【教育专用】2019春九年级数学下册第三章圆本章中考演练课时作业

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北师大数学九年级下《第三章圆》复习与训练含答案解析(2)

圆知识点与练习（1）圆是到定点的距离定长的点的集合；圆的内部可以看作是到圆心的距离半径的点的集合；圆的外部可以看作是到圆心的距离半径的点的集合（2）点和圆的位置关系：若⊙O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，那么：点P 在圆 d r 点P 在圆 d r 点P 在圆 d r例1：如图已知矩形ABCD 的边AB=3厘米，AD=4厘米，以点A 为圆心，4厘米为半径作圆A ，则点B 、C 、D 与圆A 的位置关系分别为点B 在圆A ，点C 在圆A ，点D 在圆A ，（3）定理：的三个点确定一个圆（4）垂径定理：垂直于弦的直径这条弦并且平分弦所对的推论1 ①平分弦(不是直径)的直径，并且（注：运用垂径定理进行证明几何问题时，常需做出的辅助线的方法是）推论2 圆的两条平行弦所夹的弧例2：如图，将半径为2厘米的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为例3：在的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB=800mm ，油的最大深度为200mm ，则油槽截面的直径为。

（例2图）（例3图）（5）圆是轴对称图形，其对称轴是；圆也是中心对称图形，对称中心是（6）定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦，所对的弦的弦心距推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都例4：如图，AB 、AC 、BC 都是⊙O 的弦，∠AOC=∠BOC,则∠ABC 与∠BAC 相等吗？为什么？（7）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的推论1 同弧或等弧所对的圆周角 ;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是 ;90°的圆周角所对的弦是（注：当问题中有直径时，常需做出的辅助线是）例5：如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，点A 与点D 在点B 、C 所在直线的同侧，∠BAC=350 ∠BOC =_______°、∠BDC =_______°⇔⇔⇔例6：如图，AB是⊙O的直径，若AB=AE①BD 和 CD相等吗？为什么？② BD与 CD的大小有什么关系？为什么？（8）圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角例7：⊙O中，弦长等于半径的弦，所对的圆周角的度数为（9）直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，直线L和⊙O相交⇔d r ；直线L和⊙O相切⇔d r ；直线L和⊙O相离⇔d r 例8：在△ABC中，AB＝5cm,BC=4cm,AC=3cm,①若以C为圆心，2cm长为半径画⊙C，则直线AB与⊙C的位置关系；②若直线AB与半径为r的⊙C相切，则r的值为。

2019-2020年北师大版九年级数学下册：第3章《圆》单元试题及答案

第三章圆一、选择题1．如图3－198所示，弦AB的长为6 cm，圆心O到AB的距离为4 cm，则⊙O的半径为( )A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm2．如图3－199所示，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ等于 ( )A．60° B．65° C．72° D．75°3．(2014年广西南宁，第6题3分）在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）A． 40cm B． 60cm C． 80cm D． 100cm4．如图3－201所示，AB，AC是⊙O的两条切线，B，C是切点．若∠A＝70°，则∠BOC的度数为A．130° B．120° C．110° D．100°5．如图3－202所示，CD是⊙O的直径，A，B是⊙O上的两点．若∠ABD＝20°，则∠ADC 的度数为 ( )A．40°B．50° C．60°D．70°6．如图3－203所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2 cm，CD＝4 cm，以BC 上一点O为圆心的圆经过A，D两点，且∠AOD＝90°，则圆心O到弦AD的距离是 ( ) A．6cm B．10cm C．23cm D．25cm7．如图3－204所示，∠AOB是⊙O的圆心角，∠AOB＝80°，则弧AB所对圆周角∠ACB 的度数是 ( )A．40° B．45°C．50° D．80°8．如图3－205所示，已知⊙O的半径为5 cm，弦AB的长为8 cm，P是AB延长线上一点，BP＝2 cm，则tan∠OPA等于 ( )A．32B．23C．2 D．129．如图3－206所示，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，若∠BOC＝80°，则∠A等于( )A．60° B．50°C．40° D．30°10．(2014年贵州安顺，第10题3分)如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）A．B． 1 C． 2 D．2二、填空题11．在圆O中，弦AB的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半径OA＝．12．直角三角形的斜边长是6，以斜边的中点为圆心，斜边上的中线为半径的圆的面积是．13．（2014•广西来宾，第18题3分）如图，点A、B、C均在⊙O上，∠C=50°，则∠OAB= 度．．14．如图3－207所示，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB．若∠ABD＝65°，则∠ADC ＝．15．如图3－208所示，在⊙O中，直径MN＝10，正方形AB CD的四个顶点分别在PM以及⊙O的半径OM，OP上，并且∠POM＝45°，则AB的长为．16．如图3－209所示，⊙A，⊙B的圆心A，B在直线l上，两圆的半径都为1 cm，开始时圆心距AB＝4 cm．现⊙A，⊙B同时沿直线l以每秒2 cm的速度相向移动，则当两圆相切时，⊙A运动的时间为秒．17．（2014•黔南州，第19题5分）如图，直径为10的⊙A经过点C（0，6）和点O（0，0），与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为．18．如图3－210所示，点A，B是⊙O上两点，AB＝10，点P是⊙O上的动点(P与A，B 不重合)，连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF＝．19．如图3－211所示，把半径为4 cm的半圆围成一个圆锥的侧面，使半圆圆心为圆锥的顶点，那么这个圆锥的高是 cm．(结果保留根号)20．(2014•陕西,第17题3分)如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是．三、解答题21．如图3－213所示，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F．若CF⊥AD，AB＝2，求CD的长．22．（（2014•黔南州，第24题10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD 上一点，且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．（1）求证：△ADF∽△AED；（2）求FG的长；（3）求证：tan∠E=．23．如图3－215所示，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sin B＝12，∠D＝30°．(1)求证AD是⊙O的切线；(2)若AC＝6，求AD的长．24．如图3－216所示，AB是⊙O的直径，弦BC＝5，∠BOC＝50°，OE⊥AC，垂足为E．(1)求OE的长；(2)求劣弧AC的长．(结果精确到0．1)25．（2014•湖北黄石,第19题7分）如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是AB弧的中点．（1）求证：AB平分∠OAC；（2）延长OA至P使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长．26．如图3－218(1)所示，圆内接△ABC中，AB＝BC＝CA，OD，OE为⊙O的半径，OD⊥BC 于点F，OE⊥AC于点G．(1)求证阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC面积的13；(2)如图3－218(2)所示，若∠DOE保持120°角度不变，求证当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形(图中阴影部分)面积始终是△ABC的面积的13．参考答案1．C 2．D 3．A 4．C 5．D 6．B 7．A 8．D 9．C 10．AB 11．5 12．9π 13．4014．25° 15．516．12或3217．18．5 19．2320．4．21．解：如图3－219所示，在△AOF和△COE中．∠AFO＝∠CEO＝90°，∠AOF＝∠COE，∴∠A＝∠C．连接OD，则∠A＝∠ODA，∠C＝∠ODC，∴∠A＝∠ODA＝∠ODC．∵∠A＋∠ODA＋∠ODC＝90°，∴∠ODC＝30°，∴DE＝ODcos 30°＝32．CD＝2DE＝3．22．解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴DG=CG，∴弧AD=弧AC，∠ADF=∠AED，∵∠FAD=∠DAE（公共角），∴△ADF∽△AED；②∵=，CF=2，∴FD=6，∴CD=DF+CF=8，∴CG=DG=4，∴FG=CG﹣CF=2；③∵AF=3，FG=2，③∵AF=3，FG=2，∴AG=，tan∠E=．23．(1)证明：如图3－221所示，连接OA．∵sin B＝12，∴∠B＝30°，∴∠AOC＝60°．∵∠D＝30°，∴∠OAD＝180°－∠D－∠AOD＝90°．∴AD是⊙O的切线．(2)解：∵OA＝OC，∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形．∴OA＝AC＝6．∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，∴AD＝363AO=．24．解：(1)∵OE⊥AC．垂足为E．∴AE＝EC．∵AO＝BO，∴OE＝12BC＝52．(2)∠A＝12∠BOC＝25°，在Rt△AOE中，∵sin A＝OEOA，∴OA＝2.5sin25o．∵∠AOC＝180°－50°＝130°，∴劣弧AC的长＝130 2.5180sin25π⨯o≈13．4．25．解答：（1）证明：连接OC，∵∠AOB=120°，C是AB弧的中点，∴∠AOC=∠BOC=60°，∵OA=OC，∴△ACO是等边三角形，∴OA=AC，同理OB=BC，∴OA=AC=BC=OB，∴四边形AOBC是菱形，∴AB平分∠OAC；（2）解：连接OC，∵C为弧AB中点，∠AOB=120°，∴∠AOC=60°，∵OA=OC，∴OAC是等边三角形，∵OA=AC，∴AP=AC，∴∠APC=30°，∴△OPC是直角三角形，∴．26．(1)证明：连接OA，OC，∵点O是等边三角形ABC的外心，Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA，S四边形OFCG ＝2S△OFC＝S△OAC．∵S△OAC＝13S△ABC，∴S四边形OFCG＝13S△ABC． (2)证法1：如图3－223(1)所示，连接OA，OB和OC，则△AOC≌△COB≌△BOA，∠1＝∠2．不妨设OD交BC于点F，OE交AC于点G，∠AOC＝∠3＋∠4＝120°，∠DOE＝∠5＋∠4＝120°，∴∠3＝∠5．在△OAG和△OCF中，21,,35,OA OC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△OAG≌△OCF，∴S四边形OFCG＝S△AOC＝13S△ABC．证法2：如图3－223(2)所示，不妨设OD交BC于点F，OE交AC于点G，作DH⊥BC，OK⊥AC，垂足分别为点H，K．在四边形HOKC中，∠OHC＝∠OKC＝90°，∠C＝60°，∴∠HOK＝360°－90°－90°－60°＝120°，即∠1＋∠2＝120°．又∵∠GOF＝∠2＋∠3＝120°∴∠1＝∠3．∵AC＝BC，∴OH＝OK．又∠OHF＝∠OKG＝90°．∴△OFH≌△OGK，∴S四边形OFCG＝S四边形OHCK＝13S△ABC．。

2019春九年级数学下册第三章圆3.1圆课时作业新版北师大版20190313362

第三章圆3.1圆知识要点基础练知识点1圆中有关的概念1.下列说法正确的有(C)①半径相等的两个圆是等圆;②半径相等的两个半圆的弧是等弧;③能够互相重合的弧是等弧; ④分别在两个等圆上的两条弧是等弧.A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图,点A,B,P在☉O上,则图中弦的条数为(C)A.1B.2C.3D.43.已知☉O中最长的弦为16 cm,则☉O的半径为8cm.知识点2点与圆的位置关系4.☉O的半径为5,圆心O的坐标为(0,0),点P的坐标为(4,2),则点P与☉O的位置关系是(A)A.点P在☉O内B.点P在☉O上C.点P在☉O外D.点P在☉O上或☉O外【变式拓展】在数轴上,点A所表示的实数为3,点B所表示的实数为a,☉A的半径为2.下列说法中不正确的是(A)A.当a<5时,点B在☉A内B.当1<a<5时,点B在☉A内C.当a<1时,点B在☉A外1D.当a>5时,点B在☉A外5.在直角坐标系中,以点O(0,0)为圆心,以10为半径画圆,则点(-6,8)的位置在(B)A.☉O内B.☉O上C.☉O外D.不能确定6.如图,已知矩形ABCD中AC交BD于点O.求证:A,B,C,D4个点在以O为圆心,OA为半径的圆上.证明:∵四边形ABCD是矩形,O是对角线的交点,∴OA=OC=OB=OD,∴A,B,C,D4个点在以O为圆心,OA为半径的圆上.7.如图,△ABC1,△ABC2,△ABC3,…,△ABC n是n个以AB为斜边的直角三角形,试判断点C1,C2,C3,…,C n是否在同一个圆上?并说明理由.解:点C1,C2,C3,…,C n在以AB为直径的圆上.理由:取AB的中点D,分别连接C1D,C2D,C3D,…,C n D,则C1D,C2D,C3D,…,C n D分别表示对应的直角三角形斜边上的中线.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可知1C1D=C2D=C3D=…=C n D=AB,所以点C1,C2,C3,…,C n都在以AB为直径的圆上.2综合能力提升练8.圆的半径增加了一倍,那么圆的面积增加了(C)A.一倍B.二倍C.三倍D.四倍9.P为☉O内与点O不重合的一点,则下列说法正确的是(B)2A.点P到点O的距离都不小于☉O的半径B.☉O上有两点到点P的距离之和等于☉O的直径C.☉O上有两点到点P的距离之和最小D.☉O上有两点到点P的距离之和最大10.由所有到已知点O的距离大于或等于3,并且小于或等于5的点组成的图形的面积为(C)A.4πB.9πC.16πD.25π11.若☉O所在平面内一点P到☉O上的点的最大距离为a,最小距离为b(a>b),则此圆的半径为(C)a +b a - bA. B.2 2a +b a - bC. D.a+b或a-b或2212.(枣庄中考)如图,在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点),如果以A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内,则r的取值范围为(B)A.2 2<r< 17B. 17<r≤3 2C. 17<r<5D.5<r< 2913.如图,矩形ABCD的边AB=3,AD=4,若以点A为圆心画☉A.(1)使点B在☉A内,点D在☉A外,则☉A的半径r的取值范围是3<r<4.3(2)使点B,C,D中至少有一点在☉A内,且至少有一点在☉A外,则☉A的半径r的取值范围是3<r<5.14.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=40°,以C为圆心,CB为半径的圆交AB于点D,求∠ACD的度数.解:∵∠ACB=90°,∠A=40°,∴∠B=50°.又∵CD=CB,∴∠CDB=∠B=50°,∴∠ACD=∠CDB-∠A=50°-40°=10°.15.如图,在△ABC中,D是∠BAC的平分线上一点,BD⊥AD于点D,过点D作DE∥AC交AB于点E. 求证:点E是过A,B,D三点的圆的圆心.证明:∵点D在∠BAC的平分线上,∴∠BAD=∠CAD.又∵DE∥AC,∴∠ADE=∠CAD,∴∠BAD=∠ADE,∴AE=DE.又∵BD⊥AD于点D,∴AE=BE=DE.∵过A,B,D三点确定一个圆,且∠ADB=90°,∴AB是点A,B,D所在圆的直径,∴点E是过A,B,D三点的圆的圆心.拓展探究突破练16.如图,等边△ABC的边长为2,E是边BC上的动点,EF∥AC交边AB于点F,在边AC上取一点P,使PE=EB,连接FP.4(1)请直接回答:①写出图中与线段EF相等的线段;(不再另外添加辅助线)②当点E在什么位置时,四边形EFPC是平行四边形?并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形.(2)在(1)的条件下,以点E为圆心,r为半径作圆,根据☉E与平行四边形EFPC四条边交点的总个数,求相应的r的取值范围.解:(1)①EF=BE=PE=BF.②当E是BC的中点时,四边形EFPC是平行四边形;四边形EFPC是菱形.(2)如图,过点E作EN⊥AC于点N.3当E是BC的中点时,EC=1,则NE=EC cos 30°=,23当0<r<时,有两个交点;23当r=时,有四个交点;23当<r<1时,有六个交点;2当r=1时,有三个交点;当r>1时,没有交点.5。

2019-2020学年北师大版九年级数学下册：第3章《圆》单元试题及答案

2019春九年级数学下册第三章圆章末小结与提升课时作业新版北师大版20190313350

圆章末小结与提升弦与直径相关概念{弧、半圆、优弧、劣弧等圆与等弧垂径定理及推论(轴对称性)基本性质{弧、弦、圆心角之间的关系圆周角定理及推论圆{圆内接四边形的性质点在圆外点在圆上点在圆内点与圆的位置关系{与圆有关的位置关系{相离直线和圆的位置关系{相切(切线的性质与判定)相交相关概念正多边形和圆{正多边形的计算正多边形的画法n πR弧长和扇形面积{弧长公式:l =180 n2扇形面积公式:S 扇形 = 360πR类型1垂径定理及其推论典例1如图,在△ABC中,已知∠ACB=130°,∠BAC=20°,BC=2,以点C为圆心,CB为半径的圆交AB于点D,则BD的长为.【解析】作CE⊥AB于点E,∠B=180°-∠BAC-∠ACB=180°-20°-130°=30°,在Rt△BCE中,∵3∠CEB=90°,∠B=30°,BC=2,∴BE= BC= 3,∵CE⊥BD,∴DE=BE,∴BD=2BE=2 3.21【答案】2 3【针对训练】1.如图,设☉O的半径为r,弦的长为a,弦与圆心的距离为d,弦的中点到所对劣弧中点的距离为h,则下列结论:①r=d+h;②4r2=4d2+a2;③已知r,a,d,h中任意两个,可求其他两个.其中正确结论的序号是(C)A.①B.②③C.①②③D.①③2.(南通中考)已知∠AOB,作图.步骤1:在OB上任取一点M,以M为圆心,MO长为半径画半圆,分别交OA,OB于点P,Q;步骤2:过点M作PQ的垂线交PQ于点C;步骤3:画射线OC.则下列判断:①PC = CQ;②MC∥OA;③OP=PQ;④OC平分∠AOB.其中正确的个数为(C) A.1 B.2 C.3 D.43.如图,破残的圆形轮片上,弦AB的垂直平分线交弧AB于点C,交弦AB于点D.已知AB=24 cm,CD=8 cm,求圆的半径.解:∵弦AB的垂直平分线交弧AB于点C,交弦AB于点D,2∴圆心在直线CD上.如图,设圆形轮片圆心为O,连接OA,设圆的半径为R,1由垂径定理知AD=AB=12.2在Rt△OAD中,OA2=OD2+AD2,∴R2=122+(R-8)2,解得R=13.∴圆的半径为13 cm.类型2圆心角定理、圆周角定理及其推论典例2如图,点A,B,C是☉O上的三点,且四边形ABCO是平行四边形,OF⊥OC交☉O于点F,则∠BAF等于() A.12.5° B.15°C.20°D.22.5°【解析】连接OB,∵四边形ABCO是平行四边形,∴OCAB,又OA=OB=OC,∴OA=OB=AB,∴△AOB1为等边三角形.∵OF⊥OC,OC∥AB,∴OF⊥AB,∴∠BOF=∠AOF=30°,由圆周角定理得∠BAF=∠2 BOF=15°.【答案】B【针对训练】31.(贺州中考)如图,在☉O中,AB是☉O的直径,AB=10,AC = CD = DB,点E是点D关于AB的对1称点,M是AB上的一动点,下列结论:①∠BOE=60°;②∠CED= ∠DOB;③DM⊥CE;④CM+DM的最小2值是10.其中正确的个数是(C)A.1B.2C.3D.42.(永州中考)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,点D是AC的中点,点E是BC上的一点.若∠CED=40°,则∠ADC=100°.类型3切线的性质与判定典例3如图,△ABC内接于☉O,AC为☉O的直径,PB是☉O的切线,B为切点,OP⊥BC,垂足为E,交☉O于点D,连接BD.(1)求证:BD平分∠PBC;(2)若☉O的半径为1,PD=3DE,求OE及AB的长.【解析】(1)连接OB.∵PB是☉O的切线,∴OB⊥PB,∴∠PBO=90°,∴∠PBD+∠OBD=90°,4∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB,∵OP⊥BC,∴∠BED=90°,∴∠DBE+∠BDE=90°,∴∠PBD=∠EBD,∴BD平分∠PBC.(2)作DK⊥PB于点K.12BE·EDS △BDE DE∵= ,S △BDP =1PD2PB·DK又∵BD平分∠PBE,DE⊥BE,DK⊥PB,BE DE 1∴DK=DE,∴PB = PD = .3∵∠OBE+∠PBE=90°,∠PBE+∠P=90°,∴∠OBE=∠P.∵∠OEB=∠BEP=90°,∴△BEO∽△PEB,BO OE OE BE 1∴,∴.= BO = PB =PBBE 31∵BO=1,∴OE=.3∵OE⊥BC,∴BE=EC.2∵AO=OC,∴AB=2OE=.3【针对训练】1.如图,已知△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,作∠ABC的角平分线交AC于点D,以D为圆心,DA为半径作圆,与射线交于点E,F.有下列结论:①△ABC是直角三角形;②☉D与直线BC相切;③点E是线段BF的黄金分割点;④tan ∠CDF=2.其中正确的结论有(A)5A.4个B.3个C.2个D.1个2.(天水中考)如图,点D为☉O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.(1)判断直线CD和☉O的位置关系,并说明理由;(2)过点B作☉O的切线BE交直线CD于点E,若AC=2,☉O的半径是3,求BE的长.解:(1)直线CD和☉O的位置关系是相切.理由:连接OD.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠DAB+∠DBA=90°.∵∠CDA=∠CBD,∴∠DAB+∠CDA=90°.∵OD=OA,∴∠DAB=∠ADO,∴∠CDA+∠ADO=90°,即OD⊥CE.∴直线CD是☉O的切线,即直线CD和☉O的位置关系是相切.(2)∵AC=2,☉O的半径是3,∴OC=2+3=5,OD=3.∴CD=4.∵CE切☉O于点D,EB切☉O于点B,∴DE=EB,∠CBE=90°.设DE=EB=x,在Rt△CBE中,由勾股定理,得CE2=BE2+BC2,则(4+x)2=x2+(5+3)2.解得x=6,即BE=6.类型4正多边形与圆的有关计算EF1.如图,正方形ABCD和正△AEF都内接于☉O,EF与BC,CD分别相交于点G,H,则的值是(C)GH66A. B. 2 C. 3 D.222.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为(A)A.3∶2∶1B.4∶3∶2C.4∶2∶1D.6∶4∶33.等腰直角三角形的外接圆的半径为(B)2A.腰长B.腰长的倍22C.底边长的倍D.腰上的高2类型5弧长与扇形面积的相关计算1.如图,在△ABC中,AB=AC.分别以B,C为圆心,BC长为半径在BC下方画弧,设两弧交于点D,与AB,AC的延长线分别交于点E,F,连接AD,BD,CD.若BC=6,∠BAC=50°,则DE,DF的长度之和为11 3π.2.(德州中考)如图,AB是☉O的直径,直线CD与☉O相切于点C,且与AB的延长线交于点E,C是BF的中点.(1)求证:AD⊥CD;7(2)若∠CAD=30°,☉O的半径为3,一只蚂蚁从点B出发,沿着BE-EC-CB爬回至点B,求蚂蚁爬过的路程.(π≈3.14, 3≈1.73,结果保留一位小数)解:(1)连接OC.∵直线CD与☉O相切,∴OC⊥CD,∵点C是BF的中点,∴∠DAC=∠EAC,∵OA=OC,∴∠OCA=∠EAC,∴∠DAC=∠OCA,∴OC∥AD,∴AD⊥CD.(2)∵∠CAD=30°,∴∠CAE=∠CAD=30°,由圆周角定理,得∠COE=60°,60°×π× 3∴OE=2OC=6,BE=6-3=3,BC的长为==π.180°在Rt△OCE中,EC=OE2 - OC2 = 62 - 32=3 3,∴蚂蚁爬过的路程=3+3 3+π≈11.3.8。

北师大版九年级数学下册第三章《圆》专题测试含答案解析 (4)

一、选择题1.如图，一张扇形纸片OAB，∠AOB=120∘，OA=6，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O重合，折痕为CD，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为( )A．9√3B．12π−9√3C．92√3D．6π−92√32.等边三角形ABC的边长为√3，以顶点A为圆心，1.5为半径所作的圆与BC所在直线的位置关系是( )A．相切B．相离C．相交D．不能确定3.如图1，一个扇形纸片的圆心角为90∘，半径为4．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为( )A．4π3−2√3B．8π3−4√3C．8π3−2√3D．8π3−44.如图，在圆O中，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB和∠COD互补，且AB=2，CD=4，则圆O的半径是( )A．√3B．2C．√5D．45.如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO=BO．以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D．则下列结论中错误的是( )A．DC=DT B．AD=√2DT C．BD=BO D．2OC=5AC6.已知圆的半径是2√3，则该圆的内接正六边形的面积是A．3√3B．9√3C．18√3D．36√37.如图，AB是⊙O的直径，AB=4，C为AB⏜的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为( )A．2B．√7C．2√3D．√3+18.如图，在Rt△AOB中，∠ABO=90∘，∠AOB=30∘，AB=1，扇形AOC的圆心角为60∘，点D为AC⏜上一动点，P为BD的中点，当点D从点A运动至点C，则点P的运动路径长为( )A．1B．π6C．π3D．2π39.如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细)，则所得扇形DAB的面积为( )A．6B．7C．8D．910.一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么点B从开始至结束所走过的路径长度为( )A．3π2B．4π3C．4D．2+3π2二、填空题11.已知正三角形ABC外接圆的半径为2，那么正三角形ABC的面积为．12.如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y=3上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为．13.如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉弓的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=30cm，∠B1D1C1=120∘．（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为cm．（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为cm．14.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=110∘，则∠ABD=∘．15.在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，若圆A的半径长为5，圆C的半径长为R，且圆A与圆C内切，则R的值等于．16.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60∘，菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60∘叫一次操作，则经过2019次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为（结果保留π）．17.已知⊙O半径为2，等边△ABC内接于⊙O，则劣弧AB的长为．三、解答题18.⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC=13，BC=24，求⊙O的半径．19.如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD．连接AC交圆O于点F，连接AE，DE，DF．(1) 证明：∠E=∠C；(2) 若∠E=55∘，求∠BDF的度数；，E是弧AB的中点，求EG⋅ED的值．(3) 设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=2320.小明家的房前有一块空地，在点A，B，C的位置上种了三棵树（如图）．小明想建一个圆形花坛，使这三棵树都在花坛的边上．(1) 请你帮小明把花坛的位置画出来（用直尺和图规作图，不写作法，保留作图痕迹）．(2) 若△ABC的边AB=8m，AC=6m，∠BAC=90∘，试求小明家圆形花坛的面积．21.在平面直角坐标系xOy中，将点A(2,4)向下平移2个单位得到点C，反比例函数y=m(m≠0)的图象经过点C，过点C作CB⊥x轴于点B．x(1) 求m的值；(2) 一次函数y=kx+b(k<0)的图象经过点C，交x轴于点D，线段CD，BD，BC围成的区域（不含边界）为G；若横、纵坐标都是整数的点叫做整点．① b=3时，直接写出区域G内的整点个数．②若区域G内没有整点，结合函数图象，确定k的取值范围．22.【数学概念】若点P在△ABC的内部，且∠APB，∠BPC和∠CPA中有两个角相等，则称P是△ABC的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称P是△ABC的“强等角点”．(1) 【理解概念】若点P是△ABC的等角点，且∠APB=100∘，则∠BPC的度数是．(2) 已知点D在△ABC的外部，且与点A在BC的异侧，并满足∠BDC+∠BAC<180∘．作△BCD的外接圆O，连接AD，交⊙O于点P．当△BCD的边满足下面的条件时，求证：P是△ABC的等角点．（要求：只选择其中一道题进行证明！）①如图①，DB=DC；②如图②，BC=BD．(3) 【深入思考】如图③，在△ABC中，∠A，∠B，∠C均小于120∘，用直尺和圆规作它的强等角点Q．（不写作法，保留作图痕迹）(4) 下列关于“等角点”、“强等角点”的说法：①直角三角形的内心是它的等角点；②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点；③正三角形的中心是它的强等角点；④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中，正确的有（填序号）．23.平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于图形G及图形G外一点P，若图形G上存在一点M，满足PM=2，且使点P绕点M顺时针旋转90∘后得到的对应点Pʹ在这个图形G 上，则称点P为图形G的“2旋转点”．已知点A(−1,0)，B(−1,2)，C(2,−2)，D(0,3)，E(2,2)，F(3,0)．(1) ①判断：点B线段AF的“2旋转点”（填“是”或“不是”）；②点C，D，E中，是线段AF的“2旋转点”的有；(2) 已知直线l:y=x+b，若直线l上存在线段AF的“2旋转点”，求b的取值范围；(3) ⊙T是以点T(t,0)为圆心，√2为半径的一个圆，已知在线段AD上存在这个圆的“2旋转点”，直接写出t的取值范围．24.已知：如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，点D是AM上一点，连接OD，作BE∥OD交⊙O于点E，连接DE并延长交BN于点C．(1) 求证：DC是⊙O的切线；(2) 若AD=1，BC=4，求直径AB的长．25.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC（顶点是网格线的交点）．(1) 先将△ABC竖直向上平移3个单位，再水平向右平移5个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；(2) 将△A1B1C1绕B1点顺时针旋转90∘，得△A2B1C2，请画出△A2B1C2；(3) 线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积为；(4) 经过A，C两点的函数解析式为．答案一、选择题1. 【答案】A【解析】由折叠可知，S弓形AD =S弓形OD，DA=DO，∵OA=OD，∴AD=OD=OA，∴△AOD为等边三角形，∴∠AOD=60∘，∠DOB=30∘，∵AD=OD=OA=6，∴CD=3√2，∴S弓形AD =S扇形ADO−S△ADO=60π⋅62360−12×6×3√3 =6π−9√3,∴S弓形OD=6π−9√3，阴影部分的面积=S扇形BDO −S弓形OD=60π⋅62360−(6π−9√3)=9√3.【知识点】扇形面积的计算、轴对称的性质、等边三角形的判定2. 【答案】A【知识点】通过r与d判断直线与圆的位置关系3. 【答案】C【解析】连接OD，在Rt△OCD中，OC=12OD=2，∴∠ODC=30∘，CD=√OD2−OC2=2√3，∴∠COD=60∘，∴阴影部分的面积=60π×42360−12×2×2√3=83π−2√3．【知识点】扇形面积的计算4. 【答案】C【解析】如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，则∠AOB+∠BOE=180∘，又∵∠AOB+∠COD=180∘，∴∠BOE=∠COD，∴BE=CD=4，∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE=90∘，∴AE=√AB2+BE2=√22+42=2√5，∴OA=√5．【知识点】弧、弦、圆心角的关系定理5. 【答案】D【解析】如图，连接OD．∵OT是半径，OT⊥AB，∴DT是⊙O的切线，∵DC是⊙O的切线，∴DC=DT，故选项A正确，∵OA=OB，∠AOB=90∘，∴∠A=∠B=45∘，∵DC是切线，∴CD⊥OC，∴∠ACD=90∘，∴∠A=∠ADC=45∘，∴AC=CD=DT，∴AC=√2CD=√2DT，故选项B正确，∵OD=OD，OC=OT，DC=DT，∴△DOC≌△DOT(SSS)，∴∠DOC=∠DOT，∵OA=OB，OT⊥AB，∠AOB=90∘，∴∠AOT=∠BOT=45∘，∴∠DOT=∠DOC=22.5∘，∴∠BOD=∠ODB=67.5∘，∴BO=BD，故选项C正确．【知识点】切线的判定、切线的性质6. 【答案】C【解析】由题意可知中心角为60∘，正六边形由六个边长为2√3的等边三角形构成，可求出每个等边三角形的面积为3√3．∴正六边形的面积为18√3．【知识点】正多边形与圆7. 【答案】D【解析】如图，连接OD，OC．∵AD=DP，∴OD⊥PA，∴∠ADO=90∘，∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，AC，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，⏜的三等分点，∵C为AB∴∠AOC=60∘，∴△AOC是等边三角形，∴CK⊥OA，在Rt△OCK中，∵∠COA=60∘，OC=2，OK=1，∴CK=√OC2−OK2=√3，OA=1，∵DK=12∴CD=√3+1，∴CD的最大值为√3+1．【知识点】垂径定理8. 【答案】C【解析】如图取OB的中点M，连接PM，OD．在Rt△ABC中，∵∠ABC=90∘，∠AOB=30∘，AB=1，∴OA=2AB=2，∵BP=PD，BM=MO，∴PM=12OD=1，∴点P在是以M为圆心1为半径的圆弧上运动．当点D与A重合时，∠PʹMB=∠AOB=30∘，当点D与C重合时，∠BMPʺ=∠BOC=90∘，∴∠PʹMPʺ=60∘，∴点P的运动路径长为60⋅π⋅1180=π3．【知识点】30度所对的直角边等于斜边的一半、弧长的计算、圆周角定理及其推理9. 【答案】D【解析】∵正方形的边长为3，∴弧BD的弧长为6,∴S扇形DAB ＝12lr=12×6×3=9．【知识点】弧长的计算10. 【答案】B【知识点】弧长的计算二、填空题11. 【答案】3√3【解析】如图所示：连接OA，OB，OC，过O作OD⊥BC于D，∵正三角形ABC外接圆的半径为2，∴OA=OB=OC=2，∠ABC=60∘，∴∠OBD=30∘，∵OD⊥BC，∴∠ODB=90∘，OD=12OB=12×2=1，∴BD=√3OD=√3，∴BC=2BD=2√3，∴S△ABC=12BC×AD=12BC×(AO+OD)=12×2√3×(2+1)=12×2√3×3=3√3.【知识点】三角形的外接圆与外心12. 【答案】2√2【知识点】切线的性质13. 【答案】30√3；10√5−10【解析】（1）如图2中，连接B1C1交DD1于H．∵D1A=D1B1=30，∴D1是B1AC1⏜ 的圆心，∵AD1⊥B1C1，∴B1H=C1H=30×sin60∘=15√3，∴B1C1=30√3，∴弓臂两端B1，C1的距离为30√3．（2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．设半圆的半径为r，则πr=120⋅π⋅30180，∴r=20，∴AG=GB2=20，GD1=30−20=10，在Rt△GB2D2中，GD2=√302−202=10√5，∴D1D2=10√5−10．【知识点】弧长的计算、勾股定理的实际应用、垂径定理的应用14. 【答案】55【解析】∵∠A+∠C=180∘，∴∠A=180∘−110∘=70∘，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，(180∘−70∘)=55∘．∴∠ABD=12【知识点】圆内接四边形的性质15. 【答案】5−2√5或5+2√5【解析】∵在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，∴AC=√22+42=2√5．当点C在⊙A内时，∵圆A与圆C内切，∴5−R=2√5，即R=5−2√5；当点A在⊙C内时，∵圆A与圆C内切，∴R−5=2√5，即R=5+2√5；综上所述，R的值为5−2√5或5+2√5．【知识点】圆与圆的位置关系π16. 【答案】1346√3+6733【解析】∵菱形ABCD中，AB=2，∠C=60∘，∴△ABD是等边三角形，BO=DO=1，AO=√AD2−DO2=√3，第一次旋转的弧长=60π×√3180=√33π，∴第一、二次旋转的弧长和=60π×√3180+60π×√3180=2√33π，第三次旋转的弧长为：60π×1180=13π，∴3n÷3=n，故经过3n（n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为：n×(2√33π+13π)=2√3+13nπ，∴2019÷3=673，∴经过2019次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长=673×(2√3+1)3π=1346√3+6733π，故答案为：1346√3+6733π．【知识点】弧长的计算17. 【答案】4π3【知识点】弧长的计算、圆周角定理及其推理、等边三角形的性质三、解答题18. 【答案】连接OA交BC于点D，连接OC，由AB=AC=13，得AO⊥BC且CD=12BC=12．在Rt△ACD中，AC=13，CD=12，所以AD=√132−122=5．设⊙O的半径为r，则在Rt△OCD中，OD=r−5，CD=12，OC=r，所以(r−5)2+122=r2，解得r=16.9．【知识点】垂径定理19. 【答案】(1) 连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90∘，即AD⊥BC．∵CD=BD，∴AD垂直平分BC．∴AB=AC．∴∠B=∠C．又∠B=∠E．∴∠E=∠C．(2) ∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD=180∘−∠E，又∠CFD=180∘−∠AFD，∴∠CFD=∠E=55∘．又∠E=∠C=55∘，∴∠BDF=∠C+∠CFD=110∘．(3) 连接OE．∵∠CFD=∠E=∠C，∴FD=CD=BD=4．在Rt△ABD中，cosB=23，BD=4，∴AB=6．∵E是AB⏜的中点，AB是⊙O的直径，∴∠AOE=90∘，∵AO=OE=3，∴AE=3√2．∵E是AB⏜的中点，∴∠ADE=∠EAB．∴△AEG∽△DEA．∴AEEG =DEAE，即EG⋅ED=AE2=18．【知识点】等腰三角形的判定、圆周角定理及其推理、圆内接四边形的性质、两边成比例且夹角相等20. 【答案】(1) 略(2) 25πm2【知识点】作线段的垂直平分线、垂径定理21. 【答案】(1) 将点 A (2,4) 向下平移 2 个单位得到点 C ，则 C (2,2)，将 C (2,2) 代入 y =mx ，得 m =xy =4． (2) ① 1 个． ②由图 1 可知，当直线 CD 过点 (3,1) 时，区域 G 内恰好没有整点，代入 C (2,2) 和 (3,1) 得：{2k +b =2,3k +b =1, 解得：{k =−1,b =4,∴ 若区域 G 内没有整点，k 的取值范围为：k ≤−1．【解析】(2) ①当 b =3 时，一次函数 y =kx +b 过点 (0,3)，如图 1 所示，由图象可得，区域 G 内的整点为 (3,1)，只有一个．【知识点】反比例函数的解析式、一次函数与一元一次方程的关系、一次函数的解析式22. 【答案】(1) 100∘ 或 160∘ 或 130∘(2) 选择①：如答图 2，连接 PB ，PC ． ∵DB =DC ，∴DB⏜=DC ⏜． ∴∠BPD =∠CPD ．∵∠APB +∠BPD =180∘，∠APC +∠CPD =180∘， ∴∠APB =∠APC ． ∴P 是 △ABC 的等角点．(3) 如答图 4，在 △BCD 中，BD =BC =CD ，点 Q 即为所求．(4) ③⑤ 【解析】(1) 如答图 1，点 P 在 △ABC 的内部，根据题意知，① ∠APB =∠BPC =100∘；②当 ∠APB =∠CPA =100∘ 时，∠BPC =360∘−100∘−100∘=160∘； ③当 ∠APB =100∘，∠BPC =∠CPA 时，∠BPC =∠CPA =360∘−100∘2=130∘．综上所述，∠BPC 的度数是 100∘ 或 160∘ 或 130∘．(2) 选择②：如答图 3，连接 PB ，PC ． ∵BC =BD ， ∴BC⏜=BD ⏜． ∴∠BDC =∠BPD ．∵ 四边形 PBDC 是 ⊙O 的内接四边形， ∴∠BDC +∠BPC =180∘． ∵∠BPD +∠APB =180∘， ∴∠BPC =∠APB ． ∴P 是 △ABC 的等角点．(4) 理由如下：①等腰直角三角形的内心是它的等角点，故不符合题意； ②等腰三角形内心是它的等角点，故不符合题意； ③正三角形的中心是它的强等角点，故符合题意；④若一个三角形存在强等角点，则该三角形是正三角形，则该强等角点是正三角形的内心，该点到三角形三边的距离相等；⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点．对于⑤的说明：由（3）可知，当 △ABC 的三个内角都小于 120∘ 时，△ABC 必存在强等角点 Q ．如答图 5，在三个内角都小于 120∘ 的 △ABC 内任取一点 Qʹ，连接 QʹA ，QʹB ，QʹC ，将 △QʹAC 绕点 A 逆时针旋转 60∘ 到 △MAD ，连接 QʹM ． ∵ 由旋转得 QʹA =MA ，QʹC =MD ，∠QʹAM =60∘， ∴△AQʹM 是等边三角形． ∴QʹM =QʹA ．∴QʹA +QʹB +QʹC =QʹM +QʹB +MD ． ∵B ，D 是定点，∴ 当 B ，Qʹ，M ，D 四点共线时，QʹM +QʹB +MD 最小，即 QʹA +QʹB +QʹC 最小．而当 Qʹ 为 △ABC 的强等角点时，∠AQʹB =∠BQʹC =∠CQʹA =120∘=∠AMD ．此时便能保证 B ，Qʹ，M ，D 四点共线，进而使 QʹA +QʹB +QʹC 最小．【知识点】三角形的外接圆与外心、周角、圆内接四边形的性质、等边三角形的概念、三角形的内切圆，内心、弧、弦、圆心角的关系定理、角的计算23. 【答案】(1) 是；C(2) 如图3，过B作直线l:y=x+b，把B(−1,2)代入得：2=−1+b，b=3，在x轴上，F左边取一点H，使FH=2，过H作HK⊥x轴，使KH=2，过K作KL∥l，交y轴于L，∴K(1,2)，设直线KL的解析式为：y=x+b1，把K(1,2)代入得：2=1+b1，b1=1，∴若线段l上存在线段AF的“2旋转点”，则b的取值范围是：1≤b≤3；同理，线段AF的“2旋转点”，位于两条线段上的端点坐标分别为(1,−2)和(3,−2)时，可得b的取值范围是：−5≤b≤−3；故B的取值范围为：−5≤b≤−3和1≤b≤3．．(3) −1−√10≤t≤√73【解析】(1) ①如图1，连接AB，∵A(−1,0)，B(−1,2)，∴AB⊥x轴，∴∠BAF=90∘，满足点B绕点A顺时针旋转90∘后得到对应点Bʹ，且Bʹ在线段AF上，则称点B为线段AF的“2旋转点”；故答案为：是；②如图2，连接EC交x轴于点M，∵C(2,−2)，E(2,2)，∴CE⊥x轴，由题意得：点D(0,3)到线段AF的最短距离为3>2，则称点D不是线段AF的“2旋转点”，同理得：点C(2,−2)且M(2,0)绕点M顺时针旋转90∘后得到对应点O，且O在线段AF 上，则称点C为线段AF的“2旋转点”，点E(2,2)绕点M顺时针旋转90∘后得到对应点Eʹ，但Eʹ不在线段AF上，所以点E不是线段AF的“2旋转点”；故答案为：C．(3) 理由：⊙T的“2旋转点”，位于半径为√10的同心圆上，如图，当点T位于点A右侧，且“2旋转点”所在圆与AD相切时，切点为M，cos∠DAO=DODA =MTAT=√10，∴√10AT =√10，∴AT=103，∴t=73，当点T位于点A左侧，且“2旋转点”所在圆经过点A时，t=−1−√10，∴−1−√10≤t≤73．【知识点】切线的性质、基本定理、一次函数与一次不等式的关系、余弦、坐标平面内图形的旋转变换、一次函数的解析式、平面直角坐标系及点的坐标24. 【答案】(1) 如图，连接OE．在⊙O中，∵OE=OB，∴∠OBE=∠OEB．∵OD∥BE，∴∠AOD=∠OBE=∠OEB=∠EOD．∵OA=OE，OD=OD∴△AOD≌△EOD．21 ∴∠OAD =∠OED ．∵AM 是 ⊙O 的切线，切点为 A ，∴BA ⊥AM ，∴∠OAD =∠OED =90∘，∴OE ⊥DE ．∵OE 是 ⊙O 的半径．DC 是 ⊙O 的切线．(2) 如图，过点 D 作 BC 的垂线，垂足为 H ．∵BN 切 ⊙O 于点 B ，∴∠ABC =90∘=∠BAD =∠BHD ．∴ 四边形 ABHD 是矩形，∴AD =BH =1，AB =DH ．∴CH =BC −BH =4−1=3．∵AD ，CB ，CD 分别切 ⊙O 于点 A ，B ，E ，∴AD =ED =1，BC =CE =4．∴DC =DE +CE =1+4=5，在 Rt △DHC 中，DC 2=DH 2+CH 2，∴AB =DH =√52−32=4．【知识点】直线与圆的位置关系、矩形、勾股定理、全等三角形的性质与判定25. 【答案】(1) 如图所示，△A 1B 1C 1 即为所求．(2) 如图所示，△A 2B 1C 2 即为所求．(3) 94π (4) y =−x +5【解析】(3) 线段 B 1C 1 变换到 B 1C 2 的过程中扫过区域的面积 =90×π×32360=94π．(4) 设直线 AC 的解析式为 y =kx +b ，把 A (2,3)，C (4,1) 代入，可得 {3=2k +b,1=4k +b,解得 {k =−1,b =5. ∴ 直线 AC 的解析式为 y =−x +5．【知识点】扇形面积的计算、坐标平面内图形的旋转变换、一次函数的解析式、坐标平面内图形的平移变换。

2019中考真题汇编卷九年级下册第三章圆

2019中考真题卷—圆单元练习题一．选择题（共17小题）1．（2019•台湾）如图所示A、B、C、D四点在⊙O上的位置，其中＝180°，且＝，＝．若阿超在上取一点P，在上取一点Q，使得∠APQ＝130°，则下列叙述何者正确？（）A．Q点在上，且＞B．Q点在上，且＜C．Q点在上，且＞D．Q点在上，且＜2．（2019•梧州）如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB ＝6，AE＝1，则CD的长是（）A．2B．2C．2D．4 3．（2019•营口）如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（）A．20°B．70°C．30°D．90°4．（2019•聊城）如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（）A．35°B．38°C．40°D．42°5．（2019•潍坊）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB＝，DF＝5，则BC的长为（）A．8B．10C．12D．16 6．（2019•乐山）如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段P A的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是（）A．3B．C．D．4 7．（2019•云南）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是（）A．4B．6.25C．7.5D．9二．填空题（共11小题）8．（2019•东营）如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．9．（2019•盐城）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且为50°，则∠E+∠C＝°．10．（2019•广元）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是．11．（2019•烟台）如图，分别以边长为2的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径作弧，三段弧所围成的图形是一个曲边三角形，已知⊙O是△ABC的内切圆，则阴影部分面积为．12．（2019•荆门）如图，等边三角形ABC的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交AB，AC边于D，E，再以点C为圆心，CD长为半径作圆交BC边于F，连接E，F，那么图中阴影部分的面积为．三．解答题（共14小题）13．（2019•包头）如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．（1）求⊙O半径的长；（2）求证：AB+BC＝BM．14．（2019•鞍山）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE ＝∠DCE．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．15．（2019•青海）如图，在⊙O中，点C、D分别是半径OB、弦AB的中点，过点A作AE ⊥CD于点E．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若AE＝2，sin∠ADE＝，求⊙O的半径．16．（2019•锦州）如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且＝，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F．（1）求证：MF是⊙O的切线；（2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长．17．（2019•西藏）如图，在△ABC中．∠ABC＝∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠BCP＝∠BAC．（1）求证：CP是⊙O的切线；（2）若BC＝3，cos∠BCP＝，求点B到AC的距离．18．（2019•辽阳）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC＝∠EDA．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若CE＝AE＝2，求阴影部分的面积．19．（2019•聊城）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交OF于点E．（1）求证：EC＝ED；（2）如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长．参考答案与试题解析一．选择题（共17小题）1．【解答】解：连接AD，OB，OC，∵＝180°，且＝，＝，∴∠BOC＝∠DOC＝45°，在圆周上取一点E连接AE，CE，∴∠E＝AOC＝67.5°，∴∠ABC＝112.5°＜130°，取的中点F，连接OF，则∠AOF＝∠AOB+∠BOF＝90°+22.5°＝112.5°，∴∠ABF＝123.75°＜130°，∴Q点在上，且＜，故选：B．2．【解答】解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：则DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，∴EG＝AG﹣AE＝2，在Rt△BOG中，OG＝＝＝2，∴EG＝OG，∴△EOG是等腰直角三角形，∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，∵∠DEB＝75°，∴∠OEF＝30°，∴OF＝OE＝，在Rt△ODF中，DF＝＝＝，∴CD＝2DF＝2；故选：C．3．【解答】解：连接AC，如图，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵∠ACB＝∠ADB＝70°，∴∠ABC＝90°﹣70°＝20°．故答案为20°．故选：A．4．【解答】解：连接CD，如图所示：∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，∴∠DOE＝2∠ACD＝40°，故选：C．5．【解答】解：连接BD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，而∠DCA＝∠ABD，∴∠DAC＝∠ABD，∵DE⊥AB，∴∠ABD+∠BDE＝90°，而∠ADE+∠BDE＝90°，∴∠ABD＝∠ADE，∴∠ADE＝∠DAC，∴FD＝F A＝5，在Rt△AEF中，∵sin∠CAB＝＝，∴EF＝3，∴AE＝＝4，DE＝5+3＝8，∵∠ADE＝∠DBE，∠AED＝∠BED，∴△ADE∽△DBE，∴DE：BE＝AE：DE，即8：BE＝4：8，∴BE＝16，∴AB＝4+16＝20，在Rt△ABC中，∵sin∠CAB＝＝，∴BC＝20×＝12．故选：C．6．【解答】解：连接BP，如图，当y＝0时，x2﹣4＝0，解得x1＝4，x2＝﹣4，则A（﹣4，0），B（4，0），∵Q是线段P A的中点，∴OQ为△ABP的中位线，∴OQ＝BP，当BP最大时，OQ最大，而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，∵BC＝＝5，∴BP′＝5+2＝7，∴线段OQ的最大值是．故选：C．7．【解答】解：∵AB＝5，BC＝13，CA＝12，∴AB2+CA2＝BC2，∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，∵AB、AC与⊙O分别相切于点E、F∴OF⊥AB，OE⊥AC，∴四边形OF AE为正方形，设OE＝r，则AE＝AF＝r，∵△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，∴BD＝BF＝5﹣r，CD＝CE＝12﹣r，∴5﹣r+12﹣r＝13，∴r＝＝2，∴阴影部分（即四边形AEOF）的面积是2×2＝4．故选：A．二．填空题（共11小题）8．【解答】解：∵点M，N分别是BC，AC的中点，∴MN＝AB，∴当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB最大，连接AO并延长交⊙O于点B′，连接CB′，∵AB′是⊙O的直径，∴∠ACB′＝90°．∵∠ABC＝45°，AC＝5，∴∠AB′C＝45°，∴AB′＝＝＝5，∴MN最大＝．故答案为：．9．【解答】解：连接EA，∵为50°，∴∠BEA＝25°，∵四边形DCAE为⊙O的内接四边形，∴∠DEA+∠C＝180°，∴∠DEB+∠C＝180°﹣25°＝155°，故答案为：155．10．【解答】解：过O作OM⊥AC于M，延长MO交⊙O于P，则此时，点P到AC的距离最大，且点P到AC距离的最大值＝PM，∵OM⊥AC，∠A＝∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，∴OP＝OA＝6，∴OM＝OA＝×6＝3，∴PM＝OP+OM＝6+3，∴则点P到AC距离的最大值是6+3，故答案为：6+3．11．【解答】解：连接OB，作OH⊥BC于H，如图，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝2，∠ABC＝60°，∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OH为⊙O的半径，∠OBH＝30°，∵O点为等边三角形的外心，∴BH＝CH＝1，在Rt△OBH中，OH＝BH＝，∵S弓形AB＝S扇形ACB﹣S△ABC，∴阴影部分面积＝3S弓形AB+S△ABC﹣S⊙O＝3（S扇形ACB﹣S△ABC）+S△ABC﹣S⊙O＝3S扇形ACB ﹣2S△ABC﹣S⊙O＝3×﹣2××22﹣π×（）2＝π﹣2．故答案为π﹣2．12．【解答】解：过A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，∵等边三角形ABC的边长为2，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，∴AM＝BC＝×2＝，∵AD＝AE＝1，∴AD＝BD，AE＝CE，∴EN＝AM＝，∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形ADE﹣S△CEF﹣（S△BCD﹣S扇形DCF）＝×2×﹣﹣×﹣（×﹣）＝+﹣，故答案为：+﹣．三．解答题（共14小题）13．【解答】解：（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，∵∠ABC＝120°，∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，∴∠AOH＝∠AOC＝60°，∵AH＝AC＝，∴OA＝，故⊙O的半径为2．（2）证明：在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2，∵∠MBC＝60°，BE＝BC，∴△EBC是等边三角形，∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，∴∠BCD+∠DCE＝60°，∵∠ACM＝60°，∴∠ECM+∠DCE＝60°，∴∠ECM＝∠BCD，∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM＝60°，∴∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，∴△ACM是等边三角形，∴AC＝CM，∴△ACB≌△MCE，∴AB＝ME，∵ME+EB＝BM，∴AB+BC＝BM．14．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上，∴BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE，∵∠FDE＝∠DCE，∠BCE+∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠BDE+∠FDE＝90°，即∠BDF＝90°，∴DF⊥BD，又∵BD是⊙O的直径，∴DF是⊙O的切线．（2）如图，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，∴AB＝2BC＝2×4＝8，∴＝4，∵点D是AC的中点，∴，∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB＝90°，∴∠DEA＝180°﹣∠DEB＝90°，∴，在Rt△BCD中，＝＝2，在Rt△BED中，BE＝＝＝5，∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，∴∠FDE＝∠DBE，∵∠DEF＝∠BED＝90°，∴△FDE∽△DBE，∴，即，∴．15．【解答】（1）证明：连接OA，如图，∵点C、D分别是半径OB、弦AB的中点，∵DC∥OA，即EC∥OA，∵AE⊥CD，∴AE⊥AO，∴AE是⊙O的切线；（2）解：连接OD，如图，∵AD＝CD，∴OD⊥AB，∴∠ODA＝90°，在Rt△AED中，sin∠ADE＝＝，∴AD＝3，∵CD∥OA，∴∠OAD＝∠ADE．在Rt△OAD中，sin∠OAD＝，设OD＝2x，则OA＝3x，∴AD＝＝x，即x＝3，解得x＝，∴OA＝3x＝，即⊙O的半径长为．16．【解答】证明：（1）连接OM，∵OM＝OB，∴∠OMB＝∠OBM，∵BM平分∠ABD，∴∠OBM＝∠MBF，∴∠OMB＝∠MBF，∴OM∥BF，∵MF⊥BD，∴OM⊥MF，即∠OMF＝90°，∴MF是⊙O的切线；（2）如图，连接AN，ON∵＝，∴AN＝BN＝4∵AB是直径，＝，∴∠ANB＝90°，ON⊥AB∴AB＝＝4∴AO＝BO＝ON＝2∴OC＝＝＝1∴AC＝2+1，BC＝2﹣1∵∠A＝∠NMB，∠ANC＝∠MBC∴△ACN∽△MCB∴∴AC•BC＝CM•CN∴7＝3•CM∴CM＝17．【解答】解：（1）连接AN，则AN⊥BC，∵∠ABC＝∠ACB，∴△ABC为等腰三角形，∴∠BAN＝CAN∠＝α＝BAC＝∠BCP，∠NAC+∠NCA＝90°，即α+∠ACB＝90°，∴CP是⊙O的切线；（2）∵△ABC为等腰三角形，∴NC＝BC＝，cos∠BCP＝＝cosα，则tanα＝，在△ACN中，AN＝＝，同理AC＝，设：点B到AC的距离为h，则S△ABC＝AN×BC＝AC•h，即：×3＝h，解得：h＝，故点B到AC的距离为．18．【解答】（1）证明：连接OA，过O作OF⊥AE于F，∴∠AFO＝90°，∴∠EAO+∠AOF＝90°，∵OA＝OE，∴∠EOF＝∠AOF＝AOE，∵∠EDA＝AOE，∴∠EDA＝∠AOF，∵∠EAC＝∠EDA，∴∠EAC＝∠AOF，∴∠EAO+∠EAC＝90°，∵∠EAC+∠EAO＝∠CAO，∴∠CAO＝90°，∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵CE＝AE＝2，∴∠C＝∠EAC，∵∠EAC+∠C＝∠AEO，∴∠AEO＝2∠EAC，∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠EAO，∴∠EAO＝2∠EAC，∵∠EAO+∠EAC＝90°，∴∠EAC＝30°，∠EAO＝60°，∴△OAE是等边三角形，∴OA＝AE，∠EOA＝60°，∴OA＝2，∴S扇形AOE＝＝2π，在Rt△OAF中，OF＝OA•sin∠EAO＝2＝3，∴S△AOE＝AE•OF＝3＝3，∴阴影部分的面积＝2π﹣3．19．【解答】（1）证明：连接OC，∵CE与⊙O相切，为C是⊙O的半径，∴OC⊥CE，∴∠OCA+∠ACE＝90°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∴∠ACE+∠A＝90°，∵OD⊥AB，∴∠ODA+∠A＝90°，∵∠ODA＝∠CDE，∴∠CDE+∠A＝90°，∴∠CDE＝∠ACE，∴EC＝ED；（2）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△DCF中，∠DCE+∠ECF＝90°，∠DCE＝∠CDE，∴∠CDE+∠ECF＝90°，∵∠CDE+∠F＝90°，∴∠ECF＝∠F，∴EC＝EF，∵EF＝3，∴EC＝DE＝3，∴OE＝＝5，∴OD＝OE﹣DE＝2，在Rt△OAD中，AD＝＝2，在Rt△AOD和Rt△ACB中，∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠AOD，∴Rt△AOD∽Rt△ACB，∴，即，∴AC＝．。

九年级数学下册第三章圆章末小结与提升课时作业北师大版

圆章末小结与提升圆相关概念弦与直径弧、半圆、优弧、劣弧等圆与等弧基本性质垂径定理及推论轴对称性弧、弦、圆心角之间的关系圆周角定理及推论圆内接四边形的性质与圆有关的位置关系点与圆的位置关系点在圆外点在圆上点在圆内直线和圆的位置关系相离相切相交切线的性质与判定正多边形和圆相关概念正多边形的计算正多边形的画法弧长和扇形面积弧长公式扇形面积公式扇形类型1 垂径定理及其推论典例1 如图,在△ABC 中,已知∠ACB= °,∠BAC= °,BC=2,以点C 为圆心,CB 为半径的圆交AB 于点D ,则BD的长为 .【解析】作CE⊥AB于点E,∠B= °-∠BAC-∠ACB= °- °- °= °,在Rt△BCE中,∵∠CEB=9 °,∠B= °,BC=2,∴BE=BC=,∵CE⊥BD,∴DE=BE,∴BD=2BE=2.【答案】 2【针对训练】1.如图,设☉O的半径为r,弦的长为a,弦与圆心的距离为d,弦的中点到所对劣弧中点的距离为h,则下列结论:①r=d+h;②4r2=4d2+a2;③已知r,a,d,h中任意两个,可求其他两个.其中正确结论的序号是(C)A.①B.②③C.①②③D.①③2.(南通中考)已知∠AOB,作图.步骤1:在OB上任取一点M,以M为圆心,MO长为半径画半圆,分别交OA,OB于点P,Q;步骤2:过点M作PQ的垂线交于点C;步骤3:画射线OC.则下列判断:①;②MC∥OA;③OP=PQ;④OC平分∠AOB.其中正确的个数为(C)A.1B.2C.3D.43.如图,破残的圆形轮片上,弦AB的垂直平分线交弧AB于点C,交弦AB于点D.已知AB=24 cm,CD=8 cm,求圆的半径.解:∵弦AB的垂直平分线交弧AB于点C,交弦AB于点D,∴圆心在直线CD上.如图,设圆形轮片圆心为O,连接OA,设圆的半径为R,由垂径定理知AD=AB=12.在Rt△OAD中,OA2=OD2+AD2,∴R2=122+(R-8)2,解得R=13.∴圆的半径为13 cm.类型2圆心角定理、圆周角定理及其推论典例2如图,点A,B,C是☉O上的三点,且四边形ABCO是平行四边形,OF⊥OC交☉O于点F,则∠BAF 等于()A.12.5°B. 5°C. °D.22.5°【解析】连接OB,∵四边形ABCO是平行四边形,∴OC AB,又OA=OB=OC,∴OA=OB=AB,∴△AOB 为等边三角形.∵OF⊥OC,OC∥AB,∴OF⊥AB,∴∠BOF=∠AOF= °,由圆周角定理得∠BAF=∠BOF= 5°.【答案】 B【针对训练】1.(贺州中考)如图,在☉O中,AB是☉O的直径,AB=10,,点E是点D关于AB的对称点,M是AB上的一动点,下列结论:①∠BOE= °;②∠CED=∠DOB;③DM⊥CE;④CM+DM的最小值是10.其中正确的个数是(C)A.1B.2C.3D.42.(永州中考)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,点D是的中点,点E是上的一点.若∠CED=4 °,则∠ADC=100°.类型3切线的性质与判定典例3如图,△ABC内接于☉O,AC为☉O的直径,PB是☉O的切线,B为切点,OP⊥BC,垂足为E,交☉O 于点D,连接BD.(1)求证:BD平分∠PBC;(2)若☉O的半径为1,PD=3DE,求OE及AB的长.【解析】(1)连接OB.∵PB是☉O的切线,∴OB⊥PB,∴∠PBO=9 °,∴∠PBD+∠OBD=9 °,∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB,∵OP⊥BC,∴∠BED=9 °,∴∠DBE+∠BDE=9 °,∴∠PBD=∠EBD,∴BD平分∠PBC.(2)作DK⊥PB于点K.∵△,△又∵BD平分∠PBE,DE⊥BE,DK⊥PB,∴DK=DE,∴.∵∠OBE+∠PBE=9 °,∠PBE+∠P=9 °,∴∠OBE=∠P.∵∠OEB=∠BEP=9 °,∴△BEO∽△PEB,∴,∴.∵BO=1,∴OE=.∵OE⊥BC,∴BE=EC.∵AO=OC,∴AB=2OE=.【针对训练】1.如图,已知△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,作∠ABC的角平分线交AC于点D,以D为圆心,DA为半径作圆,与射线交于点E,F.有下列结论:①△ABC是直角三角形;②☉D与直线BC相切;③点E是线段BF的黄金分割点;④tan ∠CDF=2.其中正确的结论有(A)A.4个B.3个C.2个D.1个2.(天水中考)如图,点D为☉O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.(1)判断直线CD和☉O的位置关系,并说明理由;(2)过点B作☉O的切线BE交直线CD于点E,若AC=2,☉O的半径是3,求BE的长.解:(1)直线CD和☉O的位置关系是相切.理由:连接OD.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=9 °,∴∠DAB+∠DBA=9 °.∵∠CDA=∠CBD,∴∠DAB+∠CDA=9 °.∵OD=OA,∴∠DAB=∠ADO,∴∠CDA+∠ADO=9 °,即OD⊥CE.∴直线CD是☉O的切线,即直线CD和☉O的位置关系是相切.(2)∵AC=2,☉O的半径是3,∴OC=2+3=5,OD=3.∴CD=4.∵CE切☉O于点D,EB切☉O于点B,∴DE=EB,∠CBE=9 °.设DE=EB=x,在Rt△CBE中,由勾股定理,得CE2=BE2+BC2,则(4+x)2=x2+(5+3)2.解得x=6,即BE=6.类型4正多边形与圆的有关计算1.如图,正方形ABCD和正△AEF都内接于☉O,EF与BC,CD分别相交于点G,H,则的值是(C)A. B. C. D.22.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为(A)A.3∶2∶1B.4∶3∶2C.4∶2∶1D.6∶4∶33.等腰直角三角形的外接圆的半径为(B)A.腰长B.腰长的倍C.底边长的倍D.腰上的高类型5弧长与扇形面积的相关计算1.如图,在△ABC中,AB=AC.分别以B,C为圆心,BC长为半径在BC下方画弧,设两弧交于点D,与AB,AC的延长线分别交于点E,F,连接AD,BD,CD.若BC=6,∠BAC=5 °,则的长度之和为π.2.(德州中考)如图,AB是☉O的直径,直线CD与☉O相切于点C,且与AB的延长线交于点E,C 是的中点.(1)求证:AD⊥CD;(2)若∠CAD= °,☉O的半径为3,一只蚂蚁从点B出发,沿着BE-EC-爬回至点B,求蚂蚁爬过的路程.(π≈3.14,1.73,结果保留一位小数)解:(1)连接OC.∵直线CD与☉O相切,∴OC⊥CD,∵点C是的中点,∴∠DAC=∠EAC,∵OA=OC,∴∠OCA=∠EAC,∴∠DAC=∠OCA,∴OC∥AD,∴AD⊥CD.(2)∵∠CAD= °,∴∠CAE=∠CAD= °,由圆周角定理,得∠COE= °,=π.∴OE=2OC=6,BE=6-3=3,的长为= °°在Rt△OCE中,EC=--=3,∴蚂蚁爬过的路程=3+3+π≈11.3.。

北师大版九年级数学下册试题第三章《圆》基础作业.docx

初中数学试卷桑水出品初三数学作业圆1.如图，⊙O 的直径AB =4，点C 在⊙O 上，∠ABC =30°，则AC 的长是A ．1B ．2C ．3D ． 22.如图，点B 、C 在⊙O 上，且BO=BC ，则圆周角BAC ∠等于（） A ．60︒ B ．50︒ C ．40︒ D ．30︒3.如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A=70o，∠c=50o，那么sin ∠AEB 的值为( )A. 21 B. 33 C.22 D. 234.如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，已知︒=∠60O ，则=∠C （）（A ）︒20 （B ）︒25 （C ）︒30（D ）︒455.如图，⊙O 的直径CD ⊥AB ，∠AOC =50°，则∠CDB 大小为 ( )A ．25°B ．30°C ．40°6.如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，若70ABC ∠=︒ ，则AOC ∠的度数等于（）A ．140︒B ．130︒C ．120︒D ．110︒ 7.如图，已知AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上,∠C=15°,则∠BOC 的度数为（） A ．15° B. 30°C. 45° D ．60°8.如图，的直径AB 长为10，弦AC 长为6，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，则CD 的长为（）A 、7 B 、72 C 、82 D 、99.如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于D 点，且AB ＝6cm ，OD ＝4cm ，则DC 的长为（）．A ．5cm B ．2．5cm C ．2cm D ．1cmOA B C（第4题）（第5题） ABO CD OCBA图2ED CB Ao 初三数学作业 1.如图2，已知BD 是⊙O 的直径，⊙O 的弦AC ⊥BD 于点E ，若∠AOD=60°，则∠DBC 的度数为A.30°B.40°C.50°D.60°2.如图，AB 是⊙O 的弦，半径OA=2，120=∠AOB ，则弦AB 的长是（）（A ）22（B ）32（C ）5（D ）．232 33.如图，△ABC 内接于⊙O ，AC 是⊙O 的直径，∠ACB ＝500，点D 是BAC 上一点，则∠D ＝_______________4.如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上．若∠AOD ＝30°，则∠BCD 的度数是．5.已知⊙O 的半径为13cm ，弦AB//CD ，AB =24cm ，CD =10cm ，则AB 、CD 之间的距离为（）A ．17cmB ．7 cmC ．12 cmD ．17 cm 或7 cm 作图分析：6.如图6，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，若AC =8，AB =10，OD ⊥BC 于点D ，则BD 的长为（A ）1.5 （B ）3 （C ）5 （D ）67.如图，锐角△ABC 的顶点A 、B 、C 均在⊙O 上，∠OAC =20°，则∠B 的度数为A ．40°B ．60°C ．70°D ．80°8.如图,⊙O 是正三角形ABC 的外接圆,点P 在劣弧AB 上, ABP ∠=22°,则BCP ∠的度数为_____________.9.如图是一条水平铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽为1.6米，则这条管道中此时最深为米。

【新人教版】2019-2020九年级数学下册第三章圆本章中考演练同步练习

圆本章中考演练一、选择题1．2018·聊城如图3－Y －1，⊙O 中，弦BC 与半径OA 相交于点D ，连接AB ，OC.若∠A ＝60°，∠ADC ＝85°，则∠C 的度数是( )图3－Y －1A ．25°B ．27.5°C ．30°D ．35°2．2018·枣庄如图3－Y －2，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，AP ＝2，BP ＝6，∠APC ＝30°，则CD 的长为( )图3－Y －2A .15B ．2 5C ．2 15D ．83．2018·滨州已知半径为5的⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠ABC ＝25°，则劣弧AC ︵的长为( )A .25π36 B .125π36 C .25π18 D .5π364．2018·烟台如图3－Y －3，四边形ABCD 内接于⊙O ，点I 是△ABC 的内心，∠AIC ＝124°，点E 在AD 的延长线上，则∠CDE 的度数是( )图3－Y －3A ．56°B ．62°C ．68°D ．78°5．2018·泸州在平面直角坐标系内，以原点O 为圆心，1为半径作圆，点P 在直线y ＝3x ＋2 3上运动，过点P 作该圆的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为( )A ．3B ．2C . 3D . 26．2018·重庆B 卷如图3－Y －4，△ABC 中，∠A ＝30°，O 是边AB 上一点，以点O 为圆心，OB 长为半径作圆，⊙O 恰好与AC 相切于点D ，连接BD.若BD 平分∠ABC ，AD ＝2 3，则线段CD 的长是( )图3－Y －4A ．2B . 3C .32 D .323二、填空题7．2018·北京如图3－Y －5，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，CB ︵＝CD ︵，∠CAD ＝30°，∠ACD ＝50°，则∠ADB ＝________．图3－Y －58．2018·孝感已知⊙O 的半径为10 cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ，则弦AB 和CD 之间的距离是________cm .9．2018·陕西如图3－Y －6，在正五边形ABCDE 中，AC 与BE 相交于点F ，则∠AFE 的度数为________．图3－Y －610．2018·绍兴等腰三角形ABC 中，顶角A 的度数为40°，点P 在以A 为圆心，BC 长为半径的圆上，且BP ＝BA ，则∠PBC 的度数为________．11．2018·烟台如图3－Y －7，点O 为正六边形ABCDEF 的中心，M 为AF 的中点．以点O 为圆心，OM 长为半径画弧得到扇形MON ，点N 在BC 上；以点E 为圆心，DE 长为半径画弧得到扇形DEF.把扇形MON 的两条半径OM ，ON 重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r 1；将扇形DEF 以同样的方法围成圆锥，其底面半径记为r 2，则r 1∶r 2＝________．图3－Y －7三、解答题12．2018·绥化如图3－Y －8，AB 是⊙O 的直径，AC 为弦，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 的切线交AC 的延长线于点E.求证：(1)DE ⊥AE ； (2)AE ＋CE ＝AB.图3－Y －813．2018·温州如图3－Y －9，D 是△ABC 的BC 边上一点，连接AD ，作△ABD 的外接圆，将△ADC 沿直线AD 折叠，使点C 的对应点E 落在BD ︵上．(1)求证：AE ＝AB ；(2)若∠CAB ＝90°，cos ∠ADB ＝13，BE ＝2，求BC 的长．图3－Y －914．2018·江西如图3－Y －10，在△ABC 中，O 为AC 上一点，以点O 为圆心，OC 长为半径作圆，与BC 相切于点C ，过点A 作AD ⊥BO 交BO 的廷长线于点D ，且∠AOD ＝∠BAD.(1)求证：AB 为⊙O 的切线；(2)若BC ＝6，tan ∠ABC ＝43，求AD 的长．图3－Y －1015．2018·临沂如图3－Y －11，△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，腰AB 与⊙O 相切于点D ，OB 与⊙O 相交于点E.(1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)若BD ＝3，BE ＝1，求阴影部分的面积．图3－Y －1116．2018·荆门如图3－Y－12，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD ⊥EC交EC的延长线于点D，AD交⊙O于点F，FM⊥AB于点H，与⊙O，AC分别交于点M，N，连接MB，BC.(1)求证：AC平分∠DAE.(2)若cos M＝错误!，BE＝1，①求⊙O的半径；②求FN的长．图3－Y－12详解详析1．[解析] D ∵∠A ＝60°，∠ADC ＝85°，∴∠B ＝∠ADC －∠A ＝85°－60°＝25°，∴∠O ＝2∠B ＝2×25°＝50°，∴∠C ＝∠ADC －∠O ＝85°－50°＝35°.2．[解析] C 过点O 作OE ⊥CD 于点E ，连接OC .∵AP ＝2，BP ＝6，∴AB ＝8， ∴OA ＝OB ＝OC ＝4，∴OP ＝2. ∵∠APC ＝30°，∴OE ＝12OP ＝1.在Rt △OCE 中，CE ＝OC 2－OE 2＝15. ∵OE ⊥CD ，O 是圆心，∴CD ＝2CE ＝2 15.3．[解析] C 因为∠ABC ＝25°，故劣弧AC ︵所对应的圆心角∠AOC ＝50°，故劣弧AC ︵的长为50π×5360＝25π18.4．[解析] C ∵点I 是△ABC 的内心，∴AI ，CI 是△ABC 的角平分线，∴∠AIC ＝90°＋12∠B ＝124°，∴∠B＝68°.∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠CDE ＝∠B ＝68°.故选C.5．[解析] D 由题可知，B (－2，0)，C (0，2 3)，P 为y ＝3x ＋2 3直线上一点，过P 作圆O 的切线PA ，连接AO ，则在Rt △PAO 中，AO ＝1，由勾股定理可得PA ＝PO 2－AO 2，要想使PA 最小，则PO 最小，所以过点O 作OP ⊥BC 于点P ，此时PO ＝3，所以PA ＝ 2.6．[解析] B 如图，连接OD ，则由AD 切⊙O 于点D ，得OD ⊥AC .∵在Rt △AOD 中，∠A ＝30°，AD ＝2 3，tan A ＝OD AD， ∴OD ＝AD ·tan A ＝2 3×tan30°＝2 3×33＝2， ∴AO ＝2OD ＝4，AB ＝AO ＋OB ＝6. ∵∠AOD ＝90°－∠A ＝60°， ∴∠ABD ＝12∠AOD ＝30°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABC ＝2∠ABD ＝60°，7．[答案] 70°[解析] ∵CB ︵＝CD ︵，∠CAD ＝30°，∴∠CAD ＝∠CAB ＝30°， ∠DBC ＝∠DAC ＝30°.∵∠ACD ＝50°，∴∠ABD ＝50°，∴∠ADB ＝∠ACB ＝180°－∠CAB －∠ABC ＝180°－50°－30°－30°＝70°. 故答案为70°. 8．[答案] 2或14[解析] ①当弦AB 和CD 在圆心同侧时，如图①，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，交CD 于点F ，连接OA ，OC . ∵AB ∥CD ，OE ⊥AB ， ∴OF ⊥CD .∵AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ， ∴AE ＝8 cm ，CF ＝6 cm.∵OA ＝OC ＝10 cm ，∴OE ＝6 cm ，OF ＝8 cm ， ∴EF ＝OF －OE ＝2 cm ；②当弦AB 和CD 在圆心异侧时，如图②，过点O 作OE ⊥AB ，延长EO 交CD 于点F ，连接OC ，OA .同理可得OE ＝6 cm ，OF ＝8 cm ， ∴EF ＝OF ＋OE ＝14 cm.综上所述，AB 与CD 之间的距离为2 cm 或14 cm. 故答案为2或14. 9．[答案] 72°[解析] ∵五边形ABCDE 是正五边形， ∴∠EAB ＝∠ABC ＝（5－2）×180°5＝108°.∵BA ＝BC ，∴∠BAC ＝∠BCA ＝36°，同理∠ABE ＝36°，∴∠AFE ＝∠ABE ＋∠BAC ＝36°＋36°＝72°. 故答案为72°.10．[答案] 30°或110° [解析](1)如图①，BP ＝BA ＝AC ，AP ＝BC ， ∴四边形APBC 为平行四边形，∴∠BAC ＝∠ABP ＝40°，∠ABC ＝∠ACB ＝70°， ∴∠PBC ＝∠ABP ＋∠ABC ＝70°＋40°＝110°；(2)如图②，∵AP ＝BC ，BP ＝AC ，AB ＝BA ， ∴△BAP ≌△ABC ，∴∠PBA ＝∠BAC ＝40°， ∴∠PBC ＝∠ABC －∠PBA ＝70°－40°＝30°. 综上所述，∠PBC 的度数为30°或110°.11．[答案] 3∶2[解析] 连接OA ，OF ，由题意，∠MON ＝∠DEF ＝120°，△AOF 为等边三角形．设AF ＝2a ＝DE ，则AM ＝MF ＝a ，∴OM ＝3a .∵2πr 1＝120π×3a 180，2πr 2＝120π×2a180，∴r 1∶r 2＝3∶2.12．[解析] (1)首先连接OD ，根据OA ＝OD ，AD 平分∠BAC 可得∠CAD ＝∠ODA ，进而得出AE ∥OD ，然后根据DE 是⊙O 的切线可得∠ODE ＝90°，进而得出结论；(2)过点D 作DM ⊥AB 交于点M ，连接CD ，DB ，根据AD 平分∠BAC 可得△DAE ≌△DAM ，进而得出AE ＝AM ，根据AD 平分∠BAC 可得CD ＝BD ，进而得出Rt △DEC ≌Rt △DMB ，则CE ＝BM ，即可得出结论．解：证明：(1)连接OD ， ∵OA ＝OD ，AD 平分∠BAC ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∠CAD ＝∠OAD ， ∴∠CAD ＝∠ODA ，∴AE ∥OD .∵DE 是⊙O 的切线，∴∠ODE ＝90°， ∴OD ⊥DE ，∴DE ⊥AE .(2)过点D 作DM ⊥AB 交于点M ，连接CD ，DB . ∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAD ＝∠MAD . 又∵DE ⊥AE ，DM ⊥AB ，∴DE ＝DM . 又∵∠AED ＝∠AMD ＝90°， ∴△DAE ≌△DAM ，∴AE ＝AM .∵∠EAD ＝∠MAD ，∴CD ︵＝BD ︵，∴CD ＝BD .又∵DE ＝DM ，∴Rt △DEC ≌Rt △DMB ， ∴CE ＝BM ，∴AE ＋CE ＝AM ＋BM ，即AE ＋CE ＝AB .13．解：(1)证明：由折叠的性质可知，△ADE ≌△ADC ， ∴∠AED ＝∠ACD ，AE ＝AC . 又∵∠ABD ＝∠AED ，∴∠ABD ＝∠ACD ，∴AB ＝AC ，∴AE ＝AB . (2)如图，过点A 作AH ⊥BE 于点H ，∵AB ＝AE ，BE ＝2，∴BH ＝EH ＝1. ∵∠ABE ＝∠AEB ＝∠ADB ，cos ∠ADB ＝13，∴cos ∠ABE ＝cos ∠ADB ＝13，∴BH AB ＝13，∴AC ＝AB ＝3.∵∠BAC ＝90°，∴BC ＝3 2.14．解：(1)证明：过点O 作OE ⊥AB 于点E ，∵AD ⊥BO 于点D ，∴∠D ＝90°，∴∠BAD ＋∠ABD ＝90°，∠AOD ＋∠OAD ＝90°. ∵∠AOD ＝∠BAD ， ∴∠ABD ＝∠OAD .又∵BC 为⊙O 的切线，∴AC ⊥BC ，∴∠BOC ＝∠D ＝90°. 又∵∠BOC ＝∠AOD ， ∴∠OBC ＝∠OAD ＝∠ABD . 又∵OC ⊥BC ，OE ⊥AB ，∴OE ＝OC ，即OE 为⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线． (2)∵∠ABC ＋∠BAC ＝90°，∠EOA ＋∠BAC ＝90°， ∴∠EOA ＝∠ABC .∵在Rt △ABC 中，tan ∠ABC ＝43，BC ＝6，∴AC ＝BC ·tan∠ABC ＝8，由勾股定理，得AB ＝10. 易证△BOC ≌△BOE ，∴BE ＝BC ＝6，∴AE ＝4.∵tan ∠EOA ＝tan ∠ABC ＝43，∴AE OE ＝43，∴OE ＝3，∴OB ＝BE 2＋OE 2＝3 5.∵∠OBC ＝∠ABD ，∠ACB ＝∠D ＝90°， ∴△OBC ∽△ABD ，∴OC AD ＝OB AB ，即3AD ＝3 510，∴AD ＝2 5.15．解：(1)证明：过点O 作OF ⊥AC ，垂足为F ，连接OD ，OA .∵△ABC 是等腰三角形，O 是底边BC 的中点， ∴OA 既是△ABC 的高线，又是∠BAC 的平分线． ∵AB 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AB . 又∵OF ⊥AC ，∴OF ＝OD ，即OF 是⊙O 的半径，∴AC 是⊙O 的切线． (2)设OD ＝OE ＝x ，则OB ＝x ＋1，在Rt △BOD 中，由勾股定理，得(x ＋1)2＝x 2＋(3)2，解得x ＝1，即OD ＝OF ＝1. ∵tan ∠BOD ＝BD OD＝3，∴∠BOD ＝60°， ∴∠AOD ＝90°－∠BOD ＝30°， ∴AD ＝AF ＝OD ·tan∠AOD ＝33， ∴S 阴影＝S 四边形ADOF －S 扇形DOF ＝2×12AD ·OD －60360π×12＝33－π6＝2 3－π6.16．解：(1)证明：连接OC ，如图， ∵直线DE 与⊙O 相切于点C ，∴OC ⊥DE . 又∵AD ⊥DE ，∴OC ∥AD ，∴∠1＝∠3. ∵OA ＝OC ，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AC 平分∠DAE .(2)①∵DE ⊥AD ，OC ⊥DE ，∴OC ∥AD ， ∴∠COE ＝∠FAB ，又∵∠FAB ＝∠M ，∴∠COE ＝∠M . 设⊙O 的半径为r ，在Rt △OCE 中，cos ∠COE ＝OC OE ＝45，即r r ＋1＝45，解得r ＝4，即⊙O 的半径为4. ②连接BF ，如图，∵AB 是直径，∠AFB ＝90°.又∵DE ⊥AD ，∴BF ∥DE .∴在Rt △AFB 中，cos ∠FAB ＝AFAB， ∴AF ＝8×45＝325.在Rt △OCE 中，OE ＝5，OC ＝4，∴CE ＝3. ∵AB ⊥FM ，∴AM ︵＝AF ︵，∴∠5＝∠4. ∵BF ∥DE ，∴∠5＝∠E ＝∠4. 又∵∠1＝∠2，∴△AFN ∽△AEC ，∴FN CE ＝AF AE，即FN 3＝3259，∴FN ＝3215.。

(完整word)北师大版九年级数学下册第三章圆练习题

北师大版九年级数学下册第三章圆练习题第三章圆1．如图 3－ Y － 1， AB 是⊙ O 的直径，CD 是⊙ O 的弦，∠ACD ＝ 30°，则∠ BAD 的度数为 ()A ． 30°B． 50°C． 60° D ． 70°图 3－ Y － 1图 3－ Y－ 22．如图 3－ Y － 2，在⊙ O 中，半径 OC 与弦 AB 垂直于点D，且 AB＝ 8， OC＝5，则CD 的长是 ()A ． 3 B． 2.5 C． 2 D ． 13．如图 3－ Y－ 3，已知直线AD 是⊙ O 的切线，A 为切点，OD 交⊙ O 于点 B，点 C 在⊙O 上，且∠ ODA ＝ 36°，则∠ ACB 的度数为 ()A ． 54°B． 36°C． 30° D ． 27°图 3－ Y － 3图 3－ Y － 44．如图 3－ Y－ 4，在半径为13 cm 的圆形铁片上切下一块高为8 cm 的弓形铁片，则弓形弦 AB 的长为 ()A． 10 cm B． 16 cm C． 24 cm D． 26 cm5如图 3－ Y－5，⊙ O 的直径 AB ＝ 4，BC 切⊙ O 于点 B ，OC 平行于弦 AD ，OC＝ 5，则 AD 的长为 ()68723A.5B.5C. 5D.5图 3－Y－ 5图 3－Y－ 66．如图 3－ Y－ 6， AT 切⊙ O 于点 A ， AB 是⊙ O 的直径，若∠ ABT ＝40°，则∠ ATB ＝________° .7．如图 3－ Y－ 7，正六边形 ABCDEF 内接于⊙ O，⊙O 的半径为 6，则这个正六边形的边心距 OM 的长为 ________．8．如图 3－ Y－ 8，在扇形 AOB 中，AC 为弦，∠ AOB ＝ 130°，∠CAO ＝60°，OA ＝︵6，则 BC 的长为 ________．图 3－ Y－ 7图 3－ Y－ 89．如图 3－Y－ 9，AB 是⊙ O 的直径，AB ＝ 4，M 是 OA 的中点，过点 M 的直线与⊙ O 交于 C，D 两点．若∠ CMA ＝ 45°，则弦 CD 的长为 ________．图 3－Y － 9图 3－ Y － 1010．如图 3－ Y － 10，直线 AB 与 CD 分别与⊙ O 相切于 B ， D 两点，且 AB ⊥CD ，垂足为 P ，连结 BD. 若 BD ＝ 4，则暗影部分的面积为 ________．11．如图 3－ Y － 11，已知⊙ O 的内接正方形 ABCD ，E 为边 CD 上一点，且 DE ＝ CE ，延伸 BE 交⊙ O 于点 F ，连结 FC ，若正方形的边长为 1，求弦 FC 的长．图 3－ Y － 1112．如图 3－ Y － 12，在 Rt △ ABC 中， ∠ ABC ＝ 90°，以 AB 为直径的⊙ O 与 AC 交于点 D ，E 是 BC 的中点，连结 BD ， DE.AD1 (1)若 AB ＝3，求 sinC ； (2)求证： DE 是⊙ O 的切线．图 3－Y － 1213．如图 3－Y－ 13，△ ABC 内接于⊙ O，且 AB 为⊙ O 的直径，OD⊥AB ，与 AC 交于点E，与过点 C 的⊙ O 的切线交于点 D.(1)若 AC ＝ 4，BC＝ 2，求 OE 的长；(2)试判断∠ A 与∠ CDE 的数目关系，并说明原因．图3－Y－ 1314．如图 3－Y－ 14，C， D 是半圆 O 上的三平分点，直径 AB ＝ 4，连结 AD ， AC ， DE ⊥AB ，垂足为 E，DE 交 AC 于点 F.(1)求∠ AFE 的度数；(2)求暗影部分的面积(结果保存π和根号 )．图3－Y－ 1415．如图 3－Y－ 15，PA， PB 是⊙ O 的切线， A ， B 为切点，∠ APB ＝ 60°，连结PO 并延伸与⊙ O 交于点 C，连结 AC ，BC.(1)求证：四边形ACBP 是菱形；(2)若⊙ O 的半径为1，求菱形 ACBP 的面积．图3－Y－ 151． C [ 分析 ] 如图，连结 BD，∵∠ ACD＝ 30°，∴∠ ABD＝ 30° .∵ AB 为⊙ O 的直径，∴∠ ADB ＝ 90°，∴∠ BAD＝ 90°－∠ ABD ＝60° .应选 C.2． C [ 分析 ] 如图，连结 OA，设 CD ＝ x，∵OA＝ OC＝5，∴ OD＝ 5－ x.∵OC⊥AB ，∴由垂径定理，得AD＝4，由勾股定理，得 52＝42＋ (5－ x)2，∴x＝ 2，∴ CD ＝ 2.应选 C.3． D[ 分析 ] ∵ AD 为⊙ O 的切线，∴AD⊥ OA，即∠ OAD ＝ 90° .∵∠ ODA＝ 36°，∴∠ AOD ＝ 54°，1∴∠ ACB＝∠ AOD＝ 27° .应选 D.4．C [ 分析 ] 过点 O 作 OC⊥ AB 于点 D ，交⊙ O 于点 C.∵ OB＝ 13 cm，CD ＝ 8 cm，∴OD＝ 5 cm.在 Rt△BOD 中， BD ＝OB2－ OD 2＝12 cm，∴ AB＝ 2BD ＝ 24 cm.5． B [ 分析 ] 如图，连结 BD.∵AB 是⊙ O 的直径，∴∠ ADB ＝ 90°.∵OC∥AD ，∴∠ A＝∠ BOC，∴cosA＝ cos∠ BOC.∵BC 切⊙ O 于点 B，∴OB⊥ BC，OB2∴ cos∠ BOC＝＝，2∴ cosA＝5.AD又∵ cosA＝AB， AB＝ 4，8∴ AD＝5.应选 B.6． 507． 3 3 [分析 ] 如图，连结 OB，∵六边形 ABCDEF 是⊙ O 的内接正六边形，∴∠ BOM ＝360°＝ 30°，6× 2∴ OM＝ OB·cos∠ BOM ＝ 6×3＝ 3 3. 2故答案为： 3 3.78.3π[ 分析 ] 连结 OC，如图，∵OA＝ OC，∴∠ OCA＝∠ CAO＝ 60°，∴∠ AOC＝ 60°，∴∠ BOC＝ 130°－ 60°＝ 70°，︵70×π× 6＝7π .∴ BC的长为18037故答案为：3π .9.14 [分析 ] 连结 OD，过点 O 作 OE⊥ CD 于点 E，以下图．则CE＝ DE.∵ AB 是⊙ O 的直径， AB＝ 4， M 是 OA 的中点，∴OD＝ OA＝ 2， OM ＝ 1.∵∠ OME ＝∠ CMA ＝45°，∴△ OEM 是等腰直角三角形，22∴ OE＝2OM ＝2 .在 Rt△ODE 中，由勾股定理，得 DE ＝22－（2）2＝14，22∴ CD＝2DE ＝ 14.故答案为：14.10．2π－ 4 [ 分析 ] 如图，连结 OB ，OD.∵直线 AB 与 CD 分别与⊙ O 相切于 B ，D 两点， ∴ AB ⊥ OB ， PC ⊥ OD.∵ AB ⊥ CD ，∴四边形 BODP 是矩形．又 OB ＝ OD ， ∴四边形 BODP 是正方形．∴⊙ O的半径 r ＝22 BD ＝ 2 2.∴ S＝ SBOD － S121暗影扇形BOD ＝4×π×(22) －2×2 2× 2 2＝ 2π－ 4.△11．解：如图，连结 BD ，则 BD 为⊙ O 的直径．1 1 15∵ CE ＝ 2×1＝ 2， ∴BE ＝（ 2） 2＋ 12＝ 2 .在 Rt △ABD 中，BD ＝ 12＋ 12＝ 2.∵∠ DBE ＝∠ FCE ，∠ CFE ＝∠ BDE ，∴△ DEB ∽△ FEC ，5BDBE2210 ∴FC＝CE ， ∴FC ＝1 ，∴ FC ＝5.212．解： (1) ∵AB 为⊙ O 的直径，∴∠ ADB ＝ 90° ， ∴∠ ABD ＋∠ BAD ＝ 90° .∵∠ ABC ＝ 90° ，∴∠ C ＋∠ BAC ＝90° ，∴∠ C ＝∠ ABD.AD 111∵AB＝3，∴ sin ∠ABD ＝3，∴ sinC＝3.(2)证明：如图，连结 OD ，∵AB 是⊙ O 的直径，∴∠ ADB ＝ 90°，∴∠ BDC＝ 90°.∵E 为 BC 的中点，∴ DE＝ BE＝ CE，∴∠ EDB＝∠ EBD .∵OD＝ OB，∴∠ ODB＝∠ OBD .∵∠ ABC＝ 90°，∴∠ EDO＝∠ EDB ＋∠ ODB＝∠ EBD ＋∠ OBD ＝∠ ABC＝ 90°，∴OD⊥ DE.∵ OD 是⊙ O 的半径，∴ DE 是⊙ O 的切线．13．解： (1) ∵AB 是⊙ O 的直径，∴∠ ACB＝ 90° .在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得 AB＝AC2＋ BC2＝42＋ 22＝ 25，1 1∴AO＝2AB＝2× 2 5＝ 5.∵OD⊥ AB，∴∠ AOE＝∠ ACB ＝90° .又∵∠ A＝∠ A，∴△ AOE∽△ ACB ，OE AO BC·AO 2 55∴BC ＝AC，∴ OE＝AC＝4＝ 2.(2)∠ CDE ＝ 2∠ A.原因以下：以下图，连结 OC.∵OA＝ OC，∴∠ 1＝∠ A.∵CD 是⊙O 的切线，∴ OC⊥CD ，∴∠ OCD ＝ 90°，∴∠ 2＋∠ CDE＝ 90° .∵OD⊥ AB，∴∠ 2＋∠ 3＝ 90° .∴∠ 3＝∠ CDE .∵∠ 3＝∠ A＋∠ 1＝ 2∠A，∴∠ CDE ＝ 2∠ A. 14．解： (1) 连结 OD ，OC，∵ C， D 是半圆 O 上的三平分点，︵︵︵∴AD＝ CD ＝BC ，∴∠ AOD＝∠ DOC ＝∠ COB ＝ 60°，∴∠ CAB＝ 30° .∵ DE⊥ AB，∴∠ AEF ＝ 90°，∴∠ AFE ＝90°－ 30°＝ 60°.(2)由 (1) 知，∠ AOD＝ 60° .∵ OA＝ OD， AB＝ 4，∴△ AOD 是等边三角形， OA＝ 2.∵ DE⊥ AO，∴ DE ＝3，∴ S 暗影＝ S 扇形AOD－ S△AOD＝60×π×221× 2×3＝2π－ 3.－3602311 / 1215．解： (1) 证明：如图，连结 AO， BO，∵ PA， PB 是⊙ O 的切线，∴∠ OAP＝∠ OBP＝ 90°，PA＝PB，∠ APO ＝∠ BPO＝12∠APB＝ 30°，∴∠ AOP＝ 60°，∴∠ ACO＝∠ OAC＝ 30°，∴∠ ACO＝∠ APO，∴ AC＝ AP.同理 BC ＝BP，∴AC＝ BC＝ BP＝ AP，∴四边形 ACBP 是菱形．(2)如图，连结 AB 交 PC 于点 D，易得 AD ⊥PC.∵OA＝ 1，∠ AOP ＝60°，333∴ AD＝2 OA＝2，∴PD ＝2，∴ PC＝ 3，AB ＝3，∴菱形ACBP 的面积＝133 AB·PC＝2.212 / 12。