苏州市2019年中考《坐标系中三角形周长最小值问题》复习指导
苏州市2019年中考数学《三角形中位线》拓展课本例题
精心设计 重在思维 勤于训练——从一道题目的拓展训练说起三角形中位线是初中数学中的重点也是难点之一笔者通过精心的教学设计，为学生编织有效的知识，达到了事半功倍的教学效果.现呈现如下，旨在与大家交流提高.一、例题及跟进训练例题如图1，在ABC V 中，M 是BC 的中点，AB CD =，F 是AD 的中点，MF 的延长线交BA 的延长线于E 点，求证:AE AF =.略解 如图2，连BD ，取BD 中点P ，连PF 、PM ，则有//PF AB ，12PF AB =; //PM CD ，12PM CD =. PFM E ∴∠=∠，PMF MFC ∠=∠. AB CD =Q ，PF PM ∴=.PFM PMF ∴∠=∠,E MFC AFE ∴∠=∠=∠,AE AF ∴=.反思 在本问题的解答过程中，由中点产生联想，构造中位线，将看似本无关联的两条线段联系在一起，是解决问题的关键.为帮助学生熟识此“模式”，笔者安排了以下跟进训练.训练1 如图3，在四边形ABCD 中，AB DC =，E 、F 分别为AD 和BC 的中点，FE 的延长线分别交CD 的延长线和BA 的延长线于点N 、M .求证:BMF CNF ∠=∠.略解 连AC (或BD )并取其中点P ，再连PE 、PF ，如图4.利用例题方法很容易得结论.反思 从学生的反馈来看，学生还处在简单的模仿期，能否创新，并内化为自己的能力还有待检验考核.于是进一步探讨下面的问题:训练2 如图5，在ABC V 中，AC AB >，在它的两边AB ，AC 上分别截取BD CE =，F 、G 分别是BC ，DE 的中点，又AT 是BAC ∠的平分线.求证://FG AT .略解 方法1:如图6，连DC ，并取其中点P ，再连PG 、PF ，延长FG 、BA 交于点M ，FG 交AC 于点N .则易用类似例题方法证得//FG AT .方法2:如图7，连结DF ，并延长到H 点，使FH DF =，连CH 、EH ，则有BDF CHF ≅V V ,得BD CH =，B BCH ∠=∠,CE CH ∴=，.CEH CHE ∴∠=∠.由三角形内角和定理，知CEH CHE BAC ∠+∠=∠,于是由TAC HEC ∠=∠ ,得//FG AT .方法3:如图8，过D 点作AT 的垂线分别交AT 、AC 于M 、P 点，过B 点作AT 的垂线分别交AT 、AC 于N 、Q 点，连MG 、NF .由AT 是BAC ∠的平分线，很容易得:M 、N 分别为DP 、BQ 的中点，BD PQ CE ==,PE CQ ∴=.F 、G 分别是BC 、DE 的中点，//MG AC ∴，12MG PE =, //NF AC ，12NF CQ =, //MG NF ∴，且MG NF =.∴四边形MNFG 为平行四边形，故得结论//FG AT .反思 方法1构造中点在预设之中，延长FG 与BA 交于M 点在生成之外.显然是学生在模仿利用了前面的经验而构造的中点，在矛盾冲突中才尝试构造出延长线.这是学生一个很大的进步和创新.训练2比训练1又进了一个梯度，这能真实的反映学生的点滴收获.方法2比方法1更有创意.事实上，利用F 这个中点构造全等三角形是我们常讲的方法，也是学生能熟练运用的方法.解法3是最能体现命题者意图的方法，其中涉及角平分线，作垂线，等腰三角形“三线合一”性质，是我们解决此类问题的有效思路.二、课内练习1.已知:如图9，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=︒，D 为AB 中点，连CD .求证: 12CD AB =.设置这个问题，因为它是一个简单的与中点有关的重要问题，实际上就是后面将要学习的“直角三角形斜边中线等于斜边一半”的问题.学生的表现可谓精彩纷呈:学生1:如图10，延长CD 到E ，使DE CD =，连AE .学生2:如图11，延长AC 到F ，使CF AC =，连BF .学生3:如图12，延长BC 到G ，使CG BC =，连AG ，…2.已知:ACB V 和AED V 都是等腰直角三角形，90AED ACB ∠=∠=︒，M 、N 分别是BD 、CE 的中点.①如图13，若D 点在线段AB 上，判断MN 与CE 之间的关系，并说明理由.学生1:如图14，连EM 并延长到F ，使MF ME =，连FC ，则有EDM FBM ≅V V ，得BF DE AE ==.由EAC FBC ≅V V ，得CF EC =，因MN 是EFC V 的中位线而得MN EC ⊥，且12MN EC =.学生2:如图15，连CM 并延长到G ，使MG CG =，连EG ，类似同学1方法得结论.学生3:如图16，连DN 并延长到H ，使NH DN =，连BH .(实际上在问题解决的过程中，我们发现:H 点在线段AC 上，因此可以优化辅助线作法:连DN 并延长交AC 于H 点，连BH .)学生4:如图17，延长EA 、BN 交于点P ，连DP ，则可证AEC EDP ≅V V ，得EP AC BC ==;再证ENP CNB ≅V 得N 为BP 中点，利用中位线得结论.②如图18，将图13中的AED V 绕A 点逆时针旋转一个锐角，①的结论是否仍然成立?请说明理由.利用前面经验和方法，可以类似解决，不再赘述.三、课后反思1.提倡自主学习，是我们的共识自主学习是提高学习成绩的最佳策略.教师有效的教会学生怎样解题，培养学生基本数学素养和能力是我们的目的.我们教会学生做一千道题，但当一千零一道题出现时，学生可能还是不会，所以教学中要强调教会学生掌握必要的数学思想方法.这是新课标将“三基”扩展到“四基”的初衷，也是我们的共同追求.2.恰当设置问题，是激活学生思维的最好平台实践证明，一题多解，变式训练，都是培养学生数学思维的有效的途径或手段.上述在解决中位线这个比较难的问题时，教师组合了一个问题串，传递的信息有很强的指向性:连线段，取中点，作中位线，改变问题呈现形式，循序渐进，逐层推进，高频率，强刺激，收到了很好的效果.3.解题常用方法须强化和深化解决线段间的数量关系，是我们常见的问题，学生在解决方法中的表现可谓精彩纷呈:用中心对称的性质旋转变换;轴对称变换;旋转变换等等.多种方法的求解，对提高学生解决问题的能力大有裨益，我们要将常用的解题方法进行强化和深化，以形成一种技能，提高学生的素质.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠C=70°，△AB′C′与△ABC 关于直线 EF 对称，∠CAF=10°，连接 BB′，则∠ABB′的度数是（ ）A.30°B.35°C.40°D.45°2．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，DE ：CE ＝3：4，连接AE 交对角线BD 于点F ，则S △DEF ：S △ADF ：S △ABF 等于（ ）A.3：4：7B.9：16：49C.9：21：49D.3：7：493．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，沿CE 折叠△CDE ，点D 恰好落在AC 的中点F 处，若CD ，则△ACE 的面积为（ ）A ．1BC ．2D ．4．如果实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是（ ）A ．a b <B ．a b >-C ．2a >-D ．b a >5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，斜边AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，已知AB=5，AC=3，则△ACE 的周长为（ ）A.5B.6C.7D.86．如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，其左视图是（）A．B．C．D．7．六个大小相同的正方体搭成的几何体如图，下列选项中不是其三视图的是（）A. B. C. D.8．对于一次函数y＝2x+4，下列结论中正确的是( )①若两点A(x1，y1)，B(x2，y2)在该函数图象上，且x1＜x2，则y1＜y2．②函数的图象不经过第四象限．③函数的图象与x轴的交点坐标是(0，4)．④函数的图象向下平移4个单位长度得y＝2x的图象．A．1个B．2个C．3个D．4个9．若代数式和的值相等，则x的值为（）A．x＝﹣7 B．x＝7 C．x＝﹣5 D．x＝310．下列命题正确的是（）A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形B．两边及其一角相等的两个三角形全等C 3D．数据4，0，4，6，6的方差是4.811．如图1，在矩形ABCD中，AB＜BC，点E为对角线AC上的一个动点，连接BE，DE，过E作EF⊥BC于F．设AE＝x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的( )A.线段BEB.线段EFC.线段CED.线段DE12．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②b ＜a+c ；③2a+b ＝0；④a+b ＞m （am+b ）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题 13．如图a 是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是____________°．14．如图，AOB ∆为等边三角形，点B 的坐标为()2,0-，过点()2,0C 作直线l 交AO 于D ，交AB 于E ，点E 在反比例函数k y x=的图像上，当ADE ∆和DCO ∆的面积相等时，k 的值是__________．15．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝6，AB ＝4，点E 、G 、H 、F 分别在AB 、BC 、CD 、AD 上，且AF ＝CG ＝2，BE ＝DH ＝1，点P 是直线EF 、GH 之间任意一点，连接PE 、PF 、PG 、PH ，则△PEF 和△PGH 的面积和等于________．16．如图所示的网格是正方形网格，△ABC 是_____三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）17．将矩形纸片ABCD如图那样折叠，使顶点B与顶点D重合，折痕为EF．若∠DFC＝70°，则∠DEF＝_____°．18．如图，在△ABC中，D、E为边AB、AC的中点，已知△ADE的面积为4，那么△ABC的面积是_____．三、解答题19．已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题：（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC＝6，PA＝①线段PB＝，PC＝；②直接写出PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系；（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；（3）若动点P满足14PAAB，直接写出PCBC的值：．20．给定关于x的二次函数y＝kx2﹣4kx+3（k≠0），（1）当该二次函数与x轴只有一个公共点时，求k的值；（2）当该二次函数与x轴有2个公共点时，设这两个公共点为A、B，已知AB＝2，求k的值；（3）由于k的变化，该二次函数的图象性质也随之变化，但也有不会变化的性质，某数学学习小组在探究时得出以下结论：①与y轴的交点不变；②对称轴不变；③一定经过两个定点；请判断以上结论是否正确，并说明理由．21．如图，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°的方向上，求C处与灯塔A的距离.22．为了掌握我区中考模拟数学试题的命题质量与难度系数，命题教师选取一个水平相当的初三年级进行调研，将随机抽取的部分学生成绩(得分为整数，满分为130分)分为5组：第一组55∼70；第二组70∼85；第三组85∼100；第四组100∼115；第五组115∼130，统计后得到如图所示的频数分布直方图(每组含最小值不含最大值)和扇形统计图，观察图形的信息，回答下列问题：(1)本次调查共随机抽取了__ _名学生；(2)补全频数分布直方图；(3)将得分转化为等级，规定：得分低于70分评为“D”，70∼100分评为“C”，100∼11评为“B”，115∼130分评为“A”，根据目前的统计，请你估计全区该年级4500名考生中，考试成绩评为“B”级及其以上的学生大约有多少名?23．（1）计算:+--(12sin45（2）化简：22() a b ab baa a--÷-24．为考察甲、乙两种农作物的长势，研究人员分别抽取了6株苗，测得它们的高度（单位：cm）如下：甲：98，102，100，100，101，99；乙：100，103，101，97，100，99．（1）你认为哪种农作物长得高一些？说明理由；（2）你认为哪种农作物长得更整齐一些？说明理由．25．如图，抛物线y＝x2+bx﹣3过点A（1，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P是线段AD上的动点．（1）b＝，抛物线的顶点坐标为；（2）求直线AD的解析式；（3）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，连接AQ，DQ，当△ADQ的面积等于△ABD的面积的一半时，求点Q的坐标．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．105°14．15．716．锐角17．5518．16三、解答题19．（1）①，PA2+PB2＝PQ2，理由详见解析；（2）成立，理由详见解析；（3【解析】【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质出去AB，根据题意求出PB，作CH⊥AB于H，根据直角三角形的性质求出CH，根据勾股定理求出PC；②证明△ACP≌△BCQ，根据全等三角形的性质得到PA＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝45°，得∠PBQ＝90°，根据勾股定理计算；（2）连接BQ，仿照（1）②的方法证明；（3）分点P在线段AB上、点P在线段AB上两种情况，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理计算即可．【详解】解：（1）①∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝6，∴AB＝，∴PB＝AB﹣PA＝﹣＝，作CH ⊥AB 于H ，∵CA ＝CB ，CH ⊥AB ，∴AH ＝HB ＝12AB ＝，CH ＝12AB ＝∴PH ＝AH ﹣AP，∴PC故答案为：；2②PA 2+PB 2＝PQ 2，理由如下：如图①，连接QB ，∵∠ACB ＝∠PCQ ＝90°，∴∠ACP ＝∠BCQ ，在△ACP 和△BCQ 中， CA CB ACP BCQ CP CQ =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△BCQ ，∴PA ＝BQ ，∠CBQ ＝∠CAP ＝45°，∴∠PBQ ＝90°，∴BQ 2+PB 2＝PQ 2，∴PA 2+PB 2＝PQ 2，故答案为：PA 2+PB 2＝PQ 2；（2）如图②，连接BQ ，∵∠ACB ＝∠PCQ ＝90°，∴∠ACP ＝∠BCQ ，在△ACP 和△BCQ 中， CA CB ACP BCQ CP CQ =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△BCQ ，∴PA ＝BQ ，∠CBQ ＝∠CAP ＝45°，∴∠PBQ ＝90°，∴BQ 2+PB 2＝PQ 2，∴PA 2+PB 2＝PQ 2；（3）当点P 在线段AB 上时，由（1）①得，PC AC ==； 当点P 在线段BA 的延长线上时，设BC ＝2x ，则AB ＝，∵△ABC 是等腰直角三角形，CH ⊥AB ，∴AH ＝CH ＝12ABx ， ∵14PA AB =， ∴AB ＝4PA ，∴PA ＝14AB∴PH ＝PA+AH＝x ， 由勾股定理得，PC2x ，∴224PCBC x ==．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的应用，掌握相关的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．20．（1）32（2）1（3）①②③ 【解析】【分析】（1）由抛物线与x 轴只有一个交点，可知△=0；（2）由抛物线与x 轴有两个交点且AB=2，可知A 、B 坐标，代入解析式，可得k 值；（3）通过解析式求出对称轴，与y 轴交点，并根据系数的关系得出判断．【详解】（1）∵二次函数y ＝kx 2﹣4kx+3与x 轴只有一个公共点，∴关于x 的方程kx 2﹣4kx+3＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣4k ）2﹣4×3k＝16k 2﹣12k ＝0，解得：k1＝0，k2＝32，k≠0，∴k＝32；（2）∵AB＝2，抛物线对称轴为x＝2，∴A、B点坐标为（1，0），（3，0），将（1，0）代入解析式，可得k＝1，（3）①∵当x＝0时，y＝3，∴二次函数图象与y轴的交点为（0，3），①正确；②∵抛物线的对称轴为x＝2，∴抛物线的对称轴不变，②正确；③二次函数y＝kx2﹣4kx+3＝k（x2﹣4x）+3，将其看成y关于k的一次函数，令k的系数为0，即x2﹣4x＝0，解得：x1＝0，x2＝4，∴抛物线一定经过两个定点（0，3）和（4，3），③正确．综上可知：正确的结论有①②③．【点睛】本题考查了二次函数的性质，与x、y轴的交点问题，对称轴问题，以及系数与图象的关系问题，是一道很好的综合问题．21．25海里【解析】【分析】根据题中所给信息，求出∠BCA=90°，再求出∠CBA=45°，从而得到△ABC为等腰直角三角形，然后根据等腰三角形的腰长相等即可得出答案．【详解】解：由题意得，∠1=∠2=30°，∵∠ACD=60°，∴∠ACB=90°，∴∠CBA=75°-30°=45°，∴ΔABC为等腰直角三角形，∵BC=50×0.5=25，∴AC=BC=25海里．【点睛】本题考查了等腰直角三角形和方位角，根据方位角求出三角形各角的度数是解题的关键．22．(1) 50；(2)见解析;(3) 1620.【解析】【分析】（1）根据第三组的数据，用人数除以百分数得出结论即可；（2）根据抽取的总人数减去前4组的人数，即可得到第五组的频数，并画图；（3）用样本中考试成绩评为“B”级及其以上的学生数占抽取的总人数的百分比，乘上全区该年级4500名考生数，即可得出结论．【详解】解：（1）20÷40%=50名，故答案为：50；（2）50-4-8-20-14=4，画图如下：(3)(4+14)÷50×4500=1620.答：估计全区该年级4500名考生中，考试成绩评为“B”级及其以上的学生大约有1620名．【点睛】本题主要考查了直方图和扇形图以及用样本估计总体的知识，根据直方图和扇形图中都有的数据求出抽取的学生总数是解决此题的关键．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．23．1;(2)1 a b -【解析】【分析】（1）先化简二次根式，计算零指数幂，代入特殊角的三角函数值，然后合并同类二次根式即可；（2）通分计算括号内分式的减法，然后将除法转化为乘法，分子、分母分解因式后约分即可；【详解】(1)解：原式=122+-⨯1；(2)解：原式=222a b a ab b a a--+÷=()2a b a a a b -⋅- =1a b -． 【点睛】本题考查了含特殊角三角函数的实数运算和分式的混合运算，熟记特殊角三角函数值和分式的运算法则是解决此题的关键．24．甲组数据的平均数为100cm ；乙组数据的平均数为100cm ；（2）甲种农作物长得比较整齐．【解析】【分析】（1）根据平均数的计算公式分别把这6株农作物的高度加起来，再除以6即可；（2）先算出甲与乙的方差，再进行比较，方差越小的，农作物长势越整齐，即可得出答案．【详解】（1）甲组数据的平均数＝16×（98+102+100+100+101+99）＝100（cm ）； 乙组数据的平均数＝16×（100+103+101+97+100+99）＝100（cm ）； （2）s 2甲＝16×[（98﹣100）2+（102﹣100）2+…+（99﹣100）2]＝53； s 2乙＝16×[（100﹣100）2+（103﹣100）2+…+（100﹣99）2]＝103． s 2甲＜s 2乙．所以甲种农作物长得比较整齐．【点睛】本题考查了平均数与方差，一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为x ，则方差()()()2222121n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．25．（1）2 （﹣1，﹣4）；（2）y ＝x ﹣1；（3）Q （0，﹣3）或（﹣1，﹣4）．【解析】【分析】（1）将点A 的坐标代入函数解析式求得b 的值，然后利用配方法将函数解析式转化为顶点式，可以直接求得顶点坐标；（2）结合（1）中抛物线解析式求得点D 的坐标，利用点A 、D 的坐标来求直线AD 解析式；（3）由二次函数图象上点的坐标特征求得点B 的坐标，易得AB ＝4．结合三角形面积公式求得S △ABD ＝6．设P （m ，m ﹣1），Q （m ，m 2+2m ﹣3）．则PQ ＝﹣m 2﹣m+2．利用分割法得到：S △ADQ ＝S △APQ +S △DPQ ＝32PQ ＝32（﹣m 2﹣m+2）．根据已知条件列出方程32（﹣m 2﹣m+2）＝3．通过解方程求得m 的值，即可求得点Q 的坐标． 【详解】解：（1）把A （1，0）代入y ＝x 2+bx ﹣3，得12+b ﹣3＝0．解得b ＝2．故该抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，即y＝（x+1）2﹣4．故顶点坐标是（﹣1，﹣4）．故答案是：2；（﹣1，﹣4）．（2）由（1）知，抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3．当x＝﹣2，则y＝（﹣2）2+2×（﹣2）﹣3＝﹣3，∴点D的坐标是（﹣2，﹣3）．设直线AD的解析式为：y＝kx+t（k≠0）．把A（1，0），D（﹣2，﹣3）分别代入，得23 k tk t+=⎧⎨-+=-⎩．解得k1t1=⎧⎨=-⎩．∴直线AD的解析式为：y＝x﹣1；（3）当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3，∴B（﹣3，0），∴AB＝4．∴S△ABD＝12×4×3＝6．设P（m，m﹣1），Q（m，m2+2m﹣3）．则PQ＝（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣m+2．∴S△ADQ＝S△APQ+S△DPQ＝12PQ•（1﹣m）+12PQ•（m+2）＝32PQ＝32（﹣m2﹣m+2）．当△ADQ的面积等于△ABD的面积的一半时，32（﹣m2﹣m+2）＝3．解得m1＝0，m2＝﹣1．∴Q（0，﹣3）或（﹣1，﹣4）．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1）A ．4B ．﹣4C ．2D ．±22．下列代数运算正确的是（ ）A ．x 3•x 2＝x 5B ．（x 3）2＝x 5C ．（3x ）2＝3x 2D ．（x ﹣1）2＝x 2﹣1 3．函数y =x 的取值范围是（ ） A ．x≥3 B ．x≤7 C ．3≤x≤7 D ．x≤3或x≥74．在2015-2016CBA 常规赛季中，易建联罚球投篮的命中率大约是82.3%，下列说法错误的是（ ）A ．易建联罚球投篮2次，一定全部命中B ．易建联罚球投篮2次，不一定全部命中C ．易建联罚球投篮1次，命中的可能性较大D ．易建联罚球投篮1次，不命中的可能性较小5．有两个一元二次方程M ：ax 2+bx+c ＝0，N ：cx 2+bx+a ＝0，其中a+c ＝0，下列四个结论中，错误的是（ ）A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数根B ．b ＝0时，方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是x ＝1C ．如果5是方程M 的一个根，那么15是方程N 的一个根 D ．ac≠0 6．如果关于x 的不等式组347362x m x x -≤⎧⎪-⎨>-⎪⎩的解集为1x <，且关于x 的分式方程2311mx x x +=--有非负数解，则所有符合条件的整数m 的值之和是（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．27．下列等式，错误的是（ ）A ．（x 2y 3）2＝x 4y 6B ．（﹣xy ）3＝﹣xy 3C ．（3m 2n 2）2＝9m 4n 4D ．（﹣a 2b 3）2＝a 4b 68．下列计算正确的是（ ）A.224·x x x -=B.()224x x -=C.234·x x x =D.()222m n m n -=-9．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，4BC =，则下列三角函数表示正确的是（ ）A ．3tan 4A =B ．4tan 3B =C ．3sin 5A =D ．3cos 5A = 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点(3,6)A -，(9,3)B --，以原点O 为位似中心，相似比为13，把ABO ∆缩小，则点B 的对应点B '的坐标是（ ）A ．(9,1)-或(9,1)-B ．(3,1)--C ．(1,2)-D ．(3,1)--或(3,1)11．半径为r 的圆的内接正六边形边长为( )A ．1r 2BC ．rD ．2r12．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，延长BC 至点D ，使CD ＝13BD ，连接DM 、DN 、MN 、CM ．若AB ＝6，则DN 的值为（ ）A.6B.3C.2D.4 二、填空题13．抛物线的部分图象如图所示,与轴的一个交点坐标为,抛物线的对称轴是直线,下列结论:①;②;③方程有两个不相等的实数根;④抛物线与轴的另一个交点坐标为,其中正确的结论有__________.14．如图，在O 中，»»AB AC =,若40AOB ∠=︒，点D 在O 上，连结CD 、AD ，则ADC ∠=_____︒.15．在创建“平安校园”活动中，郴州市某中学组织学生干部在校门口值日，其中八位同学3月份值日的次数分别是：5，8，7，7，8，6，8，9，则这组数据的众数是_____．16．分解因式：ab 4－4ab 3＋4ab 2＝______________。
中考《坐标系中三角形周长最小值问题》复习指导
1 m2 2 ， 故 8
P D P 2F, PDE 的周长 = DE EP PD DE EP PF 2 .
如图 2，过 E 点作 EG BC 于点 G .当 E, P, F 三点共线， 即点 P 为 EG 与抛物线的交
点时， EP PF 的值最小，此时 xP xE 最小时点 P 的坐标为 (- 4,6).
3
12
24
10
10 .
10
5
过 B 点作 B F x 轴于点 F ，则 xB 3 BF 3 BB cos ABE 3 36 5
21
，
5
3
1
12
21 12
yB
BF
BB sin ABE BB sin ACO
10
10
10
10
，故 B ( , ) ,
5
55
易求直线 B D 的解析式为 y
4 48 x.
13 13
4, yP
1 ( 4)2 8 6 ，所以 PDE 周长 8
点评 本例三角形的三个顶点中， 点 P 为动点，点 D , E 均为定点 .由于 DE 的长为定值，
欲使 PDE 的周长最小，只需满足 PD PE 的值最小即可 .进而利用“点 P 运动的过程中， PD 与 PF 的差为定值” 这一有力武器， 将问题转化为 “求定直线 BC 上一动点 F 与直线外 一定点 E 的距离的最小值” ，最终借助“连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线 段最短”确定点 P 的位置 .
例 1 (2015 年河南省，有改动 )如图 1，边长为 8 的正方形 OABC 的两边在坐标轴上， 以点 C 为顶点的抛物线经过点 A ，点 P 是抛物线上点 A 、C 间的一个动点 (含端点 )，过点 P
2019年江苏省苏州市中考数学试卷附解析
2019年江苏省苏州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.5的相反数是（）A. B. C. 5 D.2.有一组数据：2，2，4，5，7，这组数据的中位数为（）A. 2B. 4C. 5D. 73.苏州是全国重点旅游城市，2018年实现旅游总收入约为26000000万元，数据26000000用科学记数法可表示为（）A. B. C. D.4.如图，已知直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点A，B．若∠1=54°，则∠2等于（）A.B.C.D.5.如图，AB为⊙O的切线，切点为A连接AO、BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD．若∠ABO=36°，则∠ADC的度数为（）A. B. C. D.6.小明用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为x元，根据题意可列出的方程为（）A. B. C. D.7.若一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象经过点A（0，-1），B（1，1），则不等式kx+b＞1的解为（）A. B. C. D.8.如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18m的地面上，若测角仪的高度是1.5m．测得教学楼的顶部A处的仰角为30°．则教学楼的高度是（）A.B. 54mC.D. 18m9.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC=4，BD=16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'．当点A'与点C重合时，点A与点B'之间的距离为（）A. 6B. 8C. 10D. 1210.如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD=AB=2，AD⊥AB．过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E．若DE=1，则△ABC的面积为（）A. B. 4 C. D. 8二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.计算：a2•a3=______．12.因式分解：x2-xy=______．13.若在实数范围内有意义，则x的取值范围为______．14.若a+2b=8，3a+4b=18，则a+b的值为______．15.“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．图①是由边长为10cm的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形．该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为______cm（结果保留根号）．16.如图，将一个棱长为3的正方体的表面涂上红色，再把它分割成棱长为1的小正方体，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为______．17.如图，扇形OAB中，∠AOB=90°．P为弧AB上的一点，过点P作PC⊥OA，垂足为C，PC与AB交于点D．若PD=2，CD=1，则该扇形的半径长为______．18.如图，一块含有45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为8cm，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为cm，则图中阴影部分的面积为______cm2（结果保留根号）．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19.先化简，再求值：÷（1-），其中，x=-3．四、解答题（本大题共9小题，共70.0分）20.计算：（）2+|-2|-（π-2）021.解不等式组：22.在一个不透明的盒子中装有4张卡片，4张卡片的正面分别标有数字1，2，3，4，这些卡片除数字外都相同，将卡片搅匀．（1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是______；（2）先从盒了中任意抽取一张卡片，再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片，求抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率．（请用画树状图或列表等方法求解）．23.某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模、“围棋”四个课外兴趣小组，要求每人必须参加，并且只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出），请你根据给出的信息解答下列问题：（1）求参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；（2）m=______，n=______；（3）若该校共有1200名学生，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人？24.如图，△ABC中，点E在BC边上，AE=AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF=∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．（1）求证：EF=BC；（2）若∠ABC=65°，∠ACB=28°，求∠FGC的度数．25.如图，A为反比例函数y=（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB=4．连接OA，AB，且OA=AB=2．（1）求k的值；（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y=（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，求的值．26.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．（1）求证：DO∥AC；（2）求证：DE•DA=DC2；（3）若tan∠CAD=，求sin∠CDA的值．27.已知矩形ABCD中，AB=5cm，点P为对角线AC上的一点，且AP=2cm．如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着A→B→C的方向匀速运动（不包含点C）．设动点M的运动时间为t（s），△APM的面积为S（cm2），S与t的函数关系如图②所示．（1）直接写出动点M的运动速度为______cm/s，BC的长度为______cm；（2）如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点N从点D 出发，在矩形边上沿着D→C→B的方向匀速运动，设动点N的运动速度为v（cm/s）．已知两动点M，N经过时间x（s）在线段BC上相遇（不包含点C），动点M，N相遇后立即同时停止运动，记此时△APM与△DPN的面积分别为S1（cm2），S2（cm2）①求动点N运动速度v（cm/s）的取值范围；②试探究S1•S2是否存在最大值，若存在，求出S1•S2的最大值并确定运动时间x的值；若不存在，请说明理由．28.如图①，抛物线y=-x2+（a+1）x-a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．（1）求a的值；（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠PAQ=∠AQB，求点Q的坐标．答案和解析1.【答案】D【解析】解：5的相反数是-5．故选：D．根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答．本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．2.【答案】B【解析】解：这组数据排列顺序为：2，2，4，5，7，∴这组数据的中位数为4，故选：B．将数据从小到大重新排列后根据中位数的定义求解可得．本题主要考查中位数，熟练掌握中位数的定义是解题的关键．3.【答案】D【解析】解：将26000000用科学记数法表示为：2.6×107．故选：D．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.【答案】A【解析】解：如图所示：∵a∥b，∠1=54°，∴∠1=∠3=54°，∴∠2=180°-54°=126°．故选：A．直接利用平行线的性质得出∠3的度数，再利用邻补角的性质得出答案．此题主要考查了邻补角的性质以及平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．5.【答案】D【解析】解：∵AB为⊙O的切线，∴∠OAB=90°，∵∠ABO=36°，∴∠AOB=90°-∠ABO=54°，∵OA=OD，∴∠ADC=∠OAD，∵∠AOB=∠ADC+∠OAD，∴∠ADC=∠AOB=27°；故选：D．由切线的性质得出∠OAB=90°，由直角三角形的性质得出∠AOB=90°-∠ABO=54°，由等腰三角形的性质得出∠ADC=∠OAD，再由三角形的外角性质即可得出答案．本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握切线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：设软面笔记本每本售价为x元，根据题意可列出的方程为：=．故选：A．直接利用用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本，得出等式求出答案．此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键．7.【答案】D【解析】解：如图所示：不等式kx+b＞1的解为：x＞1．故选：D．直接利用已知点画出函数图象，利用图象得出答案．此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合分析是解题关键．8.【答案】C【解析】解：过D作DE⊥AB，∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为30°，∴∠ADE=30°，∵BC=DE=18m，∴AE=DE•tan30°=18m，∴AB=AE+BE=AE+CD=18+1.5=19.5m，故选：C．根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．此题考查了仰角的定义．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．9.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=OC=AC=2，OB=OD=BD=8，∵△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'，点A'与点C重合，∴O'C=OA=2，O'B'=OB=8，∠CO'B'=90°，∴AO'=AC+O'C=6，∴AB'===10；故选：C．由菱形的性质得出AC⊥BD，AO=OC=AC=2，OB=OD=BD=8，由平移的性质得出O'C=OA=2，O'B'=OB=8，∠CO'B'=90°，得出AO'=AC+O'C=6，由勾股定理即可得出答案．本题考查了菱形的性质、平移的性质、勾股定理；熟练掌握菱形的性质和平移的性质是解题的关键．10.【答案】B【解析】解：∵AB⊥AD，AD⊥DE，∴∠BAD=∠ADE=90°，∴DE∥AB，∴∠CED=∠CAB，∵∠C=∠C，∴△CED∽△CAB，∵DE=1，AB=2，即DE：AB=1：2，∴S△DEC：S△ACB=1：4，∴S四边形ABDE：S△ACB=3：4，∵S四边形ABDE=S△ABD+S△ADE=×2×2+×2×1=2+1=3，∴S△ACB=4，故选：B．由题意得到三角形DEC与三角形ABC相似，由相似三角形面积之比等于相似比的平方两三角形面积之比，进而求出四边形ABDE与三角形ABC面积之比，求出四边形ABDE面积，即可确定出三角形ABC 面积．此题考查了相似三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．11.【答案】a5【解析】解：a2•a3=a2+3=a5．故答案为：a5．根据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可．熟练掌握同底数的幂的乘法的运算法则是解题的关键．12.【答案】x（x-y）【解析】解：x2-xy=x（x-y）．故答案为：x（x-y）．直接提取公因式x，进而分解因式即可．此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．13.【答案】x≥6【解析】解：若在实数范围内有意义，则x-6≥0，解得：x≥6．故答案为：x≥6．直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．解：∵a+2b=8，3a+4b=18，则a=8-2b，代入3a+4b=18，解得：b=3，则a=2，故a+b=5．故答案为：5．直接利用已知解方程组进而得出答案．此题主要考查了解二元一次方程组，正确掌握解题方法是解题关键．15.【答案】【解析】解：10×10=100（cm2）=（cm）答：该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为cm．故答案为：．观察图形可知该“七巧板”中7块图形之一的正方形面积是大正方形面积的，先根据正方形面积公式求出大正方形面积，从而得到小正方形面积，进一步得到该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长．考查了七巧板，关键是得到该“七巧板”中7块图形之一的正方形面积是大正方形面积的．16.【答案】【解析】解：由题意可得：小立方体一共有27个，恰有三个面涂有红色的有8个，故取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为：．故答案为：．直接根据题意得出恰有三个面涂有红色的有8个，再利用概率公式求出答案．此题主要考查了概率公式的应用，正确得出三个面涂有红色小立方体的个数是解题关键．解：连接OP，如图所示．∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠OAB=45°．∵PC⊥OA，∴△ACD为等腰直角三角形，∴AC=CD=1．设该扇形的半径长为r，则OC=r-1，在Rt△POC中，∠PCO=90°，PC=PD+CD=3，∴OP2=OC2+PC2，即r2=（r-1）2+9，解得：r=5．故答案为：5．连接OP，利用等腰三角形的性质可得出∠OAB=45°，结合PC⊥OA可得出△ACD为等腰直角三角形，进而可得出AC=1，设该扇形的半径长为r，则OC=r-1，在Rt△POC中，利用勾股定理可得出关于r的方程，解之即可得出结论．本题考查了勾股定理、等腰直角三角形以及圆的认识，利用勾股定理，找出关于扇形半径的方程是解题的关键．18.【答案】（10）【解析】解：如图，EF=DG=CH=，∵含有45°角的直角三角板，∴BC=，GH=2，∴FG=8--2-=6-2，∴图中阴影部分的面积为：8×8÷2-（6-2）×（6-2）÷2=32-22+12=10+12（cm2）答：图中阴影部分的面积为（10）cm2．故答案为：（10）．图中阴影部分的面积=外框大直角三角板的面积-内框小直角三角板的面积，根据等腰直角三角形的性质求出内框直角边长，再根据三角形面积公式计算即可求解．考查了等腰直角三角形，相似三角形的判定与性质，平行线之间的距离，关键是求出内框直角边长．19.【答案】解：原式=÷（-）=÷=•=，当x=-3时，原式===．【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．20.【答案】解：原式=3+2-1=4．【解析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．21.【答案】解：解不等式x+1＜5，得：x＜4，解不等式2（x+4）＞3x+7，得：x＜1，则不等式组的解集为x＜1．【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．22.【答案】【解析】解：（1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是为=，故答案为：．（2）根据题意列表得：1 2 3 41 3 4 52 3 5 63 4 5 74 5 6 7由表可知，共有12种等可能结果，其中抽取的2张卡片标有数字之和大于4的有8种结果，所以抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率为=．（1）直接利用概率公式计算可得；（2）用列表法将所有等可能的结果一一列举出来即可，找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算．本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图或表格，求出相应的概率．23.【答案】36 16【解析】解：（1）参加这次问卷调查的学生人数为30÷20%=150（人），航模的人数为150-（30+54+24）=42（人），补全图形如下：（2）m%=×100%=36%，n%=×100%=16%，即m=36、n=16，故答案为：36、16；（3）估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有1200×16%=192（人）．（1）由书法小组人数及其对应百分比可得总人数，再根据各小组人数之和等于总人数求得航模人数，从而补全图形；（2）根据百分比的概念可得m、n的值；（3）总人数乘以样本中围棋的人数所占百分比．本题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．24.【答案】（1）证明：∵∠CAF=∠BAE，∴∠BAC=∠EAF．∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，∴AC=AF．在△ABC与△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴EF=BC；（2）解：∵AB=AE，∠ABC=65°，∴∠BAE=180°-65°×2=50°，∴∠FAG=∠BAE=50°．∵△ABC≌△AEF，∴∠F=∠C=28°，∴∠FGC=∠FAG+∠F=50°+28°=78°．【解析】（1）由旋转的性质可得AC=AF，利用SAS证明△ABC≌△AEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出EF=BC；（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠BAE=180°-65°×2=50°，那么∠FAG=50°．由△ABC≌△AEF，得出∠F=∠C=28°，再根据三角形外角的性质即可求出∠FGC=∠FAG+∠F=78°．本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明△ABC≌△AEF是解题的关键．25.【答案】解：（1）过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示．∵OA=AB，AH⊥OB，∴OH=BH=OB=2，∴AH==6，∴点A的坐标为（2，6）．∵A为反比例函数y=图象上的一点，∴k=2×6=12．（2）∵BC⊥x轴，OB=4，点C在反比例函数y=上，∴BC==3．∵AH∥BC，OH=BH，∴MH=BC=，∴AM=AH-MH=．∵AM∥BC，∴△ADM∽△BDC，∴==．【解析】（1）过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，利用等腰三角形的性质可得出DH的长，利用勾股定理可得出AH的长，进而可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；（2）由OB的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出BC的长，利用三角形中位线定理可求出MH的长，进而可得出AM的长，由AM∥BC可得出△ADM∽△BDC，利用相似三角形的性质即可求出的值．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用等腰三角形的性质及勾股定理，求出点A的坐标；（2）利用相似三角形的性质求出的值．26.【答案】解：（1）∵点D是中点，OD是圆的半径，∴OD⊥BC，∵AB是圆的直径，∴∠ACB=90°，∴AC∥OD；（2）∵，∴∠CAD=∠DCB，∴△DCE∽△DCA，∴CD2=DE•DA；（3）∵tan∠CAD=，∴△DCE和△DAC的相似比为：，设：DE=a，则CD=2a，AD=4a，AE=3a，∴=3，即△AEC和△DEF的相似比为3，设：EF=k，则CE=3k，BC=8k，tan∠CAD=，∴AC=6k，AB=10k，∴sin∠CDA=．【解析】（1）点D是中点，OD是圆的半径，又OD ⊥BC，而AB是圆的直径，则∠ACB=90°，故：AC∥OD；（2）证明△DCE∽△DCA，即可求解；（3）=3，即△AEC和△DEF的相似比为3，设：EF=k，则CE=3k，BC=8k，tan∠CAD=，则AC=6k，AB=10k，即可求解．本题为圆的综合运用题，涉及到三角形相似等知识点，本题的关键是通过相似比，确定线段的比例关系，进而求解．27.【答案】2 10【解析】解：（1）∵t=2.5s时，函数图象发生改变，∴t=2.5s时，M运动到点B处，∴动点M的运动速度为：=2cm/s，∵t=7.5s时，S=0，∴t=7.5s时，M运动到点C处，∴BC=（7.5-2.5）×2=10（cm），故答案为：2，10；（2）①∵两动点M，N在线段BC上相遇（不包含点C），∴当在点C相遇时，v==（cm/s），当在点B相遇时，v==6（cm/s），∴动点N运动速度v（cm/s）的取值范围为cm/s＜v≤6cm/s；②过P作EF⊥AB于F，交CD于E，如图3所示：则EF∥BC，EF=BC=10，∴=，∵AC==5，∴=，解得：AF=2，∴DE=AF=2，CE=BF=3，PF==4，∴EP=EF-PF=6，∴S1=S△APM=S△APF+S梯形PFBM-S△ABM=×4×2+（4+2x-5）×3-×5×（2x-5）=-2x+15，S2=S△DPM=S△DEP+S梯形EPMC-S△DCM=×2×6+（6+15-2x）×3-×5×（15-2x）=2x，∴S1•S2=（-2x+15）×2x=-4x2+30x=-4（x-）2+，∵2.5＜＜7.5，在BC边上可取，∴当x=时，S1•S2的最大值为．（1）由题意得t=2.5s时，函数图象发生改变，得出t=2.5s时，M运动到点B处，得出动点M的运动速度为：=2cm/s，由t=7.5s时，S=0，得出t=7.5s时，M运动到点C处，得出BC=10（cm）；（2）①由题意得出当在点C相遇时，v==（cm/s），当在点B相遇时，v==6（cm/s），即可得出答案；②过P作EF⊥AB于F，交CD于E，则EF∥BC，由平行线得出=，得出AF=2，DE=AF=2，CE=BF=3，由勾股定理得出PF=4，得出EP=6，求出S1=S△APM=S△APF+S梯形PFBM-S△ABM=-2x+15，S2=S△DPM=S△DEP+S梯形EPMC-S△DCM=2x，得出S1•S2=（-2x+15）×2x=-4x2+30x=-4（x-）2+，即可得出结果．本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、函数的图象、三角形面积公式、梯形面积公式、平行线的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，正确理解函数图象是解题的关键．28.【答案】解：（1）∵y=-x2+（a+1）x-a令y=0，即-x2+（a+1）x-a=0解得x1=a，x2=1由图象知：a＜0∴A（a，0），B（1，0）∵s△ABC=6∴解得：a=-3，（a=4舍去）（2）设直线AC：y=kx+b，由A（-3，0），C（0，3），可得-3k+b=0，且b=3∴k=1即直线AC：y=x+3，A、C的中点D坐标为（-，）∴线段AC的垂直平分线解析式为：y=-x，线段AB的垂直平分线为x=-1代入y=-x，解得：y=1∴△ABC外接圆圆心的坐标（-1，1）（3）作PM⊥x轴，则=∵∴A、Q到PB的距离相等，∴AQ∥PB设直线PB解析式为：y=x+b∵直线经过点B（1，0）所以：直线PB的解析式为y=x-1联立解得：∴点P坐标为（-4，-5）又∵∠PAQ=∠AQB可得：△PBQ≌△ABP（AAS）∴PQ=AB=4设Q（m，m+3）由PQ=4得：解得：m=-4，m=-8（舍去）∴Q坐标为（-4，-1）【解析】（1）由y=-x2+（a+1）x-a，令y=0，即-x2+（a+1）x-a=0，可求出A、B坐标结合三角形的面积，解出a=-3；（2）三角形外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，求出两边垂直平分线，解交点可求出；（3）作PM⊥x轴，则=由可得A、Q到PB的距离相等，得到AQ∥PB，求出直线PB 的解析式，以抛物线解析式联立得出点P坐标，由于△PBQ≌△ABP，可得PQ=AB=4，利用两点间距离公式，解出m值．本题考查二次函数的综合应用，函数和几何图形的综合题目，抛物线和直线“曲直”联立解交点，利用三角形的全等和二次函数的性质把数与形有机的结合在一起，转化线段长求出结果．。
2019年苏州市中考压轴题专题：与圆有关的最值问题(附答案)
与圆有关的最值（取值范围）问题引例 1：在坐标系中，点 A 的坐标为 (3 ，0) ，点 B 为 y 轴正半轴上的一点，点 C 是第一象限内一点，且 AC=2．设 tan ∠ BOC=m，则 m的取值范围是 _________．引例 2：如图，在边长为 1 的等边△ OAB中，以边 AB为直径作⊙ D，以 O为圆心 OA长为半径作⊙ O，C 为半圆弧AB上的一个动点（不与A、B 两点重合），射线 AC交⊙ O于点 E，BC=a ， AC= ，求a b 的最大值 .b引例 3：如图，∠ BAC=60°，半径长为 1 的圆 O与∠ BAC的两边相切， P 为圆 O上一动点，以 P 为圆心， PA 长为半径的圆P 交射线 AB、 AC于 D、E 两点，连接 DE，则线段 DE 长度的最大值为 ().A．3B．6C． 3 3D． 3 3y2B COO A x CA D B一、题目分析：此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接1．引例 1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点 C 与两个定点O、 A 构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用；2．引例 2：通过圆的基本性质，寻找动点 C 与两个定点 A、 B 构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用；3．引例 3：本例动点的个数由引例1、引例 2 中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D、E 与一个定点 A 构成三角形的不变条件（∠DAE=60°），构造弦 DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE与半径 AP之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用；综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透.二、解题策略1．直观感觉，画出图形；2．特殊位置，比较结果；3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化 .三、中考展望与题型训练例一、斜率运用1.如图， A 点的坐标为（﹣ 2， 1），以 A 为圆心的⊙ A 切 x 轴于点 B ，P（ m， n）为⊙ A 上的一个动点，请探索 n+m 的最大值．例二、圆外一点与圆的最近点、最远点1．如图，在Rt △ ABC中，∠ ACB=90°， AC=4，BC=3，点 D是平面内的一个动点，且AD=2，M为 BD的中点，在D 点运动过程中，线段CM长度的取值范围是.ADMC B 2．如图，⊙ O的直径为 4，C 为⊙ O上一个定点，∠ ABC=30°，动点 P 从 A 点出发沿半圆弧AB向 B 点运动（点 P 与点 C 在直径 AB的异侧 ) ，当 P 点到达 B 点时运动停止，在运动过程中，过点 C 作 CP的垂线 CD交 PB的延长线于 D 点．（1）在点 P 的运动过程中，线段CD长度的取值范围为；D （2）在点 P 的运动过程中，线段AD长度的最大值为.CA O B例三、正弦定理P1．如图，△ ABC 中，∠ BAC=60°，∠ ABC=45°， AB=2 2 ，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O 分别交 AB， AC于 E， F 两点，连接 EF，则线段 EF长度的最小值为．2.如图，定长弦 CD在以 AB 为直径的⊙ O上滑动（点 C、D 与点 A、B 不重合），M是 CD的中点，过点C作 CP⊥ AB于点 P，若 CD=3，AB=8，则 PM长度的最大值是．例四、柯西不等式、配方法1．如图，已知半径为 2 的⊙O与直线 l 相切于点A，点 P 是直径 AB左侧半圆上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为C， PC与⊙O交于点 D，连接 PA、 PB，设 PC的长为 x（ 2＜ x＜4），则当 x=时，PD?CD的值最大，且最大值是为.2．如图，线段AB=4，C 为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△ CDE，则⊙ O半径的最小值为 ( ).A.42332EB. C. D. 232D OA C B3．在平面直角坐标系中，以坐标原点在第一象限内，过点P 作⊙ O的切线与最小值是.O 为圆心， 2 为半径画⊙ O， P 是⊙ O 上一动点，且P x 轴相交于点A，与y轴相交于点B，线段 AB长度的例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）1．如图，在Rt△ ABC中，∠ C=90°， AC=6， BC=8， D 为交直线 BC于点 E，则线段CE长度的最小值是.AB边上一点，过点AD 作CD的垂线DCO E B2．如图， Rt△ABC 中，∠ C=90°，∠ A=30°， AB=4，以 AC上的一点O为圆心 OA为半径作⊙O，若⊙ O与边 BC始终有交点（包括B、 C两点），则线段 AO的取值范围是.AO3．如图，⊙ O 的半径为2，点 O 到直线 l 的距离为 3，点 P 是直线 l 上的一个动点，PQ 切⊙O 于点 Q，则 PQ 的最小值为（）A．B．C． 3 D ．2例五、其他知识的综合运用1.（ 2019?济南）抛物线 y=ax 2+bx+4 （ a≠ 0）过点 A（ 1，﹣ 1）， B（ 5，﹣ 1），与 y 轴交于点 C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图 1，连接 CB ，以 CB 为边作 ?CBPQ，若点 P 在直线 BC 上方的抛物线上， Q 为坐标平面内的一点，且?CBPQ 的面积为 30，求点 P 的坐标；（3）如图 2，⊙ O1过点 A 、 B、 C 三点， AE 为直径，点M 为上的一动点（不与点 A ，E 重合），∠ MBN 为直角，边BN 与 ME 的延长线交于N，求线段BN 长度的最大值．2. （ 2019 秋 ?相城区校级期末）如图，已知 A 、 B 是⊙ O 与 x 轴的两个交点，⊙ O 的半径为1，P 是该圆上第一象限内的一个动点，直线PA、PB 分别交直线x=2 于 C、D 两点， E 为线段 CD 的中点．（1）判断直线 PE 与⊙ O 的位置关系并说明理由；（2）求线段 CD 长的最小值；（3）若 E 点的纵坐标为m，则 m 的范围为．【题型训练】1．如图，已知直线 l 与⊙ O 相离， OA ⊥ l 于点 A ， OA=5， OA 与⊙ O 相交于点 P ， AB 与⊙ O 相切于点 B ， BP 的延长线交直线 l 于点 C ，若在⊙ O 上存在点 Q ，使△ QAC 是以 AC 为底边的等 腰三角形，则⊙ O 的半径 r 的取值范围为 .2．已知：如图，Rt ABC 中，∠ B=90o ，∠ A=30o ， BC=6cm ，点 O 从 A 点出发，沿 AB 以每秒3 cm 的速度向 B 点方向运动，当点 O 运动了 t 秒 (t ＞ 0) 时，以 O 点为圆心的圆与边AC 相切于点 D ，与边 AB 相交于 E 、F 两点，过 E 作 EG ⊥ DE 交射线 BC 于 G. （1）若点 G 在线段 BC 上，则 t 的取值范围是 ；（2）若点 G 在线段 BC 的延长线上，则 t 的取值范围是.3．如图，⊙ M ，⊙ N 的半径分别为 2cm ，4cm ，圆心距 MN=10cm ．P 为⊙ M 上的任意一点， Q 为⊙ N 上的任意一点，直线 PQ 与连心线 l 所夹的锐角度数为 ，当 P 、 Q 在两圆上任意运动时， tan的最大值为 ().(A)6； (B)4 ； (C)3 ； (D)312334QAPDCPPQMNlOADBB C4．如图， 在矩形 ABCD 中， AB=3，BC=4，O 为矩形 ABCD 的中心， 以 D 为圆心 1 为半径作⊙ D ，P 为⊙ D 上的一个动点，连接 AP 、 OP ，则△ AOP 面积的最大值为( ).(A)4(B)21 (C)35 (D) 175845．如图，在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°，AC=8，BC=6，经过点 C 且与边 AB 相切 的动圆与 CA 、 CB分别相交于点 P 、 Q ，则线段 PQ 长度的最小值是 ().A ．19B ．24C ． 5D ．42456．如图，在等腰 Rt △ ABC 中，∠ C=90°，AC=BC=4， D 是 AB 的中点，点 E 在 AB 边上运动（点 E 不与点 A 重合），过 A 、 D 、E 三点作⊙ O ，⊙ O 交 AC 于另一点 F ，在此运动变化的过程中，线段 EF 长度的最小值为．AFE OBDC7．如图， A 、B 两点的坐标分别为 (2 ，0) 、(0 ，2) ，⊙ C 的圆心的坐标为 (-1 ，0) ，半径为 1， 若 D 是⊙ C 上的一个动点，线段 DA 与 y 轴交于点 E ，则△ ABE 面积的最小值是 ( ).58．如图，已知 A 、 B 两点的坐标分别为 (-2 ， 0) 、 (0 ， 1) ，⊙ C 的圆心坐标为 (0 ， -1) ，半径为 1， D 是⊙ C 上的一个动点，射线 AD 与 y 轴交于点 E ，则△ ABE 面积的最大值是 ( ).A ．3B．11C ．10D ．4339．如图，等腰 Rt △ABC 中，∠ ACB=90°， AC=BC=4，⊙ C 的半径为 1，点 P 在斜边 AB 上， PQ切⊙ O 于点 Q ，则切线长 PQ 长度的最小值为 ().A. 7B. 2 2C. 3D.410．如图∠ BAC ＝ 60°，半径长 1 的⊙ O 与∠ BAC 的两边相切， P 为⊙ O 上一动点，以 P 为圆心， PA 长为半径的⊙ P 交射线 AB 、 AC 于 D 、 E 两点，连接 DE ，则线段 DE 长度的范围为 .APyPQO AxCB11．在直角坐标系中，点A 的坐标为（ 3， 0），点 P （ m ，n ）是第一象限内一点，且 AB=2， 则 m n 的范围为 . 12．在坐标系中， 点 A 的坐标为 （ 3，0），点 P 是 y 轴右侧一点， 且 AP=2，点B 上直线 y=x+1 上一动点，且 PB ⊥ AP 于点 P ，则 tan ABP m ，则 m 的取值范围是.ByPO A x13．在平面直角坐标系中， M （ 3， 4）， P 是以 M 为圆心， 2 为半径的⊙ M 上一动点， A （ -1 ， 0）、 B （ 1，0），连接 PA 、 PB ，则 PA 2+PB 2 最大值是 .蔡老师点评： 与圆有关的最值问题，看着无从下手，但只要仔细观察，分析图形，寻找动点与定点之间不变的维系条件， 构建关系， 将研究的问题转化为变量与常量之间的关系， 就能 找到解决问题的突破口！ 几何中的定值问题， 是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持 不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题， 解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量， 运用特殊位置、 极端位置， 直接计算等方法， 先探求出定值，再给出证明．几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量 ( 如线段长度、角 度大小、图形面积 ) 等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有： 1．特殊位置与极端位置法； 2．几何定理 ( 公理 ) 法； 3．数形结合法等．注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考试题中， 由冷点变为热点． 这是由于这类问题具有很强的探索性 ( 目标不明确 ) ，解题时需要运用动态思维、 数形结合、 特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．参考答案：引例 1. 解： C 在以 A 为圆心，以 2 为半径作圆周上，只有当 OC 与圆 A 相切（即到 C 点）时，∠ BOC 最小， AC=2 ， OA=3 ，由勾股定理得： OC= ，∵∠ BOA= ∠ ACO=90 °， ∴∠ BOC+ ∠ AOC=90 °，∠ CAO+ ∠ AOC=90 °，∴∠ BOC= ∠OAC ， tan ∠BOC=tan ∠OAC= = ，随着 C 的移动，∠ BOC 越来越大，∵ C 在第一象限，∴ C 不到 x 轴点，即∠ BOC ＜ 90°， ∴tan ∠BOC ≥ ，故答案为： m ≥ ．引例 2. a b2 ；原题：（ 2019?武汉模拟）如图，在边长为为圆心 OA 长为半径作圆 O ， C 为半圆 点 E ， BC=a ，AC=b ． （1）求证： AE=b+a ；（2）求 a+b 的最大值；2（3）若 m 是关于 x 的方程： x +引例 1图引例 2图1 的等边 △OAB 中，以边 AB 为直径作⊙ D ，以 O 上不与 A 、 B 重合的一动点，射线 AC 交⊙ O 于ab 的一个根，求 m 的取值范围．【考点】圆的综合题．【分析】（ 1）首先连接 BE ，由 △ OAB 为等边三角形，可得∠ AOB=60 °，又由圆周角定理，可求得∠ E 的度数，又由 AB 为⊙ D 的直径，可求得CE 的长，继而求得 AE=b+a ；2（2）首先过点 C 作 CH ⊥ AB 于 H ，在 Rt △ ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=1 ，可得（ a+b ） =22a +b +2ab=1+2ab=1+2CH ?AB=1+2CH ≤1+2AD=1+AB=2 ，即可求得答案；（3）由 x 2+ ax=b 2 + ab ，可得（ x ﹣ b ）（ x+b+a ） =0 ，则可求得 x 的值，继而可求得m 的取值范围．【解答】解：（ 1）连接 BE ，∵△ OAB 为等边三角形，∴∠AOB=60 °，∴∠ AEB=30 °，∵AB 为直径， ∴∠ ACB= ∠ BCE=90 °，∵BC=a ，∴ BE=2a ，CE=a ，∵ AC=b ，2ax=b +AB72 2 （2）过点 C 作 CH⊥ AB 于 H，在 Rt△ABC 中， BC=a ， AC=b ， AB=1 ，∴ a +b =1 ，∵S△ABC =AC ?BC=AB ?CH，∴ AC ?BC=AB ?CH ，∴（ a+b）222，∴ a+b≤，=a +b +2ab=1+2ab=1+2CH ?AB=1+2CH ≤1+2AD=1+AB=2故 a+b 的最大值为，2222ab=0，∴（ x+b ）（ x﹣ b） +a（ x﹣b）（3）∵ x +ax=b +ab，∴ x ﹣ b + ax﹣=0，∴（ x﹣ b）（ x+b+a） =0 ，∴ x=b 或 x= ﹣（ b+a），当 m=b 时， m=b=AC ＜AB=1 ，∴ 0＜ m＜ 1，当 m=﹣（ b+a）时，由（ 1）知 AE= ﹣ m，又∵ AB ＜ AE ≤2AO=2 ，∴ 1＜﹣ m≤2，∴﹣ 2≤m＜﹣ 1，∴ m 的取值范围为0＜ m＜ 1 或﹣ 2≤m＜﹣ 1．【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．引例 3. 解：连接 EP， DP，过 P 点作 PM 垂直 DE 于点 M ，过 O 做 OF⊥AC 与 F，连接AO ，如图，∵∠ BAC=60 °，∴∠ DPE=120°．∵ PE=PD， PM⊥DE ，∴∠ EPM=60 °，∴ED=2EM=2EP ?sin60°= EP=PA．当 P 与 A 、 O 共线时，且在O 点右侧时，⊙ P 直径最大．∵⊙ O 与∠ BAC 两边均相切，且∠BAC=60 °，∴∠ OAF=30 °， OF=1 ，∴AO==2 ， AP=2+1=3 ，∴ DE= PA=3．故答案为： D。
2019苏州市数学中考压轴题解析
2019苏州市数学中考压轴题解析这道题是2019年苏州中考的压轴题，苏州中考历年难度并不是很高，但是这道题最后一问的问法很奇特，那就先来解一解这道题吧先画图其实这道题到这边都是常规做法，有基础的同学这两题很快就能解出来了，这也就是我说苏州中考难度不大的原因，毕竟这是最后一题，其他市的题目相对来说不会这么轻松的。
重点在最后一问。
交代了一堆东西，然后让我们求出点Q的坐标，题干中给出的数量关系是P到x轴的距离是d，△PQB的面积是2d，并且说∠PAQ=∠AQP，很多同学看到这个角之间的关系就懵了，∠PAQ和∠AQP也不在上面特殊的位置，也没有告诉我们大小，仅仅告诉我们两个角相等。
要说角相等，在几何证明里是个很有用的条件，但是在坐标系了，老实说，我也很讨厌给这个条件。
因为坐标系是给出距离的。
坐标才能运算，给出面积的话我前面说过可以转化成相似，但是给出角，而且不是特殊角度，这就不能转化为长度计算了，这可如何是好？先别急，看看前面的条件不是给了面积和距离么。
题目中告诉我们P到x轴的距离是d，我们该怎么用呢，既然是距离，我们肯定想到作垂线嘛，先作出来。
作出来之后自然而然想到了求出△APB的面积。
因为AB长度我们前面已经求出来了为4，因此△APB面积就等于2d，发现居然和△PQB 面积一样，这是个重大突破。
这里插一句，作出垂线，想到面积，这一步确实是需要一点跳跃思维的，但是我们反过来看看题干，出题人已经很明显的说点P到x 轴的距离，他并没有说p的纵坐标这类会错误引导你的词，这算是手下留情了吧。
P的坐标知道了，Q的坐标还没求出来，该怎么办呢？刚刚那个∠PAQ=∠AQP不是还没用到么，现在知道两直线平行了，我们来看看能得出什么结论，我们把这个图摘出来看看如果两直线平行，∠PAQ=∠AQB,我们能得出什么结论呢，这样看结论就很明显△PQB≌△BAP，证明的话很基础，大家自己证明一下就行了，由于这是在压轴题当中，我们可以不写证明过程，直接得出结论就行了。
江苏省苏州市2019年中考数学试题(含解析)
2019年苏州市初中毕业暨升学考试试卷数学本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共2小题，满分130分，考试时间120分钟，注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考点名、考场号、座位号、用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符； 2．答选择题必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答；3．考生答题必须答在答题卡上，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题要求的。
请将选择题的答案用2B 铅笔涂在答题卡相应位置上。
1．5的相反数是（ ）A ．15B ．15-C ．5D ．5-2．有一组数据：2，2，4，5，7这组数据的中位数为（ ） A ．2B ．4C ．5D ．73．苏州是全国重点旅游城市，2018年实现旅游总收入约为26 000 000万元，数据26 000 000用科学记数法可表示为（ ） A ．80.2610⨯B ．82.610⨯C ．62610⨯D ．72.610⨯4．如图，已知直线//a b ，直线c 与直线a b ，分别交于点A B ，．若154∠=o ，则2∠=（ ） A ．126oB ．134oC ．136oD ．144o5．如图，AB 为O ⊙的切线，切点为A ，连接AO BO 、，BO 与O ⊙交于点C ，延长BO 与aO ⊙交于点D ，连接AD ，若36ABO ∠=o ，则ADC ∠的度数为（ ）A ．54oB ．36oC ．32oD ．27o6．小明5元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为x 元，根据题意可列出的方程为（ ） A ．15243x x =+ B ．15243x x =- C ．15243x x=+ D ．15243x x=- 7．若一次函数y kx b =+（k b 、为常数，且0k ≠）的图像经过点()01A -，，()11B ，，则不等式1kx b +>的解为（ ） A ．0x <B ．0x >C ．1x <D ．1x >8．如图，小亮为了测量校园里教学楼AB 的高度，将测角仪CD 竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为1.5m ，测得教学楼的顶部A 处的仰角为30o ，则教学楼的高度是（ ） A ．55.5mB ．54mC ．19.5mD ．18m9．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，416AC BD ==，，将ABO V 沿点A 到点C 的方向平移，得到A B C '''V ，当点A '与点C 重合时，点A 与点B '之间的距离为（ ）A ．6B ．8D ．1210．如图，在ABC V 中，点D 为BC 边上的一点，且2AD AB ==，AD AB ⊥，过点D 作DE AD ⊥，DE 交AC 于点E ，若1DE =，则ABC V 的面积为（ ）DBCDBA．B ．4 C． D ．8二、填空：本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案直接填在答题卡相应位置上。
【中考专题】2019年 中考数学 专题复习 最小值问题(含答案)
2019年中考数学专题复习最小值问题一、选择题1.如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（）A．B．2C．2D．2.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=1，E为BC的中点，则对角线BD上的动点P到E、C两点的距离之和的最小值为（）3.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点．PC＋PD值最小时点P的坐标为( )A．(-3，0) B．(-6，0 ) C．(-1.5，0) D．(-2.5，0)4.如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CA,CB分别相交于点P，Q,则线段PQ的最小值（）A．5 B．4C．4.75 D．4.85.如图，在Rt △ABC中,AB⊥BC，AB=10,BC=8，点D是AB上一点，且AD = 4，点E为AC上一动点，将△ADE沿DE翻折得到△A/DE,连接A/C,则A/C的最小值为( )A．B．5 C．6 D．二、填空题6.如图,已知直线y=,A(,0)，点P在直线上,当PA最小时,P坐标为： .7.如图，已知⊙A半径为3，A(4，5),P在x轴上为一动点，过P作PB切⊙A于B点，则PB最小值为，此时B坐标为： .8.如图，已知AB为O直径，AB=4，C为半圆三等分点，D为弧BC中点，在直径上找一点P，使PC+PD最小，则最小值等于 .9.如图,已知⊙C半径为2,OA=OB=4,P在⊙C上为一动点,连接PA,交y轴于E点,则ABE面积的最大值为；最小值为 .10.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A．B分别在x、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为OB边的中点，E是OA边上的一个动点，当△CDE的周长最小时，E点坐标为．11.如图,已知点C(1，0)，直线y=－x＋7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是．12.如图，直线y=x+4与双曲线y=kx-1（k≠0）相交于A（﹣1，a）、B两点，在y轴上找一点P，当PA+PB的值最小时，点P的坐标为．13.如图,菱形ABCD中,AB=4,∠B=60°,E,F分别是BC,DC上的点,∠EAF=60°,连接EF,则△AEF的面积最小值是．14.如图,在边长为4的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,点N是AB边上一动点,将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C,则线段A′C长度的最小值是．15.如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AD=10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH ⊥AC于H，连接BH，在点C移动过程中，BH的最小值是8，则圆O的直径AB= .16.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点(不与B、D重合)，连结AP，过点B作直线AP的垂线，垂足为H，连结DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．参考答案1.答案为：B；2.C3.C4.D5.答案为：C；解析：6.略7.略8.略9.略10.答案为：(1、0) ；11.答案为：10；12.答案为：（0，2.5）；13.答案为：．14.15.答案为：；；。
苏州市2019年中考数学《解直角三角形与实际生活》复习指导
解直角三角形与实际生活锐角三角函数是数形结合的典范，涉及数学各个分支，在工程，测量，军事，工业，农业，航海，航空等领域都有应用，特别是在日常生活中的应用更加广泛，因而，必须引起足够的重视.下面举几例与同学们共赏.例1 如图1所示是某立式家具(角书橱)的横断面，请你设计一个方案(角书橱高2米，房间高2. 6米，所以不从高度方面考虑方案的设计)，按此方案可以使该家具通过如图2中的长廊搬入房间，在图2中把你的设计方案画成草图，并说明按此方案可把家具搬入房间的理由(注:搬动过程中不准拆卸家具，不准损坏墙壁).思路解析 如说理图所示，作直线AB ，延长DC 交AB 于E ，由题意可知，ACE ∆是等腰直角三角形，所以0.5,2CE DE DC CE ==+=.作DH AB ⊥于H ，则DH DE =⋅sin 2sin 45HED ∠=︒=2 1.5<，∴可按此方案设计图将家具从长廊搬入房间.答案:设计方案草图如图所示.温辱提示 本题是一道比较贴近生活的实际问题，重点考查学生综合运用所学知识解决实际问题的探究和创新能力.本题反映生活中常见的实际情况，很有创意，并充分体现了学数学用数学的价值. 例2 如图3所示，福润万家超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答:小高身高1. 78米，他乘电梯会有碰头危险吗?姚明身高2. 29米，他乘电梯会有碰头危险吗?(可能用到的参考数值:sin27 °= 0. 45 , cos27 °= 0. 89 , tan27°= 0. 51)思路点拨 本题是一道设计比较新颖的实际问题，要判断乘电梯是否会碰头，从图形来看需要计算电梯和天花板之间的最小距离，然后与人的高度比较.解 如图3，作CD AC ⊥交AB 于D ，则27CAD ∠=︒,在Rt ACD ∆中， CD AC =⋅tan 40.51 2.05CAB ∠=⨯=(米).所以小高不会有碰头危险，姚明则会有碰头危险.例3 如图4，已知某小区的两幢10层住宅楼间的距离为AC = 30m ，由地面向上依次为第1层、第2层、…、第10层，每层高度为3 m.假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长EC h =，太阳光线与水平线的夹角为α，当30α=︒时，甲楼楼顶B 点的影子落在乙楼的第几层?若α每小时增加15︒，从此时起几小时后甲楼的影子刚好不影响乙楼采光?思路点拨 过点E 作EF AB ⊥于F ，本题可转化为在Rt BEF ∆中解直角三角形求解，当B 点的影子落在C 处时，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光.解 过点E 作EF AB ⊥于F ，由题意，四边形ACEF 为矩形.30,EF AC ∴==AF,,31030CE h BEF BF h h α==∠=∴=⨯-=-.又在Rt BEF ∆中，tan ,BFBEF EF∠=30tan 30hα-∴=，即3030tan h α-=，解得3030tan h α=-.当30α=︒时，3030tan 303030312.7h =-︒=-≈ m,12.73 4.2,B ÷≈∴点的影子落在乙楼的第五层.当B 点的影子落在C 处时，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光.此时，由AB AC ==30,知ABC ∆是等腰直角三角形，45,(4530)/151ACB ∴∠=︒∴-=(小时).故经过1小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光.温馨提示 本题是一道与实际生活密切联系的应用题，解决本题的关键要准确找出所要解的直角三角形，如解Rt BEF ∆;其次要弄清题意，找出已知条件和未知条件关系，正确选择锐角三角函数来求解. 例4 如图5，某乡村小学有A 、B 两栋教室，B 栋教室在A 栋教室正南方向36米处，在A 栋教室西南方向米的C 处有一辆装载机以每秒8米的速度沿北偏东60°的方向CF 行驶，若装载机的噪声污染半径为100米，试问A 、B 两栋教室是否受到装载机噪声的影响?若有影响，影响的时间有多少秒?( 1.7，各步计算结果精确到整数)思路点拨 要判断A 、B 两栋教室是否受到装载机噪声的影响，只需分别算出两栋教室到CF 的距离，然后与100米进行比较即可.若要计算影响时间，可根据勾股定理算出装载机从开始影响到结束时之间的距离就行.解 如图6，过点C 作直线 AB 的垂线交AB 的延长线于D .设装载机行驶路线CF 与AD 交于点E .因为45AC ACD =∠=︒，所以CD =300AD ==. tan 303003170DE CD =⋅︒==.所以300BE =-3617094-=.过点B 作BH CF ⊥于H ，则30EBH ∠=︒.所以cos30BH BE =⋅︒94=⨯280=.因为80 < 100，所以B 栋教室受到装载机噪声影响.以点B 为圆心，100为半径作弧，交CF 于M 、N 两点，则MN ==2×60=120. B 栋教室受噪声影响的时间为:120÷8=15(秒).作AH CF '⊥于H '，则EAH '∠=30︒.又AE =36 + 94 = 130，所以cos301302111AH AE '=⋅︒==.因为111>100，所以A 栋教室不受装载机噪声影响. 温馨提示 本题将生活中常见的现象以数学问题呈现出来，具有很强的现实性，使同学们感到数学无处不在，充分体现了“关注对应用数学解决实际问题能力的考查”.方法总结 以上几题都是解直角三角形应用题，解题时要善于将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素间的关系，即把实际问题抽象成数学模型(构造直角三角形)，然后根据直角三角形的边角关系求解.解题时应注意:(1)认真分析题意，画图找出或构建要解的直角三角形(或特殊的四边形).(2)选择合适的边角关系，以便简化运算.(3)按照题目要求的精确度确定答案并注明单位.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，AB ⊥CD 于B ，△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC 的长为( ).A.12B.7C.5D.132．若式子2(1)m -有意义，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ＞﹣2 B ．m ＞﹣2且m≠1C ．m≥﹣2D ．m≥﹣2且m≠13．分式方程216111x x x +-=--的解是（ ） A ．x ＝﹣2B ．x ＝2C ．x ＝3D ．无解4．下列立体图形中，主视图是三角形的是（ ）A. B. C. D.5．已知甲、乙、丙、丁四位射击运动员在一次比赛中的平均成绩是90环（总环为100环），而乙、丙、丁三位射击运动员的平均成绩是92环，则下列说法不正确的是（ ） A.甲的成绩为84环B.四位射击运动员的成绩可能都不相同C.四位射击运动员的成绩一定有中位数D.甲的成绩比其他三位运动员的成绩都要差 6．最小的素数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．47．如图所示的几何体是将一圆锥截去一部分后所得到的，则它的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．8．小明沿着坡角为45°的坡面向下走了5米，那么他竖直方向下降的高度为( )A.1米B.2米C.米D.2米 9．如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦（不是直径），AB ⊥CD 于点E ，则下列结论正确的是（ ）A ．AE ＞BEB ．AD ＝BCC ．∠D ＝12∠AEC D ．△ADE ∽△CBE10．函数中自变量的取值范围是（ ）A.B.C.且D.且11．如图二次函数2y ax bx c =++的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（112，）下列结论正确的是（ ）A ．abc>0B ．a=bC ．a=4c-4D ．方程21ax bx c ++=有两个不相等的实数根12．若11x m=-是方程mx ﹣2m+2＝0的根，则x ﹣m 的值为（ ） A ．0 B ．1C ．﹣1D ．2二、填空题13．如图,在△ABC 中,∠C=90°，AC=8，BC=6，D 是AB 的中点，点E 在边AC 上，将△ADE 沿DE 翻折，使得点A 落在点A′处，当A′E⊥AC 时，A′B=___.14．购买1个单价为a 元的面包和3瓶单价为b 元的饮料，所需钱数为 元．15．如图,在□ABCD 中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC 的中点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ，与DC 的延长线相交于点H ，则△DEF 的面积是 .16．若矩形两条对角线的夹角是60°，且较短的边长为3，则这个矩形的面积为____．_____．17．计算：618．我们知道，四边形不具有稳定性，容易变形．一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把的值叫做这个平行四边形的变形度．如图，矩形ABCD的面积为5，如果变形后的平行四边形A1B1C1D1的面积为3，那么这个平行四边形的变形度为___．三、解答题19．为了了解全校3000名学生对学校设置的足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球共五项球类活动的喜爱情况，在全校范围内随机调查了m名学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）m＝，n＝．并补全图中的条形统计图．（2）请你估计该校约有多少名学生喜爱打乒乓球．（3）在抽查的m名学生中，有A、B、C、D等10名学生喜欢羽毛球活动，学校打算从A、B、C、D这4名女生中，选取2名参加全市中学生女子羽毛球比赛，请用列表法或画树状图法，求同时选中B、C的概率．20．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的一角∠MON（∠MON=135°）的两边为边，用总长为120m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块区域，其中区域①为直角三角形，区域②③为矩形，而且四边形OBDG为直角梯形．（1）若①②③这块区域的面积相等，则OB的长为 m；（2）设OB=xm，四边形OBDG的面积为ym2，①求y与x之的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；②x为何值时，y有最大值？最大值是多少？21．如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OB为半径作圆交BC于点D，（1）求证：直线AC是⊙O的切线；（2）在图2中，设AC与⊙O相切于点E，连结BE，如果AB=4，tan∠CBE=12．①求BE的长；②求EC的长．22．如图，将正方形ABCD折叠，使点C与点D重合于正方形内点P处，折痕分别为AF、BE，如果正方形ABCD的边长是2，那么△EPF的面积是_____．23．如图，在直角坐标系中的正方形ABCD边长为4，正方形ABCD的中心为原点O．现做如下实验：抛掷一枚均匀的正方体的骰子(六个面分别标有1至6这六个点数中的一个)，每个面朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的点数作为直角坐标系中点P的坐标(第次的点数作为横坐标，第二次的点数作为纵坐标)(1)求点P落在正方形ABCD面上(含正方形内部和边界)的概率；(2)试将正方形ABCD平移整数个单位，则是否存在一种平移，使点P落在正方形ABCD面上的概率为13？若存在，请指出平移方式；若不存在，请说明理由．24．为拓宽学生视野，我市某中学决定组织部分师生去庐山西海开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生．为了安全，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．（1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？租用客车总数为多少辆？ （2）设租用x 辆乙种客车，租车总费用为w 元，请写出w 与x 之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元，租用乙种客车不少5辆，你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．25．已知一元二次方程x 2+4x+m ＝0，其中m 的值满足不等式组2(3)41132m m m +⎧⎪-⎨>-⎪⎩…，请判断一元二次方程x 2+4x+m＝0根的情况．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 1314．（a+3b ）. 151617．6 18．． 三、解答题19．（1）100，5；（2）600；（3）16. 【解析】 【分析】（1）篮球30人占30%，可得总人数，由此可以计算出n ，求出足球人数=100-30-20-10-5=35人，即可解决问题；（2）用样本估计总体的思想即可解决问题． （3）画出树状图即可解决问题． 【详解】（1）由题意m ＝30÷30%＝100，排球占(13)(57)[(25)23](21)n S n n n n=-++-+++--+-+--=-＝5%， ∴n ＝5，足球＝100﹣30﹣20﹣10﹣5＝35人， 条形图如图所示，故答案为100，5．（2）若全校共有3000名学生，该校约有3000×20100＝600名学生喜爱打乒乓球． （3）画树状图得：∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种， ∴同时选中B 、C 的概率为16． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时考查了概率公式． 20．（1）24；（2）①244080093y x x =-++，（0﹤x ﹤60）；②当x=15时，y 有最大值，最大值为900. 【解析】 【分析】（1）首先证明EG=EO=DB ，DE=FC=OB ，设OB=CF=DE=x ，则12GE OE BD (1202x)40x 33===-=-，由①②③这块区域的面积相等，得到2121240)402323x x x ⎛⎛⎫-=⋅- ⎪⎝⎝⎭，解方程即可； （2）①根据直角梯形的面积公式计算即可；②利用二次函数的性质求出y 的最大值，以及此时x 的值即可． 【详解】解：（1）解：（1）由题意可知，∠MON=135°，∠EOB=∠D=∠DBO=90°， ∴∠EGO=∠EOG=45°，∴EG=EO=DB ，DE=FC=OB ，设OB=CF=DE=x ，则12GE OE BD (1202x)40x 33===-=-， ∵①②③这块区域的面积相等，2121240x x 40x 2323⎛⎫⎛⎫∴-=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴x=24或60（舍弃）， ∴BC=24m ． 故答案为24．（2）由题意可知，∠MON=135°，∠EOB=∠D=∠DBO=90°， ∴∠EGO=∠EOG=45°， ∴CF=DE=OB=x ，则GE=OE=BD=13(120-2x)=40-23x ①y=24023(40)23x x x x ++-⨯-= 244080093x x -++（0﹤x ﹤60） ②244080093y x x =-++ =24(15)9009x --+∴当x=15时，y 有最大值，最大值为900.【点睛】本题考查一元二次方程的性质和应用、直角梯形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 21．(1)见解析;(2)；②83.【解析】【分析】(1)作作OE ⊥AC,由AO 是∠BAC 的角平分线,得到∠BAO ＝∠EAO,判断出△ABO ≌△AEO （AAS ）,得到OE ＝OB,所以直线AC 是⊙O 的切线;(2)先利用AE 与⊙O 相切于点E ， AB ＝AE ＝4,再用三角函数求出OB,BC,然后用三角形相似,得到BC ＝2CE ，12CD CE =,用勾股定理求出CD,最后用切割线定理即可 【详解】证明：（1）如图1，作OE ⊥AC ， ∴∠OEA ＝90°， ∵∠ABC ＝90，∴∠OEA ＝∠ABC ，∵AO 是△ABC 的角平分线，∴∠BAO ＝∠EAO ， 在△ABO 和△AEO 中，ABO AEO OA OA ⎧⎪=⎨⎪=⎩∠BA0=∠EAO∠∠ ，∴△ABO ≌△AEO （AAS ），∴OE ＝OB ，∵OB 是⊙O 的半径，∴OE 是⊙O 的半径， ∴直线AC 是⊙O 的切线； （2）①如图2，∵∠ABO ＝90°，∴AB 切⊙O 于B ，∵AE 与⊙O 相切于点E ， ∴AB ＝AE ＝4，∵AO 是△ABC 的角平分线， ∴AO ⊥BE ， ∴∠BAO+∠ABE ＝90°， ∵∠CBE+∠ABE ＝90°， ∴∠BAO ＝∠CBE ，∵tan ∠CBE ＝12 ， ∴tan ∠BAO ＝12， 在Rt △ABO 中，AB ＝4，tan ∠BAO ＝12OB AB = ， ∴122OB AB == ， ∴BD ＝2OB ＝4， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠BED ＝90°， 又∵tan ∠CBE ＝DE BE ＝12， ∴BE ＝2DE ， 在Rt △BDE 中， ∵BE 2+DE 2＝BD 2， ∴2221()42BE BE += ，解得BE =；②∵AC 是⊙O 的切线， ∴∠CED ＝∠CBE ， ∵∠DCE ＝∠ECB ，∴△CDE ∽△CEB ， ∴CE DE CDBC BE CE== ， 又∵tan ∠CBE ＝DE BE ＝12， ∴BC ＝2CE ，12CD CE = ，∵BD ＝BC ﹣CD ∴1242CE CE -= ， 解得83CE = ． 【点睛】此题考查切线的判定与性质，利用全等三角形的性质和直角三角形的性质是解题关键22．12 【解析】 【分析】过P 作PH ⊥DC 于H ，交AB 于G ，由正方形的性质得到AD ＝AB ＝BC ＝DC ＝2；∠D ＝∠C ＝90°；再根据折叠的性质有PA ＝PB ＝2，∠FPA ＝∠EPB ＝90°，可判断△PAB 为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠APB ＝60°，2PG AB ==EPF ＝120°，PH ＝HG ﹣PG ＝2HEP ＝30°，然后根据含30°的直角三角形三边可求出HE ，得到EF ，最后利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过P 作PH ⊥DC 于H ，交AB 于G ，如图， 则PG ⊥AB ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AD ＝AB ＝BC ＝DC ＝2；∠D ＝∠C ＝90°，又∵将正方形ABCD 折叠，使点C 与点D 重合于形内点P 处， ∴PA ＝PB ＝2，∠FPA ＝∠EPB ＝90°， ∴△PAB 为等边三角形，∴∠APB ＝60°，PG ＝2AB∴∠EPF ＝120°，PH ＝HG ﹣PG ＝2 ∴∠HEP ＝30°，∴HE （23，∴EF ＝2HE ＝﹣6，∴△EPF 的面积＝12FE•PH＝12（2）（6）＝12．故答案为﹣12．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后的两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了正方形和等边三角形的性质以及含30°的直角三角形三边的关系．23．19；(2)将正方形ABCD先向上移2个单位，再向右移1个单位；或将正方形ABCD先向上移1个单位，再向右移2个单位．【解析】【分析】(1)根据题意先列出图标得出构成点P的所有情况数和点P落在正方形ABCD面上(含正方形内部和边界)的情况数，然后根据概率公式即可得出答案；(2)要使点P落在正方形ABCD面上的概率为13，就得向上或向右整数个单位平移，所以，存在满足要求的平移方式有两种，将正方形ABCD先向上移2个单位，再向右移1个单位；或将正方形ABCD先向上移1个单位，再向右移2个单位．【详解】(1)列表如下：所以构成点P的坐标共有36种情况，其中点P的(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)四种情况将落在正方形ABCD面上．所以点P落在正方形ABCD面上的概率为436＝19．(2)因为要使点P落在正方形ABCD面上的概率为13＝1236＞19，所以只能将正方形ABCD向上或向右整数个单位平移，且使点P落在正方形面上的数目为12．所以，存在满足要求的平移方式有两种，分别是：将正方形ABCD先向上移2个单位，再向右移1个单位(先向右再向上亦可)；或将正方形ABCD先向上移1个单位，再向右移2个单位(先向右再向上亦可)．【点睛】本题综合考查了平移的性质，几何概率的知识以及正方形的性质．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．24．（1）老师有16名，学生有284名；租用客车总数为8辆；（2）w＝100x+2400；（3）共有3种租车方案：①租用甲种客车3辆，乙种客车5辆，租车费用为2900元；②租用甲种客车2辆，乙种客车6辆，租车费用为3000元；③租用甲种客车1辆，乙种客车7辆，租车费用为3100元；最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆．【解析】【分析】（1）设出老师有x名，学生有y名，得出二元一次方程组，解出即可；再由每辆客车上至少要有2名老师，且要保证300名师生有车坐，可得租用客车总数；（2）由租用x辆乙种客车，得甲种客车数为：（8﹣x）辆，由题意得出w＝400x+300（8﹣x）即可；（3）由题意得出400x+300（8﹣x）≤3100，且x≥5，得出x取值范围，分析得出即可．【详解】解：（1）设老师有x名，学生有y名．依题意，列方程组1712 184x yx y=-⎧⎨=+⎩，解得：16284 xy=⎧⎨=⎩，∵每辆客车上至少要有2名老师，∴汽车总数不能超过8辆；又要保证300名师生有车坐，汽车总数不能小于30050427=（取整为8）辆，综合起来可知汽车总数为8辆；答：老师有16名，学生有284名；租用客车总数为8辆．（2）∵租用x辆乙种客车，∴甲种客车数为：（8﹣x）辆，∴w＝400x+300（8﹣x）＝100x+2400．（3）∵租车总费用不超过3100元，租用乙种客车不少于5辆，∴400x+300（8﹣x）≤3100，x≥5解得：5≤x≤7，为使300名师生都有座，∴42x+30（8﹣x）≥300，解得：x≥5，∴5≤x≤7，（x为整数），∴共有3种租车方案：方案一：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆，租车费用为2900元；方案二：租用甲种客车2辆，乙种客车6辆，租车费用为3000元；方案三：租用甲种客车1辆，乙种客车7辆，租车费用为3100元；故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用与一次不等式的综合应用，由题意得出租用x辆甲种客车与租车费用的不等式关系是解决问题的关键．25．方程有两个不相等的实数根．【解析】【分析】先解不等式组得到﹣1≤m＜1,再计算判别式得到△＝4（4﹣m）,则利用m的范围可判断△＞0,从而得到方程有两个不相等的实数根．【详解】解:解不等式组得到﹣1≤m＜1,△＝42﹣4×1×m＝4（4﹣m）,因为﹣1≤m＜1,所以4﹣m＞0,所以△＞0,所以方程有两个不相等的实数根.【点睛】本题主要考查根的判别式的作用,解决本题的关键是要熟练掌握根的判别式与一元二次方程根的关系.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3，则AC 的长是（ ）A．B．C ．D ．72．下列运算正确的是（ ） A.236a a a ⋅=B.336a a a +=C.22a a -=-D.326()a a -=3．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x 匹，小马有y 匹，那么可列方程组为（ ）A ．10033100x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．1003100x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．100131003x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩D ．1003100x y x y +=⎧⎨+=⎩ 4．若4＜k ＜5，则k 的可能值是（ ） ABC ．D5．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A 、B 在反比例函数y ＝kx（k ＞0，x ＞0）的图象上，点A 、B 横坐标分别为2和6，对角线BD ∥x 轴，若菱形ABCD 的面积为40，则k 的值为（ ）A.15B.10C.152D.56．已知在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，AO ＝CO ，如果添加下列一个条件后，就能判定这个四边形是菱形的是（ ） A.BO ＝DOB.AB ＝BCC.AB ＝CDD.AB ∥CD7．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在和之间（不包括端点）．有下列结论：①当时，；②；③；④．其中正确的结论有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个8．近日，海南省旅游委通报了2019年春节黄金周假日旅游工作情况，该省共接待游客5670万人次.数据5670万用科学记数法表示为（ ） A ．556.710⨯B ．65.6710⨯C ．656.710⨯D ．75.6710⨯9．如图，点A （﹣2，0），B （0，1），以线段AB 为边在第二象限作矩形ABCD ，双曲线y ＝kx（k ＜0）过点D ，连接BD ，若四边形OADB 的面积为6，则k 的值是（ ）A ．﹣9B ．﹣12C ．﹣16D ．﹣1810．如图，AD ，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线．若AB=AC ，∠CAD=20°，则∠ACE 的度数是（ ）A.20°B.35°C.40°D.70°11．如图所示，90,,E F B C AE AF ∠=∠=∠=∠=，结论：①EM FN =；②CD DN =；③FAN EAM ∠=∠；④ACN ABM ∆≅∆，其中正确的是有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．下列计算正确的是（ ）A ．（b ﹣a ）（a+b ）＝a 2﹣b 2B ．2212255x xy x y ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭C ．（﹣2x 2）3＝﹣6x 3y 6D ．（6x 3y 2）÷（3x ）＝2x 2y 2二、填空题13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B(0,6)，M(0,2)，点Q 在直线AB 上，把BMQ 沿着直线MQ 翻折，点B 落在点P 处，联结PQ ，如果直线PQ 与直线AB 所构成的夹角为60°，那么点P 的坐标是____________14．如图，AD 为ABC △的角平分线，AC BC = ，E 在AC 延长线上，且AD DE =，若6,2AB CE ==，则BD 的长为______.15．2016年鄂尔多斯市实现生产总值4417.9亿元，按可比价格计算，比上年增长7.3%，在内蒙古自治区排名第一，将数据“4417.9亿元”精确到十亿位表示为______元.16．把抛物线y=2（x-1）2+1向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为______．17．如图，有一个横截面边缘为抛物线的水泥门洞，门洞内的地面宽度为8m ，两侧蹑地面4m 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m ，则这个门洞的高度为_______m .（精确到0.1m ）18．n 个数据2、4、6、8、…．、2n ，这组数据的中位数是_____．(用含n 的代数式表示) 三、解答题19．在平面直角坐标系中，反比例函数y ＝kx（x ＞0，k ＞0图象上的两点（n ，3n ）、（n+1，2n ）． （1）求n 的值；（2）如图，直线l 为正比例函数y ＝x 的图象，点A 在反比例函数y ＝kx（x ＞0，k ＞0）的图象上，过点A作AB⊥l于点B，过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥BC于点D，记△BOC的面积为S1，△ABD 的面积为S2，求S1﹣S2的值．20．已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．（1）求证：△OCP∽△PDA；（2）若tan∠PAO＝12，求边AB的长．21．已知点E、F分别是▱ABCD的边BC、AD的中点．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若BC＝10，∠BAC＝90°，求▱AECF的周长．22．已知关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0．（1）当t＝3时，解这个方程；（2）若m，n是方程的两个实数根，设Q＝（m﹣2）（n﹣2），试求Q的最小值．23．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若BF＝8，DF＝4，求CD的长．24．如图，在△ABD中，AB＝AD，AB是⊙O的直径，DA、DB分别交⊙O于点E、C，连接EC，OE，OC．（1）当∠BAD是锐角时，求证：△OBC≌△OEC；（2）填空：①若AB＝2，则△AOE的最大面积为；②当DA与⊙O相切时，若AB AC的长为．25．如图，工人师傅用一块长为10分米，宽为6分米的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形；（厚度不计）（1）当长方体底面面积为12平方分米时，裁掉的正方形边长为______分米；（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍，且将容器的外表面进行防锈处理，其侧面处理费用为0.5元/平方分米，底面处理费用为2元/平方分米；求：裁掉的正方形边长为多大时，防锈处理总费用最低，最低为多少？【参考答案】***一、选择题二、填空题-或4)13．(-或(0,2)14．215．42×101116．y=2x2+117．118．n+1三、解答题19．（1）2（2）6【解析】【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到n•3n＝（n+1）•2n，然后解方程可得n的值；（2）设B（m，m），利用△OBC为等腰直角三角形得到∠OBC＝45°，再证明△ABD为等腰直角三角形，则可设BD ＝AD ＝t ，所以A （m+t ，m ﹣t ），把A （m+t ，m ﹣t ）代入y ＝12x 中得到m 2﹣t 2＝12，然后利用整体代入的方法计算S 1﹣S 2．【详解】解：（1）∵反比例函数y ＝k x（x ＞0，k ＞0图象上的两点（n ，3n ）、（n+1，2n ）． ∴n•3n＝（n+1）•2n，解得n ＝2或n ＝0（舍去），∴n 的值为2；（2）反比例函数解析式为y ＝12x ， 设B （m ，m ），∵OC ＝BC ＝m ，∴△OBC 为等腰直角三角形，∴∠OBC ＝45°，∵AB ⊥OB ，∴∠ABO ＝90°，∴∠ABC ＝45°，∴△ABD 为等腰直角三角形，设BD ＝AD ＝t ，则A （m+t ，m ﹣t ），∵A （m+t ，m ﹣t ）在反比例函数解析式为y ＝12x 上， ∴（m+t ）（m ﹣t ）＝12，∴m 2﹣t 2＝12，∴S 1﹣S 2＝2211112222m t -=⨯＝6． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义：在反比例函数y ＝k x（k≠0）图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质．20．（1）见解析；（2）AB ＝10．【解析】【分析】（1）只需要证明两对对应角分别相等即可证明相似（2）根据题①可知CP ＝4，设BO ＝x ，则CO ＝8﹣x ，PD ＝2（8﹣x ），即可解答【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°．由折叠，可知：∠APO ＝∠B ＝90°，∴∠APD+∠CPO ＝90°．∵∠APD+∠DAP ＝90°，∴∠DAP ＝∠CPO ，∴△OCP∽△PDA；（2）解：由折叠，可知：∠APO＝∠B＝90°，AP＝AB，PO＝BO，tan∠PAO＝POAP＝BOAB＝12．∵△OCP∽△PDA，∴12 PO OC CPAP PD DA===∵AD＝8，∴CP＝4．设BO＝x，则CO＝8﹣x，PD＝2（8﹣x），∴AB＝2x＝CD＝PD+CP＝2（8﹣x）+4，解得：x＝5，∴AB＝10．【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质和折叠问题，解题关键在于证明全等21．（1）证明见解析；（2）20.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质即可得到结论；（2）根据直角三角形的性质得到AE=CE=12BC=5，推出四边形AECF是菱形，于是得到结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵点E、F分别是▱ABCD的边BC、AD的中点，∴AF=12AD，CE＝12BC，∴AF＝CE，AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形；（2）∵BC＝10，∠BAC＝90°，E是BC的中点．∴AE＝CE＝12BC＝5，∴四边形AECF是菱形，∴▱AECF的周长＝4×5＝20．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质和菱形的判定，关键是掌握平行四边形对边相等，对角相等；邻边相等的平行四边形是菱形．22．（1）x 1＝3，x 2＝；（2）Q 的最小值是﹣1．【解析】【分析】（1）把t ＝3代入x 2﹣2tx+t 2﹣2t+4＝0，再利用公式法即可求出答案；（2）由根与系数的关系可得出m+n ＝2t 、mn ＝t 2﹣2t+4，将其代入（m ﹣2）（n ﹣2）＝mn ﹣2（m+n ）+4中可得出（m ﹣2）（n ﹣2）＝（t ﹣3）2﹣1，由方程有两个实数根结合根的判别式可求出t 的取值范围，再根据二次函数的性质即可得出（m ﹣2）（n ﹣2）的最小值．【详解】（1）当t ＝3时，原方程即为x 2﹣6x+7＝0，3x ==±解得13x =23x =（2）∵m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣2tx+t 2﹣2t+4＝0的两实数根，∴m+n ＝2t ，mn ＝t 2﹣2t+4，∴（m ﹣2）（n ﹣2）＝mn ﹣2（m+n ）+4＝t 2﹣6t+8＝（t ﹣3）2﹣1．∵方程有两个实数根，∴△＝（﹣2t ）2﹣4（t 2﹣2t+4）＝8t ﹣16≥0，∴t≥2，∴（t ﹣3）2﹣1≥（3﹣3）2﹣1＝﹣1．故Q 的最小值是﹣1．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的解法．23．（1）见解析；（2）CD ＝5．【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得到AD ∥BC 且AD ＝BC ，等量代换得到BC ＝EF ，推出四边形AEFD 是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论，（2）设BC ＝CD ＝x ，则CF ＝8﹣x 根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）证明：∵在菱形ABCD 中，∴AD ∥BC 且AD ＝BC ，∵BE ＝CF ，∴BC ＝EF ，∴AD ＝EF ，∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四边形AEFD是矩形.（2）解：设BC＝CD＝x，则CF＝8﹣x，在Rt△DCF中，∵x2＝（8﹣x）2+42 ，∴x＝5，∴CD＝5．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．24．（1）见解析；（2）①S△AOE最大＝12；②AC＝1.【解析】【分析】（1）利用垂直平分线，判断出∠BAC＝∠DAC，得出EC＝BC，用SSS判断出结论；（2）①先判断出三角形AOE面积最大，只有点E到直径AB的距离最大，即是圆的半径即可；②根据切线的性质和等腰直角三角形的性质解答即可．【详解】（1）连接AC，如图1，∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BD，∵AD＝AB，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC EC=，∴BC＝EC，在△OBC和△OEC中BC EC OB E OC COO=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△OBC≌△OEC（SSS），（2）①∵AB是⊙O的直径，且AB＝2，∴OA＝1，设△AOE的边OA上的高为h，。
2019年江苏省苏州市中考数学试题及参考答案(word解析版)
2019年江苏省苏州市中考数学试题及参考答案与解析（满分130分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题要求的．1．5的相反数是（）A．B．﹣C．5 D．﹣52．有一组数据：2，2，4，5，7，这组数据的中位数为（）A．2 B．4 C．5 D．73．苏州是全国重点旅游城市，2018年实现旅游总收入约为26000000万元，数据26000000用科学记数法可表示为（）A．0.26×108B．2.6×108C．26×106D．2.6×1074．如图，已知直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点A，B．若∠1＝54°，则∠2等于（）A．126°B．134°C．136°D．144°5．如图，AB为⊙O的切线，切点为A连接AO、BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD．若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为（）A．54°B．36°C．32°D．27°6．小明用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为x元，根据题意可列出的方程为（）A．＝B．＝C．＝D．＝7．若一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象经过点A（0，﹣1），B（1，1），则不等式kx+b＞1的解为（）A．x＜0 B．x＞0 C．x＜1 D．x＞18．如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18 m的地面上，若测角仪的高度是1.5m．测得教学楼的顶部A处的仰角为30°．则教学楼的高度是（）A．55.5m B．54m C．19.5m D．18m9．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'．当点A'与点C重合时，点A与点B'之间的距离为（）A．6 B．8 C．10 D．1210．如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD＝AB＝2，AD⊥AB．过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E．若DE＝1，则△ABC的面积为（）A．4B．4 C．2D．8二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．11．计算：a2•a3＝．12．因式分解：x2﹣xy＝．13．若在实数范围内有意义，则x的取值范围为．14．若a+2b＝8，3a+4b＝18，则a+b的值为．15．“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．图①是由边长为10cm的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形．该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为cm（结果保留根号）．16．如图，将一个棱长为3的正方体的表面涂上红色，再把它分割成棱长为1的小正方体，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为．17．如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°．P为弧AB上的一点，过点P作PC⊥OA，垂足为C，PC 与AB交于点D．若PD＝2，CD＝1，则该扇形的半径长为．18．如图，一块含有45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为8cm，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为cm，则图中阴影部分的面积为cm2（结果保留根号）．三、解答题；本大题共10小题，共76分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．19．（5分）计算：（）2+|﹣2|﹣（π﹣2）020．（5分）解不等式组：21．（6分）先化简，再求值：÷（1﹣），其中，x＝﹣3．22．（6分）在一个不透明的盒子中装有4张卡片，4张卡片的正面分别标有数字1，2，3，4，这些卡片除数字外都相同，将卡片搅匀．（1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是；（2）先从盒了中任意抽取一张卡片，再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片，求抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率．（请用画树状图或列表等方法求解）．23．（8分）某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模、“围棋”四个课外兴趣小组，要求每人必须参加，并且只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出），请你根据给出的信息解答下列问题：（1）求参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；（2）m＝，n＝；（3）若该校共有1200名学生，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人？24．（8分）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．（1）求证：EF＝BC；（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．25．（8分）如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB＝2．（1）求k的值；（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，求的值．26．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．（1）求证：DO∥AC；（2）求证：DE•DA＝DC2；（3）若tan∠CAD＝，求sin∠CDA的值．27．（10分）已知矩形ABCD中，AB＝5cm，点P为对角线AC上的一点，且AP＝2cm．如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着A→B→C的方向匀速运动（不包含点C）．设动点M的运动时间为t（s），△APM的面积为S（cm2），S与t的函数关系如图②所示．（1）直接写出动点M的运动速度为cm/s，BC的长度为cm；（2）如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着D→C→B的方向匀速运动，设动点N的运动速度为v （cm/s）．已知两动点M，N经过时间x（s）在线段BC上相遇（不包含点C），动点M，N相遇后立即同时停止运动，记此时△APM与△DPN的面积分别为S1（cm2），S2（cm2）①求动点N运动速度v（cm/s）的取值范围；②试探究S1•S2是否存在最大值，若存在，求出S1•S2的最大值并确定运动时间x的值；若不存在，请说明理由．28．（10分）如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．（1）求a的值；（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A 是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠PAQ＝∠AQB，求点Q的坐标．参考答案与解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题要求的．1．5的相反数是（）A．B．﹣C．5 D．﹣5【知识考点】相反数．【思路分析】根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答．【解答过程】解：5的相反数是﹣5．故选：D．【总结归纳】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．2．有一组数据：2，2，4，5，7，这组数据的中位数为（）A．2 B．4 C．5 D．7【知识考点】中位数．【思路分析】将数据从小到大重新排列后根据中位数的定义求解可得．【解答过程】解：这组数据排列顺序为：2，2，4，5，7，∴这组数据的中位数为4，故选：B．【总结归纳】本题主要考查中位数，熟练掌握中位数的定义是解题的关键．3．苏州是全国重点旅游城市，2018年实现旅游总收入约为26000000万元，数据26000000用科学记数法可表示为（）A．0.26×108B．2.6×108C．26×106D．2.6×107【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答过程】解：将26000000用科学记数法表示为：2.6×107．故选：D．【总结归纳】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．如图，已知直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点A，B．若∠1＝54°，则∠2等于（）A．126°B．134°C．136°D．144°【知识考点】平行线的性质．【思路分析】直接利用平行线的性质得出∠3的度数，再利用邻补角的性质得出答案．【解答过程】解：如图所示：∵a∥b，∠1＝54°，∴∠1＝∠3＝54°，∴∠2＝180°﹣54°＝126°．故选：A．【总结归纳】此题主要考查了邻补角的性质以及平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．5．如图，AB为⊙O的切线，切点为A连接AO、BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD．若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为（）A．54°B．36°C．32°D．27°【知识考点】圆周角定理；切线的性质．【思路分析】由切线的性质得出∠OAB＝90°，由直角三角形的性质得出∠AOB＝90°﹣∠ABO ＝54°，由等腰三角形的性质得出∠ADC＝∠OAD，再由三角形的外角性质即可得出答案．【解答过程】解：∵AB为⊙O的切线，∴∠OAB＝90°，∵∠ABO＝36°，∴∠AOB＝90°﹣∠ABO＝54°，∵OA＝OD，∴∠ADC＝∠OAD，∵∠AOB＝∠ADC+∠OAD，∴∠ADC＝∠AOB＝27°；故选：D．【总结归纳】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握切线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．6．小明用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为x元，根据题意可列出的方程为（）A．＝B．＝C．＝D．＝【知识考点】由实际问题抽象出分式方程．【思路分析】直接利用用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本，得出等式求出答案．【解答过程】解：设软面笔记本每本售价为x元，根据题意可列出的方程为：＝．故选：A．【总结归纳】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键．7．若一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象经过点A（0，﹣1），B（1，1），则不等式kx+b＞1的解为（）A．x＜0 B．x＞0 C．x＜1 D．x＞1【知识考点】一次函数与一元一次不等式．【思路分析】直接利用已知点画出函数图象，利用图象得出答案．【解答过程】解：如图所示：不等式kx+b＞1的解为：x＞1．故选：D．【总结归纳】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合分析是解题关键．8．如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18 m的地面上，若测角仪的高度是1.5m．测得教学楼的顶部A处的仰角为30°．则教学楼的高度是（）A．55.5m B．54m C．19.5m D．18m【知识考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【思路分析】根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．【解答过程】解：过D作DE⊥AB，∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为30°，∴∠ADE＝30°，∵BC＝DE＝18m，∴AE＝DE•tan30°＝18m，∴AB＝AE+BE＝AE+CD＝18+1.5＝19.5m，故选：C．【总结归纳】此题考查了仰角的定义．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．9．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'．当点A'与点C重合时，点A与点B'之间的距离为（）A．6 B．8 C．10 D．12【知识考点】菱形的性质；平移的性质．【思路分析】由菱形的性质得出AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝2，OB＝OD＝BD＝8，由平移的性质得出O'C＝OA＝2，O'B'＝OB＝8，∠CO'B'＝90°，得出AO'＝AC+O'C＝6，由勾股定理即可得出答案．【解答过程】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝2，OB＝OD＝BD＝8，∵△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'，点A'与点C重合，∴O'C＝OA＝2，O'B'＝OB＝8，∠CO'B'＝90°，∴AO'＝AC+O'C＝6，∴AB'＝＝＝10；故选：C．【总结归纳】本题考查了菱形的性质、平移的性质、勾股定理；熟练掌握菱形的性质和平移的性质是解题的关键．10．如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD＝AB＝2，AD⊥AB．过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E．若DE＝1，则△ABC的面积为（）A．4B．4 C．2D．8【知识考点】等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质．【思路分析】由题意得到三角形DEC与三角形ABC相似，由相似三角形面积之比等于相似比的平方两三角形面积之比，进而求出四边形ABDE与三角形ABC面积之比，求出四边形ABDE面积，即可确定出三角形ABC面积．【解答过程】解：∵AB⊥AD，AD⊥DE，∴∠BAD＝∠ADE＝90°，∴DE∥AB，∴∠CED＝∠CAB，∵∠C＝∠C，∴△CED∽△CAB，∵DE＝1，AB＝2，即DE：AB＝1：2，∴S△DEC：S△ACB＝1：4，∴S四边形ABDE：S△ACB＝3：4，∵S四边形ABDE＝S△ABD+S△ADE＝×2×2+×2×1＝2+1＝3，∴S△ACB＝4，故选：B．【总结归纳】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．11．计算：a2•a3＝．【知识考点】同底数幂的乘法．【思路分析】根据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可．【解答过程】解：a2•a3＝a2+3＝a5．故答案为：a5．【总结归纳】熟练掌握同底数的幂的乘法的运算法则是解题的关键．12．因式分解：x2﹣xy＝．【知识考点】因式分解﹣提公因式法．【思路分析】直接提取公因式x，进而分解因式即可．【解答过程】解：x2﹣xy＝x（x﹣y）．故答案为：x（x﹣y）．【总结归纳】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．13．若在实数范围内有意义，则x的取值范围为．【知识考点】二次根式有意义的条件．【思路分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【解答过程】解：若在实数范围内有意义，则x﹣6≥0，解得：x≥6．故答案为：x≥6．【总结归纳】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．14．若a+2b＝8，3a+4b＝18，则a+b的值为．【知识考点】整式的加减；解二元一次方程组．【思路分析】直接利用已知解方程组进而得出答案．【解答过程】解：∵a+2b＝8，3a+4b＝18，则a＝8﹣2b，代入3a+4b＝18，解得：b＝3，则a＝2，故a+b＝5．故答案为：5．【总结归纳】此题主要考查了解二元一次方程组，正确掌握解题方法是解题关键．15．“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．图①是由边长为10cm的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形．该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为cm（结果保留根号）．【知识考点】七巧板．【思路分析】观察图形可知该“七巧板”中7块图形之一的正方形面积是大正方形面积的，先根据正方形面积公式求出大正方形面积，从而得到小正方形面积，进一步得到该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长．【解答过程】解：10×10＝100（cm2）＝（cm）答：该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为cm．故答案为：．【总结归纳】考查了七巧板，关键是得到该“七巧板”中7块图形之一的正方形面积是大正方形面积的．16．如图，将一个棱长为3的正方体的表面涂上红色，再把它分割成棱长为1的小正方体，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为．【知识考点】概率公式．【思路分析】直接根据题意得出恰有三个面涂有红色的有8个，再利用概率公式求出答案．【解答过程】解：由题意可得：小立方体一共有27个，恰有三个面涂有红色的有8个，故取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为：．故答案为：．【总结归纳】此题主要考查了概率公式的应用，正确得出三个面涂有红色小立方体的个数是解题关键．17．如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°．P为弧AB上的一点，过点P作PC⊥OA，垂足为C，PC 与AB交于点D．若PD＝2，CD＝1，则该扇形的半径长为．【知识考点】勾股定理；等腰直角三角形；圆的认识．【思路分析】连接OP，利用等腰三角形的性质可得出∠OAB＝45°，结合PC⊥OA可得出△ACD 为等腰直角三角形，进而可得出AC＝1，设该扇形的半径长为r，则OC＝r﹣1，在Rt△POC中，利用勾股定理可得出关于r的方程，解之即可得出结论．【解答过程】解：连接OP，如图所示．∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝45°．∵PC⊥OA，∴△ACD为等腰直角三角形，∴AC＝CD＝1．设该扇形的半径长为r，则OC＝r﹣1，在Rt△POC中，∠PCO＝90°，PC＝PD+CD＝3，∴OP2＝OC2+PC2，即r2＝（r﹣1）2+9，解得：r＝5．故答案为：5．【总结归纳】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形以及圆的认识，利用勾股定理，找出关于扇形半径的方程是解题的关键．18．如图，一块含有45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为8cm，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为cm，则图中阴影部分的面积为cm2（结果保留根号）．【知识考点】平行线之间的距离；等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质．【思路分析】图中阴影部分的面积＝外框大直角三角板的面积﹣内框小直角三角板的面积，根据等腰直角三角形的性质求出内框直角边长，再根据三角形面积公式计算即可求解．【解答过程】解：如图，EF＝DG＝CH＝，∵含有45°角的直角三角板，∴BC＝，GH＝2，∴FG＝8﹣﹣2﹣＝6﹣2，∴图中阴影部分的面积为：8×8÷2﹣（6﹣2）×（6﹣2）÷2＝32﹣22+12＝10+12（cm2）答：图中阴影部分的面积为（10）cm2．故答案为：（10）．【总结归纳】考查了等腰直角三角形，相似三角形的判定与性质，平行线之间的距离，关键是求出内框直角边长．三、解答题；本大题共10小题，共76分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．19．（5分）计算：（）2+|﹣2|﹣（π﹣2）0【知识考点】实数的运算；零指数幂．【思路分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答过程】解：原式＝3+2﹣1＝4．【总结归纳】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．（5分）解不等式组：【知识考点】解一元一次不等式组．【思路分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答过程】解：解不等式x+1＜5，得：x＜4，解不等式2（x+4）＞3x+7，得：x＜1，则不等式组的解集为x＜1．【总结归纳】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21．（6分）先化简，再求值：÷（1﹣），其中，x＝﹣3．【知识考点】分式的化简求值．【思路分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．【解答过程】解：原式＝÷（﹣）＝÷＝•＝，当x＝﹣3时，原式＝＝＝．【总结归纳】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．22．（6分）在一个不透明的盒子中装有4张卡片，4张卡片的正面分别标有数字1，2，3，4，这些卡片除数字外都相同，将卡片搅匀．（1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是；（2）先从盒了中任意抽取一张卡片，再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片，求抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率．（请用画树状图或列表等方法求解）．【知识考点】概率公式；列表法与树状图法．【思路分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）用列表法将所有等可能的结果一一列举出来即可，找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算．【解答过程】解：（1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是为＝，故答案为：．（2）根据题意列表得：由表可知，共有12种等可能结果，其中抽取的2张卡片标有数字之和大于4的有8种结果，所以抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率为＝．【总结归纳】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图或表格，求出相应的概率．23．（8分）某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模、“围棋”四个课外兴趣小组，要求每人必须参加，并且只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出），请你根据给出的信息解答下列问题：（1）求参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；（2）m＝，n＝；（3）若该校共有1200名学生，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人？【知识考点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．【思路分析】（1）由书法小组人数及其对应百分比可得总人数，再根据各小组人数之和等于总人数求得航模人数，从而补全图形；（2）根据百分比的概念可得m、n的值；（3）总人数乘以样本中围棋的人数所占百分比．【解答过程】解：（1）参加这次问卷调查的学生人数为30÷20%＝150（人），航模的人数为150﹣（30+54+24）＝42（人），补全图形如下：（2）m%＝×100%＝36%，n%＝×100%＝16%，即m＝36、n＝16，故答案为：36、16；（3）估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有1200×16%＝192（人）．【总结归纳】本题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．24．（8分）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．（1）求证：EF＝BC；（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．【知识考点】全等三角形的判定与性质；旋转的性质．【思路分析】（1）由旋转的性质可得AC＝AF，利用SAS证明△ABC≌△AEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出EF＝BC；（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠BAE＝180°﹣65°×2＝50°，那么∠FAG＝50°．由△ABC≌△AEF，得出∠F＝∠C＝28°，再根据三角形外角的性质即可求出∠FGC＝∠FAG+∠F＝78°．【解答过程】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠BAC＝∠EAF．∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，∴AC＝AF．在△ABC与△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴EF＝BC；（2）解：∵AB＝AE，∠ABC＝65°，∴∠BAE＝180°﹣65°×2＝50°，∴∠FAG＝∠BAE＝50°．∵△ABC≌△AEF，∴∠F＝∠C＝28°，∴∠FGC＝∠FAG+∠F＝50°+28°＝78°．【总结归纳】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明△ABC≌△AEF是解题的关键．25．（8分）如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB＝2．（1）求k的值；（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，求的值．【知识考点】反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定与性质．【思路分析】（1）过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，利用等腰三角形的性质可得出DH的长，利用勾股定理可得出AH的长，进而可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；（2）由OB的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出BC的长，利用三角形中位线定理可求出MH的长，进而可得出AM的长，由AM∥BC可得出△ADM∽△BDC，利用相似三角形的性质即可求出的值．【解答过程】解：（1）过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示．∵OA＝AB，AH⊥OB，∴OH＝BH＝OB＝2，∴AH＝＝6，∴点A的坐标为（2，6）．∵A为反比例函数y＝图象上的一点，∴k＝2×6＝12．（2）∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝上，∴BC＝＝3．∵AH∥BC，OH＝BH，∴MH＝BC＝，∴AM＝AH﹣MH＝．∵AM∥BC，∴△ADM∽△BDC，∴＝＝．【总结归纳】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用等腰三角形的性质及勾股定理，求出点A的坐标；（2）利用相似三角形的性质求出的值．26．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．（1）求证：DO∥AC；（2）求证：DE•DA＝DC2；（3）若tan∠CAD＝，求sin∠CDA的值．【知识考点】圆的综合题．【思路分析】（1）点D是中点，OD是圆的半径，又OD⊥BC，而AB是圆的直径，则∠ACB ＝90°，故：AC∥OD；（2）证明△DCE∽△DCA，即可求解；（3）＝3，即△AEC和△DEF的相似比为3，设：EF＝k，则CE＝3k，BC＝8k，tan∠CAD ＝，则AC＝6k，AB＝10k，即可求解．【解答过程】解：（1）∵点D是中点，OD是圆的半径，∴OD⊥BC，∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC∥OD；（2）∵，∴∠CAD＝∠DCB，∴△DCE∽△DCA，∴CD2＝DE•DA；（3）∵tan∠CAD＝，∴△DCE和△DAC的相似比为：，设：DE＝a，则CD＝2a，AD＝4a，AE＝3a，∴＝3，即△AEC和△DEF的相似比为3，设：EF＝k，则CE＝3k，BC＝8k，tan∠CAD＝，∴AC＝6k，AB＝10k，∴sin∠CDA＝．【总结归纳】本题为圆的综合运用题，涉及到三角形相似等知识点，本题的关键是通过相似比，确定线段的比例关系，进而求解．27．（10分）已知矩形ABCD中，AB＝5cm，点P为对角线AC上的一点，且AP＝2cm．如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着A→B→C的方向匀速运动（不包含点C）．设动点M的运动时间为t（s），△APM的面积为S（cm2），S与t的函数关系如图②所示．（1）直接写出动点M的运动速度为cm/s，BC的长度为cm；（2）如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着D→C→B的方向匀速运动，设动点N的运动速度为v （cm/s）．已知两动点M，N经过时间x（s）在线段BC上相遇（不包含点C），动点M，N相遇后立即同时停止运动，记此时△APM与△DPN的面积分别为S1（cm2），S2（cm2）①求动点N运动速度v（cm/s）的取值范围；②试探究S1•S2是否存在最大值，若存在，求出S1•S2的最大值并确定运动时间x的值；若不存在，请说明理由．【知识考点】四边形综合题．【思路分析】（1）由题意得t＝2.5s时，函数图象发生改变，得出t＝2.5s时，M运动到点B处，得出动点M的运动速度为：＝2cm/s，由t＝7.5s时，S＝0，得出t＝7.5s时，M运动到点C处，得出BC＝10（cm）；（2）①由题意得出当在点C相遇时，v＝＝（cm/s），当在点B相遇时，v＝＝6（cm/s），即可得出答案；②过P作EF⊥AB于F，交CD于E，则EF∥BC，由平行线得出＝，得出AF＝2，DE＝AF＝2，CE＝BF＝3，由勾股定理得出PF＝4，得出EP＝6，求出S1＝S△APM＝S△APF+S梯形PFBM ﹣S△ABM＝﹣2x+15，S2＝S△DPM＝S△DEP+S梯形EPMC﹣S△DCM＝2x，得出S1•S2＝（﹣2x+15）×2x＝﹣4x2+30x＝﹣4（x﹣）2+，即可得出结果．【解答过程】解：（1）∵t＝2.5s时，函数图象发生改变，∴t＝2.5s时，M运动到点B处，∴动点M的运动速度为：＝2cm/s，∵t＝7.5s时，S＝0，∴t＝7.5s时，M运动到点C处，∴BC＝（7.5﹣2.5）×2＝10（cm），故答案为：2，10；（2）①∵两动点M，N在线段BC上相遇（不包含点C），∴当在点C相遇时，v＝＝（cm/s），当在点B相遇时，v＝＝6（cm/s），∴动点N运动速度v（cm/s）的取值范围为cm/s＜v≤6cm/s；②过P作EF⊥AB于F，交CD于E，如图3所示：则EF∥BC，EF＝BC＝10，∴＝，∵AC＝＝5，∴＝，解得：AF＝2，∴DE＝AF＝2，CE＝BF＝3，PF＝＝4，∴EP＝EF﹣PF＝6，∴S1＝S△APM＝S△APF+S梯形PFBM﹣S△ABM＝×4×2+（4+2x﹣5）×3﹣×5×（2x﹣5）＝﹣2x+15，。
苏州市2019年中考《坐标系中三角形周长最小值问题》复习指导
利“刃”在手亿“折”成“直”—例析坐标系中三角形周长最小值问题在近几年的各地中考中，与线段相关的最值问题频频出现，已然成为一道亮丽的风景线.而其中以平面直角坐标系为载体来设计三角形周长最小值问题，更是中考命题所关注的热点之一本文以近几年中考题为例，归纳其类型与解法，供参考.1.三角形的三个顶点中仅有一个顶点是动点例1 (2019年河南省，有改动)如图1，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上点A 、C 间的一个动点(含端点)，过点P 作PF BC ⊥于点F .点D 、E 的坐标分别为(0,6),(-4,0)，连接,,PD PE DE .是否存在点P ，使PDE ∆的周长最小?若存在，求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由.分析 存在.理由:易求抛物线的解析式为2188y x =-+.设21(,8)8P m m -+(80)m -≤≤，则2221118(8),2888PF m m PD m =--+===+，故2PD PF =+, PDE ∆的周长=2DE EP PD DE EP PF ++=+++.如图2，过E 点作EG BC ⊥于点G .当,,E P F 三点共线，即点P 为EG 与抛物线的交点时，EP PF +的值最小，此时214,(4)868P E P x x y ==-=-⨯-+=，所以PDE ∆周长最小时点P 的坐标为(-4,6).点评 本例三角形的三个顶点中，点P 为动点，点,D E 均为定点.由于DE 的长为定值，欲使PDE ∆的周长最小，只需满足PD PE +的值最小即可.进而利用“点P 运动的过程中，PD 与PF 的差为定值”这一有力武器，将问题转化为“求定直线BC 上一动点F 与直线外一定点E 的距离的最小值”，最终借助“连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”确定点P 的位置.例2 (2019年山西省，有改动)如图3，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点.请在直线AC 上找一点M ，使BDM ∆的周长最小，求出M 点的坐标.分析 易知(1,0),(3,0),(0,3),(1,4)A B C D -，故4,10AB AC ===，直线AC 的解析式为33y x =+.如图4，作点B 关于直线AC 的对称点B '，连接B D ',交AC 于点M ，则BDM ∆即为符合题意的周长最小的三角形.(证明如下:不妨在直线AC 上取异于点M 的任一点M '，连接,,B M DM BM ''''.由对称性可知:,BM B M BM B M ''''==，于是BDM ∆的周长=B M '+,DM BD BDM '+∆的周长=B M DM BD '''++.而在B DM ''∆中，B M DM B D ''''+>，即B M DM B M DM ''''+>+，所以BDM '∆的周长大于BDM ∆的周长.)若BB '交AC 于点E ，则90,22cos 2cos ABE CAO ACO BB BE AB ABE AB ACO '∠=︒-∠=∠==⋅∠=⋅∠24=⨯=过B '点作B F x '⊥轴于点F ，则362133cos 355B x BF BB ABE ''=-=-⋅∠=-=-，12sin sin 5B y B F BB ABE BB ACO ''''==⋅∠=⋅∠==，故2112(,)55B '-, 易求直线B D '的解析式为4481313y x =+. 联立解方程组448131333y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，得93513235x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以M 点的坐标为9132(,)3535. 点评 本例三角形的三个顶点中，点M 为动点，点B 、D 均为定点，且均位于动点M 所在直线AC 的同一侧.通过寻找定点B 关于动点M 所在直线AC 的对称点B ' ,将问题转化为“求定直线AC 上一动点M 与直线异侧两定点B ',B 的距离和的最小值”，从而可利用“三角形任意两边之和大于第三边”加似解决(当B '、M 、D 三点共线，即点M 为直线B D '与直线AC 的交点时，DM BM +的值最小，此时BDM ∆的周长最小).2.三角形的三个顶点中有两个顶点是动点例 3 (2019年湖南张家界，有改动)如图5，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过点(0,1)C ，顶点为(2,3)Q ，点D 在x 轴正半轴上，且OD OC =.将直线CD 绕点C 逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E ，若点P 是线段QE 上的动点，点F 是线段OD 上的动点，问:在P 点和F 点移动过程中，PCF ∆的周长是否存在最小值?若存在，求出这个最小值;若不存在，请说明理由.分析 存在.理由:如图6，分别作点C 关于直线,QE x 轴的对称点,C C '''，连接C C '''，交OD 于点F ，交QE 于点P ，则PCF ∆即为符合题意的周长最小的三角形，此时PCF ∆的周长等于线段C C '''的长.(证明如下:不妨在线段OD 上取异于点F 的任一点F '，在线段QE 上取异于点P 的任一点P '，连接,,,,CF CP F P F C P C '''''''''.由轴对称的性质可知P CF ''∆的周长=F C F P P C '''''''++，而F C F P P C '''''''++的值为折线段C P F C '''''---的长，由两点之间线段最短可知F C F P P C C C ''''''''''++>，即P CF ''∆的周长大于PCF ∆的周长.)如图6，过点Q 作QG y ⊥轴于点G ，过点C '作C H y '⊥轴于点H ，则CGO CHC '∆∆:，可得12CG QG CQ CH C H CC ===''，即2212CH C H =='.所以4,CH C H '==6C H CH CC ''''=+=.在Rt C HC '''∆中，C C '''===所以，在P 点和F 点移动过程中，PCF ∆的周长存在最小值，最小值为 点评 本例三角形的三个顶点中，点C 为定点，点P 、F 均为动点，且分别在定直线QE 、QD 上，通过寻找定点C 关于两个动点所在直线的对称点C '、C ''，就得到由三条与PCF ∆三边分别相等的线段组成的折线，然后借助“两点之间线段最短”化“折”成“直”(当C '、P 、F 、C ''四点共线，即点P 、F 分别为直线QE 、QD 与直线C C '''的交点时，PCF ∆的周长最小).3.三角形的三个顶点都是动点例4 (2019年辽宁沈阳，有改动)如图7，在平面直角坐标系中，抛物线224233y x x =--+与x 轴交于B 、C 两点(点B 在点C 的左侧)，与y 轴交于点A .若点P 是线段BC 上的动点(点P 不与点B 、C 重合)，点Q 是线段AB 上的动点(点Q 不与点A 、B 重合)点R 是线段AC 上的动点(点R 不与点A 、C 重合)，请直接写出PQR ∆周长的最小值.分析 易求(0,2),(3,0),(1,0)A B C -，故AB AC ====如图8，过点B 作BH AC ⊥于点H ，则BC OA BH BH BAC AC BA ⋅==∠==如图9，分别作点P 关于直线,AB AC 的对称点,P P '''，连接P P '''，交AB 于点Q ，交AC 于点R ，则PQR ∆是过点P 的ABC ∆的内接三角形中周长最小的三角形，且PQR ∆的周长等于线段P P '''的长. 若PP '交AB 于点,D PP ''交AC 于点E ，连接DE ，则90,ADP AEP DP ∠=∠=︒,DP EP EP '''==，故2P P DE '''=.连接AP ，取AP 的中点F ，连接EF ，则12DF EF AP ==，所以⊙F 为ADP ∆的外接圆，且点E 在⊙F 上.延长DF 交⊙F 于点G ，连接GE ，则90,DEG BAC DGE ∠=︒∠=∠，所以PQR ∆的周长22sin 2sin 2sin P P DE DG DGE AP BAC AO BAC '''===⋅∠=⋅∠≥⋅∠22=⨯=.如图10，当点P 与点O 重合时，PQR ∆. 点评 本例三角形的三个顶点均为动点，应采取“以退为进”的策略，即:先假设P 点的位置已经确定(即视点P 为一定点)，容易得出结论:待求三角形周长最小时，其周长等于线段P P '''的长，然后继续探究点P 的位置后，发现线段P P '''长度的最小值即为点A 到x 轴的距离.因为,2AP AP AP P AP BAC ''''''==∠=∠，所以AP P '''∆为等腰三角形，且其顶角P AP '''∠为定值.由于本例对解答过程不作要求，也可以根据“顶角为定值的等腰三角形底边长的最小值由腰长的最小值来确定”这一经验来判定点P 的位置.然而，对该例的思考却不止于此，我们还可以再进一步探索BR 和,AC CQ 和AB 的位置关系.参考本例分析问题的方法，我们可以得出这样的结论: ,,AP BR CQ 为锐角三角形ABC 的三条高，以,,P Q R 三个垂足为顶点的三角形即为周长最小的内接三角形证明留待读者自行完成.通过上述问题的探究，我们可以发现，解决此类问题通常可以采取的策略是:把已知问题转化成容易解决的问题，即关联我们熟知的几何基本模型，构造一条以动点为转折点的折线，从而为性质的运用创造条件.如:解答例1时，需分析点在运动的过程中保持不变的关系，将问题转化为“求定直线上一动点与直线外一定点的距离的最小值”问题，然后利用“垂线段最短”把折线化“折”成“直”.解答例2，例3时，则需牢牢抓住图形的几何特征，将问题转化为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离之和的最小值”问题，借助轴对称变换使两定点与定直线的位置关系发生改变，即化“同”为“异”，最后利用“三角形任意两边之和大于第三边”或“两点之间线段最短”把折线化“折”成“直”.例4题目的背景看似复杂，但图形上似乎可以捕捉到上述两个几何基本模型的“影子”，认清了这一点，便能使复杂问题简单化，迅速找到问题的突破口.在平面几何的教学中，教师要重视几何基本模型的提炼，帮助学生深刻领悟模型的本质特征，鼓励学生尝试从不同角度拓展模型，并在应用中彰显其魅力，从而促进学生解题经验的积累和思维水平的提升，真正提高学生的数学素养和解决问题的能力.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（ ）A.120°B.135°C.150°D.165°2．下表是某水库一周内水位高低的变化情况（用正数记水位比前一日上升数，用负数记下降数）．那么本周星期几水位最低（ ）A.星期二B.星期四C.星期六D.星期五 3．若数a 使关于x的不等式组2122274x x x a-⎧≤-+⎪⎨⎪+-⎩＞有且只有4个整数解，且使关于y 的分式方程211a y y+--=3的解为正数，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A.﹣2 B.0 C.3 D.6 4．不等式组20215x x -⎧⎨-⎩＞＜ 的解是（ ） A ．x ＞2 B ．x ＜3 C ．2＜x ＜3 D ．2＜x ＜65．如图所示的几何体的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，点P 是正方形ABCD 内一点，连接AP 并延长，交BC 于点Q ．连接DP ．将△ADP 绕点A 顺时针旋转90°至△ABP'．连结PP'，若AP=1，，，则正方形的边长为（ ）ABCD 7．方程2x 3x 0-=的解为( )A ．x 0=B ．x 3=C ．1x 0=，2x 3=-D ．1x 0=，2x 3=8．如图，AD 是△ABC 外接圆的直径．若∠B ＝64°，则∠DAC 等于（ ）A ．26°B ．28°C ．30°D ．32°9．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0，1），点B 是x 轴正半轴上一点，以AB 为边作等腰直角三角形ABC ，使∠BAC ＝90°，点C 在第一象限，若点C 在函数y=3x（x ＞0）的图象上，则△ABC 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．52D ．3．10．如图，在平面直角坐标系中2条直线为12:33,:39l y x l y x =-+=-+,直线1l 交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,直线2l 交x 轴于点D ,过点B 作x 轴的平行线交2l 于点C ,点A E 、关于y 轴对称,抛物线2y ax bx c =++过E B C 、、三点，下列判断中:①0a b c -+=;②25a b c ++=;③抛物线关于直线1x =对称;④抛物线过点(),b c ;⑤四边形5ABCD S =四边形,其中正确的个数有（ ）A ．5B ．4C ．3D ．211．人的大脑每天能记录大约8 600万条信息，数据8 600用科学记数法表示为（ ）A ．0.86×104B ．8.6×102C ．8.6×103D ．86×10212．由一些大小相等的小正方体组成的几何体的主视图与左视图相同如图所示，设组成这个几何体的小正方体个数最少为m ，最多为n ，若以m ，n 的值分别为某个等腰三角形的两条边长，则该等腰三角形的周长为( )A ．11或13B ．13或14C ．13D ．12或13或14或15二、填空题 13．在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别是边AB ，BC 边上的动点，沿EF 折叠△BEF ，使点B 的对应点B’始终落在边CD 上，则A 、E 两点之间的最大距离为_____．14．如图，，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则线段的长为______.15．如图，矩形ABCD 中，E 在AD 上，且EF EC ⊥，EF EC =，2DE =，矩形的周长为16，则AE 的长是______ ．i ，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是___m16．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡度是1:217．如图所示，宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm）则该圆的半径为______cm．18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝4，点A在y轴上，点C在x轴上，则点A在移动过程中，BO的最大值是_____．三、解答题19．在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄BC可绕着转轴B旋转．已知压柄BC的长度为15cm，BD＝5cm，压柄与托板的长度相等．（1）当托板与压柄夹角∠ABC＝37°时，如图①点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE的长度；（2）当压柄BC从（1）中的位置旋转到与底座AB的夹角∠ABC＝127°，如图②．求这个过程中点E滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8．tan37°≈0.75）20．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B．将线段AB沿数轴向右移动，移动后的线段记为A′B′，按要求完成下列各小题（1）若点A为数轴原点，点B表示的数是4，当点A′恰好是AB的中点时，数轴上点B′表示的数为．（2）设点A表示的数为m，点A′表示的数为n，当原点在线段A′B之间时，化简|m|+|n|+|m﹣n|．21．某中学九年级男生共250人，现随机抽取了部分九年级男生进行引体向上测试，相关数据的统计图如下．设学生引体向上测试成绩为x（单位：个）．学校规定：当0≤x＜2时成绩等级为不及格，当2≤x＜4时成绩等级为及格，当4≤x＜6时成绩等级为良好，当x≥6时成绩等级为优秀．样本中引体向上成绩优秀的人数占30%，成绩为1个和2个的人数相同．（1）补全统计图；（2）估计全校九年级男生引体向上测试不及格的人数．22．如图，在直角坐标系中的正方形ABCD边长为4，正方形ABCD的中心为原点O．现做如下实验：抛掷一枚均匀的正方体的骰子(六个面分别标有1至6这六个点数中的一个)，每个面朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的点数作为直角坐标系中点P的坐标(第次的点数作为横坐标，第二次的点数作为纵坐标)(1)求点P落在正方形ABCD面上(含正方形内部和边界)的概率；(2)试将正方形ABCD平移整数个单位，则是否存在一种平移，使点P落在正方形ABCD面上的概率为13？若存在，请指出平移方式；若不存在，请说明理由．23．如图，反比例函数y1＝kx与一次函数y2＝ax+b的图象交于点A（2，2）、B（12，n）．（1）求这两个函数解析式；（2）直接写出不等式y2＞1y的解集．24．某教学网站策划了A、B两种上网学习的月收费方式：设每月上网学习的时间为x h.（Ⅰ）根据题意，填写下表：（Ⅱ）设A，B两种方式的收费金额分别为1y元和2y元，分别写出1y，2y与x的函数解析式；x>时，你认为哪种收费方式省钱？请说明理由.（Ⅲ）当6025．春节期间某商场搞促销活动，方案是：在一个不透明的箱子里放4个完全相同的小球，球上分别标“0元”、“20元”、“30元”、“50元”，顾客每消费满300元，就可从箱子里同时摸出两个球，根据这两个小球所标金额之和可获相应价格的礼品；（1）若某顾客在甲商商场消费320元，至少可得价值______元的礼品，至多可得价值______元的礼品；（2）请用画树状图或列表的方法，求该顾客去商场消费，获得礼品的总价值不低于50元的概率．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．14．15．316．17．cm18．三、解答题19．（1）连接杆DE 的长度为cm （2）这个过程中点E 滑动的距离为（16）cm 【解析】 【分析】（1）作DH ⊥BE 于H ，在Rt △BDH 中用三角函数算出DH 和BH ，再求出EH ，在三角形DEH 中用勾股定理即可求得DE ；（2）作DH ⊥AB 的延长线于点H ，在Rt △DBH 和Rt △DEH 中，用三角函数分别求出BH ，DH ，EB 的长，从而可求得 点E 滑动的距离． 【详解】（1）如图①，作DH ⊥BE 于H ，在Rt △BDH 中，∠DHB ＝90°，BD ＝5，∠ABC ＝37°， ∴5DH = sin37°，5BH＝cos37°， ∴DH ＝5sin37°≈5×0.6＝3（cm ），BH ＝5cos37°＝5×0.8＝4（cm ）． ∵AB ＝BC ＝15cm ，AE ＝2cm ，∴EH ＝AB ﹣AE ﹣BH ＝15﹣2﹣4＝9（cm ），∴DE ==答：连接杆DE 的长度为． （2）如图②，作DH ⊥AB 的延长线于点H ，∵∠ABC ＝127°，∴∠DBH ＝53°，∠BDH ＝37°， 在Rt △DBH 中，5BH BHBD =＝sin37°＝0.6， ∴BH ＝3cm ， ∴DH ＝4cm ，在Rt △DEH 中，EH 2+DH 2＝DE 2， ∴（EB+3）2+16＝90，∴EB 3）（cm ），∴点E 滑动的距离为：153）﹣2＝（16）（cm ）．答：这个过程中点E滑动的距离为（16）cm．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线，正确构造直角三角形是解决问题的关键. 20．（1）6；（2）﹣2m；2n﹣2m．【解析】【分析】（1）根据题意可知A′表示的数为2，根据AB的长度即可求解；（2）根据绝对值的定义，分情况讨论解答即可．【详解】（1）∵点B表示的数是4，当点A′恰好是AB的中点时，∴点A′表示的数为2，∴数轴上点B′表示的数为2+4＝6．故答案为：6；（2）①若点A'在原点的左侧，即m＜0，n＜0，|m|+|n|+|m﹣n|＝﹣m﹣n﹣m+n＝﹣2m；②若点A'在原点的右侧，即n＞0，|m|+|n|+|m﹣n|＝﹣m﹣n﹣m+n＝﹣m+n﹣m+n＝2n﹣2m．【点睛】本题考查数轴，有理数的加法等知识，解决此类题目时，能理解题意表示出各点表示的数是关键．21．(1)见解析；（2）25.【解析】【分析】（1）先根据题意得出1个和2个人数，继而补全图形；（2）根据利用样本估计总体，可得答案．【详解】（1）1个和2个人数均为4个．（2）250×1450＝25（人）．答：全校九年级男生引体向上测试不及格的人数为25人．【点睛】本题考查了统计图的选择，利用扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点来判断是解题关键．22．19；(2)将正方形ABCD先向上移2个单位，再向右移1个单位；或将正方形ABCD先向上移1个单位，再向右移2个单位．【解析】【分析】(1)根据题意先列出图标得出构成点P的所有情况数和点P落在正方形ABCD面上(含正方形内部和边界)的情况数，然后根据概率公式即可得出答案；(2)要使点P落在正方形ABCD面上的概率为13，就得向上或向右整数个单位平移，所以，存在满足要求的平移方式有两种，将正方形ABCD先向上移2个单位，再向右移1个单位；或将正方形ABCD先向上移1个单位，再向右移2个单位．【详解】(1)列表如下：所以构成点P的坐标共有36种情况，其中点P的(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)四种情况将落在正方形ABCD面上．所以点P落在正方形ABCD面上的概率为436＝19．(2)因为要使点P落在正方形ABCD面上的概率为13＝1236＞19，所以只能将正方形ABCD向上或向右整数个单位平移，且使点P落在正方形面上的数目为12．所以，存在满足要求的平移方式有两种，分别是：将正方形ABCD先向上移2个单位，再向右移1个单位(先向右再向上亦可)；或将正方形ABCD先向上移1个单位，再向右移2个单位(先向右再向上亦可)．【点睛】本题综合考查了平移的性质，几何概率的知识以及正方形的性质．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．（1）y1＝4x；y 2＝﹣4x+10；（2）12＜x＜2或x＜0．【解析】【分析】（1）将A 坐标代入反比例解析式求出m 的值，确定出反比例解析式，将B 坐标代入反比例解析式求n 的值，确定出B 坐标，将A 与B 坐标代入一次函数解析式求出k 与b 的值，即可确定出一次函数解析式； （2）根据图象和交点坐标找出一次函数图象位于反比例函数图象上方时x 的范围即可． 【详解】解：（1）将A （2，2）代入反比例解析式得：k ＝2×2＝4， 则反比例解析式为y 1＝4x； 将B （12，n ）代入反比例解析式得：n ＝8，即B （12，8）， 将A 与B 坐标代y 2＝ax+b 中，得22182a b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：410a b =-⎧⎨=⎩．2y ＝﹣4x+10；则一次函数解析式为（2）由图象得：不等式y 2＞y 1的解集为12＜x ＜2或x ＜0． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法确定函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．24．（Ⅰ）见解析，（Ⅱ）127? 025? 10?050?0.68? 253140? 50? x x y y x x x x ≤≤≤≤⎧⎧==⎨⎨-≥-≥⎩⎩，（Ⅲ）当x 60>时，收费方式A 省钱 【解析】 【分析】（Ⅰ）首先判断月包时上网时间和月上网时间的大小，然后根据月总费用=月使用费+超时单价×超过时间，进行计算即可（Ⅱ）根据收取费用=月使用费+超时单价×超过时间，可得出12y y 、关于x 的函数关系式，注意进行分段； （Ⅲ）当x 60>时，根据（Ⅱ）的解析式，求出1y 与2y 的差，根据一次函数的增减性得出省钱的收费方式． 【详解】 （Ⅰ）见表格（Ⅱ）当0x 25≤≤时，1y 7=；当x 25≥时，()1y 70.6x 250.6x 8=+-=-∴17?025? y 0.68? 25x x x ≤≤⎧=⎨-≥⎩；当0x 50≤≤时，2y 10=当x 50≥时，()2y 103x 503x 140=+-=-∴210?050?y 3140? 50? x x x ≤≤⎧=⎨-≥⎩；（Ⅲ）当x 60>时，收费方式A 省钱当x 60>时，1y 0.6x 8=-，2y 3x 140=-； 设y=12y y 0.6x 83x 140 2.4x 132-=---=-+ ∵-2.40<，∴y 随x 的增大而减小 当x=60时，y=-12，∴当x 60>时，y 12<-，即y 0< ∴12y y <∴当x 60>时，收费方式A 省钱． 【点睛】本题考查一次函数的应用—方案选择问题，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 25．（1）20,80;(2)23【解析】 【分析】（1）根据题意即可求得该顾客至少可得的金额，至多可得的礼品的金额；（2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与该顾客所获礼品的金额不低于50元的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：（1）根据题意得：该顾客至少可得0+20=20（元），至多可得30+50=80（元）． 故答案为：20，80． （2）列表如下：∴P（不低于50元）=82= 123．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题关键在于画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．在△ABC 中，高AD 和BE 所在的直线交于点H ，且BH ＝AC ，则∠ABC 等于( ) A.45°B.120°C.45°或135°D.45°或120°2．下列4个图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．下列各数中，最小的数是( ) A ．3-B ．(2)--C ．0D ．4-4．如果x 1，x 2是两个不相等的实数，且满足x 12﹣2x 1＝1，x 22﹣2x 2＝1，那么x 1•x 2等于（ ） A ．2B ．﹣2C ．1D ．﹣15．只用下列一种正多边形不能镶嵌成平面图案的是（ ） A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形6．如图，D 是BC 上的一点，DE AB DA CE ∥，∥，若65ADE ∠=︒，则B C ∠∠，的度数分别可能是（ ）A ．46,68︒︒B ．45,71︒︒C ．46,70︒︒D ．47,68︒︒7．用百度搜索关键词“北京大学”，百度找到相关结果约39700000个，把数据39700000用科学记数法表示为( ) A ．3.97×105B ．39.7×108C ．3.97×107D ．3.97×1098．如图，菱形ABCD 的边AD ⊥y 轴，垂足为点E ，顶点A 在第二象限，顶点B 在y 轴的正半轴上，反比例函数y ＝kx(k≠0，x ＞0)的图象同时经过顶点C ，D ．若点C 的横坐标为5，BE ＝3DE ，则k 的值为( )A ．52B ．154C ．4D ．59．下列运算正确的是（ ）A ．333326a a a ⋅=B ．()222a b a b +=+C ．()224--=D =10．如图，点D 在半圆O 上，半径OB ＝AD ＝10，点C 在弧BD 上移动，连接AC ，H 是AC 上一点，∠DHC ＝90°，连接BH ，点C 在移动的过程中，BH 的最小值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．811．如图，AB 是O e 的直径，点D 是半径OA 的中点，过点D 作CD ⊥AB ，交O e 于点C ，点E 为弧BC 的中点，连结ED 并延长ED 交O e 于点F ，连结AF 、BF ，则（ ）A ．sin ∠AFE=12B ．cos ∠BFE=12C ．tan ∠D ．tan ∠12．下列几道题目是小明同学在黑板上完成的作业，他做错的题目有（ ） ①a 3÷a ﹣1＝a 2②（2a 3）2＝4a 5③（12ab 2）3＝16a 3b 6④2﹣5＝132⑤（a+b ）2＝a 2+b 2A ．2道B ．3道C ．4道D ．5道二、填空题13．直角三角形纸片的两直角边BC ，AC 的长分别为6，8，现将△ABC 如下图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则CE 的长为_____．14．计算：a 2•a 4= ．15．如图，在直角三角形纸片ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝4，点D 在边AB 上，以CD 为折痕将△CBD 折叠得到△CPD ，CP 与边AB 交于点E ，若△DEP 为直角三角形，则BD 的长是_____16．某十字路口设有交通信号灯，东西向信号灯的开启规律如下：红灯开启30秒后关闭，紧接着黄灯开启3秒后关闭，再紧接着绿灯开启17秒，按此规律选一下去．如果不考虑其他因素，一辆汽车沿东西方向随机地行驶到该路口时，遇到红灯的概率是______．17．若关于x 的分式方程33x a x x+--＝2a 无解，则a 的值为_____． 18．如图，正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，P 为⊙B 上的动点，则PD+12PC 的最小值等于_____．三、解答题19．如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣2交x 轴负半轴于点A （﹣1，0），与y 轴交于B 点．过B 点的直线l 交抛物线于点C （3，﹣1）．过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ．点P 为x 轴正半轴上的动点，过P 点作x 轴的垂线，交直线l 于点E ，交抛物线于点F ．设P 点的横坐标为t ． （1）求抛物线的解析式；（2）连接OE ，求△POE 面积的最大值；（3）连接DE ，CF ，是否存在这样的t 值：以点C ，D ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．20．计算：212sin 6032-︒++（）21．如图1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点．点A 在x 轴的正半轴上，点A 的坐标为（10，0）．一条抛物线214y x bx c =++经过O ，A ，B 三点，直线AB 的表达式为152y x =+，且与抛物线的对称轴交于点Q ．（1）求抛物线的表达式；（2）如图2，在A ，B 两点之间的抛物线上有一动点P ，连结AP ，BP ，设点P 的横坐标为m ，△ABP 的面积S ，求出面积S 取得最大值时点P 的坐标；（3）如图3，将△OAB 沿射线BA 方向平移得到△DEF ，在平移过程中，以A ，D ，Q 为顶点的三角形能否成为等腰三角形？如果能，请直接写出此时点E 的坐标（点O 除外）；如果不能，请说明理由．22．为了增强体质，小明计划晚间骑自行车调练，他在自行车上安装了夜行灯．如图，夜行灯A 射出的光线AB 、AC 与地面MN 的夹角分别为10°和14°，该夜行灯照亮地面的宽度BC 长为149米，求该夜行灯距离地面的高度AN 的长． （参考数据：179611010141410050254sin ,tan ,sin ,tan ︒︒︒︒≈≈≈≈）23．如图所示，在建筑物顶部有一长方形广告牌架CDEF ，已知CD=2m ，在地面上A 处测得广告牌架上端C 的仰角为37︒，前进10m 到达B 处，在B 处测得广告牌架下端D 的仰角为60︒，求广告牌架下端D 到地面的距离(结果精确到0.1m ).(参考数据：tan370.75︒≈ 1.73)24．食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输。
2019数学中考复习——二次函数周长最小问题(含答案)
二次函数中周长最小问题抛物线中三角形周长最小问题的求法：.B 砺模或1将军饮马问题(即寻找对称点的方法) /'如图,在直线/的同侧有a 8网点,在/上求作一点尸,使8f+产出及/‘的值最小. 二7^方法：作/点关于,的时称点⑷,连接/田与,的交点F即为所求. j 模型应用:如图,抛物线尸-2#+3与a轴交于0), 8(-3.0),与尸轴交于点CS, 3),在抛物线的对称轴上,是否存在点.,使得△ OIC的周长最小？力法小结：周长最小问题潞径最小问题常化归为.将军饮马〞数学模型,两条线段之差最大,常利用三角形三边关系,此时三点共线.专题练习1 .如图,抛物线y=ax2—4x+ c经过点A (0, —6)和B (3, —9).(1)求抛物线的解析式；(2)写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标；(3)点P (m, m)与点Q均在抛物线上(其中m>0),且这两点关于抛物线的对称轴对称,求m的值及点Q的坐标;(4)在满足(3)的情况下,在抛物线的对称轴上寻找一点M,使得4QMA的周长最小.解：(1)依题意有ax02-4x0+c= - 6 ax32—4x3+ c= -9c= -6即9a — 12+c=—9a= 1,抛物线的解析式为：y=x2—4x—6 ................................................................... 5分(2)把y= x2—4x— 6 配方,得y=(x — 2)2—10,对称轴方程为x= 2 ............................................................................................. 7分顶点坐标(2, —10) .............................................................................................. 10分(3)由点P (m, m)在抛物线上^4 m= m2- 4m- 6 ................................................................................................. 12 分2即m —5m—6= 0,m1=6 或m2= —1 (舍去) ......................................... 13 分P (6, 6)•・•点P、Q均在抛物线上,且关于对称轴x=2对称• .Q ( — 2, 6) .................................................................................................... 15 分(4)连接AP、AQ,直线AP与对称轴x= 2相交于点M由于P、Q两点关于对称轴对称,由轴对称性质可知,此时的交点M能够使得4QMA的周长最小分17设直线AP的解析式为y= kx+ bb= -66k + b= 6 k=2 b= - 6・•・直线AP的解析式为：y = 2x-6 18分设点M (2, n)那么有n= 2X2— 6= -2 19 分此时点M (2, -2)能够使得^ QMA的周长最小2 .如图,在平面直角坐标系中,直线 y=-石x —73与x 轴交于点A,与y 轴交于点C,抛物线y=ax 2—3『x+ c (a3假设P 是抛物线上一点,且^ ABP 为直角三角形,求点 P 的坐标; 在直线AC 上是否存在点Q,使得△ QBD 的周长最小,假设存在,求出Q 点的坐标；假设不存在,请说明理由.•・•点A, C 都在抛物线上一人、3 9 2.3(2)令 ^-x2- -1-x- 73 =0,解得 x1= —1, x2=3.1. B (3, 0)・••AB 2=( 1 + 3)2=16, AC 2=12+( 73)2=4, BC 2=32+( g)2=12 ••.AC 2+BC 2=AB 2,「.△ ABC 是直角三角形・•. P1 (0, —73) 由抛物线的对称性可知 P2的纵坐标为-；3,代入抛物线的解析式求得： (3)存在.延长 BC 到点B',使B'C=BC,连接B,D 交直线 过点B'作B'H^x 轴于H在 RtABOC 中,BC= Ji2= 2*3, BC=2OC ,/ OBC = 30°••BH= -BB = BC=2j3, BH= V3B'H = 6, •. OH = 3 2・•.B '(—3, -2J3)设直线B 'D 的解析式为y=kx+b,那么:W0) 经过点 A 、C,与x 轴交于另一点 B. (1) 求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标;(2) (3) (1) •••直线y= — 33 x- <3与x 轴交于点 A,与 A ( -1, 0), C (0, — 33 ) a+等+c=0a=解得c=.•・抛物线的解析式为 y=旦32 2 33 . 3 24 3.x ---------- x — %13 = — ( x — 1) ------------ -.顶点 的坐标为( 1,巡)AC 于点Q,P 2 (2,y j l那么Q 点就是所求的点xH ㈠B'—X 3 )DQ存在点Q,使得△ QBD 的周长最小,Q 点的坐标为〔373 .在平面直角坐标系中,矩形 OACB 的顶点O 在坐标原点,顶点 A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上,OA=3, OB = 4, D 为边OB 的中点.〔I 〕假设E 为边OA 上的一个动点,当^ CDE 的周长最小时,求点 E 的坐标；〔II 〕假设E 、F 为边OA 上的两个动点,且 EF=2,当四边形 CDEF 的周长最小时,求点 E 、F 的坐标.—273 = -3k+ b 4 ：3 解得—3 =k+b3k=— 6—联立. 3,3 b=― -------2y=—黎x —黎.3 3、.3解得一 3 x=一7一,Q 〔 2 ,—吧!〕故在直线AC 上 10. 3 7 77迪〕7解：〔I 〕如图1,作点D 关于x 轴的对称点D',连接CD'与x 轴交于点E,连接DE假设在边 OA 上任取点E'〔与点E 不重合〕,连接CE'、DE'、D E' 由 DE '+ CE '= D E + CE > CD '= D E+ CE= DE + CE 可知△ CDE 的周长最小..在矩形 OACB 中,OA=3, OB = 4, D 为边OB 的中点BC=3, DO=DO = 2, D'B=6 •. OE//BC, • . RtAD QE^RtAD BC, OE D O ---- = -------- BC D B OE= D-O BC= - x3= 1D B 6.・•点E 的坐标为〔1,0〕…〔n 〕如图2,作点D 关于x 轴的对称点 D ；在CB 边上截取 CG=2,连接 DG 与x 轴交于点巳在EA 上截取EF = 2,那么四边形 GEFC 为平行四边形, 又DC 、EF 的长为定值,,此时得到的点 GE = CFE 、F 使四边形CDEF 的周长最小 •. OE//BC, • . RtAD OE^RtAD BG,OE D O ---- = -------- BG D BOE= DO BG= DO 〔BC-CG 〕 = 2x1=1 D B D B 6 3__1 7OF=OE+EF= 1+2=-3 3图2.••点E 的坐标为(1 , 0),点F 的坐标为(7,0) 334 .如图,抛物线y=ax2 + bx+4与x 轴的两个交点分别为 A ( — 4, 0)、B (2, 0),与y 轴交于点C,顶点为D. E (1, 2)为线段BC 的中点,BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G. (1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D 的坐标；(2)在直线EF 上求一点H,使4CDH 的周长最小,并求出最小周长； (3)假设点K 在x 轴上方的抛物线上运动,当K 运动到什么位置时,△ EFK 的面积最大？并求出最大面积.,顶点D 的坐标为(—1,9)2 ................................................... 4分(2)设抛物线的对称轴与 x 轴交于点M.由于EF 垂直平分BC,即C 关于直线EG 的对称点为B,连结BD交EF 于一点,那么这一点为所求点 H,使DH + CH 最小,即最小为:DH+CH= DH+HB = BD= GBM 2+ DM 2 = -<13 22 9 2 5 1+( - 4)=—・•.△CDH 的周长最小值为 CD + DR+CH="用 ；*132k 1 + b 1 = 0设直线BD 的解析式为y=k 1x+b 1,那么 ,9—k1 + b1 = 一23斛信 k [ = 一 一,b [ = 32J10分2=—1・♦・直线BD 的解析式为y=—9x+32由于 BC=2j5, CE=1BC=T5, RtACEG^RtACOB 2那么 KN = y-yN =,t 2-1+4-( 1t+ 3) = - 1 t 2-3 t+ E 2 22 22 2S A EFK = SAKFN + S^KNE=1KN(t+3) + 1KN(1-1) =2KN 2 2= -t 2-3t+5=-(t+ 3 )2+ 29 ..........................................................................10 分2 4,当t= - 3时,△ EFK 的面积最大,最大面积为214分4.如图,在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO,其顶点为A (0, 1)、B (―34f 3, 1)、C ( — 3/3 , 0)、O (0, 0).将4,3此矩形7&着过E (― J 3, 1)、F (— 3 ,0)的直线EF 向右下方翻折,B 、C 的对应点分别为 B 、C . (1)求折痕所在直线 EF 的解析式；(2) 一抛物线经过 B 、E 、B'三点,求此二次函数解析式；(3)能否在直线EF 上求一点P,使得4PBC 周长最小？如能,求出点 P 的坐标；假设不能,说明理由.解：(1)由于折痕所在直线 EF 过E (― 73, 1)、F (― 4且,0)3得 CE ：CO=CG ：CB,,CG=^, 2 GO =3 2,.二 G (0, 3)同理可求得直EF 的解析式为y= -1X+ -3 ° y= - -x+ 3联立21 y= - x+ 2解得2 23 x=一415 y= 一 8故使△ CDH 的周长最小的点 H 坐标为( 3,4竺)8(3)设 K (t, - — t2-1+ 4 ) , XFVtvxE.过 K 作 x 轴的垂线交 2,tan/EFO= 察,直线EF 的倾斜角为60°,直线 EF 的解析式为：y —= tan601x — ( - 33 )]化简彳导:y= d'3x+4. ............................................................................................................. 3分(2)设矩形沿直线 EF 向右下方翻折后,B 、C 的对应点为B' (xi, yi), C‘(X2, y2) 过B'作BA 」AE 交AE 所在直线于 A'点 ••• B'E=BE= 273, / B'EF= / BEF= 60° • / B EA = 60 , A E = 33 , B A = 3・••A 与 A'重合,B '在 y 轴上,・•. xi=0, yi=-2,即 B ' (0, -2)【此时需说明 B' (xi, y i)在y 轴上】 ............................................... 6分 设二次函数的解析式为： y=ax 2+bx+c••・抛物线经过 B (— 3/3, 1)、E (—翼,1)、B' (0, —2)1a =--3 4解得b= --V 3 3 c= -2「•该二次函数解析式为： y = - -x 2-4y3x-2 ......................................................................... 9分3 3 (3)能,可以在直线 EF 上找到P 点,连接BC 交EF 于P 点,再连接BP由于B'P = BP,此时点 P 与C 、B'在一条直线上,故 BP+PC = B'P+PC 的和最小由于为BC 定长所以满足 4PBC 周长最小. ....................................... 10分11 1127a- 3 .3b+c= 1 3a- . 3 b+ c= 1 c= — 2。
中考《坐标系中三角形周长最小值问题》复习指导
利“刃”在手亿“折”成“直”—例析坐标系中三角形周长最小值问题在近几年的各地中考中，与线段相关的最值问题频频出现，已然成为一道亮丽的风景线.而其中以平面直角坐标系为载体来设计三角形周长最小值问题，更是中考命题所关注的热点之一本文以近几年中考题为例，归纳其类型与解法，供参考.1.三角形的三个顶点中仅有一个顶点是动点例1 (2015年河南省，有改动)如图1，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上点A 、C 间的一个动点(含端点)，过点P 作PF BC ⊥于点F .点D 、E 的坐标分别为(0,6),(-4,0)，连接,,PD PE DE .是否存在点P ，使PDE ∆的周长最小?若存在，求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由.分析 存在.理由:易求抛物线的解析式为2188y x =-+.设21(,8)8P m m -+(80)m -≤≤，则2221118(8),2888PF m m PD m =--+===+，故2P D P F=+, PDE ∆的周长=2DE EP PD DE EP PF ++=+++. 如图2，过E 点作EG BC ⊥于点G .当,,E P F 三点共线，即点P 为EG 与抛物线的交点时，EP PF +的值最小，此时214,(4)868P E P x x y ==-=-⨯-+=，所以PDE ∆周长最小时点P 的坐标为(-4,6).点评 本例三角形的三个顶点中，点P 为动点，点,D E 均为定点.由于DE 的长为定值，欲使PDE ∆的周长最小，只需满足PD PE +的值最小即可.进而利用“点P 运动的过程中，PD 与PF 的差为定值”这一有力武器，将问题转化为“求定直线BC 上一动点F 与直线外一定点E 的距离的最小值”，最终借助“连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”确定点P 的位置.例2 (2012年山西省，有改动)如图3，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点.请在直线AC 上找一点M ，使BDM ∆的周长最小，求出M 点的坐标.分析 易知(1,0),(3,0),(0,3),(1,4)A B C D -，故4,10AB AC ===，直线AC 的解析式为33y x =+.如图4，作点B 关于直线AC 的对称点B '，连接B D ',交AC 于点M ，则B D M ∆即为符合题意的周长最小的三角形.(证明如下:不妨在直线AC 上取异于点M 的任一点M '，连接,,B M DM BM ''''.由对称性可知:,BM B M BM B M ''''==，于是BDM ∆的周长=B M '+,DM BD BDM '+∆的周长=B M DM BD '''++.而在B D M''∆中，B M D M B ''''+>，即BM D M BM D M ''''+>+，所以BDM '∆的周长大于BDM ∆的周长.)若BB '交AC 于点E ，则 90,22cos 2cos ABE CAO ACO BB BE AB ABE AB ACO '∠=︒-∠=∠==⋅∠=⋅∠24=⨯=过B '点作B F x '⊥轴于点F ，则362133c o s 355B x BF BB ABE ''=-=-⋅∠=-=-，12sin sin 5B y B F BB ABE BB ACO ''''==⋅∠=⋅∠==，故2112(,)55B '-, 易求直线B D '的解析式为4481313y x =+. 联立解方程组448131333y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，得93513235x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以M 点的坐标为9132(,)3535. 点评 本例三角形的三个顶点中，点M 为动点，点B 、D 均为定点，且均位于动点M 所在直线AC 的同一侧.通过寻找定点B 关于动点M 所在直线AC 的对称点B ' ,将问题转化为“求定直线AC 上一动点M 与直线异侧两定点B ',B 的距离和的最小值”，从而可利用“三角形任意两边之和大于第三边”加似解决(当B '、M 、D 三点共线，即点M 为直线B D '与直线AC 的交点时，DM BM +的值最小，此时BDM ∆的周长最小).2.三角形的三个顶点中有两个顶点是动点例3 (2013年湖南张家界，有改动)如图5，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过点(0,1)C ，顶点为(2,3)Q ，点D 在x 轴正半轴上，且OD OC =.将直线CD 绕点C 逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E ，若点P 是线段QE 上的动点，点F 是线段OD 上的动点，问:在P 点和F 点移动过程中，PCF ∆的周长是否存在最小值?若存在，求出这个最小值;若不存在，请说明理由.分析 存在.理由:如图6，分别作点C 关于直线,QE x 轴的对称点,C C '''，连接C C '''，交OD 于点F ，交QE 于点P ，则P C F ∆即为符合题意的周长最小的三角形，此时PCF ∆的周长等于线段C C '''的长.(证明如下:不妨在线段OD 上取异于点F 的任一点F '，在线段QE 上取异于点P 的任一点P '，连接,,,,CF CP F P F C P C '''''''''.由轴对称的性质可知P CF ''∆的周长=F C F P P C '''''''++，而F C F P P C '''''''++的值为折线段C P F C '''''---的长，由两点之间线段最短可知F C F P P C C C ''''''''''++>，即P C F ''∆的周长大于PCF ∆的周长.)如图6，过点Q 作QG y ⊥轴于点G ，过点C '作C H y '⊥轴于点H ，则C G O C H C '∆∆:，可得12C G Q G C Q C H C H C C ===''，即2212CH C H =='.所以4,CH C H '==6C H C H C C ''''=+=.在Rt C HC '''∆中，C C '''===所以，在P 点和F 点移动过程中，PCF ∆的周长存在最小值，最小值为 点评 本例三角形的三个顶点中，点C 为定点，点P 、F 均为动点，且分别在定直线QE 、QD 上，通过寻找定点C 关于两个动点所在直线的对称点C '、C ''，就得到由三条与PCF ∆三边分别相等的线段组成的折线，然后借助“两点之间线段最短”化“折”成“直”(当C '、P 、F 、C ''四点共线，即点P 、F 分别为直线QE 、QD 与直线C C '''的交点时，PCF ∆的周长最小).3.三角形的三个顶点都是动点例 4 (2015年辽宁沈阳，有改动)如图7，在平面直角坐标系中，抛物线224233y x x =--+与x 轴交于B 、C 两点(点B 在点C 的左侧)，与y 轴交于点A .若点P 是线段BC 上的动点(点P 不与点B 、C 重合)，点Q 是线段AB 上的动点(点Q 不与点A 、B 重合)点R 是线段AC 上的动点(点R 不与点A 、C 重合)，请直接写出PQR ∆周长的最小值.分析 易求(0,2),(3,0),(1,0)A B C -，故AB AC ====如图8，过点B 作BH AC ⊥于点H ，则BC OA BH BH BAC AC BA ⋅==∠==如图9，分别作点P 关于直线,AB AC 的对称点,P P '''，连接P P '''，交AB 于点Q ，交AC 于点R ，则P Q R ∆是过点P 的ABC ∆的内接三角形中周长最小的三角形，且PQR ∆的周长等于线段P P '''的长.若PP '交AB 于点,D PP ''交AC 于点E ，连接DE ，则90,ADP AEP DP ∠=∠=︒ ,DP EP EP '''==，故2P P DE '''=.连接AP ，取AP 的中点F ，连接EF ，则12DF EF AP ==，所以⊙F 为ADP ∆的外接圆，且点E 在⊙F 上.延长DF 交⊙F 于点G ，连接GE ，则90,D E G B A C D G E ∠=︒∠=∠，所以PQR ∆的周长22sin 2sin 2sin P P DE DG DGE AP BAC AO BAC '''===⋅∠=⋅∠≥⋅∠22=⨯=.如图10，当点P 与点O 重合时，PQR ∆. 点评 本例三角形的三个顶点均为动点，应采取“以退为进”的策略，即:先假设P 点的位置已经确定(即视点P 为一定点)，容易得出结论:待求三角形周长最小时，其周长等于线段P P '''的长，然后继续探究点P 的位置后，发现线段P P '''长度的最小值即为点A 到x 轴的距离.因为,2AP AP AP P AP BAC ''''''==∠=∠，所以AP P '''∆为等腰三角形，且其顶角P AP '''∠为定值.由于本例对解答过程不作要求，也可以根据“顶角为定值的等腰三角形底边长的最小值由腰长的最小值来确定”这一经验来判定点P 的位置.然而，对该例的思考却不止于此，我们还可以再进一步探索BR 和,AC CQ 和AB 的位置关系.参考本例分析问题的方法，我们可以得出这样的结论: ,,AP BR CQ 为锐角三角形ABC 的三条高，以,,P Q R 三个垂足为顶点的三角形即为周长最小的内接三角形证明留待读者自行完成.通过上述问题的探究，我们可以发现，解决此类问题通常可以采取的策略是:把已知问题转化成容易解决的问题，即关联我们熟知的几何基本模型，构造一条以动点为转折点的折线，从而为性质的运用创造条件.如:解答例1时，需分析点在运动的过程中保持不变的关系，将问题转化为“求定直线上一动点与直线外一定点的距离的最小值”问题，然后利用“垂线段最短”把折线化“折”成“直”.解答例2，例3时，则需牢牢抓住图形的几何特征，将问题转化为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离之和的最小值”问题，借助轴对称变换使两定点与定直线的位置关系发生改变，即化“同”为“异”，最后利用“三角形任意两边之和大于第三边”或“两点之间线段最短”把折线化“折”成“直”.例4题目的背景看似复杂，但图形上似乎可以捕捉到上述两个几何基本模型的“影子”，认清了这一点，便能使复杂问题简单化，迅速找到问题的突破口.在平面几何的教学中，教师要重视几何基本模型的提炼，帮助学生深刻领悟模型的本质特征，鼓励学生尝试从不同角度拓展模型，并在应用中彰显其魅力，从而促进学生解题经验的积累和思维水平的提升，真正提高学生的数学素养和解决问题的能力.。
2019年苏州市中考数学《几何最值问题面面观》复习指导
初中数学几何最值问题面面观在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量(如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差)的最大值或最小值问题，称为几何最值问题.近年来，各地中考题常通过几何最值问题考查学生的实践操作能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力.本文针对不同类型的几何最值问题作一总结与分析，希望对大家有所帮助. 最值问题的解决方法通常有如下两大类: 一、应用几何性质 1.三角形的三边关系例1 如图1，90MON ∠=︒，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边,OM ON 上.当分在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中2,1AB BC ==，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为( )152分析 如图1，取AB 的中点E ，连结,,OE DE OD .OD OE DE ≤+Q ,∴当,,O D E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，此时，2,1AB BC ==,112OE AE AB ∴===.DE === ZOD ∴1. 故选A.2.两点间线段最短例2 如图2，圆柱底面半径为2cm,高为9πcm ，点,A B 分别是回柱两底面圆周上的点， 且,A B 在同一母线上，用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3圈到B ，求棉线长度最短为 .分析 如图3，将圆柱展开后可见，棉线最短是三条斜线的长度，第一条斜线与底面 回周长、圆柱的三分之一高组成直角三角形.由周长公式知底面圆一周长为4πcm ，圆柱的三分之一高为3πcm ，根据勾股定理，得一条斜线长为5πcm ，根据平行四边形的性质，棉线长度最短为15πcm. 3.垂线段最短例3 如图4，点A 的坐标为(1,0)-，点B 在直线y x =运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为( )(A)(0,0) (B)11(,)22-- (C),22- (D)(,22--分析 如图4，过点A 作'AB OB ⊥，垂足为点'B ，过'B 作'B C x ⊥轴，垂足为C . 由垂线段最短可知，当'B 与点B 重合时，AB 最短. ∵点B 在直线y x =上运动， ∴'AOB V 是等腰直角三角形 ∴'B CO V 为等腰直角三角形∵点A 的坐标为(1,0)-，111'1222OC CB OA ∴===⨯=，B ∴的坐标为11(,)22--∴当线段AB 最短时，点B 的坐标为11(,)22--故选B.4.利用轴对称 例4 如图5，正方形ABCD ，4AB =，E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，则PE PB +的最小值为 .分析 连结DE ，交BD 于点P ，连结BD . ∵点B 与点D 关于AC 对称，∴DE 的长即为PE PB +的小值 4AB =Q ，E 是BC 的中点， 2CE ∴=在Rt CDE V 中DE ==二、代数证法 1.利用配方法例5 如图6是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米，怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好?分析 设x 表示半圆半径，y 表示矩形边长AD ，则有228x y x π++=,于是，822xy π--= ① 若窗户的最大面积为S ，则2122S xy x π=+ ②把①代入②，有2821222x S x x ππ--=+g2221822x x x x ππ=--+28(2)2x x π=-+24832()244x πππ+=--+++ 324π≤+. 上式中，只有84x π=+时，等号成立.这时，由①有8818(82)4424y x ππππ=--⨯==+++g g ，即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大.2.利用一元二次方程根的判别式例6 已知：0x >，0y >且121x y+=，求2x y +的最小值. 解 令2x y t +=，2y t x ∴=-代入121x y+=， 1212x t x∴+=-， 去分母，整理，得220x tx t -+= ∵x 为实数，280t t ∴=-≥V8t ∴≥或0t ≤∵0x >，0y >8t ∴≥.故2x y +的最小值为8.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．把多项式x 2+ax+b 分解因式，得(x+1)(x-3)，则a 、b 的值分别是（ ） A ．a=2，b=3 B ．a=-2，b=-3 C ．a=-2，b=3D ．a=2，b=-32．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45°后得到正方形AB 1C 1D 1，边B 1C 1与CD 交于点O ，则图中阴影部分的面积是（ ）A.24π--B.24π- C.142π+D.142π-3．若抛物线y ＝x 2﹣6x+m 与x 轴没有交点，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞9B ．m≥9C ．m ＜﹣9D ．m≤﹣94．已知，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别是AB ，BC 的中点，延长AC 到F ，使得CF ＝AC ，连接EF ．若EF ＝4，则AB 的长为（）A.8B.C.4D.5．某超市四月份赢利a 万元，计划五、六月份平均每月的增长率为x ，那么该超市第二季度共赢利（ ） A ．a （1+x ）万元B ．a （1+x ）2万元C ．a （1+x ）+a （1+x ）2万元D ．a+a （1+x ）+a （1+x ）2万元6．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，则下列4个结论：①abc ＜0；②2a+b ＝0；③4a+2b+c ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论的个数是（ ）A.1B.2C.3D.47．下列图形中，对称轴的数量小于3的是A ．菱形B ．正方形C ．正五边形D ．等边三角形8．一张矩形纸片在太阳光线的照射下，形成影子不可能是（ ） A ．平行四边形B ．矩形C ．正方形D ．梯形9．下列运算正确的是（ ） A ．2a+3b ＝5abB ．2（2a ﹣b ）＝4a ﹣bC ．（a+b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2D ．（a+b ）2＝a 2+b 210．如图，在半径为6的⊙O 中，正方形AGDH 与正六边形ABCDEF 都内接于⊙O ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．27﹣B ．54﹣C ．D ．5411．数学课上，老师提出问题：“一次函数的图象经过点A （3，2)，B （-1，-6)，由此可求得哪些结论？”小明思考后求得下列4个结论：①该函数表达式为y=2x-4；②该一次函数的函数值随自变量的增大而增大；③点P （2a ，4a-4)在该函数图象上；④直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积为8．其中错误的结论是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④12．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=6，点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G ，H 在对角线AC 上，若四边形GEHF 是菱形，则AE 的长是（ ）A.5B.254C. D.二、填空题 13．如图，在O 中，»»AB AC =,若40AOB ∠=︒，点D 在O 上，连结CD 、AD ，则ADC ∠=_____︒.14．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，把△ABC 沿AC 翻折，点B 落在点D 处，连接BD ，若∠CBD ＝16°，则∠BAC ＝_____°．15．已知2m －3n=－4，则代数式m(n －4)－n(m －6)的值为 ． 16．计算：（12a 3﹣6a 2）÷（﹣2a ）=_______．17．袋子中有20个除颜色外完全相同的小球．在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球，记录颜色后放回，将球摇匀．重复上述过程150次后，共摸到红球30次，由此可以估计口袋中的红球个数是__．18．分解因式：2x y y -=_______________； 三、解答题 19．解下列方程：2213224x x x -=+-- 20．如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=6，E 是AD 边上的一个动点，将四边形BCDE 沿直线BE 折叠，得到四边形BC′D′E，连接AC′，AD′.（1）若直线DA 交BC′于点F ，求证：EF=BF ； （2）当时，求证：△AC′D′是等腰三角形； （3）在点E 的运动过程中，求△AC′D′面积的最小值．21．231125123x x x x +≥+⎧⎪+⎨-<-⎪⎩22．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 的中点O 为圆心，OA 为半径的圆交AC 于点D ，E 是BC 的中点，连接DE ，OE ．（1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若cos ∠BAD ＝35，BE ＝12，求OE 的长； （3）求证：BC 2＝2CD•OE．23．为喜迎 “五一” 佳节，某食品公司推出一种新礼盒，每盒成本10元，在 “五一” 节前进行销售后发现，该礼盒的日销售量y （盒）与销售价x （元/盒）的关系如下表:同时，销售过程中每日的其他开支（不含进价）总计100元.(1)以x 作为点的横坐标，y 作为点的纵坐标，把表中数据，在图中的直角坐标系中描出相应点，观察顺次连结各点所得图形，判断y 与x 的函数关系，并求出y （盒）与x （元/盒）的函数解析式:(2)请计算销售价格为多少元/盒时，该公司销售这种礼盒的日销售利润w （元）最大，最大日销售利润是多少？(3)“五一” 当天，销售价格（元/盒）比（2）的销售价格降低m 元（m ＞0），日销售额比（2）中的最大日销售利润多200元，求m 的值.24．如图，已知⊙O 是以BC 为直径的△ABC 的外接圆，OP ∥AC ，且与BC 的垂线交于点P ，OP 交AB 于点D ，BC 、PA 的延长线交于点E ．（1）求证：PA 是⊙O 的切线；（2）若sinE ＝35，PA ＝6，求AC 的长． 25．如图，在ABCD 中，连接AC ，ACB ∠的平分线CE 交AB 于点E ，DAC ∠的平分线AF 交CD 于点F .（1）求证：BE DF =；（2）如图，连接BD 交AC 于点O ，若2BC OC =，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与ABC ∆面积相等的三角形或四边形.（不包含ABC ∆）【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．20 14．37 15． 16．﹣6a 2+3a 17．418．(1)(1)y x x +- 三、解答题 19．9 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得：2x-4-x-2=3， 解得：x=9，经检验x=9是分式方程的解． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．20．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4.【解析】【分析】（1）根据折叠的性质和平行线的性质得：∠FBE＝∠FEB，则EF＝BF；（2）如图1，先根据勾股定理计算BE的长，根据直角边和斜边的关系可得：∠ABE＝30°，则△BEF是等边三角形，最后根据平行线分线段成比例定理，由FC'∥AH∥ED'，得C'H＝D'H，从而得结论；（3）如图1，根据三角形面积公式可知：当C'D'最小时，△AC′D′面积最小，如图2，当C'、A、B三点共线时，△AC′D′面积最小，计算AC'＝2，根据三角形面积公式可得结论．【详解】解：（1）证明：如图1，由折叠得：∠FBE＝∠CBE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠FEB＝∠CBE，∴∠FBE＝∠FEB，∴EF＝BF；（2）在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE∴BE=，∴∠ABE＝30°，∴∠AEB＝60°，由（1）知：EF＝BF，∴△BEF是等边三角形，∵AB⊥EF，∴AE＝AF，过A作AH⊥C'D'，∵FC'⊥C'D'，ED'⊥C'D'，∴FC'∥AH∥ED'，∴C'H＝D'H，∵AH⊥C'D'，∴AC'＝AD'，∴△AC′D′是等腰三角形；（3）如图1，S△C'D'A＝12AH•C'D'＝12×4C′D′＝2C'D'，当C'D'最小时，△AC′D′面积最小，如图2，当C'、A、B三点共线时，△AC′D′面积最小，由折叠得：BC＝BC'＝6，∠C＝∠C'＝90°，∵AB＝4，∴AC'＝6−4＝2，△AC′D′面积的最小值＝12•AC′•C′D′＝12×2×4＝4．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质、矩形的性质、平行线分线段成比例定理、等边三角形的判定及性质以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用折叠得：∠FBE ＝∠CBE ；（2）得△BEF 是等边三角形；（3）确定当C'、A 、B 三点共线时，△AC′D′面积最小．本题属于中档题，难度不大，解决该类型题目时，根据图形的翻折找出相等的边角关系是关键．21．原不等式组无解.【解析】【分析】分别解两个不等式后，利用“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”确定不等式组的解集即可.【详解】231125123x x x x +≥+⎧⎪⎨+-<-⎪⎩①② 解不等式①得，x≥8；解不等式②得，x<45； 所以，原不等式组无解.【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组一般步骤及方法是关键.22．（1）DE 与⊙O 相切（2）15（3）证明见解析【解析】【分析】（1）DE 与⊙O 相切，连接 OD ，BD ．证明DE ⊥OD 即可证明DE 为⊙O 的切线；（2）由cos ∠BAD=35得到sin ∠BAC=45BC CD ＝，又BE=12，BC=24，所以AC=30，又AC=2OE ，所以OE=12AC=12×30=15； （3）OE 是△ABC 的中位线，所以AC=2OE ，证明△ABC ∽△BDC ，则C BC AC CD B ＝即BC 2=AC•CD=2CD•OE． 【详解】（1）DE 与相切理由如下：连接 OD,BD.∵AB 为直径，∴∠ADB=90°，在Rt △BDC 中，E 为斜边BC 的中点，∴CE=DE=BE= 12BC ， ∴∠C=∠CDE ，∵OA=OD ，∴∠A=∠ADO ，∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，∴DE ⊥OD ，又OD 为圆的半径，∴DE 为的切线；（2）∵cos ∠BAD=35∴sin ∠BAC=45BC CD ＝ 又∵BE=12，E 是BC 的中点，即BC=24，∴AC=30，又∵AC=2OE ，∴OE=12AC=12×30=15； （3）证明：∵E 是BC 的中点，O 点是AB 的中点，∴OE 是△ABC 的中位线，∴AC=2OE ，∵∠C=∠C ，∠ABC=∠BDC ，∴△ABC ∽△BDC ， ∴CBC AC CD B ＝ 即BC 2=AC•CD． ∴BC 2=2CD•OE【点睛】本题考查了圆的综合知识，熟练掌握圆的相关性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．23．（1）y=-x+70.（2）当销售价格为40元/盒时，日销售利润w(元)最大，最大日销售利润是800元.（3）m 的值为20.【解析】【分析】（1）画出图形可知该礼盒的日销售量y （盒）与销售价x （元/盒）的关系是一次函数的关系，然后用待定系数法求解即可；（2）列出关于销售利润w （元）的函数解析式，然后根据二次函数的性质求解即可；（3）根据日销售额比（2）中的最大日销售利润多200元列方程求解即可.【详解】(1)表中数据，在图中的直角坐标系中描出相应点，并连结各点所得图形为：观察图象可知，y 是关于x 的一次函数，设y=kx+b ，代入(20, 50)，(30, 40)，得20503040k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得170k b =-⎧⎨=⎩， 故y （盒）与x （元/盒）的函数解析式为：y=-x+70.(2)依题意可得，w=(x-10)(-x+70)-100=-x 2+80x-800=-(x-40)2+800，当x=40时，w 取得最大值800， 所以当销售价格为40元/盒时，日销售利润w(元)最大，最大日销售利润是800元.(3)依题意，可得(40-m)[-(40-m)+70]=800+200，整理，得m 2-10m-200=0，解得m=20或m=-10(舍).所以m 的值为20.【点睛】本题考查了描点法画函数图像，待定系数法求函数解析式，二次函数的应用及一元二次方程的应用.熟练掌握待定系数法是解（1）的关键，正确列出函数关系式是解（2）的关键，根据题意列出一元二次方程是解（3）的关键.24．（1）见解析；（2）AC =. 【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质得到∠ACO=∠POB ，∠CAO=∠POA ，加上∠ACO=∠CAO ，则∠POA=∠POB ，于是可根据“SAS”判断△PAO ≌△PBO ，则∠PAO=∠PBO=90°，然后根据切线的判定定理即可得到PA 是⊙O 的切线；（2）先由△PAO ≌△PBO 得PB=PA=6，在Rt △PBE 中，利用正弦的定义可计算PE=10，则AE=PE-PA=4，再在Rt △AOE 中，由sinE=35OA OE =，可设OA=3t ，则OE=5t ，由勾股定理得到AE=4t ，则4t=4，解得t=1，所以OA=3；接着在Rt △PBO 中利用勾股定理计算出EAC ∽△EPO ，再利用相似比可计算出AC ．【详解】（1）证明：连接OA ，如图，∵AC ∥OP ，∴∠ACO ＝∠POB ，∠CAO ＝∠POA ，又∵OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠CAO ，∴∠POA ＝∠POB ，在△PAO 和△PBO 中，PO PO POA POB 0A 0B =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PAO ≌△PBO （SAS ），∴∠PAO ＝∠PBO ，又∵PB ⊥BC ，∴∠PBO ＝90°，∴∠PAO ＝90°，∴OA ⊥PE ，∴PA 是⊙O 的切线；（2）解：∵△PAO ≌△PBO ，∴PB ＝PA ＝6，在Rt △PBE 中，∵sinE ＝35PB PE = ∴635PE =，解得PE ＝10， ∴AE ＝PE ﹣PA ＝4， 在Rt △AOE 中，sinE ＝35OA OE =， 设OA ＝3t ，则OE ＝5t ，∴AE4t ，∴4t ＝4，解得t ＝1，∴OA ＝3，在Rt △PBO 中，∵OB ＝3，PB ＝6，∴OP=∵AC ∥OP ，∴△EAC ∽△EPO ， ∴AC EAPO EP=410=，∴AC ． 【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了全等三角形的判定与性质．25．（1）见解析；（2）BCD ∆，ACD ∆，ABD ∆，四边形AECF .【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD 是平行四边形，得到DAC BCA ∠=∠，AD BC =，D B ∠=∠，再证明DAF BCE ∆≅∆，可得BE DF =；（2）ABC ∆、BCD ∆，ACD ∆，ABD ∆的面积都等于ABCD 的一半，故它们的面积相等。
求三角形或四边形周长最小问题
三角形或者四边形周长最小问题例一：已知直角坐标系中，A 、B 两点坐标分别为A （4，2）、B （-2，4）、C 点在X 轴上，求：⊿ ABC 周长最小时，C 坐标，并求出这个最小值。
解：画出坐标系如图，作B 点关于X 轴对称点E ，E 点坐标（-2，-4）。
则，AE 直线方程式可列方程组如下，并交X 轴于点C 。
244(2)k b k b =+⎧⎨-=-+⎩×× 解得，K=1，b=-2，则直线AE 解析式为：y=x-2，C 点坐标为（2，0）。
证明：BC=EC ，AC=AC ，当E 、C 、A 三点共线时，AC+EC 最短。
又因为，AB 长是固定值，对周长的大小不具备影响。
所以⊿ ABC 周长最小时，指点B 关于X 轴的对称点与点A 的连线的交点，就是所求的坐标C 点。
⊿ ABC 周长最小值=AE+AB+BC例二：已知直角坐标系中矩形OABC ，坐标点分别为O （0，0）、A （4，0）、C 点（0，2）且D 点为OC 中点，E 、F 分别是OA 上的动点，且EF=2，求：四边形DEFB 周长最小时，E 、F 坐标，并求出这个最小值。
解：画出坐标系如图，过点D 做D 点关于X 轴对称点P ，则P 点坐标（0，-1），过点B沿BC方向平移两个单位，该点坐标H（2，2）。
连结PH，交动点所在轴X轴于点E，则E点就是所求周长最小值所在的动点位置。
将该点E沿X轴正方向平移两个单位，就是F点所在位置。
证明：D点与P点对称，所以DE=PE；又因为HB//=EF，所以BF=HE所以，DE+BF=PE+EH，又因为，PEH在一条直线上，根据“两点之间线段最短”公理，所以点E，就是所求动点在周长最小时所在位置。
P（0，-1），H（2，2），则直线PH解析式为：y=32x-1，设点E横坐标为x，则E点坐标为E（x，0），当y=0时，就是其与X轴的交点，代入解得，x=23，即点E（23，0），点F（83，0），经检算，点E、F都在OA范围内，答案有效。
2019年苏州中考《第一讲：填空选择压轴题选讲》专题复习含答案
2019年苏州中考数学专题辅导第一讲 填空选择压轴题选讲真题再现：1．（2008年苏州第12题）初三数学课本上，用“描点法”画二次函数2y ax bx c =++的图象时．列了如下表格：根据表格上的信息同答问题：该=次函数2y ax bx c =++在x =3时，y= ．2．（2008年苏州第18题）如图．AB 为⊙O 的直径，AC 交⊙O 于E 点，BC 交⊙O 于D 点，CD=BD ，∠C=70°． 现给出以下四个结论：①∠A=45°； ②AC=AB ：③AE BE =； ④CE ·AB=2BD 2． 其中正确结论的序号是A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④3．（江苏省2009年第8题）下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； 第2个数：2311(1)(1)1113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ……第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ）A ．第10个数；B ．第11个数；C ．第12个数；D ．第13个数4．（江苏省2009年第18题）如图，已知EF 是梯形ABCD 的中位线，DEF △的面积为24cm ，则梯形ABCD 的面积为 cm 2．5．（2019年苏州第10题）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是（ ）A ．2B ．1C ．2-．26．（2019年苏州第18题）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为()、(0，2)， P 是△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P 的坐标为 ．7．（2019年苏州第10题）如图，已知A 点坐标为（5，0），直线(0)y x b b =+>与y 轴交于点B ，连接AB ，∠a=75°，则b 的值为（ ）A ．3B ．4 D8．（2019年苏州第18题）如图，已知点A ，3），AB ⊥x 轴，垂足为B ，连接OA ，反比例函数k y x =（k>0）的图象与线段OA 、AB 分别交于点C 、D ．若AB ＝3BD ，以点C 为圆心，CA 的54倍的长为半径作圆，则该圆与x 轴的位置关系是 （填“相离”、“相切”或“相交”）．9．（2019年苏州第10题）已知在平面直角坐标系中放置了 5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3在x 轴上．若正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥10．（2019年苏州第17题）如图，已知第一象限内的图象是反比例函数1y x =图象的一个分支，第二象限内的图象是反比例函数2y x=-图象的一个分支，在x 轴上方有一条平行于x 轴的直线l 与它们分别交于点A 、B ，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ．若四边形ACDB 的周长为8且 AB<AC ，则点A 的坐标是 ．（第10题）11．如图①，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝60°，动点P 从A 点出发，以1cm/s 的速度沿着A →B →C →D 的方向不停移动，直到点P 到达点D 后才停止．已知△PAD 的面积S (单位：cm 2)与点P 移动的时间t(单位：s)的函数关系如图②所示，则点P 从开始移动到停止移动一共用了 秒(结果保留根号）．12．（2019年•苏州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上．顶点B 的坐标为（3，），点C 的坐标为（，0），点P 为斜边OB 上的一个动点，则PA+PC 的最小值为（ ）A．；B．；C．；D．2；（第12题）（第13题）13．（2019年•苏州）如图，AB切⊙O于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA，劣弧的弧长为．（结果保留π）14．（2019年•苏州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为．（第14题）（第15题）15．（2019年•苏州）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若=，则=用含k的代数式表示）．16．（2019年•苏州）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A．4km；B．2km ； C．2km； D．（+1）km（第16题）（第17题）17．（2019年•苏州）如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，），底边OB在x轴上．将△AOB 绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B′，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为A．（，）B．（，）C．（，）D．（，4）18．（2019年•苏州）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC=．（第18题）（第19题）19．（2019年•苏州）如图，在矩形ABCD中，=，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AD于点E．若AE•ED=，则矩形ABCD的面积为．20．（2019年•苏州）如图，直线l 与半径为4的⊙O 相切于点A ，P 是⊙O 上的一个动点（不与点A 重合），过点P 作PB⊥l，垂足为B ，连接PA ．设PA=x ，PB=y ，则（x ﹣y ）的最大值是 ．（第20题）模拟训练：1．（青云中学2019年中考模拟）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝2，点E 是DC 中点，AF 平分∠EAB ，FH ⊥AD 交AE 于点G ，则GH 的长为（ ）2．（青云中学2019年中考模拟）已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A （5，0），OB ＝54，点P 是对角线OB 上的一个动点，D （0，1），当CP ＋DP 最短时，点P 的坐标为（ ） A.1(1,)2 B.42(,)33 C.63(,)55 D.105(,)773．（青云中学2019年中考模拟）如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AC ⊥AB ，∠ABC ＝30°，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，交BD 于点F ，则AOAF ＝ ．4．（青云中学2019年中考模拟）如图，一次函数与反比例函数的图像交于A （1，12）和B （6，2）两点，点P 是线段AB 上一动点(不与点A 和B 重合)，过P 点分别作x 、y 轴的垂线PC 、PD 交反比例函数图像于点M 、N ，则四边形PMON 面积的最大值是 ．5．（无锡市滨湖区2019年）如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、B 在双曲线y ＝k x( x ＞0)上，BC 与x 轴交于点D ．若点A 的坐标为（2，4），则点D 的坐标为（ ）A ．（322，0）B ．（215，0）C ．（968，0）D ．（548，0） 6．（无锡市滨湖区2019年）如图，在⊙O 中直径AB=8，弦AC=CD=2，则BD 长为（ ） A ．7B ．6C ．53D ． 51597．如图，⊙O 的半径为1，正方形ABCD 顶点B 坐标为（5，0），顶点D 在 ⊙O 上运 动，则正方形面积最大时，正方形与⊙O 重叠部分的面积是 .8．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，点E 从C 点出发向终点B 运动，速度为1cm/秒，运动时间为t 秒，作EF∥AB，点P 是点C 关于FE 的对称点，连接AP ，当△AFP 恰好是直角三角形时，t的值为____________．（第7题）9．（南通启东市2019年）如图，在平面直角坐标系中 ，菱形ABOC 的顶点O 在坐标原点，边BO 在x 轴的负半轴上，∠BOC=60°，顶点C 的坐标为(m,，反比例函数k y x的图像与菱形对角线AO 交于D 点，连接BD ，当BD ⊥x 轴时，k 的值是（ ）．A ．B ．－C ．D ．－12（第9题）（第10题）10．（南通启东市2019年）如图，在RT △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，点D 为边BC 的中点，点M 为边AB 上的一动点，点N 为边AC 上的一动点，且∠MDN ＝90°，则cos ∠DMN 为（ ）．A.；B. ；C. 35；D. 4511．（南通启东市2019年）如图，长方形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，P 为AD 上一点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ，PE 与CD 相交于点O ，且OE ＝OD ，则AP 值为 ．12．（南通启东市2019年）已知点P 的坐标为（m －1,m 2－2m －3）,则点P 到直线y ＝－5的最小值为 ．（第11题）13．（2019年苏州市平江）如图，在等边△ABC 中，AB ＝10，BD ＝4，BE ＝2，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧按如图所示的方式作等边△DPF ，当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长是 ．14．（2019年苏州模拟）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90º，∠A＝30º，BC ＝2，将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转n 度后，得到△EDC，此时，点D 在AB 边上，斜边DE 交AC 边于点F ，则n 的大小和图中阴影部分的面积分别为（ ）A. 30，2B.60，2C. 60，3D. 60， 315．（2019年苏州模拟）如图，以O 为圆心的圆与直线y ＝－x+3交于A 、B 两点，若△OAB 恰为等边三角形，则弧AB 的长度为（ ）(第14题) 题）A ．23πB ．πC ．πD ．13π 16．（2019•苏州模拟）如图，□ABCD 顶点A ，B 坐标分别是A （-1，0），B （0，-2），顶点C ，D 在双曲线y ＝k x上，边AD 交y 轴于点E ，且四边形BCDE 的面积是△ABE 面积的5倍，则k ＝__ ___．（第16题）（第17题）17．（2019年苏州模拟）在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，3）．延长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作正方形A 2B 2C 2C 1…，按这样的规律进行下去，第4个正方形的边长为___ ．18.（吴江区2019O 中，AB 、CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P ，且4AB CD ==，则OP 的长为( )C. 2D.19. （吴江区2019年）如图，A 、B 、C 是反比例函数(0)k y k x=<图象上三点，作直线l ，使A 、B 、C 到直线l 的距离之比为3:1:1，则满足条件的直线l 共有( )A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条（第18题）（第19题）20．（蔡老师预测2019年）如图，将正六边形ABCDEF 放入平面直角坐标系后，若点A 、B 、E 的坐标分别为 （a ，b ）、（3，1）、（－a ，b ），则点D 的坐标为（ ）A ．（1，3）B ．（3，－1）C ．（－1，－3）D ．（－3，1）21．（蔡老师预测2019年）二次函数y ＝a(x －b)2＋c （a ＜0）的图像经过点（1，1）和（3，3），则b 的取值范围是 ．22．（蔡老师预测2019年）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝1，P 为△ABC 内一个动点，∠PAB ＝24．（苏州市区2019年）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC=4.点P 是△ABC 内的一点，连接PC ，以PC 为直角边在PC 的右上方作等腰直角三角形PCD.连接AD ，若AD ∥BC ，且四边形ABCD 的面积为12，则BP 的长为 ．25．（太仓市2019年）如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标系原点，A(3，0)，B(3，1)，C(0，1)，将OAB ∆ 沿直线OB 折叠，使得点A 落在点D 处，OD 与BC 交于点E ，则OD 所在直线的解析式为 （ ）A ．45y x =B ．54y x =C ．34y x =D ．43y x = 26．（太仓市2019年）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，且a>b>c ，a ＋b ＋c ＝0，有以下四个命题，①x=1是二次方程ax 2＋bx ＋c=0的一个实数根；②二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下；③二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴在y 轴的左侧；④不等式4a+2b+c>0一定成立．则一定正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④ 27．（太仓市2019年）已知△ABC 中， AB=4，AC=3，当∠B 取得最大值时，BC 的长度为 ．28．（相城区2019年）如图，在平面直角坐标系中，线段AB 的端点坐标为(2,4)A -，(4,2)B ，直线2y kx =-与线段AB 有交点，则k 的值不可能是（ ）A 5- B.2- C. 3 D. 529．（相城区2019年）若,()m n m n <是关于x的方程()()x a x b --=a b <，则a 、b 、m 、n 的大小关系是（ ）A.m a b n <<<B.a m n b <<<C.a m b n <<<D. m a n b <<<（第28题）（第30题）30．（相城区2019年）如图，在平面直角坐标系中，过点(3,2)M -分别作x 轴、y 轴的垂线与反比例函数4y x=的图象交于A ，B 两点，则四边形MAOB 的面积为 . 31．（相城区2019年）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为AB 的中点，Q 为边CD 上一动点，线段PQ 的垂直平分线分别交边AD 、BC 于点M 、N ，顺次连接P 、M 、Q 、N ，则四边形PMQN 的面积的最大值.（第31题） 第32图1 C32．（高新区2019年）如图1，在平行四边形ABCD 中，点P 从起点B 出发，沿BC ，CD 逆时针方向向终点D 匀速运动．设点P 所走过的路程为x ，则线段AP ，AD 与平行四边形的边所围成的图形面积为y ，表示y 与x 的函数关系的图像大致如图2，则AB 边上的高是( ) A ．3B ．4C ．5D ．6 33．（高新区2019年）如图，菱形ABCD 放置在直线l 上(AB 与直线l 重合)，AB ＝4，∠DAB＝60°，将菱形ABCD 沿直线l 向右无滑动地在直线l 上滚动，从点A 离开出发点到点A 第一次落在直线l 上为止，点A 运动经过的路径总长度为( )AB； CD34．（高新区2019年）如图，已知点A 是双曲线1y x=在第一象限的分支上的一个动点，连结AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为边作等边△ABC，点C 在第四象限．随着点A 的运动，点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线k y x=(k ＜0)上运动，则k 的值是 ． 35．（高新区2019年）如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上的一个动点(不与B 、D 重合)，连结AP ，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为H ，连结DH ，若正方形的边长为4，则线段DH 长度的最小值是 ．36．（高新区2019年）如图，在平面直角坐标系xOy 中，平行四边形OABC 的顶点A ，B 的坐标分别为(6，0)，(7，3)，将平行四边形OABC 绕点O 逆时针方向旋转得到平行四边形OA′B′C′，当点C′落在BC 的延长线上时，线段OA′交BC 于点E ，则线段C′E 的长度为 ．（第37题）37.（2019年常熟）如图，在四边形ABCD 中， 90,60ADC BAD ∠=︒∠=︒，对角线AC 平分BAD ∠，且4AB AC ==，点E 、F 分别是AC 、BC 的中点，连接DE 、EF 、DF ，则DF 的长为 .38. （2019年常熟）如图，在ABC ∆中， 90,8,6ACB BC AC ∠=︒==，以点C 为圆心，4为半径的C D B lA 第33题图圆上有一个动点D .连接AD 、BD 、CD ，则12BD AD +的最小值是 . 39．（2019年吴中）如图，二次函数213222y x x =--+象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，点(,)D m n 是抛物线在第二象限的部分上的一动点，则四边形OCDA 的面积的最大值是 。
19年江苏省中考数学真题汇编-专题04 图形的性质
2019年江苏省中考数学专题04 图形的性质参考答案与试题解析一．选择题（共19 小题）1．（2019•连云港）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是（）A．B．C．D．【答案】解：由题意可知，该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．故选：B．【点睛】本题主要考查了几何体的展开图，熟练掌握棱锥的展开图是解答本题的关键．2．（2019•常州）如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（）A．线段PA B．线段PB C．线段PC D．线段PD【答案】解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B．故选：B．【点睛】本题考查的是直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，这属于基本的性质定理，属3．（2019•苏州）如图，已知直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点A，B．若∠1＝54°，则∠2等于（）A．126°B．134°C．136°D．144°【答案】解：如图所示：∵a∥b，∠1＝54°，∴∠1＝∠3＝54°，∴∠2＝180°﹣54°＝126°．故选：A．【点睛】此题主要考查了邻补角的性质以及平行线的性质，正确得出∠3 的度数是解题关键．4．（2019•宿迁）一副三角板如图摆放（直角顶点C重合），边AB与CE交于点F，DE∥BC，则∠BFC等于（）A．105°B．100°C．75°D．60°【答案】解：由题意知∠E＝45°，∠B＝30°，∴∠BCF＝∠E＝45°，在△CFB 中，∠BFC＝180°﹣∠B﹣∠BCF＝180°﹣30°﹣45°＝105°，故选：A．【点睛】本题考查了特殊直角三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等，解题关键是要搞清楚一副三角板是指一个等腰直角三角形和一个含30°角的直角三角形．5．（2019•徐州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．2，2，4 B．5，6，12 C．5，7，2 D．6，8，10【答案】解：∵2+2＝4，∴2，2，4 不能组成三角形，故选项A 错误，∵5+6＜12，∴5，6，12 不能组成三角形，故选项B 错误，∵5+2＝7，∴5，7，2 不能组成三角形，故选项C 错误，∵6+8＞10，∴6，8，10 能组成三角形，故选项D 正确，故选：D．【点睛】本题考查三角形三边关系，解答本题的关键是明确三角形两边之和大于第三边．6．（2019•淮安）下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（）A．2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cmC．3cm，4cm，5cm D．4cm，5cm，6cm【答案】解：A、2+3＞4，能构成三角形，不合题意；B、1+2＝3，不能构成三角形，符合题意；C、4+3＞5，能构成三角形，不合题意；D、4+5＞6，能构成三角形，不合题意．故选：B．【点睛】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三个数．7．（2019•泰州）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC 的重心是（）A．点D B．点E C．点F D．点G【答案】解：根据题意可知，直线CD 经过△ABC 的AB 边上的中线，直线AD 经过△ABC 的BC 边上的中线，∴点D 是△ABC 重心．故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的重心的定义，属于基础题意，比较简单．8．（2019•扬州）已知n是正整数，若一个三角形的3边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有（）A．4 个B．5 个C．6 个D．7 个【答案】解：①若n+2＜n+8≤3n，则，解得，即4≤n＜10，∴正整数n 有6 个：4，5，6，7，8，9；②若n+2＜3n≤n+8，则，解得，即2＜n≤4，∴正整数n 有2 个：3 和4；综上所述，满足条件的n 的值有7 个，故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的运用，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．9．（2019•盐城）如图，点D、E分别是△ABC边BA、BC的中点，AC＝3，则DE的长为（）A．2 B．C．3 D．【答案】解：∵点D、E 分别是△ABC 的边BA、BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE AC＝1.5．故选：D．【点睛】此题主要考查了三角形中位线定理，正确得出DE 是△ABC 的中位线是解题关键．10．（2019•镇江）如图，菱形ABCD的顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），顶点A、D在x轴上方，对角线BD 的长是，点E（﹣2，0）为BC 的中点，点P 在菱形ABCD 的边上运动．当点F（0，6）到EP 所在直线的距离取得最大值时，点P 恰好落在AB 的中点处，则菱形ABCD 的边长等于（）A．B．C．D．3【答案】解：如图1 中，当点P 是AB 的中点时，作FG⊥PE 于G，连接EF．∵E（﹣2，0），F（0，6），∴OE＝2，OF＝6，∴EF 2 ，∵∠FGE＝90°，∴FG≤EF，∴当点G 与E 重合时，FG 的值最大．如图 2 中，当点G 与点E 重合时，连接AC 交BD 于H，PE 交BD 于J．设BC＝2a．∵PA＝PB，BE＝EC＝a，∴PE∥AC，BJ＝JH，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC⊥BD，BH＝DH ，BJ ，∴PE⊥BD，∵∠BJE＝∠EOF＝∠PEF＝90°，∴∠EBJ＝∠FEO，∴△BJE∽△EOF，∴，∴，∴a ，∴BC＝2a ，故选：A．【点睛】本题考查菱形的性质，坐标与图形的性质，相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．11．（2019•连云港）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC 与CD 总长为12m，则该梯形储料场ABCD 的最大面积是（）A．18m2B．18 m2C．24 m2D．m2【答案】解：如图，过点C 作CE⊥AB 于E，则四边形ADCE为矩形，CD＝AE＝x，∠DCE＝∠CEB＝90°，则∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝12﹣x，在Rt△CBE中，∵∠CEB＝90°，∴BE BC＝6 x，∴AD＝CE BE＝6 x，AB＝AE+BE＝x+6 x x+6，∴梯形ABCD 面积S （CD+AB）•CE （x x+6）•（6 x）x2+3 x+18（x﹣4）2+24 ，∴当x＝4 时，S＝24 ．最大即CD 长为4m 时，使梯形储料场ABCD 的面积最大为24m2；故选：C．【点睛】此题考查了梯形的性质、矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、二次函数的运用，利用梯形的面积建立二次函数是解题的关键．12．（2019•苏州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C 的方向平移，得到△A'B'O'．当点A'与点C 重合时，点A 与点B'之间的距离为（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC AC＝2，OB＝OD BD＝8，∵△ABO 沿点A 到点C 的方向平移，得到△A'B'O'，点A'与点 C 重合，∴O'C＝OA＝2，O'B'＝OB＝8，∠CO'B'＝90°，∴AO'＝AC+O'C＝6，∴AB' 10；故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质、平移的性质、勾股定理；熟练掌握菱形的性质和平移的性质是解题的关键．13．（2019•无锡）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．内角和为360°B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直【答案】解：矩形和菱形的内角和都为360°，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线垂直且平分，∴矩形具有而菱形不具有的性质为对角线相等，故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键．14．（2019•镇江）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，．若∠C＝110°，则∠ABC 的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°【答案】解：连接AC，∵四边形ABCD 是半圆的内接四边形，∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，∵，∴∠CAB∠DAB＝35°，∵AB 是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，故选：A．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．15．（2019•宿迁）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6 个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（）A．6 πB．6 2πC．6 πD．6 2π【答案】解：6 个月牙形的面积之和＝3π﹣（22π﹣6 2 ）＝6 π，故选：A．【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正六边形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．16．（2019•苏州）如图，AB为⊙O的切线，切点为A连接AO、BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O 交于点D，连接AD．若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为（）A．54°B．36°C．32°D．27°【答案】解：∵AB 为⊙O 的切线，∴∠OAB＝90°，∵∠ABO＝36°，∴∠AOB＝90°﹣∠ABO＝54°，∵OA＝OD，∴∠ADC＝∠OAD，∵∠AOB＝∠ADC+∠OAD，∴∠ADC∠AOB＝27°；故选：D．【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握切线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．17．（2019•连云港）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM 折叠，点D 的对应点为E，ME 与BC 的交点为F；再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP，此时点B 的对应点为G．下列结论：①△CMP 是直角三角形；②点C、E、G 不在同一条直线上；③PC MP；④BP AB；⑤点F 是△CMP 外接圆的圆心，其中正确的个数为（）A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个【答案】解：∵沿着CM 折叠，点D 的对应点为E，∴∠DMC＝∠EMC，∵再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP，∴∠AMP＝∠EMP，∵∠AMD＝180°，∴∠PME+∠CME180°＝90°，∴△CMP 是直角三角形；故①正确；∵沿着CM 折叠，点D 的对应点为E，∴∠D＝∠MEC＝90°，∵再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP，∴∠MEG＝∠A＝90°，∴∠GEC＝180°，∴点C、E、G 在同一条直线上，故②错误；∵AD＝2 AB，∴设AB＝x，则AD＝2x，∵将矩形ABCD 对折，得到折痕MN；∴DM AD x，∴CM x，∵∠PMC＝90°，MN⊥PC，∴CM2＝CN•CP，∴CP x，∴PN＝CP﹣CN x，∴PM x，∴，∴PC MP，故③错误；∵PC x，∴PB＝2 x x x，∴，∴PB AB，故④，∵CD＝CE，EG＝AB，AB＝CD，∴CE＝EG，∵∠CEM＝∠G＝90°，∴FE∥PG，∴CF＝PF，∵∠PMC＝90°，∴CF＝PF＝MF，∴点F 是△CMP 外接圆的圆心，故⑤正确；故选：B．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，折叠的性质，直角三角形的性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．18．（2019•无锡）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则∠B的度数为（）A．20°B．25°C．40°D．50°【答案】解：连接OA，如图，∵PA 是⊙O 的切线，∴OA⊥AP，∴∠PAO＝90°，∵∠P＝40°，∴∠AOP＝50°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB，∵∠AOP＝∠B+∠OAB，∴∠B∠AOP50°＝25°．故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．19．（2019•常州）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．﹣2 B．C．0 D．【答案】解：当n＝﹣2 时，满足n＜1，但n2﹣1＝3＞0，所以判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，举出n＝﹣2．故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．二．填空题（共33 小题）1．（2019•泰州）命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是真命题（填“真命题”或“假命题”）．【答案】解：三角形的三个内角中至少有两个锐角，是真命题；故答案为：真命题【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．2．（2019•常州）如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于55°．【答案】解：∵∠α＝35°，∴∠α的余角等于90°﹣35°＝55°故答案为：55．【点睛】本题考查的两角互余的基本概念，题目属于基础概念题，比较简单．3．（2019•苏州）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．图①是由边长为10cm 的正方形薄板分为7 块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形．该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为cm（结果保留根号）．【答案】解：10×10＝100（cm2）（cm）答：该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为cm．故答案为：．【点睛】考查了七巧板，关键是得到该“七巧板”中7 块图形之一的正方形面积是大正方形面积的．4．（2019•扬州）将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC＝26°，则∠ACD＝128°．【答案】解：延长DC，由题意可得：∠ABC＝∠BCE＝∠BCA＝26°，则∠ACD＝180°﹣26°﹣26°＝128°．故答案为：128．【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及平行线的性质，正确应用相关性质是解题关键．5．（2019•南京）结合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵∠1+∠3＝180°，∴a∥b．【答案】解：∵∠1+∠3＝180°，∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．故答案为：∠1+∠3＝180°．【点睛】本题主要考查了平行的判定，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．6．（2019•盐城）如图，直线a∥b，∠1＝50°，那么∠2＝50°．【答案】解：∵a∥b，∠1＝50°，∴∠1＝∠2＝50°，故答案为：50．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确掌握平行线的性质是解题关键．7．（2019•镇江）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝40°．【答案】解：∵△BCD 是等边三角形，∴∠BDC＝60°，∵a∥b，∴∠2＝∠BDC＝60°，由三角形的外角性质可知，∠1＝∠2﹣∠A＝40°，故答案为：40．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、平行线的性质，掌握三角形的三个内角都是60°是解题的关键．8．（2019•扬州）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，若进行以下操作，在边BC上从左到右依次取点D1、D2、D3、D4、…；过点D1 作AB、AC 的平行线分别交AC、AB 于点E1、F1；过点D1 作AB、AC 的平行线分别交AC、AB于点E2、F2；过点D3作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E3、F3…，则4（D1E1+D2E2+…+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+…+D2019F2019）＝40380 ．【答案】解：∵D1F1∥AC，D1E1∥AB，∴，即，∵AB＝5，BC＝4，∴4D1E1+5D1F1＝20，同理4D2E2+5D2F2＝20，…，4D2019E2019+5D2019F2019＝20，∴4（D1E1+D2E2+…+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+…+D2019F2019）＝20×2019＝40380；故答案为40380．【点睛】本题考查平行线的性质，探索规律；能够根据平行线的性质和等量代换得到4D1E1+5D1F1＝20是解题的关键．9．（2019•苏州）如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°．P为弧AB上的一点，过点P作PC⊥OA，垂足为C，PC 与AB 交于点D．若PD＝2，CD＝1，则该扇形的半径长为 5 ．【答案】解：连接OP，如图所示．∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝45°．∵PC⊥OA，∴△ACD 为等腰直角三角形，∴AC＝CD＝1．设该扇形的半径长为r，则OC＝r﹣1，在Rt△POC中，∠PCO＝90°，PC＝PD+CD＝3，∴OP2＝OC2+PC2，即r2＝（r﹣1）2+9，解得：r＝5．故答案为：5．【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形以及圆的认识，利用勾股定理，找出关于扇形半径的方程是解题的关键．10．（2019•南京）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是4＜BC．【答案】解：作△ABC 的外接圆，如图所示：∵∠BAC＞∠ABC，AB＝4，当∠BAC＝90°时，BC是直径最长，∵∠C＝60°，∴∠ABC＝30°，∴BC＝2AC，AB AC＝4，∴AC ，∴BC ；当∠BAC＝∠ABC 时，△ABC 是等边三角形，BC＝AC＝AB＝4，∵∠BAC＞∠ABC，∴BC 长的取值范围是4＜BC ；故答案为：4＜BC ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系、直角三角形的性质、等边三角形的性质；作出△ABC 的外接圆进行推理计算是解题的关键．11．（2019•南京）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 5 cm．【答案】解：由题意可得：杯子内的筷子长度为：15，则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20﹣15＝5（cm）．故答案为：5．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的长是解决问题的关键．12．（2019•常州）平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）到原点的距离是5．【答案】解：作PA⊥x 轴于A，则PA＝4，OA＝3．则根据勾股定理，得OP＝5．故答案为5．【点睛】此题考查了点的坐标的知识以及勾股定理的运用．点到x 轴的距离即为点的纵坐标的绝对值．13．（2019•徐州）如图，A、B、C、D为一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则∠OAD＝30°．【答案】解：连接OB、OC，多边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得多边形的边数为：，∴∠AOB ，∴∠AOD＝40°×3＝120°．∴∠OAD ．故答案为：30°【点睛】本题主要考查了正多边形的外角以及内角，熟记公式是解答本题的关键．14．（2019•徐州）如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若MN＝4，则AC 的长为16 ．【答案】解：∵M、N 分别为BC、OC 的中点，∴BO＝2MN＝8．∵四边形ABCD 是矩形，∴AC＝BD＝2BO＝16．故答案为16．【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及三角形中位线的定理，解题的关键是找到线段间的倍分关系．15．（2019•常州）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N 在线段BD 上．若△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC 相等，则MN＝ 6 或．【答案】解：分两种情况：①MN 为等腰△PMN 的底边时，作PF⊥MN 于F，如图1 所示：则∠PFM＝∠PFN＝90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝3，∠A＝∠C＝90°，∴AB＝CD ，BD 10，∵点P 是AD 的中点，∴PD AD ，∵∠PDF＝∠BDA，∴△PDF∽△BDA，∴，即，解得：PF ，∵CE＝2BE，∴BC＝AD＝3BE，∴BE＝CD，∴CE＝2CD，∵△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC 相等，PF⊥MN，∴MF＝NF，∠PNF＝∠DEC，∵∠PFN＝∠C＝90°，∴△PNF∽△DEC，∴2，∴MF＝NF＝2PF＝3，∴MN＝2NF＝6；②MN 为等腰△PMN 的腰时，作PF⊥BD 于F，如图2 所示：由①得：PF ，MF＝3，设MN＝PN＝x，则FN＝3﹣x，在Rt△PNF中，（）2+（3﹣x）2＝x2，解得：x ，即MN ；综上所述，MN 的长为6 或；故答案为：6 或．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．16．（2019•无锡）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD 为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE 面积的最大值为8 ．【答案】解：过点C 作CG⊥BA 于点G，作EH⊥AB 于点H，作AM⊥BC 于点M．∵AB＝AC＝5，BC＝4 ，∴BM＝CM＝2 ，易证△AMB∽△CGB，∴，即∴GB＝8，设BD＝x，则DG＝8﹣x，易证△EDH≌△DCG（AAS），∴EH＝DG＝8﹣x，∴SBDE ，△当x＝4 时，△BDE 面积的最大值为8．故答案为8．【点睛】本题考查了正方形，熟练运用正方形的性质与相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．17．（2019•扬州）如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N 分别是DC、DF 的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝．【答案】解：连接CF，∵正方形ABCD 和正方形BEFG 中，AB＝7，BE＝5，∴GF＝GB＝5，BC＝7，∴GC＝GB+BC＝5+7＝12，∴13．∵M、N 分别是DC、DF 的中点，∴MN ．故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质及中位线定理、勾股定理的运用．构造基本图形是解题的关键．18．（2019•淮安）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数是5．【答案】解：设这个多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝540°，解得n＝5，故答案为：5．【点睛】本题考查了多边形外角与内角．此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式来寻求等量关系，构建方程即可求解．19．（2019•泰州）八边形的内角和为1080°．【答案】解：（8﹣2）•180°＝6×180°＝1080°．故答案为：1080°．【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟记内角和公式是解题的关键．20．（2019•常州）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝30°．【答案】解：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°，∴∠CDB∠BOC＝30°．故答案为30．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．21．（2019•常州）如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB＝．【答案】解：连接OB，作OD⊥BC 于D，∵⊙O 与等边三角形ABC 的两边AB、BC 都相切，∴∠OBC＝∠OBA∠ABC＝30°，∴tan∠OBC ，∴BD 3，∴CD＝BC﹣BD＝8﹣3＝5，∴tan∠OCB ．故答案为．【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．22．（2019•泰州）如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A作AP的垂线交⊙O 于点B、C．设PB＝x，PC＝y，则y 与x 的函数表达式为y ．【答案】解：连接PO 并延长交⊙O 于D，连接BD，则∠C＝∠D，∠PBD＝90°，∵PA⊥BC，∴∠PAC＝90°，∴∠PAC＝∠PBD，∴△PAC∽△PBD，∴，∵⊙O 的半径为5，AP＝3，PB＝x，PC＝y，∴，∴y ，故答案为：y ．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．23．（2019•连云港）如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为6．【答案】解：∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，又OB＝OC，∴△BOC 是等边三角形∴OB＝BC＝6，故答案为6．【点睛】本题综合运用圆周角定理以及等边三角形的判定和性质．24．（2019•泰州）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为6πcm．【答案】解：该莱洛三角形的周长＝36π（cm）．故答案为6π．【点睛】本题考查了弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．也考查了等边三角形的性质．25．（2019•盐城）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且为50°，则∠E+∠C＝155°．【答案】解：连接EA，∵为50°，∴∠BEA＝25°，∵四边形DCAE 为⊙O 的内接四边形，∴∠DEA+∠C＝180°，∴∠DEB+∠C＝180°﹣25°＝155°，故答案为：155．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．26．（2019•扬州）如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB 是⊙O 的内接正n 边形的一边，则n＝15 ．【答案】解：连接BO，∵AC 是⊙O 内接正六边形的一边，∴∠AOC＝360°÷6＝60°，∵BC 是⊙O 内接正十边形的一边，∴∠BOC＝360°÷10＝36°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝60°﹣36°＝24°，∴n＝360°÷24°＝15；故答案为：15．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正十边形的性质；根据题意求出中心角的度数是解题的关键．27．（2019•南京）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A+∠C＝219°．【答案】解：连接AB，∵PA、PB 是⊙O 的切线，∴PA＝PB，∵∠P＝102°，∴∠PAB＝∠PBA（180°﹣102°）＝39°，∵∠DAB+∠C＝180°，∴∠PAD+∠C＝∠PAB+∠DAB+∠C＝180°+39°＝219°，故答案为：219°．【点睛】本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．28．（2019•连云港）一圆锥的底面半径为2，母线长3，则这个圆锥的侧面积为6π．【答案】解：该圆锥的侧面积2π×2×3＝6π．故答案为6π．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．29．（2019•淮安）若圆锥的侧面积是15π，母线长是5，则该圆锥底面圆的半径是3．【答案】解：设该圆锥底面圆的半径是为r，根据题意得2π×r×5＝15π，解得r＝3．即该圆锥底面圆的半径是3．故答案为3．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．30．（2019•宿迁）直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为2．【答案】解：直角三角形的斜边13，所以它的内切圆半径2．故答案为2．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角；直角三角形的内切圆的半径为（其中a、b 为直角边，c 为斜边）．31．（2019•无锡）已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2，则这个圆锥的底面圆半径为3cm．【答案】解：∵圆锥的母线长是5cm，侧面积是15πcm2，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l 6π，∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，∴r 3cm，故答案为：3．【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确地进行圆锥与扇形的转化．32．（2019•徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l为6cm．【答案】解：圆锥的底面周长＝2π×2＝4πcm，设圆锥的母线长为R，则：4π，解得R＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：．33．（2019•无锡）如图，在△ABC中，AC：BC：AB＝5：12：13，⊙O在△ABC内自由移动，若⊙O的半径为1，且圆心O 在△ABC 内所能到达的区域的面积为，则△ABC 的周长为25 ．【答案】解：如图，由题意点O 所能到达的区域是△EFG，连接AE，延长AE 交BC 于H，作HM⊥AB 于M，EK⊥AC 于K，作FJ⊥AC 于J．∵EG∥AB，EF∥AC，FG∥BC，∴∠EGF＝∠ABC，∠FEG＝∠CAB，∴△EFG∽△ACB，∴EF：FG：EG＝AC：BC：AB＝5：12：13，设EF＝5k，FG＝12k，∵5k×12k ，∴k或（舍弃），∴EF ，∵四边形EKJF 是矩形，∴KJ＝EF ，设AC＝5m，BC＝12m，AB＝13m，∵∠ACH＝∠AMH＝90°，∠HAC＝∠HAM，AH＝AH，∴△HAC≌△HAM（AAS），∴AM＝AC＝5m，CH＝HM，BM＝8m，设CH＝HM＝x，在Rt△BHM 中，则有x2+（8m）2＝（12m﹣x）2，∴x m，∵EK∥CH，∴ ，∴，∴AK ，∴AC＝AK+KJ+CJ 1 ，∴BC 12＝10，AB 13 ，∴△ABC 的周长＝AC+BC+AB 10 25，故答案为25．【点睛】本题考查动点问题，轨迹，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题三．解答题（共31 小题）1．（2019•南京）如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F．求证：△ADF≌△CEF．【解答】证明：∵DE∥BC，CE∥AB，∴四边形DBCE 是平行四边形，∴BD＝CE，∵D 是AB 的中点，∴AD＝BD，∴AD＝EC，∵CE∥AD，∴∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E，∴△ADF≌△CEF（ASA）．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定，两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．2．（2019•无锡）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，BD＝CE，BE、CD相交于点O．（1）求证：△DBC≌△ECB；（2）求证：OB＝OC．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ECB＝∠DBC，在△DBC 与△ECB 中，∴△DBC≌△ECB（SAS）；（2）证明：由（1）知△DBC≌△ECB，∴∠DCB＝∠EBC，∴OB＝OC．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．3．（2019•镇江）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在AD、BC上，AE＝CF，过点A、C分别作EF 的垂线，垂足为G、H．（1）求证：△AGE≌△CHF；（2）连接AC，线段GH 与AC 是否互相平分？请说明理由．【解答】（1）证明：∵AG⊥EF，CH⊥EF，∴∠G＝∠H＝90°，AG∥CH，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，∵∠AEG＝∠DEF，∠CFH＝∠BFE，∴∠AEG＝∠CFH，在△AGE 和△CHF 中，，∴△AGE≌△CHF（AAS）；（2）解：线段GH 与AC 互相平分，理由如下：连接AH、CG，如图所示：由（1）得：△AGE≌△CHF，∴AG＝CH，∵AG∥CH，∴四边形AHCG 是平行四边形，∴线段GH 与AC 互相平分．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．4．（2019•扬州）如图，平面内的两条直线l1、l2，点A，B在直线l1上，点C、D在直线l2上，过A、B两点分别作直线l2 的垂线，垂足分別为A1，B1，我们把线段A1B1 叫做线段AB 在直线l2 上的正投影，其长度可记作TAB，CD）或T ，特别地线段AC 在直线l2 上的正投影就是线段（A1C．请依据上述定义解决如下问题：（1）如图1，在锐角△ABC 中，AB＝5，TAC，AB）＝3，则T（BC，AB）＝ 2 ；（（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，TAC，AB）＝4，T（BC，AB）═9，求△ABC的面积；（（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A＝60°，点D在AB边上，∠ACD＝90°，TAD，AC）＝2，T（BC，AB）＝6，（求TBC，CD），（【解答】解：（1）如图1中，作CH⊥AB．∵TAC，AB）＝3，（∴AH＝3，∵AB＝5，∴BH＝5﹣3＝2，∴TBC，AB）＝BH＝2，（故答案为2．（2）如图2 中，作CH⊥AB 于H．∵TAC，AB）＝4，T（BC，AB）═9，（∴AH＝4，BH＝9，∵∠ACB＝∠CHA＝∠CHB＝90°，∴∠A+∠ACH＝90°，∠ACH+∠BCH＝90°，∴∠A＝∠BCH，∴△ACH∽△CBH，∴，∴，∴CH＝6，∴SABC •AB•CH 13×6＝39．△（3）如图3 中，作CH⊥AD 于H，BK⊥CD 于K．∵∠ACD＝90°，TAD，AC）＝2，（∴AC＝2，∵∠A＝60°，∴∠ADC＝∠BDK＝30°，∴CD AC＝2 ，AD＝2AC＝4，AH AC＝1，DH＝AD﹣AH＝3，∵TBC，AB）＝6，CH⊥AB，（∴BH＝6，∴DB＝BH﹣DH＝3，在Rt△BDK中，∵∠K＝90°，BD＝3，∠BDK＝30°，∴DK＝BD•cos30°，∴CK＝CD+DK＝2 ，∴TBC，CD）＝CK ．（【点睛】本题属于三角形综合题，考查了正投影的定义，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．5．（2019•淮安）已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点．求证：BE＝DF．【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵点E、F 分别是▱ABCD 边AD、BC 的中点，∴DE AD，BF BC，∴DE＝BF，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴BE＝DF．【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．6．（2019•宿迁）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF．（1）求证：四边形AECF 是菱形；（2）求线段EF 的长．【解答】（1）证明：∵在矩形ABCD 中，AB＝4，BC＝2，∴CD＝AB＝4，AD＝BD＝2，CD∥AB，∠D＝∠B＝90°，∵BE＝DF ，∴CF＝AE＝4 ，∴AF＝CE ，∴AF＝CF＝CE＝AE ，∴四边形AECF 是菱形；（2）解：过F 作FH⊥AB 于H，则四边形AHFD 是矩形，∴AH＝DF ，FH＝AD＝2，∴EH 1，∴EF ．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．7．（2019•扬州）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝6，BE＝8，DE＝10．（1）求证：∠BEC＝90°；（2）求cos∠DAE．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC＝AB＝，AD＝BC，DC∥AB，∴∠DEA＝∠EAB，∵AE 平分∠DAB，∴∠DAE＝∠EAB，。
2019年江苏省苏州市中考数学试题(解析版)
2019 年苏州市初中毕业暨升学考试试卷数学本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共 2 小题，满分 130 分，考试时间 120 分钟，注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考点名、考场号、座位号、用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置上， 并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符；2．答选择题必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案； 答非选择题必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答；3．考生答题必须答在答题卡上，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效。
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题要求的。
请将选择题的答案用 2B 铅笔涂在答题卡相应位置上。
1．5 的相反数是（）A ． 15B ． - 15 C ． 5 D ． -52．有一组数据：2，2，4，5，7 这组数据的中位数为（）A ．2B ．4C ． 5D ．73．苏州是全国重点旅游城市，2018 年实现旅游总收入约为 26 000 000 万元，数据 26 000 000 用科学记数法可表示为（ ）A ． 0.26 ⨯108B ． 2.6 ⨯108C ． 26 ⨯106D ． 2.6 ⨯1074．如图，已知直线 a //b ，直线c 与直线 a ，b 分别交于点 A ，B ．若∠1 = 54o ，则∠2 =（）A ．126oB ．134oC ．136oD ．144ocab1A2B5．如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO、BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接OC （ A')AD ，若∠ABO = 36o ，则∠ADC 的度数为（ ）A ． 54oB ． 36oC ． 32oD ． 27oAB6．小明 5 元买售价相同的软面笔记本，小丽用 24 元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵 3 元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为 x 元，根据题意可列出的 方程为（）A ． 15 = 24B ．15 = 24C ．15 = 24 D ．15 = 24 x x + 3x x - 3x + 3 xx - 3 x7．若一次函数 y = kx + b （ k 、b 为常数，且 k ≠ 0）的图像经过点 A (0，- 1)， B (1，1)，则不等式kx + b > 1的解为（ ）A ． x < 0B ． x > 0C ． x < 1D ． x > 18．如图，小亮为了测量校园里教学楼 AB 的高度，将测角仪CD 竖直放置在与教学楼水平距离为18 3 m 的地面上，若测角仪的高度为1.5 m ，测得教学楼的顶部 A 处的仰角为30o ，则教学楼的高度是（）A ． 55.5 mB ． 54 mC ．19.5 mD ．18 mD9．如图，菱形 ABCD 的对角线 AC ， BD 交于点O ， AC = 4，BD = 16，将V ABO 沿点 A 到点C 的方向平移，得到 V A 'B 'C '，当点 A '与点C 重合时，点 A 与点 B '之间的距离为（）A ． 6B ． 8C ．10DD ．12OC30°B'Ex - 6 10．如图，在VABC 中，点 D 为 BC 边上的一点，且 AD = AB = 2， AD ⊥ AB ，过点 D 作 DE ⊥ AD ， DE 交 AC 于点 E ，若 DE = 1，则V ABC 的面积为（）A ． 4B ． 4C ． 2D ． 8ABDC二、 填空：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，把答案直接填在答题卡相应位置上。
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利“刃”在手亿“折”成“直”—例析坐标系中三角形周长最小值问题在近几年的各地中考中，与线段相关的最值问题频频出现，已然成为一道亮丽的风景线.而其中以平面直角坐标系为载体来设计三角形周长最小值问题，更是中考命题所关注的热点之一本文以近几年中考题为例，归纳其类型与解法，供参考.1.三角形的三个顶点中仅有一个顶点是动点例1 (2019年河南省，有改动)如图1，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上点A 、C 间的一个动点(含端点)，过点P 作PF BC ⊥于点F .点D 、E 的坐标分别为(0,6),(-4,0)，连接,,PD PE DE .是否存在点P ，使PDE ∆的周长最小?若存在，求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由.分析 存在.理由:易求抛物线的解析式为2188y x =-+.设21(,8)8P m m -+(80)m -≤≤，则2221118(8),2888PF m m PD m =--+===+，故2PD PF =+, PDE ∆的周长=2DE EP PD DE EP PF ++=+++.如图2，过E 点作EG BC ⊥于点G .当,,E P F 三点共线，即点P 为EG 与抛物线的交点时，EP PF +的值最小，此时214,(4)868P E P x x y ==-=-⨯-+=，所以PDE ∆周长最小时点P 的坐标为(-4,6).点评 本例三角形的三个顶点中，点P 为动点，点,D E 均为定点.由于DE 的长为定值，欲使PDE ∆的周长最小，只需满足PD PE +的值最小即可.进而利用“点P 运动的过程中，PD 与PF 的差为定值”这一有力武器，将问题转化为“求定直线BC 上一动点F 与直线外一定点E 的距离的最小值”，最终借助“连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”确定点P 的位置.例2 (2019年山西省，有改动)如图3，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点.请在直线AC 上找一点M ，使BDM ∆的周长最小，求出M 点的坐标.分析 易知(1,0),(3,0),(0,3),(1,4)A B C D -，故4,10AB AC ===，直线AC 的解析式为33y x =+.如图4，作点B 关于直线AC 的对称点B '，连接B D ',交AC 于点M ，则BDM ∆即为符合题意的周长最小的三角形.(证明如下:不妨在直线AC 上取异于点M 的任一点M '，连接,,B M DM BM ''''.由对称性可知:,BM B M BM B M ''''==，于是BDM ∆的周长=B M '+,DM BD BDM '+∆的周长=B M DM BD '''++.而在B DM ''∆中，B M DM B D ''''+>，即B M DM B M DM ''''+>+，所以BDM '∆的周长大于BDM ∆的周长.)若BB '交AC 于点E ，则90,22cos 2cos ABE CAO ACO BB BE AB ABE AB ACO '∠=︒-∠=∠==⋅∠=⋅∠24=⨯=过B '点作B F x '⊥轴于点F ，则362133cos 355B x BF BB ABE ''=-=-⋅∠=-=-，12sin sin 5B y B F BB ABE BB ACO ''''==⋅∠=⋅∠==，故2112(,)55B '-, 易求直线B D '的解析式为4481313y x =+. 联立解方程组448131333y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，得93513235x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以M 点的坐标为9132(,)3535. 点评 本例三角形的三个顶点中，点M 为动点，点B 、D 均为定点，且均位于动点M 所在直线AC 的同一侧.通过寻找定点B 关于动点M 所在直线AC 的对称点B ' ,将问题转化为“求定直线AC 上一动点M 与直线异侧两定点B ',B 的距离和的最小值”，从而可利用“三角形任意两边之和大于第三边”加似解决(当B '、M 、D 三点共线，即点M 为直线B D '与直线AC 的交点时，DM BM +的值最小，此时BDM ∆的周长最小).2.三角形的三个顶点中有两个顶点是动点例 3 (2019年湖南张家界，有改动)如图5，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过点(0,1)C ，顶点为(2,3)Q ，点D 在x 轴正半轴上，且OD OC =.将直线CD 绕点C 逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E ，若点P 是线段QE 上的动点，点F 是线段OD 上的动点，问:在P 点和F 点移动过程中，PCF ∆的周长是否存在最小值?若存在，求出这个最小值;若不存在，请说明理由.分析 存在.理由:如图6，分别作点C 关于直线,QE x 轴的对称点,C C '''，连接C C '''，交OD 于点F ，交QE 于点P ，则PCF ∆即为符合题意的周长最小的三角形，此时PCF ∆的周长等于线段C C '''的长.(证明如下:不妨在线段OD 上取异于点F 的任一点F '，在线段QE 上取异于点P 的任一点P '，连接,,,,CF CP F P F C P C '''''''''.由轴对称的性质可知P CF ''∆的周长=F C F P P C '''''''++，而F C F P P C '''''''++的值为折线段C P F C '''''---的长，由两点之间线段最短可知F C F P P C C C ''''''''''++>，即P CF ''∆的周长大于PCF ∆的周长.)如图6，过点Q 作QG y ⊥轴于点G ，过点C '作C H y '⊥轴于点H ，则CGO CHC '∆∆:，可得12CG QG CQ CH C H CC ===''，即2212CH C H =='.所以4,CH C H '==6C H CH CC ''''=+=.在Rt C HC '''∆中，C C '''===所以，在P 点和F 点移动过程中，PCF ∆的周长存在最小值，最小值为 点评 本例三角形的三个顶点中，点C 为定点，点P 、F 均为动点，且分别在定直线QE 、QD 上，通过寻找定点C 关于两个动点所在直线的对称点C '、C ''，就得到由三条与PCF ∆三边分别相等的线段组成的折线，然后借助“两点之间线段最短”化“折”成“直”(当C '、P 、F 、C ''四点共线，即点P 、F 分别为直线QE 、QD 与直线C C '''的交点时，PCF ∆的周长最小).3.三角形的三个顶点都是动点例4 (2019年辽宁沈阳，有改动)如图7，在平面直角坐标系中，抛物线224233y x x =--+与x 轴交于B 、C 两点(点B 在点C 的左侧)，与y 轴交于点A .若点P 是线段BC 上的动点(点P 不与点B 、C 重合)，点Q 是线段AB 上的动点(点Q 不与点A 、B 重合)点R 是线段AC 上的动点(点R 不与点A 、C 重合)，请直接写出PQR ∆周长的最小值.分析 易求(0,2),(3,0),(1,0)A B C -，故AB AC ====如图8，过点B 作BH AC ⊥于点H ，则BC OA BH BH BAC AC BA ⋅==∠==如图9，分别作点P 关于直线,AB AC 的对称点,P P '''，连接P P '''，交AB 于点Q ，交AC 于点R ，则PQR ∆是过点P 的ABC ∆的内接三角形中周长最小的三角形，且PQR ∆的周长等于线段P P '''的长. 若PP '交AB 于点,D PP ''交AC 于点E ，连接DE ，则90,ADP AEP DP ∠=∠=︒,DP EP EP '''==，故2P P DE '''=.连接AP ，取AP 的中点F ，连接EF ，则12DF EF AP ==，所以⊙F 为ADP ∆的外接圆，且点E 在⊙F 上.延长DF 交⊙F 于点G ，连接GE ，则90,DEG BAC DGE ∠=︒∠=∠，所以PQR ∆的周长22sin 2sin 2sin P P DE DG DGE AP BAC AO BAC '''===⋅∠=⋅∠≥⋅∠22=⨯=.如图10，当点P 与点O 重合时，PQR ∆. 点评 本例三角形的三个顶点均为动点，应采取“以退为进”的策略，即:先假设P 点的位置已经确定(即视点P 为一定点)，容易得出结论:待求三角形周长最小时，其周长等于线段P P '''的长，然后继续探究点P 的位置后，发现线段P P '''长度的最小值即为点A 到x 轴的距离.因为,2AP AP AP P AP BAC ''''''==∠=∠，所以AP P '''∆为等腰三角形，且其顶角P AP '''∠为定值.由于本例对解答过程不作要求，也可以根据“顶角为定值的等腰三角形底边长的最小值由腰长的最小值来确定”这一经验来判定点P 的位置.然而，对该例的思考却不止于此，我们还可以再进一步探索BR 和,AC CQ 和AB 的位置关系.参考本例分析问题的方法，我们可以得出这样的结论: ,,AP BR CQ 为锐角三角形ABC 的三条高，以,,P Q R 三个垂足为顶点的三角形即为周长最小的内接三角形证明留待读者自行完成.通过上述问题的探究，我们可以发现，解决此类问题通常可以采取的策略是:把已知问题转化成容易解决的问题，即关联我们熟知的几何基本模型，构造一条以动点为转折点的折线，从而为性质的运用创造条件.如:解答例1时，需分析点在运动的过程中保持不变的关系，将问题转化为“求定直线上一动点与直线外一定点的距离的最小值”问题，然后利用“垂线段最短”把折线化“折”成“直”.解答例2，例3时，则需牢牢抓住图形的几何特征，将问题转化为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离之和的最小值”问题，借助轴对称变换使两定点与定直线的位置关系发生改变，即化“同”为“异”，最后利用“三角形任意两边之和大于第三边”或“两点之间线段最短”把折线化“折”成“直”.例4题目的背景看似复杂，但图形上似乎可以捕捉到上述两个几何基本模型的“影子”，认清了这一点，便能使复杂问题简单化，迅速找到问题的突破口.在平面几何的教学中，教师要重视几何基本模型的提炼，帮助学生深刻领悟模型的本质特征，鼓励学生尝试从不同角度拓展模型，并在应用中彰显其魅力，从而促进学生解题经验的积累和思维水平的提升，真正提高学生的数学素养和解决问题的能力.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，已知⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，若四边形OABC 是菱形，则图中阴影部分的面积为( )A.π－B.π－C.π－D.π－2．如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5cm ，BC ＝8cm ．动点D 从点C 出发，沿线段CB 以2cm/s 的速度向点B 运动，同时动点O 从点B 出发，沿线段BA 以1cm/s 的速度向点A 运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随时停止．设运动时间为t （s ），以点O 为圆心，OB 长为半径的⊙O 与BA 交于另一点E ，连接ED ．当直线DE 与⊙O 相切时，t 的取值是（ ）A. B. C. D. 3．已知反比例函数(为常数，)的图象经过点，则当-3<x<-2时，函数值的取值范围是( )A.B.C. D. 4．如图，将ABC △绕点C 顺时针旋转，点B 的对应点为点E ，点A 的对应点为点D ，当点E 恰好落在边AC 上时，连接AD ，36ACB ∠=︒，AB BC =，2AC =，则AB 的长度是（ ）A 1B ．1CD ．325．下面的统计图表示某体校射击队甲、乙两名队员射击比赛的成绩，根据统计图中的信息，下列结论正确的是（ ）A ．甲队员成绩的平均数比乙队员的大B ．乙队员成绩的平均数比甲队员的大C ．甲队员成绩的中位数比乙队员的大D ．甲队员成绩的方差比乙队员的大6．如图，在ABC ∆中，5AB =，3AC =，4BC =，将ABC ∆绕一逆时针方向旋转40︒得到ADE ∆，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积为( )A ．1463π-B ．33π+C ．3338π-D ．259π 7．如图，Rt △ABC 中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ）A ．53B ．52C ．4D ．58．下面四个立体图形，从正面、左面、上面对空都不可能看到长方形的是( )A ．B ．C ．D ．9．下列事件属于必然事件的是（ ）A ．抛掷两枚硬币，结果一正一反B ．取一个实数x ，x 0的值为1C ．取一个实数x ，分式11x x -+有意义 D ．角平分线上的点到角的两边的距离相等10．如图，AB 是⊙O 的直径，△ACD 内接于⊙O ，延长AB ，CD 相交于点E,若∠CAD ＝35°，∠CDA ＝40°，则∠E 的度数是（ ）A.20°B.25°C.30°D.35° 11．已知a 2﹣b 2＝6，a+b ＝2，则a ﹣b 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．如图，在△ABC 中，点D 是AB 边上的一点，若∠ACD ＝∠B ．AD ＝1，AC ＝2，△ADC 的面积为S ，则△BCD 的面积为（ ）A ．SB ．2SC ．3SD ．4S二、填空题 13．若分式11x - 有意义，则x 的取值范围是_______________ .14．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC sin 2A ＝_____． 15．如图，边长不等的正方形依次排列，第一个正方形的边长为1，第二个正方形的边长是第一个正方形边长的2倍，第三个正方形的边长是第二个正方形边长的2倍，依此类推，…．若阴影三角形的面积从左向右依次记为S 1、S 2、S 3、…、S n ，则S 4的值为_____．16．如图，∠APB=30°，圆心在PB 上的⊙O 的半径为1cm ，OP=3cm ，若⊙O 沿BP 方向平移，当⊙O 与PA 相切时，圆心O 平移的距离为_____cm ．17．8-的立方根是__________．18．利用标杆测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆的高为米，测得米，米,则建筑物的高为__米．三、解答题19．某贮水塔在工作期间，每小时的进水量和出水量都是固定不变的．从凌晨4点到早8点只进水不出水，8点到12点既进水又出水，14点到次日凌晨只出水不进水．下图是某日水塔中贮水量y（立方米）与x （时）的函数图象．（1）求每小时的进水量；（2）当8≤x≤12时，求y与x之间的函数关系式；（3）从该日凌晨4点到次日凌晨，当水塔中的贮水量不小于28立方米时，直接写出x的取值范围．20．现在A、B两组卡片共5张，A组中三张分别写有数字2、4、6，B组中两张分别写有3、5，他们除数字外完全一样。