中考数学几何模型能力共顶点模型(解析版)

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中考数学几何模型复习专题01 角平分线的五种模型(学生版+解析版)

中考数学几何模型复习

专题01 角平分线的五种模型

模型一、角平分线垂两边

【例1】如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC＝3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（）

A．3：2B．6：4C．2：3D．不能确定

【例2】如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC//OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为___．

【变式训练1】如图所示，在四边形ABCD中，DC//AB，∠DAB =90°，AC BC，AC =BC，∠ABC

的平分线交A D，AC于点E、F，则BF

的值是___________.

【变式训练2】如图，BD平分ABC的外角∠ABP，DA=DC，DE∠BP于点E，若AB=5，BC=3，求BE的长．

【变式训练3，的

平分线相交于点E ，过点E 作交AC 于点F ，则EF 的长为 .

模型二、角平分线垂中间

【例3】如图，已知，90,,BAC AB AC BD ∠=︒=是ABC ∠的平分线，且CE BD ⊥交BD 的延长线于点E ．求证：2BD CE =．

【变式训练1】如图，已知∠ABC ，∠BAC ＝45°，在∠ABC 的高BD 上取点E ，使AE ＝BC ．（1）求证：CD ＝DE ；

（2）试判断AE 与BC 的位置关系？请说明理由；

【变式训练2】如图，D 是△ABC 的BC 边的中点，AE 平分∠BAC ，AE ⊥CE 于点E ，且AB =10，AC =16，则DE 的长度为________

【变式训练3】如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，AD CD ⊥于点D ,DE //BC 交AB 于点

模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形压轴题三种模型全攻略(解析版)

模型构建专题：“手拉手”模型

【考点导航】

【典型例题】

【类型一共顶点的等边三角形】

【类型二共顶点的等腰直角三角形】

【类型三共顶点的一般等腰三角形】

【典型例题】

【类型一共顶点的等边三角形】

1(2023·全国·八年级假期作业)如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．

(1)求证：BD=CE；

(2)求证：△ABM≌△ACN；

(3)求证：△AMN是等边三角形．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)由已知条件等边三角形，可知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，进一步求证∠BAD=∠CAE，从而△ABD≌△ACE(SAS)，所以BD=CE．

(2)由(1)知△ABD≌△ACE，得∠ABM=∠CAN，由点B、A、E共线，得∠CAN=60°=∠BAC，进一步

求证△ABM≌△ACN(ASA)．

(3)由△ABM≌△ACN，得AM=AN，而∠CAN=60°，所以△AMN是等边三角形．【详解】(1)∵△ABC和△ADE都是等边三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，

∴∠BAD=∠CAE．

在△ABD和△ACE中，AB=AC

∠BAD=∠CAE AD=AE

∴△ABD≌△ACE(SAS)，

∴BD=CE．

(2)由(1)知△ABD≌△ACE，

∴∠ABM=∠ACN．

∵点B、A、E在同一直线上，且∠BAC=∠DAE=60°，∴∠CAN=60°=∠BAC．

在△ABM和△ACN中，∠BAM=∠CAN AB=AC

“四点共圆”模型(解析版)--初中数学专题训练

“四点共圆”模型

1.识别几何模型。

2.利用“四点共圆”模型解决问题

一．填空题(共3小题)

1(2021秋•南京期中)如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠C=100°，BC=CD，则∠A+∠D =220°．

【分析】连接BD，由∠C=100°，BC=CD得出∠CDB=40°，由四边形BAED内接于⊙O得出∠A +∠BDE=180°，即可求出答案．

【解答】解：如图，连接BD，

∵∠C=100°，BC=CD，

∴∠CBD=∠CDB=40°，

∵四边形BAED内接于⊙O，

∴∠A+∠BDE=180°，

∴∠A+∠CDE

=∠A+∠BDE+∠CDB

=180°+40°

=220°，

故答案为：220．

【点评】本题考查了圆周角定理，掌握圆连接四边形的性质是解题的关键．

2(2022•靖江市二模)如图，AB⊥BC，AB=5，点E、F分别是线段AB、射线BC上的动点，以EF 为斜边向上作等腰Rt△DEF，∠D=90°，连接AD，则AD的最小值为522．

【分析】连接BD并延长，利用四点共圆的判定定理得到B，E，D，F四点共圆，再利用等腰直角三角形的性质和圆周角定理得到∠DBF=∠DEF=45°，得到点D的轨迹，最后利用垂线段最短和等腰直角三角形的性质解答即可得出结论．

【解答】解：连接BD并延长，如图，

∵AB⊥BC，

∴∠ABC=90°，∠EDF=90°，

∴∠ABC+∠EDF=180°，

∴B，E，D，F四点共圆，

∵△DEF为等腰直角三角形，

∴∠DEF=∠DFE=45°，

∴∠DBF=∠DEF=45°，

∴∠DBF=∠DBE=45°，

2023年中考数学常见几何模型全归纳(全国通用版)：专题12 最值模型-费马点问题(解析版)

专题12最值模型-费马点问题

最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。

【模型解读】

结论1：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。

注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120

°）

【模型证明】以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．

在△AMB与△ENB中，∵

AB BE

ABM EBN

BM BN

，∴△AMB≌△ENB（SAS）．

连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形．

∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；

2022年中考数学几何模型之全等三角形的五种模型(讲+练)(解析版)

专题06 全等三角形的五种模型

全等三角形的模型种类多，其中有关中点的模型与垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不再重复。

模型一、截长补短模型

①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。

如图所示，在BF 上截取BM=DF ，易证△BMC△△DFC （SAS ），则MC=FC=FG ，△BCM=△DCF ，可得△MCF 为等腰直角三角形，又可证△CFE=45°，△CFG=90°，

△CFG=△MCF ，FG△CM ，可得四边形CGFM 为平行四边形，则CG=MF ，于是BF=BM+MF=DF+CG.

②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。如图所示，延长GC 至N ，使CN=DF ，易证△CDF△△BCN （SAS ），可得CF=FG=BN ，△DFC=△BNC=135°，

又知△FGC=45°，可证BN△FG ，于是四边形BFGN 为平行四边形，得BF=NG ，所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.

例1.如图，△ABC 中，△B =2△A ，△ACB 的平分线CD 交AB 于点D ，已知AC =16，BC =9，则BD 的长为（）

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

【答案】.B 【详解】解：如图，在CA 上截取,CN CB = 连接,DN CD 平分,ACB ∠ ,BCD NCD ∴∠=∠

,CD CD = (),CBD CND SAS ∴≌ ,,,BD ND B CND CB CN ∴=∠=∠=

9,16,BC AC == 9,7,CN AN AC CN ∴==-=

第2讲共顶点模型(解析版)

中考数学几何模型2：共顶点模型

名师点睛拨开云雾开门见山

共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。寻找共顶点旋转模型的步骤如下：

（1）寻找公共的顶点

（2）列出两组相等的边或者对应成比例的边

（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。

两等边三角形两等腰直角三角形两任意等腰三角形

*常见结论：

连接BD 、AE 交于点F ，连接CF ，则有以下结论：

（1）BCD ACE ≅△△

（2）AE BD =

（3）AFB DFE ∠=∠

（4）FC BFE ∠平分

典题探究启迪思维探究重点例题1. 以点A 为顶点作等腰Rt △ABC ，等腰Rt △ADE ，其中∠BAC ＝∠DAE ＝90°，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD 、CE ．

（1）试判断BD 、CE 的数量关系，并说明理由；

（2）延长BD 交CE 于点F 试求∠BFC 的度数；

（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由．

【解答】解：（1）CE＝BD，理由如下：

∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，

∴AE＝AD，AC＝AB，

在△EAC与△DAB中，

，

∴△EAC≌△DAB（SAS），

∴CE＝BD；

（2）∵△EAC≌△DAB，

∴∠ECA＝∠DBA，

∴∠ECA+∠CBF＝∠DBA+∠CBF＝45°，

∴∠ECA+∠CBF+∠DCB＝45°+45°＝90°，

∴∠BFC＝180°﹣90°＝90°；

2022年中考数学几何模型之动点最值之费马点模型(讲+练)(解析版)

专题12 动点最值之费马点模型

费马点模型：如图，在△ABC内部找到一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小.

当点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º，则PA＋PB＋PC的值最小，P点称为三角形的费马点.

特别地，△ABC中，最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A

（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）

费马点的性质：

1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。

2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。

费马点最小值解法：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值

证明过程：

将△APC边以A为顶点逆时针旋转60°，得到AQE，连接PQ，则△APQ为等边三角形，PA=PQ。即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，当B、P、Q、E四点共线时取得最小值BE

例题1. 已知：△ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。△AGC=△AGB=△BGC=120°.

求证：GA+GB+GC的值最小.

【解析】证明：将△BGC逆时针旋转60°，连GP,DB.则△CGB△△CPD；

△ △CPD=△CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,△GCB=△PCD.

△ △GCP=60°,△ △BCD=60°,△ △GCP和△BCD都是等边三角形。

△ △AGC=120°, △CGP=60°.△ A、G、P三点一线。

△ △CPD=120°, △CPG=60°.△ G、P、D三点一线。

△ AG、GP、PD三条线段同在一条直线上。

△ GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD.

专题15 共边共角相似模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(解析版)

专题15共边共角相似模型

【模型】如图，已知A A ∠=∠,要证ADC ∆∽ABC ∆,只需再知道一组对应角相等（两组对角分别相等的两三角形相似）或AC AB AB AD =（两组对应边成比例且其夹角对应相等的两三角形相似）即可证明ADC ∆∽ABC ∆

【例1】如图，在Rt ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则图中的相似三角形共有（）

A ．1对

B ．2对

C ．3对

D ．4对

【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形．

【解析】∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB

∴△ABC ∽△ACD ，△ACD ∽△CBD ，△ABC ∽△CBD

所以有三对相似三角形，

故选：C ．

【例2】如图，在ABC 中，点D 在AB 上，请再添一个适当的条件，使ADC ACB △∽△，那么可添加的条件是__________．

【答案】ACD ABC ∠=∠（答案不唯一，也可以增加条件：ADC ACB ∠=∠或2AC AD AB = ）．

【分析】题目中相似的两个三角形已经有一个公共角，可以再增加一对相等的角，用两组角相等判定两三角形相似，也可以增加两组对应边成比例，利用两组边对应成比例及夹角相等判定两三角形相似．

【解析】若增加条件：∠ACD =∠ABC ，

∵∠ACD =∠ABC ，且∠A =∠A ，

∴ADC ACB V :V ．

【例3】定义：如图，若点P 在三角形的一条边上，且满足12∠=∠，则称点P 为这个三角形的“理想点”．

(1)如图①，若点D 是ABC 的边AB 的中点，22AC =，4AB =，试判断点D 是不是ABC 的“理想点”，并说明理由；

九年级上册数学几何模型压轴题中考真题汇编[解析版]

一、初三数学旋转易错题压轴题（难）

1．直线m∥n，点A、B分别在直线m，n上（点A在点B的右侧），点P在直线m上，

AP＝1

AB，连接BP，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，连接AC交直线n于点E，

连接PC，且ABE为等边三角形．

（1）如图①，当点P在A的右侧时，请直接写出∠ABP与∠EBC的数量关系是，AP 与EC的数量关系是．

（2）如图②，当点P在A的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

（3）如图②，当点P在A的左侧时，若△PBC的面积为

93，求线段AC的长．

【答案】（1）∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，见解析；（3）

7 7

【解析】

【分析】

（1）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；

（2）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；

（3）过点C作CD⊥m于D，根据旋转的性质得到△PBC是等边三角形，求得PC＝3，设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，得到AC＝2t，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠AEB＝60°，解直角三角形即可得到结论．

【详解】

解：（1）∵△ABE是等边三角形，

∴∠ABE＝60°，AB＝BE，

∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，

∴∠CBP＝60°，BC＝BP，

∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE，

初中数学经典几何模型05-手拉手模型构造全等三角形(含答案)

初中数学经典几何模型

专题05 手拉手模型构造全等三角形

【专题说明】

两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等或相似三角形，这样的图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模型。

【知识总结】

【基本模型】

一、等边三角形手拉手-出全等

图1 图2

图3 图4

二、等腰直角三角形手拉手-出全等

两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有

①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE；

图1

图2

图3

图4

1、如图，点C在线段AB上，△DAC和△DBE都是等边三角形，求证：△DAB≌△DCE;DA∥EC.

2、已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连结AE,BD交于点O,AE与DC交于点0，AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.

3、已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，

⑴若点P在△ABC内部，求证BQ＝CP；

⑵若点P在△ABC外部，以上结论还成立吗？

4、如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H.若AB=√2，AG=1，则EB=________________.

5、已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点，点G、E分别在线段AD、AB上，若将正方形AEFG 绕点A按顺时针方向旋转，连接DG,在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长度始终相等？并说明理由。

初中数学专题一旋转中的几何模型(手拉手模型、对角互补模型)(解析版)

专题一旋转中的几何模型模型一　“手拉手”模型

模型特征：两个等边三角形或等腰直角三角形或正方形共顶点．

模型说明：如图1，△ABE，△ACF都是等边三角形，可证△AEC≌△ABF.如图2，△ABD，△ACE都是等腰直角三角形，可证△ADC≌△ABE.

如图3，四边形ABEF，四边形ACHD都是正方形，可证△ABD≌△AFC

图1 图2 图3

等腰图形有旋转，辩清共点旋转边，关注三边旋转角，全等思考边角边。

1【问题提出】

(1)如图①，△ABC,△ADE均为等边三角形，点D,E分别在边AB，AC上．将△ADE绕点A沿顺时针方

向旋转，连结BD,CE．在图②中证明△ADB≅△AEC

．

[学以致用]

(2)在(1)的条件下，当点D,E,C在同一条直线上时，∠EDB的大小为度．

[拓展延伸]

(3)在(1)的条件下，连结CD．若BC=6,AD=4直接写出△DBC的面积S的取值范围．

【思路点拨】

(1)根据“手拉手”模型，证明△ADB≅△AEC即可；

(2)分“当点E在线段CD上”和“当点E在线段CD的延长线上”两种情况，再根据“手拉手”模型中的结论即可求得∠EDB的大小；

(3)分别求出△DBC的面积最大值和最小值即可得到结论

【详解】

(1)∵ABC,ADE均为等边三角形，

∴AD=AE，AB=AC，

∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE，

即∠BAD=∠CAE

在△ADB和△AEC中，AD=AE

∠BAD=∠CAE AB=AC

∴ABD ≅ACE (SAS )；

(2)当D ,E ,C 在同一条直线上时，分两种情况：

①当点E 在线段CD 上时，如图，

备战中考数学二轮专题归纳提升真题几何模型—半角模型(解析版)

专题12 几何模型（2）—半角模型

【模型介绍】

半角模型是指：共顶点的两个一大一小的角，其中小角是大角的一半。

如下图中：若小角∠EAD等于大角∠BAC的一半，我们习惯上称之为“半角模型”。

【解题关键】

旋转目标三角形法和翻折目标三角形法

【典型例题】

【题型一：等边直角三角形中的半角模型】

【模型】如图，△BDC为等腰三角形且∠BDC=120°，M和N分别是AB和AC上的两个点，且∠MDN=60°，△ABC为等边三角形。

【结论】结论①：MN=BM+CN；

证明：如下图1，延长AB到H点，并使得BH=CN，连接DH，

∵△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°，

∴∠DBC=∠DCB=30°，

∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=60°+30°=90°=∠ACD，即∠HBD=∠NCD=90°，

在△HBD和△NC D中：{ᵃᵃ=ᵃᵄ

∠ᵃᵃᵃ=∠ᵄᵃᵃ=90∘ᵃᵃ=ᵃᵃ

∴△HBD≌△NCD(SAS)，

∴DH=DN，∠HDB=∠CDN，又∠BDC=120°，∠MDN=60°，∴∠BDM+∠CDN=60°，

即∠BDM+∠HDB=60°，

∴∠HDM=∠NDM=60°，

在△HDM和△NDM中：{ᵃᵃ=ᵃᵄ

∠ᵃᵃᵄ=∠ᵄᵃᵄ=60∘ᵄᵃ=ᵄᵃ

∴△HDM≌△NDM(SAS)，

∴MN=MH=MB+BH=MB+CN。

证明完毕！

结论②：如上图1中：△AMN的周长=2倍等边△ABC的边长；

或者说成：3倍△AMN的周长=2倍等边三角形的周长。

证明：由结论①知：MN=MB+CN，

人教版九年级上册数学几何模型压轴题中考真题汇编[解析版]

一、初三数学旋转易错题压轴题（难）

1．如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC

上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．

（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是_________，位置关系是_________；

（2）探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，

CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出

PMN 面积的最大值．

【答案】（1）PM PN =，PM PN ⊥；（2）等腰直角三角形，见解析；（3）492

【解析】【分析】

（1）由三角形中位线定理及平行的性质可得PN 与PM 等于DE 或CE 的一半，又△ABC 为等腰直角三角形，AD=AE ，所以得PN=PM ，且互相垂直；

（2）由旋转可推出BAD CAE ∆∆≌，再利用PM 与PN 皆为中位线，得到PM=PN ，再利用角度间关系推导出垂直即可；

（3）找到面积最大的位置作出图形，由（2）可知PM=PM ，且PM ⊥PN ，利用三角形面积公式求解即可．【详解】

（1）PM PN =，PM PN ⊥；

已知点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点，根据三角形的中位线定理可得

12PM EC =

，1

PN BD =，//PM EC ，//PN BD 根据平行线性质可得DPM DCE ∠=∠，NPD ADC ∠=∠ 在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，AD AE = 可得BD EC =，90DCE ADC ∠+∠=︒ 即得PM PN =，PM PN ⊥

中考数学几何模型复习专题手拉手模型(学生版+解析版)

中考数学几何模型复习

手拉手模型

一、方法突破

问题一：构成手拉手的必要条件．

当对一个几何图形记忆并不深刻的时候，可以尝试用文字取总结要点，

比如手拉手：四线共点，两两相等，夹角相等．

条件：如图，OA=OB，OC=OD（四线共点，两两相等），∠AOB=∠COD（夹角相等）

结论：△OAC≌△OBD（SAS）

证明无需赘述，关于条件中的OA=OB，OC=OD，有时候会直接以特殊几何图形的形式给出，比如我们都很熟悉的等边三角形和正方形．

1．等边三角形手拉手

（1）如图，B、C、D三点共线，△ABC和△CDE是等边三角形，连接AD、BE，交于点P：

结论一：△ACD≌△BCE

证明：

AC BC

ACD BCE

CD CE

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

→ △ACD≌△BCE（SAS）

（2）记AC 、BE 交点为M ，AD 、CE 交点为N ：

结论二：△ACN ≌△BCM ；△MCE ≌△NCD

证明：MBC NAC BC AC BCM ACN ∠=∠⎧⎪

=⎨⎪∠=∠⎩

→ △ACN ≌△BCM （SAS ）；

MCE NCD CE CD

CEM CDN ∠=∠⎧⎪

=⎨⎪∠=∠⎩

→ △MCE ≌△NCD （ASA ）（3）连接MN ：

结论三：△MNC 是等边三角形．

证明：60CM CN

MCN =⎧⎨∠=︒⎩

→△MCN 是等边三角形．

（4）记AD 、BE 交点为P ，连接PC ：

结论四：PC 平分∠BPD

证明：△BCE ≌△ACD → CG =CH → PC 平分∠BPD ．

G αα

（5）结论五：∠APB =∠BPC =∠CPD =∠DPE =60°．

2018年初中数学突破中考压轴题几何模型之相似三角形中的一线三等角模型(含解析)

A字型X字型反A字型反8字型

母子型旋转型双垂直三垂直

相似三角形判定的变化模型

一线三等角型相似三角形

三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：

第7题

都在方格纸的格点上，若COD

∆是由

D、135°

相切与点B，连结OA、OB.若

、70°

中考数学几何部分共顶点模型之共顶点正方形公开课精品课件

解析: 作垂线，在点C,D处构造旋转型全等.
易得 △CGQ≌△CBM, △DPE≌△DNA.
∴ PE=AN,GQ=BM
P
R
Q
∵ MN=CD= 1,
∴中位线RI= （12 PE+GQ）= 12(AB-MN)=1.5
11.5 3
∴S DCI
2
4
NM
五课堂小结
共顶点正方形求证:PE=QF
MN垂直平分AD. 求证:PE=QF
P是EF中点.求证:点P到 BC的距离是BC的一半.
M是HF中点. 求证:MA⊥BC
求证:MO1⊥MO2
求证:O1O3 =O2O4
谢谢
∴∠CAB+∠ACK=180°
∵ ∠CAB+∠GAE=180° ∵ AG=AC, AE=AB=CK
∴ GE=AK
∴∠GAE=∠ACK
∴ △AGE≌ △CAK
∴
AM=
1 2
AK=
1
2 GE
方法归纳： K 中线倍长构造全等
变式:如图,在△ABC外分别以AB,AC为边作正方形ABDE和正方形 ACFG,连接EG,AM是BC边上的中线,延长MA交EG于点H.
求证: S AGE S ABC .
解析: 作KE⊥GA交GA延长线于点K, 作BN⊥AC交AC于点N.
∵∠EKA=∠BNA=90º,∠EAK=∠BAN=90º- ∠BAK,

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