二次函数的图像与性质专题练习
二次函数图像与性质练习题
二次函数图像与性质练习题二次函数是高中数学中的一个重要内容，它在数学中有着广泛的应用。
而对于学生来说，了解二次函数的图像和性质是非常重要的。
本文将通过一些练习题来帮助学生深入理解二次函数的图像和性质。
练习题一：给定函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 2，求解以下问题：1. 求函数 f(x) 的顶点坐标和对称轴方程；2. 求函数 f(x) 的零点；3. 判断函数 f(x) 的开口方向和最值。
解答：1. 首先，我们知道二次函数的顶点坐标可以通过公式 x = -b/2a 和 y = f(-b/2a) 来求解。
将函数 f(x) 的系数代入公式中，可以得出顶点坐标为 (-3/4, -23/8)。
对称轴方程为 x = -3/4。
2. 函数 f(x) 的零点即为方程 2x^2 + 3x - 2 = 0 的解。
通过因式分解或者使用求根公式，可以得到零点为 x = 1/2 和 x = -2。
3. 由于二次函数的系数 a 大于 0，所以函数的开口方向是向上的。
同时，由于顶点坐标的 y 值为 -23/8，所以函数的最值为最小值。
练习题二：给定函数 g(x) = -x^2 + 4x + 5，求解以下问题：1. 求函数 g(x) 的顶点坐标和对称轴方程；2. 求函数 g(x) 的零点；3. 判断函数 g(x) 的开口方向和最值。
解答：1. 同样地，我们可以通过公式 x = -b/2a 和 y = g(-b/2a) 来求解顶点坐标。
将函数 g(x) 的系数代入公式中，可以得出顶点坐标为 (2, 9)。
对称轴方程为 x = 2。
2. 函数 g(x) 的零点即为方程 -x^2 + 4x + 5 = 0 的解。
通过因式分解或者使用求根公式，可以得到零点为 x = -1 和 x = 5。
3. 由于二次函数的系数 a 小于 0，所以函数的开口方向是向下的。
同时，由于顶点坐标的 y 值为 9，所以函数的最值为最大值。
通过以上练习题，我们可以看到二次函数的图像和性质是与函数的系数相关的。
二次函数的图像和性质专题练习
专业技术资料分享二次函数的图像与性质专题练习1．（）如图是二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2=mx+n（m≠0）的图象，当y2＞y1，x的取值范围是_________．2．（2011•扬州）如图，已知函数y=与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P．点P的纵坐标为1．则关于x的方程ax2+bx+=0的解为_________．3．（2011•黑龙江）抛物线y=﹣（x+1）2﹣1的顶点坐标为_________．4．（2011•淮安）抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是_________．5．（2010•扬州）抛物线y=2x2﹣bx+3的对称轴是直线x=1，则b的值为_________．6．（2009•西宁）二次函数y=﹣x2+x﹣的图象的顶点坐标为_________．7．（2008•大庆）抛物线y=﹣3x2+1的顶点坐标是_________．8．（2012•牡丹江）若抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，10），则a﹣b+c=_________．9．（2012•大庆）已知二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象上有两点A（﹣7，y1），B（﹣8，y2），则y1_________y2．（用＞、＜、=填空）．10．（2008•白银）抛物线y=x2+x﹣4与y轴的交点坐标为_________．11．（2007•黄石）二次函数y=a（x﹣1）2+bx+c（a≠0）的图象经过原点的条件是_________．12．（2007•黑龙江）抛物线y=x2+bx+3经过点（3，0），则b的值为_________．13．（2006•攀枝花）已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（1，3）与（﹣1，5），则a+c的值是_________．14．若二次函数y=mx2﹣3x+2m﹣m2的图象经过原点，则m=_________．15．抛物线y=x2+8x﹣4与直线x=4的交点坐标是_________．16．（2012•深圳）二次函数y=x2﹣2x+6的最小值是_________．17．（2011•泉州）已知函数y=﹣3（x﹣2）2+4，当x=_________时，函数取得最大值为_________．18．（2009•荆门）函数y=（x﹣2）（3﹣x）取得最大值时，x=_________．19．（2008•黄石）若实数a，b满足a+b2=1，则2a2+7b2的最小值是_________．20．二次函数y=ax2﹣4x﹣13a有最小值﹣17，则a=_________．21．（2011•济宁）将二次函数y=x2﹣4x+5化成y=（x﹣h）2+k的形式，则y=_________．22．（2000•河南）用配方法将二次函数y=4x2﹣24x+26写y=a（x﹣h）2+k的形式是_________．23．y=﹣配方成y=a（x﹣h）2+k的形式是_________．24．（2012•上海）将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是_________．25．（2011•昭通）把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2﹣2x+3，则b的值为_________．26．（2011•雅安）将二次函数y=（x﹣2）2+3的图象向右平移2个单位，再向下平移2个单位，所得二次函数的解析式为_________．27．（2012•宁波）把二次函数y=（x﹣1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为_________．28．（2011•德阳）在平面直角坐标系中，函数y=﹣3x2的图象不动，将x轴、y轴分别向下、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的顶点坐标是_________．29．（2010•黑河）抛物线y=x2﹣4x+与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是_________．30．（2010•金华）已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为_________．31．（2007•天水）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，它的顶点的横坐标为﹣1，由图象可知关于x的方程ax2+bx+c=0的两根为x1=1，x2=_________．32．（2006•兰州）开口向下的抛物线y=（m2﹣2）x2+2mx+1的对称轴经过点（﹣1，3），则m=_________．33．（2005•温州）若二次函数y=x2﹣4x+c的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c=_________．（只要求写出一个）．34．（2006•泰安）抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x …﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y …﹣6 0 4 6 6 …容易看出，（﹣2，0）是它与x轴的一个交点，则它与x轴的另一个交点的坐标为_________．35．（2012•孝感）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示．对于下列说法：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＜0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0．其中正确的是_________（把正确的序号都填上）．36．（2012•天水）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①b＞0；②c＜0；③|a+c|＜|b|；④4a+2b+c＞0．其中正确的结论有_________（填写序号）．37．（2010•玉溪）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断①c＞0；②a+b+c ＜0；③2a﹣b＜0；④b2+8a＞4ac中正确的是（填写序号）_________．38．（2012•枣庄）二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是_________．39．（2010•日照）如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为B（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是_________．40．已知一次函数y1=kx+m和二次函数y2=ax2+bx+c的图象如图所示，它们的两个交点的横坐标是1和4，那么能够使得y1＜y2的自变量x的取值范围是_________．二．解答题（共4小题）1．（2012•佳木斯）如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=3，求点B的坐标．2．（2012•绥化）如图，二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标．3．（2012•徐州）二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）．（1）求b、c的值；（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；（3）在所给坐标系中画出二次函数y=x2+bx+c的图象．4．（2011•佛山）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，﹣1）、B（0，2）、C（1，3）；（1）求二次函数的解析式；（2）画出二次函数的图象．二次函数的图像与性质专题练习参考答案与试题解析一．填空题（共30小题）1．（）如图是二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2=mx+n（m≠0）的图象，当y2＞y1，x的取值范围是﹣2＜x＜1．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．353143分析：关键是从图象上找出两函数图象交点坐标，再根据两函数图象的上下位置关系，判断y2＞y1时，x的取值范围．解答：解：从图象上看出，两个交点坐标分别为（﹣2，0），（1，3），∴当有y2＞y1时，有﹣2＜x＜1，故答案为：﹣2＜x＜1．点评：此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．2．（2011•扬州）如图，已知函数y=与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P．点P的纵坐标为1．则关于x的方程ax2+bx+=0的解为x=﹣3．考点：二次函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征．353143专题：探究型．分析：先根据点P的纵坐标为1求出x的值，再把于x的方程ax2+bx+=0化为于x的方程ax2+bx=﹣=0的形式，此方程就化为求函数y=与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交点的横坐标，由求出的P点坐标即可得出结论．解答：解：∵P的纵坐标为1，∴1=﹣，∴x=﹣3，∵ax2+bx+=0化为于x的方程ax2+bx=﹣的形式，∴此方程的解即为两函数图象交点的横坐标的值，∴x=﹣3．故答案为：x=﹣3．点评：本题考查的是二次函数的图象与反比例函数图象的交点问题，能把方程的解化为两函数图象的交点问题是解答此题的关键．3．（2011•黑龙江）抛物线y=﹣（x+1）2﹣1的顶点坐标为（﹣1，﹣1）．考点：二次函数的性质．353143分析：根据二次函数顶点形式，直接可以得出二次函数的顶点坐标．解答：解：∵抛物线y=﹣（x+1）2﹣1，∴抛物线y=﹣（x+1）2﹣1的顶点坐标为：（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）．点评：此题主要考查了二次函数的性质，同学们应根据题意熟练地应用二次函数性质，这是中考中考查重点知识．4．（2011•淮安）抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．考点：二次函数的性质．353143分析：已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．解答：解：∵y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2，∴抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．点评：此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h，此题还考查了配方法求顶点式．5．（2010•扬州）抛物线y=2x2﹣bx+3的对称轴是直线x=1，则b的值为4．考点：二次函数的性质．353143分析：已知抛物线的对称轴，利用对称轴公式可求b的值．解答：解：∵y=2x2﹣bx+3，对称轴是直线x=1，∴=1，即﹣=1，解得b=4．点评：主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法：公式法：y=ax2+bx+c的顶点坐标为（，），对称轴是x=．6．（2009•西宁）二次函数y=﹣x2+x﹣的图象的顶点坐标为（1，﹣2）．考点：二次函数的性质．353143分析：已知二次函数的一般式，直接利用顶点公式求顶点坐标．解答：解：根据顶点坐标公式，x==1，y==﹣2，即顶点坐标为（1，﹣2）．故答案为：（1，﹣2）．点评：主要考查了求抛物线顶点坐标的方法．7．（2008•大庆）抛物线y=﹣3x2+1的顶点坐标是（0，1）．考点：二次函数的性质．353143分析：利用顶点坐标公式（﹣，），直接求解．解答：解：∵x=﹣=﹣=0，y===1，∴顶点坐标是（0，1）．点评：熟练运用顶点公式求抛物线的顶点坐标．8．（2012•牡丹江）若抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，10），则a﹣b+c=10．考点：二次函数图象上点的坐标特征．353143专题：计算题．分析：由于函数图象上的点符合函数解析式，将该点坐标代入解析式即可．解答：解：将（﹣1，10）代入y=ax2+bx+c得，a﹣b+c=10．故答案为10．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，9．（2012•大庆）已知二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象上有两点A（﹣7，y1），B（﹣8，y2），则y1＞y2．（用＞、＜、=填空）．10．（2008•白银）抛物线y=x2+x﹣4与y轴的交点坐标为（0，﹣4）．11．（2007•黄石）二次函数y=a（x﹣1）2+bx+c（a≠0）的图象经过原点的条件是a+c=0．12．（2007•黑龙江）抛物线y=x2+bx+3经过点（3，0），则b的值为﹣4．值．解答：解：把点（3，0）代入y=x2+bx+3，得9+3b+3=0，∴b=﹣4．点评：此题考查了点与函数的关系，点在函数上，将点代入解析式即可．13．（2006•攀枝花）已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（1，3）与（﹣1，5），则a+c的值是4．考点：二次函数图象上点的坐标特征．353143分析：把两点的坐标代入二次函数的解析式，通过变形，即可求得a+c的值．解答：解：将点（1，3）与（﹣1，5）代入y=ax2+bx+c得：∴两式相加得2a+2c=8∴a+c=4．点评：解答此题，要注意函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，且注意整体思想的应用．14．若二次函数y=mx2﹣3x+2m﹣m2的图象经过原点，则m=2．考点：二次函数图象上点的坐标特征．353143分析：此题可以将原点坐标（0，0）代入y=mx2﹣3x+2m﹣m2，求15．抛物线y=x2+8x﹣4与直线x=4的交点坐标是（4，44）．16．（2012•深圳）二次函数y=x2﹣2x+6的最小值是5．17．（2011•泉州）已知函数y=﹣3（x﹣2）2+4，当x=2时，函数取得最大值为4．最大值，x=h，函数值的最大值=k．18．（2009•荆门）函数y=（x﹣2）（3﹣x）取得最大值时，x=．考点：二次函数的最值．353143分析：先把二次函数化为一般式或顶点式的形式，再求其最值即可．解答：解：原二次函数可化为y=﹣x2+5x﹣6=﹣（x﹣）2+，取得最大值时x=﹣=．点评：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．19．（2008•黄石）若实数a，b满足a+b2=1，则2a2+7b2的最小值是2．考点：二次函数的最值．353143分析：根据a+b2=1求出a的取值范围，再把代数式变形，然后结合结合函数的性质及b的取值范围求得结果．解答：解：∵a+b2=1，∴a=1﹣b2∴2a2+7b2=2（1﹣b2）2+7b2=2b4+3b2+2=2（b2+）2+2﹣=2（b2+）2+，∵b2≥0，∴2（b2+）2+＞0，∴当b2=0，即b=0时，2a2+7b2的值最小．∴最小值是2．方法二：∵a+b2=1，∴b2=1﹣a，∴2a2+7b2=2a2+7（1﹣a）=2a2﹣7a+7=2（a﹣）2+，∵b2≥0，∴1﹣a≥0，∴a≤1，∴当a=1，即b=0时，2a2+7b2的值最小．∴最小值是2．点评：此题比较复杂，是中学阶段的难点，综合性比较强，解答此题的关键是先求出b的取值范围，再把已知代数式变形后代入未知，把求代数式的最小值转化为求函数式的最小值，结合函数的性质及b的取值范围解答．20．二次函数y=ax2﹣4x﹣13a有最小值﹣17，则a=1或．考点：二次函数的最值．353143分析：本题考查二次函数最大（小）值的求法．解答：解：∵二次函数y=ax2﹣4x﹣13a有最小值﹣17，∴a＞0，y最小值===﹣13a2﹣4=﹣17，解得a=1或，均合题意．点评：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=﹣x2﹣2x+5，y=3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．21．（2011•济宁）将二次函数y=x2﹣4x+5化成y=（x﹣h）2+k的形式，则y=（x﹣2）2+1．考点：二次函数的三种形式．353143专题：常规题型．分析：将二次函数y=x2﹣4x+5的右边配方即可化成y=（x﹣h）2+k的形式．解答：解：y=x2﹣4x+5，y=x2﹣4x+4﹣4+5，y=x2﹣4x+4+1，y=（x﹣2）2+1．故答案为：y=（x﹣2）2+1．点评：本题考查了二次函数的三种形式：一般式：y=ax2+bx+c，顶点式：y=a（x﹣h）2+k；两根式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．22．（2000•河南）用配方法将二次函数y=4x2﹣24x+26写y=a（x﹣h）2+k的形式是y=4（x﹣3）2﹣10．考点：二次函数的三种形式．353143专题：配方法．分析：利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．解答：解：y=4x2﹣24x+26=4（x2﹣6x+9）﹣36+26=4（x﹣3）2﹣10故本题答案为：y=4（x﹣3）2﹣10．点评：二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．23．y=﹣配方成y=a（x﹣h）2+k的形式是y=﹣0.5（x﹣2）2+3．考点：二次函数的三种形式．353143分析：利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．解答：解：y=﹣x2+2x+1=﹣（x2﹣4x+4）+2+1=﹣0.5（x﹣2）2﹣3故本题答案为：y=﹣0.5（x﹣2）2﹣3．点评：二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．24．（2012•上海）将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是y=x2+x﹣2．考点：二次函数图象与几何变换．353143分析：根据向下平移，纵坐标要减去2，即可得到答案．解答：解：∵抛物线y=x2+x向下平移2个单位，∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2，故答案为y=x2+x﹣2．点评：本题考查了二次函数的图象25．（2011•昭通）把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2﹣2x+3，则b的值为4．26．（2011•雅安）将二次函数y=（x﹣2）2+3的图象向右平移2个单位，再向下平移2个单位，所得二次函数的解析式为y=（x﹣4）2+1．．27．（2012•宁波）把二次函数y=（x﹣1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为y=﹣（x+1）2﹣2．的顶点坐标是解题的关键．28．（2011•德阳）在平面直角坐标系中，函数y=﹣3x2的图象不动，将x轴、y轴分别向下、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的顶点坐标是（﹣2，2）．考点：二次函数图象与几何变换．353143分析：先判断出原抛物线的顶点，然后根据题中所述的平移规律求出新抛物线的顶点即可．解答：解：原抛物线的顶点为（0，0），∵把x轴、y轴分别向下、向右平移2个单位，∴新抛物线的顶点为（﹣2，2）．故答案为：（﹣2，2）．点评：考查二次函数的平移问题，得到新抛物线的顶点是解决本题的易错点和关键点，可通过实际操作来辅助解题．29．（2010•黑河）抛物线y=x2﹣4x+与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）．考点：抛物线与x轴的交点．353143分析：把交点坐标代入抛物线解析式求m的值，再令y=0解一元二次方程求另一交点的横坐标．解答：解：把点（1，0）代入抛物线y=x2﹣4x+中，得m=6，所以，原方程为y=x2﹣4x+3，令y=0，解方程x2﹣4x+3=0，得x1=1，x2=3∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）．点评：本题考查了点的坐标与抛物线解析式的关系，抛物线与x轴交点坐标的求法．本题也可以用根与系数关系直接求解．30．（2010•金华）已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为﹣1或3．考点：抛物线与x轴的交点．353143分析：由二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象可以得到抛物线的对称轴和抛物线与x轴的一个交点坐标，然后可以求出另一个交点坐标，再利用抛物线与x轴交点的横坐标与相应的一元二次方程的根的关系即可得到关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解．解答：解：依题意得二次函数y=﹣x2+2x+m的对称轴为x=1，与。
二次函数的图象与性质(共48题)精品专题练习
专题09二次函数的图象与性质（共48题）一．选择题（共20小题）1．（2018•上海）下列对二次函数y＝x2﹣x的图象的描述，正确的是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．经过原点D．在对称轴右侧部分是下降的2．（2016•上海）如果将抛物线y＝x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x+1）2+2C．y＝x2+1D．y＝x2+33．（2020•嘉定区二模）下列关于二次函数y＝x2﹣3的图象与性质的描述，不正确的是（）A．该函数图象的开口向上B．函数值y随着自变量x的值的增大而增大C．该函数图象关于y轴对称D．该函数图象可由函数y＝x2的图象平移得到4．（2020•徐汇区二模）关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是（）A．抛物线的开口方向向上B．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1C．抛物线对称轴左侧部分是下降的D．抛物线顶点到x轴的距离是25．（2020•虹口区一模）抛物线y＝3（x+1）2+1的顶点所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（2020•虹口区一模）已知抛物线y＝x2经过A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，在下列关系式中，正确的是（）A．y1＞0＞y2B．y2＞0＞y1C．y1＞y2＞0D．y2＞y1＞07．（2020•宝山区一模）二次函数y＝1﹣2x2的图象的开口方向（）A．向左B．向右C．向上D．向下8．（2020•杨浦区一模）广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离x（米）的函数解析式是y=−32x2+6x（0≤x≤4），那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（）A．1米B．2米C．5米D．6米9．（2020•浦东新区一模）下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝2x﹣1B．y=2 x2C．y＝x2+1D．y＝（x﹣1）2﹣x210．（2020•闵行区一模）k为任意实数，抛物线y＝a（x﹣k）2﹣k（a≠0）的顶点总在（）A．直线y＝x上B．直线y＝﹣x上C．x轴上D．y轴上11．（2020•金山区一模）将抛物线y＝（x+1）2﹣3向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（）A．y＝（x﹣1）2﹣3B．y＝（x+3）2﹣3C．y＝（x+1）2﹣1D．y＝（x+1）2﹣5 12．（2020•静安区一模）如果将抛物线y＝x2﹣2平移，使平移后的抛物线与抛物线y＝x2﹣8x+9重合，那么它平移的过程可以是（）A．向右平移4个单位，向上平移11个单位B．向左平移4个单位，向上平移11个单位C．向左平移4个单位，向上平移5个单位D．向右平移4个单位，向下平移5个单位13．（2020•奉贤区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：x⋅⋅⋅01345⋅⋅⋅y⋅⋅⋅﹣5−72−72﹣5−152⋅⋅⋅根据表，下列判断正确的是（）A．该抛物线开口向上B．该抛物线的对称轴是直线x＝1C．该抛物线一定经过点（﹣1，−15 2）D．该抛物线在对称轴左侧部分是下降的14．（2020•黄浦区一模）已知二次函数y＝x2，如果将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得图象的表达式是（）A．y＝（x+1）2+2B．y＝（x+1）2﹣2C．y＝（x﹣1）2+2D．y＝（x﹣1）2﹣2 15．（2020•浦东新区一模）抛物线y＝x2﹣4x+5的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，﹣1）16．（2020•普陀区一模）如果二次函数y＝（x﹣m）2+n的图象如图所示，那么一次函数y＝mx+n的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限17．（2020•徐汇区一模）已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣3，那么下列关于该函数的判断正确的是（）A．该函数图象有最高点（0，﹣3）B．该函数图象有最低点（0，﹣3）C．该函数图象在x轴的下方D．该函数图象在对称轴左侧是下降的18．（2020•青浦区一模）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表，那么下列结论中正确的是（）x…﹣2﹣1012…y…04664…A．a＞0B．b＜0C．c＜0D．abc＜019．（2020•松江区一模）如果点A（1，3）、B（m，3）是抛物线y＝a（x﹣2）2+h上两个不同的点，那么m的值为（）A．2B．3C．4D．520．（2020•松江区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断正确的（）A．a＞0，b＞0，c＞0B．a＜0，b＜0，c＜0C．a＜0，b＞0，c＞0D．a＜0，b＜0，c＞0二．填空题（共28小题）21．（2020•上海）如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是．22．（2020•松江区二模）已知点P（﹣2，y1）和点Q（﹣1，y2）都在二次函数y＝﹣x2+c的图象上，那么y1与y2的大小关系是．23．（2020•虹口区二模）如果抛物线y＝（k﹣1）x2+9在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是．24．（2020•长宁区二模）如果抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1（a为常数）不经过第二象限，那么a的取值范围是．25．（2020•崇明区二模）将抛物线y＝x2+2向右平移3个单位，再向上平移2个单位后，那么所得新抛物线你的解析式为．26．（2020•闵行区二模）已知点（﹣1，y1），（√2，y2），（2，y3）在函数y＝ax2﹣2ax+a﹣2（a＞0）的图象上，那么y1、y2、y3按由小到大的顺序排列是．27．（2020•闵行区一模）如果两点A（2，a）和B（x，b）在抛物线y＝x2﹣4x+m上，那么a和b的大小关系为：a b．（从“＞”“≥”“＜”“≤”中选择）．28．（2020•闵行区一模）平移抛物线y＝2x2﹣4x，可以得到抛物线y＝2x2+4x，请写出一种平移方法．29．（2020•虹口区一模）如果函数y＝（m+1）x m2−m+2是二次函数，那么m＝．30．（2020•虹口区一模）沿着x轴正方向看，抛物线y＝﹣（x﹣1）2在对称轴侧的部分是下降的（填“左”、“右”）．31．（2020•虹口区一模）如果抛物线y＝（1﹣a）x2+1的开口向下，那么a的取值范围是．32．（2020•虹口区一模）如图，抛物线的对称轴为直线x＝1，点P、Q是抛物线与x轴的两个交点，点P 在点Q的右侧，如果点P的坐标为（4，0），那么点Q的坐标为．33．（2020•宝山区二模）若抛物线y＝（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第二象限，则m的取值范围为．34．（2020•宝山区一模）二次函数y＝x2+√2x+√3的图象与y轴的交点坐标是．35．（2020•宝山区一模）如图，点A在直线y=34x上，如果把抛物线y＝x2沿OA方向平移5个单位，那么平移后的抛物线的表达式为．36．（2020•奉贤区一模）抛物线y＝x2+bx+2与y轴交于点A，如果点B（2，2）和点A关于该抛物线的对称轴对称，那么b的值是．37．（2020•嘉定区一模）已知抛物线y＝x2﹣2x+c经过点A（﹣1，y1）和B（1，y2），那么y1y2（从“＞”或“＜”或“＝”选择）．38．（2020•普陀区一模）抛物线y＝（a﹣2）x2在对称轴左侧的部分是上升的，那么a的取值范围是．39．（2020•青浦区一模）如果点A（﹣3，y1）和点B（﹣2，y2）是抛物线y＝x2+a上的两点，那么y1y2．（填“＞”、“＝”、“＜”）．40．（2020•浦东新区一模）用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了如下的表格：x…01234…y＝ax2+bx+c…﹣3010﹣3…那么当x＝5时，该二次函数y的值为．41．（2020•静安区一模）某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为x（x＞0），六月份的营业额为y万元，那么y关于x的函数解式是．42．（2020•金山区一模）如果一条抛物线经过点A（2，5），B（﹣3，5），那么它的对称轴是直线．43．（2020•静安区一模）已知二次函数y＝a2x2+8a2x+a（a是常数，a≠0），当自变量x分别取﹣6、﹣4时，对应的函数值分别为y1、y2，那么y1、y2的大小关系是：y1y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．44．（2020•浦东新区一模）将抛物线y＝﹣3x2向下平移4个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式为．45．（2020•浦东新区一模）二次函数y＝﹣2（x+1）2的图象在对称轴左侧的部分是．（填“上升”或“下降”）46．（2020•青浦区一模）如果抛物线y＝ax2﹣1的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是．47．（2020•金山区一模）抛物线y＝2x2﹣1在y轴左侧的部分是．（填“上升”或“下降”）48．（2020•松江区一模）在直角坐标平面中，将抛物线y＝2（x+1）2先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，那么平移后的抛物线表达式是．。
二次函数的图像与性质经典练习题(11套)附带详细答案
练习一1．二次函数的图像开口向＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿＿，图像有最＿＿＿点，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。
2．关于，，的图像，下列说法中不正确的是（ ）A ．顶点相同B ．对称轴相同 C ．图像形状相同D ．最低点相同 2y ax =213y x =2y x =23y x =3．两条抛物线与在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ ）A ．顶点相同B ．对称轴相同 C ．开口方向相反 D ．都有最小值4．在抛物线上，当y ＜0时，x 的取值范围应为（ ）A ．x ＞0B ．x ＜0C ．x ≠0D ．x ≥05．对于抛物线与下列命2y x =2y x =-2y x =-2y x =2y x =-题中错误的是（ ）A ．两条抛物线关于轴对称B ．两条抛物线关于原点对称C ．两条抛物线各自关于轴对称D ．两条抛物线没有公共点6．抛物线y=－b ＋3的对称轴是＿＿＿，顶点是＿＿＿。
7．抛物线y=－－4的开口向＿＿＿，顶点坐标＿＿＿，对称轴＿＿＿，x ＿＿＿时，y 随x y 2x 21(2)2xx 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。
8．抛物线的顶点坐标是（ ）A ．（1，3）B ．（1，3）C ．（1，3）D ．（1，3） 9．已知抛物线的顶点为（1，2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（ ）A ．y=3－2 B ．y=3＋222(1)3y x =+-------2(1)x -2(1)x +C ．y=3－2 D ．y=－3－210．二次函数的图像向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得新函数表达式为（ ）A ．y=a＋3 B ．y=a －3C ．y=a ＋3D ．y=a－311．抛物线的顶点坐标是（ ）2(1)x +2(1)x +2y ax =2(2)x -2(2)x -2(2)x +2(2)x +244y x x =--A ．（2，0）B ．（2，-2）C ．（2，-8）D ．（-2，-8）12．对抛物线y=－3与y=－＋4的说法不正确的是（ ）A ．抛物线的形状相同B ．抛物线的顶点相同C ．抛物线对称轴相同D ．抛物线的开口方向相反13．函数y=a ＋c 与y=ax ＋c(a ≠0)在同一坐标系内的图像22(2)x -22(2)x -2x是图中的（ ）14．化为y=为a 的形式是＿＿＿＿，图像的开口向＿＿＿＿，顶点是＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿。
二次函数的图像与性质经典练习题(11套)附带详细答案
练习一21．二次函数的图像开口向＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿yax＿，图像有最＿＿＿点，x＿＿＿时，y随x的增大而增大，x＿＿＿时，y随x的增大而减小。
12222．关于，yx，y3x的图像，下列说法中不正确的是（）yx3A．顶点相同B．对称轴相同C．图像形状相同D．最低点相同223．两条抛物线yx与在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（）yxA．顶点相同B．对称轴相同C．开口方向相反D．都有最小值24．在抛物线上，当y＜0时，x的取值范围应为（）yxA．x＞0B．x＜0C．x≠0D．x≥0225．对于抛物线yx与yx下列命题中错误的是（）xA．两条抛物线关于轴对称B．两条抛物线关于原点对称C．两条抛物线各自关于y轴对称D．两条抛物线没有公共点26．抛物线y=－bx＋3的对称轴是＿＿＿，顶点是＿＿＿。
127．抛物线y=－(x2)－4的开口向＿＿＿，顶点坐标＿＿＿，对称轴＿＿＿，x＿2＿＿时，y随x的增大而增大，x＿＿＿时，y随x的增大而减小。
28．抛物线y2(x1)3的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（1，3）C．（1，3）D．（1，3）为（）9．已知抛物线的顶点为（1，2），且通过达式（1，10），则这条抛物线的表22A．y=3(x1)－2B．y=3(x1)＋222C．y=3－2D．y=－3－2(x1)(x1)210．二次函数的图像向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得新函数表达yax式为（）22A．y=a＋3B．y=a－3(x2)(x2)22C．y=a(x2)＋3D．y=a(x2)－324411．抛物线的顶点坐标是（）yxxA．（2，0）B．（2，-2）C．（2，-8）D．（-2，-8）2212．对抛物线y=2(x2)－3与y=－2(x2)＋4的说法不正确的是（）A．抛物线的形状相同B．抛物线的顶点相同C．抛物线对称轴相同D．抛物线的开口方向相反213．函数y=a＋c与y=ax＋c(a≠0)在同一坐标系内的图像是图中的（）x243243214．化yxx为y=xx为ya(x h)k的形式是＿＿＿＿，图像的开口向＿＿＿＿，顶点是＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿。
二次函数的图象和性质练习题(含参考答案)
新华师大版九年级下册数学第26章 二次函数的图象和性质部分练习题姓名____________ 时间: 90分钟 满分:120分 总分____________一、选择题（每小题10分,共30分）1. 将抛物线2x y =向右平移2个单位,再向上平移1个单位,所得新抛物线对应的函数表达式为 【 】 （A ）()122++=x y （B ）()122-+=x y（C ）()122+-=x y （D ）()122--=x y2. 将抛物线()312+-=x y 向左平移1个单位,得到的抛物线与y 轴的交点坐标是 【 】（A ）（0 , 2） （B ）（0 , 3） （C ）（0 , 4） （D ）（0 , 7）3. 抛物线321532-⎪⎭⎫⎝⎛+-=x y 的顶点坐标是 【 】（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,21 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛--3,21 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛3,21 （D ）⎪⎭⎫⎝⎛-3,214. 抛物线322++=x x y 的对称轴是 【 】 （A ）直线1=x （B ）直线1-=x （C ）直线2-=x （D ）直线2=x5. 在平面直角坐标系中,将抛物线221x y -=先向下平移1个单位长度,再向左平移1个单位长度,得到的抛物线的解析式为 【 】（A ）23212---=x x y （B ）21212-+-=x x y （C ）23212-+-=x x y （D ）21212---=x x y6. 关于抛物线()212--=x y ,下列说法错误的是 【 】（A ）顶点坐标为()2,1- （B ）对称轴是直线1=x（C ）开口向上 （D ）当1>x 时,y 随x 的增大而减小7. 如图所示,把抛物线2x y =沿直线x y =向右平移2个单位后,其顶点在直线上的A 处,平移后的抛物线解析式是 【 】（A ）()112-+=x y （B ）()112++=x y（C ）()112+-=x y （D ）()112--=x y第 7 题图8. 关于二次函数1422-+=x x y ,下列说法正确的是 【 】 （A ）图象与y 轴的交点坐标为（0 , 1） （B ）图象的对称轴在y 轴的右侧 （C ）当0<x 时,y 的值随x 值的增大而减小 （D ）y 的最小值为3-9. 抛物线1822-+-=x x y 的顶点坐标为 【 】 （A ）（7,2-） （B ）（2 , 7） （C ）（2 ,25-） （D ）（2 ,9-）10. 已知二次函数()12+-=h x y ,在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下,与其对应的函数值y 的最小值为5,则h 的值为 【 】 （A ）1或5- （B ）1-或5 （C ）1或3- （D ）1或3 二、填空题（每小题3分,共30分）11. 抛物线()5232+-=x y 的顶点坐标为_________.12. 将抛物线2x y =向左平移2个单位,再向下平移5个单位,平移后所得新抛物线的表达式为________________.13. 用配方法将二次函数982--=x x y 化为()k h x a y +-=2的形式为________________.14. 抛物线132+-=x x y 的顶点坐标为_________. 15. 抛物线x x y 92+-=的最大值为_________.16. 将抛物线()2432+-=x y 向右平移1个单位,再向下平移3个单位,平移后抛物线的解析式是________________. 17. 已知点()1,4y A ,()2,2y B,()3,2y C -都在二次函数()122--=x y 的图象上,则321,,y y y 的大小关系是__________.18. 抛物线m x x y +-=22与x 轴只有一个交点,则m 的值为_________.19. 已知点()11,y x A ,()22,y x B 为函数()3122+--=x y 图象上的两点,若121>>x x ,则21,y y 的大小关系是__________.20. 如图,把抛物线221x y =平移得到抛物线m ,抛物线m 经过点()0,8-A 和原点O （0 , 0）,它的顶点为P ,它的对称轴与抛物线221x y =交于点Q ,则图中阴影部分的面积为_________.三、解答题（共60分） 21.（10分）已知抛物线()31432--=x y . （1）写出抛物线的开口方向、对称轴;（2）函数y 有最大值还是最小值?并求出这个最值;（3）设抛物线与y 轴的交点为P ,与x 轴的交点为Q ,求直线PQ 的函数表达式.22.（10分）已知二次函数的图象以()4,1-A 为顶点,且过点()5,2-B . （1）求该函数的关系式;（2）求该函数的图象与坐标轴的交点坐标.23.（10分）已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为()1,4-,与y 轴交于点（0 , 3）,求这条抛物线的函数表达式.24.（10分）如图,在平面直角坐标系中,把抛物线2x y =向左平移1个单位,再向下平移4个单位,得到抛物线()k h x y +-=2.所得抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）,与y轴交于点C ,顶点为D . （1）求k h ,的值; （2）判断△ACD 的形状.yxDC BA O25.（10分）已知抛物线22212-+-=x x y . （1）写出此抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标; （2）求出抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标;（3）在（2）中,设抛物线与y 轴交于点A ,与x 轴交于点B ,若以点A 为顶点的抛物线经过点B ,请你求出这条抛物线的解析式,并指出其开口方向和函数的最值.26.（10分）已知二次函数m x x y ++=22的图象1C 与x 轴有且只有一个公共点. （1）求1C 的顶点坐标;（2）将1C 向下平移若干个单位后,得抛物线2C ,如果2C 与x 轴的一个交点为()0,3-A ,求2C 的函数关系式,并求2C 与x 轴的另一个交点坐标;（3）若()1,y n P ,()2,2y Q 是1C 上的两点,且21y y >,求实数n 的取值范围.新华师大版九年级下册数学第26章 二次函数的图象和性质练习题参考答案一、选择题（每小题3分,共30分）二、填空题（每小题3分,共30分）11. （2 , 5） 12. ()522-+=x y 13. ()2542--=x y 14. ⎪⎭⎫⎝⎛-45,2315.481 16. ()1532--=x y 17. 312y y y << 18. 1 19. 21y y < 20. 32三、解答题（共60分） 21.（10分）已知抛物线()31432--=x y . （1）写出抛物线的开口方向、对称轴; （2）函数y 有最大值还是最小值?并求出这个最值;（3）设抛物线与y 轴的交点为P ,与x 轴的交点为Q ,求直线PQ 的函数表达式. 解:（1）开口向上,对称轴为直线1=x ; ……………………………………………2分 （2）函数y 有最小值,最小值为3-=y ; ……………………………………………4分 （3）令0=x ,则()49310432-=--⨯=y ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-49,0P ……………………………5分令0=y ,则()031432=--x 解之得:3,121=-=x x∴()0,1-Q 或Q （3 , 0）……………………………………………6分 设直线PQ 的函数表达式为b kx y +=当⎪⎭⎫ ⎝⎛-49,0P ,()0,1-Q 时⎪⎩⎪⎨⎧=+--=049b k b 解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=4949b k∴直线PQ 的函数表达式为4949--=x y ; ……………………………………………8分当⎪⎭⎫ ⎝⎛-49,0P , Q （3 , 0）时⎪⎩⎪⎨⎧=+-=0349b k b 解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==4943b k∴直线PQ 的函数表达式为4943-=x y …………………………………………10分 综上所述,直线PQ 的函数表达式为4949--=x y 或4943-=x y . 22.（10分）已知二次函数的图象以()4,1-A 为顶点,且过点()5,2-B . （1）求该函数的关系式;（2）求该函数的图象与坐标轴的交点坐标. 解:（1）由题意可设该函数的关系式为()k h x a y +-=2∵其顶点为()4,1-A ∴4,1-==k h……………………………………………2分 ∴()412--=x a y把()5,2-B 代入()412--=x a y 得:()54122-=--⨯a解之得:1-=a……………………………………………4分 ∴该函数的关系式为()412---=x y ;（2）令0=x ,则()54102-=---=y∴该函数的图象与y 轴的交点为()5,0-;……………………………………………7分 令0=y ,则()0412=---x∴()412-=-x∴方程无实数解∴该函数的图象与x 轴无交点.…………………………………………10分 23.（10分）已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为()1,4-,与y 轴交于点（0 , 3）,求这条抛物线的函数表达式.解:由题意可设该抛物线为()k h x a y +-=2∵其顶点坐标为()1,4- ∴1,4-==k h……………………………………………4分 ∴()142--=x a y把（0 , 3）代入()142--=x a y 得:()31402=--⨯a……………………………………………6分 解之得:41=a …………………………………………10分 ∴这条抛物线的函数表达式为()14412--=x y . 24.（10分）如图,在平面直角坐标系中,把抛物线2x y =向左平移1个单位,再向下平移4个单位,得到抛物线()k h x y +-=2.所得抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）,与y 轴交于点C ,顶点为D . （1）求k h ,的值; （2）判断△ACD 的形状.解:（1）平移后,抛物线的解析式为()412-+=x y……………………………………………3分 ∴4,1-=-=k h ;……………………………………………5分 （2）令0=y ,则()0412=-+x解之得:1,321=-=x x ∵点A 在点B 的左边 ∴()0,3-A ,B （1 , 0）……………………………………………6分 ∴3=OA令0=x ,则()34102-=-+=y∴()3,0-C……………………………………………7分 ∴3=OC∴OC OA =∴△AOC 为等腰直角三角形∴︒=∠45ACO∵点D 为抛物线()412-+=x y 的顶点∴()4,1--D……………………………………………8分 过点D 作y DE ⊥轴 ∴4,1==OE DE∴134=-=-=OC OE CE ∴CE DE =∴△DCE 为等腰直角三角形∴︒=∠45DCE∴︒=︒-︒-︒=∠904545180ACD ∴△ACD 为直角三角形.…………………………………………10分 25.（10分）已知抛物线22212-+-=x x y . （1）写出此抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标;（2）求出抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标; （3）在（2）中,设抛物线与y 轴交于点A ,与x 轴交于点B ,若以点A 为顶点的抛物线经过点B ,请你求出这条抛物线的解析式,并指出其开口方向和函数的最值. 解:（1）()222212221--=-+-=x x x y ……………………………………………1分 开口向下,对称轴为直线2=x ,顶点坐标为（2 , 0）;……………………………………………4分 （2）令0=y ,则()02212=--x 解之得:2=x∴抛物线与x 轴的交点为（2 , 0）……………………………………………5分 令0=x ,则()220212-=-⨯-=y ∴抛物线与y 轴的交点为()2,0-;……………………………………………6分 （3）由题意可设抛物线的解析式为k ax y +=2∵其顶点为A ()2,0- ∴2-=k……………………………………………7分 ∴22-=ax y把B （2 , 0）代入22-=ax y 得:024=-a 解之得:21=a……………………………………………8分∴2212-=x y开口向上,函数的最小值为2-.…………………………………………10分 26.（10分）已知二次函数m x x y ++=22的图象1C 与x 轴有且只有一个公共点. （1）求1C 的顶点坐标;（2）将1C 向下平移若干个单位后,得抛物线2C ,如果2C 与x 轴的一个交点为()0,3-A ,求2C 的函数关系式,并求2C 与x 轴的另一个交点坐标;（3）若()1,y n P ,()2,2y Q 是1C 上的两点,且21y y >,求实数n 的取值范围.解:（1）()11222-++=++=m x m x x y∵其图象1C 与x 轴有且只有一个公共点 ∴01=-m ∴1=m……………………………………………3分∴()21+=x y∴1C 的顶点坐标为()0,1-;……………………………………………4分（2）设2C 的函数关系式为()k x y ++=21把()0,3-A 代入()k x y ++=21得:()0132=++-k解之得:4-=k∴2C 的函数关系式为()412-+=x y……………………………………………7分 令0=y ,则()0412=-+x解之得:1,321=-=x x∴2C 与x 轴的另一个交点坐标为（1 , 0）; ……………………………………………8分 （3）2>n 或4-<n .…………………………………………10分。
二次函数的图像与性质专题练习
二次函数的图像与性质一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。
【说明】这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c=+的性质：上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质： 5. 二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.六、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． / 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．4.利用二次函数与x 轴的交点的个数来确定判别式∆的符号，利用特殊点的坐标确定特殊代数式的值的范围。
二次函数的图像与性质-同步练习(含解析)
二次函数的图像与性质同步练习一、单选题1．已知点(3，1y ),(4，2y ), (5，3y )在函数y=2x 2+8x+7的图象上,则y 1,y 2,y 3的大小关系是( )A 、y 1>y 2>y 3B 、y 2> y 1> y 3C 、y 2>y 3> y 1D 、y 3> y 2> y 1 2．已知二次函数y=2x2+8x+7的图象上有有点A ，B ，C ，则y1、y2、y3的大小关系为( )A ． y1 > y2> y3B ． y2> y1> y3C ． y2> y3> y1D ． y3> y2> y13．已知二次函数y=x 2+bx+c 的图象上有三个点（﹣1，y 1）、（1，y 2）、（3，y 3），若y 1=y 3，则（ ）A ．y 2＞c ＞y 1B ．y 2＜c ＜y 1C ．c ＞y 1＞y 2D ．c ＜y 1＜y 24．已知抛物线y=-（x+1）2上的两点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），如果x 1＜x 2＜-1，那么下列结论一定成立的是( ) A ．y 1＜y 2＜0B ．0＜y 1＜y 2C ．0＜y 2＜y 1D ．y 2＜y 1＜0．5．二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，反比例函数ay x=与正比例函数y=(b+c)x 在同一坐标系中的大致图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．在同一坐标系中，二次函数2y ax bx =+与一次函数y bx a =-的图像可能是（ ）1(2)y -，21(5)3y -，31(1)5y -，A ．B ．C ．D ．7．反比例函数ky x=与一次函数()1y k x =-在同一坐标系中的图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．8．在同一坐标系中，函数x k y =和3+=kx y 的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 9．如图，坐标系中抛物线是函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象，则下列式子能成立的是（ ）xxxxyyyyOOOO10．已知抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，对称轴是直线13x =．则下列结论中，正确的是（ ）A ．a ＜0B ．c ＜﹣1C ．a ﹣b+c ＜0D ．2a+3b=011．二次函数2y x bx c =++中（b ，c 是常数）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：下列结论正确的是：A ．当2x =时，y 有最大值1B ．当2x <时，y 随x 的增大而增大C ．点(5,9)在该函数的图像上D ．若1(,)A m y ，2(1,)B m y +两点都在该函数的图象上，则当32m >时，12y y <. 12．如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①2y ax =；①2y bx =；①2y cx =；①2y dx =，则a b c d ,,,的大小关系为A ．a b c d >>>B ．a b d c >>>C ．b a c d >>>D ．b a d c >>>13．如图，抛物线的对称轴是直线x=1，且经过点P （3，0），则的值为（ ）A ．0B ．－1C ．1D ．214．若二次函数的x 与y 的部分对应值如下表，则当x 1=时，y 的值为( )A ．5B ．3-C ．13-D ．27-15．已知二次函数()2y ax bx c a 0=++≠，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表所示下列说法错误的是( ) A ．图象开口向下 B ．抛物线的对称轴是直线x 2= C ．2b 4ac 0-> D ．当1x 3<<时，y 6<二、填空题16．已知抛物线2y x x =+－６５经过点1()4a -，和1()a y -，，则y 1的值是_________． 17．将抛物线()2241y x =--先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为__________．18．将抛物线y ＝－2x 2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为_____ 19．将抛物线的解析式y=向上平移3个单位长度，在向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是 ．20．如果二次函数y=（-2k+4）x 2-3x+1的图象开口向上，那么常数k 的取值范围是________三、解答题21．已知函数y=（k ﹣2）x k²﹣4k+5+2x 是关于x 的二次函数．求： （1）满足条件的k 的值；（2）当k 为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x 为何值时，y 随x 的增大而增大？22．已知函数()242mm y m x +-=+是关于x 的二次函数．()1求m 的值．()2如果这个二次函数的图象经过点()18P -，求m 的值；()3对于()2中二次函数，函数有无最大值？若有，此时的x 为何值．23．求抛物线217322y x x =--+的对称轴、顶点坐标. 24．阅读下面文字:求代数式24x 7x -+的最值，我们可以这样做：()()2224x 74x 4323x x x -+=-++=-+,因为()22x -≥0，所以当x=2时，该代数式有最小值，最小值为3.仿照以上方法，求（1）28a 3a +-的最值.（2）222y y -++的最值.25．把函数y=3x 2+6x+10转化成y=a （x-h ）2+k 的形式，然后指出它的图象开口方向，对称轴，顶点坐标和最值．26．如图，已知抛物线y=2x -+mx+3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0），（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA+PC 的值最小时，求点P 的坐标．参考答案1．D【解析】解：抛物线的对称轴为2482-=-=-=a b x ，又02φ=a ，抛物线开口向上，在对称轴的右边y 随x 的增大而增大，345φφΘ，123y y y φφ∴，故选D 。
二次函数的图像和性质练习题
二次函数的图像和性质练习题二次函数是高中数学中的重要内容之一，在数学学习中起着重要的作用。
理解和掌握二次函数的图像和性质对于解题和解决实际问题至关重要。
本文将为您提供一些关于二次函数图像和性质的练习题，以帮助您更好地理解和掌握相关内容。
1. 下列函数中哪个是二次函数？A. y = 3x + 2B. y = x^2 + 2x - 1C. y = √xD. y = |x|解答：答案是B。
只有函数B是含有二次项的函数，其他函数均不是二次函数。
2. 给定一个二次函数 y = ax^2 + bx + c，若 a > 0，那么这个二次函数的图像是什么样的？解答：当 a > 0 时，二次函数的图像开口向上。
这是因为二次函数的图像开口方向与二次项系数 a 的符号相关，当 a > 0 时，函数的图像开口向上，表示函数的最小值在图像的顶点处。
3. 给定一个二次函数 y = -2x^2 + 4x - 1，那么它的顶点坐标是多少？解答：二次函数的顶点坐标可通过公式 x = -b/2a 和 y = f(x) 计算得出。
对于这个二次函数，a = -2，b = 4，c = -1。
代入公式计算可得：x = -4/(2*(-2)) = -4/(-4) = 1y = -2(1)^2 + 4(1) - 1 = 1因此，这个二次函数的顶点坐标为 (1, 1)。
4. 给定一个二次函数的图像为一个开口向下的抛物线，该二次函数的开口向上对称的点是什么？解答：根据二次函数的性质，开口向下的二次函数的开口向上对称的点为顶点。
因此，开口向下的抛物线的开口向上对称的点即为顶点。
可以通过平移顶点的方法来求得这个点的坐标。
5. 给定一个二次函数 y = x^2 + 3x + 2，那么它的零点是什么？解答：二次函数的零点即为方程 y = 0 的解，也就是函数与 x 轴交点的横坐标。
对于这个二次函数，我们需要求解方程x^2 + 3x + 2 = 0。
(完整版)二次函数的图像与性质练习题及答案
二次函数的图像和性质练习题一、选择题1．下列函数是二次函数的有（ ）12)5(;)4();3()3(;2)2(;1)1(222+=++=-==-=x y c bx ax y x x y xy x y (6) y=2(x+3)2－2x 2A 、1个；B 、2个；C 、3个；D 、4个 2.关于213y x =，2y x =，23y x =的图像，下列说法中不正确的是（ ） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．图像形状相同 D ．最低点相同 3．抛物线()12212++=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（-2，1） C ．（2，-1） D ．（-2，-1）4.已知二次函数)2(2-++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值为 （ ）A ． 0或2B ． 0C ． 2D ．无法确定 5.已知二次函数213x y -=、2231x y -=、2323x y =，它们的图像开口由小到大的顺序是（ ）A 、321y y y <<B 、123y y y <<C 、231y y y <<D 、132y y y <<6．两条抛物线2y x =与2y x =-在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ ）A ．顶点相同B ．对称轴相同C ．开口方向相反D ．都有最小值7．已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列结论：①0abc >；②a+b+c>0③a-b+c<0；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．已知抛物线的顶点为（-1，-2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（ ）A ．y=32(1)x -－2 B ．y=32(1)x +＋2 C ．y=32(1)x +－2 D ．y=－32)1(-x +29．抛物线23y x =向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( )A .23(1)2y x =-- B.23(1)2y x =+- C.23(1)2y x =++ D.23(1)2y x =-+10．抛物线244y x x =--的顶点坐标是（ ）A ．（2，0）B ．（2，-2）C ．（2，-8）D ．（-2，-8）11.与抛物线y=－12x 2+3x －5的形状、开口方向都相同，只有位置不同的抛物线是（ ）A. y = x 2+3x －5B. y=－12x 2xC. y =12x 2+3x －5D. y=12x 212．对抛物线y=22(2)x -－3与y=－22(2)x -＋4的说法不正确的是（ ）A ．抛物线的形状相同B ．抛物线的顶点相同C ．抛物线对称轴相同D ．抛物线的开口方向相反13.对于抛物线21(5)33y x =--+，下列说法正确的是（ ）A ．开口向下，顶点坐标(53)，B ．开口向上，顶点坐标(53)，C ．开口向下，顶点坐标(53)-，D ．开口向上，顶点坐标(53)-，14．抛物线y=222x mx m -++的顶点在第三象限，试确定m 的取值范围是（ ）A ．m ＜－1或m ＞2B ．m ＜0或m ＞－1C ．－1＜m ＜0D ．m ＜－1 15.在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是（ ）16．函数y=12-2x ＋2x －5的图像的对称轴是（ ） A ．直线x=2 B ．直线a=－2 C ．直线y=2 D ．直线x=4 17.二次函数y=221x x --+图像的顶点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 18．如果抛物线y=26x x c ++的顶点在x 轴上，那么c 的值为（ ）A ．0B ．6C ．3D ．9ＡＢＣＤ19．已知二次函数2y ax bx c =++，如果a ＞0,b ＜0,c ＜0，那么这个函数图像的顶点必在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 20.已知正比例函数kx y =的图像如右图所示，则二次函数222k x kx y +-= 21．如图所示，满足a ＞0,b ＜0的函数y=2ax bx +的图像是（ ）22.若A （-4，y 1），B （-3，y 2），C （1，y 3）为二次函数y=x 2+4x-5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A 、y 1＜y 2＜y 3B 、y 2＜y 1＜y 3C 、y 3＜y 1＜y 2D 、y 1＜y 3＜y 2二、填空题：23.二次函数2y ax =（0<a ）的图像开口向＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿＿，图像有最＿＿＿点，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。
二次函数的图象和性质练习题(含参考答案)
新华师大版九年级下册数学第26章 二次函数的图象和性质练习题姓名____________ 时间: 90分钟 满分:120分 总分____________一、选择题（每小题3分,共30分）1. 在二次函数122++-=x x y 的图象中,若y 随x 的增大而增大,则x 的取值范围是 【 】 （A ）1<x （B ）1>x （C ）1-<x （D ）1->x2. 若二次函数142-++=m x mx y 的最小值是2,则m 的值是 【 】 （A ）4 （B ）3 （C ）1- （D ）4或1-3. 已知二次函数m x x y +-=32（m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1 , 0）,则关于x 的一元二次方程032=+-m x x 的两个实数根是 【 】 （A ）1,121-==x x （B ）2,121==x x （C ）0,121==x x （D ）3,121==x x4. 如图,由二次函数c bx ax y ++=2的图象可知,不等式02<++c bx ax 的解集是 【 】 （A ）13<<-x （B ）1>x （C ）3-<x 或1>x （D ）3-<x第 4 题图第 5 题图5. 如图是抛物线c bx ax y ++=2的一部分,它的对称轴是直线1=x ,若抛物线x 轴的一个交点为A （3 , 0）,则不等式02<++c bx ax 的解集是 【 】 （A ）3>x （B ）3<x （C ）30<<x （D ）31<<-x6. 若一次函数()a x a y ++=1的图象过第一、三、四象限,则二次函数ax ax y -=2 【 】（A ）有最大值4a （B ）有最大值4a - （C ）有最小值4a （D ）有最小值4a-7. 将抛物线216212+-=x x y 向左平移2个单位后,所得新抛物线的解析式为 【 】（A ）()58212+-=x y （B ）()54212+-=x y（C ）()38212+-=x y （D ）()34212+-=x y8. 二次函数的部分图象如图所示,对称轴是直线1-=x ,则这个二次函数的表达式为 【 】 （A ）322++-=x x y （B ）322++=x x y （C ）322-+-=x x y （D ）322+--=x x y第 8 题图第 9 题图9. 如图,若二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）图象的对称轴为直线1=x ,与y 轴交于点C ,与x 轴交于点A 、点B ()0,1-,则①二次函数的最大值为c b a ++; ②0<+-c b a ;③042<-ac b ; ④当0>y 时,31<<-x .其中正确的个数是 【 】 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）410. 若二次函数12+=ax y 的图象经过点()0,2-,则关于x 的方程()0122=+-x a 的实数根为 【 】 （A ）4,021==x x （B ）6,221=-=x x （C ）25,2321==x x （D ）0,421=-=x x 二、填空题（每小题3分,共30分）11. 若抛物线()12-++=m m x y 的对称轴是直线1=x ,则它的顶点坐标是_________.12. 若抛物线c bx ax y ++=2（0≠a ）与抛物线342+-=x x y 关于y 轴对称,则函数c bx ax y ++=2的关系式为________________.13. 已知二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）,其中c b a ,,满足0=++c b a 和039=+-c b a ,则该二次函数图象的对称轴是直线_________.14. 若二次函数n x x y +-=42的图象与x 轴只有一个公共点,则实数n 的值为_________. 15. 二次函数542++=x x y ,当3-≤x ≤0的最小值为_________.16. 如果将抛物线122-+=x x y 向上平移,使它经过点()3,0A ,那么所得新抛物线的表达式为________________.17. 经过A （4 , 0）,)0,2(-B ,C （0 , 3）三点的抛物线的解析式是___________.18. 若二次函数c bx ax y ++=2（0<a ）的图象经过点（2 , 0）,且其对称轴为直线1-=x ,则使函数值0>y 成立的x 的取值范围是__________.19. 将一条抛物线向上平移4个单位,再向左平移2个单位后,得到新的抛物线为442++=x x y ,则原抛物线的解析式为________________.20. 已知抛物线c bx ax y ++=2（0≠a ）与x 轴交于A 、B 两点,若点A 为()0,2-,抛物线的对称轴为直线2=x ,则线段AB 的长为_________. 三、解答题（共60分）21.（10分）如图,抛物线122++=ax ax y 与x 轴仅有一个公共点A ,经过点A 的直线交该抛物线于点B ,交y 轴交于点C ,且点C 是线段AB 的中点. （1）求这条抛物线的函数解析式; （2）求直线AB 的函数解析式.yxCA BO22.（10分）如图所示,二次函数m x x y ++-=22的图象与x 轴的一个交点为A （3 , 0）,另一个交点为B ,且与y 轴交于点C . （1）求m 的值; （2）求点B 的坐标;（3）若点D 为x 轴上方该函数图象上的一点,且ABC ABD S S ∆∆=,求点D 的坐标.yxCBAO23.（10分）如图,一次函数b kx y +=的图象与x 轴和y 轴分别交于A （6 , 0）和()32,0B ,线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ,交AB 于点D . （1）求一次函数的关系式;（2）求过A、B 、C 三点的抛物线的函数关系式.x24.（10分）如图,二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点,其中点A 的坐标为()0,1-,与y 轴交于点C （0 , 5）,另抛物线经过点（1 , 8）,点M 是抛物线的顶点.（1）求抛物线的解析式; （2）求△MCB 的面积.y xMCBA O25.（10分）已知二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点,其中点A 的坐标为()0,3-,与y 轴交于点C ,点()3,2--D .（1）求抛物线的解析式;（2）抛物线的对称轴上有一动点P ,求出PD PA +的最小值.yxD C AB OFPyx备用图D C AB O FP 26.（10分）如图所示,抛物线c bx x y ++=2与直线1-=x y 交于A 、B 两点,点A 的纵坐标为4-,点B 在y 轴上,直线AB 与x 轴交于点F ,点P 是线段AB 下方的抛物线上一动点,横坐标为m ,过点P 作PC x ⊥轴于C ,交直线AB 于D .（1）求抛物线的解析式;（2）当m 取何值时,线段PD 的长度取得最大值,其最大值是多少?（3）是否存在点P ,使△P AD 是直角三角形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.新华师大版九年级下册数学第26章 二次函数的图象和性质练习题参考答案一、选择题（每小题3分,共30分）二、填空题（每小题3分,共30分）11. ()2,1- 12. 342++=x x y 13. 1-=x 14. 4 15. 1 16. 322++=x x y 17. ()()4283-+-=x x y 18. 24<<-x 19. 42-=x y 20. 8三、解答题（共60分）21.（10分）如图,抛物线122++=ax ax y 与x 轴仅有一个公共点A ,经过点A 的直线交该抛物线于点B ,交y 轴交于点C ,且点C 是线段AB 的中点.（1）求这条抛物线的函数解析式; （2）求直线AB 的函数解析式.yxCA BO解:（1） ∵抛物线122++=ax ax y 与x 轴仅有一个公共点A∴()0422=-=∆a a……………………………………………2分 ∴02=-a a 解之得:1,021==a a……………………………………………4分 ∵0≠a ∴1=a……………………………………………5分 ∴这条抛物线的函数解析式为()22112+=++=x x x y ;（2）∵点A 为抛物线()21+=x y 的顶点∴()0,1-A……………………………………………6分 ∵点C 是线段AB 的中点∴点B 的横坐标为1对于()21+=x y ,当1=x 时,4=y∴B （1 , 4）……………………………………………7分 设直线AB 的函数解析式为b kx y += 把()0,1-A , B （1 , 4）分别代入b kx y +=得:⎩⎨⎧=+=+-40b k b k 解之得:⎩⎨⎧==22b k∴直线AB 的函数解析式为22+=x y . 附 中点坐标公式中点坐标公式在平面直角坐标系中,如果线段AB 的端点A 、B 的坐标分别为A ),(11y x 、B ),(22y x ,则其中点P ),(n m 的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y n x x m 图形说明如图（1）所示.图（1）22.（10分）如图所示,二次函数m x x y ++-=22的图象与x 轴的一个交点为A （3 , 0）,另一个交点为B ,且与y 轴交于点C .（1）求m 的值; （2）求点B 的坐标;（3）若点D 为x 轴上方该函数图象上的一点,且ABC ABD S S ∆∆=,求点D 的坐标.yxCBAO解:（1）把A （3 , 0）代入m x x y ++-=22得:069=++-m解之得:3=m……………………………………………3分 ∴该抛物线的解析式为322++-=x x y ; （2）令0=x ,则0322=++-x x 解之得:3,121=-=x x ∴点B 的坐标为()0,1-;……………………………………………6分 （3）令0=x ,则3=y∴C （0 , 3）……………………………………………7分∵ABC ABD S S ∆∆=∴点C 与点D 的纵坐标相等 令3=y ,则3322=++-x x 解之得:2,021==x x ∴点D 的坐标为（2 , 3）.…………………………………………10分 23.（10分）如图,一次函数b kx y +=的图象与x 轴和y 轴分别交于A （6 , 0）和()32,0B ,线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ,交AB 于点D .（1）求一次函数的关系式;（2）求过A 、B 、C 三点的抛物线的函数关系式.解:（1）把A （6 , 0）和()32,0B 分别代入b kx y +=得:⎩⎨⎧==+3206b b k 解之得:⎪⎩⎪⎨⎧=-=3233b k∴一次函数的关系式为3233+-=x y ; ……………………………………………4分 （2）连结BC.∵直线CD 是线段AB 的垂直平分线 ∴BC AC =∵A （6 , 0）()32,0B ∴32,6==OB OA设x BC AC ==,则x AC OA OC -=-=6 在Rt △BOC 中,由勾股定理得:222BC OC OB =+∴()()222632x x =-+解之得:4=x ∴4=AC∴246=-=-=AC OA OC ∴C （2 , 0）……………………………………………7分设过A 、B 、C 三点的抛物线的函数关系式为()()62--=x x a y把()32,0B 代入()()62--=x x a y 得:()()326020=--⨯a解之得:63=a ∴抛物线的解析式为()()6263--=x x y . …………………………………………10分x第（2）问另解: ∵A （6 , 0）()32,0B ∴32,6==OB OA 在Rt △AOB 中 ∵33632tan ===∠OA OB BAO ∴︒=∠30BAO……………………………………………5分 ∴342==OB AB∵直线CD 是线段AB 的垂直平分线 ∴3221==AB AD 在Rt △ACD 中 ∵233230cos ===︒AC AC AD ∴4=AC∴246=-=-=AC OA OC ∴C （2 , 0）……………………………………………7分 设过A 、B 、C 三点的抛物线的函数关系式为()()62--=x x a y把()32,0B 代入()()62--=x x a y 得:()()326020=--⨯a解之得:63=a ∴抛物线的解析式为()()6263--=x x y . …………………………………………10分 注意:若抛物线与x 轴交于A )0,(1x 、B )0,(2x 两点,则可设抛物线的解析式为:()()21x x x x a y --=.24.（10分）如图,二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点,其中点A 的坐标为()0,1-,与y 轴交于点C （0 , 5）,另抛物线经过点（1 , 8）,点M 是抛物线的顶点. （1）求抛物线的解析式; （2）求△MCB 的面积.解:（1）把()0,1-,（0 , 5）,（1 , 8）分别代入c bx ax y ++=2得:⎪⎩⎪⎨⎧=++==+-85c b a c c b a 解之得:⎪⎩⎪⎨⎧==-=541c b a∴该抛物线的解析式为542++-=x x y ;……………………………………………4分 （2）∵542++-=x x y ∴()922+--=x y……………………………………………5分∵点M 是抛物线()922+--=x y 的顶点∴M （2 , 9）……………………………………………6分 令0=y ,则()0922=+--x解之得:5,121=-=x x ∴B （5 , 0）……………………………………………7分 作y ME ⊥轴 ∴9,2==OE ME∴459=-=-=OC OE CE ∴BOC MCE MEOB MCB S S S S ∆∆∆--=梯形()552124212529⨯⨯-⨯⨯-+⨯=15=…………………………………………10分 25.（10分）已知二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点,其中点A 的坐标为()0,3-,与y 轴交于点C ,点()3,2--D . （1）求抛物线的解析式;（2）抛物线的对称轴上有一动点P ,求出PD PA +的最小值.解:（1）把A ()0,3-、()3,2--D 分别代入c bx x y ++=2得:⎩⎨⎧-=+-=+-324039c b c b 解之得:⎩⎨⎧-==32c b∴抛物线的解析式为322-+=x x y ; ……………………………………………4分 （2）令0=y ,则0322=-+x x 解之得:3,121-==x x ∴B （1 , 0）,1=OB……………………………………………6分 ∵A 、B 两点是抛物线322-+=x x y 与x 轴的两个交点∴A 、B 两点关于直线1-=x 对称如图,连结BD ,与直线1-=x 的交点即为PD PA +的值最小时,点P 的位置,作x DE ⊥轴,并连结P A .∴PB PA =∴BD PD PB PD PA =+=+……………………………………………7分∵()3,2--D ∴2,3==OE DE∴321=+=+=OE OB BE 在Rt △BDE 中,由勾股定理得:23332222=+=+=DE BE BD∴PD PA +的最小值为23.…………………………………………10分关于两条线段之和取得最小值的问题有许多几何问题都涉及到两条线段之和最小的问题,解决这类问题的主要方法是依据“两点之间线段最短”,将两条线段的和转化为一条线段,该线段的长度即为两条线段之和的最小值.怎么转化是解决问题的关键-----借助于图形变换中的轴对称可以实现转化.另外还要用到线段垂直平分线的性质定理、勾股定理等知识,有些题目还与函数知识相结合,难度较高.也有部分几何问题涉及到三条线段之和最小,情形比较复杂,但解决问题的依据和思路基本上是不变的.要求:（1）会作出一个点关于某条直线的对称点. （2）熟悉并掌握线段垂直平分线的性质定理.（3）通过合理添加辅助线构造直角三角形,使用勾股定理求解线段（边）的长度. （4）掌握两点关于坐标轴对称时坐标之间的关系,如两点关于y轴对称时,它们的横坐标互为相反数,纵坐标相等.（5）学会并掌握用待定系数法求一次函数的关系式.26.（10分）如图所示,抛物线cbxxy++=2与直线1-=xy交于A、B两点,点A的纵坐标为4-,点B在y轴上,直线AB与x轴交于点F,点P是线段AB下方的抛物线上一动点,横坐标为m,过点P作PC x⊥轴于C,交直线AB于D.（1）求抛物线的解析式;（2）当m取何值时,线段PD的长度取得最大值,其最大值是多少?（3）是否存在点P,使△P AD是直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.yxDC FABOP解:（1）对于1-=xy令4-=y,则41-=-x,解之得:3-=x∴()4,3--A令0=x,则1-=y∴()1,0-B把()4,3--A 和()1,0-B 分别代入c bx x y ++=2得:⎩⎨⎧-=-=+-1439c c b 解之得:⎩⎨⎧-==14c b∴抛物线的解析式为142-+=x x y ; ……………………………………………3分 （2）∵点P 是线段AB 下方的抛物线上一动点,横坐标为m∴()14,2-+m m m P （03<<-m ） ∵PC x ⊥轴,点D 在直线1-=x y ∴()1,-m m D ∵点D 在点P 的上方∴()m m m m m PD 314122--=-+--=∴49232+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=m PD……………………………………………5分∴当23-=m 时,线段PD 的长度取得最大值,最大值为49;……………………………………………6分 （3）存在点P ,使△P AD 是直角三角形. 对于1-=x y 令0=y ,则01=-x 解之得:1=x ∴F （1 , 0）∴1==OF OB∴△BOF 和△DCF 都是等腰直角三角形 ∴︒=∠=∠45ADP CDF分为两种情况:①当︒=∠90PAD 时,△P AD 是等腰直角三角形 作PC AE ⊥ ∴()m m PD AE 321212--==∵()4,3--A ,()0,m C ∴()m m AE +=--=33 ∴()m m m +=--33212 整理得:0652=++m m 解之得:3,221-=-=m m ∵03<<-m ∴2-=m∴()()512421422-=--⨯+-=-+m m∴()5,2--P ;……………………………………………8分 ②当︒=∠90APD 时,PD PA =∴()m m m 332--=-- 整理得:0342=++m m 解之得:3,121-=-=m m ∵03<<-m ∴1-=m∴()()411411422-=--⨯+-=-+m m∴()4,1--P ;…………………………………………10分 综上所述,存在点P ,使△P AD 是直角三角形,点P 的坐标为()5,2--或()4,1--.yxDCFABO P注意:对于讨论的第①种情况,我们还可以用下面的方法予以求解,希望借此拓宽大家的视野.先补充知识点: 对于两条直线:222111::b x k y l b x k y l +=+=若21l l ⊥,则121-=k k .注意 此结论通常用来求一次函数的解析式.例如:直线1l 的解析式为2+-=x y ,直线2l 与1l 垂直,且直线2l 经过点)2,1(-,求直线2l 的解析式.解:由题意可设直线2l 为:b x y +=∵其图象经过点)2,1(- ∴3,21-=-=+b b∴直线2l 的解析式为3-=x y . 回到本题:①当︒=∠90PAD 时,AB AP ⊥ 设直线AP 为n mx y += ∵直线AB 为1-=x y ∴1-=m∴n x y +-= 把()4,3--A 代入n x y +-=得:43-=+n∴7-=n∴直线AP 为7--=x y 解方程7342--=-+x x x 得:3,221-=-=x x （不合题意,舍去）∴()5,2--P .学生整理用图。
初中数学专训：二次函数的图象和性质60题(含答案)
2022年10月03日二次函数的图象一．选择题（共42小题）1．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+b＝1；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，正确的结论个数是（）A．1B．2C．3D．42．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（）A．b＜0，c＞0B．b＞0，c＞0C．b＞0，c＜0D．b＜0，c＜0 3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，交y轴于点（0，﹣1），有如下结论：①abc＜0；②b﹣2a＝0；③若A（﹣3，y1），B（，y2）在该函数的图象上，则y1＞y2；④关于x的不等式ax2+bx+c+1＞0的解集为x＞0或x＜﹣2．其中结论正确的是（）A．①②④B．①②③C．①③④D．①②4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在△MNR的边上移动，MN∥y轴，NR∥x轴，M点坐标为（﹣6，﹣2），MN＝2，NR＝7．若在抛物线移动过程中，点B横坐标的最大值为3，则a﹣b+c的最大值是（）A．15B．18C．23D．325．如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，直线x＝﹣1是对称轴，有下列判断：①b﹣2a＝0，②4a﹣2b+c＜0，③a﹣b+c＝﹣9a，④若（﹣3，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2．其中正确的是（）A．①②③B．①③C．①④D．①③④6．如图，坐标系的原点为O，点P是第一象限内抛物线y＝x2﹣1上的任意一点，P A⊥x 轴于点A．则OP﹣P A值为（）A．1B．2C．3D．47．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：①此二次函数表达式为y＝x2﹣x+9：②若点B（﹣1，n）在这个二次函数图象上，则n＞m；③该二次函数图象与x轴的另一个交点为（﹣4，0）；④当0＜x＜5.5时，m＜y＜8．所有正确结论的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤b+c＞m（am+b）+c（其中m≠）．正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象对称轴是直线x＝1，下列说法正确的是（）A．a＞0B．2a+b＝0C．b2﹣4ac＜0D．a+b+c＜0 11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：①ac＜0；②a﹣b+c＜0；③当x＞2时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，下列结论：①ac＜0；②当x≥1时，y随x的增大而减小；③2a+b＝0；④b2﹣4ac＜0；⑤4a﹣2b+c＞0；其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．413．如图，将抛物线y＝﹣x2+x+8图象中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，则新图象与直线y＝﹣8的交点个数是（）A．1B．2C．3D．414．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，使y≥﹣1成立的x的取值范围是（）A．x≥﹣1B．x≤﹣1C．﹣1≤x≤3D．x≤﹣1或x≥3 15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，0），下列四个结论：①如果点（﹣，y1）和（2，y2）都在抛物线上，那么y1＜y2；②b2﹣4ac＞0；③m（am+b）＜a+b（m≠1的实数）；④＝﹣3；其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④a+b+2c＞0，其中正确结论的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个17．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c ＜0；③m（am+b）+b≤a；④（a+c）2＜b2；其中正确结论的个数有（）个．A．1个B．2个C．3个D．418．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）A．abc＞0B．b2﹣4ac＜0C．9a+3b+c＞0D．c+8a＜019．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象如图所示．当y＞0时，自变量x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜3B．x＜﹣1C．x＞3D．x＜﹣1或x＞3 20．地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时速度为0；②小球在空中经过的路程是40m；③小球的高度h＝30m时，t＝1.5s；④小球抛出3秒后，速度越来越快．其中正确的是（）A．①④B．①②C．①②④D．②③21．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②3a＜﹣c；③若m为任意实数，则有a﹣bm≤am2+b；④若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），则2x1﹣x2＝5．其中正确的结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个22．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，则以下四个结论中：①abc＞0，②2a+b＝0，③4a+b2＜4ac，④3a+c＜0．正确的个数是（）A．1B．2C．3D．423．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②a ﹣b+c＞0；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个24．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝2．下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点，点是函数图象上的两点，则y1＞y2；④；⑤c﹣3a＞0．其中正确结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个25．如图，已知函数y1＝kx+b与y2＝ax2+bx+c的图象交于A（0，﹣1）、B（4，3）两点，当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．x＜0B．x＞0C．x＞4D．0＜x＜426．已知函数y＝（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数y＝ax+b的图象可能正确的是（）A．B．C．D．27．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，下列结论：①ac＜0；②当x≥1时，y随x的增大而增大；③2a+b＝0；④b2﹣4ac＜0；⑤4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．428．二次函数y＝x2+2x的图象可能是（）A．B．C．D．29．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx﹣与反比例函数y＝在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．30．如图选项中，能描述函数y＝ax2+b与y＝ax+b，（ab＜0）的图象可能是（）A．B．C．D．31．函数y＝ax+1与y＝ax2+ax+1（a≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．32．二次函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的图象如图所示，则下列判断正确的是（）A．b＞0，c＞0B．b＞0，c＜0C．b＜0，c＜0D．b＜0，c＞0 33．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知该抛物线与x轴的交点坐标是（）A．（﹣1，0）和（5，0）B．（1，0）和（5，0）C．（0，﹣1）和（0，5）D．（0，1）和（0，5）34．已知a是不为0的常数，函数y＝ax和函数y＝﹣ax2+a在同一平面直角坐标系内的图象可以是（）A．B．C．D．35．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n相交于点（3，0）和（0，3），若ax2+bx+c ＞mx+n，则x的取值范围是（）A．0＜x＜3B．1＜x＜3C．x＜0或x＞3D．x＜1减x＞3 36．已知，在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（）A．B．C．D．37．一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．38．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为x＝，且经过点（﹣1，0）．下列结论：①3a+b＝0；②若点（，y1），（3，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；③10b﹣3c＝0；④若y≤c，则0≤x≤3．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个39．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣2，下列结论正确的是（）A．a＜0B．c＞0C．当x＜﹣2时，y随x的增大而减小D．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小40．已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（）A．B．C．D．41．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，对称轴是直线x＝1，下列说法正确的是（）A．a＞0B．当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大C．点B的坐标为（4，0）D．4a+2b+c＞042．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①b2﹣4ac＞0；②4a+b＝0；③当y＞0时，﹣2＜x＜6；④a+b+c ＜0．其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．1二．填空题（共18小题）43．如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为 3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是m．44．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝2若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，且x1＜x2，﹣1＜x1＜0，则x2的取值范围是．45．如图，已知二次函数y＝﹣x2+m（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点．若AB＝OC，则m的值是．46．某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC ＝OB＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD为m．47．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+c＜mx+n的解集是．48．若二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式a（x+2）2+b（x+2）+c＜0的解集为．49．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是．50．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c ﹣m＝0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＜﹣3；④3a+b＞0．其中正确结论的序号有．51．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＜n的解集是．52．如图，二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝mx+n（m≠0）的图象相交于点A（﹣1，5）和B（5，2），则使不等式ax2+bx+c＜mx+n成立的x的取值范围是．53．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②若点C的坐标为（1，4），则△ABC的面积可以等于4；③M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2；④若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3．其中正确结论的序号为．54．抛物线经过坐标系（﹣1，0）和（0，3）两点，对称轴x＝1，如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是．55．如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1，则方程cx2+bx+a＝0的两个根为．56．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，﹣3），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是．57．如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y＝kx+b的图象经过A，B两点，根据图象，则满足不等式（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围是．58．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c ＝0（a≠0）的根为．59．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+3与y轴交于点C，则不等式ax2﹣2ax＞0的解集是．60．如图是二次函数y＝x2+bx+c的图象，该函数的最小值是．2022年10月03日二次函数的图象参考答案与试题解析一．选择题（共42小题）1．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+b＝1；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，正确的结论个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①抛物线开口向上，则a＞0，故正确；②由图象可知：抛物线与x轴无交点，即Δ＜0∴Δ＝b2﹣4ac＜0，故错误；③由图象可知：抛物线过点（1，1），（3，3），即当x＝1时，y＝a+b+c＝1，当x＝3时，ax2+bx+c＝9a+3b+c＝3，∴8a+2b＝2，即b＝1﹣4a，∴4a+b＝1，故正确；④∵点（1，1），（3，3）在直线y＝x上，由图象可知，当1＜x＜3时，抛物线在直线y＝x的下方，∴ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，故正确；故选：C．【点评】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．2．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（）A．b＜0，c＞0B．b＞0，c＞0C．b＞0，c＜0D．b＜0，c＜0【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断a，b，c的符号．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴b＜0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，故选：A．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，交y轴于点（0，﹣1），有如下结论：①abc＜0；②b﹣2a＝0；③若A（﹣3，y1），B（，y2）在该函数的图象上，则y1＞y2；④关于x的不等式ax2+bx+c+1＞0的解集为x＞0或x＜﹣2．其中结论正确的是（）A．①②④B．①②③C．①③④D．①②【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①②，根据点A，B到对称轴的距离及抛物线开口方向可判断③，由抛物线与y轴的交点及开口方向可判断④．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，∵抛物线与y轴交点为（0，﹣1），∴c＝﹣1∴abc＜0，①正确，∵b＝2a，∴b﹣2a＝0，②正确．∵A（﹣3，y1）到对称轴的距离小于B（，y2）到对称轴的距离，抛物线开口向上，∴y1＜y2，③错误．∵抛物线与y轴的交点为（0，﹣1），抛物线对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线与x轴另一交点坐标为（﹣2，﹣1），∴不等式ax2+bx+c+1＞0的解集为x＞0或x＜﹣2，④正确．故选：A．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在△MNR的边上移动，MN∥y轴，NR∥x轴，M点坐标为（﹣6，﹣2），MN＝2，NR＝7．若在抛物线移动过程中，点B横坐标的最大值为3，则a﹣b+c的最大值是（）A．15B．18C．23D．32【分析】当a＝﹣1时，y＝a﹣b+c，所以当抛物线顶点在M上时满足题意，抛物线顶点在R上时，由点B坐标可得y＝a（x﹣1）2﹣4中a的值，然后可得抛物线顶点在M上时的解析式，将x＝﹣1代入求解．【解答】解：∵M点坐标为（﹣6，﹣2），MN＝2，∴点N坐标为（﹣6，﹣4），∵NR＝7，∴点R坐标为（1，﹣4），当抛物线顶点在R上时，y＝a（x﹣1）2﹣4，由题意得此时点B坐标为（3，0），将（3，0）代入y＝a（x﹣1）2﹣4得0＝4a﹣4，解得a＝1，当抛物线顶点在M上时，抛物线解析式为y＝（x+6）2﹣2，将x＝﹣1代入y＝（x+6）2﹣2得y＝52﹣2＝23，故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数的顶点式，掌握待定系数法求函数解析式．5．如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，直线x＝﹣1是对称轴，有下列判断：①b﹣2a＝0，②4a﹣2b+c＜0，③a﹣b+c＝﹣9a，④若（﹣3，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2．其中正确的是（）A．①②③B．①③C．①④D．①③④【分析】根据二次函数的开口方向，与x轴交点的个数，与y轴交点的位置、对称轴的位置即可判断．【解答】解：①∵对称轴为x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b﹣2a＝0，故①正确；由于对称轴为x＝﹣1，∴（2，0）的对称点为（﹣4，0）∴当﹣4＜x＜2时，y＞0，令x＝﹣2代入y＝ax2+bx+c∴y＝4a﹣2b+c＞0，故②错误令x＝2代入y＝ax2+bx+c，∴4a+2b+c＝0，∵b＝2a，∴c＝﹣4a﹣2b＝﹣4a﹣4a＝﹣8a，令x＝﹣1代入y＝ax2+bx+c，∴y＝a﹣b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a，故③正确，∵对称轴为x＝﹣1，∴（﹣3，y1）关于x＝﹣1的对称点为（1，y1）∵x＞﹣1时，y随着x的增大而减少，∴当1＜时，∴y1＞y2，故④错误，故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用抛物线的图象来判断待定系数a、b、c之间的关系，本题属于中等题型．6．如图，坐标系的原点为O，点P是第一象限内抛物线y＝x2﹣1上的任意一点，P A⊥x 轴于点A．则OP﹣P A值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】先设P点坐标为（a，a2﹣1），再根据勾股定理计算出OP，然后计算OP﹣P A．【解答】解：设P点坐标为（a，a2﹣1），则OA＝a，P A＝a2﹣1，∴OP＝＝＝a2+1，∴OP﹣P A＝a2+1﹣（a2﹣1）＝2．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了勾股定理．7．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线开口方向，对称轴以及抛物线与y轴的交点，即可判断①；由对称轴改善得到b＝﹣2a代入a﹣b+c＜0中得3a+c＜0，即可判断②；由x＝﹣1时对应的函数值y＜0，可得出a﹣b+c＜0，得到a+c＜b，x＝1时，y＞0，可得出a+b+c＞0，得到|a+c|＜|b|，即可得到（a+c）2﹣b2＜0，即可判断③；由对称轴为直线x＝1，即x＝1时，y有最大值，即可判断④．【解答】解：①∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴b＞0∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；②当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，把b＝﹣2a代入a﹣b+c＜0中得3a+c＜0，所以②错误；③当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，当x＝1时，y＞0，∴a+b+c＞0，∴a+c＞﹣b，∴|a+c|＜|b|∴（a+c）2＜b2，即（a+c）2﹣b2＜0，所以③正确；④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴x＝1时，函数的最大值为a+b+c，∴a+b+c≥am2+mb+c，即a+b≥m（am+b），所以④错误．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．8．如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：①此二次函数表达式为y＝x2﹣x+9：②若点B（﹣1，n）在这个二次函数图象上，则n＞m；③该二次函数图象与x轴的另一个交点为（﹣4，0）；④当0＜x＜5.5时，m＜y＜8．所有正确结论的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】①由顶点坐标设出抛物线解析式，将点（8，0）代入解析式求解．②由图象开口向下，对称轴为直线x＝2，求出点A，B距离对称轴的距离求解．③由图象的对称性可得，抛物线与x轴两交点关于直线x＝2对称，由中点坐标公式求解．④由图象中（0，8），（2，9），（8，0）可得y的取值范围．【解答】解：①由图象顶点（2，9）可得y＝a（x﹣2）2+9，将（8，0）代入y＝a（x﹣2）2+9得0＝36a+9，解得a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣2）2+9＝y＝﹣x2+x+8，故①错误．②∵5.5﹣2＞2﹣（﹣1），点A距离对称轴距离大于点B距离对称轴距离，∴m＜n，故②正确．③∵图象对称轴为直线x＝2，且抛物线与x轴一个交点为（8，0），∴图象与x轴的另一交点横坐标为2×2﹣8＝﹣4，故③正确．④由图象可得当x＝0时y＝8，x＝5.5时y＝m，x＝2时y＝9，∴0＜x＜5.5时，m＜y≤9．故④错误．故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，掌握二次函数与不等式的关系．9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤b+c＞m（am+b）+c（其中m≠）．正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】抛物线开口向下，且交y轴于正半轴及对称轴为x＝，推导出a＜0，b＞0、c ＞0以及a与b之间的关系：b＝﹣a；根据二次函数图象经过点（2，0），可得出0＝4a+2b+c；再由二次函数的对称性，当a＜0时，距离对称轴越远x所对应的y越小；由抛物线开口向下，对称轴是直线x＝，可知当x＝时，y有最大值．【解答】解：∵抛物线开口向下，且交y轴于正半轴，∴a＜0，c＞0，∵对称轴x＝﹣＝，即b＝﹣a，∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（2，0），∴0＝4a+2b+c，故③不正确；又可知b＝﹣a，∴0＝﹣4b+2b+c，即﹣2b+c＝0，故②正确；∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝，且＝1，＝2，∴y1＞y2，故选④不正确；∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝，∴当x＝时，抛物线y取得最大值y max＝＝，当x＝m时，y m＝am2+bm+c＝m（am+b）+c，且m≠，∴y max＞y m，故⑤正确，综上，结论①②⑤正确，故选：B．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，需要充分掌握二次函数各系数的意义，以及它们跟二次函数图象之间的联系．10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象对称轴是直线x＝1，下列说法正确的是（）A．a＞0B．2a+b＝0C．b2﹣4ac＜0D．a+b+c＜0【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0．故A错误；∵x＝﹣＝1，∴2a+b＝0，故B正确．∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故C错误；当x＝1时，y＞0，即a+b+c＞0，故D错误；故选：B．【点评】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：①ac＜0；②a﹣b+c＜0；③当x＞2时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由二次函数图象的性质逐一判断．【解答】解：开口向上则a＞0，与y轴交点在原点下方，c＜0，故①正确；对称轴为x＝1，与x轴一个交点是（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），则点（﹣1，a ﹣b+c）在x轴下方，故②正确；x＞2时，图象在对称轴右侧，开口向上，y随x的增大而增大，故③正确；图象与x轴有两个交点，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，故④正确；故选：D．【点评】本题考查二次函数图象的性质，观察图象的对称轴、与x轴y轴交点位置是解题重点．12．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，下列结论：①ac＜0；②当x≥1时，y随x的增大而减小；③2a+b＝0；④b2﹣4ac＜0；⑤4a﹣2b+c＞0；其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由抛物线的开口方向及与y轴交点的位置，即可判断①；由二次函数的性质即可判断②；由抛物线对称轴为直线x＝1，即可得出b＝﹣2a，进而可得出2a+b＝0，即可判断③；④由抛物线与x轴的交点情况即可判断④；⑤由当x＝﹣2时，y＞0可得出4a﹣2b+c＞0，即可判断⑤．【解答】解：∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，∴a＞0，c＜0，∴ac＜0，结论①正确；∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x＝1，∴当x≥1时，y随x的增大而增大，结论②错误；∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，结论③正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，结论④错误；∵当x＝﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，结论⑤正确．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析五条结论的正误是解题的关键．13．如图，将抛物线y＝﹣x2+x+8图象中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，则新图象与直线y＝﹣8的交点个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据已知条件得到抛物线y＝﹣x2+x+8与y轴的交点为（0，8），根据轴对称的性质得到新图象与y轴的交点坐标为（0，﹣8），于是得到结论．【解答】解：如图，∵y＝﹣x2+x+8中，当x＝0时，y＝8，∴抛物线y＝﹣x2+x+8与y轴的交点为（0，8），∵将抛物线y＝﹣x2+x+8图象中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，∴新图象与y轴的交点坐标为（0，﹣8），∴新图象与直线y＝﹣8的交点个数是4个，故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图形上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键．14．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，使y≥﹣1成立的x的取值范围是（）A．x≥﹣1B．x≤﹣1C．﹣1≤x≤3D．x≤﹣1或x≥3【分析】观察函数图象在y＝﹣1上和上方部分的x的取值范围便可．【解答】解：由函数图象可知，当y≥﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+c不在y＝﹣1下方部分的自变量x满足：﹣1≤x≤3，故选：C．【点评】本题考查二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，0），下列四个结论：①如果点（﹣，y1）和（2，y2）都在抛物线上，那么y1＜y2；②b2﹣4ac＞0；③m（am+b）＜a+b（m≠1的实数）；④＝﹣3；其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】由图象可求，a＜0；由对称轴可求b＝﹣2a；由函数经过点（﹣1，0），可求c ＝﹣3a；由图象可知抛物线与x轴有两个不同的交点，Δ＝b2﹣4ac＞0；由图象可知，当x＝1时，函数有最大值1；结合这些所求即可判定每一个结论．【解答】解：∵对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∵经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴c＝﹣3a，∴y＝ax2+bx+c＝a（x2﹣2x﹣3），由图象可知，a＜0；①将点（﹣，y1）和（2，y2）分别代入抛物线解析式可得y1＝﹣a，y2＝﹣3a，∴y1＜y2；②由图象可知，顶点在第一象限，开口向下的二次函数图象与x轴有两个不同的交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0；③由图象可知，当x＝1时，函数有最大值1，∴对任意m，则有am2+bm+c＜a+b+c，∴m（am+b）＜a+b；④＝＝﹣3；∴①②③④正确，故选：A．【点评】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④a+b+2c＞0，其中正确结论的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】由抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点位置，可判断a、b、c的符号，可判断①，利用对称轴可判断②，由当x＝﹣2时的函数值可判断③，当x＝1时的函数值可判断④，可得出答案．【解答】解：∵抛物线开口向下，与y轴的交点在x轴上方，∴a＜0，c＞0，∵0＜﹣＜1，∴b＞0，且b＜﹣2a，∴abc＜0，2a+b＜0，故①不正确，②正确，∵当x＝﹣2时，y＜0，当x＝1时，y＞0，∴4a﹣2b+c＜0，a+b+c＞0，∴a+b+2c＞0，故③④都正确，综上可知正确的有②③④，故选：B．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．17．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c ＜0；③m（am+b）+b≤a；④（a+c）2＜b2；其中正确结论的个数有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4【分析】利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．【解答】解：∵抛物线和x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；∵把x＝1代入抛物线得：y＝a+b+c＜0，∴2a+2b+2c＜0，∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴3b+2c＜0，∴②正确；∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，∴y＝a﹣b+c的值最大，即把x＝m代入得：y＝am2+bm+c≤a﹣b+c，∴am2+bm+b≤a，即m（am+b）+b≤a，∴③正确；∵a+b+c＜0，a﹣b+c＞0，∴（a+c+b）（a+c﹣b）＜0，则（a+c）2﹣b2＜0，即（a+c）2＜b2，故④正确；故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c ＝0的解的方法，同时注意特殊点的运用．18．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）A．abc＞0B．b2﹣4ac＜0C．9a+3b+c＞0D．c+8a＜0【分析】根据二次函数的图象求出a＜0，c＞0，根据抛物线的对称轴求出b＝﹣2a＞0，即可得出abc＜0；根据图象与x轴有两个交点，推出b2﹣4ac＞0；对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），求出与x轴另一个交点的坐标是（3，0），把x＝3代入二次函数得出y＝9a+3b+c＝0；把x＝4代入得出y＝16a﹣8a+c＝8a+c，根据图象得出8a+c ＜0．【解答】解：A．∵二次函数的图象开口向下，图象与y轴交于y轴的正半轴上，∴a＜0，c＞0，∵抛物线的对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∴abc＜0，故本选项错误；B．∵图象与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故本选项错误；C．∵对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），∴与x轴另一个交点的坐标是（3，0），把x＝3代入二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）得：y＝9a+3b+c＝0，故本选项错误；D．∵当x＝3时，y＝0，∵b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax+c，把x＝4代入得：y＝16a﹣8a+c＝8a+c＜0，故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象、性质，二次函数图象与系数的关系，主要考查学生的观察图形的能力和辨析能力，题目比较好，并且是一道比较容易出错的题目．19．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象如图所示．当y＞0时，自变量x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜3B．x＜﹣1C．x＞3D．x＜﹣1或x＞3【分析】求出函数图象与x轴的交点坐标，再根据函数图象的特征判断出y＞0时，自变量x的取值范围．【解答】解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3．结合图象可见，x＜﹣1或x＞3时，y＞0．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象，求出函数与x轴的交点坐标并结合函数的图象是解答此类题目的关键．20．地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时速度为0；②小球在空中经过的路程是40m；③小球的高度h＝30m时，t＝1.5s；④小球抛出3秒后，速度越来越快．其中正确的是（）A．①④B．①②C．①②④D．②③【分析】根据函数的图象中的信息判断即可．【解答】解：①小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故①正确；②由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故②错误；③设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40，把O（0，0）代入得0＝a（0﹣3）2+40，解得a＝﹣，∴函数解析式为h＝﹣（t﹣3）2+40，把h＝30代入解析式得，30＝﹣（t﹣3）2+40，解得：t＝4.5或t＝1.5，∴小球的高度h＝30m时，t＝1.5s或4.5s，故③错误；④小球抛出3秒后速度越来越快；故④正确；故选：A．【点评】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意，属于中考基础题，常考题型．21．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②3a＜﹣c；③若m为任意实数，则有a﹣bm≤am2+b；④若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），则2x1﹣x2＝5．其中正确的结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】由图象可知a＜0，c＞0，由对称轴得b＝2a＜0，则abc＞0，故①错误；当x＝1时，y＝a+b+c＝a+2a+c＝3a+c＜0，得②正确；由x＝﹣1时，y有最大值，得a﹣b+c ≥am2+bm+c，得③错误；由题意得二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2的一个交点为（﹣3，﹣2），另一个交点为（1，﹣2），即x1＝1，x2＝﹣3，进而得出④正确，即可得出结论．【解答】解：由图象可知：a＜0，c＞0，，∴b＝2a＜0，∴abc＞0，故①abc＜0错误；当x＝1时，y＝a+b+c＝a+2a+c＝3a+c＜0，∴3a＜﹣c，故②3a＜﹣c正确；∵x＝﹣1时，y有最大值，∴a﹣b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），即a﹣b≥am2+bm，即a﹣bm≥am2+b，故③错误；∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2的一个交点为（﹣3，﹣2），∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2的另一个交点为（1，﹣2），即x1＝1，x2＝﹣3，∴2x1﹣x2＝2﹣（﹣3）＝5，故④正确．所以正确的是②④；故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．22．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，则以下四个结论中：①abc＞0，②2a+b＝0，③4a+b2＜4ac，④3a+c＜0．正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4。
二次函数图像和性质习题精选(含答案)
二次函数图像和性质习题精选(含答案)二次函数图像和性质习题精选一．选择题（共30小题）1．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（）A．B．C．D．2．函数y=ax2+1与y=（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．3．已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（）A．B．C．D．4．已知反比例函数y=的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为（）A．B．C．D．5．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x 与y的部分对应值如下表：X ﹣1 0 1 3y ﹣1 3 5 3下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值B．对称轴是直线x=D．当﹣1＜x＜2时，y＞0 C．当x ＜，y随x的增大而减小14．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a＞0；②该函数的图象关于直线x=1对称；③当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0．其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．015．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．a c＜0B．当x=1时，y＞0C．方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于1的实数根D．存在一个大于1的实数x0，使得当x＜x0时，y随x的增大而减小；当x＞x0时，y随x的增大而增大16．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a ＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P （3，0），则a ﹣b+c 的值为（ ）A ． 0B ． ﹣1C ． 1D ． 217．下列图中阴影部分的面积相等的是（ ）A ． ①②B ． ②③C ． ③④D ． ①④18．已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ＜0）的部分图象如图所示，当y ＞0时，x 的取值范围是（ ）A ． ﹣2＜x ＜2B ． ﹣4＜x ＜2C ． x ＜﹣2或x ＞2D ． x ＜﹣4或x＞219．已知：二次函数y=x 2﹣4x ﹣a ，下列说法错误的是（ ）A ． 当x ＜1时，y 随x 的增大而减小B ． 若图象与x 轴有交点，则a ≤4C．当a=3时，不等式x2﹣4x+a＜0的解集是1＜x＜3D．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，﹣2），则a=320．下列表格给出的是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的几组对应值，那么方程ax2+bx+c=0的一个近似解可以是（）x 3.3 3.4 3.5 3.6y ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09A．3.25 B．3.35 C．3.45 D．3.5521．已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x=3时，y＜0 D．方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根22．已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m （k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）（如图所示），则能使y1＜y2成立的x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜﹣2 C．x＞0 D．﹣2＜x＜8 23．在﹣3≤x≤0范围内，二次函数（a≠0）的图象如图所示．在这个范围内，有结论：①y1有最大值1、没有最小值；②y1有最大值1、最小值﹣3；③函数值y1随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=2无解；⑤若y2=2x+4，则y1≤y2．其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．524．抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x …﹣2 ﹣1 13 4 …y … 0 4 4 0 …6根据上表判断下列四种说法：①抛物线的对称轴是x=1；②x ＞1时，y的值随着x的增大而减小：③抛物线有最高点：④抛物线的顶点、与x轴的两个交点三点为顶点的三角形的面积为36．其中正确说法的个数有（）A．1B．2C．3D．425．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B 均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（）A．（2，3）B．（3，2）C．（3，3）D．（4，3）26．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab ＜0；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；③a+b+c＞0；④当x＜1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3．其中，正确的说法有（）A．①②④B．①②⑤C．①③⑤D．②④⑤27．已知二次函数y=x2+2（a﹣1）x+2．如果x≤4时，y随x增大而减小，则常数a的取值范围是（）A．a≥﹣5 B．a≤﹣5 C．a≥﹣3 D．a≤﹣328．如图，平行于y轴的直线l被抛物线y=0.5x2+1，y=0.5x2﹣1所截，当直线l向右平移3个单位时，直线l被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为（）平方单位．A．3B．4C．6D．无法可求29．已知直线经过点A（0，2），B（2，0），点C在抛物线y=x2的图象上，则使得S△ABC=2的点有（）个．A．4B．3C．2D．130．如图，已知抛物线，直线y2=3x+3，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②使得M大于3的x值不存在；③当x＜0时，x值越大，M值越小；④使得M=1的x值是或．其中正确的是（）A．①③B．②④C．①④D．②③二次函数图像和性质习题精选（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．（2014•宁夏）已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax 与y=ax2的图象有可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；正比例函数的图象．专题：数形结合．分析：本题可先由一次函数y=ax图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2的图象相比较看是否一致．（也可以先固定二次函数y=ax2图象中a的正负，再与一次函数比较．）解答：解：A、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＞0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），故A错误；B、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＞0，故B错误；C、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＜0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；D、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＜0，故D错误．故选：C．点评：函数中数形结合思想就是：由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状．2．（2014•北海）函数y=ax2+1与y=（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；反比例函数的图象．分析：分a＞0和a＜0两种情况讨论二次函数和反比例函数图象所在的象限，然后选择答案即可．解答：解：a＞0时，y=ax2+1开口向上，顶点坐标为（0，1），y=位于第一、三象限，没有选项图象符合，a＜0时，y=ax2+1开口向下，顶点坐标为（0，1），y=位于第二、四象限，B选项图象符合．故选：B．点评：本题考查了二次函数图象与反比例函数图象，熟练掌握系数与函数图象的关系是解题的关键．3．（2014•遵义）已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．分析：本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数和反比例函数的图象相比较看是否一致．逐一排除．解答：解：A、由二次函数的图象可知a＜0，此时直线y=ax+b 经过二、四象限，故A可排除；B、二次函数的图象可知a＜0，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b＞0，此时直线y=ax+b经过一、二、四象限，故B可排除；C、二次函数的图象可知a＞0，此时直线y=ax+b经过一、三，故C可排除；正确的只有D．故选：D．点评：此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象，应该识记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．4．（2014•南昌）已知反比例函数y=的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；反比例函数的图象．分析：本题可先由反比例函数的图象得到字母系数k＜﹣1，再与二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置相比较看是否一致，最终得到答案．解答：解：∵函数y=的图象经过二、四象限，∴k＜0，由图知当x=﹣1时，y=﹣k＞1，∴k＜﹣1，∴抛物线y=2kx2﹣4x+k2开口向下，对称为x=﹣=，﹣1＜＜0，∴对称轴在﹣1与0之间，故选：D．点评：此题主要考查了二次函数与反比例函数的图象与系数的综合应用，正确判断抛物线开口方向和对称轴位置是解题关键．属于基础题．5．（2014•泰安）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：X ﹣1 0 1 3y ﹣1 3 5 3下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．专题：图表型．分析：根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．解答：解：（1）由图表中数据可得出：x=1时，y=5，所以二次函数y=ax2+bx+c开口向下，a＜0；又x=0时，y=3，所以c=3＞0，所以ac＜0，故（1）正确；（2）∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x==1.5，∴当x＞1.5时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误；（3）∵x=3时，y=3，∴9a+3b+c=3，∵c=3，∴9a+3b+3=3，∴9a+3b=0，∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根，故（3）正确；（4）∵x=﹣1时，ax2+bx+c=﹣1，∴x=﹣1时，ax2+（b ﹣1）x+c=0，∵x=3时，ax2+（b﹣1）x+c=0，且函数有最大值，∴当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0，故（4）正确．故选：B．点评：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．6．（2014•广东）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值B．对称轴是直线x=C．当x ＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞0 考二次函数的性质．点：专题：数形结合．分析：根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；根据图形直接判断B；根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则y＜0，从而判断D．解答：解：A、由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故A选项不符合题意；B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故B选项不符合题意；C、因为a＞0，所以，当x ＜时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意；D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故D 选项符合题意．故选：D．点评：本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．7．（2014•盘锦）如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（）A．0或2 B．0或1 C．1或2 D．0，1或2考点：二次函数的性质．专题：数形结合；分类讨论；方程思想．分析：分三种情况：点M的纵坐标小于1；点M的纵坐标等于1；点M的纵坐标大于1；进行讨论即可得到方程x2+bx+c=1的解的个数．解答：解：分三种情况：点M的纵坐标小于1，方程x2+bx+c=1的解是2个不相等的实数根；点M的纵坐标等于1，方程x2+bx+c=1的解是2个相等的实数根；点M的纵坐标大于1，方程x2+bx+c=1的解的个数是0．故方程x2+bx+c=1的解的个数是0或1或2．故选：D．点评：考查了二次函数的性质，本题涉及分类思想和方程思想的应用．8．（2014•淄博）已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（）A．6B．5C．4D．3考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于所给数据都是正数，所以当对称轴在y轴的右侧时，比较点A和点B到对称轴的距离可得到h＜4．解答：解：∵抛物线的对称轴为直线x=h，∴当对称轴在y轴的右侧时，A（0，2）到对称轴的距离比B（8，3）到对称轴的距离小，∴x=h＜4．故选：D．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x ＜﹣时，y随x的增大而减小；x ＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y 取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x ＜﹣时，y随x的增大而增大；x ＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y 取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．9．（2013•徐州）二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：x …﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y …﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …则该函数图象的顶点坐标为（）A．（﹣3，﹣3）B．（﹣2，﹣2）C．（﹣1，﹣3）D．（0，﹣6）考点：二次函数的性质．专题：压轴题．分析：根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．解答：解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2，∴顶点坐标为（﹣2，﹣2）．故选B．点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，仔细观察表格数据确定出对称轴是解题的关键．10．（2013•南宁）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）A．图象关于直线x=1对称B．函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4C．﹣1和3是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根D．当x＜1时，y随x的增大而增大考点：二次函数的性质．分析：根据对称轴及抛物线与x轴交点情况，结合二次函数的性质，即可对所得结论进行判断．解答：解：A、观察图象，可知抛物线的对称轴为直线x=1，则图象关于直线x=1对称，正确，故本选项不符合题意；B、观察图象，可知抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），又抛物线开口向上，所以函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4，正确，故本选项不符合题意；C、由图象可知抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），而对称轴为直线x=1，所以抛物线与x轴的另外一个交点为（3，0），则﹣1和3是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，正确，故本选项不符合题意；D、由抛物线的对称轴为x=1，所以当x＜1时，y随x 的增大而减小，错误，故本选项符合题意．故选D．点评：此题考查了二次函数的性质和图象，解题的关键是利用数形结合思想解题．11．（2012•济南）如图，二次函数的图象经过（﹣2，﹣1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（）A．y的最大值小于0 B．当x=0时，y的值大于1 C．当x=﹣1时，y的值大于1 D．当x=﹣3时，y的值小于0考点：二次函数的图象；二次函数的性质．专题：压轴题．分析：根据图象的对称轴的位置、增减性及开口方向直接回答．解答：解：A、由图象知，点（1，1）在图象的对称轴的左边，所以y的最大值大于1，不小于0；故本选项错误；B、由图象知，当x=0时，y的值就是函数图象与y轴的交点，而图象与y轴的交点在（1，1）点的左边，故y ＜1；故本选项错误；C、对称轴在（1，1）的右边，在对称轴的左边y随x 的增大而增大，∵﹣1＜1，∴x=﹣1时，y的值小于x=1时，y的值1，即当x=﹣1时，y的值小于1；故本选项错误；D、当x=﹣3时，函数图象上的点在点（﹣2，﹣1）的左边，所以y的值小于0；故本选项正确．故选D．点评：本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征．解答此题时，需熟悉二次函数图象的开口方向、对称轴、与x 轴的交点等知识．12．（2012•德阳）设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（）A．c=3 B．c≥3 C．1≤c≤3 D．c≤3考点：二次函数的性质．专题：压轴题．分析：因为当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，所以函数图象过（1，0）点，即1+b+c=0①，由题意可知当x=3时，y=9+3b+c≤0②，所以①②联立即可求出c的取值范围．解答：解：∵当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，∴函数图象过（1，0）点，即1+b+c=0①，∵当1≤x≤3时，总有y≤0，∴当x=3时，y=9+3b+c≤0②，①②联立解得：c≥3，故选B．点评：本题考查了二次函数的增减性，解题的关键是由给出的条件得到抛物线过（1，0），再代入函数的解析式得到一次项系数和常数项的关系．13．（2009•新疆）如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（）A．h=m B．k=n C．k＞n D．h＞0，k＞0考点：二次函数的图象．专题：压轴题．分借助图象找出顶点的位置，判断顶点横坐标、纵坐标大析：小关系．解答：解：根据二次函数解析式确定抛物线的顶点坐标分别为（h，k），（m，n），因为点（h，k）在点（m，n）的上方，所以k=n不正确．故选：B．点评：本题是抛物线的顶点式定义在图形中的应用．14．（2009•丽水）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a＞0；②该函数的图象关于直线x=1对称；③当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0．其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．0考点：二次函数的性质．分析：根据抛物线的性质解题．解答：解：①抛物线开口向下，a＜0，所以①错误；②抛物线是关于对称轴对称的轴对称图形，所以②该函数的图象关于直线x=1对称，正确；③当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0，也正确．故选B．点评：本题考查了抛物线的开口方向，轴对称性和与x轴的交点等知识．15．（2009•南昌）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．a c＜0B．当x=1时，y＞0C．方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于1的实数根D．存在一个大于1的实数x0，使得当x＜x0时，y随x的增大而减小；当x＞x0时，y随x的增大而增大考点：二次函数的性质．专题：压轴题．分析：根据抛物线的形状与抛物线表达式系数的关系，逐一判断．解解：A、抛物线开口向上，a＞0，抛物线与y轴交于正答：半轴，c＞0，所以ac＞0，错误；B、由图象可知，当x=1时，y＜0，错误；C、方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根小于1，一个根大于1，错误；D、存在一个大于1的实数x0，使得当x＜x0时，y随x的增大而减小；当x＞x0时，y随x的增大而增大，正确．故选D．点评：本题考查抛物线的形状与抛物线表达式系数的关系，涉及的知识面比较广．16．（2008•仙桃）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c的值为（）A．0B．﹣1 C．1D．2考点：二次函数的图象．专题：压轴题．分析：由“对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0）”可知抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0），代入抛物线方程即可解得．解答：解：因为对称轴x=1且经过点P（3，0）所以抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）代入抛物线解析式y=ax2+bx+c中，得a﹣b+c=0．故选A．点评：巧妙利用了抛物线的对称性．17．（2007•烟台）下列图中阴影部分的面积相等的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．专题：压轴题．分析：根据坐标系的点的坐标特点，分别求出三角形的底和高，计算面积，再比较．解答：解：①与坐标轴的两个交点为（0，2）（2，0），阴影部分的面积为2×2÷2=2；②当x=1时，y=3，阴影部分的面积为1×3÷2=1.5；③与x轴的两个交点的横坐标为﹣1，1，两点间的距离为：1﹣（﹣1）=2，与y轴的交点为（0，﹣1）．阴影部分的面积为2×1÷2=1；④当x=1时，y=4，阴影部分的面积为1×4÷2=2． ①④面积相等． 故选D ． 点评： 解决本题的关键是根据各函数的特点得到相应的三角形的边以及边上的高．18．（2007•达州）已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ＜0）的部分图象如图所示，当y ＞0时，x 的取值范围是（ ）A ． ﹣2＜x ＜2B ． ﹣4＜x ＜2C ． x ＜﹣2或x ＞2D ． x ＜﹣4或x＞2考点：二次函数的图象．专题：压轴题．分析： 先根据对称轴和抛物线与x 轴的交点求出另一交点；再根据开口方向，结合图形，求出y ＞0时，x 的取值范围． 解答： 解：因为抛物线过点（2，0），对称轴是x=﹣1， 根据抛物线的对称性可知，抛物线必过另一点（﹣4，0），因为抛物线开口向下，y＞0时，图象在x轴的上方，此时，﹣4＜x＜2．故选B．点评：解答本题，利用二次函数的对称性，关键是判断图象与x轴的交点，根据开口方向，形数结合，得出结论．19．（2007•泰州）已知：二次函数y=x2﹣4x﹣a，下列说法错误的是（）A．当x＜1时，y随x的增大而减小B．若图象与x轴有交点，则a≤4C．当a=3时，不等式x2﹣4x+a＜0的解集是1＜x＜3 D．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，﹣2），则a=3考点：二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．专题：压轴题．分析：A、当x＜1时，在对称轴右侧，由此可以确定函数的单调性；B、若图象与x轴有交点，即△=16+4a≥0，利用此即可判断是否正确；C、当a=3时，不等式x2﹣4x+a＜0的解集可以求出，然后就可以判断是否正确；D、根据平移规律可以求出a的值，然后判断是否正确．解答：解：二次函数为y=x2﹣4x﹣a，对称轴为x=2，图象开口向上．则：A、当x＜1时，y随x的增大而减小，故选项正确；B、若图象与x轴有交点，即△=16+4a≥0则a≥﹣4，故选项错误；C、当a=3时，不等式x2﹣4x+a＜0的解集是1＜x＜3，故选项正确；D、原式可化为y=（x﹣2）2﹣4﹣a，将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后所得函数解析式是y=（x+1）2﹣3﹣a．函数过点（1，﹣2），代入解析式得到：a=3．故选项正确．故选B．点评：此题主要考查了二次函数的性质与一元二次方程之间的关系，以及图象的平移规律．这些性质和规律要求掌握．20．（2009•塘沽区一模）下列表格给出的是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的几组对应值，那么方程ax2+bx+c=0的一个近似解可以是（）x 3.3 3.4 3.5 3.6y ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09A．3.25 B．3.35 C．3.45 D．3.55考点：图象法求一元二次方程的近似根．分析：把三点代入解方程式，则代入y等于0时，x的值是多少即可．解答：解：代入各点坐标解得y=0.5x2﹣2.95x+4.23解得x=3.47左右则C最符合，故选C．点评：本题考查了一元二次方程的近似根，代入求近似值，再进行对比则最接近的即可．21．（2010•徐汇区一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x 的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x=3时，y＜0 D．方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根考图象法求一元二次方程的近似根．点：专题：计算题．分析：结合图表可以得出当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，3），借助（0，1）两点可求出二次函数解析式，从而得出抛物线的性质．解答：解：∵由图表可以得出当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，3），∴二次函数解析式为：y=a（x﹣1）2+3，再将（0，1）点代入得：1=a（﹣1）2+3，解得：a=﹣2，∴y=﹣2（x﹣1）2+3，∵a＜0∴A，抛物线开口向上错误，故：A错误；∵y=﹣2（x﹣1）2+3=﹣2x2+4x+1，与y轴交点坐标为（0，1），故与y轴交于正半轴，故：B错误；∵x=3时，y=﹣5＜0，故：C正确；∵方程ax2+bx+c=0，△=16+4×2×1=22＞0，此方程有两个不相等的实数根，故：D．方程有两个相等实数根错误；故选：C．点此题主要考查了二次函数解析式的求法，以及由解析式评：求函数与坐标轴的交点以及一元二次方程根的判别式的应用．22．（2013•沙湾区模拟）已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）（如图所示），则能使y1＜y2成立的x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜﹣2 C．x＞0 D．﹣2＜x＜8考点：二次函数的性质．分析：根据两函数交点坐标得出，能使y1＜y2成立的x的取值范围即是图象y2在图象y1上面是x的取值范围，即可得出答案．解答：解：∵二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m （k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2），∵结合图象，∴能使y1＜y2成立的x的取值范围是：﹣2＜x＜8，故选：D．点评：此题主要考查了利用函数图象判定两函数的大小关系，此题型是中考中考查重点也是难点，同学们应熟练掌握．23．（2012•北辰区一模）在﹣3≤x≤0范围内，二次函数（a≠0）的图象如图所示．在这个范围内，有结论：①y1有最大值1、没有最小值；②y1有最大值1、最小值﹣3；③函数值y1随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=2无解；⑤若y2=2x+4，则y1≤y2．其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5考点：二次函数的性质；二次函数的图象．专题：数形结合．分析：根据二次函数的性质，结合图象可判断①②③；根据二次函数与一元二次方程的关系可判断④；求出y2=2x+4与两坐标轴的交点画出直线y=2x+4，求出抛物线的解析式，根据y2﹣y1的符号即可判断出⑤．解答：解：由图象可知，在﹣3≤x≤0范围内，y1有最大值1、最小值﹣3，故①错误，②正确；由图象可知，当﹣3≤x＜﹣1时，y1随x的增大而增大，当﹣1＜x＜0时，y1随x的增大而减小，故③错误；由于y1的最大值是1，所以y1=ax2+bx+c与y=2没有交点，即方程ax2+bx+c=2无解，故④正确；如图所示，由于y2=2x+4经过点（0，4），（﹣2，0），由图可知，二次函数（a≠0）中，当x=1时，y=﹣1；x=﹣2时，y=0，所以，解得，故此二次函数的解析式为y1=﹣x2﹣2x，所以y2﹣y1=2x+4+x2+2x=（x+2）2，因为=（x+2）2≥0，所以y1≤y2，故⑤正确．故选B．点本题考查的是二次函数的性质，能利用数形结合求出不评：等式的解集是解答此题的关键．24．（2011•苏州模拟）抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x …﹣2 ﹣1 1 34…y …0 4 6 4 0 …根据上表判断下列四种说法：①抛物线的对称轴是x=1；②x ＞1时，y的值随着x的增大而减小：③抛物线有最高点：④抛物线的顶点、与x轴的两个交点三点为顶点的三角形的面积为36．其中正确说法的个数有（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：根据抛物线的对称性，抛物线的顶点坐标为（1，6），且函数值6为最大值，由此判断．解答：解：观察表格可知，抛物线的顶点坐标为（1，6），且抛物线开口向下，故①②③正确；∵抛物线与x轴的两个交点为（﹣2，0），（4，0），顶点坐标为（1，6），∴抛物线的顶点、与x轴的两个交点三点为顶点的三角形的面积为×（4+2）×6=18，故④错误．其中正确说法是①②③．故选C．点评：本题考查了二次函数的性质．关键是由表格观察出抛物线的顶点坐标，开口方向及与x轴交点坐标．25．（2010•河北）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A 的坐标为（0，3），则点B的坐标为（）A．（2，3）B．（3，2）C．（3，3）D．（4，3）考点：二次函数的性质．专题：综合题；压轴题．分析：已知抛物线的对称轴为x=2，知道A的坐标为（0，3），由函数的对称性知B点坐标．解答：解：由题意可知抛物线的y=x2+bx+c的对称轴为x=2，∵点A的坐标为（0，3），且AB与x轴平行，可知A、B两点为对称点，∴B点坐标为（4，3）故选D．点评：本题主要考查二次函数的对称性．26．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab ＜0；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；③a+b+c＞0；④当x＜1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3．其中，正确的说法有（）A．①②④B．①②⑤C．①③⑤D．②④⑤考点：二次函数的性质．专题：压轴题．分析：根据二次函数图象反映出的数量关系，逐一判断正确性．解答：解：根据图象可知：①对称轴﹣＞0，故ab＜0，正确；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3，正确；③x=1时，y=a+b+c＜0，错误；④当x＜1时，y随x值的增大而减小，错误；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3，正确．正确的有①②⑤．故选B．点评：主要考查了二次函数的性质，会根据图象获取所需要的信息．掌握函数性质灵活运用．27．已知二次函数y=x2+2（a﹣1）x+2．如果x≤4时，y随x增大而减小，则常数a的取值范围是（）A．a≥﹣5 B．a≤﹣5 C．a≥﹣3 D．a≤﹣3考点：二次函数的性质．分析：抛物线开口向上，由x≤4时，y随x增大而减小，可知对称轴x=1﹣a≥4，解不等式即可．解答：解：∵二次函数对称轴为直线x=1﹣a，开口向上，∴当x≤1﹣a时，y随x增大而减小，∴1﹣a≥4，解得a≤﹣3．故选D．点评：本题考查了二次函数的增减性．抛物线开口向上时，在对称轴左边，y随x的增大而减小，右边y随x的增大而增大；抛物线开口向下时，在对称轴左边，y随x的增大而增大，右边y随x的增大而减小．28．如图，平行于y轴的直线l被抛物线y=0.5x2+1，y=0.5x2﹣1所截，当直线l向右平移3个单位时，直线l被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为（）平方单位．A．3B．4C．6D．无法可求考点：二次函数的性质．分析：由于抛物线y=0.5x2+1是y=0.5x2﹣1向上平移2个单位长度得到的，平行于y轴的直线l与2个函数图象的交点纵坐标是个定值2，通过截补法可知阴影部分的面积是6个单位长度．解答：解：抛物线y=0.5x2+1是y=0.5x2﹣1向上平移2个单位长度得到的，即|y1﹣y2|=2．当直线l向右平移3个单位时，阴影部分的面积是：2×3=6．故选C．点评：主要考查了函数图象动态变化中的不变量，本题的关键点是能看出阴影部分的面积通过截补法是个平行四边形．29．已知直线经过点A（0，2），B（2，0），点C在抛物线y=x2的图象上，则使得S△ABC=2的点有（）个．。
二次函数的图像和性质专题练习
专业技术资料分享二次函数的图像与性质专题练习1．（）如图是二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2=mx+n（m≠0）的图象，当y2＞y1，x的取值范围是_________ ．2．（2011•扬州）如图，已知函数y=与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P．点P的纵坐标为1．则关于x的方程ax2+bx+=0的解为_________ ．3．（2011•黑龙江）抛物线y=﹣（x+1）2﹣1的顶点坐标为_________ ．4．（2011•淮安）抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是_________ ．5．（2010•扬州）抛物线y=2x2﹣bx+3的对称轴是直线x=1，则b的值为_________ ．6．（2009•西宁）二次函数y=﹣x2+x﹣的图象的顶点坐标为_________ ．7．（2008•大庆）抛物线y=﹣3x2+1的顶点坐标是_________ ．8．（2012•牡丹江）若抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，10），则a﹣b+c= _________ ．9．（2012•大庆）已知二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象上有两点A（﹣7，y1），B（﹣8，y2），则y1_________ y2．（用＞、＜、=填空）．10．（2008•白银）抛物线y=x2+x﹣4与y轴的交点坐标为_________ ．11．（2007•黄石）二次函数y=a（x﹣1）2+bx+c（a≠0）的图象经过原点的条件是_________ ．12．（2007•黑龙江）抛物线y=x2+bx+3经过点（3，0），则b的值为_________ ．13．（2006•攀枝花）已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（1，3）与（﹣1，5），则a+c的值是_________ ．14．若二次函数y=mx2﹣3x+2m﹣m2的图象经过原点，则m= _________ ．15．抛物线y=x2+8x﹣4与直线x=4的交点坐标是_________ ．16．（2012•深圳）二次函数y=x2﹣2x+6的最小值是_________ ．17．（2011•泉州）已知函数y=﹣3（x﹣2）2+4，当x= _________ 时，函数取得最大值为_________ ．18．（2009•荆门）函数y=（x﹣2）（3﹣x）取得最大值时，x= _________ ．19．（2008•黄石）若实数a，b满足a+b2=1，则2a2+7b2的最小值是_________ ．20．二次函数y=ax2﹣4x﹣13a有最小值﹣17，则a= _________ ．21．（2011•济宁）将二次函数y=x2﹣4x+5化成y=（x﹣h）2+k的形式，则y= _________ ．22．（2000•河南）用配方法将二次函数y=4x2﹣24x+26写y=a（x﹣h）2+k的形式是_________ ．23．y=﹣配方成y=a（x﹣h）2+k的形式是_________ ．24．（2012•上海）将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是_________ ．25．（2011•昭通）把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2﹣2x+3，则b的值为_________ ．26．（2011•雅安）将二次函数y=（x﹣2）2+3的图象向右平移2个单位，再向下平移2个单位，所得二次函数的解析式为_________ ．27．（2012•宁波）把二次函数y=（x﹣1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为_________ ．28．（2011•德阳）在平面直角坐标系中，函数y=﹣3x2的图象不动，将x轴、y轴分别向下、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的顶点坐标是_________ ．29．（2010•黑河）抛物线y=x2﹣4x+与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是_________ ．30．（2010•金华）已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为_________ ．31．（2007•天水）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，它的顶点的横坐标为﹣1，由图象可知关于x的方程ax2+bx+c=0的两根为x1=1，x2= _________ ．32．（2006•兰州）开口向下的抛物线y=（m2﹣2）x2+2mx+1的对称轴经过点（﹣1，3），则m= _________ ．33．（2005•温州）若二次函数y=x2﹣4x+c的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c= _________ ．（只要求写出一个）．34．（2006•泰安）抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x …﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y …﹣6 0 4 6 6 …容易看出，（﹣2，0）是它与x轴的一个交点，则它与x轴的另一个交点的坐标为_________ ．35．（2012•孝感）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示．对于下列说法：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＜0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0．其中正确的是_________ （把正确的序号都填上）．36．（2012•天水）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①b＞0；②c＜0；③|a+c|＜|b|；④4a+2b+c＞0．其中正确的结论有_________ （填写序号）．37．（2010•玉溪）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断①c＞0；②a+b+c ＜0；③2a﹣b＜0；④b2+8a＞4ac中正确的是（填写序号）_________ ．38．（2012•枣庄）二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是_________ ．39．（2010•日照）如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为B（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是_________ ．40．已知一次函数y1=kx+m和二次函数y2=ax2+bx+c的图象如图所示，它们的两个交点的横坐标是1和4，那么能够使得y1＜y2的自变量x的取值范围是_________ ．二．解答题（共4小题）1．（2012•佳木斯）如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=3，求点B的坐标．2．（2012•绥化）如图，二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标．3．（2012•徐州）二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）．（1）求b、c的值；（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；（3）在所给坐标系中画出二次函数y=x2+bx+c的图象．4．（2011•佛山）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，﹣1）、B（0，2）、C（1，3）；（1）求二次函数的解析式；（2）画出二次函数的图象．二次函数的图像与性质专题练习参考答案与试题解析一．填空题（共30小题）1．（）如图是二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2=mx+n（m≠0）的图象，当y2＞y1，x的取值范围是﹣2＜x＜1 ．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．353143分析：关键是从图象上找出两函数图象交点坐标，再根据两函数图象的上下位置关系，判断y2＞y1时，x的取值范围．解答：解：从图象上看出，两个交点坐标分别为（﹣2，0），（1，3），∴当有y2＞y1时，有﹣2＜x＜1，故答案为：﹣2＜x＜1．点评：此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．2．（2011•扬州）如图，已知函数y=与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P．点P的纵坐标为1．则关于x的方程ax2+bx+=0的解为x=﹣3 ．考点：二次函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征．353143专题：探究型．分析：先根据点P的纵坐标为1求出x的值，再把于x的方程ax2+bx+=0化为于x的方程ax2+bx=﹣=0的形式，此方程就化为求函数y=与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交点的横坐标，由求出的P点坐标即可得出结论．解答：解：∵P的纵坐标为1，∴1=﹣，∴x=﹣3，∵ax2+bx+=0化为于x的方程ax2+bx=﹣的形式，∴此方程的解即为两函数图象交点的横坐标的值，∴x=﹣3．故答案为：x=﹣3．点评：本题考查的是二次函数的图象与反比例函数图象的交点问题，能把方程的解化为两函数图象的交点问题是解答此题的关键．3．（2011•黑龙江）抛物线y=﹣（x+1）2﹣1的顶点坐标为（﹣1，﹣1）．考点：二次函数的性质．353143分析：根据二次函数顶点形式，直接可以得出二次函数的顶点坐标．解答：解：∵抛物线y=﹣（x+1）2﹣1，∴抛物线y=﹣（x+1）2﹣1的顶点坐标为：（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）．点评：此题主要考查了二次函数的性质，同学们应根据题意熟练地应用二次函数性质，这是中考中考查重点知识．4．（2011•淮安）抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．考点：二次函数的性质．353143分析：已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．解答：解：∵y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2，∴抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．点评：此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h，此题还考查了配方法求顶点式．5．（2010•扬州）抛物线y=2x2﹣bx+3的对称轴是直线x=1，则b的值为 4 ．考点：二次函数的性质．353143分析：已知抛物线的对称轴，利用对称轴公式可求b的值．解答：解：∵y=2x2﹣bx+3，对称轴是直线x=1，∴=1，即﹣=1，解得b=4．点评：主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法：公式法：y=ax2+bx+c的顶点坐标为（，），对称轴是x=．6．（2009•西宁）二次函数y=﹣x2+x﹣的图象的顶点坐标为（1，﹣2）．考点：二次函数的性质．353143分析：已知二次函数的一般式，直接利用顶点公式求顶点坐标．解答：解：根据顶点坐标公式，x==1，y==﹣2，即顶点坐标为（1，﹣2）．故答案为：（1，﹣2）．点评：主要考查了求抛物线顶点坐标的方法．7．（2008•大庆）抛物线y=﹣3x2+1的顶点坐标是（0，1）．考点：二次函数的性质．353143分析：利用顶点坐标公式（﹣，），直接求解．解答：解：∵x=﹣=﹣=0，y===1，∴顶点坐标是（0，1）．点评：熟练运用顶点公式求抛物线的顶点坐标．8．（2012•牡丹江）若抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，10），则a﹣b+c= 10 ．考点：二次函数图象上点的坐标特征．353143专题：计算题．分析：由于函数图象上的点符合函数解析式，将该点坐标代入解析式即可．解答：解：将（﹣1，10）代入y=ax2+bx+c得，a﹣b+c=10．故答案为10．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，知道函数图象上的点符合函9．（2012•大庆）已知二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象上有两点A（﹣7，y1），B（﹣8，y2），则y1＞y2．（用＞、＜、=填空）．10．（2008•白银）抛物线y=x2+x﹣4与y轴的交点坐标为（0，﹣4）．11．（2007•黄石）二次函数y=a（x﹣1）2+bx+c（a≠0）的图象经过原点的条件是a+c=0 ．12．（2007•黑龙江）抛物线y=x2+bx+3经过点（3，0），则b的值为﹣4 ．y=x2+bx+3，得9+3b+3=0，∴b=﹣4．点评：此题考查了点与函数的关系，点在函数上，将点代入解析式即可．13．（2006•攀枝花）已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（1，3）与（﹣1，5），则a+c的值是 4 ．考点：二次函数图象上点的坐标特征．353143分析：把两点的坐标代入二次函数的解析式，通过变形，即可求得a+c的值．解答：解：将点（1，3）与（﹣1，5）代入y=ax2+bx+c得：∴两式相加得2a+2c=8∴a+c=4．点评：解答此题，要注意函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，且注意整体思想的应用．14．若二次函数y=mx2﹣3x+2m﹣m2的图象经过原点，则m= 2 ．考点：二次函数图象上点的坐标特征．353143分析：此题可以将原点坐标（0，0）代入y=mx2﹣3x+2m﹣m2，求得m的值即可．解答：解：由于二次函数y=mx2﹣15．抛物线y=x2+8x﹣4与直线x=4的交点坐标是（4，44）．16．（2012•深圳）二次函数y=x2﹣2x+6的最小值是 5 ．17．（2011•泉州）已知函数y=﹣3（x﹣2）2+4，当x= 2 时，函数取得最大值为 4 ．18．（2009•荆门）函数y=（x﹣2）（3﹣x）取得最大值时，x= ．考点：二次函数的最值．353143分析：先把二次函数化为一般式或顶点式的形式，再求其最值即可．解答：解：原二次函数可化为y=﹣x2+5x﹣6=﹣（x﹣）2+，取得最大值时x=﹣=．点评：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．19．（2008•黄石）若实数a，b满足a+b2=1，则2a2+7b2的最小值是 2 ．考点：二次函数的最值．353143分析：根据a+b2=1求出a的取值范围，再把代数式变形，然后结合结合函数的性质及b的取值范围求得结果．解答：解：∵a+b2=1，∴a=1﹣b2∴2a2+7b2=2（1﹣b2）2+7b2=2b4+3b2+2=2（b2+）2+2﹣=2（b2+）2+，∵b2≥0，∴2（b2+）2+＞0，∴当b2=0，即b=0时，2a2+7b2的值最小．∴最小值是2．方法二：∵a+b2=1，∴b2=1﹣a，∴2a2+7b2=2a2+7（1﹣a）=2a2﹣7a+7=2（a﹣）2+，∵b2≥0，∴1﹣a≥0，∴a≤1，∴当a=1，即b=0时，2a2+7b2的值最小．∴最小值是2．点评：此题比较复杂，是中学阶段的难点，综合性比较强，解答此题的关键是先求出b的取值范围，再把已知代数式变形后代入未知，把求代数式的最小值转化为求函数式的最小值，结合函数的性质及b的取值范围解答．20．二次函数y=ax2﹣4x﹣13a有最小值﹣17，则a= 1或．考点：二次函数的最值．353143分析：本题考查二次函数最大（小）值的求法．解答：解：∵二次函数y=ax2﹣4x﹣13a有最小值﹣17，∴a＞0，y最小值===﹣13a2﹣4=﹣17，解得a=1或，均合题意．点评：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=﹣x2﹣2x+5，y=3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．21．（2011•济宁）将二次函数y=x2﹣4x+5化成y=（x﹣h）2+k的形式，则y= （x﹣2）2+1 ．考点：二次函数的三种形式．353143专题：常规题型．分析：将二次函数y=x2﹣4x+5的右边配方即可化成y=（x﹣h）2+k的形式．解答：解：y=x2﹣4x+5，y=x2﹣4x+4﹣4+5，y=x2﹣4x+4+1，y=（x﹣2）2+1．故答案为：y=（x﹣2）2+1．点评：本题考查了二次函数的三种形式：一般式：y=ax2+bx+c，顶点式：y=a（x﹣h）2+k；两根式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．22．（2000•河南）用配方法将二次函数y=4x2﹣24x+26写y=a（x﹣h）2+k的形式是y=4（x﹣3）2﹣10 ．考点：二次函数的三种形式．353143专题：配方法．分析：利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．解答：解：y=4x2﹣24x+26=4（x2﹣6x+9）﹣36+26=4（x﹣3）2﹣10故本题答案为：y=4（x﹣3）2﹣10．点评：二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．23．y=﹣配方成y=a（x﹣h）2+k的形式是y=﹣0.5（x﹣2）2+3 ．考点：二次函数的三种形式．353143分析：利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．解答：解：y=﹣x2+2x+1=﹣（x2﹣4x+4）+2+1=﹣0.5（x﹣2）2﹣3故本题答案为：y=﹣0.5（x﹣2）2﹣3．点评：二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．24．（2012•上海）将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是y=x2+x﹣2 ．考点：二次函数图象与几何变换．353143分析：根据向下平移，纵坐标要减去2，即可得到答案．解答：解：∵抛物线y=x2+x向下平移2个单位，∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2，故答案为y=x2+x﹣2．点评：本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a|．25．（2011•昭通）把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2﹣2x+3，则b的值为 4 ．26．（2011•雅安）将二次函数y=（x﹣2）2+3的图象向右平移2个单位，再向下平移2个单位，所得二次函数的解析式为y=（x﹣4）2+1．．27．（2012•宁波）把二次函数y=（x﹣1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为y=﹣（x+1）2﹣2 ．28．（2011•德阳）在平面直角坐标系中，函数y=﹣3x2的图象不动，将x轴、y轴分别向下、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的顶点坐标是（﹣2，2）．考点：二次函数图象与几何变换．353143分析：先判断出原抛物线的顶点，然后根据题中所述的平移规律求出新抛物线的顶点即可．解答：解：原抛物线的顶点为（0，0），∵把x轴、y轴分别向下、向右平移2个单位，∴新抛物线的顶点为（﹣2，2）．故答案为：（﹣2，2）．点评：考查二次函数的平移问题，得到新抛物线的顶点是解决本题的易错点和关键点，可通过实际操作来辅助解题．29．（2010•黑河）抛物线y=x2﹣4x+与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）．考点：抛物线与x轴的交点．353143分析：把交点坐标代入抛物线解析式求m的值，再令y=0解一元二次方程求另一交点的横坐标．解答：解：把点（1，0）代入抛物线y=x2﹣4x+中，得m=6，所以，原方程为y=x2﹣4x+3，令y=0，解方程x2﹣4x+3=0，得x1=1，x2=3∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）．点评：本题考查了点的坐标与抛物线解析式的关系，抛物线与x轴交点坐标的求法．本题也可以用根与系数关系直接求解．30．（2010•金华）已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为﹣1或3 ．考点：抛物线与x轴的交点．353143分析：由二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象可以得到抛物线的对称轴和抛物线与x轴的一个交点坐标，然后可以求出另一个交点坐标，再利用抛物线与x轴交点的横坐标与相应的一元二次方程的根的关系即可得到关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解．解答：解：依题意得二次函数y=﹣x2+2x+m的对称轴为x=1，与x轴的一个交点为（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点横坐标为1﹣（3﹣1）=﹣1，。
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二次函数的图像与性质一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
【说明】这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：5. 二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 六、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． / 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 4.利用二次函数与x 轴的交点的个数来确定判别式∆的符号，利用特殊点的坐标确定特殊代数式的值的范围。
二次函数的图像及性质专项练习
二次函数的图像与性质专项练习【知识要点】1．二次函数：形如的函数叫做二次函数.2．二次函数的图像性质：〔1〕二次函数的图像是；〔2〕二次函数),,,0(2为常数c b a a c bx ax y ≠++=通过配方可得c b a a ab ac a b x a y ,,,0(44)2(22≠-++=为常数〕，其顶点坐标为。
〔3〕当0>a 时，抛物线开口，并向上无限延伸；在对称轴左侧)2(ab x -<即时，y 随x 的增大而减小；在对称轴右侧)2(abx ->即时，y 随x 的增大而增大；当abx 2-=时，函数有. 当0<a 时，抛物线开口，并向下无限延伸；在对称轴左侧)2(abx -<即时，y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧)2(abx ->即时，y 随着x 的增大而减小；当,2时abx -=函数有。
3．二次函数的图像平移：〔1〕二次函数k h x a y h x a y ax y +-=-==222)(,)(,的图像都是抛物线，并且形状一样，只是位置不同〔a 的取值决定抛物线的形状〕.将2ax y =的图像向右〔h>0〕、向左〔h<0〕平移h 个单位，就得到函数2)(h x a y -=的图像；再将此抛物线向上(k>0)、向下(k<0)平移k 个单位得到函数k h x a y +-=2)(的图像.上述平移的规律是：“h 值正、负、右、左移；k 值正、负、上、下移.〞 4.抛物线与坐标轴的交点：〔1〕抛物线).,0(2c y c bx ax y 轴交于点与++= 〔2〕假设方)0,)(0,(,,0212212x x x c bx ax y x x c bx ax 轴点交则抛物线有两根++==++ 核心考点突破考点㈠二次函数的图像性质例1定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为 [2m ，1 – m , –1–m ]的函数的一些结论：①当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(31，38)； ②当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23； ③当m < 0时，函数在x >41时，y 随x 的增大而减小； ④当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点.其中正确的结论有 A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④ 变式训练1.二次函数2y ax bx c =++的图像如下图，那么以下结论正确的选项是〔〕A.a >B.c < C.240b ac -<D.0a b c ++>第〔1〕题第〔3〕题2．二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如下图，有以下结论：〔〕①240b ac ->；②0abc >；③80a c +>；④930a b c ++<． 3. 二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如下图，有以下5个结论：①0>abc ；②c a b +<；③024>++c b a ；④b c 32<；⑤)(b am m b a +>+，〔1≠m 的实数〕其中正确的结论有〔〕A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个考点㈡二次函数图像平移例2. 抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322--=x x y ，那么b 、c 的值为〔〕A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2 变式训练1．把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，那么平移后抛物线的表达式第〔2〕题yxO 1x =1- 2-· O y x1〔〕2.假设把函数y=x 的图象用E 〔x ，x 〕记，函数y=2x+1的图象用E 〔x ，2x+1〕记，……那么E 〔x ，122+-x x 〕可以由E 〔x ，2x 〕怎样平移得到？3．如图，点A ，B 的坐标分别为〔1, 4〕和〔4, 4〕,抛物线n m x a y +-=2)(的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点〔C 在D 的左侧〕，点C 的横坐标最小值为3-，那么点D 的横坐标最大值为( )A ．－3B ．1C ．5D ．8考点㈢确定二次函数解析式例3如图，在平面直角坐标系中，OB OA ⊥，且2OB OA =，点A 的坐标是(12)-，．〔1〕求点B 的坐标；〔2〕求过点A O B 、、的抛物线的表达式；〔3〕连接AB ，在〔2〕中的抛物线上求出点P ，使得ABP ABO S S =△△． 变式训练1．二次函数23y x mx =-+的图象与x 轴的交点如下图，根据图息可得到m 的值是．第2题图 2．二次函数()()221y x a a =-+-〔a 为常数〕，当a 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系〞．以下图分别是当1a =-，0a =，1a =，2a =时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y =.yxO〔第3题〕D CB (4,4)A (1,4)yOB Ax1 1〔例3图〕第1题图3.如图，二次函数c bx x y ++-=221的图象经过A 〔2，0〕、B 〔0，－6〕两点。
二次函数的图像与性质练习题及答案
二次函数的图像和性质练习题一、选择题1．下列函数是二次函数的有（ ）12)5(;)4();3()3(;2)2(;1)1(222+=++=-==-=x y c bx ax y x x y xy x y (6) y=2(x+3)2－2x 2 A 、1个； B 、2个； C 、3个； D 、4个2.关于213y x =，2y x =，23y x =的图像，下列说法中不正确的是（ ） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．图像形状相同 D ．最低点相同3．抛物线()12212++=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（-2，1） C ．（2，-1） D ．（-2，-1）4.已知二次函数)2(2-++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值为 （ ）A ． 0或2B ． 0C ． 2D ．无法确定5.已知二次函数213x y -=、2231x y -=、2323x y =，它们的图像开口由小到大的顺序是（ ） A 、321y y y << B 、123y y y << C 、231y y y << D 、132y y y <<6．两条抛物线2y x =与2y x =-在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ ）A ．顶点相同B ．对称轴相同C ．开口方向相反D ．都有最小值7．已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列结论：①0abc >；②a+b+c>0③a-b+c<0；；其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8．已知抛物线的顶点为（-1，-2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（ ）A ．y=32(1)x -－2B ．y=32(1)x +＋2C ．y=32(1)x +－2D ．y=－32)1(-x +29．抛物线23y x =向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( )A . 23(1)2y x =-- B.23(1)2y x =+- C.23(1)2y x =++ D.23(1)2y x =-+10．抛物线244y x x =--的顶点坐标是（ ）A ．（2，0）B ．（2，-2）C ．（2，-8）D ．（-2，-8）11.与抛物线y=－12x 2+3x －5的形状、开口方向都相同，只有位置不同的抛物线是（ ）A. y = x 2+3x －5B. y=－12x 2xC. y =12x 2+3x －5 D. y=12x 212．对抛物线y=22(2)x -－3与y=－22(2)x -＋4的说法不正确的是（ ）A ．抛物线的形状相同B ．抛物线的顶点相同C ．抛物线对称轴相同D ．抛物线的开口方向相反13.对于抛物线21(5)33y x =--+，下列说法正确的是（ ）A ．开口向下，顶点坐标(53)，B ．开口向上，顶点坐标(53)，C ．开口向下，顶点坐标(53)-，D ．开口向上，顶点坐标(53)-，14．抛物线y=222x mx m -++的顶点在第三象限，试确定m 的取值范围是（ ）A ．m ＜－1或m ＞2B ．m ＜0或m ＞－1C ．－1＜m ＜0D ．m ＜－115.在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是（）ＡＢＣＤ16．函数y=12-2x ＋2x －5的图像的对称轴是（ ）A ．直线x=2B ．直线a=－2C ．直线y=2D ．直线x=417.二次函数y=221x x --+图像的顶点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限18．如果抛物线y=26x x c ++的顶点在x 轴上，那么c 的值为（ ）A ．0B ．6C ．3D ．919．已知二次函数2y ax bx c =++，如果a ＞0,b ＜0,c ＜0，那么这个函数图像的顶点必在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限20.已知正比例函数kx y =的图像如右图所示，则二次函数222k x kx y +-=21．如图所示，满足a ＞0,b ＜0的函数y=2ax bx +的图像是（ ）22.若A （-4，y 1），B （-3，y 2），C （1，y 3）为二次函数y=x 2+4x-5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A 、y 1＜y 2＜y 3B 、y 2＜y 1＜y 3C 、y 3＜y 1＜y 2D 、y 1＜y 3＜y 2二、填空题：23.二次函数2y ax =（0<a ）的图像开口向＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿＿，图像有最＿＿＿点，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。
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二次函数的图像与性质一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
【说明】这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：5. 二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 六、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． / 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 4.利用二次函数与x 轴的交点的个数来确定判别式∆的符号，利用特殊点的坐标确定特殊代数式的值的范围。
有时还要利用等量代换来判断特殊代数式的值的范围。
二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．二次函数的图像与性质应用举例：例1：小强从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）0a <；（2） 1c >；（3）0b >；（4） 0a b c ++>； （5）0a b c -+>. 你认为其中正确信息的个数有（C ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个例2：已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；/②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ C ）A ．①②B ． ①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤例3：小明从图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有（ C ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个分析：④错误.由123b a -=得230a b +=；由前面的分析知32a b =-，又由题图知当2x =时，420y a b c =++＞，将2x =代入420a b c ++＞中得40c b ->.【练】已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<；⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（ C ）．A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个分析：由图可知，0,1,02ba c a-=＜＞，从而20,0b a abc =-＞＜，①错误；又当1x =-时0y a b c =-+＜，②错误；由抛物线的对称轴为直线1x =知，当0x =与2x =时函数值相等，所以③正确；因为23222222()0c b c b b c b a a b c -=--=-+=-+＜，所以④正确；因为二次函数的对称轴为直线1x =，所以当1x =时，函数取得最大值，即当1,m x m ≠=时的函数值小于当1x =时的函数值，所以2a b c am bm c ++++＞，得)(b am m b a +>+，所以⑤正确.例4：如图，是二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象的一部分， 给出下列命题 ：①a+b+c=0；②b ＞2a ；③ax 2+bx +c =0的两根分别为-3和1；④a -2b +c ＞0．其中正确的命题是 ①③ ．（只要求填写正确命题的序号）分析：由图知①③正确且12ba-=-，所以20b a =＞，所以②错误；由①正确得c a b =--，所以2230a b c a b a b b -+=---=-＜，所以④错误.【练】1. 已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，它的顶点的横坐标为－1，由图象可知关于x 的方程2=0ax bx c ++的两根为121,x x == －3 ．2.二次函数图象的对称轴是直线1x =，其图象的一部分如图所示．对于下列说法：①abc ＜0；②a b c -+＜0；③3a c +＜0；④当－1＜x ＜3时，y＞0．其中正确的是 ④ （把正确的序号都填上）．分析：由图可知，抛物线的对称轴为直线1x =，与x 轴的一个交点为()3,0，得12ba-=，2b a =-，与x 轴的另一个交点为()1,0-，所以0a b c -+=，30a c a b c +=-+=.例5：在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是（ C ）例6：（1）已知二次函数的图象以A （－1，4）为顶点，且过点B （2，－5）①求该函数的关系式；②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；答：223y x x =-++，交点坐标()()1,0,3,0-（2）抛物线过（－1，0），（3，0），（1，－4）三点，求二次函数的解析式； 答：223y x x =--例7：已知函数()24281m m y m xx +-=++-是关于x 的二次函数，求：（1）求满足条件的m 的值；（2）m 为何值时，抛物线有最低点？最低点坐标是多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？（3）m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？ 答：（1）3m =-或2m =；例8：（1）利用配方求函数2144y x x =-++的对称轴、顶点坐标。