分式基础知识讲解
分式及分式的基本性质
2、分式有意义的条件：当B≠0时，分式有意义）。
3、分式的值为零的条件：当A=0，B≠0时，分式值为0。
4、有理式：整式和分式统称为有理式。
5、分式的基本性质：分式的分子、分母同乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变。
注：（1）约分和通分的依据都是分式的基本性质
（2）分式的约分和通分都是互逆运算过程。
①约分——最简分式②通分——最简公分母
6、分式的约分步骤：
（1）如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。
（2）分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。
注：公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。
7、最简分式：一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式。
8、分式的通分步骤：
先求出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分母。同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子。
注：最简公分母的确定方法：
系数取各因式系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积。
2022年人教版八年级下册数学培优训练——《分式》全章复习与巩固(基础)知识讲解
《分式》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．3．掌握分式的四则运算．4．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．【知识网络】【要点梳理】要点一、分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式AB才有意义.2.分式的基本性质（M为不等于0的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点二、分式的运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算 a b a b c c c ±±= ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算 a c ac b d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算 a c a d ad b d b c bc÷=⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方.4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.要点三、分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.要点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.【典型例题】类型一、分式及其基本性质1、在ma y x xy x x x x 1,3,3,)1(,21,12+++π中，分式的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C ；【解析】()21131x x a x x x y m+++，，，是分式. 【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．2、当x 为何值时，分式293x x -+的值为0？ 【思路点拨】先求出使分子为0的字母的值，再检验这个值是否使分母的值等于0，当它使分母的值不等于0时，这个值就是要求的字母的值．【答案与解析】解： 要使分式的值为0，必须满足分子等于0且分母不等于0．由题意，得290,30.x x ⎧-=⎨+≠⎩解得3x =． ∴ 当3x =时，分式293x x -+的值为0． 【总结升华】分式的值为0的条件是：分子为0，且分母不为0，即只有在分式有意义的前提下，才能考虑分式值的情况. 举一反三：【变式】（1）若分式的值等于零，则x ＝_______；（2）当x ________时，分式没有意义．【答案】（1）由24x -＝0，得2x =±. 当x ＝2时x －2＝0，所以x ＝－2；（2）当10x -=，即x ＝1时，分式没有意义． 类型二、分式运算3、计算：2222132(1)441x x x x x x x -++÷-⋅++-． 【答案与解析】解：222222132(1)(1)1(2)(1)(1)441(2)(1)1x x x x x x x x x x x x x x -+++-++÷-⋅=⋅⋅++-+-- 22(1)(2)(1)x x x +=-+-． 【总结升华】本题有两处易错：一是不按运算顺序运算，把2(1)x -和2321x x x ++-先约分；二是将(1)x -和(1)x -约分后的结果错认为是1．因此正确掌握运算顺序与符号法则是解题的关键．举一反三：【变式】（2020•滨州）化简：÷（﹣）【答案】解：原式=÷=• =﹣． 类型三、分式方程的解法4、（2020•呼伦贝尔）解方程：．【思路点拨】观察可得最简公分母是（x ﹣1）（x +1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【答案与解析】解：方程的两边同乘（x ﹣1）（x +1），得3x +3﹣x ﹣3=0，解得x=0．检验：把x=0代入（x ﹣1）（x +1）=﹣1≠0．∴原方程的解为：x=0．【总结升华】本题考查了分式方程的解法，注：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．举一反三：【变式】()1231244x x x -=---， 【答案】解： 方程两边同乘以()24x -，得()()12422332x x x =---=-∴ 检验：当32x =-时，最简公分母()240x -≠， ∴32x =-是原方程的解．类型四、分式方程的应用5、（2020•东莞二模）某市为治理污水，需要铺设一条全长为600米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？【思路点拨】先设原计划每天铺设x 米管道，则实际施工时，每天的铺设管道（1+20%）x 米，由题意可得等量关系：原计划的工作时间﹣实际的工作时间=5，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．【答案与解析】解：设原计划每天铺设x 米管道，由题意得： ﹣=5，解得：x=20，经检验：x=20是原方程的解．答：原计划每天铺设20米管道．【总结升华】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．举一反三：【变式】小明家、王老师家、学校在同一条路上，并且小明上学要路过王老师家，小明到王老师家的路程为3 km ，王老师家到学校的路程为0.5 km ，由于小明的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校、王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是他步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20 min ，王老师步行的速度和骑自行车的速度各是多少?【答案】解：设王老师步行的速度为x km/h ，则他骑自行车的速度为3x km/h ． 根据题意得：230.50.520360x x ⨯+=+． 解得：5x =．经检验5x =是原方程的根且符合题意．当5x =时，315x =．答：王老师步行的速度为5km/h ，他骑自行车的速度为15km/h ．。
分式运算的八种技巧
分式运算的八种技巧分式运算是数学中的一项基础知识，通过巧妙地运用一些技巧，可以简化分式的计算过程，提高计算的效率。
下面将介绍分式运算的八种技巧。
一、分式的通分当两个或多个分式进行加减运算时，需要先进行通分。
通分的目的是使分母相同，从而方便进行分式的加减运算。
二、分式的化简对于分子和分母同时包含因式的分式，可以通过因式分解进行化简。
化简后的分式通常更简洁、易于计算。
三、分式的约分对于分子和分母有公因式的分式，可以通过约分将其化简为最简形式。
约分可以简化计算过程，并且可以减小分子和分母的数字的大小，便于观察和把握。
四、分式的乘法和除法分式的乘法和除法相对简单，只需要将分子与分子相乘，分母与分母相乘即可。
当进行分数的除法运算时，可以将除法转化为乘法，将除法运算转化为分数的倒数，再进行乘法运算。
五、分式的加法和减法分式的加法和减法需要进行通分。
通分后，先对分子进行加减运算，再保持分母不变。
最后结果的分子分母可以进一步进行约分，化简为最简分数形式。
六、分式的分数化整数当分子大于分母时，可以进行分数化整数的运算。
将分子除以分母，得到一个整数，再将余数定为新的分子，保持分母不变，即可将分数化为带分数的形式。
七、小数转分数将小数转化为分数可以更方便地进行运算和比较。
通过将小数的小数位数与整数的数量级相匹配，将小数乘以适当的十的幂，然后化成最简分数即可。
八、分式的比较大小对两个分式进行比较大小的时候，可以化为相同分母的分数，然后比较分子的大小。
若分子相同，再比较分母的大小。
通过掌握这些分式运算的技巧，可以更加熟练地进行分式的计算，提高计算的准确性和效率。
同时，可以将复杂的分式化简为简单形式，便于理解和运算。
分式压轴题解析
分式【知识脉络】【基础知识】1.分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。
分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零。
2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
（0≠C ）3.分式的通分和约分：关键先是分解因式4.分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。
分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd ±±±=±=±= 混合运算:运算顺序和以前一样。
能用运算率简算的可用运算率简算。
;a c ac a c a d adb d bd b d bc bc •=÷=•=()n n n a a b b =A A C B B C •=•A A C B B C ÷=÷5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即)0(10≠=a a ；当n 为正整数时，n n a a 1=- （)0≠a6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n 是整数)（1）同底数的幂的乘法：m n m n a a a +•=；（2）幂的乘方：()m n mn a a=; （3）积的乘方：()n n nab a b =；（4）同底数的幂的除法：m n m n a a a -÷=( a ≠0)； （5）商的乘方：()nn n a a b b=；(b ≠0) 7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。
数学八下分式
数学八下分式
八年级下册数学课程中有关分式的主题主要包括分式的运算、分式的化简、分式方程等内容。
以下是八年级下册数学中关于分式的一些常见知识点：
1. 分式的乘法和除法：学习如何进行分式的乘法和除法运算，包括分子乘法、分母乘法、分子除法和分母除法等。
2. 分式的加法和减法：掌握分式的加法和减法运算规则，包括通分、合并同类项等操作。
3. 分式的化简：学习如何化简分式，包括约分、提取公因式、分子分母同乘同除等方法，使分式的表达更简洁。
4. 分式方程：解决涉及分式的方程，包括一元一次分式方程和一元二次分式方程等，掌握解题的方法和技巧。
5. 分式的应用：了解分式在实际问题中的应用，如物品分配、比例关系、时间速度等问题，通过分式运算解决实际生活中的计算问题。
八年级下册数学中的分式知识是数学学习中的重要内容，需要通过练习和实践来加深理解和掌握。
建议学生多做练习题，加强对分式运算规则的理解和掌握，提高解决问题的能力和技巧。
分式函数初步
分式函数初步分式函数是一个有理函数，指分子和分母都是多项式的函数。
在高中数学的学习中，分式函数是一个重要的内容，同时也是相对难度较大的一个知识点。
本文将介绍分式函数的基础知识和相关概念。
一、分式函数的定义分式函数是指具有形式为 $f(x) = \dfrac{a(x)}{b(x)}$ 的函数，其中 $a(x)$ 和 $b(x)$ 都是多项式函数，且 $b(x) \neq 0$。
分式函数的定义域是所有能够使得分母不为零的实数。
二、分式函数的性质1. 零点和极值分式函数的零点是指使分子等于零的 $x$ 值，也就是 $a(x) = 0$ 的解。
分式函数的极值是指存在的最大值或最小值，通常是$x$ 无限趋近于某个值时，函数趋近于的值。
2. 水平渐近线和垂直渐近线分式函数的水平渐近线可以通过分式函数的通分化得到，垂直渐近线是指分母为零的直线，即 $b(x) = 0$ 的解。
3. 奇偶性分式函数的奇偶性取决于分子的奇偶性。
如果分子是偶函数，那么分式函数就是偶函数；如果分子是奇函数，那么分式函数就是奇函数。
三、分式函数的简单操作1. 通分通分是将两个分式函数化成相同的分母，这样就可以进行加减运算。
例如，若要将 $\dfrac{1}{x+2}$ 和 $\dfrac{x-1}{x+2}$ 通分，可以将第一个分式函数乘以 $\dfrac{x-1}{x-1}$，从而得到$\dfrac{x-1}{(x+2)(x-1)}$，然后将第二个分式函数乘以$\dfrac{1}{1}$，从而得到 $\dfrac{x-1}{(x+2)(x-1)}$，最后将两个分式函数相加即可。
2. 分解因式分解因式就是将一个分式函数化为两个或多个分式函数之积的形式。
例如，要将 $\dfrac{x^2-1}{x+1}$ 分解因式，可以将分子分解为 $(x+1)(x-1)$，则 $\dfrac{x^2-1}{x+1} = \dfrac{(x+1)(x-1)}{x+1} = x-1$。
第三章 《分式》基础知识小结—填空
第三章《分式》基础知识小结——填 空一、分式的有关概念：1、定义：整式A 除以整式B ，可以表示成BA 的形式，如果除式B 中含有 ，那么称BA 为分式。
2、分式有意义的条件：字母的取值必须使分母 ，例如：分式124x x +-，当 时，分式有意义。
分式无意义的条件：字母的取值必须使分母 ，例如：分式124x x +-，当 时，分式无意义。
3、分式值为0的条件：分式B A＝0，必须 例如：分式211x x -+，当 时，分式值为0。
4、分式值为正数的条件：必须分子、分母同号，即 或 然后解不等式组。
分式值为负数的条件：必须分子、分母异号，即 或 然后解不等式组。
二、分式的基本性质：（重点）1、分式的基本性质： ，分式的值不变。
字母表示：A B= （M ≠0的整式）2、约分：把一个分式的分子和分母的 约去，这种变形我们称为分式的约分3、最简分式：分子与分母 的分式称为最简分式。
注意：⑴分式化简的要求，通常要使结果成为 或 。
⑵如果分式的分子或分母是多项式，应先将分子、分母分别 ，再约去公因式。
4、分式的符号法则： ⑴x y-＝x y-＝x y-； ⑵x y--＝x y；注意：负号必须是整个分子和整个分母的负号！三、分式的运算：（重点） （一）、分式的乘除法：1、语言叙述：两个分式相乘， ；两个分式相除， 。
1、 字母表示：b d a c⨯= ；b d a c÷=注意：⑴分式的除法运算要转化为乘法运算；⑵式子中的a 、b 、c 、d 可以是单项式，也可以是多项式；若是多项式应先分解因式。
⑶分式乘法运算的结果能约分的一定要进行约分，把分式化为最简分式或整式。
分子A ＝0 分母B ≠0A ＞0B ＞0 A ＜0B ＜0A ＞0B ＜0 A ＜0B ＞0（二）、分式的加减法：1、同分母分式的加减法：同分母的分式相加减， ；字母表示：a b c c±= ；2、异分母分式的加减法：先 ，化成 的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算 字母表示：a cb d±= ；3、分式的通分：把 的分式化为 的分式，这一过程称为分式的通分。
数学分式的计算方法
数学分式的计算方法数学分式是一种数学表达式，由分子和分母组成，分子和分母都可以是整数、自然数、小数或其他数学表达式。
在数学中，分式的计算是一个重要的基础知识点，掌握分式的计算方法可以帮助我们解决各种实际问题。
一、分式的加减要计算分式的加减，首先要求出分式的公共分母。
如果两个分式的分母相同，那么直接将分子相加或相减即可，分母保持不变。
如果两个分式的分母不同，就需要找到它们的公共分母，然后将分子按照公共分母进行相加或相减，分母保持不变。
例如，计算分式1/3 + 1/4。
分母不同，公共分母可以是12，那么将分子相加得到(1*4+1*3)/12=7/12。
二、分式的乘除分式的乘法就是将分子相乘，分母相乘。
例如，计算分式1/3乘以2/5，得到(1*2)/(3*5)=2/15。
分式的除法就是将第一个分式的分子乘以第二个分式的倒数。
例如，计算分式1/3除以2/5，得到(1/3)*(5/2)=5/6。
三、分式的化简分式的化简是将分子和分母约分到最简形式。
要化简一个分式，需要找到分子和分母的最大公约数，然后将分子和分母都除以最大公约数。
例如，化简分式12/18，最大公约数是6，所以将分子和分母都除以6，得到2/3。
四、分式的比较要比较两个分式的大小，可以通过将两个分式的分子和分母相乘，然后比较乘积的大小。
例如，比较分式1/3和2/5的大小，计算(1*5)/(3*2)和(2*3)/(5*1)，得到5/6和6/5，显然5/6小于6/5，所以1/3小于2/5。
五、分式的应用分式在实际问题中有广泛的应用。
例如，在分数运算中，我们常常需要将一个整数转化为分数形式，然后进行运算。
在比例和百分比的计算中，我们也需要使用分式。
此外，在经济学、物理学等领域的问题中，分式也经常用于求解。
掌握数学分式的计算方法是数学学习的重要一步。
通过理解和熟练运用分式的加减乘除、化简和比较等方法，我们可以更好地解决实际问题，提高数学思维和计算能力。
分式基础知识讲解
分式基础知识讲解分式，也称为有理数，是指一个整数除以另一个非零整数所得的数。
在数学中，分式是一个重要的概念，它在各种数学问题中都有广泛的应用。
本文将对分式的基础知识进行讲解。
一、分式的定义和表示方式分式可以看作是两个整数的比值，其中一个整数作为分子，另一个整数作为分母。
分式的一般表示方式为“a/b”，其中a为分子，b为分母。
例如，2/3、5/8都是分式。
分式可以用于表示一个数量相对于另一个数量的比值，比如“5个苹果中有3个是红色的”，可以表示为分式5/3。
二、分式的性质和运算法则1. 分式的相等性质对于任意两个分式a/b和c/d，如果ad=bc，则a/b=c/d，即分式相等性质。
2. 分式的相反数和倒数对于任意一个分式a/b，它的相反数是- a/b，它的倒数是b/a。
3. 分式的加减法当两个分式的分母相同时，可以直接对分子进行加减运算，并保持分母不变。
例如，对于分式a/b和c/b，它们的和为(a+c)/b，差为(a-c)/b。
当两个分式的分母不同时，可以通过求公共分母的方法将它们进行相加或相减。
具体方法可以参考通分的原理。
4. 分式的乘除法两个分式相乘时，只需将它们分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母。
例如，分式a/b和c/d的乘积为ac/bd。
两个分式相除时，可以将第二个分式的倒数乘以第一个分式。
即，分式a/b和c/d的商为(a/b) * (d/c) = (ad)/(bc)。
三、分式的简化和约分当一个分式的分子和分母有公约数时，可以进行约分，即将分子和分母同时除以它们的最大公约数。
约分后的分式与原分式表示相同的数。
四、分式的应用1. 倒数的表示当需要表示一个数的倒数时，可以使用分式。
例如，数x的倒数可以表示为1/x。
倒数在分数的求解和比较中起到重要作用。
2. 比例问题在比例问题中，分式被广泛使用。
比如“苹果的单价是2元/个，芒果的单价是3元/个，求苹果和芒果价格的比值”，可以表示为2/3这个分式。
分式的基本性质说课稿5篇
分式的基本性质说课稿5篇分式的基本性质说课稿5篇在学生学习了分数、整式及因式分解的基础上，又一代数学习的基本内容，是小学所学分数的延伸和扩展，而学好本节课，下面给大家分享分式的基本性质说课稿，欢迎阅读！分式的基本性质说课稿精选篇1一、教材分析1、教材的地位及作用“分式的基本性质”是人教版八年级上册第十一章第一节“分式”的重点内容之一，它是后面分式变形、通分、约分及四则运算的理论基础，掌握本节内容对于学好本章及以后学习方程、函数等问题具有关键作用。
2、教学重点、难点分析：教学重点：理解并掌握分式的基本性质教学难点：灵活运用分式的基本性质进行分式化简、变形3教材的处理学习是学生主动构建知识的过程。
学生不是简单被动的接受信息，而是对外部信息进行主动的选择、加工和处理，从而获得知识的意义。
学习的过程是自我生成的过程，是由内向外的生长，其基础是学生原有知识与经验。
本节课中，学生原有的知识是分数的基本性质，因此我首先引导学生通过分数的基本性质，这就激活了学生原有的知识，然后引导学生通过分数的基本性质用类比的方法得出分式的基本性质。
让学生自我构建新知识。
通过例题的讲解，让学生初步理解“性质”的运用，再通过不同类型的练习，使其掌握“性质”的运用. 最后引导学生对本节课进行小结，使学生的知识结构更合理、更完善。
二、目标分析：数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。
教学的目的就是应从实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过思考、探索、交流获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，使学生生动活泼地、主动地、富有个性的学习，促进学生全面、持续、和谐地发展。
为此，我从知识技能、数学思考解决问题、情感态度四个方面确定了教学目标：1、知识技能：1）了解分式的基本性质2）能灵活运用分式的基本性质进行分式变形2、数学思考：通过类比分数的基本性质，探索分式的基本性质，初步掌握类比的思想方法。
初中数学因式分解与分式知识点梳理
初中数学因式分解与分式知识点梳理因式分解和分式是初中数学中重要的知识点，它们在解题过程中发挥着重要的作用。
因此，掌握因式分解与分式的知识对于学好数学非常重要。
本文将对初中数学中的因式分解和分式进行知识点梳理，帮助大家更好地理解这些概念与应用。
一、因式分解因式分解是指将一个多项式分解成若干个乘积的形式，其中每个乘积因子称为因式。
它在解题过程中经常出现，因此了解常见的因式分解形式是非常有帮助的。
1. 提公因式法提公因式法是一种常见的因式分解方法，它适用于多项式的每一项都含有相同因式的情况。
具体步骤如下：（1）找出多项式中的公因式。
（2）将多项式中的每一项除以公因式，得到新的多项式。
（3）将新的多项式进行合并。
2. 公式法公式法适用于特定的因式分解形式，如平方差、立方差等。
在应用公式法时，我们需要记住相关的公式，以便快速解题。
3. 分解式法分解式法是将一个多项式分解成两个或多个因式相乘的形式。
它要求我们对多项式的结构进行深入理解，寻找多项式的特点以及可能分解的因式。
二、分式分式是数学中的一种表示方法，它由分子和分母组成，分子表示被分为若干份的数，分母表示分成的份数。
分式运算在数学中有广泛的应用，了解相关的概念与计算方法对于数学学习至关重要。
1. 分数的基本概念分数是整除关系的一种表达方式，分子代表整数被分成的份数，分母代表分成的份数。
分数可从几何上理解为某个单位分成几份的一部分。
2. 分数的运算法则分数的运算包括加、减、乘、除等操作。
常见的分数运算法则包括：（1）分数的相加减：- 确保分母相同，相加或相减分子的数值。
（2）分数的乘法：- 两个分数相乘，将分子相乘作为新分数的分子，分母相乘作为新分数的分母。
（3）分数的除法：- 两个分数相除，将第一个分数的分子乘以第二个分数的倒数，作为新分数的分子；分母同样如此。
3. 分数与整数的转化分数与整数可以相互转化。
当给定一个带分数时，可以将其转化为分数形式，将整数部分的值乘上分母，再加上分子的值作为新分数的分子，分母保持不变。
分式(一)分式的概念与计算
分式（一）分式的概念与计算学习目标1.学习分式的概念性质2.熟练掌握分式的通分与拆分技巧，3.巩固乘法公式与因式分解技巧专题简介分式是新人教版大纲中，八年级上学期内容，基础知识简单，但是相关专题中会涉及众多代数技巧，难度会陡然真大．分式的概念与计算是历年中考必考内容，在中考中考察方式较为基础．但是在各类竞赛中，特别是全国初中数学联赛中分式的各类恒等变形技巧是考察重点，同时也是难点之一．分式作为代数式中承上启下的知识点学好的关键在于温故而知新，只要熟练掌握，整式恒等变形的技巧，分式学习就会很轻松，只是在整式技巧的基础下，额外增加了通分、拆分取倒等新技巧的综合．专题分类1、分式的基本概念与性质：___________________2、分式的基本运算：_________________________3、分式的拆分：_____________________________模块一：分式的基本概念和性质知识导航一、分式的基本概念【例1】(1)代数式1312,,,,34a b m nbx a+-+π中，分式有( )A.1个B.2个C.3个D.4个(2)使代数式3234x xx x++÷--有意义的x的值是___________．x________时，分式1111x++有意义．不论x为何值，分式21 2x x c++总有意义，则c____________．(3)已知分式22153x xx+--的值为零，那么x的值是_____________．当_____________分式21 5x x -+的值为正数；当x满足_____________时，12xx+<-．(4)当x _______时，分式233x x --的值为1；如果分式121x x -+的值为－1，则x 的值是_________． (5)当x _________时，分式48x -的值为正数；当_______时，分式48xx--的值为负数． 【练1】(1)要使分式11x x-有意义，求x 的取值范围；(2)分式22123x x x ---有意义，求x 的取值范围；(3)已知分式()()811x x x -+-的值为0，求x 的值．【例2】(1)将分式2x x y+中的x 、y 的值同时扩大3倍，则扩大后分式的值( )A.扩大3倍B.缩小3倍C.保持不变D.扩大32倍 (2)若()()()()2223328x m x x x m ---=---成立，则m 的值为_____． (3)约分3232430x y x y -＝________；26231x xx ++＝________．(4)分式()23121,,7322x y xy x y x x y---的最简公分母为________． 【练2】通分：(1)()2222,,1121x x x x x x x +---+；(2)()()()()()()111,,a b a c b c b a c a c b ------分式的基本运算基础夯实【例3】计算：(1)()2322x y x x y xy x y ⎛⎫⎛⎫-÷+⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(2)2212239a aa a a a -+÷---(3)2233x y x yx y x x y x x ⎡⎤+-⎛⎫---÷⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦ 【练3】计算：()22221031525965a a a a a a a-+÷-⋅-+-．【例4】已知：2380x x +-=，求代数式21441212x x x x x x -+-⋅--++的值． 【练4】(1)已知220x-=，求代数式()222111x x x x -+-+的值． (2)已知12x y =，求2222222x x y yx xy y x y x y-⋅+-++-的值． 强化挑战【例5】化简：2222222211222a b a ab b ab a b a b ab ⎡⎤-⎛⎫+÷+⋅⎢⎥ ⎪++-+⎝⎭⎢⎥⎣⎦【练5】化简：()()()()()()222222222222a b c b c a c a b a c ba b cb c a ------+++-+-+-．【例6】化简：2232233223222244113a b a b a a b ab b a a b ab b a b a b a b +++--+++-+--+-．巅峰突破【例7】化简：()()4222223366422412b a a a b b a ab b a b a b a a b b ---⎛⎫-÷ ⎪-+----+⎝⎭．【练7】化简：()442432164242416844m m m m m m m m m m -+-+÷⨯÷+++--+．模块三：分式的拆分 知识导航分式计算技巧——分式的拆分分式拆分的基本模型11a b ab a b+=+，这种模型在计算中运用分式广泛！而复杂的题型通常将这种性质包容在其中．如：()()b ca b a c ---冷眼看，不是符合基本模型，若对分子稍加边形则里面出现基本模型．()a b a c c b ---=-，所以原式变为()()()()11a b a c a b a c a b c a---=+----题型1分式拆分 基础夯实【例8】化简：2221113256712x x x x x x ++++++++ 【练8】化简：22222111113256712920x x x x x x x x x x +++++++++++++ 强化挑战【例9】化简：222222a b c b c a c a ba ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab------++--+--+--+．【练9】化简：()()()()()()222a bc b ac c aba b a c b c b a c a c b ---++++++++．题型2部分分式 基础夯实【例10】仿照例子解题： 例子：若215111M N xx x x -+=+--恒成立，求M 、N 的值． 解题过程如下：∵215111M N xx x x -+=+--，∴M (x －1)＋N (x ＋1)＝1－5x 则Mx －M ＋Nx ＋N ＝1－5x ， 即Mx ＋Nx ＋N －M ＝－5x ＋1 故(M ＋N )x ＋(N –M ) ＝－5x ＋1， ∴51M N N M +=-⎧⎨-=⎩解得：32M N =-⎧⎨=-⎩请你按照上面的方法解题：若28224M N x x x x -+=+--恒成立，求M 、N 的值． 【练10】已知()()237231111x x A Bx x x x -+=++-+-+，其中A 、B 为常数，求4A －2B 的值．强化挑战 题型2 分离常数【例12】阅读下面材料，并解答问题．材料：讲分式42231x x x --+-+拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式．解：由分母为－x 2＋1，可设－x 4－x 2＋3＝(－x 2＋1)(x 2＋a )＋b则－x 4－x 2＋3＝(－x 2＋1)(x 2＋a )＋b ＝－x 4－ax 2＋x 2＋a ＋b ＝－x 4－(a －1)x 2＋(a ＋b )．∵对应任意x ，上述等式均成立， ∴113a ab -=⎧⎨+=⎩，∴a ＝2，b ＝1． ∴()()()()222242222222121123112+11111x x x x x x x x x x x x -+++-++--+==+=+-+-+-+-+-+． 这样，分式42231x x x --+-+被拆成了一个整式22x +与一个分式211x -+的和． 解答：(1)将分式422681x x x --+-+拆成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式．(2)试说明422681x x x --+-+的最小值为8．第4讲 七年级尖端班课后作业 分式(一)概念与计算【习1】当x 为何值时，下列分式的值为零？(1)1x x+(2)211x x -+(3)33x x --(4)237x x ++(5)2231x x x +--(6)2242x x x-+【习2】x 为何值时，分式1122x x+-+有意义？ 【习3】如果分式61x+的值为正整数，则正整数x 的值的个数是( ) A.2个 B.3个C.4个D.5个【习4】如果把223xyx y-中的x 和y 都扩大5倍，那么分式的值( )A.扩大5倍B.不变C.缩小5倍D.扩大4倍【习5】不改变分式的值，将下列各分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果不正确的为( )A.113223113223a ba b a b a b ++=-- B.1.30.813820.7207x y x yx y x y--=--C.134624172748x yx y x y x y --=++ D.135320.55x y x y x x --= 【习6】先化简：22211a a a a a a --⎛⎫-÷⎪+⎝⎭，然后给a 选择一个你喜欢的数代入求值． 【习7】计算：()2226634443x x x x x x x -+-÷+⋅-+- 【习8】3232242312111x x x x x x x x x ⎛⎫-⎛⎫-÷-÷ ⎪ ⎪+-++⎝⎭⎝⎭【习9】(第9届希望杯试题)化简：422423216424(2)416844m m m m m m m m m m -+-+÷⨯÷+++--+＝__________.【习10】求代数式的值：2222242x x xx x x -÷++-+，其中12x =． 【习11】先化简，再求值：3221691322x x x xx x x x -+-⋅----，其中x ＝－6 【习12】先化简，再求值：2223193693x x x x x x x x x+--⎛⎫-÷ ⎪--+-⎝⎭，其中x ＝2 【习13】化简：2481124811111x x x x x -----++++．【习14】计算：22216103224x x x x x x x ----++---． 【习15】化简：()()()()()()a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a ------+++++++++． 【习16】化简：222222b c c a a b a ab ac bc b ab bc ac c bc ac ab a b b c c a---++-----+--+--+---．【习17】将下列分式写成部分分式的和的形式：2342x x x +--【习18】已知22x +与2b x -的和等于244x x -，求a ，b ．。
中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用--知识讲解(基础)
中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识解说（基础）【考大纲求】1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；2.会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转变为整式方程，把未知问题转变为已知问题，从而浸透数学的转变思想．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元二次方程1. 一元二次方程的定义只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式为ax2bx c0 (a≠0)．2. 一元二次方程的解法（ 1）直接开平方法：把方程变为x2m 的形式，当m＞ 0 时，方程的解为x m ；当m＝0时，方程的解 x1,20 ；当m＜0时，方程没有实数解．2（ 2）配方法：经过配方把一元二次方程ax 2bx c0变形为x b b24ac的形式，再利2a4a2用直接开平方法求得方程的解．（ 3）公式法：对于一元二次方程ax2bx c0 ，当 b24ac0 时，它的解为 x b b24ac ．2a （ 4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就获得两个一元一次方程，分别解这两个方程，就获得原方程的解．重点解说：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特别方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．3．一元二次方程根的鉴别式一元二次方程根的鉴别式为 b 24ac ．△>0方程有两个不相等的实数根；△＝ 0方程有两个相等的实数根；△<0方程没有实数根．上述由左侧可推出右侧，反过来也可由右侧推出左侧．重点解说：△≥ 0方程有实数根.4．一元二次方程根与系数的关系假如一元二次方程 ax 2bx c 0 (a≠0)的两个根是 x 、 x，那么b c ．12x1 x 2， x 1 x 2a a考点二、分式方程1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．重点解说：（ 1）分式方程的三个重要特色：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的差别就在于分母中能否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：对于的方程和都是分式方程，而对于的方程和都是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，换元法．3.解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根 .口诀：“一化二解三查验”.重点解说：解分式方程时，有可能产生增根，增根必定合适分式方程转变后的整式方程，但增根不合适原方程，可使原方程的分母为零，所以一定验根．考点三、一元二次方程、分式方程的应用1．应用问题中常用的数目关系及题型(1)数字问题 ( 包含日历中的数字规律 )重点会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题重点是弄清日历中的数字规律．(2)体积变化问题重点是找寻此中的不变量作为等量关系.(3)打折销售问题收益此中的几个关系式：收益＝售价- 成本价 ( 进价 ) ，收益率＝× 100%．成本价明确这几个关系式是解决这种问题的重点．(4)对于两个或多个未知量的问题重点是找寻到多个等量关系，可以设出未知数，而且可以依据所设的未知数列出方程.(5)行程问题对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易犯错的问题，必定要剖析此中的特色，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．注意：追及和相遇的综合题目，要剖析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.(6)和、差、倍、分问题增加量＝原有量×增加率；现有量＝原有量 +增加量；现有量＝原有量 - 降低量．2．解应用题的步骤(1)剖析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其他的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)查验所求的答数能否切合题意，并做答．重点解说：方程的思想，转变 ( 化归 ) 思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形联合的思想用数学表达式表示与数目相关的语句的数学思想．注意：①设列一定一致，即设的未知量要与方程中出现的未知量同样；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要一致；④求出解后要双检，既查验能否合适方程，还要查验能否切合题意．【典型例题】种类一、一元二次方程1．用配方法解一元二次方程：2x2 1 3x【思路点拨】把二次项系数化为1，常数项右移，方程两边都加前一次项系数一半的平方，再用直接开平方法解出未知数的值.【答案与分析】移项，得 2x23x1二次项系数化为1，得x23x12222配方x23x3132424321x164由此可得x 31 4 4 1x1 1 ， x22【总结升华】用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右侧；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加前一次项系数一半的平方；④再把方程左侧配成一个完整平方式，右侧化为一个常数；⑤若方程右侧是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右侧是一个负数，则判断此方程无实数解 .贯通融会：【变式】用配方法解方程x2-7x-1=0 ．【答案】将方程变形为x2-7x=1 ，两边加一次项系数的一半的平方，得x2-7x+=1+，所以有=1+．直接开平方，得x- =或x-=-．所以原方程的根为 x= 7+53 或x= 7- 53 ．222．对于 x 的方程kx2(k 2) x k0 有两个不相等的实数根.4(1)求 k 的取值范围 .(2) 能否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，说明原因【思路点拨】鉴别式大于0，二次项系数不等于0.【答案与分析】（1）由△ =(k+2) 2－4k·k＞ 0 4∴k＞－ 1又∵ k≠0∴k的取值范围是k＞－ 1，且 k≠0（ 2）不存在切合条件的实数k原因：设方程 kx2+(k+2)x+k=0 的两根分别为x1、x2，由根与系数关系有：4x1+x2=k 2， x 121，k·x=4又110=0则k 2=0∴ k2 x1x2k由（ 1）知，k 2 时，△＜0，原方程无实解∴不存在切合条件的k 的值 .【总结升华】（ 1）注意隐含条件k≠0；（ 2）由根与系数关系的应用，求出k 的值，要考证k 的值能否切合题意 .贯通融会：【变式】已知对于x 的方程x2(m 2) x 2m 1 0 ．（1）求证方程有两个不相等的实数根．（2）当m为什么值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．【答案】（ 1）证明 : 由于△ =( m2) 24(2m 1)=(m2) 24所以不论 m 取何值时，△>0，所以方程有两个不相等的实数根．（ 2）解：由于方程的两根互为相反数，所以x1x20 ，依据方程的根与系数的关系得m 20，解得 m 2 ，所以原方程可化为x 250 ，解得x5， x25.1种类二、分式方程3．解方程：【思路点拨】 先去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再进行查验 .【答案与分析】方程两边都乘以 ，得x( x 1) 2( x 1) ，(x 1)(x 1)即 2 x 2x x 2， x 1 2x 3经查验： x 3是原方程的根 .【总结升华】第一要确立各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记住要验根.贯通融会：【变式 1】解分式方程：2 x 2 1 ．x 3x3【答案】 方程两边同乘以x 3 ，得2 x 2( x 3) 1 ． 2 x2 x 6 1．x 5 ．经查验： x 5 是原方程的解，所以原方程的解是x5 ．【高清课程名称：一元二次方程、分式方程的解法及应用高清 ID 号： 405754关系的地点名称（播放点名称） ：例 1（1）】【变式 2】方程 x3 1 x2 的解是 x=．【答案】 x0 . x224．若解分式方程2x m 1 x 1产生增根，则 m 的值是（）x 1 x(x 1)xA.B.C.D.【思路点拨】 先把原方程化为整式方程，再把可能的增根分别代入整式方程即可求出 m 的值 .【答案】 D ；【分析】 由题意得增根是：化简原方程为： 把代入解得 m2或1，应选择 D.【总结升华】 分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值 .贯通融会：【高清课程名称： 一元二次方程、分式方程的解法及应用 高清 ID 号：405754关系的地点名称（播放点名称） ：例 1（2）- 例 2】【变式 】若对于 x 的方程 x2 m 2无解，则 m 的值是．x3x3【答案】 1.种类三、一元二次方程、分式方程的应用5．轮船在一次航行中顺水航行80 千米，逆流航行 42 千米，共用了 7 小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺水航行40 千米，逆流航行 70 千米 . 求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.【思路点拨】在航行问题中的等量关系是 “顺水速度＝静水速度＋水流速度； 逆流速度＝静水速度－水流速度” ，两次航行供给了两个等量关系 .【答案与分析】设船在静水中的速度为x 千米 / 小时，水流速度为 y 千米 / 小时由题意，得解得：x 17 y 3经查验：x17是原方程的根y 3答：水流速度为 3 千米 / 小时，船在静水中的速度为17 千米 / 小时 .【总结升华】流水问题公式：顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆流速度＝静水速度－水流速度；静水速度＝ ( 顺水速度＋逆流速度 ) ÷2；水流速度＝( 顺水速度－逆流速度 ) ÷2 .贯通融会：【变式 】甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2 棵树，甲班种 60 棵所用的时间与乙班种 66 棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各样多少棵树？【答案】 设甲班每小时种 x 棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树，由题意得：答：甲班每小时种树20 棵，乙班每小时种树22 棵 .6．某服饰厂生产一批西服，本来每件的成本价是500 元，销售价为625 元，经市场展望，该产品销售价第一个月将降低 20%，第二个月比第一个月提升6%，为了使两个月后的销售收益达到本来水平，该产品的成本价均匀每个月应降低百分之几？【思路点拨】设该产品的成本价均匀每个月降低率为x，那么两个月后的销售价钱为625（1-20%）（1+6%），两个月后的成本价为 500（1-x ）2，而后依据已知条件即可列出方程，解方程即可求出结果．【答案与分析】设该产品的成本价均匀每个月应降低的百分数为x．625（ 1-20%）（ 1+6%） -500 （ 1-x ）2=625-500整理，得 500（ 1-x ）2 =405，（ 1-x ）2=0.81 ．1-x=± 0.9 ，x=1± 0.9 ，x12=1.9 （舍去）， x =0.1=10%．答：该产品的成本价均匀每个月应降低10%．【总结升华】题目中该产品的成本价在不停变化，销售价也在不停变化，?要求变化后的销售收益不变，即收益仍要达到125 元， ?重点在于计算和表达改动后的销售价和成本价．。
分式必考知识点
分式是数学中的一个重要知识点，也是许多学生在学习数学过程中较为困惑的部分。
本文将从基础概念、分式的基本运算、简化分式以及分式方程等方面，逐步介绍分式的必考知识点。
一、基础概念1.分式的定义：分式是指一个整体被分为若干等份，每份的大小用分母表示，总份数用分子表示。
分子在上，分母在下，二者之间用一条水平线隔开，如：1/2。
2.分子和分母：在分式中，分子表示被分割的整体中的一份，分母表示整体被分割成的份数。
3.分式的值：分式的值等于分子除以分母的结果。
例如，1/2表示整体被分为2份，其中的1份。
二、基本运算1.分式的加减法：分式的加减法要求分母相同，通过找到分式的最小公倍数，将分式的分母转换为相同的数，然后对分子进行加减。
例如，1/3 +1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12。
2.分式的乘法：分式的乘法要求将分子与分母分别相乘。
例如，1/2 ×2/3 = (1 × 2)/(2 × 3) = 2/6 = 1/3。
3.分式的除法：分式的除法可以转化为乘法的倒数运算。
将除法转换为乘法，并将除数的分子与被除数的分母相乘，除数的分母与被除数的分子相乘。
例如，1/2 ÷ 2/3 = 1/2 × 3/2 = 3/4。
三、简化分式1.约分：将分式的分子与分母同时除以它们的最大公约数，得到一个等价的最简分式。
例如，4/8可以约分为1/2，因为4和8的最大公约数是4。
2.整数部分化为分数：将整数转化为分数形式，分子为整数，分母为1。
例如，2可以表示为2/1。
四、分式方程1.分式方程的定义：分式方程是含有分式的等式。
分式方程的求解过程与一元一次方程类似。
2.分式方程的求解步骤：–对分式方程的两边进行通分，将分式方程转化为整式方程。
–将方程两边的分式化为最简分式。
–化简方程两边的整式，并合并同类项。
–通过移项和合并同类项，将方程化为一元一次方程。
–求解方程，得到未知数的值。
分式综合知识点
分式是数学中的一个重要概念，也是我们在日常生活中经常会遇到的一种数学表达方式。
它可以帮助我们更加准确地描述和计算一些复杂的数值关系。
本文将从基础概念、简单运算到应用举例等方面，逐步介绍分式的综合知识点。
一、基础概念 1. 分式的定义：分式是由分子和分母组成的数值表达式，表示两个数的比值关系。
例如，12就是一个分式，其中1为分子，2为分母。
2. 分式的特点：分式可以表示实数和有理数，可以有整数、小数和负数等不同形式。
分母不能为零，因为除数不能为零。
二、分式的简单运算 1. 分式的加减法：当两个分式的分母相同时，可以直接对分子进行加减运算，分母不变。
例如，12+32=42=21。
2. 分式的乘法：将两个分式的分子相乘，分母相乘，得到新的分式。
例如，12×34=38。
3. 分式的除法：将除法转化为乘法，即将除号变为乘号，并将被除数的分子与除数的分母相乘，被除数的分母与除数的分子相乘，得到新的分式。
例如，12÷34=12×43=23。
三、分式的简化与扩展 1. 分式的简化：将分子和分母的公因数约去，得到一个最简分式。
例如，48可以简化为12。
2. 分式的扩展：将分母因式分解，得到一个分数和指数的形式。
例如，2x+1可以扩展为2x +21。
四、分式的应用举例 1. 比例问题：分式可以用来表示比例关系。
例如，假设小明和小红两人一起借了100元，小明借了25的钱，小红借了剩下的钱，求小明和小红分别借了多少钱。
解答：设小明借了x 元，则小红借了100−x 元。
根据题意得到方程x 100=25，解得x =40，则小明借了40元，小红借了60元。
2. 比例问题的应用：分式可以用来解决比例问题，如物品打折、液体混合等。
例如，某商品原价100元，现在打8折，求打折后的价格。
解答：设打折后的价格为x 元，则原价与打折后的价格成比例，得到方程x 100=810，解得x =80，则打折后的价格为80元。
乐乐课堂数学分式
乐乐课堂数学分式
数学分式是数学学习的重点内容之一，对于学生来说也是一个较为复杂的概念。
因此，对于乐乐课堂的数学分式课程，我们将从基础知识、解题技巧和实际应用三个方面进行讲解。
首先，我们将介绍数学分式的基础知识。
数学分式由分子和分母组成，分子代表分式的被除数，分母代表分式的除数。
我们将学习如何将分式化简为最简形式，并介绍常见的分式类型，如真分数、假分数和整数。
同时，我们会着重讲解分式的约分和通分方法，以及分式的四则运算规则。
接下来，我们将讲解数学分式的解题技巧。
我们将针对各种类型的分式题目，结合实例进行讲解。
例如，如何通过找最小公倍数来通分、如何通过约分或乘以适当的数来化简分式、如何利用倒数的性质进行分式的除法运算等。
我们会详细解析这些技巧的原理，并通过大量的练习题来帮助学生掌握。
最后，我们会介绍数学分式的实际应用。
数学分式在生活中有着广泛的应用，例如在比例、百分比、利润、速度等实际问题中都会涉及到分式的计算。
我们将通过实际例子，展示分式在解决实际问题中的应用，并引导学生运用所学知识解决相关问题。
通过乐乐课堂的数学分式课程，相信同学们能够全面掌握分式的基础知识、解题技巧和实际应用。
我们将以生动有趣的方式呈现课程内容，通过丰富的实例和练习题，帮助同学们理解和掌握数学分式，提高解题能力和思维逻辑能力。
感谢大家选择乐乐课堂的数学分式课程，相信在学习过程中，你们会发现数学分式并不那么复杂，而且能够真正应用在生活中。
希望同学们能够通过这门课程，打好数学基础，为未来的学习打下坚实的基础。
谢谢大家！。
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来说,求出的根成立，而对于原分式方程来说,分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：(1)增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的．根据方程的同解原理，方程的两边都乘 以(或除以）同一个不为 0 的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数
是 0,那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （２)解分式方程一定要检验根,这种检验与整式方程不同,不是检查解方程过程中是否有错误，
要点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去
分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根,这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增 根,所以解分式方程时必须验根.
解分式方程的一般步骤： (１）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意:当分母是多项式时,先分解因式,再找出最 简公分母）；
【要点梳理】
要点一、分式的有关概念及性质
1.分式
一般地,如果 A、Ｂ表示两个整式,并且 B 中含有字母,那么式子 A 叫做分式.其中 A 叫做分子,Ｂ叫做分母. B
要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为０,所以分式的分母不能为 0，即当 B≠0 时，分式 A 才有 B
意义.
2.分式的基本性质ﻫ
时,要先将其分解因式,使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再
进行约分.
【学习目标】
分式的乘除（基础)
1.学会用类比的方法总结出分式的乘法、除法法则.
２.会分式的乘法、除法运算.
３.掌握乘方的意义，能根据乘方的法则,先乘方,再乘除进行分式运算.
【要点梳理】
要点一、分式的乘除法
1. 分 式 的 乘 法 法 则 ： 分 式 乘 分 式 ， 用 分 子 的 积 作 为 积 的 分 子 ， 分 母 的 积 作 为 积 的 分 母 . 用 字 母 表 示
要点一、分式的概念
一般地，如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A 叫做分式.其中 A 叫做分子,B 叫做分母． B
要点诠释:（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除
的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.
(2)分式与分数是相互联系的:由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般 性;分数是分式中字母取特定值后的特殊情况．
与分数的加、减乘、除混合运算一样，分式的加、减乘、除混合运算，也是先算乘、除,后算加、减;遇到括号,
先算括号内的,按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序计算. 分式运算结果必须达到最简,能约分的要约分,保证
结果是最简分式或整式．
要点诠释:（1）正确运用运算法则:分式的乘除(包括乘方)、加减、符号变化法则是正确进行分式运算的基础，要
为: a c ac ，其中 a、b、c、d 是整式， bd 0 . b d bd
2. 分 式 的 除 法 法 则 ： 分 式 除 以 分 式 , 把 除 式 的 分 子 、 分 母 颠 倒 位 置 后 , 与 被 除 式 相 乘 . 用 字 母 表 示
为: a c a d ad ，其中 a、b、c、d 是整式， bcd 0 . b d b c bc
【学习目标】
分式全章复习与巩固(基础)
1． 理解分式的概念,能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为 0 的条件. 2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则. ３．掌握分式的四则运算． 4．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程,掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归
思想. 【知识网络】
的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1 除外），那么这个分式叫做最简分式．
要点诠释:(1）约分的实质是将一个分式化成最简分式,即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.
（２）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分
母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式
（2)如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积;如果各分母
都是多项式,就要先把它们分解因式,然后再找最简公分母.
（３）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.
要点三、异分母分式的加减
异分母分式相加减，先通分,变为同分母的分式，再加减.
(3）必须在分式有意义的前提下,才能讨论分式的值.
要点三、分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于０的整式，分式的值不变,这个性质叫做分式的基本性质,用式子表
示是: A A M ，A A M （其中 M 是不等于零的整式）. B BM B BM
要点诠释：（1)基本性质中的Ａ、Ｂ、Ｍ表示的是整式．其中 B≠0 是已知条件中隐含着的条件，一般在解
而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的．
要点四、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题． 列分式方程解应用题按下列步骤进行: （1)审题了解已知数与所求各量所表示的意义,弄清它们之间的数量关系; (2)设未知数; (3)找出能够表示题中全部含义的相等关系,列出分式方程; （４)解这个分式方程； (5)验根，检验是否是增根； （6)写出答案.
（２)解这个整式方程,求出整式方程的解； (３)检验:将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于 0,则这个解是原分式方程的解,若最简公分母等于 ０，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
要点三、解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因:去分母时,方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子,这个式子有可能为零,对于整式方程
要点一、同分母分式的加减
同分母分式相加减，分母不变,把分子相加减;
上述法则可用式子表为:
a b ab． cc c
要点诠释：(1)“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减,即各个分子都应用括号，当分子是单项式时,括
号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然,容易导致符号上的错误.
1.分式有意义的条件:分母不等于零.
２.分式无意义的条件:分母等于零.
3．分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 要点诠释:(１）分式有无意义与分母有关但与分子无关,分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母
中所含字母不能取哪些值,以避免分母的值为零.
（2)本章中如果没有特殊说明,所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.
（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”,但π表示圆周率,是一个常数,不是字母,
如 a 是整式而不能当作分式．
（4)分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如 x2 y 是 x
分式，与 xy 有区别， xy 是整式，即只看形式，不能看化简的结果.
要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件
(M 为不等于０的整式).
3.最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简．
要点二、分式的运算
１．约分
利用分式的基本性质,把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约
分.
2．通分
利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式,不改变分式的值,把异分母的分式化为同分母的分式,这样
（３）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时,应先算乘方,再算乘除,有多项
式时应先分解因式，再约分.
（４）分式乘方时,应把分子、分母分别看作一个整体．如
a
b
b
2
a b2
b2
a2 b2 b2
.
【学习目标】
分式的加减（基础）
1.能利用分式的基本性质通分．
2.会进行同分母分式的加减法．
3.会进行异分母分式的加减法． 【要点梳理】
的分式变形叫做分式的通分．
3．基本运算法则
分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:
(1）加减运算
a b a b ；同分母的分式相加减，分母不变,把分子相加减． cc c
;异分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减.
（２)乘法运算
a c ac ，其中 a、b、c、d 是整式， bd 0 . b d bd
要点一、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释:（１）分式方程的重要特征:①是等式;②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
(2)分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数).分 母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程．
（3)分式方程和整式方程的联系:分式方程可以转化为整式方程.
上述法则可用式子表为：
a c ad bc ad bc . b d bd bd bd
要点诠释：(1）异分母的分式相加减,先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法.
(2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分,②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式.
要点四、分式的混合运算
题过程中不另强调；M≠０是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必
须重点强调 M≠0 这个前提条件.
（2)在应用分式的基本性质进行分式变形时,虽然分式的值不变,但分式中字母的取值
范围有可能发生变化．例如：
,在变形后，字母 x 的取值范围变大
了．
要点四、分式的变号法则
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个,分