人教新课标版数学高一B版必修4作业3.1.3 两角和与差的正切

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高中数学人教B版必修四学案：第3章 3.1 3.1.3 两角和与差的正切 Word版含答案

2.3.1.3 两角和与差的正切学习目标：1.能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两角和与差的正切公式．(重点)2.掌握两角和与差的正切公式的变形使用，能利用公式进行简单的求值、化简等．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．两角和的正切公式 T α＋β：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.2．两角差的正切公式 T α－β：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.思考：你能举出几个两角和与差的正切公式的变形式吗？ [提示] (1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． (2)1－tan αtan β＝tan α＋tan βtan (α＋β).(3)tan α＋tan β＋tan αtan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)． (4)tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β).[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( ) (2)对任意α，β∈R ，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β都成立．( )(3)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)．( )[解析] (1)当α＝0，β＝π3时，tan(α＋β)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋π3＝tan 0＋tan π3，但一般情况下不成立．(2)两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z)且tan α·cos β≠1.(3)当α≠k π＋π2(k ∈Z)，β≠k π＋π2(k ∈Z)，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z)时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子． [答案] (1)√ (2)× (3)√2．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A ．－3B ．3C ．－13 D.13D [tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13.]3．设tan α＝12，tan β＝13，且角α，β为锐角，则α＋β的值是________． [解析] ∵tan α＝12，tan β＝13∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1，又∵α，β均为锐角，即α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∴0<α＋β<π，则α＋β＝π4. [答案] π4[合作探究·攻重难]利用公式化简求值求下列各式的值： (1)tan 15°；(2)1－3tan 75°3＋tan 75°；(3)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°.[思路探究] 把非特殊角转化为特殊角(如(1))及公式的逆用(如(2))与活用(如(3))，通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的．[解] (1)tan 15°＝tan(45°－30°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝3－33＋3＝2－ 3.(2)1－3tan 75°3＋tan 75°＝33－tan 75°1＋33tan 75°＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°tan 75°＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－tan 45°＝－1. (3)∵tan(23°＋37°)＝tan 60°＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°＝3，∴tan 23°＋tan 37°＝3(1－tan 23°tan 37°)，∴原式＝3(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝ 3.1．求下列各式的值： (1)cos 75°－sin 75°cos 75°＋sin 75°；(2)tan 36°＋tan 84°－3tan 36°tan 84°.[解] (1)原式＝1－tan 75°1＋tan 75°＝tan 45°－tan 75°1＋tan 45°tan75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－33.(2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－3tan 36°tan 84° ＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－3tan 36°tan 84° ＝tan 120°＝－ 3.条件求值(角)问题如图3-1-2，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255. (1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．图3-1-2[思路探究] 先由任意角的三角函数定义求出cos α，cos β，再求sin α，sin β，从而求出tan α，tan β，然后利用T α＋β求tan(α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan(α＋2β)进而得到α＋2β的值． [解] 由条件得cos α＝210，cos β＝255， ∵α，β为锐角，∴sin α＝7210，sin β＝55， ∴tan α＝7，tan β＝12.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan (α＋β)＋tan β1－tan (α＋β)·tan β＝－3＋121－(－3)×12＝－1，∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4.2．(1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)如图3-1-3所示，三个相同的正方形相接，试计算α＋β的大小．图3-1-3[解] (1)因为sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝35－45＝－34，故tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝－34＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×1＝17. (2)由题图可知tan α＝13，tan β＝12，且α，β均为锐角，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋121－13×12＝1.∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π4.公式的变形应用[探究问题]1．判断三角形的形状时，都有哪些特殊三角形？[提示]根据三角形的边角关系，常见的特殊三角形有等边三角形、等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等．2．在△ABC中，tan(A＋B)与tan C有何关系？[提示]根据三角形内角和定理可得A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C.已知△ABC中，tan B＋tan C＋3tan B tan C＝3，且3tan A＋3tan B ＋1＝tan A tan B，判断△ABC的形状．[思路探究]化简条件→求出tan A，tan C→求出角A，C→判断形状. [解]由tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝tan B＋tan Ctan B tan C－1＝3－3tan B tan Ctan B tan C－1＝－ 3.而0°＜A＜180°，∴A＝120°.由tan C＝tan[π－(A＋B)]＝tan A＋tan B tan A tan B－1＝tan A＋tan B3tan A＋3tan B＝33，而0°＜C＜180°，∴C＝30°，∴B＝30°.∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．母题探究：(变条件)例题中把条件改为“tan B＋tan C－3tan B tan C＝－3，且33tan A＋33tan B＋1＝tan A tan B”，结果如何？[解]由tan A＝tan [π－(B＋C)]＝－tan (B＋C)＝tan B＋tan C tan B tan C－1＝3tan B tan C－3tan B tan C－1＝ 3.又0°<∠A<180°，所以∠A＝60°. 由tan C＝tan [π－(A＋B)]＝tan A＋tan Btan A tan B－1＝tan A＋tan B33tan A＋33tan B＝ 3.又0°<∠C<180°，所以∠C＝60°，所以∠B＝60°.所以△ABC 是等边三角形．[当堂达标·固双基]1.tan 75°－tan 15°1＋tan 75°tan 15°＝( )A ．－2 B. 2 C ．－ 3D. 3D [原式＝tan (75°－15°)＝tan 60°＝ 3. ] 2．设角θ的终边过点(2,3)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝( )A.15 B ．－15 C ．5D ．－5A [由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝32，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝32－11＋32＝15，选A.]3．tan 10°tan 20°＋3(tan 10°＋tan 20°)等于( ) A.33 B ．1 C. 3D. 6B [原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 30°(1－tan 10°tan 20°)＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1.]4．计算3－tan 15°1＋3tan 15°＝________.[解析] 3－tan 15°1＋3tan 15°＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan 45°＝1. [答案] 15．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5＝14，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5的值.[解] ∵α＋π5＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5＝tan (α＋β)－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π51＋tan (α＋β)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5＝25－141＋25×14＝322.。

人教版数学高一B版必修4学案3.1.3两角和与差的正切

3.1.3 两角和与差的正切点、易错点两角和与差的正切公式两角和的正切公式：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，(T α＋β)两角差的正切公式：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.(T α－β)在两角和与差的正切公式中，α和β的取值应使分母不为零．【自主测试1】与1－tan 21°1＋tan 21°相等的是( )A ．tan 66° B．tan 24° C ．tan 42° D．tan 21° 解析：由两角差的正切公式，原式＝tan 45°－tan 21°1＋tan 45°tan 21°＝tan(45°－21°)＝tan24°.答案：B【自主测试2】(2011·浙江温州模拟)非零向量a ＝(sin θ，2)，b ＝(cos θ，1)，若a 与b 共线，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________. 解析：由a ∥b 得，sin θ－2cos θ＝0，即tan θ＝2，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝2－11＋2＝13. 答案：13两角和与差的正切公式成立的条件及作用剖析：(1)公式成立的条件：α≠k π＋π2，β≠k π＋π2，α＋β≠k π＋π2或α－β≠k π＋π2，以上式子均有k ∈Z .当tan α，tan β，tan(α±β)不存在时，可以改用诱导公式解决．如化简tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，因为tan π2的值不存在，不能利用公式T α＋β，所以改用诱导公式来解：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos αsin α＝1tan α＝cot α.(2)两角和与差的正切公式同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，要熟练掌握：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，1∓tan αtan β＝tan α±tan βtan α±β.如tan 25°＋tan 20°＋tan 25°tan 20°＝tan(25°＋20°)·(1－tan 25°tan 20°)＋tan 25°tan 20°＝tan 45°(1－tan 25°·tan 20°)＋tan 25°tan 20°＝1－tan 25°tan 20°＋tan 25° tan 20°＝1.所以在处理问题时，要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了．(3)与两角和与差的正弦函数公式和余弦函数公式一样，两角和与差的正切公式对分配律也不成立，即tan(α＋β)≠tan α＋tan β.题型一给值求值问题【例题1】已知sin α＝－35，α是第四象限的角，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4和tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2的值．分析：已知sin α的值，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4用两角差的正切公式，而求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2则只能用诱导公式来做．解：因为sin α＝－35，α是第四象限的角，所以cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45，所以tan α＝sin αcos α＝－3545＝－34.于是有tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tan π41＋tan αtan π4＝－34－11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－7，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－cos αsin α＝－45－35＝43.反思在运用两角和与差的正切公式来解题时，一定要注意公式成立的条件．当tan α，tan β或tan(α±β)的值不存在时，不能利用公式T α＋β，可改用诱导公式或其他方法．【例题2】已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4. 分析：如果通过已知解出tan α再求值，计算量大．由于α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，所以可以直接利用公式来求解．解：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝tan α＋β－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan α＋βtan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝25－141＋25×14＝322. 反思在解题时切记不要盲目地看到是和差角的形式就套用公式，那样会增加计算量，而且容易出错，要先整体观察题目的特点，再寻找最简的解题方法，这是我们要培养的良好习惯．题型二两角和与差的正切公式的变形使用【例题3】计算：(1)tan 10°tan 20°＋3(tan 10°＋tan 20°)＝__________. (2)tan 20°＋tan 40°＋tan 120°tan 20°tan 40°tan 120°＝__________.解析：(1)原式＝tan 10°tan 20°＋3(1－tan 10°tan 20°)·tan(10°＋20°)＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1.(2)∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°，∴tan 20°＋tan 40°＝3－3tan 20°tan 40°. ∴tan 20°＋tan 40°＋tan 120°tan 20°tan 40°tan 120°＝3－3tan 20°tan 40°－3－3tan 20°tan 40°＝1.答案：(1)1 (2)1反思本题的两个小题都是考查两角和的正切公式的变形运用，含α，β两角的正切和与正切积的式子，用两角和与差的正切公式的变形比较容易处理．在历届高考试题中，曾多次考查过两角和与差的正切公式及其变形的应用，在学习过程中，对此应予以重视．题型三给值求角问题【例题4】如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．分析：(1)先根据cos α＝210，cos β＝255，求出tan α，tan β，再用和角公式求tan(α＋β)．(2)先求α＋2β的正切值再求角．解：由条件，得cos α＝210，cos β＝255.∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210， sin β＝1－cos 2β＝55.因此tan α＝7，tan β＝12. (1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)∵tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan α＋β＋tan β1－tan α＋βtan β＝－3＋121－－3×12＝－1，且α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4.反思此题要注意单位圆中有关角的三角函数值的特点与对应关系，还要注意题目中的隐含条件，比如角的取值范围、三角函数值等；然后要注意寻找题目中各角的关系，比如α＋2β＝(α＋β)＋β等．题型四公式的综合应用【例题5】已知tan A ，tan B 是关于x 的方程mx 2－2x ·7m －3＋2m ＝0的两个根，求tan(A ＋B )的取值范围．分析：根据韦达定理和两角和的正切公式，用参变数m 表示tan(A ＋B )，然后求含参变数m 的式子的取值范围．解：由题意得m ≠0，且Δ＝4(7m －3)－8m 2≥0，即2m 2－7m ＋3≤0，且m ≠0. ∴12≤m ≤3.又7m －3≥0，∴m ≥37. ∴12≤m ≤3，则13≤1m≤2. ∵tan A ，tan B 为此方程的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧tan A ＋tan B ＝27m －3m ，tan A tan B ＝2.∴tan(A ＋B )＝27m －3m1－2＝－27m －3m＝－2－3m 2＋7m＝－2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1m －762＋4912. ∴当1m ＝76时，tan(A ＋B )取最小值为－733.当1m ＝13或1m＝2时， tan(A ＋B )取最大值为－2 2.∴tan(A ＋B )的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－733，－22.反思本题易犯如下错误，只考虑用韦达定理寻求tan A ＋tan B ，tan A tan B 的值，而忽视方程有根的前提条件．凡涉及到一元二次方程根的问题，就要优先考虑“Δ”，它是研究一元二次方程根的相关问题的前提条件．题型五易错辨析【例题6】已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β的值等于( )A ．π3B ．－2π3或π3C ．－π3或2π3D ．－2π3错解：∵tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根， ∴tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.又∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＋β∈(－π，π)． ∴α＋β＝－2π3或α＋β＝π3.故选B ．错因分析：忽视了tan α，tan β是两个负根这一隐含条件，从而导致增解现象．正解：∵tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根， ∴tan α＋tan β＝－33＜0，tan αtan β＝4＞0.∴tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个负根，即tan α＜0，tan β＜0.∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， ∴α＋β∈(－π，0)．又∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，∴α＋β＝－2π3.故选D ．1．1＋tan 75°1－tan 75°的值是( )A ． 3B ．－ 3C ．33 D ．－33解析：1＋tan 75°1－tan 75°＝tan 45°＋tan 75°1－tan 45°tan 75°＝tan(45°＋75°)＝tan 120°＝－tan60°＝－ 3.答案：B2．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝17，那么sin α－cos α的值为( ) A ．－15 B ．75 C ．－75 D ．34答案：B3．若α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)等于( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝1－tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝1－tan 3π4(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝2.答案：C4．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期是________．解析：y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 ＝tan 2x －11＋tan 2x ＋tan 2x ＋11－tan 2x＝tan 2x ＋12－tan 2x －121－tan 22x＝4tan 2x 1－tan 22x＝2tan 4x . 所以最小正周期为π4.答案：π45．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为______．解析：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，∴1＋tan α1－tan α＝2.∴tan α＝13. ∴12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋12×13＋1＝23. 答案：236．(2012·山东曲阜期末)设cos α＝－55，tan β＝13，π＜α＜3π2，0＜β＜π2，求α－β的值．解：由cos α＝－55，π＜α＜3π2得sin α＝－255，tan α＝2，又tan β＝13，所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝1.又π＜α＜3π2，0＜β＜π2，得－π2＜－β＜0，π2＜α－β＜3π2，所以α－β＝5π4.。

高中数学人教版必修四讲义：第三章 3.1 3.1.3 两角和与差的正切 Word版含答案

和角公式3．1.3两角和与差的正切预习课本P140～141，思考并完成以下问题(1)如何利用两角差(和)的正、余弦公式导出两角差(和)的正切公式？(2)公式T()的应用条件是什么？α±β[新知初探]两角和与差的正切公式[点睛] (1)在两角和与差的正切公式中，角α，β，α＋β，α－β均不等于k π＋π2(k ∈Z)，这是由正切函数的定义域决定的．(2)在应用两角和与差的正切公式时，只要tan α，tan β，tan(α＋β)(或tan(α－β))中任一个的值不存在，就不能使用两角和(或差)的正切公式解决问题，应改用诱导公式或其他方法解题．如化简tan ⎝⎛⎭⎫π2－β，因为tan π2的值不存在，所以不能利用公式T (α－β)进行化简，应改用诱导公式来化简，即tan ⎝⎛⎭⎫π2－β＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－βcos ⎝⎛⎭⎫π2－β＝cos βsin β. [小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( ) (2)对任意α，β∈R ，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β都成立．( )答案：(1)√ (2)×2．已知tan α＝－34，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α等于( ) A ．－17 B ．－7 C.17 D ．7答案：D3．若tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝3，则tan α的值为( )A ．－2B ．－12C.12 D ．2答案：B 4.tan 17°＋tan 43°1－tan 17°tan 43°＝________.答案： 3[典例] 求值：(1)tan(－15°)； (2)tan 74°＋tan 76°1－tan 74°tan 76°； (3)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°. [解] (1)tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝3－33＋3＝12－636＝2－3，tan(－15°)＝－tan 15°＝3－2.(2)原式＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－3 3.(3)∵tan 60＝3＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23° tan 37°，∴tan 23°＋tan 37°＝3－3tan 23°tan 37°，∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝ 3.利用公式T(α±β)化简求值的两点说明(1)分析式子结构，正确选用公式形式：T()α±β是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“3”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan π4”，“3＝tan π3”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．[活学活用]1.sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°的值为________．解析：原式＝sin (15°－8°)＋cos 15°sin 8°cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝tan 15°＝tan (45°－30°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝2－ 3.答案：2－ 3 2.tan 18°＋tan 42°＋tan 120°tan 18°tan 42°tan 60°＝________.解析：观察可知18°＋42°＝60°，可运用两角和的正切公式求值． ∵tan 18°＋tan 42°＋tan 120°＝tan 60°(1－tan 18°tan 42°)＋tan 120° ＝－tan 60°tan 18°tan 42°， ∴原式＝－1. 答案：－1[典例] 已知cos α＝45，α∈(0，π)，tan (α－β)＝12，求tan β及tan (2α－β)．[解] ∵cos α＝45>0，α∈(0，π)，∴sin α>0. ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35，∴tanα＝sinαcosα＝3545＝34.∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tanα－tan(α－β)1＋tanα·tan(α－β)＝34－121＋34×12＝211，tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tanα＋tan(α－β) 1－tanα·tan(α－β)＝34＋121－34×12＝2.给值求值问题的两种变换(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系实现求值．(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．[活学活用]1．设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为()A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选A ∵tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根， ∴tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2， ∴tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.2．已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan (α－β)＝2，则tan (β－2α)＝________.解析：由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，则tan α＝2.因为 tan (α－β)＝2，所以 tan (β－α)＝－2，故 tan (β－2α)＝tan [(β－α)－α] ＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝－2－21＋(－2)×2＝43.答案：43[典例] 已知tan α＝2，tan β＝－13，其中0<α<π2，π2<β<π.(1)求tan (α－β)； (2)求α＋β的值．[解] (1)因为tan α＝2，tan β＝－13，所以tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2＋131－23＝7.(2)因为tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1，又因为0<α<π2，π2<β<π，所以π2<α＋β<3π2，所以α＋β＝5π4.[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求tan (2α－β)的值．解：因为tan (α－β)＝7，tan α＝2，所以tan (2α－β)＝tan (α－β)＋tan α1－tan (α－β)tan α＝7＋21－7×2＝－913.2．[变条件，变设问]若本例条件变为：tan α＝13，tan β＝17且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求2α＋β的值．解：因为tan α＝13，tan β＝17且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋171－13×17＝12>0，∴α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2α＋β∈(0，π)， ∴tan (2α＋β)＝tan (α＋β)＋tan α1－tan (α＋β)tan α＝12＋131－12×13＝1，∴2α＋β＝π4.给值求角问题的解题策略(1)根据题设条件求角的某一三角函数值；(2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小．层级一学业水平达标1．1－tan 27°tan 33°tan 27°＋tan 33°的值为( )A.33B. 3 C ．tan 6°D.1tan 6°解析：选A ∵tan 27°＋tan 33°1－tan 27°tan 33°＝tan (27°＋33°)＝tan 60°，∴原式＝1tan 60°＝33.2．tan 15°＋tan 105°等于( )A ．－2 3B ．2＋ 3C ．4 D.433解析：选A tan 15°＋tan 105°＝tan (60°－45°)＋tan (45°＋60°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＋tan 45°＋tan 60°1－tan 45°tan 60°＝－23，故选A . 3．已知tan (α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.1318 B.1322 C.322 D.318解析：选C ∵tan (α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14， ∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝25－141＋25×14＝322. 4．在△ABC 中，若tan A tan B>1，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不能确定解析：选A 由tan A tan B>1，知tan A>0，tan B>0，从而A ，B 均为锐角．又tan (A ＋B)＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B<0，即tan C ＝－tan (A ＋B)>0，∴C 为锐角，故△ABC 为锐角三角形．5．若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值为( )A ．1B ．2C ．1＋ 2D ．1＋ 3 解析：选B ∵tan 45°＝tan (20°＋25°)＝tan 20°＋tan 25°1－tan 20°tan 25°＝1， ∴tan 20°＋tan 25°＝1－tan 20°tan 25°，∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°·tan 25°＝1＋1－tan 20°tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2.6．已知tan α＝－2，tan (α＋β)＝17，则tan β的值为________．解析：将β化为(α＋β)－α，利用两角差的正切公式求解．tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17－(－2)1＋17×(－2)＝3. 答案：37.cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°＝________. 解析：原式＝1－tan 15°1＋tan 15°＝tan 45°－tan 15°1＋tan 45°tan 15°＝tan (45°－15°)＝tan 30°＝33. 答案：33 8．若1＋tan α＋tan β－tan αtan β＝0，且α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则α＋β＝________.解析：因为1＋tan α＋tan β－tan αtan β＝0，所以tan α＋tan β＝－(1－tan αtan β)，所以tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1. 又α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以π＜α＋β＜2π，故α＋β＝7π4. 答案：7π4 9．已知tan (α＋β)＝2，tan (α－β)＝3，求tan (3π＋2α)＋tan (4π＋2β)的值．解：因为tan (α＋β)＝2，tan (α－β)＝3，所以tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)tan (α－β)＝2＋31－2×3＝－1， tan 2β＝tan [(α＋β)－(α－β)]＝tan (α＋β)－tan (α－β)1＋tan (α＋β)tan (α－β)＝2－31＋2×3＝－17，所以tan (3π＋2α)＋tan (4π＋2β)＝tan 2α＋tan 2β＝－1－17＝－87. 10．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，求角α＋β的大小．解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ tan α＋tan β＝－33，tan α·tan β＝4，∴tan α，tan β均为负，∴－π2<α<0，－π2<β<0.∴－π<α＋β<0，又tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.∴α＋β＝－2π3.层级二应试能力达标 1．已知tan α＝12，tan (α－β)＝－25，那么tan (β－2α)的值为( )A ．－34B ．－112C ．－98 D.98解析：选B tan (β－2α)＝－tan (2α－β)＝－tan [α＋(α－β)]＝－tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝－12－251＋12×25＝－112.2．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则角C 等于() A.π3 B.2π3C.π6D.π4解析：选A 由已知，得tan A ＋tan B ＝3(tan A tan B －1)，即tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－3，∴tan (A ＋B)＝－3， ∴tan C ＝tan [π－(A ＋B)]＝－tan (A ＋B)＝3，∴C ＝π3. 3．已知tan α＝12，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－11＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值是( ) A ．2B.12 C ．－1 D ．－3解析：选B 法一：因为tan α＝12，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝tan π4＋tan α1－tan π4·tan α＝1＋tan α1－tan α＝3，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－11＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝3－11＋3＝12.故选B . 法二：tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－11＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－tan π41＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·tan π4 ＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－π4＝tan α＝12.故选B . 4．(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)·…·(1＋tan 44°)(1＋tan 45°)的值为( )A ．222B ．223C ．224D ．225解析：选B (1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝1＋tan 44°＋tan 1°＋tan 44°tan 1°，∵tan 45°＝tan (1°＋44°)＝tan 1°＋tan 44°1－tan 1°tan 44°＝1， ∴(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝1＋1－tan 1°tan 44°＋tan 44°tan 1°＝2，同理，得(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝(1＋tan 2°)(1＋tan 43°)＝ (2)∴原式＝222×(1＋tan 45°)＝223.5．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是__________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直角”)解析：由已知得⎩⎨⎧ tan A ＋tan B ＝53，tan A·tan B ＝13. ∴tan (A ＋B)＝tan A ＋tan B 1－tan A·tan B ＝531－13＝52，在△ABC 中，tan C ＝tan [π－(A ＋B)]＝－tan (A ＋B)＝－52<0，∴C 是钝角，∴△ABC 是钝角三角形．答案：钝角6．若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的最小正值为______________________________．解析：(tan α－1)(tan β－1)＝2⇒tan αtan β－tan α－tan β＋1＝2⇒tan α＋tan β＝tan αtan β－1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1，即tan (α＋β)＝－1，∴α＋β＝k π－π4，k ∈Z. 当k ＝1，α＋β取得最小正值3π4. 答案：3π4 7．已知tan(π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α. (1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．解：(1)因为tan(π＋α)＝－13，所以tan α＝－13，因为tan(α＋β)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α，所以tan(α＋β)＝－13＋25＋13＝516.(2)因为tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α，所以tan β＝516＋131－516×13＝3143.8．在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知点A ，B 的横坐标分别为13，255. (1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan (α＋β)－tan α2＋2tan (α＋β)·tan α的值．解：(1)由题意，得cos α＝13，cos β＝255. 因为α，β为锐角，所以sin α＝223，sin β＝55，因此tan α＝22，tan β＝12，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝22＋121－22×12＝－9＋522. (2)tan (α＋β)－tan α2＋2tan (α＋β)·tan α＝12×tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)·tan α＝12×tan[(α＋β)－α]＝12×tan β1 2＝1 4.＝1 2×。

人教B版高中数学必修四高一作业设计：3.1.3两角和与差的正切

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）3．1．3 两角和与差的正切课时目标 1．能利用两角和与差的正、余弦公式导出两角和与差的正切公式．2．掌握两角和与差的正切公式及变形运用．1．两角和与差的正切公式(1)T (α＋β)：tan(α＋β)＝_____________________________________________________．(2)T (α－β)：tan(α－β)＝_____________________________________________________．2．两角和与差的正切公式的变形(1)T (α＋β)的变形：tan α＋tan β＝____________________________________________________________． tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝__________________________________________． tan αtan β＝_____________________________________________________________．(2)T (α－β)的变形：tan α－tan β＝____________________________________________________________． tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝__________________________________________． tan αtan β＝______________________________________________________________．一、选择题1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值等于( ) A ．17 B ．7 C ．－17D ．－7 2．若sin α＝45，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是( ) A ．43 B ．－43 C ．－7 D ．－173．已知tan α＝12，tan β＝13，0<α<π2，π<β<3π2，则α＋β的值是( )A ．π4B ．3π4C ．5π4D ．7π44．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．无法确定5．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( )A ．1B ．2C ．tan 10°D ．3tan 20°6．在△ABC 中，角C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( ) A ．14 B ．13 C ．12 D ．53二、填空题7．1＋tan 75°1－tan 75°＝________． 8．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为________． 9．如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0两根，则sin (α＋β)cos (α－β)＝________． 10．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________．三、解答题11．在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，试判断△ABC 的形状．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255．求tan(α＋β)的值；能力提升13．已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．14．已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15． (1)求证：tan A ＝2tan B ；(2)设AB ＝3，求AB 边上的高．1．公式T (α±β)的适用范围由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z )．2．公式T (α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等．要特别注意tan(π4＋α)＝1＋tan α1－tan α，tan(π4－α)＝1－tan α1＋tan α． 3．公式T (α±β)的变形应用只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T (α±β)的意识，就不难想到解题思路．3．1．3 两角和与差的正切答案知识梳理1．(1)tan α＋tan β1－tan αtan β (2)tan α－tan β1＋tan αtan β2．(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan(α＋β) 1－tan α＋tan βtan (α＋β)(2)tan(α－β)(1＋tan αtan β) tan(α－β) tan α－tan βtan (α－β)－1 作业设计1．A 2．C 3．C4．A [tan A ＋tan B ＝53，tan A ·tan B ＝13， ∴tan(A ＋B )＝52，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－52， ∴C 为钝角．]5．A [原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 20°＋ 3 tan 10°＝3(tan 10°＋tan 20°＋33tan 10°tan 20°) ＝3tan 30°＝1．]6．B [tan(A ＋B )＝－tan C ＝－tan 120°＝3，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝3，即2331－tan A tan B ＝3，解得tan A tan B ＝13．] 7．－ 38．23解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，∴1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13． ∴12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝19＋123＋1＝23． 9．－32解析 sin (α＋β)cos (α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β ＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31＋(－3)＝－32． 10．1解析 tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α． ∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α．∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1．∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β．∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1． 11．解由tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，得tan B ＋tan C ＝3(1－tan B tan C )．∴tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝3，又∵B ＋C ∈(0，π)，∴B ＋C ＝π3．又3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，∴tan A ＋tan B ＝－33(1－tan A tan B )， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－33，而A ＋B ∈(0，π)，∴A ＋B ＝5π6，又∵A ＋B ＋C ＝π， ∴A ＝2π3，B ＝C ＝π6．∴△ABC 为等腰三角形． 12．解由条件得cos α＝210，cos β＝255． ∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2 α＝7210， sin β＝1－cos 2 β＝55．因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12． tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3． 13．解 tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝13>0．而α∈(0，π)，故α∈(0，π2)． ∵tan β＝－17，0<β<π，∴π2<β<π． ∴－π<α－β<0．而tan(α－β)＝12>0， ∴－π<α－β<－π2． ∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝1， ∴2α－β＝－3π4． 14．(1)证明 ∵sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15， ∴⎩⎨⎧ sin A cos B ＋cos A sin B ＝35sin A cos B －cos A sin B ＝15⇒⎩⎨⎧ sin A cos B ＝25cos A sin B ＝15⇒tan A tan B＝2，所以tan A ＝2tan B ． (2)解 ∵π2<A ＋B <π，sin(A ＋B )＝35， ∴tan(A ＋B )＝－34，即tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－34．将tan A ＝2tan B 代入上式并整理得， 2tan 2 B －4tan B －1＝0．解得tan B ＝2±62，舍去负值，得tan B ＝2＋62． ∴tan A ＝2tan B ＝2＋6．设AB 边上的高为CD ．则AB ＝AD ＋DB ＝CD tan A ＋CD tan B ＝3CD 2＋6．由AB ＝3，得CD ＝2＋6．∴AB 边上的高等于2＋6．。

人教B版数学必修四讲义：第3章 3.1 3.1.3 两角和与差的正切 Word版含答案

3.1.3 两角和与差的正切1．两角和的正切公式 T α＋β：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.2．两角差的正切公式T α－β：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.思考：你能举出几个两角和与差的正切公式的变形式吗？ [提示] (1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． (2)1－tan αtan β＝tan α＋tan βtan (α＋β).(3)tan α＋tan β＋tan αtan β tan(α＋β)＝tan(α＋β)． (4)tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β).1．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝( ) A ．－2－ 3 B ．－2＋3 C ．2－3D ．2＋ 3D[tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋3 31－33＝2＋ 3.故选D.]2.tan 75°－tan 15°1＋tan 75°tan 15°＝()A．－2B． 2C．－ 3 D． 3D[原式＝tan (75°－15°)＝tan 60°＝ 3. ]3．设tan α＝12，tan β＝13，且角α，β为锐角，则α＋β的值是_________．π4[∵tan α＝12，tan β＝13∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1，又∵α，β均为锐角，即α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴0<α＋β<π，则α＋β＝π4.](1)tan 15°；(2)1－3tan 75°3＋tan 75°；(3)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°.[思路探究]把非特殊角转化为特殊角(如(1))及公式的逆用(如(2))与活用(如(3))，通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的．[解] (1)tan 15°＝tan(45°－30°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝3－33＋3＝2－ 3.(2)1－3tan 75°3＋tan 75°＝33－tan 75°1＋33tan 75°＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°tan 75°＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－tan 45°＝－1. (3)∵tan(23°＋37°)＝tan 60°＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°＝3，∴tan 23°＋tan 37°＝3(1－tan 23°tan 37°)，∴原式＝3(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝ 3.1．公式T α＋β，T α－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示或求出第三个．2．一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．1．求下列各式的值： (1)cos 75°－sin 75°cos 75°＋sin 75°；(2)tan 36°＋tan 84°－3tan 36°tan 84°. [解] (1)原式＝1－tan 75°1＋tan 75°＝tan 45°－tan 75°1＋tan 45°tan75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－3 3.(2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－3tan 36°tan 84°＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－3tan 36°tan 84°＝tan 120°＝－ 3.始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．[思路探究]先由任意角的三角函数定义求出cos α，cos β，再求sin α，sin β，从而求出tan α，tan β，然后利用Tα＋β求tan(α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan(α＋2β)进而得到α＋2β的值．[解]由条件得cos α＝210，cos β＝255，∵α，β为锐角，∴sin α＝7210，sin β＝55，∴tan α＝7，tan β＝1 2.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan (α＋β)＋tan β1－tan (α＋β)·tan β＝－3＋121－(－3)×12＝－1，∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4.1．通过先求角的某个三角函数值来求角． 2．选取函数时，应遵照以下原则： (1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．3．给值求角的一般步骤： (1)求角的某一三角函数值； (2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角．2．(1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)如图所示，三个相同的正方形相接，试计算α＋β的大小．[解] (1)因为sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝35－45＝－34，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝－34＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×1＝17. (2)由题图可知tan α＝13，tan β＝12，且α，β均为锐角，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋121－13×12＝1.因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π4.1．判断三角形的形状时，都有哪些特殊三角形？[提示] 根据三角形的边角关系，常见的特殊三角形有等边三角形、等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等．2．在△ABC 中，tan(A ＋B )与tan C 有何关系？ [提示] 根据三角形内角和定理可得A ＋B ＋C ＝π， ∴A ＋B ＝π－C ，∴tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C .【例3】已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，判断△ABC 的形状．[思路探究] 化简条件→求出tan A ，tan C → 求出角A ，C →判断形状. [解] 由tan A ＝tan[π－(B ＋C )] ＝－tan(B ＋C )＝tan B＋tan Ctan B tan C－1＝3－3tan B tan Ctan B tan C－1＝－ 3.而0°＜A＜180°，∴A＝120°.由tan C＝tan[π－(A＋B)]＝tan A＋tan B tan A tan B－1＝tan A＋tan B3tan A＋3tan B＝33，而0°＜C＜180°，∴C＝30°，∴B＝30°.∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．公式Tα＋β的逆用及变形应用的解题策略(1)“1”的代换：在Tα＋β中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan 45°来代换，以达到化简求值的目的，如1－tan α1＋tan α＝tan⎝⎛⎭⎪⎫π4－α；3tan α＋3 1－tan α＝3tan⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4.(2)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．(教师用书独具)1．公式T(α±β)的适用范围和结构特征(1)由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋π2(k∈Z)．(2)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．2．两角和与差的正切公式的变形变形公式如：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan α tan β)；tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan α tan β)；tan α tan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)等.1．设角θ的终边过点(2,3)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝( )A.15 B ．－15 C ．5D ．－5A [由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝32，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝32－11＋32＝15，选A.]2．tan 10°tan 20°＋3(tan 10°＋tan 20°)等于( ) A.33 B ．1 C. 3D. 6B [原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 30°(1－tan 10°tan 20°)＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1.]3．计算3－tan 15°1＋3tan 15°＝________.1 [3－tan 15°1＋3tan 15°＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan 45°＝1.]4．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5＝14，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5的值． [解] ∵α＋π5＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5＝tan (α＋β)－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π51＋tan (α＋β)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5＝25－141＋25×143＝22.。

数学人教B版必修4作业：3.1.3两角和与差的正切

【解析】 tan 60°＝tan(18°＋42°)＝
tan 18°＋tan 42° 1－tan 18°tan 42°
，
所以tan 18°＋tan 42°＝tan 60°(1－tan 18°tan 42°)， tan 18°＋tan 42°＋ 3tan 18°tan 42° ＝tan 60°(1－tan 18°tan 42°)＋ 3tan 18°tan 42°＝ 3. 【答案】 C 5．已知tan α，tan β是关于x的一元二次方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则 sinα＋β cosα－β ＝( )
2 5
×
【答案】
3 8．已知tan(α＋β)＝7，tan α＝，且β∈(0，π)，则β的值为________． 4 tanα＋β－tan α 1＋tanα＋βtan α 7－＝ 3 4 3 4
【解析】 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝
1＋7 ×
π ＝1，又β∈(0，π)，所以β＝ . 4 【答案】 π 4
A．－1 C．－2 【解析】 ∵tan α，tan
B．1 D．2
β是关于x的一元二次方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，∴tan α＋tan β＝－6，tan α·tan β＝2.则＝ sin αcos β＋cos αsin β ＝ cosα－β cos αcos β＋sin αsin β ＝－6 1＋2 ＝－2. sinα＋β
π π 由于α，β均为锐角，∴α＝，β＝ . 6 4 π π 故存在锐角α＝，β＝使①②同时成立. 6 4
2 π 1 π 7．设tan(α＋β)＝，tan(β－ )＝，则tan(α＋ )的值是________． 5 4 4 4 π π 【解析】 ∵α＋＝(α＋β)－(β－ )． 4 4 2 π ∴tan(α＋ )＝ 4 3 22 5 1＋－ 1 4 3 20 3 ＝＝ . 1 22 22 4 20

人教B版高中数学必修四《第三章三角恒等变换 3.1 和角公式 3.1.2 两角和与差的正弦》_4

教目标知识与技能：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，包括公式的直接运用与公式的逆用，会进行简单的求值、化简；有目的的化简函数。

过程与方法：在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、正切公式。

情感、态度、价值观：通过知识的探究过程培养学生认真分析的良好的习惯及勇于探索精神,激发学生的学习兴趣。

重点两角和与差的正弦和正切公式的推导，及运用公式进行简单的求值。

难点灵活运用所学公式进行求值、化简。

教学方法探究学习，小组讨论、学案导学教学手段投影仪，多媒体教学过程设计意图一、知识回顾学生活动：回顾复习，完成两角差与和的余弦公式的填空。

二、公式推导思考1：上面学生回顾复习了两角和与差的余弦公，两角和与差的正弦公式是怎样的呢？?)(cos =-βα ?)(cos =+βα师生活动: 引导学生回答)(cos βα+是怎样由)(cos βα-推导出来的？思考2：我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生活动：学生可能有的想到利用诱导公式来化余弦为正弦即引导学生得出：sin(α+β)=cos ［2π-(α+β)］=cos ［(2π-α)-β］合作探究：（分小组讨论完成下面的推导）cos ［(2π-α)-β］=cos(2π-α)cos β+sin(2π-α)sin β =sin αcos β+cos αsin β. 思考3：类比cos(α-β)推导出cos(α+β)的方法，我们可以由sin(α+β)的公式推出sin(α-β)的公式吗？β用-β代之，则（下面由学生自己推导，找一个学生回答）学生活动：sin(α-β)=sin ［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)设计意图：由复习引入新课，激发学生的成功喜悦，同时引起学生对新知识的思考和探索，激发学生的学习兴趣，增强学生的求知欲望．(也有的想到利用同角的平方和关系式sin 2α+cos 2α=1来互化，此法让学生课下进行)设计意图：合作探究，让学生小组讨论，自己推导出两角差的正弦公式，加深学生对知识的理解。

最新高中数学人教B版必修4教案：3.1.3两角和与差的正切3Word版含答案

选做题练习册 B 组
最新精品资料
（1）等号的左边是复角的正切 . 右边为分式，分子是两单角的正切之和或差，分母是 1 减去两单角的正切之积 .
（2）分子中和或差与等号左边相同，分母则与等号左边相异
.
（四）巩固、应用公式
例 2、（ 1）求 1 tan 75 的值 . 1 tan 75
(2)求 tan17 tan 43
3 tan17 tan 43 的值 .
2、过程与方法
(1) 通过推导两角和的正切公式，以及公式的灵活应用，增强计算能力和分析能力
(2) 渗透数学研究方法的教育：认识公式的推导，及公式的应用，掌握从一般到特殊的思维
方法。
(3) 经历两角和与差公式探究过程，尝试运用函数间的相互关系问题
;
(4) 发挥教学工具的作用，提高运用数学解决问题的能力
角恒等变换公式的重要组成部分 .
教材主要通过两角和的正弦公式及两角和的余弦公式推导出两角和的正切，
由换元思想
变换出两角差的正切公式。讲解了公式的变形，公式的变形应用是本节课的难点所在
.
二、教学目标分析
（一）、三维目标
１、知识与技能目标
（1）能准确说出两角和与差的正切公式；（2）能够用公Fra bibliotek的变形解决问题
（六）课内自我检测
1. sin15 + cos15 的值为 sin15 -cos15
3 A.
3
26 B.
4
26 C.
4
D. 3
2.在△ ABC中， tanA tan B+ 3= 3 tan A tan B ,则∠ C 等于
2
A.
B.
3
3

数学人教B版必修4课后训练：3.1.3两角和与差的正切含解析精品

两角和与差的正切练习1．在△ABC中，已知tan A，tan B是方程3x2＋8x－1＝0的两根，则tan C等于( ) A．2 B．－2 C．4 D．－42．如果tan(α＋β)＝34，π1tan42β⎛⎫-=⎪⎝⎭，则πtan4α⎛⎫+⎪⎝⎭的值为( )A．1011B．211C．25D．23．在锐角△ABC中，tan A tan B的值( )A．不小于1 B．小于1C．等于1 D．大于14．设tan α和tan β是方程mx2＋(2m－3)x＋(m－2)＝0的两根，则tan(α＋β)的最小值是( )A．154B．34C．34- D．不确定5________. 6．如图所示，三个相同的正方形相接，则图中的α＋β＝__________.7．在△ABC中，若(1＋cot A)(1＋cot C)＝2，则log2sin B＝________.8．已知α为第二象限的角，3sin5α＝，β为第一象限的角，5cos13β＝，求tan(2α－β)的值．9．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取一点P，使AB＋BP＝PD，求tan∠APD的值．参考答案1．解析：∵tan A ，tan B 是3x 2＋8x －1＝0的两根，∴8tan +tan =,31tan tan =,3A B A B ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩∴tan(A ＋B )＝8tan +tan 311tan tan 13A BA B-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝－2.∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝2. 答案：A2．解析：设πtan 4m α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan(α＋β)＝ππtan 44αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ＝ππ1tan tan 34421ππ411tan tan 244m mαβαβ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得211m =，即π2tan 411α⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 答案：B3．解析：由于△ABC 为锐角三角形， ∴tan A ，tan B ，tan C 均为正数．∴tan C ＞0，∴tan[180°－(A ＋B )]＞0. ∴tan(A ＋B )＜0，即tan tan 01tan tan A BA B+<-.而tan A ＞0，tan B ＞0，∴1－tan A tan B ＜0，即tan A tan B ＞1. 答案：D4．解析：∵tan α和tan β是mx 2＋(2m －3)x ＋(m －2)＝0的两根，∴()()223tan +tan ,2tan tan ,0,23420.m m m mm m m m αβαβ-⎧=-⎪⎪-⎪=⎨⎪≠⎪⎪∆=---≥⎩∴94m ≤，且m ≠0.又tan(α＋β)＝23tan+tan23321tan tan221mmm mmmαβαβ---+===-+---，∴当94m=时，tan(α＋β)取最小值34-.答案：C5．解析：因为tan 60°＝tan(20°＋40°)＝tan20tan40 1tan20tan40︒+︒-︒︒6．解析：由题意，1tan2α＝，1tan3β＝，∴tan(α＋β)＝11tan+tan231111tan tan123αβαβ+==--⨯.∵0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴0＜α＋β＜π，∴α＋β＝π4.答案：π47．解析：由(1＋cot A)(1＋cot C)＝2，得tan1tan12 tan tanA CA C++⋅=，∴(tan A＋1)(tan C＋1)＝2tan A tan C．∴1＋tan A＋tan C＝tan A tan C．∴tan(A＋C)＝－1.又A，B，C是△ABC的内角，∴A＋C＝3π4.∴π4B＝.∴sin B∴log2sin B＝21 log2=-.答案：1 2 -8．解：∵α为第二象限的角，且3 sin5α＝，∴4 cos5α-＝，∴3 tan4α-＝.又∵β为第一象限的角，且5 cos13β＝，∴12sin13β＝，∴12tan5β＝.∴tan(α－β)＝312tan tan63453121tan tan16145αβαβ---==+⎛⎫+-⨯⎪⎝⎭.∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝()()tan tan1tan tanααβααβ+---＝3632044163632531416-+=⎛⎫--⨯⎪⎝⎭.9．解：由AB＋BP＝PD，得a＋BP23a BP＝.设∠APB＝α，∠DPC＝β，则tan α＝32ABBP=，tan β＝34CDPC=.从而tan(α＋β)＝tan tan1tan tanαβαβ+-＝－18.又∵∠APD＋(α＋β)＝π，∴tan∠APD＝tan[π－(α＋β)]＝－tan(α＋β)＝18.。

数学人教B版必修4课后导练：3.1.3两角和与差的正切含

课后导练基础达标1.如果tan(α+β)=43,tan(β-4π）=21，则tan(α+4π)的值为（） A.1110 B.112 C.52D.2解析：tan(α+β)=tan ［(α+4π)+(β-4π)］=4321121)4tan()4tan(1)4tan()4tan(=-+=-+--++m m πβπαπβπα〔令tan(α+4π)=m 〕,求得m=112,即tan(α+4π)=112.答案：B 2.化简tan(2x +4π)-tan(4π-2x)等于（） A.tanx B.2tanx C.tan 2x D.2tan 2x解析：由tan ［（4π+2x ）-(4π-2x )］=)24tan()24tan(1)24tan()24tan(x x x x -∙++--+ππππ, ∴原式=2tanx.答案：B 3.若α+β=43π,则（1-tanα)(1-tanβ)等于（） A.1 B.-1 C.2 D.-2 解析：(1-tanα)(1-tanβ)=1-(tanα+tanβ)+tanαtanβ =1-ta n(α+β)(1-tanαtanβ)+tanαtanβ=1-tan 43π·(1-tanαtanβ)+tanαtanβ=2. 答案：C 4.若5tan 1tan 1=+-A A ,则tan(4π+A)的值为（）A.5-B.5C.55-D.55解析：tan(4π+A)=5551tan 1tan 1==+-A A . 答案：D 5.sin(α+β)=32,sin(α-β)=51-,则βαtan tan 的值为（） A.713 B.137 C.1213 D.1312解析：由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+)2.(51sin cos cos sin )1(,32sin cos cos sin βαβαβαβα①+②,得2sinαcosβ=3251-=157, ①-②,得2cosαsinβ=1513,两式相比,得βαtan tan =137. 答案：B6.如果tanα、tanβ是方程x 2-3x-3=0的两根，则)cos()sin(βαβα-+=________.解析：tanα+tanβ=3,tanα·tanβ=-3,23313tan tan 1tan tan sin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-=-=++=++=-+βαβαβαβαβαβαβαβα.答案：23-7.已知tan(4π+α)=2,则ααα2cos cos sin 21+的值为___________. 解析：∵tan(4π+α)=2,∴ααtan 1tan 1-+=2.∴tanα=31.∴3213121)31(1tan 21tan cos cos sin 2cos sin cos cos sin 21222222=+⨯+=++=++=+αααααααααα 答案：328.化简3+tan(A+60°)tan(A-60°)+tanA·tan(A+60°)+tanAtan(A-60°)=______. 解析：原式=1+tan(A+60°)tan(A-60°)+1+tanAtan(A+60°)+1+tanAtan(A-60°)=)60tan()60tan(tan )60tan()60tan(tan )6060tan()6tan()60tan(︒+-︒--+︒--︒+-+︒+-︒+︒--︒+A A A A A A A A A A A A t3)60tan(tan 3)60tan(tan 3)60tan()60tan(︒--+︒++-+-︒--︒+=A A A A A A =0.答案：0综合运用9.已知sinβ=msin(2α+β),其中m≠0,２α+β≠kπ(k ∈Z ). 求证：tan(α+β)=mm-+11tanα. 证明：由sinβ=msin(２α+β),得sin ［（α+β）-α］=msin ［(α+β)+α］, ∴sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=m ［sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα］, 整理得（1-m ）sin （α+β）cosα=(1+m)cos(α+β)·sinα, 即tan(α+β)=mm-+11tanα. 10.如图，矩形ABCD 中，AB=a,BC=2a,在BC 上取一点P ，使AB+BP=PD ，求tan ∠APD 的值.解：由AB+BP=PD,得a+BP=22)2(BP a a -+,解得BP=32a , 设∠APB=α,∠DPC=β,则tanα=23=BP AB ,tanβ=43=PC CD . 从而tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+=-18.又∵∠APD+(α+β)=π, ∴tan ∠APD=18.11.已知tanα=3(1+m),3(tanαtanβ+m)+tanβ=0,且α、β为锐角，求α+β. 解：由已知可得tanα=3(1+m),① tanβ=-3tanαtanβ-3m,②①+②可得tanα+tanβ=3(1-tanαtanβ), ∴βαβαtan tan 1tan tan -+=tan(α+β)=3.又∵0<α<2π,0<β<2π, ∴0<α+β<π,α+β=3π.拓展探究12.是否存在锐角α和β,使得下列两式①α+2β=32π,②tan 2αtanβ=2-3同时成立? 解:假设存在符合题意的锐角α,β.由①得2α+β=3π,所以tan(2α+β)=3tan 2tan1tan 2tan=-+βαβα. 由②知tan 2αtanβ=2-3,所以tan 2α+tanβ=3-3, 所以tan2α,tanβ是方程x 2-(3-3)x+2-3=0的两个根,得x 1=1,x 2=2-3. 因为0<α<2π,0<2α<4π,0<tan 2α<1,所以tan 2α≠1,tan 2α=2-3,tanβ=1.又因为0<β<2π,所以将β=4π代入①得α=6π.所以存在锐角α=6π,β=4π,使①②同时成立.。

数学人教b版高一必修4：3.1.2、3两角和与差的正弦两角和与差的正切作业含解析

双基达标(限时20分钟)1．化简cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝()．A．sin(2α＋β) B．sin βC．cos(2α＋β) D．cos β解析原式＝cos[](α＋β)－α＝cos β，故选D.答案 D2．计算sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°的值是()．A.32 B.12C．－32D．－12解析原式＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝12，故选B.答案 B3．若α＋β＝34π，则(1－tan α)(1－tan β)的值为()．A.12B．1C.32D．2解析(1－tan α)(1－tan β)＝1＋tan αtan β－(tan α＋tan β)①∵tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)＝tan 34π(1－tan αtan β)＝tan αtan β－1，∴①式＝2，故选D.答案 D4．已知tan α＝2，tan β＝3，α、β均为锐角，则α＋β的值是________．解析因为tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2＋31－2×3＝－1，又α、β是锐角，0<α＋β<π，所以由tan(α＋β)＝－1得α＋β＝3 4π.答案3π45．如果cos θ＝－1213，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值是________．解析由cos θ＝－1213，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π知sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12132＝－513， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝cos θcos π4－sin θsin π4＝22(cos θ－sin θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－713＝－7226.答案－72266．证明：sin(α＋β)sin(α－β)＝sin 2α－sin 2β，并用该式计算sin 220°＋sin 80°·sin 40°的值．解 sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β) ＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β ＝sin 2α(1－sin 2β)－(1－sin 2α)sin 2β ＝sin 2α－sin 2αsin 2β－sin 2β＋sin 2αsin 2β ＝sin 2α－sin 2β， ∴等式成立．于是，sin 220°＋sin 80°·sin 40° ＝sin 220°＋sin(60°＋20°)sin(60°－20°) ＝sin 220°＋sin 260°－sin 220° ＝sin 260°＝34.综合提高 (限时25分钟)7．已知0<α<π2<β<π，又sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，则sin β＝ ( )．A ．0B ．0或2425 C.2425D ．0或－2425解析 ∵0<α<π2<β<π，sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，∴cos α＝45，sin(α＋β)＝35或－35.∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)·sin α＝2425或0. ∵π2<β<π，∴sin β＝2425.故选C. 答案 C8．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为 ( )．A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析由sin A sin B <cos A cos B ⇒cos A cos B －sin A sin B >0⇒cos(A ＋B )>0⇒cos C <0⇒C 是钝角，故选D.答案 D9．计算：sin 75°·sin 15°＝________. 解析 sin 75°sin 15°＝cos 15°cos 75° ＝cos(45°－30°)·cos(45°＋30°)＝(cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°)(cos 45°cos 30°－ sin 45°sin 30°)＝(cos 45°cos 30°)2－(sin 45°sin 30°)2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22×322－⎝ ⎛⎭⎪⎫22×122＝14.答案 1410．已知在锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15，则tan Atan B ＝________. 解析 ∵sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15， ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos B ＋cos A sin B ＝35sin A cos B －cos A sin B ＝15⇔⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos B ＝25cos A sin B ＝15⇔tan Atan B ＝2.答案 211.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.求tan(α＋β)的值．解由条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α、β为锐角，∴sin α＝ 1－cos 2α＝7210， sin β＝1－cos 2β＝55.由此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12. tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3.12．(创新拓展)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.(1)若sin x ＝45，求函数f (x )的值； (2)求函数f (x )的值域．解 (1)∵sin x ＝45，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，∴cos x ＝－35，f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －2cos x ＝3sin x －cos x ＝453＋35.(2)f (x )＝3sin x －cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，∵π2≤x ≤π，∴π3≤x－π6≤5π6，12≤sin⎝⎛⎭⎪⎫x－π6≤1，∴函数f(x)的值域为[1,2]．。

人教新课标版数学高一-人教B版必修4精练 3.1.3 两角和与差的正切

第三章 3.1 3.1.3一、选择题1．若tan(π4－α)＝3，则cot α等于( )A ．－2B ．－12C ．12D ．2A∵tan(π4－α)＝1－tan α1＋tan α＝3，∴tan α＝－12，∴cot α＝－2.2．设tan α、tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 A由已知，得tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.3．若tan28°tan32°＝m ，则tan28°＋tan32°＝( ) A ．3m B ．3(1－m ) C ．3(m －1) D ．3(m ＋1) Btan28°＋tan32°＝tan(28°＋32°)(1－tan28°tan32°) ＝tan60°(1－tan28°tan32°) ＝3(1－m )．4．tan20°＋tan40°＋3tan20°·tan40°的值为( ) A ．－ 3 B ． 3 C ．3 D ．33 B原式＝tan60°(1－tan20°tan40°)＋3tan20°·tan40°＝tan60°＝ 3. 5．已知tan α＝13，tan β＝－2，则cot(α－β)的值为( )A ．17B ．－17C ．1D ．－1Acot(α－β)＝1tan (α－β)＝1＋tan αtan βtan α－tan β＝17.故选A ．6．已知α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)的值等于( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1 A∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝－1，∴tan α＋tan β＝tan α·tan β－1， ∴原式＝1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2. 二、填空题7．若sin α＝45，tan(α＋β)＝1，α为第二象限角，则tan β＝________.－7∵sin α＝45，α为第二象限角，∴cos α＝－35，tan α＝－43，tan β＝tan ＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝1－⎝⎛⎭⎫－431＋1×⎝⎛⎭⎫－43＝－7.8．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－β2＝12，tan ⎝⎛⎭⎫β－α2＝－13，则tan α＋β2＝________.17tan α＋β2＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2＋⎝⎛⎭⎫β－α2 ＝12＋⎝⎛⎭⎫－131－12×⎝⎛⎭⎫－13＝17.三、解答题9．求下列各式的值： (1)tan70°－tan10°＋tan120°tan70°tan10°；(2)tan50°－tan20°－33tan50°tan20°. (1)原式＝tan (70°－10°)(1＋tan70°tan10°)－3tan70°tan10°＝3＋3tan70°tan10°－3tan70°tan10°＝ 3.(2)tan50°－tan20°－33tan50°tan20° ＝tan(50°－20°)(1＋tan50°tan20°)－33tan50°tan20° ＝tan30°(1＋tan50°tan20°)－33tan50°tan20° ＝33＋33tan50°tan20°－33tan50°tan20°＝33. 10．(2015·广东文，16改编)已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2 α＋sin αcos α－2cos 2α的值．(1) tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝tan α＋11－tan α＝2＋11－2＝－3， (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2sinαcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1.一、选择题1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A ．17B ．7C ．－17D ．－7A由于α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35， ∴cos α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－34.∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝1－341＋34＝17，故选A ．2.cot70°tan (－50°)－1tan20°－tan50°的值是( )A ． 3B ．33 C ．－33D ．－ 3A原式＝－tan20°·tan50°－1tan20°－tan50°＝－1tan20°－tan50°1＋tan20°·tan50°＝－1tan (20°－50°)＝－1－tan30°＝ 3.3．(1＋tan21°)(1＋tan22°)(1＋tan23°)(1＋tan24°)的值为( ) A ．16 B ．8 C ．4 D ．2C(1＋tan21°)(1＋tan24°)＝1＋tan21°＋tan24°＋tan21°tan24°＝1＋tan(21°＋24°)(1－tan21°tan24°)＋tan21°tan24° ＝1＋1－tan21°tan24°＋tan21°tan24°＝2，同理(1＋tan22°)(1＋tan23°)＝2，故原式＝4.4．已知tan α、tan β是方程x 2－3x ＋4＝0的两个根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，则α＋β的是( )A ．π6B ．5π6C ．π6或－5π6D ．－π3或2π3B由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝3tan α·tan β＝4，∴tan α>0，tan β>0， ∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α＋β∈(0，π)．又tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－4＝－33，∴α＋β＝5π6.二、填空题5．若tan α＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为________．17tan(β－2α)＝tan ＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)·tan α＝3－21＋3×2＝17.6．已知点P (sin 3π4，cos 3π4)落在角θ的终边上，且θ∈答案解析解析(α＋β)－(α－β)1＋tan(α＋β)·tan(α－β)解析tan A ＋tan(π4－A )tan A ＋tan(π4－A )(－2)＋(－3)解析 (1)∵A ＋B ＋C ＝π，∴A＋B ＝π－C ，∴tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ．∴tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan C ＝－tan C (1－tan A tan B )＋tan C ＝－tan C ＋tan A tan B tan C ＋tan C ＝tan A tan B tan C ．(2)∵A ＋B ＋C ＝π，∴B ＋C 2＝π2－A2，∵tan B ＋C 2＝tan(π2－A 2)＝cot A2.∴原式＝tan A 2(tan B 2＋tan C 2)＋tan B 2·tan C 2＝tan A 2tan B ＋C 2(1－tan B 2tan C 2)＋tan B 2·tan C2＝tan A 2tan(π2－A 2)(1－tan B 2tan C 2)＋tan B 2tan C 2＝tan A 2cot A 2(1－tan B 2tan C 2)＋tan B 2tan C 2＝1－tan B 2tan C 2＋tan B 2tan C 2＝1.。

高中数学人教B版必修4课时作业：3.1.3 两角和与差的正切 Word版含解析

3.1.3 两角和与差的正切【选题明细表】1.若A、B是锐角△ABC的内角,则tan A·tan B的值( A )(A)大于1 (B)不大于1(C)小于1 (D)不小于1解析:锐角△ABC中,tan C=-tan(A+B)=-且tan A>0,tan B>0,所以tan Atan B>1,故选A.2.若tan α=3,tan β则tan(α-β)等于( A )(D)-3解析:tan(α-β故选A.3.若tan(α+β且tan(β)=,则tan(α的值是( B )解析:tan(α+)=tan[(α+β)- (β故选B.4.若tan(α+)=-,则tan(α-)= .解析:由tan(α得α=-4,所以tan(α答案5.已知(1+tan A)(1+tan B)=2.且A,B∈则A+B= . 解析:由条件知1+(tan A+tan B)+tan A·tan B=2,所以tan A+tan B=1-tan A·tan B,而且A+B∈(0,π),所以A+B=答案6.已知tan αβα,β则α+2β= .解析:因为α+2β=(α+β)+β,所以tan(α+β且α+β∈(0,π),所以α+β∈所以tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]因为0<α+2β,所以α+2β答案7.如图,由三个正方形拼接而成的长方形,则α+β+γ等于( B )(B)π解析:易知tan αβγtan(α+β由题意α+β所以α+β+γ故选B.8.(2017·云南玉溪民族中学阶段考)在△ABC中,若B=-2,则角C等于( B )解析:tan C=tan[π又C∈(0,π),所以故选B.9.已知M=sin 100°-cos 100°(cos 46°cos 78°+cos 44°cos12°),P=那么M,N,P,Q之间的大小顺序是( B )(A)M<N<P<Q (B)P<Q<M<N(C)N<M<Q<P (D)Q<P<N<M解析:M=sin 100°-cos 100°°-45°)sin 55°>1,N=°cos 78°+cos 44°cos 12°)(sin 44°cos 78°+cos 44°sin 78°)sin 122°°>M.P=°-10°)=tan 35°<1,Q=°+23°)=tan 45°=1,所以P<Q<M<N.故选B.10.已知tan αβ=-2.(1)求tan(α+β),tan(α-β);(2)求α+β的值(其中0°<α<90°,90°<β<180°).解:(1)tan(α+βtan(α-β(2)因为0°<α<90°,90°<β<180°,所以90°<α+β<270°.又由(1)知tan(α+β)=-1,所以α+β=135°.11.已知:sin(αα(1)求tan α的值;(2)若β求tan(α+β)的值.解:(1)因为sin(αα所以αααα)=0,所以tan α(2)因为β)=所以解得tan β则tan(α+β。

人教版数学高一B版必修4自我小测3.1.3两角和与差的正切

自我小测1．已知tan α＝12，tan β＝13，且角α，β为锐角，则α＋β的值是( ) A ．34π B ．4π或34π C ．4π D ．54π 2．在△ABC 中，已知tan A ，tan B 是方程3x 2＋8x －1＝0的两根，则tan C 等于( )A ．2B ．－2C ．4D ．－43．已知α∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝17，那么sin α－cos α的值为( ) A ．－15 B ．75 C ．－75 D ．344．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α不可能是( )A ．38πB ．58πC ．78πD ．118π5．在△ABC 中，tan A ＝12，cos B ＝10，则tan C ＝( )A ．－1B ．1CD ．－26．若sin cos sin cos αααα+-＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝__________． 7．在△ABC 中，高AD 把BC 分为长2 cm 和3 cm 的两段，∠A ＝45°，则S △ABC ＝__________．8．已知3tan αtan(α＋β)＝4[tan(α＋β)－tan α－tan β]，且cos(π＋β)>0，则sin(β－3π)＝__________．9．已知α为第二象限的角，sin α＝35，β为第一象限的角，cos β＝513，求tan(2α－β)的值．10．已知在△ABC 中，tan B ＋tan C B tan C A B ＋1＝tan A tanB ，试判断△ABC 的形状．参考答案1．答案：C2．答案：A3．答案：B4．答案：B5．解析：因为cos B，且0<B <π，所以sin B＝10．所以tan B ＝13，所以tan C ＝－tan （Ａ+Ｂ）＝－tan tan 1tan tan A B A B+- ＝－112311123+-⨯＝－1．故选A ．答案：A6．答案：437．解析：设AD ＝x cm ，由已知得tan ∠BAD ＝BD AD ＝2x ，tan ∠CAD ＝DC AD ＝3x ，又∠BAD ＋∠CAD ＝45°，则tan 45°＝tan tan 1tan tan BAD CAD BAD CAD ∠+∠-∠∠＝22361x x x +-＝1，化简得x 2－5x －6＝0，解得x ＝6，x ＝－1(舍去)．所以S △ABC ＝12×AD ×BC ＝12×6×5＝15(cm 2)．答案：15 cm 28．答案：359．解：因为α为第二象限的角，且sin α＝35，所以cos α＝－45，所以tan α＝34-．又因为β为第一象限的角，且cos β＝513，所以sin β＝1213，所以tan β＝125．所以tan(α－β)＝tan tan 1tan tan αβαβ-+ ＝31245312145--⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭＝6316．所以tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)] ＝tan tan()1tan tan()ααβααβ+--- ＝3634163631416-+⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭＝204253． 10．解：由tan B ＋tan CB tan C，得tan B ＋tan C－tan B tan C )＝tan(B ＋C )·(1－tan B tan C )．若tan B tan C ＝1，则tan B ＝cot C ，故在△ABC 中，B ＝2π－C ，故B ＋C ＝2π，所以A ＝2π，tan A 无意义，与题设矛盾．所以tan B tan C ≠1，所以tan(B ＋C )所以B ＋C ＝3π．Atan B ＋1＝tan A tan B ，(tan A ＋tan B )＝－(1－tan A tan B )．所以tan(A ＋B )＝－3，所以A ＋B ＝56π．又由A ＋B ＋C ＝π，得B ＝C ＝6π，A ＝23π．所以△ABC 为等腰三角形．。

数学人教B版必修4作业：3.1.2 两角和与差的正弦 Word版含解析

一、选择题1．化简：sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°＝( )A.12B ．－12 C.32 D ．－32【解析】 sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°＝sin(21°－81°)＝－sin 60°＝－32.【答案】 D2.sin (α＋30°)－sin (α－30°)cos α的值为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4 【解析】原式＝sin αcos 30°＋cos αsin 30°－sin αcos 30°＋cos αsin 30°cos α＝2cos αsin 30°cos α＝2sin 30°＝1. 【答案】 A3．已知π4＜β＜π2，sin β＝223，则sin(β＋π3)＝( )A ．1B ．2 C.22＋36 D.22－36【解析】 ∵π4＜β＜π2，∴cos β＝1－sin 2β＝1－(223)2＝13， ∴sin(β＋π3)＝12sin β＋32cos β＝12×223＋32×13＝22＋36. 【答案】 C4．cos(π6－α)sin α＋cos(π3＋α)cos α＝()A．－12 B.12C.32D．－32【解析】由于cos(π3＋α)＝sin(π6－α)，所以原式＝sin(π6－α)cos α＋cos(π6－α)sin α＝sin(π6－α＋α)＝sinπ6＝12.【答案】 B5．在△ABC中，2cos B sin A＝sin C，则△ABC的形状一定是() A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【解析】在△ABC中，C＝π－(A＋B)，∴2cos B sin A＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B.∴－sin A cos B＋cos A sin B＝0.即sin(B－A)＝0.∴A＝B.【答案】 C二、填空题6．若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝________. 【解析】由8sin α＋5cos β＝6，两边平方，得64sin2α＋80sin αcos β＋25cos2β＝36. ①由8cos α＋5sin β＝10，两边平方，得64cos2α＋80 cos α sin β＋25sin2β＝100. ②①＋②，得64＋25＋80(sin αcos β＋cos αsin β)＝136.∴sin(α＋β)＝4780.【答案】 47807．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于________．【解析】由条件知cos α＝255，cos(α－β)＝31010(因为－π2＜α－β＜0)，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×(－1010)＝22，又β为锐角，所以β＝π4.【答案】 π48．求值：sin 10°－3cos 10°cos 40°＝________. 【解析】 sin 10°－3cos 10°cos 40°＝2(12sin 10°－32cos 10°)cos 40°＝2sin (10°－60°)cos 40°＝－2sin 50°cos 40°＝－2.【答案】－2三、解答题 9．设α∈(π2，π)，β∈(3π2，2π)，若cos α＝－12，sin β＝－32，求sin(α＋β)的值．【解】 ∵α∈(π2，π)，cos α＝－12，∴sin α＝32，∵β∈(3π2，2π)，sin β＝－32，∴cos β＝12.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝32×12＋(－12)×(－32)＝32.10．已知：π6＜α＜π2，且cos(α－π6)＝1517，求cos α，sin α的值．【解】因为π6＜α＜π2，所以0＜α－π6＜π3.因为cos(α－π6)＝1517，所以sin(α－π6)＝1－cos2(α－π6)＝817.所以sin α＝sin[(α－π6)＋π6]＝sin(α－π6)cosπ6＋cos(α－π6)sinπ6＝83＋1534，cos α＝cos[(α－π6)＋π6]＝cos(α－π6)cosπ6－sin(α－π6)sinπ6＝153－834.11．求证：sin(2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.【证明】∵左边＝sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin αsin α＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin αsin α＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin αsin α＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α＝右边．∴原等式得证.。

高中数学人教B版必修4课时作业：3.1.2 两角和与差的正弦 Word版含解析

3.1.2 两角和与差的正弦【选题明细表】1.计算sin 43°cos 13°-cos 43°sin13°的结果等于( A )解析:原式=sin(43°-13°)=sin 30°故选A.2.以下对等式sin(α+β)=sin α+sin β的描述正确的( D )(A)对任意的角α,β都成立(B)只对有限个α,β的值成立(C)对于任何角α,β都不成立(D)有无限个α,β的值使等式成立解析:因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,所以cos β=1且cos α=1时等式成立,所以α=β=2kπ(k∈Z)因为k∈Z,所以α,β有无限多个.故选D.3.αα可化为( A )α) α)α) α)解析ααααα), 故选A.4.若x为三角形的一个内角,则y=sin x+cos x的值域为( C )(A)(-1,1) (B)(1,] (D)(0,解析:因为又x为三角形的内角,所以0<x<π.所以所以≤1.所以sin(x+≤故选C.5.已知sin(αα则cos(α等于( B )(A)-解析:因为sin(ααααα,所以条件化为αα所以α所以sin(α所以cos(ααα故选B.6.sin(··-3x)= .解析:原式-3x)-(答案7.(2017·黄冈中学期中考试)设向量a=(cos 55°,sin 55°),b= (cos 25°,sin 25°),若t是实数,则|a-tb|的最小值为( D )解析:|a-tb|2=a2+t2b2-2ta·b=1+t2-2t(cos 55°cos 25°+sin55°sin 25°)=1+t2-2tcos 30°=t22所以|a-tb|≥故选D.8.在△ABC中,如果则角C的大小为( A )解析:由已知有(4sin A+2cos B)2+(2sin B+4cos A)2=28,即16+4+16(sin Acos B+cos Asin B)=28,即20+16sin(A+B)=28,故或若则A+B=则由4sin A+2cos B=1,得sin A<0,与0<A<π矛盾.所以故选A.9.( C )(A)-解析°故选C.10.(2017·湖北仙桃汉江中学期中)已知函数2x-cos 2x.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值;(2)求函数f(x)的单调递减区间.解因为ω=2,所以π.因为-1≤≤1,即-2≤2sin(2x-≤2,所以f(x)的最大值为2.(2)π≤π,k∈Z,解得π≤x≤π,k∈Z,则函数f(x)的单调递减区间为ππ],k∈Z.11.(2017·黄冈中学期中考试)已知向量(-sin ,-cos 其中x∈π].(1)若|a+b|=,求x的值;(2)函数f(x)=a·b+|a+b|2,若c>f(x)恒成立,求实数c的取值范围.解:(1)因为所以由|a+b|=,得=,即因为x∈π],所以π≤2x≤2π.因此2x=π2x=2π即(2)因为a·sin所以f(x)=a·b+|a+b|2=2-3sin 2x, 因为π≤2x≤2π,所以-1≤sin 2x≤0,0≤-3sin 2x≤3, 所以2≤f(x)=2-3sin 2x≤5,由c>f(x)恒成立,得c>5.即实数c的取值范围为(5,+∞).。

高一数学人教B版必修4课时作业3.1.3 两角和与差的正切 Word版含解析

∴tan ＝－，tan ＝，
∴tan ＝tan
＝＝＝－ .
11．设cosα＝－，tanβ＝，π＜α＜，0＜β＜，求α－β的值．
解析：∵π＜α＜，0＜β＜，∴ ＜α－β＜ .
∵cosα＝－，∴tanα＝2，
∴tan(α－β)＝＝＝1.
∴α－β＝ .
12．在△ABC中，tanB＋tanC＋ tanBtanC＝，且 tanA＋ tanB＋1＝tanAtanB，判断△ABC的形状．
＝＝＝ .
答案：C
3．(1＋tan21°)(1＋tan22°)(1＋tan23°)(1＋tan24°)的值为()
A．16 B．8
C．4 D．2
解析：(1＋tan21°)(1＋tan24°)
＝1＋tan21°·tan24°＋tan21°＋tan24°
＝(1＋tan21°·tan24°)＋tan(21°＋24°)(1－tan21°·tan24°)＝2
课时作业27两角和与差的正切
(限时：10分钟)ຫໍສະໝຸດ 1．已知tanα＝4，tanβ＝3，则tan(α＋β)＝()
A. B．－
C. D．－
解析：tan(α＋β)＝＝＝－ .
答案：B
2．已知tanα＝3，则tan ＝()
A．－2 B．2
C. D．－
解析：tan ＝tan ＝＝＝－ .
答案：D
3．设tanα＝，tan(β－α)＝－2，则tanβ等于()
解析：由tanA＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)
＝＝＝－，
而0°＜A＜180°，∴A＝120°.
由tanC＝tan[π－(A＋B)]＝
＝＝，
而0°＜C＜180°，∴C＝30°，∴B＝30°.