第2章 应变分析(修改)

（2－6）
zx
若A点在z 轴方向的位移为
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w f 2 ( x, y, z) ，
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第二章 应变分析
z
C

A
C
w

B
B
B
w w dx x
o
A
u
u
u dx x
x
图：位移矢量在xoz平面上的投影
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第二章 应变分析
PB的正应变为：
P B PB (r u )d rd u PB rd r
径向线段PA的转角为： 环向线段PB的转角为：
0
p

B
p
B u (u d ) u BB PP 1 u ＝tg PB rd r
下面给出式（2－10）的推导过程。
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（2－10）
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第二章 应变分析
首先假定只有径向位移而没有环向位移：
如图（ 2 － 6 ）所示，在 P 点沿径向和环向取两个微段 PA和PB，设PA移到了
o
d

rp p
B
x
A

A
PA，
y
B
位移为u；PB移到了 PB ，则
显然，如果变形的分布是均匀的，则有: （2－2）
即：材料力学的拉伸应变。 下面我们讨论一般情况，给出应变的概念。设在直角坐标 系中，变形前 A 点的坐标是（ x ， y ， z ），变形后的坐标是
（ x+u ， y+v ， z+w ），这里 u ， v ， w 是 A 点的位移在 x ， y ， z 三
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第二章 应变分析
其中，u，v，w 分别表示一点位移在径向（ r 方向），环向
（ 方向）以及轴向（z方向）的分量。
对于平面问题，柱坐标变为极坐标，则平面极坐标表示
的几何方程为：
u r r 1 v u r r 1 u v v r r r r
u r r ， 1 v u r r w z z
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v 1 u v r r r r 1 w v z r z w u zr r z
（2－9）
u x x ， v y y w z z
u v xy y x v w yz z y u w zx z x
可知：如果 已知位移分 量可以很简 单的求出应 （2－8） 变分量；反 之，则问题 比较复杂。
相对位置，则物体就同时产
生了形状的变化，统称该物 体产生了变形。（书图 2 － 1 ）
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第二章 应变分析
第一节 一点的应变状态
应变与位移的关系
物体不论是发生空间的刚体运动或实形状的变化，终归 体现为物体内部每一点产生位移；因而，只要确定了物体内 各点的位移，物体的变形状态也就确定了。因此研究物体内 一点的变形是很重要的。 为了确定正应变的定 义，在一受拉杆上有线段
轴上的投影，它们都是坐标 x ， y ， z 的连续函数，而且位移的 导数也是连续的。
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第二章 应变分析
设由变形体中取出一个微小六面体（见书中图2－3变形 体的投影），在研究微小六面体的变形时，采用的分析方法是 将六面体的各面投影到直角坐标系的各个坐标平面上，研究这 些平面投影的变形，并根据这些投影的变形规律来判断整个平
径向线段PA的转角为：
v (v dr ) v AA PP v r ＝tg PA dr r
环向线段PB的转角为：
PP v POP OP r
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第二章 应变分析
所以剪应变为：
r
v v r r
u dx ， x
由于 AB dx
则AB在x轴上的投影的伸长量为 u1 u
则有：
u1 u u x dx x
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第二章 应变分析
同理可得平行于 y 轴和 z 的边长的正应变，因此有：
u x x
当
v y y
w z z
（2－5）
dr
p

A
A
B
y
v dr , r
图2-7 环向位移图
PP v,
AA v
BB v
v d
可见：径向线段PA的正应变为 ：
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r 0
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第二章 应变分析
环向线段PB的正应变为：
v (v d ) v P B PB 1 v PB rd r
w 则B点在Z 轴方向的位移为 w1 f 2 ( x dx, y, z ) w dx ， x B点与A点沿Z 轴方向的位移之差为:
在直角三角形 AB B 中，可得： w w dx BB tg x x u u AB dx dx 1 x x u 在分母中 （ x）与1相比是一个微量，故可以略去，因而
下，构成该物体质点之间的距离保持不变。前章建立平衡条件 时，就忽略了固体变形，即假定固体是刚体。实际上刚体是不 存在，所有物体在某种程度上都是可以变形的，也即是说，在 力的作用下，实际物体质点之间的距离总是要发生变化的。一 个物体是否可以被假定为刚体，关键在于刚体假定的有效范围。 本章从几何学的观点出发分析研究物体的变形。反映物体 变形规律的数学方程也有两类，即几何方程和变形协调方程。 由于这两类方程都是基于物体连续性的假定从几何学出发得到 的，并不涉及产生变形的原因和物体的材料性质，所以它们均 属于“普适方程”。
式（2－8）称为柯西（Cauchy）几何关系。[式(2－8)的
提出者：法国工业学院的数学教授柯西（Cauchy）(1789－
1857)，于1822年发表的论文提出的]
注意：书中P48给出了帮助记忆的图形（图2－5）。
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第二章 应变分析
利用类似的方
法，可以导出柱坐
标表示的几何方程 为式（2－9）：
B B，C C，D D， 而整个ABCD移到 ABC D。
设A点的位移是 u，w，它们是坐标的函数，因此有：
u f1 ( x, y, z)
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w f 2 ( x, y, z)
（2－3）
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第二章 应变分析
而B点的坐标为（x+dx，y，z），因此B点在x方向的位移为：
P ， A ， B 三点的位移分别为：
PP u
径向位移图
u AA u dr r u f BB u d f (r , d ) f (r , ) d
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第二章 应变分析
u (u dr ) u P A PA u r 则PA的正应变为： r PA dr r
u v y x
v w z y u w z x
（2－7） 说明：剪应变的正负号
ij 0(i, j x, y, z )表示夹角变小 ij 0(i, j x, y, z )表示夹角变大
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第二章 应变分析
所以，正应变和剪应变的表达式为（2－8）：
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第二章 应变分析
前面讨论了受力物体的应力，现在开始讨论物体的变形。 在外力作用下，物体各点的位置要发生改变，即发生位移。
如果物体各点发生位移后仍保持各点间初始状态的相对位置，
则物体实际上只产生了刚体移动和转动，将这种位移称为刚体 位移。 如果物体各点发生位移 后改变了各点间初始状态的
（2－13）
设P点的位移分量为u，v，w，则N点的位移分量为：
f f f f ( x, y, z ) dx dy dz (dx, dy, dz )的高阶项 x y z
略去高阶项（小量）得：
u u u u N u dx dy dz x y z
微小线段 PN ＝ dr 的正应变，以及经过 P
p dr
N
y
点的微小线段PN和 PN 的夹角的改变。
令PN的方向余弦为l、m、n，则PN在坐标轴上的投影为：
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第二章 应变分析
dx ldr，dy mdr，dz ndr
u N f ( x dx, y dy, z dz )
（2－12）
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第二章 应变分析
注意：书中P47对方程（2－ 10）的相关项进行了解释，自 己看一下。
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第二章 应变分析
第二节 应变状态分析
现在已知物体内任一点 P 的六个应 变分量
x， y， z， xy， yz， zx ，
o
x
z
N
试求经过该点（P点）的沿N方向的任一
所以有：
r
1 u r
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第二章 应变分析
其次，假定只有环向位移而没有径向位移:
见图2－7，由于P
点的环向位移v，径向线 段PA移段到了 P A，环 向线段PB移到了 PB ， 则P，A，B三点的位移 分别为：
o

d
r

B
p
x
AB，在变形后，变为 AB
（见右图）。 若线段 AB 的长度
为
x，变形后的A点的
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第二章 应变分析
位移是u，而B 点的位移是 u+u，则线段 定义：正应变