大学物理课件第二章11617562
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大学物理第二章牛顿定律课件
Fc 2m v
强热带风暴旋涡 34
傅科摆摆面的旋转
傅 科摆 :1851 年傅科在巴 黎（北半球）的一个大厅 里悬挂摆长67米的摆。发 现摆动平面每小时沿顺时 针方向转过1115’角度。
北
西
东
南 35
第二章 牛顿定律 总结
• 概念：惯性系，力，动量，力的叠加原理 ，非惯性系，惯性力
• 牛顿第二定律解题：认物体，看运动，查 受力，列方程。
2-1牛顿定律
1.牛顿第一定律（惯性定律）
任何物体都将保持静止或匀速直线运动的状态直到
外力迫使它改变这种状态为止。
数学形式：
v 恒矢量
， F 0
惯性： 任何物体保持其运动状态不变的性质。
惯性参考系： 在惯性参考系中，任何不受外力作用的 物体保持静止或匀速直线运动。
第一定律 定义了“惯性”和“惯性参考系”的概念 。
2. 电磁力
电磁力为带电体之间的作用力，磁力和电力都是电磁 力的一种表现。库仑定律给出两个相距 r远的静止的带 电量为q1和q2的点电荷之间的作用力f
f
kq1q2 r2
比例系数 k = 9109 Nm2/C2
静电力与引力比较： 两个相邻的质子之间的静电力是万有引力的1036倍。
电荷之间的电磁力以光子作为传递媒介。
dv k
dx
m
f xv
0
x
dx m dv
k
xmax dx m
0
dv
0
k v0
m xmax k v0
即初例速F2为r 设v空0k、v气抛，对射k抛角为体为比的例阻系.力数求与抛.抛体抛体运体的动的速的质度轨量成迹为正方比m程，.、
解 取如图所示的 Oxy 平面坐标系
大学物理第二章讲稿PPT课件
2R
(D) 2 s g
R
R A Rm 2mgs
(本题3分)0054
已知水星的半径是地球半径的0.4倍,质量是地球的 0.04倍,设在地球上的重力加速度为g ,则水星表面上 的重力加速度为:
(A)0.1g
对质量为m物体的万有引力
(B)0.25g (C)4g (D)2.5g
地球 kRM2 m mg地
1. 力的迭加原理：几个力同时作用于一个物体
的效果等于它们的矢量和的那一个力的作用效
果.
F F 1F 2..F .n ...
2.矢量性(分量式)：
直角坐标系：
Fx max Fy may3. Fm Nhomakorabea具有瞬时性
自然坐标系：
Ft mat mddvt
v2 Fn man m r
三、牛顿第三定律
内容：对于每一个作用,总有一个相等的反作 用与之相反;或者说,两个物体对各自对方的相 互作用总是相等的,而且指向相反的方向。
v0
vd v g0 lsid n
1 2(v2v0 2)g(lco1 s)
on T
v
vv0 22g(lco 1)s
将上式代入（2）式：
l P
mg
Tmcgos m v 2
r
得 Tm(v0 22g3gco)s
l
（本题3分）0030 P10-1
在升降机天花板上栓有轻绳，其下系一重物，当升降
机以加速度 a1 上升时，绳中的张力正好等于绳子所
g
(A)
R
(B) g
(C) g
R
(D) g
R
Rm2mg
A
g
R
（本题3分）5010
在作匀速转动的水平转台上，与转轴相距R处有一体积
(D) 2 s g
R
R A Rm 2mgs
(本题3分)0054
已知水星的半径是地球半径的0.4倍,质量是地球的 0.04倍,设在地球上的重力加速度为g ,则水星表面上 的重力加速度为:
(A)0.1g
对质量为m物体的万有引力
(B)0.25g (C)4g (D)2.5g
地球 kRM2 m mg地
1. 力的迭加原理：几个力同时作用于一个物体
的效果等于它们的矢量和的那一个力的作用效
果.
F F 1F 2..F .n ...
2.矢量性(分量式)：
直角坐标系：
Fx max Fy may3. Fm Nhomakorabea具有瞬时性
自然坐标系：
Ft mat mddvt
v2 Fn man m r
三、牛顿第三定律
内容：对于每一个作用,总有一个相等的反作 用与之相反;或者说,两个物体对各自对方的相 互作用总是相等的,而且指向相反的方向。
v0
vd v g0 lsid n
1 2(v2v0 2)g(lco1 s)
on T
v
vv0 22g(lco 1)s
将上式代入（2）式：
l P
mg
Tmcgos m v 2
r
得 Tm(v0 22g3gco)s
l
（本题3分）0030 P10-1
在升降机天花板上栓有轻绳，其下系一重物，当升降
机以加速度 a1 上升时，绳中的张力正好等于绳子所
g
(A)
R
(B) g
(C) g
R
(D) g
R
Rm2mg
A
g
R
（本题3分）5010
在作匀速转动的水平转台上，与转轴相距R处有一体积
大学物理第二章质点动力学PPT课件
•滑动摩擦力:
f k =k N
对给定的一对接触面，S k ，它们一般都小于1。
最新课件
11
•流体阻力：物体在流体中运动时受到流体的阻力。
•在相对速率v 较小时，阻力主要由粘滞性产生，流 体内只形成稳定的层流。此时 f = - k v
k 决定于物体的大小和形状以及流体的性质。
•在相对速率较大时，流体内开始形成湍流，阻力将 与物体运动速率的平方成正比： f = - c v2
为θ，则有
N sin mx2
y
A
Ncosmg 0
相除得
2 dy tg x
g dx
N
x
O
mg
最新课件
19
或 dy 2 xdx g
积分得
y 2 x2 2g
y
A
N
x
O
mg
说明曲杆的形状为一抛物线。
最新课件
20
2、变力作用的情形
当一质点受到变力作用时，其加速度也是随时变化 的，这时要列出质点运动微分方程并用积分的方法 求解。
不存在绝对的惯性系。但由于相互作用与距离 的平方成反比，只要选为参考系的星系与其它星系 间的距离越遥远，它就是越严格的惯性系。
•相对于某一个惯性系作匀速直线运动的任何物体也 都是惯性系，反之相对一惯性系作加速运动的物体 则不是惯性系。
最新课件
3
二、动量、牛顿第二定律
1、动量
•定义：质量为m，速度为
mg
忽略地球自转的影响重力近似等于地球
的引力
mg G0
Mm R2
g G0M R2
•弹性力：物体在发生形变时，由于力图恢复原状， 对与它接触的物体产生的作用力叫弹性力。
大学物理课件第二章 质点动力学
d(yv) yg v2 yg 2 g (ly) d t
d(yv)yg2g(ly) dt
Ngl d(yv)
dt
N 3 g (ly)
例 :一 圆 锥 摆 ,已 知 绳 长 为 l,匀 角 速 度 为 ,不 记 绳 的 质 量 ,求 摆 角 .
解:设摆锤质量m为 ,则
y
T
•
n
mg
n: Tsinmanmr2 mlsin2
ar
m1 m2 m1 m2
g
o
将ar代入上面任一式T，得到：
T 2m1m2 g m1 m2
m1g
ar
m1
m2g
ar
m2
(2)电梯以加速度a上升时，A对地的加速度a-ar，B
的对地的加速度为a+ar，根据牛顿第二定律，对A和
B分别得到：
T
T
T m 1 g m 1 ( a a r )y
T m 2 g m 2 ( a a r ) a 1 m1 a 2 m2
dt
dt
N gl d ( yv)
dt
d(yv)ydvvdy dt dt dt
vdy gdv
dt
dt
d(yv) ygv2 dt
vdydydvgdy dt dv dt dv
vdydydvgdy dt dv dt dv
分离变量： vdvgdy
v
y
两边积分： vdv gdy
0
l
v2 2g(ly)
maz
m
dvz dt
m
d 2z dt2
F
m a
m
dv dt
F
n
m an
m
v2
三. 牛顿第三定律 两个物体或质点之间的作用力与反作用力总是 成对出现，且大小相等，方向相反。
大学物理上册课件：第2章 牛顿运动定律
2.2 相互作用力
一、力学中常见的几种力 1 万有引力：质量不为零的物体与物体之间都有相互吸引的力
F
G0
m1m2 r2
万有引力常数：
G0 = 6. 67 10 – 11 m3/(kg2·s2) 重力： 地球表面附近物体受到地球的万有引力
P
G0
mM ( R h )2
m
G0 M R2
mg
g
GM 地 球 R2
注：1.处理问题时一般忽略绳的伸长。 2.绳的质量相对较小时，绳内各处张力相等。
★正压力、支持力(挤压弹性力）
两个物体通过一定面积相接触，互相压紧的两物体
都会发生形变，因而产生对对方的弹性作用。
N
N B对A的支持力AN A对B的正压力BN
1. N 二N者 是一对作用力与反作用力
2. 挤压弹性力总垂直于物体间的接触面或接触 点的公切面，也称为法向力。
9.8m s2
2 弹性力：发生形变的物体，有恢复原状的趋势，对与它接 触的物体产生的作用力。
★绳或线对物体的拉力
绳或线对物体的拉力，是由绳发生形变而产生的，其大小取决于 绳被拉紧的程度。绳产生拉力时，绳的内部各段之间也有相互的 弹力作用，这种内部的弹力作用称为张力。
设绳子不可伸长，每段的质量为△mi 则：
一个质点的动量对时间的变化率等于质点所受的合力，
其方向与所受合力的方向相同。
数学表达
F
dp
d(mv )
m
d
v
d
m
v
dt dt
dt dt
说明
当质量m 视为恒量时
F
m
dv
ma
（v << c )
dt
《大学物理》第二章《质点动力学》课件
英国伟大的物理学家、 数学家、 天文学家。 恩格斯说： “牛 顿由于发现了万有引力定律而创立了天文学，由于进行光的分 解而创立了科学的光学，由于创立了二项式定理和无限理论而 创立了科学的数学，由于认识了力学的本性而创立了科学的力 学。”的确，牛顿在自然科学领域里作了奠基性的贡献，堪称 科学巨匠。 牛顿出生于英国北部林肯郡的一个农民家庭。 1661 年考上 剑桥大学特里尼蒂学校，1665 年毕业，这时正赶上鼠疫，牛顿 回家避疫两年，期间几乎考虑了他一生中所研究的各个方面， 特别是他一生中的几个重要贡献：万有引力定律、经典力学、 微积分和光学。 牛顿发现万有引力定律，建立了经典力学，他用一个公式将宇宙中最大天体的运动和最小粒 子的运动统一起来。宇宙变得如此清晰：任何一个运动都不是无故发生，都是长长的一系列因果 链条中的一个状态、一个环节，是可以精确描述的。人们打破几千年来神的意志统治世界的思想， 开始相信没有任何东西是智慧所不能确切知道的。相比于他的理论，牛顿更伟大的贡献是使人们 从此开始相信科学。 牛顿是一个远远超过那个时代所有人智慧的科学巨人，他对真理的探索是如此痴迷，以至于 他的理论成果都是在别人的敦促下才公诸于世的，对牛顿来说创造本身就是最大的乐趣。
dv x mkv x m dt dv y mg mkv y m dt
由（1） ：
(1) (2)
t v x dv dv x kt x kv x ( k ) dt v x v0 e 0 v0 v dt x
由（2） ：
g kv y
弹力：物体由于形变而对引起形变的物体产生的作用 力，在弹性范围内，
N kx
摩擦力：两相互接触的物体由于相对运动或有相对运 动的趋势而在接触面间产生的一对阻止相对运动或相 对运动趋势的力.
dv x mkv x m dt dv y mg mkv y m dt
由（1） ：
(1) (2)
t v x dv dv x kt x kv x ( k ) dt v x v0 e 0 v0 v dt x
由（2） ：
g kv y
弹力：物体由于形变而对引起形变的物体产生的作用 力，在弹性范围内，
N kx
摩擦力：两相互接触的物体由于相对运动或有相对运 动的趋势而在接触面间产生的一对阻止相对运动或相 对运动趋势的力.
《大学物理教学课件》第2章 牛顿运动定律-PPT精品文档
在 t时，极限速率为
v∞
m g-F k
常
量
例2-3一条长为 l质量均匀分布的细链条AB，挂在
半径可忽略的光滑钉子上，开始处于静止状态。
已知BC 段长为 L (l/2L ,2 释l/放3)后链条作加速
运动，如图所示。试求 BC 2l时/，3链条
的加速度和速度。
解 建立如图所示坐标系，设任意时刻BC长度为x，则有
0R
即
v
1
v0
v0t
R
v ds dt
s
t
ds vdt
0
0
s R ln1R v0t
质量为例题m 2，-2液体一对个小小球球的在有粘浮滞力性为液F体 ，中阻下力沉为，已f知小-k球v的
。若t = 0时 ，小球的速率为v0，试求小球在粘滞性液体中下 沉的速率随时间的变化规律。
法向：
m2v Nmna R
f
1）
切向： f mta 2）
法向：
m2v Nmna R
1） f N 3）
切向：
f mta 2）
v 2
联立1）- 3）得:
at R
at
dv dt
∴dv v2
dt
R
4)积分运算进行求解
v dv t
dt
v v0
2
分析：初始条件，r R时的速度为 v 0
只要求出速率方程 vv(r)
“不会返回地球”的数学表示式为：
当 r时， v0
结论：用牛顿运动定律求出加速度后，问 题变成已知加速度和初始条件求速度方程或运动 方程的第二类运动学问题。
解∶地球半径为R，地面引力 = 重力= mg， 物体距地心 r 处引力为F，则有：
大学物理课件 第二章
(3). 合力的功
AAB
B
A
B
F
dr
F1 F2 ... FN
B
B
dr
A F1 dr A F2 dr ... A FN dr
A1AB A2 AB ... ANAB
合力做的总功等于每个分力沿同一路径做功的代数和
(4). 功率 P
1. 平均功率 2. 瞬时功率
0
0
11 cos 900 0
11
Aoc F dr (2yi 4x2 j) (d2xdixidydjy)j)
x 2 y dx 2 dy
2ydx 4x2dy
2 2( x )dx 14(2 y)2 dy
02
0
1 2 y 2dy 2 4x2 1 dx
0
0
2
y( j)
1 2
m v2 1 1A1
1
m1
f1 f2
dr2
m2
F2
m2
B2 A2
F2 f2
dr2
1 2
m v2 2 2B2
1 2
m v2 2 2A2
A1
A2
B1
B2
B1
B2
F1 dr1 F2 dr2 f1
1 2
m v2 1 1B1
1 2
合力对物体所做的功等于物体动能的增量 13
讨 论
AAB
1 2
mv
2 2
1 2
mv12
1. 动能定理给出了力的空间积累效应，即功可以改
变质点的动能。
2. 其优点是当作用力在位移过程中不清楚时，就 可通过始、末状态动能的增量来求得该力的功。
功是过程量，动能是状态量。
大学物理第2章牛顿运动定律解读ppt课件
m a
G
a d mg B K
dt
m
设 t 0 时，小球初速度为零，此时加速度
有最大值
g
B m
当小球速度 逐渐增加时，加速度逐渐减小，当 增加
到足够大时a， 趋近于零此时 近于一个极限速度， 称为收尾速度，T用 表示，令
a d 0
R
dt
第一定律引进了二个重要概念
• 惯性 —— 质点不受力时保持静止或匀速直线运动状
态的的性质,其大小用质量量度。
• 力 —— 使质点改变运动状态的原因
质点处于静止或匀速直线运动状态时：
Fi 0 ( 静力学基本方程 )
二. 牛顿第二定律
某时刻质点动量对时间的变化率正比与该时刻作用在质点上
所有力的合力。
静摩擦力为 fmax=µ0 N( µ0 为最大静摩擦系数，N 为正压力)
2. 滑动摩擦力 两物体相互接触，并有相对滑动时，在两物体接触处出现 的相互作用的摩擦力，称为滑动摩擦力。
f μ N ( µ 为滑动摩擦系数)
*3. 物体运动时的流体阻力 当物体穿过液体或气体运动时，会受到流体阻力，该阻力 与运动物体速度方向相反，大小随速度变化。
例： 已知小球质量为 m ，水对小球的浮力为B，水对小球
运动的粘滞阻力为 R K ，式中的K 是与水的粘滞性、小 球的半径有关的常数，计算小球在水中由静止开始的竖直
沉降的速度。 解：对小球进行受力分析
取向下为正方向，由牛顿第二定律：
R
B
G B R ma
mg B K ma
第2章 牛顿运动定律
上图为安装在纽约联合国总部的傅科摆
质点动力学
大学物理第2章回顾课件
圆周运动。以O点为自然坐标原点。已知质点的运动
方程为s 0.5 t 2。试求从 t1 2 s到 t2 2 s 这段
时间内质点所受合外力的冲量。
解：s1
1 2
π
2
2 π
1
s1 R
π 2
mv1
s2
1 2
π
22
2π
2
s2 R
π
O
v ds π t dt
mv2
v1 2π m s1
v2 2π m s1
由B式：F 1mAg 2 (mA mB)g FT mBa
解得：
F 13.2 N
P.8/42
质点动力学
例2 质量为m的小球最初位于A点，然后沿半径为R 的光滑圆弧面下滑。求小球在任一位置时的速度和对 圆弧面的作用。
解： mg cos m dv
dt A
FN
mg sin
m
v2 R
dv dvds v dv
p
mi vi
常矢量
条件：
Fi 0
P.27/42
质点动力学
说明：（1）系统的总动量守恒并不意味着系统内各个
质点的动量不变，而是指系统动量总和不变。
（2）系统动量守恒的条件：① 系统不受外力； ② 合外力=0；
③ 内力>>外力。在碰撞、打击、爆炸等相互作用 时间极短的过程中，内力>>外力，可略去外力。
消去 FT
ar
(m1
m2 ) (g m1 m2
a)
FT
2m1m2 m1 m2
(g
a)
FT
ar FT
FT
m1 m2
m1g
m1a m2a
m2 g
大学物理教学课件2章2
0
0
o
L 2m2 gl 3sin
A
②当小球到达B点时，＝ / 2。
L 2m2 gl 3sin ml 2gl
l B
＝ L
ml
2
2g l
五、 质点的角动量守恒定律
若质点所受的合力矩 M
0
,则
dL
＝0，L＝C。
dt
若对某一参考点，质点所受外力矩的矢量和恒为零，则
此质点对该参考点的角动量保持不变。
力矩对时间的积累产生的效应是角动量的变化。
例题1 质量为m、线长为l 的单摆，可绕点O 在竖直平面内摆
动，初始时刻摆线被拉成水平，然后自由放下。求: ①摆线与水
平线成θ角时，摆球所受到的力矩及摆球对点O 的角动量； ② 摆
球到达点 B 时，角速度的大小。
o 解 ①任意位置时受力为：重力；张力。
重力对O 点的力矩为： M mglcos
例题2 利用角动量守恒定律证明开普勒第二定律：行星相 对太阳的径矢在单位时间内扫过的面积(面积速度)是常量。
解 如图，行星在太阳引力作用 下沿椭圆轨道运动，Δt时间内行星
r
r
径矢扫过的面积
S ≈1 rr sin
S
≈1
|
r
r
|
2
2
S
1
|
r r
|
2
面积速度:
dS
S
1 | r r |
1
dr
l
A
方向：垂直于纸面向里。
T
张力对O 点的力矩为零。
由角动量定理： d L M mglcos
dt
d L d L d d t d d t
dL d
dL
《大学物理第二章-》PPT课件
F
△r
注意：
0 , dA 0
①、功是标量，
2
有正、负。
, dA 0
②、功是过程量，只有物2 体的位置发生变化的过程中才
存在功。
③、功的计算与参考系选择有关：同一个力对同一质点
在同一过程中作的功因参考系的不同而异。
f静
合力的功
br r b r r
rr
Aab
F dr
a
d
r2
结论:
x
成对力的总功与参考系的选择无关,
其大小只取决于力和相对位移的乘积.
f AB B
v0
A
f BA
L v
S
计算摩擦力对A、B系统所作的功
f (L S) f S f L 或 f AB RBA fL
三、势 能
以上讨论了重力、弹力、引力的功
A重 mgh1 mgh2
A弹
1 2
h2 mg(dh) h1
dr
h1
mg
cos dr=-dh
h2
mgh1 mgh2 o
重力作功只跟始末位置有关，跟路径无关， 这种力称保守力。重力是保守力。
2. 弹力的功
在弹性力
F
kx
的作用下，从
x1x2 弹
力所作的功
F
o
x1
x
x2 dx
x
图3－9
dA=Fcos dx = kx (–1) dx
(dx >0)
A12
x2 x1
kxdx
1 2
k x12
1 2
k x22
弹力也是保守力
3. 引力的功
m2在m1 m2引力作用下，从12引力所作的功
《大学物理2》课件-第二章
m0 9.111031 Kg
第二讲 光的粒子性_20140220 XCH
量子物理基础 － 大学物理
一个静止的电子和一能量为h0的光子碰撞后 它获得的最大能量是多少？
电子获得的能量 E mc2 m0c2 h 0 h
波长位移
0
2h m0c
sin2
2
c c 2h sin2 0 m0c 2
第二讲 光的粒子性_20140220 XCH
量子物理基础 － 大学物理
例1、在康普顿散射中，入射光的波长为0.030Å，反冲电子速 度为c×60%.求：散射光子的波长及散射角。
解：由已知，入射光的能量 的能量
，散射光子
因光子与电子碰撞时能量守恒，所以电子获得的动能 为
而由相对论：
0
hc (
0
hc)
量子物理基础 － 大学物理
1) 电子先整体吸收光子 —— 尔后放出散射光子
—— 每一步光子和电子遵循动量守恒__能量不守恒 如果在第一步过程体系都满足动量和能量守恒
Uc
h e
(
A) h
0
A h
K
h e
对比实验结果
Uc K ( 0 )Fra bibliotekA h
h 0
Ke
— 普朗克常数
逸出功 A h0 —— 电子脱离金属表面所需最小能量
第二讲 光的粒子性_20140220 XCH
10 / 51
A h0 不同的金属逸出功不同
1916年密立根实验 得出不同金属的K是相同的
h Ke h 6.56 1034 J s
量子物理基础 － 大学物理
K Uc
( 0 )
金属
钨
锌
钙
钠
第二讲 光的粒子性_20140220 XCH
量子物理基础 － 大学物理
一个静止的电子和一能量为h0的光子碰撞后 它获得的最大能量是多少？
电子获得的能量 E mc2 m0c2 h 0 h
波长位移
0
2h m0c
sin2
2
c c 2h sin2 0 m0c 2
第二讲 光的粒子性_20140220 XCH
量子物理基础 － 大学物理
例1、在康普顿散射中，入射光的波长为0.030Å，反冲电子速 度为c×60%.求：散射光子的波长及散射角。
解：由已知，入射光的能量 的能量
，散射光子
因光子与电子碰撞时能量守恒，所以电子获得的动能 为
而由相对论：
0
hc (
0
hc)
量子物理基础 － 大学物理
1) 电子先整体吸收光子 —— 尔后放出散射光子
—— 每一步光子和电子遵循动量守恒__能量不守恒 如果在第一步过程体系都满足动量和能量守恒
Uc
h e
(
A) h
0
A h
K
h e
对比实验结果
Uc K ( 0 )Fra bibliotekA h
h 0
Ke
— 普朗克常数
逸出功 A h0 —— 电子脱离金属表面所需最小能量
第二讲 光的粒子性_20140220 XCH
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A h0 不同的金属逸出功不同
1916年密立根实验 得出不同金属的K是相同的
h Ke h 6.56 1034 J s
量子物理基础 － 大学物理
K Uc
( 0 )
金属
钨
锌
钙
钠
大学物理全套课件
N-mg=ma
mg
(1)升降机匀速上升时,a=0
N
N=mg=60×9.8=588(N) (2)升降机匀加速上升时,a=0.5m/s2
N=ma+mg=618(N) >mg
N’>mg称超重 N’<mg称重失重
(3)升降机匀加速下降时,a=-0.5m/s2 N=m(g+a)=60×(9.8-0.5)=558(N)<mg
o
已落在桌上的绳重量和正下落绳的冲力.
y
解: 以t时刻,已落到桌面上长为y,质 量为m′
dm
l
dw
FN
m'= m y l
FN
=
m l
gy + F
y
dm = m dy F′dt = 0 − (− m vdy)
m′
F
W
l
F'= m v2
l
v2 = 2gy
Fv = −Fv'
l
FN
=
m l
gy + F = m gy + m
内力只改变系统内单个质点的动量,
不改变系统的总动量.
只有外力才改变系统的总动量!
三、动量守恒定律
∫ r n t2
rr
∑ Fidt = P2 − P1
i =1
r F外 = 0
t1
∑n mivvi = 恒矢量
i=1
r P
=
常矢量
▲ 动量守恒条件:合外力为零
▲ 动量守恒定律只在惯性系中成立
可应用于任 何一个分量
“–”物理意义?
注意：守恒条件及定律使用范围
例题：将一空盒放在秤盘上，称得读数调为零，然后从高出盒
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vc =
2 g (hA - hC )
若hA＜ hc，则管内流速没有意义，即如果管口比水库面高， 在没有外界帮助下这种定常流动是不可能实现的。
例1. 已知水管里的水在压强 P = 4.0×105Pa 作用下流入室内， 水管的内直径为 2.0 cm ，管内水的流速为4.0m· s-1。引入 5.0 m 高处二层楼浴室的水管，内直径为 1.0 cm 。求浴室水龙 头完全打开时，浴室水管内水的流速以及浴室水龙头关闭 与完全打开时浴室水管内的压强。
第三节 伯努利方程及其应用
伯努利方程描述定常运动下理想流体的流速、压力 d v 和高度之间的关系 c 1. 伯努利方程的推导（利用功能原理）
在做定常流动的理想流体取一细流管，经
b 过短暂时间 △t ，截面 S1 从位置 a 移到 b，
2
S2
Δt
v
S1
1
截面 S2 从位置c 移到d ，流过两个截面的 体积分别为
伯努利方程表明在同一流管的不同截面处，单位体积流体的动 能，单位体积流体的势能，单位体积流体的压强之和为一常量
2. 伯努利方程的应用 （1）小孔流速
如图所示SB＜＜SA，取 A、B 两点为参考点， 由伯努利方程可得
SA
SB
SB vB 0 SA 选取hB处为参考点，其 hB=0, hA=h 得 1 2 PA gh = PB v B 2 1 2 又由PA= P B =P 0 可得 r gh = r vB 2
（3）管1、4中的压强差.
2
1
v2
4
v1
3
v4
v3
s2
v2
h2
v1 S1 打开水龙头，管口处的压强减小，这是水的流动导致的结果
例2. 利用一管径均匀的虹吸管从水库中引水， 其最高点B比水库水面高3.0m，管口C比水库 水面低5.0m,求虹吸管内水的流速和B点处的 压强是多少？
B A C
hA
hB
hc
可见，虹吸管最高处的压强比大气压强小， 因此水可以上升到B处
B
h
适合于测定液体的流速的皮托管
h
A B
（4）文丘里流量计（测量流体体积流量）
h
SA SB
例3. 水从图示的水平管道1中流入，并通过支管2和3流入 管4。如管1中的流量为900cm3•s-1. 管1、2、3的截面积均 为15cm2,管4的截面积为10cm2,假设水在管内作定常流动， 分别求（1）管2、3、4的流量; （2）管2、3、4的流速;
（2）喷雾原理
由于S2 很小，流速v2 很大，故 使P2 低于周围大气压，当流速v2 大到使P2 低于大气压时，容器内 流体就会上升到2处，被高速气 流吹散成雾，这种现象称为空吸 现象。
S1 v1
P 1
S2 P2 v2
P0
（3）皮托管 适合于测定气体的流速的皮托管
(a) A和B距离足够远，以使开口处的压 强和流速都具有自由流体的流速和压强。 A (b) 压强计左管指示的压强为流体在B处 的压强，而右管指示的压强为A处的压 强。(c) 由于A口迎着流体运动方向，流 体在此处流速降为零。(d) 流管水平放置， A、B处高度差近似为零。
由 S AvA = SB vB 可知， vA =
1 2 1 2 PA + r vA + r ghA = PB + r vB + r ghB 2 2
vB =
到小孔处的流速相等
虹吸管
2gh （托里拆利公式）
B A C hA hB hc
表明流体从小孔流出的速度与流体质量元由液面处自由下落
用来从不能倾斜的容器中自动排出液体 虹吸管粗细均匀，选取 A、C 作为参考点 水库表面远大于虹吸管截面，由连续性原理 可知 vA » 0 ，因此其实质为小孔流速问题 类似地可求得
a
Δt
D V1 = v1S1D t
D V2 = v2 S2D t
由连续性原理可知
D V1 = D V2 = D V
下面利用功能原理研究这段流管内的流体运动
Δt S2
P
2
Δt S1
P
h2
h1
1
1 2 1 2 P r v1 + r gh1 = P2 + r v2 + r gh2 1+ 2 2 1 2 P + r v + r gh = C 2