高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解
大一高等数学知识点及例题讲解
大一高等数学知识点及例题讲解大一高等数学是大学数学课程体系中的核心部分，是数学的基础平台与突破口。
它旨在帮助学生建立数学思维模式，提高逻辑思维能力，为后续的数学学习打下坚实的基础。
本文将介绍大一高等数学的一些重要知识点，并附上相应的例题讲解，以帮助读者更好地掌握这门课程。
一、导数与微分导数是描述函数变化率的工具，它可以衡量函数曲线在某一点的切线斜率。
微分是导数的基本概念，它将函数的自变量变化量与因变量变化量之间的关系联系起来。
例题：求函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1在点x = 2处的导数和微分。
解析：首先，求导函数f'(x)：f'(x) = 4x - 3代入x = 2，得到导数f'(2) = 4 × 2 - 3 = 5接下来，求微分df(x)：df(x) = f'(x)dx代入x = 2，dx = 0.1（假设）得到df(2) = 5 × 0.1 = 0.5二、极限与连续极限是研究函数在无限接近某一点的情况下的行为。
连续是指函数在定义域上没有断点或间断。
例题：计算极限lim(x→0) (1 - cosx) / x解析：将极限表达式化简后得到：li m(x→0) (1 - cosx) / x = lim(x→0) (sinx) / x由于 sinx / x 是一个已知的极限形式，即lim(x→0) sinx / x = 1所以，lim(x→0) (1 - cosx) / x = 1三、积分与微积分基本定理积分是求函数在一定区间上的面积或曲线的长度。
微积分基本定理则是导数与积分之间的关系。
例题：求函数f(x) = 2x在区间[1, 3]上的定积分。
解析：根据积分的定义，定积分可以表示为：∫[1,3] 2x dx = [x^2]1^3 = 9 - 1 = 8根据微积分基本定理，定积分可以通过原函数的求导来计算。
函数f(x) = x^2的原函数为F(x) = x^3 / 3，所以：∫[1,3] 2x dx = F(3) - F(1) = (3^3 / 3) - (1^3 / 3) = 9 - 1 = 8四、级数与收敛性级数是按照一定的规律对无穷个数进行求和的表达式。
大一高数知识点和例题
大一高数知识点和例题在大一的高等数学课程中，有许多重要而基础的知识点和例题需要我们掌握和练习。
下面将对其中的一些知识点进行详细介绍，并附上相应的例题以供参考。
一、函数与极限1. 函数的定义和性质函数是一种映射关系，通常用符号f(x) 表示。
函数的定义域、值域、奇偶性和单调性等性质可通过函数的图像进行分析和判断。
2. 极限的概念和运算法则极限是函数运算过程中的重要概念，用于描述函数在某一点或无穷远处的趋势。
常见的极限运算法则包括四则运算法则、复合函数的极限法则以及若尔当法则等。
例题：1. 计算极限：lim(x→2) (x^2 - 4) / (x - 2)2. 若函数 f(x) = (x - 1) / (x + 2)，求极限lim(x→-2) f(x)二、导数与微分1. 导数的定义和性质导数描述了函数在某一点处的瞬时变化率，可表示为 f'(x) 或dy/dx。
导数具有线性性、乘积法则和链式法则等运算性质。
2. 基本初等函数的导数和常用求导法则基本初等函数的导数是常见函数导数计算的基础，常用求导法则包括常数函数导数法则、幂函数导数法则、指数函数和对数函数的导数法则等。
例题：1. 求函数 f(x) = 3x^2 + 2x - 1 的导数 f'(x)2. 已知函数 y = e^x - ln(x)，求其导函数 y'三、不定积分与定积分1. 不定积分的定义和性质不定积分是求函数的原函数的逆运算，通常用符号∫f(x)dx 表示。
不定积分具有线性性、换元积分法和分部积分法等运算性质。
2. 定积分的定义和性质定积分是计算曲线下的面积或函数的平均值的有效方法，可表示为∫[a,b]f(x)dx。
定积分具有线性性、区间可加性和换元积分法等运算性质。
例题：1. 计算不定积分：∫(2x + 3)dx2. 计算定积分：∫[0,1]x^2dx四、级数与数列1. 数列的定义和性质数列是按一定顺序排列的数的集合，常用符号表示为 {an}。
高等数学(完整版)详细
二、1、 f ( x0 )； 2、 f (0)； 3、2 f ( x0 ). 四、(1)当k 0时, f ( x)在 x 0处连续；
步骤: ( 1 ) 求 y 增 f ( x x 量 ) f ( x );
(2 )算比 y f(x 值 x ) f(x );
x
x
(3)求极 y 限 lim y.
x 0 x
例1 求函 f(x ) C 数 (C 为)常 的数 .导数
解 f(x)lim f(xh )f(x)limCC 0.
f(x0)
y x
f(x0)
0( x 0 ) y f(x 0 ) x x
l x 0 i y m l x 0 i [ f m ( x 0 ) x x ] 0
函f(数 x )在x 0 连 点 . 续
.
注意: 该定理的逆定理不成立.
★ 连续函数不存在导数举例
1. 函数 f(x)连续 ,若f(x0)f(x0)则称x0点 为函f(数 x)的角,函 点数在角点 . 不
,
则
它 们 的 导 数 分 别 为 dy 1 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ ，
dx
dy 2 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ， dy 3 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
dx
dx
.
4、 设 f(x)x2,则 ff(x)________________； ff(x)_________________.
解 ylim loa(g xh )loax g
h 0
h
h
lim
loga
(1
) x
1
h0
h
最新专转本高等数学各章节复习知识点习题整理
sin
x x3
x
错解：
lim
x0
x x3
x
=0
例
1.18．
பைடு நூலகம்
lim
x0
ln(1
2x)
x2
sin(5x)
e 2 1
解：原式=
lim
x0
2x x2
5x
=-20
2
例
1.19．
lim
x0
3
1 2x2 arctan x 2
1
解：原式=
lim
x0
1 3
(2x 2 x2
)
=
2 3
例 1.20． lim 2x 4 x8 3 x 9 3
x10
x10 x 1 x1 x 1
不论 f (1) 取何值， f (x) 均不能连续。
三、极限应用—间断识别及分类
1．识别方法：可能间断点应是其定义域中不能取值的端点或分段点。
2．分类方法： （a） f (x0 0) f (x0 0) ， x0 为可去间断；
（b） f (x0 0) f (x0 0) ， x0 为第一类间断，或称跳跃型间断；
解 因为 lim x x lim x x3 0 ， sin2006 (sin(2006 x)) 有界；
x x 1
x 1 1
x
所以 原式＝０。
1
（4）题型 IV lim(1 u)u e u0
识别此类题型尤为重要，主要特征为1 未定式．步骤如下：
1
lim(1 u)v lim{(1 u) u }uv elimuv
有界
所以 原式＝０。
例 1.12． lim ln(1 tan x) cos 2( 2)
大学高等数学知识点及例题复习整理
大学高等数学知识点及例题复习整理一、导数与微分在微积分中，导数和微分是重要的概念。
导数描述了函数在某一点的变化率，而微分则描述了函数的局部线性近似。
导数的定义如下：$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$其中，$f'(x)$表示函数$f(x)$在点$x$的导数。
导数的概念可以应用在许多实际问题中，如速度、加速度等。
二、极限与连续极限是数学中的基本概念，是描述函数在某一点或者无穷远处的趋势。
形式化的极限定义如下：对于函数$f(x)$，当$x$趋近于$a$时，若存在实数$L$，使得对于任意给定的正数$\epsilon$，存在着正数$\delta$，当$0<|x-a|<\delta$时，有$|f(x)-L|<\epsilon$成立，则称函数$f(x)$在$x=a$处极限存在，记作$\lim_{x \to a} f(x) = L$。
连续是指函数在某一点上无断裂的性质。
若函数$f(x)$在点$a$处连续，则有以下三个条件：1. $f(a)$存在。
2. $\lim_{x \to a} f(x)$存在。
3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$。
三、微分学应用微分学是数学中的一个重要分支，它有着广泛的应用。
其中之一是求解函数的极值。
对于函数$f(x)$，极值点可能出现在导数为零的点或者导数不存在的点。
通过求解导数为零的方程或者检验导数的存在性，我们可以找到函数的极值点。
四、不定积分与定积分不定积分是求解函数的原函数的过程。
若函数$F(x)$在区间$I$上可导，并且满足$F'(x) = f(x)$，则称$F(x)$是$f(x)$在区间$I$上的一个原函数。
不定积分用符号$\int f(x) dx$表示，其中$f(x)$为被积函数，$dx$表示积分变量。
定积分是计算函数曲线下面的面积的方法。
高数大一上知识点总结和例题
高数大一上知识点总结和例题一、导数与微分导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
在高数大一上的课程中，我们接触到了一元函数的导数和微分的概念。
在求导的过程中，我们需要掌握一些导数的基本规则，如常数的导数为0、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数等。
此外，还需要熟悉求导法则，如和差法、积法、商法、复合函数求导法等。
例题：求函数f(x)=3x^2+4x-1的导数。
解：根据导数的基本规则以及求导法则，我们可以将f(x)分别求得各项的导数，并进行求和。
首先，对于3x^2，根据幂函数的导数规则，其导数为6x。
然后，对于4x，根据常数倍数的导数规则，其导数为4。
最后，对于-1，由于其为常数项，其导数为0。
因此，f(x)的导数为6x+4。
二、极限与连续极限是数学中的重要概念，它描述了一个函数在某一点上的趋势。
在高数大一上的课程中，我们学习了一元函数的极限和连续的概念。
在求极限的过程中，我们需要掌握一些常用的极限计算方法，如利用基本极限、夹逼定理、无穷小代换等。
对于连续函数，我们需要了解连续函数的定义以及连续函数的性质，如连续函数的四则运算、复合函数的连续性等。
例题：计算极限lim(x->0)(sinx/x)。
解：在计算该极限时，我们可以利用泰勒展开或利用无穷小代换来计算。
首先，根据泰勒展开的形式，我们知道sinx在x=0附近的展开式为x-x^3/3!+...。
因此，当x接近于0时，sinx/x的值接近于1。
另外，我们也可以将该极限转化为求函数f(x)=sinx/x在x=0处的导数的极限。
利用导数的定义，我们可以求得f'(x)=cosx/x-sinx/x^2，然后计算极限lim(x->0)(cosx/x-sinx/x^2)。
通过化简和分子有理化，我们可以求得该极限的值为1。
因此，极限lim(x->0)(sinx/x)的值为1。
三、微分中值定理与求曲线斜率微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它描述了一元函数在某一区间内存在某点的导数等于该区间上函数的平均变化率。
大一高数每个知识点的例题
大一高数每个知识点的例题一、函数与极限1. 函数的定义与性质例题：已知函数$f(x)=-2x^2+3x+1$，求函数$f(x)$的定义域。
2. 极限的定义与基本性质例题：求极限$\lim_{x \to 1}\frac{x^2-1}{x-1}$。
二、导数与微分1. 导数的定义与基本性质例题：已知函数$y=3x^2-2x+1$，求函数$y$在$x=2$处的导数。
2. 高阶导数与函数的凹凸性例题：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2$，求$f(x)$的凹凸区间。
三、微分中值定理与泰勒展开1. 罗尔定理与拉格朗日中值定理例题：证明函数$f(x)=e^x-x-1$在区间$(0,1)$内存在唯一根。
2. 泰勒展开与麦克劳林展开例题：求函数$f(x)=\cos x$的部分麦克劳林展开式。
四、不定积分与定积分1. 不定积分的基本性质与常见公式例题：求不定积分$\int 2x^2+3x-1 \,dx$。
2. 定积分的定义与性质例题：计算定积分$\int_0^2 (x^2+1) \,dx$。
五、常微分方程1. 一阶常微分方程的可分离变量与线性方程例题：求解微分方程$\frac{dy}{dx}=x^2+y$。
2. 高阶常微分方程与特征方程例题：求解微分方程$y''-2y'+y=e^x$。
六、多元函数与偏导数1. 多元函数的定义与性质例题：判断函数$z=2x^2+3y^2-xy$的单调性。
2. 偏导数的定义与计算例题：求函数$f(x,y)=2x^2+3xy-1$的偏导数$\frac{\partialf}{\partial x}$和$\frac{\partial f}{\partial y}$。
七、重积分与曲线积分1. 重积分的定义与计算例题：计算二重积分$\iint_{D} (x^2+y^2) \,dxdy$，其中$D$为由曲线$y=x^2$和$y=2x$所围成的区域。
2. 曲线积分的定义与计算例题：计算曲线积分$\int_{C} y \,dx + x \,dy$，其中曲线$C$为$x^2+y^2=1$上从点$(1,0)$到点$(0,1)$的一段弧。
高数知识点总结大一例题
高数知识点总结大一例题高数（高等数学）是大学阶段的一门重要课程，是理工科学生必不可少的基础课程之一。
通过学习高数，学生可以掌握数学的基本概念和方法，为进一步学习专业课程打下坚实的数学基础。
在大一的学习过程中，我们学习了许多高数的知识点，下面将对其中的一些例题进行总结和分析。
一、极限与连续1. 求函数 f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) 的极限。
解析：当 x 接近于 1 时，分子 x^2 - 1 接近于 0，分母 x - 1 也接近于 0。
我们可以通过因式分解，将函数改写为 f(x) = x + 1，所以函数的极限为 f(1) = 2。
2. 判断函数 f(x) = sin(1 / x) 在 x = 0 处的连续性。
解析：若函数在 x = 0 处连续，则lim(x→0) sin(1 / x) = sinlim(x→0) (1 / x)。
但lim(x→0) (1 / x) 不存在，所以sin lim(x→0) (1 / x) 也不存在。
因此函数 f(x) 在 x = 0 处不连续。
二、导数与微分1. 求函数 f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x 的导函数。
解析：对于 x^n，它的导函数为 n * x^(n-1)。
根据此规则，对f(x) 中的每一项求导，可得导函数为 f'(x) = 3x^2 + 4x - 3。
2. 设某物质的质量 m (g) 与时间 t (s) 的关系遵循 m = 100e^(-0.2t)。
求该物质质量随时间变化的速率。
解析：根据题目给出的关系式，可以通过对质量函数求导来得到质量变化的速率。
所以 m'(t) = -20e^(-0.2t)。
当 t = 1 时，m'(1) =-20e^(-0.2)。
三、积分与微分方程1. 求函数 f(x) = 2x 的不定积分。
解析：对于 x^n，其不定积分为 (1 / (n+1)) * x^(n+1)。
因此，根据此规则，f(x) 的不定积分为 F(x) = x^2。
《高等数学》复习要点资料整理总结及练习题
《高等数学》复习要点资料整理总结及练习题二、主要知识点第一章函数、极限、连续考试内容：函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数的概念。
数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限和右极限，无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则（单调有界准则和两边夹定理），两个重要极限。
函数连续的概念，函数间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。
考试要求：1.理解函数的概念，掌握函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
2.掌握数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念。
3.掌握极限存在的两边夹定理，极限的四则运算法则，利用两个重要极限求极限的方法。
4.理解无穷小量的概念和基本性质，无穷小量的比较方法，无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。
5.掌握函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
6.理解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、零点定理，介值定理)，并会应用这些性质。
第二章导数与微分考试内容：导数和微分的概念，导数的几何意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线与法线，导数和微分的四则运算，基本初等函数的导数，复合函数、隐函数和参数方程确定的函数的导数，高阶导数，一阶微分形式的不变性。
考试要求：1．掌握导数的概念，理解可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义会求平面曲线的切线方程和法线方程。
2．掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求参数方程确定的函数与隐函数的导数。
3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。
4．了解微分的概念、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
第三章微分中值定理与导数应用考试内容：微分中值定理，洛必达法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数图形的凹凸性、拐点，渐近线，函数图形的描绘，函数的最大值与最小值。
高数学习资料(含讲义及全部内容)(一)
第一 函数与极限函数和极限都是高等数学中最重要、最基本的概念，极值方法是最基本的方法，一切内容都将从这二者开始。
§1、 函 数一、集合、常量与变量1、集合：集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。
通常用大写字母A 、B 、C ……等来表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。
若事物a 是集合M 的一个元素，就记a ∈M （读a 属于M ）；若事物a 不是集合M 的一个元素，就记a ∉M 或a ∈M （读a 不属于M ）；集合有时也简称为集。
注 1：若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集。
2：集合的表示方法：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧===+++======等。
中在点；为我校的学生；须有此性质。
如：中的元素必中，且，即：有此性质的必在所具有的某种性质合可表示为：，那么该集若知其元素有某种性质不到元素规律的集合，、列不出全体元素或找为全体偶数集；，，，然数集，为全体自，，，写出，如：元素的规律，也可类似、对无限集，若知道其；鸡一只猫，一只狗，一只的方法来表示，如：可用列举出其全体元素、若集合为有限集，就枚举法}),(),{(}{}0375{}{)(}642{}321{)(}{},10,,3,2,1{)(23D y x y x C x x B x x x x A A A x x A iii B A ii B A i 3：全体自然数集记为N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q,全体实数的集合记为R 。
以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。
4：集合间的基本关系：若集合A 的元素都是集合B 的元素，即若有A x ∈，必有B x ∈，就称A 为B 的子集，记为B A ⊂,或A B ⊃(读B 包含A)。
显然：R Q Z N ⊂⊂⊂.若B A ⊂,同时A B ⊂,就称A 、B 相等,记为A=B 。
5：当集合中的元素重复时,重复的元素只算一次.如：{1,2,2,3}={1,2,3}。
高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解修订稿
高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8-第一章 函数、极限、连续第1节 函数★基本内容学习一 基本概念和性质1函数的定义设有两个变量x 和y ，变量x 的变域为D ，如果对于D 中的每一个x 值，按照一定的法则，变量y 有一个确定的值与之对应，则称变量y 为变量x 的函数，记作：()y f x =。
2函数概念的两要素①定义域：自变量x 的变化范围②对应关系：给定x 值,求y 值的方法。
3函数的三种表示方法①显式：形如()y f x =的称作显式，它最直观，也是初等函数一般采用的形式。
②隐式：有时有些关系用显式无法完全表达，这时要用到隐式，形如(,)0F x y =，如椭圆函数22221x y a b+=。
③参数式：形如平抛运动的轨迹方程212x vt y gt =⎧⎪⎨=⎪⎩称作参数式。
参数式将两个变量的问题转化为一个变量的问题，从而使很多难以处理的问题简化。
4函数的四个基本性质①奇偶性：设函数()f x 在对称区间X 上有定义，如果对于x X ∀∈恒有()()f x f x =- (或)()()f x f x =--，则称()f x 为偶函数(或()f x 奇函数)。
注：偶函数()f x 图形关于y 轴对称，奇函数()f x 的图形关于坐标原点对称。
②有界性：设函数()f x 在区间X 上有定义,如果0M ∃>,使得对一切x X ∈,恒有：()f x M ≤,则称()f x 在区间X 上有界；若不存在这样的0M >，则称()f x 在区间X 上无界.注：函数()f x 有无界是相对于某个区间而言的。
③周期性：设函数()f x 在区间X 上有定义,若存在一个与x 无关的正数T ，使对任一x X ∈，恒有()()f x T f x += 则称()f x 是以T 为周期的周期函数，把满足上式的最小正数T 称为函数()f x 的周期。
大一高数知识点大全带题例
大一高数知识点大全带题例在大一的高等数学课程中，我们将接触到很多重要的数学概念和基本的计算方法。
这些知识点对我们建立数学思维和培养逻辑思维能力具有重要意义。
下面，我将为大家总结一些大一高数的重要知识点，并附上相应的题例，希望能够帮助大家更好地掌握这些知识。
1. 函数与极限函数与极限是高数课程中最基本的概念之一。
我们需要理解函数的定义、函数的性质以及极限的概念和计算方法。
下面是一个例题：例题：求函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 1 在 x = 2 处的极限。
解析：根据极限的定义，我们需要找出当 x 的取值无限靠近 2 时，函数 f(x) 的取值无限靠近于某一个常数。
可以通过直接代入 x = 2，或者利用极限的性质和基本运算法则进行计算。
2. 导数与微分导数与微分是函数学与微积分课程的重点内容。
我们需要掌握导数的定义、导数的计算方法以及导数应用于几何和物理问题的解决思路。
下面是一个例题：例题：求函数 f(x) = x^3 - 2x^2 + x 在 x = 1 处的导数。
解析：可以通过使用导数的计算公式进行计算，或者利用导数的几何意义和物理意义进行解释。
导数可以理解为函数在某一点的斜率，表示函数在该点处的变化率。
3. 不定积分与定积分不定积分和定积分是微积分课程中的另外两个重要内容。
我们需要了解不定积分的定义和计算方法，以及定积分的定义和应用。
下面是一个例题：例题：求函数 f(x) = 2x 在区间 [1, 3] 上的定积分。
解析：可以先进行不定积分，然后利用定积分的性质通过曲线下方的面积计算来求解。
定积分的应用非常广泛，可以用于计算面积、求解物理问题中的加速度、速度、位移等。
4. 二阶导数与泰勒级数二阶导数是导数的进一步扩展，具有更加精确地描述函数曲线特征的能力。
泰勒级数是高等数学中的一个重要工具，用于将一个函数在某一点展开成无穷个项的级数。
下面是一个例题：例题：求函数 f(x) = e^x 在 x = 0 处的泰勒级数展开。
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求的导数
′ = ′ ⋅ ′
设 = ， = ， = 。
求的导数
′
ⅆ ⅆ ⅆ
=
⋅
⋅
ⅆ ⅆ ⅆ
例题、对下列函数求导
（1） = sin
（3） =
（5） =
2
sin
1+ 2
3
1 − 2 3
1 + ⋯ +
例题、设 = = arctan ，求 ′′ 0 , ′′′ 0 。
例题、设 = ， ∈ ，求
。
例题、设y = ln 1 + ，求y n 。
例题、设（）任意次可微，求 −1
′′′ 。
例题、设（）任意阶可导，且 ′ =
→0
② 差运算： lim −
→0
③ 积运算： lim
→0
④ 商运算：
()
lim
→0 ()
=
→0
→0
= lim − lim
→0
→0
= lim ∙ lim
lim
→0
→0
→0
lim
函数的定义域：函数自变量能取值的一个集合（范围）
函数的值域：函数在自变量中取值得所有集合
二、 初等函数
基本初等函数有限次得四则运算和函数复合运算步骤所构成
例题、求下例函数得定义域
（1） = sin 2 −
2
（2） = ln 1 −
2
+ sin
1
2+1
三、求极限
分段函数在分段点处得极限
→0
大一高数知识点和题
大一高数知识点和题一、函数与极限1. 函数的定义及性质函数的定义：一个元素集合与另一个元素集合的对应关系。
函数的性质：唯一性、有界性、单调性、奇偶性。
2. 极限的概念与性质极限的定义：当自变量趋近于某个确定值时，函数值的趋势或趋近的程度。
极限的性质：有界性、单调性、保号性、保序性、夹逼准则。
3. 连续性与间断点连续函数：在定义域内的每个点都存在极限且与函数值相等。
间断点：函数在某些点上不满足连续性的点。
二、导数与微分1. 导数的定义与计算导数的定义：函数在某一点处的变化率，即函数值与自变量的比值在该点的极限。
导数的计算：基本求导法则、常见函数的导数。
2. 微分与近似计算微分的定义：函数在某一点处的导数与自变量的增量之积。
近似计算：利用微分进行函数近似值的计算和估算。
3. 函数的极值与变化趋势极值：函数取得的最大值或最小值。
变化趋势：利用导数的正负性可以判断函数在某一区间的增减性。
三、定积分与不定积分1. 定积分的定义与计算定积分的定义：曲线与x轴所夹区域面积的极限。
定积分的计算：穷尽法、定积分的基本性质。
2. 不定积分的定义与计算不定积分的定义：求导运算的逆运算。
不定积分的计算：基本积分法、换元法、分部积分法。
3. 牛顿-莱布尼茨公式与面积计算牛顿-莱布尼茨公式：定积分与不定积分的关系。
面积计算：利用定积分计算曲线所围成的面积。
四、微分方程1. 微分方程的基本概念微分方程的定义：含有一个或多个未知函数及其导数（或微分）的等式。
阶数：微分方程中最高阶导数的阶数。
2. 常微分方程的解法可分离变量方程、一阶线性方程、二阶常系数齐次线性方程。
3. 初值问题与存在唯一性定理初值问题：给定初值条件求解微分方程。
存在唯一性定理：保证初值问题存在唯一解的条件。
五、级数与幂级数1. 级数的定义与性质级数的定义：无穷个数之和。
级数的性质：收敛性、发散性、比较判别法、比值判别法。
2. 幂级数的概念与收敛区间幂级数的定义：每一项都是关于某个变量的幂次函数构成的级数。
大一高数知识点与例题讲解
大一高数知识点与例题讲解高等数学作为大一学生的必修课程之一，是一门基础而重要的学科。
它不仅是理科类专业的基础，也是其他学科的理论支撑。
在学习高等数学的过程中，我们需要掌握一些重要的知识点，同时也需要通过例题来加深对知识的理解和应用。
本文将为大一新生总结一些高数知识点，并结合例题进行讲解。
一、极限与连续在高等数学中，极限与连续是一个非常重要的概念。
极限表示一个函数在某一点上的趋近情况，可以用于描述函数的变化趋势。
连续是指函数在一个区间上没有间断点，可以在该区间内连续取值。
我们以极限为例，详细讲解一下。
极限的定义如下：设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义，如果存在常数 $A$，对于任意给定的正数$ε$，总存在正数$δ$，使得当$0<|x-x_0|<δ$ 时，对应的函数值$f(x)$ 都满足不等式$|f(x)-A|<ε$，则称函数 $f(x)$ 当 $x$ 趋于 $x_0$ 时以 $A$ 为极限，记为$\lim_{x \to x_0}f(x)=A$。
例题1：计算极限 $\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x}$。
解析：当 $x$ 趋近于0时，$sinx$ 和 $x$ 的值趋近于0，可以利用极限的性质进行计算。
不妨设 $t=x$，则原极限可转化为$\lim_{t \to 0}\frac{sint}{t}$。
由于 $\lim_{t \to 0}sint=0$，所以原极限等于0。
二、导数与微分导数与微分是高等数学中另一个重要的概念。
导数表示函数在某一点的变化率，微分是导数的一种几何意义。
导数和微分可以用于求函数的极值、研究函数的单调性等。
我们以导数为例，来解释一下导数的定义和求导法则。
导数的定义如下：设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义，如果极限 $\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ 存在，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，该极限值称为函数$f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数，记作 $f'(x_0)$。
大一高数知识点总结加例题
大一高数知识点总结加例题1. 数列与数列的极限数列：对于给定的数列{an}，其中每一个数an都有其对应的项下标n。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
数列的极限：当数列中的项随着下标的增加趋近于某个固定的实数L时，我们称该数L为数列的极限，并记为lim(an)=L。
例题1：求数列{an}的极限，并给出证明过程。
解：首先，我们根据数列的定义观察数列的变化规律，尝试找出数列的极限。
假设数列的项表示为an = 1/n，则我们计算前几项的具体数值：a1 = 1/1 = 1，a2 = 1/2，a3 = 1/3，a4 = 1/4，...通过观察计算，我们可以发现随着n的增加，数列的每一项都在逐渐变小，接近于0。
因此，我们猜测该数列的极限为0。
接下来，我们需要证明该猜测成立。
对于给定的ε > 0，我们需要找到对应的正整数N，使得当n > N时，有|an - 0| < ε。
由数列的定义可知，|an - 0| = |1/n - 0| = 1/n为了使得1/n < ε成立，我们需要找到满足1/n < ε的最小的正整数N。
当n > 1/ε时，显然有1/n < ε。
因此，我们可以选择N = 1/ε。
当n > N时，有|an - 0| < ε。
综上所述，根据极限的定义和证明过程，数列{an}的极限为0。
2. 函数与函数的极限函数：函数是一个数学概念，它描述了输入值与输出值之间的关系。
通常用f(x)表示函数，其中x为输入值，f(x)为输出值。
函数的极限：当自变量x趋近于某一固定值a时，函数f(x)的取值也会趋近于某一固定值L，我们称L为函数f(x)在x趋近于a时的极限，并记为lim(f(x))=L。
例题2：求函数f(x) = (x^2 + 1)/(x - 1)的极限，并给出证明过程。
解：首先，我们观察函数的定义并尝试找出函数的极限。
当x趋近于1时，分母(x - 1)趋近于0，导致函数f(x)的值趋于无穷大。
大学高等数学知识点及例题复习整理
经济数学复习考试范围：教材1－5章第一章： 函数、极限与连续1．主要内容：（1） 函数的定义域（2） 函数的简单特性：有界性、单调性、周期性和奇偶性． （3） 复合函数及分段函数（4） 极限、左极限与右极限、极限的性质及四则运算法则 （5） 极限存在的两个准则、利用两个重要极限求极限的方法 （6） 无穷小、无穷大，无穷小的比较，用等价无穷小求极限（7） 函数连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型（8） 闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最值定理、零点定理与介值定理） 注意：用函数与数列的极限定义来证明极限存在、双曲函数、映射不做要求。
2．重点：求极限 3．典型例题与习题（1）§1-1 T1-10，12，13，15-17 （2）§1-2 T6（3）§1-3 例题3-9 习题1-4 （4）§1-4 例题4-7 习题1-4 （5）§1-5 例题2-8 习题1-4 （6）§1-6 例题3-9 习题1-6 （7）§1-7 例题1-7 习题1-7 （8）§1-8 例题1-7 习题2-5（9）综合练习一：1-64．典型方法（1）求定义域的方法：①若12()()y f x f x =±或12()()y f x f x =，则12f f f D D D =⋂ ②若12()()f x y f x =，则122{|()0}f f f D D D x f x =⋂-= ③若1122(),(),f x x D y f x x D ∈⎧=⎨∈⎩，则12f D D D =⋃④若()f x 定义域为a x b <<，则(())f x ϕ定义域由()a x b ϕ<<解出例1求22ln(1),2x y x x -<<=-≥⎪⎩定义域【解】(2,2)[2.)(2,)f D =-⋃+∞=-+∞ 例2求ln(1)y x =-定义域 【解】[3,3](1.)(1,3]f D =-⋂+∞=例3求y =【解】(1,2)(2,3]f D =⋃例4 设()f x 定义域为(0,1)，求()f x a +定义域 【解】由01x a <+<得， 1a x a -<<- 例5 求1ln lg y x=定义域 【解】0lg 0ln lg 0x x x >⎧⎪>⎨⎪≠⎩ 01lg 1x x x >⎧⎪⇒>⎨⎪≠⎩ 0110x x x >⎧⎪⇒>⎨⎪≠⎩，故(1,10)(10,)f D =⋃+∞例6 设()f x 定义域为(1,4)，求2()f x 定义域【解】由214x <<得， 21x -<<-或12x <<，故2()f x 定义域为(2,1)(1,2)--⋃2.求函数极限方法：利用极限的定义、极限的四则运算法则、函数式的恒等变形、两个重要极限、无穷小量及等价无穷小代换定理、函数连续性与L ’Hospital 法则例1 求下列极限（1）22sin(2)23lim[]41x x x x x →-++--； （2）0x → （3）3x → （4）10515(51)(12)lim (31)x x x x →∞+-- （5）10sin lim(1)2xx x →-； （6）11lim()1ln x x x x →+-3.证明函数连续方法：利用连续的定义、连续的四则运算法则和复合函数连续性、可导的必要条件例1 设,0(),0x e x f x x k x ⎧≤=⎨+>⎩连续，求常数k 之值。
高等数学各章总结
第一章 函数一、知识结构：二、例题：判断题1. 设arcsin y u =,u 可以复合成一个函数2arcsin 2+=x y ；2. 函数1lg lg y x =的定义域是1x >且10x ≠；3. 函数2x y e -=在(0,)+∞内无界；4. 函数211y x =+在(0,)+∞内无界；5. 21()cos x f x x-=是奇函数；6. ()f x x =与2()g x =是相同函数 ；7. 函数x y e =是奇函数；8. y x =与y =是同一函数； 9. 函数31y x x =++是奇函数；10. 函数1arcsin 2x y -=的定义域是(1,3)- ；11. y x =与 2x y x=不是同一个函数；函数集合函数关系实数集（区间） 集合的运算 （交、并、补）实数集（区间）函数的表示基本初等函数，初等函数复合函数 分段函数 反函数 函数的性质单调性奇偶性周期性有界性经济学常用函数建立函数关系（应用问题）12. 函数cos y x x =是偶函数 .填空题1. 设23,,tan ,u y u v v x ===则复合函数为()y f x == _________；2. 设xx f 1)(=,x x g -=1)(,则)]([x g f = _______ ；3. 复合函数2(sin )x y e =是由 ________, ________, _______函数复合而成的；4. 已知11()1f x x =-,则 (2)f = __________ ；5.y =+其定义域为 __________ ；6. 设函数2()1x f x x -=-,则(1)f -= __________；7. 考虑奇偶性,函数ln(y x =为 ___________ 函数 ；8. 函数2x y e =的反函数是 ,它的图象与2x y e =的图象关于________ 对称 .选择题1. 函数32--=x x y 的定义域是 ( ) (A) (2,)+∞ (B)[2,]+∞ (C)(,3)(3,)-∞+∞ (D)[2,3)(3,)+∞2. 函数 22)1(-=x x y 在区间 (0,1) 内 ( )(A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 不增不减 (D)有增有减 3. 下列函数中，是奇函数的是 ( )(A)42y x x =- (B) 2y x x =- (C)22x x y -=- (D)22x x y -=+4. 已知函数 20()10ax bx f x x x +<⎧=⎨+≥⎩，则(0)f 的值为 ( )(A) a b + (B) b a - (C) 1 (D) 2第二章 极限与连续一、知识结构：二、例题：判断题1. 函数在点0x 处有极限，则函数在0x 点极必连续；2. 0x →时,x 与sin x 是等价无穷小量；3. 若00(0)(0)f x f x -=+，则)(x f 必在0x 点连续；4. 当0x →时，2sin x x +与x 相比是高阶无穷小；5. 函数221y x =+在(,)-∞+∞内是单调的函数；6. 设)(x f 在点0x 处连续，则00(0)(0)f x f x -=+ ；7. 函数 21sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在0x =点连续； 8. 1=x 是函数122--=x x y 的间断点；9. ()sin f x x =是一个无穷小量；10. 当0→x 时，x 与)1ln(2x +是等价的无穷小量； 11. 若 )(lim 0x f x x → 存在，则)(x f 在0x 处有定义；极限连续极限 连续极限的定极限的性数列极限 连续的定一点处的连续 开区间上连续 闭区间上连续闭区间连续函数的性质有界性最值性介值性零点定理极限的计函数极限 唯一性 有界性 保号性四则运算夹逼准则 无穷小性质及等价无穷小代换两个重要极限连续函数的计算 连续函数的四则运算 连续函数的复合无穷小与无穷大及关系由连续性求极限初等函数的连续性间断点及类型12. 若x 与y 是同一过程下两个无穷大量，则x y -在该过程下是无穷小量； 13. 22--=x y 是一个复合函数；14. 21sin lim0=+→x x x x ； 15. 11,0,,0,,0,481数列收敛2；16. 函数 1sin y x x= 在 0x = 点连续；17. 0x =是函数ln(2)x y x-=的间断点；18. 以零为极限的变量是无穷小量；填空题1. sin limx xx→∞= _______ ；2. xx xx sin lim +∞→ = _______ ； 3. 函数 922-+=x x y 在 _______ 处间断；4. 1253lim 22-+∞→n n n n = _______； 5. 当 0x → 时，1cos x - 是比 x ______ 阶的无穷小量；6. 当 0x → 时， 若 sin 2x 与 ax 是等价无穷小量，则 a = ______；7.0)lim sin x x x+→= __________ ； 8. 设 sin 2,0(),0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 连续，则 a = _________ ；9.0h →=___________ ；10. 2lim(1)x x x→∞-=________；11. 0ln(13)limsin 3x x x →+=_________ ； 12. 设 21,0()0,0x e x f x x -⎧⎪≠=⎨⎪=⎩ 在 0x = 处________（是、否）连续；13. 当0x →时,23是______（同阶、等价）无穷小量.选择题1. 当0x →时，xy 1sin= 为 ( ) (A) 无穷小量 (B) 无穷大量 (C)有界变量但不是无穷小量 (D)无界变量 2. 1x +→时，下列变量中为无穷大量的是 ( )(A) 113-x (B) 112--x x (C) x 1 (D) 112--x x3.已知函数2,()1,f x x ⎧-⎪=-⎨11001x x x ≤--<<≤<，则1lim ()x f x →- 和 0lim ()x f x →( )(A) 都存在 (B) 都不存在(C) 第一个存在,第二个不存在 (D) 第一个不存在，第二个存在4. 函数 ()12xf x ⎧⎪=⎨⎪⎩ 11x x ≠= 的连续区间是 ( ) (A)(,1)-∞ (B)(1,)+∞ (C)(,1)(1,)-∞+∞ (D) (,)-∞+∞5. 设 232,0()2,0x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，则 0lim ()x f x +→= ( ) (A) 2 (B) 0 (C) 1- (D) 2-7. 函数 1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ ，在 0x = 处 ( )(A) 左连续 (B) 右连续 (C) 连续 (D) 左、右皆不连续8. 02lim5arcsin x xx→= ( ) (A) 0 (B) 不存在 (C) 25(D) 19. ()f x 在点 0x x = 处有定义，是 ()f x 在 0x x =处连续的 ( )(A) 必要条件 (B) 充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关条件 10. 下列极限存在的有 ( )(A)2(1)lim x x x x →∞+ (B) 01lim 21x x →- (C) 10lim xx e →(D) x 计算与应用题1. 设)(x f 在点2x =处连续，且232,2,()2,2x x x f x x a x ⎧-+≠⎪=-⎨⎪=⎩，求 a .2. 求极限:(1)20cos 1lim 2x x x →- ; (2)121lim()21x x x x +→∞+-; (3)3721lim 5x x x x →∞-+-; (4)xx x 10)41(lim -→ ;(5)30(1cos )tan lim x x x x →-; (6)2111lim()222n n →∞+++ ; (7)22lim(1)nn n→∞-; (8)lim()1x x x x →∞+;(9)lim x →- (10)3131lim()11x x x →---. 3. 求极限:(1)32202lim x x x x →- ; (2) 2202lim x x x x →-; (3)34205lim x x x x x→-+; (4) 3352011lim 20125x x x x →∞-+-; (5) 35112113114lim 2012115x x x x →∞-+-; (6) 53112113114lim 2012115x x x x →∞-+-; (7)01lim sin x x x →; (8) 1lim sin x x x →∞; (9) 01lim sin x x x →; (10) 11lim sin x x x →∞.第三章 导数与微分一、知识结构：二、例题：判断题1. 若函数)(x f 在0x 点可导，则00()[()]f x f x ''=；2. 若)(x f 在0x 处可导，则 )(lim 0x f x x → 一定存在；3. 函数 x x f =)( 在其定义域内可导；4. 若 )(x f 在 [,]a b 上连续，则 )(x f 在 (,)a b 内一定可导；5. ()(),()f x f x y e y e f x ''''==已知则；6. 函数 22,1()ln ,014x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩ 在 1x = 点可导；7. 若 (),n f x x = 则 ()(0)!n f n = ；8. 2d()2ax b ax += ；9. 若 ()f x 在 0x 点不可导，则 ()f x 在 0x 不连续； 10. 函数 ()f x x x = 在点 0x = 处不可导 .填空题1. ()f x =则(0)f '= _________ ；导数微分导数微分导数的定义左导数 微分的计算基本微分公式微分形式不变性 微分在近似计算中的应用导数的计算极限的计算右导数基本公式导数四则运算 隐函数导数（对数求导，参数方程求导）反函数求导 可微的定义可微、可导及连续的关系 可微的几何意义复合函数求导导数的几何意义，切线方程 高阶导数可导与连续的关系2. 曲线3y x =在点(1,1)处的切线方程是 ________ ；3. 设ln e x e y x e x e =+++，则y '= ______ ；4. sin(1)x y e =+ ,dy =_______ ；5. 设222e x y x +=，则y ' = ________ ；6. 设e x y n +=，则()n y = ________ ；7. 曲线x e x y +=在点 (0,1) 的处的切线方程是_______；8. 若)(x u 与)(x v 在x 处可导,则])()(['x v x u = _________ ；9. sin ()x x '= _______；10. 设)(x f 在0x 处可导,且A x f =')(0,则000(2)(3)limh f x h f x h h→+--= _______ ； 11. 导数的几何意义为 ________________________ ；12.曲线y =在(1,1)处的切线方程是 ___________ ；13. 曲线31y x =+在(1,0)-处的切线方程是 ___________ ； 14. 函数32sin(1)y x x =+的微分dy =__________ ； 15. 曲线2y x =在点(0,0)处切线方程是_________ ； 16. sin y x =的n (n 是正整数)阶导数是 ________ .选择题1. 设)(x f 在点0x 处可导，则下列命题中正确的是 ( )(A) 000()()lim x x f x f x x x →-- 存在 (B) 000()()lim x x f x f x x x →--不存在(C) 00()()lim x x f x f x x →+-存在 (D) 00()()lim x f x f x x∆→-∆不存在2. 设)(x f 在点0x 处可导且0001lim (2)()4x x f x x f x →=--，则0()f x '等于 ( )(A) 4 (B) –4 (C) 2 (D) –23. 设21,10()1,02x x f x x ⎧+-<≤=⎨<≤⎩ ，则)(x f 在点x = 0处 ( )(A) 可导 (B) 连续但不可导 (C) 不连续 (D) 无定义 4. 设()y f x =可导，则(2)()f x h f x --= ( )(A)()()f x h o h '+ (B)2()()f x h o h '-+ (C)()()f x h o h '-+ (D)2()()f x h o h '+5. 设(0)0f =,且0()lim x f x x →存在，则0()limx f x x→＝( ) (A) ()f x ' (B) (0)f ' (C) (0)f (D) 1(0)2f '6. 函数)(x f e y =,则="y ( )(A) )(x f e (B) )(")(x f e x f (C) 2)()]('[x f e x f (D) )}(")]('{[2)(x f x f e x f + 7. 函数 x x x f )1()(-=的导数为 ( )(A)x x x )1(- (B)1)1(--x x (C)x x x ln (D))]1ln(1[)1(-+--x x xx x8. 函数)(x f 在0x x =处连续，是)(x f 在0x 处可导的 ( )(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 9. 已知ln y x x =，则(10)y =( )(A) 91x - (B) 91x (C) 98!x (D) 98!x-10. 函数xxx f =)(在0=x 处 ( )(A) 连续但不可导 (B) 连续且可导 (C)极限存在但不连续 (D)不连续也不可导11. 函数 1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，在 0x = 处 ( )(A) 左连续 (B) 右连续 (C) 连续 (D) 左、右皆不连续 12. 设x x y e e -=+,则y ''=( )(A) x x e e -+ (B) x x e e -- (C) x x e e --- (D) x x e e --+13. 函数0,0()1,0x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ ,在点0x =不连续是因为 ( ) (A)(00)(0)f f +≠ (B)(00)(0)f f -≠ (C)(00)f +不存在 (D)(00)f -不存在14. 设1(2)1f x x +=+ ，则()f x '=( )(A) 21(1)x -- (B) 21(1)x -+ (C) 11x + (D) 11x -- 15. 已知函数2ln y x =,则dy =（ ）(A) 2dx x (B) 2x (C) 21x (D) 21dx x16. 设21cos ,0()0,01tan ,0x x x f x x x x x⎧<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩ ，则()f x 在0x =处（ ） (A)极限不存在 (B)极限存在，但不连续 (C)连续但不可导 (D)可导 17. 已知sin y x =，则(10)y = ( )(A) sin x (B) cos x (C) sin x - (D) cos x - 计算与应用题1. 设 f (x ) =xaa a x arccos 22-- (0a >), 求(2)f a '-. 2. 设ln()y xy =确定y 是x 的函数，求dxdy.3. 设xx y 1cos 1ln +=，求dy .4. 设21(1)arctan cos 2y x x x =++，求y '.5.设x y e y ln =确定y 是x 的函数，求dxdy.6. 设)ln(ln x y =，求dy7. 221arcsin x y e x x=+-y , 求y '及dy .8. ln tan ln sin 2xy =+，求y '及dy .9. sin()y x y =+，求y ',dy 并求其在点(,0)π处的切线与法线方程.10. 221cos 5ln xx y -+=,求 y '及dy .11. y e =y '及dy .12. xy e y x -=，求y ',dy 并求其在点(0,1)处的切线与法线方程. 13. 已知2cos 3y x =，求y '. 14. 设22sin 0y x y --=， 求y '. 15. 求13cos x y e x -= 的微分.16. 设ln(y x x =+，求y '. 17. 设cos2x y e = ，求dy .18. 方程0y x e e xy -+=确定y 是x 的函数，求y '.19. 设22arctan()1xy x=- ，求y '. 20. 方程2cos 0y y x e +=确定y 是x 的函数，求y '. 21. 3cos cos x y x x e =+，求dy . 22. ln y x x =，求y ''.23. 已知 ln(y x =+，求y '.24. 设 2011201220112011x x y x x =+++，求y '.25. 已知()sin3f x x =，求()2f π''.26. 求2xe y x=的微分.27. 求由参数方程cos sin x a t y b t=⎧⎨=⎩(a ,b 均为正实数)所确定函数的导数dydx .28. 求由参数方程3cos sin x t t t y t t ⎧=+⎨=-⎩(a ,b 均为正实数)所确定函数的导数dydx .。
《高等数学》函数考点精讲与例题解析
《高等数学》函数考点精讲与例题解析 第一部分 函数 极限 连续函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。
它们是每年必考的内容之一。
第一节 函 数内容考点一、函数的定义给定两个非空数集D 和M ，若有对应法则f ，使得对于D 内的每一个x ，都有唯一确定的M y ∈与之对应，则称f 是定义在数集D 上的函数，记作)(x f y =，D x ∈，数集D 成为函数的定义域，)(D)(M f ⊂称为值域。
【考点一】会求函数的定义域及其表达式，特别是复合函数的定义域。
二、函数的奇偶性（1）首先必须要求函数的定义域关于原点对称。
例如，)(x f y =的定义域为),(a a -)0(>a 关于原点对称。
（2）验证对于任),(a a x -∈，都有)()(x f x f =-，称)(x f 为偶函数；偶函数)(x f 的图形关于y 轴对称。
（3）验证若对于任),(a a x -∈都有)()(x f x f -=-，称)(x f 为奇函数；奇函数)(x f 的图形关于坐标原点对称。
【考点二】会判定函数)(x f 的奇偶性，不管)(x f 的具体形式是什么，都需要计算)(x f -的值。
如果)()(x f x f =-，则由定义知)(x f 为偶函数；如果)()(x f x f -=-，则由定义知)(x f 为奇函数。
三、函数的周期性对函数)(x f y =，若存在常数0>T ，使得对于定义域的每一个x ，T x +仍在定义域内，且有)()(x f T x f =+，则称函数)(x f y =为周期函数，T 称为)(x f 的周期。
【考点三】判断函数是否为周期函数，主要方法是根据周期函数的定义，要先找到一个非零常数T ，计算是否有等式)()(x f T x f =+成立。
特别要求掌握三角函数的周期性四、函数的有界性设函数)(x f y =在数集X 上有定义，若存在正数M ，使得对于每一个X x ∈，都有M x f ≤)( 成立，称)(x f 在X 上有界，否则，即这样的M 不存在，称)(x f 在X 上无界。
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第一章 函数、极限、连续第1节 函数★基本内容学习一 基本概念和性质1函数的定义设有两个变量x 和y ，变量x 的变域为D ，如果对于D 中的每一个x 值，按照一定的法则，变量y 有一个确定的值与之对应，则称变量y 为变量x 的函数，记作：()y f x =。
2函数概念的两要素①定义域：自变量x 的变化范围②对应关系：给定x 值,求y 值的方法。
3函数的三种表示方法①显式：形如()y f x =的称作显式，它最直观，也是初等函数一般采用的形式。
②隐式：有时有些关系用显式无法完全表达，这时要用到隐式，形如(,)0F x y =，如椭圆函数22221x y a b+=。
③参数式：形如平抛运动的轨迹方程212x vt y gt =⎧⎪⎨=⎪⎩称作参数式。
参数式将两个变量的问题转化为一个变量的问题，从而使很多难以处理的问题简化。
4函数的四个基本性质①奇偶性：设函数()f x 在对称区间X 上有定义，如果对于x X ∀∈恒有()()f x f x =- (或)()()f x f x =--，则称()f x 为偶函数(或()f x 奇函数)。
注：偶函数()f x 图形关于y 轴对称，奇函数()f x 的图形关于坐标原点对称。
②有界性：设函数()f x 在区间X 上有定义,如果0M ∃>,使得对一切x X ∈,恒有：()f x M ≤,则称()f x 在区间X 上有界；若不存在这样的0M >，则称()f x 在区间X 上无界.注：函数()f x 有无界是相对于某个区间而言的。
③周期性：设函数()f x 在区间X 上有定义,若存在一个与x 无关的正数T ，使对任一x X ∈，恒有()()f x T f x += 则称()f x 是以T 为周期的周期函数，把满足上式的最小正数T 称为函数()f x 的周期。
④单调性：设函数()f x 在区间X 上有定义，如果对1212,,x x X x x ∀∈<,恒有：()()12f x f x ≤(或()()12f x f x ≥)则称()f x 在区间X上是单调增加(或单调减少)的；如果对于1212,,x x X x x ∀∈<,恒有：()()12f x f x < (或()()12f x f x >)则称()f x 在区间X上是严格单调增加(或严格单调减少)的。
5其它函数定义①复合函数：设函数()y f u =的定义域为f D ，而函数()u x ϕ=的定义域是D ϕ值域为Z ϕ，若f D Z ϕ⋂≠∅，则称函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦为x 的复合函数，它的定义域是{x ∣()}f x D x D ϕϕ∈∈且。
这里∅表示空集。
②反函数：设函数()y f x =的值域为f Z ，如果对于f Z 中任一y 值，从关系式()y f x =中可确定唯一的一个x 值，则称变量x 为变量y 的函数，记为：()x y ϕ=，其中()y ϕ称为函数()y f x =的反函数，习惯上()y f x =的反函数记为：()1y f x -=。
6初等函数①常值函数 C (C 为常数)，x R ∈②幂函数 ()y x R αα=∈，定义域由α确定，但不论α如何，在(0,)∞内总有定义。
③指数函数 x y a =(0a >且1a ≠) x R ∈④对数函数 log xa y =( 0a >且1a ≠) (0,)x ∈∞⑤三角函数 如sin ,y x =x R ∈；cos ,y x =x R ∈；tan y x =,(,),22x k k k Z ππππ∈-+∈；cot ,x (,(1)),x k k ππ∈+k Z ∈等⑥反三角函数 arcsin ,y x =[1,1]x ∈-；arccos ,y x =[1,1]x ∈-；arctan y x =,x R ∈；arccot y x =,x R ∈. 以上六类函数称基本初等函数。
由基本初等函数经有限次加、减、乘、除、复合而成的函数称初等函数。
7分段函数一个函数在其定义域内，对应于不同的区间段有着不同的表达式，则该函数称为分段函数。
分段函数仅是说函数的表示形式，并不是说它是几个函数。
常见的分段函数：①符号函数 10,sgn 00,10.x y x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩当当当②取整函数 []x 表示不超过x 的最大整数；[]x n =,当1n x n ≤≤+，其中n 为整数。
③狄利克莱(Dirichlet)函数 ()10x y f x x ⎧==⎨⎩当为有理数时,当为无理数时.④绝对值函数 ,0,0x x x x x ≥⎧=⎨<⎩★基本题型训练一 典型例题1判断函数的等价性例1.1下列各题中，函数()f x 与()g x 是否相同？为什么？ (1) 2()lg ,()2lg ;f x x g x x ==(2) (),()f x x g x ==(3) ()()f x g x ==；(4) 22()1,()sec tan f x g x x x ==-； 解：(1)不相同，因为2lg x 的定义域是(,0)(0,)-∞⋃∞，而2lg x 的定义域是(0,)∞。
(2)不相同，因为两者对应法则不同，当0x <时，()g x x =-。
(3)相同，因为两者定义域、对应法则均相同。
(4)不相同，因为两者定义域不同。
2求函数的定义域例1.2设(1)f x -的定义域为[0,](0)a a >则()f x 的定义域为多少？解：函数(1)f x -的定义域是指x 的变化范围，即01,1,11x a t x t a ≤-≤=--≤≤-令则。
故对函数()f x 而言，t 的变化范围为[1,1]a --，由函数表达式的“变量无关性”，知：()f x 的定义域为[1,1]a --。
常见错误：[1,1]a +。
主要是对定义域所指的变量取值范围理解不深，误认为01x a ≤-≤，由此得到11x a ≤≤+。
3判断函数奇偶性例1.4下列函数中哪些是奇函数，哪些是偶函数，哪些是非奇非偶函数？(1) 2sin ,x y e x =(2) log (a y x =(0,1)a a >≠解：(1)因为sin x 为奇函数，2x 为偶函数，所以2sin x y e x =为奇函数。
(2) ()log (log log (()a a a f x x x f x -=-+==-+=-,故()f x 为奇函数4判断函数的周期性例1.5下列哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期。
(1) cos(2)y x =- (2) 1sin y x π=+ 解 (1) cos(2)y x =-是周期函数，周期为2π；(2) 1sin y x π=+是周期函数，周期是2 5判断函数单调性例 1.6设()f x 在(,)-∞+∞上有定义，且对任意x ，(,)y ∈-∞+∞有()()f x f y x y -<-证明()()F x f x x =+在(,)-∞+∞上单调增加。
证明：设1212,(,),x x x x ∀∈-∞+∞<所以212121()()f x f x x x x x -<-=-，而122121()()()()f x f x f x f x x x -≤-<- 所以1122()()f x x f x x +<+ 所以12()()F x F x < 即()F x 在(,)-∞+∞上单调增加。
6求反函数 例1.7求函数y =解：令t =，则11ty t+=-。
所以11y t y -=-，11y y -=-，所以221411(1)y yx y y ⎛⎫-=-= ⎪-+⎝⎭， 所以反函数24(1)xy x =+即为所求。
7复合函数求法例1.8设1,0(),2,0x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩2,0(),0x x g x x x ⎧<=⎨-≥⎩则[()]f g x 等于多少？ 解：当0x ≥时，()g x x =-0≤，所以当0x ≥时有[()]f g x 1x =+；当0x <时，2()0g x x =>所以0x <时有2[()]2f g x x =+，故21,0[()]2,0x x f g x x x +≥⎧=⎨+<⎩。
注：求复合函数一般用三种方法：分析法，代入法，图示法。
本题用的是分析法，下面分别介绍这三种方法。
(1)分析法：是抓住最外层函数定义域的各区间段，结合中间变量的表达式及中间变量的定义域进行分析，从而得出复合函数的方法，该法适用于初等函数与分段函数或分段函数之间的复合。
(2) 代入法：将一个函数中的自变量用另一个函数的表达式来替代，这种构成复合函数的方法，称之为代入法，该法适用于初等函数或抽象函数的复合，这种方法在求复合函数时一般最先想到。
(3) 图示法：借助于图形的直观性达到将函数复合的一种方法，适用于分段函数，尤其是两个均为分段函数的复合。
关于图示法解题的一般步骤如下：①先画出中间变量函数()u x ϕ=的图形；②把()y f u =的分界点在xou 平面上画出(这是若干条平行于x 轴的直线)； ③写出u 在不同区间段上x 所对应的变化区间；④将③所得结果代入()y f u =中，便得()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦的表达式及相应x 的变化区间。
关于这种方法我们会在后面的练习或者能力拓展中用到。
二 能力拓展例1设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有(A)F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数。
(B)F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数。
(C) F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数。
(D)F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数。
[A]解法一：任一原函数可表示为⎰+=xC dt t f x F 0)()(，且).()(x f x F ='当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-⋅-'，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-， 可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则⎰xdt t f 0)(为偶函数，从而⎰+=xC dt t f x F 0)()(为偶函数，可见选(A)。
解法二：令f(x)=1，则取F(x)=x+1，排除(B)、(C)； 令f(x)=x ， 则取F(x)=221x ， 排除(D)；故应选(A)。
例2设1,1()0,1x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则{[()]}f f f x 等于 。
(A) 0 (B)1 (C) 1,10,1x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩ (D) 0,11,1x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩解：由[()]f f x ＝1得，{[()]}f f f x ＝1，故应选(B)★函数理论框架图第2节 极限与连续性★基本内容学习一 基本概念1极限的概念定义2.1 lim 0,n n x a ε→∞=⇔∀>∃一个正整数()N ε,当()n N ε>时，恒有 n x a ε-<。