江苏省南京市2017-2018学年高三下学期三模数学试卷Word版含解析
南京市2017届高三年级第三次模拟考试数学评分标准和参考答案(第三稿)
16． （本小题满分 14 分） 解：（1）因为向量 a＝(2cosα，sin2α)，b＝(2sinα，t)， 2 1 且 a－b＝( ，0)，所以 cosα－sinα＝ ，t＝sin2α． 5 5 1 1 由 cosα－sinα＝ 得 (cosα－sinα)2＝ ， 5 25 1 24 即 1－2sinαcosα＝ ，从而 2sinαcosα＝ ． 25 25
λ λ 当 λ＞0 时，设 h(x)＝ex－ ，则 h′(x)＝ex＋ 2＞0 恒成立， x x 所以 h(x)在(0，＋∞)上单调递增． ①当 0＜λ＜e 时，
λ λ h(1)＝e－λ＞0，h( )＝ee－e＜0，且 h(x)是(0，＋∞)上的连续函数， e
„„„„„„„„„„ 6 分
λ 因此存在唯一的 x0∈( ，1)，使得 h(x0)＝0． e ②当 λ≥e 时， h(1)＝e－λ≤0，h(λ)＝eλ－1＞0，且 h(x)是(0，＋∞)上的连续函数， 因此存在唯一的 x0∈[1，λ)，使得 h(x0)＝0． 故当 λ＞0 时，存在唯一的 x0＞0，使得 h(x0)＝0． „„„„„„„„ 8 分
数学参考答案和评分标准 第 3 页 共 10 页
1 1 － x1＋m － x2＋m－1 2 2 所以 k1·k2＝ · x2 x1－2 1 1 1 x x － (m－1)x1－ mx2＋m(m－1) 4 1 2 2 2 ＝ (x1－2)x2 1 1 1 x x － m(x1＋x2)＋ x1＋m(m－1) 4 1 2 2 2 ＝ x1x2－2x2 1 1 1 x x － m·2m＋ (2m－x2)＋m(m－1) 4 1 2 2 2 ＝ x1x2－2x2 1 1 xx－ x 4 1 2 2 2 1 ＝ ＝ ， x1x2－2x2 4 1 即 k1·k2 为定值 ． 4 x2 方法二：由 a＝2 得 b＝1，故椭圆方程为 ＋y2＝1． 4 1 从而 A(2，0)，B(0，1)，直线 AB 的斜率为－ ． 2 x02 设 C(x0，y0)，则 ＋y02＝1． 4 1 因为 AB∥CD，故 CD 的方程为 y＝－ (x－x0)＋y0． 2 „„„„„„„„ 7 分 „„„„„„„„„16 分
江苏省南京市高考2017-2018学年数学三模试卷 Word版含解析
2017-2018学年江苏省南京市高考数学三模试卷一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．已知集合M={0，2，4}，N={x|x=，a∈M}，则集合M∩N=______．2．已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是______．3．若直线l1：x+2y﹣4=0与l2：mx+（2﹣m）y﹣3=0平行，则实数m的值为______．4．某校有A，B两个学生食堂，若a，b，c三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为______．5．如图是一个算法流程图，则输出的S的值是______．6．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出______人．7．已知l是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中的真命题是______．（填所有真命题的序号）①若l∥α，l∥β，则α∥β②若α⊥β，l∥α，则l⊥β③若l∥α，α∥β，则l∥β④若l⊥α，l∥β，则α⊥β8．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4m时，测得拱桥内水面宽为16m；当水面升高3m 后，拱桥内水面的宽度为______m．9．已知正数a，b，c满足3a﹣b+2c=0，则的最大值为______．10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=，b=3，sinC=2sinA，则△ABC的面积为______．11．已知s n是等差数列{a n}的前n项和，若s2≥4，s4≤16，则a5的最大值是______．12．将函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣＜θ）的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则φ的值为______．13．如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB=60°，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则的最小值是______．14．用min{m，n}表示m，n中的最小值．已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），若h（x）有3个零点，则实数a的取值范围是______．二、解答题（共6小题，满分88分）15．在平面直角坐标系xOy中，点A（cosθ，sinθ），B（sinθ，0），其中θ∈R．（Ⅰ）当θ=，求向量的坐标；（Ⅱ）当θ∈[0，]时，求||的最大值．16．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．（1）求证：DE∥平面ACF；（2）若AB=CE，在线段EO上是否存在点G，使得CG⊥平面BDE？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由．17．如图，某水域的两直线型岸边l1，l2成定角120°，在该水域中位于该角角平分线上且与顶点A相距1公里的D处有一固定桩．现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网BC（B，C分别在l1和l2上），围出三角形ABC养殖区，且AB和AC都不超过5公里．设AB=x公里，AC=y公里．（1）将y表示成x的函数，并求其定义域；（2）该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区？18．已知点P是椭圆C上的任一点，P到直线l1：x=﹣2的距离为d1，到点F（﹣1，0）的距离为d2，且=．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，直线l与椭圆C交于不同的两点A，B（A，B都在x轴上方），且∠OFA+∠OFB=180°．（i）当A为椭圆C与y轴正半轴的交点时，求直线l的方程；（ii）是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总过该定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．19．已知函数g（x）=2alnx+x2﹣2x，a∈R．（1）若函数g（x）在定义域上为单调增函数，求a的取值范围；（2）设A，B是函数g（x）图象上的不同的两点，P（x0，y0）为线段AB的中点．（i）当a=0时，g（x）在点Q（x0，g（x0））处的切线与直线AB是否平行？说明理由；（ii）当a≠0时，是否存在这样的A，B，使得g（x）在点Q（x0，g（x0））处的切线与直线AB平行？说明理由．20．已知数列{a n}，{b n}满足b n=a n+1﹣a n，其中n=1，2，3，…．（Ⅰ）若a1=1，b n=n，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n+1b n﹣1=b n（n≥2），且b1=1，b2=2．（ⅰ）记c n=a6n﹣1（n≥1），求证：数列{c n}为等差数列；（ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．求a1应满足的条件．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，△ABC内接于圆O，D为弦BC上一点，过D作直线DP∥AC，交AB于点E，交圆O在A点处的切线于点P．求证：△PAE∽△BDE．[选修4-2：矩阵与变换]22．变换T1是逆时针旋转角的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应的变换矩阵是M2=．（1）点P（2，1）经过变换T1得到点P′，求P′的坐标；（2）求曲线y=x2先经过变换T1，再经过变换T2所得曲线的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设点A，B分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：ρ=1上，求AB的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知：a≥2，x∈R．求证：|x﹣1+a|+|x﹣a|≥3．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过M的直线与抛物线交于A，B两点．设A（x1，y1）到准线l的距离为d，且d=λp（λ＞0）．（1）若y1=d=1，求抛物线的标准方程；（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率为定值．26．设f（n）=（a+b）n（n∈N*，n≥2），若f（n）的展开式中，存在某连续3项，其二项式系数依次成等差数列，则称f（n）具有性质P．（1）求证：f（7）具有性质P；（2）若存在n≤2016，使f（n）具有性质P，求n的最大值．2016年江苏省南京市高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．已知集合M={0，2，4}，N={x|x=，a∈M}，则集合M∩N={0，2} ．【考点】交集及其运算．【分析】把M中元素代入x=确定出N，求出两集合的交集即可．【解答】解：把a=0，代入得：x=0；把a=2代入得：x=1；把a=4代入得：x=2，∴N={0，1，2}，∵M={0，2，4}，∴M∩N={0，2}，故答案为：{0，2}2．已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是（1，）．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由复数z的实部为a，虚部为1，知|z|=，再由0＜a＜2，能求出|z|的取值范围．【解答】解：∵复数z的实部为a，虚部为1，∴|z|=，∵0＜a＜2，∴1＜|z|=＜．故答案为：（1，）．3．若直线l1：x+2y﹣4=0与l2：mx+（2﹣m）y﹣3=0平行，则实数m的值为．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】直线l1：x+2y﹣4=0与l2：mx+（2﹣m）y﹣3=0平行，直线l1的斜率存在，因此直线l2的斜率也存在．化为斜截式，利用直线相互平行的充要条件即可得出．【解答】解：∵直线l1：x+2y﹣4=0与l2：mx+（2﹣m）y﹣3=0平行，直线l1的斜率存在，∴直线l2的斜率也存在．∴两条直线的方程可以化为：y=﹣x+2；y=x+．∴，2≠．解得：m=．故答案为：．4．某校有A，B两个学生食堂，若a，b，c三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件的总数，再找出所要求的事件包括的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式即可得出【解答】解：甲学生随机选择其中的一个食堂用餐可有两种选法，同理乙，丙也各有两种选法，根据乘法原理可知：共有23=8中选法；其中他们在同一个食堂用餐的方法只有两种：一种是都到第一个食堂，另一种是都到第二个食堂，则他们不同在一个食堂用餐的选法有8﹣2=6；他们不同在一个食堂用餐的概率为=．故答案为：5．如图是一个算法流程图，则输出的S的值是20．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序，可得a=5，S=1满足条件a≥4，执行循环体，S=5，a=4满足条件a≥4，执行循环体，S=20，a=3不满足条件a≥4，退出循环，输出S的值为20．故答案为：20．6．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出25人．【考点】分层抽样方法．【分析】直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出[2500，3000）内的频率，再计算所需抽取人数即可．【解答】解：由直方图可得[2500，3000）（元）月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分层抽样应抽出人故答案为：257．已知l是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中的真命题是④．（填所有真命题的序号）①若l∥α，l∥β，则α∥β②若α⊥β，l∥α，则l⊥β③若l∥α，α∥β，则l∥β④若l⊥α，l∥β，则α⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用线面平行、面面平行线面垂直的判定定理和性质定理对四个命题逐一分析解答．【解答】解：对于①若l∥α，l∥β，则α与β可能相交；故①错误；对于②若α⊥β，l∥α，则l与β可能平行；故②错误；对于③若l∥α，α∥β，则l可能在β内，故③错误；对于④若l⊥α，l∥β，由线面垂直和线面平行的性质定理，以及面面垂直的判定定理，可得α⊥β，故④正确；故选：④8．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4m时，测得拱桥内水面宽为16m；当水面升高3m 后，拱桥内水面的宽度为8m．【考点】椭圆的应用．【分析】先根据题目条件建立直角坐标系，设出抛物线的方程，然后利用点在曲线上，确定方程，求得点的坐标，也就得到水面的宽．【解答】解：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系设其方程为x2=2py（p≠0），∵A（8，﹣4）为抛物线上的点∴64=2p×（﹣4）∴2p=﹣16∴抛物线的方程为x2=﹣16y设当水面上升3米时，点B的坐标为（a，﹣1）（a＞0）∴a2=（﹣16）×（﹣1）∴a=4故水面宽为8米．故答案为：8．9．已知正数a，b，c满足3a﹣b+2c=0，则的最大值为．【考点】基本不等式．【分析】消去b，结合基本不等式的性质求出最大值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设t=，由3a﹣b+2c=0可得3a+2c=b，则t===≤==；当且仅当a=c时“=”成立，则t≤，即的最大值为；故答案为：．10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=，b=3，sinC=2sinA，则△ABC的面积为3．【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可求c的值，利用余弦定理即可求得cosB的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：在△ABC中，∵sinC=2sinA，a=，b=3，∴由正弦定理可得：c=2a=2，∴由余弦定理可得：cosB===，可得：sinB==，=acsinB==3．∴S△ABC故答案为：3．11．已知s n是等差数列{a n}的前n项和，若s2≥4，s4≤16，则a5的最大值是9．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由s2≥4，s4≤16，知2a1+d≥4，4a1+6d≤16，所以16≥4a1+6d=2（2a1+d）+4d≥8+4d，得到d≤2，由此能求出a5的最大值．【解答】解：∵s2≥4，s4≤16，∴a1+a2≥4，即2a1+d≥4a1+a2+a3+a4≤16，即4a1+6d≤16所以16≥4a1+6d=2（2a1+d）+4d≥8+4d，得到d≤2，所以4（a1+4d）=4a1+6d+10d≤16+20，即a5≤9∴a5的最大值为9．故答案为：9．12．将函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣＜θ）的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则φ的值为．【考点】正弦函数的图象．【分析】由f（x）的图象经过点P（0，），且﹣＜θ，可得θ=，又由g（x）的图象也经过点P（0，），可求出满足条件的φ的值【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣＜θ）的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位长度后，得到函数g（x）=sin[2（x﹣φ）+θ]=sin（2x﹣2φ+θ）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），∴sinθ=，sin（﹣2φ+θ）=，∴θ=，sin（﹣2φ）=，∴﹣2φ=2kπ+，k∈Z，此时φ=kπ，k∈Z，不满足条件：0＜φ＜π；或﹣2φ=2kπ+，k∈Z，此时φ=﹣kπ﹣，k∈Z，故φ=，故答案为：．13．如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB=60°，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则的最小值是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，可以得到△OAB为等边三角形，则AB=1，设BP=x，则AP=1﹣x，（0≤x≤1），利用向量加法的三角形法则，将则向已知向量转化，运用向量数量积的定义，即可得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质，即可求得答案．【解答】解：∵OA=OB=1，∠AOB=60°，∴△OAB为等边三角形，则AB=1，设BP=x，则AP=1﹣x，（0≤x≤1），∴=（+）=+=||•||cos+||•||cos＜，＞=1+（1﹣x）•x•cosπ==（x﹣）2﹣，∵0≤x≤1，∴当x=时，取得最小值为﹣．故答案为：﹣．14．用min{m，n}表示m，n中的最小值．已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），若h（x）有3个零点，则实数a的取值范围是（，）．【考点】函数零点的判定定理．【分析】由已知可得a＜0，进而可得若h（x）有3个零点，则＜1，f（1）＞0，f（）＜0，解得答案．【解答】解：∵f（x）=x3+ax+，∴f′（x）=3x2+a，若a≥0，则f′（x）≥0恒成立，函数f（x）=x3+ax+至多有一个零点，此时h（x）不可能有3个零点，故a＜0，令f′（x）=0，则x=±，∵g（1）=0，∴若h（x）有3个零点，则＜1，f（1）＞0，f（）＜0，即，解得：a∈（，），故答案为：（，）二、解答题（共6小题，满分88分）15．在平面直角坐标系xOy中，点A（cosθ，sinθ），B（sinθ，0），其中θ∈R．（Ⅰ）当θ=，求向量的坐标；（Ⅱ）当θ∈[0，]时，求||的最大值．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】（Ⅰ）把θ=代入，求出向量的坐标表示；（Ⅱ）由向量，求出||的表达式，在θ∈[0，]时，求出||的最大值．【解答】解：（Ⅰ）当θ=时，向量=（sin﹣cos，0﹣sin）=（+，﹣×）=（，﹣）；（Ⅱ）∵向量=（sinθ﹣cosθ，﹣sinθ），∴||====；∴当θ∈[0，]时，2θ+∈[，]，∴sin（2θ+）∈[﹣，1]，∴sin（2θ+）∈[﹣1，]，∴≤，即||的最大值是．16．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．（1）求证：DE∥平面ACF；（2）若AB=CE，在线段EO上是否存在点G，使得CG⊥平面BDE？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）利用正方形的性质以及中线性质任意得到OF∥DE，利用线面平行的判定定理可证；（2）取EO的中点G，连接CG，可证CG⊥EO，由EC⊥BD，AC⊥BD，可得平面ACE⊥平面BDE，从而利用面面垂直的性质即可证明CG⊥平面BDE．【解答】（本题满分为14分）证明：（1）连接OF由四边形ABCD是正方形可知，点O为BD的中点，又F为BE的中点，所以OF∥DE．…又OF⊂平面ACF，DE⊄平面ACF，所以DE∥平面ACF．…（2）在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE，证明如下：取EO的中点G，连接CG，在四棱锥E﹣ABCD中，AB=CE，CO=AB=CE，所以CG⊥EO．…又由EC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以EC⊥BD．…由四边形ABCD是正方形可知，AC⊥BD，又AC∩EC=C，所以BD⊥平面ACE，而BD⊂平面BDE，…所以，平面ACE⊥平面BDE，且平面ACE∩平面BDE=EO，因为CG⊥EO，CG⊂平面ACE，所以CG⊥平面BDE．…17．如图，某水域的两直线型岸边l 1，l 2 成定角120°，在该水域中位于该角角平分线上且与顶点A 相距1公里的D 处有一固定桩．现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网BC （B ，C 分别在l 1和l 2上），围出三角形ABC 养殖区，且AB 和AC 都不超过5公里．设AB=x 公里，AC=y 公里．（1）将y 表示成x 的函数，并求其定义域；（2）该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区？【考点】基本不等式在最值问题中的应用． 【分析】（1）由S △ABD +S △ACD =S △ABC ，将y 表示成x 的函数，由0＜y ≤5，0＜x ≤5，求其定义域；（2）S=xysinA=sin120°=（≤x ≤5），变形，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：（1）由S △ABD +S △ACD =S △ABC ，得，所以x +y=xy ，所以y=又0＜y ≤5，0＜x ≤5，所以≤x ≤5， 所以定义域为{x |≤x ≤5}；（2）设△ABC 的面积为S ，则结合（1）得：S=xysinA=sin120°=（≤x ≤5）=（x ﹣1）++2≥4，当仅当x ﹣1=，x=2时取等号．故当x=y=2时，面积S 取最小值\平方公里．答：该渔民总共至少可以围出平方公里的养殖区．18．已知点P 是椭圆C 上的任一点，P 到直线l 1：x=﹣2的距离为d 1，到点F （﹣1，0）的距离为d 2，且=．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，直线l与椭圆C交于不同的两点A，B（A，B都在x轴上方），且∠OFA+∠OFB=180°．（i）当A为椭圆C与y轴正半轴的交点时，求直线l的方程；（ii）是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总过该定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设P（x，y），则d1=|x+2|，d2=，由此利用=，能求出椭圆C的方程．（2）（i）由（1）知A（0，1），又F（﹣1，0），从而k AF=1，k BF=﹣1，直线BF的方程为：y=﹣（x+1）=﹣x﹣1，代入=1，得3x2+4x=0，由此能求出直线AB的方程．（ii）k AF+k BF=0，设直线AB的方程为y=kx+b，代入=1，得，由此利用韦达定理、椭圆性质，结合已知条件能推导出直线AB总经过定点M（﹣2，0）．【解答】解：（1）设P（x，y），∵点P是椭圆C上的任一点，P到直线l1：x=﹣2的距离为d1，到点F（﹣1，0）的距离为d2，且=，∴d1=|x+2|，d2=，==，化简，得=1．∴椭圆C的方程为=1．（2）（i）由（1）知A（0，1），又F（﹣1，0），∴k AF==1，∵∠OFA+∠OFB=180°，∴k BF=﹣1，∴直线BF的方程为：y=﹣（x+1）=﹣x﹣1，代入=1，得3x2+4x=0，解得x1=0，，代入y=﹣x﹣1，得（舍），或，∴B（﹣，），k AB==，∴直线AB的方程为y=．（ii）∵∠OFA+∠OFB=180°，∴k AF+k BF=0，设直线AB的方程为y=kx+b，代入=1，得，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴k AF+k BF=+=+==0，∴（kx1+b）（x2+1）+（kx2+b）（x1+1）=2kx1x2+（k+b）（x1+x2）+2b=2k×﹣（k+b）×+2b=0，∴b﹣2k=0，∴直线AB的方程为y=k（x+2），∴直线AB总经过定点M（﹣2，0）．19．已知函数g（x）=2alnx+x2﹣2x，a∈R．（1）若函数g（x）在定义域上为单调增函数，求a的取值范围；（2）设A，B是函数g（x）图象上的不同的两点，P（x0，y0）为线段AB的中点．（i）当a=0时，g（x）在点Q（x0，g（x0））处的切线与直线AB是否平行？说明理由；（ii）当a≠0时，是否存在这样的A，B，使得g（x）在点Q（x0，g（x0））处的切线与直线AB平行？说明理由．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出g（x）的导数，由题意可得g′（x）≥0对x＞0恒成立，即为a≥x﹣x2对x＞0恒成立，求出右边函数的最大值，即可得到a的范围；（2）（i）a=0时，求出g（x）的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，化简整理，结合中点坐标公式，即可得到结论；（ii）当a≠0时，假设存在这样的A，B，使得g（x）在点Q（x0，g（x0））处的切线与直线AB平行．由两直线平行的条件：斜率相等，化简整理，结合中点坐标公式，化为ln=，设t=（0＜t＜1），记函数h（t）=lnt﹣，求出导数，判断单调性，即可得到结论．【解答】解：（1）函数g（x）的定义域为（0，+∞），g（x）的导数为g′（x）=+2x﹣2=，若函数g（x）在定义域上为单调增函数，可得g′（x）≥0对x＞0恒成立，即为a≥x﹣x2对x＞0恒成立，由h（x）=x﹣x2=﹣（x﹣）2+，当x=时，h（x）取得最大值，则a≥；（2）（i）a=0时，g（x）=x2﹣2x，g′（x）=2x﹣2，g′（x0）=2x0﹣2，设A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2）），（0＜x1＜x2），可得x0=，k AB====x1+x2﹣2=2x0﹣2，则g（x）在点Q（x0，g（x0））处的切线与直线AB平行；（ii）当a≠0时，假设存在这样的A，B，使得g（x）在点Q（x0，g（x0））处的切线与直线AB平行．可得g′（x0）=，即+2x0﹣2=，由x0=，可得+x1+x2﹣2=+x1+x2﹣2，即ln =，设t=（0＜t ＜1），记函数h （t ）=lnt ﹣，则h ′（t ）=﹣=≥0，可得h （t ）在（0，1）递增，可得当0＜t ＜1时，h （t ）＜h （1）=0， 即方程lnt=在区间（0，1）上无解，故不存在这样的A ，B ，使得g （x ）在点Q （x 0，g （x 0））处的切线与直线AB 平行．20．已知数列{a n }，{b n }满足b n =a n +1﹣a n ，其中n=1，2，3，…． （Ⅰ）若a 1=1，b n =n ，求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若b n +1b n ﹣1=b n （n ≥2），且b 1=1，b 2=2． （ⅰ）记c n =a 6n ﹣1（n ≥1），求证：数列{c n }为等差数列；（ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．求a 1应满足的条件．【考点】数列递推式；等差关系的确定． 【分析】（Ⅰ）根据数列的基本性质以及题中已知条件便可求出数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）（ⅰ）先根据题中已知条件推导出b n +6=b n ，然后求出c n +1﹣c n 为定值，便可证明数列{c n }为等差数列；（ⅱ）数列{a 6n +i }均为以7为公差的等差数列，然后分别讨论当时和当时，数列是否满足题中条件，便可求出a 1应满足的条件．【解答】解：（Ⅰ）当n ≥2时，有a n =a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a n ﹣a n ﹣1） =a 1+b 1+b 2+…+b n ﹣1=．又因为a 1=1也满足上式，所以数列{a n }的通项为．（Ⅱ）由题设知：b n ＞0，对任意的n ∈N *有b n +2b n =b n +1，b n +1b n +3=b n +2得b n +3b n =1， 于是又b n +3b n +6=1，故b n +6=b n∴b 6n ﹣5=b 1=1，b 6n ﹣4=b 2=2，b 6n ﹣3=b 3=2，b 6n ﹣2=b 4=1，（ⅰ）c n +1﹣c n =a 6n +5﹣a 6n ﹣1=b 6n ﹣1+b 6n +b 6n +1+b 6n +2+b 6n +3+b 6n +4=（n ≥1），所以数列{c n }为等差数列． （ⅱ）设d n =a 6n +i （n ≥0），（其中i 为常数且i ∈{1，2，3，4，5，6}），所以d n+1﹣d n=a6n+6+i﹣a6n+i=b6n+i+b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5=7（n≥0）所以数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列．设，（其中n=6k+i（k≥0），i为{1，2，3，4，5，6}中的一个常数），当时，对任意的n=6k+i有=；由，i∈{1，2，3，4，5，6}知；此时重复出现无数次．当时，=①若，则对任意的k∈N有f k+1＜f k，所以数列为单调减数列；②若，则对任意的k∈N有f k+1＞f k，所以数列为单调增数列；（i=1，2，3，4，5，6）均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多各出现一次，即数列中任意一项的值最多出现六次．综上所述：当时，数列中必有某数重复出现无数次．当a1∉B时，数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，△ABC内接于圆O，D为弦BC上一点，过D作直线DP∥AC，交AB于点E，交圆O在A点处的切线于点P．求证：△PAE∽△BDE．【考点】相似三角形的判定．【分析】由题意，根据相似三角形的判定方法，找出两组对应角分别相等，即可证明△PAE ∽△BDE．【解答】证明：∵PA是圆O在点A处的切线，∴∠PAB=∠C．∵PD∥AC，∴∠EDB=∠C，∴∠PAE=∠PAB=∠C=∠BDE．又∵∠PEA=∠BED，∴△PAE∽△BDE．[选修4-2：矩阵与变换]22．变换T1是逆时针旋转角的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应的变换矩阵是M2=．（1）点P（2，1）经过变换T1得到点P′，求P′的坐标；（2）求曲线y=x2先经过变换T1，再经过变换T2所得曲线的方程．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】（1）变换T1对应的变换矩阵M1==，M1=，即可求得点P在T1作用下的点P′的坐标；（2）M=M2•M1=，由=，求得，代入y=x2，即可求得经过变换T2所得曲线的方程．【解答】解：（1）T1是逆时针旋转角的旋转变换，M1==，M1=，所以点P在T1作用下的点P′的坐标是（﹣1，2）；（2）M=M2•M1=，设是变换后图象上任一点，与之对应的变换前的点是，则M=，=，也就是，即，所以所求的曲线方程为y﹣x=y2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设点A，B分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：ρ=1上，求AB的最大值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】把曲线C1的参数方程化为普通方程，把曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心距离，即可得出最大值．【解答】解：曲线C1：（θ为参数），消去参数θ化为曲线C1：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，曲线C1是以（3，4）为圆心，1为半径的圆；曲线C2：ρ=1，化为直角坐标方程：x2+y2=1，是以（0，0）为圆心，1为半径的圆，可求得两圆圆心距|C1C2|==5，∵AB≤5+2+1=8，∴AB的最大值为8．[选修4-5：不等式选讲]24．已知：a≥2，x∈R．求证：|x﹣1+a|+|x﹣a|≥3．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】利用|m|+|n|≥|m﹣n|，将所证不等式转化为：|x﹣1+a|+|x﹣a|≥|2a﹣1|，再结合题意a≥2即可证得．【解答】证明：∵|m|+|n|≥|m﹣n|，∴|x﹣1+a|+|x﹣a|≥|x﹣1+a﹣（x﹣a）|=|2a﹣1|．又a≥2，故|2a﹣1|≥3．∴|x﹣1+a|+|x﹣a|≥3（证毕）．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过M的直线与抛物线交于A，B两点．设A（x1，y1）到准线l的距离为d，且d=λp（λ＞0）．（1）若y1=d=1，求抛物线的标准方程；（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率为定值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）由题意可知x1=1﹣，A点坐标为（1﹣，1），将A点坐标代入抛物线方程求得p的值，写出抛物线的标准方程；（2）直线AB过M（﹣，0），设直线AB的方程为y=k（x+），代入抛物线方程y2=2px，消去y，整理得，解出x1、x2，将d=x1+，代入d=λp，得， +λ=，可知，，将x1、x2代入，即可解得，可证直线AB的斜率为定值．【解答】解：（1）由条件知，x1=1﹣，则A点坐标为（1﹣，1），代入抛物线方程得p=1，∴抛物线方程为y2=2x，（2）证明：设B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x+），将直线AB的方程代入y2=2px，消去y得：，解得：x1=，x2=．∵d=λp，∴，+λ=，，∴p=x2﹣x1=，∴，∴直线AB的斜率为定值．26．设f（n）=（a+b）n（n∈N*，n≥2），若f（n）的展开式中，存在某连续3项，其二项式系数依次成等差数列，则称f（n）具有性质P．（1）求证：f（7）具有性质P；（2）若存在n≤2016，使f（n）具有性质P，求n的最大值．【考点】二项式定理的应用．【分析】（1）利用二项式定理计算可知f（7）的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为7、21、35，通过验证即得结论；（2）通过假设+=2，化简、变形可知（2k﹣n）2=n+2，问题转化为求当n≤2016时n取何值时n+2为完全平方数，进而计算可得结论．【解答】（1）证明：f（7）的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为=7、=21、=35，∵+=2，即、、成等差数列，∴f（7）具有性质P；（2）解：设f（n）具有性质P，则存在k∈N*，1≤k≤n﹣1，使、、成等差数列，所以+=2，整理得：4k2﹣4nk+（n2﹣n﹣2）=0，即（2k﹣n）2=n+2，所以n+2为完全平方数，又n≤2016，由于442＜2016+2＜452，所以n的最大值为442﹣2=1934，此时k=989或945．2016年9月28日。
优质金卷：江苏省南京市2018届高三第三次模拟考试数学试题(解析版)
1．【解析】分析:先化简集合A,B,再求得解.详解：由题得，，所以.故答案为：点睛：（1）本题主要考查集合的化简和并集，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)求集合的并集时，相同的元素只能写一次，所以不能写成，这违背了集合元素的互异性.点睛：（1）本题主要考查复数的运算、共轭复数和复数的模,意在考查学生对复数基础知识的掌握能力及基本的运算能力. (2)复数的共轭复数为.3．【解析】分析：由频率分布直方图，得每天在校平均开销在[50，60]元的学生所点的频率为0.3，由此能求出每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数．详解：由频率分布直方图，得：每天在校平均开销在[50，60]元的学生所点的频率为：1﹣（0.01+0.024+0.036）×10=0.3∴每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数为500×0.3=150．故答案为：150点睛：本题考查频率分布直方图的应用，考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.4．【解析】分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．详解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I＜8，S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8，S=7，I=10不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7点睛：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键．点睛：（1）本题主要考查排列组合的知识，考查古典概型，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)相邻的问题一般利用捆绑法，先把A和B捆绑在一起，有种捆法，再把捆绑在一起的A和B看成一个整体，和第三个人排列有种排法，共有=4种方法.6．【解析】分析：由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点O连线的斜率求解．详解：由实数x，y满足作出可行域如图，联立，解得A（1，2）．的几何意义为可行域内的动点与定点O连线的斜率，∴k OA=2．由解得B（）.∴k OB=．∴则的取值范围是[，2]．故答案为：[，2]点睛：（1）本题主要考查线性规划，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及数形结合思想方法.(2)表示两点所在直线的斜率，要记住这个差之比的结构表示的是两点所在直线的斜率.7．①③【解析】分析：①，根据线面垂直的性质和面面平行的定义判断命题正确；②，根据线面、面面垂直的定义与性质判断命题错误；③，根据线面平行的性质与面面垂直的定义判断命题正确；④，根据线面、面面平行与垂直的性质判断命题错误．点睛：（1）本题主要考查空间线面位置关系的判断证明，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力. (2)类似这种位置关系的判断题，可以举反例或者简单证明，这两种方法要灵活选择.8．【解析】分析：由已知中双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，通过渐近线、离心率等几何元素，沟通a，b，c的关系，即可求出该双曲线的离心率．详解：∵焦点到渐近线的距离等于半实轴长，∴=2a，∴b=2a，∴e=．故答案为：点睛：（1）本题主要考查双曲线的简单几何性质、离心率，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)求双曲线的离心率一般方法是根据已知找关于离心率的方程，所以在求离心率时，要想方设法找到方程.9．【解析】分析：设等比数列{a n}的公比为q，n∈N*，且a1=1，S6=3S3，q=1时，不满足S6=3S3．q≠1，可得，化简再利用通项公式即可得出．详解：设等比数列{a n}的公比为q，n∈N*，且a1=1，S6=3S3，q=1时，不满足S6=3S3．q≠1，可得，化为：q3+1=3，即q3=2，∴a7=q6=4．故答案为：4点睛：(1)本题主要考查等比数列的通项和前n项和，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本的运算能力.（2）等比数列的前n项和，所以在利用等比数列前n项和公式计算时，一般都要就和分类讨论,否则容易出错.点睛：本题主要考查函数的周期性和分段函数求值，意在考查对这些基础知识的掌握能力和基本的运算能力.11．【解析】分析：设直线l：y=k(x-4).先求出,,再根据求出k的值得解. 详解：由题得圆M的方程为：令y=0得或x=4,所以A(4，0),B(2，0).则圆N的方程为：因为(3)解（1）（2）（3）得k=.所以直线l的方程为.故答案为：点睛：（1）本题主要考查直线的方程，直线与圆的位置关系,要在考查学生对这些基础知识的掌握能力、基本的运算能力和分析推理能力. (2)涉及直线与曲线的问题，经常要联立直线与曲线的方程得到韦达定理，这是一个常规的方法技巧，大家要理解掌握并灵活运用.12．【解析】分析：先建立直角坐标系，设C(2cosa,2sina),D(x,y),再求出x和cosa,最后求的值.详解：建立如下的直角坐标系,所以所以=故答案为：-3点睛：(1)本题主要考查平面向量的数量积和坐标运算、坐标法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析转化能力. （2）本题的关键有两个，其一是要想到坐标法分析解答，设C(2cosa,2sina),D(x,y),其二是要善于从已知里找到方程求出x和cosa的值.13．【解析】分析：先利用2b=a+c消掉b得到,再令5a+c=x,2a+c=y，消去a,c，利用基本不等式求最小值.详解：因为正数a,b,c成等差数列，所以2b=a+c.所以令5a+c=x,2a+c=y，则所以当且仅当时取等号.故答案为：点睛：本题主要考查基本不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理转化的能力.(2)本题的关键是得到后，要想到转化，令5a+c=x,2a+c=y，则所以，把关于a，c的转化成关于新变量x,y的最值问题.转化是高中数学最普遍的数学思想，要灵活运用.14．【解析】分析：先转化为存在零点，再利用数形结合分析两种情况下求a的最大值和最小值得解.当直线y=ax+b过点且与相切时，最小，设切点为，则切线方程为，此时所以a的最小值为所以的取值范围为.故答案为：点睛：(1)本题主要考查函数的零点问题和导数的几何意义，意在考查学生这些基础知识的掌握能力和分析转化数形结合的能力. (2)本题的关键有两点，其一是转化为存在零点，其二是如何数形结合分析两个函数的图像求出a的最大值和最小值.15．（1）；（2）.【解析】分析：（1）先求出cosα＝，再利用二倍角公式求的值.(2)先求出sinβ＝，cosβ＝，再利用差角的正弦求sin(2α－β)的值，最后求的值.详解：（1）因为点P的横坐标为，P在单位圆上，α为锐角，所以cosα＝，所以cos2α＝2cos2α－1＝．因为α为锐角，所以0＜2α＜π．又cos2α＞0，所以0＜2α＜，又β为锐角，所以－＜2α－β＜，所以2α－β＝．点睛：（1）本题主要考查三角函数的坐标定义，考查同角的三角关系，考查三角恒等变换,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理计算能力.(2)第2问易错，再求得sin(2α－β) 后，容易错误地得到2α－β＝或研究三角问题，一定要注意角的问题，所以先要求出－＜2α－β＜，再得出2α－β＝．16．（1）证明见解析；（2）.【解析】分析：（1）先证明PE ⊥平面ABC，再证明平面平面.(2) 连接CD交AE于O，连接OM，先证明PD∥OM，再利用相似求出的长．详解：（1）证明：如图，连结PE．因为△PBC的边长为2的正三角形，E为BC中点，所以PE⊥BC，且PE＝，同理AE＝．因为PA＝，所以PE2＋AE2＝PA2，所以PE⊥AE．因为PE⊥BC，PE⊥AE，BC∩AE＝E，AE，BC ⊂平面ABC，所以PE ⊥平面ABC．因为PE⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC．所以PM＝PC＝．点睛：（1）本题主要考查面面垂直的证明和线面平行的性质定理，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理转化能力. (2)对平面的转化是本题的关键，由线面平行得到线线平行PD∥OM，首先必须找到一个平面经过直线PD，且这个平面和平面AEM相交，再找到这两个平面的交线OM，对这个性质定理，学生要理解掌握并灵活运用.17．（1）；（2）与重合.【解析】分析：（1）解直角三角形BDC用表示的长.(2)先利用正弦定理求出DF＝4cosθsin(＋θ)，再求出DE＝AF=4－4，再利用三角函数求DE＋DF的最大值.（2）在△BDF中，∠DBF＝θ＋，∠BFD＝，BD＝cosθ，所以，所以DF＝4cosθsin(＋θ)，且BF＝4，所以DE＝AF=4－4，所以DE＋DF＝4－4＋4 sin(＋θ)= sin2θ－cos2θ＋3＝2 sin(2θ－)＋3．因为≤θ＜，所以≤2θ－＜，所以当2θ－＝，即θ＝时，DE＋DF有最大值5，此时E与C重合．答：当E与C重合时，两条栈道长度之和最大．点睛：（1）本题主要考查解三角形和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力、计算能力,意在考查学生函数思想方法. (2)本题的关键是想到函数的思想方法，先求出DE＋DF sin2θ－cos2θ＋3＝2 sin(2θ－)＋3，再根据≤θ＜，利用三角函数的图像性质求函数的最大值.18．（1）；（2）.【解析】分析：（1）先根据已知得到三个方程解方程组即得椭圆C的方程. (2) 设N(n，0)，先讨论l斜率不存在的情况得到n=4,再证明当N为(4，0)时，对斜率为k的直线l：y＝k(x－)，恒有＝12．（2）设N(n，0)，当l斜率不存在时，A(，y)，B(，－y)，则y2＝1－＝，则＝(－n)2－y2＝(－n)2－＝n2－n－，当l经过左､右顶点时，＝(－2－n)(2－n)＝n2－4．令n2－n－＝n2－4，得n＝4．下面证明当N为(4，0)时，对斜率为k的直线l：y＝k(x－)，恒有＝12．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，得(4k2＋1)x2－k2x＋k2－4＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝，所以＝(x1－4)(x2－4)＋y1y2＝(x1－4)(x2－4)＋k2(x1－)(x2－)＝(k2＋1)x1x2－(4＋k2)(x1＋x2)＋16＋k2＝(k2＋1) －(4＋k2) ＋16＋k2＝＋16＝12．所以在x轴上存在定点N(4，0)，使得为定值．点睛：（1）本题主要考查椭圆的方程和直线和椭圆的位置关系，考查向量的数量积，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力基本计算能力. (2)对于定点定值问题，可以通过特殊情况先探究，再进行一般性的证明.本题就是这样探究的.先通过讨论l斜率不存在的情况得到n=4,=12，再证明斜率存在时，对斜率为k的直线l：y＝k(x－)，恒有＝12．19．（1）；（2）时，；时，；（3）.【解析】分析：（1）利用导数求函数的极大值，再解方程f (x)极大值＝0得到a的值. (2)利用导数求函数的单调区间，再求函数的最大值. (3) 设h (x)＝f(x)－f ′(x)＝2x3－3(a＋2)x2＋6ax＋3a－2，先把问题转化为h (x)≥0在有解，再研究函数h(x)的图像性质分析出正整数a的集合.当x∈(a，＋∞)时，f'(x)＞0，f (x)单调递增．故f (x)极大值＝f (0)＝3a－2＝0，解得a＝．（2）g (x)＝f (x)＋6x＝2x3－3ax2＋6x＋3a－2（a＞0），则g′(x)＝6x2－6ax＋6＝6(x2－ax＋1)，x∈[0，1]．①当0＜a≤2时，△＝36(a2－4)≤0，所以g′(x)≥0恒成立，g (x)在[0，1]上单调递增，则g (x)取得最大值时x的值为1．②当a＞2时，g′(x)的对称轴x＝＞1，且△＝36(a2－4)＞0，g′(1)＝6(2－a)＜0，g′(0)＝6＞0，所以g′(x)在(0，1)上存在唯一零点x0＝．当x∈(0，x0)时，g′(x)＞0，g (x)单调递增，当x∈(x0，1)时，g′(x)＜0，g (x)单调递减，则g (x)取得最大值时x的值为x0＝．综上，当0＜a≤2时，g (x)取得最大值时x的值为1；当a＞2时，g (x)取得最大值时x的值为．所以h()≥0，即a3－3a2－6a＋4≤0．设t (a)＝a3－3a2－6a＋4（a＞0），则t′ (a)＝3a2－6a－6，当a∈(0，1＋)时，t′ (a)＜0，t (a)单调递减；当a∈(1＋，＋∞)时，t′ (a)＞0，t(a)单调递增．因为t (0)＝4＞0，t (1)＝－4＜0，所以t (a)存在一个零点m∈(0，1)，因为t (4)＝－4＜0，t (5)＝24＞0，所以t (a)存在一个零点n∈(4，5)，所以t (a)≤0的解集为[m，n]，故满足条件的正整数a的集合为{1，2，3，4}．点睛：（1）本题主要考查利用导数求极值、最值和利用导数研究不等式有解问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和逻辑分析推理能力运算能力.(2)本题的难点在解不等式h()≥0，即a3－3a2－6a＋4≤0．这里由于是高次不等式解答不了，所以要构造函数t (a)＝a3－3a2－6a＋4（a＞0），通过函数的图像性质得到不等式的解.这是一种解题技巧.20．（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】分析：（1）先利用项和公式计算出a n＝4n－2，再利用“数列”证明.(2)利用“数列”的性质求的取值范围.(3)先证明数列{a n}为等差数列，再转化a n＜a－a＜a n＋1，再转化为n(2t2－t)＞t2－3t ＋1，n(t－2t2)＞2t－t2－1，分析得到公差t＝，求出数列的通项公式.（2）因为数列{a n}是公差为d的等差数列，所以a n＋|a n＋1－a n＋2|＝a1＋(n－1) d＋|d|．因为数列{a n}为“T 数列”，所以任意n∈N*，存在m∈N*，使得a1＋(n－1) d＋|d|＝a m，即有(m－n) d＝|d|．①若d≥0，则存在m＝n＋1∈N*，使得(m－n) d＝|d|，②若d＜0，则m＝n－1．此时，当n＝1时，m＝0不为正整数，所以d＜0不符合题意．综上，d≥0．（3）因为a n＜a n＋1，所以a n＋|a n＋1－a n＋2|＝a n＋a n＋2－a n＋1．又因为a n＜a n＋a n＋2－a n＋1＝a n＋2－(a n＋1－a n)＜a n＋2，且数列{a n}为“T数列”，所以a n＋a n＋2－a n＋1＝a n＋1，即a n＋a n＋2＝2a n＋1，所以数列{a n}为等差数列．设数列{a n}的公差为t(t＞0)，则有a n＝1＋(n－1)t，由a n＜a－a＜a n＋1，得1＋(n－1)t＜t[2＋(2n－1)t]＜1＋nt，整理得n(2t2－t)＞t2－3t＋1，①n(t－2t2)＞2t－t2－1．②若2t2－t＜0，取正整数N0＞，则当n＞N0时，n(2t2－t)＜(2t2－t) N0＜t2－3t＋1，与①式对于任意n∈N*恒成立相矛盾，因此2t2－t≥0．同样根据②式可得t－2t2≥0，所以2t2－t＝0．又t＞0，所以t＝．经检验当t＝时，①②两式对于任意n∈N*恒成立，所以数列{a n}的通项公式为a n＝1＋ (n－1)＝．点睛：（1）本题主要考查等差数列，考查新定义“T数列”，考查学生理解新定义及利用新定义解题的能力，考查学生分析推理能力. (2)本题的难点在第（3）问，得到n(2t2－t)＞t2－3t＋1，① ，n(t－2t2)＞2t －t2－1，② 后如何得到公差t的值，这里作为恒成立问题来探究t的值.21．证明见解析.点睛：本题主要考查几何证明选讲等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理能力. 22．.【解析】分析：先求出AB＝，再设点P0(x0，y0)是l上任意一点，P0在矩阵AB对应的变换作用下得到P(x，y)，再求直线的方程．详解：因为A＝，B＝，所以AB＝．设点P0(x0，y0)是l上任意一点，P0在矩阵AB对应的变换作用下得到P(x，y)．因为P0(x0，y0)在直线l: x－y＋2＝0上，所以x0－y0＋2＝0．①由AB，即，得, 即,②将②代入①得x－4y＋4＝0，所以直线l1的方程为x－4y＋4＝0．点睛：本题主要考查矩阵和矩阵变换下直线方程的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.23．.【解析】分析：先求出点P的直角坐标，再求出直线与极轴的交点C(2，0)，再求出圆C 的半径PC＝2，最后求圆的极坐标方程．点睛：本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查圆的方程，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本计算能力.24．.【解析】分析：利用柯西不等式求的最大值.详解：因为(12＋12＋12)[( )2＋()2＋()2]≥(1·＋1·＋1·)2，即(＋＋)2≤9(a＋b＋c)．因为a＋b＋c＝1，所以(＋＋)2≤9，所以＋＋≤3，当且仅当＝＝，即a＝b＝c＝时等号成立．所以＋＋的最大值为3.点睛：本题主要考查利用柯西不等式求最大值，利用柯西不等式求最值时，先要把式子配成柯西不等式的形式，(12＋12＋12)[( )2＋()2＋()2]≥(1·＋1·＋1·)2，再利用柯西不等式.25．（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用抛物线的定义求p的值.(2)先求出a的值，再联立直线的方程和抛物线的方程得到韦达定理，再求|(y1＋2) (y2＋2)|的值.详解：（1）因为点A(1，a) (a＞0)是抛物线C上一点，且AF=2，所以＋1＝2，所以p＝2.点睛：（1）本题主要考查抛物线的定义及简单几何性质，考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理计算能力. (2)本题的关键是看到d1d2＝|(y1＋2) (y2＋2)|要联想到韦达定理,再利用韦达定理解答. 26．（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用已知化简，解得n=15.（2）首先归纳猜想猜想f n(x)＋g n(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，再证明猜想，最后得到对于每一个给定的正整数n，关于x的方程f n(x)＋g n(x)＝0所有解的集合为{－1，－2，…，－n}．详解：（1）因为f n(x)＝x(x＋1)…(x＋i－1)，所以f n(1)＝×1×…×i＝＝(n－1)×n!，g n(1)＝＋1×2×…×n＝2×n!，所以(n－1)×n!＝14×n!，解得n＝15．（2）因为f2(x)＋g2(x)＝2x＋2＋x(x＋1)＝(x＋1)(x＋2)，f3(x)＋g3(x)＝6x＋3x(x＋1)＋6＋x(x＋1)(x＋2)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)，猜想f n(x)＋g n(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)．面用数学归纳法证明：当n＝2时，命题成立；假设n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即f k(x)＋g k(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋k)，＝(k+1)(x＋1)(x＋2)…(x＋k)＋x(x＋1)…(x＋k)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋k) (x＋k＋1)，即n＝k＋1时命题也成立．因此任意n∈N*且n≥2，有f n(x)＋g n(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)．所以对于每一个给定的正整数n，关于x的方程f n(x)＋g n(x)＝0所有解的集合为{－1，－2，…，－n}．点睛：(1)本题主要考查排列组合的运算，考查求和，考查数学归纳法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力. (2)在利用数学归纳法证明时，必须要利用到前面的归纳假设f k(x)＋g k(x)＝(x＋1)(x ＋2)…(x＋k)，否则就不是数学归纳法,为了利用这个假设，后面的f k＋1(x)＋g k＋1(x)必须分解出f k(x)＋g k(x)，f k＋1(x)＋g k＋1(x)=(k+1)[ f k(x)＋g k(x)]＋x(x＋1)…(x＋k).。
最新南京市2018届高三年级第三次模拟考试及答案
南京市2018届高三年级第三次模拟考试1 数 学 2018.052一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题3 纸的指定位置上）4 1．集合A ＝{x| x 2＋x －6＝0}，B ＝{x| x 2－4＝0}，则A ∪B =▲________．52．已知复数z 的共轭复数是－z ．若z (2－i)＝5，其中i 为虚数单位，则－z 的模为▲________．63．某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校7 平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如8 图所示，则其中每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数为▲________．9 10 11 1213 14 15 1617 4．根据如图所示的伪代码，可知输出S 的值为▲________．18 5．已知A ，B ，C 三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A 与B 在相邻两天值班的概率为19 ▲________． 206．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －3≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则yx 的取值范围为▲________．21S ←1 I ←1 While I ＜8 S ←S ＋2 I ←I ＋3 End While Print S7. 已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题：22 ①若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β； ②若l ⊥α，α⊥β，则l ∥β； 23 ③若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β； ④若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β． 24 其中真命题为▲________（填所有真命题的序号）．258．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离26 为2a ，则该双曲线的离心率为▲________．279．若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，且a 1=1，S 6=3S 3，则a 7的值为▲________． 28 10．若f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，且f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ＋a ，0≤x ≤2，－6x ＋18，2＜x ≤3，则f (a+1)的29 值为▲________．30 11．在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0与x 轴的两个交点分别为A ，B ，其31 中A 在B 的右侧，以AB 为直径的圆记为圆N ，过点A 作直线l 与圆M ，圆N 分别交于C ，D 两点．若32 D 为线段AC 的中点，则直线l 的方程为▲________．3312．在△ABC 中，AB =3，AC =2，D 为边BC 上一点．若AB →·AD →＝5， AC →·AD →＝－23，则AB →·AC→34 的值为▲________．3513．若正数a ，b ，c 成等差数列，则c 2a ＋b＋b a ＋2c的最小值为▲________．36 14．已知a ，b ∈R ，e 为自然对数的底数．若存在b ∈[－3e ，－e 2]，使得函数f (x )＝e x －ax －b 在37 [1，3]上存在零点，则a 的取值范围为▲________．38 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把39 答案写在答题卡的指定区域内）4015．(本小题满分14分)41 在平面直角坐标系xOy 中，锐角α，β的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴的正半轴，终边与单42 位圆O 的交点分别为P ，Q ．已知点P 的横坐标为277，点Q 的纵坐标为3314．43（1）求cos2α的值； 44 （2）求2α－β的值.4546 47 4849 50 515253 16.（本小题满分14分）54如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ＝6，其余棱长均为2，M 是棱PC 上的一点，D ，E 分别为棱AB ，55 BC 的中点．56 （1）求证: 平面PBC ⊥平面ABC ； 57 （2）若PD ∥平面AEM ，求PM 的长． 585960 61 6263(第15题(第16题AC B MDEP64 65 6667 17．(本小题满分14分)68如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB ，AC 和以BC 为直径的半圆弧BC ⌒组成，其中AC 69 为2百米，AC ⊥BC ，∠A 为π3．若在半圆弧BC ⌒，线段AC ，线段AB 上各建一个观赏亭D ，E ，F ，70再修两条栈道DE ，DF ，使DE ∥AB ，DF ∥AC . 记∠CBD ＝θ71 （1）试用θ表示BD 的长；72 （2）试确定点E 的位置，使两条栈道长度之和最大.73 74 75 76 77 78 7980 18．(本小题满分16分)81如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点P (85，35)，离心率为32. 已82知过点M (25，0)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．83（1）求椭圆C 的方程；84（2）试问x 轴上是否存在定点N ，使得NA →·NB →为定值．若存在，求出点N 的坐标；若不存85(第17题在，请说明理由.868788899091929394959697989919．(本小题满分16分)100已知函数f (x)＝2x3－3ax2＋3a－2（a＞0），记f'(x)为f(x)的导函数．101（1）若f (x)的极大值为0，求实数a的值；102（2）若函数g (x)＝f (x)＋6x，求g (x)在[0，1]上取到最大值时x的值；103（3）若关于x的不等式f(x)≥f'(x)在[a2，a+22]上有解，求满足条件的正整数a的集合．104105 106 107 108 109 110 11120．(本小题满分16分)112 若数列{a n }满足：对于任意n ∈N *，a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|均为数列{a n }中的项，则称数列{a n }为“T 数列”． 113（1）若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2，n ∈N *，求证：数列{a n }为“T 数列”； 114（2）若公差为d 的等差数列{a n }为“T 数列”，求d 的取值范围；115（3）若数列{a n }为“T 数列”，a 1＝1，且对于任意n ∈N *，均有a n ＜a 2n ＋1－a 2n ＜a n ＋1，求数列{a n }116的通项公式．117118119120121122123124125126127128129130131南京市2018届高三年级第三次模拟考试 132数学附加题 2018.05133B ．选修4—2：矩阵与变换134 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2 0 1 ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 0 0 1 ，若直线l : x －y ＋2＝0在矩阵AB 对应的变换作用下得到直135线l 1，求直线l 1的方程．136137138139140141C ．选修4—4：坐标系与参数方程142 在极坐标系中，已知圆C 经过点P （2，π3），圆心C 为直线sin(θ－π3)＝－3与极轴的交点，143 求圆C 的极坐标方程． 144145 146 147 148 14915022．(本小题满分10分)151在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 152上一点，且AF ＝2． 153（1）求p 的值；154（2）若M ，N 为抛物线C 上异于A 的两点，且．记点M ，N 到直线2的距离分别为155d 1，d 2，求d 1d 2的值．156157158159160161162163·F164 16516616723．(本小题满分10分)168已知f n (x )＝i ＝1∑n －1A n －in x (x ＋1)…(x ＋i －1)，g n (x )＝A n n ＋x (x ＋1)…(x ＋n －1)，其中x ∈R ，n ∈N*且169n ≥2．170（1）若f n (1)＝7g n (1)，求n 的值；171（2）对于每一个给定的正整数n ，求关于x 的方程f n (x )＋g n (x )＝0所有解的集合． 172173174175 176177178179180181182183184185186187188189190191192南京市2018届高三年级第三次模拟考试193数学参考答案194一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题195纸的指定位置上）1961．{－3，－2，2} 2． 5 3．150 4．7 5．23 6．[211，2] 7． ①③1978． 5 9．4 10．2 11．x ＋2y －4＝0 12．－3 13．259 14．[e 2，1984e]199二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请200把答案写在答题纸的指定区域内） 20115．(本小题满分14分)202解：（1）因为点P 的横坐标为277，P 在单位圆上，α为锐角，所以cos α＝277， ……2203 分204所以cos2α＝2cos 2α－1＝17． ……4分205（2）因为点Q 的纵坐标为3314，所以sin β＝3314． ……6分 206又因为β为锐角，所以cos β＝1314． ……8分 207 因为cos α＝277，且α为锐角，所以sin α＝217，因此sin2α＝2sin αcos α＝437， …208 10分209所以sin(2α－β) ＝437×1314－17×3314＝32． …12分 210 因为α为锐角，所以0＜2α＜π．又cos2α＞0，所以0＜2α＜π2，211又β为锐角，所以－π2＜2α－β＜π2，所以2α－β＝π3． ……14分 212 16．(本小题满分14分)213 （1）证明：如图1，连结PE ．因为△PBC 的边长为2的正三角形，E 为BC 中点，214所以PE ⊥BC ， ……2分215且PE ＝3，同理AE ＝3．216因为PA ＝6，所以PE 2＋AE 2＝PA 2，所以PE ⊥AE ．……4分 217 因为PE ⊥BC ，PE ⊥AE ，BC ∩AE ＝E ，AE ，BC平面ABC ，218所以PE ⊥平面ABC ．219 因为PE平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABC ． ……7分220（2）解法一221 如图1，连接CD 交AE 于O ，连接OM ．222因为PD ∥平面AEM ，PD平面PDC ，平面AEM ∩平面PDC ＝OM ，223(图1)OP ACB MDE所以PD ∥OM ， …………9分224 所以PM PC ＝DODC． …………11分 225 因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，CD ∩AE ＝O ，所以O 为ABC 重心，所以DO DC ＝13，226 所以PM ＝13PC ＝23． ………14分227解法二228如图2，取BE 的中点N ，连接PN ． 229因为D ，N 分别为AB ，BE 的中点，230所以DN ∥AE ． 231 又DN平面AEM ，AE平面AEM ，232所以DN ∥平面AEM ．233 又因为PD ∥平面AEM ，DN平面PDN ，PD平面PDN ，DN ∩PD ＝D ，234所以平面PDN ∥平面AEM ． ………………………………9分 235 又因为平面AEM ∩平面PBC ＝ME ，平面PDN ∩平面PBC ＝PN ，236所以ME ∥PN ，所以PM PC ＝NENC． ………………………………11分237因为E ，N 分别为BC ，BE 的中点，所以NE NC ＝13，所以PM ＝13PC ＝23． …………14分 238 17．(本小题满分14分) 239 ………240(图2)P AMDECB N解：（1）连结DC ．在△ABC 中，AC 为2百米，AC ⊥BC ，∠A 为π3， 241 所以∠CBA ＝π6，AB ＝4，BC ＝23． ………2分242因为BC 为直径，所以∠BDC ＝π2，所以BD ＝BC cos θ＝23cos θ． …………4分 243 （2）在△BDF 中，∠DBF ＝θ＋π6，∠BFD ＝π3，BD ＝23cos θ， 244 所以DF sin(θ＋π6)＝BF sin(π2－θ)＝BD sin ∠BFD， 所以DF ＝4cos θsin(π6＋245 θ)， ……………6分246 且BF ＝4cos 2θ，所以DE ＝AF =4－4cos 2θ， …………8分247所以DE ＋DF ＝4－4cos 2θ＋4 cos θsin(π6＋θ)=3sin2θ－cos2θ＋3＝2 sin(2θ－π6)＋2483． ………12分249因为π3≤θ＜π2，所以π2≤2θ－π6＜5π6，所以当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，DE ＋DF 有最大值5，250此时E 与C 重合． …13分答：当E 与C 重合时，两条栈道长度之和最大． …………14分 25118．(本小题满分16分)252解（1）离心率e ＝ca ＝32，所以c ＝32a ，b ＝a 2－c 2＝12a ， ………………2分 253 所以椭圆C 的方程为x 24b 2＋y 2b2＝1．254因为椭圆C 经过点P (85，35)，所以1625b 2＋925b2＝1，255所以b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1． …………………………………4分256（2）解法一257设N (n ，0)，当l 斜率不存在时，A (25，y )，B (25，－y )，则y 2＝1－(25)24＝2425，258则NA→NB →＝(25－n )2－y 2＝(25－n )2－2425＝n 2－45n －45， …………6分259 当l 经过左､右顶点时，NA→NB →＝(－2－n )(2－n )＝n 2－4．260令n 2－45n －45＝n 2－4，得n ＝4． ………………8分261下面证明当N 为(4，0)时，对斜率为k 的直线l ：y ＝k (x －25)，恒有NA→NB →＝12．262 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －25)，消去y ，得(4k 2＋1)x 2－165k 2x ＋1625k 2－4＝0，263所以x 1＋x 2＝165k 24k 2＋1，x 1x 2＝1625k 2－44k 2＋1， ……………10分264所以NA→NB →＝(x 1－4)(x 2－4)＋y 1y 2265 ＝(x 1－4)(x 2－4)＋k 2(x 1－25)(x 2－25)266＝(k 2＋1)x 1x 2－(4＋25k 2)(x 1＋x 2)＋16＋425k 2 ……………12分267＝(k 2＋1)1625k 2－44k 2＋1－(4＋25k 2)165k 24k 2＋1＋16＋425k 2268＝(k 2＋1)(1625k 2－4)－165k 2(4＋25k 2)＋425k 2(4k 2＋1)4k 2＋1＋16269＝－16k 2－44k 2＋1＋16＝12．270所以在x 轴上存在定点N (4，0)，使得NA →NB →为定值． ………………16分271 解法二272设N (n ，0)，当直线l 斜率存在时，设l ：y ＝k (x －25)，273设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，274由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －25)，消去y ，得(4k 2＋1)x 2－165k 2x ＋1625k 2－4＝0，275所以x 1＋x 2＝165k 24k 2＋1，x 1x 2＝1625k 2－44k 2＋1， ……………6分276所以NA→NB →＝(x 1－n )(x 2－n )＋y 1y 2＝(x 1－n )(x 2－n )＋k 2(x 1－25)(x 2－25)277 ＝(k 2＋1)x 1x 2－(n ＋25k 2)(x 1＋x 2)＋n 2＋425k 2278＝(k 2＋1)1625k 2－44k 2＋1－(n ＋25k 2)165k 24k 2＋1＋n 2＋425k 2 ………………8分279＝(k 2＋1)(1625k 2－4)－165k 2(n ＋25k 2)＋425k 2(4k 2＋1)4k 2＋1＋n 2 280＝(－165n －165)k 2－44k 2＋1＋n 2． ………………12分 281若NA→NB →为常数，则(－165n －165)k 2－44k 2＋1为常数，设(－165n －165)k 2－44k 2＋1＝λ，λ为常数，282则(－165n －165)k 2－4＝4λk 2＋λ对任意的实数k 恒成立， 283 所以⎩⎪⎨⎪⎧－165n －165＝4λ，－4＝λ，所以n ＝4，λ＝－4， 此时NA →NB →＝28412． …………14分285当直线l 斜率不存在时，A (25，y )，B (25，－y )，则y 2＝1－(25)24＝2425，286所以NA→NB →＝(25－4)2－y 2＝(25－4)2－2425＝12，287 所以在x 轴上存在定点N (4，0)，使得NA →NB →为定值． ………………………………16分28819．(本小题满分16分)289解：（1）因为f (x )＝2x 3－3ax 2＋3a －2（a ＞0），290 所以f'(x )＝6x 2－6ax ＝6x (x －a )．291令f'(x )＝0，得x ＝0或a ． ………………2分292当x ∈(－∞，0)时，f'(x )＞0，f (x )单调递增； 293当x ∈(0，a )时，f'(x )＜0，f (x )单调递减； 294当x ∈(a ，＋∞)时，f'(x )＞0，f (x )单调递增．295故f (x )极大值＝f (0)＝3a －2＝0，解得a ＝23． ………………4分296（2）g (x )＝f (x )＋6x ＝2x 3－3ax 2＋6x ＋3a －2（a ＞0）， 297则g ′(x )＝6x 2－6ax ＋6＝6(x 2－ax ＋1)，x ∈[0，1]．298①当0＜a ≤2时，△＝36(a 2－4)≤0，299所以g ′(x )≥0恒成立，g (x )在[0，1]上单调递增，300则g (x )取得最大值时x 的值为1． ……………………………6分301②当a ＞2时，g ′(x )的对称轴x ＝a2＞1，且△＝36(a 2－4)＞0，g ′(1)＝6(2－a )＜0，g ′(0)＝6302＞0，303所以g ′(x )在(0，1)上存在唯一零点x 0＝a －a 2－42．304 当x ∈(0，x 0)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增， 305 当x ∈(x 0，1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，306则g (x )取得最大值时x 的值为x 0＝a －a 2－42． ………………………………8分307 综上，当0＜a ≤2时，g (x )取得最大值时x 的值为1；308 当a ＞2时，g (x )取得最大值时x 的值为a －a 2－42． ……………………………9分309 （3）设h (x )＝f (x )－f ′(x )＝2x 3－3(a ＋2)x 2＋6ax ＋3a －2，310 则h (x )≥0在[a 2，a ＋22]有解． ………………………………10分311h′(x)＝6[x2－(a＋2)x＋a]＝6[(x－a＋22)2－a2＋44]，312因为h′(x)在(a2，a＋22)上单调递减，所以h′(x)＜h′(a2)＝－32a2＜0，313所以h (x)在(a2，a＋22)上单调递减，314所以h(a2)≥0，即a3－3a2－6a＋4≤0．…………………………………12分315设t (a)＝a3－3a2－6a＋4（a＞0），则t′ (a)＝3a2－6a－6，316当a∈(0，1＋2)时，t′ (a)＜0，t (a)单调递减；317当a∈(1＋2，＋∞)时，t′ (a)＞0，t(a)单调递增．318因为t (0)＝4＞0，t (1)＝－4＜0，所以t (a)存在一个零点m∈(0，1)，…………………14分319因为t (4)＝－4＜0，t (5)＝24＞0，所以t (a)存在一个零点n∈(4，5)，320所以t (a)≤0的解集为[m，n]，321故满足条件的正整数a的集合为{1，2，3，4}．…………………………………16分32220．(本小题满分16分)323解：（1）当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，324又a1＝S1＝2＝4×1－2，所以a n＝4n－2． (2)325分326所以a n＋|a n＋1－a n＋2|＝4n－2＋4＝4(n＋1)－2为数列{a n}的第n＋1项，327因此数列{a n}为“T 数328列”．…………………………………4分329（2）因为数列{a n}是公差为d的等差数列，330所以a n＋|a n＋1－a n＋2|＝a1＋(n－1) d＋|d|．331因为数列{a n}为“T 数列”，332所以任意n∈N*，存在m∈N*，使得a1＋(n－1)d＋|d|＝a m，即有(m－n)d＝|d|． (333)6分334①若d≥0，则存在m＝n＋1∈N*，使得(m－n) d＝|d|，335②若d＜0，则m＝n－1．336此时，当n＝1时，m＝0不为正整数，所以d＜0不符合题意．337综上，d≥0．……………………………………8分338（3）因为a n＜a n＋1，所以a n＋|a n＋1－a n＋2|＝a n＋a n＋2－a n＋1．339又因为a n＜a n＋a n＋2－a n＋1＝a n＋2－(a n＋1－a n)＜a n＋2，且数列{a n}为“T数列”，340所以a n＋a n＋2－a n＋1＝a n＋1，即a n＋a n＋2＝2a n＋1，341所以数列{a n}为等差数列． (342)10分343设数列{a n}的公差为t(t＞0)，则有a n＝1＋(n－1)t，344由a n＜a2n＋1－a2n＜a n＋1，得1＋(n－1)t＜t[2＋(2n－1)t]＜1＋345nt，………………………………12分346整理得n(2t2－t)＞t2－3t＋1，①347n(t－2t2)＞2t－t2－1．②348若2t2－t＜0，取正整数N0＞t2－3t＋1 2t2－t，349则当n ＞N 0时，n (2t 2－t )＜(2t 2－t ) N 0＜t 2－3t ＋1，与①式对于任意n ∈N*恒成立相矛盾，350 因此2t 2－t ≥0．351同样根据②式可得t －2t 2≥0，352所以2t 2－t ＝0．又t ＞0，所以t ＝12．353经检验当t ＝12时，①②两式对于任意n ∈N*恒成立，354所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12． (16)355分356B ．选修4—2：矩阵与变换357解：因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 20 1． (4)358分359设点P 0(x 0，y 0)是l 上任意一点，P 0在矩阵AB 对应的变换作用下得到P (x ，y )． 360因为P 0(x 0，y 0)在直线l : x －y ＋2＝0上，所以x 0－y 0＋2＝0． ① 361由AB ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 20 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，362得⎩⎪⎨⎪⎧2 x 0＋2 y 0＝x ，y 0＝y ， ………………6分即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12x －y ，y 0＝y ．② 363将②代入①得x －4y ＋4＝0，所以直线l 1的方程为x －4y ＋4＝0． ……………10分 364365C ．选修4—4：坐标系与参数方程366解：解法一367 在直线sin(θ－π3)＝－3中，令θ＝0，得＝2.368 所以圆C 的圆心坐标为C (2，0)． …………4分 369因为圆C 经过点P (2，π3)，所以圆C 的半径PC ＝22+22－2×2×2×cosπ3＝2， ………………370 6分371所以圆C 的极坐标方程＝4cos θ． ……10分372解法二373 以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立平面直角坐标系， 374则直线方程为y ＝3x －23，P 的直角坐标为(1，3)，375令y ＝0，得x ＝2，所以C (2，0)， ………………………………4376 分377所以圆C 的半径PC ＝(2－1)2+(0－3)2=2， ………………………………6分 378所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －0)2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0， (8379)分380所以圆C 的极坐标方程＝4cos θ. (10)381分382【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 38322．（本小题满分10分）384解：（1）因为点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，且AF =2，38521所以p2＋1＝2，所以p ＝2. …………3分386（2）解法一387由(1)得抛物线方程为y 2＝4x ．388因为点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2． …………4分389设直线AM 方程为x －1＝m (y －2) (m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．390 由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝m (y －2)，y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4m y ＋8m －4＝0，391 即(y －2)( y －4m ＋2)＝0，所以y 1＝4m －2． ……………………………6分392 因为AM ⊥AN ，所以－1m 代m ，得y 2＝－4m－2， ……………………………8分393所以d 1d 2＝|(y 1＋2) (y 2＋2)|＝|4m ×(－4m)|＝16． ……………………………10分394解法二395 由(1)得抛物线方程为y 2＝4x ．396因为点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2． ……………………………4分397设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则AM →·AN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋( y 1－2) (y 2－2)＝0． ……6分398又因为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在y 2＝4x 上， 399所以(y 21－4) (y 22－4)＋16( y 1－2) (y 2－2)＝0， 400即[( y 1＋2) (y 2＋2)＋16]( y 1－2) (y 2－2)＝0．401因为( y 1－2) (y 2－2)≠0，所以( y 1＋2) (y 2＋2)＝－16， ……………………………8分402所以d 1d 2＝|(y 1＋2) (y 2＋2)|＝16． ……………………………10分 4032223．（本小题满分10分）404 解：（1）因为f n (x )＝i ＝1∑n －1A n －in x (x ＋1)…(x ＋i －1)，405所以f n (1)＝i ＝1∑n －1A n －i n ×1×…×i ＝i ＝1∑n －1n !＝(n －1)×n !，g n (1)＝A nn ＋1×2×…×n ＝2×n !，406所以(n －1)×n !＝14×n !，解得n ＝15． ……………………………3分 407（2）因为f 2(x )＋g 2(x )＝2x ＋2＋x (x ＋1)＝(x ＋1)(x ＋2)，408f 3(x )＋g 3(x )＝6x ＋3x (x ＋1)＋6＋x (x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)， 409猜想f n (x )＋g n (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )． ……………………………5分 410下面用数学归纳法证明： 411当n ＝2时，命题成立；412假设n ＝k (k ≥2，k ∈N*)时命题成立，即f k (x )＋g k (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k )，413因为f k ＋1(x )＝i ＝1∑kA k ＋1－ik ＋1x (x ＋1)…(x ＋i －1)414＝i ＝1∑k －1(k ＋1)A k －i k x (x ＋1)…(x ＋i －1)＋A 1k ＋1x (x ＋1)…(x ＋k －1)415＝(k +1) f k (x )＋(k +1) x (x ＋1)…(x ＋k －1)，416所以f k ＋1(x )＋g k ＋1(x )＝(k +1) f k (x )＋(k +1) x (x ＋1)…(x ＋k －1)＋A k ＋1k ＋1＋x (x ＋1)…(x ＋417k )418 ＝(k +1)[ f k (x )＋x (x ＋1)…(x ＋k －1)＋A k k ]＋x (x ＋1)…(x ＋k ) 419＝(k +1)[ f k (x )＋g k (x )]＋x (x ＋1)…(x ＋k ) 420＝(k +1)(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k )＋x (x ＋1)…(x ＋k )421＝(x＋1)(x＋2)…(x＋k) (x＋k＋1)，422423即n＝k＋1时命题也成立．424因此任意n∈N*且n≥2，有f n(x)＋g n(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)．…………………9分425所以对于每一个给定的正整数n，关于x的方程f n(x)＋g n(x)＝0所有解的集合为426{－1，－2，…，－n}．……………………………10分42723。
【江苏省南京市】2017届高考数学三模考试数学(理)试卷-答案
2 3s﹣2 -3t﹣2
2 9
3s
1 3t1 3
0
.∵
2 3s﹣2 -3t﹣2
是整数,∴
a1
a1 2p
1.
于是 a1 -a1-2 p ,即 a1 - p .与 - p a1 p 矛盾.
故此时数列{an}中不存在三项 ar ,as ,at (r,s,t N*,r s t) 依次成等差数列.
江苏省南京市 2017 届高考数学三模考试数学(理)试卷
答案
1.{2} 2. 3 .
8 3. 5
4. 1.
5. 34 . 5
6.2.
7.{ 3 }. 2
8. 1 . 2
9.8 .
10. 1 . 3
11. 1 5 . 2
12. 3 .
13. -1 a 3 . 5
14.[27,30] . 二、解答题：本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
(iii)当
a1 p
1时,有 a1
-p
p,a1
p
0.
于是 a2 | P-a1 | 2a1 p p-a1 2a1 p a1 2 p . a3 | p-a2 | 2a2 p | a1 p | 2a1 5 p -a1-p 2a1 5 p a1 4 p 此时数列{an} 中存在三项 a1,a2,a3 依次成等差数列.
若 a b ( 2 ,0) ,则 (2cos a 2sin a,sin 2a t)=( 2 ,0) ,
5
5
1 / 17
可得 cos a sin a= 1 ,平方可得 sin 2a cos 2a 2cos asin a= 1 ,
南京市2018届高三年级第三次模拟考试(数学)参考答案
南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{－3，－2，2} 2． 5 3．150 4．7 5．23 6．[211，2] 7． ①③8． 5 9．4 10．2 11．x ＋2y －4＝0 12．－3 13．259 14．[e 2，4e]二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)解：（1）因为点P 的横坐标为277，P 在单位圆上，α为锐角，所以cos α＝277， ………………………………2分所以cos2α＝2cos 2α－1＝17． ………………………………4分（2）因为点Q 的纵坐标为3314，所以sin β＝3314． ………………………………6分 又因为β为锐角，所以cos β＝1314． ………………………………8分因为cos α＝277，且α为锐角，所以sin α＝217，因此sin2α＝2sin αcos α＝437， ……………………………10分所以sin(2α－β) ＝437×1314－17×3314＝32． ……………………………12分 因为α为锐角，所以0＜2α＜π． 又cos2α＞0，所以0＜2α＜π2，又β为锐角，所以－π2＜2α－β＜π2，所以2α－β＝π3． …………………………………14分16．(本小题满分14分)（1）证明：如图1，连结PE ．因为△PBC 的边长为2的正三角形，E 为BC 中点， 所以PE ⊥BC ， ……………………2分 且PE ＝3，同理AE ＝3．因为P A ＝6，所以PE 2＋AE 2＝P A 2，所以PE ⊥AE ．……4分 因为PE ⊥BC ，PE ⊥AE ，BC ∩AE ＝E ，AE ，BC ⊂平面ABC ， 所以PE ⊥平面ABC ． 因为PE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABC ． ……………………7分 （2）解法一如图1，连接CD 交AE 于O ，连接OM ．因为PD ∥平面AEM ，PD ⊂平面PDC ，平面AEM ∩平面PDC ＝OM ，所以PD ∥OM ， ……………………………………9分 所以PM PC ＝DODC ． ……………………………………11分因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，CD ∩AE ＝O ， 所以O 为∆ABC 重心，所以DO DC ＝13， 所以PM ＝13PC ＝23． …………………………………14分解法二如图2，取BE 的中点N ，连接PN ． 因为D ，N 分别为AB ，BE 的中点， 所以DN ∥AE ．又DN ⊄平面AEM ，AE ⊂平面AEM ， 所以DN ∥平面AEM ．又因为PD ∥平面AEM ，DN ⊂平面PDN ，PD ⊂平面PDN ，DN ∩PD ＝D ， 所以平面PDN ∥平面AEM ． ………………………………9分 又因为平面AEM ∩平面PBC ＝ME ，平面PDN ∩平面PBC ＝PN ，所以ME ∥PN ，所以PM PC ＝NENC ． ………………………………11分因为E ，N 分别为BC ，BE 的中点，所以NE NC ＝13，所以PM ＝13PC ＝23． ………………………………14分17．(本小题满分14分) 解：（1）连结DC ．(图2)PAM DEC B N(图1)OB P ACMDE在△ABC 中，AC 为2百米，AC ⊥BC ，∠A 为π3，所以∠CBA ＝π6，AB ＝4，BC ＝23． ………………………………2分因为BC 为直径，所以∠BDC ＝π2，所以BD ＝BC cos θ＝23cos θ． ………………………………4分 （2）在△BDF 中，∠DBF ＝θ＋π6，∠BFD ＝π3，BD ＝23cos θ，所以DF sin(θ＋π6)＝BF sin(π2－θ)＝BDsin ∠BFD ，所以DF ＝4cos θsin(π6＋θ)， ………………………………6分且BF ＝4cos 2θ，所以DE ＝AF =4－4cos 2θ， ………………………………8分 所以DE ＋DF ＝4－4cos 2θ＋4 cos θsin(π6＋θ)=3sin2θ－cos2θ＋3＝2 sin(2θ－π6)＋3． …………………………………12分因为π3≤θ＜π2，所以π2≤2θ－π6＜5π6，所以当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，DE ＋DF 有最大值5，此时E 与C 重合． ……………13分答：当E 与C 重合时，两条栈道长度之和最大． …………………………………14分18．(本小题满分16分)解（1）离心率e ＝c a ＝32，所以c ＝32a ，b ＝a 2－c 2＝12a ， …………………………………2分所以椭圆C 的方程为x 24b 2＋y 2b2＝1．因为椭圆C 经过点P (85，35)，所以1625b 2＋925b 2＝1，所以b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1． …………………………………4分（2）解法一设N (n ，0)，当l 斜率不存在时，A (25，y )，B (25，－y )，则y 2＝1－(25)24＝2425，则NA →⋅NB →＝(25－n )2－y 2＝(25－n )2－2425＝n 2－45n －45， …………………………………6分当l 经过左､右顶点时，NA →⋅NB →＝(－2－n )(2－n )＝n 2－4．令n 2－45n －45＝n 2－4，得n ＝4． ……………………………………8分下面证明当N 为(4，0)时，对斜率为k 的直线l ：y ＝k (x －25)，恒有NA →⋅NB →＝12．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －25)，消去y ，得(4k 2＋1)x 2－165k 2x ＋1625k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝165k 24k 2＋1，x 1x 2＝1625k 2－44k 2＋1， …………………………………10分所以NA →⋅NB →＝(x 1－4)(x 2－4)＋y 1y 2＝(x 1－4)(x 2－4)＋k 2(x 1－25)(x 2－25)＝(k 2＋1)x 1x 2－(4＋25k 2)(x 1＋x 2)＋16＋425k 2 …………………………………12分＝(k 2＋1)1625k 2－44k 2＋1－(4＋25k 2)165k 24k 2＋1＋16＋425k 2＝(k 2＋1)(1625k 2－4)－165k 2(4＋25k 2)＋425k 2(4k 2＋1)4k 2＋1＋16＝－16k 2－44k 2＋1＋16＝12．所以在x 轴上存在定点N (4，0)，使得NA →⋅NB →为定值． …………………………………16分 解法二设N (n ，0)，当直线l 斜率存在时，设l ：y ＝k (x －25)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －25)，消去y ，得(4k 2＋1)x 2－165k 2x ＋1625k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝165k 24k 2＋1，x 1x 2＝1625k 2－44k 2＋1， …………………………………6分所以NA →⋅NB →＝(x 1－n )(x 2－n )＋y 1y 2＝(x 1－n )(x 2－n )＋k 2(x 1－25)(x 2－25)＝(k 2＋1)x 1x 2－(n ＋25k 2)(x 1＋x 2)＋n 2＋425k 2＝(k 2＋1)1625k 2－44k 2＋1－(n ＋25k 2)165k 24k 2＋1＋n 2＋425k 2 ……………………………………8分＝(k 2＋1)(1625k 2－4)－165k 2(n ＋25k 2)＋425k 2(4k 2＋1)4k 2＋1＋n 2＝(－165n －165)k 2－44k 2＋1＋n 2． ……………………………………12分 若NA →⋅NB →为常数，则(－165n －165)k 2－44k 2＋1为常数，设(－165n －165)k 2－44k 2＋1＝λ，λ为常数，则(－165n －165)k 2－4＝4λk 2＋λ对任意的实数k 恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧－165n －165＝4λ，－4＝λ，所以n ＝4，λ＝－4，此时NA →⋅NB →＝12． ……………………………………14分 当直线l 斜率不存在时，A (25，y )，B (25，－y )，则y 2＝1－(25)24＝2425，所以NA →⋅NB →＝(25－4)2－y 2＝(25－4)2－2425＝12，所以在x 轴上存在定点N (4，0)，使得NA →⋅NB →为定值． ………………………………16分 19．(本小题满分16分)解：（1）因为f (x )＝2x 3－3ax 2＋3a －2（a ＞0），所以f'(x )＝6x 2－6ax ＝6x (x －a )．令f'(x )＝0，得x ＝0或a ． ………………………………2分 当x ∈(－∞，0)时，f'(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(0，a )时，f'(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f'(x )＞0，f (x )单调递增．故f (x )极大值＝f (0)＝3a －2＝0，解得a ＝23． ………………………………4分（2）g (x )＝f (x )＋6x ＝2x 3－3ax 2＋6x ＋3a －2（a ＞0）， 则g ′(x )＝6x 2－6ax ＋6＝6(x 2－ax ＋1)，x ∈[0，1]．①当0＜a ≤2时，△＝36(a 2－4)≤0，所以g ′(x )≥0恒成立，g (x )在[0，1]上单调递增，则g (x )取得最大值时x 的值为1． ……………………………6分②当a ＞2时，g ′(x )的对称轴x ＝a2＞1，且△＝36(a 2－4)＞0，g ′(1)＝6(2－a )＜0，g ′(0)＝6＞0，所以g ′(x )在(0，1)上存在唯一零点x 0＝a －a 2－42．当x ∈(0，x 0)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增， 当x ∈(x 0，1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，则g (x )取得最大值时x 的值为x 0＝a －a 2－42． ………………………………8分综上，当0＜a ≤2时，g (x )取得最大值时x 的值为1；当a ＞2时，g (x )取得最大值时x 的值为a －a 2－42． ……………………………9分（3）设h (x )＝f (x )－f ′(x )＝2x 3－3(a ＋2)x 2＋6ax ＋3a －2，则h (x )≥0在[a 2，a ＋22]有解． ………………………………10分h ′(x )＝6[x 2－(a ＋2)x ＋a ]＝6[(x －a ＋22)2－a 2＋44]，因为h ′(x )在(a 2，a ＋22)上单调递减，所以h ′(x )＜h ′(a 2)＝－32a 2＜0，所以h (x )在(a 2，a ＋22)上单调递减，所以h (a2)≥0，即a 3－3a 2－6a ＋4≤0． …………………………………12分设t (a )＝a 3－3a 2－6a ＋4（a ＞0），则t ′ (a )＝3a 2－6a －6， 当a ∈(0，1＋2)时，t ′ (a )＜0，t (a )单调递减； 当a ∈(1＋2，＋∞)时，t ′ (a )＞0，t (a )单调递增．因为t (0)＝4＞0，t (1)＝－4＜0，所以t (a )存在一个零点m ∈(0，1)， …………………14分 因为t (4)＝－4＜0，t (5)＝24＞0，所以t (a )存在一个零点n ∈(4，5)， 所以t (a )≤0的解集为[m ，n ]，故满足条件的正整数a 的集合为{1，2，3，4}． …………………………………16分20．(本小题满分16分)解：（1）当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，又a 1＝S 1＝2＝4×1－2，所以a n ＝4n －2． …………………………………2分 所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝4n －2＋4＝4(n ＋1)－2为数列{a n }的第n ＋1项，因此数列{a n }为“T 数列”． …………………………………4分 （2）因为数列{a n }是公差为d 的等差数列， 所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝a 1＋(n －1) d ＋|d |． 因为数列{a n }为“T 数列”，所以任意n ∈N *，存在m ∈N *，使得a 1＋(n －1) d ＋|d |＝a m ，即有(m －n ) d ＝|d |．…………6分 ①若d ≥0，则存在m ＝n ＋1∈N *，使得(m －n ) d ＝|d |， ②若d ＜0，则m ＝n －1．此时，当n ＝1时，m ＝0不为正整数，所以d ＜0不符合题意．综上，d ≥0． ……………………………………8分 （3）因为a n ＜a n ＋1，所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝a n ＋a n ＋2－a n ＋1．又因为a n ＜a n ＋a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋2－(a n ＋1－a n )＜a n ＋2，且数列{a n }为“T 数列”， 所以a n ＋a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1，即a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，所以数列{a n }为等差数列． …………………………………10分 设数列{a n }的公差为t (t ＞0)，则有a n ＝1＋(n －1)t ，由a n ＜a 2n ＋1－a 2n ＜a n ＋1，得1＋(n －1)t ＜t [2＋(2n －1)t ]＜1＋nt ，………………………………12分整理得n (2t 2－t )＞t 2－3t ＋1， ①n (t －2t 2)＞2t －t 2－1． ②若2t 2－t ＜0，取正整数N 0＞t 2－3t ＋12t 2－t，则当n ＞N 0时，n (2t 2－t )＜(2t 2－t ) N 0＜t 2－3t ＋1，与①式对于任意n ∈N *恒成立相矛盾， 因此2t 2－t ≥0．同样根据②式可得t －2t 2≥0， 所以2t 2－t ＝0．又t ＞0，所以t ＝12．经检验当t ＝12时，①②两式对于任意n ∈N *恒成立，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12． ………………………………16分南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2018.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域．．．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结MN ，则∠BMN ＝∠BCA ， ………………………………2分又∠MBN ＝∠CBA ，因此△MBN ∽△CBA ． ………………………………4分 所以AB AC ＝BNMN ． ………………………………6分又因为AC ＝12AB ，所以BNMN ＝2，即BN ＝2MN ． ………………………………8分又因为BN ＝2AM ，所以AM ＝MN ，所以CM 是∠ACB 的平分线． ………………………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 20 1． ………………………………4分 设点P 0(x 0，y 0)是l 上任意一点，P 0在矩阵AB 对应的变换作用下得到P (x ，y )．因为P 0(x 0，y 0)在直线l : x －y ＋2＝0上，所以x 0－y 0＋2＝0． ①由AB ⎣⎡⎦⎤x 0y 0＝⎣⎡⎦⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 20 1 ⎣⎡⎦⎤x 0y 0＝⎣⎡⎦⎤x y ， 得⎩⎨⎧2 x 0＋2 y 0＝x ， y 0＝y ，………………………………6分 即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12x －y ，y 0＝y ．② 将②代入①得x －4y ＋4＝0，所以直线l 1的方程为x －4y ＋4＝0． ………………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：解法一在直线ρsin(θ－π3)＝－3中，令θ＝0，得ρ＝2.所以圆C 的圆心坐标为C (2，0)． ………………………………4分因为圆C 经过点P (2，π3)，所以圆C 的半径PC ＝22+22－2×2×2×cos π3＝2， ……………………………6分所以圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ． ……………………………10分解法二以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立平面直角坐标系，则直线方程为y ＝3x －23，P 的直角坐标为(1，3)，令y ＝0，得x ＝2，所以C (2，0)， ………………………………4分 所以圆C 的半径PC ＝(2－1)2+(0－3)2=2， ………………………………6分所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －0)2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0， ………………………………8分所以圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ. ……………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解：因为(12＋12＋12)[(2a ＋b )2＋(2b ＋c )2＋(2c ＋a )2]≥(1·2a ＋b ＋1·2b ＋c ＋1·2c ＋a )2，即(2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a )2≤9(a ＋b ＋c )． ……………………………4分因为a ＋b ＋c ＝1，所以(2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a )2≤9， ……………………………6分所以2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≤3，当且仅当2a ＋b ＝2b ＋c ＝2c ＋a ，即a ＝b ＝c ＝13时等号成立．所以2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a 的最大值为3. ……………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）解：（1）因为点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，且AF =2，所以p2＋1＝2，所以p ＝2. ……………………………3分（2）解法一由(1)得抛物线方程为y 2＝4x ．因为点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2． ……………………………4分设直线AM 方程为x －1＝m (y －2) (m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧x －1＝m (y －2)，y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4m y ＋8m －4＝0， 即(y －2)( y －4m ＋2)＝0，所以y 1＝4m －2． ……………………………6分 因为AM ⊥AN ，所以－1m 代m ，得y 2＝－4m －2， ……………………………8分所以d 1d 2＝|(y 1＋2) (y 2＋2)|＝|4m ×(－4m )|＝16． ……………………………10分解法二由(1)得抛物线方程为y 2＝4x ．因为点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2． ……………………………4分 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则AM →·AN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋( y 1－2) (y 2－2)＝0． ……6分 又因为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在y 2＝4x 上，所以(y 21－4) (y 22－4)＋16( y 1－2) (y 2－2)＝0，即[( y 1＋2) (y 2＋2)＋16]( y 1－2) (y 2－2)＝0．因为( y 1－2) (y 2－2)≠0，所以( y 1＋2) (y 2＋2)＝－16， ……………………………8分所以d 1d 2＝|(y 1＋2) (y 2＋2)|＝16． ……………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）因为f n (x )＝i ＝1∑n －1An －in x (x ＋1)…(x ＋i －1)，所以f n (1)＝i ＝1∑n －1An －i n ×1×…×i ＝i ＝1∑n －1n !＝(n －1)×n !，g n (1)＝A nn ＋1×2×…×n ＝2×n !，所以(n －1)×n !＝14×n !，解得n ＝15． ……………………………3分 （2）因为f 2(x )＋g 2(x )＝2x ＋2＋x (x ＋1)＝(x ＋1)(x ＋2)，f 3(x )＋g 3(x )＝6x ＋3x (x ＋1)＋6＋x (x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)，猜想f n (x )＋g n (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )． ……………………………5分下面用数学归纳法证明： 当n ＝2时，命题成立；假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即f k (x )＋g k (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k )，因为f k ＋1(x )＝i ＝1∑kAk ＋1－ik ＋1x (x ＋1)…(x ＋i －1)＝i ＝1∑k －1(k ＋1)A k －ik x (x ＋1)…(x ＋i －1)＋A 1k ＋1x (x ＋1)…(x ＋k －1)＝(k +1) f k (x )＋(k +1) x (x ＋1)…(x ＋k －1)，所以f k ＋1(x )＋g k ＋1(x )＝(k +1) f k (x )＋(k +1) x (x ＋1)…(x ＋k －1)＋A k ＋1k ＋1＋x (x ＋1)…(x ＋k )＝(k +1)[ f k (x )＋x (x ＋1)…(x ＋k －1)＋A kk ]＋x (x ＋1)…(x ＋k )＝(k +1)[ f k (x )＋g k (x )]＋x (x ＋1)…(x ＋k )＝(k +1)(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k )＋x (x ＋1)…(x ＋k ) ＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k ) (x ＋k ＋1)，即n ＝k ＋1时命题也成立．因此任意n ∈N *且n ≥2，有f n (x )＋g n (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )． …………………9分所以对于每一个给定的正整数n ，关于x 的方程f n (x )＋g n (x )＝0所有解的集合为{－1，－2，…，－n}．……………………………10分。
高三数学-2018年南京市高三第三次质量检测 精品
2018年南京市高三第三次质量检测数 学 2018.5本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，第I 卷(第1题至12题)，第II 卷(第13题至22题)．共150分，考试时间120分钟．第I 卷(选择题共60分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、试题科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么 P (A ·B )＝P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k )＝kn C P k (1－P )n -k正棱锥、圆锥的侧面积公式 S 锥侧＝21cl其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长球的体积公式 V 球＝34πR 3其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． （1）抛物线212y x =-的焦点坐标是 A ．1(0,)2B ．(0,1)-C ．1(,0)8- D ．1(0,)2-（2）函数()log a f x x =(0a >，且1a ≠)的反函数1()y f x -=是减函数的充分必要条件是A ．01a <<B ．1a >C ．112a << D ．12a << （3）如图是150辆汽车通过某路段时速度的频率分布直方图，则速度在[60,70)的汽车大A．100辆B．80辆C．60辆D．45辆（4）集合{|sin,3nM x x nπ==∈Z}，{|cos,2nN x x nπ==∈N}，则M N= A．{－1,0,1} B．{0,1} C．{0} D．∅（5）已知A，B是圆心为C||5AB=，则AC CB⋅等于A．52-B．52C．0 D（6）已知数列{}na的前n项和(40)nS n n=-，则下列判断正确的是A．19210,0a a><B．20210,0a a><C．19210,0a a<>D．19200,0a a<>（7）函数3xy=的图象与函数21()3xy-=的图象关于A．直线1x=对称B．点(1,0)-对称C．直线1x=-对称D．点(1,0)对称（8）方程1sin4x xπ=的解的个数是A．5 B．6 C．7 D．8（9）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，1A B B C A A==，90ABC∠=，点E、F分别是棱AB、BB1的中点．则直线EF和BC1所成的角是A．45B．60C．90D．120（10）显示屏上的7个小孔排成一排，每个小孔可以显示红、绿两种颜色，或不显示．若每次显示其中三个小孔，但相邻的两个小孔不同时显示，则该显示屏能够显示的不同的信号种数为A ．80B ．60C ．48D ．10（11）已知关于t 的方程20t tx y ++=有两个绝对值都不大于1的实数根，则点(,)P x y 在坐标平面内所对应的区域的图形大致是（12）某市原来的民用电价为0.52元/千瓦时，换装分时电表后，峰时段的电价为0.55元/千瓦时，谷时段的电价为0.30元/千瓦时．对于一个平均每天用电量为15千瓦时的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的20%，则这个家庭每天在峰时段的平均用电量至多为 A ．6.5千瓦时 B ．6.96千瓦时 C ．7.5千瓦时 D ．8千瓦时第II 卷(非选择题共90分)注意事项：1．第Ⅱ卷共8页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上，不要在答题卡上填涂． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．（13）不等式122x x ->+的解集为． （14）已知点F 是椭圆2212516x y +=的右焦点，点A（4，1）是椭圆内的一点，点P （x ，y ）（x ≥0）是椭圆上的一个动点，则||FA AP +的最大值是 ．（15）函数sin (sin cos )y x x x =+([0,])2x π∈的值域是 ．（16）如图，在长方体AC 1中，AB ＝4，BC ＝3，AA 1＝3．长为2的线段MN 在棱AB 上滑A BCD动，点E ，F 分别是棱A 1B 1，C 1D 1上的动点．则三棱锥N －MEF 的体积是 ． 三、解答题：本大题6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)在ABC ∆中，A 、B 、C 为三角形的三个内角，且A ＜B ＜C ，sin B 45=， cos （2A ＋C ）45=-．求cos2A 的值．(18)(本小题满分12分) 某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计，甲、乙、丙三人100m 跑（互不影响）的成绩在13s 内（称为合格）的概率分别是25，34，13．如果对这3名短跑运动员的100m 跑的成绩进行一次检测．问：（I ）三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？ （II ）出现几人合格的概率最大？如图，点是边长为4的正方形的中心，点，分别是，的中点．沿对角线AC把正方形ABCD折成直二面角D－AC－B．（Ⅰ）求EOF∠的大小；（Ⅱ）求二面角E OF A--的大小．(20) (本小题满分12分)下表给出一个“三角形数阵”：141 2，143 4，38，316……已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等．记第i行第j列的数为a ij（i≥j，i，j∈*N）．（1）求a83；（2）试写出a ij关于i，j的表达式；（3）记第n行的和为A n，求数列{A n}的前m项和B m的表达式．0），C （2，0），内切圆圆心I （1，t ）．设点A 的轨迹为L ．（1）求L 的方程；（2）过点C 作直线m 交曲线L 于不同的两点M ，N ，问在x 轴上是否存在一个异于C 的定点Q ，使QM →·QC →|QM →|＝QN →·QC →|QN →|对任意的直线m 都成立？若存在，试求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．(22)(本小题满分14分)设1x 、2x 是函数322()32a b f x x x a x =+-（a ＞0）的两个极值点，且12||||2x x +=． （1）证明：01a <≤； （2）证明：||9b ≤； （3）若函数1()'()2()h x f x a x x =--，证明：当12x x <<且10x <时，|()|4h x a ≤．2018年南京市高三数学第三次质量检测参考解答及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一、选择题：每小题5分，满分60分．(1)D (2)A (3) C (4)C (5) A (6)C (7)A (8)C (9)B (10)A (11)A (12)B 二、填空题：每小题4分，满分16分．(13) (5,2)--； (14) 5； (15) 1[0,]2； (16) 3． 三、解答题（17）(本小题满分12分)解法一：,180,0,022A B C A B C B A C ππ<<++=∴<<<+<．…………2＇由sin B 45=，得cos B 35=．…………………………………………………………………4＇ ∴43sin(),cos()55A C A C +=+=-．………………………………………………6＇又由cos （2A ＋C ）45=-，得sin （2A ＋C ）35=．………………………………………8＇7sin sin[(2)()]25A A C A C ∴=+-+==． ………………………………………10＇2527cos 212sin 625A A =-=．……………………12＇解法二：,2()A C B A C A B A B πππ+=-+=+-=+-， …………………2＇所以，4cos()cos(2)5A B A C -=-+=．………………………………………………4＇因为A ＜B ，所以，3sin()5A B -=-．…………………………………………………6＇因为sin B 45=，A ＜B ＜C ， 所以，cos B 35=． …………………………………………………………………………8＇所以，7sin sin[()]25A AB B =-+==．…………………………………………10＇2527cos 212sin 625A A =-=．……………………………………………………………12＇（18）(本小题满分12分)解：分别记甲、乙、丙三人100m 跑合格为事件A ，B ，C ．显然，A 、B 、C 相互独立．P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13，P (A －)＝1－ 25＝35，P (B －)＝1－34＝14，P (C －)＝1－13＝23．……………………………2'设恰有k 人合格的概率为P k (0,1,2,3)k =． （I ）三人都合格的概率为P 3＝P (A ·B ·C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝25×34×13＝110；…………………………4'三人都不合格的概率为P 0＝P (A －·B －·C －)＝P (A －)·P (B －)·P (C －)＝35×14×23＝110．…………………6'答：三人都合格的概率与三人都不合格的概率都是110．……………………………7'（II ）因为A ·B ·C －，A ·B －·C ，A －·B ·C 两两互斥， 所以恰有两人合格的概率为P 2＝P (A ·B ·C －＋A ·B －·C ＋A －·B ·C )＝P (A ·B ·C －)＋P (A ·B －·C )＋P (A －·B ·C ) ＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360； ………………………………………9'恰有一人合格的概率为 P 1＝1－110－ 110－2360＝2560． …………………………………………………11' 由（I ）（II ）知，P 0，P 1，P 2，P 3中，P 1最大．答：出现恰有１人合格的概率最大． ………………………………………………12'（19）(本小题满分12分)解法一：（Ⅰ）如图，过点E 作EG ⊥AC ，垂足为G ，过点F 作FH ⊥AC ，垂足为H，则EG FH ==GH =．………………………………………………………………2＇22222cos90EF GH EG FH EG FH ∴=++-⋅222012.=++-= …………………………………………4＇又在EOF ∆中，2OE OF ==，222222221cos 22222OE OF EF EOF OE OF +-+-∴∠===-⋅⨯⨯．120EOF ∴∠=． ……………………………………………………………………6＇（Ⅱ）过点G 作GM 垂直于FO 的延长线于点M ，连EM ．∵二面角D －AC －B 为直二面角，∴平面DAC ⊥平面BAC ，交线为AC ，又∵EG ⊥AC ，∴EG ⊥平面BAC ．∵GM ⊥OF ，由三垂线定理，得EM ⊥OF ．∴EMG ∠就是二面角E OF A --的平面角．…………………………………………9＇在Rt ∆EGM 中，90EGM ∠=，EG =，112GM OE ==， ∴tan EGEMG GM∠==EMG ∠=所以，二面角E OF A --的大小为………………………………………12＇ 解法二：（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系O －xyz ， …………………………………1＇则(1,1OE =-，(0,2,0)OF =．………3＇1cos ,2||||OE OF OE OF OE OF ⋅∴<>==-．……5＇120EOF ∴∠=． …………………………6＇（Ⅱ）设平面OEF 的法向量为1(1,,)n y z =． 由110,0,n OE n OF ⋅=⋅=得10,20,y y ⎧-=⎪⎨=⎪⎩解得0,2y z ==-． 所以，1(1,0,n =． ………………………………………………………………9＇又因为平面AOF 的法向量为2(0,0,1)n =， ………………………………………10＇1212123cos ,||||n n n n n n ⋅∴<>==．∴12,n n <>=．所以，二面角E OF A --的大小为arccos3．……………………………………12＇ （注：若二面角大小错写为arccos 3π-，扣1＇）（20）(本小题满分12分)解：（I ）由题知，{a i 1}成等差数列，因为a 11＝14，a 21＝12，所以，公差d ＝14，a 81＝14＋（8－1）·14＝2．……………………………………………2'又各行成等比数列，公比都相等，a 31＝34，a 32＝38，所以，每行的公比是q ＝12．………………………………………………………………4'所以 a 83＝2×（12）2＝12．………………………………………………………………5'（II ）由（I ）知，a i 1＝14＋（i －1）·14＝i4，所以 a ij ＝a i 1·（12）j －1＝i 4·（12）j －1＝i （12）j ＋1．………………………………………8'（III ）A n ＝a n 1[1＋12＋（12）2＋…＋（12）n －1]＝n 4[2－（12）n －1]＝n 2－n （12）n ＋1． …………………………………………9'B m ＝12（1＋2＋…＋m ）－12（12＋24＋38＋…＋m2m ）． ………………………10'设 T m ＝12＋24＋38＋…＋m2m ， ……………………①则 12T m ＝14＋28＋316＋…＋m2m ＋1．…………………②由①－②，得12T m ＝12＋14＋…＋12m －m 2m ＋1＝1－12m －m2m ＋1＝1－m ＋22m ＋1，所以，B m ＝12·m (m ＋1)2－(1－ m ＋22m ＋1)＝m (m ＋1)4＋ m ＋22m ＋1－1．……………………12'（21）(本小题满分12分)解：（Ⅰ）由题知，|AD |＝|AF |，|BD |＝|BE |，|CE |＝|CF |，∴ |AB |－|AC |＝|BD |－|CF |＝|BE |－|CE |＝|BO |＋|OE |－（|OC |－|OE |）＝2|OE |． ∵ IE ⊥x 轴，I （1，t ）， ∴ E （1，0）． ∴ |OE |＝2．∴ |AB |－|AC |＝2．……………………………………………4'根据双曲线的定义知，点A 的轨迹L 是以B ，C 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支除去E （1，0），故L 的方程为x 2－y 2＝1(x ＞1)．……………………………………………6' （注：未写出x ＞1，扣1'）(Ⅱ) 解法一：设点0(,0)Q x ，1122(,),(,)M x y N x y ．由（Ⅰ）可知，C ．∵QM →·QC →|QM →|＝QN →·QC →|QN →|⇔QM →·QC →|QM →||QC →|＝QN →·QC →|QN →||QC →|⇔cos<QM →，QC →>＝cos<QN →，QC →> ………2'⇔∠MQC ＝∠NQC …………………………………………………………………8'于是：（1）当直线MN ⊥x 轴时，点0(,0)Q x 在x 轴上任何一点处，都能够使得∠MQC ＝∠NQC 成立；……………………………………………………………9'（2）当直线MN 不与x 轴垂直时，设直线MN：(y k x =由221,(x y y k x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩消去y ，得 2222(1)(21)0k x x k -+-+=，则12x x +=2122211k x x k +=-．1211122((()1y y k x k x k x x k ∴+=+=+-=-．……………………10' 121020tan ,tan ,QM QN y y MQC k NQC k x x x x ∠==∠=-=---所以，要使∠MQC ＝∠NQC 成立，只要使tan MQC ∠=tan NQC ∠成立，即110y x x -=220y x x --，即110y x x -2200y x x +=-， 即210112020x y x y x y x y -+-=，即12021121212()((2()y y x x k x x k x kx x x x +=⋅+⋅=+， 即022211k x k k ⋅=--，即02x =． 所以，当点Q 的坐标为(2时，能够使得||||QM QC QN QCQM QN ⋅⋅=成立．……………12' 解法二：设满足条件的点Q 存在．∵ QM →·QC →|QM →|＝QN →·QC →|QN →|⇔ QM →·QC →|QM →||QC →|＝QN →·QC →|QN →||QC →|⇔ cos<QM →，QC →>＝cos<QN →，QC →>⇔ ∠MQC ＝∠NQC ……………………………………8' 根据角平分线定理，|QM ||QN |＝|MC ||NC |．因为曲线L 的准线为l ：x ＝22，设与x 轴的交点为K （22，0）． 假设Q 与K 不重合，则过M ，N 分别引l 的垂线MM 0，NN 0，垂足分别为M 0，N 0，过Q 引l 的平行线，分别交直线MM 0，NN 0于M 1，N 1．由双曲线的性质知，|MC ||MM 0|＝|NC ||NN 0|＝ca ，所以|MC ||NC |＝|MM 0||NN 0|． 所以 |QM ||QN |＝|MM 0||NN 0|．………………①………10'因为 ∠MQC ＝∠NQC ， 所以 ∠MQM 1＝∠NQN 1． 又 MM 1∥x 轴∥NN 1，所以 ∠MM 1Q ＝∠NN 1Q ＝90o ． 所以 Rt △MM 1Q ∽Rt △NN 1Q ． 所以 |QM ||QN |＝|MM 1||NN 1|．…………………② 由①②知 |MM 1||NN 1|＝|MM 0||NN 0|， 所以|M 0M 1||N 0N 1|＝|MM 0||NN 0|． 因为 |M 0M 1|＝|N 0N 1|， 所以 |MM 0|＝|NN 0|． 所以 MN ⊥x 轴，这与m 是过点C 的任意一条直线矛盾． 因此，Q 与K 重合，即存在点Q （22，0）满足条件．………………………12'（22）(本小题满分14分)解：（I ）'()f x ＝ax 2＋bx －a 2，∵ x 1，x 2是f (x )的两个极值点，∴ x 1，x 2是方程'()f x ＝0的两个实数根．…………………………………1' ∵ a ＞0，∴ x 1x 2＝－a ＜0，x 1＋x 2＝－ba ．……………………………………………2'∴ | x 1|＋|x 2|＝| x 1－x 2|＝b 2a 2＋4a ．…………………………………………3' ∵ | x 1|＋|x 2|＝2， ∴ b 2a2＋4a ＝4，即 b 2＝4a 2－4a 3．……………………………………………………………4' ∵ b 2≥0，∴ 0＜a ≤1．…………………………………………………………………5' （II ）设g (a )＝4a 2－4a 3，则 g '(a )＝8a －12a 2＝4a (2－3a )． ……………………………………………6'由g '(a )＞0⇔0＜a ＜23，g '(a )＜0⇔23＜a ≤1，………………………………8'得 g (a )在区间（0，23）上是增函数，在区间（23，1]上是减函数，∴ g (a )max ＝g (23)＝1627．………………………………………………………9'∴ |b |≤439．………………………………………………………………10' （III ）∵ x 1，x 2是方程f '(x )＝0的两个实数根，∴ f '(x )＝a (x －x 1)(x －x 2)．…………………………………………………11' ∴ h (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)－2a (x －x 1)＝a (x －x 1)(x －x 2－2)，∴ | h (x )|＝a | x －x 1|| x －x 2－2|≤a (| x －x 1|＋| x －x 2－2|2)2．………………12'∵ x ＞x 1，∴| x －x 1|＝x －x 1．又x 1＜0，x 1x 2＜0，∴x 2＞0．∴x 2＋2＞2． ∵ x ＜2，∴x －x 2－2＜0．∴ | x －x 2－2|＝x 2＋2－x ． ∴ | x －x 1|＋| x －x 2－2|＝x 2－x 1＋2＝4．∴ | h (x )|≤4a ．…………………………………………………………14'。
江苏省南京市2017-2018学年高三第三次模拟考试数学试题 Word版含解析
2017-2018学年一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知全集U ＝{－1，2，3，a }，集合M ＝{－1，3}．若∁U M ＝{2，5}，则实数a 的值为 ▲ ． 【答案】5 【解析】试题分析：因为{1,3,2,5}U U M C M ==- ,所以 5.a = 考点：集合补集2.设复数z 满足z (1＋i)＝2＋4i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数为 ▲ ． 【答案】3－i 【解析】试题分析：因为24(24)(1)(12)(1)3i,12i i i z i i i ++-===+-=++所以复数z 的共轭复数为3－i 考点：复数概念3.甲、乙两位选手参加射击选拔赛，其中连续5轮比赛的成绩（单位：环）如下表：则甲、乙两位选手中成绩最稳定的选手的方差是 ▲ ．【答案】0.02考点：方差4.从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出两个球，则取出的两球中恰有一个红球的概率是 ▲ ． 【答案】35【解析】试题分析：从5个球中随机取出两个球，共有10种基本事件，其中取出的两球中恰有一个红球包含有236⨯=种基本事件，其概率为63.105= 考点：古典概型概率5.执行如图所示的伪代码，输出的结果是 ▲ ．【答案】8 【解析】试题分析：第一次循环：4,4I S ==，第二次循环：6,24I S ==，第三次循环：8,192100I S ==>，输出8.I = 考点：循环结构流程图6.6．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同直线，l ⊥α，m ⊂β．给出下列：①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ； ③m ∥α⇒l ⊥β； ④l ⊥β⇒m ∥α．其中正确的是 ▲ ． (填．写所有正确的．．．．．．序号．．)． 【答案】①④考点：线面关系判定7.设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －2，则86a a ＝ ▲ ． 【答案】4（第5题图）【解析】试题分析：由S n ＝2a n －2，得S n-1＝2a n-1－2，(n 2)≥所以a n ＝2a n －2a n-1 ，a n ＝2a n-1(n 2)≥，数列{a n }为等比数列，公比为2，2862 4.a a == 考点：等比数列定义及性质8.设F 是双曲线的一个焦点，点P 在双曲线上，且线段PF 的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为 ▲ ．【解析】试题分析：不妨设22221,(c,0)x y F a b-=，则点P(c,2b)-±，从而有222222415c b c e a b a-=⇒=⇒= 考点：双曲线离心率9.如图，已知A ，B 分别是函数f (x )ωx (ω＞0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝2π，则该函数的周期是 ▲ ．【答案】4 【解析】试题分析：由题意可设3((,22A B ππωω，又∠AOB ＝2π，所以324222T ππππωωωω⨯⇒=⇒== 考点：三角函数性质10.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x－2，则不等式f (x －1)≤2的解集是 ▲ ． 【答案】 【解析】试题分析：因为当x ≥0时，f (x )＝2x－2，所以当0≤x ≤2时，f (x ) ≤f (2)＝2，而f (x )是定义在R 上的偶函数，所以当－2≤x ≤2时，f (x ) ≤2，因此不等式f (x －1)≤2等价于－2≤x －1≤2，即－1≤x ≤3，解集是 考点：利用函数性质解不等式11.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，2AM MD = ．若AC BM ⋅＝－3，则AB AD ⋅＝ ▲ ．【答案】32【解析】试题分析：因为122()()23233AC BM AD AB AB AD AB AD ⋅=+⋅-+=--⋅=-，所以3.2AB AD ⋅=考点：向量数量积12.在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a )2＋(y ＋a －3)2＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为 ▲ ． 【答案】3考点：两圆位置关系（第11题图）13.设函数f (x )＝1,1,x x x a e x x a-⎧≥⎪⎨⎪--<⎩，g (x )＝f (x )－b ．若存在实数b ，使得函数g (x )恰有3个零点，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 【答案】(－1－21e ，2) 【解析】 试题分析：令1x x y e -=，则2x x y e-'=，所以当2x ≤时，211(,]x x y e e -=∈-∞，当2x ≥时，211(0,]x x y e e -=∈ 因此要使函数g (x )恰有3个零点，须2a <且211a e --<，即实数a 的取值范围为(－1－21e ，2)考点：利用导数研究函数零点14.若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则222522x yx xy y --+的最大值为 ▲ ．【解析】试题分析：由题意得(2)()1x y x y -+=，令12,x y t x y t -=+=，则1112(t ),y (t ),33x t t=+=-+因此2222212||52222t x y m m t x xy y m m t t--==≤≤-++++，其中1=m t t-，当且仅当|m 222522x yx xy y --+考点：基本不等式求最值二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(本小题满分14分)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．若向量m ＝(a ，cos A )，向量n ＝(cos C ，c )，且m ²n ＝3b cos B ． （1）求cos B 的值；（2）若a ，b ，c 成等比数列，求11tan tanCA +的值．【答案】（1）13（2【解析】试题分析：（1）先由向量数量积得a cos C ＋c cos A ＝3b cos B ，再由正弦定理将边化角，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝3sin B cos B ，即得cos B ＝13．（2）由等比数列性质得b 2＝ac ，再由正弦定理将边化角，得sin 2B ＝sin A ²sinC ．利用同角三角函数关系、两角和正弦公式化11tan tanCA +得11tan tanC A +1sin B== 试题解析：解：（1）因为m ²n ＝3b cos B ，所以a cos C ＋c cos A ＝3b cos B ． 由正弦定理，得sin A cos C＋sin C cos A＝3sin B cos B ，²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²3分所以sin(A ＋C )＝3sin B cos B ，所以sin B ＝3sin B cos B ． 因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B ＝13．²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²7分（2）因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac ． 由正弦定理，得sin 2B＝sin A ²sin C ． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²9分因为cos B ＝13，B 是△ABC 的内角，所以sin B ＝3．²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²11分又11cos cos cos sin cos sin sin()tan tanC sin sin sin sin sin sin A C A C C A C A A A C A C A C +++=+==2sin sin 1sin sin sin sin B B A C B B ====²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²14分考点：向量数量积、正弦定理、同角三角函数关系16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱BC 上一点．（1）若AB ＝AC ，D 为棱BC 的中点，求证：平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1； （2）若A 1B ∥平面ADC 1，求BDDC的值．【答案】（1）详见解析（2）1 【解析】试题分析：（1）证明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，一般需多次利用线面垂直判定与性质定理（2）已知线面平行，一般利用线面平行性质定理，将其转化为线线平行：连结A 1C ，交AC 1于O ，则可得A 1B ∥OD ．再结合平面几何性质确定线段比值.试题解析：证明：（1）因为AB ＝AC ，点D 为BC 中点，所以AD ⊥BC ． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²2分因为ABC －A 1B 1C 1 是直三棱柱，所以BB 1⊥平面ABC ． 因为AD ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AD ． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²4分 因为BC ∩BB 1＝B ，BC ⊂平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B 1， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1． 因为AD ⊂平面ADC 1，所以平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²6分(2)连结A 1C ，交AC 1于O ，连结OD ，所以O 为AC 1中（第16题图）ABCDA 1B 1C 1点． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²8分因为A 1B ∥平面ADC 1，A 1B ⊂平面A 1BC ，平面ADC 1∩平面A 1BC ＝OD ， 所以A 1B ∥OD ． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²12分因为O 为AC 1中点，所以D 为BC 中点， 所以BDDC＝1． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²14分考点：面面垂直判定定理，线面平行性质定理 17.(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b += (a ＞b ＞0)点(2，1)在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝2相切，与椭圆C 相交于P ，Q 两点．①若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，求△OPQ 的面积； ②求证： OP ⊥OQ ．【答案】（1）22163x y +=（2（第17题图）【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般利用待定系数法，即列出两个独立条件，解方程组即可：由2c a =，22411a b+=，解得a 2＝6，b 2＝3．（2）①直线过一定点，又与圆相切，因此可先利用直线与圆位置关系确定直线方程yx．再根据弦长公式求底长PQ＝②研究直线与椭圆位置关系，一般联立方程组，利用韦达定理求解：因为OP OQ ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2而直线PQ 方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2) x 2＋4kmx ＋2m2－6＝0.则有x 1＋x 2＝－2412kmk +，x 1x 2＝222612m k -+=m 2＝2k 2＋2．代入化简得OP OQ ⋅＝由方程组22163y y x x ⎧+=⎪⎨⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩所以PQ＝． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²6分因为O 到直线PQO PQ． 因为椭圆的对称性，当切线方程为y(x时，△O PQ综上所述，△O PQ的面积为． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²8分②解法二 消去y 得5x 2－＋6＝0．设P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2．由椭圆定义可得，PQ ＝PF ＋FQ ＝2a －e( x 1＋x 2)＝2³－³＝．²²²²²²²²²²²²²²²6分② (i)若直线PQ 的斜率不存在，则直线PQ 的方程为x x当x P ，Q ．因为OP OQ ⋅＝0，所以OP ⊥OQ ．当x ＝－时，同理可得OP ⊥OQ ． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²10分(ii) 若直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ，即kx －y ＋m ＝0．=m 2＝2k 2＋2．将直线PQ 方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2) x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 设P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－2412km k +，x 1x 2＝222612m k -+．²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²12分因为OP OQ ⋅ ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m2＝(1＋k 2)³222612m k -+＋km ³(－2412km k +)＋m 2．将m 2＝2k 2＋2代入上式可得OP OQ ⋅ ＝0，所以OP ⊥OQ ．综上所述，OP ⊥OQ ． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²14分考点：椭圆标准方程，直线与圆相切，直线与椭圆位置关系18.(本小题满分16分)如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝5千米，BC＝8千米，CD＝3千米．现甲、乙两管理员同时从A地出发匀速前往D地，甲的路线是AD，速度为6千米/小时，乙的路线是ABCD，速度为v千米/小时．（1）若甲、乙两管理员到达D的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v的取值范围；（2）已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到达D，且乙从A到D的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围．【答案】（1）646497v≤≤（2）8＜v≤394．【解析】试题分析：（1）由路程、速度、时间关系可得关系式：12161||64v-≤，解简单含绝对值不等式即可，注意单位统一（2）首先乙先到达D地，故16v＜2，即v＞8．然后乙从A到D的过程中与甲最大距离不超过5千米：分三段讨论①当0＜vt≤5，由余弦定理得甲乙距离(6t)2＋(vt)2－2³6t³vt³cos∠DAB≤25，②当5＜vt≤13，构造直角三角形得甲乙距离(vt－1－6t)2＋9≤25，②当5＜vt≤13，由直角三角形得甲乙距离(12－6t)2＋(16－vt)2≤25，三种情况的交集得8＜v≤394．试题解析：解：(1)由题意，可得AD＝12千米．（第18题图）C BD所以(v2－48vv＋36)³(5v)2≤25，解得v≥154．²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²9分②当5＜vt≤13，即5v＜t≤13v时，f(t)＝(vt－1－6t)2＋9＝(v－6) 2 (t－16v-)2＋9．因为v＞8，所以16v-＜5v，(v－6) 2＞0，所以当t＝13v时，f(t)取最大值，所以(v－6) 2(13v－16v-)2＋9≤25，解得39 8≤v≤394．²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²13分③当13≤vt≤16，13v≤t≤16v时，f(t)＝(12－6t)2＋(16－vt)2，因为12－6t＞0，16－vt＞0，所以当f(t)在(13v，16v)递减，所以当t＝13v时，f(t)取最大值，(12－6³13v)2＋(16－v³13v)2≤25，解得398≤v≤394．因为v＞8，所以 8＜v≤394．²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²16分考点：实际应用题，分段函数求函数最值19.(本小题满分16分)设函数f(x)＝－x3＋mx2－m(m＞0)．（1）当m＝1时，求函数f(x)的单调减区间；（2）设g(x)＝|f(x)|，求函数g(x)在区间上的最大值；（3）若存在t≤0，使得函数f(x)图象上有且仅有两个不同的点，且函数f(x)的图象在这两点处的两条切线都经过点(2，t)，试求m的取值范围．【答案】（1）(－∞，0)和(23，＋∞)（2）y max＝3,0427m m mm m≥<<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩－，（3）(0，83]∪∪∪≥(52，即得函数f(x)＝试题解析：解：函数定义域为，且f(x)≥0．由柯西不等式得≥(5²＋2，²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²5分即27³4≥(52，所以x＝10027时，取等号．所以，函数f(x)＝²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²10分考点：利用柯西不等式求最值【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X为所组成的三位数各位数字之和．（1）求X是奇数的概率；（2）求X 的概率分布列及数学期望． 【答案】（1）712（2）254【解析】试题分析：（1）因为X 是奇数，所以三个数字必是一奇二偶：按是否取0讨论，有11232223(2)28C C A A ⨯+=而能组成的三位数的个数是223424248C A A ⨯+=，因此所求概率为P (A )＝287=4812．（2）先确定随机变量取法3，4，5，6，7，8，9．再分别求对应概率，最后利用公式求数学期望，注意按是否取0讨论 试题解析：解：（1）记“X 是奇数”为事件A ，能组成的三位数的个数是48． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²2分X 是奇数的个数有28，所以P (A )＝287=4812． 答：X 是奇数的概率为712． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²4分（2） X 的可能取值为3，4，5，6，7，8，9．当 X ＝3时，组成的三位数只能是由0，1，2三个数字组成，所以P (X ＝3)＝41=4812； 当 X ＝4时，组成的三位数只能是由0，1，3三个数字组成，所以P (X ＝4)＝41=4812；当 X ＝5时，组成的三位数只能是由0，1，4或0，2，3三个数字组成，所以P (X ＝5)＝81=486当 X ＝6时，组成的三位数只能是由0，2，4或1，2，3三个数字组成，所以P (X ＝6)＝105=4824； 当 X ＝7时，组成的三位数只能是由0，3，4或1，2，4三个数字组成，所以P (X ＝7)＝105=4824； 当 X ＝8时，组成的三位数只能是由1，3，4三个数字组成，所以P (X ＝8)＝61=488；当 X ＝9时，组成的三位数只能是由2，3，4三个数字组成，所以P (X ＝9)＝61=488； ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²8分所以X 的概率分布列为：E (X )＝3³112＋4³112＋5³16＋6³524＋7³524＋8³18＋9³18＝254．²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²10分 考点：概率分布，数学期望 23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，点P (x 0，y 0)在曲线y ＝x 2(x ＞0)上．已知A (0，－1)，00(x ,y )n nn P ，n ∈N *．记直线AP n 的斜率为k n ．（1）若k 1＝2，求P 1的坐标； （2）若k 1为偶数，求证：k n 为偶数． 【答案】（1）(1，1)（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）由两点间斜率公式得20000112y x x x ++==，解方程得P 1的坐标（2）先求出k n ＝2000000111n nnn n ny x x x x x ++==+ ，再利用k 1为偶数表示x 0，设k 1＝2p (p ∈N *)，则x 0＝p k n 为偶数 试题解析：解：（1）因为k 1＝2，所以20000112y x x x ++==，①当n ＝2m (m ∈N *)时， k n ＝22220(p 1)mk n k k nk C p -=-∑，所以 k n 为偶数． ②当n ＝2m ＋1(m ∈N )时，k n ＝22220(p 1)mk n k k nk C p -=-∑，所以 k n 为偶数． 综上， k n 为偶数． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²10分 考点：二项式展开定理应用。
(完整word)南京市2017届高三年级三模数学卷
南京市 2017 届高三年级第三次模拟考试数学2017.05注意事：1．本卷共 4 ，包含填空（第 1 ~第 14 ）、解答（第15 ~第 20 ）两部分．本卷分 160 分，考120 分．．．．2．答前，势必自己的姓名、学校写在答卡上．的答案写在答卡上目的答案空格内．考束后，交回答卡．参照公式：方差 s2＝1[(x1－x )2＋ (x2－x )2＋⋯＋ (x n－x )2]，此中 x x1，x2，⋯， x n的均匀数．n柱体的体公式：V＝ Sh，此中 S柱体的底面，h 柱体的高．体的体公式：1h 体的高．V＝Sh，此中 S 体的底面，314 小，每小．．．．．．．一、填空：本大共 5 分，共 70 分．把答案填写在答卡相地点上．1．已知全集 U ＝ {1 ， 2， 3， 4} ，会合 A＝ {1 ， 4} ， B＝ {3 ， 4} ， ?U(A∪ B)＝▲．2．甲盒子中有号分1， 2 的 2 个球，乙盒子中有号分3，4，5，6 的 4 个球．分从两个盒子中随机地各拿出 1 个球，拿出的球的号之和大于 6 的概率▲ ．－－Read x3．若复数 z 足 z＋ 2 z＝ 3＋ 2i，此中 i 虚数位， z复数 z 的共复数，复数 z 的模▲．If x≥ 0Then y← 2x＋1 Else4．行如所示的代，若出y 的 1，y← 2－x2 End If入 x 的▲．Print y（第 4 题图）5．如是甲、乙两名球运在五比中所得分数的茎叶，在五比中得分定（方差小）的那名运的得分的方差▲．甲乙779089481035（第 5 题图）π16．在同向来角坐系中，函数y＝sin(x＋3)（x∈ [0，2π ]）的象和直y＝2的交点的个数是▲．7．在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线x 2 2－ y 2 ＝ 1 的焦距为 6，则全部知足条件的实数 m 组成的会合是2m 3m▲．38 ．已知函数 f( x) 是定义在R 上且周期为 4 的偶函数．当x ∈ [ 2 ， 4] 时， f( x) ＝ | log 4 (x － 2) | ，1则 f(2)的值为▲．A 1C 1B 19．若等比数列 { a n } 的各项均为正数，且 a 3－ a 1＝ 2，则 a 5 的最小值为 ▲ ．10．如图，在直三棱柱ABC － A 1 B 1C 1 中， AB ＝1， BC ＝ 2， BB 1＝ 3，∠ ABC ＝ 90°，点DDA C为侧棱 BB 1 上的动点．当 AD ＋ DC 1 最小时，三棱锥 D － ABC 1 的体积为▲．B11．（ 2017 南京三模）若函数 f(x)＝ e x ( －x 2＋2x ＋ a)在区间 [a ，a ＋ 1]上单一递加，则实数a （第 10 题图）的最大值为▲．12．（ 2017 南京三模）在凸四边形→ → →→ → →ABCD 中， BD ＝ 2，且 AC · BD ＝ 0， ( AB ＋ DC )?(BC ＋ AD )＝ 5，则 四边形 ABCD 的面积为▲．13. （ 2017 南京三模） 在平面直角坐标系xOy 中，圆 O ：x 2 ＋ y 2＝1，圆 M ： (x ＋ a ＋3) 2＋ (y － 2a)2＝ 1(a为实数 )．若圆 O 与圆 M 上分别存在点P ， Q ，使得∠ OQP ＝30 ，则 a 的取值范围为▲．2＋ 3≤ 2，则 3a ＋8b的取值范围为▲．14．（ 2017 南京三模） 已知 a ，b ，c 为正实数，且 a ＋ 2b ≤ 8c ，a b c c6 小题，合计 90 ．．．．．．．．二、解答题：本大题共 分．请在答题卡指定地区内 作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A15．（ 2017 南京三模）（本小题满分 14 分）如图，在三棱锥 A － BCD 中，E ，F 分别为棱 BC ，CD 上的点，且 BD ∥平面 AEF ．（ 1）求证： EF ∥平面 ABD ；（ 2）若 BD ⊥ CD ， AE ⊥平面 BCD ，求证：平面 AEF ⊥平面 ACD ．DF2α， ＝α，B， α∈， πE16．（ 2017 南京三模）（本小题满分 14 分）已知向量 a ＝ (2cos α， sin)b (2sint)(0 )．（第 215 题图）Cπ（ 1）若 a －b ＝ (2， 0)，求 t 的值；（ 2）若 t ＝1，且 a ? b ＝ 1，求 tan(2α＋)的值．5417．（ 2017 南京三模）（本小题满分 14 分）在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域 ABC ，及矩形表演台 BCDE 四个部分组成（如图） ．看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以 AB ， AC 为直径的两个半圆形地区，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的 3 倍；矩形表演台BCDE 中， CD ＝ 10 米；三角形水域 ABC 的面积为 400 3平方米．设∠ BAC ＝ θ．EDA（ 2）若表演台每平方米的造价0.3 万元，求表演台的最低造价．2218．（ 2017 南京三模）（本小 分 16 分）如 ，在平面直角坐 系 xOy 中，x2＋ y2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)的a b→ →3y右 点和上 点分A ，B ， M 段 AB 的中点，且 OM · AB ＝－ b 2．B2（ 1）求 的离心率；COMA x（ 2）已知 a ＝ 2，四 形 ABCD 内接于 ， AB ∥ DC ． 直 AD ， BC 的斜率分 k 1， k 2，求 ： k 1·k 2 定 ．D19．（2017 南京三模）（本小 分（第 18 题图） *．16 分）已知常数 p ＞0，数列 { a n } 足 a n ＋1＝ |p －a n |＋2 a n ＋ p ，n ∈ N（ 1）若 a 1＝－ 1， p ＝ 4n n1，①求 a 的 ；②求数列{ a } 的前 n 和S ．（ 2）若数列 { a nr st*， r ＜ s ＜ t)挨次成等差数列，求a 1的取 范 ．} 中存在三 a ， a， a (r ，s ， t ∈Np20．（2017 南京三模）（本小 分16 分）已知 λ∈ R ，函数 f (x)＝ e x － ex － λ(xlnx － x ＋ 1)的 函数 g(x)．（ 1）求曲 y ＝ f (x)在 x ＝1 的切 方程； （ 2）若函数 g (x)存在极 ，求 λ的取 范 ；（ 3）若 x ≥ 1 ， f (x)≥ 0 恒建立，求 λ的最大 ．南京市 2017 届高三第三次模拟考试数学参照答案及评分标准一、填空 （本大 共 14 小 ，每小5 分， 70 分 .）31． {2}2． 83． 54．－ 15．6.86． 231 1－ 1＋ 57． { 2}8． 29． 810．311．212．313． [－ 6， 0]14． [27， 30]5二、解答 （本大 共 6 小 ， 90 分．解答 写出必需的文字 明， 明 程或演算步 ）15．（本小 分 14 分）明：（ 1）因 BD ∥平面 AEF ， BD 平面 BCD ，平面 AEF ∩平面 BCD ＝EF ，所以 BD ∥ EF ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分因 BD 平面 ABD ， EF 平面 ABD ，所以 EF ∥平面 ABD ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分（ 2）因 AE ⊥平面 BCD ， CD 平面 BCD ，所以 AE ⊥CD ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分因 BD ⊥ CD ，BD ∥ EF ，所以CD ⊥ EF ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分又 AE ∩EF ＝ E ，AE 平面 AEF ， EF 平面 AEF ，所以 CD ⊥平面 AEF ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分又 CD 平面 ACD ，所以平面AEF ⊥平面 ACD ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分16．（本小 分14 分）解： （ 1）因 向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝ (2sin α， t)，且 a － b ＝ (2， 0)，所以 cos α－ sin α＝1， t ＝ sin 2α．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分55由 cos α－sin α＝1得 (cos α－ sin α)2＝ 1，即 1－2sin αcos α＝ 1，进而 2sin αcos α＝ 24． 5 25 25 25所以 (cos α＋ sin α)2＝1＋ 2sin αcos α＝ 49 ． π 7 5 分25因 α∈ (0， )，所以 cos α＋ sin α＝ ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 5(cos α＋ sin α)－ (cos α－ sin α) 3 9所以 sin α＝ 2＝ 5，进而 t ＝ sin 2α＝ 25． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分（ 2）因 t ＝ 1，且 a ? b ＝ 1，所以 4sin αcos α＋ sin 2α＝ 1，即 4sin αcos α＝ cos 2α．π1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分因 α∈ (0， )，所以 cos α≠ 0，进而 tan α＝2 4所以 tan2α＝2tan α2 ＝8．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分1－ tan α 15π8＋ 1π tan2α＋ tan 4＝ 15＝ 23． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分进而 tan(2α＋ )＝4·π8 71－ tan2α tan 4 1－ 15 17．（本小 分14 分）解：（ 1）因 看台Ⅰ的面 是看台Ⅱ的面 的 3 倍，所以 AB ＝ 3AC ．在△ ABC 中， S △ ABC ＝ 1 AB?AC?sin θ＝ 400 3，所以 AC 2＝ 800．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分2sin θ由余弦定理可得 BC 2＝ AB 2＋ AC 2－ 2AB ?AC ?cos θ，＝ 4AC 2－ 2 3AC 2cos θ＝ (4－ 2 3cos θ)800，sin θ即 BC ＝(4 －28002－ 3cos θ3cos θ)?＝ 40．sin θsin θ所以 BC ＝ 402－ 3cos θ， θ∈ (0， π)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分sin θ（ 2） 表演台的 造价 W 万元．因 CD ＝10m ，表演台每平方米的造价 0.3 万元，所以 W ＝ 3BC ＝ 1202－3cos θ， θ∈ (0， π)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分sin θ2－ 3cos θ3－ 2cos θf(θ)＝sin θ ， θ∈ (0， π)． f ′(θ)＝ sin 2θ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分π ππ由 f ′(θ)＝ 0，解得 θ＝ ．当 θ∈ (0，) ， f ′(θ)＜ 0；当 θ∈ ( ， π) ， f ′(θ)＞ 0．666故 f(θ)在 ππ θ＝π， f(θ)获得最小 ，最小f( π(0， )上 减，在( ， π)上 增，进而当6) ＝ 1．666所以 W min ＝ 120(万元 )．答：表演台的最低造价 120 万元．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分18．（本小 分16 分）解：（ 1） A(a ，0)， B(0， b)，由 M 段 AB 的中点得a b → a b → M( ，)．所以 OM ＝( ， )， AB ＝ (－ a ，b)．2 2 2 2→ → 3 a b a 2 b 2 3 b 2，因 OM · AB ＝－b 2，所以 ( ， ) ·(－ a ， b)＝－＋ ＝－ 22222 2整理得 a 2＝ 4b 2，即 a ＝ 2b ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分因 a 2＝ b 2＋ c 2，所以3a 2＝ 4c 2，即3a ＝ 2c ．所以 的离心率e ＝ c＝3． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分a2（ 2）方法一： 由 a ＝ 2 得 b ＝ 1，故 方程x 2＋ y 2＝ 1． 4进而 A(2， 0)， B(0， 1)，直 AB 的斜率 －1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分21因 AB ∥ DC ，故可DC 的方程 y ＝－ 1y ＝－ 2x ＋ m ，x ＋ m ． D( x 1，y 1)， C(x 2， y 2)． 立 22x＋y 2 ＝1，4消去 y ，得 x 2－ 2mx ＋ 2m 2－ 2＝ 0，所以 x 1＋ x 2＝ 2m ，进而 x 1＝ 2m － x 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分11＋m － 1－ x 1＋ m2－ x 2y 122直 AD 的斜率 k 1＝＝1，直 BC－ 1＝ x 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分1的斜率 k 2＝ x 2x － 2x － 211 x 21 1 (m －1)x 1－ 1mx 2＋ m(m －1)－ x 1＋ m － ＋m － 1 x 1x 2－2 2所以 k 1· k 2＝ 2241－ 2 ·x 2＝1－ 2)x 2x(x11 11 12m ＋ 1 (2m －x )＋m(m － 1) 11x x － m(x ＋x )＋ x ＋ m(m － 1)x x － mx x － x＝41 22 1221＝41 22 ·2241 2221，＝＝x x － 2x2x x － 2xx x －2x2 412 1 2 21 2 即 k 1 ·k 2定 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分4方法二： 由 a ＝2 得 b ＝1，故 方程x 2＋ y 2＝ 1．4进而 A(2， 0)， B(0， 1)，直 AB 的斜率 －1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分2x 021C(x 0， y 0)， 4＋y 02＝ 1．因 AB ∥ CD ，故CD 的方程 y ＝－2(x －x 0 )＋ y 0．1立y ＝－ 2(x － x )＋ y，2消去 y ，得 x 2－ (x 0 ＋2y 0) x ＋2x 0 y 0＝ 0，解得 x ＝x 0（舍去）或 x ＝ 2y 0．x＋ y 2＝ 1，41⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分所以点 D 的坐 (2y 0 ， x 0) ．212x 011y － 1所以 k 1·k 2＝· x 0＝ 4，即 k 1·k 2定4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16分2y － 219．（本小 分 16 分）解：（ 1）因 p ＝ 1，所以 a n ＋1 ＝|1－ a n |＋ 2 a n ＋ 1．① 因a 1＝－ 1，所以 a 2＝ |1－ a 1|＋ 2 a 1＋ 1＝1， a 3＝ |1－ a 2|＋ 2 a 2＋ 1＝3，a ＝ |1－ a 3 |＋ 2 a ＋ 1＝ 9．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分43② 因 a 2＝ 1， a n ＋1＝ |1－a n |＋ 2 a n ＋ 1，所以当 n ≥ 2 ， a n ≥ 1，进而 a n ＋ 1 n n n n ＋ 1＝ nn＝3 n －2 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分＝ |1－ a |＋ 2 a ＋ 1＝ a － 1＋ 2 a 3a ，于是有a (n ≥ 2)n －1n －1 － 3当 n ＝ 1 ， S 1＝－ 1；当 n ≥ 2 n23n1－ 3＝ 3．， S＝－ 1＋ a ＋ a ＋⋯＋ a ＝－ 1＋ 1－ 321，n ＝ 1，3 n －1－ 3所以 S n ＝－即 S n ＝* ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分3n 1－ 3， n ∈N2， n ≥ 2， n ∈ N * ，2（ 2）因 a n ＋1－ a n ＝ |p － a n |＋ a n ＋ p ≥ p － a n ＋ a n ＋ p ＝ 2 p ＞ 0，所以 a n ＋ 1＞ a n ，即 { a n } 增．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分（ i ）当a 1≥ 1 ，有 a 1≥ p ，于是 a n ≥ a 1≥ p ， p所以 a n ＋ 1＝ |p － a n |＋ 2 a n ＋ p ＝ a n －p ＋ 2 a n ＋ p ＝ 3a n ，所以 a n ＝ 3n －1a 1．若 { a n } 中存在三a r ， a s ， a t (r ， s ，t ∈N * ， r ＜ s ＜ t)挨次成等差数列， 有2 a s ＝a r ＋ a t ，即 2× 3s － 1＝3r － 1＋ 3t － 1．（ * ），因 s ≤ t －1，所以 2× 3s － 1＝2× 3s ＜ 3t －1＜ 3r －1＋ 3t －1，即（ *）不建立．3故此 数列 { a n } 中不存在三 挨次成等差数列．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分a 1（ ii ）当－ 1＜ p ＜ 1 ，有－ p ＜a 1＜ p ．此 a 2＝ |p － a 1|＋ 2 a 1＋ p ＝p －a 1＋ 2 a 1＋ p ＝a 1＋ 2 p ＞ p ， 于是当 n ≥ 2 ， a n ≥ a 2＞ p ，进而 a n ＋1＝ |p － a n |＋ 2 a n ＋ p ＝a n －p ＋ 2 a n ＋p ＝ 3a n ．所以 a n ＝ 3n － 2a 2＝ 3n －2(a 1 ＋2p) (n ≥ 2)．若 { a n } 中存在三 a r ， a s ， a t (r ， s ，t ∈N * ， r ＜ s ＜ t)挨次成等差数列，同（i ）可知， r ＝1，于是有 2× 3s －211t －2 12≤ s ≤ t － 1，(a ＋ 2 p)＝ a ＋ 3(a ＋ 2p)．因a1＝ － －2 1 －－ －2是整数，所以1a 1≤－ 1，所以 12× 3s2－ 3t2＝9× 3s－ 3 × 3t1＜ 0．因 2×3s 2－3ta ＋ 2 pa ＋ 2 p于是 a 1≤－ a 1－ 2p ，即 a 1≤－ p ，与－ p ＜a 1 ＜p 相矛盾．故此 数列 { a n } 中不存在三 挨次成等差数列．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分（ iii ）当a 1≤－ 1 ， 有 a 1≤－ p ＜ p ， a 1 ＋p ≤ 0，于是 a 2＝ | p － a 1|＋ 2a 1 ＋p ＝ p － a 1＋ 2 a 1＋p ＝ a 1＋ 2p ， p上可知：a1≤－ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分p20．（本小分 16 分）解：（ 1）因 f′(x)＝ e x－ e－λln x，所以曲 y＝ f (x)在 x＝1 的切的斜率f′(1)＝ 0，又切点 (1 ，f (1))，即 (1， 0)，所以切方程 y＝0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分λ（2） g (x)＝ e x－ e－λlnx， g′(x)＝ e x－．x当λ≤0 ， g′(x) ＞0恒建立，进而g (x)在 (0，＋∞ )上增，故此 g (x)无极．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分λλ当λ＞0 ， h( x)＝ e x－， h′(x)＝ e x＋x 2＞ 0 恒建立，x所以 h(x)在 (0，＋∞ ) 上增．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分①当 0＜λ＜ e ，λλh(1)＝ e－λ＞0， h()＝ e e－ e＜ 0，且 h(x)是 (0，＋∞ )上的函数，e所以存在独一的 x0λ， 1)，使得 h(x0∈ (e)＝ 0．②当λ≥ e ，λh(1)＝ e－λ≤ 0， h( λ)＝e － 1＞ 0，且 h(x)是 (0，＋∞ )上的函数，所以存在独一的 x0∈ [1，λ)，使得 h(x0)＝ 0．故当λ＞ 0 ，存在独一的x ＞ 0，使得 h(x )＝ 0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分00且当 0＜x＜ x0， h( x)＜ 0，即 g′(x)＜0，当 x＞ x0， h(x)＞ 0，即 g′(x)＞ 0，所以 g (x)在 (0， x )上减，在 (x ，＋∞ ) 上增，00所以 g (x)在 x＝ x0有极小．所以当函数 g (x)存在极，λ的取范是 (0，＋∞ )．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分λ（ 3） g (x)＝ f′(x)＝ e x－e－λlnx， g′(x)＝ e x－x．若 g′(x)≥ 0 恒建立，有λ≤ xe x恒建立．φ(x)＝ xe x(x≥ 1)，φ′(x)＝ (x＋ 1) e x＞ 0 恒建立，所以φ(x)增，进而φ(x)≥ φ(1)＝e，即λ≤ e．于是当λ≤ e ， g (x)在[1 ，＋∞ )上增，所以 f (x) ≥f (1)＝ 0 恒建立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分当λ＞e ，由（ 2）知，存在x0∈ (1，λ)，使得 g (x)在 (0， x0)上减，即 f′(x)在 (0， x0)上减．所以当 1＜ x＜ x0， f′(x)＜ f′(1) ＝ 0，于是 f (x) 在[1， x0)上减，所以 f (x0) ＜ f (1)＝ 0．与 x≥ 1 ， f (x)≥ 0 恒建立矛盾．所以λ≤ e，即λ的最大e．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分。
江苏省南京市2017届高三三模数学试卷(含解析)
2017年江苏省南京市高考数学三模试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，4}，B={3，4}，则∁U（A∪B）= ．2．甲盒子中有编号分别为1，2的两个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3，4，5，6的四个乒乓球．现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为．3．若复数z满足，其中i为虚数单位，为复数z的共轭复数，则复数z的模为．4．执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入x的值为．5．如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为．6．在同一直角坐标系中，函数的图象和直线y=的交点的个数是．7．在平面直角坐标系xoy中，双曲线的焦距为6，则所有满足条件的实数m 构成的集合是．8．已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，当x∈[2，4]时，，则的值为．9．若等比数列{a n}的各项均为正数，且a3﹣a1=2，则a5的最小值为．10．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，BC=2，BB1=3，∠ABC=90°，点D为侧棱BB1上的动点，当AD+DC1最小时，三棱锥D﹣ABC1的体积为．11．函数f（x）=e x（﹣x2+2x+a）在区间[a，a+1]上单调递增，则实数a的最大值为．12．在凸四边形ABCD中，BD=2，且，，则四边形ABCD 的面积为．13．在平面直角坐标系xoy中，圆O：x2+y2=1，圆M：（x+a+1）2+（y﹣2a）2=1（a为实数）．若圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP=30°，则a的取值范围为．14．已知a，b，c为正实数，且，则的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且BD∥平面AEF．（1）求证：EF∥平ABD面；（2）若AE⊥平面BCD，BD⊥CD，求证：平面AEF⊥平面ACD．16．（14分）已知向量为实数．。
南京市2017届高三年级第三次模拟考试数学
南京市2017届高三年级第三次模拟考试数 学 2017.05注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：方差s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数．柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高． 锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知全集U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{1，4}，B ＝{3，4}，则∁U(A ∪B )＝ ▲ ．2．甲盒子中有编号分别为1，2的2个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3，4，5，6的4个乒乓球．现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为 ▲ ． 3．若复数z 满足z ＋2－z ＝3＋2i ，其中i 为虚数单位，－z 为 复数z 的共轭复数，则复数z 的模为 ▲ ． 4．执行如图所示的伪代码，若输出y 的值为1， 则输入x 的值为 ▲ ．5较小）的那名运动员的得分的方差为 ▲ ．6．在同一直角坐标系中，函数y ＝sin(x ＋π3) （x ∈[0，2π]）的图象和直线y ＝12 的交点的个数是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 22m 2－y 23m＝1的焦距为6，则所有满足条件的实数m 构成的集合是7 7 9 0 8 94 8 1 0 35 甲 乙 （第5题图）（第4题图）▲ ．8．已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数．当x ∈[2，4]时，f (x )＝|log 4(x －32)|，则f (12)的值为 ▲ ．9．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 3－a 1＝2，则a 5的最小值为 ▲ ．10．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，BB 1＝3，∠ABC ＝90°，点D 为侧棱BB 1上的动点．当AD ＋DC 1最小时，三棱锥D －ABC 1的体积为 ▲ ．11．若函数f (x )＝e x (－x 2＋2x ＋a )在区间[a ，a ＋1]上单调递增，则实数a 的最大值为 ▲ ．12．在凸四边形ABCD 中， BD ＝2，且AC →·BD →＝0，(AB →＋→DC )•(→BC ＋→AD )＝5，则四边形ABCD 的面积为 ▲ ．13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)．若圆O 与圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30 ，则a 的取值范围为 ▲ ．14．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋2b ≤8c ，2a ＋3b ≤2c ，则3a ＋8b c的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥A －BCD 中，E ，F 分别为棱BC ，CD 上的点，且BD ∥平面AEF ． （1）求证：EF ∥平面ABD ；（2）若BD ⊥CD ，AE ⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD ．16．（本小题满分14分）ACB A 1B 1C 1D（第10题图） ABCFED（第15题图）已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈(0，π2)．（1）若a －b ＝(25，0)，求t 的值；（2）若t ＝1，且a • b ＝1，求tan(2α＋π4)的值．17．（本小题满分14分）在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC ，及矩形表演台BCDE 四个部分构成（如图）．看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB ，AC 为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍；矩形表演台BCDE 中，CD ＝10米；三角形水域ABC 的面积为4003平方米．设∠BAC ＝θ．（1）求BC 的长（用含θ的式子表示）；（2）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．（第17题图）18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，M 为线段AB 的中点，且OM →·AB →＝－32b 2．（1）求椭圆的离心率；（2）已知a ＝2，四边形ABCD 内接于椭圆，AB ∥DC ．记直线AD ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值．19．（本小题满分16分）已知常数p ＞0，数列{a n }满足a n ＋1＝|p －a n |＋2 a n ＋p ，n ∈N *． （1）若a 1＝－1，p ＝1， ①求a 4的值；②求数列{a n }的前n 项和S n ．（2）若数列{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N *，r ＜s ＜t )依次成等差数列，求a 1p的取值范围．20．（本小题满分16分）已知λ∈R ，函数f (x )＝e x －e x －λ(x ln x －x ＋1)的导函数为g (x )． （1）求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程； （2）若函数g (x )存在极值，求λ的取值范围； （3）若x ≥1时，f (x )≥0恒成立，求λ的最大值．南京市2017届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准（第18题图）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．{2} 2．383． 5 4．－1 5 6．27．{32} 8．12 9．8 10．13 11．－1＋52 12．313．[－65，0] 14．[27，30]二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分） 证明：（1）因为BD ∥平面AEF ，BD ⊂平面BCD ，平面AEF ∩平面BCD ＝EF ，所以 BD ∥EF ． …………………… 3分 因为BD ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，所以 EF ∥平面ABD ． …………………… 6分 （2）因为AE ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以 AE ⊥CD ． …………………… 8分 因为 BD ⊥CD ，BD ∥EF ，所以 CD ⊥EF ， …………………… 10分 又 AE ∩EF ＝E ，AE ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以 CD ⊥平面AEF ． …………………… 12分 又 CD ⊂平面ACD ，所以 平面AEF ⊥平面ACD ． …………………… 14分16．（本小题满分14分）解：（1）因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝(25，0)，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α． …………………… 2分由cos α－sin α＝15 得 (cos α－sin α)2＝125，即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425．所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925．因为α∈(0，π2)，所以cos α＋sin α＝75． …………………… 5分所以sin α＝(cos α＋sin α)－(cos α－sin α)2＝35，从而t ＝sin 2α＝925． …………………… 7分（2）因为t ＝1，且a • b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α．因为α∈(0，π2)，所以cos α≠0，从而tan α＝14． …………………… 9分所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝815． …………………… 11分 从而tan(2α＋π4)＝tan2α＋tanπ41－tan2α·tan π4＝815＋11－815＝237． …………………… 14分17．（本小题满分14分）解：（1）因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，所以AB ＝3AC ．在△ABC 中，S △ABC ＝12AB •AC •sin θ＝4003，所以AC 2＝800sin θ ． …………………… 3分由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB •AC •cos θ，＝4AC 2－23AC 2 cos θ． ＝(4－23cos θ)800sin θ， 即BC ＝(4－23cos θ)•800sin θ＝402－3cos θsin θ．所以 BC ＝402－3cos θsin θ，θ∈(0，π)． …………………… 7分（2）设表演台的总造价为W 万元．因为CD ＝10m ，表演台每平方米的造价为0.3万元， 所以W ＝3BC ＝1202－3cos θsin θ，θ∈(0，π)． …………………… 9分记f (θ)＝2－3cos θsin θ，θ∈(0，π)．则f ′(θ)＝3－2cos θsin 2θ． …………………… 11分由f ′(θ)＝0，解得θ＝π6．当θ∈(0，π6)时，f ′(θ)＜0；当θ∈(π6，π)时，f ′(θ)＞0．故f (θ)在(0，π6)上单调递减，在(π6，π)上单调递增，从而当θ＝π6 时，f (θ)取得最小值，最小值为f (π6)＝1．所以W min ＝120(万元)．答：表演台的最低造价为120万元． …………………… 14分18．（本小题满分16分）解：（1）A (a ，0)，B (0，b )，由M 为线段AB 的中点得M (a 2，b2)．所以OM →＝(a 2，b 2)，AB →＝(－a ，b )．因为OM →·AB →＝－32b 2，所以(a 2，b 2)·(－a ，b )＝－a 22＋b 22＝－32b 2，整理得a 2＝4b 2，即a ＝2b ． …………………… 3分 因为a 2＝b 2＋c 2，所以3a 2＝4c 2，即3a ＝2c ．所以椭圆的离心率e ＝c a ＝32． …………………… 5分（2）方法一：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1．从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12． …………………… 7分因为AB ∥DC ，故可设DC 的方程为y ＝－12x ＋m ．设D (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝2m ，从而x 1＝2m －x 2． ……………………… 9分 直线AD 的斜率k 1＝y 1x 1－2＝－12x 1＋m x 1－2，直线BC 的斜率k 2＝y 2－1x 2＝－12x 2＋m －1x 2，……………………… 11分所以k 1·k 2＝－12x 1＋m x 1－2·－12x 2＋m －1x 2＝14x 1x 2－12(m －1)x 1－12mx 2＋m (m －1)(x 1－2)x 2＝14x 1x 2－12m (x 1＋x 2)＋12x 1＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12m ·2m ＋12(2m －x 2)＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12x 2x 1x 2－2x 2＝14， 即k 1·k 2为定值14． ………………………16分方法二：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1．从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12． …………………… 7分设C (x 0，y 0)，则x 024＋y 02＝1．因为AB ∥CD ，故CD 的方程为y ＝－12(x －x 0)＋y 0．联立⎩⎨⎧y ＝－12(x －x 0)＋y 0，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－(x 0＋2y 0)x ＋2x 0y 0＝0，解得x ＝x 0（舍去）或x ＝2y 0．所以点D 的坐标为(2y 0，12x 0)． ……………………… 13分所以k 1·k 2＝12x 02y 0－2·y 0－1x 0＝14，即k 1·k 2为定值14． ……………………… 16分19．（本小题满分16分）解：（1）因为p ＝1，所以a n ＋1＝|1－a n |＋2 a n ＋1． ① 因为 a 1＝－1，所以a 2＝|1－a 1|＋2 a 1＋1＝1， a 3＝|1－a 2|＋2 a 2＋1＝3，a 4＝|1－a 3|＋2 a 3＋1＝9． …………………………… 3分 ② 因为a 2＝1，a n ＋1＝|1－a n |＋2 a n ＋1，所以当n ≥2时，a n ≥1，从而a n ＋1＝|1－a n |＋2 a n ＋1＝a n －1＋2 a n ＋1＝3a n ，于是有 a n ＝3n －2(n ≥2) ． …………………………… 5分 当n ＝1时，S 1＝－1；当n ≥2时，S n ＝－1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝－1＋1－3n －11－3＝3n －1－32 ．所以 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3n －1－32，n ≥2，n ∈N *， 即S n ＝3n －1－32，n ∈N *． ………………………… 8分（2）因为a n ＋1－a n ＝|p －a n |＋a n ＋p ≥p －a n ＋a n ＋p ＝2 p ＞0，所以a n ＋1＞a n ，即{a n }单调递增． ………………………… 10分 （i ）当a 1p≥1时，有a 1≥p ，于是a n ≥a 1≥p ，所以a n ＋1＝|p －a n |＋2 a n ＋p ＝a n －p ＋2 a n ＋p ＝3a n ，所以a n ＝3n －1a 1．若{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N *，r ＜s ＜t )依次成等差数列，则有2 a s ＝a r ＋a t ， 即2×3s －1＝3r －1＋3t －1． （*）因为s ≤t －1，所以2×3s －1＝23×3s ＜3t －1＜3r －1＋3t －1，即（*）不成立．故此时数列{a n }中不存在三项依次成等差数列． ……………………… 12分 （ii ）当－1＜a 1p＜1时，有－p ＜a 1＜p ．此时a 2＝|p －a 1|＋2 a 1＋p ＝p －a 1＋2 a 1＋p ＝a 1＋2 p ＞p ， 于是当n ≥2时，a n ≥a 2＞p ，从而a n ＋1＝|p －a n |＋2 a n ＋p ＝a n －p ＋2 a n ＋p ＝3a n ． 所以a n ＝3n －2a 2＝3n －2(a 1＋2p ) (n ≥2)．若{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N *，r ＜s ＜t )依次成等差数列， 同（i ）可知，r ＝1，于是有2×3s －2(a 1＋2 p )＝a 1＋3t －2(a 1＋2p )． 因为2≤s ≤t －1，所以a 1 a 1＋2 p＝2×3s －2－3t －2＝29×3s －13×3t －1＜0．因为2×3s －2－3t－2是整数，所以a 1a 1＋2 p≤－1，于是a 1≤－a 1－2p ，即a 1≤－p ，与－p ＜a 1＜p 相矛盾．故此时数列{a n }中不存在三项依次成等差数列． ………………… 14分 （iii ）当a 1p ≤－1时，则有a 1≤－p ＜p ，a 1＋p ≤0，于是a 2＝| p －a 1|＋2a 1＋p ＝p －a 1＋2 a 1＋p ＝a 1＋2p ，a 3＝|p －a 2|＋2a 2＋p ＝|p ＋a 1|＋2a 1＋5p ＝－p －a 1＋2a 1＋5p ＝a 1＋4p ， 此时有a 1，a 2，a 3成等差数列．综上可知：a 1p ≤－1． ……………………………… 16分20．（本小题满分16分） 解：（1）因为f ′(x )＝e x －e －λln x ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为f ′(1)＝0， 又切点为(1，f (1))，即(1，0)，所以切线方程为y ＝0． ………………………… 2分 （2）g (x )＝e x －e －λln x ，g ′(x )＝e x －λx．当λ≤0时，g ′(x )＞0恒成立，从而g (x )在(0，＋∞)上单调递增，故此时g (x )无极值． ………………………… 4分 当λ＞0时，设h (x )＝e x －λx ，则h ′(x )＝e x ＋λx2＞0恒成立，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增． ………………………… 6分 ①当0＜λ＜e 时，h (1)＝e －λ＞0，h (λe)＝e λe －e ＜0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数， 因此存在唯一的x 0∈(λe ，1)，使得h (x 0)＝0．②当λ≥e 时，h (1)＝e －λ≤0，h (λ)＝e λ－1＞0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数， 因此存在唯一的x 0∈[1，λ)，使得h (x 0)＝0．故当λ＞0时，存在唯一的x 0＞0，使得h (x 0)＝0． …………………… 8分 且当0＜x ＜x 0时，h (x )＜0，即g ′(x )＜0，当x ＞x 0时，h (x )＞0，即g ′(x )＞0，所以g (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，因此g (x )在x ＝x 0处有极小值．所以当函数g (x )存在极值时，λ的取值范围是(0，＋∞)． …………………… 10分（3）g (x )＝f ′(x )＝e x －e －λln x ，g ′(x )＝e x －λx． 若g ′(x )≥0恒成立，则有λ≤x e x 恒成立．设φ(x )＝x e x (x ≥1)，则φ′(x )＝(x ＋1) e x ＞0恒成立，所以φ(x )单调递增，从而φ(x )≥φ(1)＝e ，即λ≤e ．于是当λ≤e 时，g (x )在[1，＋∞)上单调递增，此时g (x )≥g (1)＝0，即f ′(x )≥0，从而f (x )在[1，＋∞)上单调递增．所以f (x )≥f (1)＝0恒成立． …………………………… 13分当λ＞e 时，由（2）知，存在x 0∈(1，λ)，使得g (x )在(0，x 0)上单调递减，即f ′(x )在(0，x 0)上单调递减．所以当1＜x ＜x 0时，f ′(x )＜f ′(1)＝0，于是f (x )在[1，x 0)上单调递减，所以f (x 0)＜f (1)＝0．这与x ≥1时，f (x )≥0恒成立矛盾．因此λ≤e ，即λ的最大值为e ． …………………………… 16分南京市2017届高三第三次模拟考试数学附加参考答案及评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结BE ．因为AD 是边BC 上的高，AE 是△ABC 的外接圆的直径，所以∠ABE ＝∠ADC ＝90°． …………… 4分∠AEB ＝∠ACD ， …………… 6分所以△ABE ∽△ADC ， …………… 8分所以AB AD ＝ AE AC． 即AB ·AC ＝AD ·AE ． …………… 10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 x y 2 ⎣⎡⎦⎤－1 1 ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －22－y ． …………… 2分 因为AX ＝⎣⎡⎦⎤12，所以⎩⎨⎧x －2＝1，2－y ＝2，解得x ＝3，y ＝0． …………… 4分 （2）由（1）知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2 ，又B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 2 ， 所以AB ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 2 ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 40 4 ． …………… 6分 设(AB )－1 ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 40 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1 ， 即 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋4c 2b ＋4d 4c 4d ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1 ． …………… 8分 所以 ⎩⎨⎧2a ＋4c ＝1，4c ＝0，2b ＋4d ＝0，4d ＝1，解得a ＝12，b ＝－12，c ＝0，d ＝14， 即 (AB )－1＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －120 14 ． …………… 10分（说明：逆矩阵也可以直接使用公式求解，但要求呈现公式的结构）C ．选修4—4：坐标系与参数方程（第21(A)图）解：由于ρ2 ＝ x 2＋y 2，ρcos θ ＝ x ，所以曲线C 的直角坐标方程为 x 2＋y 2－8x ＋15＝0，即 (x －4)2+y 2＝1，所以曲线C 是以 (4，0) 为圆心，1为半径的圆．…………… 3分直线l 的直角坐标方程为 y ＝x ，即x －y ＝0． …………… 6分因为圆心 (4，0) 到直线l 的距离d ＝|4－0|2＝22＞1． …………… 8分 所以直线l 与圆相离， 从而PQ 的最小值为d －1＝22－1．…………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为x ＞0，所以x 3＋2 ＝ x 3＋1＋1 ≥ 33x 3×1×1 ＝ 3x ，当且仅当x 3＝1，即x ＝1时取“＝”． …………… 4分因为y 2＋1－2y ＝(y －1)2≥0，所以y 2＋1≥2y ，当且仅当y ＝1时取“＝”． …………… 8分所以 (x 3＋2)＋(y 2＋1)≥3x ＋2y ，即x 3＋y 2＋3≥3x ＋2y ，当且仅当x ＝y ＝1时，取“＝”． …………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）解：（1）设P (x ，y )为曲线C 上任意一点 ．因为PS ⊥l ，垂足为S ，又直线l ：x ＝－1，所以S (－1，y )．因为T (3，0)，所以OP →＝(x ，y )， ST →＝(4，－y )．因为OP →·ST →＝0，所以4x －y 2＝0，即y 2＝4x ．所以曲线C 的方程为y 2＝4x ． …………… 3分（2）因为直线PQ 过点(1，0)，故设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1．P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2―4my ―4＝0． 所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝―4． …………… 5分因为M 为线段PQ 的中点，所以M 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，即M (2m 2＋1，2m )． 又因为S (－1，y 1)，N (－1，0)，所以SM →＝(2m 2＋2，2m －y 1)，NQ →＝(x 2＋1，y 2)＝(my 2＋2，y 2)． …………… 7分 因为(2m 2＋2) y 2－(2m －y 1)(my 2＋2)＝(2m 2＋2) y 2－2m 2y 2＋my 1y 2－4m ＋2y 1＝2(y 1＋y 2)＋my 1y 2－4m ＝8m －4m －4m ＝0．所以向量SM →与NQ →共线． …………… 10分23．（本小题满分10分）解：（1）由题意，当n ＝2时，数列{a n }共有6项．要使得f (2)是2的整数倍，则这6项中，只能有0项、2项、4项、6项取1，故T 2＝C 06＋C 26＋C 46＋C 66＝25＝32． ……………………… 3分（2）T n ＝C 03n ＋C 33n ＋C 63n ＋…＋C 3n 3n ． ……………………… 4分当1≤k ≤n ，k ∈N *时，C 3k 3n ＋3＝C 3k 3n ＋2＋C 3k －13n ＋2＝C 3k －13n ＋1＋C 3k 3n ＋1＋C 3k －13n ＋1＋C 3k －23n ＋1＝2C 3k －13n ＋1＋C 3k 3n ＋1＋C 3k －23n ＋1＝2 (C 3k －13n ＋C 3k －23n )＋C 3k －13n ＋C 3k 3n ＋C 3k －33n ＋C 3k －23n＝3 (C 3k －13n ＋C 3k －23n )＋C 3k 3n ＋C 3k －33n ， ……………………… 6分于是T n ＋1＝C 03n ＋3＋C 33n ＋3＋C 63n ＋3＋…＋C 3n ＋33n ＋3＝C 03n ＋3＋C 3n ＋33n ＋3＋3(C 13n ＋C 23n ＋C 43n ＋C 53n ＋…＋C 3n －23n ＋C 3n －13n )＋T n －C 03n ＋T n －C 3n 3n＝2 T n ＋3(23n －T n )＝3×8n －T n ． ……………………… 8分下面用数学归纳法证明T n ＝13[8n ＋2(－1)n ]． 当n ＝1时，T 1＝C 03＋C 33＝2＝13[81＋2(－1)1]，即n ＝1时，命题成立． 假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *) 时，命题成立，即T k ＝13[8k ＋2(－1)k ]． 则当n ＝k ＋1时，T k ＋1＝3×8k －T k ＝3×8k －13[8k ＋2(－1)k ]＝13[9×8k －8k －2(－1)k ]＝13[8k ＋1＋2(－1)k ＋1]， 即n ＝k ＋1时，命题也成立．于是当n ∈N *，有T n ＝13[8n ＋2(－1)n ]． ……………………… 10分。
江苏南京市高三年级第三次模拟考试数学试题附含答案解析
南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学2018.05注意事项：1. 本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分.本试卷满分为160分，考试时间为120分钟.2•答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内•试题的答案写在答题纸.上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题纸.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.集合A= {x| x 2+ x —6 = 0} , B= {x| x 2- 4 = 0}，贝U AU B= ▲_ .2. 已知复数z 的共轭复数是—.若z（2 —i）= 5,其中i为虚数单位，则-的模为▲3. 某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在［50 , 60］元的学生人数为▲S^1I-1While I v 8S—S+ 2I —I + 3End WhilePrint S（第4题图）4. 根据如图所示的伪代码，可知输出S的值为▲.5•已知A, B, C三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A与B在相邻两天值班的概率为▲x —y —3< 0,6. 若实数x, y满足x + 2y—5> 0,则丫的取值范围为▲.xy —2< 0,7. 已知a,卩是两个不同的平面，I , m是两条不同的直线，有如下四个命题:①若I丄a, I丄卩，贝U a//®；②若I丄a, a丄卩，贝U l 〃卩；③若I // a , I丄卩，贝U a丄卩；④若I // a , a丄卩，贝U l丄卩.其中真命题为▲（填所有真命题的序号）2 2x y&在平面直角坐标系xOy中，若双曲线孑一b2= i（a>0, b>0）的一个焦点到一条渐近线的距离为2a,则该双曲线的离心率为▲9. 若等比数列｛a n｝的前n项和为S, n€N*,且a i=1, 9=33,贝U a?的值为▲2x + x + a, O w x w 2,10. 若f(x)是定义在R上的周期为3的函数，且f(x)= 则f(a+1)—6X+ 18, 2v x w3, 的值为▲.11. 在平面直角坐标系xOy中，圆M x + y —6x—4y+ 8= 0与x轴的两个交点分别为A, B, 其中A在B的右侧，以AB为直径的圆记为圆N,过点A作直线l与圆M圆N分别交于C, D两点•若D为线段AC的中点，则直线I的方程为▲.12. 在△ ABC中, AB=3,AC=2, D为边BC上一点.若広B 忌=5,卞C 怎D= —£,则匚B -T A C3的值为▲.c b13. 若正数a, b, c成等差数列，则+ 的最小值为▲.2a + b a+ 2c -----------14. 已知a, b€ R, e为自然对数的底数.若存在b€ ［—3e,—ej，使得函数f （x）= e x—ax —b在［1 , 3］上存在零点，贝U a的取值范围为▲.二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，锐角a ,卩的顶点为坐标原点O,始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O的交点分别为P, Q已知点P的横坐标为卑7，点Q的纵坐标为3^43.(1 )求COS2 a的值；(2)求2 a — 3的值.（第15题图）16. (本小题满分14分)如图，在三棱锥 P — ABC 中, PA= 6,其余棱长均为2, M 是棱PC 上的一点，D, E 分别 为棱AB BC 的中点.(1) 求证：平面PBCL 平面ABC (2) 若PD//平面AEM 求PM 的长.其中AC 为2百米，ACL BC / A 为n^.若在半圆弧駅，线段AQ 线段AB 上各建一个观赏亭D, E, F ,再修两条栈道 DE DF,使DE// AB DF// AC(1)试用B 表示BD 的长;18. (本小题满分16分)已知过点M | , 0)的直线l 与椭圆C 交于A , B 两点.(1)求椭圆C 的方程;(2)试问x 轴上是否存在定点 N,使得_N A •"N B 为定值.若存在，求出点 N 的坐标; 若不存在，请说明理由19. (本小题满分16分)32已知函数 f ( x ) = 2x - 3ax + 3a — 2 (a > 0)，记 f' (x )为 f (x )的导函数. (1) 若f (x )的极大值为0,求实数a 的值；(2) 若函数g ( x ) = f ( x ) + 6x ,求g ( x )在［0,1］上取到最大值时 x 的值；a a +217.(本小题满分14分)如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB AC 和以BC 为直径的半圆弧 ©C 组成,(2 )试确定点E 的位置，使两条栈道长度之和最大 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2 2x yC ：孑+ R = 1(a >b >0)经过点P (8 , |),离心率C(第17题图)(3)若关于x 的不等式f(x) >f' (x)在【2,亍］上有解，求满足条件的正整数a的集合.20. (本小题满分16分)若数列｛a n｝满足：对于任意n € N* , a n+ I a +1 - a n + 2|均为数列｛a n｝中的项，则称数列｛a n｝为“ T数列”.2(1)若数列｛a n｝的前n项和2n , n€ M，求证：数列｛a n｝为“ T数列”；(2)若公差为d的等差数列｛a n｝为“ T数列”，求d的取值范围；(3)若数列｛a n｝为“T数列”，a1= 1，且对于任意n€ N*，均有a・v a n+1 —a2< a n+1,求数列｛a n｝的通项公式.南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题注意事项：1 •附加题供选修物理的考生使用.2 .本试卷共40分，考试时间30分钟.3•答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内•试题 的答案写在答•纸.上对应题目的答案空格内•考试结束后，交回答题纸.21. 【选做题】在 A 、B C 、D 四小题中只能选做 2题，每小题10分，共计20分.请在答.卷纸指定区域内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4— 1:几何证明选讲1在厶ABC 中, AC = q AB M 为边 AB 上一点，△ AMC 勺外接圆交 BC 边于点N, BN= 2AM 求证：CM 是/ ACB 勺平分线.B. 选修4— 2:矩阵与变换1 2 2 0已知矩阵A 0 1 , B = 0 1 下得到直线I 1,求直线I 1的方程.C. 选修4— 4:坐标系与参数方程2018.05，若直线I : x — y + 2= 0在矩阵AB 对应的变换作用在极坐标系中，已知圆 C 经过点P (2, ~3),圆心C 为直线 sin( B —~3)= —寸3与极 轴的交点，求圆 C 的极坐标方程.D. 选修4— 5:不等式选讲已知 a , b, c € (0 ,+s )，且 a + b + c = 1,求.2a + b + 2b + c + , 2c + a 的最大值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答.卷卡指定区域内作答.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. (本小题满分10分)在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C ： y 2= 2px (p >0)的焦点为F ,点A (1 , a ) ( a > 0) 是抛物线 C 上一点，且 AF = 2. (1 )求p 的值；(2 )若M N 为抛物线C 上异于A 的两点，且 AML AN 记点M N 到直线y =— 2的距离 分别为d 1，d 2，求d 1d 2的值.23. (本小题满分10分)n € N*且 n 》2.(1) 若 f n (1) = 7g n (1)，求 n 的值；(2) 对于每一个给定的正整数 n ,求关于x 的方程f n ( x ) + g n (x ) = 0所有解的集合.n — 1 已知 f n (X )= E i = 1n — iA n x (x + 1)…(x + i—1)n rg n (x ) = A+ x (x +1)…(x + n — 1)，其中 x € R,6分又因为卩为锐角，所以cos 3 =鲁•8分(2)1 -1 =7•因为点Q 的纵坐标为善”，所以sin 3所以 COS2 a = 2cos 2 a3.*3 14 •南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学参考答案说明：i •本解答给出的解法供参考•如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则.2•对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果 后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3 •解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4 •只给整数分数，填空题不给中间分数.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在 答题纸的指定位置上） 1. { — 3, - 2, 2} 2 • 5 3• 1504• 7 5• 262] 7 • ①③ 8.5 9• 410 • 211 • x + 2y — 4 = 0 12 • — 31314 • [e 2, 4e]二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,请把答案写在答题纸的指定区域内） 15 •（本小题满分14分）COS a2 •［忏证明过程或演算步骤,因为点P 的横坐标为台7 P 在单位圆上，a 为锐角,分18.（本小题满分16分）因为a 为锐角，所以0 V 2a Vn.严n又 COS2 a > 0,所以 0 V 2 aV —,n n n又3为锐角，所以一2 V 2 a — 3 V —，所以2 a — 3 =三•14分 16.(本小题满分14分)(1)证明：如图1,连结PE因为△ PBC 勺边长为2的正三角形，E 为BC 中点， 所以PEL BC......................... 2分且 PE = )3,同理 AE= '3.因为PA={6,所以PE + A E = PA ，所以PE L AE ……4分因为 PEI BC PEI AE, B8 AE= E , AE BC 平面 ABC 所以PE 丄平面ABC因为PE 平面PBC 所以平面PBC L 平面ABC (2)解法一如图1，连接CD 交AE 于 O 连接OM因为PD//平面AEM PD 平面PDC 平面 AEI W 平面PDC= OM 所以PD// OM....................... 9分PM DO所以PC = DC................ 11分因为D, E 分别为AB BC 的中点，Cm AE= QDO 1所以O 为 ABC 重心，所以Dc = 3,1 2所以 PM= 3PO 3. ................... 14 分解法二如图2，取BE 的中点N,连接PN因为D, N 分别为AB BE 的中点， 所以DN// AE因为 a 为锐角，所以Sin a因此 sin2 a = 2sin 4护a COS a = 7所以 sin(2 a — 3 )X-壬=137 142 '-10分 12分COS a= 且 7，(图1)B又DN 平面AEM AE 平面AEM所以DN//平面AEM又因为PD/平面AEM DN 平面PDN PD平面PDN DNH PD= D,所以平面PD/平面AEM .....................................又因为平面AEM P平面PBC= ME平面PDN T平面PBC= PNPM NE所以ME/ PN所以PC= NC ........... 11分因为E, N分别为BC BE的中点，NE 1 1 2所以3,所以PM= 3卩°= 3 - ............. 14分17.（本小题满分14分）解：（1）连结DCn在厶ABC中, AC为2百米，ACL BC / A为-,3所以/ CBA=-6 , AB= 4 , BC= 2 3. ................ 2 分一n t所以DF= 4cos 0 si n(石 +0)，......................... 6 分且BF= 4cos20 ,所以DE= AF=4- 4cos20 , ....... 8 分所以DE+ DF= 4 —4cos20 + 4 cos 0 sin(才 + 0 )= . 3sin2 0 —cos2 0 + 3n=2 sin(2 0 —~) + 3.n n n所以当20弋=n ,即0=§时，DHDF有最大值5,此时E与c重合 (13)n因为BC为直径，所以/ BDC= y ,所以BD = BC cos 0 cos 0 . ............ 4分所以—sin( DFn0+石)BFnsin( — - 0 )BDsin / BFD12分n n 因为~3 w 0 <_2，n 5 n 6 < "6(2)在厶BDF中，/ DBF= 0 +： , / BFD=才,BD- 2 3cos 0 ,精品文档答：当E与C重合时，两条栈道长度之和最大. 14分分18.（本小题满分16分）精品文档当I 斜率不存在时,2y ),氏5，—y )，则 y 2= 1 2 2(5)24 25则-N A H NB = (5— n )「—y =(5— n )224 2 4 425=n — 5n —5,当 I 经过左？右顶点时， "N A "N B = ( — 2 — n )(2 — n ) = n — 4. 2 44 2令 n — n — = n — 4，得 n = 4.F 面证明当N 为(4 , 0)时，对斜率为k 的直线I : y = k (x —弓,恒有~NA5 =12.设 A (X i , y i ) , B (X 2, y 2),2X 2 ’4+y =1， 由 2 消去y = k (X —-),516 2 16 y ，得(4k + 1) X — kx + k — 4= 0, 52 516 2k5所以刘+X 2= 4k 77，16 / k — 4 25 X 1X 2 =4k + 1 '10分所以 NA NB = (X 1 — 4)( X 2— 4) + yy,22 2=(X 1 — 4)( X 2 — 4) + k (X 1— 5)( X 2—5)2 2 2=(k + 1)X 1X 2— (4 + k )( X 1' X 2) + 16+ k5 2512分16 2 , 16 2k — 4 k2 25 2 2 5 4 2=(k + 1) 2 — (4 + — k ) 2 + 16+ k(2)解法设 N (n , 0),解("离心率e =|=乎，所以c =a 2- c 2= 2a ,所以椭圆 2X"2'C 的方程为4b 因为椭圆c 经过点只5, 3「 16 9 5)，所以 25b 2'25bb 21.精品文档—4=入,此时"N A "N B = 12.14分,"2 八，16.2 八 16.2,, 2 2 4"2,,"2 八(k + 1)( 25k — 4) — —k (4 + 5k ) + 25k (4k + 1)4k 2+ 116 2 k 5 所以 X 1 + X 2 = ,4k + 1tt 22 2所以 NA NB = (X 3— n )( x 4— n ) + y 5y 2= (X 1 — n )( x 2— n ) + k (X 1 — 5)(x 2 — #162k一 422 2 5 24 2 =(k + 1)2— (n + - k ) 2 + n + k 4k + 1 ' 5 74k +125(k 2+ 1)(歎—4) — 16k 2( n + |k 2) + 加4 k 2 +1)2 4k 2+ 1+ nk 2 — 416 16 2 2则(—fn — f)k — 4 = 4入k +入对任意的实数k 恒成立, 5 52 , 16 16 2k — 4( — n — )k — 45 5 --- 为常数，设2=入，入为所以在 解法设Nn , .2—16k — 4 4k 2 + 1卜16=12.x 轴上存在定点 N (4 , 0), 使得 NA NB 为定值. 16分0)，当直线I 斜率存在时, 2:y = k (x —5)，y i )，B (x 2，y 2)，设 A (X 1, 2X -4 + y =1， 由 2消去 y = k (X —-),5y ， 得(4 k 22 + 1)x + 咏—4= 0,5 254k + 1卜n 2.12分’ 16 16、T T(—尹 R若NA NB 为常数，则 2—4k +1常数,卜16^k 2— 4 25X1X2=4k 2 + 1，2=(k + 1)X 1X 2— ( n +X 1 + X 2) + n 2+ 25 k 225精品文档—4=入,此时"N A "N B = 12.14分16 16—l n — = 4 入, 所以 5 5 '所以n = 4,入=—4,由 a n v a n% — a 2 v a n + 1 ,得 1 + (n — 1)t v t [2 + (2n — 1) t ] v 1 12分所以"N A ~NB = (2-4)2-y 2= (|- 4)2 - 25= 12,所以在x 轴上存在定点 N 4 , 0)，使得_NA ~NB 为定值. .................. 16分19.(本小题满分16分)32解：(1)因为 f ( x ) = 2x - 3ax + 3a — 2 (a > 0),所以 f' (x ) = 6x 2— 6ax = 6x ( x — a ). 令 f (x ) = 0，得 x = 0 或 a ................... 2分当 x € ( —a, 0)时，f' (x ) >0, f ( x )单调递增； 当 x € (0 , a )时，f' (x ) v 0, f ( x )单调递减； 当 x € (a ,+^)时，f' (x ) >0, f ( x )单调递增.2故 f ( x )极大值=f (0) = 3a — 2 = 0,解得 a = 3................... 4 分32(2) g ( x ) = f ( x ) + 6x = 2x — 3ax + 6x + 3a — 2 (a > 0),22则 g '(x ) = 6x — 6ax + 6= 6(x — ax + 1) , x € [0 , 1].2① 当 0v a w 2 时，△= 36( a — 4) < 0,所以g '(x ) > 0恒成立，g ( x )在[0 , 1]上单调递增， 贝U g ( x )取得最大值时x 的值为1....................... 6分a 2② 当 a >2 时，g '(x )的对称轴 x = 2> 1，且△= 36( a — 4) >0, g ' (1) = 6(2 — a )v 0, g ' (0) = 6> 0,所以g '(x )在(0 , 1)上存在唯一零点当 x € (0 , x o )时，g '(x ) > 0, g ( x )单调递增, 当 x € (x °, 1)时，g '(x ) v 0, g ( x )单调递减,综上，当0v a w 2时，g ( x )取得最大值时x 的值为1;a —寸 a 2— 4 当a >2时，g ( x )取得最大值时x 的值为 2....... 9分32(3) 设 h ( x ) = f ( x ) — f ' ( x) = 2x — 3( a + 2) x + 6ax + 3a — 2,a a + 2则h ( x ) > 0在Q —厂]有解......... 10分2 ,2 a + 2 2 a + 4h '(x ) = 6[x — (a + 2)x + a ] = 6[( x —^) —p],a a + 2 a 3 2因为h '(x )在g , ~^)上单调递减，所以 h '(x ) v h'Q = — ?a v 0,a a + 2、所以h ( x )在(2，—厂)上单调递减,当直线l 斜率不存在时, A (2, y ), B (|,- y )，则 y 2= 1X o =a — a — 42则g ( x )取得最大值时 x 的值为X 0 =a3 2所 以 h (2 )> 0, 即 a -3a - 6a + 4............................................ 12分3 2 2设 t ( a ) = a - 3a - 6a + 4 (a > 0),贝U t ' ( a ) = 3a - 6a -6, 当 a c (0 , 1 +、2) 时，t ' ( a ) v 0, t ( a )单调递减； 当 a c (1 + ,2,+s )时，t ' ( a ) >0, t (a )单调递增.因为 t (0) = 4 > 0 , t (1) =- 4 v 0,所以 t ( a )存在一个零点m C (0....... 14分因为 t (4) =-4 v 0, t (5) = 24 > 0，所以 t ( a )存在一个零点 n C (4 , 5), 所以t ( a ) w 0的解集为[m , n ],故满足条件的正整数 a 的集合为｛1 , 2, 3 , 4｝ ................. 16分(本小题满分16分)2 2(1 )当 n 》2 时，a n = S — S-1= 2n —2(n — 1) = 4n — 2,又 a 1= S= 2 = 4x 1-2，所以 a n = 4n — 2............. 2分所以 a n + | a n +1 — a n +2| = 4n — 2+ 4 = 4( n + 1) — 2 为数列｛a n ｝的第 n + 1 项， 因此数列｛a n ｝为“ T 数列”. .......... 4分(2)因为数列｛a n ｝是公差为d 的等差数列，所以 a n + | a n +1- a n +2| = a 1+ (n - 1) d +1 d | . 因为数列｛a n ｝为“T 数列”，所以任意 n C N*，存在 m€ N*，使得 a + ( n - 1) d + | d | = a m ,即有(m- n ) d 6分① 若 d >0,则存在 m = n + 1 C N*，使得(n — n ) d = | d | , ② 若 d v 0,则 m= n - 1.此时，当n = 1时，m= 0不为正整数，所以 d v 0不符合题意.综上，d >0...................... 8分(3 ) 因为 a n v a n + 1, 所以 a n + | a n + 1- a n + 2| = a n + a n +2 — a n + 1 .又因为 a n v a n + a n + 2— a n + 1 = a n + 2— (a n +1 — a n ) v a n + 2,且数列｛ a n ｝为“ T 数列”， 所以 a n + a n + 2— a n + 1= a n + 1, 即卩 a n + a n + 2= 2a n + 1 , 所以数列｛a n ｝为等差数列.......... 10分设数列｛a n ｝的公差为t (t >0)，则有a n = 1 + (n - 1)t ,0.1),20. 解: |d |nt ,整理得n(2t2—t) >t2-3t + 1, ①n(t —2t ) >2t —t —1.②22 t —3t + 1若2t —t v 0,取正整数N> 2t2 t，2 2 2则当n> N0时，n(2t —t) v (2 t —t) N0v t —3t +1，与①式对于任意n€ N*恒成立相矛盾，因此2t —t >0.同样根据②式可得t —2t2> 0,2 1所以2t —t = 0•又t >0,所以t = 21经检验当t = 2时，①②两式对于任意n € M恒成立，1所以数列｛a n｝的通项公式为a n = 1 + 2 (n —1)=n+ 1......................................... 16分2 -由a n v a n% —a2v a n + 1,得1 + (n —1)t v t [2 + (2n —1) t] v 112分南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2018.05说明：1 •本解答给出的解法供参考•如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2•对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3 •解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4 •只给整数分数，填空题不给中间分数.21 •【选做题】在A、B C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答.卷卡指定区域内作答•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4—1:几何证明选讲证明：连结MN则/ BMN=Z BCA ........ 2分又/ MBI4Z CBA 因此△MB MA CBA .......... 4分AB BN所以AB T M N• .............................. 6分1 BN又因为AC T尹3所以M N T 2, 即卩BI T 2MN .......... 8分又因为BN= 2AM所以AM= MN所以CM是/ ACB勺平分线. ...... 10分B. 选修4—2:矩阵与变换12 2 022解：因为A= ,B= ，所以AB=........ 4分010 101设点P D(X0,y°）是l上任意 -点，P0在矩阵AB对应的变换作用下得到P(X, y)因为P D(X0,y0）在直线l : x-y + 2= 0 上, 所以X0-y°+ 2 = 0 •①X0x 22X0 X由AI B = ，即c1y。
南京市2017届高三年级三模数学卷
（第 5 题图）
6 ．在同一直角坐标系中，函数 y ＝ sin(x ＋ ▲ ．
π 1 ) （ x ∈ [0 ， 2 π ] ）的图象和直线 y ＝ 的交点的个数是 3 2
x2 y2 7．在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 2－ ＝1 的焦距为 6，则所有满足条件的实数 m 构成的集合是 2m 3m ▲ ．
为实数)．若圆 O 与圆 M 上分别存在点 P，Q，使得∠OQP＝30，则 a 的取值范围为
▲
．
3a＋8b 2 3 2 14 ．（ 2017 南京三模）已知 a ， b ， c 为正实数，且 a ＋ 2b≤8c ， ＋ ≤ ，则 的取值范围为 a b c c ▲ ．
15． （2017 南京三模） （本小题满分 14 分）如图，在三棱锥 A－BCD 中，E，F 分别为棱 BC，CDA 上的点， 且 BD∥平面 AEF． （1）求证：EF∥平面 ABD； （2）若 BD⊥CD，AE⊥平面 BCD，求证：平面 AEF⊥平面 ACD．
3 8 ．已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上且周期为 4 的偶函数．当 x ∈ [ 2 ， 4 ] 时， f ( x ) ＝ | log 4 ( x － ) | ， 2 A
1
C1
1 则 f( )的值为 2
▲
． ▲ ．
B1
9．若等比数列{an}的各项均为正数，且 a3－a1＝2，则 a5 的最小值为
－ －
▲
．
4．执行如图所示的伪代码，若输出 y 的值为 1， 则输入 x 的值为 ▲ ．
Read x If x≥0 Then y←2x＋1 Else y← 2－x2 End If Print y
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2017-2018学年江苏省南京市高考数学三模试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．已知复数z=﹣1，其中i为虚数单位，则z的模为．
2．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：
排队人数0 1 2 3 4 ≥5
概率0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是．
3．若变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值．
4．如图是一个算法流程图，则输出k的值是．
5．如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是．
6．记不等式x2+x﹣6＜0的解集为集合A，函数y=lg（x﹣a）的定义域为集合B．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为．
7．在平面直角坐标系xOy中，过双曲线C：x2﹣=1的右焦点F作x轴的垂线l，则l与双曲线C的两条渐近线所围成的三角形的面积是．
8．已知正六棱锥P﹣ABCDEF的底面边长为2，侧棱长为4，则此六棱锥的体积为．
9．在△ABC中，∠ABC=120°，BA=2，BC=3，D，E是线段AC的三等分点，则?的值为．
10．记等差数列{a n}的前n项和为S n．若S k﹣1=8，S k=0，S k+1=﹣10，则正整数k= ．11．若将函数f（x）=|sin（ωx﹣）|（ω＞0）的图象向左平移个单位后，所得图象对
应的函数为偶函数，则实数ω的最小值是．
12．已知x，y为正实数，则+的最大值为．
13．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=9，直线l：y=kx+3与圆C 相交于A，B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实
数k的取值范围为．
14．已知a，t为正实数，函数f（x）=x2﹣2x+a，且对任意的x∈[0，t]，都有f（x）∈[﹣a，a]．若对每一个正实数a，记t的最大值为g（a），则函数g（a）的值域为．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤．
15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知acosC+ccosA=2bcosA．
（1）求角A的值；
（2）求sinB+sinC的取值范围．
16．在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，PA⊥PD，AD=2BC，AB=PB，E为PA的中点．
（1）求证：BE∥平面PCD；
（2）求证：平面PAB⊥平面PCD．
17．如图，摩天轮的半径OA为50m，它的最低点A距地面的高度忽略不计．地面上有一长度
为240m的景观带MN，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM=60m．点P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B处，记∠AOP=θ，θ∈（0，π）．
（1）当θ=时，求点P距地面的高度PQ；
（2）试确定θ的值，使得∠MPN取得最大值．
18．在平面直角坐标系xOy中，设中心在坐标原点的椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，右准线l：x=m+1与x轴的交点为B，BF2=m．
（1）已知点（，1）在椭圆C上，求实数m的值；
（2）已知定点A（﹣2，0）．
①若椭圆C上存在点T，使得=，求椭圆C的离心率的取值范围；
②当m=1时，记M为椭圆C上的动点，直线AM，BM分别与椭圆C交于另一点P，Q，若=λ
，=μ，求证：λ+μ为定值．
19．已知函数f（x）=x2﹣x+t，t≥0，g（x）=lnx．
（1）令h（x）=f（x）+g（x），求证：h（x）是增函数；
（2）直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切．对于确定的正实数t，讨论直线l的条数，并说明理由．
20．已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项的和为S n，且对任意的m，n∈N*，
都有（S m+n+S1）2=4a2m a2n．
（1）求的值；
（2）求证：{a n}为等比数列；
（3）已知数列{c n}，{d n}满足|c n|=|d n|=a n，p（p≥3）是给定的正整数，数列{c n}，{d n}的前p项的和分别为T p，R p，且T p=R p，求证：对任意正整数k（1≤k≤p），c k=d k．
选修4-1：几何证明选讲
21．如图，AB，AC是⊙O的切线，ADE是⊙O的割线，求证：BE?CD=BD?CE．
选修4-2：矩阵与变换
22．已知矩阵A=，直线l：x﹣y+4=0在矩阵A对应的变换作用下变为直线l′：x﹣y+2a=0．
（1）求实数a的值；
（2）求A2．
选修4-4：坐标系与参数方程
23．在极坐标系中，设圆C：ρ=4cosθ与直线l：θ=（ρ∈R）交于A，B两点，求以AB 为直径的圆的极坐标方程．
选修4-5：不等式选讲
24．已知实数x，y满足x＞y，求证：2x+≥2y+3．
七、解答题（共2小题，满分20分）
25．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，BC=，AB=1，BD=PA=2．
（1）求异面直线BD与PC所成角的余弦值；
（2）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．
26．已知集合A是集合P n={1，2，3，…，n}（n≥3，n∈N*）的子集，且A中恰有3个元素，同时这3个元素的和是3的倍数．记符合上述条件的集合A的个数为f（n）．
（1）求f（3），f（4）；
（2）求f（n）（用含n的式子表示）．。