二次函数与面积之铅垂高

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二次函数中的面积计算问题-之铅垂高

二次函数中的面积计算问题-之铅垂高
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如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直
的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的
“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的
长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算
A
铅垂高
h
C
D
x
B
水平宽
aa
图12-1
练习如图1，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于
点A(3，0)，交y轴于点B。
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）求△CAB的铅垂高CD及S△CAB ；
y
C
B
D 1
分析 (1： )抛物线解 y1析 (x 式 1)2为 4, 即y1x22x3
直A 线解 B 析 y2式 x 为 3.
O1 图1
A x C ( 1 , 4 ) 当 , x 1 时， y 1 4 , y 2 2 .
CA 的 B铅 C锤 D 42 高 2 .
SCAB12323
就到这里了，同学们再见！
E D
A
C 水平宽：CE
铅垂高：BD
SABC12CE•BD
B
延伸拓展
我们如果把△ABC 放到直角坐标系中，

二次函数中“铅垂高”的应用

（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，连接CD、 BD，则△CBD的铅垂高DE=_2___ ， SCBD=_3___
解:（1）B（3，0） C（0，3）对称轴：直线x=1
y D
Cห้องสมุดไป่ตู้EF
P AO
Bx
(3)若点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE 交抛物线于点F，交x轴于点N，设点P的横坐标为m.
DE AC 于点 E ．设点 D 的横坐标为 m ．求 DE 的长关于 m 的函数解析式，
并写出 DE 长的最大值；．
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时PF最大.
②连接CF、BF，当m为何值时，△BCF的面积最大
③当m为何值时，PF=2PN
y D
C
EF
P A O NB x
（4）过点F作FM⊥BC于M，当m为何值时， △PMF的周长最大（5）若点P为射线CB上一动点，其他条件不变，直接写出当m为何值时，以P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形.
二次函数中“铅垂高”的应用
课堂目标
1.理解“铅垂高”的定义，掌握二次函数中有关铅垂高的计算.(重点） 2.利用铅垂高求图形的周长或面积的最大值.(难点）
“铅垂高”定义
阅读材料：
如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直
A 铅垂

二次函数之“铅垂法”求三角形面积

求三角形面积往往用公式

S a h

∆

=或

sin

S ab C

∆

=进行计算。在二次函数里，有

时用公式求三角形面积有一定的难度，我们不妨考虑用“铅垂法”来解决。

图1 图2

作法：

1、作铅直线PM交线段AB于点M；

2、分别过A、B两点作PM的垂线段。

计算：

如图1：S△PAB= S△PMA+S△PMB=1

×PM×h2+

×PM×h1=

×PM×(h2+h1)；①

如图2：S△PAB= S△PMA﹣S△PMB=1

×PM×h2－

×PM×h1=

×PM×(h2－h1)。②

理解：

我们把公式中的PM称为三角形的“铅直高度”，把(h2+h1)或(h2－h1)称为三角形的“水平宽度”，则三角形的面积等于“铅直高度”与“水平宽度”积的一半。特别地，在二次函数中，三角形的“铅直高度”就是动点P和铅直线PM与线段AB交点M的纵坐标之差（y P －y M），“水平宽度”就是两定点A与B的横坐标之差（x B－x A），即

S△=1

×（y P－y M）×（x B－x A）。我们把这种求三角形面积的方法叫做“铅垂法”。

运用：

例：如图，直线l:y=−x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2−2ax+a+4(a<0)经过点B。

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M 的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值及此时动点M的坐标。

解答：（1）y=－x 2+2x+3；

二次函数及面积之铅垂高

二次函数与面积之铅垂高

一教学目的

1.让学生经历探索的过程，观察图形在动点的运动过程中观察图形的变化情

况，促进培养学生解决问题的能力．

2．理解用“鉛锤高，水平宽”求不规则三角形面积的方法，并用此方法解决二次函数与几何图形的综合题中有关三角形面积计算的问题。二重点难点

1灵活应用铅垂高进行二次函数与几何图形的综合题中有关三角形面积计算的问题。 2铅垂高的寻找方法，以及用坐标表示线段三．教学方法

先让学生阅读理解，自主探究，引导学生掌握方法，讲练结合四．教学过程例1阅读材料：如图12-1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂

直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 2

=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题：

如图12-2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .

(1)求抛物线和直线AB 的解析式；

(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆； (3)是否存在一点P ，使S △P AB =89

S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.

图12-2

C O

D 1

图12-1

例1解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(2

1+-=x a y ··········································· 1分

二次函数中的面积计算问题(包含铅垂高)

(D)

二次函数中的面积计算问题

【典型例子】

例如，如图所示，二次函数2

y x bx c =++图像x 在A 和B 两点（A 在B 的左边）与y 轴相交，在C 点与轴相交，顶点为M ，MAB ∆为直角三角形，图像的对称轴是一条直线2-=x ，该点P 是两点之间抛物线上的移动点

,A C ，则PAC ∆面积的最大值为（C ）

274 B. 112C 。 278

D.3 二次函数中常见的面积问题类型：

1.选择填空的简单应用

2.不规则三角形的面积用S=

3.使用

4.使用相似的三角形

5.使用分割法将不规则图形转为规则图形

例 1如图 1 所示，已知正方形ABCD 的边长为 1 ， E , F , G , H 为每边的点， AE=BF=CG=DH ，设面积为

小s 正方形EFGH 为, AE 为x , 那么about s 的x 函数图大致为 (乙)

示例 2.回答以下问题：

如图1所示，抛物线的顶点坐标为C 点( 1,4 )，与x 轴相交于A 点( 3 , 0)，与y 轴相交于B 点。

抛物线和直线AB 的解析公式；

(2)求△ CA AB 和S △ CAB 的垂直高度CD ；

(3)假设点P 是抛物线上（第一象限）上的一个移动点，是否存在点P ，使得S △ PA B = 8

S △ CA B ，如果存在，求点P 的坐标；如果不存在，请解释原因。

思想分析

这个问题是二次函数中的常见面积问题。该方法不是唯一的。可以使用截补法，但是有点麻烦。如图

第10题

图1

铅垂高

水平宽

图2

A x

C O

y A

D 1

二次函数面积

二次函数的面积方法有很多种：铅垂高法、平行法、矩形覆盖法。每个方法计算的方式方法是不同的，在学习和练习的时候，也要根据自己的实际情况进行学习。

方法一：铅垂高法

铅垂高的表示法是解这种题的关键。可以结合写的简略过程，进行一下总结，而且还可以知识的迁移。比如不问最大面积，而是问面积等于一个数，或者面积等于某三角形面积等类型，解法都是相同的。

方法二：平行法

平行法最关键的知识点，是平行线之间高的问题，一般这种情况都是平移高到与坐标轴交点处，最后用相似求值。如果题目如下图，还涉及到二次函数与一次函数只有一个交点问题，解决方法是联立得到一元二次方程，根据只有一个交点，利用根的判别式等于0可以解决。

方法三：矩形覆盖法

这是最容易想到的方法，但也是计算最麻烦的方法。利用面积的大减小去解决，一般不太建议使用这种方法，庞大的计

算量很容易出错。

二次函数中的面积计算问题--之铅垂高PPT课件

平宽与铅垂高乘积的一半.
B
C
即1 三ah角形面积等于水
2
证明:
ABC ABD ACD
A
h
h2
铅垂高
C
D
B
h1
水平宽
aa
(其中h1、h2是直线AD与外侧两直线之间的距离)
1
1
AD h AD h
2
2 1
2
1AD(hh)
2
1
2
1
ah
2
2
.
巩固定义：求格点三角形的面积
例1、如图，在每个小正方形边长为1的格点图形中，△ABC的三个顶点是图中的格点，求 △ABC的面积。
E D
A
C 水平宽：CE
铅垂高：BD
SABC12CE•BD
B
3
.
延伸拓展
我们如果把△ABC 放到直角坐标系中，
A(x A,
,
yA),B(xB,
y ), B
C(x , C
y ),D(x ,
C
D
y ), D
则铅垂高：hA D yy, 水平宽：ax x
A
D
C
B
11
S AB C 2a h2(yAyD )x(c yxB)
A
铅垂高
h
C
D
B
水平宽
aa

二次函数和面积之铅垂高

二次函数与面积之铅垂高

一教学目的

1.让学生经历探索的过程，观察图形在动点的运动过程中观察图形的变化情

况，促进培养学生解决问题的能力．

2．理解用“鉛锤高，水平宽”求不规则三角形面积的方法，并用此方法解决二次函数与几何图形的综合题中有关三角形面积计算的问题。二重点难点

1灵活应用铅垂高进行二次函数与几何图形的综合题中有关三角形面积计算的问题。 2铅垂高的寻找方法，以及用坐标表示线段三．教学方法

先让学生阅读理解，自主探究，引导学生掌握方法，讲练结合四．教学过程例1阅读材料：

如图12-1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂

=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题：

如图12-2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .

(1)求抛物线和直线AB 的解析式；

(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点

C 时，求△CAB 的铅垂高C

D 及CAB S ∆；

(3)是否存在一点P ，使S △PAB =89

S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.

例1解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(2

1+-=x a y ···························· 1分

二次函数及面积之铅垂高

二次函数与面积之铅垂高

一教学目的

1.让学生经历探索的过程，观察图形在动点的运动过程中观察图形的变化

情况，促进培养学生解决问题的能力．

2．理解用“鉛锤高，水平宽”求不规则三角形面积的方法，并用此方法解决二次函数与几何图形的综合题中有关三角形面积计算的问题。二重点难点

1灵活应用铅垂高进行二次函数与几何图形的综合题中有关三角形面积计算的问题。2铅垂高的寻找方法，以及用坐标表示线段三．教学方法

先让学生阅读理解，自主探究，引导学生掌握方法，讲练结合四．教学过程例1阅读材料：

如图12-1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线

垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的

“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长

度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形

面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.ah S ABC 2

∆ 解答下列问题：

如图12-2，抛物线顶点坐标为点C (1

,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .

(1)求抛物线和直线AB 的解析式；

(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及；

CAB S ∆(3)是否存在一点P ，使S △PAB =

S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，89

请说明理由.

图12-2

C O

D 11B 图12-1

例1解：(1)设抛物线的解析式为：∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1分

二次函数及面积之铅垂高(可编辑修改word版)

A h

铅垂高

水平宽 a

二次函数与面积之铅垂高

一教学目的

1. 让学生经历探索的过程，观察图形在动点的运动过程中观察图形的变化情

况，促进培养学生解决问题的能力．

2. 理解用“鉛锤高，水平宽”求不规则三角形面积的方法，并用此方法解决二次函数与

几何图形的综合题中有关三角形面积计算的问题。

二重点难点

1 灵活应用铅垂高进行二次函数与几何图形的综合题中有关三角形面积计算的问题。

2 铅垂高的寻找方法，以及用坐标表示线段三．教学方法

先让学生阅读理解，自主探究，引导学生掌握方法，讲练结合四．教学过程例 1 阅读材料：

如图 12-1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂

直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平 B

宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方

图 12-1

法： S = 1 ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

∆ABC 2

解答下列问题：

如图 12-2，抛物线顶点坐标为点 C (1,4),交 x 轴于点 A (3,0)，交 y 轴于点 B .

(1) 求抛物线和直线 AB 的解析式；

(2) 点 P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结 P A ，P B ，当 P 点运动到顶点 C

时，求△CAB 的铅垂高 CD 及 S ∆CAB ；

(3) 是否存在一点 P ，使 S 9 ，若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请

说明理由.

△PAB = 8

S △CAB

图 12-2

C B

D 1 x

铅锤高和水平宽之二次函数面积问题综合练习题

铅锤高与水平宽之二次函数与面积问题综合练习题例1：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高（h ）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：

S △ABC =

1ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．

解答下列问题：

如图2，抛物线顶点坐标为点C （1，4），交x 轴于点A （3，0），交y 轴于点B ．

（1）求抛物线和直线AB 的解析式；

（2）点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；

（3）是否存在一点P ，使S △PAB =

89S △CAB ？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．

练习1：已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．

例2.抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4S BOC，求点P的坐标；

（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ 长度的最大值．

:练习2：在平面直角坐标系中，已知抛物线经过:A（-4,0），B（0,-4），C（2,0）三点．

二次函数中的面积计算问题--之铅垂高PPT课件

A
铅垂高
h
C
D
x
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ水平宽
aa
图12-1
练习如图1，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于
点A(3，0)，交y轴于点B。
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）求△CAB的铅垂高CD及S△CAB ；
y
C
B
D 1
分析 (1： )抛物线解 y1析 (x 式 1)2为 4, 即y1x22x3
直A 线解 B 析 y2式 x 为 3.
O1 图1
A
x
C ( 1 , 4 ) 当 ,x 1 时， y 1 4 ,y 2 2 .
CA 的 B铅 C锤 D 42 高 2 .
SCAB12323
就到这里了，同学们再见！
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二次函数中的面积计算问题 --之铅垂高
襄阳五中实验中学：田伟
如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂
直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的
“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的
长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三
S S S 角形面积的新方法： SA
E D
A
C 水平宽：CE

铅垂高水平宽二次函数应用

△ABC的三个顶点，B、C为定点，A为动点，作AD⊥x轴交BC于点D，

AD是垂直距离--铅垂高，B、C两点水平距离--水平宽。S△ABC=水平宽×铅垂高=|x C-

x B|•|y A-y D|

例1.已知二次函数y=−x2−2x+3的图象和x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是直线AC上方的抛物线上的动点。在P点运动过程中，求△APC面积的最大值和此时P点坐标。

（略）解：点A(-3,0)、 B(1,0）、C(0,3)

方法一：铅垂高。作PD⊥x轴交AC于点D，l AC：y=x+3.设P（m,−m2−2m+3）,则D（m,m+3）∴PD=−m2−2m+3-m-3

=−m2−3m，S△PAC=(−m2−3m)•3=-m2-m，当m=-=-=-，S△PAC最大=

，将m=-代入y p=−m2−2m+3=，∴P(-,)

方法二：分割。连结PO，设P（m,−m2−2m+3），

S△PAC+S△AOC=S△PAO+S△POC，

S△PAC=S△PAO+S△POC-S△AOC=×3×（−m2−2m+3）+×3×（-m）-×3×3=-m2-m,下

面同上.

方法三：平行线。（平行线PE

离AC最远，与抛物线“相切”）作PE‖AC交y轴于点E，

由l AC：y=x+3可设l PE：y=x+b

x1=x2=-=-代入y p=−x2−2x+3=，∴P(-,) （如果只要求出点P则到此

结束）例3

x2+3x+b-3=0中△=b2-4ac=9-4(b-3)=0∴b=由平行线等积得S△PAC=S△ACE= CE×OA=(-3）×3=为所求最大.

铅锤高和水平宽之二次函数面积问题综合练习题图文稿

铅锤高和水平宽之二次函数面积问题综合练习

题

集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）

铅锤高与水平宽之二次函数与面积问题综合练习题

例1：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：

△ABC =

ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．

解答下列问题：

如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．（1）求抛物线和直线AB的解析式；

（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶

点C时，求△CAB的铅垂高CD及S

△CAB

；

（3）是否存在一点P，使S

△PAB =

△CAB

若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理

由．

练习1：已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．

例2.抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点P在抛物线上，且S△

AOP =4S

BOC

，求点P的坐标；

（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．