2012校第一次质检(理科数学)试卷及答案

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2012年佛山市高三教学质量检测(一)数学试题(理科)及答案

2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）时限：40分钟每题10分共150分班级学号姓名评价一、选择题:1．已知i 是虚数单位，m 、n ∈R ，且i 1i m n +=+，则iim n m n +=- A ．1-B ．1C ．i -D ．i2．下列函数中既是奇函数，又在区间()1,1-上是增函数的为A ．y x =B ．sin y x =C ．xxy e e -=+ D ．3y x =-3．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前5项和5S =A ．10B ．15C ．20D ．304．“关于x 的不等式220x ax a -+>的解集为R ”是“01a ≤≤”A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．一个体积为则这个三棱柱的左视图的面积为A. 36 B ．8 C ．38 D ．126．已知点P 是抛物线24x y =上的一个动点，则点P 到点(2,0)M 的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为A B ． C ． D ．927．某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[)20,45岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是A .31.6岁B .32.6岁C .33.6岁D .36.6岁 8．对于非空集合,A B ，定义运算：{|,}A B x x AB x A B ⊕=∈∉且，已知}|{},|{d x c x N b x a x M <<=<<=，其中d c b a 、、、满足a b c d +=+， 0ab cd <<，则=⊕N MA. (,)(,)a d b cB.(,][,)c a b dC. (,][,)a c d bD.(,)(,)c a d b二、填空题：(14、15题二选一)9．某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果合唱社被抽出12人，则a =_______________.10．函数sin()2y x x π=++的最小正周期是 ___________.11．已知不等式组02,20,20x x y kx y ≤≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为__________.12．已知向量=a (,2)x ，=b (1,)y ，其中0,0x y >>.若4=a b ，则12x y+的最小值为 .13．对任意实数b a ,，函数|)|(21),(b a b a b a F --+=，如果函数2()23,f x x x =-++ ()1g x x =+，那么函数()()(),()G x F f x g x =的最大值等于 .14．（坐标系与参数方程）在极坐标系下，已知直线l 的方程为21)3cos(=-πθρ，则点)2,1(πM 到直线l 的距离为__________.15.（几何证明选讲）如图， P 圆O 外一点，由P 圆O的切线PA 与圆O 切于A 点，引圆O 的割线PB 与圆O 交于C 点.已知AC AB ⊥， 1,2==PC PA .则圆O 的面积为 .三、解答题: 16．（14分）如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=，2===CA BC PB ，E 为PC 的中点，点F 在PA 上，且FA PF =2.（1）求证：平面PAC ⊥平面BEF ；（2）求平面ABC 与平面BEF 所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值.AP2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）参考答案三、解答题: 16．（1）证明：∵⊥PB 底面ABC ，且⊂AC 底面ABC ， ∴AC PB ⊥由90BCA ∠=，可得CB AC ⊥ 又 PB CB B = ，∴AC ⊥平面PBC 注意到⊂BE 平面PBC ，∴AC BE ⊥ BC PB = ,E 为PC 中点，∴BE PC ⊥ PCAC C =， BE ⊥平面PAC 而⊂BE 平面BEF ，∴BEF PAC 平面平面⊥（2）方法一、如图，以B 为原点、BC 所在直线为x 轴、BP 为z 轴建立空间直角坐标系.则)1,0,1(,)2,0,0(,)0,2,2(,)0,0,2(E P A C 1224(,,)3333B F B P P F B P P A =+=+=.设平面BEF 的法向量(,,)m x y z =. 由0,0m BF m BE ⋅=⋅=得0343232=++z y x ，即02=++z y x ...（1） 0=+z x (2)取1=x，则1,1-==z y ，(1,1,1)m =-.取平面ABC 的法向量为)1,0,0(=则3cos ,||||m n m n m n ⋅<>=-ABC 与平面PEF 所成角的二面角（锐角）的余弦值为33.方法二、取AF 的中点G ，AB 的中点M ，连接,,CG CM GM ，的中点为PC E ，AF PF =2，∴//EF CG . BEF EF BEF CG 平面平面⊂⊄, ， ∴//CG BEF 平面.同理可证：BEF GM 平面//. 又CG GM G =， ∴//CMG BEF 平面平面.则CMG 平面与平面ABC 所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面ABC 与平面BEF 所成的二面角的平面角（锐角）,已知ABC PB 底面⊥，2==BC AC ，⊂CM 平面ABC ∴CM PB ⊥，∴CM AB ⊥ 又PBAB B =，∴CM ⊥平面PAB 由于⊂GM 平面PAB ， ∴CM GM ⊥而CM 为CMG 平面与平面ABC 的交线，又⊂AM 底面ABC ，⊂GM 平面CMG AMG ∠∴为二面角A CM G --的平面角根据条件可得2=AM ，33231==PA AG在PAB ∆中，36cos ==∠AP AB GAM 在AGM ∆中，由余弦定理求得36=MG332cos 222=⋅-+=∠GM AM AG GM AM AMG故平面ABC 与平面PEF 所成角的二面角（锐角）的余弦值为33.。

2012高考湖南理科数学试题及答案(高清版)

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(湖南卷)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2≤x }，则M ∩N 等于( ) A ．{0} B ．{0,1} C ．{－1,1} D ．{－1,0,1}2．命题“若π4α=，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若π4α≠，则tan α≠1 B ．若π4α=，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则π4α≠D ．若tan α≠1，则π4α=3．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )4．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为0.8585.71y x =-，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(,)x yC ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg5．已知双曲线C ：22221x y a b-=的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A ．221205x y -= B ．221520x y -= C ．2218020x y -= D ．2212080x y -= 6．函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π)的值域为( )A ．[－2,2]B ．[C ．[－1,1]D ．[ 7．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，1AB BC ⋅=，则BC 等于( )ABC． D8．已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：821y m =+(m ＞0)，l 1与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点C ，D ．记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b ，当m 变化时，b的最小值为( ) A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)9．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：112x t y t =+⎧⎨=-⎩，(t 为参数)与曲线C 2：sin 3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.10．不等式|2x＋1|－2|x －1|＞0的解集为__________________．11．如图，过点P 的直线与O 相交于A ，B 两点，若P A ＝1，AB ＝2，PO ＝3，则O的半径等于________．(二)必做题(12～16题)12．已知复数z ＝(3＋i)2(i 为虚数单位)，则|z |＝________. 13． 6的二项展开式中的常数项为________．(用数字作答) 14．如果执行如图所示的程序框图，输入x ＝－1，n ＝3，则输出的数S ＝________.理图文图15．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，其中，P 为图象与y 轴的交点，A ，C 为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．(1)若π6ϕ=，点P 的坐标为(0，2)，则ω＝________；(2)若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为________．16．设N ＝2n (n ∈N *，n ≥2)，将N 个数x 1，x 2，…，x N 依次放入编号为1,2，…，N 的N 个位置，得到排列P 0＝x 1x 2…x N .将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N 和后2N 个位置，得到排列P 1＝x 1x 3…x N －1x 2x 4…x N ，将此操作称为C 变换．将P 1分成两段，每段2N个数，并对每段作C 变换，得到P 2；当2≤i ≤n －2时，将P i 分成2i 段，每段2i N个数，并对每段作C 变换，得到P i ＋1.例如，当N ＝8时，P 2＝x 1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8，此时x 7位于P 2中的第4个位置．(1)当N ＝16时，x 7位于P 2中的第________个位置；(2)当N ＝2n (n ≥8)时，x 173位于P 4中的第________个位置．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的(1)确定x ，y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望；(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．18．如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点．(1)证明：CD ⊥平面P AE ；(2)若直线PB 与平面P AE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P －ABCD 的体积．19．已知数列{a n }的各项均为正数，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1，C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2，n ＝1,2，….(1)若a 1＝1，a 2＝5，且对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．20．某企业接到生产3 000台某产品的A ，B ，C 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位：件)．已知每个工人每天可生产A 部件6件，或B 部件3件，或C 部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B 部件的人数与生产A 部件的人数成正比，比例系数为k (k 为正整数)．(1)设生产A 部件的人数为x ，分别写出完成A ，B ，C 三种部件生产需要的时间； (2)假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．21．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1上的点均在圆C 2：(x －5)2＋y 2＝9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x ＝－2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值．(1)求曲线C 1的方程；(2)设P (x 0，y 0)(y 0≠±3)为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别与曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D ．证明：当P 在直线x ＝－4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值．22．已知函数f (x )＝e ax －x ，其中a ≠0.(1)若对一切x ∈R ，f (x )≥1恒成立，求a 的取值集合；(2)在函数f (x )的图象上取定两点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))(x 1＜x 2)，记直线AB 的斜率为k .问：是否存在x 0∈(x 1，x 2)，使f ′(x 0)＞k 成立？若存在，求x 0的取值范围；若不存在，请说明理由．1． B 由N ＝{x |x 2≤x }，得x 2－x ≤0⇒x (x －1)≤0，解得0≤x ≤1.又∵M ＝{－1,0,1}， ∴M ∩N ＝{0,1}．2． C 命题“若π4α=，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则π4α≠”． 3． D 若为D 项，则主视图如图所示，故不可能是D 项．4． D D 项中，若该大学某女生身高为170 cm ，则其体重约为：0.85×170－85.71＝ 58．79(kg)．故D 项不正确． 5． A 由2c ＝10，得c ＝5， ∵点P (2,1)在直线by x a=上， ∴21ba=.又∵a 2＋b 2＝25，∴a 2＝20，b 2＝5. 故C 的方程为221205x y -=. 6． B f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)＝1sin sin )2x x x --＝3sin cos 22x x -1sin cos )22x x -π)[6x -∈．故选B 项．7． A ∵||||cos(π)2||(cos )1AB BC AB BC B BC B ⋅=⋅-=⋅-=，∴1cos 2||B BC =-.又∵222||||||cos 2||||AB BC AC B AB BC +-=⋅＝24||9122||2||BC BC BC +-=-⨯⨯， ∴2||=3BC .∴||=3BC BC =.8． B 由题意作出如下的示意图．由图知a ＝|x A －x C |，b ＝|x D －x B |，又∵x A ·x B ＝1，x C ·x D ＝1，∴11||1||||C A A C A C x x b a x x x x -==-. y A ＋y C ＝－log 2x A －log 2x C＝－log 2x A x C ＝8218172122122m m m m ++=+-≥++，当且仅当218221m m +=+，即32m =时取等号．由－log 2x A x C ≥72，得log 2x A x C ≤72-，即0＜x A x C ≤722-从而7212||A C b a xx =≥=当32m =时，ba 取得最小值B 项．9．答案：32解析：∵C 1：1,12,x t y t =+⎧⎨=-⎩∴C 1的方程为2x ＋y －3＝0.∵C 2：sin ,3cos ,x a y θθ=⎧⎨=⎩∴C 2的方程为22219x y a +=. ∵C 1与C 2有一个公共点在x 轴上，且a ＞0， ∴C 1与x 轴的交点(32，0)在C 2上，代入解得32a =. 10．答案：{x |x ＞14} 解析：对于不等式|2x ＋1|－2|x －1|＞0，分三种情况讨论： 1°，当12x <-时，－2x －1－2(－x ＋1)＞0，即－3＞0，故x 不存在； 2°，当112x -≤≤时，2x ＋1－2(－x ＋1)＞0，即114x <≤； 3°，当x ＞1时，2x ＋1－2(x －1)＞0,3＞0，故x ＞1. 综上可知，14x >，不等式的解集是14x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭．11．解析：过P 作圆的切线PC 切圆于C 点，连结OC ．∵PC 2=P A ·PB =1×3=3，∴PC =在Rt △POC 中，OC =. 12．答案：10解析：∵z ＝(3＋i)2，∴|z |＝32＋12＝10. 13．答案：－160解析：6的通项为616C (rr r r T -+=- ＝(－1)r 6C r26－r x 3－r .当3－r ＝0时，r ＝3. 故(－1)336C 26－3＝－36C 23＝－160.14．答案：－4解析：输入x ＝－1，n ＝3.i ＝3－1＝2，S ＝6×(－1)＋2＋1＝－3； i ＝2－1＝1，S ＝(－3)×(－1)＋1＋1＝5； i ＝1－1＝0，S ＝5×(－1)＋0＋1＝－4； i ＝0－1＝－1，－1＜0，输出S ＝－4.15．答案：(1)3 (2)π4 f (x )＝sin(ωx ＋φ)，f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)．解析：(1)π6ϕ=时，f ′(x )＝ωcos(ωx ＋π6)．∵'(0)2f =，即πcos 62ω=，∴ω＝3.(2)当ωx ＋φ＝π2时，π2x ϕω-=；当ωx ＋φ＝3π2时，3π2x ϕω-=.由几何概型可知，该点在△ABC 内的概率为3π2π212π11||||||||2223π2[0cos()]sin()π2AC P x x ϕωϕωωωωϕωωϕωωϕϕω--⨯⨯⋅⋅==--+-+-⎰＝π23ππ22sin()sin()ϕϕωϕωϕωω---⋅++⋅+＝π23ππsin()sin()22-+＝ππ2114=+. 16．答案：(1)6 (2)3×2n －4＋11解析：(1)由题意知，当N ＝16时，P 0＝x 1x 2x 3x 4x 5…x 16，P 1＝x 1x 3x 5…x 15x 2x 4…x 16，则 P 2＝x 1x 5x 9x 13x 3x 7x 11x 15x 2x 6x 10x 14x 4x 8x 12x 16，此时x 7位于P 2中的第6个位置．(2)方法同(1)，归纳推理知x 173位于P 4中的第3×2n －4＋11个位置．17．解：(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本．将频率视为概率得153(1)10020P X ===，303( 1.5)30010P X ===，251(2)1004P X ===，201( 2.5)1005P X ===，101(3)10010P X ===.X 的分布列为X 的数学期望为()3311111.52 2.531.920104510E X ⨯⨯⨯⨯⨯＝＋＋＋＋＝. (2)记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，X i (i ＝1,2)为该顾客前面第i 位顾客的结算时间，则P (A )＝P (X 1＝1且X 2＝1)＋P (X 1＝1且X 2＝1.5)＋P (X 1＝1.5且X 2＝1)．由于各顾客的结算相互独立，且X 1，X 2的分布列都与X 的分布列相同，所以 P (A )＝P (X 1＝1)×P (X 2＝1)＋P (X 1＝1)×P (X 2＝1.5)＋P (X 1＝1.5)×P (X 2＝1)＝333333920202010102080⨯+⨯+⨯=. 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980. 18．解：解法一：(1)如图所示，连接AC ．由AB =4，BC =3，∠ABC =90°得AC =5.又AD =5，E 是CD 的中点，所以CD ⊥AE .因为P A ⊥平面ABCD ，CD 平面ABCD ，所以P A ⊥CD ．而P A ，AE 是平面P AE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面P AE .(2)过点B 作BG ∥CD ，分别与AE ，AD 相交于点F ，G ，连结PF .由(1)CD ⊥平面P AE 知，BG ⊥平面P AE .于是∠BPF 为直线PB 与平面P AE 所成的角，且BG ⊥AE .由P A ⊥平面ABCD 知，∠PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成的角．由题意∠PBA ＝∠BPF ，因为sin ∠PBA ＝PA PB，sin ∠BPF ＝BF PB ，所以P A ＝BF .由∠DAB ＝∠ABC ＝90°知，AD ∥BC ．又BG ∥CD ，所以四边形BCDG 是平行四边形．故GD ＝BC ＝3，于是AG ＝2.在Rt △BAG 中，AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，所以BG ==2AB BF BG ===于是P A ＝BF ＝5.又梯形ABCD 的面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P －ABCD 的体积为111633V S PA =⨯⨯=⨯=.解法二：如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设P A ＝h ，则相关各点的坐标为：A (0,0,0)，B (4,0,0)，C (4,3,0)，D (0,5,0)，E (2,4,0)，P (0,0，h )．(1)易知CD ＝(－4,2,0)，AE ＝(2,4,0)，AP ＝(0,0，h )．因为CD AE ⋅＝－8＋8＋0＝0，CD AP ⋅＝0，所以CD ⊥AE ，CD ⊥AP ，而AP ，AE 是平面P AE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面P AE .(2)由题设和(1)知，CD ，PA 分别是平面P AE ，平面ABCD 的法向量．而PB 与平面P AE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos ,||cos ,|CD PB PA PB =，即CD PB PA PB CD PBPA PB⋅⋅=⋅⋅.由(1)知，CD ＝(－4,2,0)，PA ＝(0,0，－h )．又PB ＝(4,0，－h )，故2=.解得5h =.又梯形ABCD 的面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P －ABCD 的体积为111633V S PA =⨯⨯=⨯=.19．解：(1)对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )是等差数列，所以 B (n )－A (n )＝C (n )－B (n )，即a n ＋1－a 1＝a n ＋2－a 2，亦即a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝4. 故数列{a n } 是首项为1，公差为4的等差数列．于是a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3.(2)①必要性：若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则对任意n ∈N *，有a n ＋1＝a n q .由a n＞0知，A (n )，B (n )，C (n )均大于0，于是231121212()()()n n n na a a q a a a B n q A n a a a a a a +++++++===++++++…………， 342231231231()()()n n n n a a a q a a a C n q B n a a a a a a ++++++++++===++++++…………，即()()()()B nC n q A n B n ==.所以三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列． ②充分性：若对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列，则 B (n )＝qA (n )，C (n )＝qB (n )．于是C (n )－B (n )＝q [B (n )－A (n )]，得a n ＋2－a 2＝q (a n ＋1－a 1)，即 a n ＋2－qa n ＋1＝a 2－qa 1.由n ＝1有B (1)＝qA (1)，即a 2＝qa 1，从而a n ＋2－qa n ＋1＝0. 因为a n ＞0，所以2211n n a a q a a ++==. 故数列{a n }是首项为a 1，公比为q 的等比数列．综上所述，数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．20．解：(1)设完成A ，B ，C 三种部件的生产任务需要的时间(单位：天)分别为T 1(x )，T 2(x )，T 3(x )，由题设有1230001000()6T x x x ⨯==，22000()T x kx=，31500()200(1)T x k x =-+，其中x ，kx,200－(1＋k )x 均为1到200之间的正整数．(2)完成订单任务的时间为f (x )＝max{T 1(x )，T 2(x )，T 3(x )}，其定义域为{x |0＜x ＜2001k+，x ∈N *}．易知，T 1(x )，T 2(x )为减函数，T 3(x )为增函数．注意到T 2(x )＝2kT 1(x )，于是 ①当k ＝2时，T 1(x )＝T 2(x )，此时 f (x )＝max{T 1(x )，T 3(x )} ＝max{10001500,2003x x-}．由函数T 1(x )，T 3(x )的单调性知，当100015002003x x=-时f (x )取得最小值，解得4009x =. 由于40044459<<，而f (44)＝T 1(44)＝25011，f (45)＝T 3(45)＝30013，f (44)＜f (45)．故当x ＝44时完成订单任务的时间最短，且最短时间为f (44)＝25011.②当k ＞2时，T 1(x )＞T 2(x )，由于k 为正整数，故k ≥3，此时150********200(1)200(13)50k x x x≥=-+-+-.记375()50T x x=-，φ(x )＝max{T 1(x )，T (x )}，易知T (x )是增函数，则f (x )＝max{T 1(x )，T 3(x )}≥max{T 1(x )，T (x )} ＝φ(x )＝max{1000375,50x x-}．由函数T 1(x )，T (x )的单调性知，当100037550x x=-时φ(x )取最小值，解得40011x =. 由于400363711<<，而φ(36)＝T 1(36)＝250250911>，φ(37)＝T (37)＝3752501311>. 此时完成订单任务的最短时间大于25011. ③当k ＜2时，T 1(x )＜T 2(x )，由于k 为正整数，故k ＝1，此时f (x )＝max{T 2(x )，T 3(x )}＝max{2000750,100x x-}．由函数T 2(x )，T 3(x )的单调性知，当2000750100x x=-时f (x )取最小值，解得80011x =，类似①的讨论，此时完成订单任务的最短时间为2509，大于25011. 综上所述，当k ＝2时，完成订单任务的时间最短，此时，生产A ，B ，C 三种部件的人数分别为44,88,68.21．解：(1)方法一：设M 的坐标为(x ，y )，由已知得|2|3x +=.易知圆C 2上的点位于直线x ＝－2的右侧，于是x ＋2＞0，所以5x =＋.化简得曲线C 1的方程为y 2＝20x .方法二：由题设知，曲线C 1上任意一点M 到圆C 2圆心(5,0)的距离等于它到直线x ＝－5的距离．因此，曲线C 1是以(5,0)为焦点，直线x ＝－5为准线的抛物线．故其方程为y 2＝20x .(2)当点P 在直线x ＝－4上运动时，P 的坐标为(－4，y 0)．又y 0≠±3，则过P 且与圆C 2相切的直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y －y 0＝k (x ＋4)，即kx －y ＋y 0＋4k ＝0.3=. 整理得72k 2＋18y 0k ＋y 02－9＝0.①设过P 所作的两条切线P A ，PC 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1，k 2是方程①的两个实根．故001218724y y k k +=-=-.② 由101240,20k x y y k y x -++=⎧⎨=⎩得 k 1y 2－20y ＋20(y 0＋4k 1)＝0.③设四点A ，B ，C ，D 的纵坐标分别为y 1，y 2，y 3，y 4，则y 1，y 2是方程③的两个实根，所以0112120(4)y k y y k +=.④ 同理可得0234220(4)y k y y k +=.⑤ 于是由②④⑤三式得010*******400(4)(4)y k y k y y y y k k ++= ＝201201212400[4()16]y k k y k k k k +++＝22001212400(16) 6 400y y k k k k -+=. 所以，当P 在直线x ＝－4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6 400.22．解：(1)若a ＜0，则对一切x ＞0，f (x )＝e ax －x ＜1，这与题设矛盾．又a ≠0，故a ＞0.而f ′(x )＝a e ax －1，令f ′(x )＝0得11ln x a a =. 当11ln x a a <时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当11ln x a a>时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．故当11ln x a a =时，f (x )取最小值11111(ln )ln f a a a a a=-. 于是对一切x ∈R ，f (x )≥1恒成立．当且仅当111ln 1a a a-≥.① 令g (t )＝t －t ln t ，则g ′(t )＝－ln t .当0＜t ＜1时，g ′(t )＞0，g (t )单调递增；当t ＞1时，g ′(t )＜0，g (t )单调递减．故当t ＝1时，g (t )取最大值g (1)＝1.因此，当且仅当11a=，即a ＝1时，①式成立．综上所述，a 的取值集合为{1}． (2)由题意知，21212121()()e e 1ax ax f x f x k x x x x --==---. 令φ(x )＝f ′(x )－k ＝a e ax －2121e e ax ax x x --.则 φ(x 1)＝121e ax x x --[e a (x 2－x 1)－a (x 2－x 1)－1]， φ(x 2)＝221e ax x x -[e a (x 1－x 2)－a (x 1－x 2)－1]．令F (t )＝e t －t －1，则F ′(t )＝e t －1.当t ＜0时，F ′(t )＜0，F (t )单调递减；当t ＞0时，F ′(t )＞0，F (t )单调递增．故当t ≠0时，F (t )＞F (0)＝0，即e t －t －1＞0.从而e a (x 2－x 1)－a (x 2－x 1)－1＞0，e a (x 1－x 2)－a (x 1－x 2)－1＞0.又121e 0ax x x >-，221e 0ax x x >-，所以φ(x 1)＜0，φ(x 2)＞0. 因为函数y ＝φ(x )在区间[x 1，x 2]上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在c ∈(x 1，x 2)，使得φ(c )＝0.又φ′(x )＝a 2e ax＞0，φ(x )单调递增，故这样的c 是唯一的，且()21211e e ln ax ax c a a x x -=-.故当且仅当()212211e e ln ,ax ax x x a a x x ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪-⎝⎭时，f ′(x )＞k .综上所述，存在x 0∈(x 1，x 2)，使f ′(x 0)＞k 成立，且x 0的取值范围为()212211e e ln ,ax ax x a a x x ⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭．。

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学及答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至第4页。

考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。

第I卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.没小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3.第I卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题1、复数131ii-++=A 2+IB 2-IC 1+2iD 1- 2i2、已知集合A＝{1.3. }，B＝{1，m} ,A B＝A, 则m=A 0B 0或3C 1D 1或33 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A216x+212y=1 B212x+28y=1C28x+24y=1 D212x+24y=14 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中，AB=2，CC1=E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为A 2BCD 1（5）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为(A)100101(B)99101(C)99100(D)101100（6）△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A) （B ） (C) (D)（7）已知α为第二象限角，sin α＋sin βcos2α=(A) -3 （B ）-9 (C) 9 (D)3（8）已知F 1、F 2为双曲线C ：x ²-y ²=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= (A)14 （B ）35 (C)34 (D)45（9）已知x=ln π，y=log 52，12z=e ，则(A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x(10) 已知函数y ＝x ²-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝（A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝73。

2012年深圳市高三年级第一次调研考试(理科数学)

绝密★启用前试卷类型：A2012年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科） 2012.2参考公式：如果事件A B 、互斥，那么P A B P A P B +=+()()()；如果事件A B 、相互独立，那么P AB P A P B =()()()；若锥体的底面积为S ，高为h ，则锥体的体积为13V Sh =．一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．若(1i)i z =+（i 为虚数单位），则z 的虚部是A ．1B ．1-C ．iD ．i -2．已知b ，c 是平面α内的两条直线，则“直线a α⊥”是“直线a b ⊥，直线a c ⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知直线:tan 3tan 0l x y αβ--=的斜率为2，在y 轴上的截距为1，则tan()αβ+=A ．73- B ．73C ．57D ．14．执行图1的程序框图，如果依次输入函数：xx f 3)(=、x f sin )(=3)(x x f =、xx x f 1)(+=，那么输出的函数()f x 为A ．3xB ．sin xC ．3x D ．1x x+5．已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数2()sgn(ln )ln f x x x =-的零点个数为A ．4B ．3C ．2D ．1图1NABCDM6．已知变量 x y ,满足约束条件23033010x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪-≤⎩，若目标函数z y ax =-仅．在点(3,0)-处取到最大值，则实数a 的取值范围为 A ．(3,5)B ．1(,)2 +∞C ．(1,2) -D ．1(,1)37．“2012”含有数字0, 1, 2，且有两个数字2．则含有数字0, 1, 2，且有两个相同数字的四位数的个数为 A ．18B ．24C ．27D ．368．设S 是实数集R 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有,a b S a b S +∈-∈，则称S 是一个“和谐集”．下面命题为假命题．．．的是 A ．存在有限集S ，S 是一个“和谐集”B ．对任意无理数a ，集合{},x x ka k =∈Z 都是“和谐集”C ．若21S S ≠，且12,S S 均是“和谐集”，则12S S ≠∅D ．对任意两个“和谐集”12,S S ，若12,S S ≠≠R R ，则12S S =R二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．π40cos xdx =⎰ ．10．某中学组织了“迎新杯”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出若干名学生，并将其成绩绘制成频率分布直方图（如图2），其中成绩的范围是[50，100]，样本数据分组为[50，60），[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，已知样本中成绩小于70分的个数是36，则样本中成绩在)90,60[内的学生人数为．11．已知抛物线28y x =的准线l 与双曲线222:1x C y a-=相切，则双曲线C 的离心率e = ． 12．已知等比数列{}n a 的第5项是二项式613x ⎛⎫⎪⎝⎭展开式的常数项，则37a a = ．13．如图3所示的几何体中，四边形ABCD 是矩形，平面⊥ABCD 平面ABE ，已知2=AB ，3==BE AE ，且当规定主（正）视方向垂直平面ABCD 时，该几何体的左（侧）视图的面积为22．若M 、N 分别是线段DE 、CE 上的动点，则NB MN AM ++的最小值图2为．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点π(1,)2P到曲线π:c o s(24lρθ+=上的点的最短距离为．15．（几何证明选讲选做题）如图4，,A B是圆O上的两点，且O A O B⊥，2O A=，C为O A的中点，连接B C并延长交圆O于点D，则C D=．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数()sin()f x A xωϕ=+，x∈R（其中ππ0,0,22Aωϕ>>-<<），其部分图像如图5所示．（1）求函数()f x的解析式；（2）已知横坐标分别为1-、1、5的三点M、N、P都在函数()f x的图像上，求sin M N P∠的值．17．（本小题满分13分）随机调查某社区80个人，以研究这一社区居民在00:2200:20-时间段的休闲方式与性别的关系，得到下面的数据表：（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X，求X的分布列和期望；图4DCO AB图5（2）根据以上数据，能否有99%的把握认为“在00:2200:20-时间段的休闲方式与性别有关系”？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：18．（本小题满分13分）如图6，平行四边形A B C D 中，A B B D ⊥，2A B =，BD =BD 将B C D ∆折起，使二面角A B D C --是大小为锐角α的二面角，设C 在平面ABD 上的射影为O ．（1）当α为何值时，三棱锥OAD C -的体积最大？最大值为多少？（2）当A D B C ⊥时，求α的大小．ABDCOABCD图6如图7，已知椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>2，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：222(2)(0)x y r r ++=>，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程；（3）设点P 是椭圆C 上异于M N ，的任意一点，且直线,M P NP 分别与x 轴交于点R S ，，O 为坐标原点，求证：OR OS ⋅为定值．20．（本小题满分14分）已知函数d cx bxx x f +++=2331)(，设曲线)(x f y =在与x 轴交点处的切线为124-=x y ，()f x '为()f x 的导函数，满足)()2(x f x f '=-'．（1）求()f x ；（2）设()g x =0m >，求函数()g x 在[0,]m 上的最大值；（3）设()ln ()h x f x '=，若对一切[0,1]x ∈，不等式(1)(22)h x t h x +-<+恒成立，求实数t 的取值范围．已知数列}{n a 满足：211=a ，*1,e en n nn a a n a +=∈+N （其中e 为自然对数的底数）．（1）求数列}{n a 的通项n a ；（2）设n n a a a S +++= 21，n n a a a a T ⋅⋅⋅⋅= 321，求证：1+≤n n S n ， 2e n n T ->．2012年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题每小题5分，满分40分．9．2；10． 90； 11．2； 12．259；13．3； 14． 15．三、解答题16．（本小题满分12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，x ∈R （其中ππ0,0,22A ωϕ>>-<<），其部分图像如图所示．(1) 求函数()f x 的解析式；(2) 已知横坐标分别为1-、1、5的三点M 、N 、P 都在函数()f x 的图像上，求 sin M N P ∠的值．解：（1）由图可知，1A = ， ………………………………………………………1分最小正周期428,T =⨯= 所以2ππ8,.4T ωω===…………………………………3分又π(1)sin()14f ϕ=+= ，且ππ22ϕ-<<所以ππ3π444ϕ-<+<，πππ,.424ϕϕ+==…………………5分所以π()sin (1)4f x x =+． ……………………6分 (2) 解法一: 因为ππ(1)sin(11)0,(1)sin(11)1,44f f -=-+==+=π(5)sin(51)14f =+=-，所以(1,0),(1,1),(5,1)M N P --， ………………………………………………8分MN MP PN ===，从而3cos 5M N P ∠==-， ………………………………………………10分由[]0,πM NP ∠∈，得4sin 5M N P ∠==. …………………12分解法二: 因为ππ(1)sin(11)0,(1)sin (11)1,44f f -=-+==+=π(5)sin(51)14f =+=-，所以(1,0),(1,1),(5,1)M N P --， ………………………………………………8分 (2,1),(4,2)N M N P =--=-,6NM NP ⋅=-,N M N P ===则63cos 5N M N PM N P N M N P⋅-∠===-⋅ . ………………………10分由[]0,πM NP ∠∈，得4sin 5M N P ∠==. ……………12分【说明】本小题主要考查了三角函数)sin()(ϕω+=x A x f 的图象与性质，以及余弦定理，同角三角函数关系式，平面向量的数量积等基础知识，考查了简单的数学运算能力．17．（本小题满分13分）随机调查某社区80个人，以研究这一社区居民在00:2200:20-时间段的休闲方式与性别的关3看书为休闲方式的人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望；（2）根据以上数据，能否有99%的把握认为“在00:2200:20-时间段的休闲方式与性别有关系”？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ，其中n a b c d =+++．解：（为56p =． …………………………………………2分方法一：2161)61()0(303===C X P ，725)65()61()1(213===C X P ，7225)65)(61()2(223===C X P ，216125)65()3(333===C X P ． ……………6分X ∴25216125372252725121610=⨯+⨯+⨯+⨯=∴EX ． ……………………………8分方法二：根据题意可得)65,3(~B X ， ……………………………………4分kk k C k X P )65()61()(33-==∴，3,2,1,0=k ． ……………………………………6分∴25653=⨯==np EX ． …………………………………………8分(2) 提出假设0H ：休闲方式与性别无关系．根据样本提供的22⨯列联表得22()80(10101050)808.889 6.635()()()()602020609n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯．因为当0H 成立时，635.62≥K 的概率约为01.0，所以我们有99%的把握认为“在00:2200:20-时间段性别与休闲方式有关”． ………………………13分【说明】本题主要考察读图表、随机事件的概率、二项分布以及数学期望、独立性检验等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和应用意识．18．（本小题满分13分）如图，平行四边形A B C D 中，A B B D ⊥，2A B =，BD =BD 将B C D ∆折起，使二面角A B D C --是大小为锐角α的二面角，设C 在平面ABD 上的射影为O ．（1）当α为何值时，三棱锥OAD C -的体积最大？最大值为多少？（2）当A D B C ⊥时，求α的大小．解：（1）由题知O D 为C D 在平面ABD 上的射影，∵BD C D ⊥，C O ⊥平面ABD ，∴B D O D ⊥，∴O D C α∠=， ………………………2分111332C A OD A O D V S O C O D B D O C -∆=⋅=⋅⋅⋅⋅ A BDC O BCDsin cos 66O D O C C D C D αα=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ ………………4分sin 23α=⋅3≤， ……………………5分当且仅当sin 21α=，即45α=︒时取等号，∴当45α=︒时，三棱锥O A C D -的体积最大，最大值为3． …………6分(2)(法一)连接O B ， ……………………7分 ∵C O ⊥平面ABD ，A D B C ⊥，∴AD ⊥平面B O C ，∴AD O B ⊥， ………………………9分 ∴90O B D A D B ∠+∠=︒，故O B D D A B ∠=∠，∴R t A B D R t B D O ∆∆∽， ………………11分 ∴O D B D B DA B=，∴212BDO D AB ===， …………………………………………………12分在R t C O D ∆中，1cos 2O D C Dα==，得60α=︒(法二) 过O 作O E A B ⊥于E ，则O E B D 为矩形，以O 为原点，O E ，O D ，O C 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则)0,2cos 2,2(),0,cos 2,0(),0,0,0(-ααA D O )sin 2,0,0(),0,cos 2,2(ααC B ， ………9分于是)0,2,2(-=AD ，)sin 2,cos 2,2(αα--=BC ， ……………10分由A D B C ⊥，得0=⋅BC AD ，∴0sin 20)cos 2(2)2()2(=⨯+-⨯+-⨯-αα， ……………………12分得21cos =α，又α为锐角，∴60α=︒ ． ………………………………13分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，棱锥的体积、二面角及三角函数等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力． 19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>的离心率为2，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：222(2)(0)x y r r ++=>，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N ．（1）求椭圆C 的方程；ABDCO（2）求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程；（3）设点P 是椭圆C 上异于M ,N 的任意一点，且直线,M P NP 分别与x 轴交于点,R S ，O 为坐标原点，求证：OR OS ⋅为定值．解：（1）依题意，得2a =，2c e a==， 1,322=-==∴c a b c ；故椭圆C 的方程为2214xy += ． ………………………………………3分（2）方法一：点M 与点N 关于x 轴对称，设),(11y x M ，),(11y x N -，不妨设01>y ．由于点M 在椭圆C 上，所以412121x y -=．（*） ……………………4分由已知(2,0)T -，则),2(11y x TM +=，),2(11y x TN -+=，21211111)2(),2(),2(y x y x y x TN TM -+=-+⋅+=⋅∴ 3445)41()2(1212121++=--+=x x x x51)58(4521-+=x ． ……………………………………6分由于221<<-x ，故当581-=x 时，TM TN ⋅ 取得最小值为15-．由（*）式，531=y ，故83(,)55M -，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到21325r =．故圆T 的方程为：2213(2)25x y ++=． ……………………8分方法二：点M 与点N 关于x 轴对称，故设(2cos ,sin ),(2cos ,sin )M N θθθθ-，不妨设sin 0θ>，由已知(2,0)T -，则)sin ,2cos 2()sin ,2cos 2(θθθθ-+⋅+=⋅TN TM 3c o s 8c o s 5s i n )2c o s 2(222++=-+=θθθθ51)54(cos 52-+=θ． ……………………………………………………6分故当4cos 5θ=-时，TM TN ⋅ 取得最小值为15-，此时83(,)55M -，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到21325r =．故圆T 的方程为：2213(2)25x y ++=． ……………………8分(3) 方法一：设),(00y x P ，则直线M P 的方程为：)(010100x x x x y y y y ---=-，令0y =，得101001y y y x y x x R --=，同理：101001y y y x y x x S ++=， ……………………10分故212021202021y y y x y x x x S R --=⋅ （**） ……………………11分又点M 与点P 在椭圆上，故)1(42020y x -=，)1(42121y x -=，……………………12分代入（**）式，得： 4)(4)1(4)1(421202120212021202021=--=----=⋅y y y y y y y y y y x x S R ．所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR 为定值． ……………………14分方法二：设(2c o s,s i n ),(2c o s ,M N θθθθ-，不妨设s i n0θ>，)sin ,cos 2(ααP ，其中θαs i n s i n ±≠．则直线M P 的方程为：)cos 2(cos 2cos 2sin sin sin αθαθαα---=-x y ，令0y =，得θαθαθαsin sin )sin cos cos (sin 2--=R x ，同理：θαθαθαsin sin )sin cos cos (sin 2++=S x ， …………………………12分故4sin sin )sin (sin4sin sin )sin cos cos (sin42222222222=--=--=⋅θαθαθαθαθαS R x x ．所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR 为定值． ……………………14分【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、圆的方程、向量、圆与椭圆的位置关系、直线方程等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合思想、化归与转化思想． 20．（本小题满分14分）已知函数d cx bxx x f +++=2331)(，设曲线)(x f y =在与x 轴交点处的切线为124-=x y ，()f x '为()f x 的导函数，满足)()2(x f x f '=-'．（1）求()f x ；（2）设()g x =，0m >，求函数()g x 在[0,]m 上的最大值；（3）设()ln ()h x f x '=，若对一切[0,1]x ∈，不等式(1)(22)h x t h x +-<+恒成立，求实数t 的取值范围．解：（1）2()2f x x bx c '=++， ………………………………1分)()2(x f x f '=-'，∴函数()y f x '=的图像关于直线1x =对称，则1b =-．……2分直线124-=x y 与x 轴的交点为(3,0)， ∴(3)0f =，且(3)4f '=，即9930b c d +++=，且964b c ++=，解得1c =，3d =-． …………………………………………4分则321()33f x x x x =-+-． …………………………………………5分（2）22()21(1)f x x x x '=-+=-，22,1,()1, 1.x x x g x x x x x x ⎧-≥⎪==-=⎨-<⎪⎩ ………………………………………7分其图像如图所示．当214x x -=时，12x ±=，根据图像得：（ⅰ）当102m <≤时，()g x 最大值为2m m -；（ⅱ）当122m <≤()g x 最大值为14；（ⅲ）当12m +>时，()g x 最大值为2m m -．10分（3）方法一：2()ln(1)2ln 1h x x x =-=-， (1)2ln hx t x t +-=-，(22)2ln 21h x x +=+，当[0,1]x ∈时，2121x x +=+，∴不等式2ln 2ln 21x t x -<+恒成立等价于21x t x -<+且x t ≠恒成立，由21x t x -<+恒成立，得131x t x --<<+恒成立，当[0,1]x ∈时，31[1,4]x +∈，1[2,1]x --∈--，∴11t -<<， ……………………………………………12分又当[0,1]x ∈时，由x t ≠恒成立，得[0,1]t ∉，因此，实数t 的取值范围是10t -<<． …………………………………14分方法二：（数形结合法）作出函数]1,0[,12∈+=x x y 的图像，其图像为线段AB （如图），t x y -=的图像过点A 时，1-=t 或1=t ，∴要使不等式21x t x -<+对[0,1]x ∈恒成立，必须11t -<<， …………………………………12分又当函数)1(t x h -+有意义时，x t ≠，∴当[0,1]x ∈时，由x t ≠恒成立，得[0,1]t ∉，因此，实数t 的取值范围是10t -<<． …………………………………14分方法三：2()ln(1)h x x =- ， ()h x 的定义域是{1}x x ≠，∴要使(1)h x t +-恒有意义，必须t x ≠恒成立，[0,1]x ∈，[0,1]t ∴∉，即0t <或1t >． ………………① …………………12分由(1)(22)h x t h x +-<+得22()(21)x t x -<+，即223(42)10x t x t +++->对[0,1]x ∈恒成立，令22()3(42)1x x t x t ϕ=+++-，()x ϕ的对称轴为23t x +=-，则有20,3(0)0t ϕ+⎧-<⎪⎨⎪>⎩或22201,3(42)43(1)0t t t +⎧≤-≤⎪⎨⎪∆=+-⨯⨯-<⎩或21,3(1)0tϕ+⎧->⎪⎨⎪>⎩ 解得11t -<<． ………………②综合①、②，实数t 的取值范围是10t -<<． …………………………………14分【说明】本题主要考查函数导数运算法则、导数的几何意义、二次函数和分段函数的图像及其性质的运用、不等式的求解与证明等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识． 21．（本小题满分14分）已知数列}{n a 满足：211=a ，*1,e en n n n a a n a +=∈+N （其中e 为自然对数的底数）．（1）求数列}{n a 的通项n a ；（2）设n n a a a S +++= 21，n n a a a a T ⋅⋅⋅⋅= 321，求证：1+≤n n S n ， 2enn T ->．解：（1）1e en n nn a a a +=+ ，11e e nn n a a +∴=+，即11111e enn n na a -+=+． …………………………………3分令11en n nb a -=，则11+=+n n b b ，2111==a b ，因此，数列}{n b 是首项为2，公差为1的等差数列．11)1(2+=⋅-+=n n b n ， …………………………………5分1111e(1)en n n n a b n --∴==+． …………………………………6分（2）（方法一）先证明当*n ∈N 时，1e n n -≥．设1()e ,[1,)x f x x x -=-∈+∞，则1()e 1x f x -'=-，当1>x 时，0)(>'x f ，)(x f ∴在),1(+∞上是增函数，则当1≥x 时，01)(=≥）（f x f ，即1ex x -≥．………8分因此，当*n ∈N 时，1e n n -≥，11111(1)e(1)1n n a n n nnn -=≤=-+++， …………9分当*n ∈N 时，1e n n +<，(21)1111e(1)ee en n n nn a n ----=>=+⋅． …………………10分1111)111()3121()211(21+=+-=+-++-+-≤+++=∴n n n n na a a S n n ．…………………………12分2135(21)[13521)]123eeeeeen n nn n T a a a a ----+-++++--∴=⋅⋅⋅⋅>⋅⋅⋅⋅== （．………………………14分（方法二）数学归纳法证明（1）2111==a S ，211=+n n ，∴当1=n 时，1+≤n nS n 成立；2111==a T ，21e e n -=，又e 2> ，112e∴>， ∴当1=n 时，2e nn T ->成立． ……………………………………………8分（2）设k n =时命题成立，即1+≤k k S k ，2e kk T ->，当1+=k n 时，1111(2)e k k k kk S S a k k ++=+≤+++，要证211++≤+k k S k ，即证111(2)e2kk k k k k ++≤+++，化简，即证e 1kk ≥+． …………………………9分设()e 1,0,)x f x x x =--∈+∞（，则()e 1xf x '=-，当0>x 时，0)(>'x f ，)(x f ∴在),0(+∞上是增函数，则当0≥x 时，00)(=≥）（f x f ，即e 1xx ≥+．因此，不等式e 1kk ≥+成立，即当1+=k n 时1+≤n n S n 成立． …………………11分当1+=k n 时，22111ee (2)e2k kkk k k kT T a k k ---++=⋅>⋅=++，要证2(1)1ek k T -++>，即证22(1)ee2k kk k ---+>+，化简，即证1e 2k k +>+．根据前面的证明，不等式1e2k k +>+成立，则1+=k n 时2e nn T ->成立．由数学归纳法可知，当*n ∈N 时，不等式1+≤n nS n ，2e nn T ->成立．……………14分【说明】考查了数列的递推公式的处理、等差数列的通项公式、数学归纳法等知识，考查学生的构造数列和函数解决问题的意识，考查了学生变形的能力，化归与转化的思想以及创新意识．。

北京市师大附中2012届上学期高三年级开学测试理科数学试卷及答案

北京市师大附中2012届上学期高三年级开学测试理科数学试卷（本试卷满分100分，考试时间120分钟）卷I一、选择题1. 已知集合{}032|2<--=x x x A ，{}12|1>=-x x B ，则B A =（） A. {}1x |x > B. {}3x |x < C.{}3x 1|x << D. {}3x -1|x << 2. 命题“R x ∈∃，使得1<x ”的否定是（）A. ∀x ∈R,都有1<xB. ∀x ∈R,都有1-≤x 或1≥xC. ∃x ∈R ，都有1≥xD. ∃x ∈R ，都有1>x3. 已知向量)2,(x a =，)1,3(-=b ，若（a +b ）//（a -2b ），则实数x 的值为（） A. -3 B. 2 C. 4 D. -64. 函数y=||x xa x (0<a<1)的图象的大致形状是（）5. 设α∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧---3,2,1,21,31,21,1,2，则使αx y =为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的α值的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 已知平面上三个点A 、B 、C 满足CA BC AB ,4,3==则,5=BC AB ⋅+CA BC ⋅+AB CA ⋅的值等于（）A. 25B. 24C. -25D. -247. 已知()()31cos cos =-+βαβα，则βα22sin cos -的值为（） A. 32 B. 31 C. 31- D. -328. 定义在),(+∞-∞上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且)(x f 在[]0,1-上是增函数，下面五个关于)(x f 的命题中：①)(x f 是周期函数；②)(x f 图象关于1=x 对称；③)(x f 在[]1,0上是增函数；④)(x f 在[]2,1上为减函数；⑤)0()2(f f =，正确命题的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题 9. 函数x x x x f +-=)1()(的定义域是。

2012届高三理科数学测试试题及答案

2012届高三理科数学试卷第Ⅰ卷选择题（共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）1、已知集合(){}|lg 1M x y x ==-，{}|21x N x =>，则M N = （） A.∅ B.{}|01x x << C.{}|0x x > D.{}|1x x <2、设数列{}n a 是等差数列，1780,0a a a <⋅<，若数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值，则n 的值为（）A ．4B ．7C ．8D ．153、已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（）A 、0.16B 、0.32C 、0.68D 、0.844、在以下关于向量的命题中，不正确．．．的是（） A ．若向量a =(x ，y )，向量b =(－y ，x ), (x y ≠ 0 )，则a ⊥b B ．满足0))((=-+AD AB AD AB 的平行四边形ABCD 是菱形；C ．满足O A xO B yO C =+的三点A 、B 、C 共线（其中,x y R ∈）；D ．△ABC 中，AB 和CA 的夹角等于180°－A 。

5、关于函数()sin 2+y x ϕ=的表述正确的是（）A. 周期是2π；B. 最小值为2-；C. 当2πϕ=时为偶函数； D. 当3πϕ=时,可以由sin 2y x =的图像向左平移3π个单位得到该函数图像。

6、已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩，则“103a <<” 是“()f x 在(,)-∞+∞上单调递减”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7、运行如右所示的程序框图，输入下列四个函数，则可以输出的函数是（） A ．2()f x x = B ．()cos f x x π=C ．()x f x e =D ．()sin f x x =8、点F 是抛物线24x y =的焦点，过点F 的直线l 交抛物线于点A 、B （A 在y 轴左侧）。

2012年北京市西城区高考数学一模试卷(理科)(附答案解析)

2012年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集U=R，集合A={x|1x≥1}，则∁U A()A.(0, 1)B.(0, 1]C.(−∞, 0]∪(1, +∞)D.(−∞, 0)∪[1, +∞)2. 执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（）A.2B.5C.11D.233. 若实数x，y满足条件{x+y≥0x−y+3≥00≤x≤3，则z=2x−y的最大值为（）A.9B.3C.0D.−34. 已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（）A.4√3cm2B.2√3cm2C.8cm2D.4cm25. 已知函数f(x)＝sin4ωx−cos4ωx的最小正周期是π，那么正数ω＝（）A.2B.1C.12D.146. 若a=log23，b=log32，c=log46，则下列结论正确的是（）A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a 7. 设等比数列{a n}的各项均为正数，公比为q，前n项和为S n．若对∀n∈N∗，有S2n<3S n，则q的取值范围是（）A.(0, 1]B.(0, 2)C.[1, 2)D.(0,√2)8. 已知集合A＝{x|x＝a0+a1×3+a2×32+a3×33}，其中a k∈{0, 1, 2}(k＝0, 1, 2, 3)，且a3≠0．则A中所有元素之和等于（）A.3240B.3120C.2997D.2889二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13, 14),[14, 15),[15, 16),[16, 17),[17, 18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[16, 18]的学生人数是________．(x−2)6的展开式中x3的系数是________．（用数字作答）如图，AC为⊙O的直径，OB⊥AC，弦BN交AC于点M．若OC=√3，OM=1，则MN=________．在极坐标系中，极点到直线l:ρsin(θ+π4)=√2的距离是________．已知函数f(x)={x12,0≤x≤cx2+x,−2≤x<0其中c>0．那么f(x)的零点是________；若f(x)的值域是[−14,2]，则c的取值范围是________．在直角坐标系xOy 中，动点A ，B 分别在射线y =√33x(x ≥0)和y =−√3x(x ≥0)上运动，且△OAB 的面积为1．则点A ，B 的横坐标之积为________；△OAB 周长的最小值是________．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.在△ABC 中，已知sin (A +B)=sin B +sin (A −B)．（1）求角A ；（2）若|BC →|=7，AB →⋅AC →=20，求|AB →+AC →|．乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．（1）求甲以4比1获胜的概率；（2）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；（3）求比赛局数的分布列．如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∠DAB =∠DBF =60∘，且FA =FC ．(1)求证：AC ⊥平面BDEF ；(2)求证：FC // 平面EAD ；(3)求二面角A −FC −B 的余弦值．已知函数f(x)=e ax ⋅(ax +a +1)，其中a ≥−1．(1)当a =1时，求曲线y =f(x)在点(1, f(1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间．已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√53，定点M(2, 0)，椭圆短轴的端点是B 1，B 2，且MB 1⊥MB 2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于A ，B 两点．试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分∠APB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．对于数列A n :a 1，a 2，…，a n (a i ∈N, i =1, 2,…,n)，定义“T 变换”：T 将数列A n 变换成数列B n :b 1，b 2，…，b n ，其中b i =|a i −a i+1|(i =1, 2,…,n −1)，且b n =|a n −a 1|，这种“T 变换”记作B n =T(A n )．继续对数列B n 进行“T 变换”，得到数列C n ，…，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（1）试问A 3:4，2，8和A 4:1，4，2，9经过不断的“T 变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T 变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（2）求A 3:a 1，a 2，a 3经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件；（3）证明：A 4:a 1，a 2，a 3，a 4一定能经过有限次“T 变换”后结束．参考答案与试题解析2012年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】C【考点】补集及其运算【解析】求出集合A的不等式的解集，然后求出集合A在R上的补集即可．【解答】解：∵全集U=R．集合A={x|1x≥1}={x|0<x≤1}，∴∁U A={x|x≤0, 或x>1}．故选C．2.【答案】D【考点】循环结构的应用【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量y的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：x y是否继续循环循环前25是第一圈511是第二圈1123否故输出y的值为23．故选D．3.【答案】A【考点】简单线性规划【解析】画出不等式表示的平面区域，z=2x−y的几何意义是直线y=2x−z的纵截距的相反数，根据图形可得结论．【解答】解：画出不等式表示的平面区域z=2x−y的几何意义是直线y=2x−z的纵截距的相反数，由{x=3x+y=0可得交点坐标为(3, −3)，根据图形可知在点(3, −3)处，z=2x−y取得最大值，最大值为9故选A．4.【答案】A【考点】简单空间图形的三视图【解析】正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm，故左视图是长方形，长为2√3，宽为2，由此能求出左视图的面积．【解答】解：∵正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm，∴左视图是长方形，长为√4+4−2×4×cos120∘=2√3，宽为2，∴左视图的面积是2√3×2=4√3(cm2)，故选A．5.【答案】B【考点】二倍角的三角函数【解析】利用平方差公式化简函数y＝sin4ωx−cos4ωx，再利用二倍角公式化为一个角的一个三角函数的形式，根据周期求出ω．【解答】y＝sin4ωx−cos4ωx＝sin2ωx−cos2ωx＝−cos2ωx因为T＝π，所以ω＝16.【答案】D【考点】不等式比较两数大小【解析】根据a=lg3lg2>1，b=lg2lg3<1，c=lg6lg4=lg3+lg22lg2<lg3+lg32lg2=a，从而得出结论．【解答】解：∵a=log23=lg3lg2>1，b=log32=lg2lg3<1，c=log46=lg6lg4=lg3+lg22lg2<lg3+lg32lg2=lg3lg2，故有b<c<a，故选D．7.【答案】A【考点】数列的求和【解析】当q=1时，S2n<3S n成立容易检验，当q≠1时，由S2n<3S n恒成立可得a1(1−q2n)1−q <3a1(1−q n)1−q，讨论整理可求q的范围．【解答】解：当q=1时，S2n<3S n成立当q≠1时，由S2n<3S n恒成立∴a1(1−q2n)1−q <3a1(1−q n)1−q∵q>1，显然不恒成立，则q2n−3q n+2<0，解得q n<1（q n>2舍去），∵等比数列{a n}的各项均为正数，∴q>0，∴0<q<1综上可得0<q≤1故选A8.【答案】D【考点】集合的确定性、互异性、无序性数列的求和【解析】由题意可知a0，a1，a2各有3种取法（均可取0，1，2），a3有2种取法，利用数列求和即可求得A中所有元素之和．【解答】由题意可知，a0，a1，a2各有3种取法（均可取0，1，2），a3有2种取法，由分步计数原理可得共有3×3×3×2种方法，∴当a0取0，1，2时，a1，a2各有3种取法，a3有2种取法，共有3×3×2＝18种方法，即集合A中含有a0项的所有数的和为(0+1+2)×18；同理可得集合A中含有a1项的所有数的和为(3×0+3×1+3×2)×18；集合A中含有a2项的所有数的和为(32×0+32×1+32×2)×18；集合A中含有a3项的所有数的和为(33×1+33×2)×27；由分类计数原理得集合A中所有元素之和：S＝(0+1+2)×18+(3×0+3×1+3×2)×18+(32×0+32×1+32×2)×18+(33×1+33×2)×27＝18(3+9+27)+81×27＝702+2187＝2889．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.【答案】54【考点】分布和频率分布表频率分布直方图【解析】根据从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3及它们的面积之和为1，做出成绩在[16, 18]的频率，从而得出成绩在[16, 18]的学生人数．【解答】因从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，且它们的面积之和为1，∴最后两个小矩形的面积和为6+320×1=920，即成绩在[16, 18]的频率为920，由频率分布直方图知，成绩在[16, 18]的人数为120×920=54（人）【答案】−160【考点】二项式定理及相关概念【解析】根据题意，由二项式定理可得(x−2)6的展开式的通项，令x的系数为3，可得r＝3，将r＝3代入通项，计算可得T4＝−160x3，即可得答案．【解答】根据题意，(x−2)6的展开式的通项为T r+1＝C6r x6−r(−2)r＝(−1)r⋅2r⋅C6r x6−r，令6−r＝3可得r＝3，此时T4＝(−1)3⋅23⋅C63x3＝−160x3，即x3的系数是−160；【答案】1【考点】与圆有关的比例线段【解析】根据题设条件，先由勾股定理求出BM，再由相交弦定理求MN．【解答】解：∵AC为⊙O的直径，OB⊥AC，弦BN交AC于点M．OC=√3，OM=1，∴OB=√3，BM=√3+1=2，设MN=x，∵CM⋅AM=BM⋅MN，∴(√3+1)(√3−1)=2x，∴x=1，即MN=1．故答案为：1．【答案】√2【考点】圆的极坐标方程【解析】利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，得出直线直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：直线方程ρsin(θ+π4)=√2，即为ρ(√22cosθ+√22sinθ)=√2，化为普通方程为x+y−2=0，极点的直角坐标为(0, 0)，根据点到直线的距离公式求得d=√2=√2故答案为：√2；【答案】−1和0,0<c≤4【考点】函数的值域及其求法函数的零点【解析】分x为正数和负数两种情况讨论，分别解方程即可得到么f(x)的零点．根据二次函数的图象与性质，求出当x∈[−2, 0)时，函数f(x)的值域恰好是[−14,2]，所以当0≤x≤c时，f(x)=x12的最大值不超过2，由此建立不等式，可解出实数c的取值范围．【解答】当x≥0时，令x 12=0，得x＝0；当x<0时，令x2+x＝0，得x＝−1（舍零）∴f(x)的零点是−1和0∵函数y＝x2+x在区间[−2, −12)上是减函数，在区间(−12, 0)上是增函数∴当x∈[−2, 0)时，函数f(x)最小值为f(−12)=−14，最大值是f(−2)＝2∵当0≤x≤c时，f(x)=x12是增函数且值域为[0, √c]∴当f(x)的值域是[−14,2]，√c≤2，即0<c≤4【答案】√32,2(1+√2)【考点】基本不等式在最值问题中的应用直线的点斜式方程【解析】根据题意，OA、OB的斜率之积为−1，得OA⊥OB．设A(x1, √33x1)，B(x2, −√3x2)，算出|OA|=2√33x1，|OB|=2x2，结合三角形面积为1列式，化简即得x1x2=√32．再由基本不等式算出△OAB周长|OA|+|OB|+|AB|≥2+2√2，当且仅当2√33x1=2x2=√2时，△OAB周长取最小值2(1+√2)．【解答】解：∵y =√33x的斜率k1=√33，y=−√3x的斜率k2=−√3∴k1⋅k2=−1，可得OA⊥OB设A(x1, √33x 1)，B(x2, −√3x2)∴|OA|=√x12+13x12=2√33x1，|OB|=√x22+3x22=2x2，可得△OAB的面积为S=12|OA|×|OB|=12×2√33x1×2x2=1解之，得x1x2=√32∵|AB|2=|OA|2+|OB|2=43x12+4x22∴|AB|=√(43x12+4x22)≥×2√33x12=√8√33x12=√8√33×√32=2又∵|OA|+|OB|=2√33x1+2x2≥2√2√33x1×2x2=2√4√33x1x2=2√4√33×√32=2√2∴△OAB周长|OA|+|OB|+|AB|≥2+2√2=2(1+√2)当且仅当2√33x1=2x2=√2，即x1=√62，x2=√22时，△OAB周长取最小值2(1+√2)故答案为：√32，2(1+√2)三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.【答案】解：（1）原式可化为：sin B=sin(A+B)−sin(A−B)=sin A cos B+cos A sin B−sin A cos B+cos A sin B=2cos A sin B，…∵ B ∈(0, π)，∴ sin B >0， ∴ cos A =12，…又A ∈(0, π)，∴ A =π3；…（2）由余弦定理，得|BC →|2=|AB →|2+|AC →|2−2|AB →|⋅|AC →|⋅cos A ，… ∵ |BC →|=7，AB →⋅AC →=|AB →|⋅|AC →|⋅cos A =20， ∴ |AB →|2+|AC →|2=89，…∵ |AB →+AC →|2=|AB →|2+|AC →|2+2AB →⋅AC →=89+40=129，…∴ |AB →+AC →|=√129．… 【考点】求两角和与差的正弦向量的模平面向量数量积的性质及其运算律【解析】（1）将已知等式移项变形并利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后根据sin B 不为0，得出cos A 的值，由A 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式|BC →|2=|AB →|2+|AC →|2−2|AB →|⋅|AC →|⋅cos A ，将已知条件利用平面向量的数量积运算法则化简后代入求出|AB →|2+|AC →|2的值，把所求式子平方并利用完全平方公式展开，将各自的值代入开方即可求出值．【解答】解：（1）原式可化为：sin B =sin (A +B)−sin (A −B)=sin A cos B +cos A sin B −sin A cos B +cos A sin B =2cos A sin B ，… ∵ B ∈(0, π)，∴ sin B >0， ∴ cos A =12，…又A ∈(0, π)，∴ A =π3；…（2）由余弦定理，得|BC →|2=|AB →|2+|AC →|2−2|AB →|⋅|AC →|⋅cos A ，… ∵ |BC →|=7，AB →⋅AC →=|AB →|⋅|AC →|⋅cos A =20， ∴ |AB →|2+|AC →|2=89，…∵ |AB →+AC →|2=|AB →|2+|AC →|2+2AB →⋅AC →=89+40=129，…∴ |AB →+AC →|=√129．… 【答案】解：（1）由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是12． … 记“甲以4比1获胜”为事件A ，则P(A)=C 43(12)3(12)4−312=18． …（2）记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B ．因为，乙以4比2获胜的概率为P 1=C 53(12)3(12)5−312=532，…乙以4比3获胜的概率为P 2=C 63(12)3(12)6−312=532，…所以 P(B)=P 1+P 2=516． …（3）设比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4，5，6，7．P(X =4)=2C 44(12)4=18，… P(X =5)=2C 43(12)3(12)4−312=14，…P(X =6)=2C 53(12)3⋅(12)5−3⋅12=516，…P(X =7)=2C 63(12)3(12)6−3⋅12=516． …比赛局数的分布列为：【考点】离散型随机变量及其分布列互斥事件的概率加法公式相互独立事件的概率乘法公式【解析】（1）先由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率，甲以4比1获胜，根据独立重复试验公式公式，列出算式，得到结果．（2）记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B ．B 包括乙以4:2获胜和乙以4:3获胜，根据独立重复试验公式列出算式，得到结果．（3）比赛结束时比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4，5，6，7，根据独立重复试验公式计算出各自的概率即可得到分布列．【解答】解：（1）由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是12． … 记“甲以4比1获胜”为事件A ，则P(A)=C 43(12)3(12)4−312=18． …（2）记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B ．因为，乙以4比2获胜的概率为P 1=C 53(12)3(12)5−312=532，… 乙以4比3获胜的概率为P 2=C 63(12)3(12)6−312=532，…所以 P(B)=P 1+P 2=516． …（3）设比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4，5，6，7．P(X =4)=2C 44(12)4=18，…P(X =5)=2C 43(12)3(12)4−312=14，…P(X =6)=2C 53(12)3⋅(12)5−3⋅12=516，…P(X =7)=2C 63(12)3(12)6−3⋅12=516． …比赛局数的分布列为：(1)证明：设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ．因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，且O 为AC 中点．又 FA =FC ，所以 AC ⊥FO ．因为 FO ∩BD =O ，BD ⊂平面BDEF ，所以 AC ⊥平面BDEF ．(2)证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，所以AD // BC ，DE // BF ，因为AD ∩DE =D ，BC ∩BF =B , 所以平面FBC // 平面EAD ．又FC ⊂平面FBC ，所以FC // 平面EAD ;(3)解：因为四边形BDEF 为菱形，且∠DBF =60∘，所以△DBF 为等边三角形．因为O 为BD 中点，所以FO ⊥BD ，故FO ⊥平面ABCD ．由OA ，OB ，OF 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ．设AB =2．因为四边形ABCD 为菱形，∠DAB =60∘，则BD =2，所以OB =1，OA =OF =√3．所以 O(0,0,0),A(√3，0，0)，B(0,1,0)，C(−√3,0,0)，F(0,0,√3)．所以 CF →=(√3,0,√3)，CB →=(√3,1,0)．设平面BFC 的法向量为n →=(x, y, z)，则有{√3x +√3z =0√3x +y =0，取x =1，得n →=(1,−√3,−1)．∵ 平面AFC 的法向量为v →=(0, 1, 0)．由二面角A −FC −B 是锐角，得 |cos <n →，v →>|=|n →⋅v→|n →||v →||=√155．所以二面角A −FC −B 的余弦值为√155．【考点】直线与平面垂直的判定直线与平面平行的判定用空间向量求平面间的夹角【解析】（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ．因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，且O 为AC 中点．由FA =FC ，知AC ⊥FO ．由此能够证明AC ⊥平面BDEF ．（2）因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，所以AD // BC ，DE // BF ，平面FBC // 平面EAD ．由此能够证明FC // 平面EAD ．（3）因为四边形BDEF 为菱形，且∠DBF =60∘，所以△DBF 为等边三角形．因为O 为BD 中点，所以FO ⊥BD ，故FO ⊥平面ABCD ．由OA ，OB ，OF 两两垂直，建立空间直角坐标系O −xyz ．设AB =2．因为四边形ABCD 为菱形，∠DAB =60∘，则BD =2，所以 CF →=(√3,0,√3)，CB →=(√3,1,0)．求得平面BFC 的法向量为n →=(1,−√3,−1)，平面AFC 的法向量为v →=(0, 1, 0)．由此能求出二面角A −FC −B 的余弦值．【解答】(1)证明：设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ．因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，且O 为AC 中点．又 FA =FC ，所以 AC ⊥FO ．因为 FO ∩BD =O ，BD ⊂平面BDEF ，所以 AC ⊥平面BDEF ．(2)证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，所以AD // BC ，DE // BF ，因为AD ∩DE =D ，BC ∩BF =B , 所以平面FBC // 平面EAD ．又FC ⊂平面FBC ，所以FC // 平面EAD ;(3)解：因为四边形BDEF 为菱形，且∠DBF =60∘，所以△DBF 为等边三角形．因为O 为BD 中点，所以FO ⊥BD ，故FO ⊥平面ABCD ．由OA ，OB ，OF 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ．设AB =2．因为四边形ABCD 为菱形，∠DAB =60∘，则BD =2，所以OB =1，OA =OF =√3．所以O(0,0,0),A(√3，0，0)，B(0,1,0)，C(−√3,0,0)，F(0,0,√3)．所以 CF →=(√3,0,√3)，CB →=(√3,1,0)．设平面BFC 的法向量为n →=(x, y, z)，则有{√3x +√3z =0√3x +y =0，取x =1，得n →=(1,−√3,−1)．∵ 平面AFC 的法向量为v →=(0, 1, 0)．由二面角A −FC −B 是锐角，得 |cos <n →，v →>|=|n →⋅v→|n →||v →||=√155．所以二面角A −FC −B 的余弦值为√155．【答案】解：(1)当a =1时，f(x)=e x ⋅(1x+2)，f ′(x)=e x ⋅(1x +2−1x 2)．由于f(1)=3e ，f ′(1)=2e ，所以曲线y =f(x)在点(1, f(1))处的切线方程是2ex −y +e =0． (2)f ′(x)=ae ax(x+1)[(a+1)x−1]x 2，x ≠0．①当a =−1时，令f ′(x)=0，解得x =−1，所以f(x)的单调递减区间为(−∞, −1)，单调递增区间为(−1, 0)，(0, +∞)；当a ≠−1时，令f ′(x)=0，解得x =−1或x =1a+1.②当−1<a <0时，f(x)的单调递减区间为(−∞, −1)，(1a+1,+∞)，单调递增区间为(−1, 0)，(0,1a+1)；③当a =0时，f(x)为常值函数，不存在单调区间； ④当a >0时，f(x)的单调递减区间为(−1, 0)，(0,1a+1)，单调递增区间为(−∞, −1)，(1a+1,+∞)．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】（1）先求导数f ′(x)，欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x =0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．（2）对字母a 进行分类讨论，再令f ′(x)大于0，解不等式，可得函数的单调增区间，令导数小于0，可得函数的单调减区间．【解答】解：(1)当a =1时，f(x)=e x ⋅(1x +2)， f ′(x)=e x ⋅(1x +2−1x 2)．由于f(1)=3e ，f ′(1)=2e ，所以曲线y =f(x)在点(1, f(1))处的切线方程是2ex −y +e =0． (2)f ′(x)=ae ax(x+1)[(a+1)x−1]x 2，x ≠0．①当a =−1时，令f ′(x)=0，解得x =−1，所以f(x)的单调递减区间为(−∞, −1)，单调递增区间为(−1, 0)，(0, +∞)；当a ≠−1时，令f ′(x)=0，解得x =−1或x =1a+1.②当−1<a <0时，f(x)的单调递减区间为(−∞, −1)，(1a+1,+∞)，单调递增区间为(−1, 0)，(0,1a+1)；③当a =0时，f(x)为常值函数，不存在单调区间； ④当a >0时，f(x)的单调递减区间为(−1, 0)，(0,1a+1)，单调递增区间为(−∞, −1)，(1a+1,+∞)．【答案】解：（1）由 59=e 2=a 2−b 2a 2=1−b 2a 2，得 ba =23．…依题意△MB 1B 2是等腰直角三角形，从而b =2，故a =3．… 所以椭圆C 的方程是x 29+y 24=1．…（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，直线AB 的方程为x =my +2．将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去x 得 (4m 2+9)y 2+16my −20=0．… 所以 y 1+y 2=−16m 4m +9，y 1y 2=−204m +9．…若PM 平分∠APB ，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，所以k PA +k PB =0．… 设P(a, 0)，则有 y 1x1−a+y 2x 2−a=0．将 x 1=my 1+2，x 2=my 2+2代入上式，整理得 2my 1y 2+(2−a)(y 1+y 2)(my 1+2−a)(my2+2−a)=0，所以 2my 1y 2+(2−a)(y 1+y 2)=0．…将 y 1+y 2=−16m4m 2+9，y 1y 2=−204m 2+9代入上式，整理得 (−2a +9)⋅m =0．… 由于上式对任意实数m 都成立，所以 a =92．综上，存在定点P(92，0)，使PM 平分∠APB ．…【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程【解析】（1）利用离心率为√53，可得b a=23，由椭圆短轴的端点是B 1，B 2，且MB 1⊥MB 2，可得△MB 1B 2是等腰直角三角形，由此可求椭圆C 的方程；（2）设线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，利用韦达定理，结合PM 平分∠APB ，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，建立方程，即可求得结论．【解答】解：（1）由 59=e 2=a 2−b 2a 2=1−b 2a 2，得b a =23．…依题意△MB 1B 2是等腰直角三角形，从而b =2，故a =3．… 所以椭圆C 的方程是x 29+y 24=1．…（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，直线AB 的方程为x =my +2．将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去x 得 (4m 2+9)y 2+16my −20=0．…所以 y 1+y 2=−16m 4m 2+9，y 1y 2=−204m 2+9．…若PM 平分∠APB ，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，所以k PA +k PB =0．… 设P(a, 0)，则有 y 1x1−a+y 2x2−a=0．将 x 1=my 1+2，x 2=my 2+2代入上式，整理得2my 1y 2+(2−a)(y 1+y 2)(my 1+2−a)(my 2+2−a)=0，所以 2my 1y 2+(2−a)(y 1+y 2)=0．…将 y 1+y 2=−16m4m +9，y 1y 2=−204m +9代入上式，整理得 (−2a +9)⋅m =0．… 由于上式对任意实数m 都成立，所以 a =92．综上，存在定点P(92，0)，使PM 平分∠APB ．…【答案】（1）解：数列A 3:4，2，8不能结束，各数列依次为2，6，4；4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；…．从而以下重复出现，不会出现所有项均为0的情形． …数列A 4:1，4，2，9能结束，各数列依次为3，2，7，8；1，5，1，5；4，4，4，4；0，0，0，0．… （2）解：A 3经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件是a 1=a 2=a 3．… 若a 1=a 2=a 3，则经过一次“T 变换”就得到数列0，0，0，从而结束． …当数列A 3经过有限次“T 变换”后能够结束时，先证命题“若数列T(A 3)为常数列，则A 3为常数列”．当a 1≥a 2≥a 3时，数列T(A 3)：a 1−a 2，a 2−a 3，a 1−a 3．由数列T(A 3)为常数列得a 1−a 2=a 2−a 3=a 1−a 3，解得a 1=a 2=a 3，从而数列A 3也为常数列．其它情形同理，得证．在数列A 3经过有限次“T 变换”后结束时，得到数列0，0，0（常数列），由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列A 3也为常数列． …所以，数列A 3经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件是a 1=a 2=a 3．（3）证明：先证明引理：“数列T(A n )的最大项一定不大于数列A n 的最大项，其中n ≥3”．证明：记数列A n 中最大项为max (A n )，则0≤a i ≤max (A n )．令B n =T(A n )，b i =a p −a q ，其中a p ≥a q ．因为a q ≥0，所以b i ≤a p ≤max (A n )，故max (B n )≤max (A n )，证毕． … 现将数列A 4分为两类．第一类是没有为0的项，或者为0的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，max (B 4)≤max (A 4)−1．第二类是含有为0的项，且与最大项相邻，此时max (B 4)=max (A 4)．下面证明第二类数列A 4经过有限次“T 变换”，一定可以得到第一类数列．不妨令数列A4的第一项为0，第二项a最大(a>0)．（其它情形同理）①当数列A4中只有一项为0时，若A4:0，a，b，c(a>b, a>c, bc≠0)，则T(A4)：a，a−b，|b−c|，c，此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若A4:0，a，a，b(a>b, b≠0)，则T(A4)：a，0，a−b，b；T（T(A4)）：a，a−b，|a−2b|，a−b此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若A4:0，a，b，a(a>b, b≠0)，则T(A4)：a，a−b，a−b，b，此数列各项均不为0，为第一类数列；若A4:0，a，a，a，则T(A4)：a，0，0，a；T（T(A4)）：a，0，a，0；T（T（T(A4)））：a，a，a，a，此数列各项均不为0，为第一类数列．②当数列A4中有两项为0时，若A4:0，a，0，b(a≥b>0)，则T(A4)：a，a，b，b，此数列各项均不为0，为第一类数列；若A4:0，a，b，0(a≥b>0)，则T(A)：a，a−b，b，0，T（T(A)）：b，|a−2b|，b，a，此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列．③当数列A4中有三项为0时，只能是A4:0，a，0，0，则T(A)：a，a，0，0，T（T(A)）：0，a，0，a，T（T（T(A)））：a，a，a，a，此数列各项均不为0，为第一类数列．总之，第二类数列A4至多经过3次“T变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历3次“T变换”，数列的最大项又开始减少．又因为各数列的最大项是非负整数，故经过有限次“T变换”后，数列的最大项一定会为0，此时数列的各项均为0，从而结束．…【考点】数列的应用【解析】（1）根据新定义，可得数列A3:4，2，8不能结束，数列A4:1，4，2，9能结束，并可写出各数列；（2）A3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是a1=a2=a3，先证明a1=a2=a3，则经过一次“T变换”就得到数列0，0，0，从而结束，再证明命题“若数列T(A3)为常数列，则A3为常数列”，即可得解；（3）先证明引理：“数列T(A n)的最大项一定不大于数列A n的最大项，其中n≥3”，再分类讨论：第一类是没有为0的项，或者为0的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，max(B4)≤max(A4)−1．第二类是含有为0的项，且与最大项相邻，此时max(B4)=max(A4)．证明第二类数列A4经过有限次“T变换”，一定可以得到第一类数列．【解答】（1）解：数列A3:4，2，8不能结束，各数列依次为2，6，4；4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；…．从而以下重复出现，不会出现所有项均为0的情形．…数列A4:1，4，2，9能结束，各数列依次为3，2，7，8；1，5，1，5；4，4，4，4；0，0，0，0．…（2）解：A3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是a1=a2=a3．…若a1=a2=a3，则经过一次“T变换”就得到数列0，0，0，从而结束．…当数列A3经过有限次“T变换”后能够结束时，先证命题“若数列T(A3)为常数列，则A3为常数列”．当a1≥a2≥a3时，数列T(A3)：a1−a2，a2−a3，a1−a3．由数列T(A3)为常数列得a1−a2=a2−a3=a1−a3，解得a1=a2=a3，从而数列A3也为常数列．其它情形同理，得证．在数列A3经过有限次“T变换”后结束时，得到数列0，0，0（常数列），由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列A3也为常数列．…所以，数列A3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是a1=a2=a3．（3）证明：先证明引理：“数列T(A n)的最大项一定不大于数列A n的最大项，其中n≥3”．证明：记数列A n中最大项为max(A n)，则0≤a i≤max(A n)．令B n=T(A n)，b i=a p−a q，其中a p≥a q．因为a q≥0，所以b i≤a p≤max(A n)，故max(B n)≤max(A n)，证毕．…现将数列A4分为两类．第一类是没有为0的项，或者为0的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，max(B4)≤max(A4)−1．第二类是含有为0的项，且与最大项相邻，此时max(B4)=max(A4)．下面证明第二类数列A4经过有限次“T变换”，一定可以得到第一类数列．不妨令数列A4的第一项为0，第二项a最大(a>0)．（其它情形同理）①当数列A4中只有一项为0时，若A4:0，a，b，c(a>b, a>c, bc≠0)，则T(A4)：a，a−b，|b−c|，c，此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若A4:0，a，a，b(a>b, b≠0)，则T(A4)：a，0，a−b，b；T（T(A4)）：a，a−b，|a−2b|，a−b此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若A4:0，a，b，a(a>b, b≠0)，则T(A4)：a，a−b，a−b，b，此数列各项均不为0，为第一类数列；若A4:0，a，a，a，则T(A4)：a，0，0，a；T（T(A4)）：a，0，a，0；T（T（T(A4)））：a，a，a，a，此数列各项均不为0，为第一类数列．②当数列A4中有两项为0时，若A4:0，a，0，b(a≥b>0)，则T(A4)：a，a，b，b，此数列各项均不为0，为第一类数列；若A4:0，a，b，0(a≥b>0)，则T(A)：a，a−b，b，0，T（T(A)）：b，|a−2b|，b，a，此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列．③当数列A4中有三项为0时，只能是A4:0，a，0，0，则T(A)：a，a，0，0，T（T(A)）：0，a，0，a，T （T（T(A)））：a，a，a，a，此数列各项均不为0，为第一类数列．总之，第二类数列A4至多经过3次“T变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历3次“T变换”，数列的最大项又开始减少．又因为各数列的最大项是非负整数，故经过有限次“T变换”后，数列的最大项一定会为0，此时数列的各项均为0，从而结束．…。

杭高2012届高三第一次月考数学试卷(理科)

杭高2012届高三第一次月考数学试卷（理科）注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，满分为150分，不得使用计算器；2．答案一律做在答卷页上.第I 卷 (选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合 A=}4|{2>x x ，B={1log |3<x x }，则A ⋂B= ( )A ．{2|-<x x }B ．{|23x x <<}C ．{|3x x >}D ．{2|-<x x 或23x <<}2. 下列函数中，既是偶函数又在()+∞,0单调递增的函数是（）A.3x y =B.1+=x yC.13+-=x yD.x y -=23. 设函数⎩⎨⎧>≤-=00)(2x xx x x f ，若,4)(=a f 则实数a =（） A.2-4或- B.24或- C.42或- D.22或-4. 已知4.3log 25=a ，6.3log 45=b ，3.0log 351⎪⎭⎫ ⎝⎛=c ，则（） A.c b a >> B.c a b >> C.b c a >> D.b a c >>5. 设)(x f 是周期为2的奇函数，当10≤≤x 时，)1(2)(x x x f -=，则=-)25(f （） A.21- B.41- C.41 D.216.右图是函数32()f x x bx cx d =+++图象，则函数 2233c y x bx =++的单调递增区间为（）A.]2,(--∞B.),3[+∞C.]3,2[-D.),2[+∞ 7.已知q p a x q x p ⌝⌝>>+是且,:,2|1:|的充分不必要条件，则实数a 的取值范围可以是（）A ．1≥aB ．1≤aC ．1-≥aD ．3-≤a8.函数()sin ,[,],22f x x x x ππ=∈-12()()f x f x >若,则下列不等式一定成立的是( ) A.021>+x x B.2221x x > C.21x x > D.2221x x <9．函数)(x f 的定义域为R ,2)1(=-f ,对任意2)(,'>∈x f R x ,则42)(+>x x f 的解集为（）A.)1,1(-B.),1(+∞-C.)1,(--∞D.R 10.设集合{}x x f x M ==)(，集合{}x x f f x =))((，若已知函数)(x f y =是R 上的增函数，记N M ,是N M ,中元素的个数，则下列判断一定正确的是（） A.N M = B.N M > C.N M < D.1=-N M第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填写在答题卡相应位置。

2012年哈尔滨市高考复习质量检测答案(理科数学)

理科答案一、选择题DACCB DDBCA AA 二、填空题13. ),1(+∞ 14. 9315.95 16.π2317.解（1）在ABC ∆中，αβ-=∠ACB ------------------------------1分根据正弦定理：ACBAB BACBC ∠=∠sin sin ，-------------------------3分所以)sin(sin αβα-=l BC -------------------------5分（2）由（1）)26(1230sin 15sin 24)sin(sin 0-=⨯=-=αβαl BC ----------7分在BCD ∆中，πππ3262=+=∠BDC ,23sin =∠BDC根据正弦定理：CBDCD BDCBC ∠=∠sin sin ，------------------9分所以3824-=CD （米）-------------------------10分18. 当1=n 时，11=a —————————————1分当2≥n 时，)1(2211--=-=--n a S n a S n n n n ，————————————2分有121+=-n n a a2111=++-n n a a ，所以}1{+n a 是以2为公比的等比数列————————————5分12-=nn a ————————————————6分（2）易知n b n =，————————————————8分112312+=⋅⋅⋅+n b b b b b b nn ————————————10分nn nn k 11+=+≤恒成立，又21≥+nn ，当且仅当1=n 时取得最小值为2，所以k 的最大值为2—————12分19. 解(1) 由表知成绩优秀的学生共有3人X 取值为0,1,2-----------------------------------2分101)0(2522===C C X P ，106)1(251312===C C C X P ，103)2(2523===C C X P ————————5分X 的分布列为————————————————————————————6分56=EX ————————————————————————————————————8分(2) 66,70==y x ，——————————9分36.01221=--=∑∑==n i ini i ixn xyx n y xb ，8.40=a ，—————————11分回归直线方程为8.4036.0+=x y —————12分20.解（1）菱形ABCD BD AC ⊥⇒ ⊥PA 面ABCD BD PA ⊥⇒又A AC PA = ,所以⊥BD 面PAC ，又⊂AE 面PAC ，所以AE BD ⊥————————4分（2）连接AC 交BD 于点O ，以O 为原点，OC OB ,分别为y x ,轴，OC OB ,建立如图所示空间坐标系设2=AB ，则)0,3,0(),0,3,0(C A -，)0,0,1(B ，)0,0,1(-D ，)32,3,0(-P ，设0>=λCEPE)132,1)1(3,0(λλλ++-E ，⊥AE 平面PBD ，0=⋅PD AE ，则2=λ，2=CE PE ———8分（3）因为⊥AE 平面PBD ，所以AE 是平面PBD 的一个法向量，)332,33,0(E 设AD 与平面PBD 所成角为θ，则515sin ==θ——————————12分21.（1）22==ac e -----------------------1分设P ),(00y x ，21F PF ∆的面积c y S ||0=，又b y ≤||0 所以最大面积1=bc ，-------------------------------3分 2,1===a c b ,1222=+yx-----5分（2）设直线l 的方程为)0(≠+=k m kx y ，),(),,(2211y x B y x A⎩⎨⎧=++=2222y x m kx y ，消去y 得，0224)21(222=-+++m mkx x k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+-=+22212212122214k m x x k mk x x ，-----------------------------6分 02121=+=⋅y y x x OB OA 即021223222=+--kkm ， )1(2322k m+=----------------8分2222221221221)21()21(821]4)[(21||||21k m km x x x x m x x m S AOB +-+=-+=-=∆2222)21()41)(1(32k k k +++=，设1122≥+=k t —————————————————10分2249)211(321232222≤+--=-+=∆t tt t S AOB当,2122=+=kt 即22±=k 时，面积的最大值为22 ————————————12分22. （1）12)1()('-++=ax e x x f x当21-=a 时，)1)(1()1()1()('-+=+-+=xx e x x e x x f ——————————2分当0>x 或1-<x 时，0)('>x f 当01<<-x 时，0)('<x f单调增区间为),0(),1,(+∞--∞，单调减区间为)0,1(-————————————————5分（2）设12)14()()()(2'---=+--=ax axe x a xf x f xg x)(22)('x u a ax e x g x=--=a e x u x2)('-=————————————————————————-6分 0≥x 时, 1≥x e , (1)当12≤a ，即21≤a 时，0)('≥x u ，a ax e x g x22)('--=在),0[+∞上是单调递增的，021)('≥-≥a x g ，)(x g 在),0[+∞上是单调递增，所以0)0()(=≥g x g 恒成立。

2012年高考理科数学全国卷1-答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）理科数学答案解析【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：求出12n a a a ，，，中最大的数和最小的数其中A 为12n a a a ，，，中最大的数，B 为12n a a a ，，，中最小的数【提示】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出12n a a a ，，中最大的数和最小的数．【考点】循环结构．7.【答案】B【解析】该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，，12ω>∴，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．的范围即可．【解析】由已知得22222(2)44|a b|a b a a b b -=-=-+224||4||||cos45||a a b b =-︒+24|||10b b =-+=，解得||32b =【提示】由已知可得，2||||cos45||2b a a b b =︒=，代入 2222(2)44a b|a b a a b b -=-=-+242||||10b b =-+=可求14.【答案】[]3,3-60(a ++-117++=59(a +++，sin 0C >，0πA <<π5π66A -<法二：由正弦定理可得sin a 222a b c a ab+-，0πA <<）ABC S =△，2a A =，，直又1DC BD ⊥1DC D =2AB a =，1DC ∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12DC a =90AB ∴30． 30．x 轴，(,DB a =-，1(,0,DC a =-的法向量为11(,n x y =111n DB ax n DC ax ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，故可取1(1,2,1)n =的一个法向量2(1,1,0)n =设1n 与2n 的夹角为1212||||6n n n n =⨯30．由图可知，二面角的大小为锐角，故二面角1A -'=h x()eh x→-∞()（2）当aa+>，10，所以当x ∥CF AB∥CF AB（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴△∽△BCD。

郑州市2012年高中毕业年级第一次质量预测数学(理科)试题(含答案)(word典藏版)

正视图侧视图2俯视图郑州市2012年高中毕业年级第一次质量预测数学试题（理科）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个正确答案． 1．如果复数ibi212+-（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b 等于A ．32-B ．32C ．2D ．22．函数xx x f 2log 12)(-=的定义域为A ．),0(∞+B ．),1(∞+C ．)1,0(D ．),1()1,0(∞+3．在二项式nxx )1(2-的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为A ．32B ．32-C ．0D ．14．已知点F 、A 分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点、右顶点，点),0(b B 满足0=⋅，则双曲线的离心率为A ．2B ．3C ．231+ D ．251+ 5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为A ．56+B ．526+C ．58+D ．528+6．若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-0001x y x y x ，则yx z 23+=的最小值是A ．0B ．1C ．3D ．97．给出30个数：1，2，4，7，11，…，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序A ．?30≤i 和1-+=i p pB ．?31≤i 和1++=i p pC ．?31≤i 和i p p +=D ．?30≤i 和i p p +=8．已知曲线)4cos()4sin(2x x y -+=ππ与直线21=y 相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为 ,,,321P P P ，则||51P P 等于A ．πB ．π2C ．π3D ．π149．如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线2x y = 和曲线x y =围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是A ．21B ．61 C ．41 D ．31 10．若0>>b a ，则代数式)(12b a b a -+的最小值为A ．2B ．3C ．4D ．511．如图，过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若||2||BF BC =，且3||=AF ，则此抛物线的方程为A ．x y 92=B ．x y 62=C ．x y 32=D ．x y 32=12．定义在)1,1(-上的函数)(x f 满足：)1()()(xyyx f y f x f --=-；当)0,1(-∈x 时，有0)(>x f ．若111()51(f f P +=，)21(f Q =，)0(f R =；则P 、Q 、R 的大小关系为A ．P Q R >>B ．Q P R >>C ．Q R P >>D ．R P Q >>。

2012年深圳市高三第一次调研数学(理科)数学客观训练40题及答案

2012年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）高考数学客观训练40题时限：40分钟每题10分共150分班级学号姓名评价一、选择题：1．若(1i)i z =+（i 为虚数单位），则z 的虚部是 A ．1B ．1-C ．iD ．i -2．已知b ，c 是平面α内的两条直线，则“直线a α⊥”是“直线a b ⊥，直线a c ⊥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知直线:tan 3tan 0l x y αβ--=的斜率为2，在y 轴上的截距为1，则tan()αβ+=A ．73- B ．73 C ．57 D ．1 4．执行图1的程序框图，如果依次输入函数：xx f 3)(=、x x f sin )(=、3)(x x f =、xx x f 1)(+=，那么输出的函数()f x 为A ．3xB ．sin xC ．3x D ．1x x+5．已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数()sgn(ln )ln f x x =-的零点个数为A ．4B ．3C ．2D ．16．已知变量 x y ,满足约束条件23033010x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪-≤⎩，若目标函数z y ax =-仅．在点(3,0)-处取到最大值，则实数a 的取值范围为 A ．(3,5)B ．1(,)2+∞C ．(1,2) -D ．1(,1)37．“2012”含有数字0, 1, 2，且有两个数字2．则含有数字0, 1, 2，且有两个相同数字的四位数的个数为 A ．18B ．24C ．27D ．368．设S 是实数集R 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有,a b S a b S +∈-∈，则称S 是一个“和谐集”．下面命题为假命题．．．的是 A ．存在有限集S ，S 是一个“和谐集”B ．对任意无理数a ，集合{},x x ka k =∈Z 都是“和谐集” C ．若21S S ≠，且12,S S 均是“和谐集”，则12S S ≠∅D ．对任意两个“和谐集”12,S S ，若12,S S ≠≠R R ，则12S S =R二、填空题：(14、15题二选一)图1图3NA BCDEM9．π40cos xdx =⎰．10．某中学组织了“迎新杯”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出若干名学生，并将其成绩绘制成频率分布直方图（如图2），其中成绩的范围是[50，100]，样本数据分组为[50，60）， [60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，已知样本中成绩小于70分的个数是36，则样本中成绩在)90,60[内的学生人数为．11．已知抛物线28y x =的准线l 与双曲线222:1x C y a-=相切，则双曲线C 的离心率e = ．12．已知等比数列{}n a 的第5项是二项式613x ⎫⎪⎭展开式的常数项，则37a a = ． 13．如图3所示的几何体中，四边形ABCD 是矩形，平面⊥ABCD 平面ABE ，已知2=AB ，3==BE AE ，且当规定主（正）视方向垂直平面ABCD 时，该几何体的左（侧）视图的面积为22．若M 、N 分别是线段DE 、CE 上的动点，则NB MN AM ++的最小值为．14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，点π(1,2P到曲线π:cos(4l ρθ+=上的点的最短距离为．15．（几何证明选讲）如图4，,A B 是圆O 上的两点，且OA OB ⊥，2OA =，C 为OA 的中点，连接BC 并延长交圆O 于点D ，则CD = ．三、解答题： 16．（12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，x ∈R（其中ππ0,0,22A ωϕ>>-<<），其部分图像如图5所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）已知横坐标分别为1-、1、5的三点M 、N 、P 都在函数()f x 的图像上，求sin MNP ∠的值．图2图4DC OA B图52012年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）高考数学客观训练题40（解答）一、选择题：三、解答题16．（12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，x ∈R （其中ππ0,0,22A ωϕ>>-<<），其部分图像如图所示． (1) 求函数()f x 的解析式；(2) 已知横坐标分别为1-、1、5的三点M 、N 、P 都在函数()f x 的图像上，求sin MNP ∠的值．解：（1）由图可知，1A = ，……1分最小正周期428,T =⨯=所以2ππ8,.4T ωω===…3分又π(1)sin()14f ϕ=+= ，且ππ22ϕ-<<，所以ππ3π444ϕ-<+<，πππ,.424ϕϕ+== …5分所以π()sin (1)4f xx =+．……6分(2) 解法一: 因为ππ(1)sin (11)0,(1)sin (11)1,44f f -=-+==+=π(5)sin (51)14f =+=-，所以(1,0),(1,1),(5,1)M N P --，……8分MN MP PN =从而3cos5MNP ∠==-…10分由[]0,πMNP ∠∈，得4sin 5MNP ∠.12分解法二: 因为ππ(1)sin (11)0,(1)sin (11)1,44f f -=-+==+=π(5)sin(51)14f =+=-，所以(1,0),(1,1),(5,1)M N P --，……8分(2,1),(4,2)NM NP =--=-,6NM NP ⋅=-,5,20NM NP ===则3cos 55NM NP MNP NM NP ⋅∠==-⋅. …10分由[]0,πMNP ∠∈，得4sin 5MNP ∠.……12分。

2012年高考理科数学全国卷1试卷及答案

绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）数学（理科）适用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、山西、河南、新疆、云南、河北、内蒙古注息事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,)|,,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为（）A . 3B . 6C . 8D . 102. 将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有（）A . 12种B . 10种C . 9种D . 8种3. 下面是关于复数21iz =-+的四个命题：1:||2p z =；22:2i p z =； 3:p z 的共轭复数为1i +；4:p z 的虚部为1-.其中的真命题为（）A . 23,p pB . 12,p pC . 24,p pD . 34,p p4. 设1F ,2F 是椭圆E ：22221(0)x ya b a b +=>>的左、右焦点,P 为直线32a x =上一点,21F PF △是底角为30的等腰三角形,则E 的离心率为（）A . 12B . 23C . 34D . 455. 已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（） A . 7 B . 5 C . 5-D . 7-6. 如果执行右边的程序框图,输入正整数(2)N N ≥和实数1a ,2a ,,N a ,输出A ,B ,则（）A . AB +为1a ,2a ,,N a 的和B .2A B+为1a ,2a ,,N a 的算术平均数C . A 和B 分别是1a ,2a ,,N a 中最大的数和最小的数D . A 和B 分别是1a ,2a ,,N a 中最小的数和最大的数7. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为（）A . 6B . 9C . 12D . 188. 等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线216y x =的准线交于A ,B 两点,||AB =则C 的实轴长为（）A .B .C . 4D . 89. 已知0ω>,函数π()sin()4f x x ω=+在π(,π)2上单调递减,则ω的取值范围是（）A . 15[,]24B . 13[,]24C . 1(0,]2D . (0,2] 10. 已知函数1()ln(1)f x x x=+-,则()y f x =的图象大致为（）ABCD11. 已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上,ABC △是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =,则此棱锥的体积为（）A .B .C . 3D . 212. 设点P 在曲线1e 2x y =上,点Q 在曲线ln(2)y x =上,则||PQ 的最小值为（）A . 1ln2-B . ln 2)- C . 1ln2+D .ln 2)+第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 已知向量a ,b 夹角为45,且||1=a ,2|-=|a b ,则|=|b _________.14. 设x ,y 满足约束条件1300x y x y x y --⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≥，≤，≥，≥，则2z x y =-的取值范围为_________.15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布2(1 000,50)N ,且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------小时的概率为_________.16. 数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-,则{}n a 的前60项和为_________.三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知a ,b ,c 分别为ABC △三个内角A ,B ,C 的对边,cos sin 0a C C b c +--=. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若2a =,ABC △求b ,c .18.（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理.（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝,n ∈N ）的函数解析式；以100天记录的各需求量的频率作为各需求量的概率.（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花,X 表示当天的利润（单位：元）,求X 的分布列、数学期望及方差；（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.19.（本小题满分12分）如图,直三棱柱111ABC A B C -中,112AC BC AA ==,D 是棱1AA 的中点,1DC BD ⊥. （Ⅰ）证明：1DC BC ⊥；（Ⅱ）求二面角11A BD C --的大小.20.（本小题满分12分）设抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ,准线为l ,A 为C 上一点,已知以F 为圆心,FA 为半径的圆F 交l 于B ,D 两点.（Ⅰ）若90BFD ∠=,ABD △的面积为求p 的值及圆F 的方程；（Ⅱ）若A ,B ,F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C 只有一个公共点,求坐标原点到m ,n 距离的比值.21.（本小题满分12分）设函数121()(1)e (0)2x f x f f x x -'=-+. （Ⅰ）求()f x 的解析式及单调区间；（Ⅱ）若21()2f x x ax b ++≥,求(1)a b +的最大值.请考生在第22～24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图,D ,E 分别为ABC △边AB ,AC 的中点,直线DE 交ABC △的外接圆于F ,G 两点.若CF AB ∥,证明：（Ⅰ）CD BC =；（Ⅱ）BCD GBD △∽△.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos ,3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程是2ρ=,正方形ABCD 的顶点都在2C 上,且A ,B ,C ,D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为π(2,)3. （Ⅰ）求点A ,B ,C ,D 的直角坐标；（Ⅱ）设P 为1C 上任意一点,求2222||||||||PA PBPC PD +++的取值范围.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|||2|f x x a x =++-.（Ⅰ）当3a =-时,求不等式()3f x ≥的解集；（Ⅱ）若()4|f x x -≤|的解集包含[1,2],求a 的取值范围.G2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）理科数学答案解析可知：该程序的作用是：求出12n a a a ，，，中最大的数和最小的数其中A 为12n a a a ，，，中最大的数，B 为12n a a a ，，，中最小的数【提示】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出12n a a a ，，中最大的数和最小的数．【考点】循环结构．7.【答案】B【解析】该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；，102ω>∴，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结22222(2)44|a b|a b a a b b-=-=-+224||4||||cos45||a ab b=-︒+24|||10b b=-+=，解得||32b=【提示】由已知可得，2||||cos45||2ba ab b=︒=，代入2222(2)44a b|ab a a b b-=-=-+2422||||10b b=-+=可求【考点】平面向量数量积的运算，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．[]3,3-60(a++-117++=3159((a a a a=++++奇1770230+⨯=sin0C>，0πA<<222a b caab+-，22a b+-0πA<<（2）ABCS=△，2a A=，22b c=+-．解得b c=，直三棱柱，又1DC BD ⊥1DC D =，2AB a =，1DC ∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12DC a =90AB ∴30． 30．轴，CB 为1(,0,2,0)(,0,A a a D a ，(,DB a =-(,0,DC a =-(,n x y =11n D B a n D Ca ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，故可取(1,2,1)n =同理，可求得平面的一个法向量2(1,1,0)n =设n 与n 的夹角为1223||||6n n n n =30．由图可知，二面角的大小为锐角，故二面角1A -()e h x '=x →-∞时，（2）当a 10a +>(1)a b ∴+()2u x x '=∥=CF AD，∴=CD AFCF AB∥（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BCD∴△∽△。

2012年深圳市高三年级第一次调研考试理科数学 (含答案)

绝密★启用前试卷类型：A2012年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科） 2012.2本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效． 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．参考公式：如果事件A B 、互斥，那么P A B P A P B +=+()()()；如果事件A B 、相互独立，那么P AB P A P B =()()()；若锥体的底面积为S ，高为h ，则锥体的体积为13V Sh =．一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．若(1i)i z =+（i 为虚数单位），则z 的虚部是A ．1B ．1-C ．iD ．i -2．已知b ，c 是平面α内的两条直线，则“直线a α⊥”是“直线a b ⊥，直线a c ⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知直线:tan 3tan 0l x y αβ--=的斜率为2，在y 轴上的截距为1，则ta n ()αβ+=A ．73- B ．73C ．57D ．14．执行图1的程序框图，如果依次输入函数：x f )(=x x f sin )(=、3)(x x f =、xx x f 1)(+=的函数()f x 为 A ．3xB ．sin xC ．3xD ．1x x+5．已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数2()sgn(ln )ln f x x x =-的零点个数为A ．4B ．3C ．2D ．16．已知变数 x y ,满足约束条件23033010x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪-≤⎩，若目标函数z y ax =-仅．在点(3,0)-处取到最大值，则实数a 的取值范围为 A ．(3,5)B ．1(,)2 +∞C ．(1,2) -D ．1(,1)37．“2012”含有数字0, 1, 2，且有两个数字2．则含有数字0, 1, 2，且有两个相同数字的四位数的个数为 A ．18B ．24C ．27D ．368．设S 是实数集R 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有,a b S a b S +∈-∈，则称S 是一个“和谐集”．下面命题为假命题．．．的是 A ．存在有限集S ，S 是一个“和谐集”B ．对任意无理数a ，集合{},x x ka k =∈Z 都是“和谐集”C ．若21S S ≠，且12,S S 均是“和谐集”，则12S S ≠∅D ．对任意两个“和谐集”12,S S ，若12,S S ≠≠R R ，则12S S =R图1图3NABCDEM二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．π40cos xdx =⎰ ．10．某中学组织了“迎新杯”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出若干名学生，并将其成绩绘制成频率分布直方图（如图2），其中成绩的范围是[50，100]，样本数据分组为[50，60），[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，已知样本中成绩小于70分的个数是36，则样本中成绩在)90,60[内的学生人数为．11．已知抛物线28y x =的准线l 与双曲线222:1x C y a-=相切，则双曲线C 的离心率e = ．12．已知等比数列{}n a 的第5项是二项式613x ⎛⎫⎪⎝⎭展开式的常数项，则37a a = ．13．如图3所示的几何体中，四边形ABCD 是矩形，平面⊥ABCD 平面ABE ，已知2=AB ，3==BE AE ，且当规定主（正）视方向垂直平面ABCD 时，该几何体的左（侧）视图的面积为22．若M 、N 分别是线段DE 、CE 上的动点，则NB MN AM ++的最小值为．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点π(1,2P 到曲线π:cos()4l ρθ+=上的点的最短距离为．15．（几何证明选讲选做题）如图4，,A B 是圆O 上的两点，且O A O B ⊥，2O A =，C为O A 的中点，连接B C 并延长交圆O 于点D ，则C D = ．图2三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，x ∈R（其中ππ0,0,22A ωϕ>>-<<），其部分图像如图5所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）已知横坐标分别为1-、1、5的三点M 、N 、P 都在函数()f x 的图像上，求sin M N P ∠的值．17．（本小题满分13分）随机调查某小区80个人，以研究这一小区居民在00:2200:20-时间段的休闲方式与性别的关系，得到下面的数据表：（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该小区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望；（2）根据以上资料，能否有99%的把握认为“在00:2200:20-时间段的休闲方式与性别有关系”？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：18．（本小题满分13分）图4DC OA B如图6，平行四边形A B C D 中，AB BD ⊥，2A B =，BD =B D 将B C D∆折起，使二面角A B D C --是大小为锐角α的二面角，设C 在平面ABD 上的射影为O ．（1）当α为何值时，三棱锥OAD C -的体积最大？最大值为多少？（2）当A D B C ⊥时，求α的大小．19．（本小题满分14分）如图7，已知椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>的离心率为2，以椭圆C 的左顶点T为圆心作圆T ：222(2)(0)x y r r ++=>，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）求TM TN ⋅（3）设点P 是椭圆C 上异于M N ，R S ，，O 为坐标原点，求证：OR OS ⋅20．（本小题满分14分）已知函数d cx bx x x f +++=2331)(，设曲线)(x f y =在与x 轴交点处的切线为124-=x y ，()f x '为()f x 的导函数，满足)()2(x f x f '=-'．（1）求()f x ；（2）设()g x =0m >，求函数()g x 在[0,]m 上的最大值；（3）设()l n ()h x f x '=，若对一切[0,1]x ∈，不等式(1)(22)h x t h x +-<+恒成立，求实数t 的取值范围．ABDCOBCD图621．（本小题满分14分）已知数列}{n a 满足：211=a ，*1,e en n nn a a n a +=∈+N （其中e 为自然对数的底数）．（1）求数列}{n a 的通项n a ；（2）设n n a a a S +++= 21，n n a a a a T ⋅⋅⋅⋅= 321，求证：1+≤n n S n ，2enn T ->．2012年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题每小题5分，满分40分．9．2； 10． 90；112；12．259；13．3； 14． 15．三、解答题 16．（本小题满分12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，x ∈R （其中ππ0,0,22A ωϕ>>-<<），其部分图像如图所示．(1) 求函数()f x 的解析式；(2) 已知横坐标分别为1-、1、5的三点M 、 N 、P 都在函数()f x 的图像上，求 sin M N P ∠的值．解：（1）由图可知，1A = ， ……………………………………………………1分最小正周期428,T =⨯= 所以2ππ8,.4T ωω===………………………………3分又π(1)sin()14f ϕ=+= ，且ππ22ϕ-<<所以ππ3π444ϕ-<+<，πππ,.424ϕϕ+==………………5分所以π()sin (1)4f x x =+． …………………6分 (2) 解法一: 因为ππ(1)sin(11)0,(1)sin(11)1,44f f-=-+==+=π(5)sin(51)14f =+=-，所以(1,0),(1,1),(5,1)M NP --， ……………………………………………8分 MN MP PN ===，从而3cos 5M N P ∠==-， ……………………………………………10分由[]0,πM NP ∠∈，得4sin 5M N P ∠==. ………………12分解法二: 因为ππ(1)sin(11)0,(1)sin (11)1,44f f -=-+==+=π(5)sin(51)14f =+=-，所以(1,0),(1,1),(5,1)M N P --， ……………………………………………8分 (2,1),(4,2)N M N P =--=-,6NM NP ⋅=-,N M N P ===则3cos 5N M N PM N P N M N P⋅∠===-⋅ . ……………………10分由[]0,πM NP ∠∈，得4si n 5M N P ∠=. ……………12分【说明】本小题主要考查了三角函数)sin()(ϕω+=x A x f 的图象与性质，以及余弦定理，同角三角函数关系式，平面向量的数量积等基础知识，考查了简单的数学运算能力．17．（本小题满分13分）随机调查某社区80个人，以研究这一社区居民在00:2200:20-时间段的休闲方式与性别的关系，得到下面的数据表：在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望；（2）根据以上数据，能否有99%的把握认为“在00:2200:20-时间段的休闲方式与性别有关系”？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ，其中n a b c d =+++．解：（X 0,1,2,3休闲方式的概率为56p =． (2)分方法一：2161)61()0(303===C X P ，725)65()61()1(213===C X P ，7225)65)(61()2(223===C X P ，216125)65()3(333===C X P ． ……………6分X ∴的分布列为:25216125372252725121610=⨯+⨯+⨯+⨯=∴EX ． …………………………8分方法二：根据题意可得)65,3(~B X ， ……………………………………4分kk k C k X P )65()61()(33-==∴，3,2,1,0=k ． …………………………………6分∴25653=⨯==np EX ． ………………………………………8分(2) 提出假设0H ：休闲方式与性别无关系．根据样本提供的22⨯列联表得22()80(10101050)808.889 6.635()()()()602020609n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯．因为当0H 成立时，635.62≥K 的概率约为01.0，所以我们有99%的把握认为“在00:2200:20-时间段性别与休闲方式有关”． ………………………13分【说明】本题主要考察读图表、随机事件的概率、二项分布以及数学期望、独立性检验等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和应用意识．18．（本小题满分13分）如图，平行四边形A B C D 中，AB BD ⊥，2A B =，BD =沿B D 将B C D ∆折起，使二面角A B D C --是大小为锐角α的二面角，设C 在平面ABD 上的射影为O ．（1）当α为何值时，三棱锥OAD C -的体积最大？最大值为多少？（2）当A D B C ⊥时，求α的大小．C CD解：（1）由题知O D 为C D 在平面ABD 上的射影，∵BD C D ⊥，C O ⊥平面ABD ，∴B D O D ⊥，∴O D C α∠=， ……………………2分111332C A OD A O D V S O C O D B D O C -∆=⋅=⋅⋅⋅⋅sin cos 66O D O C C D C D αα=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ ……………4分sin 23α=⋅3≤， ……………………5分当且仅当sin 21α=，即45α=︒时取等号，∴当45α=︒时，三棱锥O A C D -的体积最大，最大值为3． ………6分(2)(法一)连接O B ， ……………………7分∵C O ⊥平面ABD ，A D B C ⊥， ∴AD ⊥平面B O C ，∴AD O B ⊥， ………………………9分 ∴90O B D A D B ∠+∠=︒，故O B D D A B ∠=∠，∴R t A B D R t B D O ∆∆∽， ………………11分 ∴O D B D B DA B=，∴2212BDO D AB===， ………………………………………………12分在R t C O D ∆中，1cos 2O D C Dα==，得60α=︒(法二) 过O 作O E A B ⊥于E ，则O E B D 为矩形，以O 为原点，O E ，O D ，O C 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则)0,2cos 2,2(),0,cos 2,0(),0,0,0(-ααA D O )sin 2,0,0(),0,cos 2,2(ααC B ， ………9分于是)0,2,2(-=AD ，)sin 2,cos 2,2(αα--=BC ， ……………10分ABC O由A D B C ⊥，得0=⋅BC AD ，∴0sin 20)cos 2(2)2()2(=⨯+-⨯+-⨯-αα， …………………12分得21cos =α，又α为锐角，∴60α=︒ ． ……………………………13分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，棱锥的体积、二面角及三角函数等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力． 19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>的离心率为2，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：222(2)(0)x y r r ++=>，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程；（3）设点P 是椭圆C 上异于M ,N 的任意一点，且直线,M P NP 分别与x 轴交于点,R S ，O 为坐标原点，求证：OR OS ⋅为定值．解：（1）依题意，得2a =，2c e a==1,322=-==∴c a b c ；故椭圆C 的方程为2214xy += ．分（2）方法一：点M 与点N 关于x 轴对称，设),(11y x M ，),(11y x N -，不妨设01>y ．由于点M 在椭圆C 上，所以412121x y -=．（*） …………………4分由已知(2,0)T -，则),2(11y x TM +=，),2(11y x TN -+=， 21211111)2(),2(),2(y x y x y x TN TM -+=-+⋅+=⋅∴3445)41()2(1212121++=--+=x x x x51)58(4521-+=x ． …………………………………6分由于221<<-x ，故当581-=x 时，TM TN ⋅ 取得最小值为15-．由（*）式，531=y ，故83(,)55M -，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到21325r =．故圆T 的方程为：2213(2)25x y ++=． …………………8分方法二：点M 与点N 关于x 轴对称，故设(2cos ,sin ),(2cos ,sin )M N θθθθ-，不妨设sin 0θ>，由已知(2,0)T -，则)sin ,2cos 2()sin ,2cos 2(θθθθ-+⋅+=⋅TN TM3c o s 8c o s 5s i n )2c o s 2(222++=-+=θθθθ 51)54(cos 52-+=θ． …………………………………………………6分故当4cos 5θ=-时，TM TN ⋅ 取得最小值为15-，此时83(,)55M -，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到21325r =．故圆T 的方程为：2213(2)25x y ++=． …………………8分(3) 方法一：设),(00y x P ，则直线M P 的方程为：)(010100x x x x y y y y ---=-，令0y =，得101001y y y x y x x R --=，同理：101001y y y x y x x S ++=， …………………10分故212021202021y y y x y x x x S R --=⋅ （**） …………………11分又点M 与点P 在椭圆上，故)1(42020y x -=，)1(42121y x -=，…………………12分代入（**）式，得：4)(4)1(4)1(421202120212021202021=--=----=⋅y y y y y y y y y y x x S R ．所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR 为定值． …………………14分方法二：设(2cos ,sin ),(2cos ,sin )M N θθθθ-，不妨设sin 0θ>，)sin ,cos 2(ααP ，其中θαsin sin ±≠．则直线M P 的方程为：)cos 2(cos 2cos 2sin sin sin αθαθαα---=-x y ，令0y =，得θαθαθαsin sin )sin cos cos (sin 2--=R x ，同理：θαθαθαsin sin )sin cos cos (sin 2++=S x ， ………………………12分故4sin sin )sin (sin4sin sin )sin cos cos (sin42222222222=--=--=⋅θαθαθαθαθαS R x x ．所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR 为定值． …………………14分【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、圆的方程、向量、圆与椭圆的位置关系、直线方程等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合思想、化归与转化思想． 20．（本小题满分14分）已知函数d cx bxx x f +++=2331)(，设曲线)(x f y =在与x 轴交点处的切线为124-=x y ，()f x '为()f x 的导函数，满足)()2(x f x f '=-'．（1）求()f x ；（2）设()g x =，0m >，求函数()g x 在[0,]m 上的最大值；（3）设()ln ()h x f x '=，若对一切[0,1]x ∈，不等式(1)(22)h x t h x +-<+恒成立，求实数t 的取值范围．解：（1）2()2f x x bx c '=++， ……………………………1分)()2(x f x f '=-'，∴函数()y f x '=的图像关于直线1x =对称，则1b =-．……2分直线124-=x y 与x 轴的交点为(3,0)，∴(3)0f=，且(3)4f'=，即9930b c d+++=，且964b c++=，解得1c=，3d=-．…………………………………………4分则321()33f x x x x=-+-．…………………………………………5分（2）22()21(1)f x x x x'=-+=-，22,1,()1, 1.x x xg x x xx x x⎧-≥⎪==-=⎨-<⎪⎩………………………………………7分其图像如图所示．当214x x-=时，12x±=，根据图像得：（ⅰ）当12m<≤时，()g x最大值为2m m-；（ⅱ）当1122m+<≤时，()g x最大值为14；（ⅲ）当12m+>时，()g x最大值为2m m-．10分（3）方法一：2()ln(1)2ln1h x x x=-=-，(1)2lnh x t x t+-=-，(22)2ln21h x x+=+，当[0,1]x∈时，2121x x+=+，∴不等式2ln2ln21x t x-<+恒成立等价于21x t x-<+且x t≠恒成立，由21x t x-<+恒成立，得131x t x--<<+恒成立，当[0,1]x∈时，31[1,4]x+∈，1[2,1]x--∈--，∴11t-<<，…………………………………………12分又当[0,1]x∈时，由x t≠恒成立，得[0,1]t∉，因此，实数t的取值范围是10t-<<．………………………………14分方法二：（数形结合法）作出函数]1,0[,12∈+=xxy的图像，其图像为线段AB（如图），t x y -=的图像过点A 时，1-=t 或1=t ， ∴要使不等式21x t x -<+对[0,1]x ∈恒成立，必须11t -<<， …………………………………12分又当函数)1(t x h -+有意义时，x t ≠，∴当[0,1]x ∈时，由x t ≠恒成立，得[0,1]t ∉，因此，实数t 的取值范围是10t -<<． ………………………………14分方法三：2()ln(1)h x x =- ， ()h x 的定义域是{1}x x ≠，∴要使(1)h x t +-恒有意义，必须t x ≠恒成立，[0,1]x ∈，[0,1]t ∴∉，即0t <或1t >． ………………① ………………12分由(1)(22)h x t h x +-<+得22()(21)x t x -<+，即223(42)10x t x t +++->对[0,1]x ∈恒成立，令22()3(42)1x x t x t ϕ=+++-，()x ϕ的对称轴为23t x +=-，则有20,3(0)0t ϕ+⎧-<⎪⎨⎪>⎩或22201,3(42)43(1)0t t t +⎧≤-≤⎪⎨⎪∆=+-⨯⨯-<⎩或21,3(1)0t ϕ+⎧->⎪⎨⎪>⎩ 解得11t -<<． ………………②综合①、②，实数t 的取值范围是10t -<<． ………………………………14分【说明】本题主要考查函数导数运算法则、导数的几何意义、二次函数和分段函数的图像及其性质的运用、不等式的求解与证明等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识． 21．（本小题满分14分）已知数列}{n a 满足：211=a ，*1,e en n n n a a n a +=∈+N （其中e 为自然对数的底数）．（1）求数列}{n a 的通项n a ；（2）设n n a a a S +++= 21，n n a a a a T ⋅⋅⋅⋅= 321，求证：1+≤n n S n ， 2enn T ->．解：（1）1e en n nn a a a +=+ ，11e e nn n a a +∴=+，即11111e enn n na a -+=+． …………………………………3分令11en n nb a -=，则11+=+n n b b ，2111==a b ，因此，数列}{n b 是首项为2，公差为1的等差数列．11)1(2+=⋅-+=n n b n ， …………………………………5分1111e(1)en n n n a b n --∴==+． …………………………………6分（2）（方法一）先证明当*n ∈N 时，1e n n -≥．设1()e ,[1,)x f x x x -=-∈+∞，则1()e 1x f x -'=-，当1>x 时，0)(>'x f ，)(x f ∴在),1(+∞上是增函数，则当1≥x 时，01)(=≥）（f x f ，即1ex x -≥．………8分因此，当*n ∈N 时，1e n n -≥，11111(1)e(1)1n n a n n nnn -=≤=-+++， …………9分当*n ∈N 时，1e n n +<，(21)1111e(1)ee en n n nn a n ----=>=+⋅． …………………10分1111)111()3121()211(21+=+-=+-++-+-≤+++=∴n n n n na a a S n n ．………………………12分2135(21)[13521)]123eeeeee n n nn n T a a a a ----+-++++--∴=⋅⋅⋅⋅>⋅⋅⋅⋅== （．……………………14分（方法二）数学归纳法证明（1）2111==a S ，211=+n n ，∴当1=n 时，1+≤n nS n 成立；2111==a T ，21e e n -=，又e 2> ，112e∴>， ∴当1=n 时，2e nn T ->成立． …………………………………………8分（2）设k n =时命题成立，即1+≤k k S k，2e kk T ->，当1+=k n 时，1111(2)e k k k kk S S a k k ++=+≤+++，要证211++≤+k k S k ，即证111(2)e2kk k k k k ++≤+++，化简，即证e 1kk ≥+． …………………………9分设()e 1,0,)x f x x x =--∈+∞（，则()e 1xf x '=-，当0>x 时，0)(>'x f ，)(x f ∴在),0(+∞上是增函数，则当0≥x 时，00)(=≥）（f x f ，即e 1xx ≥+．因此，不等式e 1k k ≥+成立，即当1+=k n 时1+≤n n S n 成立． …………………11分当1+=k n 时，22111ee (2)e2k kkk k k kT T a k k ---++=⋅>⋅=++，要证2(1)1e k k T -++>，即证22(1)ee2k kk k ---+>+，化简，即证1e 2k k +>+．根据前面的证明，不等式1e2k k +>+成立，则1+=k n 时2e nn T ->成立．由数学归纳法可知，当*n ∈N 时，不等式1+≤n nS n ，2e n n T ->成立．……………14分【说明】考查了数列的递推公式的处理、等差数列的通项公式、数学归纳法等知识，考查学生的构造数列和函数解决问题的意识，考查了学生变形的能力，化归与转化的思想以及创新意识．。

【恒心】【好卷速递】甘肃省西北师大附中2012年高三第一次诊断考试试卷理科数学

西北师大附中2012年高三第一次诊断考试试卷数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

共150分，考试时间120分钟。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ）．如果事件A 、B 相互独立，那么P （A·B ）＝P （A ）·P （B ）．如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)kn k n n P k C P -=-球的表面积公式24S R π=, 球的体积公式343V R π=,其中R 表示球半径。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意。

） 1. 若34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数，则tan()4πθ-的值为 A.-7 B.17-C.7D.7-或17- 2．抛物线22y x =-的准线方程是A.12x =B. 18x =C.12y = D . 18y = 3. 设函数32()331f x x x x =-+-，则)(x f 的反函数)(1x f-为A. 1()1)f x x R -=∈B. 1()10)f x x -=≥C. 1()1)f x x R -=∈D. 1()10)f x x -=≥ 4. “cos α =35”是“cos2α= -725”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5. 过点（0,1）且与曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线垂直的直线的方程为 A ．022=-+y xB ．012=-+y xC ．012=+-y xD ． 022=+-y x6. 已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于7.△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2O A A B A C ++=0， ||||OA AB = ，则CAC B ⋅ 等于A.323 D.8. 函数x x x f sin cos )(-=, 把)(x f y =的图象按向量)0,(ϕ=a (ϕ>0)平移后，恰好得到函数y =f '(x )的图象，则ϕ的值可以为 A ．2πB ．23πC ．πD ．43π9. 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，则不同的停车方法有A.5858A A 种B. 812A 种C. 8188A C 种D.8189A C 种10．已知偶函数f ( x )对任意的x ∈R 满足f ( 2 + x ) = f ( 2 – x )，且当20x -≤≤时，f ( x ) =log 2( 1 – x )，则f ( 2011 )的值是A ．2012B ．2C ．1D ．011．若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球表面积之比为 A. 3 ：1 B . 4 ：1 C . 5 ：1 D. 6 ：112．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为12,F F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形．若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则12e e ⋅的取值范围是A.(0,)+∞B.1(,)3+∞ C. 1(,)5+∞ D. 1(,)9+∞ 二、填空题(本大题共4小题．每小题5分．共20分。

景德镇市2012届高三第一次质检试题数学(理科)+答案

景德镇市2012届高三第一次质检试题数学（理科）（2011年11月5日下午1：30-3：30）第Ⅰ卷（选择题满分50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知某样本的容量为100,其中第3组的频率为0.2,则第3组的频数为（） A.20 B.30 C.40 D.502.设集合}21|{≤≤=x x A ,}11|{+≤≤-=a x a x B ,若B A ⊆,则的取值a 范围是（）A.21≥≤a a 或B.21≤≤aC. 12-≤≤-aD.12-≥-≤a a 或 3.若复数ii a 21-+是纯虚数,则实数的值a 为（）A.2B.21- C.51 D.52-4.已知函数b a x f x +=)(的图象如右图所示, 则)(log )(b x x g a +=的图象是（）5.与直线013=++y x 垂直且与曲线x x y -=4相切的直线方程为（） A. 033=--y x B. 033=--y x C. 013=--y x D. 013=--y x 6.已知函数⎩⎨⎧-=为偶数时）当为奇数时）当n nn n n f (()(22,且)1()(++=n f n f a n ,则2012321a a a a ++++ 等于（）A.2012-B. 2011-C. 2012D. 20117. 已知函数x x x f ωωcos sin )(+=的图象与直线1=y 的图象的任一交点到其左、右相邻的两交点距离之和为1，则ω的值可能为（） A ．1 B.2 C.π D.π28．某程序框图如下图所示，若输出的0=s ，则中可能的语句是（）A ．6≤i B.6≥i C ．5≥i D ．5≤i9．下列命题：①若向量a 与向量b 共线，向量b 与向量c 共线，则向量a 与向量c 共线；②若向量a 与向量b 共线，则存在唯一实数λ，使a b λ=；③若A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，且=OM 31OA 31+OB 31+OC ，则点M 一定在平面ABC 上，且在ABC ∆的内部。

2012年化州市教学质量监测高中二年级数学(理科)试卷参考答案

2012年化州市教学质量监测高中二年级数学理科试卷参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分共40分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分共30分）9． 52 ； 10． 8 ； 11． 5 ； 12．35； 13． 0 ； 14． ①②④ ．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 15.解：（本小题满分12分）解：（1）由222a b c +-=，得2222a b c ab +-=. …………………………………………………………… 3分由余弦定理知cos C =，∴6C π=. ………………………………………… 5分（2）∵21cos 2cossin 12sin[()]122A Am B A C π+=--=⋅--+- cos sin()cos sin()6A A C A A π=-+=-+………………………………… 7分1cos sin coscos sincos cos 6622A A A A A A ππ=--=--1cos cos cos sin sin cos()2333A A A A A πππ=-=-=+ ………… 10分 ∵203A π<≤∴33A πππ<+≤. ∴11cos()32A π-≤+<，即m 的取值范围是1[1,)2-.……………………………… 12分 16．（本小题满分12分）解：因为A （0，6-），B （1，5-），所以线段AB 的中点D 的坐标为111,22⎛⎫-⎪⎝⎭，直线AB 的斜率 ()56110AB k ---==-， ………………………………………… 3分因此线段AB 的垂直平分线'l 的方程是 11122y x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，即 50x y ++= …………………………………… 5分圆心C 的坐标是方程组 5010x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，的解. …………………………… 6分解此方程组，得 32x y =-⎧⎨=-⎩，所以圆心C 的坐标是（3-，2-）. ………………………………………………… 8分圆心为C 的圆的半径长 5r AC === ……………………… 10分所以，圆心为C 的圆的标准方程是()()223225x y +++= ……………………… 12分17．（本小题满分14分）证明：以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为1(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2A B C D P M .（1）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=⋅==所以故由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD .又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD .（2）解：在MC 上取一点(,,)N x y z ，使得AN MC ⊥，则存在,R ∈λ使,λ=11(1,1,),(1,0,),1,1,..22NC x y z MC x y z λλ=---=-∴=-==要使14,00,.25AN MC AN MC x z λ⊥⋅=-== 只需即解得1212,(,1,),(,1,),05555AN BN BN MC ==-⋅= 此时有412,(,1,),0.555N AN MC λ=⋅= 可知当时点坐标为能使0,AN MC ⋅=由0BN MC ⋅=,.AN MC BN MC ANB ⊥⊥∠得所以为所求二面角的平面角.4|||.5AN BN AN BN ==⋅=-2cos(,).3||||AN BN AN BN AN BN ⋅∴==-⋅2.3-故所求的二面角的余弦值为（本题第二小问用平面的法向量去处理求解也一样简单）18. （本小题满分14分）解：由双曲线的渐近线x y 22±=，可设双曲线的方程为)0(2422≠=-λλy x ， …… 1分（1）当0>λ时，λ2=a ，λ2=b ，则λ6=c ，即2626==λλe ， ………………………………… 3分当0<λ时， λ2-=a ，λ-=2b ，则λ6-=c ，即326=--=λλe …………………………………………………………………… 7分(2)将点)1,2(P 代入λ=-2422y x 得21=λ，则双曲线方程为1222=-y x ① ………… 8分把直线1+=kx y 代入①得，044)21(22=---kx x k ②当0212=-k 时，即22±=k ， ……………………………………………………… 10分此时 ②只有一个实数解，直线与双曲线只有一个公共点，………………………………… 11分当0212≠-k 时，0)21()4(4)4(22=⋅-⋅-⋅--=∆k k ，则1±=k 此时直线与双曲线相切 …………………………………………………………… 13分综上：122±±=或k . …………………………………………………………………… 14分解：（1）0)(<x f 0))(1()1(2<--=++-∴c x x c x c x ……………… 1分①当c<1时， 1<<x c②当c=1时，0)1(2<-x ，φ∈∴x③当c>1时，c x <<1 …………………………………………… 3分综上，当c<1时，不等式的解集为}1{<<x c x ，当c=1时，不等式的解集为φ，当c>1时，不等式的解集为}1{c x x <<。

2012年北京市朝阳区高考数学一模试卷(理科)(附答案解析)

2012年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 复数10i1−2i =( ) A.−4+2i B.4−2iC.2−4iD.2+4i2. 已知平面向量a →，b →满足a →⋅(a →+b →)=3，且|a →|=2，|b →|=1，则向量a →与b →的夹角为（） A.π6 B.π3C.2π3D.5π63. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n −1(n ∈N ∗)，则a 5＝（） A.−16 B.16 C.31 D.324. 已知平面α，直线a ，b ，l ，且a ⊂α，b ⊂α，则“l ⊥a 且l ⊥b ”是“l ⊥α”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. 有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定．技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（） A.16 B.24 C.32 D.486. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，f(x +2)=f(x)．当0≤x ≤1时，f(x)=x 2，若直线y =x +a 与函数y =f(x)的图象在[0, 2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是( ) A.0 B.0或−12C.−14或−12D.0或−147. 某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件．从第二年开始，商场对A 种产品征收销售额的x%的管理费（即销售100元要征收x 元），于是该产品定价每件比第一年增加了70⋅x%1−x%元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的最大值是（） A.2B.6.5C.8.8D.108. 已知点集A ={(x, y)|x 2+y 2−4x −8y +16≤0}，B ={(x, y)|y ≥|x −m|+4, m 是常数}，点集A 所表示的平面区域与点集B 所表示的平面区域的边界的交点为M ，N ．若点D(m, 4)在点集A 所表示的平面区域内（不在边界上），则△DMN 的面积的最大值是（） A.1 B.2 C.2√2 D.4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.已知双曲线的方程为x 23−y 2=1，则此双曲线的离心率为________，其焦点到渐近线的距离为________．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．执行如图所示的程序框图，若输入k 的值是4，则输出S 的值是________．在极坐标系中，曲线ρ=2√3sin θ和ρcos θ＝1相交于点A ，B ，则线段AB 的中点E 到极点的距离是________．已知函数f(x)={(12)x+34,x≥2log2x,0<x<2若函数g(x)＝f(x)−k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________．已知△ABC中，∠C=90∘，AC=3，BC=4．一个圆心为M，半径为14的圆在△ABC内，沿着△ABC的边滚动一周回到原位．在滚动过程中，圆M至少与△ABC的一边相切，则点M到△ABC顶点的最短距离是________，点M的运动轨迹的周长是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答案答在答题卡上.已知函数f(x)=cos(x−π4)．（1）若f(α)=7√210，求sin2α的值；（2）设g(x)=f(x)⋅f(x+π2)，求函数g(x)在区间[−π6，π3]上的最大值和最小值．某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀．(Ⅰ)下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数a，b的值；(Ⅲ)在(Ⅱ)中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X，求X的分布列与数学期望．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD＝90∘，EB⊥平面ABCD，EF // AB，AB＝2，EB=√3,EF=1，BC=√13，且M是BD的中点．(Ⅰ)求证：EM // 平面ADF；(Ⅱ)求二面角D−AF−B的大小；(Ⅲ)在线段EB上是否存在一点P，使得CP与AF所成的角为30∘？若存在，求出BP的长度；若不存在，请说明理由．设函数f(x)=e axx2+1,a∈R．(Ⅰ)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点（0, f(0)）处的切线方程；(Ⅱ)求函数f(x)单调区间．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(−√2,0)，F2(√2,0)．点M(1, 0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)已知点N的坐标为(3, 2)，点P的坐标为(m, n)(m≠3)．过点M任作直线l与椭圆C相交于A，B两点，设直线AN，NP，BN的斜率分别为k1，k2，k3，若k1+k3＝2k2，试求m，n满足的关系式．已知各项均为非负整数的数列A0:a0，a1，…，a n(n∈N∗)，满足a0=0，a1+...+a n=n．若存在最小的正整数k，使得a k=k(k≥1)，则可定义变换T，变换T将数列A0变为T(A0)：a0+1，a1+1，…，a k−1+1，0，a k+1，…，a n．设A i+1=T(A i)，i=0，1，2…．（1）若数列A0:0，1，1，3，0，0，试写出数列A5；若数列A4:4，0，0，0，0，试写出数列A0；（2）证明存在数列A0，经过有限次T变换，可将数列A0变为数列n,0,0,…,0⏟n个；（3）若数列A0经过有限次T变换，可变为数列n,0,0,…,0⏟n个．设S m=a m+a m+1+...+a n，m=1，2，…，n，求证a m=S m−[S mm+1](m+1)，其中[S mm+1]表示不超过S mm+1的最大整数．参考答案与试题解析2012年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.【答案】 A【考点】复数的运算【解析】两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i 的幂运算性质求出结果．【解答】复数10i1−2i =10i(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−20+10i5=−4+2i ，2.【答案】 C【考点】数量积表示两个向量的夹角平面向量数量积的运算【解析】根据向量数量积的性质，得到a →2=|a|→2=4，代入已知等式得a →⋅b →=−1．设a →与b →的夹角为α，结合向量数量积的定义和|a|→=2，|b|→=1，算出cos α=−12，最后根据两个向量夹角的范围，可得a →与b →夹角的大小．【解答】解：∵ |a|→=2，∴ a →2=4 又∵ a →⋅(a →+b →)=3，∴ a →2+a →⋅b →=4+a →⋅b →=3，得a →⋅b →=−1，设a →与b →的夹角为α，则a →⋅b →=|a|→|b|→cos α=−1，即2×1×cos α=−1，得cos α=−12 ∵ α∈[0, π]， ∴ α=2π3故选C 3. 【答案】B【考点】数列的概念及简单表示法【解析】先根据a 1＝S 1，a n ＝S n −S n−1(n ≥2)求出数列{a n }的通项公式，再将n ＝5代入可求出所求．【解答】当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1−1，∴ a 1＝1．当n >1时，S n ＝2a n −1，∴ S n−1＝2a n−1−1， ∴ S n −S n−1＝2a n −2a n−1， ∴ a n ＝2a n −2a n−1， ∴ a n ＝2a n−1， ∴ a nan−1=2，∴ {a n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴ a n ＝2n−1，n ∈N ∗． ∴ a 5＝25−1＝16． 4.【答案】 B【考点】空间中直线与平面之间的位置关系充分条件、必要条件、充要条件【解析】题目给出了平面内的两条直线a 、b ，根据平面外的直线l 与a 、b 垂直，断定直线l 和平面的位置关系，a ⊂α，b ⊂α，直线a 、b 的位置关系不唯一．【解答】a ⊂α，b ⊂α，直线a 、b 的位置关系可能平行，也可能相交．若a 与b 相交，则由l ⊥a 且l ⊥b 能得到l ⊥α，否则不一定，所以，“l ⊥a 且l ⊥b ”是“l ⊥α”的不充分条件；反之，根据线面垂直的定义，若l ⊥α，则l 垂直于平面α内的所有直线，所以“l ⊥a 且l ⊥b ”是“l ⊥α”的必要条件．所以，“l ⊥a 且l ⊥b ”是“l ⊥α”的必要不充分条件． 5. 【答案】 C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，分析可得若恰好3次就结束测试，必有前2次测试中测出1件次品，第3次测出第2件次品，先分析第3次测出次品情况数目，再分析前2次测试，即一次正品、1次次品的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．【解答】根据题意，若恰好3次就结束测试，则前2次测试中测出1件次品，第3次测出第2件次品，第3次测试的是次品，而共有2件次品，则有C 21＝2种情况，前2次测试，即一次正品、1次次品，有C 81×A 22＝16种情况，则恰好3次就结束测试共有2×16＝32种情况， 6.【答案】 D【考点】根的存在性及根的个数判断函数奇偶性的性质【解析】先作出函数f(x)在[0, 2]上的图象，再分类讨论，通过数形结合与方程思想的应用即可解决问题．【解答】解：∵ f(x)是定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤1时，f(x)=x 2， ∴ 当−1≤x ≤0时，0≤−x ≤1，f(−x)=(−x)2=x 2=f(x)，又f(x +2)=f(x)，∴ f(x)是周期为2的函数.又直线y =x +a 与函数y =f(x)的图象在[0, 2]内恰有两个不同的公共点，其图象如下：当a =0时，直线y =x +a 变为直线l 1，其方程为：y =x ，显然，l 1与函数y =f(x)的图象在[0, 2]内恰有两个不同的公共点；当a ≠0时，直线y =x +a 与函数y =f(x)的图象在[0, 2]内恰有两个不同的公共点，由图可知，直线y =x +a 与函数y =f(x)相切，切点的横坐标x 0∈[0, 1]．由{y =x +a,y =x 2,得：x 2−x −a =0，由Δ=1+4a =0，得a =−14，此时，x 0=x =12∈[0, 1]．综上所述，a =−14或0. 故选D ． 7. 【答案】 D【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】先确定商场该年对该商品征收的总管理费的函数解析式，再根据第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元，建立不等式，即可求得x 的最大值．【解答】解：依题意，第二年该商品年销售量为(11.8−x)万件，年销售收入为(70+70⋅x%1−x%)(11.8−x)万元，则商场该年对该商品征收的总管理费为(70+70⋅x%1−x%)(11.8−x)x%（万元）．故所求函数为：y =7100−x(118−10x)x(x >0)．令7100−x (118−10x)x ≥14，化简得x 2−12x +20≤0，即(x −2)(x −10)≤0，解得2≤x ≤10． ∴ x 的最大值是10故选D ． 8. 【答案】 B【考点】求线性目标函数的最值【解析】先确定点D 在直线y =4上，集合A 表示的平面区域是图中圆O′的内部，集合B 表示的平面区域是图中直角的内部，由此可得结论．【解答】解：由题意，点D 在直线y =4上，集合A 表示的平面区域是图中圆O′的内部，集合B 表示的平面区域是图中直角的内部当D 运动到O′时，△DMN 的面积的最大值，此时三角形是一个直角边为2的等腰直角三角形，所以面积为2故选B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.【答案】2√33,1 【考点】双曲线的特性【解析】由双曲线的方程为x 23−y 2=1，可得a =√3，b =1，c =2，由此求得离心率以及焦点到渐近线的距离．【解答】解：由双曲线的方程为x 23−y 2=1，可得a =√3，b =1，c =2，则此双曲线的离心率为ca =√3=2√33．故渐近线方程为y =√3，即x ±√3y =0，焦点为(±2, 0)，故一个焦点(2, 0)到渐近线x−√3y=0的距离等于√1+3=1，故答案为2√33，1．【答案】32【考点】由三视图求体积【解析】由已知中的三视图，我们可以判断出几何体的形状，进而求出几何体的底面面积和高后，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】由已知中的三视图可得几何体是一个三棱锥且棱锥的底面是一个以(2+1)＝3为底，以1为高的三角形棱锥的高为3故棱锥的体积V=13⋅12(2+1)⋅1⋅3=32【答案】3【考点】程序框图【解析】由图知运算规则是求和，共进行3次循环，由此可得结论．【解答】解：由图知运算规则是求和：S=11×2+12×3+13×4=1−12+12−13+13−14=34．故答案为：34.【答案】2【考点】圆的极坐标方程极坐标刻画点的位置【解析】先将曲线ρ=2√3sinθ方程的两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再将ρcosθ＝1也化成极坐标方程，后利用直角坐标方程进行求解即可．【解答】将曲线ρ=2√3sinθ和p cosθ＝1都化为直角坐标方程为x2+y2−2√3y＝0和x＝1，将x＝1代入x2+y2−2√3y＝0，得：y2−2√3y+1＝0，设其两个实根分别为y1，y2，则线段AB的中点E的纵坐标y=y1+y22=2√32=√3，∴线段AB的中点E(1, √3)到极点的距离是2．【答案】(34, 1)【考点】分段函数的应用【解析】由题意可得函数f(x)的图象与直线y＝k有二个不同的交点，结合图象求出实数k的取值范围．【解答】由题意可得函数f(x)的图象与直线y＝k有二个不同的交点，如图所示：故实数k的取值范围是(34, 1)，故答案为：(34, 1)．【答案】√24,9【考点】轨迹方程【解析】由题意，当圆与AC，BC都相切时，M到C的距离最小；设点M的运动轨迹的周长为C，则点M的运动轨迹是一直角三角形，且与△ABC相似，由此可得结论．【解答】解：由题意，当圆与AC，BC都相切时，M到C的距离最小，因为圆的半径为14，∠C=90∘，所以MC=√24设点M的运动轨迹的周长为C，则点M的运动轨迹是一直角三角形，且与△ABC相似，如图，sin∠B=sin∠B1DE=14B1D=35∴B1D=512，∴B1C1=113−14−512=3∴C12=34，∴C=9故答案为：√24，9．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答案答在答题卡上.【答案】解：（1）∵ f(α)=cos (α−π4)=7√210， ∴√22(cos α+sin α)=7√210，得 cos α+sin α=75．两边平方得，sin 2α+2sin αcos α+cos 2α=4925，即1+sin 2α=4925，可得sin 2α=2425．…（2）g(x)=f(x)⋅f(x +π2)=cos (x −π4)⋅cos (x +π4) =√22(cos x +sin x)⋅√22(cos x −sin x) =12(cos 2x −sin 2x)=12cos 2x ．… 当x ∈[−π6，π3]时，2x ∈[−π3，2π3]．所以，当x =0时，g(x)的最大值为12；当x =π3时，g(x)的最小值为−14．即函数g(x)在区间[−π6，π3]上的最大值为g(0)=12，最小值为g(π3)=−14．… 【考点】求二倍角的正弦两角和与差的余弦公式三角函数的最值【解析】（1）根据函数f(x)表达式，结合两角差的余弦公式化简整理，得cos α+sin α=75．再将两边平方，结合同角三角函数平方关系和二倍角的正弦公式，可得sin 2α的值；（2）将f(x)表达式代入，利用两角和与差的余弦公式展开，并用二倍角的余弦公式化简整理，得g(x)=12cos 2x ．最后结合余弦函数的图象与性质，可得到函数g(x)在区间[−π6，π3]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵ f(α)=cos (α−π4)=7√210， ∴√22(cos α+sin α)=7√210，得 cos α+sin α=75．两边平方得，sin 2α+2sin αcos α+cos 2α=4925，即1+sin 2α=4925，可得sin 2α=2425．…（2）g(x)=f(x)⋅f(x +π2)=cos (x −π4)⋅cos (x +π4) =√22(cos x +sin x)⋅√22(cos x −sin x) =12(cos 2x −sin 2x)=12cos 2x ．…当x ∈[−π6，π3]时，2x ∈[−π3，2π3]．所以，当x =0时，g(x)的最大值为12；当x =π3时，g(x)的最小值为−14．即函数g(x)在区间[−π6，π3]上的最大值为g(0)=12，最小值为g(π3)=−14．… 【答案】（本小题满分1（1）依题意，a ＝0.04×5×1000＝200，b ＝0.02×5×1000＝100．（2）设其中成绩为优秀的学生人数为x ，则x 40=350+300+1001000，解得：x ＝30，即其中成绩为优秀的学生人数为30名．(Ⅲ)依题意，X 的取值为0，1，2，P(X =0)=C 102C 402=352，P(X =1)=C 101C301C 402=513，P(X =2)=C 302C 402=2952，所以X 的分布列为EX =0×352+1×513+2×2952=32，所以X 的数学期望为32．【考点】频率分布直方图离散型随机变量的期望与方差【解析】（I ）根据频数＝频率×样本容量，频率=×组距，可求出a 与b 的值；(Ⅱ)设其中成绩为优秀的学生人数为x ，根据40人中优秀的比例等于1000人中优秀的比例，建立等式，解之即可；(Ⅲ)X 的取值为0，1，2，然后利用排列组合的知识求出相应的概率，最后利用数学期望公式解之即可．【解答】（本小题满分1（1）依题意，a ＝0.04×5×1000＝200，b ＝0.02×5×1000＝100．（2）设其中成绩为优秀的学生人数为x ，则x 40=350+300+1001000，解得：x ＝30，即其中成绩为优秀的学生人数为30名． (Ⅲ)依题意，X 的取值为0，1，2，P(X =0)=C 102C 402=352，P(X =1)=C 101C301C 402=513，P(X =2)=C 302C 402=2952，所以X 的分布列为EX =0×352+1×513+2×2952=32，所以X 的数学期望为32．【答案】（1）证明：取AD 的中点N ，连接MN ，NF ．在△DAB 中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，所以MN ∥AB,MN =12AB ，又因为EF ∥AB,EF =12AB ，所以MN // EF 且MN ＝EF ．所以四边形MNFE 为平行四边形，所以EM // FN ．又因为FN ⊂平面ADF ，EM ⊄平面ADF ，故EM // 平面ADF ．解法二：因为EB ⊥平面ABD ，AB ⊥BD ，故以B 为原点，建立如图2所示的空间直角坐标系B −xyz ．由已知可得 B(0, 0, 0)，A(0, 2, 0)，D(3, 0, 0)，C(3,−2,0),E(0,0,√3),F(0,1,√3),M(32,0,0)(1)EM →=(32,0,−√3),AD →=(3,−2,0)，AF →=(0,−1,√3)．设平面ADF 的一个法向量是n →=(x, y, z)．由{n →⋅AD →=0n →⋅AF →=0 得{3x −2y =0−y +√3z =0 令y ＝3，则n →=(2,3,√3)．又因为EM →⋅n →=(32,0,−√3)⋅(2,3,√3)=3+0−3=0，所以EM →⊥n →，又EM ⊄平面ADF ，所以EM // 平面ADF ．（2）由(Ⅰ)可知平面ADF 的一个法向量是n →=(2,3,√3)．因为EB ⊥平面ABD ，所以EB ⊥BD ．又因为AB ⊥BD ，所以BD ⊥平面EBAF ．故BD →=(3,0,0)是平面EBAF 的一个法向量．所以cos <BD →,n →>=BD →⋅n→|BD →|⋅|n →|=12，又二面角D −AF −B 为锐角，故二面角D −AF −B 的大小为60∘．(Ⅲ)假设在线段EB 上存在一点P ，使得CP 与AF 所成的角为30∘．不妨设P(0, 0, t)(0≤t ≤√3)，则PC →=(3,−2,−t),AF →=(0,−1,√3)．所以cos <PC →,AF →>=|PC →⋅AF →||PC →|⋅|AF →|=√3t|2√t 2+13，由题意得√3t 2√t 2+13=√32，化简得−4√3t =35，解得t =4√3<0．所以在线段EB 上不存在点P ，使得CP 与AF 所成的角为30∘．【考点】异面直线及其所成的角直线与平面平行二面角的平面角及求法【解析】(Ⅰ)证明EM // 平面ADF ，利用线面平行的判定，证明EM 平行于平面ADF 中一条直线即可；也可建立如空间直角坐标系，求出平面ADF 的一个法向量，证明EM →⊥n →；(Ⅱ)平面ADF 的一个法向量是n →=(2,3,√3)，BD →=(3,0,0)是平面EBAF 的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角D −AF −B 的大小；(Ⅲ)假设在线段EB 上存在一点P ，使得CP 与AF 所成的角为30∘，不妨设P(0, 0, t)(0≤t ≤√3)，则PC →=(3,−2,−t),AF →=(0,−1,√3)，利用向量的夹角公式，求出t 的值，即可得到结论．【解答】（1）证明：取AD 的中点N ，连接MN ，NF ．在△DAB 中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，所以MN ∥AB,MN =12AB ，又因为EF ∥AB,EF =12AB ，所以MN // EF 且MN ＝EF ．所以四边形MNFE 为平行四边形，所以EM // FN ．又因为FN ⊂平面ADF ，EM ⊄平面ADF ，故EM // 平面ADF ．解法二：因为EB ⊥平面ABD ，AB ⊥BD ，故以B 为原点，建立如图2所示的空间直角坐标系B −xyz ．由已知可得 B(0, 0, 0)，A(0, 2, 0)，D(3, 0, 0)，C(3,−2,0),E(0,0,√3),F(0,1,√3),M(32,0,0)(1)EM →=(32,0,−√3),AD →=(3,−2,0)，AF →=(0,−1,√3)．设平面ADF 的一个法向量是n →=(x, y, z)．由{n →⋅AD →=0n →⋅AF →=0 得{3x −2y =0−y +√3z =0 令y ＝3，则n →=(2,3,√3)．又因为EM →⋅n →=(32,0,−√3)⋅(2,3,√3)=3+0−3=0，所以EM →⊥n →，又EM ⊄平面ADF ，所以EM // 平面ADF ．（2）由(Ⅰ)可知平面ADF 的一个法向量是n →=(2,3,√3)．因为EB ⊥平面ABD ，所以EB ⊥BD ．又因为AB ⊥BD ，所以BD ⊥平面EBAF ．故BD →=(3,0,0)是平面EBAF 的一个法向量．所以cos <BD →,n →>=BD →⋅n→|BD →|⋅|n →|=12，又二面角D −AF −B 为锐角，故二面角D −AF −B 的大小为60∘．(Ⅲ)假设在线段EB 上存在一点P ，使得CP 与AF 所成的角为30∘．不妨设P(0, 0, t)(0≤t ≤√3)，则PC →=(3,−2,−t),AF →=(0,−1,√3)．所以cos <PC →,AF →>=|PC →⋅AF →||PC →|⋅|AF →|=√3t|2√t 2+13，由题意得√3t 2√t 2+13=√32，化简得−4√3t =35，解得t =4√3<0．所以在线段EB 上不存在点P ，使得CP 与AF 所成的角为30∘．【答案】因为f(x)=e axx 2+1，所以f ′(x)=e ax (ax 2−2x+a)(x 2+1)2．（1）当a ＝1时，f(x)=e xx 2+1，f ′(x)=e x (x 2−2x+1)(x 2+1)2，所以f(0)＝1，f ′(0)＝1．所以曲线y ＝f(x)在点（0, f(0)）处的切线方程为x −y +1＝0．（2）因为f ′(x)=e ax (ax 2−2x+a)(x 2+1)2=e ax (x 2+1)2(ax 2−2x +a)，（1）当a ＝0时，由f ′(x)>0得x <0；由f ′(x)<0得x >0．所以函数f(x)在区间(−∞, 0)单调递增，在区间(0, +∞)单调递减．（2）当a ≠0时，设g(x)＝ax 2−2x +a ，方程g(x)＝ax 2−2x +a ＝0的判别式△＝4−4a 2＝4(1−a)(1+a)，①当0<a <1时，此时△>0．由f ′(x)>0得x <1−√1−a 2a，或x >1+√1−a 2a；由f ′(x)<0得1−√1−a 2a<x <1+√1−a 2a．所以函数f(x)单调递增区间是(−∞,1−√1−a 2a)和(1+√1−a 2a,+∞)，单调递减区间(1−√1−a 2a,1+√1−a 2a)．②当a ≥1时，此时△≤0．所以f ′(x)≥0，所以函数f(x)单调递增区间是(−∞, +∞)． ③当−1<a <0时，此时△>0．由f ′(x)>0得1+√1−a 2a<x <1−√1−a 2a；由f ′(x)<0得x <1+√1−a 2a，或x >1−√1−a 2a．所以当−1<a <0时，函数f(x)单调递减区间是(−∞,1+√1−a 2a)和(1−√1−a 2a,+∞)，单调递增区间(1+√1−a 2a,1−√1−a 2a)．④当a ≤−1时，此时△≤0，f ′(x)≤0，所以函数f(x)单调递减区间是(−∞, +∞)．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】（I ）先求导数f ′(x)，欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x ＝0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．(II)对字母a 进行分类讨论，再令f ′(x)大于0，解不等式，可得函数的单调增区间，令导数小于0，可得函数的单调减区间．【解答】因为f(x)=e axx 2+1，所以f ′(x)=e ax (ax 2−2x+a)(x 2+1)2．（1）当a ＝1时，f(x)=e xx 2+1，f ′(x)=e x (x 2−2x+1)(x 2+1)2，所以f(0)＝1，f ′(0)＝1．所以曲线y ＝f(x)在点（0, f(0)）处的切线方程为x −y +1＝0．（2）因为f ′(x)=e ax (ax 2−2x+a)(x 2+1)2=e ax(x 2+1)2(ax 2−2x +a)，（1）当a ＝0时，由f ′(x)>0得x <0；由f ′(x)<0得x >0．所以函数f(x)在区间(−∞, 0)单调递增，在区间(0, +∞)单调递减．（2）当a ≠0时，设g(x)＝ax 2−2x +a ，方程g(x)＝ax 2−2x +a ＝0的判别式△＝4−4a 2＝4(1−a)(1+a)，①当0<a <1时，此时△>0．由f ′(x)>0得x <1−√1−a 2a，或x >1+√1−a 2a；由f ′(x)<0得1−√1−a 2a<x <1+√1−a 2a．所以函数f(x)单调递增区间是(−∞,1−√1−a 2a)和(1+√1−a 2a,+∞)，单调递减区间(1−√1−a 2a,1+√1−a 2a)．②当a ≥1时，此时△≤0．所以f ′(x)≥0，所以函数f(x)单调递增区间是(−∞, +∞)． ③当−1<a <0时，此时△>0．由f ′(x)>0得1+√1−a 2a<x <1−√1−a 2a；由f ′(x)<0得x <1+√1−a 2a，或x >1−√1−a 2a．所以当−1<a <0时，函数f(x)单调递减区间是(−∞,1+√1−a 2a)和(1−√1−a 2a,+∞)，单调递增区间(1+√1−a 2a,1−√1−a 2a)．④当a ≤−1时，此时△≤0，f ′(x)≤0，所以函数f(x)单调递减区间是(−∞, +∞)．【答案】（1）依题意，c =√2，b ＝1，所以a =2+c 2=√3．故椭圆C 的方程为x 23+y 2=1．（2）①当直线l 的斜率不存在时，由{x =1x 23+y 2=1解得x =1,y =±√63．不妨设A(1,√63)，B(1,−√63)，因为k 1+k 3=2−√632+2+√632=2，又k 1+k 3＝2k 2，所以k 2＝1，所以m ，n 的关系式为n−2m−3=1，即m −n −1＝0． ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k(x −1)．将y ＝k(x −1)代入x 23+y 2=1整理化简得，(3k 2+1)x 2−6k 2x +3k 2−3＝0．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=6k 23k 2+1，x 1x 2=3k 2−33k 2+1．又y 1＝k(x 1−1)，y 2＝k(x 2−1)．所以k 1+k 3=2−y 13−x 1+2−y23−x 2=(2−y 1)(3−x 2)+(2−y 2)(3−x 1)(3−x 1)(3−x 2)=[2−k(x 1−1)](3−x 2)+[2−k(x 2−1)](3−x 1)x 1x 2−3(x 1+x 2)+9=2kx 1x 2−(4k+2)(x 1+x 2)+6k+12x 1x 2−3(x 1+x 2)+9=2k×3k 2−33k 2+1−(4k+2)×6k 23k 2+1+6k+123k 2−33k 2+1−3×6k 23k 2+1+9=2(12k 2+6)12k 2+6=2．所以2k 2＝2，所以k 2=n−2m−3=1，所以m ，n 的关系式为m −n −1＝0．综上所述，m ，n 的关系式为m −n −1＝0．【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程【解析】(Ⅰ)依题意，c =√2，b ＝1，求出a 的值，即可得到椭圆C 的方程；(Ⅱ)①当直线l 的斜率不存在时，将直线x ＝1与椭圆方程联立，求得A ，B 的坐标，利用k 1+k 3＝2k 2，可得m ，n 满足的关系式；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程代入x 23+y 2=1整理化简，利用韦达定理及k 1+k 3＝2k 2，可得k 2的值从而可得m ，n 满足的关系式．【解答】（1）依题意，c =√2，b ＝1，所以a =√b 2+c 2=√3．故椭圆C 的方程为x 23+y 2=1．（2）①当直线l 的斜率不存在时，由{x =1x 23+y 2=1解得x =1,y =±√63．不妨设A(1,√63)，B(1,−√63)，因为k 1+k 3=2−√632+2+√632=2，又k 1+k 3＝2k 2，所以k 2＝1，所以m ，n 的关系式为n−2m−3=1，即m −n −1＝0． ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k(x −1)．将y ＝k(x −1)代入x 23+y 2=1整理化简得，(3k 2+1)x 2−6k 2x +3k 2−3＝0．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=6k 23k 2+1，x 1x 2=3k 2−33k 2+1．又y 1＝k(x 1−1)，y 2＝k(x 2−1)．所以k 1+k 3=2−y 13−x 1+2−y 23−x 2=(2−y 1)(3−x 2)+(2−y 2)(3−x 1)(3−x 1)(3−x 2)=[2−k(x 1−1)](3−x 2)+[2−k(x 2−1)](3−x 1)x 1x 2−3(x 1+x 2)+9=2kx 1x 2−(4k+2)(x 1+x 2)+6k+12x 1x 2−3(x 1+x 2)+9=2k×3k 2−33k 2+1−(4k+2)×6k 23k 2+1+6k+123k 2−33k 2+1−3×6k 23k 2+1+9=2(12k 2+6)12k 2+6=2．所以2k 2＝2，所以k 2=n−2m−3=1，所以m ，n 的关系式为m −n −1＝0．综上所述，m ，n 的关系式为m −n −1＝0．【答案】（1）解：若A 0:0，1，1，3，0，0，则A 1:1，0，1，3，0，0；A 2:2，1，2，0，0，0； A 3:3，0，2，0，0，0；A 4:4，1，0，0，0，0； A 5:5，0，0，0，0，0．若A 4:4，0，0，0，0，则 A 3:3，1，0，0，0； A 2:2，0，2，0，0； A 1:1，1，2，0，0； A 0:0，0，1，3，0．．…．…（2）证明：若数列A 0:a 0，a 1，…，a n 满足a k =0及a i >0(0≤i ≤k −1)，则定义变换T −1，变换T −1将数列A 0变为数列T −1(A 0)：a 0−1，a 1−1，…，a k−1−1，k ，a k+1，…，a n ．可得T −1和T 是互逆变换．对于数列n ，0，0，…，0连续实施变换T−1（一直不能再作T−1变换为止）得n ，0，0，…，0→T −1n −1，1，0，…，0→T −1 n −2，0，2，0，…，0→T −1 n −3，1，2，0，…，0→T −1 ...→T −1 a 0，a 1，…，a n ，则必有a 0=0（若a 0≠0，则还可作变换T −1）．反过来对a 0，a 1，…，a n 作有限次变换T ，即可还原为数列n ，0，0，…，0，因此存在数列A 0满足条件．… （3）证明：显然a i ≤i(i =1, 2,…,n)，这是由于若对某个i 0，a i 0>i 0，则由变换的定义可知，a i 0通过变换，不能变为0．由变换T 的定义可知数列A 0每经过一次变换，S k 的值或者不变，或者减少k ，由于数列A 0经有限次变换T ，变为数列n ，0，…，0时，有S m =0，m =1，2，…，n ，所以S m =mt m （t m 为整数），于是S m =a m +S m+1=a m +(m +1)t m+1，0≤a m ≤m ，所以a m 为S m 除以m +1后所得的余数，即a m =S m −[Sm m+1](m +1)．…【考点】综合法与分析法【解析】（1）根据新定义，首项分别取1，2，3，4，5，从而可写出其余各项；（2）若数列A 0:a 0，a 1，…，a n 满足a k =0及a i >0(0≤i ≤k −1)，则定义变换T −1，变换T −1将数列A 0变为数列T −1(A 0)：a 0−1，a 1−1，…，a k−1−1，k ，a k+1，…，a n ．可验证数列A 0满足条件；（3）显然a i ≤i(i =1, 2,…,n)，由变换T 的定义可知数列A 0每经过一次变换，S k 的值或者不变，或者减少k ，由于数列A 0经有限次变换T ，变为数列n ，0，…，0时，有S m =0，m =1，2，…，n ，从而可得S m =a m +S m+1=a m +(m +1)t m+1，0≤a m ≤m ，由此可得结论．【解答】（1）解：若A 0:0，1，1，3，0，0，则A 1:1，0，1，3，0，0；A 2:2，1，2，0，0，0； A 3:3，0，2，0，0，0；A 4:4，1，0，0，0，0； A 5:5，0，0，0，0，0．若A 4:4，0，0，0，0，则 A 3:3，1，0，0，0； A 2:2，0，2，0，0； A 1:1，1，2，0，0； A 0:0，0，1，3，0．．…．…（2）证明：若数列A 0:a 0，a 1，…，a n 满足a k =0及a i >0(0≤i ≤k −1)，则定义变换T −1，变换T −1将数列A 0变为数列T −1(A 0)：a 0−1，a 1−1，…，a k−1−1，k ，a k+1，…，a n ．可得T −1和T 是互逆变换．对于数列n ，0，0，…，0连续实施变换T−1（一直不能再作T−1变换为止）得n ，0，0，…，0→T −1n −1，1，0，…，0→T −1 n −2，0，2，0，…，0→T −1 n −3，1，2，0，…，0→T −1 ...→T −1 a 0，a 1，…，a n ，则必有a 0=0（若a 0≠0，则还可作变换T −1）．反过来对a 0，a 1，…，a n 作有限次变换T ，即可还原为数列n ，0，0，…，0，因此存在数列A 0满足条件．… （3）证明：显然a i ≤i(i =1, 2,…,n)，这是由于若对某个i 0，a i 0>i 0，则由变换的定义可知，a i 0通过变换，不能变为0．由变换T 的定义可知数列A 0每经过一次变换，S k 的值或者不变，或者减少k ，由于数列A 0经有限次变换T ，变为数列n ，0，…，0时，有S m =0，m =1，2，…，n ，所以S m =mt m （t m 为整数），于是S m =a m +S m+1=a m +(m +1)t m+1，0≤a m ≤m ，所以a m 为S m 除以m +1后所得的余数，即a m =S m −[S m m+1](m +1)．…。

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