版高中数学第三章Ⅰ3.2.1第2课时对数的运算学业分层测评新人教B版必修46
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的基本定理学业分层测评新人教B版选修21
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的基本定理学业分层测评新人教B 版选修21(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＋y 等于( )A ．2B ．－2C ．1D ．0【解析】 因为m 与n 共线，所以x a ＋y b ＋c ＝z (a －b ＋c )．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝z ，y ＝－z ，1＝z .所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，所以x ＋y ＝0.【答案】 D2．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D【解析】 BD →＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2a ＋4b ，BA →＝－AB →＝－a －2b ，∴BD →＝－2BA →，∴BD →与BA →共线， 又它们经过同一点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． 【答案】 A3．A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P ，A ，B ，C 四点( )A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断【解析】 ∵34＋18＋18＝1，∴点P ，A ，B ，C 四点共面．4．设p ：a ，b ，c 是三个非零向量；q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 当非零向量a ，b ，c 不共面时，{a ，b ，c }可以当基底，否则不能当基底．当{a ，b ，c }为基底时，一定有a ，b ，c 为非零向量．因此pq ，q ⇒p .【答案】 B5．正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，O 1，O 2，O 3分别是AC ，AB ′，AD ′的中点，以{AO →1，AO →2，AO →3}为基底，AC ′→＝xAO →1＋yAO 2→＋zAO →3，则x ，y ，z 的值是( )A ．x ＝y ＝z ＝1B ．x ＝y ＝z ＝12C ．x ＝y ＝z ＝22D ．x ＝y ＝z ＝2【解析】 AC ′→＝AA ′→＋AD →＋AB →＝12(AB →＋AD →)＋12(AA ′→＋AD →)＋12(AA ′→＋AB →) ＝12AC →＋12AD ′→＋12AB ′→＝AO 1→＋AO 3→＋AO 2→， 由空间向量的基本定理，得x ＝y ＝z ＝1. 【答案】 A 二、填空题6．已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，若λe 1＋μe 2＋v e 3＝0，则λ2＋μ2＋v 2＝________.【解析】 ∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底， ∴e 1，e 2，e 3为不共面向量． 又∵λe 1＋μe 2＋v e 3＝0，∴λ＝μ＝v ＝0，∴λ2＋μ2＋v 2＝0. 【答案】 07．已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →，则2x ＋3y ＋4z 的值为________.【导学号：15460063】【解析】 由题意知A ，B ，C ，D 共面的充要条件是对空间任意一点O ，存在实数x 1，y 1，z 1，使得OA →＝x 1OB →＋y 1OC →＋z 1OD →，且x 1＋y 1＋z 1＝1，因此2x ＋3y ＋4z ＝－1.8．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________.【解析】 由已知可得：BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →与BD →共线，即存在λ∈R 使得AB →＝λBD →. ∴2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2， ∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝－4λ，解得k ＝－8.【答案】 －8 三、解答题9．如图3118所示，在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量：图3118(1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →. 【解】 由题意知|PB →|＝2，|CD →|＝2，PB →＝PA →＋AB →，DC →＝DA →＋AB →＋BC →， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA →·DA →＝PA →·AB →＝PA →·BC →＝0， ∵AB ⊥AD ，∴AB →·DA →＝0， ∵AB ⊥BC ，∴AB →·BC →＝0，∴PB →·DC →＝(PA →＋AB →)·(DA →＋AB →＋BC →) ＝AB →2＝|AB →|2＝1，又∵|PB →|＝2，|CD →|＝2，∴cos 〈PB →，DC →〉＝PB →·DC →|PB →||DC →|＝12×2＝12，∴〈PB →，DC →〉＝60°，∴PB 与CD 所成的角为60°.10．正方体OABC O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c . (1)用a ，b ，c 表示向量AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →. 【解】 (1)OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12.(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →) ＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →) ＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝12＋1×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.(3)|OA →＋OB →＋OC →|＝OA →＋OB →＋OC→2＝12＋12＋12＋2×1×1×cos 60°×3＝ 6.[能力提升]1．若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有PA →＝αPB →＋βPC →，则α＋β＝1是A ，B ，C 三点共线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若α＋β＝1，则PA →－PB →＝β(PC →－PB →)，即BA →＝βBC →，显然A ，B ，C 三点共线；若A ，B ，C 三点共线，则有AB →＝λBC →，故PB →－PA →＝λ(PC →－PB →)，整理得PA →＝(1＋λ)PB →－λPC →，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.【答案】 C2．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P ，M 为空间任意两点，如果有PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→－4A 1D 1→，那么M 必( )A ．在平面BAD 1内B ．在平面BA 1D 内C ．在平面BA 1D 1内D ．在平面AB 1C 1内【解析】 由于PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→－4A 1D 1→＝PB 1→＋BA →＋6BA 1→－4A 1D 1→＝PB 1→＋B 1A 1→＋6BA 1→－4A 1D 1→＝PA 1→＋6(PA 1→－PB →)－4(PD 1→－PA 1→)＝11PA 1→－6PB →－4PD 1→，于是M ，B ，A 1，D 1四点共面，故选C.【答案】 C3．已知两非零向量e 1，e 2，且e 1与e 2不共线，若a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R ，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________.【导学号：15460064】①a 与e 1共线；②a 与e 2共线；③a 与e 1，e 2共面．【解析】 当λ＝0时，a ＝μe 2，故a 与e 2共线，同理当μ＝0时，a 与e 1共线，由a ＝λe 1＋μe 2，知a 与e 1，e 2共面．【答案】 ①②③4．如图3119所示，M ，N 分别是空间四边形ABCD 的棱AB ，CD 的中点．试判断向量MN →与向量AD →，BC →是否共面．图3119【解】 由题图可得MN →＝MA →＋AD →＋DN →，① ∵MN →＝MB →＋BC →＋CN →，② 又MA →＝－MB →，DN →＝－CN →， 所以①＋②得 2MN →＝AD →＋BC →，即MN →＝12AD →＋12BC →，故向量MN →与向量AD →，BC →共面.。
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高中数学人教B版教材目录高中数学（B版）必修一第一章集合第二章函数函数的概念和性质，一次函数和二次函数，函数与方程第三章基本初等函数（Ⅰ）指数与指数函数对数与对数函数幂函数高中数学（B版）必修二第一章立体几何初步空间几何体的表面积和体积三视图第二章平面解析几何初步中点坐标公式两点间距离公式直线方程圆的方程空间直角坐标系（文不学）高中数学（B版）必修三第一章算法初步程序（主要是和必修五数列的内容结合考）第二章统计茎叶图和？？第三章概率古典概型（文的重点）高中数学（B版）必修四第一章基本初等函(Ⅱ)任意角的概念与弧度制任意角的三角函数三角函数的图象与性质（主要是以三角函数的图像）第二章平面向量向量的线性运算向量的分解与向量的坐标运算平面向量的数量积（重点）第三章三角恒等变换和角公式倍角公式和半角公式（诱导公式）高中数学（B版）必修五第一章解三角形正弦定理和余弦定理第二章数列数列（一般数列的通项和前N项和，递推公式）等差数列等比数列第三章不等式均值不等式一元二次不等式及其解法（与集合放在一起，或者是解答题中）二元一次不等式（组）与简单线性规划问题（直线）（文）高中数学（B版）选修1－1第一章常用逻辑用语命题与量词基本逻辑联结词充分条件、必要条件与命题的四种形式（一般会出选择题）第二章圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线第三章导数及其应用导数导数的运算高中数学（B版）选修1－2第一章统计案例第二章推理与证明第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图选修2-1第一章常用逻辑用语命题及其关系充分条件与必要条件简单的逻辑联结词全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程曲线与方程椭圆双曲线抛物线第三章空间向量与立体几何空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用立体几何中的向量方法选修2-2第一章导数及其应用变化率与导数导数的计算导数在研究函数中的应用定积分的概念微积分基本定理定积分的简单应用第二章推理与证明合情推理与演绎推理直接证明与间接证明数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入数系的扩充和复数的概念复数代数形式的四则运算选修2-3第一章计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理排列与组合探二项式定理第二章随机变量及其分布离散型随机变量及其分布列二项分布及其应用离散型随机变量的均值与方差第三章统计案例回归分析的基本思想及其初步应用独立性检验的基本思想及其初步应用。
2019-2020人教B版数学必修1 第3章 3.2 3.2.1 第2课时 对数的运算
第2课时对数的运算1．对数的运算法则如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)log a(M·N)＝log a M＋log a N；log a(N1·N2·…·N k)＝log a N1＋log a N2＋…＋log a N k(N i＞0，i＝1,2，…，k)；(2)log a MN＝log a M－log a N；(3)log a M n＝n log a M__(n∈R)．2．换底公式与自然对数(1)对数换底公式log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．特别地：log a b·log b a＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．(2)自然对数以e为底的对数叫自然对数，log e N通常记作ln_N.思考：如何准确的应用换底公式？[提示](1)在使用换底公式时，底数的取值不唯一，应根据实际情况选择．(2)换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题．如：在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进行化简与求值．(3)要注意换底公式的两个重要推论的应用．①log a b ＝1log ba ；②log amb n ＝nm log a b ，其中a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，m ，n ∈R .1．计算lg 4＋lg 25＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．10A [lg 4＋lg 25＝lg(4×25)＝lg 100＝2.] 2．计算log 916·log 881的值为( ) A ．18 B.118 C ．83 D ．38 C [原式＝log 3224·log 2334＝42log 32·43log 23＝83.]3．下列结论正确的是( ) A ．log a (x －y )＝log a x －log a y B ．log a xlog ay ＝log a x －log a yC ．log a xy ＝log a x －log a y D ．log a x y ＝log a xlog ayC [由对数的运算性质，知A ，B ，D 错误，C 正确．] 4．若3a ＝2，则2log 36－log 38＝________.2－a [∵3a ＝2，∴a ＝log 32，∴2log 36－log 38＝2(log 32＋log 33)－3log 32＝－log 32＋2＝2－a .]【例1】 (1)计算8－23＋2lg 2－lg 125的值为________． (2)计算：log 327＋lg 4＋lg 25＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－180＝________.(3)计算：①lg 5 100；②log2(47×25)；③(lg 2)2＋lg 20×lg 5.(1)94(2)92[(1)原式＝(23) －23＋lg 4－(lg 1－lg 25)＝14＋lg(4×25)＝14＋2＝9 4.(2)原式＝32＋lg 102＋1＝32＋2＋1＝92.](3)解：①lg 5100＝15lg 102＝25lg 10＝25.②log2(47×25)＝log247＋log225＝log222×7＋log225＝2×7＋5＝19.③(lg 2)2＋lg 20×lg 5＝(lg 2)2＋(1＋lg 2)(1－lg 2)＝(lg 2)2＋1－(lg 2)2＝1.1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．2．对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法：①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．提醒：对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．计算下列各式的值：(1)12lg3249－43lg8＋lg245；(2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.[解] (1)原式＝12(lg 25－lg 72)－43lg 232＋lg(72×5)12＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5) ＝12.(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2 ＝2＋1＝3.33(2)设a ＝lg 2，b ＝lg 3，试用a ，b 表示lg 108. [思路探究] 对数运算⇒对数运算法则的应用． [解] (1)log 312＝log 3(3×4)＝1＋2log 32＝a ， 所以log 32＝a －12，log 324＝log 3(8×3) ＝1＋3log 32＝1＋3×a －12＝3a －12.(2)因为108＝4×27＝22×33，所以 lg 108＝12lg 108＝12lg(22×33) ＝12lg 22＋12lg 33＝lg 2＋32lg 3＝a ＋32b .1．(变结论)本例(2)中的条件不变，如何用a ，b 表示lg 95？ [解] lg 95＝lg 9－lg 5＝2lg 3－(1－lg 2) ＝2b ＋a －1.2．(变条件)将本例(2)中的条件改为“lg 6＝a ，lg 15＝b ”，结果如何？ [解] 由已知得⎩⎨⎧ lg 2＋lg 3＝a ，lg 3＋lg 5＝b ，即⎩⎨⎧lg 2＋lg 3＝a ，lg 3＋1－lg 2＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧lg 2＝a －b ＋12，lg 3＝a ＋b －12，所以lg 108＝12lg 108 ＝12lg(22×33)＝12(2lg 2＋3lg 3)＝lg 2＋32lg 3 ＝a －b ＋12＋32×a ＋b －12 ＝2a －2b ＋2＋3a ＋3b －34＝5a ＋b －14.对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，“lg 2＋lg 5＝1”在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式.[探究问题]1．假设log 25log 23＝x ，则log 25＝x log 23，即log 25＝log 23x ，从而有3x ＝5，进一步可以得到什么结论？提示：进一步可以得到x ＝log 35，即log 35＝log 25log 23.2．由探究1，你能猜测log c blog c a 与哪个对数相等吗？如何证明你的结论？提示：log c b log ca ＝log ab .假设logc blog ca ＝x ，则log cb ＝x logc a ，即log c b ＝log c a x ，所以b ＝a x ，则x ＝log a b ，所以logc blog ca ＝log ab .【例3】 已知3a ＝4b ＝c ，且1a ＋1b ＝2，求实数c 的值．[思路探究] 先把指数式化为对数式，再利用换底公式转化为同底的对数运算．[解] 由3a ＝4b ＝c ，得：a ＝log 3c ，b ＝log 4c ， 所以1a ＝1log 3c ＝log c 3，1b ＝1log 4c ＝log c 4.又1a ＋1b ＝2，所以logc 3＋log c 4＝log c 12＝2， 即c 2＝12，又3a ＝4b ＝c >0，所以c ＝2 3.3．(变条件)将本例中的条件“1a ＋1b ＝2”改为“1a －1b ＝2”，则实数c 又为多少？[解] 由3a ＝4b ＝c 得： a ＝log 3c ，b ＝log 4c ，所以1a ＝1log 3c ＝log c 3，1b ＝1log 4c ＝log c 4.又1a －1b ＝2，所以log c 3－log c 4＝log c 34＝2， 即c 2＝34，又3a ＝4b ＝c >0，所以c ＝32.4．(变结论)将本例条件改为“已知正数a ，b ，c ，满足3a ＝4b ＝6c ”，求证：1c －1a ＝12b .证明：设3a ＝4b ＝6c ＝k (k >1)， 则a ＝log 3k ，b ＝log 4k ，c ＝log 6k ，所以1c－1a＝1log6k－1log3k＝log k6－log k3＝log k 63＝log k2，12b＝12log4k＝12log k4＝log k2，所以1c－1a＝12b.应用换底公式应注意的两个方面(1)利用换底公式可以把不同底的对数化成同底的对数，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式.1．本节课的重点是掌握对数运算性质、对数换底公式，难点是对数运算性质的应用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)掌握对数运算性质的应用技巧．(2)弄清对数换底公式在求值中的应用．3．本节课的易错点是应用对数运算性质、对数换底公式时忽略条件或将公式记忆错误．1．思考辨析(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．()(2)log a xy＝log a x·log a y. ()(3)log a(－2)3＝3log a(－2)．()[解析](1)√.根据对数的运算性质可知(1)正确；(2)×.根据对数的运算性质可知log a xy＝log a x＋log a y；(3)×.公式log a M n＝n log a M(n∈R)中的M应为大于0的数．[答案](1)√(2)×(3)×2．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( )A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④C [lg(lg 10)＝lg 1＝0，故①正确；ln(ln e)＝ln 1＝0，故②正确；若10＝lg x ，则x ＝1010，则③错误；若e ＝ln x ，则x ＝e e ，则④错误．]3．若a >0，a 23＝49，则log 23a ＝________. 3 [因为a 23＝49， 所以log23a 23＝log 2349，所以23log23a ＝log23⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝2，所以log23a ＝3.] 4．计算下列各式的值： (1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40；(2)3log 72－log 79＋2log 7⎝⎛⎭⎪⎫322. [解] (1)原式＝1－3lg 2lg 5－2lg 2＝1－3lg 2lg 5＋lg 2－3lg 2＝1－3lg 21－3lg 2＝1.(2)原式＝log 723－log 79＋log 7⎝⎛⎭⎪⎫3222＝log 78×989＝log 71＝0.。
3.2.1 对数及其运算(二) 学案(人教B版必修1)
3.2.1 对数及其运算(二)自主学习学习目标1．掌握对数的运算性质及其推导．2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．自学导引1．对数的运算性质：如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么，(1)log a (MN )＝________________；(2)log a M N＝________； (3)log a M n ＝________(n ∈R )．2．对数换底公式：________________.3．自然对数(1)以________________为底的对数叫做自然对数，log e N 通常记作________．(2)自然对数与常用对数的关系：ln N ≈____________.对点讲练知识点一 正确理解对数运算性质例1 若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数有( )①log a x ＋log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a x y＝log a x ÷log a y ； ④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0B ．1C ．2D ．3规律方法 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件．使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．变式迁移1 (1)若a >0且a ≠1，x >0，n ∈N *，则下列各式正确的是( )A ．log a x ＝－log a 1xB ．(log a x )n ＝n log a xC ．(log a x )n ＝log a x nD ．log a x ＝log a 1x(2)对于a >0且a ≠1，下列说法中正确的是( )①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ；②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ；③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ；④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A ．①③B ．②④C ．②D ．①②③④知识点二 对数运算性质的应用例2 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8； (2)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1.规律方法 (1)对于同底的对数的化简常用方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．(2)对于常用对数的化简要创设情境，充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．(3)对于含有多重对数符号的对数的化简，应从内向外逐层化简求值．变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514； (2)(lg 5)2＋lg 2·lg 50.知识点三 换底公式的应用例3 设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值．规律方法 换底公式的本质是化同底，这是解决对数问题的基本方法．解题过程中换什么样的底应结合题目条件，并非一定用常用对数、自然对数．变式迁移3 (1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ；(2)已知log 142＝a ，用a 表示log 27.1．对于同底的对数的化简要用的方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要创设情境充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．4．要充分运用“1”的对数等于0，底的对数等于“1”等对数的运算性质．5．两个常用的推论：(1)log a b ·log b a ＝1；(2)log am b n ＝n mlog a b (a 、b >0且均不为1).课时作业一、选择题1．lg 8＋3lg 5的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 2．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 36等于( )A.a ＋b aB.a ＋b bC.a a ＋bD.b a ＋b3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫lg a b 2的值等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.144．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1y等于( ) A.13 B ．3 C ．－13D ．－3 5．计算2log 525＋3log 264－8log 71的值为( )A ．14B ．8C ．22D ．27二、填空题6．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，那么lg 1.8＝__________.7．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝__________.三、解答题8．求下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2.9．已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 365.3．2.1 对数及其运算(二)答案自学导引1．(1)log a M ＋log a N (2)log a M －log a N(3)n log a M2．log a b ＝log c b log c a3．(1)无理数e ＝2.718 28… ln N(2)2.302 6lg N对点讲练例1 A [对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如log a x ≠log a ·x ，log a x 是不可分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．]变式迁移1 (1)A(2)C [在①中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立． 在②中，当log a M ＝log a N 时，必有M >0，N >0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立． 在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但未必有M ＝N .例如，M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N .在④中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立． 所以，只有②成立．]例2 解 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2log 55＝2.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2－1)2＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1.变式迁移2 解 (1)原式＝log 5(5×7)－2log 2212＋log 5(52×2)－log 5(2×7) ＝1＋log 57－1＋2＋log 52－log 52－log 57＝2.(2)原式＝(lg 5)2＋lg 2·(lg 2＋2lg 5)＝(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1.例3 解 由已知分别求出x 和y .∵3x ＝36,4y ＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得： x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364， ∴1x ＝log 363，1y＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364 ＝log 36(32×4)＝log 3636＝1.变式迁移3 解 (1)利用换底公式，得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝2， ∴lg m ＝2lg 3，于是m ＝9.(2)由对数换底公式，得log 27＝log 27log 22＝log 2712＝2log 27＝2(log 214－log 22) ＝2(1a －1)＝2(1－a )a. 课时作业1．D [lg 8＋3lg 5＝lg 8＋lg 53＝lg 1 000＝3.]2．B [log 36＝lg 6lg 3＝lg 2＋lg 3lg 3＝a ＋b b.] 3．A [由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，∴⎝⎛⎭⎫lg a b 2＝(lg a －lg b )2 ＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b＝22－4×12＝2.] 4．A [由指数式转化为对数式：x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000，则1x －1y＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010 ＝13.] 5．C6.a ＋2b －12解析 lg 1.8＝12lg 1.8 ＝12lg 1810＝12lg 2×910＝12(lg 2＋lg 9－1)＝12(a ＋2b －1)． 7．2解析 由log 63＋log 6x ＝0.613 1＋0.386 9＝1.得log 6(3x )＝1.故3x ＝6，x ＝2.8．解 (1)方法一 原式＝12(5 lg 2－2lg 7)－43·32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5 ＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝12. 方法二 原式＝lg 427－lg 4＋lg 7 5 ＝lg 42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12. (2)方法一 原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2＝lg 10·lg 52＋lg 4＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4＝lg 10＝1. 方法二 原式＝(lg 10－lg 2)2＋2lg 2－lg 22＝1－2lg 2＋lg 22＋2lg 2－lg 22＝1.9．解 ∵18b ＝5，∴log 185＝b, 又∵log 189＝a ，∴log 365＝log 185lg 1836＝b log 18(18×2)＝b 1＋log 182＝b 1＋log 18189＝b 1＋(1－log 189)＝b 2－a.。
人教B版高中数学必修一《第三章 基本初等函数(Ⅰ) 3.2 对数与对数函数 3.2.1 对数及其运算》_1
教学反思：
“三四五”高效课堂教学设计：
（授课日期：年月日星期班级）
授课题目
对数与对数运算（二）
拟课时
第课时
明确目标
1.知识与技能：理解对数的运算性质．
2.过程与方法：通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识．
3.情感、态度与价值观
（2）在第（3）小题的计算过程中，用到了性质log Mn= logaM及换底公式logaN= .利用换底公式可以证明：logab= ，
即logablogba=1.
例2:已知log189 =a，18b= 5，求log3645.
.
四、总结提升
1、本节课你主要学习了
五、问题过关
1.已知 ， ，求下列格式的值
则由１、 0=1２、 1= 如何转化为对数式
②负数和零有没有对数？
③根据对数的定义， =？
（以上三题由学生先独立思考，再个别提问解答）
由以上的问题得到
① （ ＞0，且 ≠1）
②∵ ＞0，且 ≠1对任意的力， 常记为 .
恒等式： =N
3.两类对数
①以10为底的对数称为常用对数， 常记为 .
②以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数， 常记为 .
让学生讨论、研究，教师引导
师组织，生交流探讨得出如下结论:
底数a＞0，且a≠1，真数M＞0，N＞0；只有所得结果中对数和所给出的数的对数都存在时，等式才能成立.
学生思考，口答，教师板演、点评．
学生先做，老师再评讲
板书设计：
教学反思：
“三四五”高效课堂教学设计：
（授课日期：年月日星期班级）
2018版高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.2.1第2课时对数的运算性质学业分层测评苏教版必修1
3.2.1 第2课时 对数的运算性质(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)________．(填序号)①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②(log a x )n＝n log a x ； ③loga x n ＝log a n x ；④loga xloga y＝log a x －log a y .【解析】 根据对数的运算性质知，③正确．【答案】③2．设7a ＝8b＝k ，且1a ＋1b＝1，则k ＝________.【解析】∵7a＝k ，∴a ＝log 7k .∵8b＝k ，∴b ＝log 8k .∴1a ＋1b＝log k 7＋log k 8＝log k 56＝1，∴k ＝56.【答案】 563．已知a 2＝1681(a >0)，则log 23a ＝________.【解析】 由a 2＝1681(a >0)，得a ＝49，所以log 2349＝log 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝2.【答案】 24．lg x 1与lg x 2是方程(lg x )2＋(lg 2＋lg 3)lg x ＋lg 2·lg 3＝0的两根，则x 1x 2＝________.【解析】 由题意，lg x 1，lg x 2是关于lg x 的一元二次方程(lg x )2＋(lg 2＋lg 3)lgx ＋lg 2·lg 3＝0的两个根，则x 1，x 2是关于x 的方程的两个根，由根与系数的关系，得lgx 1＋lg x 2＝－(lg 2＋lg 3)，即lg (x 1x 2)＝lg 16，∴x 1x 2＝16.【答案】165．若lg x －lg y ＝a ，则lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 23＝________.【解析】 lg x －lg y ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝a ，lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 23＝lg x38－lg y38＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 3＝3lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝3a .【答案】 3a6．若lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 5 12等于________．【解析】 log 5 12＝lg 12lg 5＝lg 3＋2lg 21－lg 2＝b ＋2a1－a.【答案】b ＋2a1－a7．里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍.【解析】 由M ＝lg A －lg A 0知，M ＝lg 1 000－lg 0.001＝6，所以此次地震的级数为6级．设9级地震的最大振幅为A 1,5级地震的最大振幅为A 2，则lg A1A2＝lg A 1－lg A 2＝(lgA 1－lg A 0)－(lg A 2－lg A 0)＝9－5＝4.所以A1A2＝104＝10 000.所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍．【答案】 6 10 0008．已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )＝________.【解析】 因为f (x )＝lg1－x1＋x， 所以f (a )＝lg 1－a1＋a＝b ，所以f (－a )＝lg 1＋a 1－a ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 1＋a －1＝－b .【答案】 －b 二、解答题 9．计算：(1)log 5 35－2log 573＋log 5 7－log 5 1.8；。
北师版数学必修1：学业分层测评 第3章 §4 4.1 第2课时 对数的运算性质
【答案】－ a＋b＋
4.求下列各式的值：
(1)log535＋2log5 －log5 －log514；
(2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64；
(3)lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(lg 2 )2＋lg 0.06＋lg .
【解析】∵ ＝ ，∴a2＝ ，
∴a＝ ＝ 3，
∴ a＝ 3＝3.
【答案】3
7.计算 ÷ ＝__________.
【解析】 ÷ ＝ ÷10－1
＝－2×10＝－20.
【答案】－20
8. lg 0.01＋log216的值是________．
【解析】lg 0.01＋log216＝lg ＋log224＝－2＋4＝2.
【解】(1)原式＝log535＋log52－log5 －log514
＝log5 ＝log5 ＝log525＝2.
(2)原式＝ ÷log64
＝[(log62)2＋log62(log636－log62)]÷log64
＝[(log62)2＋2log62－(log62)2]÷log64
＝2log62÷log64＝log64÷log64＝1.
【答案】B
5.若lg 2＝a，lg 3＝b，则lg ＝()
A．a＋3bB. a＋ b
C. a＋bD．a＋ b
【解析】lg ＝ lg 54＝ lg 6＋ lg 9＝ lg 6＋lg 3＝ (lg 2＋lg 3)＋lg 3＝ (a＋b)＋b＝ a＋ b.
【答案】B
二、填空题
6.已知 ＝ (a>0)，则log a＝________.
∴lg(x1x2)＝－lg 6＝lg 6－1＝lg ，
课时分层作业3 对数运算-【新教材】人教B版(2019)高中数学必修第二册练习
课时分层作业(三)对数运算(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成为对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数．其中正确命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4C[①正确；②当底数小于0的指数式不可以化成对数式；③④正确，故选C.]2．当a>0，且a≠1时，下列说法正确的是()A．若M＝N，则log a M＝log a NB．若log a M＝log a N，则M＝NC．若log a M2＝log a N2，则M＝ND．若M＝N，则log a M2＝log a N2B[在A中，当M＝N≤0时，log a M与log a N均无意义，因此log a M＝log a N 不成立，故A错误；在B中，当log a M＝log a N时，必有M>0，N>0，且M＝N，因此M＝N成立，故B正确；在C中，当log a M2＝log a N2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N，如M＝2，N＝－2时，也有log a M2＝log a N2，但M≠N，故C错误；在D中，若M＝N＝0，则log a M2与log a N2均无意义，因此log a M2＝log a N2不成立，故D错误．]3．若log a b＝c，则a，b，c之间满足()A．a c＝b B．a b＝cC．c a＝b D．c b＝aA[把对数式log a b＝c化为指数式为a c＝b.]4．(多选题)下列指数式与对数式互化正确的是( )A ．e 0＝1与ln 1＝0B ．log 39＝2与9＝3C ．8＝12与log 812＝－13D ．log 77＝1与71＝7ACD [log 39＝2化为指数式为32＝9，故B 不正确．选项ACD 都正确．]5．3的值等于( ) A ．9＋ 2B ．9＋22C ．9 2D ．10 C，故选C.]二、填空题6．方程log 3(2x －1)＝1的解为x ＝________.2 [由题意得2x －1＝3，∴x ＝2.]7．ln(lg 10)＋(π－4)2＝________.4－π [ln(lg 10)＋(π－4)2＝ln 1＋4－π＝0＋4－π＝4－π.]8．设f (3x )＝log 29x ＋12，则f (1)＝________. 12 [由已知令x ＝13，则有：f (1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×13＝log 29×13＋12＝log 22＝12log 22＝12.]三、解答题9．求下列各式的值：[解] (1)＝4.(2)原式＝(3log 34)－1＋log 773＋(10lg 5)2＝14＋3＋25＝1134.10．求下列各式中x 的值．(1)log 5(log 3x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1；(3)lg(log 2(lg x ))＝0；(4)lg(ln x )＝1.[解] (1)∵log 5(log 3x )＝0， ∴log 3x ＝1，∴x ＝3.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝3，∴x ＝103＝1 000.(3)∵lg(log 2(lg x ))＝0，∴log 2(lg x )＝1，∴lg x ＝2，∴x ＝102＝100.(4)∵lg(ln x )＝1，∴ln x ＝10，∴x ＝e 10.11．已知log a x ＝2，log b x ＝1，log c x ＝4(a ，b ，c ，x ＞0且x ≠1)，则log x (abc )＝( )A.47B.27C.72D.74D [由题意得x ＝a 2＝b ＝c 4，所以(abc )4＝x 7，所以abc ＝x 74.即log x (abc )＝74.]12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≥4，f (x ＋2)，x ＜4，则f (1＋log 23)的值为( ) A ．6B ．12C ．24D ．36 C [因为2＜3＜22，所以1＜log 23＜2，2＜1＋log 23＜3,4＜(1＋log 23)＋2＜5，所以f (1＋log 23)＝f ((1＋log 23)＋2)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝23×3＝24.]13．方程4x －2x ＋1－3＝0的解是________． x ＝log 23 [原方程可化为(2x )2－2·2x －3＝0， ∴(2x ＋1)(2x －3)＝0，∴2x ＝3，∴x ＝log 23.]14．(一题两空)若a ＝log 92，则9a ＝________，3a ＋3－a ＝________.2 322 [a ＝log 92，则9a ＝9log 92＝2， 所以3a ＝2，3a ＋3－a ＝2＋12＝322.]15．(1)已知log 189＝a ，log 1854＝b ，求182a －b 的值；(2)已知log x 27＝31＋log 32，求x 的值．[解] (1)∵log 189＝a ，log 1854＝b ， ∴18a ＝9,18b ＝54，∴182a －b ＝182a 18b ＝9254＝32.(2)log x 27＝31＋log 32＝3·3log 32＝3×2＝6. ∴x 6＝27，∴x 6＝33，又x ＞0，∴x ＝ 3.。
高中数学人教B版必修1学业分层测评20 对数的运算 Word版含解析
学业分层测评(二十) 对数的运算(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题.已知＝，则－＝( )－－－(＋) －－【解析】－＝－(＋)＝－(＋)＝－.【答案】.(·承德高一检测)若，是方程＋＋＝的两个实根，则的值等于( )【解析】∵，是方程＋＋＝的两个实根，由韦达定理得：＋＝－，∴＝.故选.【答案】.(·青岛高一检测)已知函数()＝(\\(，<，(－(，≥，))则()＝( )【解析】因为>，所以()＝(－)＝＝＝.而<，所以＝＝.【答案】.若＝，＝，＝，则的值为( )【解析】＝＝，∴＝.同理＝，＝.＝＝＝.【答案】.已知＝＝(≠)，且＋＝，则实数的值为( )【导学号：】【解析】∵＝＝(≠)，∴＝，＝，∴＝，＝，∵＋＝，∴＋＝＋＝＋＝＝，∴＝.【答案】二、填空题.已知＝＝，则－＝.【解析】∵＝＝，两边取对数得＝，＝＝－，∴－＝＋＝，∴－＝.【答案】.计算－·＝.【解析】－·＝÷－)·)＝－)·)＝－＝.【答案】.已知，∈()，若＋＝(＋)，则(－)＋(－)＝.【解析】(＋)＝＋＝()⇒＋＝，(－)＋(－)＝[(－)(－)]＝(－－＋)＝＝.【答案】三、解答题.求值：() ＋＋ ·＋( )；()·－()＋－.【解】()原式＝＋＋＋( )＋( )＝( ＋)＋( ＋)＝＋＝.()·－()＋－＝)×)－＋＝)×)－＋＝.年我国国民生产总值为亿元，如果平均每年增长，那么过多少年后国民生产总值是年的倍( ≈，≈，精确到年).【解】设经过年国民生产总值为年的倍.。
高中数学第三章Ⅰ3.2.1第2课时对数的运算学业分层测评新人教B版必修46.doc
对数的运算(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4【解析】 2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25＝log 5(100×0.25)＝log 525＝2. 【答案】 C2．若lg a ，lg b 是方程3x 2＋6x ＋1＝0的两个实根，则ab 的值等于( ) A ．2 B.12 C.1100D.10【解析】 ∵lg a ，lg b 是方程3x 2＋6x ＋1＝0的两个实根，由韦达定理得：lg a ＋lg b ＝－2，∴ab ＝1100.故选C.【答案】 C3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x <1，f x －，x ≥1，则f (log 27)＝( )A.716B.78C.74D.72【解析】 因为log 27>1，所以f (log 27)＝f (log 27－1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 272＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 272－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 274.【答案】 CA ．lg 3B ．－ lg 3 C.1lg 3D ．－1lg 3【解析】【答案】 C5．已知2a ＝3b ＝k (k ≠1)，且2a ＋b ＝ab ，则实数k 的值为( )【导学号：60210084】A ．6B ．9C ．12D ．18【解析】 ∵2a ＝3b ＝k (k ≠1)，∴a ＝log 2k ，b ＝log 3k ， ∴1a ＝log k 2，1b ＝log k 3，∵2a ＋b ＝ab ，∴2b ＋1a ＝2log k 3＋log k 2＝log k 9＋log k 2＝log k 18＝1，∴k ＝18. 【答案】 D 二、填空题6．已知3a＝2,3b＝15，则32a －b ＝________.【解析】 ∵3a＝2,3b＝15，两边取对数得a ＝log 32，b ＝log 315＝－log 35，∴2a －b ＝2log 32＋log 35＝log 320，∴32a －b ＝20. 【答案】20【导学号：97512049】【解析】－lg 8lg 9·13lg 3lg 4＝94－3lg 22lg 3·13lg 32lg 2＝94－14＝2. 【答案】 28．已知x ，y ∈(0,1)，若lg x ＋lg y ＝lg(x ＋y )，则lg(1－x )＋lg(1－y )＝________. 【解析】 lg(x ＋y )＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )⇒x ＋y ＝xy ，lg(1－x )＋lg(1－y )＝lg[(1－x )(1－y )]＝lg(1－x －y ＋xy )＝lg 1＝0. 【答案】 0 三、解答题9．求值：(1)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；(2)log 89·log 2732－(3－1)lg 1＋log 535－log 57.【解】 (1)原式＝2lg 5＋2lg 2＋2lg 5lg 2＋(lg 5)2＋(lg 2)2＝2(lg 5＋lg 2)＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋1＝3.(2)log 89·log 2732－(3－1)lg 1＋log 535－log 57＝lg 9lg 8×lg 32lg 27－1＋log 5357＝2lg 33lg 2×5lg 23lg 3－1＋1＝109.10．2015年我国国民生产总值为a 亿元，如果平均每年增长8%，那么过多少年后国民生产总值是2015年的2倍(lg 2≈0.301 0，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年)．【解】 设经过x 年国民生产总值为2015年的2倍． 经过1年，国民生产总值为a (1＋8%)， 经过2年，国民生产总值为a (1＋8%)2， …经过x 年，国民生产总值为a (1＋8%)x ＝2a ， ∴1.08x ＝2，两边取常用对数，得x ·lg 1.08＝lg 2. ∴x ＝lg 2lg 1.08≈0.301 00.033 4≈9.故约经过9年，国民生产总值是2015年的2倍．[能力提升]1．已知2x＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为( )A ．3B ．8C ．4D ．log 48【解析】 由2x ＝3，得x ＝log 23.∴x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 23＋2log 283log 24 ＝log 23＋(3log 22－log 23)＝3. 【答案】 A2．设2a＝5b＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )【导学号：97512050】A.10 B ．10 C ．20D ．100【解析】 由2a ＝m,5b ＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m∴1a ＝log m 2，1b ＝log m 5，∴1a ＋1b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m 2＝10.又∵m >0，∴m ＝10.【答案】 A3．如果方程(lg x )2＋(lg 7＋lg 5)lg x ＋lg 7·lg 5＝0的两根是α，β，则αβ＝________.【解析】 方程(lg x )2＋(lg 7＋lg 5)lg x ＋lg 7·lg 5＝0可以看成关于lg x 的二次方程．∵α，β是原方程的两根，∴lg α，lg β可以看成关于lg x 的二次方程的两根． 由根与系数的关系，得lg α＋lg β＝－(lg 7＋lg 5)＝lg 135， ∴lg αβ＝lg α＋lg β＝lg 135， ∴αβ＝135. 【答案】 1354．已知lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值． 【解】 由题设，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12.所以lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝(lg a ＋lg b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg b lg a ＋lg a lg b ＝(lg a ＋lgb )·a2＋b2lg a ·lg b＝(lg a＋lg b)·a＋lg b2－2lg a·lg blg a·lg b＝2×22－2×1212＝12.。
2018版高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.2.1第2课时对数的运算学业分层测评新人教B
对数的运算(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1. 2log 510+ log 50.25 =( )A. 0B. 1C. 2D. 4【解析】 2log 510+ log 50.25 = log 5100+ log 50.25 = log 5(100 x 0.25) = log 525= 2. 【答案】 C2. 若lg a , lg b 是方程3x 2+ 6x + 1 = 0的两个实根，则 ab 的值等于( )A. 2B.2 1 _C.而D. 10【解析】 T ig a , lg b 是方程3x 2 + 6x + 1= 0的两个实根，由韦达定理得：lg a + lg1b =— 2 ,.•• ab = 100.故选 C.【答案】 C匚x.2 , x <1,3. 已知函数 f (x )= ] x _], x > 1, 则 f (log 27)=( )77A. 16B・87D.2—Z 、【解析】因为 Iog 27>1，所以 f (log 27) = f (log 27 — 1) = f log 22 = f log 22- 1 =7 f log 24 .而logz所以丿|1阻"J =才咗=£【答案】7 C .4 A. lg 3 1 C.lg 3B. —lg 31 D.—|g 3十lo 乐5= 10忌2+b 曲5 = b 瓯10=【答案】 C5.已知2a = 3b = k （k z 1），且2a + b = ab,则实数k 的值为（ ）【导学号：60210084】A. 6B. 9C. 12D.18【解析】•/ 2a = 3b = k (k z 1), • ■- a = log2k ,b = log3k ,11…a = logk2, b = logk 3,2 12a + b = ab ,「. b + a = 2log k 3 + log k 2 = log k 9+ log k 2 = log k i8= 1 ,•'• k = 18.【答案】 D 二、填空题16•已知 3a = 2,3 b = 5,贝U 3“b = __________ .1 1【解析】 T 3 = 2,3 b= 5,两边取对数得 a = log 32, b = log 35=— log 35,2a — b• 2a — b = 2log 32 + log 35 = log 320,「. 3 = 20.【导学号：97512049】100(対％)- log,8 • log^ 巧=l 严—1()小1 lg 3 3 9 3lg2 lg 44 2lg 31 lg 3 39 1 =—一 _ = 2 2lg 2 4 4 '【答案】lg(1 — x ) + lg(1 — y ) = lg[(1 — x )(1 — y )] = lg(1 — x — y + xy ) = lg 1 = 0.【解析】【答案】207 •计]00（去【解析】lg 8 lg 9&已知 x , y € (0,1)，若lg x + lg y = lg( x + y )，则 lg(1 — x ) + lg(1 — y )=【解析】 lg( x + y ) = lgx + lg y = lg( xy )? x + y = xy ,【答案】0三、解答题29•求值：(1)lg 5 2+ 3lg 8 + lg 5 • lg 20 + (lg 2) 2;(2)log 89 • log 2732 - ( 3 - 1)lg 1+ log 535 - log 57.2 2【解】⑴原式=2lg 5+ 2lg 2 + 2lg 5lg 2 + (lg 5) + (lg 2) = 2(lg 5 + lg 2) + (lg5+ lg 2) 2= 2+ 1 = 3., __ lg 9 lg 32 35 2lg 3(2)log 89 • log 2732 —( 3 —1)^ 1+ log 535 —log 57 = g 8x lg 27 —1 + log5 7 = 3© 25lg 2 10x3lg 3 - 1+ 1 =10. 2015年我国国民生产总值为a亿元，如果平均每年增长8%那么过多少年后国民生产总值是2015年的2倍(lg 2疋0.301 0 , lg 1.08〜0.033 4，精确到1年).【解】设经过x年国民生产总值为2015年的2倍.经过1年，国民生产总值为a(1 + 8%),经过2年，国民生产总值为a(1 + 8%f,经过x年，国民生产总值为a(1 + 8%/ = 2a,/• 1.08x= 2，两边取常用对数，得x • lg 1.08 = lg 2.lg 2 0.301 0二x= lg 1.08 ~ 0.033 4 ~ 9.故约经过9年，国民生产总值是2015年的2倍.［能力提升］81. 已知2x= 3, log 4^= y，贝U x+ 2y 的值为()A. 3B. 8C. 4D. log 4888 2log【解析】由2 = 3,得x= log 23. - - x + 2y = log 23 + 2log 43= log 23 + log 24=log 23+ (3log 22 —log 23) = 3.【答案】A1 12. 设2 = 5 = m 且a+ b= 2,贝U m=( )【导学号：97512050】A. 10B. 10C. 20D. 100a b []【解析】由2 = m,5 = m得a= log 2m b= log 5m1 1 11a= log m2,b= log m5, —a+ b= log m2 + log m5 = log m10= 2，二m = 10.又T m>0, —rn=10.【答案】A3. 如果方程(lg x)2+ (lg 7 + lg 5)lg x + lg 7 • lg 5 = 0 的两根是a ,UaB =2 __________________________________________【解析】方程(lg x) + (lg 7 + lg 5)lg x + lg 7 • lg 5 = 0可以看成关于lg x的二次方程.•/ a，B是原方程的两根，.••lg a , lg B可以看成关于lg x的二次方程的两根.由根与系数的关系，丄得lg a + lg B =—(lg 7 + lg 5) = lg 35，1lg a B = lg a + lg B = lg 35,1••• a B = 35.1【答案】354. 已知lg a, lg b 是方程2x2—4x + 1 = 0 的两个根，求lg(ab) • (log a b+ log b a)的值.【解】由题设，得lg a+ lg b = 2, lg a • lg b=|4g b lg a)所以lg( ab) • (log a b + log b a) = (lg a + lg b) •lg a + lg b = (lg a + lga 2+b 2b)• lg a • lg b12 —a+ lg b 2—2lg a • lg b 2 —” 2=(l g a+ * l 2g b)•lg a • lg b =2X1 = 12・2。
高中数学第三章Ⅰ3.2.2对数函数学业分层测评新人教B版必修45
对数函数(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( ) A．y＝x B．y＝lg xC．y＝2x D．y＝1 x【解析】函数y＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．函数y＝x的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．函数y＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)．函数y＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.【答案】 D2．函数y＝1＋ (x－1)的图象一定经过点( )A．(1,1) B．(1,0)C．(2,1) D．(2,0)【解析】∵函数y＝x恒过定点(1,0)，而y＝1＋(x－1)的图象是由y＝x的图象向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，∴定点(1,0)也是向右平移一个单位，向上平移一个单位，∴定点(1,0)平移以后即为定点(2,1)，故函数y＝1＋(x －1)恒过的定点为(2,1)．故选C.【答案】 C3．设集合M＝{y|y＝，x∈[0，＋∞)}，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，则集合M ∪N等于( )A．(－∞，0)∪[1，＋∞) B．[0，＋∞)C．(－∞，1] D．(－∞，0)∪(0,1)【解析】M＝(0,1]，N＝(－∞，0]，因此M∪N＝(－∞，1]．【答案】 C 4．函数y ＝1log 2x －的定义域为( )【导学号：60210088】A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)【解析】 要使原函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，log 2x －，解得x ＞2且x ≠3，所以原函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．故选C. 【答案】 C5．设a ＝log 323，b ＝log 525，c ＝log 727，则( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．a >c >bD ．a >b >c【解析】 因为log 323＝log 32－1，log 525＝log 52－1，log 727＝log 72－1，log 32>log 52>log 72，故a >b >c .【答案】 D 二、填空题【导学号：97512052】【解析】 要使函数f (x )有意义，则即⎩⎪⎨⎪⎧3x －2>0，3x －2≤1，则0＜3x －2≤1，解得23＜x ≤1，故函数的定义域的⎝ ⎛⎦⎥⎤23，1. 【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤23，17．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝________.【解析】 由题意可知f (1)＝log 21＝0，f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，所以f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝5. 【答案】 58．若log a 23<1，则a 的取值范围是________.【导学号：97512053】【解析】 由log a 23<1得：log a 23<log a a .当a >1时，有a >23，即a >1；当0<a <1时，则有a <23，即0<a <23.综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(1，＋∞)． 【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫0，23∪(1，＋∞)三、解答题9．已知函数f (x )＝log a x ＋1x －1(a >0，且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域； (2)判断函数的奇偶性．【解】 (1)要使函数有意义，则有x ＋1x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，x －1<0，解得x >1或x <－1，此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称． (2)f (－x )＝log a －x ＋1－x －1＝log a x －1x ＋1＝－log ax ＋1x －1＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．10．设函数f (x )＝(log 2x ＋log 24)(log 2x ＋log 22)的定义域域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4. (1)若t ＝log 2x ，求t 的取值范围；(2)求y ＝f (x )的最大值与最小值，并求出取最值时对应的x 的值．【解析】 (1)∵t ＝log 2x 为单调递增函数，而x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4，∴t 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 214，log 24，即t ∈[－2,2]． (2)记t ＝log 2x ，则y ＝f (x )＝(log 2x ＋2)(log 2x ＋1)＝(t ＋2)(t ＋1)(－2≤t ≤2)．∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋322－14在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－32上是减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2上是增函数，y ＝f (x )有最小值f ⎝⎛⎭⎪⎫24＝－14； 当t ＝log 2x ＝2，即x ＝22＝4时，y ＝f (x )有最大值f (4)＝12.[能力提升]1．满足“对定义域内任意实数x ，y ，f (x ·y )＝f (x )＋f (y )”的函数可以是( ) A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝2xC ．f (x )＝log 2xD ．f (x )＝eln x【解析】 ∵对数运算律中有log a M ＋log a N ＝log a MN ，∴f (x )＝log 2x ，满足“对定义域内任意实数x ，y ，f (x ·y )＝f (x )＋f (y )”．故选C.【答案】 C2．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a ＞b )，若f (x )的图象如图322所示，则函数g (x )＝a x＋b 的图象大致为( )图322【解析】 由二次方程的解法易得(x －a )(x －b )＝0的两根为a 、b ；根据函数零点与方程的根的关系，可得f (x )＝(x －a )(x －b )的零点就是a 、b ，即函数图象与x 轴交点的横坐标；观察f (x )＝(x －a )(x －b )的图象，可得其与x 轴的两个交点分别在区间(－∞，－1)与(0,1)上，又由a ＞b ，可得b ＜－1,0＜a ＜1；在函数g (x )＝a x＋b 中，由0＜a ＜1可得其是减函数，又由b ＜－1，可得其与y 轴交点的坐标在x 轴的下方；分析选项可得A 符合这两点，B 、C 、D 均不满足，故选A.【答案】 A3.已知函数f (x )＝log a (2x＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图323所示，则a ，b 满足的关系是( )图323A ．0<a －1<b <1 B ．0<b <a －1<1 C ．0<b －1<a <1D ．0<a －1<b －1<1【解析】 令g (x )＝2x＋b －1，这是一个增函数，而由图象可知函数y ＝log a g (x )是单调递增的，所以必有a >1.又由图象知函数图象与y 轴交点的纵坐标介于－1和0之间， 即－1<f (0)<0，所以－1<log a b <0， 故a －1<b <1，因此0<a －1<b <1. 【答案】 A4．已知函数f (x )＝lg(ax 2＋2x ＋1)． (1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的范围； (2)若f (x )的值域为R ，求实数a 的范围．【解析】 (1)若f (x )的定义域为R ，则关于x 的不等式ax 2＋2x ＋1>0的解集为R . 当a ＝0时，x >－12，这与x ∈R 矛盾，∴a ≠0，因此，不等式需满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a <0，解得a >1.∴实数a 的取值范围是(1，＋∞) (2)若f (x )＝lg(ax 2＋2x ＋1)值域为R ， 则t ＝ax 2＋2x ＋1的值域A ⊆(0，＋∞) ①当a ＝0时，t ＝2x ＋1，与题意相符；②当a ≠0时，结合二次函数的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1综上所述，实数a 的取值范围是[0,1].。
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.4.1 第2课时 对数的运算性质学业分层测评 北师大版必修
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3。
4.1 第2课时对数的运算性质(建议用时:45分钟)[学业达标］一、选择题1。
log242＋log243＋log244等于（)A．1 B．2C．24 D.错误!【解析】log242＋log243＋log244＝log24(2×3×4）＝log2424＝1。
故选A。
【答案】A2。
化简错误!log612－2log6错误!的结果为( )A．6 2 B．12错误!C．log6 3 D.错误!【解析】原式＝log612－log62＝log6错误!＝log6错误!。
故选C.【答案】C3. 方程（lg x)2＋(lg 2＋lg 3)lg x＋lg 2lg 3＝0的两根的积x1x2＝（）A．lg 2＋lg 3 B．lg 2lg 3C.16D．－6【解析】∵lg x1＋lg x2＝－(lg 2＋lg 3），∴lg(x1x2）＝－lg 6＝lg 6－1＝lg 错误!，∴x1x2＝错误!。
故选C。
【答案】C4。
已知a＝log23＋log2错误!，b＝log29－log2错误!，c＝log32，则a，b，c的大小关系是（)A．a＝b<c B．a＝b〉cC．a<b<c D．a>b>c【解析】a＝log23＋log23＝log23错误!，b＝log29－log2错误!＝log2错误!＝log23错误!>1，又c＝log32〈1，故a＝b〉c。
高中数学第三章Ⅰ3.2.1第1课时对数概念与常用对数学业分层测评新人教B版必修47.doc
对数概念与常用对数(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．当a >0，且a ≠1时，下列说法正确的是( ) A ．若M ＝N ，则log a M ＝log a N B ．若log a M ＝log a N ，则M ＝N C ．若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N D ．若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2【解析】 在A 中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立，故A 错误；在B 中，当log a M ＝log a N 时，必有M >0，N >0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立，故B 正确；在C 中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但未必有M ＝N ，如M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N ，故C 错误；在D 中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立，故D 错误．【答案】 B 2．方程2log 3x ＝14的解是( ) A ．9 B.33C. 3D.19【解析】 ∵2 log 3x＝14＝2－2.∴log 3x ＝－2.∴x ＝3－2＝19. 【答案】 D3．log 5[log 3(log 2x )]＝0，则等于( )A.36B.39 C.24D.23【解析】 ∵log 5[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3.∴x ＝23＝8.【答案】 C4．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝( ) A ．3 B ．±3 C ．9D ．2【解析】 ∵log 2(log x 9)＝1，∴log x 9＝2，∴x 2＝9，∴x ＝±3，由x >0知，x ＝3. 【答案】 A 5．下列各式：①lg(lg 10)＝0；②10lg 10＝10；③若10＝lg x ，x ＝10；④若log 25x ＝12，得x ＝±5.其中正确的个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个【解析】 底的对数为1,1的对数为0，故①②正确，0和负数没有对数，故④错误，③中10＝lg x ，应该有x ＝1010，所以只有①②正确．【答案】 B 二、填空题6.⎝ ⎛⎭⎪⎫12 －1＋log0.54＝________.【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋log0.54＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 124＝2×4＝8. 【答案】 8【解析】【答案】 12【解析】【答案】 3 三、解答题9．求下列各式中x 的值. (1)log 5(log 3x )＝0； (2)log 3(lg x )＝1； (3)lg[log 2(lg x )]＝0.【解】 (1)设t ＝log 3x ，则log 5t ＝0，∴t ＝1， 即log 3x ＝1，∴x ＝3.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝3，∴x ＝103＝1 000. (3)∵lg [log 2(lg x )]＝0，∴log 2(lg x )＝1， ∴lg x ＝2，∴x ＝102＝100.10．若log 12x ＝m ，log 14y ＝m ＋2，求x2y 的值．【解】 log 12x ＝m ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ＝x ，x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122m.log 14y ＝m ＋2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14m ＋2＝y ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ＋2.∴x2y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122m⎝ ⎛⎭⎪⎫122m ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122m －(2m ＋4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16. [能力提升]1．已知x 2＋y 2－4x －2y ＋5＝0，则log x (y x)的值是( ) A ．1 B ．0 C ．xD ．y【解析】 由x 2＋y 2－4x －2y ＋5＝0，则(x －2)2＋(y －1)2＝0，∴x ＝2，y ＝1，log x (y x)＝log 2(12)＝0.【答案】 B 2．方程4x－2x ＋1－3＝0的解是________．【解析】 原方程可化为(2x )2－2·2x－3＝0， ∴(2x ＋1)(2x －3)＝0，∴2x＝3，∴x ＝log 23. 【答案】 x ＝log 233．若log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a2m ＋n＝________.【解析】 ∵log a 2＝m ，log a 3＝n ， ∴a m ＝2，a n＝3， ∴a2m ＋n＝(a m )2·a n ＝22·3＝12.【答案】 124．已知log a b ＝log b a (a >0，a ≠1；b >0，b ≠1)，求证：a ＝b 或a ＝1b.【证明】 令log a b ＝log b a ＝t ，则a t ＝b ，b t＝a ，当t ＝1时，a ＝b ，当t ＝－1时，a ＝1b，所以a ＝b 或a ＝1b.。
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.4.1 第1课时 对数学业分层测评 北师大版必修1
3.4.1 第1课时对数(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1. 若x＝y2(y>0，且y≠1)，则必有( )A．log2x＝y B．log2y＝x C．log x y＝2 D．log y x＝2 【解析】由x＝y2得log y x＝2.【答案】 D2. 若log x 7y＝z，则( )A．y7＝x z B．y＝x7z C．y＝7x z D．y＝z7x【解析】由log x 7y＝z，得x z＝7y，所以x7z＝y.【答案】 B3. 若＝9，则x＝( )A．3 B．－3 C．±3 D．2【解析】由＝x2＝9，得x＝±3.【答案】 C4. 计算：＝( )A．15 B．51 C．8 D．27【答案】 B5. 已知log a 2＝m，log a 3＝n，则a2m＋n等于( )A．5 B．7 C．10 D．12【解析】∵a m＝2，a n＝3，∴a2m＋n＝a2m·a n＝(a m )2·a n ＝12.故选D.【答案】 D二、填空题6. 方程log 2(2x ＋1)＝2的解为x ＝________.【解析】 由log 2(2x ＋1)＝2，则2x ＋1＝22＝4，故x ＝32.【答案】 327. ln 1＋log (2－1)(2－1)＝________.【解析】 ln 1＋log (2－1)(2－1)＝0＋1＝1.【答案】 18 .已知log 7 [log 3(log 2x )]＝0，那么＝__________.【解析】 由题意得log 3(log 2x )＝1，即log 2x ＝3，转化为指数式则有x ＝23＝8，∴＝＝＝24.【答案】 24三、解答题9. 求下列各式中的x .(1)log 2(log 5x )＝0；(2)log x 27＝34.【解】 (1)由log 2(log 5x )＝0得log 5x ＝1，∴x ＝5.(2)由log x 27＝34得43x ＝27， ∴x ＝3427，即x ＝ 34)(33，∴x ＝34＝81. 10. 计算下列各式：[能力提升]1 .若lg a ＝5.21，lg b ＝3.21，则b a 等于( )A ．10B.110C.1100D ．100 【解析】 由lg a ＝5.21，lg b ＝3.21，得a ＝105.21，b ＝103.21，则b a ＝103.21105.21＝10－2＝1100. 【答案】 C 2. 的值为( )A ．6 B.72 C ．8 D.37【解析】＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1·＝2×4＝8.故选C. 【答案】 C 3. 方程9x －6·3x －7＝0的解是________．【解析】 令t ＝3x ，则t >0，则方程变为t 2－6t －7＝0， 解得t ＝7或－1(舍去)．则3x ＝7，得x ＝log 37.【答案】 log 374. 求下列对数的值：(1)ln e 2；(2)；(3)log 1.52.25； (4)lg 110 000；(5)log 816；(6)ln (e ln 1)． 【解】 (1)设ln e 2＝x ，则e x ＝e 2，∴x ＝2，∴ln e 2＝2.(2)设＝x ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫19x＝81＝92，即9－x ＝92，∴x ＝－2，即＝－2.(3)∵1.52＝2.25，∴log 1.52.25＝2.(4)∵10－4＝110 000，∴lg 110 000＝－4.(5)设log 816＝x ，则8x ＝16，即23x ＝24，∴3x ＝4，即x ＝43，∴log 816＝43.(6)∵ln 1＝0，∴ln (e 0)＝ln 1＝0，∴ln e ln 1＝0.。
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.4.1 第1课时 对数学业分层测评 北师大版必修1
3.4.1 第1课时对数(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1. 若x＝y2(y>0，且y≠1)，则必有( )A．log2x＝y B．log2y＝x C．log x y＝2 D．log y x＝2 【解析】由x＝y2得log y x＝2.【答案】 D2. 若log x 7y＝z，则( )A．y7＝x z B．y＝x7z C．y＝7x z D．y＝z7x【解析】由log x 7y＝z，得x z＝7y，所以x7z＝y.【答案】 B3. 若＝9，则x＝( )A．3 B．－3 C．±3 D．2【解析】由＝x2＝9，得x＝±3.【答案】 C4. 计算：＝( )A．15 B．51 C．8 D．27【答案】 B5. 已知log a 2＝m，log a 3＝n，则a2m＋n等于( )A．5 B．7 C．10 D．12【解析】∵a m＝2，a n＝3，∴a2m＋n＝a2m·a n＝(a m )2·a n＝12.故选D. 【答案】 D 二、填空题6. 方程log 2(2x ＋1)＝2的解为x ＝________.【解析】 由log 2(2x ＋1)＝2，则2x ＋1＝22＝4，故x ＝32.【答案】 327. ln 1＋log (2－1)(2－1)＝________.【解析】 ln 1＋log (2－1)(2－1)＝0＋1＝1.【答案】 18 .已知log 7 [log 3(log 2x )]＝0，那么＝__________.【解析】 由题意得log 3(log 2x )＝1，即log 2x ＝3，转化为指数式则有x ＝23＝8，∴＝＝＝24.【答案】24三、解答题9. 求下列各式中的x .(1)log 2(log 5x )＝0；(2)log x 27＝34.【解】 (1)由log 2(log 5x )＝0得log 5x ＝1，∴x ＝5. (2)由log x 27＝34得43x＝27，∴x ＝3427， 即x ＝34)(33，∴x ＝34＝81. 10. 计算下列各式：[能力提升]1 .若lg a ＝5.21，lg b ＝3.21，则b a等于( ) A ．10 B.110C.1100D ．100【解析】 由lg a ＝5.21，lg b ＝3.21，得a ＝105.21，b ＝103.21，则b a ＝103.21105.21＝10－2＝1100.【答案】 C2. 的值为( )A ．6 B.72 C ．8 D.37【解析】 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1·＝2×4＝8.故选C.【答案】 C3. 方程9x－6·3x－7＝0的解是________．【解析】 令t ＝3x ，则t >0，则方程变为t 2－6t －7＝0， 解得t ＝7或－1(舍去)． 则3x＝7，得x ＝log 37. 【答案】 log 37 4. 求下列对数的值： (1)ln e 2；(2) ；(3)log 1.52.25；(4)lg110 000；(5)log 816；(6)ln (e ln 1)． 【解】 (1)设ln e 2＝x ，则e x ＝e 2，∴x ＝2，∴ln e 2＝2.(2)设＝x ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫19x ＝81＝92，即9－x＝92，∴x ＝－2，即＝－2.(3)∵1.52＝2.25，∴log 1.52.25＝2. (4)∵10－4＝110 000，∴lg 110 000＝－4. (5)设log 816＝x ，则8x＝16，即23x＝24， ∴3x ＝4，即x ＝43，∴log 816＝43.(6)∵ln 1＝0，∴ln (e 0)＝ln 1＝0，∴ln eln 1＝0.。
(新课程)高中数学《3.2.1对数及其运算(一)》评估训练新人教B版必修1
（新课程）高中数学《321对数及其运算（一）》评估训练新人教B版必修1双基达标限时20分钟1.在b= log(a-2)(5 —a)中，实数a的取值范围是( )A. a>5或a<2B. 2<a<5C. 2<a<3 或3<a<5D. 3<a<45—a>0解析由得2<a<5 且a z3.a—2>0 且a —答案C2. ?"三1伴丄lb*则一1 =1A. —4B.—3( )C. 31Y -v 二h嚼丄lb , • 2 x = D. 4解析16,.•• 2 = 24,—x= 4,「. x=— 4.答案 A3.已知log x16= 2,则x =( )A. 土4B. 4C. 256D. 22解析T log x16 = 2, • x = 16,.■- x=± 4,又x>0,. x= 4.答案B4. __________________________________ 方程log 4(1 —2x) = 1 的解x= ,3 解析由1 —2x= 4得：x=—23答案—25. !解析原式=5— 4 = 1.答案16. 求下列各式中x的值：1 —2x(1) log 3—9 = 1 ； 2 32(2) log 2 003 0.解（1）：log 3 譽=1,••• 1 —2x = 27,即 x =— 13. 2⑵•「log 2 oo3(x — 1) = 0,2卄 2• x — 1 = 1，即 x = 2,• x=± ;2综合提高限时25分钟7. 如果f (10 ) = x ,则f (3)等于A. log 310 B . lg 3C. 103 4 5 6 7 8 9 1010D. 3解析方法一：令10x= t ,则x = lg t ,• f (t ) = lg t , f (3) = Ig 3.方法二：令 10x = 3,贝U x = Ig 3 , • f (3) = Ig 3. 答案 Blog 3X x >01&已知函数f (x ) = x则f (f ())=2 x <0111 A. 4B- 41 C •— 4 D.—-4答案-2211. 求下列各式中x 的值:3 1 1 —2 1解析 f (9)= lo g 39 =—2, f (f (9)) =f( —2) =2 = 4. 答案 B9.设 log a 2= m log a 3 = n ,贝U a 2m ^n 的值为 __________ . 解析• log a 2 = m log a 3 = n ,m n 2m +n 2m n z m 2 n 处2、，小 .-• a = 2, a = 3, • a = a • a = (a ) • a = 2 x 3= 12.答案 1211 —2x 9 =3, 解析由 log 2X =1,(1)log x (3 + 2 2) =- 2;2⑵log (x +3)(x + 3x ) = 1.解 (1) v log x (3 + 2 2) =-2, ••• x -2= 3+ 2 2,1--x = 3+ 2 2,3+ 2 2’又v x >0且x 丰1,2⑵ v log (x +3)( x + 3x ) = 1,2x + 3x = x + 3,①• x 2+ 3x >0，②x + 3>0 且 x + 3工 1,③解 x + 2x - 3 = 0 得，x =- 3 或 x = 1. 当x =-3时，不满足②和③， 当x = 1时，满足②③，故x = 1.2 — 212. (创新拓展)已知：x = log 23,求& X 的值.2 — 2 -1解 由 x = log 23 得 2x = 3,2 -x =3.10 .若 log 3(log 2x ) = 0，贝U x — 2 = _____3x -3xx 2—x 21 91 =(2 ) + (2 ) + 1 = 9 + 9+ 1 =亍・3x — 3x。
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学 习 资 料 汇编
对数的运算
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．4
【解析】 2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25＝log 5(100×0.25)＝log 525＝2. 【答案】 C
2．若lg a ，lg b 是方程3x 2
＋6x ＋1＝0的两个实根，则ab 的值等于( ) A ．2 B.12 C.1100
D.10
【解析】 ∵lg a ，lg b 是方程3x 2
＋6x ＋1＝0的两个实根，由韦达定理得：lg a ＋lg b ＝－2，∴ab ＝1
100.故选C.
【答案】 C
3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x
，x <1，f x －
，x ≥1，则f (log 27)＝( )
A.716
B.78
C.74
D.72
【解析】 因为log 27>1，所以f (log 27)＝f (log 27－1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 272＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 272－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 274.
【答案】 C
A ．lg 3
B ．－ lg 3 C.1
lg 3
D ．－1
lg 3
【解析】
【答案】 C
5．已知2a
＝3b
＝k (k ≠1)，且2a ＋b ＝ab ，则实数k 的值为( )
【导学号：60210084】
A ．6
B ．9
C ．12
D ．18
【解析】 ∵2a ＝3b ＝k (k ≠1)，∴a ＝log 2k ，b ＝log 3k ， ∴1a ＝log k 2，1
b ＝log k 3，
∵2a ＋b ＝ab ，∴2b ＋1
a ＝2log k 3＋log k 2＝log k 9＋log k 2＝log k 18＝1，∴k ＝18. 【答案】 D 二、填空题
6．已知3a
＝2,3b
＝1
5，则32a －b ＝________.
【解析】 ∵3a
＝2,3b
＝15，两边取对数得a ＝log 32，b ＝log 31
5＝－log 35，
∴2a －b ＝2log 32＋log 35＝log 320，∴32a －b ＝20. 【答案】
20
【导学号：97512049】
【解析】
－lg 8lg 9·13lg 3lg 4＝94－3lg 22lg 3·13lg 3
2lg 2＝94－14＝2. 【答案】 2
8．已知x ，y ∈(0,1)，若lg x ＋lg y ＝lg(x ＋y )，则lg(1－x )＋lg(1－y )＝________. 【解析】 lg(x ＋y )＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )⇒x ＋y ＝xy ，
lg(1－x )＋lg(1－y )＝lg[(1－x )(1－y )]＝lg(1－x －y ＋xy )＝lg 1＝0. 【答案】 0 三、解答题
9．求值：(1)lg 52
＋2
3lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；
(2)log 89·log 2732－(3－1)
lg 1
＋log 535－log 57.
【解】 (1)原式＝2lg 5＋2lg 2＋2lg 5lg 2＋(lg 5)2
＋(lg 2)2
＝2(lg 5＋lg 2)＋(lg 5＋lg 2)2
＝2＋1＝3.
(2)log 89·log 2732－(3－1)lg 1
＋log 535－log 57＝lg 9lg 8×lg 32lg 27－1＋log 5357＝2lg 33lg 2×5lg 2
3lg 3－
1＋1＝109.
10．2015年我国国民生产总值为a 亿元，如果平均每年增长8%，那么过多少年后国民生产总值是2015年的2倍(lg 2≈0.301 0，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年)．
【解】 设经过x 年国民生产总值为2015年的2倍． 经过1年，国民生产总值为a (1＋8%)， 经过2年，国民生产总值为a (1＋8%)2
， …
经过x 年，国民生产总值为a (1＋8%)x ＝2a ， ∴1.08x ＝2，两边取常用对数，得x ·lg 1.08＝lg 2. ∴x ＝lg 2lg 1.08≈0.301 0
0.033 4≈9.
故约经过9年，国民生产总值是2015年的2倍．
[能力提升]
1．已知2x
＝3，log 48
3＝y ，则x ＋2y 的值为( )
A ．3
B ．8
C ．4
D ．log 48
【解析】 由2x ＝3，得x ＝log 23.∴x ＋2y ＝log 23＋2log 48
3＝log 23＋2log 283log 24 ＝log 23＋(3log 22－log 23)＝3. 【答案】 A
2．设2a
＝5b
＝m ，且1a ＋1
b ＝2，则m ＝( )
【导学号：97512050】
A.10 B ．10 C ．20
D ．100
【解析】 由2a ＝m,5b ＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m
∴1a ＝log m 2，1b ＝log m 5，∴1a ＋1
b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m 2＝10.又∵m >0，∴m ＝10. 【答案】 A
3．如果方程(lg x )2＋(lg 7＋lg 5)lg x ＋lg 7·lg 5＝0的两根是α，β，则αβ＝________.
【解析】 方程(lg x )2
＋(lg 7＋lg 5)lg x ＋lg 7·lg 5＝0可以看成关于lg x 的二次方程． ∵α，β是原方程的两根，
∴lg α，lg β可以看成关于lg x 的二次方程的两根． 由根与系数的关系，
得lg α＋lg β＝－(lg 7＋lg 5)＝lg 135， ∴lg αβ＝lg α＋lg β＝lg 1
35， ∴αβ＝1
35. 【答案】 1
35
4．已知lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值． 【解】 由题设，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝1
2.
所以lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝(lg a ＋lg b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫
lg b lg a ＋lg a lg b ＝(lg a ＋lg
b )·
a
2＋b
2
lg a ·lg b
＝(lg a ＋lg b )·
a ＋lg
b 2
－2lg a ·lg b
lg a ·lg b ＝2×22
－2×1
21
2
＝12. 敬请批评指正。