三角函数题型总结-教师版
专题17 三角函数概念与诱导公式 (教师版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
【考点预测】知识点一：三角函数基本概念1．角的概念(1)任意角：①高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题17三角函数概念与诱导公式定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{}Z k k S ∈+︒⋅==，αββ360．(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．(4)象限角的集合表示方法：2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．(2)角度制和弧度制的互化：rad 180π=︒,rad 1801π=︒,π︒=180rad 1．(3)扇形的弧长公式：r l ⋅=α，扇形的面积公式：22121r lr S ⋅==α．3．任意角的三角函数(1)定义：任意角α的终边与单位圆交于点)(y x P ，时，则y =αsin ，x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα．(2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点P )(y x P ，是角α终边上异于顶点的任一点，设点P 到原点O 的距离为r ，则r y =αsin ，r x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号αsin R ＋＋－－αcos R＋－－＋αtan }2|{Z k k ∈+≠，ππαα＋－＋－记忆口诀:三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦．4．三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T ．三角函数线有向线段MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段AT 为正切线知识点二：同角三角函数基本关系1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：1cos sin 22=+αα．(2)商数关系：)2(tan cos sin ππααααk +≠=；知识点三：三角函数诱导公式公式一二三四五六角)(2Z k k ∈+απαπ+α-απ-απ-2απ+2正弦αsin αsin -αsin -αsin αcos αcos 余弦αcos αcos -αcos αcos -αsin αsin -正切αtan αtan αtan -αtan -口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作2n πα⋅±；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断2n πα⋅±所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当n 为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当n 为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．【方法技巧与总结】1．利用1cos sin 22=+αα可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用αααtan cos sin =可以实现角α的弦切互化．2．“ααααααcos sin cos sin cos sin -+，，”方程思想知一求二．222(sin cos )sin cos 2sin cos 1sin 2ααααααα+=++=+222(sin cos )sin cos 2sin cos 1sin 2ααααααα-=+-=-22(sin cos )(sin cos )2αααα++-=【题型归纳目录】题型一：终边相同的角的集合的表示与区别题型二：等分角的象限问题题型三：弧长与扇形面积公式的计算题型四：三角函数定义题题型五：象限符号与坐标轴角的三角函数值题型六：同角求值—条件中出现的角和结论中出现的角是相同的题型七：诱导求值与变形【典例例题】题型一：终边相同的角的集合的表示与区别例1．（2022·全国·高三专题练习）与角94π的终边相同的角的表达式中，正确的是（）A ．245k π+ ，k Z ∈B ．93604k π⋅+，k Z ∈C ．360315k ⋅- ，k Z ∈D ．54k ππ+，k Z ∈【答案】C 【解析】【分析】要写出与94π的终边相同的角，只要在该角上加2π的整数倍即可．【详解】首先角度制与弧度制不能混用，所以选项AB 错误；又与94π的终边相同的角可以写成92()4k k Z ππ+∈，所以C 正确．故选：C ．例2．（2022·全国·高三专题练习）若角α的终边在直线y x =-上，则角α的取值集合为（）A ．2,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z B ．32,4k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z C ．3,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z D ．,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z 【答案】D 【解析】【分析】根据若,αβ终边相同，则2,k k Z βπα=+∈求解.【详解】解：，由图知，角α的取值集合为:()32,2,4421,2,44,4k k Z k k Z k k Z k k Z k k Z ππααπααπππααπααππααπ⎧⎫⎧⎫=+∈⋃=-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎧⎫⎧⎫==+-∈⋃=-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭故选：D.【点睛】本题主要考查终边相同的角，还考查了集合的运算能力，属于基础题.例3．（2022·上海市嘉定区第二中学高一阶段练习）设集合{}{}|45180,|135180,A k k Z k k Z αααα==︒+⋅︒∈⋃=︒+⋅︒∈，集合{}|4590,B k k Z ββ==︒+⋅︒∈，则（）A ．AB =∅ B ．A BC ．B AD ．A B=【答案】D 【解析】【分析】考虑A 中角的终边的位置，再考虑B 中角的终边的位置，从而可得两个集合的关系.【详解】.45180,k k Z α=︒+⋅︒∈表示终边在直线y x =上的角，135180,k k Z α=︒+⋅︒∈表示终边在直线y x =-上的角，而4590,k k Z β=︒+⋅︒∈表示终边在四条射线上的角，四条射线分别是射线,0;,0;,0;,0y x x y x x y x x y x x =≥=-≤=≤=-≥，它们构成直线y x =、直线y x =-，故A B =.故选：D.【点睛】本题考查终边相同的角，注意180k α⋅︒+的终边与α的终边的关系是重合或互为反向延长线，而90k α⋅︒+的终边与α的终边的关系是重合或互为反向延长线或相互垂直，本题属于中档题.（多选题）例4．（2022·全国·高三专题练习）如果角α与角45γ+︒的终边相同，角β与45γ-︒的终边相同，那么αβ-的可能值为（）A ．90︒B ．360︒C ．450︒D ．2330︒【答案】AC 【解析】根据终边相同可得角与角之间的关系，从而可得αβ-的代数形式，故可得正确的选项.【详解】因为角α与角45γ+︒的终边相同，故45360k γα ，其中k Z ∈，同理145360k βγ=-︒+⋅︒，其中1k Z ∈，故90360n αβ-=︒+⋅︒，其中n Z ∈，当0n =或1n =时，90αβ-=︒或450αβ-=︒，故AC 正确，令36090360n ︒=︒+⋅︒，此方程无整数解n ；令903060233n =︒+⋅︒︒即569n =，此方程无整数解n ；故BD 错误.故选：AC.（多选题）例5．（2022·全国·高三专题练习）下列条件中，能使α和β的终边关于y 轴对称的是（）A ．90αβ+=︒B ．180αβ+=︒C ．()36090k k αβ+=⋅︒+︒∈ZD ．()()21180k k αβ+=+⋅︒∈Z 【答案】BD 【解析】【分析】根据α和β的终边关于y 轴对称时()180360k k αβ+=︒+︒∈Z ，逐一判断正误即可.【详解】根据α和β的终边关于y 轴对称时()180360k k αβ+=︒+︒∈Z 可知，选项B 中，180αβ+=︒符合题意；选项D 中，()()21180k k αβ+=+⋅︒∈Z 符合题意；选项AC 中，可取0,90αβ=︒=︒时显然可见α和β的终边不关于y 轴对称.故选：BD.例6．（2022·全国·高三专题练习）写出两个与113π-终边相同的角___________．【答案】3π，53π-(其他正确答案也可)【解析】【分析】利用终边相同的角的定义求解.【详解】设α是与113π-终边相同的角，则112,3k k Z παπ=-∈，令1k =，得53πα=-，令2k =，得3πα=，故答案为：3π，53π-(其他正确答案也可)【方法技巧与总结】（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决．（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角．题型二：等分角的象限问题例7．（2022·浙江·高三专题练习）若18045,k k Z α=⋅+∈ ，则α的终边在（）A ．第一、三象限B ．第一、二象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限【答案】A 【解析】【分析】分21,k n n Z =+∈和2,k n n =∈Z 讨论可得角的终边所在的象限.【详解】解：因为18045,k k Z α=⋅+∈ ，所以当21,k n n Z =+∈时，218018045360225,n n n Z α=⋅++=⋅+∈ ，其终边在第三象限；当2,k n n =∈Z 时，21804536045,n n n Z α=⋅+=⋅+∈ ，其终边在第一象限.综上，α的终边在第一、三象限.故选：A.例8．（2022·全国·高三专题练习（理））角α的终边属于第一象限，那么3α的终边不可能属于的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】【分析】由题意知，222k k ππαπ<<+，k Z ∈，即可得3α的范围，讨论3k n =、31k n =+、32k n =+()n Z ∈对应3α的终边位置即可.【详解】∵角α的终边在第一象限，∴222k k ππαπ<<+，k Z ∈，则223363k k παππ<<+，k Z ∈，当3()k n n Z =∈时，此时3α的终边落在第一象限，当31()k n n Z =+∈时，此时3α的终边落在第二象限，当32()k n n Z =+∈时，此时3α的终边落在第三象限，综上，角α的终边不可能落在第四象限，故选：D.例9．（2022·全国·高三专题练习）θ是第二象限角，则下列选项中一定为负值的是（）A ．sin2θB ．cos2θC ．sin 2θD ．cos 2θ【答案】C 【解析】表示出第二象限角的范围，求出2θ和2θ所在象限，确定函数值的符号．【详解】因为θ是第二象限角，所以22,2k k k Z ππθππ+<<+∈，则4242,k k k Z ππθππ+<<+∈，所以2θ为第三或第四象限角或终边在y 轴负半轴上，，所以sin 2θ<0.而,422k k k Z πθπππ+<<+∈，2θ是第一象限或第三象限角，正弦余弦值不一定是负数．故选：C ．例10．（2022·全国·高三专题练习）已知角α第二象限角，且cos cos22αα=-，则角2α是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】C 【解析】【分析】由α是第二象限角，知2α在第一象限或在第三象限，再由coscos22αα=-，知cos02α≤，由此能判断出2α所在象限．【详解】因为角α第二象限角,所以()90360180360Z k k k α+⋅<<+⋅∈，所以()4518090180Z 2k k k α+⋅<<+⋅∈，当k 是偶数时，设()2Z k n n =∈，则()4536090360Z 2n n n α+⋅<<+⋅∈，此时2α为第一象限角；当k 是奇数时，设()21Z k n n =+∈，则()225360270360Z 2n n n α+⋅<<+⋅∈，此时2α为第三象限角.；综上所述：2α为第一象限角或第三象限角，因为coscos22αα=-，所以cos02α≤，所以2α为第三象限角．故选：C ．【方法技巧与总结】先从α的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）nα的象限分布图示．题型三：弧长与扇形面积公式的计算例11．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 及其所对弦AB 围成的图形．若弧田的弦AB 长是2，弧所在圆心角的弧度数也是2，则弧田的弧AB 长为_______，弧田的面积为_________．【答案】2sin1;211sin 1tan1-.【解析】【分析】（1）利用弧长公式解决，那么需要算出半径和圆心角；（2）用扇形的面积减去三角形的面积即可.【详解】由题意可知：111,,sin1sin1tan1tan1======AC BC BC AC AO OC ，所以弧AB 长122sin1sin1=⨯=，弧田的面积22111111222sin12tan1sin 1tan1⎛⎫=-=⨯⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭扇形AOB AOB S S ，故答案为：2sin1；211sin 1tan1-.例12．（2022·全国·高考真题（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在 AB 上，CD AB ⊥．“会圆术”给出 AB 的弧长的近似值s 的计算公式：2CDs AB OA=+．当2,60OA AOB =∠=︒时，s =（）A B C D 【答案】B 【解析】【分析】连接OC ，分别求出,,AB OC CD ，再根据题中公式即可得出答案.【详解】解：如图，连接OC ，因为C 是AB 的中点，所以OC AB ⊥，又CD AB ⊥，所以,,O C D 三点共线，即2OD OA OB ===，又60AOB ∠=︒，所以2AB OA OB ===，则OC =2CD =所以()22222CD s AB OA =+=+=故选：B.例13．（2022·全国·高三专题练习）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面形状较为美观.从半径为r 的圆面中剪下扇形OAB ，使剪下扇形OAB，再从扇形OAB 中剪下扇环形ABDC 制作扇面，使扇环形ABDC 的面积与扇形OAB.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为（）ABCD2-【答案】D 【解析】【分析】记扇形OAB 的圆心角为α，扇形OAB 的面积为1S ，扇环形ABDC 的面积为2S ，圆的面积为S ，根据扇形面积公式，弧长公式，以及题中条件，即可计算出结果.【详解】记扇形OAB 的圆心角为α，扇形OAB 的面积为1S ，扇环形ABDC 的面积为2S ，圆的面积为S ，由题意可得，2112S r α=，21S S =2S r π=，所以()122124S Srαππ==，因为剪下扇形OAB ，所以22r r r παπ-=(3απ=，所以()()()2113244S S απππ====.故选：D.例14．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”的模型，其截面如图所示，若圆柱形材料的底面半径为1，截面圆圆心为O ，墙壁截面ABCD 为矩形，且1AD =，则扇形OAD 的面积是__________.【答案】6π##16π【解析】【分析】计算AOD ∠，再利用扇形的面积公式求解.【详解】由题意可知，圆O 的半径为1，即1OA OD ==，又1AD =，所以OAD △为正三角形，∴3AOD π∠=，所以扇形OAD 的面积是221112236S r AOD ππ=⨯⨯∠=⨯⨯=.故答案为：6π例15．（2022·全国·模拟预测）炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC 的面积S 为22225cm π，若2BD DA =，则当该纸叠扇的周长C 最小时，BD 的长度为___________cm .【答案】10π【解析】【分析】设扇形ABC 的半径为r cm ，弧长为l cm ，根据扇形ABC 的面积S 为22225cm π，由212252rl π=得到rl ，然后由纸叠扇的周长2C r l =+，利用基本不等式求解.【详解】解：设扇形ABC 的半径为r cm ，弧长为l cm ，则扇形面积12S rl =.由题意得212252rl π=，所以2450rl π=.所以纸叠扇的周长260C r l π=+≥==，当且仅当22,450,r l rl π=⎧⎨=⎩即15r π=，30l π=时，等号成立，所以()15BD DA cm π+=.又2BD DA =，所以()1152BD BD cm π+=，所以()3152BD cm π=，故()10BD cm π=.故答案为：10π例16．（2022·全国·高三专题练习）已知扇形的周长为4cm ，当它的半径为________cm 和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________cm 2.【答案】121【解析】【详解】24l r +=，则()21142222S lr r r r r ==-=-+，则1,2r l ==时，面积最大为1，此时圆心角2lrα ，所以答案为1；2；1.【方法技巧与总结】（1）熟记弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2（弧度制(0,2]απ∈）（2）掌握简单三角形，特别是直角三角形的解法题型四：三角函数定义题例17．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知角θ的终边过点()1,1A -，则sin()6πθ-=（）ABCD【答案】D 【解析】【分析】由任意三角形的定义求出sin ,cos θθ，由两角差的正弦公式代入即可求出sin()6πθ-.【详解】因为角θ的终边过点()1,1A -，由任意三角形的定义知：sin θθ==sin()sin cos cos sin 666πππθθθ-=-=故选：D.例18．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知角α的终边经过点(-，则()tan sin 232πααπ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭（）A ．32B ．34-C．D【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数的定义、诱导公式、二倍角公式以及弦化切可求得所求代数式的值.【详解】依题意，由三角函数的定义可知tan α=()22sin cos 2sin cos 2tan sin 23sin 22sin sin cos cos 2παπαααααπαπαααα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭++-=-=-- ⎪+⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭22212sin cos 2tan tan sin cos tan 1ααααααα=--===++故选：D.例19．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边上一点()sin 3,cos3P ，若02απ≤≤，则α=（）A ．3B ．32π-C ．532π-D ．32π-【答案】C【分析】根据三角函数的定义求出tan α，结合诱导公式即可得解，注意角所在的象限.【详解】解：因为角α的终边上一点()sin 3,cos3P ，所以cos31tan 0sin 3tan 3α==<，又cos 30,sin 30<>，所以α为第四象限角，所以23,Z 2k k παπ=+-∈，又因02απ≤≤，所以532πα=-.故选：C.例20．（2022·北京·二模）已知角α的终边经过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A ．2425-B ．725-C ．725D ．2425【答案】A 【解析】【分析】根据终边上的点确定角的正余弦值，再由二倍角正弦公式求sin 2α.【详解】由题设43sin ,cos 55αα==-，而4324sin 22sin cos 2()5525ααα==⨯⨯-=-.故选：A【方法技巧与总结】（1）任意角的正弦、余弦、正切的定义；题型五：象限符号与坐标轴角的三角函数值例21．（2022·全国·高三专题练习）如果cos 0θ<，且tan 0θ<，则sin cos cos θθθ-+的化简为_____.【答案】sin θ【解析】【分析】由cos 0θ<，且tan 0θ<，得到θ是第二象限角，由此能化简sin cos cos θθθ-+．解：∵cos 0θ<，且tan 0θ<，∴θ是第二象限角，∴sin cos cos sin cos cos sin θθθθθθθ-+=-+=．故答案为：sin θ．例22．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）若角α满足sin cos 0αα⋅<，cos sin 0αα-<，则α在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据sin cos 0αα⋅<可知α是第二或第四象限角；根据第二或第四象限角正余弦的符号可确定结果.【详解】sin cos 0αα⋅< ，α 是第二或第四象限角；当α是第二象限角时，cos 0α<，sin 0α>，满足cos sin 0αα-<；当α是第四象限角时，cos 0α>，sin 0α<，则cos sin 0αα->，不合题意；综上所述：α是第二象限角.故选：B.例23．（2022·浙江·模拟预测）已知R θ∈，则“cos 0θ>”是“角θ为第一或第四象限角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要【答案】B 【解析】【分析】利用定义法进行判断.【详解】充分性：当cos 0θ>时，不妨取cos 1,0θθ==时轴线角不成立.故充分性不满足；必要性：角θ为第一或第四象限角，则cos 0θ>，显然成立.故选：B.例24．（2022·重庆·高三开学考试）若tan 0θ>，则下列三角函数值为正值的是（）A ．sin θB ．cos θC ．sin 2θD ．cos 2θ【答案】C 【解析】【分析】结合诱导公式、二倍角公式判断出正确选项.【详解】sin tan 0sin cos 0sin 22sin cos 0cos θθθθθθθθ=>⇒⋅>⇒=>，所以C 选项正确.当5π4θ=时，5ππtan 0,sin 0,cos 0,cos 2coscos 022θθθθ><<===，所以ABD 选项错误.故选：C例25．（2022·全国·高三专题练习（理））我们知道，在直角坐标系中，角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角．已知点()cos ,tan P αα在第三象限，则角α的终边在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】【分析】本题首先可以根据题意得出cos 0α<、tan 0α<，然后得出sin 0α>，即可得出结果.【详解】因为点()cos ,tan P αα在第三象限，所以cos 0α<，tan 0α<，则sin 0α>，角α的终边在第二象限，故选：B.例26．（2022·全国·高三专题练习（理））已知sin 0,cos 0αα><，则（）A ．sin 20α>B ．cos20α<C ．tan02α>D ．sin2α<【答案】C 【解析】【分析】由条件得到角α所在的象限，从而得到2α所在的象限，这样就可以得到答案.【详解】由sin 0,cos 0αα><知，α为第二象限角，所以2α为第一或第三象限角，所以tan02α>．故选：C.例27．（2022·江西南昌·三模（文））若角α的终边不在坐标轴上，且sin 2cos 2αα+=，则tan α=()A ．43B ．34C ．23D ．32【答案】A 【解析】【分析】结合易知条件和同角三角函数的平方关系即可求出cos α，从而求出sin α，根据sin tan cos ααα=即可求得结果．【详解】22sin cos 13cos 5sin 2cos 2ααααα⎧+=⇒=⎨+=⎩或cos 1α=，∵α的终边不在坐标轴上，∴3cos 5α=，∴34sin 2255α=-⨯=，∴sin 4tan cos 3ααα==．故选：A ．例28．（2022·全国·高三专题练习（理））若α是第二象限角，则下列不等式正确的是（）A ．()cos 0α->B ．tan02α>C ．sin 20α>D ．()sin 0α->【答案】B 【解析】【分析】根据α是第二象限角，分别求出四个选项中角所在的象限，再判断三角函数的符号，即可求解.【详解】对于A ：因为()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，所以()ππ2π2πZ 2k k k α--<-<--∈，所以α-是第三象限角，所以()cos 0α-<，故选项A 不正确；对于B ：因为()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，所以()ππππZ 422k k k α+<<+∈，当()2Z k n n =∈时，()ππ2π2πZ 422n n n α+<<+∈，此时2α是第一象限角，当()21Z k n n =+∈时，()5π3π2π2πZ 422n n n α+<<+∈，此时2α是第三象限角，所以2α是第一或第三象限角，所以tan02α>，故选项B 正确；对于C ：因为()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，所以()π4π22π4πZ k k k α+<<+∈，所以2α是第三或第四象限角或终边落在y 轴非正半轴，所以sin 20α<，故选项C 不正确；对于D ：因为()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，所以()ππ2π2πZ 2k k k α--<-<--∈，所以α-是第三象限角，所以()sin 0α-<，故选项D 不正确；故选：B.【方法技巧与总结】正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；．余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；．正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负．题型六：同角求值—条件中出现的角和结论中出现的角是相同的例29．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））若tan 2θ=-，则2sin 2cos 1θθ+的值为___________.【答案】23-【解析】【分析】利用二倍角公式和同角三角函数平方关系可构造正余弦齐次式，分子分母同除2cos θ，代入tan θ即可得到结果.【详解】2222sin 22sin cos 2tan 42cos 12cos sin 2tan 243θθθθθθθθ===-=-++++.故答案为：23-.例30．（2022·河北·沧县中学模拟预测）已知tan 3α=，则22sin 22sin cos2cos -=-αααα___________．【答案】43【解析】【分析】根据二倍角公式，结合同角三角函数齐次式关系求解即可.【详解】解：22222222sin 22sin 2sin cos 2sin 2tan 2tan 23234cos2cos sin tan 33---⨯-⨯====----ααααααααααα．故答案为：43例31．（2022·广东惠州·一模）已知tan 2α=，32παπ<<，则cos sin αα-=（）A B ．C D ．【答案】A 【解析】【分析】由sin tan 2cos ααα==及22sin cos 1αα+=解出sin α与cos α即可求解.【详解】因为sin tan 2cos ααα==，且22sin cos 1αα+=，32παπ<<，所以sin α=cos α=，所以cos sin αα⎛-== ⎝⎭.故选：A.例32．（2022·全国·模拟预测）已知0πA <<，1sin cos 5A A +=，则1sin 21cos 2AA-=+（）A ．132B ．118C ．4918D ．4932【答案】C 【解析】【分析】结合同角的平方关系以及二倍角公式即可求出结果.【详解】由1sin cos 5A A +=及22sin cos 1A A +=，解得4sin 5A =，3cos 5A =-或4cos 5A =，3sin 5A =-.因为sin 0A >，所以4sin 5A =，3cos 5A =-，所以24sin 22sin cos 25A A A ==-，227cos 2cos sin 25A A A =-=-，所以2411sin 2492571cos 218125A A +-==+-，故选：C.例33．（2022·海南·模拟预测）已知角α为第二象限角，tan 3α=-，则cos α=（）A．BC．D【答案】A 【解析】【分析】由角所在的象限及同角三角函数的平方关系、商数关系求cos α即可.【详解】因为α是第二象限角，所以sin 0α>，cos 0α<，由sin tan 3cos ααα==-，22sin cos 1αα+=，可得：cos α=故选：A.例34．（2022·全国·高三专题练习）已知(,22ππα∈-，且212sin 5cos 9αα-=，则cos 2=α（）A ．13B ．79-C ．34-D ．18【答案】B 【解析】【分析】利用同角公式化正弦为余弦，求出cos α的值，再利用二倍角的余弦公式求解即得.【详解】依题意，原等式化为：212(1cos )5cos 9αα--=，整理得：(4cos 3)(3cos 1)0αα+-=，因(,)22ππα∈-，则cos 0α>，解得：1cos 3α=，所以2217cos 22cos 12139αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭.故选：B例35．（2022·全国·高三阶段练习（理））若sin cos 2sin cos θθθθ+=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+（）A ．65-B ．25-C ．65D ．25【答案】C 【解析】【分析】由已知得sin 3cos θθ=，从而sin ,cos θθ同号，即sin cos 0>θθ，然后由平方关系求得22cos ,sin θθ，进而求得sin cos θθ，求值式应用二倍角公式和平方关系变形后可得结论．【详解】因为sin cos 2sin cos θθθθ+=-，所以sin 3cos θθ=，所以sin ,cos θθ同号，即sin cos 0>θθ，22222sin cos 9cos cos 10cos 1θθθθθ+=+==，21cos 10θ=，从而29sin 10θ=，229sin cos 100θθ=，所以3sin cos 10θθ=，22sin (1sin 2)sin (sin cos 2sin cos )sin (sin cos )sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++2936sin sin cos 10105θθθ=+=+=．故选：C ．例36．（2022·广东广州·三模）已知sin cos x x +=()0,πx ∈，则cos2x 的值为（）A ．12B C ．12-D ．【答案】D 【解析】【分析】将sin cos x x +=2sin x cos x =-12<0,结合sin cos x x +=求出x 的范围，再利用22cos 2sin 21x x +=求解即可.【详解】解：将sin cos x x +=2sin x cos x =-12<0,所以π(,π)2x ∈，又因为sin cos x x +=０，所以π3π(,24x ∈，2x 3π(π,)2∈,又因为sin2x =-12,所以cos2x 故选：D.例37．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知1sin cos 5θθ+=-，(0,)θπ∈，则sin cos θθ-=（）A ．15B ．15-C ．75D ．75-【答案】C 【解析】【分析】利用平方关系，结合同角三角函数关系式，即可求解.【详解】()21sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=，242sin cos 025θθ=-<，()0,θπ∈ ，,2πθπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，sin cos θθ>，()249sin cos 12sin cos 25θθθθ-=-=，所以7sin cos 5θθ-=.故选：C例38．（2022·山西晋中·模拟预测（理））若tan 1θ=-，则()cos 1sin 2sin cos θθθθ--等于（）A ．12B ．2C ．1-D ．13-【答案】C 【解析】【分析】化简原式为2tan 1tan 1θθ-+即得解.【详解】解：原式()222cos sin 2sin cos cos cos (sin cos )=sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθ-⋅+-=--22cos (sin cos )sin cos θθθθθ-=+2tan 12=1tan 12θθ--==-+.故选：C例39．（2022·湖北·模拟预测）已知()cos 3cos 02πααπ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，则3sin sin sin 2ααπα-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．35B ．35C ．310D ．310-【答案】D 【解析】【分析】根据题意求出tan α，再将原式化简为：32sin sin tan tan 1sin 2αααπαα-=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，求解即可.【详解】因为()cos 3cos 02πααπ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，所以sin 3cos 0αα--=，所以tan 3α=-()232sin 1sin sin sin tan 3sin cos cos tan 110sin 2αααααααπααα--====-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故选：D.【方法技巧与总结】（1）若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义求未知三角函数值．（2）若无象限条件，一般“弦化切”．题型七：诱导求值与变形例40．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））若π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．13B ．13-C ．79D ．79-【答案】D 【解析】【分析】由三角函数的二倍角的余弦公式，结合诱导公式，即可求得答案.【详解】由题意得：2222πππππ27cos 22cos 12cos 12sin 113326699αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=---=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：D ．例41．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））若1sin ,63a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭则2cos 3a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．13B ．13-C ．79D ．79-【答案】B 【解析】【分析】利用诱导公式计算可得；【详解】解：因为1sin 63a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以21cos cos sin 32663ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：B.例42．（2022·青海·海东市教育研究室一模（理））()tan 165-︒=（）A ．2-B ．2-+C ．2D ．2【答案】C 【解析】【分析】先利用诱导公式可得()tan 165tan15-︒=︒，在运用正切两角差公式()tan15tan 4530︒=︒-︒计算．【详解】()()()tan 165tan 18015tan15tan 4530-︒=-︒+︒=︒=︒-︒1tan 45tan 3021tan 45tan 30︒-︒===+︒︒故选：C ．例43．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知2cos sin 022a ππα⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()tan -=πα（）A ．2B ．—2C ．12D ．12-【答案】C 【解析】【分析】根据诱导公式五、六可得2sin cos 0αα+=，由同角三角函数的关系可得1tan 2α=-，结合诱导公式二计算即可.【详解】由已知得2sin cos 0αα+=，12sin cos tan 2ααα∴=-∴=-，，∴1tan()tan 2παα-=-=.故选：C【方法技巧与总结】（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与2π整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数．（2）通过2,,2πππ±±±等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数．（3）2,,2παβππ±=±±±等可利用诱导公式把,αβ的三角函数化【过关测试】一、单选题1．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（理））中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上､下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）现有一个如图所示的曲池，1AA 垂直于底面，13AA =，底面扇环所对的圆心角为2π，弧AD 长度是弧BC 长度的3倍，2CD =，则该曲池的体积为（）A ．92πB ．5πC ．112πD ．6π【答案】D 【解析】【分析】利用柱体体积公式求体积.【详解】不妨设弧AD 所在圆的半径为R ，弧BC 所在圆的半径为r ，由弧AD 长度为弧BC 长度的3倍可知3R r =，22CD R r r =-==，所以1r =，3R =.故该曲池的体积22()364V R r ππ=⨯-⨯=.故选：D.2．（2022·海南中学高三阶段练习）二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物，是中国农历中表示李节变迁的24个特定节令．如图，每个节气对应地球在黄道上运动15︒所到达的一个位置．根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为（）A ．π3-B ．π2C ．5π12D ．π3【答案】B【解析】【分析】根据条件得到运行度数为6×15°，化为弧度即可得解.【详解】根据题意，立春是立冬后的第六个节气，故从立冬到立春相应于地球在黄道上逆时针运行了61590︒⨯=︒，所以从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为π2.故选：B3．（2022·河北·模拟预测）已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是圆心角等于23π的扇形，则该圆锥的体积为（）A B ．1627πC D ．1681π【答案】C 【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则由题意可得2223r ππ=⨯，从而可求出半径r ，再求出h ，进而可求出其体积【详解】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则由题意可得2223r ππ=⨯，解得23r =，所以h ===所以圆锥的体积为22112333V r h ππ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭故选：C4．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知角θ的大小如图所示，则1sin 2cos 2θθ+=（）A ．5-B ．5C ．15-D ．15【答案】A 【解析】【分析】由图中的信息可知tan 54πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，化简1sin 2cos 2θθ+即可.【详解】由图可知，tan 54πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()()()22222cos sin 1sin 2sin cos 2sin cos cos sin cos 2cos sin cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθθθθθθθθθ+++++===--+-tantan 1tan 4tan 51tan 41tan tan 4πθθπθπθθ++⎛⎫===+=- ⎪-⎝⎭-；故选：A.5．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））tan195︒=（）A．2-B．2-+C ．2D ．2【答案】C 【解析】【分析】利用诱导公式及两角差的正切公式计算可得；【详解】解：()()tan195tan 18015tan15tan 4530︒=︒+︒=︒=︒-︒tan 45tan 301tan 45tan 30︒-︒=+︒︒12==故选：C6．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）若21sin2512sin αα+=-，则tan α=（）A ．23-B ．32-C ．23D ．32【答案】C 【解析】【分析】通过“1”的替换，齐次化，然后得到关于tan α的方程，解方程即可【详解】22221sin 2(cos sin )cos sin 1tan 512sin cos sin cos sin 1tan αααααααααααα++++====----,解得2tan 3α=故选：C7．（2022·四川成都·模拟预测（文））已知向量(3cos 2,sin )a αα= ，(2,cos 5sin )b αα=+ ，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若a b ⊥ ，则tan α=（）A ．2B ．-2C ．3D ．34【答案】C 【解析】【分析】由a b ⊥可得向量的数量积等于0，化简可得6cos 2sin (cos 5sin )0αααα++=，结合二倍角公式以及同角的三角函数关系式化为226tan tan n 10ta ααα-++=，可求得答案.【详解】由题意a b ⊥可得0a b ⋅= ，即6cos 2sin (cos 5sin )0αααα++=，即2226(cos sin )sin cos 5sin 0ααααα-++=，故22226cos sin sin c sin os 0cos αααααα-++=，即226tan tan n 10ta ααα-++=，由于π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故tan 3,tan 2αα==-（舍去），故选：C8．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m =2sin18︒）．A ．4B 1+C ．2D 1【答案】A 【解析】【分析】根据2sin18m ︒=，结合三角函数的基本关系式，诱导公式和倍角公式，即可求解.【详解】根据题意，可得2sin182cos72m =︒=︒，4sin144cos54︒==︒()4sin 90544cos544cos54cos54︒+︒︒===︒︒.故选：A ．二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的有（）A ．经过30分钟，钟表的分针转过π弧度B ．1801radπ︒=C ．若sin 0θ>，cos 0θ<，则θ为第二象限角D ．若θ为第二象限角，则2θ为第一或第三象限角【答案】CD 【解析】【分析】对于A ，利用正负角的定义判断；对于B ，利用角度与弧度的互化公式判断；对于C ，由sin 0θ>求出θ的范围，由cos 0θ<求出θ的范围，然后求交集即可；对于D ，由θ是第二象限角，可得222k k ππθππ+<<+，k Z ∈，然后求2θ的范围可得答案【详解】对于A ，经过30分钟，钟表的分针转过π-弧度，不是π弧度，所以A 错；对于B ，1︒化成弧度是rad 180π，所以B 错误；对于C ，由sin 0θ>，可得θ为第一、第二及y 轴正半轴上的角；由cos 0θ<，可得θ为第二、第三及x 轴负半轴上的角.取交集可得θ是第二象限角，故C 正确；对于D ：若θ是第二象限角，所以222k k ππθππ+<<+，则()422k k k Z πθπππ+<<+∈，当2()k n n Z 时，则22()422n n n Z πθπππ+<<+∈，所以2θ为第一象限的角，当21()k n n Z =+∈时，5322()422n n n Z πθπππ+<<+∈，所以2θ为第三象限的角，综上，2θ为第一或第三象限角，故选项D 正确.故选：CD.10．（2022·全国·高三专题练习）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形（如图）的面积为1S ，圆心角为1α，圆面中剩余部分的面积为2S ，圆心角为2α，当1S 与2S0.618≈（黄金分割比）时，折扇看上去较为美观，那么（）A ．1127.5α=︒B ．1137.5α=︒C．21)απ=D．12αα=【答案】BCD 【解析】【分析】利用扇形的面积公式以及角度制与弧度制的互化即可求解.【详解】设扇形的半径为R，由211122221212R S S R αααα===，故D 正确；由122ααπ+=，。
三角函数题型总结
三角函数题型总结三角函数是数学中的重要分支之一，它在几何学、物理学、工程学和其他领域中都有广泛的应用。
在学习三角函数时，掌握各种题型的解题方法对于提高数学水平非常关键。
本文将针对三角函数的常见题型进行总结，希望对学习三角函数的同学们有所帮助。
一、基本概念题型1. 三角函数的定义三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们都是以一个角为自变量的函数。
在求解三角函数的题目时，首先需要熟悉各个三角函数的定义，并且要能够准确地在单位圆上确定角对应的三角函数值。
2. 角度与弧度的转换在三角函数的运算中，经常需要将角度转换为弧度，或者将弧度转换为角度。
学生需要掌握角度与弧度的相互转换的方法，以确保在计算时能够准确无误。
3. 角度的周期性在学习三角函数中，需要注意到三角函数的周期性。
例如正弦函数和余弦函数的周期均为360度或2π。
了解角度的周期性可以帮助学生简化计算过程，提高解题效率。
二、简单的三角函数方程题型1. 解三角函数方程解三角函数方程是三角函数题目中的常见类型，例如sinx=0、cosx=1/2等。
解这类方程的关键是要找到解的范围，并且要考虑周期性对解的影响。
三、复杂的三角函数公式题型1. 三角函数的和差化积三角函数的和差化积是求解三角函数的公式题型中的重要部分。
学生需要学会如何将sin(a±b)、cos(a±b)等形式的式子转化为较为简单的形式，以便于进行后续的计算。
2. 三角函数的积化和差三角函数的积化和差也是三角函数公式题型中的常见形式，例如sinasinb=1/2[cos(a-b)-cos(a+b)]、cosacosb=1/2[cos(a-b)+cos(a+b)]等。
在求解这类题目时，需要运用三角函数的性质和恒等式进行化简，然后再进行计算。
3. 三角函数的倍角公式与半角公式三角函数的倍角公式与半角公式在三角函数的公式题型中也是非常重要的一部分。
学生需要掌握sin2x、cos2x、tan2x等的表示方法，以及它们与角度x的关系，这样可以在计算中更加方便和简化。
三角函数(课时一)教师版
1.1图7.3图7.2图7三角函数及其有关概念[知识清单]一、角的概念 1. 角角是以一点为公共端点的两条射线组成的图形.公共端点叫做角的顶点, 两条射线叫做 角的边。
2.正角、负角、零角正角与负角是由旋转的方向决定的，我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角形成一个数值为0的角，我们把这个角叫做零角。
3．终边相同的角 具有相同的终边的角叫做终边相同的角，如图7.1中的边相同的角。
①终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同； ②终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍，如：α与360()k k Z α+∈，β与360()k k Z β+∈ ，β与360()k k α+∈ Z 都是终边相同的角。
例 设176πα=-，则与α终边相同的最小正角是多少？ 解 1717777236066666πππππα=-=--+=-⨯+所以，与176πα=-终边相同的最小正角是76π。
例 设203πα=，则与α终边相同的绝对值最小的负角是多少？解 2020444436033333πππππα==+-=⨯- 所以，所求之角是43π-。
4. 象限角 在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角，如αβ与个象限,我们称其为界限角。
例 900-是第几象限的角？解 9002360-=-⨯，所以900- 是第二象限的角。
例：-572。
是（ ）象限的角。
5、角的度量1）. 角度制 当射线绕端点逆时针方向旋转使终边与始边第一次重合时所形成的角叫做周角，规定1周角为360º。
1周角的1360为1度， 2）. 弧度制 等于半径长的圆弧所对的圆心角称为1弧度的角。
用弧 度作单位来测量角的制度叫做弧度制。
1弧度也记为1rad2oy xoy xo yx.5图7sin ,csc ααtan ,cot ααcos ,sec αα++++++------规定正角的的弧度数为正数，负角的的弧度数为负数，零角的弧度数为零。
专题04_三角函数(教师版)自己整理
2014届高考数学二轮复习资料 专题三：三角函数（教师版）【考纲解读】1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出2πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式;理解同角的三角函数的基本关系式:sin 2x+cos 2x=1,sin tan cos xx x=. 3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(-2π,2π)内的单调性.4.了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解,,A ωϕ对函数图象变化的影响.5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系.6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).【考点预测】从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、sin()y A x ωϕ=+的性质、三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等.预测明年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现.【要点梳理】1.知识点:弧度制、象限角、终边相同的角、任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角函数线、三角函数图象和性质；和、差、倍角公式，正、余弦定理及其变形公式.2.三角函数中常用的转化思想及方法技巧:(1)方程思想:sin cos αα+, sin cos αα-,sin cos αα三者中,知一可求二; (2)“1”的替换: 22sin cos 1αα+=; (3)切弦互化:弦的齐次式可化为切；(4)角的替换:2()()ααβαβ=++-,()22αβαβααββ+-=+-=+;(5)公式变形:21cos 2cos 2αα+=, 21cos 2sin 2αα-=, tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-;(6)构造辅助角(以特殊角为主):sin cos )(tan )ba b aαααϕϕ+=+=.3.函数sin()y A x ωϕ=+的问题: (1)“五点法”画图:分别令0x ωϕ+=、2π、π、32π、2π，求出五个特殊点； (2)给出sin()y A x ωϕ=+的部分图象,求函数表达式时,比较难求的是ϕ,一般从“五点法”中取靠近y 轴较近的已知点代入突破;(3)求对称轴方程:令x ωϕ+=2k ππ+()k Z ∈, 求对称中心: 令x ωϕ+=k π()k Z ∈; (4)求单调区间:分别令22k x ππωϕ-≤+≤22k ππ+()k Z ∈;22k x ππωϕ+≤+≤322k ππ+()k Z ∈,同时注意A 、ω符号. 4.解三角形:(1)基本公式:正弦、余弦定理及其变形公式；三角形面积公式； (2)判断三角形形状时，注意边角之间的互化. 【考点在线】考点1 三角函数的求值与化简此类题目主要有以下几种题型：⑴考查运用诱导公式和逆用两角和的正弦、余弦公式化简三角函数式能力，以及求三角函数的值的基本方法. ⑵考查运用诱导公式、倍角公式，两角和的正弦公式，以及利用三角函数的有界性来求的值故f (x )的定义域为.Z ,2|R ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠∈k k x x ππ （Ⅱ）由已知条件得.54531cos 1sin 22-⎪⎭⎫⎝⎛-=-=a a从而)2sin()42cos(21)(ππ+-+=a a a f ＝aa a cos 4sin 2sin 4cos cos 21⎪⎭⎫ ⎝⎛++ππ ＝a a a a a a a cos cos sin 2cos 2cos sin 2cos 12+=++ ＝.514)sin (cos 2=+a a【名师点睛】本小题主要考查三角函数的定义域和两角差的公式，同角三角函数的关系等基本知识，考查运算和推理能力，以及求角的基本知识..【备考提示】：熟练掌握三角函数公式与性质是解答好本类题的关键. 练习1: （2011年高考福建卷文科9)若α∈（0，2π），且2sin α+1cos 24α=，则tan α的值等于( )A.B.C.D.【答案】D【解析】因为α∈（0， 2π），且2sin α+1cos 24α=，所以2sin α+221cos sin 4αα-=, 即21cos 4α=,所以cos α=12或12-(舍去),所以3πα=,即tan α=选D.考点2 考查sin()y A x ωϕ=+的图象与性质考查三角函数的图象和性质的题目，是高考的重点题型.此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用，会用数形结合的思想来解题.【备考提示】：三角函数的图象及性质是高考考查的热点内容之一,熟练其基础知识是解答好本类题的关键.练习2.(2011年高考江苏卷9)函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则____)0(=f【解析】由图象知：函数()sin()f x A wx φ=+的周期为74()123πππ-=，而周期2T wπ=，所以2w =，由五点作图法知：23πφπ⨯+=，解得3πφ=，又A=，所以函数()s i n (2)3f x x π=+，所以(0)f =3π=考点3 三角函数与向量等知识的综合三角函数与平面向量的综合,解答过程中,向量的运算往往为三角函数提供等量条件. 例3.（2009年高考江苏卷第15题）设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-（1）若a 与2b c -垂直，求tan()αβ+的值；（2）求||b c +的最大值;（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b.【解析】【名师点睛】本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力.【备考提示】：熟练三角公式与平面向量的基础知识是解决此类问题的关键. 练习3.（天津市十二区县重点中学2011年高三联考二理）（本小题满分13分）已知向量2,1),(cos ,cos )444x x x m n == ，()f x m n =⋅ ．（I ）若()1f x =,求cos()3x π+值；（II ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=，求函数()f A 的取值范围.【解析】（I ）()f x m n =⋅= 2cos cos 444x x x + ----------------1分11cos 2222x x ++ ----------------3分 =1sin()262x π++----------------4分∵()1f x = ∴1sin()262x π+=∴2cos()12sin ()326x x ππ+=-+=12-------6分 （II ）∵(2)cos cos a c B b C -=，由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -= -----------------8分 ∴2sin sin cos sin cos AcosB C B B C -=∴2sin cos sin()A B B C =+- ----------------9分 ∵A B C π++=∴sin()sin B C A +=，且sin 0A ≠∴1cos ,2B =∵0B <<π∴3B π= ----------------10分∴203A π<< ----------------11分∴1,sin()16262226A A ππππ<+<<+< ----------------12分∴131sin()2622A π<++<∴()f A =1sin()262A π++3(1,)2∈ ---13分考点4. 解三角形解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.例4. (2011年高考安徽卷文科16) 在 ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.【解析】∵A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＋C ＝A ，又12cos()0B C ++=，∴12cos(180)0A +-=， 即12cos 0A -=，1cos 2A =，又0°<A<180°，所以A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=得sin sin b A B a ===， 又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°，∴BC 边上的高AD ＝AC ·sinC 30)=+45cos30cos45sin30)+ 112()22222=+=.【名师点睛】本题考察两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用内角和定理、正弦定理、余弦定理以及三角形边与角之间的大小对应关系解三角形的能力，考察综合运算求解能力.【备考提示】：解三角形问题所必备的知识点是三大定理“内角和定理、正弦定理、余弦定理”具体的思路是化统一的思想“统一成纯边或纯角问题”即可.练习4. （2011年高考山东卷文科17)在 ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A-2cos C 2c-a=cos B b.（I ） 求sin sin CA的值； （II ）若cosB=14，5b ABC 的周长为，求的长.【解析】(1)由正弦定理得2sin ,a R A =2sin ,b R B =2sin ,c R C =所以cos A-2cos C 2c-a =cos B b=2sin sin sin C AB -,即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-,即有sin()2sin()A B B C +=+,即sin 2sin C A =,所以sin sin CA=2. (2)由(1)知sin sin CA=2,所以有2c a =,即c=2a,又因为ABC ∆的周长为5,所以b=5-3a,由余弦定理得：2222cos b c a ac B =+-，即22221(53)(2)44a a a a -=+-⨯，解得a=1，所以b=2.【易错专区】问题：三角函数的图象变换例. (2011年高考全国卷理科5)设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( ) （A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9【答案】C 【解析】()cos[()]cos 33f x x x ππωω-=-=即cos()cos 3x x ωπωω-=, 22()663k k Z k ωπππω∴-=+∈⇒=--z 则1k =-时min 6ω=故选C.【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移,在平移时,应注意x 的系数. 【备考提示】：三角函数的图象变换是高考的热点,必须熟练此类问题的解法. 【考题回放】1. (2011年高考山东卷理科3)若点（a,9）在函数3xy =的图象上，则tan=6a π的值为( )（A ）0 (B) 3【答案】D【解析】由题意知:9=3a,解得a =2,所以2tantan tan 663a πππ===故选D.2. (2011年高考山东卷理科6)若函数()s i n f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在【答案】C.【解析】若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，则()sin()163f ππϕ=+=，所以,32k k Z ππϕπ+=+∈，,6k k Z πϕπ=+∈.由()()2f f ππ>，（k Z ∈），可知sin()sin(2)πϕπϕ+>+，即s i n 0ϕ<，所以72,6k k Z πϕπ=+∈，代入()sin(2)f x x ϕ=+，得7()sin(2)6f x x π=+，由7222262k x k πππππ-++剟，得563k x k ππππ--剟，故选C.4.(2011年高考辽宁卷理科4)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，asin AsinB+bcos 2则ba=（ ）(A) (B) (C) 【答案】 D【解析】由正弦定理得，sin 2AsinB+sinBcos 2，即sinB （sin 2A+cos 2A ），故，所以ba=； 5.(2011年高考辽宁卷理科7)设sin1+=43πθ（），则sin 2θ=（ ） (A) 79- (B) 19- (C) 19 (D)79【答案】A【解析】217sin 2cos 22sin 121.2499ππθθθ⎛⎫⎛⎫=-+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6.(2011年高考浙江卷理科6)若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()42πβ-=，则c o s ()2βα+=（ ）（A （B ）（C （D ）-【答案】 C 【解析】()()2442βππβαα+=+-- cos()cos[()()]2442βππβαα∴+=+--sin()sin()442ππβα+++ 13===, 故选C. 7. (2011年高考全国新课标卷理科5)已知角θ的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线x y 2=上，则，=θ2cos （ ） A 54-B 53- C 32 D 43【答案】B【解析】因为该直线的斜率是θtan 2==k ，所以，53tan 1tan 1cos 22-=+-=θθθ.8. (2011年高考全国新课标卷理科11)设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ）（A ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 （D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 【答案】A【解析】函数解析式可化为)4sin(2)(πϕω++=x x f ，2,2=∴=ωπωπT又因为该函数是偶函数，所以，x x f 2cos 2)(4=∴=πϕ，所以，该函数在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上是减函数。
三角函数经典题型总结
三角函数的经典题型主要包括以下几个方面：
1. 三角函数的基本性质和公式应用：
-三角函数的基本关系：sin²θ+ cos²θ= 1，tanθ= sinθ/cos θ等。
-诱导公式：sin(α±β)，cos(α±β)，tan(α±β)等的公式。
-二倍角公式、半角公式、和差化积、积化和差公式等。
2. 解三角形问题：
-正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
-余弦定理：a²= b²+ c²- 2bc cosA，同理可得其他边和角的关系。
-利用正弦定理和余弦定理解决边角关系问题。
3. 三角函数图像和性质：
-正弦函数、余弦函数、正切函数的图像及其周期性、奇偶性、单调性、对称性等性质。
-利用图像解三角函数方程和不等式。
4. 三角函数的应用问题：
-在物理中的应用，如振动问题、波动问题、光学问题等。
-在地理学中的应用，如地图上的方位角、距离计算等。
-在工程学中的应用，如结构力学、电路分析等。
5. 三角函数的复合与逆运算：
-复合三角函数的运算，如sin(cosx)，cos(sinx)等。
-三角函数的反函数，如arcsin(x)，arccos(x)，arctan(x)等。
6. 三角恒等式的证明：
-利用三角函数的基本关系和公式进行恒等式的变形和证明。
以上就是三角函数的一些经典题型总结，掌握这些题型的解题方法和技巧，可以有效地提高解决三角函数问题的能力。
高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版
高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版导数与三角函数的问题在近几年的高考数学试题中频繁出现，主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数围、隐零点问题及零点存在性赋值理论。
这些问题的形式逐渐多样化、综合化。
一、零点存在定理例1.【2019全国Ⅰ理20】函数$f(x)=\sin x-\ln(1+x)$，$f'(x)$为$f(x)$的导数。
证明：1）$f'(x)$在区间$(-1,)$存在唯一极大值点；2）$f(x)$有且仅有2个零点。
解析】（1）设$g(x)=f'(x)$，则$g(x)=\cos x-\frac{1}{1+x}$，$g'(x)=-\sin x+\frac{1}{(1+x)^2}$。
当$x\in(-1,\frac{\pi}{2})$时，$g'(x)$单调递减，而$g'(0)>0$，$g'(\frac{\pi}{2})<0$，可得$g'(x)$在$(-1,\frac{\pi}{2})$有唯一零点，设为$\alpha$。
则当$x\in(-1,\alpha)$时，$g'(x)>0$；当$x\in(\alpha,\frac{\pi}{2})$时，$g'(x)<0$。
所以$g(x)$在$(-1,\alpha)$单调递增，在$(\alpha,\frac{\pi}{2})$单调递减，故$g(x)$在$(-1,\frac{\pi}{2})$存在唯一极大值点，即$f'(x)$在$(-1,\frac{\pi}{2})$存在唯一极大值点。
2）$f(x)$的定义域为$(-1,+\infty)$。
i) 由(1)知，$f'(x)$在$(-1,0)$单调递增，而$f'(0)=0$，所以当$x\in(-1,0)$时，$f'(x)<0$，故$f(x)$在$(-1,0)$单调递减，又$f(0)=0$，从而$x=0$是$f(x)$在$(-1,0]$的唯一零点。
高考三角函数题型归纳总结
高考三角函数题型归纳总结
高考解三角函数题型归纳总结
一、函数值的计算
1.由某个函数的定义求指定的函数值
2.由表达式求某个函数的值
3.由一切三角函数的基本等式求某个函数的值
二、函数的延长
1.函数的延长：对某个函数的符号或值作一定重新定义，以推广原函数的定义域，使原值可以成为新函数的值
2.求函数值时把原函数的值替换新定义的函数的值
三、函数的平移
1.对某个函数作一定的平移变换，使其实轴、值轴都做出一定的平移
2.函数按照平移变换规则，将原函数的值按比例地经过初始点再离开
四、函数的综合运用
1.记住一些常见的组合等式，如：sinα±cosα=sincosα、sin α-cosα=-2sinsinα/2
2.按延长或平移变换，用组合等式解决具体问题
3.用其他三角函数的关系转换，把一种函数转换成另一种，如tanα=sinα/cosα。
- 1 -。
三角函数专题1-教师
三角函数专题 11. 【2010浙江理数】函数2()sin(2)4f x x x π=--的最小正周期是__________________ .【答案】π【解析】()242sin 22-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f 故最小正周期为π，本题主要考察了三角恒等变换及相关公式，属中档题2. 【2010•全国卷2理数】已知a 是第二象限的角，4tan(2)3a π+=-，则tan a = ．【答案】12-【解析】由4t a n (2)3aπ+=-得4tan 23a =-，又22t a n 4t a n 21t a n3a αα==--，解得1t a n t a n 22αα=-=或，又a 是第二象限的角，所以1tan 2α=-.3. 【2010•全国卷2文数】已知α是第二象限的角,tan α=1/2，则cos α=__________【答案】5-【解析】本题考查了同角三角函数的基础知识∵1tan 2α=-，∴cos 5α=-4．【２０１０·长沙市第一中学第九次月考】已知tan ,tan αβ是方程240++=x 的两根，,(,)22ππαβ∈-，则αβ+=．【答案】23π-【解析】依题意，tan ,tan αβ是方程240++=x ，所以tan tan tan tan 4αβαβ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩，又,(,)22ππαβ∈-，所以()(,0)αβπ+∈-，易求得tan()αβ+=αβ+=23π-5．【2010绵阳南山中学热身考试】函数2sin 2cos 2x y x =+的最大值是【答案】1+【解析】依题意，2sin 2cos2xy x =+=sinx+cosx+1=2sin(x+π4)+1 ,所以最大值为1+6.【2010•浙江理数】在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，已知1cos 24C =-2(I)求sinC 的值；(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC 时，求b 及c 的长．【解析】本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。
三角函数经典题型总结
三角函数经典题型总结三角函数是数学中非常重要的一个概念，它在几何、物理、工程等各个领域都有着广泛的应用。
在学习三角函数的过程中，我们经常会遇到一些经典的题型，掌握这些题型对于提高解题能力至关重要。
下面我们来总结一些常见的三角函数经典题型。
1. 求解三角函数的周期性：对于任意的角度θ，三角函数sinθ和cosθ都是周期函数，它们的周期都是2π。
即sin(θ+2π) = sinθ，cos(θ+2π) = cosθ。
而tanθ的周期是π，即tan(θ+π) = tanθ。
这个性质在解三角函数方程和不等式时非常有用。
2. 利用三角函数的基本关系求解问题：sinθ、cosθ和tanθ是三角函数中的基本函数，它们之间有很多重要的关系。
比如，tanθ = sinθ/cosθ，1+tan^2θ = sec^2θ，1+cot^2θ = csc^2θ等。
利用这些基本关系，可以简化计算，解决一些复杂的三角函数问题。
3. 求解三角函数方程和不等式：在解三角函数方程和不等式时，我们经常需要用到三角函数的周期性和基本关系。
另外，还需要掌握一些常用的三角函数恒等式，比如sin2θ =2sinθcosθ，cos2θ = cos^2θ-sin^2θ等。
这些恒等式在化简三角函数方程和不等式时非常有用。
4. 利用三角函数的图像解题：三角函数的图像是解三角函数问题的重要工具。
对于sinθ和cosθ，它们的图像是周期的正弦曲线和余弦曲线；对于tanθ，它的图像是周期的正切曲线。
通过观察三角函数的图像，可以直观地理解三角函数的性质，解决一些三角函数的几何问题。
5. 利用三角函数的导数求解最值问题：三角函数的导数也是三角函数的重要性质之一。
sinθ的导数是cosθ，cosθ的导数是-sinθ，t anθ的导数是sec^2θ。
利用三角函数的导数，我们可以求解三角函数的最值问题，比如求解函数sinθ的最大值和最小值，求解函数tanθ的增减性等。
三角函数中的常考题型及其解法
三角函数中的常考题型及其解法三角函数中常考题型及解法：一、求解三角函数值1、求正弦函数值解法：使用正弦定理进行求解，总结如下：（1）正弦定理（用于直角三角形）：a/sinA=b/sinB=c/sinC；（2）正弦表：常记正弦值，如15°的正弦值是0.2588；（3）半角公式：sin(x/2)=±√[(1-cosx)/2]；（4）倍角公式：sin2x=2sinxcosex。
2、求余弦函数值解法：使用余弦定理进行求解，总结如下：（1）余弦定理（用于直角三角形）：a²=b²+c²-2bc·cosA；（2）余弦表：常记余弦值，如45°的余弦值是0.7071；（3）化简余弦值：常用公式或知识点化简余弦值，如极限化简，勾股定理等；（4）半角公式：cos(x/2)=±√[(1+cosx)/2]；（5）倍角公式：cos2x=cos²x-sin²x。
三、求解三角函数表达式1、求正弦函数表达式解法：（1）可用图像法求解，如求函数y=2sin(x+π/6)的图形，可将之前已知的普通正弦图形向右移动π/6，并放大2倍；（2）也可用公式求解，如求函数y=2sin(x+π/6)，用单位正弦函数表示法，则有y=2sin(x)·cos(π/6)+2cos(x)·sin(π/6)。
2、求余弦函数表达式解法：（1）可用图像法求解，如求函数y=2cos(x+π/6)的图形，可先求出正弦函数的图像，再进行垂直翻转；（2）也可用公式求解，如求函数y=2cos(x+π/6)，用单位余弦函数表示法，则有y=2cos(x)·cos(π/6)-2sin(x)·sin(π/6)。
三角函数题型分类总结(18篇)
三角函数题型分类总结第1篇sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (—a)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosAtan(π/2+α)=-cotαtan(π/2-α)=cotαtan(π-α)=-tanαtan(π+α)=tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+tan^(α/2)]cosα=[1-tan^(α/2)]/1+tan^(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^(α/2)]三角函数题型分类总结第2篇诱导公式sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(—a)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαsin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαsin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαsin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtanA=sinA/cosAtan(π/2+α)=-cotαtan(π/2-α)=cotαtan(π-α)=-tanαtan(π+α)=tanα半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA。
sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)) 三角函数题型分类总结第3篇倒数关系：tanα ·cotα=1sinα ·cscα=1cosα ·secα=1商的关系：sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=11+tan^2(α)=sec^2(α)1+cot^2(α)=csc^2(α)平常针对不同条件的常用的两个公式sin^2(α)+cos^2(α)=1tan α _cot α=1一个特殊公式(sina+sinθ)_(sina-sinθ)=sin(a+θ)_sin(a-θ)证明：(sina+sinθ)_(sina-sinθ)=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] _2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin(a+θ)_sin(a-θ)坡度公式我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度(也叫坡比), 用字母i表示, 即 i=h / l, 坡度的一般形式写成 l : m 形式,如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作a(叫做坡角),那么 i=h/l=tan a.锐角三角函数公式正弦： sin α=∠α的对边/∠α 的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边二倍角公式sin2A=2sinA·cosA(a)-Sin^2(a)(a)(a)-1即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a) tan2A=(2tanA)/(1-tan^2(A))三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 两角和公式tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ积化和差sinαsinβ =-[cos(α+β)-cos(α-β)] /2cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2公式一：设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)= sinαcos(2kπ+α)= cosαtan(2kπ+α)= tanαcot(2kπ+α)= cotα公式二：设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)= -sinαcos(π+α)= -cosαtan(π+α)= tanαcot(π+α)= cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(-α)= -sinαcos(-α)= cosαtan(-α)= -tanαcot(-α)= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)= sinαcos(π-α)= -cosαtan(π-α)= -tanαcot(π-α)= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)= -sinαcos(2π-α)= cosαtan(2π-α)= -tanαcot(2π-α)= -cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)= cosαcos(π/2+α)= -sinαtan(π/2+α)= -cotαcot(π/2+α)= -tanαsin(π/2-α)= cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)= cotαcot(π/2-α)= tanαsin(3π/2+α)= -cosαcos(3π/2+α)= sinαtan(3π/2+α)= -cotαcot(3π/2+α)= -tanαsin(3π/2-α)= -cosαcos(3π/2-α)= -sinαtan(3π/2-α)= cotαcot(3π/2-α)= tanα(以上k∈Z)三角函数题型分类总结第4篇下文《雅思听力考试题型》由出国雅思频道为您整理，供您参考，了解更多考试信息，请收藏本章。
高三数学第一学期中复习专题-三角函数(教师用)函数与导数
函数与导数班级 姓名 成绩一．填空题1.函数12+=+x a y （1,0≠>a a ）恒过定点2.函数y =的定义域为 3.223y x x =+-,[]1,2-∈x 的值域是4.已知函数2(1)4f x x x -=-，函数()f x 的解析式为5.函数y =的单调增区间是6.不等式2212()4x x x +-≤的解集为 7.若0()ln 0xe x g x x x ⎧≤=⎨>⎩，则1(())2g g = 8.曲线2ln 3++=x x y 在点P 0处的切线方程为014=--y x ，则点P 0的坐标是9.设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，b x x f x ++=22)((b 为常数)，则=-)1(f10.若函数h (x )＝2x －k x ＋k 3在(2，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是________ 11.函数错误！未找到引用源。
在定义域R 内可导，若错误！未找到引用源。
，且当错误！未找到引用源。
时，错误！未找到引用源。
，设错误！未找到引用源。
则c b a ,,的大小关系是 （用“<”连结） 12.函数2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0f ⎧≤⎨⎩（的零点个数为 13.定义在R 上的函数)(x f 满足)(x f = ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则)2009(f 的值为 14.已知()x xe x f =，()()a x x g ++-=21，若∈∃21,x x R ，使得()()12x g x f ≤成立，则实数a 的取值范围是____________．15已知a 为正实数，函数22()f x ax a x c =-+的图象与x 轴交于,A B 两点,与y 轴交于C 点.且△ABC 为直角三角形.则线段AB 的最小值为二．解答题16.已知函数2()1x f x x =+ （1）证明：该函数是奇函数； （2）证明：该函数在区间上(],1-∞-是减函数．17.已知函数c bx ax x x f +++=23)(，曲线)(x f y =在点1=x 处的切线为l ：013=+-y x ，若32=x 时，)(x f y =有极值．(1)求c b a ,,的值；(2)求)(x f y =在[]1,3-上的最大值和最小值．18.已知函数)(ln )(R a ax x x f ∈-=．(1)求函数)(x f y =的单调区间；(2)当0>a 时，求函数)(x f 在[1,2]上的最小值19.设函数x x xe e x x f -+=221)(. (1)求)(x f 的单调区间；(2)若当[]2,2-∈x 时，不等式m x f >)(恒成立，求实数m 的取值范围．20．已知函数R a ax x x f ∈-+=,1cos )(2．（1）求证：函数)(x f 是偶函数；（2）当1=a 时，求函数)(x f 在[]ππ,-上的最大值及最小值；（3）若对于任意的实数x 恒有0)(≥x f ，求实数a 的取值范围．21.某水产养殖场的休闲垂钓水域如图所示，水域由以AB 为直径的半圆和以AB 为斜边的等腰直角三角形ABD 组成，其中,AD DB 和圆弧AEFB 为水域岸边， O 为半圆圆心，200AB =m .为方便客人垂钓，决定架设两座木桥,DE DF ，,E F 点在岸边上，且2(0)4EOA FOB παα∠=∠=<<.据估测，岸边,,,AD DB AE BF 上单位长度（m ）内垂钓的人数均为k （k 为常数），桥,DE DF 上和岸边圆弧EF 上单位长度（m ）内垂钓的人数均为2k .水域垂钓总人数记为y .（1）求y 关于α的函数表达式；（2）估测当α取何值时，垂钓总人数最多？（第21题图） D。
三角函数题型总结
三角函数题型总结三角函数作为高中数学重要的一部分，是一门极具挑战性和深度的数学学科。
它在数学中起着举足轻重的作用，同时也是学生们的重要考核内容。
在学习三角函数时，需要掌握各种不同类型的题目，只有这样才能够更好地理解和应用三角函数的知识。
本文将对三角函数题型进行总结，帮助学生更好地掌握和运用三角函数知识。
一、基本概念题1. 什么是三角函数？2. 三角函数有哪些基本性质？3. 如何求解三角函数的定义域和值域？这些问题是学习三角函数的基础，理解和掌握这些基本概念对于后续学习和应用三角函数知识非常重要。
在解答这些问题时，需要理清三角函数的定义，熟练掌握其性质和特点，从而建立起对三角函数的基本认识。
二、简单的三角函数计算题1. 已知三角函数的角度，求其正弦、余弦、正切值。
2. 已知正弦、余弦、正切值，求对应的角度。
这类题目主要考察学生对于三角函数的计算能力，需要熟练掌握各种角度和对应三角函数值的关系，以及如何通过给定的正弦、余弦、正切值求解对应的角度。
1. sin(A+B)、sin(A-B)、cos(A+B)、cos(A-B)的计算。
2. 证明tan(A+B)的公式。
这类题目主要考察学生对于角度之间的关系以及三角函数运算公式的掌握程度。
需要灵活应用三角函数的运算规则和恒等式，从而解决相关的角度和函数值之间的关系。
四、三角函数的应用1. 通过三角函数求解实际问题。
2. 利用三角函数解决几何问题。
这类题目主要考察学生对于三角函数在实际应用中的运用能力，需要灵活运用三角函数的定义和性质，解决与其相关的实际问题或几何问题，例如通过三角函数求解航行、地质勘测或者建筑设计等问题。
五、综合性问题1. 多角函数的简化和展开。
2. 综合运用各种三角函数公式求解复杂问题。
在解答三角函数题目时，学生需根据具体问题灵活运用相关的知识点和解题方法，同时还需要对相关的数学概念和推理能力有一定的掌握。
学生在掌握了基本概念和常见题型后，需要多进行练习，提高自己的计算能力和解题思维，从而更好地理解和应用三角函数知识。
三角函数知识点及题型总结
三角函数知识点及题型总结
三角函数是数学中的一种基本概念，主要用于研究三角形的几何性质和三角函数的性质。
下面是三角函数的知识点和题型总结：
知识点：
1. 三角函数的定义：三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。
它们分别表示三角形中的角度与其对应的边长或高度之间的关系。
2. 三角函数的图像：正弦函数和余弦函数的图像呈周期性变化，余切函数和正切函数的图像呈双曲线形状。
三角函数的图像可以用来确定角度的大小和方向。
3. 三角函数的性质：三角函数具有周期性、奇偶性、单调性等性质。
这些性质可以用来解决三角函数的相关问题。
题型总结：
1. 三角函数的定义和性质：这类题目主要考察对三角函数定义和性质的理解和掌握程度。
例如，给出一个角度和对应的边长或高度，要求计算该角度的正弦值、余弦值或正切值等。
2. 三角函数的图像：这类题目主要考察对三角函数图像的观察和理解能力。
例如，给定一个角度或一个角度范围，要求画出对应的三角函数图像。
3. 三角函数的应用：这类题目主要考察三角函数在实际问题中的应用能力。
例如，要求解决一个三角形的几何问题，需要利用三角函数的性质和图像来求解。
总之，三角函数是数学中的一个重要概念，需要掌握其定义、性质和图像，并能够在实际问题中灵活运用。
三角函数题型总结(1)
第五章 三角函数1.（1）求终边与30α=重合的角的集合；（2）求终边与直线y x =重合的角的集合；2.已知α是第二象限角，则2α为第几象限；3.（1）分别求25,,333πππ的正弦、余弦、正切值（此题用单位圆和诱导公式两种方法做）（2）角α的终边经过点()3,4--，求角α的正弦、余弦、正切值；4.若一扇形的圆心角为72，半径为20cm ，则扇形的弧长、面积；5.利用诱导公式（一——四）化简，并求具体的值（1）sin 390 24cos6π 25tan 6π 5sin 3π⎛⎫-⎪⎝⎭47sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）4sin3π 7cos 6π 5tan 4π （3）sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭ cos 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭ tan 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭（4）2sin3π 5cos 6π3tan 4π 6.利用同角三角函数的基本关系求解（默写平方关系及其变式和商数关系） （1）已知3sin 5α=，且α为第二象限角，求cos ,tan αα；（2）已知3sin 5α=，求cos ,tan αα；（3）已知()1sin 2πα-=-，计算()sin 5πα-、sin 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭、3cos 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭、sin 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭；7、已知sin a α=，求下列各值（重要凑角法：相加或相减等于2π的倍数，α同号相减，α异号相加）； （1）当2παβ+=，求cos β的值；（2）当2πβα-=，求cos β的值；（3）当αβπ+=，求sin β的值；（4）当βαπ-=，求sin β的值； 已知sin 3a πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，分别求cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭、cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭、5cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭、2cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭、4sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭；8、已知tan 2α=，求：2sin cos 3sin cos αααα+- 22222sin cos 3sin cos αααα+- sin cos αα 2cos 2sin 2αα+ sin 2α cos 2α9、画图可根据图像的“伸缩平移”，也可以“五点法”作图。
1三角函数(教师版)
（1） 与 （2） 与
例2：求证角θ为第三象限角的充分必要条件是
例3求下列三角函数的值
(1)sin1480°10′(2) （3） .
练习：
求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tg4950°
题型三：同角三角函数
例1：已知sinα= ,并且α是第二象限的角,求cosα,tanα的值。
练习3
（1）钟表经过十分钟，时针转了多少度？分针转了多少度？（2）若将钟表拨慢十分钟，则时针转了多少度？分针转了多少度？
考点二：三角函数弧度制
题型一：角度制与弧度制的互化
例1把下列各角的弧度数化为度数，度数化为弧度数并指明它们各自所在象限：
（1） （2） （3） （4）
题型二：用弧度制表示区间角问题
（2）求 、 、 的值．
17、化简：tanα（cosα－sinα）＋
2.
题型二：象限角与非象限角
例2.请写出一个象限的角与非象限角。象限，试确定 , 的终边所在象限.
练习2：
已知角 是第三象限，试确定 的终边所在象限.
题型四：任意角在实际生活中的应用
例4.将钟表上的时针作为角的始边，分针作为终边，那么当钟表上显示八点五分时，时针与分针构成的角度是多少？
第二象限角
第三象限角
第四象限角
终边在 轴上的角
终边在 轴上的角
终边在坐标轴上的角
知识点4：弧度制
我们规定，长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角； 用弧度来度量角的单位制叫做弧度制。在弧度制下，1弧度记做1rad.
①角度与弧度之间的转换：
1）将角度化为弧度：
三角函数精选(教师版)
高中数学三角函数部分错题精选一、选择题：1．为了得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin πx y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）A 向右平移6π B 向右平移3π C 向左平移6π D 向左平移3π错误分析:审题不仔细,把目标函数搞错是此题最容易犯的错误. 答案: B 2．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2tan tan 1sin x x x y 的最小正周期为 ( )A πB π2 C2π D 23π错误分析:将函数解析式化为x y tan =后得到周期π=T ,而忽视了定义域的限制,导致出错.答案: B3. 曲线y=2sin(x+)4πcos(x-4π)和直线y=21在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1、P 2、P 3……，则|P 2P 4|等于 （ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π正确答案：A 错因：学生对该解析式不能变形，化简为Asin(ωx+ϑ)的形式，从而借助函数图象和函数的周期性求出|P 2P 4|。
4．下列四个函数y=tan2x ，y=cos2x ，y=sin4x ，y=cot(x+4π),其中以点(4π,0)为中心对称的三角函数有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4正确答案：D 错因：学生对三角函数图象的对称性和平移变换未能熟练掌握。
5．函数y=Asin(ωx+ϕ)(ω>0,A ≠0)的图象与函数y=Acos(ωx+ϕ)(ω>0, A ≠0)的图象在区间(x 0,x 0+ωπ)上（）A ．至少有两个交点B ．至多有两个交点C ．至多有一个交点D ．至少有一个交点正确答案：C 错因：学生不能采用取特殊值和数形结合的思想方法来解题。
6．在∆ABC 中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=3，则∠C 的大小应为( )A ．6πB ．3πC ．6π或π65D ．3π或32π正确答案：A 错因：学生求∠C 有两解后不代入检验。
7．已知tan α tan β是方程x 2+33x+4=0的两根，若α，β∈(-2,2ππ)，则α+β=（ ）A ．3πB ．3π或-π32C ．-3π或π32D ．-π32正确答案：D 错因：学生不能准确限制角的范围。
三角函数题型归纳总结
三角函数题型归纳总结三角函数题型归纳总结在复习过程中既要注重三角知识的基础性，又要注重三角知识的工具性，下面是三角函数题型归纳总结，希望对你有帮助。
三角函数题型归纳总结一1.熟练掌握三角变换的所有公式,理解每个公式的意义,应用特点,常规使用方法等;熟悉三角变换常用的方法--化弦法,降幂法,角的变换法等;并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明;掌握三角变换公式在三角形中应用的特点,并能结合三角形的`公式解决一些实际问题.2.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质,并能用它研究复合函数的性质;熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点,并会用五点画出函数的图象;理解图象平移变换、伸缩变换的意义,并会用这两种变换研究函数图象的变化.三角函数题型归纳总结二各地高考中本部分所占分值在17~22分,主要以选择题和解答题的形式出现。
主要考察内容按综合难度分,我认为有以下几个层次: 第一层次:通过诱导公式和倍角公式的简单运用,解决有关三角函数基本性质的问题。
如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。
第二层次:三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。
如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。
第三层次:充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质,解决较复杂的函数问题。
如分段函数值,求复合函数值域等。
高考数学三角函数题型解法1.三角函数恒等变形的基本策略。
(1)常值代换:特别是用"1"的代换,如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
(2)项的分拆与角的配凑。
如分拆项:sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x;配凑角:α=(α+β)-β,β= - 等。
(3)降次与升次。
(4)化弦(切)法。
(4)引入辅助角。
asinθ+bcosθ= sin(θ+ ),这里辅助角所在象限由a、b的符号确定, 角的值由tan = 确定。
7.1.3三角函数---终边相同的角-教师版
三角函数---终边相同的角学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若α与β的终边互为反向延长线，则有（ ） A ．180αβ=+ B ．180αβ=-C ．αβ=-D ．()21180,k k Z αβ=++⋅∈【答案】D 【解析】 【分析】根据两角终边之间的关系可得出结论. 【详解】α与β的终边互为反向延长线，则两角的终边相差180的奇数倍，可得()21180,k k Z αβ=++⋅∈． 故选：D. 【点睛】本题考查利用两角终边的关系推出两角的关系，考查理解能力，表达能力，属于基础题．2．已知命题p ：角α的终边在直线y =上，命题q ：()3k k Z παπ=+∈，那么p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】对命题p 根据终边相同的角的概念进行化简可得可得答案. 【详解】角α的终边在直线y =上()23k k παπ⇔=+∈Z 或23k παππ=++()()213k k ππ=++∈Z ()3k k παπ⇔=+∈Z ，故p 是q 的充分必要条件，故选：C. 【点睛】本题考查了终边相同的角的概念，考查了充分必要条件的概念，属于基础题. 3．下列各对角中，终边相同的是（ ）A ．3,2π32()2k k Z ππ-∈B ．220,︒500︒C ．7,9π-119π D ．540,︒-350︒【答案】C 【解析】 【分析】利用终边相同的角的定义，即可得出结论． 【详解】若终边相同，则两角差2,k k Z π∈,或360,k k Z ︒⋅∈.A .33232,22k k k Z πππππ⎛⎫--=-∈ ⎪⎝⎭，故A 选项错误; B .500220280︒︒︒-=,故B 选项错误;C .117299πππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭,故C 选项正确; D .()350540890︒︒︒--=,故D 选项错误.故选：C . 【点睛】本题考查终边相同的角，难度容易.4．与525-︒的终边相同的角可表示为（ ） A ．525360k -⋅︒︒()k ∈Z B ．165360k ︒+⋅︒()k ∈Z C ．195360k +⋅︒︒()k ∈Z D ．195360k -+⋅︒︒()k ∈Z【答案】C 【解析】 【分析】根据终边相同角的表示方法进行求解即可. 【详解】因为525720195-︒=-︒+︒，所以与525-︒的终边相同的角可表示为195360k +⋅︒︒()k ∈Z .故选：C 【点睛】本题考查了终边相同角的表示方法，属于基础题. 5．与30°角的终边关于x 轴对称的角的集合为( ) A ．{}|36030,x x k k Z =⋅+∈ B ．{}|36030,x x k k Z =⋅-∈ C ．{}|360150,x x k k Z =⋅+∈ D ．{}|360210,x x k k Z =⋅+∈【答案】B 【解析】 【分析】先分析与30°角的终边关于x 轴对称的角中绝对值最小的角,再根据角度的周期性分析即可. 【详解】与30角的终边关于x 轴对称的角中绝对值最小的角为30-︒,又角度旋转一周即360︒后与原角度重合,故与30角的终边关于x 轴对称的角为{}|36030,x x k k Z =⋅-∈. 故选：B 【点睛】本题主要考查了终边相等的角的集合,属于基础题.6．已知集合{}45,,M k k z θθ==⋅∈{}9045,,N k k z αα==⋅±∈那么集合M 和N 的关系是（ ） A ．MNB ．M NC ．M ND ．不能确定【答案】C 【解析】 【分析】由904524545(21)45α=⋅±=±=±k k k ，因为21k ±是奇数，k z ∈得到结论. 【详解】因为904524545(21)45α=⋅±=±=±k k k ， 而21k ±是奇数，k z ∈，所以M N .故选：C. 【点睛】本题主要考查了角的表示及集合的关系，还考查了转化化归的思想和理解辨析的能力，属于基础题.7．与35°角终边相同的角是（ ） A ．35︒- B ．335° C ．395°D ．345︒-【答案】C 【解析】 【分析】确定是否相差360°的整数倍即可． 【详解】观察四个选项只有395°=35°+360°， 故选：C. 【点睛】本题考查终边相同的角，掌握终边相同角的表示方法是解题关键．360k βα=⋅︒+（k Z ∈）是与α终边相同的角．8．下列各个角中与2020°终边相同的是( ) A ．150︒- B ．680° C ．220° D ．320°【答案】C 【解析】 【分析】将2020︒写为360k α+⋅︒()k Z ∈的形式,即可得到结果 【详解】由题,20202205360︒=︒+⨯︒, 故选:C 【点睛】本题考查终边相同的角,属于基础题9．若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y =上，则角α的取值集合是（ ）A ．{|2,}3k k Z πααπ=-∈ B ．2{|2,}3k k Z πααπ=+∈ C ．2{|,}3k k Z πααπ=-∈ D ．{|,}3k k Z πααπ=-∈【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】因为直线y =的倾斜角是23π，tan α=所以终边落在直线y =上的角的取值集合为:{|,}3k k Z πααπ=-∈或者2{|,}3k k ααπ=π+∈Z . 故选D.10．终边在直线y x =-上的角α的取值集合是（ ）A ．{}360135,n n Z αα=⋅+∈B ．{}36045,n n Z α=⋅-∈C ．{}180225,n n Z αα=⋅+∈D ．{}18045,n n Z αα=⋅-∈【答案】D 【解析】 【分析】在180-到180内终边在直线y x =-上的角是45,135-，由终边相同的角的表示方法可得出终边在直线y x =-上的角的集合，可得解. 【详解】角α的取值集合为{}360135,k k Z αα=⋅+∈{}36045,k k Z αα⋃=⋅-∈(){}2118045,k k Z αα==+⋅-∈{}218045,k k Z αα⋃=⋅-∈{}18045,n n Z αα==⋅-∈，故选D . 【点睛】本题考查终边相同的角的表示方法，属于基础题.11．如果21α=-，那么与终边相同的角可以表示为 A ．{}|=36021,k k Z ββ⋅+∈B ．{}|=36021,k k Z ββ⋅-∈C ．{}|=18021,k k Z ββ⋅+∈ D ．{}|=18021,k k Z ββ⋅-∈【答案】B 【解析】 【分析】根据终边相同的角相差360的整数倍，故与角α有相同终边的角为360()k k Z α⋅+∈，接下来，将21α=-代入上式，即可得解. 【详解】根据终边相同的角相差360的整数倍，故与角α有相同终边的角为360()k k Z α⋅+∈， 所以21α=-，表示为36021()k k Z ⋅-∈， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关终边相同的角的问题，涉及到的知识点有终边相同的角的关系，属于简单题目.12．设集合M ＝{x|x ＝2k ×180°＋45°，k ∈Z}，N ＝{x|x ＝4k×180°＋45°，k ∈Z}，那么( ) A ．M ＝N B ．N ⊆MC ．M ⊆ND ．M∩N ＝∅【答案】C 【解析】 【分析】变形表达式为相同的形式，比较可得． 【详解】由题意可{|18045}{|2145}2kM x x k Z x x k k Z ==⋅︒+︒∈==+⋅︒∈得，（），， 即M 为45︒的奇数倍构成的集合， 又{|18045}{|145}4kN x x k Z x x k k Z ==⋅︒+︒∈==+⋅︒∈，（），，即N 为45︒的整数倍构成的集合，M N ∴⊆， 故选C ． 【点睛】本题考查集合的包含关系的判定，变形为同样的形式比较是解决问题的关键，属基础题．二、填空题13．与496-终边相同的角中，最小正角是__________． 【答案】224 【解析】 【分析】根据终边相同角的公式0360,k k z αβ=+∈即可求解． 【详解】与496-终边相同的角为：00224360,k k z +⋅∈ ，∴当0k =时，得到最小的正角为0224，故答案为0224 【点睛】本题考查终边相同角公式，属于基础题．三、解答题14．已知角β的终边在如图所示的阴影部分内，求角β的取值范围.【答案】{|180********,}n n n Z ββ︒︒︒︒⋅+⋅+∈≤<. 【解析】 【分析】用x 轴上方的阴影部分的角的集合与x 轴下方的阴影部分的角的集合求并集即可得到答案. 【详解】在x 轴上方的阴影部分的角的集合为{|36045360135,}A k k k Z ββ︒︒︒︒=⋅+<⋅+∈≤{|2180452180135,}k k k Z ββ︒︒︒︒=⋅+<⋅+∈≤.在x 轴下方的阴影部分的角的集合为{|360225360315,}B k k k Z ββ︒︒︒︒≤=⋅+<⋅+∈{|36018045360180135,}k k k Z ββ︒︒︒︒︒︒=⋅++<⋅++∈≤.所以阴影部分内角β的取值范围是{|2180452180135,}A B k k k Z ββ︒︒︒︒⋃=⋅+⋅≤<+∈ {|(21)18045(21)180135,}k k k Z ββ︒︒︒︒⋃+⋅+<+⋅+∈≤={|180********,}n n n Z ββ︒︒︒︒⋅+⋅+∈≤<.【点睛】本题考查了阴影部分的边界上的角表示阴影部分的角的集合，属于基础题. 15．写出如图所示阴影部分（包括边界）的角α的范围．【答案】（1）{}150********,k k k Z αα-+⋅≤≤+⋅∈； （2）{}45360300360,k k k Z αα+⋅≤≤+⋅∈. 【解析】 【分析】分别写出终边落在阴影部分区域边界线上的角，即可写出终边落在阴影部分（包括边界）的角α的集合. 【详解】（1）因为与45角终边相同的角可写成()45360k k +⋅∈Z 的形式，与18030150-+=-角终边相同的角可写成()150360k k -+⋅∈Z 的形式， 所以图（1）阴影部分的角α的范围可表示为{}150********,k k k Z αα-+⋅≤≤+⋅∈；（2）因为与45角终边相同的角可写成()45360k k +⋅∈Z 的形式， 与36060300-=角终边相同的角可写成()300360k k +⋅∈Z 的形式，所以图（2）阴影部分的角α的范围为{}45360300360,k k k Z αα+⋅≤≤+⋅∈． 【点睛】本题考查角的集合的求法，关键就是要表示出终边落在边界线（射线）上的角，是基础题，解题时要认真审题，注意终边相同的角的概念的合理运用． 16．已知1910α=-．（1）把α写成()360,0360k k Z ββ+⋅∈≤<的形式；（2）求θ，使θ与α的终边相同，且7200θ-≤<．【答案】（1）19102506360-=-⨯；（2）110θ=-或470-. 【解析】 【分析】（1）利用终边相同的角的表示方法可将α表示为()360,0360k k Z ββ+⋅∈≤<的形式；（2）由（1）可得()250360k k Z θ=+⋅∈，然后解不等式7200θ-≤<，求出整数k 的值，代入可求出θ的值. 【详解】（1）19102506360-=-⨯. （2）由（1）知()250360k k Z θ=+⋅∈，因为7200θ-≤<，所以7202503600k -≤+⋅<，即97253636k -≤<-， 因为k Z ∈，所以1k =-或2k =-.当1k =-时，()2501360110θ=+-⨯=-； 当2k =-时，()2502360470θ=+-⨯=-．所以110θ=-或470-. 【点睛】本题考查终边相同角的表示方法，是基本知识的考查． 17．已知如图．（1）写出终边落在射线OA 、OB 上的角的集合； （2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．【答案】（1）终边落在射线OA 上的角的集合为{}210360,k k Z αα=+⋅∈，终边落在射线OB 上的角的集合为{}300360,k k Z αα=+⋅∈； （2）{}210360300360,k k k Z αα+⋅≤≤+⋅∈. 【解析】 【分析】（1）利用终边相同的角的定义可分别写出终边落在射线OA 、OB 上的角的集合； （2）利用终边落在射线OA 、OB 上的角的集合可写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合. 【详解】（1）终边落在射线OA 上的角的集合是{}210360,k k Z αα=+⋅∈， 终边落在射线OB 上的角的集合{}300360,k k Z αα=+⋅∈； （2）终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是{}210360300360,k k k Z αα+⋅≤≤+⋅∈.【点睛】本题考查角的集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意终边相同的角的概念的合理运用． 18．写出720360-范围内与1020-终边相同的角．【答案】660-，300-，60【解析】【分析】先写出与1020-终边相同的角为()1080360k k Z α=-+⋅∈，然后解不等式720360α-≤≤，解出整数k 的值，代入可计算出α的值，即为所求.【详解】与1020-终边相同的角()3601020k k α=⋅-∈Z ．令7203601020360k -≤⋅-≤，解得52366k ≤≤，而k ∈Z ，1k ∴=、2、3. 当1k =时，660α=-；当2k =时，300α=-；当3k =时，60α=．故在720360-范围内与1020-终边相同的角有三个，分别是660-，300-，60. 【点睛】本题考查终边相同的角的求法，解题的关键就是要写出终边相同的角的表达式，考查计算能力，属于基础题.19．已知1690α︒=．（1）把α写成2(,[0,2))k k Z πββπ+∈∈的形式；（2）求θ，使θ与α终边相同，且(4,4)θππ∈-．【答案】（1）251690818ππ︒=+（2）47112561,,18181818ππππ--, 【解析】【分析】（1）先得到16904360250︒︒=⨯+︒,再转化为弧度角即可；（2）由（1）可得α终边相同的角为252()18k k Z αππ=+∈,则252()18k k Z θππ=+∈,使得2542418k ππππ-<+<,求解出k 的范围,由k Z ∈确定k 值,进而确定θ角即可 【详解】 （1）251690436025042250818018ππππ︒︒=⨯+=⨯+=+︒⨯（2）∵θ与α终边相同, ∴252()18k k Z θππ=+∈, 又(4,4)θππ∈-, ∴2542418k ππππ-<+<, 解得9747()3636k k Z -<<∈, ∴2,1,0,1k =--,∴θ的值是47112561,,18181818ππππ--, 【点睛】本题考查角度制与弧度制的转化,考查终边相同的角的应用20．已知角α＝45°，(1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β；(2)设集合M=18045,,N=18045,24k k x x k x x k ⎧⎫⎧⎫=⨯+∈=⨯+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z ，判断两集合的关系．【答案】（1）β＝－675°或β＝－315°.(2)M N ⊆. 【解析】【分析】（1）所有与角α有相同终边的角可表示为45360k k Z ︒+⨯︒∈（），列出不等式解出整数k ，即得所求的角．（2）先化简两个集合，分整数k 是奇数和偶数两种情况进行讨论，从而确定两个集合的关系．【详解】(1)所有与角α有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z)， 则令－720°≤45°＋k ×360°<0°， 得－765°≤k ×360°<－45°，解得－≤k <－， 从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.(2)因为M＝{x|x＝(2k＋1)×45°，k∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合N＝{x|x＝(k＋1)×45°，k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集⊆.合，从而M N【点睛】（1）从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角α有相同终边的角，然后列出一个关于k的不等式，找出相应的整数k，代回求出所求解；（2）可对整数k的奇、偶数情况展开讨论．。
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三角函数题型总结-教师版111111cos sin sin 2224S x y ==⋅=ααα， ………………7分2221112||[cos()]sin()sin(2)223343S x y πππ==-+⋅+=-+ααα． ……………9分依题意得 2sin 22sin(2)3π=-+αα，整理得 cos20=α．………………11分因为 62ππ<<α， 所以23π<<πα，所以22π=α，即4π=α． ………………13分2、三角形中求值〖例〗（2013年高考北京卷（理））在△ABC 中,a =3,b 6,∠B =2∠A . (I)求cosA 的值; (II)求c 的值.【答案】解:(I)因为a =3,b =2,∠B =2∠A . 所以在△ABC中,由正弦定理得3sin sin 2A A =.所以2sin cos sin 3A A A =.故cos 3A =.(II)由(I)知cos A =,所以sin A ==.又因为∠B=2∠A,所以21cos 2cos13B A =-=.所以2sin 1cos B B =-=.在△ABC 中,53sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=所以sin 5sin a Cc A==. 【举一反三】（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））设ABC ∆的内角,,A B C的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.(I)求B (II)若31sin sin 4A C =,求C .【答案】③三角不等式（2013年高考湖南卷（理））已知函数2()sin()cos().()2sin 632xf x x xg x ππ=-+-=.(I)若α是第一象限角,且()f α=求()g α的值; (II)求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合.【答案】解:(I)533sin 3)(sin 3sin 23cos 21cos 21sin 23)(==⇒=++-=ααf x x x x x x f .51cos 12sin 2)(,54cos )2,0(,53sin 2=-===⇒∈=⇒ααααπααg 且(II)21)6sin(cos 21sin 23cos 1sin 3)()(≥+=+⇒-≥⇒≥πx x x x x x g x fZ k k k x k k x ∈+∈⇒++∈+⇒],322,2[]652,62[6ππππππππ二、图像和性质型 1、求范围 ①sin()y A x B ωϕ=++型〖例〗（2008北京卷15）已知函数2π()sin 3sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．解：（Ⅰ）1cos 2()sin 222xf x x ωω-=+112cos 2222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππ2ω=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤， 所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤， 因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． ②二次函数型〖例〗（2008四川卷17）求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x=-+-的最大值与最小值。
【解】：2474sin cos 4cos4cos y x x x x=-+-()2272sin 24cos 1cos x x x =-+-2272sin 24cos sin x x x =-+272sin 2sin 2x x=-+()21sin 26x =-+由于函数()216z u =-+在[]11-，中的最大值为()2max11610z=--+=最小值为 ()2min1166z=-+=故当sin 21x =-时y 取得最大值10，当sin 21x =时y 取得最小值62、求单调区间〖例〗[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z.所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z. (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎪⎫cos α cos π4－sin αsin π4(cos 2 α－sin 2 α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角， 得α＝3π4＋2k π，k ∈Z ，此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.3、和图像结合〖例〗（2008广东卷16）．（本小题满分13分） 已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点π132M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． （1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值．【解析】（1）依题意有1A =，则()sin()f x x ϕ=+，将点1(,)32M π代入得1sin()32πϕ+=，而0ϕπ<<，536πϕπ∴+=，2πϕ∴=，故()sin()cos 2f x x xπ=+=；（2）依题意有312cos ,cos 513αβ==，而,(0,)2παβ∈，2234125sin 1(),sin 1()551313αβ∴=-==-=，3124556()cos()cos cos sin sin 51351365f αβαβαβαβ-=-=+=⨯+⨯=。
〖举一反三〗1（2008天津卷17）（本小题满分12分）已知函数22s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=（,0x R ω∈>）的最小值正周期是2π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合． （Ⅰ）解：()242sin 224sin 2cos 4cos 2sin 222cos 2sin 12sin 22cos 12+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+++⋅=πωπωπωωωωωx x x x x x xx f由题设，函数()x f 的最小正周期是2π，可得222πωπ=，所以2=ω． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()244sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f ．当πππk x 2244+=+，即()Z k k x ∈+=216ππ时，⎪⎭⎫ ⎝⎛+44sin πx 取得最大值1，所以函数()x f 的最大值是22+，此时x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,216|ππ．2（2008安徽卷17）已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域 解：（1）()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+13cos 22(sin cos )(sin cos )22x x x x x x =++-+2213cos 22sin cos 2x x x x =++-13cos 22cos 22x x x =+-sin(2)6x π=- 2T 2ππ==周期∴由2(),()6223k x k k Z x k Z πππππ-=+∈=+∈得 ∴函数图象的对称轴方程为()3x k k Z ππ=+∈ （2）5[,],2[,]122636x x πππππ∈-∴-∈-因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，所以 当3x π=时，()f x 取最大值 1又1()()12222f f ππ-=-<=，当12x π=-时，()f x 取最小值2-所以 函数 ()f x 在区间[,]122ππ-上的值域为[3（2008山东卷17）已知函数f (x )＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ωϕϕωϕωπx x 为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为.2π （Ⅰ）求f （8π）的值；（Ⅱ）将函数y ＝f (x )的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间. 解：（Ⅰ）f (x )＝)cos()sin(3ϕωϕω+-+x x＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+)cos(21)sin(232ϕωϕωx x ＝2sin(ϕω+x -6π)因为 f (x )为偶函数，所以 对x ∈R,f (-x )=f (x )恒成立，因此 sin （-ϕω+x -6π）＝sin(ϕω+x -6π). 即-sin x ωcos(ϕ-6π)+cos x ωsin(ϕ-6π)=sin x ωcos(ϕ-6π)+cos x ωsin(ϕ-6π),整理得 sin x ωcos(ϕ-6π)=0.因为 ω＞0，且x ∈R,所以cos （ϕ-6π）＝0.又因为 0＜ϕ＜π，故 ϕ-6π＝2π.所以 f (x )＝2sin(x ω+2π)=2cos x ω. 由题意得.2,222 ＝ 所以 ωπωπ⋅=故 f (x )=2cos2x . 因为.24cos 2)8(==ππf（Ⅱ）将f (x )的图象向右平移个6π个单位后，得到)6(π-x f 的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到)64(ππ-f 的图象.).32(cos 2)64(2cos 2)64()(ππππππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=f f x g 所以 当 2k π≤32ππ-≤2 k π+ π (k ∈Z), 即 4k π＋≤32π≤x ≤4k π+38π (k ∈Z)时，g (x )单调递减.因此g (x )的单调递减区间为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++384,324ππππk k(k ∈Z) 4、（2008湖北卷16）.已知函数117(),()cos (sin )sin (cos ),(,).112t f t g x x f x x f x x t ππ-==⋅+⋅∈+（Ⅰ）将函数()g x 化简成sin()A x B ωϕ++（0A >，0ω>，[0,2)ϕπ∈）的形式；（Ⅱ）求函数()g x 的值域. 解：（Ⅰ）1sin 1cos ()cos sin 1sin 1cos xx g x xxxx--=+++2222(1sin )(1cos )cos sin cos sin x x xxx x--=+1sin 1cos cos sin .cos sin x xxx x x--=+17,,cos cos ,sin sin ,12x x x x x π⎛⎤∈π∴=-=- ⎥⎝⎦1sin 1cos ()cos sin cos sin x x g x x xx x --∴=+--sin cos 2x x =+-2.4x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭（Ⅱ）由1712x ππ≤＜，得55.443x πππ+≤＜ sin t在53,42ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，在35,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦上为增函数， 又5535sin sin ,sin sin()sin 34244x πππππ∴≤+＜＜（当17,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦）， 即21sin()222)23424x x ππ-≤+-∴-≤+--＜，＜，故g (x )的值域为)22,3.⎡--⎣5、（2008陕西卷17）．（本小题满分12分）已知函数2()2sin cos 233444x x xf x =-（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；（Ⅱ）令π()3g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由． 解：（Ⅰ）2()sin 3(12sin )24x x f x =+-sin 322x x =+π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．()f x ∴的最小正周期2π4π12T ==．当πsin 123x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值2-；当πsin 123x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()f x 取得最大值2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()2sin 23x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．又π()3g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． ∴1ππ()2sin 233g x x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 22x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2cos2x =．()2cos 2cos ()22x x g x g x ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭．∴函数()g x 是偶函数．三、解三角形型 1、求基本元素【例】（2008全国二17）．在ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =．（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设ABC △的面积332ABCS =△，求BC 的长．. 解：（Ⅰ）由5cos 13B =-，得12sin 13B =， 由4cos 5C =，得3sin 5C =．所以33sin sin()sin cos cos sin 65A B C B C B C =+=+=． ··· 5分 （Ⅱ）由332ABCS=△得133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=， 由（Ⅰ）知33sin 65A =，故65AB AC ⨯=， ············ 8分又sin 20sin 13AB B AC AB C ⨯==， 故2206513AB=，132AB =． 所以sin 11sin 2AB A BC C ⨯==． ········· 10分 〖举一反三〗（2008江西卷17）．在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c，3a =tan tan 4,22A B C++= 2sin cos sin B C A=，求,A B 及,b c解：由tantan 422A B C++=得cot tan 422C C+= ∴cossin 224sin cos22C CC C += ∴14sin cos22C C=∴1sin 2C =，又(0,)C π∈∴566C C ππ==，或 由2sin cos sin B C A =得 2sin cos sin()B B B C =+即sin()0B C -= ∴B C =，6B C π==2()3A B C ππ=-+=由正弦定理sin sin sin a b cA B C==得1sin 2sin Bb c a A ====2、求范围①均值定理型〖例〗（2008全国一17）设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a B b A c -=．（Ⅰ）求tan cot A B 的值；（Ⅱ）求tan()A B -的最大值．解析：（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a B b A c -= 可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B -==+=+ 即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =； （Ⅱ）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>2tan tan 3tan 3tan()1tan tan 14tan cot 4tan A B B A B A B B B B --===+++≤34当且仅当14tan cot ,tan ,tan 22B B B A ===时，等号成立， 故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34. 【举一反三】[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 16．解：(1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )． (2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立， ∴cos B 的最小值为12.②二次函数型（2013年高考江西卷（理））在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知cosC +(conA - sinA )cosB =0. (1) 求角B 的大小;若a +c =1,求b 的取值范围。