二次函数与面积之铅垂高

二次函数与面积之铅垂高一教学目的1.让学生经历探索的过程，观察图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，促进培养学生解决问题的能力．2．理解用“鉛锤高，水平宽”求不规则三角形面积的方法，并用此方法解决二次函数与几何图形的综合题中有关三角形面积计算的问题。

二重点难点1灵活应用铅垂高进行二次函数与几何图形的综合题中有关三角形面积计算的问题。

2铅垂高的寻找方法，以及用坐标表示线段 三．教学方法先让学生阅读理解，自主探究，引导学生掌握方法，讲练结合 四．教学过程 例1阅读材料： 如图12-1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题：如图12-2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆； (3)是否存在一点P ，使S △P AB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.图12-2xC OyABD 1 1铅垂高水平宽 ha 图12-1A例1解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21+-=x a y ··········································· 1分把A （3,0）代入解析式求得1-=a所以324)1(221++-=+--=x x x y ············································· 3分设直线AB 的解析式为：b kx y +=2由3221++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( ···································· 4分 把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中解得：3,1=-=b k所以32+-=x y ·········································································· 6分 (2)因为C 点坐标为(１,4)所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2所以CD ＝4-2＝2 ·········································································· 8分32321=⨯⨯=∆CAB S (平方单位) ··················································· 10分 (3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△P AB 的铅垂高为h ，则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-= ······················ 12分 由S △P AB =89S △CAB 得：389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242=+-x x 解得，23=x 将23=x 代入3221++-=x x y 中， 解得P 点坐标为)415,23( ······························································ 14分总结：求不规则三角形面积时不妨利用铅垂高。

铅垂高的表示方法是解决问题的关键，要学会用坐标表示线段。

例2（2010广东省中考拟）如图10，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，tan∠ACO＝31． （1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度．（4）如图11，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的1）方法一：由已知得：C （0，－3），A （－1，0）将A、B 、C 三点的坐标代入得⎪⎩⎪⎨⎧-==++=+-30390c c b a c b a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a所以这个二次函数的表达式为：322--=x x y 方法二：由已知得：C （0，－3），A （－1，0） 设该表达式为：)3)(1(-+=x x a y 将C 点的坐标代入得：1=a所以这个二次函数的表达式为：322--=x x y （注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分） （2）方法一：存在，F 点的坐标为（2，－3） 理由：易得D （1，－4），所以直线CD 的解析式为：3--=x y ∴E 点的坐标为（－3，0） 由A 、C 、E 、F 四点的坐标得：AE ＝CF ＝2，AE ∥CF ∴以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形∴存在点F ，坐标为（2，－3）方法二：易得D （1，－4），所以直线CD 的解析式为：3--=x y ∴E 点的坐标为（－3，0） ∵以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形∴F 点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合∴存在点F ，坐标为（2，－3）（3）如图，①当直线MN 在x代入抛物线的表达式，解得2171+=R②当直线MN 在x 轴下方时，设圆的半径为r （r>0则N （r+1，－r ），代入抛物线的表达式，解得2171+-=r∴圆的半径为2171+或2171+-．（4）过点P 作y 轴的平行线与AG 交于点Q ， 易得G （2，－3），直线AG 为1--=x y ．设P （x ，322--x x ），则Q （x ，－x －1），PQ 22++-=x x ．3)2(212⨯++-=+=∆∆∆x x S S S GPQ APQ APG当21=x 时，△APG 的面积最大此时P 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-415,21，827的最大值为APG S ∆．随堂练习1．（2010江苏无锡）如图，矩形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=AC 与直线x=4交于点E ．（1）求以直线x=4为对称轴，且过C 与原点O 的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E ；（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为N ，M 是该抛物线上位于C 、N 之间的一动点，求△CMN 面积的最大值．【答案】解：（1）点C 的坐标．设抛物线的函数关系式为2(4)y a x m =-+，则1604a ma m +=+=⎧⎨⎩63a m == ∴所求抛物线的函数关系式为24)63y x =-…………①设直线AC 的函数关系式为,y kx b =+则402k b kb -+=+=⎧⎨⎩33k b ==． ∴直线AC 的函数关系式为33y x =+，∴点E的坐标为(4,3把x=4代入①式，得2(44)633y =--+=，∴此抛物线过E 点．（2）（1）中抛物线与x 轴的另一个交点为N （8，0），设M （x ，y ），过M 作MG ⊥x 轴于G ，则S △CMN=S △MNG+S 梯形MGBC —S △CBN=111(8)(23)(2)(82)23 222x y y x-++--⨯-⨯=22343333833()3835383632y x x x x x x+-=-++-=-+-=2393(5),22x--+∴当x=5时，S△CMN有最大值932课下练习1．(本题满分12分)已知：如图一次函数y＝12x＋1的图象与x轴交于点A，与y 轴交于点B；二次函数y＝12x2＋bx＋c的图象与一次函数y＝12x＋1的图象交于B、C 两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)求四边形BDEC的面积S；(3)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．3．（2010山东临沂）如图，二次函数2y x ax b=++的图象与x轴交于1(,0)2A-,(2,0)B两点，且与y轴交于点C.（1）求该抛物线的解析式，并判断ABC∆的形状；（2）在x轴上方的抛物线上有一点D,且以A C D B、、、四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P,使得以A C B P、、、四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由.第24题图【答案】解：根据题意，将A（12-,0）,B（2,0）代入y=-x2+ax+b中，得110, 42420.a ba b⎧--+=⎪⎨⎪-++=⎩解这个方程，得3,21. ab⎧=⎪⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为y=-x2+32x+1.当x=0时，y=1.所以点C的坐标为（0，1）。