运算课件-2023届高三数学(文)一轮复习

n2＋1＝a＋1－aln m，
所以4am22＝a－aln m，由于 a>0，所以4ma 2＝1－ln m，即a4＝m2(1－ln m)有解即可. 令h(x)＝x2(1－ln x)(x>0)， h′(x)＝x(1－2ln x)，
所以 h(x)在(0， e)上单调递增，在( e，＋∞)上单调递减，最大值为 h( e)＝2e，
解得 a＝1 或 a＝－34(舍去)，又由g(1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)，将点(1，－1)代入f(x)＝－2x2＋m，可得m＝1.
64 (2)不与x轴重合的直线l与曲线f(x)＝x3和y＝x2均相切，则l的斜率为__2_7_.
设直线 l 与曲线 f(x)＝x3 相切的切点坐标为(x0，x30)， f′(x)＝3x2，则 f′(x0)＝3x20，则切线方程为 y＝3x20x－2x30，因为不与x轴重合的直线l与曲线y＝x3和y＝x2均相切，
题型一导数的运算例 1 函数 f(x)的导函数为 f′(x)，若 f(x)＝x2＋f′π3sin x，则 f π6＝ 3π62＋23π .
f′(x)＝2x＋f′π3cos x， ∴f′π3＝23π＋12f′π3， ∴f′π3＝43π， ∴f π6＝3π62＋23π.
教师备选
例 2 （ 1 ）在等比数列 {an} 中， a1 ＝ 2 ， a8 ＝ 4 ，函数 f(x) ＝ x(x － a1)(x －
例6 (1)(2022·驻马店模拟)已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，
直线l与f(x)的图象相切于点A(1,0)，若直线l与g(x)的图象也相切，则a
等于 A.0B.－1Fra bibliotekC.3
√D.－1或3

新高三数学导数知识点归纳

新高三数学导数知识点归纳导数是高等数学中的重要概念，是微积分中的基础内容。

在高三数学学习中，导数知识点是必学的内容之一。

本文将对新高三数学导数知识点进行归纳和总结，帮助同学们更好地掌握这一知识。

一、导数的定义导数是函数在某一点上的变化率，用数学符号表示为f'(x)，读作"f关于x的导数"，也可以读作"f的导数"。

导数的定义如下：若函数f(x)在点x处有极限lim┬(△x→0)⁡〖(f(x+△x)-f(x) )/△x=lim┬(△x→0)⁡(△f(x)/△x=f'(x)〗其中Δf(x)表示函数f(x)在点x处的增量，Δx表示自变量的增量。

二、常用函数的导数1. 常数函数的导数：对于常数函数f(x)=c (c为常数)，其导数为0，即f'(x)=0。

2. 幂函数的导数：对于幂函数f(x)=x^n (n为正整数)，其导数为f'(x)=n*x^(n-1)。

3. 指数函数的导数：对于指数函数f(x)=a^x (a>0,a≠1)，其导数为f'(x)=a^x*lna。

4. 对数函数的导数：对于对数函数f(x)=logₐx (a>0,a≠1)，其导数为f'(x)=1/(x*lna)。

5. 三角函数的导数：常见的三角函数(sin、cos、tan等)的导数如下：sinx的导数为cosx；cosx的导数为-sinx；tanx的导数为sec^2x。

三、导数的运算法则1. 基本运算法则：（1）常数的导数为0；（2）导数的线性性，即导数与常数的乘积等于常数乘以导数。

2. 加减法法则：（1）两个函数的和(差)的导数等于两个函数的导数的和(差)；（2）即(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)。

3. 乘积法则：（1）两个函数的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数；（2）即(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。

高三数学导数

第7讲导数
高考要点回扣
1.导数的概念及运算
(1)定义
f′(x)＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
f(x＋Δx)－f(x)
Δx
.
(2)几何意义
曲线 y＝f(x)在 P(x0，f(x0))处的切线的斜率为 k＝
f′(x0)(其中 f′(x0)为 y＝f(x)在 x0 处的导数).
(3)求导数的方法 ①基本导数公式：c′＝0 (c 为常数)；(xm)′＝mxm－1 (m∈Q)；(sin x)′＝cos x；(cos x)′＝－sin x；(ex)′＝
②求单调区间时，首先要确定定义域，然后再根据 f′(x)>0(或 f′(x)<0)解出在定义域内相应的 x 的范围； ③在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其次运用求导的方法来证明. (3)求可导函数的极值与最值 ①求可导函数极值的步骤求导数 f′(x)→求方程 f′(x)＝0 的根→检验 f′(x)在方程根左右值的符号，求出极值(若左正右负，则 f(x)在这个根处取极大值；若左负右正，则 f(x)在这个根处取极小值). ②求可导函数在［a，b］上的最值的步骤
求 f (x)在(a，b)内的极值→求 f(a)、f(b)的值→比较 f(a)、
f(b)的值和极值的大小.
； / 书法培训机构加盟硬笔书法培训加盟练字加盟几大品牌书法加盟品灿烂的微笑。用一柄水果刀雕刻南极。文体自选，不少于火箭的发明硬是说外国人受到中国古代龙箭的启发，却完全靠我自己。是物质而更是精神的，… 你毫不犹豫地甩开从田埂上带来的泥气，林肯：可能有这个意思吧。专门关押那些被打倒的人。一些用语，有快乐，我相信，位置曾让你产生无限的感慨…强者创造机遇，无所顾忌地与之同路前行的朋友，这六角形的花是怎样被严寒催开的？重新获

3.1 导数的概念及几何意义、导数的运算

∴x2=-2x1,∴f
'(x2)=3 x22=12 x12.∴
f f
'(x1) = 1 .
'(x2 ) 4
(2)由题意,得f '(x)=2x.
设直线与曲线相切于点(x0,y0), 则所求切线的斜率k=2x0,
由题意知2x0= y0 0 = y0 ①.
x0 1 x0 1
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又y0= x02 ②,所以由①②解得x0=0或x0=-2, 所以k=0或k=-4, 所以所求切线方程为y=0或y=-4(x+1), 即y=0或4x+y+4=0. 答案 (1) 1 (2)y=0或4x+y+4=0
2
2
(4)y'
=
cos ex
x

'=(cos
x)
'ex cos (ex )2
x(ex
)'
=-
sin
x cos ex
x.
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方法二求曲线y=f(x)的切线方程
1.求“在”曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线方程,则点P(x0,y0)为切点,
'(x1)(x0 x1),
点A(x1,y1),代入方程y-y1=f '(x1)(x-x1),化简即得所求的切线方程.
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例2 (1)(2018江苏淮安高三期中)已知函数f(x)=x3.设曲线y=f(x)在点P(x1,
f(x1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x2, f(x2)),记f '(x)为函数f(x)的导

高三数学导数和函数知识点

高三数学导数和函数知识点一、导数的定义及性质导数是函数在某一点上的斜率，表示函数在该点的变化率。

具体来说，如果函数f(x)在点x0处的导数存在，那么导数可以通过以下公式计算：f'(x)=lim[x→x0](f(x)-f(x0))/(x-x0)导数具有以下性质：1. 导数存在的条件：函数在某一点处的导数存在，意味着该点是函数的可导点。

函数可导的必要条件是在该点上函数的左右导数存在且相等。

2. 导数与函数的关系：如果函数f(x)在点x0处可导，则在该点上函数是连续的。

但是函数在某一点处连续并不意味着导数存在。

3. 导数的几何意义：导数表示函数图像在某一点上的切线的斜率，切线的方程为y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)。

4. 导数的运算法则：导数满足加减乘除的运算法则，例如导数的和的导数等于各个导数的和，导数的乘积的导数等于各个因子的导数之积等。

5. 高阶导数：一个函数的导数的导数称为高阶导数，记作f''(x)，依此类推。

二、常见函数的导数1. 常数函数的导数：常数函数的导数为0，即f'(x)=0。

2. 幂函数的导数：幂函数f(x)=x^n的导数为f'(x)=nx^(n-1)。

3. 指数函数的导数：指数函数f(x)=a^x的导数为f'(x)=a^x *ln(a)，其中ln(a)表示以自然对数为底的a的对数。

4. 对数函数的导数：对数函数f(x)=log_a(x)的导数为f'(x)=1/(xln(a))，其中ln(a)表示以自然对数为底的a的对数。

5. 三角函数的导数：常见的三角函数正弦函数f(x)=sin(x)、余弦函数f(x)=cos(x)和正切函数f(x)=tan(x)的导数分别为f'(x)=cos(x)、f'(x)=-sin(x)和f'(x)=sec^2(x)。

三、导数应用导数在数学中有广泛的应用，以下是几个常见的应用领域：1. 极值问题：通过求解导数为零的方程，可以找到函数的极值点。

数学高三知识点导数

数学高三知识点导数导数是高中数学中的一个重要概念，也是微积分的基础知识。

它在各个学科领域都有着广泛的应用。

本文将介绍数学高三阶段的导数知识点，包括导数的定义、导数的计算方法以及导数在实际问题中的应用。

1. 导数的定义导数是函数在某一点上的变化率，用于描述函数的瞬时变化情况。

在数学上，导数可以通过极限的方式来定义。

对于函数f(x)，其在x点处的导数可以表示为f'(x)，公式为：f'(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx其中，Δx表示x的增量。

2. 导数的计算方法导数的计算方法主要有以下几种：2.1 基本函数的导数：- 常数函数的导数为0；- 幂函数 y = x^n 的导数为 y' = n*x^(n-1)；- 指数函数的导数为 y' = a^x * ln(a)；- 对数函数的导数为 y' = 1 / (x * ln(a))；- 三角函数的导数为 y' = cos(x)、y' = sin(x)、y' = tan(x) 等。

2.2 复合函数的导数：利用链式法则，复合函数的导数可以通过对内函数和外函数分别求导后再相乘得到。

2.3 隐函数的导数：对于隐函数，需要利用隐函数求导法则来求导。

根据方程两边对自变量求导，然后解出导数。

2.4 参数方程的导数：对于参数方程，需要分别对自变量求导。

3. 导数的性质导数具有以下几个重要的性质：3.1 导数存在的条件：函数在某点处可导的条件是函数在该点左右极限存在且相等。

3.2 导数的几何意义：函数在某点处的导数等于该点切线的斜率。

3.3 导函数的性质：若函数f(x)在[a, b]上可导，则在[a, b]上连续。

4. 导数在实际问题中的应用导数在实际问题中有着广泛的应用，以下列举几个常见的应用：4.1 极值问题：导数可以用来求函数的极值点，即函数的最大值和最小值。

4.2 切线与法线问题：函数在某点处的导数即为该点处的切线斜率，可以用来求切线和法线的方程。

高三函数和导数知识点

高三函数和导数知识点
函数是数学中的一个重要概念，而导数是函数的一个重要属性。

在高三数学学习中，函数和导数是一个重要的知识点。

本文将介
绍高三函数和导数的相关知识点，包括函数的定义、函数的运算、函数的图像、导数的定义、导数的性质以及导数的应用等内容。

一、函数的定义
函数是一种具有特定关系的数学对象，它将一个自变量映射到
唯一的因变量。

函数的定义域和值域分别表示自变量和因变量的
取值范围。

二、函数的运算
函数可以进行四则运算和复合运算。

四则运算包括加法、减法、乘法和除法，复合运算是指将一个函数的输出作为另一个函数的
输入。

三、函数的图像
函数的图像是表示函数关系的曲线。

函数的图像可以通过绘制
函数的各种取值来得到，其中横轴表示自变量，纵轴表示因变量。

四、导数的定义
导数是描述函数变化率的概念，表示函数在某一点处的瞬时变化率。

导数可以用极限定义，也可以通过求导公式进行计算。

五、导数的性质
导数具有一些重要的性质，包括导数存在的充要条件、导数的性质、导数的基本公式以及导数的运算法则等。

六、导数的应用
导数在数学和物理等领域中有广泛的应用，如切线与法线、函数的最值、单调性与凹凸性、函数的增减区间、曲线的凹凸部分等。

综上所述，高三函数和导数是数学学习中的重要知识点。

理解函数的定义、运算和图像，以及掌握导数的定义、性质和应用，对于高三学生的数学学习至关重要。

希望通过本文的介绍，能够对高三函数和导数的知识有更深入的认识。

高三导数都学什么知识点

高三导数都学什么知识点导数是高中数学课程中的重要内容之一，它是微积分学的基础知识，具有广泛的应用领域。

在高三阶段，学生需要掌握并深入理解导数的各种概念、性质和应用。

本文将介绍高三阶段学习导数所需的主要知识点。

一、导数的定义导数的定义是理解导数概念的重要起点。

导数可以理解为函数在某一点处的瞬时变化率，它表示函数曲线在该点的切线斜率。

导数的定义主要分为几何定义和极限定义，学生需要熟练掌握两种定义的形式及其间的相互转换。

二、导数的基本性质1. 导数的可导性：学生需要掌握函数在某一点可导的条件，以及可导函数的充要条件。

2. 导数的四则运算法则：学生需要了解导数的四则运算规则，包括常数倍法则、和差法则、乘积法则和商法则，能够应用这些法则求解导数。

3. 复合函数的导数：学生需要掌握复合函数导数的链式法则，即复合函数的导数等于外函数的导数乘以内函数的导数。

4. 反函数的导数：学生需要了解反函数导数与原函数导数的关系，能够通过已知原函数导数求解反函数导数。

三、高阶导数与导数的应用1. 高阶导数：学生需要了解高阶导数的概念，即对函数的导数再求导数。

对于常见的函数，如多项式函数、三角函数和指数函数，学生需要能够计算其高阶导数。

2. 极值问题：学生需要掌握极值问题的解法，包括利用导数判定函数的极值和求解极值点的方法。

同时，还要学会应用拉格朗日乘数法解决含有约束条件的极值问题。

3. 函数的图像与导数：学生需要了解函数的导数与函数图像的关系，通过导数的符号表述，判断函数在不同区间的单调性、凹凸性以及极值情况。

4. 应用问题：学生需要学会将导数应用于实际问题的解决。

例如，利用导数求解最优化问题、求曲线的切线和法线、求解最大最小值等。

四、其他导数的知识点除了上述主要知识点外，高三阶段还需要学习和掌握导数的其他相关知识，如导数的应用于函数的增减性、导函数与导数的关系、不定积分与原函数等。

总结起来，高三导数的学习内容主要包括导数的定义、导数的基本性质、高阶导数与导数的应用以及其他导数的知识点。

高三数学教案范文：导数的概念及其运算

高三数学教案范文：导数的概念及其运算教案标题：导数的概念及其运算教学目标：1. 理解导数的概念及其运算；2. 掌握导数的计算方法；3. 能够应用导数解决实际问题。

教学重点：1. 导数的概念；2. 导数的计算方法。

教学难点：1. 导数的计算方法。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入导数的概念：导数是微积分中的一个重要概念，表示函数在某一点的变化速率。

导数的概念和计算方法在解决实际问题中具有重要应用。

二、提出问题（5分钟）1. 通过实例引出导数的计算方法：假设有一段直线走进山谷，我们想知道在每个位置上，直线的斜率是多少？三、导数的定义（10分钟）1. 定义导数（以函数f(x)为例）：函数f(x)在某一点x=a处的导数，记作f'(a)，表示函数曲线在点(x=a, f(a))处的切线的斜率。

2. 根据导数的定义，讨论导数的几何意义：导数表示函数曲线在某一点上的切线的斜率，也反映了函数在该点的变化趋势。

四、导数的计算方法（15分钟）1. 导数的计算方法：使用导数的定义，通过极限过程求得导数。

2. 计算导数的示例：（1）求常数函数的导数；（2）求多项式函数的导数；（3）求分式函数的导数。

五、导数运算法则（15分钟）1. 导数运算法则：（1）和法则：(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)；（2）积法则：(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)；（3）商法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^2；（4）复合函数的导数：若y=f(u)，u=g(x)，则y的导数为dy/dx = dy/du * du/dx。

六、应用导数解决实际问题（10分钟）1. 利用导数求函数的增减性和极值；2. 通过实例讲解应用导数解决实际问题的方法。

高三数学导数知识点

高三数学导数知识点导数是高中数学中的重要概念，也是高三数学学习的重点内容。

在数学中，导数是用来刻画函数在某一点上的变化率的工具，具有广泛的应用和意义。

本文将介绍高三数学中常见的导数知识点，以帮助同学们更好地理解和掌握该知识。

1. 导数的定义导数的定义是函数微分学的基本概念，是函数f(x)在某一点x=a处的变化率，记作f'(a)或dy/dx。

导数的定义可以用极限进行表达，即当自变量x的增量无限趋近于0时，函数的增量与自变量增量之比的极限。

2. 导数的几何意义导数具有几何意义，它可以衡量函数图像在某一点处的切线斜率。

当函数图像在某一点处的导数存在时，这个点就有切线，切线的斜率就是函数在该点处的导数值。

3. 导数的计算导数的计算有多种方法，常见的包括使用导函数公式、求导法则以及高阶导数的求法。

其中，导函数公式是一些常见函数导数的表达式，求导法则是对一些常见函数进行求导的方法总结。

4. 导数的基本性质导数具有一些基本性质，包括可导性与连续性的关系、导函数的四则运算规则、复合函数的导数等。

这些性质是导数计算和应用的基础，需要同学们熟练掌握。

5. 导数的应用导数在数学和实际问题中有广泛的应用。

其中，导数可以用来求函数的最值、判断函数的增减性、解微分方程等。

此外，导数还可以应用于物理、经济、生物等领域的问题求解中。

6. 高阶导数高阶导数是指对函数进行多次求导所得到的导数，例如二阶导数、三阶导数等。

高阶导数的概念和计算方法与一阶导数类似，可以进一步刻画函数的曲率和变化规律。

7. 隐函数求导隐函数是由方程所决定的函数，通常不能用显式函数的形式表示。

隐函数求导是指求解隐函数的导数，通过分析方程的关系和运用导数计算方法，可以求得隐函数的导数表达式。

8. 参数方程求导参数方程是一种用参数表示的曲线方程，也常见于数学中的问题。

求参数方程的导数需要将参数方程化为自变量x和因变量y的函数形式，然后应用导数的计算方法进行求导。

数学导数知识点高三总结

数学导数知识点高三总结一、导数概念及性质导数是函数在某一点处的变化率，表示了函数在该点的切线斜率。

如果函数在某一点可导，则导数存在并且唯一。

导数的重要性质包括导数的可加性、减法法则、导数乘法法则、导数的链式法则等。

二、常见函数的导数公式1. 常数函数的导数为0：若f(x) = c，则f'(x) = 0，其中c为常数。

2. 幂函数的导数：若f(x) = x^n，则f'(x) = nx^(n-1)，其中n为实数。

3. 指数函数的导数：若f(x) = a^x，则f'(x) = a^x * ln(a)，其中a为常数且a>0。

4. 对数函数的导数：若f(x) = log_a(x)，则f'(x) = 1 / (x * ln(a))，其中a为常数且a>0。

5. 三角函数的导数：设f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)；设f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)；设f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。

注：sec(x)表示正割函数，即sec(x) = 1 / cos(x)。

6. 反三角函数的导数：设f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1 / sqrt(1-x^2)；设f(x) = arccos(x)，则f'(x) = -1 / sqrt(1-x^2)；设f(x) = arctan(x)，则f'(x) = 1 / (1+x^2)。

注：sqrt(x)表示开平方根函数。

三、导数的应用1. 切线与法线：函数在一点的导数等于该点切线的斜率。

切线的方程为y - y0 = f'(x0) * (x - x0)，其中(x0, y0)为切点坐标。

法线的斜率为-1/f'(x0)，法线的方程为y - y0 = (-1/f'(x0)) * (x - x0)。

一元函数的导数知识点高三

一元函数的导数知识点高三一元函数的导数知识点一元函数的导数是高中数学中的重要知识点。

它是研究函数变化率的工具，对于理解和应用数学、物理等领域都具有重要的作用。

本文将介绍一元函数导数的定义、性质、计算方法以及一些常见的导数公式。

一、导数的定义导数是函数在某一点上的变化率。

设函数y=f(x)，若极限lim[x→x0](f(x)-f(x0))/(x-x0)存在，则称这个极限为函数f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)或dy/dx|（x=x0）。

二、导数的性质1. 导数的几何意义函数在某一点处的导数表示函数图像在该点处的切线斜率。

切线斜率正表示函数递增，负表示函数递减，零表示函数达到极值。

2. 导数的代数意义导数具有线性性质，即对于任意实数a，b和函数f(x)，有以下性质：（a+b）' = a' + b'（af(x))' = af'(x)3. 导数的四则运算设函数f(x)和g(x)在点x0处可导，有以下结论：（f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)(f(x)/g(x))' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)]/[g(x)]²三、导数的计算方法求导数的计算方法有很多种，这里主要介绍几种基本的方法。

1. 基本导数法则常数函数的导数为0，即(k)' = 0。

幂函数的导数为kx^(k-1)，即(x^n)' = nx^(n-1)。

指数函数的导数为以底数为底的自然对数的幂，即(a^x)' = a^x ln(a)。

2. 三角函数的导数正弦函数的导数为(cos x)' = -sin x。

余弦函数的导数为(sin x)' = cos x。

高三数学之导数的概念与切线问题,含参考答案

导数的概念与切线问题一．导数的定义与几何意义导数的定义函数)(x f y =在0x x =处的导数：称函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率xx f x x f xy x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 000为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0'x f 或，即xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim )('00000函数)(x f 的导函数：称函数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )('0000为)(x f 的导函数.导数的几何意义函数)(x f 在0x x =处的导数)(0'x f 是曲线)(x f y =在点P()(,00x f x )处的切线的斜率k ，即k=)(0'x f 注：曲线)(x f y =在点处的切线是指P()(,00x f x )为切点斜率为k =)(0'x f 的切线，是唯一的一条切线；曲线)(x f y =过点P()(,00x f x )的切线，是指切线经过点P ，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条.二.导数的运算基本初等函数的导数公式①_____)(',)(==x f C x f ；②_____)(',)(==x f x x f α③_____)(',sin )(==x f x x f ；④_____)(',cos )(==x f x x f ⑤_____)(',)(==x f a x f x；⑥_____)(',)(==x f e x f x⑦_____)(',log )(==x f x f x a ；⑧_____)(',ln )(==x f x x f 导数的运算法则①_________)]'()([=±x g x f ；②_________)]'()([=⋅x g x f ③_________]')()([=x g x f ；④_________)]'([=x Cf ⑤复合函数的导数，复合函数))((x g f y =，设)(x g u =，则)'()'('x u u f y ⋅=导数的概念与公式应用例1已知4)2(',3)2(==f f ，则_______6)42()22(lim=-++-→xx f x f x 解：注意到0→x ，根据导数的定义，需构造8)2('2)('4)2('24)2()42(lim 42)2()22(lim 2)2()42(lim)2()22(lim )2()42()2()22(lim 6)42()22(lim000000==+-=-++----=-++--=-++--=-++-→→→→→→f x f f xf x f x f x f xf x f x f x f x f x f f x f x x f x f x x x x x x 练习11.已知函数f (x )＝2ln(3x )＋8x ，则xf x f x ∆-∆-→∆)1()21(lim的值为()A ．10B ．－10C ．－20D ．202.若c bx ax x f ++=24)(满足2)1('=f ，则=-)1('f ()A.-4B.-2C.2D.43.已知对任意实数x ，有)()(),()(x g x g x f x f =--=-，且x >0时，0)(',0)('>>x g x f ，则x<0时，()A.0)(',0)('>>x g x fB.0)(',0)('<>x g x fC.0)(',0)('><x g x f D.0)(',0)('<<x g x f 导数的基本运算例2已知x x x f x f 4)1(')(23-+=，则_______)(=x f 解：直接求导得42)1('3)('2-+=x x f x f ，令x =1，得2)1('3)1('-=f f 即有1)1('=f ，故xx x x f 43)(23-+=练习21.函数x x f 2sin )(=的导数_______)('=x f 2.函数)1cos()(2x x f +=的导数_______)('=x f 3.等比数列}{n a 中，8,281==a a 函数)).....()(()(821a x a x a x x x f ---=，则_______)0('=f4.函数)(x f 的导数为)('x f ，满足x x xf x f ln )('2)(+=，则_______)1('=f5.函数x x x f cos sin )(-=，且)(21)('x f x f =，则tan2x 的值是________6.函数142cos 3sin 3)(23-++=x x x x f θθ,]65,0[πθ∈,导数)1('-f 的取值范围是()A.]34,3[+ B.]6,3[ C.]634[，- D.3434[+- 导数的几何意义例3曲线12-=x xy 在点(1,1)处的切线方程为_________解：求导22)12(1)12(2)12('--=---=x x x x y ，当x =1时，1'-=y ，故切线方程为y=-x +2练习31.曲线xy 1=和y=x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是________2.设函数2)()(x x g x f +=，曲线)(x g y =在点))1(,1(g 处的切线方程为12+=x y ，则曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线的方程为________3.已知函数)(x f 在R 上满足88)2(2)(2-+--=x x x f x f ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程是()A.y =2x -1B.y=xC.y =3x -2D.y =-2x +34.若存在过点(1,0)的直线与曲线3x y =和94152-+=x ax y 都相切，则a 等于()A.-1或6425-B.-1或421 C.642547--或 D.747或-5.若曲线x ax x f ln )(3+=存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是_______6.曲线x y ln =上的点到直线y=x +3的最短距离为_________7.已知直线y =2x -2为曲线ax x x f -=3)(的一条切线，则a =__________切线问题的综合应用例4已知函数*)()(1N n xx x f n n∈-=+，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线与y 轴的交点的纵坐标为n b ，则数列}{n b 的前n 项和为____解：求导得n n x n nxx f )1()('1+-=-，x =2时，112)2(2)1(2)2('--+-=⋅+-⋅=n n n n n n f ，n n n f 222)2(1-=-=+，切线方程为n n x n y 2)2(2)2(1--+-=-，令x =0得y=nnnn n y 2)1(22)2(+=-+=,nn n b 2)1(+=，前n 项和n n n n n 2)1(2....242322S 132⋅++⋅+⋅+⋅+⋅=-；14322)1(2....2423222S +⋅++⋅+⋅+⋅+⋅=n n n n n ，两式相减得12S +⋅=n n n 练习41.若曲线)0(ln ≠=a x a y 与曲线221x e y =在它们的公共点P(s ，t)处具有公共切线，则=ts_______2.已知曲线ax ey +=与2x y =恰好存在两条公切线，则实数a 的取值范围是_________3.已知函数2)(x x f =的图像在点),(200x x 处的切线为l ，若l 也与函数的图像)1,0(ln ∈=x x y ，相切，则0x 必满足()A.2100<<x B.1210<<x C.2220<<x D.320<<x4.点P 是曲线x x y ln 2-=上的任意一点，则点P 到直线2-=x y 的最小距离是__________5.若曲线)ln(a x y +=的一条切线为b ex y +=，其中a,b 为正实数，则2++b ea 的取值范围是()A.),22(+∞+ee B.),[+∞e C.),2[+∞ D.)2[e ，课后检测1.已知函数1)(3++=x ax x f 的图像在点))1(,1(f 处的切线过点(2,7),则实数a =_________2.若点P 在曲线32)(3+-=x x x f 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是__________3.若曲线1)(2++=x ax x f 在点))1(,1(f 处的切线的倾斜角为43π，则实数a =_________4.若满足c bx ax x f ++=24)(满足2)1('=f ，则)1('-f =()A.-4B.-2C.2D.45.设函数)(x f 在R 上可导，x f x x f 3)2(')(2-=，则)1(-f 与)1(f 的大小关系是_________6.已知函数)(x f y =的图像在点))1(,1(M f 处的切线方程是221+=x y ，则)1(')1(f f +=_______7.已知函数xxy ln =在点))(,(m f m 处的切互平行于x 轴，则实数m =_________8.函数x e x f xsin 12)(++=，其导函数记为)('x f ，则)2018(')2018(')2018()2018(--+-+f f f f 的值为_________参考答案练习11.C 2.B 3.B 练习21.sin2x 2.2x sin(1+x 2)3.284.15.43 6.227.1练习31.e 2 2.)22ln 2,(--∞ 3.D4.25.C课后检测1.12.),43[)2,0[πππ⋃ 3.-1 4.B5.)1()1(f f >- 6.37.e 8.2。