2019届高考数学一轮复习选考部分专题几种常见的变换学案苏教版选修42

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2019届高三数学一轮复习目录(理科)

2019届高三第一轮复习《原创与经典》（苏教版）（理科）第一章集合常用逻辑用语推理与证明第1课时集合的概念、集合间的基本关系第2课时集合的基本运算第3课时命题及其关系、充分条件与必要条件第4课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词第5课时合情推理与演泽推理第6课时直接证明与间接证明第7课时数学归纳法第二章不等式第8课时不等关系与不等式第9课时一元二次不等式及其解法第10课时二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题第11课时基本不等式及其应用第12课时不等式的综合应用第三章函数的概念与基本初等函数第13课时函数的概念及其表示第14课时函数的定义域与值域第15课时函数的单调性与最值第16课时函数的奇偶性与周期性9第17课时二次函数与幂函数第18课时指数与指数函数第19课时对数与对数函数第20课时函数的图象第21课时函数与方程第22课时函数模型及其应用第四章导数第23课时导数的概念及其运算（含复合函数的导数）第24课时利用导数研究函数的单调性与极值第25课时函数的最值、导数在实际问题中的应用第五章三角函数第26课时任意角、弧度制及任意角的三角函数第27课时同角三角函数的基本关系式与诱导公式第28课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式第29课时二倍角的三角函数第30课时三角函数的图象和性质第31课时函数sin()y A x ωϕ=+的图象及其应用第32课时正弦定理、余弦定理第33课时解三角形的综合应用第六章平面向量第34课时平面向量的概念及其线性运算第35课时平面向量的基本定理及坐标表示第36课时平面向量的数量积第37课时平面向量的综合应用第七章数列第38课时数列的概念及其简单表示法第39课时等差数列第40课时等比数列第41课时数列的求和第42课时等差数列与等比数列的综合应用第八章立体几何初步第43课时平面的基本性质及空间两条直线的位置关系第44课时直线、平面平行的判定与性质第45课时直线、平面垂直的判定与性质第46课时空间几何体的表面积与体积第47课时空间向量的应用——空间线面关系的判定第48课时空间向量的应用——空间的角的计算第九章平面解析几何第49课时直线的方程第50课时两直线的位置关系与点到直线的距离第51课时圆的方程第52课时直线与圆、圆与圆的位置关系第53课时椭圆第54课时双曲线、抛物线第55课时曲线与方程第56课时直线与圆锥曲线的位置关系第57课时圆锥曲线的综合应用第十章复数、算法、统计与概率第58课时抽样方法、用样本估计总体第59课时随机事件及其概率第60课时古典概型第61课时几何概型互斥事件第62课时算法的含义及流程图第63课时复数第十一章计数原理、随机变量及其分布第64课时分类计数原理与分步计数原理第65课时排列与组合第66课时二项式定理第67课时离散型随机变量及其概率分布第68课时事件的独立性及二项分布第69课时离散型随机变量的均值与方差第十二章选修4系列第70课时选修4－1 《几何证明选讲》相似三角形的进一步认识第71课时选修4－1 《几何证明选讲》圆的进一步认识第72课时选修4－2 《矩阵与变换》平面变换、变换的复合与矩阵的乘法第73课时选修4－2 《矩阵与变换》逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量第74课时选修4－4《参数方程与极坐标》极坐标系第75课时选修4－4《参数方程与极坐标》参数方程第76课时选修4－5《不等式选讲》绝对值的不等式第77课时选修4－5《不等式选讲》不等式的证明。

苏教版高中数学选修4-4：4.3 平面坐标系中几种常见变换复习课件

伸缩变换
对下列曲线进行伸缩变换kkyx＝＝yx′′， (k≠0，且k≠1)． (1)y＝kx＋b； (2)(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
【自主解答】设P(x，y)是变换前的点，P′(x′，y′)是变换后的点，由题
意，得kkxy＝＝xy′ ′，，即yx＝＝11kkyx′′.，
(1)由
1 k
y′＝k(
1 k
x′)＋b，y′＝kx′＋kb，得直线y＝kx＋b经过伸缩变换后的
方程为y＝kx＋kb，仍然是一条直线．
当b＝0时，该直线和原直线重合；当b≠0时，该直线和原直线平行．
(2)由(1kx′－a)2＋(1ky′－b)2＝r2，(x′－ka)2＋(y′－kb)2＝(kr)2，得圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 经过伸缩变换后的方程为 (x－ka)2＋(y－kb)2＝(kr)2，它是一个圆心为(ka，kb)，半径为|kr|的圆．
根据公式
x＝x′＋2， y＝y′＋3
可得所求双曲线的中心坐标为(2,3)，顶点坐标为(2,5)
和(2,1)，焦点坐标为(2,3＋ 13 )和(2,3－ 13 )，对称轴方程为x＝2，y＝3，准线方
程为y＝3±41313，渐近线方程为y－2 3±x－3 2＝0，即2x＋3y－13＝0和2x－3y＋5(x ， y) 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ ：
x′＝λxλ＞0， y′＝μyμ＞0
的作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称 φ 为平面直角
坐标系中的坐标伸缩变换，简称为伸缩变换．
【答案】 3x－2y＝0
3．曲线x2－y2－2x－2y－1＝0的中心坐标是________．【解析】配方，得(x－1)2－(y＋1)2＝1. 【答案】 (1，－1) 4．开口向上，顶点是(3,2)，焦点到顶点距离是1的抛物线方程是________．【解析】开口向上，焦点到顶点距离是1的抛物线的标准方程是x2＝4y，所以所求抛物线的方程是(x－3)2＝4(y－2)．【答案】 (x－3)2＝4(y－2)

高考新创新一轮复习理数江苏专版教师用书：第十二章+选修4系列

第十二章选修4系列(1)[a 11 a 12] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]．(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. (3)对于矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22，则MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11b 11＋a 12b 21 a 11b 12＋a 12b 22a 21b 11＋a 22b 21 a 21b 12＋a 22b 22. 2．矩阵的变换 (1)矩阵变换的概念：一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x ，y )，按照对应法则T ，总能对应唯一的一个平面点(向量)(x ′，y ′)，则称T 为一个变换，简记为T ：(x ，y )→(x ′，y ′)，或T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′.(2)几种常见的平面变换：恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换．[例1] (1)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1，计算AB ，AC . (2)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤000 1，计算AB .(3)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 －1，计算A 2，B 2.[解] (1)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 0， AC ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 0. (2)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0001＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×0＋0×0 1×0＋0×10×0＋0×0 0×0＋0×1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 0. (3)A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12.B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 000.[方法技巧]矩阵运算的规律(1)一般情况下，AB ≠BA ，即矩阵的乘法不满足交换律． (2)矩阵的乘法满足结合律，即(AB )C ＝A (BC )． (3)矩阵的乘法不满足消去律．矩阵的变换[例2] (2017·南京、盐城二模)设a ，b ∈R ，若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤30－1b对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0，求实数a ，b 的值．[解] 设矩阵A 对应的变换把直线l 上的任意点P (x ，y )变成直线l ′上的点P 1(x 1，y 1)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 30－1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝x 1，－x ＋by ＝y 1. 因为9x 1＋y 1－91＝0，所以27x ＋(－x ＋by )－91＝0，即26x ＋by －91＝0. 因为直线l 的方程也为ax ＋y －7＝0，所以26a ＝b 1＝－91－7，解得a ＝2，b ＝13.[方法技巧] 1．变换的复合在数学中，一一对应的平面几何变换常可以看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变等变换通常叫做初等变换；对应的矩阵叫做初等变换矩阵．2．矩阵乘法MN 的几何意义对向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 连续实施的两次几何变换(先T N 后T M )的复合变换．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，β＝⎣⎢⎦⎥－3，求M (2α＋4β)．解：2α＋4β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－8，则M (2α＋4β)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－8＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14－26. 2.[考点二]曲线C 1：x 2＋2y 2＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1的作用下变换为曲线C 2，求C 2的方程．解：设P (x ，y )为曲线C 2上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋2y 2＝1上与P 对应的点，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x ′＋2y ′，y ＝y ′则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y . 因为P ′是曲线C 1上的点，则有(x －2y 2)＋y 2＝1，所以C 2的方程为(x －2y )2＋2y 2＝1，即x 2－4xy ＋6y 2＝1.3.[考点二](2018·徐州市高三期中)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 012，若直线y ＝kx ＋1在矩阵A 对应的变换作用下得到的直线过点P (2,6)，求实数k 的值．解：矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 2，得A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 0－12 12，所以A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤26＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 0－1212⎣⎢⎡⎦⎥⎤26＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，将点(2,2)代入直线y ＝kx ＋1得k ＝12.4.[考点一、二]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 011，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 23 2.(1)求满足条件AM ＝B 的矩阵M ；(2)矩阵M 对应的变换将曲线C ：x 2＋y 2＝1变换为曲线C ′，求曲线C ′的方程．解：(1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，AM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a b a ＋c b ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0232，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，a ＋c ＝3，b ＝2，b ＋d ＝2，∴a ＝0，b ＝2，c ＝3，d ＝0.∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 23 0. (2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )在矩阵M 对应的变换作用下变为点P ′(x ′，y ′)，则M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 230⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y 3x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝x ′，3x ＝y ′，即⎩⎨⎧y ＝x ′2，x ＝y ′3，代入曲线C ：x 2＋y 2＝1，得⎝⎛⎭⎫x ′22＋⎝⎛⎭⎫y ′32＝1.∴曲线C ′的方程是x 24＋y 29＝1.突破点(二) 矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵． 2．二阶行列式我们把⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A )＝ad －bc .3．特征值与特征向量(1)设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．(2)从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵A 的作用后，与原向量保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ＞0)，或者方向相反(λ＜0)．特别地，当λ＝0时，特征向量就被变换成零向量．[例1] 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 6，求矩阵A －1B .[解] 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 00 12，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －20 3. [方法技巧]1．求逆矩阵的三种常用方法：(1)待定系数法：设A 是一个二阶可逆矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则AA －1＝A －1A ＝E (E 为单位矩阵)．(2)公式法：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，记为det A ，有A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤d det A －b det A －c det A a det A ，当且仅当detA ＝ad －bc ≠0.(3)从几何变换的角度求解二阶矩阵的逆矩阵． 2．对于矩阵A 和B ，若都存在逆矩阵，则 (1)若A 是B 的逆矩阵，则B 也是A 的逆矩阵； (2)可逆矩阵的逆矩阵唯一； (3)(A －1)－1＝A ；(4)E －1＝E ；(5)(AB )－1＝B －1A －1；(6)若A 是可逆矩阵，B 、C 是任意矩阵，则由AB ＝AC 可得B ＝C .特征值与特征向量[例2] 已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎦⎥12.(1)求矩阵A ； (2)求矩阵A－1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．[解] (1)因为矩阵A 是矩阵A－1的逆矩阵，且|A －1|＝2×2－1×1＝3≠0，所以A ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 23 －13－13 23.(2)矩阵A －1的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1 －1 λ－2＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)，令f (λ)＝0，得矩阵A－1的特征值为λ1＝1或λ2＝3，所以α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1是矩阵A －1的属于特征值λ1＝1的一个特征向量，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是矩阵A －1的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．[方法技巧]矩阵A 的特征值与特征向量的求解策略(1)求矩阵A 的特征值与特征向量先确定其特征多项式f (λ)，再由f (λ)＝0求出该矩阵的特征值，然后把特征值代入矩阵A 所确定的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0，即可求出特征向量．(2)根据矩阵A 的特征值与特征向量求矩阵A设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，根据Aα＝λα构建关于a ，b ，c ，d 的方程求解．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一](2016·江苏高考)已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤10 2－2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎦⎥⎥1 －120 2，求矩阵AB .解：设B ＝⎣⎡⎦⎤acb d ，则B －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 2⎣⎡⎦⎤a c b d ＝⎣⎡⎦⎤10 01，即错误!＝错误!，故⎩⎪⎨⎪⎧ a －12c ＝1，b －12d ＝0，2c ＝0，2d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝14，c ＝0，d ＝12，所以B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 140 12.因此，AB ＝⎣⎡⎦⎤10 2－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 140 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 540 －1. 2.[考点二] 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1，其中a ∈R ，若点P (1,1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－3)．(1)求实数a 的值；(2)求矩阵A 的特征值及特征向量．解：(1)由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 a ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－3，所以a ＋1＝－3，所以a ＝－4.(2)由(1)知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－4 1，令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 1 4 λ－1＝(λ－1)2－4＝0.解得A 的特征值为λ＝－1或3.当λ＝－1时，由⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＝0，4x －2y ＝0得矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，当λ＝3时，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，4x ＋2y ＝0得矩阵A 的属于特征值3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2.3.[考点二] (2018·苏北四市期末)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4，求矩阵A 的特征值和特征向量．解：矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－21λ－4＝λ2－5λ＋6,由f (λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝3.当λ1＝2时，特征方程组为⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x －2y ＝0，故属于特征值λ1＝2的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；当λ2＝3时，特征方程组为⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＝0，x －y ＝0，故属于特征值λ2＝3的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.4.[考点二]已知矩阵A 将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵A .解：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3.由⎣⎢⎡⎦⎥⎤abcd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，d ＝0.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 130.1. (2018·苏北四市摸底)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 21 x ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ，若Aα＝Bα，求实数x ，y 的值．解：Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y －22＋xy ，Bα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y .由Aα＝Bα得⎩⎪⎨⎪⎧2y －2＝2＋y ，2＋xy ＝4－y ，得x ＝－12， y ＝4.2. (2018·南京、盐城、连云港、徐州模拟)已知a ，b 是实数，如果矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2所对应的变换T 把点(2,3)变成(3,4)．(1)求a ，b 的值；(2)若矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2.解： (1)由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，所以⎩⎪⎨⎪⎧6＋3a ＝3，2b －6＝4，所以a ＝－1，b ＝5.(2)由(1)得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －15 －2.由矩阵的逆矩阵公式得B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －15 －3.所以B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11－54.3．(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在平面直角坐标系xOy 中，设点A (－1,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 1对应的变换作用下得到点A ′，将点B (3,4)绕点A ′逆时针旋转90°得到点B ′，求点B ′的坐标．解：设B ′(x ，y )，依题意，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤－100 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，得A ′(1,2)．则A ′B ―→＝(2,2)，A ′B ′―→＝(x －1，y －2)．记旋转矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1y －2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1y －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4，所以点B ′的坐标为(－1,4)．4．(2018·南京、盐城模拟)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 02 1的一个特征值为2，若曲线C 在矩阵M 变换下的方程为x 2＋y 2＝1，求曲线C 的方程．解：由题意，矩阵M 的特征多项式f (λ)＝(λ－a )·(λ－1)，因为矩阵M 有一个特征值为2，所以f (2)＝0，所以a ＝2.设曲线C 上任意一点坐标为(x ，y )，在矩阵M 变换下得到的点为(x ′，y ′)，所以M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 021⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 2x ＋y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2x ＋y ，代入方程x ′2＋y ′2＝1，得(2x )2＋(2x ＋y )2＝1，即曲线C 的方程为8x 2＋4xy ＋y 2＝1.5．(2017·江苏高考)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2.(1)求AB ；(2)若曲线C 1：x 28＋y 22＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程．解：(1)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 21 0. (2)设Q (x 0，y 0)为曲线C 1上的任意一点，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧2y 0＝x ，x 0＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ，y 0＝x 2.因为点Q (x 0，y 0)在曲线C 1上，则x 208＋y 202＝1，从而y 28＋x 28＝1，即x 2＋y 2＝8.因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2：x 2＋y 2＝8.6. (2018·盐城模拟)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m n 1的两个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，若β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，求M 2β. 解：设矩阵M 的特征向量α1对应的特征值为λ1，特征向量α2对应的特征值为λ2，则由⎩⎪⎨⎪⎧Mα1＝λ1α1，Mα2＝λ2α2，可解得m ＝n ＝0，λ1＝2，λ2＝1，又β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝α1＋2α2, 所以M 2β＝M 2(α1＋2α2)＝λ21α1＋2λ22α2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤42. 7. (2018·苏州期末)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝3及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，2)变换成(9,15)，求矩阵M .解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 915，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝9，－c ＋2d ＝15. 联立以上两方程组解得a ＝－1，b ＝4，c ＝－3，d ＝6，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14－36.突破点(一) 极坐标系(1)极坐标系如图所示，在平面上取一个定点O ，点O 叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，Ox 叫做极轴；同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标一般地，没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．(3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．2．极坐标与直角坐标的互化3.1．极坐标方程化为直角坐标方程的步骤第一步判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极轴与x 轴正半轴是否重合，若上述两个都重合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化第二步通过极坐标方程的两边同乘ρ或同时平方构造ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，一定要注意变形过程中方程要保持同解，不要出现增解或漏解第三步根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ及ρ2＝x 2＋y 2将极坐标方程转化为直角坐标方程2．直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中点的坐标化为极坐标(1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单，只需将直角坐标方程中的x ，y 分别用ρcos θ，ρsin θ代替即可得到相应极坐标方程．(2)求直角坐标系中的点(x ，y )对应的极坐标的一般步骤：[例1] 在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． [解] (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，则直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2. [方法技巧]1．应用互化公式的三个前提条件 (1)取直角坐标系的原点为极点． (2)以x 轴的正半轴为极轴．(3)两种坐标系规定相同的长度单位．2．直角坐标化为极坐标时的两个注意点(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M 的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M 的极坐标是唯一的．(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ(θ∈[0,2π))的值．极坐标方程的应用[例2] (2018·福州五校联考)已知曲线C 的极坐标方程为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy .(1)若直线l 过原点，且被曲线C 截得的弦长最小，求直线l 的直角坐标方程； (2)若M 是曲线C 上的动点，且点M 的直角坐标为(x ，y )，求x ＋y 的最大值． [解] (1)ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2＝0，即ρ2－2ρcos θ＋2ρsin θ－2＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4，圆心C (1，－1)，若直线l 被曲线C 截得的弦长最小，则直线l 与OC 垂直，即k l ·k OC ＝－1，k OC ＝－1，因而k l ＝1，故直线l 的直角坐标方程为y ＝x .(2)因为M 是曲线C 上的动点，因而利用圆的参数方程可设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos φ，y ＝－1＋2sin φ(φ为参数)，则x ＋y ＝2sin φ＋2cos φ＝22sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π4，当sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π4＝1时，x ＋y 取得最大值2 2. [易错提醒]用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一、二]已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离．解：由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，得2ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ＋22cos θ＝2，由坐标变换公式得直线l 的直角坐标方程为y ＋x ＝1，即x ＋y －1＝0.由点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，7π4得点A 的直角坐标为(2，－2)，所以点A 到直线l 的距离d ＝|2－2－1|2＝22. 2.[考点一、二](2018·洛阳统考)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. (1)将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，由坐标变换公式，得x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2. 由坐标变换公式，得x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22. 3.[考点二]已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ·sin θ－π4－4＝0，求圆C 的半径．解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.4.[考点一、二](2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)．因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB ＞0)，由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.突破点(二) 参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标x ，y 都可以表示为某个变量t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t )，反过来，对于t 的每一个允许值，由函数式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )所确定的点P (x ，y )都在这曲线C 上，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )叫做曲线C 的参数方程，变数t 是参变数，简称参数．2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数).1.基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三角的或代数的)消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1等．2．普通方程化为参数方程 (1)选择参数的一般原则曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定x ，y 的值；(2)具体步骤第一步，引入参数，但要选定合适的参数t ；第二步，确定参数t 与变量x 或y 的一个关系式x ＝f (t )(或y ＝φ(t ));第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程F (x ，y )＝0，求得另一关系y ＝g (t )(或x ＝ψ(t ))，问题得解．[例1] 将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝1t，y ＝1tt 2－1(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)． [解] (1)∵⎝⎛⎭⎫1t 2＋⎝⎛⎭⎫1t t 2－12＝1， ∴x 2＋y 2＝1. ∵t 2－1≥0， ∴t ≥1或t ≤－1. 又x ＝1t ，∴x ≠0. 当t ≥1时，0＜x ≤1，当t ≤－1时，－1≤x ＜0，∴所求普通方程为x 2＋y 2＝1，其中⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ≤1，0≤y ＜1或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＜0，－1＜y ≤0.(2)∵y ＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ，sin 2θ＝x －2， ∴y ＝－2x ＋4，∴2x ＋y －4＝0. ∵0≤sin 2θ≤1，∴0≤x －2≤1，∴2≤x ≤3，∴所求的普通方程为2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)． [易错提醒](1)将曲线的参数方程化为普通方程时务必要注意x ，y 的取值范围，保证消参前后的方程的一致性．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意参数的取值范围对普通方程中x ，y 的取值范围的影响．直线与圆锥曲线的参数方程及应用1.第一步，把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程；第二步，根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题．2．当直线经过点P (x 0，y 0)，且直线的倾斜角为α，求直线与圆锥曲线的交点、弦长问题时，可以把直线的参数方程设成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，交点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，计算时把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出t 1＋t 2，t 1·t 2，得到|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2.[例2] (2018·无锡联考)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点M 的坐标；(2)若|PA |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率． [解] (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程是x 24＋y 2＝1.当α＝π3时，设点M 对应的参数为t 0.直线l 的方程为⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)，代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2. 则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1213，－313. (2)将⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0，因为|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α，|OP |2＝7，所以12cos 2α＋4sin 2α＝7，得tan 2α＝516. 由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)＞0，故tan α＝54.所以直线l 的斜率为54.[方法技巧]1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)的直线的参数方程，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．能力练通抓应用体验的“得”与“失”(1)⎩⎨⎧x ＝3k 1＋k 2，y ＝6k21＋k2(k 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)．解：(1)两式相除，得k ＝y 2x ，将其代入x ＝3k1＋k2得x ＝3·y2x 1＋⎝⎛⎭⎫y 2x 2，化简得4x 2＋y 2－6y ＝0，因为y ＝6k 21＋k 2＝6－11＋k 2，所以0＜y ＜6，所以所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(0＜y ＜6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ) 得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]，得所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]．2.[考点二](2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t 2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s (s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．解：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )，从而点P 到直线l 的距离 d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45.当s ＝2时，d min ＝455.因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值455.3.[考点二](2018·郑州模拟)将曲线C 1：x 2＋y 2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到曲线C 2，A 为C 1与x 轴正半轴的交点，直线l 经过点A 且倾斜角为30°，记l 与曲线C 1的另一个交点为B ，与曲线C 2在第一、三象限的交点分别为C ，D .(1)写出曲线C 2的普通方程及直线l 的参数方程； (2)求|AC |－|BD |.解：(1)由题意可得C 2：x 22＋y 2＝1，对曲线C 1，令y ＝0，得x ＝1，所以l ：⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t (t 为参数)．(2)将⎩⎨⎧x ＝1＋3t 2，y ＝12t代入x 22＋y 2＝1，整理得5t 2＋43t －4＝0.设点C ，D 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－435，且|AC |＝t 1，|AD |＝－t 2.又|AB |＝2|OA |cos 30°＝3，故|AC |－|BD |＝|AC |－(|AD |－|AB |)＝|AC |－|AD |＋|AB |＝t 1＋t 2＋3＝35. 4.[考点二](2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 解：(1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为 d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，解得a ＝8；当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，解得a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.突破点(三) 参数方程与极坐标方程的综合问题将极坐标方程与参数方程、普通方程交织在一起，考查极坐标方程与参数方程的综合应用.将各类方程相互转化是求解该类问题的前提.,解决问题时要注意：,(1)解题时，易将直线与圆的极坐标方程混淆.要熟练掌握特殊直线、圆的极坐标方程的形式.,(2)应用解析法解决实际问题时，要注意是选取直角坐标系还是极坐标系，建立极坐标系要注意选择极点、极轴的位置，注意“点和极坐标”的“一对多”特性.(3)求曲线方程，常设曲线上任意一点P (ρ，θ)，利用解三角形的知识，列出等量关系式，特别是正弦、余弦定理的应用．圆的参数方程常和三角恒等变换结合在一起，解决取值范围或最值问题．(4)参数方程和普通方程表示同一个曲线时，要注意其中x ，y 的取值范围，即注意两者的等价性.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”参数方程与极坐标方程的综合问题[典例] 1参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ＋k sin θ)＝－2(k 为实数)．(1)判断曲线C 1与直线l 的位置关系，并说明理由；(2)若曲线C 1和直线l 相交于A ，B 两点，且|AB |＝2，求直线l 的斜率．[解] (1)由曲线C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos α，y ＝sin α可得其普通方程为(x ＋1)2＋y 2＝1.由ρ(cos θ＋k sin θ)＝－2可得直线l 的直角坐标方程为x ＋ky ＋2＝0.因为圆心(－1,0)到直线l 的距离d ＝11＋k 2≤1，所以直线与圆相交或相切，当k ＝0时，d ＝1，直线l 与曲线C 1相切；当k ≠0时，d ＜1，直线l 与曲线C 1相交．(2)由于曲线C 1和直线l 相交于A ，B 两点，且|AB |＝2，故圆心到直线l 的距离d ＝11＋k 2＝ 1－⎝⎛⎭⎫222＝22，解得k ＝±1，所以直线l 的斜率为±1. [方法技巧]处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos α，y ＝1＋10sin α(α为参数)，以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；(2)若直线的极坐标方程为sin θ－cos θ＝1ρ，求直线被曲线C 截得的弦长．解：(1)∵曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos α，y ＝1＋10sin α(α为参数)，∴曲线C 的普通方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10，① 曲线C 表示以(3,1)为圆心，10为半径的圆．将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入①并化简，得ρ＝6cos θ＋2sin θ，即曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋2sin θ. (2)∵直线的直角坐标方程为y －x ＝1， ∴圆心C 到直线的距离为d ＝322， ∴弦长为210－92＝22.2．在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a cos θ(a ≠0)，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋1，y ＝4t ＋3(t 为参数)．(1)求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围．解：(1)由ρ＝2a cos θ，ρ2＝2aρcos θ，又ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，所以圆C 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝a 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋1，y ＝4t ＋3，得⎩⎨⎧x －13＝t ，y －34＝t ，因此x －13＝y －34，所以直线l 的普通方程为4x －3y ＋5＝0. (2)因为直线l 与圆C 恒有公共点，所以|4a ＋5|42＋(－3)2≤|a |，两边平方得9a 2－40a －25≥0，所以(9a ＋5)(a －5)≥0，解得a ≤－59或a ≥5，所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－59∪[)5，＋∞. 3．(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值， d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2，当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12.1. (2018·南通模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α＋3，y ＝2sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ＝π6.若直线l 与曲线C 交于A ，B ，求线段AB 的长．解：曲线C 的普通方程为(x －3)2＋y 2＝4，表示以(3，0)为圆心，2为半径的圆，直线l 的直角坐标方程为y ＝33x ，所以圆心到直线的距离为32，所以线段AB 的长为24－⎝⎛⎭⎫322＝13.2．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4. 3. (2018·南京模拟)设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．已知椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2.若P 是椭圆C 上任意一点，试求PM 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．解：M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，故直角坐标为M (0,1)，且P (2cos θ，sin θ)，所以PM ＝(2cos θ)2＋(sin θ－1)2 ＝－3sin 2θ－2sin θ＋5 ＝－3⎝⎛⎭⎫sin θ＋132＋163，sin θ∈[－1,1]．所以当sin θ＝－13时，PM max ＝433，此时cos θ＝±223.所以，PM 的最大值是433，此时点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫±423，－13.4．(2018·盐城模拟)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2，y ＝t ，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，试判断直线l 与曲线C 的位置关系．解：直线l 的普通方程为2x －y －2＝0；曲线C 的直角坐标方程为：x 2＋(y －2)2＝4，它表示以(0,2)为圆心，半径是2的圆．由圆心到直线l 的距离d ＝|0－2－2|22＋12＝45＝455＜2，得直线l 与曲线C 相交． 5．(2018·泰州期中)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.6．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解：(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2).消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5.7．(2018· 扬州期初)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t ，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1∶x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2.突破点(一) 绝对值不等式1．绝对值不等式的解法：(1)含绝对值的不等式|x |＜a 与|x |＞a 的解集：(2)|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法： ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解． ②利用零点分段法求解．③构造函数，利用函数的图象求解． 2．绝对值不等式的性质(1)性质1：|a |＋|b |≥|a ＋b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． (2)性质2：|a |－|b |≤|a ＋b |. (3)性质3：|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |.(4)推论：|a －b |≤|a －c |＋|b －c |，当且仅当(a －c )(b －c )≤0时，等号成立.绝对值不等式的解法[例1] (1)|2x ＋1|－2|x －1|＞0. (2)|x ＋3|－|2x －1|＜x2＋1.[解] (1)法一：原不等式可化为|2x ＋1|＞2|x －1|，两边平方得4x 2＋4x ＋1＞4(x 2－2x ＋1)，解得x ＞14，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞14.法二：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12，－(2x ＋1)＋2(x －1)＞0或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤1，(2x ＋1)＋2(x －1)＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，(2x ＋1)－2(x －1)＞0.解得x ＞14，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞14.(2)①当x ＜－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )＜x2＋1，解得x ＜10，∴x ＜－3.②当－3≤x ＜12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )＜x2＋1，解得x ＜－25，∴－3≤x ＜－25.③当x ≥12时，原不等式化为(x ＋3)＋(1－2x )＜x 2＋1，解得x ＞2，∴x ＞2.综上可知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－25或x ＞2.[方法技巧]绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法对a ∈R ＋，|x |＜a ⇔－a ＜x ＜a ， |x |＞a ⇔x ＜－a 或x ＞a . (2)平方法两边平方去掉绝对值符号． (3)零点分区间法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．证明绝对值不等式[例2] 已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.[证明] ∵|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|.∴由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )|＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y |≤1.[方法技巧]证明绝对值不等式的三种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明． (3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明．绝对值不等式的恒成立问题[例3] (1)当a ＝2 017时，求函数f (x )的值域；(2)若g (x )＝|x ＋1|，求不等式g (x )－2＞x －f (x )恒成立时a 的取值范围． [解] (1)由题意得，当a ＝2 017时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2 017，x ≥2 017，2 017，x ＜2 017.因为f (x )在[2 017，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的值域为[2 017，＋∞)． (2)由g (x )＝|x ＋1|，不等式g (x )－2＞x －f (x )恒成立，知|x ＋1|＋|x －a |＞2恒成立，即(|x ＋1|＋|x －a |)min ＞2.而|x ＋1|＋|x －a |≥|(x ＋1)－(x －a )|＝|1＋a |，所以|1＋a |＞2，解得a ＞1或a ＜－3. 故a 的取值范围为(－∞，－3)∪(1，＋∞).能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[解：不等式|x －1|－|x －5|＜2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜1，－(x －1)＋(x －5)＜2或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤5，x －1＋x －5＜2。

江苏专版2019版高考数学一轮复习第二十二章选修4系列22.1矩阵与变换讲义

§22.1 矩阵与变换考纲解读分析解读江苏高考对选修4的考查方式是从“矩阵与变换,坐标系与参数方程,不等式选讲”三个题目中任意选做两题,试题为容易题,基本是课本改编题,只要掌握基本概念和基本公式、定理就能解决.复习时要严格控制难度,注意解题的准确性和规范性.命题探究直线l 的普通方程为x-2y+8=0.因为点P 在曲线C 上,所以设P(2s 2,2 s), 从而点P 到直线l 的距离d= - - = -. 当s= 时,d min =. 因此当点P 的坐标为(4,4)时,曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值.五年高考考点矩阵与变换1.(2017江苏,21B,10分)[选修4—2:矩阵与变换] 已知矩阵A=,B=.(1)求AB;(2)若曲线C1:+=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2,求C2的方程.解析本小题主要考查矩阵的乘法、线性变换等基础知识,考查运算求解能力. (1)因为A=,B=,所以AB==.(2)设Q(x0,y0)为曲线C1上的任意一点,它在矩阵AB对应的变换作用下变为P(x,y), 则=,即所以因为点Q(x0,y0)在曲线C1上,则+=1,从而+=1,即x2+y2=8.因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2:x2+y2=8.2.(2016江苏,21B,10分)已知矩阵A=-,矩阵B的逆矩阵B-1=-,求矩阵AB. 解析设B=,则B-1B=-=,即--=,故--解得所以B=.因此,AB=-=-.3.(2015江苏,21B,10分)已知x,y∈R,向量α=-是矩阵A=的属于特征值-2的一个特征向量,求矩阵A 以及它的另一个特征值.解析由已知,得Aα=-2α,即-=-=-,则--即-所以矩阵A=-.从而矩阵A的特征多项式f(λ)=(λ+2)(λ-1),所以矩阵A的另一个特征值为1.4.(2014江苏,21B,10分)已知矩阵A=-,B=-,向量α=,x,y为实数,若Aα=Bα,求x+y的值.解析由已知,得Aα=-=-,Bα=-=-.因为Aα=Bα,所以-=-.故--解得-所以x+y=.5.(2013江苏,21B,10分)已知矩阵A=-,B=,求矩阵A-1B. 解析设矩阵A的逆矩阵为,则-=,即--=,故a=-1,b=0,c=0,d=,从而A的逆矩阵为A-1=-,所以A-1B=-=--.教师用书专用(6)6.[2013福建,21(1),7分]选修4—2:矩阵与变换已知直线l:ax+y=1在矩阵A=对应的变换作用下变为直线l':x+by=1.(1)求实数a,b的值;(2)若点P(x0,y0)在直线l上,且A=,求点P的坐标.解析(1)设直线l:ax+y=1上任意点M(x,y)在矩阵A对应的变换作用下的像是M'(x',y').由==,得又点M'(x',y')在l'上,所以x'+by'=1,即x+(b+2)y=1,依题意得解得-(2)由A=,得解得y0=0.又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0=1.故点P的坐标为(1,0).三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点矩阵与变换1.(2018江苏徐州铜山中学期中)已知矩阵A=,若直线y=kx+1在矩阵A对应的变换作用下得到的直线过点P(2,6),求实数k的值.解析矩阵A=,∴A-1=-,所以A-1=-=,将(2,2)代入y=kx+1得k=.2.(2018江苏扬州中学高三月考)已知矩阵A=,A的逆矩阵A-1=,求A的特征值.解析因为AA-1===,所以解得a=1,b=-. ∴A=,则A的特征多项式f(λ)=---=(λ-3)(λ-1).令f(λ)=0,解得λ1=1,λ2=3. 所以A的特征值为1,3.3.(2017江苏南京、盐城一模)设矩阵M=-的特征值λ对应的一个特征向量为-,求m与λ的值.解析由题意得--=λ-,则--解得m=0,λ=-4.4.(2017江苏扬州期中)已知矩阵M=的一个特征值为4,求实数a的值.解析矩阵M的特征多项式f(λ)=----=(λ-2)(λ-1)-3a,因为矩阵M=的一个特征值为4,所以4为方程f(λ)=0的一个根,所以2×3-3a=0,解得a=2.5.(2017江苏徐州期末调研)已知矩阵A=-的一个特征值为2,其对应的一个特征向量α=.求a,b的值.解析由条件知,Aα=2α,即-=2,即-=,所以-解得所以a,b的值分别为2,4.6.(2016江苏苏北四市一模,21)已知矩阵A=-,求矩阵A的特征值和特征向量.解析矩阵A的特征多项式f(λ)=---=λ2-5λ+6,由f(λ)=0,解得λ1=2,λ2=3.当λ=2时,特征方程组为--故属于特征值2的一个特征向量α1=;当λ=3时,特征方程组为--故属于特征值3的一个特征向量α2=.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:40分时间:20分钟)解答题(共40分)1.(2017江苏苏州期中)已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1=,并且矩阵M将点(-1,3)变换为(0,8).(1)求矩阵M;(2)求曲线x+3y-2=0在M的作用下所得的新曲线方程.解析(1)设M=,由题意得=8,-=,∴--解得∴M=.(2)设原曲线上任一点P(x,y)在M的作用下的对应点为P'(x',y'), 则=,即解得--代入x+3y-2=0,得x'-2y'+4=0,即曲线x+3y-2=0在M的作用下得到的新曲线方程为x-2y+4=0.2.(2017江苏海安中学质检)已知二阶矩阵A=,矩阵A属于特征值λ1=-1的一个特征向量为α1=-,属于特征值λ2=4的一个特征向量为α2=.求矩阵A.解析由特征值、特征向量的定义可知,Aα1=λ1α1,即-=-1×-,所以---同理可得解得a=2,b=3,c=2,d=1.因此矩阵A=.3.(苏教选4—2,二,5,3,变式)二阶矩阵A有特征值λ=6,其对应的一个特征向量e=,并且矩阵A对应的变换将点(1,2)变换成点(8,4),求矩阵A.解析设所求二阶矩阵A=,则∴∴解方程组得-∴A=-.4.(2016江苏南通二模,21)在平面直角坐标系xOy中,设点A(-1,2)在矩阵M=-对应的变换作用下得到点A',将点B(3,4)绕点A'逆时针旋转90°得到点B',求点B'的坐标.解析设B'(x,y),由--=,得A'(1,2).则=(2,2),=(x-1,y-2).记旋转矩阵N=-,则-=--,即-=--,解得-所以点B'的坐标为(-1,4).C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 求解逆矩阵1.已知二阶矩阵M对应的变换T将平面上的点(2,-1),(-1,2)分别变换成点(3,-4),(0,5),试求矩阵M的逆矩阵. 解析设M=,则-=-,-=,所以-----解得-所以矩阵M=-,设矩阵M的逆矩阵M-1=,易知MM-1=,所以--解得-所以M-1=-.方法2 矩阵变换的应用2.(2016江苏南京、盐城一模,21)设矩阵M=的一个特征值为2,若曲线C在矩阵M对应的变换下的方程为x2+y2=1,求曲线C的方程.解析由题意,知矩阵M的特征多项式为f(λ)=(λ-a)(λ-1),因矩阵M的一个特征值为2,所以f(2)=0,所以a=2.设曲线C上任一点的坐标为(x,y),其在矩阵M对应的变换下的对应点的坐标为(x',y').所以M==,即因为曲线C在矩阵M对应的变换下的方程为x2+y2=1,所以(2x)2+(2x+y)2=1,即曲线C的方程为8x2+4xy+y2=1.。

高考数学一轮复习第15章选考部分矩阵与变换教学案苏教版选修4

选修4—2 矩阵与变换考纲要求1．了解二阶矩阵的概念，了解矩阵与向量乘法的意义，了解几种常见的平面变换． 2．会用映射与变换的观点看待二阶矩阵与平面向量的乘法，理解矩阵变换把平面上的直线变成直线(或点)．3．了解二阶方阵乘法的意义并理解其运算律，理解逆矩阵的意义及简单性质． 4．会用系数矩阵的逆矩阵解线性方程组，理解线性方程组的存在性、唯一性． 5．理解特征值与特征向量的定义．会求二阶矩阵的特征值与特征向量(只要求特征值是两个不同实数的情形)，并能用它来解决问题．1．二阶方阵左乘向量的运算法则是⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝________，从几何上说，矩阵乘向量的作用是把一个向量变成另一个向量；如果把⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 视为点的坐标，那它就是把平面上的一个点变成另一个点．2．几种常见的矩阵变换：(1)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，该变换把点(x ，y )变成(x ，y )，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1表示________．(2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x y ，该变换把点(x ，y )变成(－x ，y )，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1表示关于y 轴的反射变换；类似地，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1－1 0分别表示关于________、________和________的反射变换．(3)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ky ，该变换把点⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 变成点⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ky ，在此变换中，点的横坐标不变，纵坐标变成原来的k 倍，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k 表示y 轴方向上的伸缩变换；类似地，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤s 00 1可以用来表示____________．(4)把点A (x ，y )绕着坐标原点旋转α角的变换，对应的矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α.(5)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 s 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋sy y 表示的是沿x 轴的切变变换，沿y 轴的切变变换对应的矩阵是________；(6)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0，该变换把所有横坐标为x 的点都映射到了点(x ，0)，因此矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0表示的是x 轴上的投影变换．类似地，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 1表示的是____上的投影变换．3．假设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤u v s t ，则矩阵A 和矩阵B 的乘积AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤au ＋bs av ＋bt cu ＋ds cv ＋dt .4．在交换律、结合律、消去律中，矩阵运算满足____律，即______________；而通常不满足交换律和消去律．5．对平面上任意一个向量a ，依次实施两次变换f 和g ，使之最终对应于向量a ′，我们称之为变换f 和变换g 的________．记作a ′＝g [f (a )]，如果变换f 和g 分别对应矩阵A 和B ，则有a ′＝B (Aa )＝(BA )a ，我们称BA 是矩阵B 与矩阵A 的____．6．设以原点为中心，旋转角为θ的旋转变换f 对应于矩阵A ，则A ＝________，如果向量a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 在变换f 的作用下对应到向量a ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，那么应该对向量a ′实施一个变换f ′：以原点为中心，旋转角为－θ的旋转变换，方可使之对应到向量a .变换f ′相应的矩阵B ＝__________.7．如果对于线性变换f ，存在着一个线性变换f ′，使得__________________，则称变换f 可逆，并称f ′是变换f 的______．类比到矩阵，如果和变换f 和f ′相应的矩阵分别是二阶方阵A 、B ，有____________．我们称矩阵A 可逆，并称B 是A 的________，记作B ＝A －1.8．并不是每一个二阶方阵都是可逆的，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 可逆的充要条件是它对应的行列式|A |满足__________________，且A －1＝____________.9．逆矩阵具有两个重要的性质：(1)________________________________；(2)____________．10．关于变量x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝e ，cx ＋dy ＝f (其中a ，b ，c ，d 均为常数)，写成矩阵形式可以表达成__________________；从线性变换的角度看，该方程组表示向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 通过矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 对应的变换的作用后对应到向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤e f . 11．因为每一个二元一次方程组都可以用矩阵表示成⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤e f ，如果矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 可逆，则方程组的解可以表示成______________________． 12．对于给定矩阵M ，如果存在一个非零向量a 和实数λ，使得__________，则称λ是矩阵M 的特征值，a 是矩阵M 的属于特征值λ的特征向量．13．矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 有特征值λ的充要条件是__________________________．14．如果矩阵M 有特征值λ和属于特征值λ的特征向量a ，则可以得到以下两个重要的结论：(1)M t a ＝______；(2)M n a ＝______(其中n ∈N *)．1．若点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α对应变换的作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M 的逆矩阵．2．(2012江苏泰州第一学期期末)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －1－3 1，求满足AX＝B 的二阶矩阵X .3．已知α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a －1 4属于λ的一个特征向量，求实数a ，λ的值及A 2.1．如何求两个矩阵乘积的逆矩阵？提示：求两个矩阵乘积的逆矩阵有两种方法，即先求乘积AB ，再求逆矩阵(AB )－1；也可利用性质(AB )－1＝B －1A －1求解，但要注意顺序，不能误以为其逆矩阵是A －1B －1.2．是不是所有的二阶矩阵都存在逆矩阵？矩阵的乘法满足什么运算律？提示：并不是所有的二阶矩阵都存在逆矩阵，有些二阶矩阵是不可逆的．矩阵的乘法只满足结合律，不满足交换律与消去律．一、二阶矩阵与平面向量的乘法【例1】在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．方法提炼二阶矩阵A 与平面向量α的乘积仍然是一个平面向量，它的第一个分量为A 的第一行的元素与α的对应位置元素乘积的和，第二个分量为A 的第二行的元素与α的对应位置元素乘积的和．请做针对训练1二、线性变换的基本性质【例2】(2012江苏南京三模)已知曲线C ：x 2＋y 2＝1，对它先作矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2对应的变换，再作矩阵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 b 1 0对应的变换，得到曲线C ：x 24＋y 2＝1.求实数b 的值．方法提炼二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或点)．请做针对训练2三、逆变换与逆矩阵【例3】已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 61 4.(1)求出矩阵A 的逆矩阵A －1；(2)A 决定的线性变换A 将哪一个点变换到点(3,1)? 方法提炼1．设A 是一个二阶矩阵，如果A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的．此时，记A 的逆矩阵为A －1，则有A －1A ＝AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，可通过解线性方程组确定A －1中的各个值，从而求得A －1.2．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，如果ad －bc ≠0，则矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 存在逆矩阵．3．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc－bad －bc －c ad －bca ad －bc. 请做针对训练3四、特征值与特征向量【例4】(2012江苏扬州第一学期期末)求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 4 2 6的特征值和特征向量．方法提炼1．A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 是一个二阶矩阵，则f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc称为A 的特征多项式．2．矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征值λ满足(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，属于λ的特征向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . 请做针对训练4《矩阵与变换》以初中数学知识为基础，以二阶矩阵为研究对象，通过平面图形的变换讨论二阶矩阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念，并以变换的观点理解解线性方程组的意义，初步展示矩阵应用的广泛性，题目难度适中．1．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，求向量α，使得A 2α＝β.2．如图，矩形OABC 的顶点O (0,0)，A (－2,0)，B (－2，－1)，C (0，－1)．将矩形OABC 绕坐标原点O 旋转180°得到矩形OA 1B 1C 1；再将矩形OA 1B 1C 1沿x 轴正方向作切变变换，得到平行四边形OA 1B 2C 2，且点C 2的坐标为(3，1)．求此矩形OABC 变为平行四边形OA 1B 2C 2的线性变换对应的矩阵．3．设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b (其中a ＞0，b ＞0)．(1)若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1； (2)若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ，b 的值．4．(2012江苏盐城二模)已知二阶矩阵A 将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵A .参考答案基础梳理自测知识梳理 1.⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy 2．(1)恒等变换 (2)x 轴直线y ＝x 直线y ＝－x (3)水平伸缩变换 (5)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0t 1 (6)y 轴4．结合 A (BC )＝(AB )C 5．复合变换乘积6.⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ cos θ sin θ－sin θ cos θ 7．ff ′＝f ′f ＝I (I 是恒等变换) 逆变换 AB ＝BA ＝E 2 逆矩阵8．|A |＝ad －bc ≠0 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d |A |－b |A |－c |A |a |A |9．(1)如果矩阵A 可逆，则A －1是唯一的(2)(AB )－1＝B －1A －110.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤e f 11.⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤e f 12．Ma ＝λa13．方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0有解14．(1)tλa (2)λna 基础自测1．解：M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos α－2sin α2sin α＋2cos α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ cos α－sin α＝－1，sin α＋cos α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝0，sin α＝1. 所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.由M －1M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，得M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 1－1 0.2．解：由题意得A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 122 1.因为AX ＝B ，所以X ＝A －1B＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 122 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －1－3 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －15 －1. 3．解：由条件可知⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝2λ，－2＋4＝λ，解得a ＝λ＝2.因此A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 10－5 14.考点探究突破【例1】解：设P (x 0，y 0)是椭圆上任意一点，点P (x 0，y 0)在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′0，y ′0) ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0 y 0 ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′0＝2x 0，y ′0＝y 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′02，y 0＝y ′0.又因为点P 在椭圆上，故4x 20＋y 20＝1，从而(x ′0)2＋(y ′0)2＝1.所以曲线F 的方程为 x 2＋y 2＝1.【例2】解：从曲线C 1变到曲线C 2的变换对应的矩阵为BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0b 10·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0. 在曲线C 1上任意选一点P (x 0，y 0)，设它在矩阵BA 对应的变换作用下变为P ′(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0·⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2by 0x 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′.故⎩⎪⎨⎪⎧2by 0＝x ′，x 0＝y ′，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝12b x ′，x 0＝y ′.代入曲线C 1的方程得，y ′2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12b x ′2＝1，即曲线C 2的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2x 2＋y 2＝1.与已知的曲线C 2的方程x 24＋y 2＝1比较得(2b )2＝4.所以b ＝±1.【例3】解：(1)方法一：A 的行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 61 4＝2，∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 42 －62－12 22＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －3－12 1. 方法二：设A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 614⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋6c ＝1，2b ＋6d ＝0，a ＋4c ＝0，b ＋4d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，c ＝－12，d ＝1，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －3－12 1. (2)设A 决定的线性变换A 将点(x ，y )变到(3,1)．则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 61 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －3－12 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3－12， ∴A 决定的线性变换A 将点⎝⎛⎭⎪⎫3，－12变到(3,1)．【例4】解：由题意知，f (λ)＝(λ＋1)(λ－6)－8＝λ2－5λ－14＝(λ－7)(λ＋2)，由f (λ)＝0可得λ1＝7，λ2＝－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧7＋1x －4y ＝0，－2x ＋7－6y ＝0，可得属于λ1＝7的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.由⎩⎪⎨⎪⎧－2＋1x －4y ＝0，－2x ＋－2－6y ＝0，可得属于λ2＝－2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4－1.所以矩阵M 的特征值和特征向量分别为λ1＝7，⎣⎢⎡⎦⎥⎤12或λ2＝－2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－1.演练巩固提升针对训练1．解：A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3.设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .由A 2α＝β，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，从而⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2. 2．解法一：设矩阵M 对应的变换将矩形OABC 变为矩形OA 1B 1C 1，则M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1.设矩阵N 对应的变换将矩形OA 1B 1C 1变为平行四边形OA 1B 2C 2.可设矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1(k >0)，因为点C 2的坐标为(3，1)，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，解得k ＝ 3.所以N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1.将矩形OABC 变换为平行四边形OA 1B 2C 2的线性变换对应的矩阵为NM ，NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －3 0 －1，因此将矩形OABC 变换为平行四边形OA 1B 2C 2的线性变换对应的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －3 0 －1.解法二：因为矩形OA 1B 1C 1是矩形OABC 绕原点O 旋转180°得到的，所以A 1(2,0)，B 1(2,1)，C 1(0,1)．又矩形OA 1B 1C 1沿x 轴正方向作切变变换得到平行四边形OA 1B 2C 2，且C 2的坐标为(3，1)，所以点B 2的坐标为(3＋2,1)．设将矩形OABC 变为平行四边形OA 1B 2C 2的线性变换对应的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋2 1，所以⎩⎨⎧－b ＝3，－d ＝1，⎩⎨⎧－2a －b ＝3＋2，－2c －d ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3，c ＝0，d ＝－1，因此所求矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －3 0 －1.3．解：(1)设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2，则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1.又M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1.所以2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13.故所求的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 13.(2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)．则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x ′，by ＝y ′. 又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，所以x ′24＋y ′2＝1.则a 2x24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1. 又a >0，b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.4．解：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3.再由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，d ＝0.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 13 0.。

苏教版高二数学选修4-4 平面坐标系中几种常见变换学案

4.3 平面坐标系中几种常见变换1．平移变换在平面直角坐标系中，设图形F 上任意一点P 的坐标为(x ，y )，向量a ＝(h ，k )，平移后的对应点为P ′(x ′，y ′)，则有x h x y k y '+=⎧⎨'+=⎩2．伸缩变换一般地，由(0)kx x k y y '⎧>⎨'⎩＝，＝所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k 向着y 轴的伸缩变换(当k ＞1时，表示伸长；当0＜k ＜1时，表示压缩)，即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k 倍(这里，P (x ，y )是变换前的点，P ′(x ′，y ′)是变换后的点)．预习交流1．由(0)x xk kyy '⎧>⎨'⎩＝，＝所确定的伸缩变换的意义是什么？提示：曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的k 倍．2．由(0)kx x k ky y '⎧>⎨'⎩＝，＝所确定的伸缩变换的意义是什么？提示：曲线上所有点的横坐标、纵坐标都变为原来的k 倍．一、平移变换 (1)把点A (－2,1)按a ＝(3,2)平移，求对应点A ′的坐标(x ′，y ′)．(2)点M (8，－10)按a 平移后的对应点M ′的坐标为(－7,4)，求a .解：(1)由平移公式得231123x y '⎧⎨'⎩＝－＋＝，＝＋＝，，即对应点A ′(1,3)． (2)由平移公式得78410h k ⎧⎨⎩－＝＋，＝－＋，解得1514h k ⎧⎨⎩＝－，＝，即a 的坐标为(－15,14)．将函数y ＝2x 的图象l 按a ＝(0,3)平移到l ′，求l ′的解析式．解：设P (x ，y )为l 上的任意一点，它在l ′上的对应点为P ′(x ′，y ′)，由平移公式得03x x y y '⎧⎨'⎩＝＋，＝＋，∴ 3.x x y y '⎧⎨'⎩＝，＝－将它们代入y ＝2x 得y ′－3＝2x ′，∴l ′的解析式为y ＝2x ＋3.正确运用平移变换的公式是解决平移问题的关键．二、伸缩变换在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换23x x y y'⎧⎨'⎩＝，＝后的图形． (1)2x ＋3y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1. 解：(1)由伸缩变换23,x x y y '⎧⎨'⎩＝，＝得1',21',3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入2x ＋3y ＝0得到方程为x ′＋y ′＝0. 所以经过伸缩变换23,x x y y '⎧⎨'⎩＝，＝后，直线2x ＋3y ＝0得到直线x ′＋y ′＝0. (2)将1',21'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入x 2＋y 2＝1得到方程x ′24＋y ′29＝1，所以经过伸缩变换22x x y y '⎧⎨'⎩＝，＝后，圆x 2＋y 2＝1得到椭圆x ′24＋y ′29＝1.在平面直角坐标系中，椭圆x 24＋y 29＝1经过伸缩变换1',21'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩后，得到什么图形？解：由1',21'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得23x x y y '⎧⎨'⎩＝，＝，，代入x 24＋y 29＝1得到x ′2＋y ′2＝1. 所以经过伸缩变换1',21'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩后，椭圆x 24＋y 29＝1变为圆x ′2＋y ′2＝1. 在伸缩变换12k x x k y y '⎧⎨'⎩＝，＝下，直线仍然是直线，而圆可变为椭圆，椭圆也可变为圆．1．点P (3，－2)按a ＝(1，－4)平移后得点P ′的坐标为__________．答案：(4，－6)2．点P (3,1)按a 平移至点Q (1,3)，则a ＝__________.答案：(－2,2)3．点A (1,2)经过伸缩变换23x x y y'⎧⎨'⎩＝，＝后，得点A ′的坐标为__________．答案：(2,6) 4．点(x ，y )经过伸缩变换1',2'3x x y y⎧=⎪⎨⎪=⎩后的点的坐标是(－2,6)，则x ＝__________，y ＝__________.答案：－4 25．将曲线x 2－9y 2＝27向着x 轴进行伸缩变换，伸缩系数k ＝3.解：伸缩变换为3x x y y '⎧⎨'⎩＝，＝，则',1',3x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，代入x 2－9y 2＝27，得x ′2－y ′2＝27. 所以经过伸缩变换',3'x x y y =⎧⎨=⎩后，双曲线x 2－9y 2＝27变为双曲线x ′2－y ′2＝27.。

2019届高三理科数学苏教版一轮复习教学课件：选修4-4 第2节参数方程

主干知识自主排查核心考点互动探究真题演练高考预测课时作业知能提升
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核心考点互动探究
考点一|参数方程与普通方程互化
【例 1】将下列参数方程化为普通方程． x＝ 3k 2 1＋k (1) 2 6 k y＝ 2 1＋k
x＝1－sin 2θ ；(2) y＝sin θ＋cos
数 k.
解析：直线 l1：x－y＋2＝0，直线 l2：4x＋ky－1＝0. ∵l1⊥l2， ∴k＝4.
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自测练习
x＝3t＋2 4．化参数方程 y＝t－1
(t 为参数)为普通方程．
解析：由 y＝t－1 得 t＝y＋1，代入 x＝3t＋2. 得 x＝3y＋5，即 x－3y－5＝0.
的关系 y＝g(t)
，那么
就是曲线的参数方程．
3．在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x， y 的取值范围保持一致．
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知识梳理
三、圆的参数方程如图所示，设圆 O 的半径为 r，点 M 从初始位置 M0 出发，按逆时针方向在圆 O 上作匀速圆周运动，设 M(x，y)，则
x＝x0＋tcos α y＝y0＋tsin α
(t 为参数)
的参数方程为
．
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自测练习
， x＝3＋tsin 40° 1．求直线， y＝－1＋tcos 40°

2019届高考数学一轮复习选考部分专题矩阵的概念学案苏教版选修4-2

矩阵的概念
考纲下载：1.掌握矩阵相关概念，会判断矩阵是否相等.
2.会用矩阵的方法处理一些实际问题。

一、【知识回顾】
1.矩阵的概念
2.矩阵的记法
3.2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵表示的意义
4.相等矩阵
5.零矩阵：
6.行矩阵，列矩阵：
二、【自学检测】
1.设O (0, 0)，P (2, 3)，则向量OP →
(2, 3)，将OP →的坐标排成一列，用矩阵表示为： .
2.某电视台举办歌唱比赛，甲乙两名选手初、复赛成绩如下表，初赛复赛
用矩阵表示为 .
3.设M 是一个22⨯矩阵，且规定其元素,2,1,2,1,32
==-=j i j i a ij 试求M.
三、【合作探究】
探究1
用矩阵表示下图中的ABC ∆，其中A(-1,0),B(0,2),C(2,0)
探究2
某种水果的产地为21,A A ,销地为21,B B ，请用矩阵表示产地i A 运到销地j B 水果数量)(ij a ，其中,2,1,2,1==j i
探究3
已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=24
3x
A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21z y
B ，若A=B ，试求z y x ,,
四、【检测反思】
1、将方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=3
524302y x z x x 中未知数z y x ,,的系数写成矩阵形式。

2、已知200,0202x y x A B y x y +⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦
，若A=B ，求x ，y
3、已知平面上一个正方形的四个顶点用矩阵表示为0002a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求a ，b ，c ， d 及正方形的面积.。

高中数学 2.2《几种常见的平面变换1》教学案苏教版选修42

§2.2几种常见的平面变换（1）-恒等变换、伸压变换教学目标：知识与技能：1.掌握恒等变换矩阵和伸压变换矩阵的特点.2.熟练运用恒等变换和伸压变换进行平面图形的变换过程与方法：借助立体几何图形的三视图来研究平面图形的几何变换，让学生感受具体到抽象的过程情感、态度与价值观：提供自主探索的空间，通过研究实例，学会从实际出发探究问题，总结过程，得出结论。

教学重点：恒等变换、伸压变换的概念教学难点：恒等变换、伸压变换的矩阵教学过程：一、问题情境:已知△ABC , A(2 , 0) , B(-1 , 0) , C(0 , 2) , 它们在变换T作用下保持位置不变, 能否用矩阵M来表示这一变换?二、建构数学1.恒等变换矩阵(单位矩阵)2.恒等变换3.伸压变换矩阵4.伸压变换三、教学运用例1、求x2+y2=1在矩阵M=1⎡⎢⎣1⎤⎥⎦作用下的图形例2、已知曲线y=sinx经过变换T作用后变为新的曲线C , 试求变换T对应的矩阵M , 以及曲线C 的解析表达式.例3、验证图C : x 2+y 2=1在矩阵A=10⎡⎢⎣ 02⎤⎥⎦对应的伸压变换下变为一个椭圆, 并求此椭圆的方程.四、课堂小结：五、课堂练习：P 33 1 , 2 .六、回顾反思：七、课外作业：1.已知平行四边形ABCD, A(-1 , 0) , B(0 , 2) , C(3 , 2) , D(0 , 2) , 它们在变换T 作用前后保持位置不变, 则变换矩阵M=__________ .2.已知菱形ABCD, A(2 , 0) , B(0 , 1) , C(-2 , 0) , D(0 , -1), 在矩阵M=10⎡⎢⎣ 01⎤⎥⎦作用下变为A ′, B ′, C ′, D ′, 求A ′, B ′, C ′, D ′的坐标, 并画出图形.3.求△OBC 在矩阵20⎡⎢⎣ 02⎤⎥⎦作用下变换的结果, 其中O 为原点, B(-1 , 0) , C(1 , 0) .4.求正方形A BCD在矩阵1⎡⎢⎣2⎤⎥⎦作用下得到的图形, 并画出示意图, 其中A(1 , 0) , B(0 , 1) ,C(-1 , 0) , D(0 , -1) .5.求抛物线 y=x2在矩阵3⎡⎢⎣1⎤⎥⎦作用下得到的新的曲线C , 并求曲线C的函数表达式.6.研究函数y=cosx在矩阵1012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦变换作用下的结果.。

2019届一轮复习苏教版几种常见的平面变换学案

2019届一轮复习苏教版几种常见的平面变换学案本章在高考中主要考查对六种特殊变换的理解，以及在六种变换前后的点的坐标及曲线方程的求法，掌握六种特殊变换的特点.一、求在某种变换作用下得到的图形(表达式)求在某种变换作用下所得到的图形(表达式)是考查变换知识的热点题型，通常用代入法(相关点法)求解.下列所给的矩阵将给定的图形变成了什么图形？画图并指出该变换是什么变换？(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 1－1 0，点A (2，1)； (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，直线y ＝2x ＋2. 【解】 (1)矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 1－1 0对应的坐标变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝y ，y ′＝－x ，把A (2，1)代入即得A 的对应点为A ′(1，－2)，该变换把列向量OA →＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21按顺时针方向旋转90°.故该变换为旋转变换，如图所示.(2)设直线y ＝2x ＋2上任意一点P (x ，y )按矩阵所表示的坐标变换对应的点为P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x －y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝－y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，y ＝－y ′，代入y ＝2x ＋2，得－y ′＝2x ′＋2，即直线y ＝2x ＋2经过变换得到的图形为直线y ＝－2x －2，如图所示，此变换为关于x 轴的反射变换.二、求变换矩阵根据变换的结果求变换矩阵的一般方法：找到前后点的坐标间的关系，由点的坐标间的关系即可求出变换矩阵.求把△ABC 变换成△A ′B ′C ′的变换对应的矩阵，其中A (－2，1)，B (0，1)，C (0，－1)；A ′(－2，－3)，B ′(0，1)，C ′(0，－1).【解】设变换对应的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由已知，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2－3， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－1，即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝－2，－2c ＋d ＝－3，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，d ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝0，－d ＝－1.即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝2，d ＝1， ∴变换对应的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 1. 三、函数方程思想本章求矩阵变换下曲线的方程广泛应用了函数方程思想.试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出该变换是什么变换.(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001，图形的方程为：x 2＋y 2＝4； (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 02 1，图形的方程为：y ＝－2x ＋6. 【解】 (1)所给方程表示的是以原点为圆心，2为半径的圆.设A (x ，y )为曲线上的任意一点，经过变换后的点为A 1(x 1，y 1)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1， ∴2x ＝x 1，y ＝y 1，即x ＝x 12，y ＝y 1 将其代入x 2＋y 2＝4可得到方程x 214＋y 21＝4，此方程表示椭圆. 所给方程表示的是圆，该变换是伸压变换.(2)所给方程表示的是一条直线.设A (x ，y )为直线上的任意一点，经过变换后的点为A 1(x 1，y 1).∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 02 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 02x ＋y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1， ∴x 1＝0，y 1＝2x ＋y .又由y ＝－2x ＋6得2x ＋y ＝6，∴A 1(0，6)为定点.通过变换将一条直线变为一点，该变换是投影变换.如图2-2-6所示，对反比例函数图象C ：y ＝4x 经过旋转变换将其方程改写为标准形式.图2-2-6【解】设P (x ，y )为曲线C 上任意一点，它在变换T 作用下的象P ′(x ′，y ′)，其中变换矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos π4 －sin π4sin π4 cos π4＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 －222222，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝22x －22y ，y ′＝22x ＋22y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋y ′2，y ＝y ′－x ′2，故xy ＝y ′2－x ′22＝4，y ′2－x ′2＝8，因此旋转后的方程为y 28－x 28＝1.。

江苏高考数学一轮复习《几种常见的平面变换》教程学案

第10课__几种常见的平面变换____1. 了解矩阵的概念及几种常见的平面变换．2. 掌握二阶矩阵与平面向量的乘法．3. 理解线性变换的概念和意义；了解六种常见变换中哪些是线性变换.1. 阅读：选修42第12～35页.2. 解悟：①恒等变换；②伸压变换；③反射变换；④旋转变换；⑤投影变换；⑥切变变换，理解几种变换的含义并找出它们的联系和区别？3. 践习：在教材空白处：完成第34页习题第3、4、5、6、7题.基础诊断1. 指出由下列矩阵确定的变换分别对应什么变换．①⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－323212，②⎣⎢⎡⎦⎥⎤0.5001，③⎣⎢⎡⎦⎥⎤－100－1，④⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011，⑤⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－32－1232，⑥⎣⎢⎡⎦⎥⎤1003， ⑦⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1001，⑧⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，⑨⎣⎢⎡⎦⎥⎤100－1，⑩⎣⎢⎡⎦⎥⎤1100.恒等变换有________；伸压变换有________；反射变换有________；旋转变换有________；投影变换有________；切变变换有________．2. 点(－1，k)在伸压变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 001之下的对应点的坐标为(－2，－4)，则m ＋k ＝________．3. 旋转中心为坐标原点，且顺时针方向旋转π3的旋转变换的矩阵为________________．4. 求曲线y ＝x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110作用下变换所得的图形对应的曲线方程．范例导航考向计算，并从变换的角度说明其几何意义例1 计算：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2.计算：(1) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤52；(2) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－101⎣⎢⎡⎦⎥⎤52.考向已知变换后的曲线方程求变换矩阵中的参数值例2 已知a ，b ∈R ，若M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 3所对应的变换T M 把直线l ：3x －2y ＝1变换为自身，试求a ，b 的值．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＋y ＋2＝0在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 4对应的变换作用下得到直线l ′：3x ＋y ＋8＝0，求3a ＋b 的值．考向先用待定系数法求变换矩阵，再由该矩阵确定对应变换下的曲线方程例3 二阶矩阵M 对应变换将点(1，－1)与点(－2，1)分别变换成点(5，7)与点(－3，6)．(1) 求矩阵M ；(2) 若直线l 在此变换下所得直线的解析式l ′：11x －3y －68＝0，求直线l 的方程．自测反馈1. 求将曲线y 2＝x 绕原点逆时针旋转90°后所得的曲线方程．2. 设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b (其中a >0，b >0)，若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 对应的变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ＋b 的值．3. 已知直线l ：ax －y ＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0112对应的变换作用下得到直线l ′，若直线l ′过点(1，1)，求实数a 的值．1. 理解六种变换的含义，特别值得一提的问题：投影变换是一一映射吗？2. 在某个确定矩阵变换下求变换后的曲线一般方法是什么？已知变换前的曲线和变换后的曲线如何确定变换的矩阵？3. 你还有哪些体悟，写下来：第10课几种常见的平面变换基础诊断1. ⑧ ②⑥ ③⑦⑨ ① ⑤⑩ ④评注：掌握恒等、伸压、反射、旋律、投影、切变变换的矩阵，不必死记，要从几何变换的角度去理解记忆．2. －2 解析：⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1k ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－4，则⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝－2，k ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，k ＝－4，所以m ＋k ＝－2.3. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1232－3212解析：顺时针方向旋转π3，相当于逆时针方向旋转－π3，代入⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ－sin θsin θcos θ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1232－3212. 4. 解析：设点(x ，y)是曲线y ＝x 上的任意一点，在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110的作用下点变换成(x′，y′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝y ，y′＝x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y′，y ＝x′. 因为点(x ，y)在曲线y ＝x 上，所以x′＝y′，即x ＝y ，所以y ＝x 2，x ≥0.范例导航例1 解析：⎣⎢⎡⎦⎥⎤100－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤52＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－2，几何意义：由计算结果可知变换前后点的横坐标不变，纵坐标相反，这是关于x 轴对称的反射变换．解析：(1) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤52＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤25，变换前后点的横、纵坐标交换，这是关于直线y ＝x 对称的反射变换．(2) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－101⎣⎢⎡⎦⎥⎤52＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×5＋（－1）×20×5＋1×2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，此变换保持点的纵坐标不变，横坐标按纵坐标的一倍减少，这是沿x 轴负方向的切变变换．例2 解析：在直线l 上的任取一点P(x ，y)，设点P 在T M 的变换下变为点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－x ＋ay ，y ′＝bx ＋3y ，所以点P ′(－x ＋ay ，bx ＋3y )．因为点P ′在直线l 上，所以3(－x ＋ay )－2(bx ＋3y )＝1，即(－3－2b )x ＋(3a －6)y ＝1.又因为方程(－3－2b )x ＋(3a －6)y ＝1即为直线l 的方程3x －2y ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3－2b ＝3，3a －6＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝－3.解析：设点P (x ，y )是直线l 上的任意一点，P ′(x ′，y ′)是点P 在矩阵对应变换下所得曲线上的点，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝bx ＋4y ，代入3x ′＋y ′＋8＝0，得(3a ＋b )x ＋4y ＋8＝0，因为x ＋y ＋2＝0，所以3a ＋b ＝4.例3 解析：(1) 不妨设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤57，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－36，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－7，c ＝－13，d ＝－20，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－7－13－20. (2) 取直线l 上的任意一点(x ，y )，其在M 作用下变换成对应点(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－7－13－20⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2x －7y －13x －20y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2x －7y ，y ′＝－13x －20y ，代入11x ′－3y ′－68＝0，得x －y －4＝0，即直线l 的方程为x －y －4＝0.自测反馈1. 解析：由题意得旋转变换矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos90°－sin90°sin90°cos90°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110，设P (x 0，y 0)为曲线y 2＝x 上的任意一点，变换后变为另一点(x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y 0，y ＝x 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ，y 0＝－x . 又因为点P (x 0，y 0)在曲线y 2＝x 上，所以y 20＝x 0，故(－x )2＝y ，即y ＝x 2为所求的曲线方程．2. 解析：设曲线C ：x 2＋y 2＝1上的任意一点P(x ，y)，在矩阵M 对应的变换作用下得到点P 1(x 1，y 1)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x 1，by ＝y 1. 又点P 1(x 1，y 1)在曲线C ′：x 24＋y 2＝1上，所以x 214＋y 21＝1，则a 2x 24＋b 2y 2＝1.又曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故a 2＝4，b 2＝1. 因为a >0，b >0，所以a ＝2，b ＝1，所以a ＋b ＝3.3. 解析：设P(x ，y)为直线l 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为直线l ′上的点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0112⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x ′＋y ′，y ＝x ′，代入ax－y＝0，整理，得－(2a＋1)x′＋ay′＝0.将点(1，1)代入上述方程，解得a＝－1.。

高考数学一轮复习教案选修第10课几种常见的平面变换

一、考纲要求1、了解矩阵的概念及几种常见的平面变换；2、掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法；3、理解线性变换的概念和意义；了解六种常见变换中哪些是线性变换.二、知识梳理【回顾要求】一、阅读苏教版教材选修4-2中第1—31页，完成以下任务：（1）在数学中，将形如13⎡⎤⎢⎥⎣⎦，80908688⎡⎤⎢⎥⎣⎦，23324m ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦这样的___________称做矩阵．____________叫做矩阵的行，___________________叫做矩阵的列．通常称具有i 行j 列的矩阵为i ×j 矩阵．（2）__________________称为零矩阵；____________________称为行矩阵；__________ __称为列矩阵．[来源:学（3）二阶矩阵11122122a a a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦与列向量00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的乘法规则：11122122a a a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=________________．一般地两个矩阵只有当____________________________________时才能进行乘法运算．（4）恒等变换：对于平面上任何一点（向量）施以某矩阵变换时，都把自己变成自己的变换，称为恒等变换，其恒等变换矩阵（单位矩阵）是（5）伸压变换：将平面图形沿y 轴方向伸长或压缩到原来的k 倍的变换，称为伸压变换，其变换矩阵是：或（6）反射变换：把平面图形F 变为关于定直线或定点对称的图形的变换，称为反射变换，其关于x 轴、y轴、原点的变换矩阵分别是，和（7）旋转变换：把平面图形F 绕某中心点O 逆时针旋转θ角后得到新图形的变换，称为旋转变换，所对应的变换矩阵是（8）投影变换：把平面图形F 投影到某条直线（或某个点）后得到新图形的变换，称为投影变换，其中垂直投影到x 轴和直线x y =上的变换矩阵分别是和（9）切变变换：将每一点),(y x P 沿着与x 轴平行的方向平移||ky 个单位的变换，称为平行于x 轴的切变变换，将每一点),(y x P 沿着与y 轴平行的方向平移||kx 个单位的变换，称为平行于y 轴的切变变换，其变换矩阵分别是和二、在书本上做以下题目：第10页练习的第4题、第6题、第11题；第34页练习的第3题、第4题、第5题、第6题、第7题．【要点解析】1. 伸压、反射、切变这三种几何变换称为初等变换，对应的矩阵叫做初等变换矩阵．由矩阵的乘法可以看出：一一对应的平面几何变换可以看作是这三种初等变换的一次或多次的复合．2. 知识梳理里的六种常见变换与二阶矩阵是对应的，既可以通过二阶矩阵来研究对应的线性变换，也可以通过线性变换来研究对应的二阶矩阵，但值得说明的是：投影变换虽然是映射，但不是一一映射．3. 关于一些基本的线性变换，如伸压、反射、切变等变换，能从直观上分析一些向量在变换作用下保持某种“不变性”，这种向量称为特征向量．【教学建议】1、课前让学生预习苏教版教材选修4-2中2.1、2.2的内容，教师将有关知识点制作成课件（以填空形式）；2、课上用多媒体展示知识点，或集体或个别回答形式进行有关知识回顾．三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏．课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误．课堂上让学生上黑板板演，旨在复习巩固基础知识，将知识问题化，点评时要简洁，要点击要害．2、诊断练习点评题1、指出由下列矩阵确定的变换分别对应什么变换． ①⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-21232321 ② ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1005.0 ③⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1001 ④⎥⎦⎤⎢⎣⎡1101 ⑤⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--23212321 ⑥⎥⎦⎤⎢⎣⎡3001 ⑦ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001 ⑧⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001 ⑨⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001 ⑩⎥⎦⎤⎢⎣⎡0011 恒等变换有___________；伸压变换有_________；反射变换有_________；旋转变换有__________ ；投影变换有_________；切变换有___________．【分析与点评】掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变换的矩阵，不要死记硬背，要从几何变换的角度去理解记忆.题2、已知点),(y x 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1003对应变换作用下变为),1,3(-则=xy ；【分析与点评】点的变换可以看作一个变换矩阵左乘此点向量，得到是变换后的点坐标．因而本题直接通过左乘运算和解方程组，即可得到y x ,的值．题3、旋转中心为坐标原点且逆时针方向旋转4π的旋转变换的变换矩阵为；【分析与点评】回忆几种常见的变换矩阵，回顾旋转变换矩阵的特征是什么？旋转方向如何？题4、函数2x y =在矩阵M=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡41001变换作用下的结果为．【分析与点评】可设（x,y ）为变换后的函数图像上任一点,它是由原来2x y =的图像上任一点),(11y x 在M 变换作用下的结果，用y x ,表示11,y x ，带入2x y =中解得结果．【变式】研究直线2=+y x 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡0011对应的变换作用下变成了什么图形，请作出此图形（它是投影变换吗？（改编自教科书第34页第12题）【说明】从几何角度去理解变换就能迅速解决上述简单问题，第1，2题由学生口答，进一步熟悉6种基本变换第3，4题由学生板演，教师点评，强调熟练掌握六种常见的平面变换，如题2，3，4，从几何角度去理解变换就能迅速解决上述简单问题．3、要点归纳（1）六个常见基本变换熟练与否既是快速解题的关键也是深刻理解矩阵变换的基础．（2）解析几何中求曲线方程的方法熟练程度是求解矩阵变换下曲线方程的基础．四、范例导析例1、计算下列各式，并从变换角度说明其几何意义.(1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-251001 (2)⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡250110 (3)⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-251011 【引导分析与精讲建议】指导学生审清题意，若看不出几何意义，可先运用二阶矩阵与平面向量的乘法法则进行计算，通过比较变换前后的点的坐标再说明其几何意义．例2、已知a ，b ∈R ，若13a M b -=⎡⎤⎢⎥所对应的变换T M 把直线l ：3x - 2y = 1变换为自身，试求a ，b 的值．【说明】再一次体会二阶矩阵变换的特征：直线在二阶矩阵变换之下仍为直线，极端为点．例3 二阶矩阵M 对应的变换将点)1,2(),1,1(--分别变成点)2,0(),1,1(---．（1）求矩阵M ；（2）设直线l 在矩阵M 对应的变换作用下得到了直线4:=-y x m ，求直线l 的方程．【教学处理】学生板演，教师引导学生点评、总结如何求已知曲线矩阵变换下对应的曲线方程，教师要结合学生板书情况将规范的板书过程写出来．【变式】求出曲线xy = - 1绕坐标原点逆时针旋转90°后得到的曲线，及变换对应的矩阵．五、解题反思1、从几何变换角度去理解几种常见的平面变换，能够帮助我们快速得出相应的矩阵，能够快速解题；2、从解析几何的角度去看待求矩阵变换下的曲线方程，熟练掌握求曲线方程的解题流程，是解决矩阵问题的关键．。

2019届高考数学一轮复习选考部分专题反射变换与旋转变换学案(无答案)苏教版选修42

反射变换与旋转变换一、【知识回顾】1.反射变换的有关看法2.常用的几种反射变换矩阵3．旋转变换的看法二、【自学检测】x x′1. 关于x轴的反射变换的坐标公式为T：→＝，对应的二阶矩阵为；y y′2. 关于y x x′轴的反射变换的坐标公式为：→＝，对应的二阶矩阵为；Ty′y3. 旋转变换的坐标变换公式为x x′. T：→＝，对应的二阶矩阵为y y′4.已知直线ＡＢ过（２ , １），（－２，－２）两点 , 求 :10(1)直线AB在矩阵对应变换下的方程；0 10 1(2) 直线 AB在矩阵对应变换下的方程 .10（3）已知 A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1), 求矩形 ABCD绕原点逆时针旋转 900后所获取的图形，并求出其极点坐标 .三、【应用举例】研究 10 1求直线 y=4x 在矩阵作用下变换所得的图形.10研究 2求曲线 y= 1 0 x (x ≥ 0) 在矩阵作用下变换所得的图形 .0 1研究 3若点 (2,2) 在矩阵＝ cos α － sin α 对应变换作用下获取的点为( － 2,2) ，求矩阵． A M sin α cos α B M.四、【检测反思】1. 将图形变换为关于 x 轴对称的图形的变换矩阵为 .将图形变换为关于 y 轴对称的图形的变换矩阵为 .将图形变换为关于原点对称的图形的变换矩阵为 .1 0 , 其中 A(1,1),B(4,2),C(3,0).2. 求△ ABC 在矩阵 M= 作用下变换获取的图形 0 13. 求出曲线 y= 1 (x>0) 在矩阵 M= 1 0 作用下变换获取的曲线 .x 0 14. 求曲线 y=lgx(x>0),0 1 在矩阵 M= 作用下变换获取的曲线 .1 0 5. 求曲线 y= 31 0 0 1 x 经 M= 和 M= 作用下变换获取的曲线 .1 12 00 1。

高考数学一轮复习选考部分专题几种常见的变换学案(无答案)苏教版选修4-2

—————————— 教育资源共享步入知识海洋 ————————投影变换、切变变换【考纲下载】1．理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换——投影变换与切变变换；2．掌握投影变换与切变变换的几何意义及其矩阵表示.一、【知识回顾】请阅读教材P26--31页内容，并回答以下问题：问题1投影变换的概念：像1010,0010⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦这样将平面内图形投影到某条直线（或某个点）上的矩阵，我们称之为，相应的变换称做。

问题2：切变变换的概念：像101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦这样将平面上的点沿x 轴（或y 轴）方向平移的矩阵，称为，相应地变换称为 .问题3：投影变换是映射，但不是 .（1）投影变换主要研究：11000M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，20001M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，31010M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与矩阵11000M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换是将平面上的所有点垂直投影到轴上，即(,)(,0)x y x →.与矩阵20001M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换是将平面上的所有点垂直投影到轴上，即(,)(0,)x y y →.与矩阵31010M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换是将平面上的所有点沿垂直于x 轴方向投影到上，即(,)(,)x y x x →.（3）切变变换保持图形的大小不变二、【预习检测】1、直线x+y=5在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1100 对应的变换作用下得到的图形是。

2、向量a →在矩阵1201A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的作用下变为与向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦平行的单位向量，则a →＝ 3、A （0，0），B （1，2）在矩阵M 作用下分别变换为点A ‘（0，0），B ’（1.5，2.5），求变换对应的矩阵M 。

4、已知1012A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，a →＝11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，b →＝1x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若A a →与A b →的夹角为135o ，求x.三、【应用举例】探究1直线y x =-在矩阵1000⎡⎤⎢⎥⎣⎦作用下变换得到什么图形.探究2曲线221x y +=在矩阵0001⎡⎤⎢⎥⎣⎦作用下变换得到什么图形？探究3设一个投影变换把直角坐标系xOy内的任意一点没平行于直线y x=的方向投影到x轴上，试求：（1）点(3,2)A在这个投影变换作用下得到的点A'的坐标；（2）这个投影变换对应的变换矩阵.探究4求直线1x=在矩阵1201⎡⎤⎢⎥⎣⎦所对应的变换作用下得到的图形的表达式.探究5直线:230l x y++=在矩阵1201M⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线l'，求l'的方程.复习检测1. 已知投影变换T 对应的矩阵为1000M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则平面上点(3,1)P 在投影变换T 作用下得到的点的坐标是 .2. 已知变换T 是将平面内图形沿垂直于x 轴方向投影到直线2y x =上的变换则变换矩阵M = .3. 已知变换T 是将平面内的点没垂直于直线y x =的方向投影到直线y x =上的变换，则变换矩阵M = .4. 已知直线5x y +=在矩阵M 对应的变换作用下得到点(5,5)，则变换矩阵M = .5. 椭圆2219x y +=在矩阵1000⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到什么图形？6. 写出将点(,)x y 变换成点(3,)x y y -的变换对应的矩阵M .7. 已知直线F 在矩阵1011M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦确定的变换作用下得到直线10x y +-=，求直线F 的方程. 8.。

高考数学一轮复习选考部分专题反射变换与旋转变换学案(无答案)苏教版选修4-2

—————————— 教育资源共享步入知识海洋 ————————反射变换与旋转变换一、【知识回顾】1.反射变换的有关概念2. 常用的几种反射变换矩阵3．旋转变换的概念二、【自学检测】1.关于x 轴的反射变换的坐标公式为T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝，对应的二阶矩阵为；2. 关于y 轴的反射变换的坐标公式为T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝，对应的二阶矩阵为；3.旋转变换的坐标变换公式为T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝，对应的二阶矩阵为 .4.已知直线ＡＢ过（２,１），（－２，－２）两点,求:(1) 直线AB 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1010对应变换下的方程；(2) 直线AB 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1010对应变换下的方程.（3）已知A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),求矩形ABCD 绕原点逆时针旋转900后所得到的图形，并求出其顶点坐标.三、【应用举例】探究1求直线y=4x 在矩阵01⎡⎢⎣ 10⎤⎥⎦作用下变换所得的图形.探究2求曲线≥0)在矩阵10⎡⎢⎣01⎤⎥-⎦作用下变换所得的图形.探究3若点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤cos αsin α －sin αcos α对应变换作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M ．.四、【检测反思】1. 将图形变换为关于x 轴对称的图形的变换矩阵为 . 将图形变换为关于y 轴对称的图形的变换矩阵为 . 将图形变换为关于原点对称的图形的变换矩阵为 .2.求△ABC 在矩阵M=10-⎡⎢⎣ 01⎤⎥⎦作用下变换得到的图形, 其中A(1 , 1) , B(4 , 2) , C(3 , 0) .3.求出曲线y=1x(x>0)在矩阵M=1-⎡⎢⎣1⎤⎥-⎦作用下变换得到的曲线.4.求曲线y=lgx(x>0), 在矩阵M=1⎡⎢⎣1⎤⎥⎦作用下变换得到的曲线.5.求曲线经M1=1⎡⎢⎣1⎤⎥-⎦和M2=1⎡⎢⎣1⎤⎥⎦作用下变换得到的曲线.。

【创新设计】高三数学一轮复习平面坐标系中几种常见变换、参数方程随堂训练理苏教版选修4-4-2

第2课平面坐标系中几种常见变换、参数方程一、填空题1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－5t ，y ＝1＋5t ，(t 为参数)的倾斜角是________．解析：把直线的参数方程化为普通方程x ＋y ＝2，所以其斜率为－1，倾斜角为135°. 答案：135°2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ，(π3≤θ≤π)的长度是________．解析：曲线是圆x 2＋y 2＝25的一段圆弧，它所对的圆心角为π－π3＝2π3.所以曲线的长度为10π3.答案：10π33．已知点P (x ，y )在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2sin θ，(θ为参数)上，则x ＋y 的最大值为________．解析：x ＋y ＝－1＋22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，所以其最大值为22－1. 答案：22－14．两圆⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3＋2cos θ，y ＝4＋2sin θ，与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ，的位置关系是________．解析：两圆的圆心距为(－3－0)2＋(4－0)2＝5，两圆半径的和也是5，因此两圆外切．答案：两圆外切5. 已知P (x ，y )是椭圆x 2144＋y 225＝1上的点，则u ＝x ＋y 的取值范围是________．解析：∵椭圆的参数方程可写为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12cos φ，y ＝5sin φ，∴可设P 点的坐标为(12cos φ，5sin φ)．从而u ＝12cos φ＋5sin φ＝13sin ()φ＋θ. ∵－13≤13sin ()φ＋θ≤13，∴u 的取值范围是－13≤u ≤13. 答案：－13≤u ≤136．已知点P (x ，y )为椭圆x 24＋y 2b2＝1(b >4)上的点，则x 2＋2y 的最大值为________．解析：设x ＝2cos θ，y ＝b sin θ，x 2＋2y ＝4cos 2θ＋2b sin θ＝－4sin 2θ＋2b sin θ＋4＝－4⎝⎛⎭⎫sin θ－b 42＋4＋b 24，因为－1≤sin θ≤1，b4>1，故当sin θ＝1时，(x 2＋2y )max ＝2b .答案：2b7．点P 为曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝sin θ(θ为参数)上一点，点Q 为直线⎩⎨⎧x ＝－6－2t y ＝3＋2t(t 为参数)上一点，则P 、Q 的距离的最小值为________．解析：由曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝sin θ(θ为参数)，得(x －1)2＋y 2＝1，将直线⎩⎨⎧x ＝－6－2t y ＝3＋2t(t 为参数)化为普通方程为x ＋y ＋3＝0.圆心到直线的距离为d ＝|1＋0＋3|2＝22， ∴P 、Q 的距离的最小值为22－1. 答案：22－1 二、解答题8．(南京调研)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t y ＝t －2(t 为参数)，P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，求点P 到直线l 距离的最大值．解：直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t y ＝t －2(t 为参数)，故直线l 的普通方程为x ＋2y ＝0，因为P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，故可设P (2cos θ，sin θ)其中θ∈R.因此点P 到直线l 的距离是d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22＝22⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π45. 所以当θ＝k π＋π4，k ∈Z 时，d 取得最大值2105.9．(苏锡常镇四市高三教学情况调查)求圆ρ＝3cos θ被直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2ty ＝1＋4t (t 是参数)截得的弦长．解：将极坐标方程转化成直角坐标方程ρ＝3cos θ，即x 2＋y 2＝3x ，即⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t y ＝1＋4t，即2x －y －3＝0.所以圆心到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪2×32－0－322－(－1)2＝0，即直线经过圆心，所以圆被直线截得的弦长为3.10．(盐城调研)已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋4cos θ，y ＝4sin θ，若P 是圆C 与y 轴正半轴的交点，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，试求过点P 的圆C 的切线的极坐标方程．解：由题设知，圆心C (2,0)，P (0,23)，故所求切线的直角坐标方程为x －3y ＋6＝0. 从而所求切线的极坐标方程为ρcos θ－3ρsin θ＋6＝0.1．若点P (x ，y )在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos θy ＝－4＋5sin θ(θ为参数)上，求x 2＋y 2的最大值．解：x 2＋y 2＝(3＋5cos θ)2＋(－4＋5sin θ)2＝50＋30cos θ－40sin θ ＝50＋50cos(θ＋φ)≤100. 所以x 2＋y 2的最大值为100.2．已知直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝1＋2t(t 为参数)和圆C 的极坐标方程：ρ＝22sin(θ＋π4)．(1)将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)判断直线l 和圆C 的位置关系．解：(1)消去参数t ，得直线l 的普通方程为y ＝2x ＋1；ρ＝22sin (θ＋π4)即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，消去参数θ，得⊙C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(x －1)2＝2.(2)圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋12＝255<2，所以直线l 和⊙C 相交．。

2019届高考数学一轮复习选考部分专题几种常见的变换学案苏教版选修42

2019届高三数学一轮复习目录(理科)

苏教版高中数学选修4-4：4.3 平面坐标系中几种常见变换 复习课件

高考新创新一轮复习理数江苏专版教师用书：第十二章+选修4系列

江苏专版2019版高考数学一轮复习第二十二章选修4系列22.1矩阵与变换讲义

高考数学一轮复习 第15章 选考部分 矩阵与变换教学案 苏教版选修4

苏教版高二数学选修4-4 平面坐标系中几种常见变换 学案

2019届高三理科数学苏教版一轮复习教学课件：选修4-4 第2节 参数方程

2019届高考数学一轮复习 选考部分 专题 矩阵的概念学案苏教版选修4-2

高中数学 2.2《几种常见的平面变换1》教学案 苏教版选修42