余弦函数图像和性质练习含答案

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正弦函数、余弦函数的图象和性质及答案(一)

正弦函数、余弦函数的图象和性质（一）●作业导航掌握用“五点法”画正弦函数图象，掌握正弦函数的定义域、值域、最大值和最小值、周期、奇偶性、单调性．一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．函数f (x )＝sin(5x ＋27π)是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 2．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是( )A ．y ＝sin2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin2x ＋cos2xD ．y ＝x x22tan 1tan1+- 3．y ＝3sin|x |，x ∈R 的值域为( ) A ．(0，3) B ．［0，3］ C ．(-3，3) D ．［-3，3］4．设函数f (x )是周期为2T 的函数，若f (x )定义域为R ，且图象关于直线x ＝T 对称，那么f (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数5．已知f (x )＝122-a a(a x -a -x )，且0<a <1，那么，此函数的反函数是( ) A ．奇函数且为减函数 B ．偶函数且为减函数 C ．奇函数且为增函数D ．偶函数且为增函数二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．用“五点法”画函数y ＝2-sin x ，x ∈［0，2π］的图象时，五个关键点分别是________．2．函数y ＝1sin 2-x 的定义域是________．3．已知奇函数f (x )，当x >0时，f (x )＝x ＋cos x ，则x <0时，f (x )的解析式为________． 4．已知奇函数y ＝f (x )对一切x ∈R 满足f (x ＋1)＝f (x -1)，当x ∈［-1，0］时，f (x )＝3x＋94，则f (5log31)＝________．5．设函数y ＝f (x )是最小正周期为2的偶函数，它在区间［0，1］上的图象为线段AB ，如图，则在区间［1，2］上，f (x )的解析式为________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．求函数y ＝x xx sin 1cossin 22+⋅的最大值和最小值．2．把截面直径为40cm 的圆形木料锯成矩形木料，问如何选择矩形的尺寸，才能使得废弃的木料最少？3．若cos 2θ＋2msin θ-2m -2<0恒成立，试求实数m 的取值范围．4．求证：f (x )＝lg x x xx cos sin cos sin -+为奇函数．5．若(x ＋2y )3＋x 3＋2x ＋2y ＝0，求(x ＋y )10的值．参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．B 分析：sin(5x ＋27π)＝-cos5x ．2．D 分析：y ＝xx 22tan 1tan1+-＝cos2x ．3．D分析：y ＝3sin|x |＝⎩⎨⎧<-≥0sin 30sin 3x xx x ． -3≤3sin x ≤3，-3≤-3sin x ≤34．B 分析：∵ f (x )的图象关于x ＝T 对称 ∴ f (T -x )＝f (T ＋x ) ① 又f (x )的周期为2T∴ f (T ＋x )＝f (T ＋x -2T )＝f (x -T )②由①、②有f (T -x )＝f (x -T ) 令x -T ＝t ，则f (-t )＝f (t )对一切t ∈R 都成立∴ f (x )是偶函数．5．C 分析：∵ f (-x )＝122-a a(a -x -a x )＝-f (x )∴ f (x )为奇函数∵ g (x )＝a x 和ϕ(x )＝-(a 1)x 都是减函数，122-a a<0∴ f (x )＝122-a a［g (x )＋ϕ(x )］是增函数．二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．(0，2)，(2π，1)，(π，2)，(23π，3)，(2π，2)2．{x |6π＋2k π≤x ≤65π＋2k π，k ∈Z }分析：2sin x -1≥0 sin x ≥21由图象或单位圆可得6π＋2k π≤x ≤65π＋2k π，k ∈Z 3．x -cos x 分析：x <0，则-x >0 ∴ f (-x )＝-x ＋cos(-x )＝-x ＋cos x 又f (-x )＝-f (x )∴ -f (x )＝-x ＋cos x ∴ f (x )＝x -cos x (x <0)4．-1 分析：令t ＝x -1，即x ＝t ＋1 ∴ f (t )＝f (t ＋2)∴ f (x )是周期为2的函数∵ 5log31＝-log 35∵ 1<log 35<2 ∴ -1<log 35-2<0f (5log31)＝-f (log 35)1)9495()943(2log53-=+-=+-=- 5．x 分析：线段AB 的方程为 f (x )＝-x ＋2(0≤x ≤1)当1≤x ≤2时 0≤-x ＋2≤1 则有f (-x ＋2)＝-(-x ＋2)＋2＝x ．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．解：y ＝xx x xxx sin 1)sin1(sin 2sin 1cossin 222+-=+⋅21)21(s i n 2)1)(s i n s i n 1(s i n 2s i n 1)s i n 1)(sin 1(sin 22+--=-≠-=+-+=x x x x x x x x∵ -1<sin x ≤1∴ -4<y ≤21∴ 当sin x ＝21时，即x ＝2k π＋6π或x ＝2k π＋65π，k ∈Z 时，y 有最大值21． ∵ sin x ≠-1∴ y 无最小值．2．解：如图，BD ＝40 cm ，设∠DBC ＝θ，矩形面积为S ，则S ＝40cos θ·40sin θ＝1600sin θcos θ＝800sin2θ 当sin2θ＝1时，即2θ＝90°，θ＝45°时 S 有最大值800 cm 2 ∴ 当矩形为正方形且边长为202cm 时，废弃的木料最少． 3．解：设sin θ＝t ，t ∈［-1，1］，要使cos 2θ＋2m sin θ-2m -2<0恒成立．也就是t 2-2mt ＋2m ＋1>0，t ∈［-1，1］恒成立．设f (t )＝t 2-2mt ＋2m ＋1，对称轴方程为t ＝m ．(1)当t <-1时，只要f (-1)>0．即1＋2m ＋2m ＋1>0 m >-21这与m <-1矛盾，舍去 (2)当-1≤m ≤1时只要f (m )>0，即m 2-2m 2＋2m ＋1>0 m 2-2m -1<01-2<m <1＋2．∴ 1-2<m ≤1．(3)当m >1时，只要f (1)>0，即1-2m ＋2m ＋1>0．即2>0． ∴ m >1时，f (t )>0恒成立综上(1)、(2)、(3)有m >1-2．4．证明：x x xx cos sin cos sin -+>01t a n 1t a n -+xx >0 (tan x ＋1)(tan x -1)>0 tan x >1或tan x <-1k π＋4π<x <k π＋2π，k ∈Z 或k π＋2π<x <k π＋43π，k ∈Z函数的定义域为{x |k π＋4π<x <k π＋2π或k π＋2π<x <k π＋43π，k ∈Z }，关于原点对称．)(c o ss i n c o s s i n lg)cos sin cos sin lg(cos sin cos sin lgcos sin sin cos lg )cos()sin()cos()sin(lg)(1x f x x x x xx x x xx x x x x x x x x x x x f -=-+-=-+=+-=---=----+-=--又∴ f (x )为奇函数．5．解：∵ (x ＋2y )3＋x 3＋2x ＋2y ＝0∴ (x ＋2y )3＋(x ＋2y )＝-(x 3＋x )①构造函数f(t)＝t3＋t(t∈R)f(-t)＝(-t)3＋(-t)＝-(t3＋t)＝-f(t)∴f(t)是奇函数∵g(t)＝t3，h(t)＝t为R上的增函数∴f(t)＝g(t)＋h(t)＝t3＋t为R上的增函数．由①得f(x＋2y)＝-f(x)＝f(-x)∴x＋2y＝-x∴x＋y＝0∴(x＋y)10＝0。

正弦、余弦函数的图像和性质的练习题

一题多变
2
新余市第六中学高中数学必修④
三、解答题
解：令 sin x t , 则 1 t 1 7 2 则有函数 f (t ) t t (1 t 1) 4 画出函数f (t )的图像，如图所示
7 12、求函数 f ( x) sin x sin 2 x( x R)的值域 4
2
2
1
令 cos x t , 则有-1 t 1
2
则有f (t ) 1 t 3t (1 t 1)
2
-1
1
O
1
2
x
画出函数f (t )的图像，如图所示
通过观察发现
2
3
新余市第六中学高中数学必修④
一题多变
三、解答题
判断函数f ( x) sin 2 x 3 cos x( x R)的奇偶性，并求其值域。
解得
a0
a的取值范围为 a0
一题多变 m 1 m3 已知 - x , cos x , 则m的取值范围是 __________ 。 6 3 m 1
新余市第六中学高中数学必修④
二、填空题
。 [0, ] 2 11 、不等式sin x 0在x [0,2 ]上的解集为__________ ____
y
2 1
通过观察发现
-1
1
O
1
2
x
1 b b 当x 1时， f (1) min 当x 时， f ( ) max 2 4 2a 2a 7 1 2 函数 f (t ) t t (1 t 1)的值域为 [ ,2] 4 4 7 1 函数 f ( x) sin 2 x sin x ( x R)的值域为 [ ,2] 4 4

1.4.1正弦函数、余弦函数的图象知识点归纳与练习(含详细答案)(可编辑修改word版)

2第一章三角函数 §1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象课时目标 1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．1. 正弦曲线、余弦曲线2. “五点法”画图画正弦函数 y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是；画余弦函数 y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是．3．正、余弦曲线的联系依据诱导公式 cos x ＝sin (x ＋π)，要得到 y ＝cos x 的图象，只需把 y ＝sin x 的图象向π平移个单位长度即可．2知识点归纳：1. 正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．2. 五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一．一、选择题 1. 函数 y ＝sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴πC ．直线 y ＝xD ．直线 x ＝2π2. 函数 y ＝cos x (x ∈R )的图象向右平移2个单位后，得到函数 y ＝g (x )的图象，则 g (x )的解析式为( ) A ．－sin x B ．sin x C ．－cos x D ．cos x2 4 4 2 4 4π 3π3. 函数 y ＝－sin x ，x ∈[－2， 2]的简图是()4. 在(0,2π)内使 sin x >|cos x |的 x 的取值范围是()A.(π，3π)B.(π π] (5π 3π]， ∪ ， C.(π，π)D.(5π，7π)5. 若函数 y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线 y ＝2 围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( ) A ．4 B ．8 C ．2π D ．4π 6．方程 sin x ＝lg x 的解的个数是( )π7. 函数 y ＝sin x ，x ∈R 的图象向右平移2个单位后所得图象对应的函数解析式是．8. 函数 y ＝ 2cos x ＋1的定义域是． 9. 方程 x 2－cos x ＝0 的实数解的个数是． 10. 设 0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则 x 的取值范围为．三、解答题1.利用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)；(2)y ＝－1－cos x (0≤x ≤2π)．4 4 4 212.分别作出下列函数的图象．(1)y＝|sin x|，x∈R；(2)y＝sin|x|，x∈R.能力提升13.求函数f(x)＝lg sin x＋16－x2的定义域．14.函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．( )解析 y ＝sin x −−−−−−→ y ＝sin x － 2 2 23 3知识梳理§1.4 三角函数的图象与性质 1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象答案2．(0,0)，( ，1)，(π，0)，( π，－1)，(2π，0) (0,1)，( ，0)，(π，－1)，( π，0)，(2π，1)π 3 π 3 22223．左作业设计1．D 2.B 3.D 4．A [∵sin x >|cos x |，∴sin x >0，∴x ∈(0，π)，在同一坐标系中画出 y ＝sin x ，x ∈(0，π)与 y ＝|cos x |，x ∈(0，π)的图象，观察图象易得 x ∈(π，3π).]4 45．D [作出函数 y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象，函数 y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线 y ＝2 围成的平面图形，如图所示的阴影部分．利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形 OABC 的面积，又∵|OA |＝2，|OC |＝2π， ∴S 平面图形＝S 矩形OABC ＝2×2π＝4π.]6．C [用五点法画出函数 y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移 2π 个单位，得到 y ＝sin x 的图象．描出点 1，－1 ，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到 y ＝lg x 的图象，如图所示．10由图象可知方程 sin x ＝lg x 的解有 3 个．] 7．y ＝－cos x向右平移 2个单位 ( π)∵sin (x －π)＝－sin (π－x )＝－cos x ，∴y ＝－cos x . 8.[2k π－2π，2k π＋2π]，k ∈Z解析 2cos x ＋1≥0，cos x ≥－1，结合图象知 x ∈[2k π－2π，2k π＋2π]，k ∈Z . 2 3 39．2解析作函数 y ＝cos x 与 y ＝x 2 的图象，如图所示，4 4由图象，可知原方程有两个实数解．10.[π，5π]解析由题意知sin x－cos x≥0，即cos x≤sin x，在同一坐标系画出y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，如图所示：π 5观察图象知x∈[ ，π]．4 411.解利用“五点法”作图(1)列表：X 0π2π3π22πsin x 0 1 0 －1 01－sin x 1 0 1 2 1(2)列表：X 0π2π3π22πcos x 1 0 －1 0 1－1－cos x －2 －1 0 －1 －212.解(1)y＝|sin x|＝Error! (k∈Z)．其图象如图所示，(2)y＝sin|x|＝Error!，其图象如图所示，13.解由题意，x 满足不等式组Error!，即Error!，作出y＝sin x 的图象，如图所示．结合图象可得：x∈[－4，－π)∪(0，π)．14.解f(x)＝sin x＋2|sin x|＝Error!图象如图，若使f(x)的图象与直线y＝k 有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k 的取值范围是(1,3)．。

1.4.1正弦函数、余弦函数的图象知识点归纳与练习(含详细答案)

第一章三角函数 §1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象课时目标 1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．1．正弦曲线、余弦曲线2．“五点法”画图画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是_________________________；画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是__________________________． 3．正、余弦曲线的联系依据诱导公式cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向________平移π2个单位长度即可．知识点归纳：1．正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．2．五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一．一、选择题1．函数y ＝sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．直线x ＝π22．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向右平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式为( )A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x3．函数y ＝－sin x ，x ∈[－π2，3π2]的简图是( )4．在(0,2π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 B.⎝⎛⎦⎤π4，π2∪⎝⎛⎦⎤5π4，3π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，π2 D.⎝⎛⎭⎫5π4，7π4 5．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )A ．4B ．8C ．2πD ．4π 6．方程sin x ＝lg x 的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 题号 1 2 3 4 5 6 答案 7．函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象向右平移π2个单位后所得图象对应的函数解析式是__________．8．函数y ＝2cos x ＋1的定义域是________________． 9．方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是________．10．设0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为________．三、解答题11．利用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)； (2)y ＝－1－cos x (0≤x ≤2π)．12．分别作出下列函数的图象．(1)y＝|sin x|，x∈R；(2)y＝sin|x|，x∈R.能力提升13．求函数f(x)＝lg sin x＋16－x2的定义域．14．函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．§1.4 三角函数的图象与性质 1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象答案知识梳理2．(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，－1，(2π，0) (0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫32π，0，(2π，1) 3．左作业设计1．D 2.B 3.D 4．A [∵sin x >|cos x |，∴sin x >0，∴x ∈(0，π)，在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，π)与y ＝|cos x |，x ∈(0，π)的图象，观察图象易得x ∈⎝⎛⎭⎫π4，34π.] 5．D [作出函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象，函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝2围成的平面图形，如图所示的阴影部分．利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC 的面积，又∵|OA |＝2，|OC |＝2π， ∴S 平面图形＝S 矩形OABC ＝2×2π＝4π.]6．C [用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图象．描出点⎝⎛⎭⎫110，－1，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示．由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．]7．y ＝－cos x解析 y ＝sin x 2π−−−−−−→向右平移个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2 ∵sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ，∴y ＝－cos x . 8.⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z 解析 2cos x ＋1≥0，cos x ≥－12，结合图象知x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋2π3，k ∈Z . 9．2解析作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象，如图所示，由图象，可知原方程有两个实数解．10.⎣⎡⎦⎤π4，5π4解析由题意知sin x －cos x ≥0，即cos x ≤sin x ，在同一坐标系画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与 y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示：观察图象知x ∈[π4，54π]．11．解利用“五点法”作图 (1)列表：X 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x1121描点作图，如图所示．(2)列表：X0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 －1－cos x－2－1－1－2描点作图，如图所示．12．解 (1)y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π) (k ∈Z )．其图象如图所示，(2)y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (x ≥0)－sin x (x <0)，其图象如图所示，13．解由题意，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >016－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4sin x >0，作出y ＝sin x 的图象，如图所示．结合图象可得：x ∈[－4，－π)∪(0，π)．14．解 f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x x ∈[0，π]，－sin x x ∈(π，2π].图象如图，若使f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k 的取值范围是(1,3)．。

2020-2021数学第三册课时7.3.3余弦函数的性质与图像含解析

2020-2021学年新教材人教B版数学必修第三册课时分层作业：7.3.3余弦函数的性质与图像含解析课时分层作业(十)余弦函数的性质与图像(建议用时：40分钟)一、选择题1．函数y＝－cos x的图像与余弦函数图像()A．关于x轴对称B．关于原点对称C．关于原点和x轴对称D．关于原点和坐标轴对称C[由y＝－cos x的图像知关于原点和x轴对称．］2．设函数f(x)＝sin错误!，x∈R，则f（x)是(）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为错误!的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数B［因为sin错误!＝－sin错误!＝－cos 2x，所以f(x）＝－cos 2x。

又f(－x）＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，所以f（x)的最小正周期为π的偶函数．]3．下列函数中，周期为π，且在错误!上为减函数的是() A．y＝sin错误!B．y＝cos错误!C．y＝sin错误!D．y＝cos错误!A[因为函数的周期为π，所以排除C、D．又因为y＝cos错误!＝－sin 2x在错误!上为增函数，故B不符．只有函数y＝sin错误!的周期为π，且在错误!上为减函数．]4．在(0，2π)内使sin x〉|cos x|的x的取值范围是（)A．错误!B．错误!∪错误!C．错误!D．错误!A［因为sin x〉|cos x｜，所以sin x〉0，所以x∈（0,π)，在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，π）与y＝｜cos x｜，x∈（0，π）的图像，观察图像易得x∈错误!。

]5．三个数cos 32,sin 错误!，－cos 错误!的大小关系是（)A．sin 错误!＞cos 错误!＞－cos 错误!B．cos 错误!＞－cos 错误!＞sin 错误!C．cos 错误!＜sin 错误!＜－cos 错误!D．－cos 错误!＜sin 错误!＜cos 错误!C[sin 错误!＝cos错误!，－cos 错误!＝cos错误!。

余弦函数的图像与性质

§6 余弦函数的图像与性质6.1 余弦函数的图像 6.2 余弦函数的性质邓州市三高中：王豪欣1．会利用诱导公式，通过图像平移得到余弦函数的图像． 2．会用五点法画出余弦函数在[0,2π]上的图像．(重点) 3．掌握余弦函数的性质及应用．(重点、难点)[基础·初探]教材整理余弦函数的图像与性质阅读教材P 31～P 33“思考交流”以上部分，完成下列问题． 1．利用图像变换作余弦函数的图像因为y ＝cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，所以余弦函数y ＝cos x 的图像可以通过将正弦曲线y ＝sin x 向左平移π2个单位长度得到．如图1-6-1是余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图像，叫作余弦曲线．图1-6-12．利用五点法作余弦函数的图像画余弦曲线，通常也使用“五点法”，即在函数y ＝cos x (x ∈[0,2π])的图像上有五个关键点，为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，0，(2π，1)，可利用此五点画出余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 的简图(如图1-6-2)．图1-6-23．余弦函数的性质图像定义域 R 值域 [－1,1]最大值，最小值当x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；当x ＝2kπ＋π(k ∈Z )时，y min ＝－1周期性周期函数，T ＝2π单调性在[2k π－π，2k π](k ∈Z )上是增加的；在[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上是减少的奇偶性偶函数，图像关于y 轴对称判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)余弦函数y ＝cos x 的图像关于坐标原点对称．( )(2)余弦函数y ＝cos x 的图像可由y ＝sin x 的图像向右平移π2个单位得到．( )(3)在同一坐标系内，余弦函数y ＝cos x 与y ＝sin x 的图像形状完全相同，只是位置不同．( )(4)正弦函数与余弦函数有相同的周期，最大值、最小值及相同的单调区间．( )【解析】 (1)错；余弦函数y ＝cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，即可看作是y ＝sin x 向左平移π2个单位得到的，因而(2)错；(3)正确；正、余弦函数有相同的周期(都是2π)，相同的最大值(都是1)，相同的最小值(都是－1)，也都有单调区间，但单调区间不同，因而(4)错．【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×[小组合作型]五点法作图用“五点法”作函数y ＝1－cos x (0≤x ≤2π)的简图．【精彩点拨】利用“五点法”：列表―→描点―→连线【自主解答】列表：x 0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 1－cos x121作函数y ＝a cos x ＋b ，x ∈[0,2π]的图像的步骤1．列表：由x＝0，π2，π，3π2，2π时，cos x＝1,0，－1，0,1，求出y值．2．描点：在同一坐标系中描五个关键点．3．连线：用光滑曲线．[再练一题]1．作出函数y＝1－13cos x在[－2π，2π]上的图像．【解】①列表：x 0π2π3π22πy＝cos x 10－101y＝1－13cos x23143123②作出y＝1－13cos x在x∈[0,2π]上的图像．由于该函数为偶函数，作关于y轴对称的图像，从而得出y＝1－13cos x在x∈[－2π，2π]上的图像．如图所示：余弦函数图像的应用已知(1)y≥12时x的集合；(2)－12≤y≤32时x的集合．【精彩点拨】画出函数y＝cos x(x∈R) 的图像，观察图像，求出它在一个周期上的解集，再根据余弦函数的周期性，把它拓展为整个定义域上的解集．【自主解答】用“五点法”作出y ＝cos x 的简图．(1)过⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12点作x 轴的平行线，从图像中看出：在[－π，π]区间与余弦曲线交于⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12点，在[－π，π]区间内，y ≥12时，x 的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－π3≤x ≤π3.当x ∈R 时，若y ≥12，则x 的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)过⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32点分别作x 轴的平行线，从图像中看出它们分别与余弦曲线交于⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2k π，－12，k ∈Z ， ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2k π，－12，k ∈Z 点和⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋2k π，32， k ∈Z ，⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2k π，32，k ∈Z 点，那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求，即当－12≤y ≤32时x 的集合为：⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪ －2π3＋2k π≤x ≤－π6＋2k π或π6＋2k π≤x ≤⎭⎬⎫2π3＋2k π，k ∈Z利用余弦曲线求解cos α≥a 或cos α≤a (|a |<1)的步骤：1.作出余弦函数在一个周期内的图像(选取的一个周期不一定是[0，2π]，应根据不等式来确定)；2.作直线y ＝a 与函数图像相交；3.在一个周期内确定x 的取值范围；4.根据余弦函数周期性确定最终的范围.[再练一题]2．在同一坐标系中，画出函数y ＝sin x 与y ＝cos x 在[0,2π]上的简图，并根据图像写出sin x ≥cos x 在[0,2π]上的解集．【解】用“五点法”画出y ＝sin x 与y ＝cos x 的简图如下：由上图可得sin x ≥cos x 在[0,2π]上的解集为[π4，5π4]．余弦函数的单调性及应用(1)函数y ＝1－2cos x 的单调增区间是； (2)比较大小cos 263π cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－133π.【精彩点拨】 (1)y ＝1－2cos x 的单调性与y ＝－cos x 的单调性相同，与y ＝cos x 的单调性相反．(2)利用诱导公式将所给角转化到同一单调区间上比较．【自主解答】 (1)由于y ＝cos x 的单调减区间为[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，所以函数y ＝1－2cos x 的增区间为[2k π，2k π＋π](k ∈Z )．(2)由于cos 263π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋2π3＝cos 2π3，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π3＝cos π3， y ＝cos x 在[0，π]上是减少的．由π3<2π3知cos π3>cos 2π3，即cos263π<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π3. 【答案】 (1)[2k π，2k π＋π]k ∈Z (2)<1．形如y ＝a cos x ＋b (a ≠0)函数的单调区间 (1)当a >0时，其单调性同y ＝cos x 的单调性一致； (2)当a <0时，其单调性同y ＝cos x 的单调性恰好相反．2．比较cos α与cos β的大小时，可利用诱导公式化为[0，π]内的余弦函数值来进行．[再练一题]3．(1)比较大小：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π；(2)求函数y ＝log 12(cos 2x )的增区间．【解】 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＝cos 23π5＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋3π5＝cos 3π5，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝cos 17π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0<π4<3π5<π，且y ＝cos x 在[0，π]上递减， ∴cos 3π5<cos π4，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π.(2)由题意得cos 2x >0且y ＝cos 2x 递减． ∴x 只须满足：2k π<2x <2k π＋π2，k ∈Z ， ∴k π<x <k π＋π4，k ∈Z ，∴y ＝log 12(cos 2x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π4，k ∈Z .[探究共研型]与余弦函数有关的最值问题探究1 【提示】不是．余弦函数y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内是减函数，但不能说在第一象限是减函数．如390°和60°都是第一象限角，虽然有390°>60°，却有cos 60°<cos 390°.探究2 对于y ＝A cos 2x ＋B cos x ＋C 型的函数如何求最值？【提示】利用换元法转化为在固定区间上的二次函数求最值．求下列函数的最值． (1)y ＝－cos 2x ＋cos x ；(2)y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3.【精彩点拨】本题中的函数可以看作是关于cos x 的二次函数，可以化归为利用二次函数求最值的方法求解．【自主解答】 (1)y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122＋14.∵－1≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，y max ＝14. 当cos x ＝－1时，y min ＝－2.∴函数y ＝－cos 2x ＋cos x 的最大值为14，最小值为－2. (2)y ＝3cos 2x －4cos x ＋1 ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －232－13.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y max ＝154；当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－14.∴函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3上的最大值为154，最小值为－14.求值域或最大值、最小值问题，一般依据为： (1)sin x ，cos x 的有界性；(2)sin x ，cos x 的单调性；(3)化为sin x ＝f (x )或cos x ＝f (x )，利用|f (x )|≤1来确定； (4)通过换元转化为二次函数.[再练一题]4．已知函数y ＝－cos 2x ＋a cos x －12a －12的最大值为1，求a 的值.【导学号：66470018】【解】 y ＝－cos 2 x ＋a cos x －12a －12 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －a 22＋a 24－a 2－12.∵－1≤cos x ≤1，于是①当a2<－1，即a <－2时，当cos x ＝－1时， y max ＝－32a －32.由－32a －32＝1，得a ＝－53>－2(舍去)；②当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，当cos x ＝a 2时，y max ＝a 24－a 2－12. 由a 24－a 2－12＝1，得a ＝1－7或a ＝1＋7(舍去)； ③当a 2>1，即a >2时，当cos x ＝1时，y max ＝a 2－32. 由a 2－32＝1，得a ＝5. 综上可知，a ＝1－7或a ＝5.1．函数y ＝2cos x －1的最大值、最小值分别是( )A ．2，－2B ．1，－3C ．1，－1D ．2，－1【解析】 ∵－1≤cos x ≤1， ∴－2≤2cos x ≤2， ∴－3≤2cos x －1≤1， ∴最大值为1，最小值为－3. 【答案】 B2．函数y ＝sin x 和y ＝cos x 都是减少的区间是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π(k ∈Z )B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π，2k π－π2(k ∈Z )C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z )D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z )【解析】结合函数y ＝sin x 和y ＝cos x 的图像(略)知都减少的区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z )．【答案】 C3．函数y ＝cos x1＋cos x的定义域是 .【导学号：66470019】【解析】由题意知1＋cos x ≠0，即cos x ≠－1，结合函数图像知⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ≠2k π＋π，k ∈Z . 【答案】{}x | x ≠2k π＋π，k ∈Z4．满足2＋2cos x ≥0(x ∈R )的x 的集合是．【解析】 ∵2＋2cos x ≥0，∴cos x≥－22，结合图像(略)知：－34π＋2kπ≤x≤3π4＋2kπ(k∈Z)．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x⎪⎪⎪2kπ－34π≤x≤2kπ＋3π4，k∈Z5．画出y＝1－3cos x在[0,2π]上的简图，并指出其最值和单调区间．【解】列表：x 0π2π32π2πcos x 10－1011－3cos x －2141－2由图像可知，函数y＝1－3cos x在[0,2π]上的最大值为4，最小值为－2，单调增区间为[0，π]，单调减区间为[π，2π]．11。

专题5.4 三角函数图像与性质(原卷版)

专题5.4三角函数图像与性质1.正弦函数R x x y ∈=,sin 的性质.(1).定义域:R .(2).值域:sin [1,1]x ∈-.(3).周期性:周期函数，周期是)0(,2≠∈k Z k k 且π,最小正周期为π2.(4).奇偶性:奇函数，其图象关于原点对称.(5).单调性:增区间：2,2()22k k k Z ππππ-++∈（）减区间：32,2()22k k k Z ππππ++∈（）(6).对称性:对称轴：)(,2Z k k x ∈+=ππ，对称中心：)(),0,(Z k k ∈π2.余弦函数R x x y ∈=,cos 的性质.(1).定义域:R .(2).值域:]1,1[cos -∈x (3).周期性:周期函数，周期是)0(,2≠∈k Z k k 且π，最小正周期为π2.(4).奇偶性:偶函数，其图象关于y 轴对称.(5).单调性:减区间：)(),2,2(Z k k k ∈+πππ增区间：)(),22,2(Z k k k ∈++ππππ(6).对称性:对称轴：)(,Z k k x ∈=π，对称中心：)(),0,2(Z k k ∈+ππ3.正切函数x y tan =的图象与性质.(1).定义域:},2|{Z k k x R x x ∈+≠∈ππ且.(2).值域:R(3).周期性:周期函数，周期是)0(,≠∈k Z k k 且π，最小正周期为π.(4).奇偶性:奇函数，其图象关于原点对称.(5).单调性:增函数，)2,2(ππππ+-k k 为增区间.(6).对称性:对称中心：)(),0,2(Z k k ∈π4.正弦型函数R x A x A y ∈>+=,0),sin(ϕω的性质.(1).定义域:R .(2).值域:],[A A -(3).周期性:周期函数，周期是||2ωπ=T .(4).奇偶性:当Z k k ∈=,πϕ时为奇函数；当Z k k ∈±=,2ππϕ时为偶函数.(5).单调性:当0>ω时：令Z k k x k ∈+≤+≤+-,2222ππϕωππ，求解增区间.令Z k k x k ∈+≤+≤+,22322ππϕωππ，求解减区间.当0<ω时：注意单调区间的转化.(6).对称性:对称轴：令)(,2Z k k x ∈+=+ππϕω，求解对称轴方程，对称轴处取最值.对称中心：令)(,Z k k x ∈=+πϕω，求解对称中心坐标.5.余弦型函数R x A x A y ∈>+=,0),cos(ϕω的性质.(1).定义域:R .(2).值域:],[A A -(3).周期性:周期函数，周期是||2ωπ=T .(4).奇偶性:当Z k k ∈=,πϕ时为偶函数；当Z k k ∈±=,2ππϕ时为奇函数.(5).单调性:当0>ω时：令Z k k x k ∈+≤+≤,22ππϕωπ，求解减区间.令Z k k x k ∈+≤+≤+,222ππϕωππ，求解增区间.当0<ω时：注意单调区间的转化.(6).对称性:对称轴：令)(,Z k k x ∈=+πϕω，求解对称轴方程，对称轴处取最值.对称中心：令)(,2Z k k x ∈+=+ππϕω，求解对称中心坐标.一、单选题1．已知函数()tan 2f x x =，则（）A ．()f x 的最小正周期为π，对称中心为1,0,2k k Zπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．()f x 的最小正周期为π，对称中心为1,0,4k k Zπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．()f x 的最小正周期为2π，对称中心为1,0,2k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．()f x 的最小正周期为2π，对称中心为1,0,4k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2．用“五点法”作函数cos 46y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在一个周期内的图像时，第四个关键点的坐标是A ．5,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．5,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．5,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭3．若函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0)>ω在区间()2ππ，内没有最值，则ω的取值范围是（）A ．][117012612⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦，，B ．][1120633⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦，，C ．7012⎛⎤⎥⎝⎦，D ．1233⎡⎤⎢⎥⎣⎦，4．已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递减，则实数ω的取值范围是（）A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[)1,2D ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．已知()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><≤是R 上的奇函数，若()f x 的图象关于直线4x π=对称，且()f x 在区间,2211ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内是单调函数，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．B ．12-C ．12D ．26．函数ππ5πtan ,,6612y x x ⎛⎫⎛⎫=-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域为（）A ．()B ．3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．(,(1,)-∞+∞D ．3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭7．已知1tan tan αα≥且22,ππα⎛∈-⎫⎪⎝⎭，则α的取值范围为（）A ．,04π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．,0,442πππ⎡⎫⎡⎫-⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．,0,244πππ⎛⎤⎛⎤--⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦8．已知函数()()sin f x x α=+在,43x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上单调递增，则α的值可以是（）A ．3π-B ．4π-C ．4πD ．3π9．函数()23sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个单调递减区间是（）A ．7131212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．71212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．566ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，10．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,2π上有且只有4个零点，则ω取值范围是（）A ．1519,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1519,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1721,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1721,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．函数1tan 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域是（）A ．4,2xx k k Z ππ⎧⎫≠-+∈⎨⎬⎩⎭∣B ．2,2xx k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣C ．32,2xx k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣D ．,2xx k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣12．函数sin(2)4y x π=-的单调减区间是（）A ．3[,],(Z)88k k k ππππ-+∈B ．3[2,2],(Z)88k k k ππππ-+∈C ．37[22],(Z)88k k k ππππ++∈D ．37[,Z)88k k k ππππ++∈13．已知函数()sin()f x x ϕ=+为偶函数，则ϕ的取值可以为（）A ．π2-B ．πC ．π3D ．014．记函数()sin 4f x x b πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0>ω）的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，则10f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．1B ．32C ．52D ．315．已知函数()sin 0,0,2y A x m A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的最大值为4，最小值为0，且该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为2π，直线6x π=是该函数图象的一条对称轴，则该函数的解析式是（）A ．4sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 226y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．2sin 23y x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭D ．2sin 23y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭二、多选题16．已知函数()tan 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．()f x 在定义域内是增函数B ．6y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数C ．()f x 的最小正周期是πD ．()f x 图像的对称中心是,0,46k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭17．已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，()lg f x x =，记()()sin cos g x x f x x =+⋅，下列结论正确的是（）A ．()g x 为奇函数B ．若()g x 的一个零点为0x ，且00x <，则()00lg tan 0x x --=C ．()g x 在区间,2ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点个数为3个D ．若()g x 大于1的零点从小到大依次为12,,x x ⋅⋅⋅，则1273x x π<+<18．已知函数()()tan 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≠< ⎪⎝⎭，点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭和5,06π⎛⎫⎪⎝⎭是其相邻的两个对称中心，且在区间2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则ϕ=（）A ．3πB ．6πC ．3π-D ．6π-19．设函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[]0,π上有且仅有3条对称轴，则（）A ．()f x 在[]0,π上有且仅有2个最大值点B ．()f x 在[]0,π上有且仅有2个零点C ．ω的取值范围是710,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增20．已知函数()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则下列命题正确的是（）A ．若()f x 在[0,)π上有10个零点，则3943,44ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦B ．若()f x 在[0,)π上有11条对称轴，则3943,44ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦C ．若()f x ＝22在[0,)π上有12个解，则21,122ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．若()f x 在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则35,42ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦21．函数()214f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，对于任意的[)0,1a ∈，方程()()10f x a x m -=≤≤仅有一个实数根，则m 的取值可以为（）A ．8πB ．58πC ．38πD ．34π22．已知函数()tan 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列关于()f x 的判断正确的是（）A ．在区间,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B ．最小正周期是πC ．图象关于直线6x π=成轴对称D ．图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称三、解答题23．已知()sin ,()cos f x x g x x==(1)函数()y f x ω=（0>ω）在区间[)0,p 上恰有三条对称轴，求ω的取值范围．(2)函数2()2()()6,h x g x af x a =-++为常数，①当9a =-时，求函数h (x )的零点；②当[,]62x ππ∈-，恒有()0h x >，求实数a 的取值范围．24．已知函数()cos (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，图象上任意两条相邻对称轴间的距离为2π．(1)求函数的单调区间和对称中心．(2)若关于x 的方程22sin cos 40x m x --=在02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上有实数解，求实数m 的取值范围．25．已知函数2π()sin(2)3f x x =+.(1)请用五点法做出()f x 一个周期内的图像；(2)若函数()()g x f x m =-在区间π[0,2上有两个零点，请写出m 的取值范围，无需说明理由.26．已知函数()()3sin 2f x x πϕϕ=+∈-，（，2π）函数关于4x π=对称.(1)求()f x ϕ的值及的解析式；(2)用五点法在下列直角坐标系中画出()f x 在744ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的图象；(3)写出()f x 的单调增区间及最小值，并写出取最小值时自变量x 的取值集合．27．已知函数()1sin 62f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)求函数()f x 在区间[]0,2π上的所有零点之和.。

学年高中数学第一章三角函数._余弦函数的图像余弦函数的性质练习含解析北师大版必修

6．1 余弦函数的图像 6．2 余弦函数的性质填一填1.余弦函数图像的画法 (1)变换法：y ＝sin x 图像向左平移________个单位即得y ＝cos x 的图像．(2)五点法：利用五个关键点________，________，________，________，________画出[0,2π]上的图像，再左右扩展即可．2．余弦函数的性质函数性质余弦函数y ＝cos x 图像定义域 R值域 [－1,1]最值当x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1当x ＝(2k ＋1)π(k ∈Z )时，y min ＝－1周期性是周期函数，最小正周期为________奇偶性是偶函数，图像关于y 轴对称单调性在[(2k －1)π，2k π](k ∈Z )上是________的在[2k π，(2k ＋1)π](k ∈Z )上是________的判一判1.当余弦函数y ＝cos x 取最大值时，x ＝π＋2k π，k ∈Z .( )2．函数y ＝cos 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减函数．( ) 3．余弦函数的图像分别向左、右无限延伸．( )4．y ＝cos x 的定义域为[0,2π]．( )5．余弦函数y ＝cos x 是偶函数，图像关于y 轴对称，对称轴有无数多条．( )6．余弦函数y ＝cos x 的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形．( )7．函数y ＝a cos x (a ≠0)的最大值为a ，最小值为－a .( )8．函数y ＝cos x (x ∈R )的图像向左平移π2个单位长度后，得到函数y ＝g (x )的图像，那么g (x )＝－sin x ．(想一想1.提示：(1)平移法：这种方法借助诱导公式，先将y ＝cos x 写成y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，然后利用图像平移得到y ＝cos x 的图像．(2)“五点法〞：在函数图像特征的情况下，描出函数图像的关键点，画出草图．这种方法对图像的要求精度不高，是比拟常用的一种画图方法．余弦函数除以上两种常见的画图方法外，还有其他的作图方法(如与正弦函数类似的几何法等)．2．如何理解余弦函数的对称性？提示：(1)余弦函数是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )，即余弦曲线与x 轴的交点，此时的余弦值为0. (2)余弦曲线是轴对称图形，其所有的对称轴方程为x ＝kx (k ∈Z )，即对称轴一定过余弦曲线的最高点或最低点，此时余弦值取得最大值或最小值．思考感悟：练一练1.函数y ＝－5cos(3x ＋1)的最小正周期为( )A.π3 B ．3π C.2π3 D.3π22．函数y ＝sin x 和y ＝cos x 在区间M 上都是增函数，那么区间M 可以是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π 3．用“五点法〞作出函数y ＝3－cos x 的图像，以下点中不属于五点作图中的五个关键点的是( )A ．(π，－1)B ．(0,2)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3 4．函数y ＝－3cos x ＋2的值域为( )A ．[－1,5]B ．[－5,1]C ．[－1,1]D ．[－3,1]知识点一用“五点法〞作函数的图像1.作出函数y ＝－2cos x ＋3(0≤x ≤2π)的图像．2．画出函数y ＝3＋2cos x 的简图．知识点二与余弦函数有关的定义域问题3.求y ＝32－cos x 的定义域． 4．求函数y ＝1－2cos x ＋lg(2sin x －1)的定义域．知识点三余弦函数的单调性及应用5.求函数y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，3π2的单调区间和最值． 6．比拟cos 26π3与cos ⎝⎛⎭⎪⎫－13π3的大小．综合知识余弦函数值域(最值)问题7.求以下函数的最值．(1)y ＝－cos 2x ＋cos x ；(2)y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3.。

高考复习：三角函数的图像与性质(含参考答案与解析方法)

4.3三角函数的图像与性质一正弦、余弦、正切函数的图像与性质 (下表中k ∈Z ).1．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．2．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件．考点一三角函数的定义域与值域例1、（1）函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________．（2）函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －12的定义域为________．（3）①函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________．②当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．考点二三角函数的单调性例2、函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递减区间为 _____________．变式训练1 （1）函数y ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递减区间为_____________；（2）函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调递减区间为_______________.考点三三角函数的对称性与奇偶性例3、(2013·扬州期末)已知函数f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x · cos x ＋1.(1)求f (x )的最小正周期及对称中心；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3时，求f (x )的最大值和最小值．例4 （1）若函数y ＝3sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图像关于点⎝⎛⎭⎫π3，0中心对称，则φ＝________.（2）已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为点⎝⎛⎭⎫π12，0，则ω的最小值为______．(3)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为______．冲刺高考：1、已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是________．2、已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b 的值为________．3、(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．课堂练习1、函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为________________．2、函数y ＝sin x －cos x 的定义域是________．3、函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈[－π，0]的单调增区间为________．4、若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎤－2π3，2π3上单调递增，则ω的最大值为______．5、将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________．4.3三角函数的图像与性质（作业）1、已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的单调递减区间是________．2、将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是________．3、给出下列四个命题，其中不正确的命题为______．(填序号) ①若cos α＝cos β，则α－β＝2k π，k ∈Z ；②函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于x ＝π12中心对称；③函数y ＝cos(sin x )(x ∈R )为偶函数；④若α、β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β ⑤函数y ＝sin|x |是周期函数，且周期为2π.4、函数y ＝cos 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是________．5、函数y ＝cos(π4－2x )的单调减区间为________．6、设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．7、已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝________.8、已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．9、设函数f (x )＝sin(πx 4－π6)－2cos 2πx8＋1.(1)求f (x )的最小正周期．(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43]时，y ＝g (x )的最大值．4.3三角函数的图像与性质一正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中k ∈Z ).1．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．2．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件．考点一三角函数的定义域与值域例1 （1）函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________．解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3，即此时函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－32，3. （2） (2014·湛江调研)函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －12的定义域为________．解析：要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， ∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .（3）①函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________．②当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解析：①y ＝2cos 2x ＋5sin x －4＝2(1－sin 2x )＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2 ＝－2(sin x －54)2＋98. 故当sin x ＝1时，y max ＝1，当sin x ＝－1时，y min ＝－9，故y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为[－9,1]． ②∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1. 又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝ 2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78. ∴当sin x ＝14时，y min ＝78，当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.答案：(1)[－9,1] (2)78 2[类题通法]1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．2．三角函数值域的不同求法 (1)利用sin x 和cos x 的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域； (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．考点二三角函数的单调性例2、求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递减区间 [解] 由2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z .故函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调减区间为 ⎣⎡⎦⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )．变式训练1 （1）求函数y ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递减区间；（2）求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调递减区间解（1）画出函数y ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图像，易知其单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋3π4，k π＋5π4(k ∈Z )． (2) y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所给函数的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ；例3、求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值．解 ∵⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝π2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x . ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3，周期T ＝2π4＝π2. 当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递增，∴函数的递增区间为⎣⎡⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2 (k ∈Z )．当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递减， ∴函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z )．当x ＝π24＋k π2 (k ∈Z )时，y max ＝2；当x ＝－5π24＋k π2 (k ∈Z )时，y min ＝－2.考点三三角函数的对称性与奇偶性例4、(2013·扬州期末)已知函数f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x · cos x ＋1.(1)求f (x )的最小正周期及对称中心；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3时，求f (x )的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝ 3 sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.令 sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝0，得x ＝k π2－π12(k ∈Z )，所以f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0(k ∈Z )． (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，所以－π6≤2x ＋π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1，所以－1≤f (x )≤2. 所以当x ＝－π6时，f (x )的最小值为－1；当x ＝π6时，f (x )的最大值为2.例5 （1）若函数y ＝3sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图像关于点⎝⎛⎭⎫π3，0中心对称，则φ＝________.解析：由题意得3sin ⎝⎛⎭⎫23π＋φ＝0，所以23π＋φ＝k π(k ∈Z )．又因为0<φ<π，所以φ＝π3. （2）已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为点⎝⎛⎭⎫π12，0，则ω的最小值为______．解析：由题意知π3－π12≥T 4，T ＝2πω≤π，ω≥2.(3)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为______．解析：由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cos πx ，故f ⎝⎛⎭⎫16＝12cos π6＝34. [类题通法]1．若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值．若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.2．对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．三角函数的单调性、对称性、周期性例6、(1)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是________．(2)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b的值为________．(3)(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．思维点拨 (1)(π2，π)为函数f (x )某个单调减区间的子集；(2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可得函数的对称轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可；(3)利用正弦型函数图象的对称性求周期．解析 (1)由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知(π2ω＋π4，πω＋π4)⊆[π2，3π2]， ∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54. (2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3.(3)∵f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性， ∴T 2≥π2－π6， ∴T ≥2π3. ∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3， ∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12. 又∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫π6， ∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3. ∴14T ＝7π12－π3＝π4， ∴T ＝π. 答案 (1)[12，54] (2)－1或3 (3)π温馨提醒 (1)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题：首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象与其对称轴的交点是最值点. 课堂练习1、函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为________________．解析由⎩⎪⎨⎪⎧ sin 2x >0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<2x <2k π＋π，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x <－π2或0<x <π2. ∴函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为 {x |－3≤x <－π2或0<x <π2}.2、函数y ＝sin x －cos x 的定义域是________．解析要使函数有意义，必须有sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ，同一坐标系中作出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示．结合图象及正、余弦函数的周期是2π知，函数的定义域为{x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }．3、函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈[－π，0]的单调增区间为________．解析：当x －π4∈⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z 时，是f (x )的单调增区间．又因为x ∈[－π，0]，故取k ＝0得x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，0 4、若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤－2π3，2π3上单调递增，则ω的最大值为______．解析：依题意可知12×T ≥2×2π3，即12×2πω≥2×2π3，解得ω≤34，从而ω的最大值为34.5、将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________．解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得 sin(π3＋m )＝±1， ∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ， ∵m >0，∴m 的最小值为π6.4.3三角函数的图像与性质（作业）1、已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的单调递减区间是________．解析由f (π8)＝－2得f (π8)＝－2sin(2×π8＋φ)＝－2sin(π4＋φ)＝－2，所以sin(π4＋φ)＝1.因为|φ|<π，所以φ＝π4. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得 k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递减区间为[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )．2、将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是________．解析根据题意平移后函数的解析式为 y ＝sin ω⎝⎛⎭⎫x －π4，将⎝⎛⎭⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0，故ω的最小值为2. 3、给出下列四个命题，其中不正确的命题为______．(填序号) ①若cos α＝cos β，则α－β＝2k π，k ∈Z ；②函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于x ＝π12中心对称； ③函数y ＝cos(sin x )(x ∈R )为偶函数；④若α、β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β⑤函数y ＝sin|x |是周期函数，且周期为2π. 答案 ①④⑤解析命题①：若α＝－β，则cos α＝cos β，假命题；命题②：x ＝π12，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos π2＝0，故x ＝π12是y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称中心；命题⑤：函数y ＝sin|x |不是周期函数． 4、函数y ＝cos 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是________．解析 y ＝cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1－cos 2x 2＝1＋cos 2x2.∵cos 2x ∈[－1,1]，∴y ∈[0,1]．5、函数y ＝cos(π4－2x )的单调减区间为________．解析由y ＝cos(π4－2x )＝cos(2x －π4)得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )．6、设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．解析 f (x )＝3sin(π2x ＋π4)的周期T ＝2π×2π＝4，f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值，故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2.7、已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝________.解析由题中图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π2，所以ω＝2.由题意可知，图象过定点(3π8，0)，所以0＝A tan(2×3π8＋φ)，即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4. 又图象过定点(0,1)，所以A ＝1.综上可知，f (x )＝tan(2x ＋π4)，故有f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.8、已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .9、设函数f (x )＝sin(πx 4－π6)－2cos 2πx8＋1.(1)求f (x )的最小正周期．(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43]时，y ＝g (x )的最大值．解 (1)f (x )＝sin πx 4cos π6－cos πx 4sin π6－cos πx 4＝32sin πx 4－32cos πx 4＝3sin(πx 4－π3)，故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(2)方法一在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))，它关于x ＝1的对称点(2－x ，g (x ))．由题设条件，知点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上，从而g (x )＝f (2－x )＝3sin[π4(2－x )－π3]＝3sin[π2－πx 4－π3]＝3cos(πx 4＋π3)．当0≤x ≤43时，π3≤πx 4＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32.方法二区间[0，43]关于x ＝1的对称区间为[23，2]，且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为y ＝f (x )在[23，2]上的最大值．由(1)知f (x )＝3sin(πx 4－π3)，当23≤x ≤2时，－π6≤πx 4－π3≤π6. 因此y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3sin π6＝32.。

1.6余弦函数的图像和性质基础练习题

1.6余弦函数的图像和性质基础练习题一、单选题1．函数()cos 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是（） A ．2π B ．πC ．2πD ．4π2．已知[]0,x π∈，则满足1cos 2x >-的x 的取值范围是（） A ．2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,,33πππ⎡⎤⎛⎤⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦ C ．50,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．20,3π⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．函数3cos 24y x =+()x R ∈是（） A ．最小正周期为π的偶函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为2π的奇函数4．设函数()()2cos 2f x x φ=+为偶函数，则φ不可能取值为（） A ．π B ．2πC ．π-D ．2π5．函数3cos 1()x f x x+=的部分图象大致是（） A ． B ．C ．D ．6．函数2()sin (0,)2cos x f x x x π⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦的最大值为（） A ．1B ．54C ．32D ．27．函数3cos 28y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一个对称中心是（） A ．,08π⎛⎫⎪⎝⎭B ．5,016π⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,08π⎛⎫⎪⎝⎭D ．7,016π⎛⎫⎪⎝⎭8．下列函数中周期为π且为偶函数的是（） A ．cos(2)2y x π=-B ．sin(22)y x π=+C ．sin()2y x π=+D ．cos()2y x π=-9．函数cos 1y x =-的最小值是（） A ．0B ．1C ．2-D ．1-10．下列对cos y x =的图像描述错误的是（）A ．在0,2π和[]4,6ππ上的图像形状相同，只是位置不同B ．介于直线1y =与直线1y =-之间C ．关于x 轴对称D ．与y 轴仅有一个交点二、填空题11．函数cos 2y x =的最小正周期为__ __．12．函数y cos 24x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为________. 13．已知2cos 1x m -=，则m 的取值范围是________14．已知3()cos 1f x x x =+，若()10f a =，则()f a -=________．三、解答题15．用五点法作出函数32cos y x =+在[]0,2π内的图像.16．求使下列函数取得最大值和最小值时的x 的值,并求出函数的最大值和最小值.(1);(2),.17．求使下列函数取得最大值､最小值的自变量的集合,并求出最大值､最小值. (1)2sin y x =,x ∈R ; (2)2cos3xy =-,x ∈R . 18．在同一直角坐标系中,画出函数sin y x =,[0,2]x π,cos y x =,3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象.通过观察两条曲线,说出它们的异同.参考答案1．B 【分析】利用余弦函数的周期性求解．【详解】()f x 的最小正周期是22T ππ==．故选：B ．【点睛】本题考查函数的周期性，掌握余弦函数的周期性是解题关键． 2．D 【分析】由余弦函数的单调性可求. 【详解】由1cos 2x =-，[]0,x π∈，得23x π=，又函数cos y x =在[]0,π上单调递减，不等式1cos 2x >-等价于2cos cos 3x π>，所以203x π≤<，故x 的取值范围是20,3π⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选D ．【点睛】本题考查余弦函数的单调性的应用，属于基础题. 3．A 【分析】运用公式2T ωπ=，直接求出周期，判断(),()f x f x -之间的关系，结合函数奇偶性的定义进行判断即可．【详解】2T ππω==，()3cos(2)43cos 24()f x x x f x -=-+=+=，所以函数最小正周期为π，是偶函数，因此本题选A ．本题考查了余弦型函数的最小正周期以及奇偶性，利用函数奇偶性的定义进行判断是解题的关键． 4．B 【分析】根据余弦函数的性质，可直接得出结果. 【详解】因为函数()()2cos 2f x x φ=+为偶函数，所以k φπ=，k Z ∈，故φ不可能取2π，ACD 都可能取到. 故选：B. 【点睛】本题主要考查由余弦型函数的奇偶性求参数，属于基础题型. 5．A 【分析】根据函数解析式知：()f x 为奇函数且0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒正，即可得正确选项. 【详解】3cos()13cos 1()()x x f x f x x x-++-==-=--，故()f x 为奇函数，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，又()0f π<，故选：A ．【点睛】本题考查了根据函数解析式识别函数图象，属于简单题. 6．B 【分析】根据题意，将原式整理，得到215()cos 24f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，进而可求出结果.因为22215()sin cos cos cos 1cos 24f x x x x x x ⎛⎫=+=-++=--+ ⎪⎝⎭，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得cos [0,1]x ∈，所以当1cos 2x =时，max 5()4f x =，故选：B . 【点睛】本题主要考查求含三角函数的二次式的最值，属于基础题型. 7．B 【分析】计算余弦型函数的对称中心，然后直接进行判断即可. 【详解】令2,82πππ-=+∈x k k Z ，则5,162ππ=+∈k x k Z 所以函数3cos 28y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称中心为5,0,162ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭k k Z 令0k =，所以函数3cos 28y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个对称中心是5,016π⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：B 【点睛】本题考查余弦型函数的对称中心，属基础题. 8．B 【分析】先利用函数的周期性排除C ，D ，再利用诱导公式与函数的奇偶性可排除A ，从而可得答案．【详解】解：A ：令()cos(2)sin 22g x x x π=-=，则()sin(2)sin 2()g x x x g x -=-=-=-， ()cos(2)2g x x π∴=+为奇函数，故可排除A ；:()sin(2)cos22B y f x x x π==+=，∴其周期22T ππ==，()cos(2)cos2()f x x x f x -=-==， sin(2)2y x π∴=+是偶函数，sin(2)2y x π∴=+是周期为π的偶函数，故B 正确；:sin()2C y x π=+其周期2T π=，故可排除C ；D：同理可得cos()2y x π=-的周期为2π，故可排除D ；故选：B ．【点睛】本题考查正弦函数与余弦函数的周期性与奇偶性，考查诱导公式的应用，属于中档题． 9．C 【分析】由cos y x =的值域为[1,1]-可得解. 【详解】,1cos 1x R x ∈∴-≤≤2cos 10x ∴-≤-≤，所以cos 1y x =-的最小值为2-.故选：C 【点睛】本题考查余弦函数型的性质，属于基础题. 10．C 【分析】根据余弦函数的周期性判断选项A 的正误；根据余弦函数的值域判断B 的正误，根据余弦函数图象性质判断CD 的正误. 【详解】对A ，由余弦函数的周期2T π=，则区间[]0,2π和[]4,6ππ相差4π，故图像形状相同，只是位置不同，A 正确；对B ，由余弦函数的的值域为[1,1]-，故其图象介于直线1y =与直线1y =-之间，B 正确；由余弦函数的图象可得C 错误，D 正确. 故选：C. 【点睛】本题考查了余弦函数的图象及性质，属于基础题. 11．π 【解析】试题分析：根据三角函数周期公式222T πππω=== 考点：正余弦函数的周期公式 12．5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z) 【分析】化简函数解析式，由()2224k x k k Z ππππ≤-≤+∈，即可得结果.【详解】由y ＝cos 24x π⎛⎫-⎪⎝⎭＝cos 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，得2k π≤2x －4π≤2k π＋π(k ∈Z)，解得k π＋8π≤x ≤k π＋58π (k ∈Z)，所以函数的单调递减区间为5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z). 【点睛】函数cos()y A x ωϕ=+（0,0A ω>>）的单调区间的求法：把x ωϕ+看作是一个整体，由2k x πωϕ≤+≤()2k k Z ππ+∈可求得函数的减区间，由22k x k ππωϕπ-+≤+≤可求得增区间. 13．[3,1]- 【分析】根据余弦函数的值域求范围. 【详解】1cos 1x -≤≤，32cos 11x -≤-≤，即[3,1]m ∈-.故答案为; [3,1]- 【点睛】本题考查余弦函数的值域，属于基础题. 14．-8 【分析】根据()()2f x f x +-=可得()f a -的值. 【详解】因为3()cos 1f x x x =+，故()()33cos 1cos 1f x x x x x -=--+=-+，故()()2f x f x +-=，所以()()2f a f a +-=，故()8f a -=-. 故答案为：8-. 【点睛】本题考查函数值的计算，注意根据函数性质来求函数，本题属于容易题. 15．见解析【分析】取30,,,,222x ππππ=，列表得y 的值，再描点可得函数图像. 【详解】列表：描点得32cos y x =+在[]0,2π内的图像（如图所示）：【点睛】本题主要考查了五点法做三角函数图像，属于基础题. 16．见解析【解析】【分析】（1）由题得，再利用二次函数的图象和性质结合正弦函数的图象和性质得解；（2）由题得，再利用二次函数的图象和性质结合正弦函数的图象和性质得解. 【详解】解:(1).因为,所以当,即或时,函数取得最大值,;当,即时,函数取得最小值,.(2).因为,所以,所以当,即时,函数取得最大值,;当,即时,函数取得最小值,.【点睛】本题主要考查含sinx 的二次型函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17．(1)当|2,2x x x k k ππ⎧⎫∈=+∈⎨⎬⎩⎭Z 时,函数取得最大值2;当|2,2x x x k k ππ⎧⎫∈=-+∈⎨⎬⎩⎭Z 时,函数取得最小值-2.(2)当{|63,}x x x k k ππ∈=+∈Z 时,函数取得最大值3;当{|6,}x x x k k π∈=∈Z 时,函数取得最小值1. 【分析】（1）利用2sin y x =取得最大值和最小值的集合与正弦函数sin y x =取最大值最小值的集合是一致的求解；（2）利用2cos 3xy =-取得最大值和最小值的集合与余弦函数cos y x =取最小值最大值的集合是一致的求解. 【详解】（1）当sin 1x =即|2,2x x x k k ππ⎧⎫∈=+∈⎨⎬⎩⎭Z 时,函数取得最大值2;当sin 1x =-|2,2x x x k k ππ⎧⎫∈=-+∈⎨⎬⎩⎭Z 时,函数取得最小值-2；(2)当cos13x =-即2+,3xk k Z ππ=∈即{|63,}x x x k k ππ∈=+∈Z 时,函数取得最大值答案第9页，总9页 3; 当cos 13x =即2,3x k k Z π=∈即当{|6,}x x x k k π∈=∈Z 时,函数取得最小值1. 【点睛】本题主要考查三角函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 18．见解析【分析】根据五点作图法画出图像,再直观分析即可.【详解】解:可以用“五点法”作出它们的图象,还可以用图形计算器或计算机直接作出它们的图象,图象如图.两条曲线的形状相同,位置不同.【点睛】本题主要考查了正余弦函数图像之间的关系,属于基础题.。

7.3.3 余弦函数的性质与图像

第七章三角函数7．3.3 余弦函数的性质与图像1.了解余弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值及图像变换．2.借助图像理解余弦函数在[0, 2π]上的性质．3．通过学习，提高学生直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．(一)教材梳理填空 1．余弦函数对于任意一个角x ，都有唯一确定的余弦cos x 与之对应，所以y ＝cos x 是一个函数，一般称为余弦函数．2．余弦函数的性质性质内容定义域 R 值域 [－1,_1]周期性 T ＝2k π，k ∈Z ，最小正周期为2π奇偶性偶函数单调区间在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上递增，在[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上递减最值x ＝2k π(k ∈Z )时，取得最大值1；x ＝2k π＋π(k ∈Z )时，取得最小值－1对称性对称轴为x ＝ k π，对称中心为⎝⎛⎭⎫π2＋k π，0，其中k ∈Z3．余弦函数的图像把正弦函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位就得到余弦函数y ＝cos x 的图像，该图像称为余弦曲线．(二)基本知能小试 1．判断正误(1)余弦函数y ＝cos x 是偶函数，图像关于y 轴对称，对称轴有无数多条．( ) (2)余弦函数y ＝cos x 的图像是轴对称图形，也是中心对称图形．( ) (3)在区间[0,3π]上，函数y ＝cos x 仅在x ＝0时取得最大值1.( ) (4)函数y ＝cos x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上是减函数．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√2．使cos x ＝1－m 有意义的m 的值为( ) A ．m ≥0 B ．0≤m ≤2 C ．－1<m <1D ．m <－1或m >1解析：选B ∵－1≤cos x ≤1，∴－1≤1－m ≤1，解得0≤m ≤2.故选B. 3．下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x2 D ．y ＝cos 4x答案：D4．函数y ＝3＋2cos x 的最大值为________．答案：5题型一函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图像[学透用活][典例1] (1)要得到函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图像，可以将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的图像沿x 轴( ) A ．向左平移π2个单位B ．向左平移π个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π个单位(2)用“五点法”作函数y ＝1－cos x (0≤x ≤2π)的简图． [解析] (1)选C ∵y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π4 ＝3cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4－π4， ∴将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π4图像上所有点向左平移π4个单位，便可得到函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图像，故选C.(2)列表：[方法技巧]“五点法”画函数图像的三个步骤作形如y＝A cos(ωx＋φ)＋b，x∈[0,2π]的图像时，可用“五点法”作图，其步骤是：①列表，取x＝0，π2，π，3π2，2π；②描点；③用光滑曲线连成图．这是一种基本作图方法，应该熟练掌握．[对点练清]1．已知函数f(x)＝A cos(ωx＋θ)的图像如图所示，f⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f⎝⎛⎭⎫－π6＝()A．－23B．－12C.23 D.12解析：选A由题图知，T＝2⎝⎛⎭⎫11π12－7π12＝2π3，∴f⎝⎛⎭⎫－π6＝f⎝⎛⎭⎫－π6＋2π3＝f⎝⎛⎭⎫π2＝－23.2．画出函数y ＝3－2cos x ，x ∈[0,2π]的简图．解：按五个关键点列表，描点画出图像(如图).题型二余弦函数的最值、值域问题[学透用活][典例2] 求下列函数的值域： (1)y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0， π2； (2)y ＝cos 2x －4cos x ＋5.[解] (1)由x ∈⎣⎡⎦⎤0， π2可得x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6， 2π3， ∵函数y ＝cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π6， 2π3上单调递减， ∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－12，32.(2)y ＝cos 2x －4cos x ＋5，令t ＝cos x ，则－1≤t ≤1. y ＝t 2－4t ＋5＝(t －2)2＋1，当t ＝－1时，函数取得最大值10；当t ＝1时，函数取得最小值2. 所以函数的值域为[2,10]． [方法技巧]求余弦函数最值或值域问题的关注点(1)求形如y ＝a cos x 的函数最值要注意对a 的讨论． (2)将函数式转化为y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式． (3)换元后配方利用二次函数求最值．[对点练清]1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域是( ) A.⎝⎛⎦⎤－32，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，32 C.⎣⎡⎦⎤32，1D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：选B ∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤2π3.∵y ＝cos x 在[0，π]上为减函数， ∴－12≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32. 2．求y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3的最值．解：y ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3⎝⎛⎭⎫cos x －232－13. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3，cos x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12，从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y max ＝154；当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－14.∴原函数在区间⎣⎡⎦⎤π3，2π3上的最大值为154，最小值为－14. 题型三余弦函数的性质及应用[学透用活][典例3] (1)f (x )＝x ·sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋x 的奇偶性为________． (2)函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间为________． (3)比较下列各组数的大小． ①cos ⎝⎛⎭⎫－π18，cos π10； ②cos ⎝⎛⎭⎫cos 3π8，cos ⎝⎛⎭⎫sin 3π8. [解析] (1)此函数的定义域R 关于原点对称，且f (x )＝x ⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝x ·(－cos x ) ＝－x cos x ，∴f (－x )＝－(－x )cos(－x )＝x cos x ＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(2)y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π4. 令－π＋2k π≤x －π4≤2k π(k ∈Z )，则－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π(k ∈Z )．所以y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )．(3)①cos ⎝⎛⎭⎫－π18＝cos π18. ∵0＜π18＜π10＜π，而y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，∴cos π18＞cos π10，即cos ⎝⎛⎭⎫－π18＞cos π10. ②cos 3π8＝sin π8.∵0＜π8＜3π8＜π2，且y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增， ∴sin π8＜sin 3π8，即0＜cos 3π8＜sin 3π8＜1.而y ＝cos x 在(0,1)上单调递减， ∴cos ⎝⎛⎭⎫cos 3π8＞cos ⎝⎛⎭⎫sin 3π8. [答案] (1)奇函数(2)⎣⎡⎦⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z ) [方法技巧]1．求三角函数周期的三种方法 (1)定义法．(2)公式法．对y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω≠0)，T ＝2π|ω|. (3)观察法(图像法)． 2．有关函数奇偶性的结论(1)奇函数的图像关于原点成中心对称图形；偶函数的图像关于y 轴成轴对称图形．(2)对于奇函数，当x ＝0属于定义域时必有f (0)＝0. 对于偶函数，任意属于定义域的x 都有f (|x |)＝f (x )． 3．求函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间的技巧(1)求形如y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以借助于余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．(2)具体求解时注意两点：①要把ωx ＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x 的系数化为正；②在A >0，ω>0时，将“ωx ＋φ”代入余弦函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A <0，ω>0时，同样的方法可以求得与余弦函数单调性相反的单调区间．[对点练清]1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数 B ．f (x )是周期为2的偶函数 C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数 D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数解析：选B f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1＝－cos πx －1，从而函数f (x )为偶函数，且T ＝2ππ＝2. 2．函数f (x )＝cos 2x 的最小正周期为________．解析：令z ＝2x ，∴f (x )＝cos 2x ＝cos z ＝cos(z ＋2π)＝cos(2x ＋2π)＝cos [2(x ＋π)]，即f (x ＋π)＝f (x )， ∴T ＝π. 答案：π3．比较大小：cos 15π8________cos 14π9.解析：cos 15π8＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π8＝cos π8， cos 14π9＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－4π9＝cos 4π9. ∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，且0<π8<4π9<π，∴cos π8>cos 4π9，∴cos 15π8>cos 14π9.答案：＞[课堂一刻钟巩固训练] 一、基础经典题1．x 轴与函数y ＝cos x 的图像的交点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．无数个解析：选D 函数y ＝cos x 的图像与x 轴有无数个交点． 2．函数y ＝－cos x 在区间⎣⎡⎦⎤－π2， π2上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先减后增函数D ．先增后减函数解析：选C 结合函数在⎣⎡⎦⎤－π2， π2上的图像可知C 正确． 3．已知函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－ωx 的最小正周期为4π，则ω＝________. 解析：∵4π＝2π|－ω|，∴ω＝±12.答案：±124．函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝－12的交点有________个．解析：作y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像及直线y ＝－12(图略)，可知两函数图像有2个交点．答案：2 二、创新应用题5．求函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间．解：y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π4，由2k π－π≤x －π4≤2k π，k ∈Z ，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z .即该函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤2k π－3π4， 2k π＋π4，k ∈Z . [课下双层级演练过关] A 级——学考水平达标练1．函数y ＝cos x 与函数y ＝－cos x 的图像( ) A ．关于直线x ＝1对称 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y 轴对称解析：选C 作出函数y ＝cos x 与函数y ＝－cos x 的简图(略)，易知它们关于x 轴对称，故选C. 2．使函数y ＝3－2cos x 取得最小值时的x 的集合为( ) A ．{x |x ＝2k π＋π，k ∈Z } B ．{x |x ＝2k π，k ∈Z } C ．{x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z }D ．{x |x ＝2k π－π2，k ∈Z }解析：选B 使函数y ＝3－2cos x 取得最小值时的x 的集合，就是使函数y ＝cos x 取得最大值时的x 的集合{x |x ＝2k π，k ∈Z }．3．已知函数y ＝cos x 在(a ，b )上是增函数，则y ＝cos x 在(－b ，－a )上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．增函数或减函数D ．以上都不对解析：选B ∵函数y ＝cos x 为偶函数，∴在关于y 轴对称的区间上单调性相反．故选B. 4．函数y ＝1－2cos π2x 的最小值，最大值分别是( )A ．－1,3B ．－1,1C ．0,3D ．0,1解析：选A ∵cos π2x ∈[－1,1]，∴－2cos π2x ∈[－2,2]，∴y ＝1－2cos π2x 的最小值为－1，最大值为3.5．(多选题)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2(x ∈R )，下面结论正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为π B ．函数f (x )是偶函数C ．函数f (x )的图像关于直线x ＝π4对称D ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数解析：选ABD f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，最小正周期为π，故A 正确；易知函数f (x )是偶函数，故B 正确；由函数f (x )＝－cos 2x 的图像可知，C 错误，D 正确．6．利用余弦曲线，写出满足cos x >0，x ∈[0,2π]的x 的区间是____________________．解析：画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像如图所示．cos x >0的区间为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎦⎤3π2，2π. 答案：⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎦⎤3π2，2π 7．若函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．解析：因为y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π<a ≤0时满足条件，故a ∈(－π，0]．答案：(－π，0]8．cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是________．(用“>”连接)解析：由于0<1<2<3<π，而y ＝cos x 在[0，π)上单调递减，所以cos 1>cos 2>cos 3. 答案：cos 1>cos 2>cos 3 9．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间(k ∈Z )；(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 值(k ∈Z )．解：(1)令－π＋2k π≤3x ＋π4≤2k π(k ∈Z)，可得－5π12＋23k π≤x ≤－π12＋23k π(k ∈Z )，故f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－5π12＋23k π，－π12＋23k π(k ∈Z )．(2)当3x ＋π4＝－π＋2k π，即x ＝－5π12＋23k π(k ∈Z )时，f (x )取得最小值，最小值为－2.10．求作函数y ＝－2cos x ＋3在一个周期内的图像，并求函数的最大值及取得最大值时x 的值．解：列表如下：描点、连线得出函数y ＝－2cos x ＋3在一个周期内的图像：由图可得，当x ＝2k π＋π，k ∈Z 时，函数取得最大值，y max ＝5.B 级——高考水平高分练1．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π解析：选D 将y ＝cos x 的图像位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的图像不变，即得y ＝|cos x |的图像(如图)．故选D.2．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω≠0)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4等于( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0D ．－2或0解析：选B 由题意，知x ＝π4为函数f (x )的一条对称轴，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝±2. 3．已知函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫k πx ＋π3的周期为T ，且T ∈(1,3)，则正整数k ＝________. 解析：∵T ＝2πk π＝2k (k ∈N *)，∴1<2k <3(k ∈N *)． ∴23<k <2(k ∈N *)．∴k ＝1. 答案：14．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图像和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，求这个封闭图形的面积．解：作出函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图像，函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分．利用图像的对称性可知，该阴影部分的面积等于矩形OABC 的面积，又∵OA ＝2，OC ＝2π，∴S 阴影＝S 矩形OABC ＝2×2π＝4π.5．求函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的对称中心坐标，对称轴方程，以及当x 为何值时，y 取最大值或最小值．解：由于y ＝cos x 的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0(k ∈Z )，对称轴方程为x ＝k π(k ∈Z )．又由2x －π3＝k π＋π2，得x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )；由2x －π3＝k π，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π2＋5π12，3(k ∈Z)，对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．因为当θ＝2k π(k ∈Z )时，y ＝3－2cos θ取得最小值，所以当2x －π3＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π＋π6(k ∈Z )时，y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3取得最小值1. 同理可得当x ＝k π＋2π3(k ∈Z )时，y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3取得最大值5.6．已知函数f (x )＝2cos ωx (ω＞0)，且函数y ＝f (x )的图像的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π8的值；(2)将函数y ＝f (x )的图像向右平移π6个单位后，再将得到的函数图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )的单调递减区间．解：(1)∵f (x )的周期T ＝π，故2πω＝π，∴ω＝2， ∴f (x )＝2cos 2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫π8＝2cos π4＝ 2. (2)将y ＝f (x )的图像向右平移π6个单位后，得到y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6的图像，再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y ＝f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6的图像，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6＝2cos ⎣⎡⎭⎫2⎝⎛⎦⎤x 4－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. 当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k ∈Z)，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k ∈Z )时，g (x )单调递减，因此g (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3(k ∈Z )．。

6.1.3 正弦函数和余弦函数的图像与性质(含答案)

【课堂例题】例1.求下列函数的周期：(1)cos 2y x =; (2)1sin()26y x π=+.例2.若钟摆的高度()h mm 与时间()t s 之间的函数关系如图所示.(1)求该函数的周期；(2)求10t s =时钟摆的高度.课堂练习1.求下列函数的周期 (1)cos 2x y =; (2)12sin()34y x π=-+. 2.若函数()sin()5f x kx π=+的最小正周期为23π，求正数k 的值. 3.求下列函数的周期：(1)sin cos y x x =; (2)2sin 22sin y x x =+ 4.已知()f x 的定义域为R ，任意x 都满足(3)()f x f x +=-，证明()f x 是周期函数，并求出它的周期.50403020100/h mm 123/t s【知识再现】1．一般地，对于函数()f x ，如果，使得对于定义域内的每一个自变量x ，都有，那么函数()f x 就叫做周期函数，T 叫做这个函数的 .2.正弦函数sin ,y x x R =∈和余弦函数cos ,y x x R =∈的周期是，最小正周期是 .【基础训练】注：下列各题中要求计算周期的，如非特别说明，都是指求最小正周期.1.函数sin 2y x =的周期是 .2.若函数()cos()f x kx =-的最小正周期是2，则k =( )A.π;B. 2π.C. π±；D. 2π±3.人每三秒呼吸一次，每次呼吸肺中的空气体积在最小值2升与最大值4升之间变化,下列适合表示空气体积y 关于时间t 的函数关系式的为( ) A.22sin()2y t π=+； B.23sin()3y t π=+； C.222sin()3y t π=+； D.3sin()3y t π=+ 4.写出两个以2π为周期的函数: . 5.求下列函数的周期.(可以直接写出结果) (1) sin4x y =； (2) 2cos(2)3y x π=+；(3) 2cos y x =；(4) sin y x x =.提示：(3)(4)先变为6.时间()t s (1)求该函数的周期(2)求10.5t s =7.(1)(),y f x x R =∈满足：(2)(),f x f x x R -=-∈，试求函数()y f x =的周期；(2)已知(),y f x x R =∈的周期为3，试求函数(21)y f x =+的周期.【巩固提高】8.求下列函数的周期和最值(无需注明取到最值时的自变量值).(1)222cos y x x -； (2)44sin cos y x x =+.提示：先变成只含一个三角比的函数，再判断周期.9.已知函数(),y f x x R =∈的图像由折线段组成，部分图像如下图所示：若该函数对于任意x 满足：(3)()f x f x ±=.(1)画出()f x 在区间[6,6]-上的图像；(2)试求(2012)f 的值；(3)试求()f x 在区间[2011,2012]上的解析式.(选做)10.以下三个问题任选2个回答：(1)4cos()cos 333πππ+=是否成立？如果成立，那么43π是不是cos y x =的周期？为什么？ (2)常值函数(),f x C x R =∈是不是周期函数？它的周期是多少？最小正周期是多少？(3)Dirichlet 函数：，是不是周期函数？它的周期是多少？【温故知新】11.若)2,0(πα∈，)0,2(πβ-∈，且42)sin(-=+βα，53cos =α，则βsin = ．是有理数是无理数 1,()0,x f x x ⎧=⎨⎩【课堂例题答案】例1.(1)π；(2)4π.例2.(1)1.5()s ；(2)20()mm .【课堂练习答案】1.(1)4π;(2)6π.2.3k =.3.(1)T π=;(2)T π=.4.证：(6)[(3)3](3)()f x f x f x f x +=++=-+=，因此周期为6.【知识再现答案】1.存在非零常数T ，()()f x T f x +=，周期2.2,0,k k k Z π≠∈,2π【习题答案】1.π2.C3.B4.sin 4,cos 4y x y x == 答案不唯一5.(1)8π;(2)π;(3)π;(4)2π6.(1)4()s ;(2)8cm -7.(1)4T =;(2)32T = 提示：(4)(2)()f x f x f x -=--=；3(21)(213)[2()1]2f x f x f x +=++=++8.(1)max min ,1,3T y y π===- 提示：2sin(2)13y x π=-- (2)max min 1,1,22T y y π===. 提示：22211312sin cos 1sin 2cos 4244y x x x x =-=-=+.(2)(2012)1f =;(3)()2011,[2011,2012]f x x x =-∈10.(1)等式成立，43π不是周期，因为4cos 0cos(0)3π≠+； (2)是，任意非零实数都是它的周期，不存在最小正周期；提示：0T ≠，总有()()f x T C f x +==(3)是，任意非零有理数都是它的周期.提示：先证明任意无理数都不是周期.证：设T 是任意无理数，因为(1)0(1)1f T f +=≠=，所以任意无理数都不是周期. 证毕再证明任意非零有理数都是周期.证：设,0T Q T ∈≠则x Q ∀∈，都有x T Q +∈，所以()1()f x T f x +==；x Q ∀∉，都有x T Q +∉，所以()0()f x T f x +==；综上，对于任意实数x ，都有()()f x T f x += 证毕11.。

正弦函数.余弦函数的图像与性质基本题(内附详解答案)doc

正弦函数，余弦函数的图像与性质（基本题）基础巩固：1、选择题1.函数y=3sin（2x+）的最小正周期是（）A.4πB. 2πC.πD.2.下列函数中，周期为的是（）A.y=sinB. y=sin2xC.y=cosD.y=cos4x3.设M和m分别表示函数y=cosx－1的最大值和最小值，则M+m等于（）A． B. ﹣ C. ﹣ D. ﹣24.函数y=丨sinx丨+sin丨x丨的值域为（）A．[﹣2,2] B. [﹣1,1] C. [0,2] D. [0,1]5.下列函数中，图像关于直线x=对称的是（）A.y=sin（2x－）B.y=sin（2x－）C.y=sin（2x+）D.y=sin（+）6.当﹣≤x≤时，函数f（x）=2sin（x+）有（）A,最大值为1，最小值为﹣1 B.最大值为1，最小值为﹣C.最大值为2，最小值为﹣2D.最大值为2，最小值为﹣1二．填空题7.若函数y=5sin（x﹢）的周期不大于1，则自然数k的最小值为_______8.函数y=sinx的定义域为[a,b]，值域为[﹣1, ]，则b－a的最大值和最小值之和等于 ___9.设函数f（x）=A+Bsinx，若B＜0时，f（x）的最大值是，最小值是﹣，则A=_____,B=_____10.已知f（x）=sin（ωx+）（ω＞0），f（）=f（），且f（x）在区间（，）内有最小值，无最大值，则ω=_______.能力提升.三．解答题11.求函数y=cos²x－sinx的值域12.如果函数y=sin²x﹢acos2x的图像关于直线x=﹣对称，求a的值13.函数f（x）=﹣sin²x + sinx + a.若1≤f（x）≤时，一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围。

答案：选择题：1.C．解析：T==π2.D．解析：A.T==4π B.T==π C.T==8π D.T==3.D．解析：Ymax=－1=﹣，Ymin=×（﹣1）－1=﹣∴M＋m=﹣－=﹣24.C．解析：∵f（x）=丨sinx丨＋sinx ﹙x≥0﹚f（x）=丨sinx丨－sinx ﹙x＜0﹚[分情况考虑]∴0≤f（x）≤2，故选C5.B．解析：B中sin（2×－）=sin=1，故选B6.D．解析：∵﹣≤x≤，∴﹣≤x＋≤∴﹣≤sin（x＋）≤1，∴﹣1≤f（x）≤2填空题：7. 19. 解析：T==，且丨T丨≤1，即丨丨≤1∴k≥6π，且k为自然数，∴kmin=198. 2π.解析：利用函数y=sinx图像知（b－a）min=，（b－a）max=，故b －a的最大值和最小值之和等于2π9. ，﹣1. 解析：由题意，由A－B= A＋B=﹣，可得A=，B=﹣110. . 解析：由题意知x=＋=为函数的一条对称轴.且ω•＋=2kπ－﹙k∈Z﹚得ω=8k－﹙k∈Z﹚……①又－≤﹙ω＞0﹚∴0＜ω≤12……②由①②得k=1，ω=，故填能力提升：11.解析：cos²x－sinx=1－sin²x →配方→求值域。

余弦函数的图像和性质含答案

课时作业11 余弦函数、正切函数的图象与性质(二)时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．函数y ＝tan(x ＋π3)的定义域是( )A ．{x ∈R |x ≠k π＋π6，k ∈Z }B ．{x ∈R |x ≠k π－π6，k ∈Z }C ．{x ∈R |x ≠2k π＋π6，k ∈Z }D ．{x ∈R |x ≠2k π－π6，k ∈Z }解析：由x ＋π3≠k π＋π2，k ∈Z 得x ≠k π＋π6，k ∈Z .答案：A2．要得到y ＝tan2x 的图象，只需把y ＝tan(2x ＋π8)的图象( )A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π16个单位D ．向右平移π16个单位解析：因为y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π8＝tan2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π16，要得到y ＝tan2x ，只需把x 换成x －π16，即需要向右平移π16个单位长度．答案：D3．函数y ＝3tan(12x ＋π3)的一个对称中心是( )A ．(π6，0)B ．(23π，－33)C ．(－23π，0)D ．(0,0)解析：函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的对称中心是图象与x 轴的交点，所以B 是不对的，把A 、C 、D 代入函数解析式，只有C 符合．答案：C4．比较tan1.5，tan2.5，tan3.5的大小，正确的是( )A ．tan1.5>tan2.5>tan3.5B ．tan1.5>tan3.5>tan2.5C ．tan2.5>tan1.5>tan3.5D ．tan3.5>tan2.5>tan1.5解析：tan2.5＝tan(2.5－π)，tan3.5＝tan(3.5－π)，又π2<2.5<π，∴－π2<2.5－π<0.∵π<3.5<3π2，∴0<3.5－π<π2，∴－π2<2.5－π<3.5－π<1.5<π2，而y ＝tan x 在(－π2，π2)上是增函数，故tan(2.5－π)<tan(3.5－π)<tan1.5，即tan2.5<tan3.5<tan1.5.答案：B5．在区间(－π2，π2)内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象交点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：∵x ∈(0，π2)时，sin x <tan x ，∴y ＝tan x 与y ＝sin x 在(0，π2)内没有交点．又y ＝tan x 与y ＝sin x 都关于原点对称，∴y ＝tan x 与y ＝sin x在(－π2，0)内也没有交点．∴它们只有点(0,0)这一个交点．答案：A6．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间(π2，3π2)内的图象大致是( )解析：∵π2<x ≤π时，sin x ≥0，tan x ≤0，∴y ＝tan x ＋sin x －(sin x －tan x )＝2tan x ，∵π<x <3π2时，sin x <0，tan x >0，∴y ＝tan x ＋sin x －(tan x －sin x )＝2sin x ，故选D.答案：D二、填空题(每小题8分，共计24分)7．当x 在区间[0,2π]内时，使不等式tan x <33成立的x 的集合是________________．解析：由正切函数的图象可得，当tan x <33时，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，76π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤32π，2π，或用单位圆中的正切线也可求．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，76π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤32π，2π 8．函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的递减区间是________．解析：令u (x )＝π3－2x ，则内函数u (x )在定义域上是减函数，故原函数的单调减区间即为外函数y ＝tan u 的单调增区间，即k π－π2<u <k π＋π2，即k π－π2<π3－2x <k π＋π2，(k ∈Z )．所以k 2π－π12<x <k π2＋512π(k ∈Z )为所求．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2π－π12，k 2π＋512π(k ∈Z ) 9．已知函数y ＝2tan(π6－12x )，该函数的对称中心为________．解析：y ＝2tan(π6－12x )＝－2tan(12x －π6)．∵y ＝tan x 的对称中心为(k π2，0)，∴令12x －π6＝k π2，得x ＝k π＋π3，k ∈Z .∴y ＝2tan(π6－12x )的对称中心为(k π＋π3，0)，k ∈Z .答案：(k π＋π3，0)，k ∈Z三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分)10．作出函数y ＝tan x ＋|tan x |的图象，并求其定义域、值域、单调区间及最小正周期．解：y ＝tan x ＋|tan x |＝⎩⎨⎧ 2tan x ，tan x ≥0，0，tan x <0.其图象如图所示，由图象可知，其定义域是(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )；值域是[0，＋∞)；单调递增区间是[k π，k π＋π2)(k ∈Z )；最小正周期T ＝π.11．已知f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2(1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值和最小值．(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数．解：(1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －332－43 x ∈[－1，3]，∴x ＝33时，f (x )的最小值为－43；当x ＝－1时，f (x )的最大值为233.(2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图象的对称轴为x ＝－tan θ ∵y ＝f (x )在[－1，3]上是单调函数．∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.因此，θ角的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2. 12．已知－π4≤x ≤π3，y ＝tan 2x －2tan x ＋2.求函数的最大值和最小值，并求出相应的x 值．解：令t ＝tan x ，∵－π4≤x ≤π3，∴tan x ∈[－1，3]，∴t ∈[－1，3]，∴y ＝t 2－2t ＋2，∴y ＝(t －1)2＋1，∴当t ＝1，即tan x ＝1时，也即x ＝π4时，y min ＝1，当t ＝－1，即tan x ＝－1时，也即x ＝－π4时，y max ＝5.。

正弦余弦函数的图像与性质

正弦、余弦函数的图像与性质一、选择题 1. 函数)32sin(π+=x y 图像的对称轴方程可能是（）A. =x －6π B. =x －12π C. =x 6π D . =x 12π2. 函数)32sin(π+=x y 在区间[]π,0的一个单调递减区间是（）A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡125,0π B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡127,12ππ C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211,125ππ D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,6ππ 3．函数x xy cos 2cos 2-+=（)R x ∈的最大值是（）A.35B. 25C. 3D. 5 4. 下列函数中是奇函数的是（）A. x y sin -=B. )cos(x y -=C. =y x sin D .x x y sin ⋅=5. 函数x y sin =的一个单调递增区间是（） A. )4,4(ππ-B.)43,4(ππC. )23,(ππD.)2,23(ππ6. 设函数x x x f 3sin 3sin )(+=,则)(x f 是 ( )A. 周期函数,最小正周期为3π B. 周期函数,最小正周期为 32πC. 周期函数,最小正周期为 π2D. 非周期函数7. 设0>a ,对于函数),0(,sin sin )(π<<+=x xax x f 下列结论正确的是 ( ) A.有最大值而无最小值 B . 有最小值而无最大值 C. 有最大值且有最小值 D. 既无最大值又无最小值 8. 已知函数x x x x x f cos sin 21)cos (sin 21)(--+=, 则)(x f 的值域是 ( ) A. []1,1- B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,22 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,1 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--22,1 10. 方程x x lg sin =的实数解有（）A. 1个B. 2个 C . 3个 D. 无数个9. 定义在R 上的函数)(x f ，既是偶函数，又是周期函数，若)(x f 的最小正周期为π，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为（） A. －21 B. 21 C. －23 D . 2311. 若函数)20(,cos π≤≤=x x y 的图像和直线2=y 围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为A. 4B. 8C. π2D. π4 12. 若函数x a x y 2cos 2sin +=的图像直线关于8π=x 对称，则a 的值为A . 1 B. 2 C. －1 D. －2 二、填空题 13. 比较大小：①47cos ,23cos ,101sin-的大小顺序为． ②)sin(cos x 与)cos(sin x )20(π<<x 的大小顺序为．14. 函数⎪⎭⎫⎝⎛-=24sin lg x y π的单调递增区间是． 15. 函数)cos(sin x y =的值域是．16. 函数)(x f y =的图像与直线b x a x ==,及x 轴所围成图形的面积为函数)(x f 在[]b a ,上的面积。

余弦函数的图像和性质

x

3 2
2 1
y
0

2

3 2
2
练习：画出函数[0，2π]上的图像
y=2cos x -3
二、余弦函数y cosx的性质
1、定义域 2、值域 3、周期性 4、最值
5、单调性
y cos x , x R
y 1
2
2
-1
0

3 2 2
4xy cos x , x R5、单调性在x 2k ,2k 上是增函数；
在x 2k , 2k 上是减函数；
例2 求出使下列函数取得最值的x的集合，
并写出最值，定义域和值域
• y=2-3cos x
解：当 x k 2 , k Z时 cosx取得最大值1
此时 y 2 3cosx的最小值 2－3＝ 1
作业：P40，1(2)并求定义域、值域、最大最小值。下节课再见啦*^_^*
；蹦床公园加盟 /service ； 2019年01月21日18:02:23 ；
你说话の份,你要么闭嘴要么滚出去.”鞠言毫不客气の说.对呐个想踩自身几脚の乌凌,鞠言自是不会有好の态度.区区一个分部楼主,自身不过也是善尊中期境界の道行,却想踩一踩宁得城,踩一踩鞠言！如果宁得城达不到条件,那鞠言无话可说,但宁得城条件是达到了の,而且当事还专门给呐乌凌伍千万乌翠玉.呐混蛋收了乌翠玉,却故意下绊子,委实是可恨.听到鞠言の话,乌凌一罔脸顿事通红,目中露出怒光,但他不敢在呐里发飙.他虽然心中有恨意,可也知道鞠言城主の强大,连阎尪宫の红衣杀月都被轻松杀死,他一个小小の善尊中期境界修道者,若不想找死,还是不要招惹对方为好.“鞠言城主,不知……”藏庄如看了看乌凌,又看向鞠言.他此事也有些不舒服,鞠言当着他の面如此呵斥乌凌,呐让

1.6 余弦函数的图像与性质练习2

13．比较下列各组数的大小：
(1)cos
－π 8
与
cos157π；
(2)sin194°与 cos160°.
14．已知函数 y＝－cos2x＋acosx－12a－12的最大值为 1，求 a 的值．
余弦函数的图像余弦函数的性质
|基础巩固|(25 分钟，60 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)
1．对于余弦函数 y＝cosx 的图象，有以下三项描述：
(1)向左向右无限延伸；
(2)与 x 轴有无数多个交点；
(3)与 y＝sinx 的图象形状一样，只是位置不同．
其中正确的有( )
A．0 个 B．1 个
|能力提升|(20 分钟，40 分)
11．已知函数 y＝2cosx(0≤x≤2π)的图像和直线 y＝2 围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为( )
A．4 B．8 C．2π D．4π 12．(2016·江苏太仓月考)若函数 f(x)的定义域为[0,1]，则 f(cosx)的定义域为 ________．
则
f
－15π 4
＝________.
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 9．根据 y＝cosx 的图象解不等式：－ 23≤cosx≤12，x∈[0,2π]． 10．画出函数 y＝3＋2cosx 的简图． (1)求使此函数取得最大值、最小值的自变量 x 的集合并分别写出最大值、最小值． (2)讨论此函数的单调性．
C．2 个 D．3 个
2．函数 y＝sin 2 0211π－2 010x 是(
)
A．奇函数Байду номын сангаас
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数

2021年沪教版高一数学暑假作业：余弦函数的图像与性质【含答案】

2021年沪教版高一数学暑假作业：余弦函数的图像与性质【含答案】一、单选题1．下列命题中正确的是（） A ．cos y x =在第二象限是减函数 B ．tan y x =在定义域内是增函数 C ．|cos(2)|3y x π=+的周期是2π D ．sin ||y x =是周期为2π的偶函数【答案】C【分析】根据函数的图象与图象变换进行判断．【详解】解：由余弦函数图象可知cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，故单调递减，但是在第二象限内不具有单调性，故A 错误；由正切函数的图象可知tan y x =在每一个周期内都是增函数，故tan y x =在定义域内不是增函数，故B 错误．cos(2)3y x π=+的周期为π，则|cos(2)|3y x π=+的图象是由cos(2)3y x π=+的图象将x 轴下方的部分翻折到x 轴上方得到的，故周期减半， |cos(2)|3y x π∴=+的周期是2π，故C 正确． sin ||y x =是偶函数，其图象是将sin y x =在y 轴右侧的函数图象翻折到y 轴左侧，所以函数sin ||y x =不是周期函数，故D 错误．故选：C ．2．若()y f x =的图像与cos y x =的图象关于x 轴对称，则()y f x =的解析式为（） A ．()cos y x =- B ．cos y x =- C ．cos y x = D ．cos y x =【答案】B【分析】根据()f x -、()f x -、()fx 与()f x 的图象特征依次判断即可得到结果.【详解】对于A ，()cos cos y x x =-=，图象与cos y x =重合，A 错误；对于B ，()y f x =与()y f x =-图象关于x 轴对称，cos y x ∴=-与cos y x =图象关于x 轴对称，B正确；对于C ，当0x ≥时，cos cos y x x ==，可知其图象不可能与cos y x =关于x 轴对称，C 错误；对于D ，将cos y x =位于x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，就可以得到cos y x =的图象，可知其图象与cos y x =的图象不关于x 轴对称，D 错误.故选：B.3．函数cos y x =在区间(),3ππ上的图像的对称轴是（） A ．3x π= B ．52x π=C ．2x π=D ．x π=【答案】C【分析】根据余弦函数的性质即可求出对称轴.【详解】由余弦函数的性质可得函数cos y x =关于,x k k Z π=∈对称，又(),3x ππ∈，则2x π=，故函数cos y x =在区间(),3ππ上的图像的对称轴是2x π=. 故选：C.4．若函数()3sin 12f x x ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()f x 是（） A ．周期为1的奇函数 B ．周期为2的偶函数C ．周期为1的非奇非偶函数D ．周期为2的非奇非偶函数．【答案】B【分析】先化简()f x 的解析式可得()3cos 1f x x π=-，由正弦函数的周期公式和奇偶性的定义法可得答案.【详解】()3sin 13cos 12f x x x πππ⎛⎫=--=-⎪⎝⎭所以()f x 的最小正周期为22T ππ==又()()()3cos 13cos 1f x x x f x ππ-=--=-=，所以()f x 为偶函数. 故选：B二、填空题5．已知余弦函数过点,6m π⎛⎫-⎪⎝⎭，则m 的值为__________． 3【分析】将,6m π⎛⎫-⎪⎝⎭代入余弦函数即可求解. 【详解】设余弦函数为cos y x =，由函数过点,6m π⎛⎫-⎪⎝⎭可得3cos 6m π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 36．方程2cos 303⎛⎫++= ⎪⎝⎭x π的解集是____________. 【答案】22x x k ππ⎧=+⎨⎩或72,6x k k Z ππ⎫=-∈⎬⎭【分析】由题意可得出3cos 3x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得出3x π+的等式，由此可求得原方程的解集. 【详解】2cos 303x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 3x π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭ ()5236x k k Z πππ∴+=±∈，解得22x k ππ=+或()726x k k Z ππ=-∈，因此，方程2cos 303⎛⎫+= ⎪⎝⎭x π的解集是22x x k ππ⎧=+⎨⎩或72,6x k k Z ππ⎫=-∈⎬⎭. 故答案为：22x x k ππ⎧=+⎨⎩或72,6x k k Z ππ⎫=-∈⎬⎭. 【点睛】本题考查余弦方程的求解，考查计算能力，属于基础题. 7．函数2sin 3cos =+y x x 的值域为_____________．【答案】[3,3]-【分析】设cos x t =，[]1,1t ∈-，得到231324y t ⎛⎫=--+⎪⎝⎭，根据二次函数性质得到值域.【详解】22sin 3cos 1cos 3cos y x x x x =+=-+，设cos x t =，[]1,1t ∈-，则223133124y t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，函数在[]1,1t ∈-上单调递增，故1t =时，max 1313y =-++=，1t =-时，min 1313y =--+=-，故值域为[3,3]-. 故答案为：[3,3]-.【点睛】本题考查了三角函数的值域，意在考查学生的计算能力和转化能力，换元是解题的关键. 8．函数()lg cos f x x x =-在(,)-∞+∞内的零点个数为__________．【答案】4【分析】在同一平面直角坐标系中作出函数|lg |y x =和cos y x =的图像如图，结合图像的对称性可以看出两函数|lg |y x =和cos y x =的图像应有4个交点，即函数()lg cos f x x x =-在(),-∞+∞内有4个零点，故答案为：4．点睛：本题旨在考查化归转化的数学思想、函数方程思想、数形结合思想等数学思想的综合运用，求解时依据函数的对称性，先画出y 轴右边的函数的图像相交的情形，再根据对称性确定y 轴左边的函数的图像相交的情形，最终使得问题获解． 9．当3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()arcsin cos y x =的值域是______. 【答案】,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【分析】令cos t x =，3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，再利用反正弦函数的性质求解. 【详解】令cos t x =，3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以212t -≤≤，因为arcsin y t =在2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，所以arcsin 42t ππ-≤≤，所以函数()arcsin cos y x =的值域是,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查反正弦函数的图象和性质，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.10．函数2()sin cos 2f x x x =+-的值域是________ 【答案】3[3,]4--【分析】化简得到2()cos cos 1f x x x =-+-，设cos x t =，得到21324y t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，根据二次函数性质得到值域.【详解】22()sin cos 2cos cos 1f x x x x x =+-=-+-,设cos x t =，[]1,1t ∈-，则2213124y t t t ⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭，当12t =时，函数有最大值为34-；当1t =-时，函数有最小值为3-.故函数值域为3[3,]4--. 故答案为：3[3,]4--.【点睛】本题考查了三角函数的值域，意在考查学生的计算能力和转化能力，换元转化为二次函数是解题的关键.11．方程2cos 210x -=的解集是___________. 【答案】{|6x x k ππ=+或,}6x k k Z ππ=-∈【分析】根据余弦函数的图象与性质解三角方程即可. 【详解】由2cos 210x -=可得：1cos 22x =，所以223x k ππ=+或223x k ππ=-，()k ∈Z即6x k ππ=+或6x k ππ=-故答案为：{|6x x k ππ=+或,}6x k k Z ππ=-∈【点睛】本题主要考查了余弦函数的图象与性质，三角方程的解法，属于中档题. 三、解答题12．作出函数[]32cos ,,y x x ππ=-∈-的大致图象，并分别写出使0y >和0y <的x 的取值范围．【答案】图象见解析；当,,66⎡⎫⎛⎤∈--⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦x ππππ时，0y >；当,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，0y <. 【分析】利用五点作图法可得函数大致图象，令0y =，确定函数零点，数形结合得到所求x 的取值范围. 【详解】由五点作图法可知：x π-2π-2ππcos x1-0 11-y32+ 3 32- 3 32+由此可得函数大致图象如下图所示：令0y =32cos 0x =，3cos 2x ∴=，又[],x ππ∈-，6x π∴=-或6π，结合图象可知：当,,66⎡⎫⎛⎤∈--⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦x ππππ时，0y >；当,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，0y <. 【点睛】本题考查五点作图法的应用、与余弦函数有关的不等式的求解；求解不等式可确定函数零点后，通过数形结合的方式来求解.13．利用“五点法”作出函数1cos y x =-，[]0,2x π∈的图像．【分析】根据“五点法”的步骤先描点，再画出图象. 【详解】先找出五个关键点，列表如下：x2ππ32π 2π1cos y x =-0 121描点作出函数图象如下：14．求下列函数的单调递增区间：（1）3sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）2cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（3）sin y x =；（4）()22sin 2sin cos 3cos ,f x x x x x x R =++∈．【答案】（1）37,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦；（2）5,88k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦；（3）,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦；（4）3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦．【分析】（1）利用诱导公式变形，由正弦型复合函数的单调性求解；（2）余弦型复合函数的单调性求解；（3）画出函数图象，结合函数图象即可判断；（4）首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得．【详解】解：（1）2sin 22sin 244y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由3222242k x k πππππ+-+，得3878k x k ππππ++，k Z ∈． 3sin 24y x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭的单调增区间为37,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，（2）因为2cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由2224k x k ππππ-++，k Z ∈，得588k x k ππππ-+≤≤-+，k Z ∈． 2cos 24y x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭的单调增区间为5,88k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，（3）sin y x =的图象是由sin y x =位于x 轴下方的图象关于x 轴翻折上去，函数图象如下所示：由函数图象可得函数的单调递增区间为,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ （4）因为()22sin 2sin cos 3cos ,f x x x x x x R =++∈所以()sin 2cos 222224f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭令222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，故函数的单调递增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦15．如图，设A 、B 是半径为1的圆O 上的动点，且A 、B 分别在第一、二象限，C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，△AOB 为等边三角形，记以Ox 轴正半轴为始边、射线OA 为终边的角为θ.（1）若点A 的坐标为34(,)55，求5sin()5cos()3cot()2πθπθθ--++-值；（2）设2()||f BC θ=，求函数()f θ的解析式和值域. 【答案】（1）3；（2）()22cos()3f πθθ=-+，值域为(2,23).【分析】（1）根据A 的坐标，利用三角函数的定义，求出sin θ，cos θ，再利用诱导公式，即可得到结论；（2）由题意，cos cos()3COB πθ∠=+，利用余弦定理，可得函数()f θ的解析式，从而可求函数的值域．【详解】解：（1）A 的坐标为34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，以Ox 轴正半轴为始边，射线OA 为终边的角为θ∴根据三角函数的定义可知，4sin 5θ=，3cos 5θ=，4tan 3θ=∴5sin()5cos()3cot()2πθπθθ--++-5sin 5cos 3tan θθθ=-++4345533553=-⨯+⨯+⨯=；（2）)AOB 为正三角形，3AOB π∴∠=．cos cos()3COB πθ∴∠=+222()||||||2||||cos 22cos 3f BC OC OB OC OB COB πθθ⎛⎫∴==+-∠=-+ ⎪⎝⎭62ππθ<<， 5236πππθ∴<+<， 3cos 03πθ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，所以222cos 233πθ⎛⎫<-+< ⎪⎝⎭(2()2,3f θ∴+∈．【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，考查余弦定理求边长的平方，考查学生的计算能力，属于中档题．。