2017-2018学年高中数学20单元测试卷二北师大版必修4课件

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2017_2018学年高中数学第二章平面向量2.7向量应用举例2.7.1点到直线的距离公式课件北师大版必修4

��
; 反之,若直线的斜率 k=
��
��
, 则向量a=(m,n)一定
1
2
【做一做2-1】直线2x-y-1=0的一个法向量是( ) A.(2,-1) B.(2,1) C.(-1,2) D.(1,2) 答案:A 【做一做2-2】已知直线l经过点A(1,-2),且直线l的一个法向量 n=(2,3),则点B(2,3)到直线l的距离是 .
∴所求直线的斜率为 5.
1
题型一
题型二
题型三
又所求直线过点 A(2, -1), ∴所求直线方程为 y-(-1)= 5 (�� − 2), 即 x-5y-7=0. (2)(方法一)设所求直线上任意一点 P(x, y). 由题意, 知��⊥a, 即��· a=0. ∵ �� = (�� − 2, �� + 1),a=(5,1),
2.7.1
点到直线的距离公式
1.理解直线的法向量的意义. 2.掌握点到直线的距离公式的向量证明方法. 3.会求直线的方向向量、法向量及点到直线的距离.
1
2
1. 点到直线的距离公式若 M(x0 , y0 )是平面上一定点, 它到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d=
|��0 + ��0 +�� | ��2 +��2
解析:(方法一)设直线方程为 y-2=k (x-1), 由点到直线的距离公式有 d=
|��-2|
2
,
�� +1
所以 d2 (k 2 +1)=(k-2)2. 所以(d2 -1)k 2 +4k+d2 -4=0, 此方程有解, 故 Δ≥0,解得 d≤ 5, 当距离为 5时最大, 此时 k=− 2 , 所以直线方程为 x+2y-5=0.

2017-2018学年高一数学北师大版必修4学业分层测评：第

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数y ＝1－sin x ，x ∈[0,2π]的大致图像是( )【解析】当x ＝π2时y ＝0，当x ＝0时y ＝1，当x ＝2π时y ＝1，结合正弦函数的图像知B 正确．【答案】 B2．点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，b 在函数y ＝2sin x ＋1的图像上，则b 等于( )A ．22B ．2C ．2D ．3【解析】由题意知b ＝2sin π4＋1＝2. 【答案】 C3．若函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π2与y ＝1围成一个平面图形，则这个封闭的图形面积是( )A ．2B ．4C ．2πD ．4π【解析】如图，由对称性知，所围成平面图形的面积是长为5π2－π2＝2π，宽为1的矩形的面积，∴S ＝2π，故选C ．【答案】 C4．函数y ＝4sin x ＋3在[－π，π]上的递增区间为( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π2D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π【解析】如图所示，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增加的，所以y ＝4sin x ＋3在[－π，π]上的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2.【答案】 B5．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°<cos 10°<sin 168° B ．sin 168°<sin 11°<cos 10° C ．sin 11°<sin 168°<cos 10° D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°【解析】 cos 10°＝sin 80°，sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增加的．又0<11°<12°<80°，所以sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°. 【答案】 C 二、填空题6．y ＝a ＋b sin x 的最大值是32，最小值是－12，则a ＝，b ＝ .【导学号：66470016】【解析】若b >0，由－1≤sin x ≤1知 ⎩⎪⎨⎪⎧α＋b ＝32，α－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1.若b <0，则⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝32，a ＋b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1.【答案】12±1 7．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1，x ∈R ，若f (a )＝2，则f (－a )的值为．【解析】 f (a )＝a 3＋sin a ＋1＝2，所以a 3＋sin a ＝1， f (－a )＝(－a )3＋sin(－a )＋1 ＝－(a 3＋sin a )＋1 ＝－1＋1＝0. 【答案】 08．函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝32有个交点.【导学号：69992007】【解析】在同一坐标系中作出函数y ＝1＋sin x ，y ＝32的图像，如图所示．在x ∈[0,2π]内共有两个交点．【答案】两三、解答题9．判断方程x ＋sin x ＝0的解的个数．【解】设f (x )＝－x ，g (x )＝sin x .在同一直角坐标系中画出函数f (x )和g (x )的图像．由图知f (x )和g (x )的图像仅有一个交点，即方程x ＋sin x ＝0仅有一个根． 10．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |. (1)画出这个函数的图像；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期； (3)指出这个函数的单调增区间．【解】 (1)y ＝12sin x ＋12|sin x | ＝⎩⎨⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋k ∈Z ，0，x ∈[2k π－π，2k k ∈Z其图像如图所示．(2)由图像知函数是周期函数，且函数的最小正周期是2π. (3)由图像知函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z )．[能力提升]1．下列不等式中成立的是( ) A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－21π5<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4C ．sin 3>sin 2D ．sin 7π5>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5【解析】由于0<π10<π8<π2，而y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，∴sin π10<sin π8，∴－sin π10>－sin π8，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，故选A ．【答案】 A2．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数．若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为( )A ．－12B ．12C ．－32 D.32 【解析】 ∵f (x )的周期是π， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3. 又f (x )是偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝32. 【答案】 D3．f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝ .【导学号：66470017】【解析】因为0≤x ≤π3，所以0≤ωx ≤π3ω<π3，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是增加的．所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3ω＝2，所以π3ω＝π4，所以ω＝34. 【答案】 344．已知－π6≤x ≤3π4，f (x )＝sin 2x ＋2sin x ＋2，求f (x )的最大值和最小值，并求出相应的x 值．【解】令t＝sin x，则由－π6≤x≤34π知，－12≤t≤1，∴f(x)＝g(t)＝t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1，当t＝1时，f(x)max＝5，此时，sin x＝1，x＝π2；当t＝－12时，f(x)min＝54，此时，sin x＝－12，x＝－π6.。

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学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若cot α＝m ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝( )A ．mB ．－mC ．1mD ．－1m 【解析】 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cot α＝m . 【答案】 A2．函数y ＝2 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的定义域是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ∈R 且x ≠k π－π4，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π2＋3π8，k ∈ZC ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋3π4，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π2＋π8，k ∈Z【解析】由2x －π4≠k π＋π2，得x ≠k π2＋3π8，k ∈Z ，所以定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋3π8，k ∈Z .【答案】 B3．下列不等式正确的是( ) A ．tan 4π7>tan 3π7B ．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5C ．1tan 4 <1tan 3 D.1tan 281°<1tan 665°【解析】因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5，而－π2<－2π5<－π4<π2，y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增加的，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5.【答案】 B4．函数y ＝tan(sin x )的值域是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22C ．[－tan 1，tan 1]D ．[－1,1]【解析】 sin x ∈[－1,1]，又－π2<－1<1<π2，且y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增加的，所以y min ＝tan(－1)＝－tan 1，y max ＝tan 1.【答案】 C5．直线y ＝a (常数)与正切曲线y ＝tan ωx (ω为常数且ω≠0)相交的两相邻点间的距离为( )A ．πB ．2πC ．π|ω|D ．与a 值有关【解析】两相邻交点间的距离为正切函数的一个周期，因而距离为 π|ω|. 【答案】 C 二、填空题 6．函数y ＝3－tan x 的定义域为，值域为 .【导学号：66470024】【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧3－tan x ≥0，x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π2＋k π<x ≤π3＋k π，k ∈Z，值域为{y |y ≥0}．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π2＋k π<x ≤π3＋k π，k ∈Z{y |y ≥0} 7．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，则φ等于．【解析】由已知，可得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝0，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，∴φ＋π6＝k π(k ∈Z )，即φ＝k π－π6(k ∈Z )．【答案】－π6＋k π(k ∈Z ) 8．化简：tan (α＋π)tan (α＋3π)tan (α－π)tan (－α－π)＝ .【解析】原式＝tan α·tan αtan α·(－tan α)＝－1.【答案】－1 三、解答题9．已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin (α＋π)·tan (α－π)cos (3π－α)的值．【解】 (1)∵|OP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1， ∴sin α＝y |OP |＝－351＝－35. (2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝tan αsin α＝sin αcos αsin α＝1cos α.由余弦函数的定义，得cos α＝45，故所求式子的值为54.10．已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.【导学号：69992009】(1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值与最小值；(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数．【解】 (1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －332－43，x ∈[－1，3]．∴当x ＝33时，f (x )的最小值为－43；当x ＝－1时，f (x )的最大值为233.(2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图像的对称轴为x ＝－tan θ. ∴y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数， ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥ 3. 即tan θ≥1或tan θ≤－ 3. 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴θ的取值范围是 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2. [能力提升]1．设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >b【解析】 b ＝cos 55°＝sin 35°，又a ＝sin 33°，0°<33°<35°<90°，且y ＝sin x 在[0,90°]是增加的，所以sin 33°<sin 35°，即b >a ．tan 35°＝sin 35°cos 35°，又cos 35°∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，所以tan 35°>sin 35°，故c >b >A ．【答案】 C2．已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos (－π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π的值为( )A ．12B ．－12C ．32D ．－32 【解析】由于tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2 ＝－cos α－sin α＝cos αsin α，所以f (α)＝sin α·cos α·cos αsin α－cos α ＝－cos α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－10π－π3＝－cos π3＝－12.【答案】 B3．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－4π3＝－5，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝ .【导学号：66470025】【解析】 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－4π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π3－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝5.【答案】 54．设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2，已知函数y ＝f (x )的图像与x 轴相邻两交点的距离为π2，且图像关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0对称，求f (x )的解析式．【解】由题意可知，函数f (x )的最小正周期T ＝π2，即πω＝π2， ∴ω＝2，从而f (x )＝tan(2x ＋φ)．∵函数y ＝f (x )的图像关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0对称，∴2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋φ＝k π或π2＋k π(k ∈Z )．即φ＝k π＋π4或φ＝k π＋3π4(k ∈Z )． ∵0<φ<π2， ∴φ＝π4，故f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.。

2017-2018学年高一数学北师大版必修4学业分层测评：第

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．以下选项中，a 与b 不一定共线的是( ) A ．a ＝5e 1－e 2，b ＝2e 2－10e 1 B ．a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2 C ．a ＝e 1－2e 2，b ＝e 2－2e 1 D ．a ＝3e 1－3e 2，b ＝－2e 1＋2e 2 【解析】只有C 选项不一定共线．【答案】 C2．如图2-3-13，▱ABCD 中，E 是BC 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，则DE→＝( )图2-3-13A ．12a －b B ．12a ＋b C ．a ＋12bD ．a －12b【解析】因为E 是BC 的中点，所以CE→＝12CB →＝－12AD →＝－12b ，所以DE→＝DC →＋CE →＝a －12b.【答案】 D3．若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，则OP →等于( )【导学号：66470049】A ．a ＋λbB ．λa ＋(1－λ)bC ．λa ＋bD ．11＋λa ＋λ1＋λb【解析】 ∵P 1P →＝λPP 2→， ∴OP →－OP 1→＝λ(OP 2→－OP →)， ∴(1＋λ)OP →＝OP 1→＋λOP 2→， ∴OP→＝11＋λOP 1→＋λ1＋λOP 2→＝11＋λa ＋λ1＋λb . 【答案】 D4．如图2-3-14所示，向量a －b ＝( )图2-3-14A ．－4e 1－2e 2B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2【解析】 a －b ＝AB →＝e 1－3e 2.【答案】 B5.如图2-3-15所示，若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC→，则3r ＋s 的值为( )图2-3-15A ．165B ．125C ．85D ．45【解析】 ∵CD→＝4DB →＝rAB →＋sAC →，∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →， ∴r ＝45，s ＝－45， ∴3r ＋s ＝125－45＝85. 【答案】 C 二、填空题6．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为．【解析】由DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＝－16，λ2＝23，则λ1＋λ2的值为12. 【答案】 127．已知e 1与e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝λe 1＋e 2，且a 与b 是一组基底，则实数λ的取值范围是．【解析】当a ∥b 时，设a ＝m b ，则有e 1＋2e 2＝m (λe 1＋e 2)，即e 1＋2e 2＝mλe 1＋m e 2，所以⎩⎨⎧1＝mλ，2＝m ，解得λ＝12，即当λ＝12时，a ∥b .又a 与b 是一组基底，所以a 与b 不共线，所以λ≠12. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞8．已知e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，又a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1－e 2，c ＝－e 1＋8e 2，若用a ，b 作为基底表示向量c ，则c ＝ .【解析】设c ＝λ a ＋μ b ，于是－e 1＋8e 2＝λ(e 1＋2e 2)＋μ(2e 1－e 2)，整理得－e 1＋8e 2＝(λ＋2μ)e 1＋(2λ－μ)e 2，因为e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，所以⎩⎨⎧λ＋2μ＝－1，2λ－μ＝8，解得λ＝3，μ＝－2，所以c ＝3a －2b. 【答案】 3a －2b 三、解答题9.如图2-3-16，在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC ＝BA ，在OB 上取点D ，使DB ＝13OB ，设OA→＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，DC →.图2-3-16【解】因为AC ＝BA ，所以BC →＝2BA →＝2(OA →－OB →)，所以OC→＝OB →＋BC →＝b ＋2(a －b )＝2a －b ，因为DB ＝13OB ，所以OD→＝23OB →，所以DC→＝OC →－OD →＝2a －b －23b ＝2a －53b . 10.如图2-3-17所示，平行四边形ABCD 中，点M 在AB 的延长线上，且BM ＝12AB ，点N 在BC 上，且BN ＝13BC ．求证：M ，N ，D 三点共线.图2-3-17【导学号：69992022】【证明】设AB →＝e 1，AD →＝e 2，则BC →＝AD →＝e 2. ∵BN →＝13e 2，BM →＝12AB →＝12e 1. ∴MN →＝BN →－BM →＝13e 2－12e 1. 又∵MD →＝AD →－AM →＝e 2－32e 1 ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫13e 2－12e 1＝3MN→.∴向量MN→与MD →共线，又M 是公共点，故M ，N ，D 三点共线． [能力提升]1．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA→，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( ) A ．反向平行 B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直【解析】如图．∵AD →＝AB →＋BD → ＝AB→＋13BC →， BE→＝BC →＋CE → ＝BC→＋23CA →， CF→＝CB →＋BF →＝CB →＋13BA →， ∴AD→＋BE →＋CF → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →＋23CA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫CB →＋13BA → ＝13BC →＋23CB → ＝－13BC →. 【答案】 A2.如图2-3-18，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为( )图2-3-18【导学号：66470050】A ．1B ．13C ．19 D ．3 【解析】 ∵AP →＝AB →＋BP →，又B ，P ，N 三点共线． ∴存在λ，使BP→＝λBN →.∴BP→＝λBN →＝λ(BA →＋AN →) ＝－λAB→＋14λAC →. ∴AP→＝AB →＋BP → ＝(1－λ)AB→＋14λAC →.又∵AP→＝mAB →＋29AC →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝m ，14λ＝29，∴λ＝89，m ＝1－89＝19. 【答案】 C3．在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE 与AC 相交于点F ，若EF→＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m n的值为．【解析】取BC 的中点M ，连接DM ，交AC 于N . ∵平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE 与AC 相交于点F ，∴AF ＝FN ＝CN .∴EF→＝－12AD →＋13AD →＋13AB →＝13AB →－16AD →. ∵EF→＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，∴m ＝13，n ＝－16，∴m n ＝13－16＝－2. 【答案】－24.如图2-3-19，已知梯形ABCD 中，AB ∥DC ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，求证：EF ∥AB ∥DC ．图2-3-19【证明】延长EF 到M ，使EF ＝FM ，连接CM ，BM ，EC ，EB ，得▱ECMB ，由平形四边形法则得 EF→＝12EM →＝12(EB →＋EC →)．由于AB ∥DC ，所以AB→，DC →共线且同向，根据共线向量基本定理，存在正实数λ，使AB→＝λDC →.由三角形法则得EB→＝EA →＋AB →，EC →＝ED →＋DC →且ED →＋EA →＝0， ∴EF→＝12(EB →＋EC →)＝12(EA →＋AB →＋ED →＋DC →) ＝12(AB →＋DC →)＝1＋λ2DC →， ∴EF→∥DC →. 由于E ，D 不共点，∴EF ∥AB ∥DC ．。

北师大版2017课标高中数学必修第二册第四章综合测试试卷-含答案01

第四章综合测试一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.55 cos cos sin sin 8888ππππ+=（）A .1B .0C .1-D .122.若 sin 4cos 0αα-=，则3tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A .53B .53-C .35D .35-3.若()()4tan 114tan 17αβ+-=，则()tan αβ-的值为（）A .14B .12C .4D .124.已知3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2sin 4απα⋅⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A .715B .715-C .4315D .4315-5.已知 tan 2α=，则22sin 1cos 24απα+⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭的值是（）A .53B .134-C .135D .1346.已知4sin()cos cos()sin 5αβααβα---=，且β是第三象限角，则cos 2β的值等于（）A .55±B .255±C .55D .255-7.函数()22cos 2()f x x x x =⋅∈R 的最小正周期和最大值分别是（）A .2π，3B .2π，1C .π，3D .π，18.化简2222sin 1sin 2sin 3sin 89︒++++︒︒ 的结果是（）A .89B .892C .45D .452二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.下列各式中，值为12的是（）A .2tan15cos 15︒︒B .2233312312ππ-C .2tan 301tan 30︒︒⋅-D 10.下列各式与tan α不相等的是（）A B .sin 1cos αα+C .21cos sin 2αα--⋅D .sin 1cos 2aα-11.有下列四个函数，其中在2π上为递增函数的是（）A .sin cos y x x =+B .sin cos y x x=-C .sin cos y x x=D .sin cos x y x=12.关于函数()()2sin cos cos f x x x x =-有下列四个结论，其中正确的有（）AB .把函数() 21f x x =-的图象向右平移4π个单位长度后可得到函数()()2sin cos cos f x x x x =-的图象C .递增区间为711 ,88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z （）D .图象的对称中心为,1()28k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13.如果1cos 5α=，且α是第四象限的角，那么cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________.14.已知tan 24x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan tan 2x x 的值为________.15.已知s 1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3παπ<<，则sin 12πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________.16.ABC △的三个内角为A ，B ，C ，当A 为________时，cos 2cos 2B CA ++取得最大值，且这个最大值为________.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知1sin 0,tan 523a παβ⎛⎫=∈= ⎪⎝⎭，，.（1）求tan α的值；（2）求tan(2)αβ+的值.18.在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点21,cos 2P θ⎛⎫⎪⎝⎭在角α的终边上，点()2sin ,1Q θ-在角β的终边上，且12OP OQ ⋅=- .求：（1）cos 2θ的值；（2）sin()αβ+的值.19.从圆心角为120︒，半径为20 cm 的扇形铁片上截出一块矩形OPMN ，如图，让矩形的一边在扇形的一条半径OA 上，点M 在弧AB 上，求此矩形面积的最大值.20.已知函数()tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的定义域与最小正周期；（2）设0,4a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若2cos 22f αα⎛⎫= ⎪⎝⎭，求α的大小.21.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数a .①22sin 13cos 17sin13cos17︒︒︒+-︒；②22sin 15cos 15sin 15cos15︒︒︒+-⋅︒；③22sin 18cos 12sin 18cos12︒︒︒+-⋅︒；④()()22sin 18cos 48sin 18cos48︒︒︒-+--︒；⑤()()22sin 25cos 55sin 25cos55︒︒︒-+--︒.（1）从上述五个式子中选择一个，求出常数a ；（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论.22.已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x '=⋅+-∈R .（1）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）若()06 5f x =，0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值.第四章综合测试答案解析一、1.【答案】B 【解析】55 cos cos sin sin cos 088882πππππ+==，故选B .2.【答案】A【解析】由已知得sin tan 4cos ααα==，于是31tan 5tan 41tan 3πααα--⎛⎫-== ⎪-⎝⎭，故选A .3.【答案】C【解析】由已知得()()tan tan 161tan tan h αβαβ-=+，即tan tan 41tan tan αβαβ-=+，tan()4αβ∴-=，故选C .4.【答案】A【解析】因为3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以273sin 2cos 212cos ,sin cos 2425445ππππααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以27sin 725 315sin 54απα⋅==⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选A .5.【答案】D【解析】22222222sin 13sin cos 3sin cos 3tan 132113sin 22sin cos 2tan 224cos 24ααααααπααααα++++⨯+=====⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选D .6.【答案】A【解析】由已知，得4sin[()]sin()5αβαβ--=-=，4sin 5β∴=-，β 是第三象限角，3cos 5β∴=-，5cos25β∴=±，故选A .7.【答案】C【解析】13 ()cos 2122cos 2212cos 21223f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=-+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，T π∴=，max ()3f x =，故选C .8.【答案】B【解析】222222222 sin 1sin 2sin 3sin 89sin 1sin 2sin 45cos 44cos 1︒︒︒︒︒︒︒︒++++=++++++ ()()()2222222189sin 1cos 1sin 2cos 2sin 44cos 44sin 454422=+++++++=︒︒︒︒︒︒=︒+，故选B .二、9.【答案】BD【解析】A 中，2tan15cos 15sin15cos15︒︒︒︒=11sin 3024==︒⋅，A 不正确；B 中，221cos 312312362πππ-===，B 正确；C 中，2tan301tan 601tan 3022=︒-︒=︒，C 不正确；D12=，D 正确，故选BD .10.【答案】ABD【解析】A|tan |α=，A 不符合；B 中22sincos sin 22tan 1cos 22cos 2αααααα==+，B 不符合；C 中，21cos 22sin tan sin 22sin cos αααααα-==，C 符合；D 中，2sin sin 11cos 22sin sin ααααα==-，D 不符合，故选ABD .11.【答案】BD【解析】A中，sin cos 4y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由图象可知，在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为递减函数，A 不符合；B中，4x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，由图象可知，在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为递增函数，B 符合；C 中，1sin cos sin 22y x x x ==，由图象知函数在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上先增后减，C 不符合；D 中，tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递增，D 符合，故选BD .12.【答案】CD【解析】因为2 ()2sin cos 2cos sin 2cos 21214f x x x x x x x π⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭，所以最大值为1-，A错误；将()21f x x =-的图象向右平移4π个单位长度后得到()214f x x π⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦212x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象，B 错误；由222,()242k x k k πππππ--+∈Z ，答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

2017-2018学年北师大高二数学必修4课时作业：第二章章末检测卷 Word版含解析

A→B |＝2
5；当
x＝－3，y＝－1
A→B 时，| |＝2
5.故|A→B|＝2
5.
→
→→
AB
OA OB
法二：由几何意义知，| |就是以，为邻边的正方形的对角线长，又|
→
→
OA |＝
10，所以|AB|＝
10×
2＝2
5.
答案：2 5
15．已知非零向量 a，b，c，满足 a＋b＋c＝0，向量 a，b 的夹角为 120°，
因为(a－3b)⊥c，
所以(a－3b)·c＝(1－3m，－3)·(3,4)
＝3(1－3m)＋(－3)×4
＝－9m－9＝0，
解得 m＝－1.
(2)由(1)知 a＝(1,3)，b＝(－1,2)，
所以 a·b＝5，
a·b
5
2
所以 cosθ＝|a||b|＝ 10 × 5＝ 2 .
2
1
因为 θ∈[0，π]， π
7
－，
，0
故 E 点的坐标为 3 3 ，F 点的坐标为 3 .
( ) ( ) ( ) →
EF (2)由(1)可知＝
7 ，0 3
－
12 －，
33
＝
82 ，－ 33
→ AB ，又＝(4，－1)，
∴E→F＝23(4，－1)＝23A→B，故E→F与A→B共线．
1
第二章章末检测卷
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的)
→→ →
→
AB DC AB AD
1．在梯形 ABCD 中，AB∥CD，且| |＝λ| |，设＝a，＝b，则

2017-2018学年北师大版高中数学必修4全册学案

2017-2018学年高中数学北师大版必修4全册同步学案目录第一章 1 周期现象-§2 角的概念的推广第一章 3 弧度制第一章 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义-4.2 单位圆与周期性第一章 4.1 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质第一章 4.4 单位圆的对称性与诱导公式（一）第一章 4.4 单位圆的对称性与诱导公式（二）第一章 5.1 正弦函数的图像第一章 5.2 正弦函数的性质第一章 6 余弦函数的图像与性质第一章7 正切函数第一章8 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像与性质（一）第一章8 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像与性质（二）第一章9 三角函数的简单应用第一章章末复习课第二章 1 从位移、速度、力到向量第二章 2.1 向量的加法第二章 2.2 向量的减法第二章 3.1 数乘向量第二章 3.2 平面向量基本定理第二章 4.1 平面向量的坐标表示-4.2 平面向量线性运算的坐标表示第二章 4.3 向量平行的坐标表示第二章 5 从力做的功到向量的数量积（一）第二章 5 从力做的功到向量的数量积（二）第二章 6 平面向量数量积的坐标表示第二章向量应用举例第二章章末复习课第三章 1 同角三角函数的基本关系第三章 2.1 两角差的余弦函数第三章 2.2 两角和与差的正弦、余弦函数第三章 2.3 两角和与差的正切函数第三章 3 二倍角的三角函数（一）第三章 3 二倍角的三角函数（二）第三章疑难规律方法第三章章末复习课学习目标 1.了解现实生活中的周期现象.2.了解任意角的概念，理解象限角的概念.3.掌握终边相同的角的含义及其表示．知识点一周期现象思考“钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周．”这样的现象，具有怎样的属性？梳理(1)以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象．(2)要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间这种现象是否会________出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象．知识点二角的相关概念思考1将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？思考2如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？梳理(1)角的概念：角可以看成平面内____________绕着________从一个位置________到另一个位置所形成的图形．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：知识点三象限角思考把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？梳理在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．象限角：________在第几象限就是第几象限角；轴线角：________落在坐标轴上的角．知识点四终边相同的角思考1假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？思考2如何表示与60°终边相同的角？梳理终边相同角的表示一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与________的整数倍的和．类型一周期现象的应用例1水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？反思与感悟(1)应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”、“化无限为有限”的目的．(2)只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”就可以把问题转化到一个周期内来解决．跟踪训练1利用例1中的水车盛800升的水，至少需要多少时间？类型二象限角的判定例2 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角． (1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.反思与感悟判断象限角的步骤 (1)当0°≤α<360°时，直接写出结果．(2)当α<0°或α≥360°时，将α化为k ·360°＋β(k ∈Z ，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限．跟踪训练2 (1)判断下列角所在的象限，并指出其在0°～360°范围内终边相同的角． ①549°；②－60°；③－503°36′.(2)若α是第二象限角，试确定2α、α2是第几象限角．类型三终边相同的角命题角度1 求与已知角终边相同的角例3 在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)[360°，720°)的角．反思与感悟求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k 的值．跟踪训练3 写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．命题角度2 求终边在给定直线上的角的集合例4 写出终边在直线y ＝－3x 上的角的集合．反思与感悟求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并．跟踪训练4写出终边在直线y＝33x上的角的集合．1．下列是周期现象的为()①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次；③某超市每天的营业额；④某地每年6月份的平均降雨量．A．①②④B．②④C．①②D．①②③2．与－457°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}3．2 017°是第________象限角．4．一个质点，在平衡位置O点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则质点第三次通过M点，还要经过的时间是________s.5．已知，如图所示．(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．1．判断是否为周期现象，关键是看在相同的间隔内，图像是否重复出现．2．由于角的概念推广了，那么终边相同的角有无数个，这无数个终边相同的角构成一个集合．与α角终边相同的角可表示为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，要领会好k∈Z的含义．3．熟记终边在坐标轴上的各角的度数，才能正确快速地用不等式表示各象限角，注意不等式表示的角的终边随整数k的改变而改变时，要对k分类讨论．答案精析问题导学知识点一思考周而复始，重复出现．梳理(2)重复知识点二思考1有顺时针和逆时针两种旋转方向．思考2不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角．若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角．梳理(1)一条射线端点旋转(2)逆时针方向旋转顺时针方向旋转没有作任何旋转知识点三思考终边可能落在坐标轴上或四个象限内．梳理终边终边知识点四思考1它们的终边相同．－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相隔了2个周角的和及1个周角．思考260°＋k·360°(k∈Z)．梳理周角题型探究例1解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．跟踪训练1解设x分钟后盛水y升，由例1知每转一圈，水车最多盛水16×10＝160(升)，所以y＝x5·160＝32x，为使水车盛800升的水，则有32x≥800，所以x≥25，即水车盛800升的水至少需要25分钟．例2解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．跟踪训练2 解 (1)①∵549°＝189°＋360°，∴549°角为第三象限的角，与189°角终边相同． ②∵－60°＝300°－360°，∴－60°角为第四象限的角，与300°角终边相同． ③∵－503°36′＝216°24′－2×360°，∴－503°36′角为第三象限的角，与216°24′角终边相同． (2)由题意得90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，① 所以180°＋2k ·360°<2α<360°＋2k ·360°(k ∈Z )．故2α是第三或第四象限角或终边落在y 轴非正半轴上的角．由①得45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z )，当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z )，得45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°(n ∈Z )，故α2是第一象限角．当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z )，得45°＋180°＋n ·360°<α2<90°＋180°＋n ·360°(n ∈Z )，即225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°(n ∈Z )，故α2为第三象限角．综上可知，α2为第一或第三象限角．例3 解与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k ·360°＋10 030°(k ∈Z )．(1)由－360°＜k ·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k ·360°＜－10 030°，解得k ＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°. (2)由0°＜k ·360°＋10 030°＜360°，得－10 030°＜k ·360°＜－9 670°，解得k ＝－27，故所求的最小正角为β＝310°. (3)由360°≤k ·360°＋10 030°＜720°，得－9 670°≤k ·360°＜－9 310°，解得k ＝－26，故所求的角为β＝670°.跟踪训练3 解由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k ·360°－1 910°，k ∈Z }． ∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k ·360°－1 910°＜360°(k ∈Z )，∴31136≤k＜61136(k∈Z)，故取k＝4,5,6.当k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；当k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；当k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.例4解终边在y＝－3x(x<0)上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；终边在y＝－3x(x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}．因此，终边在直线y＝－3x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}，即S＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．故终边在直线y＝－3x上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．跟踪训练4解终边在y＝33x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}；终边在y＝33x(x<0)上的角的集合是S2＝{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}．因此，终边在直线y＝33x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．故终边在直线y＝33x上的角的集合是S＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．当堂训练1．C 2.C 3.三 4.1.45．解(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．知识点一角度制与弧度制思考1在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？思考2在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？思考3“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？梳理(1)角度制和弧度制(2)角的弧度数的计算设r是圆的半径，l是圆心角α所对的弧长，则角α的弧度数的绝对值满足|α|＝lr.知识点二角度制与弧度制的换算思考角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？梳理(1)角度与弧度的互化(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系知识点三扇形的弧长及面积公式思考扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？梳理类型一角度与弧度的互化例1 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.反思与感悟将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以180°π即可．跟踪训练1 (1)把112°30′化成弧度； (2)把－5π12化成度．类型二用弧度制表示终边相同的角例2 已知角α＝2 010°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．反思与感悟用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．跟踪训练2 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α≤2π； (2)在[0°，720°]内找出与2π5角终边相同的角．类型三扇形的弧长及面积公式的应用例3 (1)若扇形的中心角为120°，半径为3，则此扇形的面积为( ) A ．π B.5π4 C.3π3 D.23π9(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为( ) A ．2 B.2sin 1 C ．2sin 1 D.4sin 1反思与感悟联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S ＝12lr ＝12|α|r 2，二是l ＝|α|r ，如果已知其中两个，就可以求出另一个．求解时应注意先把度化为弧度，再计算．跟踪训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．1．下列说法中，错误的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 2．时针经过一小时，转过了( )A.π6 rad B ．－π6 radC.π12rad D ．－π12rad3．若θ＝－5，则角θ的终边在( ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限D ．第一象限4．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4D ．2或45．已知⊙O 的一条弧AE 的长等于该圆内接正三角形的边长，则从OA 顺时针旋转到OE 所形成的角α的弧度数是________．1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式．易知：度数×π180 rad ＝弧度数，弧度数×180°π＝度数．3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度．答案精析问题导学知识点一思考1 周角的1360等于1度．思考2 在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．思考3 在半径为1的圆中，1弧度的角为长度为1的弧所对的圆心角，又当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数，故1弧度角的大小与所在圆的半径大小无关．梳理 (1)度弧度弧度知识点二思考利用1°＝π180 rad 和1 rad ＝180°π进行弧度与角度的换算．梳理 (1)2π 360° π 180° 0.017 45 57．30° (2)45° 90° 135° 270° 0 π6 π3 2π35π6 知识点三思考设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角，则S ＝12lr ，l ＝αr .题型探究例1 解 (1)20°＝20π180＝π9. (2)－15°＝－15π180＝－π12.(3)7π12＝712×180°＝105°. (4)－11π5＝－115×180°＝－396°.跟踪训练1 解 (1)112°30′＝⎝⎛⎭⎫2252°＝2252×π180＝5π8. (2)－5π12＝－⎝⎛⎭⎫5π12×180π°＝－75°. 例2 解 (1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6，又π<7π6<3π2，∴α与7π6终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角可以写成γ＝7π6＋2k π(k ∈Z )，又－5π≤γ＜0，∴当k ＝－3时，γ＝－29π6；当k ＝－2时，γ＝－17π6；当k ＝－1时，γ＝－5π6.跟踪训练2 解 (1)∵－1 480°＝－1 480×π180＝－74π9，而－74π9＝－10π＋16π9，且0≤α≤2π，∴α＝16π9.∴－1 480°＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵2π5＝2π5×(180π)°＝72°，∴终边与2π5角相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )，当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°. ∴在[0°，720°]内与2π5角终边相同的角为72°，432°.例3 (1)A (2)D跟踪训练3 解设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4，∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad. 当堂训练1．D 2.B 3.D 4.C 5.－34．1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2单位圆与周期性学习目标 1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义及其应用.2.掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系.3.理解周期函数的定义．知识点一任意角的正弦函数和余弦函数使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，PM⊥x 轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.思考1角α的正弦、余弦分别等于什么？思考2对确定的锐角α，sin α，cos α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？思考3若取|OP|＝1时，sin α，cos α的值怎样表示？梳理(1)对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，那么点P的____________定义为角α的正弦函数，记作________；点P的____________定义为角α的余弦函数，记作________．(2)对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数．知识点二正弦、余弦函数的定义域思考对于任意角α，sin α，cos α都有意义吗？梳理正弦函数、余弦函数的定义域知识点三正弦、余弦函数值在各象限的符号思考根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦函数的值在各象限的符号吗？梳理正弦、余弦函数在各象限的符号知识点四周期函数思考由sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)可知函数值随着角的变化呈周期性变化，你能说一下函数的变化周期吗？梳理一般地，对于函数f(x)，如果存在____________，对定义域内的____________x值，都有____________，我们就把f(x)称为周期函数，____称为这个函数的周期．特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2kπ(k∈Z，k≠0)为正弦函数、余弦函数的周期，其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中________的一个，称为____________，简称为周期．类型一正弦函数、余弦函数定义的应用命题角度1 已知角α终边上一点坐标求三角函数值例1 已知θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ的值．反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．②在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝y r ，cos α＝xr .当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．跟踪训练1 已知角α的终边过点P (－3a,4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值．命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值例2 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．反思与感悟在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a ，b )，则对应角的三角函数值分别为sin α＝b a 2＋b 2，cos α＝aa 2＋b 2. 跟踪训练2 已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α的值．类型二正弦、余弦函数值符号的判断例3 (1)若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)判断下列各式的符号．①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4.反思与感悟准确确定正弦函数、余弦函数值中角所在象限是基础，准确记忆正弦函数、余弦函数值在各象限的符号是解决这类问题的关键．跟踪训练3若三角形的两内角A，B，满足sin A cos B＜0，则此三角形必为()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上三种情况都有可能类型三周期性例4(1)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x＋2)＝－f(x)，求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数；(2)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x＋2)＝－1f(x)，求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数．反思与感悟(1)证明函数是周期函数，只需根据定义：存在非零常数T，对任意定义域内实数x，都有f(x＋T)＝f(x)．(2)一般地，如果f(x＋a)＝－f(x)，那么f(x)的周期为2a(a≠0)；如果f(x＋a)＝1f(x)，那么f(x)的周期也为2a(a≠0)．跟踪训练4若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(x－a)＋f(x＋a)(a<0)，f(2a)＝1，求f(14a)的值．1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于()A.45B.35 C ．－35D ．－452．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A ．1B ．0C ．2D ．－23．设f (x )是以1为一个周期的函数，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋1，则f (72)的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－34．点P (sin 2 016°，cos 2 016°)位于第________象限． 5．已知角α的终边在直线y ＝2x 上，求sin α＋cos α的值．1．三角函数的定义是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点． 2．三角函数值的符号主要涉及开方、去绝对值等计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上的角的三角函数值情况，因角的终边经过的点决定了三角函数值的符号，所以当点的位置不确定时注意进行讨论，体现了分类讨论的思想．3．正弦、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的三角函数值相等，作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．答案精析问题导学知识点一思考1 sin α＝y r ，cos α＝xr .思考2 不会．思考3 sin α＝y ，cos α＝x .梳理 (1)纵坐标v v ＝sin α 横坐标u u ＝cos α 知识点二思考由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义．知识点三思考由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (u ，v )，则sin α＝v ，cos α＝u .当α为第一象限角时，v >0，u >0，故sin α>0，cos α>0，同理可得α在其他象限时三角函数值的符号．知识点四思考 2π，4π，6π，－2π，…等都是函数的周期．梳理非零实数T 任意一个 f (x ＋T )＝f (x ) T 最小最小正周期题型探究例1 解由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9，由三角函数定义得cos θ＝xr＝xx 2＋9. 又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1,3)，此时sin θ＝312＋32＝31010.当x ＝－1时，P (－1,3)，此时sin θ＝3(－1)2＋32＝31010. 跟踪训练1 解 r ＝(－3a )2＋(4a )2＝5|a |. ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限，sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，∴2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35，∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.例2 解由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)，则 x ＝k ，y ＝－3k ， r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |.(1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角， sin α＝y r ＝－3k 10k ＝－31010，1cos α＝r x ＝10k k ＝10， ∴10sin α＋3cos α＝10×⎝⎛⎭⎫－31010＋310＝－310＋310＝0.(2)当k <0时，r ＝－10k ，α是第二象限角， sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，1cos α＝r x ＝－10k k ＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝10×31010＋3×(－10)＝310－310＝0.综上所述，10sin α＋3cos α＝0.跟踪训练2 解因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点，则r ＝a 2＋(3a )2＝2|a |(a ≠0)．若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ，所以sin α＝3a 2a ＝32， cos α＝a 2a ＝12.若a <0，则α为第三象限角，r ＝－2a ，所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12.例3 (1)D(2)解 ①∵145°是第二象限角， ∴sin 145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°， ∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0， ∴sin 145°cos(－210°)＜0.②∵π2＜3＜π，π＜4＜3π2，3π2＜5＜2π，∴sin 3＞0，cos 4＜0， ∴sin 3·cos 4<0. 跟踪训练3 B例4 证明 (1)∵f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2) ＝－[－f (x )]＝f (x )，∴由周期函数定义知，函数f (x )是以4为周期的周期函数． (2)∵f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )，∴由周期函数定义知，函数f (x )是以4为周期的周期函数．跟踪训练4 解由f (x )＝f (x －a )＋f (x ＋a )，① 得f (x ＋a )＝f (x )＋f (x ＋2a )．② ①＋②，得f (x －a )＋f (x ＋2a )＝0，即f (x －a )＝－f (x ＋2a )， ∴f (x )＝－f (x ＋3a )，即f (x ＋3a )＝－f (x )，∴f (x ＋6a )＝－f (x ＋3a )＝f (x )． ∴T ＝6a 为函数y ＝f (x )的一个周期， ∴f (14a )＝f (6a ×2＋2a )＝f (2a )＝1. 当堂训练1．D 2.C 3.B 4.三5．解在直线y ＝2x 上任取一点P (x,2x )(x ≠0)，则r ＝x 2＋(2x )2＝5|x |. ①若x >0，则r ＝5x ，从而sin α＝2x 5x＝255，cos α＝x 5x ＝55， ∴cos α＋sin α＝355.②若x <0，则r ＝－5x ，从而sin α＝2x－5x＝－255，cos α＝x －5x ＝－55，∴cos α＋sin α＝－355.4．3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质学习目标 1.会利用单位圆研究正弦、余弦函数的基本性质.2.能利用正弦、余弦函数的基本性质解决相关的问题．知识点正弦、余弦函数的性质思考1 正弦函数、余弦函数的最大值、最小值分别是多少？思考2 能否认为正弦函数在单位圆的右半圆是单调增加的？梳理正弦、余弦函数的性质类型一正弦余数、余弦函数的定义域例1 求下列函数的定义域． (1)y ＝2sin x －3； (2)y ＝lg(sin x －22)＋1－2cos x .反思与感悟 (1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．跟踪训练1 函数y ＝2sin x ＋1的定义域为_________________________________________．类型二正、余弦函数的值域与最值例2 (1)求函数y ＝cos x (－π3≤x ≤5π6)的值域．(2)已知函数y ＝a sin x ＋1的最大值为3，求它的最小值．反思与感悟 (1)求正、余弦函数的值域或最值时应注意定义域，解题时可借助图像结合正、余弦函数的单调性进行分析．(2)对于含有参数的值域或最值，应注意对参数讨论．跟踪训练2 函数y ＝2＋cos x ，x ∈(－π3，2π3]的值域为________．类型三正、余弦函数的单调性例3 函数y ＝cos x 的一个递增区间为( ) A ．(－π2，π2)B ．(0，π)C ．(π2，3π2)D ．(π，2π)反思与感悟利用单位圆有助于理解记忆正弦、余弦函数的单调区间，特别注意不连贯的单调区间不能并．跟踪训练3 求下列函数的单调区间．(1)y ＝sin x ，x ∈[－π，π]；(2)y ＝cos x ，x ∈[－π，π]．1．函数y ＝sin x ，x ∈[－π4，π4]的最大值和最小值分别是( )A ．1，－1B ．1，22 C.22，－22D ．1，－222．不等式2sin x －1≥0的解集为____________________________________________． 3．函数y ＝2cos x －1的定义域为_____________________________________________． 4．求y ＝－2sin x ，x ∈[－π6，π]的值域．利用单位圆来研究正弦、余弦函数的基本性质，能够加深对正弦、余弦函数性质的理解与认识，同时也有助于提升学生利用数形结合思想解决问题的意识．答案精析问题导学知识点思考1 设任意角x 的终边与单位圆交于点P (cos x ，sin x )，当自变量x 变化时，点P 的横坐标是cos x ，|cos x |≤1，纵坐标是sin x ，|sin x |≤1，所以正弦函数、余弦函数的最大值为1，最小值为－1.思考2 不能，右半圆可以表示无数个区间，只能说正弦函数在每一个区间[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )上是增加的．梳理 2π [－π2＋2k π，π2＋2k π]题型探究例1 解 (1)自变量x 应满足2sin x －3≥0，即sin x ≥32. 图中阴影部分就是满足条件的角x 的范围，即{x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．(2)由题意知，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x >22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示， ∴{x |2k π＋π3≤x <2k π＋3π4，k ∈Z }．跟踪训练1 [－π6＋2k π，7π6＋2k π]，k ∈Z例2 解 (1)∵y ＝cos x 在区间[－π3，0]上是增加的，在区间[0，5π6]上是减少的，∴当x ＝0时，y max ＝1，当x ＝5π6时，y min ＝cos 5π6＝－32，∴y ＝cos x (－π3≤x ≤5π6)的值域是[－32，1]．(2)当a >0时，y max ＝a ×1＋1＝3，得a ＝2， ∴当sin x ＝－1时，y min ＝2×(－1)＋1＝－1；当a <0时，y max ＝a ×(－1)＋1＝3，得a ＝－2， ∴当sin x ＝1时，y min ＝－2×1＋1＝－1. ∴它的最小值为－1. 跟踪训练2 [32，3]例3 D跟踪训练3 解 (1)y ＝sin x 在x ∈[－π，π]上的递增区间为[－π2，π2]，递减区间为[－π，－π2]，[π2，π]． (2)y ＝cos x 在x ∈[－π，π]上的递增区间为[－π，0]，递减区间为[0，π]．当堂训练1．C 2.{x |π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z }3.⎣⎡⎦⎤－π3＋2k π，π3＋2k π ，k ∈Z 4．解由x ∈[－π6，π]，得sin x ∈[－12，1]，∴y ＝[－2,1]，∴y ＝－2sin x ，x ∈[－π6，π]的值域为[－2,1]．4.4 单位圆的对称性与诱导公式(一)学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．知识点2kπ±α，－α，π±α的诱导公式思考1设α为任意角，则2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？思考22kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α终边和单位圆的交点与α的终边和单位圆的交点有怎样的对称关系？试据此分析角α与－α的正弦函数、余弦函数的关系．梳理对任意角α，有下列关系式成立：sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α(1.8)sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α(1.9)sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α(1.10)sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α(1.11)sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α(1.12)公式1.8～1.12叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式．这五组诱导公式的记忆口诀是“____________________________”．其含义是诱导公式两边的函数名称________，符号则是将α看成________时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号．类型一给角求值问题例1求下列各三角函数式的值．(1)cos 210°；(2)sin 11π4；(3)sin(－43π6)；(4)cos(－1 920°)．反思与感悟利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”：用公式一或三来转化．(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．(3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．跟踪训练1求下列各三角函数式的值．(1)sin 1 320°； (2)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6.类型二给值(式)求值问题例2 (1)已知sin(π＋α)＝－0.3，则sin(2π－α)＝________. (2)已知cos(π6－α)＝22，则cos(5π6＋α)＝________.反思与感悟解决此类问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系，从而灵活选择诱导公式求解，一般可从两角的和、差的关系入手分析，解题时注意整体思想的运用．跟踪训练2 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－θ＝________. 类型三利用诱导公式化简例3 化简下列各式． (1)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)；(2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°.引申探究若本例(1)改为：sin (n π－α)cos (n π－α)cos[α－(n ＋1)π]·sin[(n ＋1)π－α](n ∈Z )，请化简．反思与感悟利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值．跟踪训练3 化简：cos (π＋α)·sin (2π＋α)sin (－α－π)·cos (－π－α).1．sin 585°的值为( ) A ．－22 B.22 C ．－32 D.322．cos(－16π3)＋sin(－16π3)的值为( )。

2017-2018学年高一数学北师大版必修4学业分层测评：第

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．电流I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200时，电流I 为( )A ．5B ．52C ．2D ．－5【解析】 t ＝1200代入I ＝5 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝52，故选B.【答案】 B2．某城市6月份的平均气温最高，为29.45°C ；12月份平均气温最低，为18.35°C ．若x 月份的平均气温为y °C ，满足条件的一个模拟函数可以是( )A ．y ＝23.9－5.55sin π6x B ．y ＝23.9－5.55cos π6xC ．y ＝23.9－5.55tan π6x D ．y ＝23.9＋5.55cos π6x【解析】将x ＝6，x ＝12分别代入验证可知，只有B 符合要求，故选B. 【答案】 B3．如图1-9-6是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将移至( )图1-9-6A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【解析】因为相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期，所以乙的位置将移至丙处．【答案】 C4．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式是s ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于( )A ．g πB ．g 2πC ．g π2D ．g 4π2 【解析】 ∵T ＝2πg l，∴g l ＝2πT ＝2π，∴l ＝g 4π2.【答案】 D5．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F (t )＝50＋4sin t2(0≤t ≤20)给出，F (t )的单位是辆/分，t 的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )A ．[0,5]B ．[5,10]C ．[10,15]D ．[15,20]【解析】由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2，得4k π－π≤t ≤4k π＋π(k ∈Z )，由于0≤t ≤20，所以0≤t ≤π或3π≤t ≤5π，从而车流量在时间段[10,15]内是增加的．【答案】 C 二、填空题6．如图1-9-7，点P 是半径为r 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P 0开始，按逆时针方向以角速度ω(rad/s)做圆周运动，则点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系式为．图1-9-7【解析】当质点P 从P 0转到点P 位置时，点P 转过的角度为ωt ，则∠POx ＝ωt ＋φ，由任意角的三角函数定义知P 点的纵坐标y ＝r sin(ωt ＋φ)．【答案】 y ＝r sin(ωt ＋φ)7．某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8等量，最高亮度距平均亮度0.2等量，则可近似地描述此星星亮度与时间关系的一个三角函数式为．【解析】假设三角函数模型为y ＝A sin ωt ＋b ，由题意知，A ＝0.2，b ＝3.8，T ＝10， ∴ω＝2π10＝π5，∴y ＝0.2sin π5t ＋3.8(t >0)．【答案】 y ＝0.2sin π5t ＋3.8(t >0)(答案不唯一)8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为 ℃.【导学号：66470034】【解析】由题意可知，A ＝28－182＝5， a ＝28＋182＝23.从而，y ＝5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)＋23，故10月份的平均气温值为 y ＝5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4＋23＝20.5 ℃.【答案】 20.5 三、解答题9．如图1-9-8所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮每20秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心O 高度相同)时开始计时(按逆时针方向转)．图1-9-8(1)求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米．【解】(1)以O为坐标原点，以OP所在直线为x轴建立平面直角坐标系(略)，设摩天轮上某人在Q处，则在t秒内OQ转过的角为2π20t，所以t秒时，Q点的纵坐标为10·sin 2π20·t，故在t秒时此人相对于地面的高度为y＝10sin π10t＋12(米)．(2)令y＝10sin π10t＋12≤10，则sinπ10t≤－15，因为0≤t≤20，所以10.64≤t≤19.36，故约有8.72秒此人相对于地面的高度不超过10米．10．如图1-9-9为一辆观览车示意图，该观览车半径为4.8 m，圆上最低点与地面的距离为0.8 m,60 s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设点B与地面的距离为h.图1-9-9(1)求h与θ之间的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过t s到达OB，求h与t之间的函数解析式，并求首次到达最高点所用的时间．【解】(1)由题意可作图，过点O作地面的平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于点M.当θ>π2时，∠BOM ＝θ－π2.h ＝|OA |＋0.8＋|BM |＝5.6＋4.8 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2；当0≤θ≤π2时，上述解析式也适合，即h 与θ之间的函数解析式为 h ＝5.6＋4.8 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2.(2)点在⊙O 上逆时针运动的角速度是π30， ∴t s 转过的弧度数为π30t ，∴h ＝4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π2＋5.6，t ∈[0，＋∞)．当h ＝10.4时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π2＝1，即π30t －π2＝π2＋2k π(k ∈Z )，t ＝30(2k ＋1)(k ∈Z )．即首次到达最高点所用的时间为30 s.[能力提升]1．一半径为10的水轮，水轮的圆心到水面的距离为7，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y 与时间x (秒)满足函数关系式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋7，则( )A ．ω＝2π15，A ＝10 B ．ω＝152π，A ＝10 C ．ω＝2π15，A ＝17D ．ω＝ 152π，A ＝17【解析】 T ＝604＝15，ω＝2π15，A ＝10. 【答案】 A2．动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12 s 旋转一周．已知时间t ＝0时，点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则当0≤t ≤12时，动点A的纵坐标y 关于t (单位：s)的函数的单调递增区间是( )A ．[0,1]B ．[1,7]C ．[7,12]D ．[0,1]和[7,12]【解析】由已知可得该函数的最小正周期为T ＝12，则ω＝2πT ＝π6，又当t ＝0时，A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴此函数为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋π3，t ∈[0,12]．可解得此函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．【答案】 D3．已知某游乐园内摩天轮的中心点O 距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速运动，摩天轮上的一点P 自最低点A 起，经过t min 后，点P 的高度h ＝40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋50(单位：m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P 的高度在距地面70 m 以上的时间将持续分钟.【导学号：66470035】【解析】依题意，知40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋50≥70，即cos π6t ≤－12，从而在一个周期内持续的时间为 2π3≤π6t ≤4π3，4≤t ≤8，即持续时间为4分钟．【答案】 44．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h ，低潮时水的深度为8.4 m ，高潮时为16 m ，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d (m)与时间t (h)近似满足关系式d ＝A sin(ωt ＋φ)＋h (A >0，ω>0)．(1)若从10月10日0：00开始计算时间，求该港口的水深d (m)和时间t (h)满足的函数关系式；(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(保留一位小数)(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m? 【解】 (1)依题意知T ＝2πω＝12，故ω＝π6，h ＝8.4＋162＝12.2， A ＝16－12.2＝3.8，所以d ＝3.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋12.2.又因为t ＝4时，d ＝16，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π6＋φ＝1，所以φ＝－π6，所以d ＝3.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋12.2.(2)t ＝17时，d ＝3.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π6－π6＋12.2＝3.8sin2π3＋12.2≈15.5(m)．即10月10日17：00该港口水深约为15.5 m. (3)令3.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋12.2<10.3，有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6<－12，因此2k π＋7π6<π6t －π6<2k π＋11π6，k ∈Z ，所以2k π＋4π3<π6t <2k π＋2π，k ∈Z ，所以12k ＋8<t <12k ＋12. 令k ＝0，得t ∈(8,12)；令k ＝1，得t ∈(20,24)．故这一天该港口共有8小时水深低于10.3 m ．。

2017-2018学年高一数学北师大版必修4学业分层测评：第

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知直线l ：mx ＋2y ＋6＝0，向量(1－m,1)与l 平行，则实数m 的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－1或2【解析】因为直线l 的法向量为(m,2)，由题意得(m,2)(1－m,1)＝0，所以m (1－m )＋2＝0，解得m ＝2或－1. 【答案】 D2．在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则四边形的面积为( ) A ． 5 B ．2 5 C ．5D ．10【解析】由AC →·BD →＝1×(－4)＋2×2＝0，得AC ⊥BD ，则S ＝12(|AC |·|BD |)．又|AC |＝5，|BD |＝25，则算出S ＝5. 【答案】 C3．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量OA →与OB →关于y 轴对称，向量a ＝(1,0)，则满足OA →2＋a ·AB→＝0的点A (x ，y )的轨迹方程为( ) A ．(x ＋1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋y 2＝1 C ．x 2＋y 2＝0 D ．x 2＋(y －1)2＝1【解析】因为OA→与OB →关于y 轴对称，所以OB →＝(－x ，y )，所以OA→2＝x 2＋y 2，AB →＝OB →－OA →＝(－2x,0)，所以OA →2＋a ·AB→＝0可表示为 x 2＋y 2＋(1,0)·(－2x,0)＝0，即(x －1)2＋y 2＝1. 【答案】 B4．已知△ABC 满足AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．钝角三角形【解析】由题意得，AB →2＝AB →·AC →＋AB →·CB →＋CA →·CB →＝AB →·(AC →＋CB →)＋CA →·CB →＝AB →2＋CA →·CB→， ∴CA →·CB →＝0，∴CA →⊥CB →，∴△ABC 是直角三角形．【答案】 C5．如图2-7-2所示，矩形ABCD 中，AB ＝4，点E 为AB 中点，若DE →⊥AC →，则DE→＝( )图2-7-2A ．52B ．2 3C ．3D ．2 2【解析】如图，建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，E (2,0)．设AD ＝m .则D (0，m )，C (4，m )． ∵DE →⊥AC →，∴DE →·AC →＝0，而DE→＝(2，－m )，AC →＝(4，m )， ∴8－m 2＝0，即m 2＝8， ∴|DE →|＝22＋m 2＝12＝2 3. 【答案】 B 二、填空题6．点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量v ＝(2，－3)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位长度)．设开始时点P 的坐标为(－1,1)，则3秒后点P 的坐标为．【解析】设点A (－1,1)，3秒后点P 运动到B 点，则AB →＝3 v ，所以OB →－OA →＝3 v ，所以OB→＝OA →＋3v ＝(－1,1)＋3(2，－3)＝(5，－8)．【答案】 (5，－8)7．河水的流速为2m/s ，一艘小船以10 m/s 的速度向垂直于对岸的方向行驶，则小船在静水中的速度大小为 m/s.【解析】设河水的流速为v 1，小船在静水中的速度为v 2，船的实际速度为v ，则v ＝v 1＋v 2，|v 1|＝2，|v |＝10.因为v ⊥v 1，所以v ·v 1＝0，所以|v 2|＝|v －v 1|＝v 2－2v ·v 1＋v 21 ＝100－0＋4＝104＝226. 【答案】 2268．在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝ .【导学号：66470060】【解析】选CA→，CB →为基底，则AD →＝－CA →＋12CB →， BE→＝－CB →＋13CA →， ∴AD →·BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－CA →＋12CB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－CB →＋13CA → ＝－13CA →2－12CB →2＋76CA →·CB →＝－13－12＋76×1×1×cos 60°＝－14. 【答案】－14 三、解答题9．已知A ，B ，C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1,2)，B (4,1)，C (0，－1)．(1)求AB →·AC →和∠ACB 的大小，并判断△ABC 的形状； (2)若M 为BC 边的中点，求|AM→|. 【解】 (1)由题意得AB→＝(3，－1)，AC →＝(－1，－3)，AB →·AC →＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0，所以AB →⊥AC →，即∠A ＝90°.因为|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝45°. (2)因为M 为BC 中点，所以M (2,0)．又因为A (1,2)，所以AM →＝(1，－2)，所以|AM→|＝12＋(－2)2＝ 5. 10.如图2-7-3，已知Rt △OAB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3，OB ＝2，M 在OB 上，且OM ＝1，N 在OA 上，且ON ＝1，P 为AM 与BN 的交点，求∠MPN .【导学号：69992029】图2-7-3【解】设OA→＝a ，OB →＝b 且AM →，BN→的夹角为θ，则OM →＝12b ，ON →＝13A ．又∵AM→＝OM →－OA →＝12b －a ，BN→＝ON →－OB →＝13a －b ， ∴AM →·BN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b ＝－5，|AM →|＝10，|BN →|＝5，∴cos θ＝－55·10＝－22.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4.又∵∠MPN 即为向量AM →，BN →的夹角，∴∠MPN ＝3π4.[能力提升]1．已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且OP →＝3OA→－OB →2，则( ) A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上【解析】由OP →＝3OA →－OB →2，得2OP→＝3OA →－OB →，即2(OP→－OA →)＝OA →－OB →，即2AP→＝BA →＝－AB →，即AP→＝－12AB →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上．【答案】 B2．设P ，Q 为△ABC 内的两点，且AP →＝25AB →＋15AC →，AQ →＝23AB →＋14AC →，则△ABP的面积与△ABQ 的面积之比为( )A ．15 B ．45 C ．14D ．13【解析】如图(1)所示，过P 作PE ∥AC ，交AB 于点E ，过P 作PF ∥AB ，交AC 于点F ，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，(1) (2)由平面向量基本定理及AP →＝25AB →＋15AC →，可知AF →＝15AC →，|PE |＝|AF |，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪PE AC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AF AC ＝15，又因为Rt △ACD ∽Rt △EPO ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪PO CD ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪PE AC ＝15， S △ABP S △ABC ＝12|AB ||PO |12|AB ||CD |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪PO CD ＝15，如图(2)所示，同理可证S △ABQ S △ABC＝12|AB ||QG |12|AB ||CH |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪QG CH ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪QM AC ＝14，所以S △ABP S △ABQ ＝15S△ABC 14S △ABC ＝45.【答案】 B3．如图2-7-4所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 和OB 交点P 的坐标为．图2-7-4【解析】设OP→＝tOB →＝t (4,4)＝(4t,4t )，则AP→＝OP →－OA →＝(4t －4,4t )， AC→＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．由AP→，AC →共线得(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，解得t ＝34，∴OP→＝(4t,4t )＝(3,3)， ∴P 点坐标为(3,3)．【答案】 (3,3)4.如图2-7-5所示，▱ABCD 中，AB→＝a ，AD →＝b ，BM ＝23BC ，AN ＝14AB ，图2-7-5(1)试用向量a ，b 来表示DN→，AM →；(2)AM 交DN 于O 点，求AO ∶OM 的值．【解】 (1)因为AN ＝14AB ，所以AN→＝14AB →＝14a ，所以DN →＝AN →－AD →＝14a －b. 因为BM ＝23BC ，所以BM→＝23BC →＝23AD →＝23b ，所以AM→＝AB →＋BM →＝a ＋23b.(2)因为A ，O ，M 三点共线，所以AO →∥AM →.设AO→＝λAM →，则DO →＝AO →－AD →＝λAM →－AD → ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋23b －b ＝λa ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－1b . 因为D ，O ，N 三点共线，所以DO →∥DN →，存在实数μ使DO →＝μDN →，λa ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－1b ＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫14a －b .由于向量a ，b 不共线，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧λ＝14μ，23λ－1＝－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝314，μ＝67.所以AO →＝314AM →，OM →＝1114AM →，所以AO ∶OM ＝3∶11.。

2017-2018学年高中数学北师大版必修二学业分层测评：

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知点P (3,2)和圆的方程(x －2)2＋(y －3)2＝4，则它们的位置关系为( )A.在圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外【解析】 ∵(3－2)2＋(2－3)2＝2<4，∴点P 在圆内.【答案】 C2.已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )A.x ＋y －2＝0B.x －y ＋2＝0C.x ＋y －3＝0D.x －y ＋3＝0【解析】圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.【答案】 D3.过点C (－1,1)和点D (1,3)，且圆心在x 轴上的圆的方程是( )【导学号：39292100】A.x 2＋(y －2)2＝10B.x 2＋(y ＋2)2＝10C.(x ＋2)2＋y 2＝10D.(x －2)2＋y 2＝10 【解析】 ∵圆心在x 轴上，∴可设方程为(x －a )2＋y 2＝r 2.由条件知⎩⎨⎧ (－1－a )2＋1＝r 2，(1－a )2＋9＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，r ＝10，故方程为(x －2)2＋y 2＝10.【答案】 D4.与圆(x－3)2＋(y＋2)2＝4关于直线x＝－1对称的圆的方程为()A.(x＋5)2＋(y＋2)2＝4B.(x－3)2＋(y＋2)2＝4C.(x－5)2＋(y＋2)2＝4D.(x－3)2＋y2＝4【解析】已知圆的圆心(3，－2)关于直线x＝－1的对称点为(－5，－2)，∴所求圆的方程为(x＋5)2＋(y＋2)2＝4.【答案】 A5.设M是圆(x－5)2＋(y－3)2＝9上的点，则M到3x＋4y－2＝0的最小距离是()A.9B.8C.5D.2【解析】圆心(5,3)到直线3x＋4y－2＝0的距离d＝|3×5＋4×3－2|32＋42＝|15＋12－2|5＝5，∴所求的最小距离是5－3＝2.【答案】 D二、填空题6.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为______.【解析】设圆心坐标为(0，b)，则由题意知(0－1)2＋(b－2)2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.【答案】x2＋(y－2)2＝17.已知圆C1的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝5，圆C2与圆C1是同心圆且过点A(5,0)，则圆C2的标准方程为________.【导学号：39292101】【解析】由圆C1的方程知圆心C1(－3,2)，因为C2与C1是同心圆，所以C2的圆心也为(－3,2)，可设C2的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝r2.又由C2过点A(5,0)，所以(5＋3)2＋(0－2)2＝r2，r2＝68，故圆C2的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝68.【答案】(x＋3)2＋(y－2)2＝688.已知△ABC的顶点A(－1,0)，B(1,0)，C在圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上移动，则△ABC面积的最小值为________.【解析】∵|AB|＝2为定长.最小.又圆∴当△ABC的高即C到AB的距离最小时，S△ABC的最小值心为(2,2)，半径为1，所以此时C的坐标为(2,1)，S△ABC为1.【答案】 1三、解答题9.已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0).(1)若点M(6,9)在圆上，求半径a；(2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的范围.【导学号：39292102】【解】(1)因为点M(6,9)在圆上，所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，即a2＝10.又a＞0，所以a＝10.(2)因为|PN|＝(3－5)2＋(3－6)2＝13，|QN|＝(5－5)2＋(3－6)2＝3，所以|PN|＞|QN|，故点P在圆外，点Q在圆内，所以3＜a＜13.10.已知圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，求圆C的标准方程.【解】法一：由圆心在直线2x－y－7＝0上，可设圆心坐标为(a,2a－7)，由题意得圆心到两点A，B的距离相等，即a2＋(2a－3)2＝a2＋(2a－5)2，解得a＝2，所以圆心坐标为(2，－3)，圆的半径长r＝(2－0)2＋(－3＋4)2＝5，所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.法二：圆C的圆心在弦AB的垂直平分线y＝－3上，由⎩⎨⎧ 2x －y －7＝0，y ＝－3，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－3，即为所求圆的圆心坐标，半径长r ＝(2－0)2＋(－3＋4)2＝5，所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.法三：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则由条件可得⎩⎨⎧ (0－a )2＋(－4－b )2＝r 2，(0－a )2＋(－2－b )2＝r 2，2a －b －7＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－3，r ＝5，所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.[能力提升]1.方程y ＝9－x 2表示的曲线是( )A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆【解析】方程y ＝9－x 2化为x 2＋y 2＝9(y ≥0)，因此该方程表示的曲线是圆x 2＋y 2＝9位于x 轴上方的部分(包括与x 轴的两个交点)，是半个圆.【答案】 D2.若实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值为( )A.2B.1C. 3D. 2【解析】由几何意义可知最小值为14－52＋122＝1.【答案】 B3.圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝1关于直线x ＋2y －3＝0对称的圆的方程是____________.【解析】设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝1.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋1a －3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，a ＋32＋2×b －12－3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝195，b ＝35，∴所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1952＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －352＝1. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1952＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －352＝1 4.如图2-2-1，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1,1)在AD 边所在直线上.图2-2-1(1)求AD 边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD 外接圆的标准方程.【解】 (1)因为AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，所以AD 边所在直线的斜率为－3.又点T (－1,1)在AD 边所在直线上，所以AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0.(2)由⎩⎨⎧ x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0，解得点A 的坐标为(0，－2). 因为矩形ABCD 的两条对角线的交点为M (2,0)，所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心.又r ＝|AM |＝(2－0)2＋(0＋2)2＝22，所以矩形ABCD 外接圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝8.。

高中数学 20 单元测试卷二(含解析)北师大版必修4(2021年整理)

2017-2018学年高中数学20 单元测试卷二（含解析）北师大版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学20 单元测试卷二（含解析）北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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20 单元测试卷二时间：90分钟满分150分班级________ 姓名________ 分数________7．已知a＝（3，4)，b＝(－1,2m)，c＝(m，－4）,满足c⊥(a＋b),则m＝（）A．－错误! B。

错误!C.错误! D．－错误!答案：A解析:a＋b＝(2,4＋2m)，c⊥（a＋b)⇒c·(a＋b)＝（m，－4）·（2，4＋2m）＝2m－4(4＋2m)＝0，解得m＝－错误!。

8．已知平面向量a＝（1，错误!），｜a－b｜＝1，则｜b｜的取值范围是（)A．［0,1］ B．［1,3]C．[2,4］ D．[3，4］答案:B解析：由于错误!＝1,所以向量b对应的点在以（1,错误!）为圆心,1为半径的圆上，由于圆心到原点的距离为2，所以错误!的取值范围是[1,3］．9．已知向量错误!＝(2,2）,错误!＝(4，1）,在x轴上的一点P使错误!·错误!取得最小值，则点P的坐标为（）A．（3，0） B．（－3，0）C．(2,0） D．（4,0）答案:A解析：设P（x,0)，则错误!＝（x－2,－2),错误!＝（x－4，－1)，∴错误!·错误!＝（x－2)（x－4）＋(－2)×(－1）＝x2－6x＋10＝（x－3）2＋1，∴当x＝3时，错误!·错误!取得最小值，此时P(3,0)．10．已知O是三角形ABC所在平面内一点，且满足错误!·错误!＋｜错误!｜2＝错误!·错误!＋|错误!|2,则O点( )A．在过点C且垂直于AB的直线上B．在∠C平分线所在的直线上C．在AB边中线所在的直线上D．是△ABC的外心答案：A解析：由题意有错误!·错误!＋错误!·错误!＋错误!2－错误!2＝0。

2017-2018学年高中数学北师大版四习题：阶段质量检测(二)含答案

阶段质量检测（二）平面向量(时间:90分钟满分：120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分,共50分．在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．）2．设向量a＝(1，0），b＝（错误!,错误!)，则下列结论中正确的是( ）A．|a｜＝｜b| B．a·b＝错误!C．a－b与b垂直D．a∥b3．已知a＝(3，4),b∥a,且b的起点为(1，2），终点为（x，3x)，则b等于（）A．(－错误!,错误!）B．(－错误!，错误!）C．（－错误!，错误!）D．（－错误!，－错误!)4．有下列命题：①＝0;②(a＋b)·c＝a·c＋b·c；③若a＝(m，4）,则|a|＝23⇔m＝错误!;④若AB的起点为A（2，1）,终点为B(－2，4)，则与x轴正向所夹角的余弦值是错误!.其中正确命题的序号是（)A．①②B．②③C．②④D．③④5．若O是△ABC所在平面内一点,且满足|｜＝|｜,则△ABC一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形6．(辽宁高考)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b｜，则下面结论正确的是( )A．a∥b B．a⊥bC．｜a｜＝|b| D．a＋b＝a－b7．若向量＝5,那么d·＝（) A．0 B．－4C．4 D．4或－48．（重庆高考）设x∈R,向量a＝（x,1），b＝(1，－2),且a⊥b，则|a＋b|＝（）A. 5 B。

错误!C．2错误!D．109．(浙江高考)设a，b是两个非零向量( ）A．若｜a＋b|＝｜a｜－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则｜a＋b|＝｜a|－|b｜C．若｜a＋b｜＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝｜a|－｜b|10．已知｜a｜＝2｜b|≠0，且关于x的方程x2＋｜a|x＋a·b ＝0有实根,则a与b的夹角的取值范围是（）A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分．把答案填在题中横线上)．11．已知e1，e2为单位向量，它们的夹角为120°，则|e1－3e2｜＝________．12．(山东高考）已知向量的夹角为120°,且｜|＝3，＝λ＋，则实数λ的值为________．13．已知向量a＝(6，2），b＝错误!，直线l过点A（3，－1)且与向量a＋2b垂直，则直线l的方程为________．14．(2012 ·山东高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1），此时圆上一点P的位置在(0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2，1)时,OP―→的坐标为________．三、解答题（本大题共4小题,共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．（本小题满分12分）已知a＝（4,3），b＝(－1，2），m＝a －λb,n＝2a＋b,按下列条件求实数λ的值．（1)m⊥n；（2)m∥n；(3)|m|＝错误!|n|.16．（本小题满分12分)已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直,a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．17．（本小题满分12分）已知:在△ABC中,AB＝c，BC＝a，AC ＝b，AB上的中线CD＝m，求证：a2＋b2＝错误!c2＋2m2。

北师大版高中数学必修四20 单元测试卷二.docx

20 单元测试卷二时间：90分钟满分150分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A (1,2)，B (3,4)，C (－2,2)，D (－3,5)，则向量AB →在向量CD →上的投影为( )A.105B.2105C.3105D.4105答案：B解析：AB →＝(2,2)，CD →＝(－1,3)，|CD →|＝10，AB →·CD →＝－2＋6＝4，向量AB →在向量CD →上的投影为AB →·CD →|CD →|＝410＝2105，故选B.2．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝( ) A ．5 B ．25 C. 5 D.10 答案：A解析：因为|a ＋b |＝52，所以a 2＋2a ·b ＋b 2＝50，即5＋2×10＋b 2＝50，所以|b |＝5. 3．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1，－2)，则c ＝( )A ．－12a －32bB ．－12a ＋32bC.32a －12b D ．－32a ＋12b 答案：D4．若非零向量a ，b 满足|a －b |＝|b |，则( ) A ．|2b |＞|a －2b | B ．|2b |＜|a －2b | C ．|2a |＞|2a －b | D ．|2a |＜|2a －b | 答案：A5．已知平面上不共线的四点O 、A 、B 、C .若OA →－4OB →＋3OC →＝0，则|BA →||CB →|＝( )A.13B.12 C ．2 D ．3答案：D解析：∵OA →－4OB →＋3OC →＝0， ∴(OA →－OB →)－3OB →＋3OC →＝0，即OA →－OB →＝3(OB →－OC →)， ∴BA →＝3CB →， ∴|BA →||CB →|＝3. 6．在△ABC 中，若|AB →|＝1，|AC →|＝3，|AB →＋AC →|＝|BC →|，则AB →·BC →|BC →|＝( )A ．－32B ．－12C.12D.32 答案：B解析：由向量的平行四边形法则，知当|AB →＋AC →|＝|BC →|时，∠A ＝90°.又|AB →|＝1，|AC →|＝3，故∠B ＝60°，∠C ＝30°，|BC →|＝2，所以AB →·BC →|BC →|＝|AB →||BC →|cos120°|BC →|＝－12.7．已知a ＝(3,4)，b ＝(－1,2m )，c ＝(m ，－4)，满足c ⊥(a ＋b )，则m ＝( )A ．－83 B.83C.43 D ．－43 答案：A 解析：a ＋b ＝(2,4＋2m )，c ⊥(a ＋b )⇒c ·(a ＋b )＝(m ，－4)·(2,4＋2m )＝2m －4(4＋2m )＝0，解得m ＝－83.8．已知平面向量a ＝(1，3)，|a －b |＝1，则|b |的取值范围是( ) A ．[0,1] B ．[1,3] C ．[2,4] D ．[3,4] 答案：B解析：由于||a －b ＝1，所以向量b 对应的点在以(1，3)为圆心，1为半径的圆上，由于圆心到原点的距离为2，所以||b 的取值范围是[1,3]．9．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上的一点P 使AP →·BP →取得最小值，则点P 的坐标为( )A ．(3,0)B ．(－3,0)C ．(2,0)D ．(4,0) 答案：A解析：设P (x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)， ∴AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，∴当x ＝3时，AP →·BP →取得最小值，此时P (3,0)．10．已知O 是三角形ABC 所在平面内一点，且满足BA →·OA →＋|BC →|2＝AB →·OB →＋|AC →|2，则O 点( )A ．在过点C 且垂直于AB 的直线上 B ．在∠C 平分线所在的直线上 C ．在AB 边中线所在的直线上D ．是△ABC 的外心答案：A解析：由题意有AB →·OB →＋AB →·OA →＋CA →2－CB →2＝0. 即AB →·OB →＋AB →·OA →＋(CA →－CB →)·(CA →＋CB →) ＝AB →·(OA →＋OB →－CO →－OA →－CO →－OB →)＝－2AB →·OC →＝0，所以OC →⊥AB →.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．11．若向量OA →＝(1，－3)，|OB →|＝|OA →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________. 答案：2 5解析：因为|AB →|2＝|OB →－OA →|2＝|OB →|2＋|OA →|2－2OA →·OB →＝10＋10－0＝20，所以|AB →|＝20＝2 5.12．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝3，a ＋b ＝(3，1)，则向量a ＋b 与向量a －b 的夹角是________．答案：2π3解析：因为|a －b |2＋|a ＋b |2＝2|a |2＋2|b |2，所以|a －b |2＝2|a |2＋2|b |2－|a ＋b |2＝2＋6－4＝4，故|a －b |＝2，因为cos 〈a －b ，a ＋b 〉＝(a －b )·(a ＋b )|a －b |·|a ＋b |＝1－34＝－12，故所求夹角是2π3.13．已知在△ABC 中，向量AB →与BC →的夹角为5π6，|AC →|＝2，则|AB →|的取值范围是________．答案：(0,4]解析：∵|AC →|＝|AB →＋BC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＋2|AB →||BC →|cos 5π6，∴|AB →|2＋|BC →|2－3|AB →||BC →|＝4，把|BC →|看作未知量，得到一个一元二次方程|BC →|2－3|AB →||BC →|＋(|AB |2－4)＝0，这个方程的判别式Δ＝(－3|AB →|)2－4(|AB →|2－4)＝16－|AB →|2≥0，∴－4≤|AB →|≤4，根据实际意义，知0<|AB →|≤4.14．已经△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R ，若BQ →·CP →＝－32，则λ＝__________.答案：12解析：AB →·AC →＝||AB →·||AC →cos π3＝2，BQ →＝AQ →－AB →＝(1－λ)AC →－AB →，同理CP →＝λAB →－AC →，则BQ →·CP →＝(1－λ)λAC →·AB →－(1－λ)AC →2－λAB →2＋AB →·AC →＝2λ(1－λ)－4(1－λ)－4λ＋2＝－2λ2＋2λ－2＝－32，解得λ＝12.15．如图，在正方形ABCD 中，已知AB ＝2，M 为BC 的中点，若N 为正方形内(含边界)任意一点，则AM →·AN →的最大值为__________．答案：6解析：以AB ，AD 所在的直线为坐标轴建立坐标系，则M (2,1)，A (0,0)，设N (x ，y )，则0≤x ≤2,0≤y ≤2，因此AM →·AN →＝2x ＋y ，因此，当x ＝2，y ＝2时，有最大值6.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(12分)已知A 、B 、C 三点的坐标分别为(－2，1)、(2，－1)、(0,1)，且CP →＝3CA →，CQ →＝2CB →，求点P 、Q 和向量PQ →的坐标．解：因为A 、B 、C 三点的坐标分别为(－2,1)、(2，－1)、(0,1)，所以CA →＝(－2,0)，CB →＝(2，－2)，所以CP →＝3CA →＝(－6,0)，CQ →＝2CB →＝(4，－4)，设P (x ，y )，则有CP →＝(x ，y －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－6，y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝1，即P 点的坐标为(－6,1)，同理可得Q (4，－3)，因此向量PQ→＝(10，－4)．17．(12分)已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)求a ·b 及|a ＋b |的值；(2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )? 解：(1)a ·b ＝|a ||b |cos120°＝－16， |a ＋b |＝(a ＋b )2 ＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝4 3.(2)由题意，知(a ＋2b )·(k a －b )＝k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0，解得k ＝－7.18．(12分)如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上一点，且OP →＝xOA →＋yOB →.(1)若AP →＝PB →，求x ，y 的值；(2)若AP →＝3PB →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°，求OP →·AB →的值．解析：(1)若AP →＝PB →，则OP →＝12OA →＋12OB →，故x ＝y ＝12.(2)若AP →＝3PB →，则OP →＝14OA →＋34OB →，OP →·AB →＝⎝⎛⎭⎫14OA →＋34OB →·(OB →－OA →)＝－14OA →2－12OA →·OB →＋34OB →2＝－14×42－12×4×2×cos60°＋34×22＝－3.19．(12分)△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3OA →＋4OB →＋5OC →＝0.(1)求数量积OA →·OB →，OB →·OC →，OC →·OA →； (2)求△ABC 的面积．解析：(1)∵3OA →＋4OB →＋5OC →＝0.∴3OA →＋4OB →＝0－5OC →，即(3OA →＋4OB →)2＝(0－5OC →)2.可得9OA →2＋24OA →·OB →＋16OB →2＝25OC →2.又∵|OA |＝|OB |＝|OC |＝1.∴OA →2＝OB →2＝OC →2＝1，∴OA →·OB →＝0.同理OB →·OC →＝－45，OC →·OA →＝－35.(2)S △ABC ＝S △OAB ＋S △OBC ＋S △OAC ＝12|OA →|·|OB →|·sin ∠AOB ＋12|OB →|·|OC →|sin ∠BOC ＋12|OC→|·|OA →|·sin ∠AOC .又|OA |＝|OB |＝|OC |＝1.∴S △ABC ＝12(sin ∠AOB ＋sin ∠BOC ＋sin ∠AOC )．由(1)OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos ∠AOB ＝cos ∠AOB ＝0，得sin ∠AOB ＝1.OB →·OC →＝|OB →|·|OC →|·cos ∠BOC ＝cos ∠BOC ＝－45，∴sin ∠BOC ＝35，同理sin ∠AOC ＝45.∴S △ABC ＝65.20．(13分)以某市人民广场的中心为原点建立平面直角坐标系，x 轴的正方向指向东，y 轴的正方向指向北．一个单位长度表示实际路程100 m ，一人步行从广场入口处A (2,0)出发，始终沿一个方向匀速前进，6 min 时路过少年宫C,10 min 后到达科技馆B (－3,5)．(1)求此人的位移(说明此人行走的距离和方向)及此人行走的速度v (用坐标表示)；(2)求少年宫C 点相对于广场中心所在的位置．(参考数据：tan18°26′＝13)．解析：(1)依题意知AB →＝(－3,5)－(2,0)＝(－5,5)， |AB →|＝(－5)2＋52＝52，∠xAB ＝135°. ∴此人沿北偏西45°方向走了500 2 m.∵当t ＝16 h 时，此人所走的实际距离s ＝|AB →|×100＝5002(m)，∴|v |＝st＝3000 2 m/h∴v x ＝|v |cos135°＝－3000(m/h)，v y ＝|v |sin135°＝3000(m/h)，又一个单位长度表示实际路程100 m ， ∴v ＝(－30,30)．(2)∵AC →＝610AB →＝35AB →，OC →＝OA →＋AC →＝(2,0)＋35(－5,5)＝(－1,3)，∴|OC →|＝10，又tan ∠COy ＝13，∴∠COy ＝18°26′.即少年宫C 位于距离广场中心10010 m ，且在北偏西18°26′处．21．(14分)在平面直角坐标系中，已知三点A (4,0)，B (t,2)，C (6，t )，t ∈R ，O 为坐标原点．(1)若△ABC 是直角三角形，求t 的值；(2)若四边形ABCD 是平行四边形，求|OD →|的最小值．解析：(1)由题意得AB →＝(t －4,2)，AC →＝(2，t )，BC →＝(6－t ，t －2)，若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝0，即2(t －4)＋2t ＝0，∴t ＝2；若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝0，即(t －4)(6－t )＋2(t －2)＝0， ∴t ＝6±22；若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝0，即2(6－t )＋t (t －2)＝0，无解， ∴满足条件的t 的值为2或6±2 2.(2)若四边形ABCD 是平行四边形，则AD →＝BC →，设点D 的坐标为(x ，y )，即(x －4，y )＝(6－t ，t －2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10－ty ＝t －2，即D (10－t ，t －2)，∴|OD →|＝(10－t )2＋(t －2)2＝2t 2－24t ＋104，∴当t ＝6时，|OD →|取得最小值4 2.。

高中数学单元测试四北师大版必修2

单元测试四本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．圆x 2＋y 2－2x ＝0与圆x 2＋y 2＋4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．外切 C ．相交 D ．内切答案：C解析：⊙O 1：(x －1)2＋y 2＝1，⊙O 2：x 2＋(y ＋2)2＝4， |O 1O 2|＝ 5<1＋2＝3.2．已知直线l 与直线y ＝x ＋1垂直，且与圆x 2＋y 2＝1相切，切点位于第一象限，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0 答案：A解析：由题意设直线l 的方程为x ＋y ＋c ＝0(c <0)．圆心(0,0)到直线x ＋y ＋c ＝0的距离为|c |2＝1，得c ＝－2或2(舍去)，即直线l 的方程为x ＋y －2＝0.3．直线l ：(k ＋1)x －ky －1＝0(k ∈R )与圆C ：x 2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切C ．相离D ．相交或相切答案：D解析：∵直线l ：k (x －y )＋(x －1)＝0过定点(1,1)，且点(1,1)在圆上，∴直线l 与圆至少有一个公共点，∴l 与圆相切或相交．4．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1 答案：A解析：考查圆的方程的求法． ∵圆心在y 轴上，且半径为1，∴可设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝1，又∵过(1,2)点，∴有12＋(2－b )2＝1， ∴b ＝2，∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.5．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx －y －9＝0的两个交点恰好关于y 轴对称，则k ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：A解析：解法一：将两方程联立消去y ，得(k 2＋1)x 2＋2kx －9＝0，由题意此方程两根之和为0，故k ＝0.解法二：直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx －y －9＝0的两个交点恰好关于y 轴对称，所以圆心在y 轴上，因此k ＝0.6．两圆相交于点A (1,3)，B (m ，－1)，两圆的圆心均在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值为( )A ．－1B ．2C ．3D ．0 答案：C解析：据题意知，直线AB 与直线l ：x －y ＋c ＝0垂直．∴k AB ·k l ＝3－－1－m×1＝－1，解得m ＝5.又∵点A (1,3)，B (5，－1)到直线x －y ＋c＝0的距离相等，∴|1－3＋c |2＝|5－－＋c |2，解得c ＝－2，(或由A (1,3)，B (5，－1)的中点坐标为M (3,1)，而M (3,1)在直线x －y ＋c ＝0上，可知c ＝－2)∴m ＋c ＝5－2＝3.7．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥2 3，则k 的取值范围是( )A ．[－34，0]B ．(－∞，－34]∪[0，＋∞)C ．[－ 33， 33]D ．[－23，0]答案：A解析：圆心(3,2)到直线的距离d ＝|3k ＋1|k 2＋1，则|MN |＝24－⎝ ⎛⎭⎪⎫|3k ＋1|k 2＋12 ＝2－5k 2－6k ＋3k 2＋1≥2 3，解得－34≤k ≤0，故选A.8．圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8上与直线x ＋y ＋1＝0的距离等于 2的点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案：C解析：圆心到直线的距离d ＝||－1－2＋12＝ 2，r ＝2 2，所以直线与圆相交．又r－d ＝ 2，所以劣弧上到直线的距离等于 2的点只有1个，在优弧上到直线距离等于 2的点有2个．9．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2 答案：B解析：本题主要考查圆的弦的性质．由圆的弦的性质可知，最长弦为过点E 的直径，最短弦为过点E 且与直径垂直的弦， ∴|AC |＝2 10，|BD |＝2 10－5＝2 5，∴S ABCD ＝12|AC |·|BD |＝10 2，∴选B.10．当曲线y ＝1＋ 4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个相异交点时，实数k 的取值范围是( )A ．(512，＋∞) B．(512，34]C ．(0，512)D ．(13，34)答案：B解析：曲线表示半圆，而直线恒过点(2,4)，画出示意图即可．第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．11．圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线l ：3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝________. 答案：3解析：∵圆心C 的坐标为(1,2)，∴d ＝|3×1＋4×2＋4| 32＋42＝3. 12．若直线y ＝x ＋t 被圆x 2＋y 2＝8截得的弦长不大于423，则实数t 的取值范围为________．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－4，－823∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫823，4解析：设圆的半径为r ，直线被圆截得的弦长为l .圆心(0,0)到直线y ＝x ＋t 的距离d ＝|t |2.由题意，得d <r ＝22，所以－4<t <4.又⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＋d 2＝r 2＝8，则l 2＝32－2t 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫4232，所以t ≤－823或t ≥823，结合－4<t <4，可知－4<t ≤－823或823≤t <4.13．过点(1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝________.答案：22解析：由已知，得当直线l 与过圆心(2,0)和点(1，2)的直线垂直时，直线l 截圆所得的劣弧最短，此时劣弧所对的圆心角最小，可求得k ＝22.14．由直线y ＝x ＋1上一点P 向圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0引切线，切点为Q ，则|PQ |的最小值为________．答案：7解析：将圆C 的方程化为标准方程，得(x －3)2＋y 2＝1.设P (x 0，y 0)，则|PQ |＝|PC |2－12＝x 0－2＋y 20－1＝2x 20－4x 0＋9＝x 0－2＋7≥7，故|PQ |min ＝7. 15．将直线x ＋y ＝1先绕点(1,0)顺时针旋转90°，再向上平移1个单位后，与圆x2＋(y －1)2＝r 2相切，则半径r ＝________.答案：22解析：x ＋y ＝1――→绕，转90°y ＝x －1――→向上平移1个单位y ＝x .已知圆心为(0,1)，∴r ＝12＝22.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(13分)已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R .若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程．解：解法一：依题意，点P 的坐标为(0，m )．因为MP ⊥l ，所以0－m2－0×1＝－1，解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)．从而圆的半径r ＝|MP |＝－2＋－2＝2 2，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.解法二：设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2. 依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )，则⎩⎪⎨⎪⎧4＋m 2＝r 2，|2－0＋m |2＝r ，解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝2 2.所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.17．(13分)已知点P (0,5)，圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.若直线l 过点P 且被圆C 截得的弦AB 的长为43，求l 的方程．解：由题意，知C (－2,6)，圆C 的半径为4.如图所示，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则D 是AB 的中点．由题意，知|AB |＝43，|AC |＝4，|AD |＝23，在Rt △ADC 中，可得|CD |＝2.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0.由点到直线的距离公式，得|－2k －6＋5|k 2＋－2＝2，解得k ＝34.此时直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.当直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时直线l 的方程为x ＝0. 所以直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0或x ＝0. 18．(13分)已知圆M 过点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上． (1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形PAMB 的面积S 的最小值．解：(1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋－1－b 2＝r 2－1－a 2＋－b2＝r2a ＋b －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1r 2＝4，故圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2)由题意，S ＝S △PAM ＋S △PBM ＝12|AM |·|PA |＋12|BM |·|PB |.又|AM |＝|BM |＝2，|PA |＝|PB |，所以S ＝2|PA |.而|PA |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，即S ＝2|PM |2－4.因此，要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值．又|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以S min ＝2|PM |2min －4＝232－4＝2 5.19．(13分)为适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 向正东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ，从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离．解：以O 为坐标原点，过OB ，OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1.因为点B (8,0)，C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y8＝1，即x ＋y ＝8.作直线l 与直线BC 平行，当l 与圆O 相切时，距BC 较近的一条切线与圆的切点即为满足题意的点D ，当DE ⊥BC 时，DE 最短，最短距离为|0＋0－8|2－1＝(42－1)(km)．20．(14分)已知圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0及点Q (－2,3)． (1)若点P (m ，m ＋1)在圆C 上，求直线PQ 的方程； (2)若M 是圆C 上任一点，求|MQ |的最大值和最小值；(3)若点N (a ，b )满足关系a 2＋b 2－4a －14b ＋45＝0，求u ＝b －3a ＋2的最大值和最小值．解：将圆C 的方程变形，得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 为(2,7)．(1)因为点P (m ，m ＋1)在圆C 上，所以将点P 的坐标代入圆C 的方程，得(m －2)2＋(m ＋1－7)2＝8，解得m ＝4.∴点P 的坐标为(4,5)，∴经过P 、Q 两点的直线方程为y －5＝5－34－－(x －4)，即x －3y ＋11＝0.(2)经过Q 、C 两点的直线方程为y －3＝7－32－－[x －(－2)]，即y ＝x ＋5.M 是圆C 上任一点，要使点M 到点Q 的距离达到最大或最小，点M 必是直线QC 与圆C 的交点，因此解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋5，x －2＋y －2＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝9.所以，得到M ′(0,5)，M ″(4,9)．故|MQ |min ＝|M ′Q |＝＋2＋－2＝2 2，|MQ |max ＝|M ″Q |＝＋2＋－2＝6 2.(3)由题意可得，点N 在圆C 上，因此求u 的最大值与最小值，就是求直线NQ 的斜率的最大值与最小值，也就是求过点Q ，且与圆C 相切的直线的斜率．设直线NQ 的斜率为k ，则直线NQ 的方程为：y ＝kx ＋2k ＋3，将y ＝kx ＋2k ＋3代入圆C 的方程，并化简得(1＋k 2)x 2＋(4k 2－8k －4)x ＋4k 2－16k ＋12＝0，令Δ＝(4k 2－8k －4)2－4(1＋k 2)(4k 2－16k ＋12)＝0，解得k ＝2± 3，所以u max ＝2＋ 3，u min ＝2－ 3.21．(14分)设平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R )的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C .求：(1)实数b 的取值范围； (2)圆C 的方程；(3)问圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论．解：(1)令x ＝0，得二次函数与y 轴交点是(0，b )；令f (x )＝0，得x 2＋2x ＋b ＝0，由题意b ≠0且Δ>0，解得b <1且b ≠0.(2)设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0，这与x 2＋2x ＋b ＝0是同一个方程，故D ＝2，F ＝b .令x ＝0得y 2＋Ey ＋b ＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝－b －1.所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0. (3)圆C 必过定点(0,1)和(－2,1)．证明如下：将(0,1)代入圆C 的方程，左边＝02＋12＋2×0－(b ＋1)＋b ＝0，右边＝0.所以圆C 必过定点(0,1)．同理可证圆C 必过定点(－2,1)．。

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