苏州市2019年中考《坐标系中三角形周长最小值问题》复习指导
2019-2020年中考数学备考专题复习动点综合问题含解析
答案解析部分
一、单选题
【答案】B
【考点】圆周角定理，点与圆的位置关系
【解析】【解答】解:
∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵∠PAB=∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
A、
B、
C、
D、
10、（xx•西宁）如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C= ，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（ ）
A、18cm2
(1)求二次函数y=﹣x2+bx+c的表达式；
(2)连接BC，当t= 时，求△BCP的面积；
(3)如图2，动点P从A出发时，动点Q同时从O出发，在线段OA上沿O→A的方向以1个单位长度的速度运动．当点P与B重合时，P、Q两点同时停止运动，连接DQ，PQ，将△DPQ沿直线PC折叠得到△DPE．在运动过程中，设△DPE和△OAB重合部分的面积为S，直接写出S与t的函数关系及t的取值范围．
17、（xx•日照）如图，直线y=﹣ 与x轴、y轴分别交于点A、B；点Q是以C（0，﹣1）为圆心、1为半径的圆上一动点，过Q点的切线交线段AB于点P，则线段PQ的最小是________．
苏州市2019年中考数学《三角形中位线》拓展课本例题
精心设计 重在思维 勤于训练
——从一道题目的拓展训练说起
三角形中位线是初中数学中的重点也是难点之一笔者通过精心的教学设计，为学生编织有效的知识，达到了事半功倍的教学效果.现呈现如下，旨在与大家交流提高.
一、例题及跟进训练
例题如图1，在ABC V 中，M 是BC 的中点，AB CD =，F 是AD 的中点，MF 的延长线交BA 的延长线于E 点，求证:AE AF =.
略解 如图2，连BD ，取BD 中点P ，连PF 、PM ，则有
//PF AB ，12
PF AB =
; //PM CD ，12
PM CD =. PFM E ∴∠=∠，PMF MFC ∠=∠. AB CD =Q ，PF PM ∴=.
PFM PMF ∴∠=∠,
E MFC AFE ∴∠=∠=∠,
AE AF ∴=.
反思 在本问题的解答过程中，由中点产生联想，构造中位线，将看似本无关联的两条线段联系在一起，是解决问题的关键.为帮助学生熟识此“模式”，笔者安排了以下跟进训练.
训练1 如图3，在四边形ABCD 中，AB DC =，E 、F 分别为AD 和BC 的中点，FE 的延长线分别交CD 的延长线和BA 的延长线于点N 、M .求证:BMF CNF ∠=∠.
略解 连AC (或BD )并取其中点P ，再连PE 、PF ，如图4.利用例题方法很容易得结论.
反思 从学生的反馈来看，学生还处在简单的模仿期，能否创新，并内化为自己的能力还有待检验考核.于是进一步探讨下面的问题:
训练2 如图5，在ABC V 中，AC AB >，在它的两边AB ，AC 上分别截取BD CE =，F 、G 分别是BC ，DE 的中点，又AT 是BAC ∠的平分线.求证://FG AT .
中考函数压轴--最值问题(19年真题干货)
函数压轴题之最值问题
【2019 深圳】如图抛物线经y=ax2+bx+c过点A（-1，0），点C（0，3），且OB=OC ．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点D、E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值；（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形APBC面积分为3∶5两部分，求点P的坐标．
【2019 陇南】如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A（-3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
【2019 庆阳】如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
中考《坐标系中三角形周长最小值问题》复习指导
OA2 OC 2 10 ，
直线 AC 的解析式为 y 3x 3 .
如图 4，作点 B 关于直线 AC 的对称点 B ，连接 B D ,交 AC 于点 M ，则 BDM 即为 符合题意的周长最小的三角形 .(证明如下 :不妨在直线 AC 上取异于点 M 的任一点 M ，连 接 B M , DM , BM . 由 对 称 性 可 知 : BM B M , BM B M ， 于 是 BDM 的 周 长
联立解方程组
9
y
4x 13
48
x
13 ，得
35 ，所以 M 点的坐标为 ( 9 ,132) .
132
35 35
y 3x 3
y
35
点评 本例三角形的三个顶点中， 点 M 为动点， 点 B 、 D 均为定点， 且均位于动点 M 所在直线 AC 的同一侧 .通过寻找定点 B 关于动点 M 所在直线 AC 的对称点 B ,将问题转 化为“求定直线 AC 上一动点 M 与直线异侧两定点 B , B 的距离和的最小值” ，从而可利用 “三角形任意两边之和大于第三边” 加似解决 (当 B 、M 、D 三点共线， 即点 M 为直线 B D 与直线 AC 的交点时， DM BM 的值最小，此时 BDM 的周长最小 ).
1 m2 2 ， 故 8
P D P 2F, PDE 的周长 = DE EP PD DE EP PF 2 .
16 中考专题三角形周长求最值问题-2022年中考数学之二次函数重点题型专题(全国通用版)(原卷版)
专题16 三角形周长求最值问题
1．
（2021·四川成都龙泉驿·九年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点(1,4)M -，与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴交于点(0,3)C -，与直线2y kx k =--相交于D ，E 两点．
（1）求抛物线的函数表达式； （2）当5BDE ADE S S =△△时，求k 的值；
（3）如图2，作//DF y 轴交EM 的延长线于F ，当ACF 的周长最小时，求点F 的坐标．
2．
（2021·湖北大冶·中考二模）如图，抛物线的顶点为()0,1A -，与x 轴交于点()
B -，点()0,1F 为y 轴上的一个定点．点()P m n ,是抛物线上一动点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）已知直线l 是过点()0,3C -且垂直于y 轴的定直线，若点()P m n ,到直线l 的距离为d ，求证：PF d =； （3）已知坐标平面内一点()2,3D ，求PDF 周长的最小值，并求出此时P 点坐标．
3．如图，对称轴为直线1x =-的二次函数2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，
B 点的坐标为(1，0)． （1）求此二次函数的解析式；
（2）在直线1x =-上找一点P ，使PBC 的周长最小，并求出点P 的坐标；
（3）若第二象限的且横坐标为t 的点Q 在此二次函数的图象上，则当t 为何值时，四边形AQCB 的面积最
大？最大面积是多少？
4．（2021·辽宁沈阳·中考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线333=-
2019年苏州市中考一轮复习第28讲《尺规作图》讲学案
2019年中考数学一轮复习第28讲《尺规作图》
【考点解析】 知识点一 基本作图
【例题】 (2019年浙江丽水)用直尺和圆规作Rt△ABC 斜边AB 上的高线CD ，以下四个作图中，作法错误的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】作图—复杂作图．
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解．
【解答】解：A 、根据垂径定理作图的方法可知，CD 是Rt△ABC 斜边AB 上的高线，不符合题意； B 、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD 是Rt△ABC 斜边AB 上的高线，不符合题意； C 、根据相交两圆的公共弦的性质可知，CD 是Rt△ABC 斜边AB 上的高线，不符合题意； D 、无法证明CD 是Rt△ABC 斜边AB 上的高线，符合题意． 故选：D ． 【变式】
（2019·广东深圳）如图，在□ABCD 中，,5,3==BC AB 以点B 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交
BC BA 、于点Q P 、，再分别以Q P 、为圆心，以大于PQ 2
1
的长为半径作弧，两弧在ABC ∠内交于点
M ，连接BM 并延长交AD 于点E ，则DE 的长为_________.
答案：.2
考点：角平分线的作法，等角对等边，平行四边形的性质。 解析：依题意，可知，BE 为角平分线，所以，∠ABE＝∠CBE ， 又AD∥BC，所以，∠AEB＝∠CBE，所以，∠AEB＝∠ABE，AE ＝AB ＝3， AD ＝BC ＝5，所以，DE ＝5－3＝2。
知识点二 基本作图的实际应用
【例题】（2019吉林长春）如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D；连结CD．若AB=6，AC=4，则△ACD的周长为10 ．
2019届初三数学中考复习【动点或最值问题】专题练及答案(20190731132835)
2019届初三数学中考复习
【动点或最值问题】专题复习训练题
一、选择题
1．如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l 对称，Ｄ为线段BC′上一动点，则AD＋CD的最小值是（)
A．４B．３2C．２3D．2＋3
2．如图，直线y＝2
3
x＋４与x轴、ｙ轴分别交于点A和点B，点C，Ｄ分别为线段AB，
OB的中点，点P为OA上一动点，PC＋PD值最小时点P的坐标为（)
A．(－3，0)B．(－6，0)C．(－3
2
，0)D．(－
5
2
，0)
3．已知a≥2，ｍ2－2am＋2＝0，ｎ2－2an＋2＝0，则(m－1)2＋(n－1)2的最小值是（) A．６B．３C．－３D．０
4．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为(3，4)，Ｄ是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（)
A．(3，1)B．(3，4
3
)C．(3，
5
3
)D．(3，2)
5．如图，在△ABC中，∠B＝90°，tanC＝3
4
，AB＝６cm.动点P从点A开始沿边AB向
点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Ｑ两点分别从A，Ｂ两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（)
A．18cm2B．12cm2C．９cm2D．３cm2
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2.P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE＝1，连接CE.P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B
时，P 停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S 1＋Ｓ2的大小变化情况是（)
2019人教版中考数学总复习学案专题一第4节动点或最值问题
第4节 动点或最值问题
动点问题
【例1】 (2019·乐山)如图，在反比例函数y ＝－2
x
的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的
另一支于点B ，在第一象限内有一点C ，满足AC ＝BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数y ＝k
x
的图象上运动．若
tan ∠CAB ＝2，则k 的值为( D )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
分析：连接OC ，过点A 作AE⊥y 轴于点E ，过点C 作CF⊥x 轴于点F ，可证△AOE∽△COF，则AE OF ＝
OE
CF
＝AO CO ，再由tan ∠CAB ＝CO
AO ＝2，可得CF·OF＝8，由此可得结论．
最值问题
【例2】 (2019·雅安)如图，在矩形ABCD 中，AD ＝6，AE ⊥BD ，垂足为E ，ED ＝3BE ，点P ，Q 分别在BD ，AD 上，则AP ＋PQ 的最小值为( D )
A ．2 2 B. 2 C ．2 3 D ．3 3
分析：由相似求出DE ，BE 的长，设A 点关于BD 的对称点A′，连接A′D，A ′P ，则A′P＋PQ ＝AP ＋PQ ，可证△ADA′为等边三角形，可知当A′Q⊥AD 时AP ＋PQ 最小，即为等边△ADA′的高，求之即可．
1．(导学号 59042278)(2019·龙岩)如图，在周长为12的菱形ABCD 中，AE ＝1，AF ＝2，若P 为对角线BD 上一动点，则EP ＋FP 的最小值为( C )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
,第1题图) ,第2题图)
2．(导学号 59042279)(2019·娄底)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D 沿BC 自B 向C 运动(点D 与点B ，C 不重合)，作BE⊥AD 于点E ，CF ⊥AD 于点F ，则BE ＋CF 的值( C )
2019年中考数学动点最值问题
2019年中考数学动点最值问题
班级姓名
一、选择题
1.如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小
时，∠EAF的度数为 ( )
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
2.如图，在矩形ABCD中，AD=4，∠DAC=30°，点P，E分别在AC，AD上，则PE＋PD的最小值是 ( )
8
A.2
B.23
C.4
D.3
3
3.如图，∠AOB=30°，点P是∠AOB内的一个定点，OP=20cm，点C、D分别是OA、OB上的动点，连结CP、
DP、CD，则△CPD周长的最小值为( )
A.10cm
B.15cm
C.20cm
D.40cm
4.如图Rt△ABC中,AB=BC=4,D为BC的中点,在AC边上存在一点E,连接ED,EB,则△BDE周长的最小值为
（）
A.2
B.2
C.2+2
D.2+2
5.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,点B的坐标为（3,4）,D是OA的中点，点E在AB上,当△CDE
的周长最小时,点E的坐标为（）
A．（3，1） B．（3，） C．（3，） D．（3，2）
6.小明是我校手工社团的一员,他在做折纸手工,如图所示在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是BC的中点,点F
是边CD上的任意一点,△AEF的周长最小时,则DF的长为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
7.如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上.顶点B的坐标为（3,），点C的坐标
为（0.5,0）,点P为斜边OB上的一个动点,则PA+PC的最小值为（）
2019年中考数学复习 动点最值问题压轴题 考点突破训练(有答案)
2019年中考数学复习 动点、最值问题压轴题
考点突破训练
一、选择题
1. 如图，已知菱形ABCD 的周长为16，面积为83，E 为AB 的中点，若P 为对角线BD 上一动点，则EP ＋AP 的最小值为( )
A ．2 3
B ．2 5
C ． 3
D ． 5
2. 如图，直线y ＝2
3x ＋4与x 轴，y 轴分别交于点A 和点B ，点C ，D 分别为线段AB ，OB 的中点，点P
为OA 上一动点，当PC ＋PD 值最小时，点P 的坐标为( ) A ．(－3，0) B ．(－6，0)
C.(－32，0) D ．(－5
2
，0)
3. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝2 cm ，点P 在边AC 上，从点A 向点C 移动，点Q 在边CB 上，从点C 向点B 移动．若点P ，Q 均以1 cm/s 的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ ，则线段PQ 的最小值是( ) A ．20 cm B ．18 cm C ．2 5 cm D ．3 2 cm
4. 已知抛物线y ＝1
4x 2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x 轴的距离始终相
等，如图，点M 的坐标为(3，3)，P 是抛物线y ＝1
4x 2＋1上一个动点，则△PMF 周长的最小值是( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
5. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，AD 平分∠CAB ，交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE ＋EF 的最小值为( ) A.403 B.154 C.24
中考专项复习学案 ---最值问题之三角形三边关系
我们利用三角形三边关系来解题，但这个构造出来的三角形是有条件的，即“这个三角形有两条边为定值，另外一边为需要我们求的那条边”。
【巩固练习】
1、如图，∠MON=90°，边长为2的等边三角形ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离为____________.
10、问题情境：如图1，P是⊙0外的一点，直线PO分别交⊙0于点A、B，则PA是点P到⊙0上的点的最短距离.
（1）探究：
如图2，在⊙0上任取一点C（不为点A、B重合），连接PC、OC.试证明：PA<PC.
（2）直接运用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是 上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是______________.
∴滑动的距离为6（ ﹣1）；
（2）设点C的坐标为（x，y），过C作CE⊥x轴，CD⊥y轴，垂足分别为E，D，如图3：
则OE＝﹣x，OD＝y，
∵∠ACE+∠BCE＝90°，∠DCB+∠BCE＝90°，
∴∠ACE＝∠DCB，
又∵∠AEC＝∠BDC＝90°，
∴△ACE∽△BCD，
∴ ，即 ，
∴y＝﹣ x，
则由三角形面积公式得， ×AB×CM＝ ×OA×BC，
2019年中考二轮专题复习《平面几何最值问题的解法》教学案
平面几何最值问题的解法
平面几何的最值问题多为在存在动点或者不确定的位置关系的情况下求最值，有两种解题思路，一个是通过几何图形的性质实现对位置的确定，另一个是通过数量关系实现最值问题的解答. 一、利用对称性质，实现问题简单化
图形经过某一点或者轴对称之后，就会有很多固有的由对称产生的等量关系，不同的对称性(如中心对称、轴对称等)也有独特的对称性质.合理地利用相应的性质会使问题得到简化，这会给解题带来很大的帮助.
例1 在如图所示的平面直角坐标系中，在:轴的正半轴上有一点A ，B 的坐标为，点C 的坐标为1(,0)2
，三点构成直角三角形OAB ，斜边OB 上有一个动点P ，求PA PC +的最小值.
解析 我们利用对称的性质，会使解题息路得到转化.如右图所示，以OB 为轴，作点A 的对称点D ，连接AD 交OB 于点M .有AP DP =恒成立.利用三角形关系中两边之和大于第三边可得出当P 在DC
连线上时取得最小值，即为图中所示的情形，只要求出CD 的长即可.根据B 点坐标可求出AB =，
OB =由三角形面积不同求法间的等量关系可得出32AM =
.故13
22
AN AD ==，由C 点坐标可求
出1CN =.由勾股定理可求出2
DC =
，此值即为所求PA PC +的最小值. 点拨 本题中是作直线的对称点，实现直线同侧点到异侧点的转化，这是我们在解题中常遇到的情况以及常见的解题方法.对称性的应用注重于问题的解题技巧，目的是通过对称性使复杂的问题简单化. 二、构造不等关系，巧用基本不等式
对于平面几何问题，不等关系的构造是离不开几何图形本身的数量关系的.想要利用基本不等式求解，学生需要在图形中找出满足不等式的条件，这不光对于学生的平面几何知识有考查，还要学生深入理解不等式的相关知识.
2019年苏州市中考一轮复习第28讲《尺规作图》讲学案
2019年中考数学一轮复习第28讲《尺规作图》
【考点解析】 知识点一 基本作图
【例题】 (2019年浙江丽水)用直尺和圆规作Rt△ABC 斜边AB 上的高线CD ，以下四个作图中，作法错误的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】作图—复杂作图．
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解．
【解答】解：A 、根据垂径定理作图的方法可知，CD 是Rt△ABC 斜边AB 上的高线，不符合题意； B 、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD 是Rt△ABC 斜边AB 上的高线，不符合题意； C 、根据相交两圆的公共弦的性质可知，CD 是Rt△ABC 斜边AB 上的高线，不符合题意； D 、无法证明CD 是Rt△ABC 斜边AB 上的高线，符合题意． 故选：D ． 【变式】
（2019·广东深圳）如图，在□ABCD 中，,5,3==BC AB 以点B 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交
BC BA 、于点Q P 、，再分别以Q P 、为圆心，以大于PQ 2
1
的长为半径作弧，两弧在ABC ∠内交于点
M ，连接BM 并延长交AD 于点E ，则DE 的长为_________.
答案：.2
考点：角平分线的作法，等角对等边，平行四边形的性质。 解析：依题意，可知，BE 为角平分线，所以，∠ABE＝∠CBE ， 又AD∥BC，所以，∠AEB＝∠CBE，所以，∠AEB＝∠ABE，AE ＝AB ＝3， AD ＝BC ＝5，所以，DE ＝5－3＝2。
知识点二 基本作图的实际应用
【例题】（2019吉林长春）如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D；连结CD．若AB=6，AC=4，则△ACD的周长为10 ．
2019数学中考复习——二次函数周长最小问题(含答案)
二次函数中周长最小问题
抛物线中三角形周长最小问题的求法：
.B 砺模或1将军饮马问题(即寻找对称点的方法) /'
如图,在直线/的同侧有a 8网点,在/上求作一点尸,使8f+产出及/‘
的值最小. 二7^
方法：作/点关于,的时称点⑷,连接/田与,的交点F即为所求. j 模型应用:如图,抛物线尸-2#+3与a轴交于0), 8(-3.
0),与尸轴交于点CS, 3),在抛物线的对称轴上,是否存在点.,使得△ OIC的
周长最小？
力法小结：周长最小问题潞径最小问题常化归为.将军饮马〞数学模
型,两条线段之差最大,常利用三角形三边关系,此时三点共线.
专题练习
1 .如图,抛物线y=ax2—4x+ c经过点A (0, —6)和B (3, —9).
(1)求抛物线的解析式；
(2)写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标；
(3)点P (m, m)与点Q均在抛物线上(其中m>0),且这两点关于抛物线的对称轴对称,求m的值及点Q的坐标;
(4)在满足(3)的情况下,在抛物线的对称轴上寻找一点M,使得4QMA的周长最小.
解：(1)依题意有
ax02-4x0+c= - 6 ax32—4x3+ c= -9
c= -6
即
9a — 12+c=—9
a= 1
,抛物线的解析式为：y=x2—4x—6 ................................................................... 5分
(2)把y= x2—4x— 6 配方,得y=(x — 2)2—10
,对称轴方程为x= 2 ............................................................................................. 7分
【中考专题】2019年 中考数学 专题复习 最小值问题(含答案)
2019年中考数学专题复习最小值问题
一、选择题
1.如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（）
A．B．2C．2D．
2.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=1，E为BC的中点，则对角线BD上的动点P到E、C两点的距离之和的最小值为（）
3.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点．PC＋PD值最小时点P的坐标为( )
A．(-3，0) B．(-6，0 ) C．(-1.5，0) D．(-2.5，0)
4.如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CA,CB分别相交于点P，Q,则线段PQ的最小值（）
A．5 B．4C．4.75 D．4.8
5.如图，在Rt △ABC中,AB⊥BC，AB=10,BC=8，点D是AB上一点，且AD = 4，点E为AC上一动点，将△ADE沿DE翻折得到△A/DE,连接A/C,则A/C的最小值为( )
A．B．5 C．6 D．
二、填空题
6.如图,已知直线y=,A(,0)，点P在直线上,当PA最小时,P坐标为： .
7.如图，已知⊙A半径为3，A(4，5),P在x轴上为一动点，过P作PB切⊙A于B点，则PB最小值为，此时B坐标为： .
8.如图，已知AB为O直径，AB=4，C为半圆三等分点，D为弧BC中点，在直径上找一点P，使PC+PD最小，则最小值等于 .
9.如图,已知⊙C半径为2,OA=OB=4,P在⊙C上为一动点,连接PA,交y轴于E点,则ABE面积的最大值为；最小值为 .
中考《坐标系中三角形周长最小值问题》复习指导
利“刃”在手亿“折”成“直”
—例析坐标系中三角形周长最小值问题
在近几年的各地中考中，与线段相关的最值问题频频出现，已然成为一道亮丽的风景线.而其中以平面直角坐标系为载体来设计三角形周长最小值问题，更是中考命题所关注的热点之一本文以近几年中考题为例，归纳其类型与解法，供参考.
1.三角形的三个顶点中仅有一个顶点是动点
例1 (2015年河南省，有改动)如图1，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上点A 、C 间的一个动点(含端点)，过点P 作PF BC ⊥于点F .点D 、E 的坐标分别为(0,6),(-4,0)，连接,,PD PE DE .是否存在点P ，使PDE ∆的周长最小?若存在，求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由.
分析 存在.理由:易求抛物线的解析式为2188
y x =-+.设21(,8)8
P m m -+(80)m -≤≤，
则2221118(8),2888PF m m PD m =--+===+，故2P D P F
=+, PDE ∆的周长=2DE EP PD DE EP PF ++=+++. 如图2，过E 点作EG BC ⊥于点G .当,,E P F 三点共线，即点P 为EG 与抛物线的交点时，EP PF +的值最小，此时214,(4)868P E P x x y ==-=-⨯-+=，所以PDE ∆周长最小时点P 的坐标为(-4,6).
点评 本例三角形的三个顶点中，点P 为动点，点,D E 均为定点.由于DE 的长为定值，欲使PDE ∆的周长最小，只需满足PD PE +的值最小即可.进而利用“点P 运动的过程中，PD 与PF 的差为定值”这一有力武器，将问题转化为“求定直线BC 上一动点F 与直线外一定点E 的距离的最小值”，最终借助“连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”确定点P 的位置.
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利“刃”在手亿“折”成“直”
—例析坐标系中三角形周长最小值问题
在近几年的各地中考中，与线段相关的最值问题频频出现，已然成为一道亮丽的风景线.而其中以平面直角坐标系为载体来设计三角形周长最小值问题，更是中考命题所关注的热点之一本文以近几年中考题为例，归纳其类型与解法，供参考.
1.三角形的三个顶点中仅有一个顶点是动点
例1 (2019年河南省，有改动)如图1，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上点A 、C 间的一个动点(含端点)，过点P 作PF BC ⊥于点F .点D 、E 的坐标分别为(0,6),(-4,0)，连接,,PD PE DE .是否存在点P ，使PDE ∆的周长最小?若存在，求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由.
分析 存在.理由:易求抛物线的解析式为2188y x =-+.设21(,8)8
P m m -+(80)m -≤≤，
则2221118(8),2888PF m m PD m =--+===+，故2PD PF =+, PDE ∆的周长=2DE EP PD DE EP PF ++=+++.
如图2，过E 点作EG BC ⊥于点G .当,,E P F 三点共线，即点P 为EG 与抛物线的交点时，
EP PF +的值最小，此时214,(4)868
P E P x x y ==-=-⨯-+=，所以PDE ∆周长最小时点P 的坐标为(-4,6).
点评 本例三角形的三个顶点中，点P 为动点，点,D E 均为定点.由于DE 的长为定值，欲使PDE ∆的周长最小，只需满足PD PE +的值最小即可.进而利用“点P 运动的过程中，PD 与PF 的差为定值”这一有力武器，将问题转化为“求定直线BC 上一动点F 与直线外一定点E 的距离的最小值”，最终借助“连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”确定点P 的位置.
例2 (2019年山西省，有改动)如图3，在平面直角坐标系中，抛物线2
23y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点.请在直线AC 上找一点M ，使BDM ∆的周长最小，求出M 点的坐标.
分析 易知(1,0),(3,0),(0,3),(1,4)A B C D -，故4,10AB AC ===，直线AC 的解析式为33y x =+.
如图4，作点B 关于直线AC 的对称点B '，连接B D ',交AC 于点M ，则BDM ∆即为符合题意的周长最小的三角形.(证明如下:不妨在直线AC 上取异于点M 的任一点M '，连接,,B M DM BM ''''.由对称性可知:,BM B M BM B M ''''==，于是BDM ∆的周长=B M '+,DM BD BDM '+∆的周长=B M DM BD '''++.而在B DM ''∆中，B M DM B D ''''+>，即B M DM B M DM ''''+>+，所以BDM '∆的周长大于BDM ∆的周长.)
若BB '交AC 于点E ，则
90,22cos 2cos ABE CAO ACO BB BE AB ABE AB ACO '∠=︒-∠=∠==⋅∠=⋅∠
24=⨯=过B '点作B F x '⊥轴于点F ，则362133cos 355
B x BF BB ABE ''=-=-⋅∠=-
=-，
12sin sin 5B y B F BB ABE BB ACO ''''==⋅∠=⋅∠==，故2112(,)55
B '-, 易求直线B D '的解析式为4481313y x =+. 联立解方程组448131333y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，得93513235x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，所以M 点的坐标为9132(,)3535. 点评 本例三角形的三个顶点中，点M 为动点，点B 、D 均为定点，且均位于动点M 所在直线AC 的同一侧.通过寻找定点B 关于动点M 所在直线AC 的对称点B ' ,将问题转化为“求定直线AC 上一动点M 与直线异侧两定点B ',B 的距离和的最小值”，从而可利用“三角形任意两边之和大于第三边”加似解决(当B '、M 、D 三点共线，即点M 为直线B D '与直线AC 的交点时，DM BM +的值最小，此时BDM ∆的周长最小).
2.三角形的三个顶点中有两个顶点是动点
例 3 (2019年湖南张家界，有改动)如图5，抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠过点(0,1)C ，顶点为
(2,3)Q ，
点D 在x 轴正半轴上，且OD OC =.将直线CD 绕点C 逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E ，若点P 是线段QE 上的动点，点F 是线段OD 上的动点，问:在P 点和F 点移动过程中，PCF ∆的周长是否存在最小值?若存在，求出这个最小值;若不存在，请说明理由.
分析 存在.理由:如图6，分别作点C 关于直线,QE x 轴的对称点,C C '''，连接C C '''，交OD 于点F ，交QE 于点P ，则PCF ∆即为符合题意的周长最小的三角形，此时PCF ∆的周长等于线段C C '''的长.(证明如下:不妨在线段OD 上取异于点F 的任一点F '，在线段QE 上取异于点P 的任一点P '，连接,,,,CF CP F P F C P C '''''''''.由轴对称的性质可知P CF ''∆的周长=F C F P P C '''''''++，而F C F P P C '''''''++的值为折线段C P F C '''''---的长，由两点之间线段最短可知F C F P P C C C ''''''''''++>，即P CF ''∆的周长大于PCF ∆的周长.)
如图6，过点Q 作QG y ⊥轴于点G ，过点C '作C H y '⊥轴于点H ，则CGO CHC '∆∆:，可得12CG QG CQ CH C H CC ===''，即2212
CH C H =='.所以4,CH C H '==6C H CH CC ''''=+=.
在Rt C HC '''∆中，C C '''===
所以，在P 点和F 点移动过程中，PCF ∆的周长存在最小值，最小值为 点评 本例三角形的三个顶点中，点C 为定点，点P 、F 均为动点，且分别在定直线QE 、QD 上，通过寻找定点C 关于两个动点所在直线的对称点C '、C ''，就得到由三条与PCF ∆三边分别相等的线段组成的折线，然后借助“两点之间线段最短”化“折”成“直”(当C '、P 、F 、C ''四点共线，即点P 、F 分别为直线QE 、QD 与直线C C '''的交点时，PCF ∆的周长最小).
3.三角形的三个顶点都是动点
例4 (2019年辽宁沈阳，有改动)如图7，在平面直角坐标系中，抛物线224233
y x x =--+与x 轴交于B 、C 两点(点B 在点C 的左侧)，与y 轴交于点A .若点P 是线段BC 上的动点(点P 不与点B 、C 重合)，点Q 是线段AB 上的动点(点Q 不与点A 、B 重合)点R 是线段AC 上的动点(点R 不与点A 、C 重合)，请直接写出PQR ∆周长的最小值.