《图形学》第二章

2.曲线拟和：指把一系列离散的有序点 列（控制点）用一条满足一定特性的 曲线连接起来的一种图像处理方法。 1）逼近：找出一条近似地通过一组给定 点的曲线称为逼近。（不要求曲线过 控制点）。 2）插值：找出一条通过一组给定点的曲 线。（要求曲线过所有的控制点列）
二.规则曲线 画线的一般步骤： 1）建立坐标系 2）确定曲线的参数方程 3）确定参数增量，求曲线上的点坐 标，从起始点开始，用lineto( )函数 画线
n+1个n次多项式 l0 ( x), l1 ( x),, ln ( x) 称为以 x0 , x1 ,, xn 为 节点的n次插值基函数
n=1时的一次基函数为（图3）：
( x x1 ) ( x x0 ) l0 ( x) l1 ( x) ( x0 x1 ) ( x1 x0 )
特别地，n=1 时称为线性插值（图5（a））， n=2时称为抛物插值或二次插值（图5（b））
L1 ( x) f ( x0 )l0 ( x) f ( x1 )l1 ( x)
L2 ( x) f ( x0 )l0 ( x) f ( x1 )l1 ( x) f ( x2 )l2 ( x)
y0 =2， y1 =3，基函数分别为
1 1 ( x 9) 3 ( x 4) 5 5
所以
例2：求过点(-1，-2)，(1，0)，(3，-6)，(4，3)的三次插 值多项式。 解：以 别为
x0 ＝-1， x1＝1， x2＝3， x3 ＝4为节点的基函数分
( x 1)( x 3)( x 4) 1 ( x 1)( x 3)( x 4) (1 1)(1 3)(1 4) 40 ( x 1)( x 3)( x 4) 1 l1 ( x) ( x 1)( x 3)( x 4) (1 1)(1 3)(1 4) 12 ( x 1)( x 1)( x 4) 1 l2 ( x) ( x 1)( x 1)( x 4) (3 1)(3 1)(3 4) 8 ( x 1)( x 1)( x 3) 1 l3 ( x) ( x 1)( x 1)( x 3) (4 1)(4 1)(4 3) 15 l0 ( x)
图 2
3. 插值多项式存在的唯一性定理
定理 设节点 x0 , x1 ,, xn 互异，则在次数不超 过n的多项式集合 H n 中，满足条件（1）的插 值多项式pn ( x)存在且唯一。
证明： 将 pn ( x) a0 a1x a2 x2 an xn 代入式（1）得
n a0 a1 x0 an x0 y0 n a0 a1 x1 an x1 y1 n a0 a1 xn an xn yn
插值多项式为
L3 ( x) yili ( x)
i 1
n
1 1 (2) ( x 1)( x 3)( x 4) 0 ( x 1)( x 3)( x 4) 40 12 1 1 (6) ( x 1)( x 1)( x 4) 3 ( x 1)( x 1)( x 3) 8 15 x3 4 x 2 3
（2）
这是关于 a0 , a1 ,, an 的n+1元线性方程 组， 其系数行列式，
n 1 x0 x0
1 x1 x1n V ( x0 , x1 , , xn )
n 1 xn xn
是范得蒙(Vandermonde)行列式，故
V ( x0 , x1 , xn ) ( xi x j )
3.外摆线：一个动圆与导圆（弧）成外切， 动圆沿导圆（弧）作纯滚动时，动圆上一点 的轨迹。 x (r1 r2 ) cos r2 cos[ (r1 r2 ) / r2 ] y (r1 r2 )sin r2 sin[ (r1 r2 ) / r2 ]
4.内摆线：一个动圆与导圆（弧）成内切，动 圆沿导圆（弧）作纯滚动时，动圆上一点的 轨迹。
i 1 j 0
n
i 1
由于 x0 , x1 ,, xn 互异，所有因子 xi x j 0(i j)
于是
V ( x0 , x1, xn ) 0
再由克莱姆法则，方程组（2）存在唯一的一 组解 a0 , a1 ,, an ,即满足条件（1） 的插值多项 式 pn ( x) 存在且唯一。
1, y j ij 0, j i j i
j=0,1,…,n
求插值多项式 li ( x) ，满足条件 li ( x) ij j=0,1,…n, i=0,1,…,n
由上式知， 0 , x1 , xi 1 , xi 1 ,, xn 是li ( x) 的根， x
且 li ( x) H n ，可令 再由 li ( xi ) 1 得
4.拉格朗日差值多项式 1）.基函数 要求差值多项式 pn ( x)，可以通过求方 程组（2）的解 a0 , a1,, an 得到，但这样不 但计算复杂，而且难于得到 pn ( x)的简单表 达式。 做法：设置基函数
例：考虑简单的插值问题：设函数在区间 ［a，b］上n＋1个互异节点 x0 , x1 ,, xn 上 的函数值为
g(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
图一
2. 插值的定义：
设函数y=f(x)在区间［a,b］上有定 义, y0 , y1, yn 为已知 函 数 在 区［a,b］ 上 n+1个互异点 x0 , x1 ,, xn 上的函数值， 若存在一个简单函数 y=p(x )，使其经 过y=f(x)上的这 n+1个已知点 ( x0 , y0 ),( x1, y1 ),,( xn , yn ) (图2)，即
即
pn ( x) a0 a1x a2 x an x
2
n
则称 pn ( x)为n次插值多项式，相应的插值 法称为多项式插值；若P(x)为分段多项式， 称为分段插值，多项式插值和分段插值称 为代数插值 。
问题： 插值函数（多项式）是否存在？如果存 在，是否唯一？ 答案：质： 1) 仅由插值节点 x0 , x1,, xn 确定，与被插 函数f(x)无关； 2)
l ( x) 1
i 0 i
n
以 x0 , x1,, xn 为插值节点对函数f(x)≡1作插 值多项式，则由式(3)立即得到 证明留做作业
2）．拉格朗日插值多项式 现在考虑一般的插值问题：设函数在 区间［a,b］上n+1个互异节点 x0 , x1,, xn 上 的函数值分别为 y0 , y1, yn ,求n次插值多项 式 pn ( x) 满足条件 pn ( x j ) y j j=0,1,…n 令 n Ln ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) ynln ( x) yili ( x) （3）
3） 插值余项 插值多项式的余项(插值的截断误差或 方法误差):
Rn ( x) f ( x) Ln ( x)
定理：设被插函数f(x)在闭区间［a，b］上 f n1 ( x) 在开区间(a,b)内存在， n阶导数连续， x0 , x1,, xn 是［a，b］上n+1个互异节点，记
n1 ( x) ( x xi ) ( x x0 )( x x1 )( x xn )
i 0
其中 l0 ( x), l1 ( x),, ln ( x)为以 x0 , x1 ,, xn 为节点 的n次插值基函数，则Ln ( x) 是次数不超过n 的多项式，且满足 Ln ( x j ) y j j=0,1,…n 再由插值多项式的唯一性，得 pn ( x) Ln ( x) 式（3）表示的插值多项式称为拉格朗日 （Lagrange）插值多项式。
x (r1 r2 ) cos r2 cos[ (r1 r2 ) / r2 ] y (r1 r2 )sin r2 sin[ (r1 r2 ) / r2 ]
2.2代数插值
1．插值的必要性： 实际中，f(x)多样，复杂，通常只能观 测到一些离散数据；或者f(x)过于复杂 而难以运算。这时我们要用近似函数 g(x)来逼近f(x)。 插值法是寻求近似函数的方法之一。
例1：已知y= 似值。 解：
x ， x0 =4，x1 =9，用线性插值求
7 的近
x 9 1 x4 1 l0 ( x) ( x 9), l1 ( x) ( x 4) 49 5 94 5 插值多项式为
L1 ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) 2 1 ( x 6) 5 13 7 L1 (7) 2.6 5
p( xi ) yi , i 0,1,, n
(1)
那么，函数p(x)称为插值函数，点 x0 , x1,, xn 称为插节点，x0 , y0 ),( x1, y1 ),, ( ( xn , yn ) 称为插值点，包含插值节点的区间 ［a,b］称为插值区间,求p(x)的方法称为插 值法，f(x)称为被插函数。若p(x)是次数不 超过n的多项式,用 pn ( x) 表示，
图3
n=2时的二次基函数为（图4）：
l0 ( x) l1 ( x) l2 ( x) ( x x1 )( x x2 ) ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x x0 )( x x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x x0 )( x x1 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
第二章 曲线拟合与曲线显示
• • • • • 2.1导言 2.2 代数差值 2.3 Hermite （艾尔米特）插值 2.4直线的Bresenham 算法 2.5 二次曲线拟合
2.1导言
一、基本概念 1.曲线描绘的分类： 1）规则曲线：已知曲线方程，要求画出曲 线；（本课程主要讲规则曲线） 2）不规则曲线：无法用规定方程描绘的曲 线。具有随机性和不可预知性。 （股 票行情曲线）