上海市七宝中学2018-2019学年高三上学期第一次月考(10月份)数学试题
2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高三上学期10月月考数学试卷(含解析)
2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高三上学期10月月考数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知条件p：x<−3或x>1，条件q：x>a，且¬p是¬q的充分不必要条件，则a的取值范围是()A. a≥1B. a≤1C. a≥−1D. a≤−32.已知f(x−3)=2x2−3x+1，则f(1)=()A. 15B. 21C. 3D. 03.已知a,b∈R，则“a>b”是“a−3<b−3”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充分必要条件4.若关于x的不等式x3−3x2−ax+a+2≤0在x∈(−∞,1]上恒成立，则实数a的取值范围是()A. (−∞,−3]B. [−3,+∞)C. (−∞,3]D. [3,+∞)二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若全集U=｛0，1，2，3｝且C U A={2}，则集合A的真子集共有______个．6.函数f(x)=x2−ax−3在(1,+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是__________．7.设a>b>0，则a2+1ab +1a(a−b)的最小值是______ ．8.若不等式|x−a|<b的解集为(−3,9)，求实数a=，b=________．9.已知命题：“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，则下列命题：①M的元素都不是P的元素②M的元素不都是P的元素③M中有P的元素④存在x∈M，使得x∉P其中真命题的序号是______ (将你认为正确的命题的序号都填上)10.函数f(x)的定义域是[−1,1]，则函数F(x)=f(1−x)的定义域是__________．11.若关于x的方程22x−2x+1+a=0在[0,1]内有解，则实数a的取值范围是__________．12.已知函数f(x)=log2(x2+1)，若对任意的x∈[0.2]，不等式f(x2+2)≥f(2ax)恒成立，则实数a的取值范围是______．13. 已知函数f(x)=x 3+x ，则满足不等式：f(1−x 2)+f(−2x)>0的x 的范围是_______．14. 若关于x 的不等式x 2<2−|x −a|至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是______ ．15. 已知函数y =|x 2−1|x−1的图像与函数y =kx −2的图像恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．16. 若集合A ={x ∈R |ax 2+2x +1=0}中只有一个元素，则a =_____．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 解不等式或不等式组．(1)|3−4x|>5；(2)2x−1x+3≥1；(3){3x −1≥312x −23≤13．18. 已知函数f(x)=|x −2|+|x +2|(x ∈R)(1)证明：函数f(x)是偶函数；(2)将函数解析式写成分段函数的形式，然后画出函数图象；(3)写出函数的值域．(不用写过程)19.某地发生某种自然灾害，使当地的自来水受到了污染.某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为m个单位的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足y=mf(x)，其中f(x)={log2(x+4),0<x≤46x−2,x>4，当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫克/升)且不高于18(毫克/升)时称为最佳净化．(1)如果投放的药剂质量为m=4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？(2)如果投放的药剂质量为m，为了使在7天(从投放药剂算起包括第7天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的取值范围．20.已知函数(1)利用单调性定义，证明f(x)在定义域内单调递增;(2)对任意x∈[t,t+3],不等式f(x+t)≥3f(x)恒成立，求实数t的取值范围．21.已知函数f(x)=|x2−ax|(a∈R)．(1)当a=2时，写出函数f(x)的单调区间；(不要求写出过程)3(2)当a=−2时，记函数g(x)=f(x)−t,(t∈R)，讨论函数g(x)的零点个数；(3)记函数f(x)在区间[0,1]上的最大值为g(a)，求g(a)的表达式，并求g(a)的最小值。
2019届上海市七宝中学高三上学期第一次月考(10月份)数学试题(解析版)
2019届上海市七宝中学高三上学期第一次月考（10月份）数学试题一、单选题 1．已知条件：；条件：，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：由题意，得条件：，条件：，则由是的充分不必要条件，得，其中等号不可能同时取得，所以，故选C ．【考点】1、不等式解法；2、充分与必要条件． 2．设1()1xf x x+=-，记1()()f x f x =，1()(())k k f x f f x +=，1,2,k =⋅⋅⋅，则2018()f x =（ ）. A ．1x-B ．xC ．11x x -+ D ．11xx+- 【答案】A【解析】依次计算23(),(),f x f x ，可归纳出{()}n f x 为周期数列．【详解】依题意11()1x f x x +=-，则211111()(())111xx f x f f x x x x++-===-+--，3211()1()(())111()x x f x f f x x x +--===+--，4111()111x x f x x x x -++==--+，51()()1x f x f x x +==-， ∴{()}n f x 是周期数列，且周期为4， ∴20182016221()()()f x f x f x x+===-． 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的计算，考查周期数列，解题时只要按条件依序计算()n f x ，然后归纳可得．3．设函数321()21x x f x x -=++，若对任意实数(1,1)a ∈-，(1,1)b ∈-，则0a b +≥是()()0f a f b +≥的（ ）.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】判断出函数()f x 的奇偶性与单调性，然后可得出结论。
【详解】∵332112()()()2112x x x xf x x x f x -----=-+=-+=-++，∴()f x 是奇函数， 32()121xf x x =+-+是增函数， ∴0a b +≥()()a b f a f b ⇔≥-⇔≥-，即()()f a f b ≥-，()()0f a f b +≥。
上海市七宝中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题
上海市七宝中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 设集合,,则( )A BCD2． 函数2(44)x y a a a =-+是指数函数，则的值是（ ） A ．4 B ．1或3 C ．3 D ．13． 已知全集U R =，{|239}x A x =<≤，1{|2}2B y y =<≤，则有（ ） A ．A ØB B ．A B B =C ．()R A B ≠∅ðD ．()R A B R =ð4． 已知集合23111{1,(),,}122i A i i i i -=-+-+（其中为虚数单位），2{1}B x x =<，则A B =（ ） A ．{1}- B ．{1} C ．{1,}2- D ．{}25． 已知全集为R ，且集合}2)1(log |{2<+=x x A ，}012|{>--=x x x B ，则=)(B C A R （ ） A ．)1,1(- B ．]1,1(- C ．]2,1( D ．]2,1[【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.6． 已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) ABC D7． 已知实数[]4,0x ∈-，[]0,3y ∈，则点(,)P x y 落在区域00240x y y x y x ≤⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪--≤⎩内的概率为（ ）A ．56B ．12C ．512D ．712【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查基本运算能力． 8． 已知()(2)(0)x b g x ax a e a x =-->，若存在0(1,)x ∈+∞，使得00()'()0g x g x +=，则ba的 取值范围是（ ）A ．(1,)-+∞B ．(1,0)- C. (2,)-+∞ D ．(2,0)- 9． 已知是虚数单位，,a b R ∈，则“1a b ==-”是“2()2a bi i +=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．若{}n a 为等差数列，n S 为其前项和，若10a >，0d <，48S S =，则0n S >成立的最大自 然数为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14 11．12,e e 是平面内不共线的两向量，已知12AB e ke =-，123CD e e =-，若,,A B D 三点共线，则的值是（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-212．如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A．15 B． C．15 D．15【命题意图】本题考查三视图和几何体体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．要使关于x 的不等式2064x ax ≤++≤恰好只有一个解，则a =_________. 【命题意图】本题考查一元二次不等式等基础知识，意在考查运算求解能力.14．已知圆22240C x y x y m +-++=：，则其圆心坐标是_________，m 的取值范围是________． 【命题意图】本题考查圆的方程等基础知识，意在考查运算求解能力. 15．将曲线1:C 2sin(),04y x πωω=+>向右平移6π个单位后得到曲线2C ，若1C 与2C 关于x 轴对称，则ω的最小值为_________.16．如图，在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，PA PB ⊥，PA PC ⊥，PBC △为等边三角形，则PC 与平面ABC 所成角的正弦值为______________.【命题意图】本题考查空间直线与平面所成角的概念与计算方法，意在考查学生空间想象能力和计算能力．三、解答题（本大共6小题，共70分。
2018-2019学年上海市七宝中学高一上学期10月月考数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市七宝中学高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是 A ．22a b < B ．22ab a b <C ．2211ab a b< D ．b aa b< 【答案】C 【解析】【详解】若a <b <0,则a 2>b 2，A 不成立；若220{,ab a b ab a b>⇒<<B 不成立；若a =1，b=2，则12,2b a b aa b a b==⇒>,所以D 不成立 ,故选C. 2．设集合A={}{}|1,,2,.x x a x R B x x b x R -<∈=-∈若A ⊆B,则实数a,b 必满足A ．3a b +≤B ．3a b +≥C ．3a b -≤D ．3a b -≥【答案】D【解析】试题分析：{}{}|1,|11A x x a x R x a x a =-<∈=-<<+，{}{}222B x x b x x b x b =-=+<-或，若A ⊆B ，则有21b a +≤-或21b a -≥+3a b ∴-≥【考点】1．绝对值不等式解法；2．集合的子集关系3．已知函数2()f x ax bx c =++，且a b c >>，0a b c ++=，集合{|()0}A x f x =<，则下列结论中正确的是（ ） A ．任意x A ∈，都有(3)0f x +> B ．任意x A ∈，都有(3)0f x +< C ．存在x A ∈，都有(3)0f x += D ．存在x A ∈，都有(3)0f x +<【答案】A【解析】由题意可得 0a >，且0c <，122c a -<<-，1x =为()f x 的一个零点，再由根与系数的关系可得，另一零点为c a．可得{|1}cA x x a =<<，31x +>，有(3)0f x +>恒成立，从而得出结论．【详解】解：Q 函数2()f x ax bx c =++，且a b c >>，0a b c ++=，故有0a >，且0c <， 02a a c a c ∴<++=+，即2ca>-，且02a c c a c >++=+， 即12c a <-，因此有122c a -<<-， 又(1)0f a b c =++=，故1x =为()f x 的一个零点， 由根与系数的关系可得，另一零点为0c a<，所以有：{|1}cA x x a =<<，所以，331cx a+>+>，所以有(3)0f x +>恒成立， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题．4．设,,,a b c d R ∈，32()()()f x x a x bx cx d =++++，32()(1)(1)g x ax dx cx bx =++++.记集合{|()0,}Sx f x x R ==∈，{|()0,}T x g x x R ==∈，若Card()S 、Card()T 分别表示集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（ ） A ．Card()1S =，Card()0T = B ．Card()1S =，Card()1T = C ．Card()2S =，Card()2T = D ．Card()2S =，Card()3T =【答案】D【解析】给a ，b ，c ，d 取特值，可排除A ，B ，C ，再根据()()f x g x ，解析式关系，确定对应根的关系，即可判断D . 【详解】当a ＝b ＝c ＝d ＝0时，f （x ）＝x 3，g （x ）＝1，此时Crad （S ）＝1，Card （T ）＝0，排除A ；当a ＝b ＝c ＝d ＝1时，f （x ）＝（x +1）（x 3+x 2+x +1）＝（x +1）2（x 2+1），g （x ）＝x 3+x 2+x +1＝（x +1）（x 2+1），此时Card （S ）＝1，Card （T ）＝1，排除B ； 当a ＝2，b ＝c ＝d ＝1时，f （x ）（x +2）（x +1）（x 2+1），此时Card （S ）＝2，g （x ）＝（2x +1）（x +1）（x 2+1），此时Card （T ）＝2，排除C ；当0x ≠时32411()(1)(1)()a d c b g f x x x x x x x=++++=又当0ad =时(0)0f ad ==，而(0)1g =，所以Card()S Card()T ≥，因此结论不可能的是D . 故选：D . 【点睛】本题考查函数解析式以及函数零点，考查综合分析判断能力，属中档题.二、填空题5．不等式||1x >的解集为________； 【答案】(,1)(1,)-∞-+∞U 【解析】根据绝对值定义化简求解 【详解】||111x x x >∴><-Q 或故答案为：(,1)(1,)-∞-+∞U 【点睛】本题考查解含绝对值不等式，考查基本求解能力，属基础题.6．已知集合{}02A x x =<<，{}11B x x =-<<，则A B =I _________. 【答案】()0,1【解析】根据交集的定义即可写出答案。
上海市七宝中学2018年10月2018～2019学年度高一第一学期期中考试数学试题及参考答案教师专用
上海市2018年10月2018～2019学年度七宝中学高一第一学期数学期中考试一. 填空题1.函数的定义域为________【试题参考答案】【试题分析】根据分母不为零以及偶次根式下被开方数非负列不等式组,解得定义域.【试题解答】由题意得,即定义域为本题考查函数定义域,考查基本求解能力.2.已知集合,,则________【试题参考答案】【试题分析】求出集合A,B,即可得到.【试题解答】由题集合集合故.故答案为.本题考查集合的交集运算,属基础题3.不等式的解集是________【试题参考答案】【试题解答】不等式,则故答案为.本题主要考查分式不等式的解法,体现了转化的数学思想,属于中档题.4.“若且,则”的否命题是__________________.【试题参考答案】若或,则【试题分析】根据原题与否命题的关系,写出否命题即可.【试题解答】“若且,则”的否命题是“若或,则”.即答案为:若或,则本题考查根据原命题写出否命题,属基础题.5.已知,则的取值范围是________【试题参考答案】【试题分析】作出可行域,目标函数z＝a－b可化为b＝a－z,经平移直线可得结论.【试题解答】作出所对应的可行域,即 (如图阴影),目标函数z＝a－b可化为b＝a－z,可看作斜率为1的直线,平移直线可知,当直线经过点A(1,－1)时,z取最小值－2,当直线经过点O(0,0)时,z取最大值0,∴a－b的取值范围是,故答案为:.本题考查线性规划,准确作图是解决问题的关键,属中档题.6.若,,且,则的取值范围是_【试题参考答案】【试题分析】对a进行分类讨论,根据A与B的交集为空集确定出a的范围即可.【试题解答】由题,,且,当时,,则;当时,,则可得故的取值范围是.此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.7.若关于的不等式的解集是,则实数的取值范围是____【试题参考答案】略8.若函数,则________【试题参考答案】【试题分析】设,求出的解析式,再将代入即可.【试题解答】设,则则即即答案为.本题考查函数解析式的求解,涉及换元和函数的性质,属中档题.9.若关于的不等式在上恒成立,则实数的最小值是__【试题参考答案】【试题分析】关于的不等式在上恒成立,即求,将不等式式配凑成基本不等的形式,利用基本不等式求最小值,进而求得的最小值.【试题解答】∵关于的不等式在上恒成立,∴,∵x＞,∴,当且仅当,即时取等号,∴,∴,解得, ,∴实数a的最小值为.故答案为.本题考查函数的恒成立问题,以及应用基本不等式求最值.对于函数的恒成立问题,一般选用参变量分离的方法进行处理,转化成函数的最值问题.在应用基本不等式求最值的时候,要特别注意不等式取等号的条件.属于基础题.10.已知函数,(),若不存在实数使得和同时成立,则的取值范围是________【试题参考答案】【试题分析】通过f(x)＞1和g(x)＜0,求出集合A、B,利用A∩B＝∅,求出a的范围即可.【试题解答】由f(x)＞1,得＞1,化简整理得 ,解得即的解集为A＝{x|－2＜x＜－1或2＜x＜3}.由g(x)＜0得x2－3ax＋2a2＜0,即(x－a)(x－2a)＜0,g(x)＜0的解集为B＝{x|2a＜x＜a,a＜0}.由题意A∩B＝∅,因此a≤－2或－1≤2a＜0,故a的取值范围是{a|a≤－2或－≤a＜0}.即答案为.本题考查分式不等式的解法,二次不等式的解法,集合的交集运算,考查分析问题解决问题的能力.11.当时,可以得到不等式,,,由此可以推广为,则________【试题参考答案】【试题分析】本题考查归纳推理,要先考查前几个不等式,总结出规律再研究推广后的式子中的p值【试题解答】∵x∈R＋时可得到不等式 ,∴在p位置出现的数恰好是分母的指数的指数次方即答案为.本题考查归纳推理,解题的关键是理解归纳推理的规律－－从所给的特例中总结出规律来,以之解决问题,归纳推理是一个很重要的思维方式,熟练应用归纳推理猜想,可以大大提高发现新问题的效率,解题时善用归纳推理,可以为一题多解指明探究的方向12.已知数集(,)具有性质:对任意、(),与两数中至少有一个属于集合,现给出以下四个命题:①数集具有性质;②数集具有性质;③若数集具有性质,则;④若数集()具有性质,则;其中真命题有________(填写序号)【试题参考答案】②③④【试题分析】利用a i＋a j与a j－a i两数中至少有一个属于A.即可判断出结论.【试题解答】①数集中,,故数集不具有性质;②数集满足对任意、(),与两数中至少有一个属于集合,故数集具有性质;③若数列A具有性质P,则a n＋a n＝2a n与a n－a n＝0两数中至少有一个是该数列中的一项,∵0≤a1＜a2＜…＜a n,n≥3,而2a n不是该数列中的项,∴0是该数列中的项,∴a1＝0;故③正确;④当 n＝5时,取j＝5,当i≥2时,a i＋a5＞a5,由A具有性质P,a5－a i∈A,又i＝1时,a5－a1∈A,∴a5－a i∈A,i＝1,2,3,4,5∵0＝a1＜a2＜a3＜a4＜a5,∴a5－a1＞a5－a2＞a5－a3＞a5－a4＞a5－a5＝0,则a5－a1＝a5,a5－a2＝a4,a5－a3＝a3,从而可得a2＋a4＝a5,a5＝2a3,故a2＋a4＝2a3,即答案为②③④.本题考查数列的综合应用,此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力,侧重于对能力的考查,属中档题.二. 选择题13.如图,为全集,、、是的三个子集,则阴影部分所表示的集合是( )A. B.C. D.【试题参考答案】C【试题分析】先根据图中的阴影部分是M∩P的子集,但不属于集合S,属于集合S的补集,然后用关系式表示出来即可.【试题解答】图中的阴影部分是: M∩P的子集,不属于集合S,属于集合S的补集,即是C U S的子集则阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩(∁U S).故选:C.本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算,同时考查了识图能力,属于基础题.14.下列各组函数中,表示同一函数的是( )A. 与B. 与C. 与D. ()与 ()【试题参考答案】D【试题分析】若两个函数是同一个函数,则函数的定义域以及函数的对以关系都得相同,所以只要逐一判断每个选项中定义域和对应关系是否都相同即可.【试题解答】对于A选项, f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为[0,＋∞),∴不是同一函数;对于B选项的定义域为的定义域为∴不是同一函数;对于C选项,f(0)＝－1,g(0)＝1,f(0)≠g(0),∴不是同一函数.对于B选项,f(x)的定义域为,g(x)的定义域为,且且两函数解析式化简后为同一解析式,∴是同一函数.故选D.本题主要考查了函数三要素的判断,只有三要素都相同,两函数才为同一函数,属于基础题.15.已知,则“”是“”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【试题参考答案】A【试题分析】本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断问题.在解答时,要先判断准条件和结论分别是什么.然后结合不等式的知识分别由条件推结论和由结论推条件,看是否正确即可获得问题解答.【试题解答】由题意可知:a,b∈R＋,若“a2＋b2＜1”则a2＋2ab＋b2＜1＋2ab＋a2•b2,∴(a＋b)2＜(1＋ab)2∴ab＋1＞a＋b.若ab＋1＞a＋b,当a＝b＝2时,ab＋1＞a＋b成立,但a2＋b2＜1不成立.综上可知:“a2＋b2＜1”是“ab＋1＞a＋b”的充分不必要条件.故选:A.本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断问题.在解答的过程当中充分体现了不等式的知识、充要条件的判断问题以及问题转化的思想.16. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( )A. 消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B. 以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油【试题参考答案】D试题分析:对于A,消耗升汽油,乙车行驶的距离比千米小得多,故错;对于B, 以相同速度行驶相同路程,三辆车中甲车消耗汽油最少,故错;对于C, 甲车以千米/小时的速度行驶小时,消耗升汽油, 故错;对于D,车速低于千米/小时,丙的燃油效率高于乙的燃油效率,用丙车比用乙车量多省油,故对.故选D.考点:1、数学建模能力;2、阅读能力及化归思想.【此处有视频,请去附件查看】三. 解答题17.设集合,集合.(1)若“”是“”的必要条件,求实数的取值范围;(2)若中只有一个整数,求实数的取值范围.【试题参考答案】(1);(2).【试题分析】(1)由“”是“”的必要条件,得B⊆A,然后分,m＞三种情况讨论求解实数m的取值范围;(2)把中只有一个整数,分,m＞时三种情况借助于两集合端点值间的关系列不等式求解实数m的取值范围.【试题解答】(1)若“”是“”,则B⊆A,∵A＝{x|－1≤x≤2},①当时,B＝{x|2m＜x＜1},此时－1≤2m＜1⇒ ;②当时,B＝∅,有B⊆A成立;③当时B＝∅,有B⊆A成立;综上所述,所求m的取值范围是.(2)∵A＝{x|－1≤x≤2},∴∁R A＝{x|x＜－1或x＞2},①当时,B＝{x|2m＜x＜1},若(∁R A)∩B中只有一个整数,则－3≤2m＜－2,得②当m当时,不符合题意;③当时,不符合题意;综上知,m的取值范围是.在集合运算中,不等式的解集、函数的定义域、函数的值域问题,能解的先解出具体的实数范围,再结合数轴进行集合的运算,若端点位置不定时,要注意对端点的位置进行讨论求解,此题是中档题.18.练习册第21页的题“,,求证:”除了用比较法证明外,还可以有如下证法:(当且仅当时等号成立),∴.学习以上解题过程,尝试解决下列问题:(1)证明:若,,,则,并指出等号成立的条件;(2)试将上述不等式推广到()个正数、、、、的情形,并证明.【试题参考答案】(1)见解析;(2)见解析.【试题分析】(1)根据题设例题证明过程,类比可得证明;(2)根据题设例题证明过程,类比可得证明;【试题解答】(1),∴,当且仅当时等号成立;(2)故.当且仅当时等号成立;本题考查基本不等式的运用,考查不等式的证明,考查求函数的最值,属于中档题.19.某公司有价值10万元的一条流水线,要提高该流水线的生产能力,就要对其进行技术改造,改造就需要投入,相应就要提高产品附加值,假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足:① 与和的乘积成正比;② 当时,;③,其中为常数,且.(1)设,求出的表达式,并求出的定义域;(2)求出附加值的最大值,并求出此时的技术改造投入的的值.【试题参考答案】(1),;(2).【试题分析】(1)列出f(x)的表达式,求函数的定义域时,要注意条件③的限制性.(2)本题为含参数的二次函数在特定区间上求最值,结合二次函数的图象及单调性解决,注意分类讨论.【试题解答】(1)设,当时,可得k＝4,∴∴定义域为,t 为常数,;(2)因为定义域中 函数在上单调递减,故.本题考查函数的应用问题,函数的解析式、二次函数的最值及分类讨论思想,牵扯字母太多,容易出错.20.设数集由实数构成,且满足:若(且),则. (1)若,试证明中还有另外两个元素;(2)集合是否为双元素集合,并说明理由;(3)若中元素个数不超过8个,所有元素的和为,且中有一个元素的平方等于所有元素的积,求集合.【试题参考答案】(1) ,;(2)见解析;(3).【试题分析】(1)根据集合的互异性进行求解,注意条件2∈A ,把2代入进行验证;(2)可以假设A 为单元素集合,求出其等价条件,从而进行判断;(3)先求出集合A 中元素的个数,＝1,求出x 的值,从而求出集合A. 【试题解答】(1)证明:若x∈A ,则又∵2∈A , ∴∵－1∈A ,∴∴A 中另外两个元素为,;(2),,,且,,,故集合中至少有3个元素,∴不是双元素集合;(3)由,,可得,所有元素积为1,∴,、、,∴.本题考查了元素和集合的关系,考查集合的含义,分类讨论思想,是一道中档题.21.已知,设,,(,为常数).(1)求的最小值及相应的的值;(2)设,若,求的取值范围;(3)若对任意,以、、为三边长总能构成三角形,求的取值范围.【试题参考答案】(1),;(2);(3).【试题分析】(1)代入利用基本不等式即可得出;(2) ,若,即方程没有实根或没有正实根,由此可求的取值范围;(3)由于b＞a＞0,可得＞＞0.由三角形的三边的大小关系可得对x＞0恒成立,结合即可得出.【试题解答】(1)。
【优选】上海市七宝中学2019年高三上学期期末考试数学试题(精品解析)
2019年上海市闵行区七宝中学高考数学一模试卷一、选择题（本大题共4小题）1.设集合P1={x|x2+ax+1＞0}，P2={x|x2+ax+2＞0}，其中a∈R，下列说法正确的是（）A. 对任意a，P1是P2的子集B. 对任意a，P1不是P2的子集C. 存在a，使得P1不是P2的子集D. 存在a，使得P2是P1的子集【答案】A【解析】【分析】由不等式的性质得：由x2+ax+1＞0，则有x2+ax+2=x2+ax+1+1＞0+1＞0，由x2+ax+2＞0，不能推出x2+ax+1＞0，由集合间的关系得：P1P2，得解．【详解】解：由x2+ax+1＞0，则有x2+ax+2=x2+ax+1+1＞0+1＞0，由x2+ax+2＞0，则有x2+ax+1=x2+ax+2-1＞-1，不能推出x2+ax+1＞0，即P1P2，故选：A．【点睛】本题考查了集合间的关系，不等式的性质，属简单题．2.△ABC中，a2：b2=tan A：tan B，则△ABC一定是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】由已知a2：b2=tan A：tan B，利用正弦定理及同角基本关系对式子进行化简，然后结合二倍角公式在进行化简即可判断.【详解】解：∵a2：b2=tan A：tan B，由正弦定理可得，∵sin A sin B≠0∴∴sin A cosA=sin B cosB即sin2A=sin2B∴2A=2B或2A+2B=π∴A=B或A+B=，即三角形为等腰或直角三角形故选：D．【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，正弦定理的应用，式子变形是解题的关键和难点．3.抛物线y=2x2上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长度为3，则点M的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】由题意设，，直线的方程为，代入抛物线方程，写出韦达定理关系式及弦长与点的纵坐标关系式，通过基本不等式确定最小值.【详解】由题意设，，，直线的方程为，联立方程，整理得，，，点M的纵坐标，弦的长度为，即，整理得，即根据基本不等式，，当且仅当，时取等，即，，点的纵坐标的最小值为.故选A.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本不等式在圆锥曲线综合问题中的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用.解决直线与圆锥曲线综合问题基本步骤为：（1）设，即设交点坐标和直线方程，注意考虑直线斜率是否存在;（2）联，即联立直线方程与圆锥曲线，消元;（3）判，即直线与圆锥曲线的位置关系可以通过判别式加以判断;（4）韦，即韦达定理，确定两根与系数的关系.（5）代，即根据已知条件，将所求问题转换到与两点坐标和直线方程相关的问题，进而求解问题.4.已知正数数列{a n}满足a n+1≥2a n+1，且a n＜2n+1对n∈N*恒成立，则a1的范围为（）A. [1，3]B. （1，3）C. （0，3]D. （0，4）【答案】C【解析】【分析】由条件可得1+a n+1≥2（a n+1），设b n=1+a n，（a n＞0，b n＞1），运用累乘法，结合不等式恒成立，即可得到所求范围．【详解】解：正数数列{a n}满足a n+1≥2a n+1，可得1+a n+1≥2（a n+1），设b n=1+a n，（a n＞0，b n＞1）即有b2≥2b1，b3≥2b2，…，b n≥2b n-1，累乘可得b n≥b1•2n-1，可得1+a n≥（1+a1）•2n-1，又a n＜2n+1对n∈N*恒成立，可得1+2n+1＞1+a n≥（1+a1）•2n-1，即有1+2n+1＞（1+a1）•2n-1，可得a1＜3+恒成立，由3+＞3，可得0＜a1≤3．故选：C．【点睛】本题考查数列的递推式，注意累乘法的运用，考查等比数列的通项公式，考查不等式的性质和恒成立思想，属于中档题．二、填空题（本大题共12小题）5.设A={x||x|≤2018，x∈R}，B={x|y=，x∈R}，则A∩B=______．【答案】【解析】【分析】可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【详解】解：A={x|-2018≤x≤2018}，B={2019}；∴A∩B=∅．故答案为：∅．【点睛】考查描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，以及交集的运算6.已知定义域在[-1，1]上的函数y=f（x）的值域为[-2，0]，则函数y=f（cos）的值域是______．【答案】[-2，0]【解析】【分析】可以看出-1，从而对应的函数值，这便得出了该函数的值域．【详解】解：∵cos∈[-1，1]；∴；即y∈[-2，0]；∴该函数的值域为[-2，0]．故答案为：[-2，0]．【点睛】考查函数定义域、值域的概念，本题可换元求值域：令cos=t，-1≤t≤1，从而得出f（t）∈[-2，0]．7.若行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（-1，2），则实数a等于______．【答案】4【解析】【分析】推导出|ax-2|＜6的解集为（-1，2），从而-4＜ax＜8解集为（-1，2），由此能求出a的值．【详解】解：∵行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（-1，2），∴|ax-2|＜6的解集为（-1，2），∴-6＜ax-2＜6，即-4＜ax＜8解集为（-1，2），解得a=4．故答案为：4．【点睛】本题考查实数值的求法，考查行列式展开法则、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.在（0，2π）内使sin3x＞cos3x成立的x的取值范围是______．【答案】（，）【解析】【分析】设f（x）=sin3x-cos3x，x∈（0，2π），化f（x）=（sin x-cos x）（1+sin2x），判断sin x-cos x ＞0时f（x）＞0，由此求出不等式成立的x的取值范围．【详解】解：由题意，设f（x）=sin3x-cos3x，x∈（0，2π），∴f（x）=（sin x-cos x）（sin2x+sin x cosx+cos2x）=（sin x-cos x）（1+sin2x），又1+sin2x＞0恒成立，∴sin x-cos x＞0，即sin x＞cos x，即＜x＜时，f（x）＞0，∴（0，2π）内使sin3x＞cos3x成立的x的取值范围是（，）．故答案为：（，）．【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化应用问题，是中档题．9.在等差数列{a n}中，S7=8，则a4=______．【答案】【解析】【分析】由等差数列的性质及前n项和列式求解．【详解】解：在等差数列{a n}中，由S7=，得．故答案为：．【点睛】本题考查等差数列的前n项和，考查等差数列的性质，是基础题．10.已知f（x+1）=2x-2，那么f-1（2）的值是______．【答案】3【解析】【分析】令t=x+1，将已知等式中的x一律换为t，求出f（t）即得到f（x），然后令f（x）=2x-1-2=2，求出相应的x，即为f-1（2）的值．【详解】解：令t=x+1则x=t-1所以f（t）=2t-1-2所以f（x）=2x-1-2令f（x）=2x-1-2=2，解得x=3∴f-1（2）=3故答案为：3．【点睛】已知f（ax+b）的解析式，求f（x）的解析式，一般用换元的方法或配凑的方法，换元时，注意新变量的范围，同时考查了反函数求值，属于基础题．11.甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为______．【答案】【解析】【分析】4人排成一排，其中甲、乙相邻的情况有12种，其中甲丙相邻的只有4种，由此能求出甲乙相邻，则甲丙相邻的概率．【详解】解：甲、乙相邻的方法有=12种情况，如果满足甲、丙相邻，则有4种情况，所以所求的概率为P=故答案为：．【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．12.若P（x，y）是双曲线上的动点，则|x-y|最小值是______．【答案】2【解析】【分析】利用双曲线方程，通过三角代换转化求解x，y，然后求解|x-y|的最小值．【详解】解：P（x，y）是双曲线上的动点，设：x=，y=2tanθ，所以|x-y|=|-2tanθ|=，表达式的几何意义是单位圆上的点与（0，）斜率的2倍，可得：2∈[2，2+2]，故答案为：2【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．13.设点P到平面α的距离为，点Q在平面α上，使得直线PQ与平面α所成角不小于30°且不大于60°，则这样的PQ所构成的区域体积为______．【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，分别求出两个圆锥的半径，代入圆锥体积公式作差即可．【详解】解：如图，过P作PO⊥α，则PO=，当∠PQO=60°时，OQ=1，当∠PQO=30°时，OQ=3．∴PQ所构成的区域体积为V=．故答案为：．【点睛】本题考查圆锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．14.已知AB为单位圆上弦长为的弦，P为单位圆上的点，若f（λ）=的最小值为m（其中λ∈R），当点P在单位圆上运动时，则m的最大值为______．【答案】【解析】【分析】设λ，根据向量减法的运算法则，转化为点到直线的距离，利用直线和圆相交时的垂径定理结合勾股定理进行求解即可．【详解】解：设λ，则f（λ）===，又C点在直线AB上，要求f（λ）最小值，等价为求出的最小值，显然当CP⊥AB时，CP最小，可得f（λ）的最小值m为点P到AB的距离，∵|AB|=，∴|BC|=，则|OC|=则|CP|=|OP|+|OC|=1+=，即m的最大值为，故答案为：．【点睛】本题考查向量共线定理的运用，以及圆的垂径定理和勾股定理的运用，利用向量的基本运算结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．15.已知函数f（a，x）=sin x+cos x随着a，x在定义域内变化时，该函数的最大值为______【答案】【解析】【分析】运用辅助角公式和正弦函数的值域可得f（a，x）≤，再由柯西不等式，计算可得所求最大值．【详解】解：函数f（a，x）=sin x+cos x=sin（x+θ）（θ为辅助角），即有f（a，x）≤（sin（x+θ）=1取得等号），由柯西不等式可得（）2≤（1+1）（a+1-a）=2，当且仅当a=时，取得等号，即有≤，即f（a，x）的最大值为．故答案为：．【点睛】本题考查函数的最值求法，注意运用辅助角公式和正弦函数的值域，以及柯西不等式，考查运算能力，属于中档题．16.已知定义在上的函数f（x）=，设a，b，c为三个互不相同的实数，满足f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围为______．【答案】（81，144）【解析】【分析】先判断函数的性质以及图象的特点，设a＜b＜c，由图象得ab是个定值，利用数形结合的思想去解决即可．【详解】解：作出f（x）的图象如图：当x＞9时，由f（x）=4-=0，得x=16，若a，b，c互不相等，不妨设a＜b＜c，因为f（a）=f（b）=f（c），所以由图象可知0＜a＜3＜b＜9，9＜c＜16，由f（a）=f（b），得1-log3a=log3b-1，即log3a+log3b=2，即log3（ab）=2，则ab=9，所以abc=9c，因为9＜c＜16，所以81＜9c＜144，即81＜abc＜144，所以abc的取值范围是（81，144）．故答案为：（81，144）．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合得到ab是个常数是解决本题的关键．综合考查学生的推理能力．三、解答题（本大题共5小题）17.在长方体ABCD-A1B1C1D1中（如图），AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点．（1）求异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体D1CDE是否为鳖臑？并说明理由．【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）取CD中点F，连接AF，则AF∥EC，即∠D1AF为异面直线AD1与EC所成角，解三角形可得△AD1F为等边三角形，从而得到异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）证明DE⊥CE，进一步得到D1E⊥CE，可知四面体D1CDE是鳖臑．【详解】解：（1）取CD中点F，连接AF，则AF∥EC，∴∠D1AF为异面直线AD1与EC所成角．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，由AD=AA1=1，AB=2，得∴△AD1F为等边三角形，则．∴异面直线AD1与EC所成角的大小为；（2）连接DE，∵E为AB的中点，∴DE=EC=，又CD=2，∴DE2+CE2=DC2，得DE⊥CE．∵D1D⊥底面DEC，则D1D⊥CE，∴CE⊥平面D1DE，得D1E⊥CE．∴四面体D1CDE的四个面都是直角三角形，故四面体D1CDE是鳖臑．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中直线与直线，直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．18.设S，T是R的两个非空子集，如果函数y=f（x）满足：①T={f（x）|x∈S}；②对任意x1，x2，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称函数y=f（x）为集合S到集合T的“保序同构函数”．（1）试判断下列函数f（x）=，f（x）=tan（πx-）是否是集合A={x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数；请说明理由．（2）若f（x）=是集合[0，s]到集合[0，t]是保序同构函数，求s和t的最大值．【答案】（1）见解析；（2）s的最大值为1，t的最大值为【解析】【分析】（1）根据集合A={x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数的定义，判断函数是否是单调递增函数即可；（2）利用导数研究函数f（x）=在x≥0上的单调区间，结合保序同构函数的定义进行求解即可．【详解】解：（1）由②知，函数为增函数即可．若f（x）=，当0＜x＜1时，-1＜-x＜0，函数y=为增函数，同时y=为增函数，即f（x）=增函数，满足条件．若f（x）=tan（πx-），当0＜x＜1时，0＜πx＜π，-＜πx-＜，此时函数f（x）为增函数，满足条件．即两个函数都是集合A={x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数．（2）函数f（x）为f′（x）==，当x＞0时，由f′（x）＞0得1-x2＞0得x2＜1，得0＜x＜1，由f′（x）＜0得1-x2＜0得x2＞1，即x＞1，即函数f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，+∞）上是减函数，则s的最大值为1，t的最大值为f（1）=．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，结合新定义保序同构函数转化为判断函数的单调性是解决本题的关键．19.如图，已知一个长方形展览大厅长为20m，宽为16m，展厅入口位于其长边的中间位置，为其正中央有一个圆心为C的圆盘形展台，现欲在展厅一角B点处安装一个监控摄像头对展台与入口进行监控（如图中阴影所示），要求B与圆C在同一水平面上．（1）若圆盘半径为2m，求监控摄像头最小水平摄像视角的正切值；（2）若监控摄像头最大水平摄像视角为60°，求圆盘半径的最大值．（注：水平摄像视角指镜头中心点与水平观察物体边缘的视线的夹角）【答案】(1) 1+ (2) 5-4【解析】【分析】（1）分别求出∠ABC和∠CBE的正切值，利用两角和的正切公式计算；（2）利用两角差的正切公式计算tan∠CBE，再根据正切的定义列方程求出圆的半径．【详解】解：（1）过C作入口所在边的高AC，垂足为A，由题意可知AC=8，AB=10，BC==2，∴tan∠ABC=，过B作圆C的切线BE，切点为E，则CE⊥BE，CE=2，且∠ABE为监控摄像头最小水平摄像视角．∵BE==12，∴tan∠CBE=，∴tan∠ABE=tan（∠ABC+∠CBE）=1+．∴当圆盘半径为2时，监控摄像头最小水平摄像视角的正切值为1+．（2）过B作直线BD，使得∠ABD=60°，过C作CM⊥BD，垂足为M，则∠CBD=60°-∠ABC，∴tan∠CBD=tan（60°-∠ABC）=．设圆盘的最大半径为r，则tan∠CBD=．解得r=5-4．∴圆盘的最大半径为5-4．【点睛】本题考查了函数模型的应用，直线与圆的位置关系，属于中档题．20.已知椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F1任作一条与坐标轴都不垂直的直线，与C交于A，B两点，且△ABF2的周长为8．当直线AB的斜率为时，AF2与x轴垂直．（1）求椭圆C的方程（2）若A是该椭圆上位于第一象限的一点，过A作圆x2+y2=b2的切线，切点为P，求|AF1|-|AP|的值；（3）设P（0，m）（m≠±b）为定点，直线l过点P与x轴交于点Q，且与椭圆交于C，D两点，设，，，求λ+μ的值．【答案】（1）=1（2）2（3）【解析】【分析】（1）根据题意4a=8，再根据勾股定理求出c=1，即可求出椭圆方程，（2）由题意，根据直线和圆相切，以及勾股定理可得AF1|=2+x0，|PA|=x0，即可求出|AF1|-|AP|的值（3）根据向量的运算可得λ+μ=2+m（+），再题意直线l的方程为x=y（x+m），代入，由此利用韦达定理结合已知条件，即可求出．【详解】解：（1）∵△ABF2的周长为8，∴4a=8，即a=2，∵tan∠AF1F2=，设|AF2|=3m，则|F1F2|=2c=4m，∴|AF1|=5m，∵|AF1|+|AF2|=2a=4，∴3m+5m=4，∴m=，∴2c=2，∴c=1，∴b2=a2-c2=3，∴椭圆C的方程=1，（2）设A（x0，y0），则=1，（|x0|＜2）∴|AF1|2=（x0+1）2+y02=（x0+4）2，∴|AF1|=2+x0，连接OP，OP，由相切条件知：|PA|2=|OP|2-|OP|2=x02+y02-3=x02+3-x02-3=x02，∴|PA|=x0，∴|AF1|-|AP|=2+x0-x0=2．（3）设C（x1，y1），D（x2，y2），显然可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为x=k（y-m），令y=0，可得x=-km，则Q（-km，0），由，得（x1+km，y1）=λ（x1，y1-m），则y1=λ（y1-m），即λ==1+，，可得（x2+km，y2）=μ（x2，y2-m），即μ=1+将x=k（y-m），代入椭圆=1中（4+3k2）y2-6mk2y+3k2m2-12=0，由韦达定理得y1+y2=，y1y2=，∴λ+μ=2+m（+）=2+m•=2+==．【点睛】本题考查椭圆的求法，考查直线和椭圆的位置关系，韦达定理，考查两数和为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21.设正项数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，q为非零正常数，已知对任意整数n，m，当n＞m时，S n-S m=q m•S n-m恒成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明数列是递增数列；（3）是否存在正常数c使得{lg（c-S n）}为等差数列？若存在，求出常数c的值；若不存在，说明理由．【答案】（1) a n=q n-1 (2)见证明 (2)见解析【解析】【分析】（1）由已知条件，可令m=n-1，代入结合数列的递推式，即可得到所求通项公式；（2）讨论公比q是否为1，求得S n，以及，由单调性的定义即可得证；（3）假设存在正常数c使得{lg（c-S n）}为等差数列，结合对数的运算性质和等差数列的通项公式，即可得到所求结论．【详解】解：（1）因为对任意正整数n，m，当n＞m时，S n-S m=q m•S n-m总成立，所以n≥2时，令m=n-1，得到S n-S n-1=q n-1•S1，即a n=a1q n-1=q n-1，当n=1时，也成立，所以a n=q n-1，（2）证明：当q=1时，S n=n，=随着n的增大而增大；当q＞0，q≠1时，S n=，，由＜0，可得数列{}是递增数列；（3）假设存在正常数c使得{lg（c-S n）}为等差数列．当q=1时，S n=n，q≠1时，S n=，{lg（c-S n）}为等差数列，可得q≠1，lg（c-+）=lg=n lg q-lg（1-q）为等差数列，即有c=（0＜q＜1），【点睛】本题考查数列的通项和求和的关系，考查等比数列的通项公式和求和公式，以及数列的单调性的判断，考查运算能力，属于中档题．。
2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高三(上)期中数学试卷(精编含解析)
2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20分）1.“函数存在反函数”是“函数在R上为单调函数”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】函数f（x）（x∈R）存在反函数，至少还有可能函数f（x）在R上为减函数，充分条件不成立；而必要条件显然成立【详解】“函数f（x）在R上为增函数”⇒“函数f（x）（x∈R）存在反函数”；反之取f（x）=﹣x（x∈R），则函数f（x）（x∈R）存在反函数，但是f（x）在R上为减函数．故选：B．【点睛】本题考查充要条件的判断及函数存在反函数的条件，属基本题．2.若函数的反函数为，则函数与的图象可能是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】f（x）和f﹣1（x）关于y=x对称是反函数的重要性质；而将f（x）的图象向右平移a个单位后，得到的图象的解析式为f（x﹣a）而原函数和反函数的图象同时平移时，他们的对称轴也相应平移．【详解】函数f（x﹣1）是由f（x）向右平移一个单位得到，f﹣1（x﹣1）由f﹣1（x）向右平移一个单位得到，而f（x）和f﹣1（x）关于y=x对称，从而f（x﹣1）与f﹣1（x﹣1）的对称轴也是由原对称轴向右平移一个单位得到即y=x﹣1，排除B，D；A，C选项中各有一个函数图象过点（2，0），则平移前的点坐标为（1，0），则反函数必过点（0，1），平移后的反函数必过点（1，1），由此得A选项有可能，C选项排除；故答案为：A【点睛】本题主要考查函数与其反函数的关系，考查函数的图像的变换，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 用整体平移的思想看问题，是解决本题的关键．3.在△中，角、、所对的边分别为、、，给出四个命题：（1）若，则△为等腰三角形；（2）若，则△为直角三角形；（3）若，则△为等腰直角三角形；（4）若，则△为正三角形；以上正确命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】对每一个命题逐一分析得解.【详解】(1)若，则2A=2B或2A+2B=π，所以A=B或A+B=,所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，所以该命题是错误的.(2) 若，所以sinA=sin(,所以则△不一定为直角三角形,所以该命题是错误的.(3) 若，所以A=C=，则△为等腰直角三角形，所以该命题是真命题.(4)若，所以所以A=B=C,所以△ABC是正三角形.所以该命题是真命题.故答案为：B【点睛】本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4.是定义在上的函数，且，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】直接利用定义函数的应用求出结果．【详解】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（）=，，3时，此时得到的圆心角为，，，然而此时x=0或者x=时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，故答案为：C【点睛】本题考查函数的定义的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.集合的真子集有________个【答案】【解析】【分析】直接写出集合A的真子集即得解.【详解】集合A的真子集有，{0}，{1}，{2018}，{0,1}，{0,2018}，{1,2018}，所以集合A的真子集个数为7,故答案为：7【点睛】本题主要考查集合的真子集及其个数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.6.设全集，，，则图中阴影部分所表示的集合是________（用区间表示）【答案】【解析】【分析】先化简集合M和N，再求M∩N,再求即得阴影部分所表示的集合.【详解】由题得M={x|x>2或x<-2}，N={x|x≥0}，所以M∩N={x|x＞2}，所以.所以阴影部分所表示的集合为[0,2].故答案为：【点睛】本题主要考查韦恩图和集合的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.7.命题“若实数、满足，则或”是________命题（填“真”或“假”）【答案】真【解析】【分析】先考虑其逆否命题“a＞2且b＞3则a+b＞5”的真假，即得原命题的真假.【详解】由题得原命题的逆否命题为“a＞2且b＞3则a+b＞5”，由不等式同向可加的性质得其逆否命题为真命题，所以原命题是真命题.故答案为：真【点睛】（1）本题主要考查原命题及其逆否命题，考查命题真假性的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)互为逆否关系的命题同真同假，即原命题与逆否命题的真假性相同，原命题的逆命题和否命题的真假性相同.所以，如果某些命题（特别是含有否定概念的命题）的真假性难以判断，一般可以判断它的逆否命题的真假性.8.某个时钟时针长6cm，则在本场考试时间120分钟内，该时针扫过的面积是______【答案】．【解析】时针所扫过的面积是以时针的长度为半径，圆心角为×2=的扇形的面积，据此解答即可．【详解】∵设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，∴则时针所扫过的面积是以时针的长度为半径，圆心角为×2=的扇形的面积，即：r=6，α=，∴扇形的面积为S=r2α==6π．故答案为：6π．【点睛】本题弄清楚分针时针的运动轨迹，是解答本题的关键，属于基础题．9.设为奇函数，则______．【答案】【解析】【分析】根据对数的基本运算以及函数奇偶性的性质建立条件关系即可求a的值；【详解】∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴，∴，即（1+ax）（1﹣ax）=﹣（x+1）（x﹣1），即1﹣a2x2=1﹣x2，即a2=1，∴a=﹣1或a=1，若a=1，则=不满足条件，舍去，故答案为：a=﹣1．【点睛】本题主要考查利用函数奇偶性的应用求参数的值，注意取舍，属于基础题.10.函数在上单调递增，则实数的取值范围为________【答案】【解析】先对函数求导得在（1,2）上恒成立，再分离参数求出a的范围.【详解】由题得在（1,2）上恒成立，所以.故答案为：【点睛】(1)本题主要考查利用导数研究不等式的单调性和恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)一般地，函数在某个区间可导，在某个区间是增函数≥0 .11.在△中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则△的面积为________ 【答案】【解析】【分析】利用余弦定理可得b，再利用三角形面积计算公式即可得出．【详解】∵a=，∴a2=b2+c2﹣2bccosA，∴3=4+b2﹣4b×，化为b2﹣2b+1=0，解得b=1．∴S△ABC===．故答案为：．【点睛】本题主要考查了余弦定理、三角形面积计算公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力与计算能力．12.已知函数，则的解集是________【答案】【解析】【分析】由于函数是定义域在上的增函数，所以,解不等式即得解.【详解】由于函数是定义域在上的增函数，所以故答案为：【点睛】(1)本题主要考查幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)处理函数的问题，一定要注意“定义域优先的原则”，本题不要漏了3x-1≥0.13.若关于的不等式在上恒成立，则正实数的取值范围为________【答案】【解析】【分析】由题得|2x-a|>-x+1,再分1＜x≤2和0≤x≤1两种情况讨论恒成立问题，即得解.【详解】由题得|2x-a|>-x+1,当1＜x≤2时，-x+1<0,所以不等式恒成立.当0≤x≤1时，-x+1≥0，所以2x-a＞-x+1或2x-a＜x-1，所以a＜3x-1或a＞x+1在[0,1]上恒成立，所以a<-1或a>2,因为a>0,综合得a>2.故答案为：a>2【点睛】本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.14.已知常数，函数的图像经过点、，若，则________【答案】【解析】【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．【详解】函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=16pq，所以：a2=16，由于a＞0，故：a=4．故答案为：4【点睛】本题主要考查函数的性质和指数幂的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.15.已知函数，若，则的最大值是________【答案】【解析】【分析】设g(x)=f(x)-3,再判断函数g(x)的奇偶性和单调性，再由得，再利用三角换元求的最大值.【详解】设g(x)=f(x)-3,所以g(x)=,所以所以g(-x)=-g(x),所以函数g(x)是奇函数，由题得，所以函数g（x）是减函数，因为，所以，所以g=0,所以g=g(1-,所以不妨设，所以==，所以的最大值为.故答案为：【点睛】（1）本题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查函数的图像和性质，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题的解题关键有三点，其一是构造函数g(x)得到函数g(x)的奇偶性和单调性，其二是由得，其三是利用三角换元求的最大值.16.已知函数，如果函数恰有三个不同的零点，那么实数的取值范围是________【答案】【解析】【分析】先求出函数的解析式，作出函数的图像，由题得有三个不同的实根，数形结合分析得到实数k 的取值范围.【详解】当1＜x≤2时，f(x)=-x+2,当时，1＜2x≤2，所以f(x)=,当时，＜2x≤1，所以f(x)=,当时，＜2x≤，所以f(x)=,当时，＜2x≤，所以f(x)=,所以函数的图像为：其图像为线段PA,EB,GC,HD,,(不包括上端点A,B,C,D,)直线y=k(x-1)表示过定点P(1,0)的直线系，由题得C(),D(),当直线在PD(可以取到)和直线PC（不能取到）之间时，直线和函数f(x)的图像有三个不同的交点，由题得.所以k的取值范围为.故答案为：【点睛】（1）本题主要考查函数的图像和性质，考查求函数的解析式，考查函数的零点问题，意在考查学生读这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.（2）解答本题的关键是求出函数f(x)的解析式作出函数的图像.(3)函数的零点问题常用的方法有：方程法、图像法、方程+图像法.三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知锐角和钝角的终边分别与单位圆交于、两点，其中点坐标.（1）求的值；（2）若，求点坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)先求出，再求的值.(2)由题得，解方程组即得点B的坐标. 【详解】由题得，，所以=-7.由题设B(x,y),因为是钝角，所以,所以点B的坐标为.【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义，考查三角恒等变换求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18.如图，某公园有三个警卫室、、有直道相连，千米，千米，千米.（1）保安甲沿从警卫室出发行至点处，此时，求的直线距离；（2）保安甲沿从警卫室出发前往警卫室，同时保安乙沿从警卫室出发前往警卫室，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过3千米，试问有多长时间两人不能通话？（精确到0.01小时）【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由解直角三角形可得∠C=30°，在△BPC中由余弦定理可得BP的值；（2）设甲出发后的时间为t小时，则由题意可知0≤t≤4，设甲在线段CA上的位置为点M，则AM=4﹣t，讨论0≤t≤1时，当1≤t≤4时，分别在△AMQ和△AMB中，运用余弦定理和二次不等式的解法，即可得到所求结论．【详解】（1）在Rt△ABC中，AB=2，BC=2，所以∠C=30°，在△PBC中PC=1，BC=2，由余弦定理可得BP2=BC2+PC2﹣2BC•PCcos30°=（2）2+1﹣2×2×1×=7，即BP=；（2）在Rt△ABC中，BA=2，BC=2，AC=4，设甲出发后的时间为t小时，则由题意可知0≤t≤4，设甲在线段CA上的位置为点M，则AM=4﹣t，①当0≤t≤1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，则AQ=2t，如图所示，在△AMQ中，由余弦定理得MQ2=（4﹣t）2+（2t）2﹣2•2t•（4﹣t）cos60°=7t2﹣16t+16＞9，解得t＜或t＞，所以0≤t≤；②当1≤t≤4时，乙在警卫室B处，在△ABM中，由余弦定理得MB2=（4﹣t）2+4﹣2•2t•（4﹣t）cos60°=t2﹣6t+12＞9，解得t＜3﹣或t＞3+，又1≤t≤4，不合题意舍去．综上所述0≤t ≤时，甲乙间的距离大于3千米，所以两人不能通话的时间为小时．【点睛】本题考查解三角形的实际问题的解法，注意运用余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于 中档题．19.问题：正数、满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：（1）若实数、、、满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件；（2）利用（1）的结论，求函数的值域.【答案】（1），且等号成立；（2）.【解析】 【分析】（1）先化简=( ，再利用基本不等式求最值即得解.(2) 令再利用结论求函数的值域.【详解】=(当时取等.令由（1）得,因为f(t)>0,所以.所以函数的值域为.【点睛】(1)本题主要考查常量代换和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题的解题关键是对“1”的常量代换，再利用基本不等式求函数的最小值. 利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.20.定义区间、、、的长度均为，已知不等式的解集为.（1）求的长度；（2）函数（，）的定义域与值域都是（），求区间的最大长度；（3）关于的不等式的解集为，若的长度为6，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】解不等式得其解集即得区间长度.(2) 由题意求出f（x）的定义域并化简解析式，判断出区间的范围和f（x）的单调性，由题意列出方程组，转化为m，n是方程f（x）的同号的相异实数根，利用韦达定理表示出mn和m+n，由判别式大于零求出a 的范围，表示出n﹣m 利用配方法化简后，由二次函数的性质求出最大值和a的值．(3)先求出A∩B⊆（0，6），再转化为不等式组，当x∈（0，6）时恒成立. 分析两个恒成立问题即得t的取值范围.【详解】解不等式得其解为-1≤x＜6，所以解集A区间长度为6-(-1)=7.(2) 由题意得，函数f（x）的定义域是{x|x≠0}，∵[m，n]是其定义域的子集，∴[m，n]⊆（﹣∞，0）或（0，+∞）．∵f（x）=在[m，n]上是增函数，∴由条件得，则m，n是方程f（x）=x的同号相异的实数根，即m，n是方程（ax）2﹣（a2+a）x+1=0同号相异的实数根．∴mn=，m+n==，则△=（a2+a）2﹣4a2＞0，解得a＞1或a＜﹣3．∴n﹣m====，∴n﹣m的最大值为，此时，解得a=3.即在区间[m，n]的最大长度为．(3) 因为x>0,A=[-1,6），的长度为6，所以A∩B⊆（0，6）.不等式log2x+log2（tx+3t）＜2等价于又A∩B⊆（0，6），不等式组的解集的各区间长度和为6，所以不等式组，当x∈（0，6）时恒成立.当x∈（0，6）时，不等式tx+3t＞0恒成立，得t＞0当x∈（0，6）时，不等式tx2+3tx﹣4＜0恒成立，即恒成立当x∈（0，6）时，的取值范围为，所以实数综上所述，t的取值范围为【点睛】本题考查一个新定义问题，即区间的长度，本题解题的关键是对于条件中所给的三种不同的题目进行整理变化，灵活解答函数的最值问题和恒成立问题.21.已知定义在上的函数满足：对任意的实数都成立，当且仅当时取等号，则称函数是上的函数，已知函数具有性质：（,）对任意的实数（）都成立，当且仅当时取等号.（1）试判断函数（且）是否是上的函数，说明理由；（2）求证：是上的函数，并求的最大值（其中、、是△三个内角）；（3）若定义域为，①是奇函数，证明：不是上的函数；②最小正周期为，证明：不是上的函数.【答案】（1），是S函数；，不是S函数；（2）见解析，最大值；（3）见解析.【解析】【分析】(1)利用S函数的定义证明当0＜a＜1时，不是上的函数.当a大于1时，不是上的函数.（2）利用S函数的定义证明是上的函数，并利用S函数的性质求的最大值.(3)利用举反例证明.【详解】任取,当同理可证，当0＜a＜1时，不是上的函数.(2),,,所以是上的函数.由S函数的性质有所以（3）用举反例证明，令f(x)=sinx,所以f(x)=sinx是R上的周期为π的奇函数，取所以而即在R上，f(x)=sinx不是S函数，故原命题得证.【点睛】本题主要考查新定义解题，考查学生对新定义的理解和掌握水平和利用新定义处理数学问题的能力.解题的关键是对新定义理解透彻.。
2018-2019年上海市七宝中学高一上10月月考数学试卷
2018学年七宝中学高一上10月月考一. 填空题1. 不等式||1x >的解集为2. 设集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =3. 设,,,a b c d ∈R ，则()()0c d a b c a d b +>+⎧⎨-->⎩是c a d b >⎧⎨>⎩成立的 条件 4. 不等式204x x -≥+的解集为 5. 已知集合{|}A x x a =<，{|2}B x x =>，若A B =∅，则实数a 的取值范围是6. 命题“若,m n ∈R 满足6m n +≤，则2m ≤或4n ≤”是 命题（填“真”或“假”）7. 关于x 的不等式2320kx kx k ++-≤的解集为R ，则实数k 的取值范围是8. 已知{||1|2}A x x =-<，{|()(4)0}B x x m x =-->，若A B ，则实数m 的取值范围是9. 已知关于x 的不等式|1||2|x x t +-->有解，则实数t 的取值范围是10. 已知关于x 的方程22320x ax a -+-=的两个根为1x 、2x ，且在区间12(,)x x 上恰好有两个正整数，则实数a 的取值范围是11. 定义区间(,)a b 、[,)a b 、(,]a b 、[,]a b 的长度均为d b a =-，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如：(1,2)[3,5)的长度(21)(53)3d =-+-=，设()[]{}f x x x =⋅，()1g x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，{}[]x x x =-，若用d 表示不等式()()f x g x ≥解集区间的长度，则当[2018,2018]x ∈-时，d =12. 对于集合M ，定义函数1()1M x M f x x M -∉⎧=⎨∈⎩，对于两个集合M 、N ，定义集合 {|()()1}M N M N x f x f x ∆=⋅=-，已知{2,4,6,8,10}A =，{1,2,4,8,16}B =，用||M 表示有限集合M 中的元素个数，则对于任意集合M ，||||M A M B ∆+∆的最小值为二. 选择题13. 已知a 、b 为非零实数，且a b <，则下列不等式恒成立的是（ ）A. 22a b <B. 22ab a b <C. 2211ab a b <D. b a a b< 14. 设集合{|||1,}A x x a x =-<∈R ，{|||2,}B x x b x =->∈R ，若A B ⊆，则实数a 、b 必满足（ ）A. ||3a b +≤B. ||3a b +≥C. ||3a b -≤D. ||3a b -≥15. 已知函数2()f x ax bx c =++，且a b c >>，0a b c ++=，集合{|()0}A x f x =<，则下列结论中正确的是（ ）A. 任意x A ∈，都有(3)0f x +>B. 任意x A ∈，都有(3)0f x +<C. 存在x A ∈，都有(3)0f x +=D. 存在x A ∈，都有(3)0f x +<16. 设,,,a b c d ∈R ，32()()()f x x a x bx cx d =++++，32()(1)(1)g x ax dx cx bx =++++，记集合{|()0,}S x f x x ==∈R ，{|()0,}T x g x x ==∈R ，若()Card S 、()Card T 分别表示集合S 、T 的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）A. ()1Card S =，()0Card T =B. ()1Card S =，()1Card T =C. ()2Card S =，()2Card T =D. ()2Card S =，()3Card T =三. 解答题17. 已知关于x 的不等式：(1)12a x x ->-（a ∈R ）. （1）当1a =时，求此不等式的解集；（2）当1a <时，求此不等式的解集.18. 命题甲：关于x 的方程20x x m ++=有两个相异负根；命题乙：不等式243m pm m p +>+-对[0,1]p ∈恒成立.（1）若这两个命题至少有一个成立，求实数m 的取值范围；（2）若这两个命题有且仅有一个成立，求实数m 的取值范围.19. 若存在满足下列三个条件的集合A 、B 、C ，则称偶数n 为“萌数”，① 集合A 、B 、C 为集合{1,2,3,4,,}M n =⋅⋅⋅的3个非空子集，A 、B 、C 两两之间的交 集为空集，且A B C M =；② 集合A 中的所有数均为奇数，集合B 中的所有数均为偶数，所有3的倍数都在集合C 中； ③ 集合A 、B 、C 所有元素的和分别为1S 、2S 、3S ，且123S S S ==； 注：(1)1232n n n ++++⋅⋅⋅+= （1）判断：8n =是否为“萌数”？若为“萌数”，写出符合条件的集合A 、B 、C ，若不是“萌数”，说明理由；（2）证明：“62n k =+，k ∈N ”是“偶数n 为萌数”成立的必要条件.20. 已知集合2{|540}A x x x =-+≤，2{|220,}B x x ax a a =-++≤∈R .（1）求集合A ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围；（3）若B A ⊆，求实数a 的取值范围.21. 已知M 是满足下列条件的集合：① 0M ∈，1M ∈；② 若,x y M ∈，则x y M -∈； ③ 若x M ∈且0x ≠，则1M x∈. （1）判断12M ∈是否正确，说明理由； （2）证明：“x ∈Z ”是“x M ∈”的充分条件；（3）证明：若,x y M ∈，则xy M ∈.参考答案一. 填空题1. (,1)(1,)-∞-+∞2. (0,1)3. 充要4. (4,2]-5. (,2]-∞6. 真7. 8[,0]5-，0k =符合，当0k ≠，需满足0k <且0∆≤，综上解得8[,0]5k ∈-8. [3,)+∞，(1,3)A =-，结合数轴分析讨论，当4m ≤时，[3,4]m ∈；当4m >均符合，综上解得[3,)m ∈+∞9. 3t <，当2x =时，|1||2|x x +--取得最大值3，∴3t <10. 73(,)(,)22-∞-+∞，由0∆>且21(2,3)x x -=可求得范围 11. 2019，2(){}{}1f x x x x x =-≥-，∴({}1)({}1)({}1)x x x x -≥+-，即{}1x x ≤+，∴1x ≤，∴20181x -≤≤，即2019d =12. 4，由题意，{|M N x x M N ∆=∈且}x M N ∉，∴||||M A M B ∆+∆要取得最小值，需满足A B M A B ⊆⊆，此时||||M A M B ∆+∆为4二. 选择题13. C ，作差通分可得C 选项正确14. D ，用绝对值的几何意义即可观察得结果15. A16. D ，0a d ==，1b c ==时，A 选项成立；1a b c d ====时，B 选项成立；2b =，1a c d ===时，C 选项成立；故选D三. 解答题17.（1）(2,)+∞；（2）当(,0)a ∈-∞，解集为2(,2)1a a --；当0a =，解集为空集； 当(0,1)a ∈，解集为2(2,)1a a --. 18. 命题甲：104m <<，命题乙：3m >或1m <； （1）(,1)(3,)-∞+∞；（2）1(,0][,1)(3,)4-∞+∞. 19.（1）是，{5,7}A =，{4,8}B =，{1,2,3,6}C =；（2）由题意可得123(1)6n n S S S +===，且(1)6n n +为偶数，即(1)12n n m +=，m ∈*N ， 讨论12n k =、122k +、124k +、126k +、128k +、1210k +()k ∈N 共六种情况， 排除其他五种情况，可得128n k =+，可推出62n k =+，k ∈N ，反之则不行，故为必要条件20.（1）[1,4]；（2）[3,)+∞；（3）18(1,]7-. 21.（1）正确；（2）略；（3）略.。
2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高三(上)期中数学试卷(精编含解析)
【点睛】本题主要考查集合的真子集及其个数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
6.设全集 ，
，
，则图中阴影部分所表示的集合是________（用区间表示）
【答案】 【解析】 【分析】
先化简集合 M 和 N，再求 M∩N,再求
即得阴影部分所表示的集合.
【详解】由题得 M={x|x>2 或 x<-2}，N={x|x≥0}，所以 M∩N={x|x＞2}，
f 1（x 1）由 f 1（x）向右平移一个单位得到，
而 f（x）和 f 1（x）关于 y=x 对称，
从而 f（x 1）与 f 1（x 1）的对称轴也是由原对称轴向右平移一个单位得到即 y=x 1，
排除 B，D；
A，C 选项中各有一个函数图象过点（2，0），则平移前的点坐标为（1，0），则反函数必过
4. 是定义在 上的函数，且 的可能取值只能是（ ）
，若 的图像绕原点逆时针旋转 后与原图像重合，则在以下各项中，
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用定义函数的应用求出结果．
【详解】由题意得到：问题相当于圆上由 12 个点为一组，每次绕原点逆时针旋转 个单位后与下一个 点会重合．
，若
，则
的最大值是________
【答案】 【解析】 【分析】
设 g(x)=f(x)-3,再判断函数 g(x)的奇偶性和单调性，再由
得
，再利用三角换元求
的最大值.
【详解】设 g(x)=f(x)-3,所以 g(x)=
,
所以 所以 g(-x)=-g(x),所以函数 g(x)是奇函数，
由题得
，
所以函数 g（x）是减函数，
上海市七宝中学2019届高三上学期期末考试数学试题(精品解析)
2019年上海市闵行区七宝中学高考数学一模试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.设集合P1={x|x2+ax+1＞0}，P2={x|x2+ax+2＞0}，其中a∈R，下列说法正确的是（）A. 对任意a，P1是P2的子集B. 对任意a，P1不是P2的子集C. 存在a，使得P1不是P2的子集D. 存在a，使得P2是P1的子集【答案】A【解析】解：由x2+ax+1＞0，则有x2+ax+2=x2+ax+1+1＞0+1＞0，由x2+ax+2＞0，则有x2+ax+1=x2+ax+2-1＞-1，不能推出x2+ax+1＞0，即P1⊊P2，故选：A．由不等式的性质得：由x2+ax+1＞0，则有x2+ax+2=x2+ax+1+1＞0+1＞0，由x2+ax+2＞0，不能推出x2+ax+1＞0，由集合间的关系得：P1⊊P2，得解．本题考查了集合间的关系，不等式的性质，属简单题．2.△ABC中，a2：b2=tan A：tan B，则△ABC一定是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形【答案】D【解析】解：∵a2：b2=tan A：tan B，由正弦定理可得，==∵sin A sin B≠0∴∴sin A cosA=sin B cosB即sin2A=sin2B∴2A=2B或2A+2B=π∴A=B或A+B=，即三角形为等腰或直角三角形故选：D．由已知a2：b2=tan A：tan B，利用正弦定理及同角基本关系对式子进行化简，然后结合二倍角公式在进行化简即可判断本题考查同角三角函数的基本关系，正弦定理的应用，式子变形是解题的关键和难点．3.抛物线y=2x2上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长度为3，则点M的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】解：设直线AB的方程为y=kx+b，联立，化为2x2-kx-b=0，由题意可得△=k2+8b＞0．∴x1+x2=，x1x2=-．∵|AB|=×=3，AB中点M的纵坐标=x=+b==．故选：A．设直线AB的方程为y=kx+b，与抛物线方程联立得到△＞0即根与系数的关系，再利用中点坐标公式和基本不等式即可得出．熟练掌握抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为与抛物线方程联立得到△＞0，即根与系数的关系、中点坐标公式和基本不等式等是解题的关键．4.已知正数数列{a n}满足a n+1≥2a n+1，且a n＜2n+1对n∈N*恒成立，则a1的范围为（）A. [1，3]B. （1，3）C. （0，3]D. （0，4）【答案】C【解析】解：正数数列{a n}满足a n+1≥2a n+1，可得1+a n+1≥2（a n+1），设b n=1+a n，（a n＞0，b n＞1）即有b2≥2b1，b3≥2b2，…，b n≥2b n-1，累乘可得b n≥b1•2n-1，可得1+a n≥（1+a1）•2n-1，又a n＜2n+1对n∈N*恒成立，可得1+2n+1＞1+a n≥（1+a1）•2n-1，即有1+2n+1＞（1+a1）•2n-1，可得a1＜3+恒成立，由3+＞3，可得0＜a1≤3．故选：C．由条件可得1+a n+1≥2（a n+1），设b n=1+a n，（a n＞0，b n＞1），运用累乘法，结合不等式恒成立，即可得到所求范围．本题考查数列的递推式，注意累乘法的运用，考查等比数列的通项公式，考查不等式的性质和恒成立思想，属于中档题．二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.设A={x||x|≤2018，x∈R}，B={x|y=，x∈R}，则A∩B=______．【答案】∅【解析】解：A={x|-2018≤x≤2018}，B={2019}；∴A∩B=∅．故答案为：∅．可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，以及交集的运算．6.已知定义域在[-1，1]上的函数y=f（x）的值域为[-2，0]，则函数y=f（cos）的值域是______．【答案】[-2，0]【解析】解：∵cos∈[-1，1]；∴；即y∈[-2，0]；∴该函数的值域为[-2，0]．故答案为：[-2，0]．可以看出-1，从而对应的函数值，这便得出了该函数的值域．考查函数定义域、值域的概念，本题可换元求值域：令cos=t，-1≤t≤1，从而得出f（t）∈[-2，0]．7.若行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（-1，2），则实数a等于______．【答案】4【解析】解：∵行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（-1，2），∴|ax-2|＜6的解集为（-1，2），∴-6＜ax-2＜6，即-4＜ax＜8解集为（-1，2），解得a=4．故答案为：4．推导出|ax-2|＜6的解集为（-1，2），从而-4＜ax＜8解集为（-1，2），由此能求出a的值．本题考查实数值的求法，考查行列式展开法则、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.在（0，2π）内使sin3x＞cos3x成立的x的取值范围是______．【答案】（，）【解析】解：由题意，设f（x）=sin3x-cos3x，x∈（0，2π），∴f（x）=（sin x-cos x）（sin2x+sin x cosx+cos2x）=（sin x-cos x）（1+sin2x），又1+sin2x＞0恒成立，∴sin x-cos x＞0，即sin x＞cos x，即＜x＜时，f（x）＞0，∴（0，2π）内使sin3x＞cos3x成立的x的取值范围是（，）．故答案为：（，）．设f（x）=sin3x-cos3x，x∈（0，2π），化f（x）=（sin x-cos x）（1+sin2x），判断sin x-cos x＞0时（x）＞0，由此求出不等式成立的x的取值范围．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化应用问题，是中档题．9.在等差数列{a n}中，S7=8，则a4=______．【答案】【解析】解：在等差数列{a n}中，由S7=，得．故答案为：．由等差数列的性质及前n项和列式求解．本题考查等差数列的前n项和，考查等差数列的性质，是基础题．10.已知f（x+1）=2x-2，那么f-1（2）的值是______．【答案】3【解析】解：令t=x+1则x=t-1所以f（t）=2t-1-2所以f（x）=2x-1-2令f（x）=2x-1-2=2，解得x=3∴f-1（2）=3故答案为：3．令t=x+1，将已知等式中的x一律换为t，求出f（t）即得到f（x），然后令f（x）=2x-1-2=2，求出相应的x，即为f-1（2）的值．已知f（ax+b）的解析式，求f（x）的解析式，一般用换元的方法或配凑的方法，换元时，注意新变量的范围，同时考查了反函数求值，属于基础题．11.甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为______．【答案】【解析】解：甲、乙相邻的方法有=12种情况，如果满足甲、丙相邻，则有=4种情况，所以所求的概率为P==．故答案为：．4人排成一排，其中甲、乙相邻的情况有12种，其中甲丙相邻的只有4种，由此能求出甲乙相邻，则甲丙相邻的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．12.若P（x，y）是双曲线上的动点，则|x-y|最小值是______．【答案】2【解析】解：P（x，y）是双曲线上的动点，设：x=，y=2tanθ，所以|x-y|=|-2tanθ|==，表达式的几何意义是单位圆上的点与（0，）距离的2倍，可得：∈[2，2+2]，故答案为：22．利用双曲线方程，通过三角代换转化求解x，y，然后求解|x-y|的最小值．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．13.设点P到平面α的距离为，点Q在平面α上，使得直线PQ与平面α所成角不小于30°且不大于60°，则这样的PQ所构成的区域体积为______．【答案】【解析】解：如图，过P作PO⊥α，则PO=，当∠PQO=60°时，OQ=1，当∠PQO=30°时，OQ=3．∴PQ所构成的区域体积为V=．故答案为：．由题意画出图形，分别求出两个圆锥的半径，代入圆锥体积公式作差即可．本题考查圆锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．14.已知AB为单位圆上弦长为的弦，P为单位圆上的点，若f（λ）=||的最小值为m（其中λ∈R），当点P在单位圆上运动时，则m的最大值为______．【答案】【解析】解：设λ=，则f（λ）=||=|-|=||，又C点在直线AB上，要求f（λ）最小值，等价为求出||的最小值，显然当CP⊥AB时，CP最小，可得f（λ）的最小值m为点P到AB的距离，∵|AB|=，∴|BC|=，则|OC|===，则|CP|=|OP|+|OC|=1+=，即m的最大值为，故答案为：．设λ=，根据向量减法的运算法则，转化为点到直线的距离，利用直线和圆相交时的垂径定理结合勾股定理进行求解即可．本题考查向量共线定理的运用，以及圆的垂径定理和勾股定理的运用，利用向量的基本运算结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．15.已知函数f（a，x）=sin x+cos x随着a，x在定义域内变化时，该函数的最大值为______【答案】2【解析】解：函数f（a，x）=sin x+cos x=sin（x+θ）（θ为辅助角），即有f（a，x）≤（sin（x+θ）=1取得等号），由柯西不等式可得（+）2≤（1+1）（a+1-a）=2，当且仅当a=时，取得等号，即有+≤，即f（a，x）的最大值为2．故答案为：2．运用辅助角公式和正弦函数的值域可得f（a，x）≤，再由柯西不等式，计算可得所求最大值．本题考查函数的最值求法，注意运用辅助角公式和正弦函数的值域，以及柯西不等式，考查运算能力，属于中档题．16.已知定义在R+上的函数f（x）=，设a，b，c为三个互不相同的实数，满足，f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围为______．【答案】（81，144）【解析】解：作出f（x）的图象如图：当x＞9时，由f（x）=4-=0，得x=16，若a，b，c互不相等，不妨设a＜b＜c，因为f（a）=f（b）=f（c），所以由图象可知0＜a＜3＜b＜9，9＜c＜16，由f（a）=f（b），得1-log3a=log3b-1，即log3a+log3b=2，即log3（ab）=2，则ab=9，所以abc=9c，因为9＜c＜16，所以81＜9c＜144，即81＜abc＜144，所以abc的取值范围是（81，144）．故答案为：（81，144）．先判断函数的性质以及图象的特点，设a＜b＜c，由图象得ab是个定值，利用数形结合的思想去解决即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合得到ab是个常数是解决本题的关键．综合考查学生的推理能力．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.在长方体ABCD-A1B1C1D1中（如图），AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点．（1）求异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体D1CDE是否为鳖臑？并说明理由．【答案】解：（1）取CD中点F，连接AF，则AF∥EC，∴∠D1AF为异面直线AD1与EC所成角．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，由AD=AA1=1，AB=2，得，AF=，，∴△AD1F为等边三角形，则．∴异面直线AD1与EC所成角的大小为；（2）连接DE，∵E为AB的中点，∴DE=EC=，又CD=2，∴DE2+CE2=DC2，得DE⊥CE．∵D1D⊥底面DEC，则D1D⊥CE，∴CE⊥平面D1DE，得D1E⊥CE．∴四面体D1CDE的四个面都是直角三角形，故四面体D1CDE是鳖臑．【解析】（1）取CD中点F，连接AF，则AF∥EC，即∠D1AF为异面直线AD1与EC所成角，解三角形可得△AD1F 为等边三角形，从而得到异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）证明DE⊥CE，进一步得到D1E⊥CE，可知四面体D1CDE是鳖臑．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中直线与直线，直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．18.设S，T是R的两个非空子集，如果函数y=f（x）满足：①T={f（x）|x∈S}；②对任意x1，x2，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称函数y=f（x）为集合S到集合T的“保序同构函数”．（1）试判断下列函数f（x）=，f（x）=tan（πx-）是否是集合A={x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数；请说明理由．（2）若f（x）=是集合[0，s]到集合[0，t]是保序同构函数，求s和t的最大值．【答案】解：（1）由②知，函数为增函数即可．若f（x）=，当0＜x＜1时，-1＜-x＜0，函数y=为增函数，同时y=-为增函数，即f（x）=为增函数，满足条件．若f（x）=tan（πx-），当0＜x＜1时，0＜πx＜π，-＜πx-＜，此时函数f（x）为增函数，满足条件．即两个函数都是集合A={x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数．（2）函数f（x）为f′（x）==，当x＞0时，由f′（x）＞0得1-x2＞0得x2＜1，得0＜x＜1，由f′（x）＜0得1-x2＜0得x2＞1，即x＞1，即函数f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，+∞）上是减函数，则s的最大值为1，t的最大值为f（1）=．【解析】（1）根据集合A={x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数的定义，判断函数是否是单调递增函数即可；（2）利用导数研究函数f（x）=在x≥0上的单调区间，结合保序同构函数的定义进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，结合新定义保序同构函数转化为判断函数的单调性是解决本题的关键．19.如图，已知一个长方形展览大厅长为20m，宽为16m，展厅入口位于其长边的中间位置，为其正中央有一个圆心为C的圆盘形展台，现欲在展厅一角B点处安装一个监控摄像头对展台与入口进行监控（如图中阴影所示），要求B与圆C在同一水平面上．（1）若圆盘半径为2m，求监控摄像头最小水平摄像视角的正切值；（2）若监控摄像头最大水平摄像视角为60°，求圆盘半径的最大值．（注：水平摄像视角指镜头中心点与水平观察物体边缘的视线的夹角）【答案】解：（1）过C作入口所在边的高AC，垂足为A，由题意可知AC=8，AB=10，BC==2，∴tan∠ABC==，过B作圆C的切线BE，切点为E，则CE⊥BE，CE=2，且∠ABE为监控摄像头最小水平摄像视角．∵BE==12，∴tan∠CBE==，∴tan∠ABE=tan（∠ABC+∠CBE）===1+．∴当圆盘半径为2时，监控摄像头最小水平摄像视角的正切值为1+．（2）过B作直线BD，使得∠ABD=60°，过C作CM⊥BD，垂足为M，则∠CBD=60°-∠ABC，∴tan∠CBD=tan（60°-∠ABC）==．设圆盘的最大半径为r，则tan∠CBD===．解得r=5-4．∴圆盘的最大半径为5-4．【解析】（1）分别求出∠ABC和∠CBE的正切值，利用两角和的正切公式计算；（2）利用两角差的正切公式计算tan∠CBE，再根据正切的定义列方程求出圆的半径．本题考查了函数模型的应用，直线与圆的位置关系，属于中档题．20.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F1任作一条与坐标轴都不垂直的直线，与C交于A，B两点，且△ABF2的周长为8．当直线AB的斜率为时，AF2与x轴垂直．（1）求椭圆C的方程（2）若A是该椭圆上位于第一象限的一点，过A作圆x2+y2=b2的切线，切点为P，求|AF1|-|AP|的值；（3）设P（0，m）（m≠±b）为定点，直线l过点P与x轴交于点Q，且与椭圆交于C，D两点，设=，=，求λ+μ的值．【答案】解：（1）∵△ABF2的周长为8，∴4a=8，即a=2，∵tan∠AF1F2=，设|AF2|=3m，则|F1F2|=2c=4m，∴|AF1|=5m，∵|AF1|+|AF2|=2a=4，∴3m+5m=4，∴m=，∴2c=2，∴c=1，∴b2=a2-c2=3，∴椭圆C的方程+=1，（2）设A（x0，y0），则+=1，（|x0|＜2）∴|AF1|2=（x0+1）2+y02=（x0+4）2，∴|AF1|=2+x0，连接OP，OP，由相切条件知：|PA|2=|OP|2-|OP|2=x02+y02-3=x02+3-x02-3=x02，∴|PA|=x0，∴|AF1|-|AP|=2+x0-x0=2．（3）设C（x1，y1），D（x2，y2），显然可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为x=k（y-m），令y=0，可得x=-km，则Q（-km，0），由=，得（x1+km，y1）=λ（x1，y1-m），则y1=λ（y1-m），即λ==1+，=，可得（x2+km，y2）=μ（x2，y2-m），即μ=1+将x=k（y-m），代入椭圆+=1中（4+3k2）y2-6mk2y+3k2m2-12=0，由韦达定理得y1+y2=，y1y2=，∴λ+μ=2+m（+）=2+m•=2+m•=2+==．【解析】（1）根据题意4a=8，再根据勾股定理求出c=1，即可求出椭圆方程，（2）由题意，根据直线和圆相切，以及勾股定理可得AF1|=2+x0，|PA|=x0，即可求出|AF1|-|AP|的值（3）根据向量的运算可得λ+μ=2+m（+），再题意直线l的方程为x=y（x+m），代入，由此利用韦达定理结合已知条件，即可求出．本题考查椭圆的求法，考查直线和椭圆的位置关系，韦达定理，考查两数和为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21.设正项数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，q为非零正常数，已知对任意整数n，m，当n＞m时，S n-S m=q m•S n-m恒成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明数列{}是递增数列；（3）是否存在正常数c使得{lg（c-S n）}为等差数列？若存在，求出常数c的值；若不存在，说明理由．【答案】解：（1）因为对任意正整数n，m，当n＞m时，S n-S m=q m•S n-m总成立，所以n≥2时，令m=n-1，得到S n-S n-1=q n-1•S1，即a n=a1q n-1=q n-1，当n=1时，也成立，所以a n=q n-1，（2）证明：当q=1时，S n=n，==1-随着n的增大而增大；当q＞0，q≠1时，S n=，=，由-=-=＜0，可得数列{}是递增数列；（3）假设存在正常数c使得{lg（c-S n）}为等差数列．当q=1时，S n=n，q≠1时，S n=，{lg（c-S n）}为等差数列，可得q≠1，lg（c-+）=lg=n lg q-lg（1-q）为等差数列，即有c=（0＜q＜1），【解析】（1）由已知条件，可令m=n-1，代入结合数列的递推式，即可得到所求通项公式；（2）讨论公比q是否为1，求得S n，以及，由单调性的定义即可得证；（3）假设存在正常数c使得{lg（c-S n）}为等差数列，结合对数的运算性质和等差数列的通项公式，即可得到所求结论．本题考查数列的通项和求和的关系，考查等比数列的通项公式和求和公式，以及数列的单调性的判断，考查运算能力，属于中档题．。
2018-2019学年闵行区七宝中学高一上10月考卷
2018-2019学年闵行区七宝中学高一第一学期10月考卷Ⅱ. Grammar(15分）Section AMultiple choice21.It is the first time that I_____such a wonderful building.A.sawB. is seeingC. have seenD. had seen【答案】C【分析】考查固定搭配句型It is the first/second/third... time that+现完从句，故选C22.The year 2002 _____ remarkable changes in Shanghai’s landscape.A.seesB. has seenC. sawD. had seen【答案】C【分析】2002这一年为单数，在2002年见证上海风景引人注目的变化，故选C23.Efforts to stop smoking in public areas ______ in Hangzhou in recent weeks.A.madeB. have been madeC. have been makingD. are making【答案】B【分析】主语为efforts，to stop smoking in public ares为不定式做后置定语来修饰，in recent weeks要用现完，故选B24.Mary______as a photographer for five years in the club, and now she is the CEO.A.has servedB. had servedC. servedD. serves【答案】C【分析】现在是CEO，所以前面不能用现完，现完是以后还会继续保持，故选C25.“A man who______fault with others is not perfect himself, for he has no time to make a self-criticism.” said Buddha.A.always foundB. is always findingC. has always foundD. had always found【答案】B【分析】现在进行时+always表示“总是，经常”，常带有抱怨语气，故选B26.How long do you think it will be before another aircraft carrier______ in China?A.buildB. will buildC. is builtD. will be built【答案】C【分析】考查句型It will be +一段时间+before+一般现在时，another aircraft carrier是被建造，故选C27.People generally think that fairness and justice are at the center of______they are striving for.A.howB. whyC. whichD. what【答案】D【分析】what引导的宾语从句，故选D28.---I have a sore throat today!---You’d better take advantage of the tea break to go to ______.A.chemist’sB. the chemistC. the chemist’sD. the chemists’【答案】C【分析】the chemist’s表示诊所，故选C29.Never before ______ in greater need of modern public transport than it is today.A.has this city beenB. this city has beenB.was this city D. this city was【答案】A【分析】before要用现完，Never提前要用部分倒装，故选ASection BDirections: Read the following passage. For the blanks with a given verb, fill in each blank with the proper form of the given verb. Make sure that your answers are grammatically correct.This Is Why Y ou Should Never, Ever Use the Hotel Hair Dryer It will take more than the average bottle of hand sanitizer to avoid ___30___(get) sick on your next vacation. Can you guess the biggest hygiene(卫生的)problem during your trip? Surprisingly, it isn’t germy(带有细菌的）public restrooms. When it comes to staying healthy on the road, you might want to start with where you sleep.Yes---your hotel room___31___(host) invisible germs(细菌）and bacteria. And according to an investigation by ABC, you should be particularly concerned with the germs in your hair dryer.Cooperating with microbiologist Chuck Gerba, ABC__32__(collect) items in nine different Los Angeles-area hotels. In terms of hygiene, hair dryers turned out to be the dirtiest. “There must be something you can do with a hair dryer that I am not aware of, because some of them were prettygermy.” Gerba said.Although state laws require that hotels clean the obvious areas like toilets and drinking glasses, the same can’t be said for less evident items such as hair dryers. As a result, those items__33__(not clean) by house keeping as often, and most could go days, weeks, months, or even years without ever being disinfected(消毒）.Unfortunately, even those willing ___34___(spend) out a couple hundred bucks for a luxury suite can’t rest easy. The hotels used in the experiment ranged in price from ＄98 to ＄500 per night---and they all came up short for cleanliness.That isn’t the only germ-ridden spot in your hotel room, either. New research recommends that everyone never, ever take a bath in a hotel tub. Looks like we__35__(wipe) down(擦干净) our entire hotel room from now on.【答案】30.getting 31.hosts 32.collected 33.aren’t cleaned 34.to spend 35.will wipe【分析】30.缺avoid的宾语，avoid doing sth.，避免生病，故填getting31.缺your hotel room的谓语，讲述的是现在的一个事实，故填hosts32.缺ABC的谓语，后面谓语用的是turned过去，故填collected33.缺those items的谓语，后面有by，是没有被清理，故填aren’t cleaned34.be willing to do，故填to spend35.缺we的谓语，后面有from now on从现在起，用将来时，故填will wipeⅡ.Vocabulary (30分，1.5分一题）Directions: Complete the passage with the words given in the table. Each word can be used only once. There is an extra one that you will find no use for.Body languageIf you saw a father patting his son on the back while smiling happily, what would you think was going on? You would probably think that the father was___36__ his son on doing something well,maybe passing an exam or winning a race. You would know what was going on because you understood the messsage __37__ by the father’s body language. Across the world, a pet on the back and a smile usually means “well done”.Body language is used every single day by people of different nationalities all over the world. It is a language without words that consists of gestures, facial expressions and body movements that greatly add to ---and sometimes even replace---spoken language. Body language is used to __38__both attitudes and feelings from affection to anger just like any other language, but it differs from spoken language as it is not always explicit. Somebody jumping for joy is easy to see while a(n)__39__eyebrow conveying doubt is easier to miss.Learning to be aware of your body language can be a very useful tool. For example, in a job interview, you will probably be feeling ___40___but you won’t want to appear to be in a stay of being unrest. You will want to appear calm with as much dignity as possible. Merely by uncrossing your arms, you will look more confident.Body language can be very useful when people do not share a common spoken language. For example, in foreign countries, it is very easy to ___41___something simply by smiling and pointing at what you want. On the other hand, you can also easily show what you don’t like by shaking your head. You can negotiate the price by using your fingers and even ask questions by using your hand to outline the shapes of things you want---although this can cause___42___and a few laughs too!However, body language can sometimes be ambiguous. Although every culture around the world uses the same gestures and expressions, they use them in __43__ ways. For example, an American tourist at a German hotel might give an “OK”sign by making a circle with his fingers. Unlike in American where this sign means everything is fine, in German, this gesture can cause__44__. Another example is that in most cultures to nod one’s head means “no” while in some cultures the___45__is true!Regardless of these differences, experts agree that across the globe there is one form of body language that receives universal approval--the smile. Smiling has a high success rate so never be afraid to use it---even when you’re nervous ---and especially in foreign countries!【答案】36.D 37.BD 38.BC 39.B 40.AC 41.C 42.ABC 43.AD 44.CD 45.A【分析】36.was doing sth.，“爸爸正在恭喜他的儿子做了一些较好的事情”，故选D，congratulatesb on sth，因某事恭喜某人37.done做后置定语，“因为你可以理解被爸爸的肢体语言所传送的那个信息”，故选BD，convey传送，输送38.be used to do被用来做某事，缺动词原形，“肢体语言就像任何一种语言，被用来沟通态度和感觉，从喜爱到愤怒”，故选BC，communicate沟通，交流39. a...eyebrow，缺形容词，“一个上扬的眉毛传送着怀疑，这点容易被错过”，故选B，raise抬起40.feel+adj.，缺形容词，“举个例子，在一场工作的面试中，你可能会感到紧张”，故选AC，nervous紧张的41.It is easy to do，缺动词原形，“举个例子，在国外，通过微笑和指向你想要的东西，这样就很容易购买物品”，故选C，purchase购买42.cause sth，缺名词，“尽管这会引起疑惑和一些笑话”，故选ABC，confusion疑惑43.in...ways，缺形容词，“用不同的方式去使用他们”，故选AD，different不同的44.cause sth，缺名词，“在德国，这个手势会引起冒犯”，故选CD，offence冒犯45.the后面缺名词，“在某些文化中相反的意思才正确”，故选A，opposite对面的to be one of the greast ever soccer players.The Brazilian star is 46 as the brightest light of the wonderful Brazilian national teams of the 1960s. To his hundreds of fans, his ball skills made him seem more like a magician(魔术师) than a sportsman.But Pele played his final match for Brazil in 1971, nearly half a century ago, 47 that some young people today may not know who this man is. If so, that is a 48 , since not only should his amazing talents never be forgotten, but his 49 life and character should be remembered too.50 there is now a movie about exceptional individual . Pele: Birth of Legend, whichcame out in Chinese mainland cinemas on Sep 7, 51 on the early life of Pele up to the 1958 World Cup.In spite of his later fame (名气), Pele grew up in poverty. His mother worked as a maid and, as a kid, Pele contributed to(贡献)the family by serving in teashops. In his childhood, Pele was so poor that his only toy was a stone in a sock, and he was often laughed at by other kids. Without a 52 Pele was in part motivated(激发) to show people that he was more than just a boy from a poor family.The 1950 World Cup , which 53 Brazil beaten by Uruguay , also led to Pele’s determination to turn things around for his national team. And as a new player for Brazil in the 1958 World Cup, the 54 Pele finally put things right for his country.Pele: Birth of a legend shows all the trials and the tribulations of a young Pele. To be sure, Pele had bags of natural talent, but without the 55 and perseverance（毅力）to deal with all the problems life threw in his path , he would never have succeeded. His achievement is a monument( 丰碑) to willpower. As a mentor(导师) in the movie Pele as a child, if “you want to play professionally, you can not be ashamed of who you are.”【答案】46.CD 47.A 48.C 49.ABC 50.AC 51.BC 52.B 53.BD 54.AB 55.D 【分析】46.“被纪念为”，故选CD，be remembered as47.“但是Pele最后一场比赛是在1971年，几乎半个世纪以前，意味着如今很多年轻人都不太知道这个人是谁”，故选A，mean意味着48.接上文“如果真是这样，那真的很遗憾”，故选C，shame遗憾49.his...life，缺形容词，这个球星的一生应该是卓越的，故选ABC，remarkable卓越的，非凡的50.缺副词，上文说“很多现在的年轻人不知道他，但幸运的是，有一部关于他的电影”，故选AC，fortunately幸运地是51.这句话主语是Pele：Birth of a Legend，后面是which引导的非限制性定语从句，此空缺谓语，后面是介词on，这部电影是集中于Pele的早起生活，故选BC，focus on集中于52.“毋庸置疑，Pele在某方面是被刺激展示出他不仅仅是一个穷人家的小孩”，故选B，doubt怀疑，without a doubt毋庸置疑53.which引导的定语从句缺谓语，先行词是the 1950 World Cup，“那场见证了巴西被乌拉圭打败的1950年的世界杯也同样导致了Pele的决心”，故选BD，see见证54.缺形容词，有天赋的Pele，故选AB，talented有天赋的55.缺名词，“没有决心和毅力”，故选D，determination决心IV. Close(15分)Direction: For each blanks in the following passage there are four words or phrases marked A, B, C, D. Fill in each blank with the word or phrase that best fits the context.What is a vegan? What is veganism?Veganism is a type of vegetarian diet that 56 meat, eggs, daily products and all other animal-derived ingredients. Many vegans also do not eat foods that are 57 by using animal products, such as refined white sugar and some wines.Vegan 58 either a person who follows this way of eating, or to the diet itself. That is, the word vegan can be an adjective used to describe a food item, as in,”This curry is vegan”,or ,it can be used as a noun, as in, “Vegans like cookies, too.”Although there is some 59 as to whether certain foods , such as honey, fit into a vegan diet, if you are cooking for other vegans, it is best to be cautious and 60 these foods. Most vegans 61 the definition of veganism to go beyond just food and will also avoid the use of all personal and household products tested on animals, and avoid 62 and suing all animal-derived non-food products, such as leather, fur and wool.What do vegans eat?This is perhaps the most common question about veganism. A vegan diet includes grains, beans, legumes, vegetables and 63 the nearly infinite number of foods made by combing them.64 , many vegan versions of familiar foods are available, so you can eat vegan hot dogs, ice cream, cheese and vegan mayonnaise along with the more familiar veggie burgers. Many foods are 65 veganism, such as soy milk and tofu, but many non-vegans also enjoy tofu, and you certainly do not have to like tofu in order to eat vegan.Vegans also eat many of the same common and 66 every day foods such as a green salad, spaghetti, and chips and salsa which just about everyone eats. 67 , foods such as a vegetarian burrito without cheese or sour cream would be vegan, a vegetarian Thai curry made from coconut milk is vegan, pasta with tomato sauce non-meat and non-diary sauce is vegan, and most breads are vegan.How can I become vegan?So you have decided to become vegan. But now what?Some people easily go from eating meat to vegan right away, while others struggle with their new 68 , or choose to go to vegetarian first and then 69 omit(去除) eggs and dairy. There is no right or wrong way to do it, but you may want to learn about what’s worked for other people. However, you do it, keep your 70 in mind and remember why you are choosing to adopt a vegan diet.56.A. excludes B. includes C. involves D. favors57.A. enjoyed B. consumed C.proceeded D. frozen58.A. protests against B. refers to C. consists of D.searches for59.A. analysis B. reason C. debate D. comment60.A. cook B. choose C. test D. avoid61.A. extend B. apply C. restrict D.offer62.A. controlling B. purchasing C. distributing D. producing63.A. eggs B. cheeses C. hot-dogs D. fruits64.A. Otherwise B. However C. Besides D. Thus65.A. separated from B. ignored by C.associated with D. limited to66.A. cheap B. familiar C. delicious D. healthy67.A. As a result B. In a sense C. In a sense D. In particular68.A. belief B.mission C. commitment D. trend69.A. slowly B. easily C.essentially D. normally70.A. goal B. request C. responsibility D. expense【答案】56-60 ACBCD 61-65ABDCC 66-70BBCAA【分析】56.A选项：排除；B选项：包括；C选项：涉及；D选项：支持．V eganism is a typeof vegetarian diet that…meat，eggs，dairy products and all other animal-derived ingredients．句意为：纯素食主义是一种…肉类，蛋类，奶制品和其他所以含有动物成分的素食．可知应为"排除"肉类等食物的素食．故选A57.A选项：享受；B选项：消耗；C选项：处理，加工；D选项：结冰，凝固．根据Many vegans also do not eat foods that are…using animal products 许多严格的素食主义者也不吃那些用动物产品…的食物，再结合选项，可知应为用动物食品加工的食物．故选C58.A选项：抗议；B选项：引用；C选项：抱怨；D选项：搜索．句意为：严格的素食主义者要么是引用一个人严格遵守吃的方式或是食物的本身．就是说：素食主义者这个词可以是一个用来表示食物的形容词…可知故选B．59.A选项：分析；B选项：原因；C选项：辩论；D选项：评论；意见；批评．句意为：虽然还是有一些像是对是否是指确切的食物的争论，比如蜂蜜是否符合纯素食．可知故选C60.A选项：烹饪；B选项：选择；C选项：试验；D选项：避免．结合语境语义，可知句意为：最好是小心避免这些食物，故选D61.A选项：延伸；扩大；推广；B选项：申请；涂，敷；适用；请求；C选项：限制；约束；限定；D选项：提供．句意为：许多素食主义者…素食主义定义指的不仅仅是食物还有避免任何用个人的和家用产品的在动物身上的操作．可知应该是扩展了它的定义．故选A62.A选项：控制；B选项：购买；C选项：分配；D选项：生产．结合语境语义，可知句意为：避免…和使用动物非食物产品，比如皮革、毛皮和羊毛．可知应该是避免购买…，故选B63.A选项：鸡蛋；B选项：奶酪；C选项：热狗；D选项：水果．句意为：素餐可包括谷物、豆类，豆类，蔬菜和…，可知选项中只有水果不是肉类，故选D64.A选项：另外的；其他方面的；B选项：然而；C选项：除此之外；D选项：因此．结合语境语义，可知此处应表示顺承关系，所以应该是"除此之外，还有"，故选C65.A选项：分开；B选项：忽视了；C选项：与，有关联，结交；D选项：限制于．结合语境语义，意为：还有许多食物和素食相关联，比如豆奶和豆腐．故选C66.A选项：便宜的；B选项：熟悉的；常见的；C选项：美味的；D选项：健康的．结合空前面的common 可知选项中只有familiar能与之相照应，故选B67.A选项：结果；B选项：比如；C选项：在某种意义上，；D选项：尤其是．根据空后面的：比如像没有奶酪的素食卷饼或者是酸奶酪等食物，可知此处试举例说明，故选B68.A选项：乐趣；高兴；B选项：服务，服侍；C选项：承诺，保证；D选项：趋势，倾向．句意为：有些人很容易就从肉食上过渡到素食上，然而其他人还在与他们的新的承诺挣扎着，结合语境可知答案应选C69.A选项：缓慢地；B选项：意外地；偶然地；C选项：本质上；本来；D选项：正常地；通常地．根据语境语义知首先选择素食然后再慢慢的戒掉蛋类和奶制品．故选A70.A选项：目的；B选项：要求；C选项：责任，；D选项：消费；开支．句意为：要牢记你的…并记住你为什么要选择素餐．可知应该是记住你的目的，故选AV. Reading comprehension (共40分)（A）When my old dog developed major health problems , I knew that watching him fail would be painful, but Was not prepared for the powerful lessons he would offer in the last year of his life. Chance was 14 when the problems started. First, he developed a cancer that left him whistling for breath.Then came cataracts(白内障)in both eyes, arthritis(关节炎)in his legs, and a series of ministrokes(小中风) that threw off his balance. Any one of these misfortunes would have left me begging for relief, but Chance became calmer as the disabilities piled up.When leg pain left him frozen on the floor, unable yo rise for a quick pat as I came home, he don’t complain. He just lay there patiently, signaling me with his hammering tail, each movement spelling out the value of waiting for the things you want. When his cataracts made steering impossible after dark, he’d stand calmly until I could guide him inside, proving how easy it is to find happiness if you let go of your pride and insecurities and learn to lean on those who love you.When mini strokes had him walk unsteadily like a drunk, he taught the value of persistence . For days after each attack, he’d fall as he moved about. Yet again and again he would try to walk, each day moving a few more steps until finally he was able to get outside and back by himself.There were lessons in so much of what he did, but the key one surely was the importance of obtaining all the joy possible from each experience whether it is a day lazing under a warm sun or a few minutes appreciating a favorite meal.For most of our life together,Chance was always rushing ahead, searching out new adventures, then circling back to let me know what lay around the next bend. As an old dog, he did the same thing, using his attitude, instead of his once-fast legs, to show the way.71.Chance suffered very much from all the diseases he had except for .A.having problem with breathB.walking around awkwardlyC.having trouble drinkingD.losing his eyesight in darkness72.is the most important lesson the author learned from Chance.A.Living in the present and enjoying what we haveB.Learning to depend on those who we love and trustC.That we should expect good things to happen patientlyD.That we should persevere in what we believe is worth trying73.It is implied in the passage that .A.people might suffer from different diseases when they grow oldB.people could face aging with courage and dignityC.Pets would become calmer for lack of energy in their last daysD.Pets and masters should stick together helping each other in difficulty74.Which of the following words best describes the author’s feeling to Chance?A.BitterB.GratefulC. ResponsibilitiesD. Sympathetic【答案】71-74 CABB【分析】71.根据文章第二段描写的，白内障，关节炎，小中风，故选C72.根据文章第四段描写的，the importance of obtaining all the joy possible from...meal可知，要享受当下，故选A73.全文描写了Chance变老后的一些痛苦，但是它很勇敢地去接受和面对，故选B74.作者对Chance教会他的一些动词表示感激，故选B（B）Suppose you work in a big firm and find English very important for your job because you often deal with foreign businessmen. Now you are looking for a place where you can improve your English,especially your spoken English.Here are some advertisements about English language training from newspapers. You may find the information you need.Global English CenterGeneral English in all four skills: listening, speaking, reading, and writing.*3-month(700yuan), 6-month(1,200yuan)and one-year(2,000 yuan)courses.*Choice of morning or evening classes, 3 hours per day, Mon.---Fri.*Experienced college English teachers.*Close to city center and bus stops.Tel：67605272 Add：105 Zhongshan Road, 100082.Modern Language SchoolSpecial courses in English for business.traveling, banking, hotel management and office skills.*Small classes(12-16 students)on Sat.& Sun.From 2:00－5:00pm.*Native English teachers from Canada and USA.*Language lab and computers supplied.*3-month course: 1,050yuan; 6-month course: 1,850yuan.Write or phone: Modern Language School, 675Park Road. 100056Tel：67353019The 21st Century English raining Center*We specialize in effective teaching at all levels.*We offer morning or afternoon classes, both of which last three months and a half at a cost of 800yuan.*We also have a six-week TOEFL preparation class during winter and summer holidays.*Entrance exams：June 1 and Dec.1.*Only 15-minute walk from city center.Call 67801642 for more information.The International House of English*Three/Six-month English courses for students of all levels at very low cost: 60yuan for 13 hours per week.*Convenient class hours：9:00-12:00am and 2:00-5:00pm.*A four-month evening program for developing speaking skills(same cost as day classes).*Free sightseeing and social activities.*Very close to Central Park.For further information call 67432308.75.You work from 9:00am to 4:30pm every day．Which schools will you choose?A．Global English Center and the International House of EnglishB．Global English Center and Modern Language SchoolC．Modern Language School and the 21st CenturyD．The 21st Century and the International House76.The 21st Century is different from the other three schools in that _________.A．its teaching quality is betterB．it requires an entrance examinationC．its courses are more advancedD．it is nearest to the city center77.You will probably prefer to go to the International House because it _________.A．offers free sightseeing and social activitiesB．costs less than the other schoolsC．has special course in spoken EnglishD．has native English teachers78.If you take the evening program at the International House, you will pay about _________. A．60yuanB．240yuanC．720yuanD．960yuan【答案】75.A 76.B 77.C 78.D【分析】75.第一个课程的时间为周一到周五的早上或晚上，第二个课程的时间为周六周日的下午2-5点，第三个课程的时间为早上或下午，第四个课程的时间为上午9-12点和下午2-5点以及晚上课程；上班时间为每天的9-4:30，要避开这段时间，故选A，第一个和第四个课程76.在第三个课程的第4点：Entrance exams：June 1 and Dec.1，故选B77.第四个课程的第4点：Free sightseeing and social activities，sightseeing和activities是free 免费的，故A错；价格的基本差不多，故B错；第三个课程的第2点：Native English teachers from Canada and USA.，有native的是第三个课程，故D错；排除法，故选C78.第四个课程的第3点后面有(same cost as day classes)，就是evening program价格跟白天一样，参照第四个课程第1点，60yuan for 13 hours per week，即一周60元，那么four-month 是4个月=16周，60x16=960元，故选D（C）It’s 10 pm. You may not know where your child is, but the chip does.The chip will also know if your child has fallen and needs immediate help. Once doctors arrive, the chip will also be able to tell them which drugs are not suitable for little Johnny or Janie. At the hospital, the chip will tell doctors his or her complete medical history. And of course, when you arrive to pick up your child, settling the hospital bill with your health insurance policy will be a simple matter of waving your own chip-the one embedded in your hand.To some, this may sound unbelievable. But the technology for such chips is no longer the stuff of science fiction. And it may soon offer many other benefits besides locating lost children or elderly patients. It could be used as credit cards and people won’t have to carry wallets anymore.On the other hand, some are already wondering what this sort of technology may do to the sense of personal privacy and liberty.“Any technology of this kind could result in abuse of personal privacy,” says Lee Tien, senior staff attorney for the Electronic Frontier Foundation. “If a kid can be tracked, do you want other people to be able to track your kid? It’s a double-edged sword.”Applied Digital Solutions, Inc. in Palm Beach, Florida, says it has recently applied to the Food and Drug Administration for permission to begin testing its device in humans. About the size of a grain of rice, the microchip can be encoded (编码) with bits of information and embedded in humans under a layer of skin. When scanned by a nearby reader, the embedded chip gives the data.Most embedded chip designs are so-called passive chips, which give information only when scanned by a nearby reader. But active chips-such as the proposed Digital Angel of the future-will give out information all the time. And that means designers will have to develop some sort of powersource that can provide a continuous source of energy, yet be small enough to be embedded with the chips.In addition to technical problems, many suspect that all sorts of legal and privacy issues would have to be cleared as well.79.By using the example in the first two paragraphs, the author wants to tell us that.A. chips are usually used to locate lost childrenB. chips are more convenient than credit cardsC. chips will soon be useful in many aspects of daily livesD. chips will bring out the issue of abuse of personal privacy80. What is the attitude of Lee Tien towards the chips?A. NegativeB. PositiveC. IndifferentD. Worried81. Which of the following statements about Digital Angel is NOT true?A.It will include a chip and a power source.B. It will be produced and replace active chips.C. It will be small enough to be embedded in humansD. It will give information without being scanned by a reader.82. It is indicated in the passage that chip producers have to consider the following issues EXCEPT______.A. financial problemsB. technical problemsC. legal problemsD. privacy problems 【答案】79.C 80.D 81.B 82.A【分析】79.前两段讲的是芯片的用处多方面，故选C80.文章第5段中，他提出一些问题，说是一把双刃剑，故选D81.文章第6段第2句有写“the size of a grain of rice,....and embedded in humans under a layer of skin”，故C正确；第7段第1句有写“which give information only when scanned by a nearby reader”,故D正确；A就是chip的定义和程序，故A正确；排除法，故选B82.文章倒数第2段提到需要科技来解决问题，最后一段有提到legal and privacy，故选A（D）Recently, a case of lifeboat ethics(伦理) occurred. On Aug. 4, Graham and Sheryl Anley, while boating off the coast of South Africa, hit a rock. As the boat threatened to sink the husband got off, but his wife was trapped in the boat. Instead of freeing his wife and getting her to shore, Graham grabbed Rosie, their pet dog. With Rosie safe and sound, Graham returned for Sheryl. All are doing fine.It's a great story, but it doesn't strike me as especially newsworthy. News is supposed to be about something fairly unique, and recent research suggests that, in the right circumstances, lots of people also would have grabbed their Rosie first.We have strange relationships with our pets. We lavish our pets with adoration and better health care than billions of people receive. We speak to pets with the same high-pitched voices that we use for babies. As an extreme example of our feelings about pets, the Nazis had strict laws that guaranteed the humane treatment of the pets of Jews being shipped to death camps.A recent paper by George Regents University demonstrates this human involvement with pets to an astonishing extent. Participants in the study were told a situation in which a bus is out of control, bearing down on a dog and a human. Which do you save? With responses from more than 500 people, the answer was that it depended: What kind of human and what kind of dog?Everyone would save a brother, grandparent or close friend rather than a strange dog. But when people considered their own dog versus people less connected with them—a distant cousin or a hometown stranger—votes in favor of saving the dog came rolling in. And an astonishing 40% of respondents, including 46% of women, voted to save their dog over a foreign tourist.What does a finding like this mean? First, that your odds aren't so good if you find yourself in another country with a bus bearing down on you and a cute dog. But it also points to something deeper: our unprecedented(史无前例的) attitude toward animals, which got its start with the birth of humane societies in the 19th century.We prison people who abuse animals, put ourselves in harm's way in boats between whales and whalers and show sympathy to Bambi and his mother. We can extend empathy to an animal and feel its pain like no other species. But let's not be too proud of ourselves. As this study and too much of our history show, we're pretty selective about how we extend our humaneness to other human beings.83:What is the function of the first paragraph?A．To create a relaxing mood for readers.B．To present the theme of this essay straightly.C．To lead in the main topic of this essay.D．To raise problems that will be solved later.84.The author mentions Nazi laws in the third paragraph _______________.A．to show how cruel the Nazis were to the JewsB．as an example to persuade people not to love pets。
七宝中学高三月考(2019.10)
七宝中学高三月考数学卷2019.10一. 填空题1. 已知复数z 满足(1i)17i z +=-（i 是虚数单位），则||z =2. 设{|}M x x a =≤，{2,0,1}N =-，若{2,0}M N =-I ，则实数a 的范围是3. 已知定义在[1,1]-上的函数()f x 值域为[2,0]-，则函数y f =的值域是4. 若3sin()45πα-=，则cos()4πα+的值是 5. 设6(x （0a >）展开式中3x 的系数为A ，常数项为B ，若4B A =，则a =6. 向量(3,4)a =r 在向量(1,1)b =-r 方向上的投影为7. 已知2240()40x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，若2(2)()f m f m ->，则实数m 的取值范围是 8. 设21{|10}P x x ax =++>，22{|20}P x x ax =++>，有下列命题：① 对任意实数a ，1P 是2P 的子集；② 对任意实数a ，1P 不是2P 的子集；③ 存在实数a ，使1P 不是2P 的子集； ④ 存在实数a ，使1P 是2P 的子集；其中正确的有9. 已知2()2x x f x ax =+（0a >）图像过点6(,)5P p 、1(,)5Q q -，若216p q pq +=，则a =10. 已知函数211()521x x x f x x x ⎧++≤=⎨->⎩，若方程()f x m =有两个不等实根1x 、2x ，且 121x x +<-，则实数m 的取值范围为11. 若()f x 是R 上单调函数，且对任意x 都有21[()]222x f f x +=+，则2(log 5)f = 12. 已知两定点(3,2)E 和(3,2)F -，若对于实数λ，函数|2||2|4y x x =++--（44x -≤≤）的图像上有且仅有6个不同的点P ，使得PE PF λ⋅=uur uu u r 成立，则λ的取值范围是二. 选择题13. 已知θ∈R ，则“6πθ=”是“1sin 2θ=”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要14. 下列命题正确的是（ ）A. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行B. 如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面C. 如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面D. 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行15. 函数①()3ln f x x =；②cos ()3x f x e =；③()3x f x e =；④()3cos f x x =；其中对于 ()f x 定义域内任意一个自变量1x 都存在唯一自变量2x ，使得12()()3f x f x =成立的函数是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①②④ D. ③16. 给出条件：①12x x <；②12||x x <；③12||x x <；④2212x x <；使得函数22()sin f x x x =+，对任意12,[,]22x x ππ∈-，都使12()()f x f x <成立的条件序号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ③④ D. ②③三. 解答题17. 已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2.（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设4PO =，OA 、OB 是底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，如图，求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.18. 某地要建造一个边长为2（单位：km ）的正方形市民休闲公园OABC ，将其中的区域ODC 开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D 的坐标为(1,2)，曲线OD 是函数2y ax =图像的一部分，过边OA 上一点M 在区域OABD 内作一次函数y kx b =+（0k >）的图像，与线段DB 交于点N （点N 不与点D 重合），且线段MN 与曲线OD 有且只有一个公共点P ，四边形MABN 为绿化风景区.（1）求证：28k b =-； （2）设点P 的横坐标为t ，① 用t 表示M 、N 两点的坐标；② 将四边形MABN 的面积S 表示成关于t 的函数()S S t =，并求S 的最大值.19.学习上述解法并解决下列问题：（1）若实数a 、b 、x 、y 满足22221x y a b-=，试比较22a b -和2()x y -的大小，并指明 等号成立的条件；（2）利用（1）的结论，求函数()f t =.20. 已知a ∈R ，函数21()log ()f x a x=+.（1）当5a =时，解不等式()0f x >； （2）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的 取值范围；（3）设0a >，若对任意1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超 过1，求a 的取值范围.21. 若函数()f x 对任意的x ∈R ，均有(1)(1)2()f x f x f x -++>，则称函数具有性质P .（1）判断下面两个函数是否具有性质P ，并证明：①x y a =（1a >）；②3y x =；（2）若函数()f x 具有性质P ，且(0)()0f f n ==（2n >，*n ∈N ），① 求证：对任意{1,2,3,,1}i n ∈⋅⋅⋅-，有()0f i ≤；② 是否对任意[0,]x n ∈，均有()0f x ≤？若有，给出证明，若没有，给出反例.参考答案一. 填空题1. 52. [0,1)3. [2,0]-4. 35-5. 26.7. (2,1)-8. ①④9. 4 10. (3,13) 11. 57 12. 9(,1)7--二. 选择题13. A 14. D 15. D 16. B三. 解答题17.（1；（2）. 18.（1）证明略；（2）① (,0)2t M ，11((),2)2N t t +；② 1()4()2S t t t =-+，最大值为(42km .19.（1）222()a b x y -≤-，其中22221x y a b -=且4242a y b x =时，等号成立；（2）)+∞. 20.（1）{|0x x >或1}4x <-；（2）12a <≤或3a =或4a =；（3）23a ≥. 21.（1）①具有性质P ，②不具有性质P ；（2）①证明略；②不成立，如2()()x x n x f x x x -⎧=⎨⎩为有理数为无理数， 0()1x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，0()1x f x x ⎧=⎨⎩为整数为非整数，20()x f x x x ⎧=⎨⎩为整数为非整数.。
2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高三(上)10月月考数学试卷
2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高三（上）10月月考数学试卷一.填空题1. 已知复数z满足(1+i)z=1−7i（i是虚数单位），则|z|=________．【答案】5【考点】复数的模【解析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由(1+i)z=1−7i，得z=1−7i1+i =(1−7i)(1−i)(1+i)(1−i)=−6−8i2=−3−4i，则|z|=√(−3)2+(−4)2=5．故答案为：5.2. 已知集合M={x|x≤a}，N={−2, 0, 1}，若M∩N={−2, 0}，则实数a的取值范围是________．【答案】[0, 1)【考点】集合关系中的参数取值问题交集及其运算【解析】由已知集合M，N，以及M交N，可得到实数a的取值范围．【解答】解：∵集合M={x|x≤a}，N={−2, 0, 1}，M∩N={−2, 0}，∴实数a的取值范围是：0≤a<1．故答案为：[0, 1)．3. 已知定义域在[−1,1]上的函数y=f(x)的值域为[−2, 0]，则函数y=f(cos√x)的值域是________．【答案】[−2, 0]【考点】函数的值域及其求法【解析】可以看出−1≤cos√x≤1，从而对应的函数值f(cos√x)∈[−2,0]，这便得出了该函数的值域．【解答】解：∵cos√x∈[−1, 1]，∴ f(cos √x)∈[−2,0]，即y ∈[−2, 0]， ∴ 函数y =f(cos √x)的值域为[−2, 0]． 故答案为：[−2, 0]．4. 已知sin (α−π4)=35，那么cos (α+π4)的值是________． 【答案】−35【考点】 诱导公式 【解析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简将已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：∵ sin (α−π4)=35，∴ cos (α+π4)=cos [π2+(α−π4)]=−sin (α−π4)=−35． 故答案为：−35.5. 设(x 4√x )6(a >0)展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，若B =4A ，则a =________.【答案】 8【考点】二项式系数的性质 【解析】在二项展开式的通项公式中，分别令x 的幂指数等于3、0，求得r 的值，可得A 、B 的值，再根据B ＝4A ，求得a 的值． 【解答】解：设(x −4√x )6(a >0)展开式的通项公式为 T r+1=C 6r ⋅(−a 4)r ⋅x6−3r 2，令6−3r 2=3，求得r =2，可得展开式中x 3的系数为A =C 62⋅a 216，令6−3r 2=0，求得r =4，可得展开式中常数项为B =C 64⋅(a 4)4，若B =4A ，则 C 64⋅(a4)4=4⋅C 62⋅a 216，求得a =8.故答案为：8.6. 向量a →=(3, 4)在向量b →=(1, −1)方向上的投影为________．【答案】 −√22【考点】 向量的投影 【解析】 由向量a →在向量b →方向上的投影定义，结合平面向量的数量积公式，知向量a →在向量b →方向上的投影为|a →|cos θ，代入计算即可． 【解答】解：∵ 向量a →=(3,4)，b →=(1, −1)， ∴ 向量a →在向量b →方向上的投影为 |a →|cos θ=|a →|×a →⋅b→|a →|×|b →|=a →⋅b →|b →|=22=−√22. 故答案为：−√22.7. 已知函数f(x)={x 2+4x,x ≥0,4x −x 2,x <0, 若f(2−a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围为________． 【答案】 (−2, 1) 【考点】分段函数的应用 【解析】先根据二次函数的解析式分别研究分段函数在各自区间上的单调性，从而得到函数f(x)的单调性，由此性质转化求解不等式，解出参数范围即可． 【解答】解：对于函数f(x)，当x ≥0 时，f(x)=x 2+4x ， 由二次函数的性质知，它在[0, +∞)上是增函数， 当x <0时，f(x)=4x −x 2，由二次函数的性质知，它在(−∞, 0)上是增函数， 该函数连续，则函数f(x) 是定义在R 上的增函数， ∵ f(2−a 2)>f(a)，∴ 2−a 2>a ，解得−2<a <1. ∴ 实数a 的取值范围是(−2, 1). 故答案为：(−2, 1).8. 设P 1={x|x 2+ax +1>0}，P 2={x|x 2+ax +2>0}，有下列命题： ①对任意实数a ，P 1是P 2的子集； ②对任意实数a ，P 1不是P 2的子集； ③存在实数a ，使P 1不是P 2的子集；④存在实数a ，使P 1是P 2的子集； 其中正确的有________. 【答案】 ①④ 【考点】全称命题与特称命题集合的包含关系判断及应用 【解析】对任意实数a ，由x 2+ax +1>0⇒x 2+ax +2>0，即可判断出P 1与P 2的关系，进而判断出①②③④的正误． 【解答】解：①对任意实数a ，由x 2+ax +1>0⇒x 2+ax +2>0， 所以P 1是P 2的子集，故①正确； ②由①可知②不正确；④由①可知：存在实数a ，使P 1是P 2的子集，故④正确； ③由④可知：③不正确. 故答案为：①④.9. 已知常数a >0，函数f(x)=2x2x +ax 的图象经过点P(p,65)，Q(q,−15)，若2p+q =16pq ，则a =________. 【答案】 4【考点】指数函数的图象 指数函数的性质 【解析】将P ，Q 坐标带入，结合2p+q ＝16pq ，可得a 的值 【解答】解：函数f(x)=2x2x +ax 的图象经过点P(p,65)，Q(q,−15)， 可得65=2p2+ap ，即ap2=−16①， −15=2q 2q +aq ，即aq 2q=−6②，由①×②可得：a 2pq =2p+q ， ∵ 2p+q =16pq ，∴ 16pq =a 2pq ，而a >0，解得：a =4. 故答案为：4.10. 已知函数f(x)={x 2+x +1,x ≤1，5x −2,x >1， 若方程f(x)=m 有两个不相等的实数根x 1，x 2，且x 1+x 2<−1，则实数m 的取值范围为________． 【答案】(3, 13) 【考点】分段函数的应用函数的零点与方程根的关系 【解析】作出函数f(x)的图象，根据分段函数的关系，结合一元二次函数的对称性，利用数形结合进行求解即可． 【解答】解：作出函数f(x)的图象如图：由x 2+x +1=5x −2，得x 2−4x +3=0，解得x =1或x =3， 即y =x 2+x +1与y =5x −2的交点坐标为(1, 3)，(3, 12)， 当x ≤1时，y =x 2+x +1=(x +12)2+34， 抛物线的对称轴为x =−12，若方程f(x)=m 有两个不相等的实数根x 1，x 2，则m >34， 若x 1+x 2<−1，则x 1+x 22<−12，即两个函数的交点(x 1，f(x 1))，(x 2，f(x 2))的中点在x =−12的左侧， 即当x >1时，x 2+x +1<5x −2，即1<x <3， 此时3<f(x)<13， 即3<m <13. 故答案为：(3, 13).11. 若f(x)是R 上单调函数，且对任意x 都有f[f(x)+22x +2]=12，则f(log 25)=________. 【答案】57【考点】函数解析式的求解及常用方法 【解析】由题意可知，f(x)+22x +2为常数，可设f(x)+22x +2=t ，然后结合f(t)＝t −22+2t =12可求t ，然后代入即可求解． 【解答】解：∵ f(x)是R 上单调函数，且对任意x 都有f[f(x)+22x +2]=12，则f(x)+22x +2为常数，可设f(x)+22x +2=t ，∴ f(x)=−22x +2+t ， 由题意可得，f(t)=t −22+2t=12，解可得，t =1，即f(x)=1−22x +2， ∴ f(log 25)=1−22+5=57. 故答案为：57.12. 已知两定点E(3, 2)和F(−3, 2)，若对于实数λ，函数y =|x +2|+|x −2|−4(−4≤x ≤4)的图象上有且仅有6个不同的点P ，使得PE →⋅PF →=λ成立，则λ的取值范围是________. 【答案】(−95,−1) 【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 平面向量的坐标运算 【解析】画出函数f(x)的图象，讨论点P 在AB 上，在BC 上，在CD 上的情况，求出数量积，运用二次函数的性质得解． 【解答】 解：如图：函数y =|x +2|+|x −2|−4={−4−2x,−4≤x ≤−2，0,−2<x ≤2，2x −4,2<x ≤4，①若P 在AB 上，设P(x, −2x −4)，−4≤x ≤−2， 则PE →=(3−x,6+2x)，PF →=(−3−x,6+2x)， ∴ PE →⋅PF →=x 2−9+(2x +6)2=5x 2+24x +27， ∵ −4≤x ≤−2，∴ 由二次函数的性质可得：当−95<λ≤−1时有两解； ②若P 在BC 上，设P(x, 0)，−2<x ≤2，则PE →=(3−x,2),PF →=(−3−x,2)， ∴ PE →⋅PF →=x 2−5，又−2<x ≤2， ∴ −5≤λ≤−1，∴ 当λ=−5或−1时有一解，当−5<λ<−1时有两解； ③若P 在CD 上，设P(x, 2x −4)，2<x ≤4， 则PE →=(3−x,6−2x),PF →=(−3−x,6−2x)， ∴ PE →⋅PF →=5x 2−24x +27， ∵ 2<x ≤4，∴ 由二次函数的性质可得：当−95<λ<−1时有两解，综上，可得有且仅有6个不同的点P 的情况是−95<λ<−1． 故答案为：(−95,−1). 二.选择题设θ∈R ，则“θ=π6”是“sin θ=12”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】 A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】由θ=π6，通过运算有sin θ=12，即“θ=12”是“sin θ=π6”的充分条件，由sin θ=12，通过解三角方程有：θ＝kπ+(−1)k π6，即“θ=π6”是“sin θ=12”的不必要条件，故可得解． 【解答】解：由θ=π6，则有sin θ=12， 即“θ=π6”是“sin θ=12”的充分条件， 由sin θ=12，得：θ=kπ+(−1)k π6， 即“θ=π6”是“sin θ=12”的不必要条件， 即“θ=π6”是“sin θ=12”的充分不必要条件．下列命题正确的是( )A.如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行B.如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面C.如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面D.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行【答案】D【考点】复合命题及其真假判断平面与平面平行的判定空间中直线与平面之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系【解析】根据空间线面关系的判定定理，性质及几何特征，逐一分析给定四个结论的真假，可得答案．【解答】解：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，或相交，或异面，故A错误；如果一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，那么这条直线不一定垂直于这个平面，故B错误；如果一条平面外直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面，但平面内直线不满足条件，故C错误；如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，故D正确；故选D.已知函数①f(x)=3ln x，②f(x)=3e cos x；③f(x)=3e x④f(x)=3cos x其中对于f(x)定义域内的任意一个自变量x1，都存在唯一个自变量x2，使√f(x1)f(x2)=3成立的函数是( )A.①②④B.②③C.③D.④【答案】C【考点】函数恒成立问题【解析】根据题意可知其中对于f(x)定义域内的任意一个自变量x1都存在唯一个个自变量x2，使√f(x1)f(x2)=3即要判断对于任意一个自变量x，即函数在定义域内每个函数值都有倒数，从而得到结论．【解答】解：根据题意可知：①f(x)=3ln x，x=1时，ln x没有倒数，不成立；②f(x)=3e cos x，任一自变量f(x)有倒数，但所取x的值不唯一，不成立；③f(x)=3e x，任意一个自变量，函数都有倒数，成立；④f(x)=3cos x，当x=2kπ+π时，函数没有倒数，不成立．2∴成立的函数序号为③.给出条件：①x1<x2，②|x1|>x2，③x1<|x2|，④x12<x22．函数f(x)=sin2x+x2，对任意x1x2∈[−π2,π2]，都使f(x1)<f(x2)成立的条件序号是( )A.①③B.②④C.③④D.④【答案】D【考点】函数恒成立问题奇偶性与单调性的综合【解析】根据奇（偶）函数的定义判断出函数是偶函数，再判断出函数的单调性，利用偶函数图象关于y轴对称，判断所给的四个条件是否符合条件．【解答】解：∵函数f(−x)=sin2(−x)+(−x)2=sin2x+x2=f(x)，∴函数f(x)是偶函数又∵y=sin x在[0,π2]上是增函数，y=x2在[0,π2]上是增函数，∴函数f(x)=sin2x+x2在[0,π2]上是增函数，在[−π2,0]上是减函数，故①x1<x2，②|x1|>x2，③x1<|x2|中的条件都不能保证f(x1)<f(x2)成立，只有当|x1|<|x2|时，即|④x12<x22保证f(x1)<f(x2)成立.故选D.三.解答题已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．(1)设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；(2)设PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90∘，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．【答案】解：(1)∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积V=13×π×r2×ℎ=13×π×22×√42−22=8√3π3．(2)∵PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90∘，M为线段AB的中点，∴ 以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴， 建立空间直角坐标系，P(0, 0, 4)，A(2, 0, 0)，B(0, 2, 0)，M(1, 1, 0)，O(0, 0, 0)， PM →=(1, 1, −4)，OB →=(0, 2, 0)， 设异面直线PM 与OB 所成的角为θ， 则cos θ=2√18⋅2=√26． ∴ θ=arccos√26． ∴ 异面直线PM 与OB 所成的角的为arccos√26． 【考点】异面直线及其所成的角柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】（1）由圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．（2）以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM 与OB 所成的角． 【解答】解：(1)∵ 圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2，圆锥的母线长为4， ∴ 圆锥的体积V =13×π×r 2×ℎ=13×π×22×√42−22 =8√3π3． (2)∵ PO =4，OA ，OB 是底面半径，且∠AOB =90∘， M 为线段AB 的中点，∴ 以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴， 建立空间直角坐标系，P(0, 0, 4)，A(2, 0, 0)，B(0, 2, 0)，M(1, 1, 0)，O(0, 0, 0)，PM →=(1, 1, −4)，OB →=(0, 2, 0)， 设异面直线PM 与OB 所成的角为θ， 则cos θ=√18⋅2=√26． ∴ θ=arccos√26． ∴ 异面直线PM 与OB 所成的角的为arccos√26．某地要建造一个边长为2（单位：km ）的正方形市民休闲公园OABC ，将其中的区域ODC 开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D 的坐标为(1, 2)，曲线OD 是函数y =ax 2图象的一部分，对边OA 上一点M 在区域OABD 内作一次函数y =kx +b(k >0)的图象，与线段DB 交于点N （点N 不与点D 重合），且线段MN 与曲线OD 有且只有一个公共点P ，四边形MABN 为绿化风景区：(1)求证：b =−k 28；(2)设点P 的横坐标为t ，①用t 表示M ，N 两点坐标；②将四边形MABN 的面积S 表示成关于t 的函数S =S(t)，并求S 的最大值． 【答案】(1)证明：函数y =ax 2过点D(1, 2)， 代入计算得a =2， ∴ y =2x 2；由{y =kx +b ，y =2x 2， 消去y 得2x 2−kx −b =0，由线段MN 与曲线OD 有且只有一个公共点P ， 得Δ=(−k)2−4×2×b =0， 解得b =−k 28；(2)解：设点P 的横坐标为t ，则0<t <1， ∴ 点P(t, 2t 2)，①直线MN 的方程为y =kx +b ， 即y =kx −k 28过点P ，∴ kt −k 28=2t 2，解得：k =4t ，则y =4tx −2t 2，令y =0，解得x =t2， t∴ N(t 2+12t , 2)；②将四边形MABN 的面积S 表示成关于t 的函数为： S =S(t)=2×2−12×2×[t 2+(t 2+12t )]=4−(t +12t )，其中0<t <1， 由t +12t≥2⋅√t ⋅12t=√2，当且仅当t =12t ，即t =√22时“=”成立， 所以S ≤4−√2，即S 的最大值是4−√2．【考点】二次函数的性质基本不等式在最值问题中的应用 根据实际问题选择函数类型 【解析】（1）根据函数y ＝ax 2过点D ，求出解析式y ＝2x 2； 由{y =kx +b y =2x 2消去y ，利用△＝0证明结论成立；（2）①写出点P 的坐标(t, 2t 2)，代入直线MN 的方程，用t 表示出直线方程， 利用直线方程求出M 、N 的坐标；②将四边形MABN 的面积S 表示成关于t 的函数S(t)， 利用基本不等式即可求出S 的最大值． 【解答】(1)证明：函数y =ax 2过点D(1, 2)， 代入计算得a =2， ∴ y =2x 2；由{y =kx +b ，y =2x 2， 消去y 得2x 2−kx −b =0，由线段MN 与曲线OD 有且只有一个公共点P ， 得Δ=(−k)2−4×2×b =0， 解得b =−k 28；(2)解：设点P 的横坐标为t ，则0<t <1， ∴ 点P(t, 2t 2)，①直线MN 的方程为y =kx +b ， 即y =kx −k 28过点P ，∴ kt −k 28=2t 2，解得：k =4t ，则y =4tx −2t 2，令y =0，解得x =t2，∴ N(t 2+12t , 2)；②将四边形MABN 的面积S 表示成关于t 的函数为： S =S(t)=2×2−12×2×[t 2+(t 2+12t )]=4−(t +12t )，其中0<t <1， 由t +12t≥2⋅√t ⋅12t=√2，当且仅当t =12t ，即t =√22时“=”成立， 所以S ≤4−√2，即S 的最大值是4−√2．问题：正数a ，b 满足a +b =1，求1a +2b 的最小值．其中一种解法是：1a +2b =(1a +2b)(a +b)=1+ba +2a b+2≥3+2√2，当且仅当b a =2a b且a +b =1时，即a =√2−1且b =2−√2时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若实数a ，b ，x ，y 满足x 2a2−y 2b 2=1，试比较a 2−b 2和(x −y)2的大小，并指明等号成立的条件；(2)利用(1)的结论，求函数f(t)=√2t −3−√t −2的值域． 【答案】解：(1)因为a 2−b 2=(a 2−b 2)(x 2a 2−y 2b 2) =x 2+y 2−(b 2a 2x 2+a 2b2y 2)≤x 2+y 2−2√b 2a 2x 2⋅a 2b2y 2 ≤x 2+y 2−2xy=(x −y)2，（x 2a 2−y 2b 2=1且b 4x 2=a 4y 2等号成立）， 所以a 2−b 2≤(x −y)2，（x 2a 2−y 2b 2=1且b 4x 2=a 4y 2等号成立）.(2)令√2t −3=x ，√t −2=y ，a 2=1，b 2=12， ∴ x 2a 2−y 2b 2=1，∴ (x −y)2≥a 2−b 2=1−12=12， ∴ (x −y)2≥12，∴ x −y ≥√22， 即f(t)的值域为[√22, +∞). 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 函数的值域及其求法 【解析】（1）a 2−b 2＝(a 2−b 2)(x 2a 2−y 2b 2)＝x 2+y 2−(a 2b 2x 2+b 2a 2y 2)≤x 2+y 2−2√a 2b 2x 2⋅b 2a 2y 2≤x 2+y 2−2xy ＝(x −y)2；（2）令√2t −3=x ，√t −2=y ，a 2＝1，b 2=12，∴x 2a2−y 2b 2=1，再用（1）的结论做． 【解答】解：(1)因为a 2−b 2=(a 2−b 2)(x 2a 2−y 2b 2)=x 2+y 2−(b 2a 2x 2+a 2b2y 2)≤x 2+y 2−2√b 2a 2x 2⋅a 2b2y 2≤x 2+y 2−2xy =(x −y)2，（x 2a−y 2b =1且b 4x 2=a 4y 2等号成立），所以a 2−b 2≤(x −y)2，（x 2a 2−y 2b 2=1且b 4x 2=a 4y 2等号成立）. (2)令√2t −3=x ，√t −2=y ，a 2=1，b 2=12， ∴ x 2a 2−y 2b 2=1，∴ (x −y)2≥a 2−b 2=1−12=12，∴ (x −y)2≥12，又x >y ， ∴ x −y ≥√22， 即f(t)的值域为[√22, +∞).已知a ∈R ，函数f(x)=log 2(1x +a)．(1)当a =5时，解不等式f(x)>0；的取值范围；(3)设a >0，若对任意t ∈[12, 1]，函数f(x)在区间[t, t +1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围． 【答案】解：(1)当a =5时，f(x)=log 2(1x +5)，由f(x)>0得log 2(1x +5)>0， 即1x+5>1，则1x>−4，则1x+4=4x+1x>0，则x >0或x <−14，即不等式的解集为{x|x >0或x <−14}．(2)由f(x)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0， 得log 2(1x +a)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0． 即log 2(1x +a)=log 2[(a −4)x +2a −5]，即1x+a =(a −4)x +2a −5>0，①则(a −4)x 2+(a −5)x −1=0， 即(x +1)[(a −4)x −1]=0，②当a =4时，方程②的解为x =−1，代入①，成立， 当a =3时，方程②的解为x =−1，代入①，成立， 当a ≠4且a ≠3时，方程②的解为x =−1或x =1a−4， 若x =−1是方程①的解，则1x +a =a −1>0，即a >1， 若x =1a−4是方程①的解，则1x +a =2a −4>0，即a >2，则要使方程①有且仅有一个解，则1<a ≤2．综上，若方程f(x)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0的解集中恰好有一个元素， 则a 的取值范围是1<a ≤2，或a =3或a =4． (3)函数f(x)在区间[t, t +1]上单调递减， 由题意得f(t)−f(t +1)≤1， 即log 2(1t +a)−log 2(1t+1+a)≤1，即1t +a ≤2(1t+1+a)，即a ≥1t −2t+1=1−tt(t+1)， 设1−t =r ，则0≤r ≤12， 1−tt(t+1)=r(1−r)(2−r)=r r 2−3r+2，当0<r ≤12时，rr 2−3r+2=1r+2r−3，∵ y =r +2r 在(0, √2)上递减， ∴ r +2r≥12+4=92，∴rr 2−3r+2=1r+2r−3≤192−3=23，∴ 实数a 的取值范围是a ≥23．【考点】指、对数不等式的解法 函数恒成立问题对数函数图象与性质的综合应用 【解析】（1）当a =5时，解导数不等式即可．（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a 的取值范围进行求解即可．（3）根据条件得到f(t)−f(t +1)≤1，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可． 【解答】解：(1)当a =5时，f(x)=log 2(1x +5)，由f(x)>0得log 2(1x+5)>0，即1x +5>1，则1x >−4，则1x +4=4x+1x>0，则x >0或x <−14，即不等式的解集为{x|x >0或x <−14}． (2)由f(x)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0， 得log 2(1x +a)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0． 即log 2(1x +a)=log 2[(a −4)x +2a −5]，即1x+a =(a −4)x +2a −5>0，①则(a −4)x 2+(a −5)x −1=0， 即(x +1)[(a −4)x −1]=0，②当a =4时，方程②的解为x =−1，代入①，成立， 当a =3时，方程②的解为x =−1，代入①，成立， 当a ≠4且a ≠3时，方程②的解为x =−1或x =1a−4， 若x =−1是方程①的解，则1x +a =a −1>0，即a >1，则要使方程①有且仅有一个解，则1<a ≤2．综上，若方程f(x)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0的解集中恰好有一个元素， 则a 的取值范围是1<a ≤2，或a =3或a =4． (3)函数f(x)在区间[t, t +1]上单调递减， 由题意得f(t)−f(t +1)≤1， 即log 2(1t +a)−log 2(1t+1+a)≤1，即1t+a ≤2(1t+1+a)，即a ≥1t−2t+1=1−tt(t+1)，设1−t =r ，则0≤r ≤12， 1−t t(t+1)=r (1−r)(2−r)=rr 2−3r+2， 当r =0时，rr 2−3r+2=0， 当0<r ≤12时，rr 2−3r+2=1r+2r−3，∵ y =r +2r 在(0, √2)上递减， ∴ r +2r ≥12+4=92， ∴ rr 2−3r+2=1r+2r−3≤192−3=23，∴ 实数a 的取值范围是a ≥23．若函数f(x)对任意的x ∈R ，均有f(x −1)+f(x +1)≥2f(x)，则称函数f(x)具有性质P ．(1)判断下面两个函数是否具有性质P ，并说明理由． ①y =a x (a >1)； ②y =x 3．(2)若函数f(x)具有性质P ，且f(0)=f(n)=0(n >2, n ∈ N ∗)， 求证：对任意i ∈{1, 2, 3, ⋯, n −1}有f(i)≤0；(3)在(2)的条件下，是否对任意x ∈[0, n]均有f(x)≤0．若成立给出证明，若不成立给出反例． 【答案】(1) 解：①函数f(x)=a x (a >1)具有性质P ．f(x −1)+f(x +1)−2f(x)=a x−1+a x+1−2a x =a x (1a +a −2)， 因为a >1，所以a x (1a +a −2)>0，即f(x −1)+f(x +1)≥2f(x)， 此函数为具有性质P ．②函数f(x)=x 3不具有性质P ．例如，当x =−1时，f(x −1)+f(x +1)=f(−2)+f(0)=−8，2f(x)=−2，则f(i)−f(i −1)>0， 因为函数f(x)具有性质P ，所以，对于任意n ∈N ∗，均有f(n +1)−f(n)≥f(n)−f(n −1)，所以f(n)−f(n −1)≥f(n −1)−f(n −2)≥⋯≥f(i)−f(i −1)>0， 所以f(n)=[f(n)−f(n −1)]+⋯+[f(i +1)−f(i)]+f(i)>0， 与f(n)=0矛盾，所以，对任意的i ∈{1, 2, 3, ⋯, n −1}有f(i)≤0． (3)证明：不成立．例如f(x)={x(x −n)，x 为有理数，x 2，x 为无理数，当x 为有理数时，x −1，x +1均为有理数， f(x −1)+f(x +1)−2f(x)=(x −1)2+(x +1)2−2x 2−n(x −1+x +1−2x)=2， 当x 为无理数时，x −1，x +1均为无理数，f(x −1)+f(x +1)−2f(x)=(x −1)2+(x +1)2−2x 2=2，所以，函数f(x)对任意的x ∈R ，均有f(x −1)+f(x +1)≥2f(x)， 即函数f(x)具有性质P ．而当x ∈[0, n](n >2)且当x 为无理数时，f(x)>0．所以，在(2)的条件下，“对任意x ∈[0, n]均有f(x)≤0”不成立． 【考点】函数新定义问题 不等式恒成立问题 抽象函数及其应用 【解析】（I ）①根据已知中函数的解析式，结合指数的运算性质，计算出f(x −1)+f(x +1)−2f(x)的表达式，进而根据基本不等式，判断其符号即可得到结论；②由y ＝x 3，举出当x ＝−1时，不满足f(x −1)+f(x +1)≥2f(x)，即可得到结论；(II)由于本题是任意性的证明，从下面证明比较困难，故可以采用反证法进行证明，即假设f(i)为f(1)，f(2)，…，f(n −1)中第一个大于0的值，由此推理得到矛盾，进而假设不成立，原命题为真；(III)由(II)中的结论，我们可以举出反例，如f(x)={x(x −n)xx 2x.证明对任意x ∈[0, n]均有f(x)≤0不成立． 【解答】(1) 解：①函数f(x)=a x (a >1)具有性质P ．f(x −1)+f(x +1)−2f(x)=a x−1+a x+1−2a x =a x (1a +a −2)， 因为a >1，所以a x (1a +a −2)>0，即f(x −1)+f(x +1)≥2f(x)， 此函数为具有性质P ．②函数f(x)=x 3不具有性质P ．例如，当x =−1时，f(x −1)+f(x +1)=f(−2)+f(0)=−8，2f(x)=−2，则f(i)−f(i −1)>0， 因为函数f(x)具有性质P ，所以，对于任意n ∈N ∗，均有f(n +1)−f(n)≥f(n)−f(n −1)，所以f(n)−f(n −1)≥f(n −1)−f(n −2)≥⋯≥f(i)−f(i −1)>0， 所以f(n)=[f(n)−f(n −1)]+⋯+[f(i +1)−f(i)]+f(i)>0， 与f(n)=0矛盾，所以，对任意的i ∈{1, 2, 3, ⋯, n −1}有f(i)≤0． (3)证明：不成立．例如f(x)={x(x −n)，x 为有理数，x 2，x 为无理数，当x 为有理数时，x −1，x +1均为有理数， f(x −1)+f(x +1)−2f(x)=(x −1)2+(x +1)2−2x 2−n(x −1+x +1−2x)=2， 当x 为无理数时，x −1，x +1均为无理数，f(x −1)+f(x +1)−2f(x)=(x −1)2+(x +1)2−2x 2=2，所以，函数f(x)对任意的x ∈R ，均有f(x −1)+f(x +1)≥2f(x)， 即函数f(x)具有性质P ．而当x ∈[0, n](n >2)且当x 为无理数时，f(x)>0．所以，在(2)的条件下，“对任意x ∈[0, n]均有f(x)≤0”不成立．。
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上海市七宝中学2018-2019学年高三上学期第一次
月考（10月份）数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、填空题
1. 若全集且，则集合的真子集共有__________个.
2. 函数在上是增函数，则的范围是_____．
3. 已知，则代数式的最小值为________.
4. 若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则的取值范围是
_____
5. 已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列四个命题：
①的元素不都是的元素；②的元素都不是的元素；
③中有的元素；④存在，使得
；
其中真命题的序号是________（将正确的序号都填上）.
6. 已知的定义域为，则的定义域为________.
7. 关于的方程在上有解，则的取值范围为
________.
8. 对于在区间上有意义的两个函数和，如果对任意，均有，那么我们称和在上是接近的，若
与在闭区间上是接近的，则实数的一个可能值是________.
9. 已知函数，关于的不等式在区间上有解，则实的取值范围为________.
10. 集合，且关于的不等式至少有一个负数解，则集合中的元素之和等于________.
11. 已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．
12. 规定：函数，有限集合，如果满足：当，则，且
，那么称集合是函数的生成集，已知减函数
（），为不超过10的自然数，而且有6个元素的一个生成集，则________.
二、单选题
13. 已知条件：；条件：，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
14. 设，记，，，则
（）.
A．B．
C．D．
15. 设函数，若对任意实数，，则
是的（）.
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
16. 不等式对任意及恒成立，则实数的范围是（）.
A．B．C．D．
三、解答题
17. 解不等式组：.
18. 已知函数（）.
（1）写出的奇偶性和递减区间（无需证明）；
（2）画出函数（）的大致图像.
19. 台风“山竹”导致海南省局部地方海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质监测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质，已知每投放质量为
的药剂后，经过天该药剂在水中释放的浓度（毫克/升）满足，
其中，当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化，当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化.
（1）如果投放的药剂质量为，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？
（2）如果投放的药剂质量为，为了使在7天（从投放药剂算起包括第7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量的值.
20. 已知二次函数的定义域恰是不等式的解
集，其值域为，函数的定义域为，值域为.
（1）求定义域和值域；
（2）试用单调性的定义法解决问题：若存在实数，使得函数
在上单调递减，上单调递增，求实数的取值范围并用表示；
（3）是否存在实数，使成立？若存在，求实数的取值范围，若不存在，说明理由.
21. 已知函数有两个不同零点、（），设函数
的定义域为，且的最大值记为，最小值记为.
（1）求（用表示）；
（2）当时，试问以、、为长度的线段能否组成一个三角形，如果不一定，进一步求出的取值范围，使它们能组成一个三角形；
（3）求.。