2016届 数学一轮(理科) 北师大版 课时作业 第九章 平面解析几何-热点训练-探究课6
2016年高考北师大版数学(理)一轮复习课件：第九章 平面解析几何 专题探究课 圆锥曲线问题中的热点题型
t－0 t t (2)证明 设 P(1，t)，kPA＝ ＝ ，直线 lPA：y＝ (x＋2)，(6 分) 3 3 1 ＋ 2 t y＝ (x＋2)， 3 联立得 2 x ＋y2＝1， 4 即(4t2＋9)x2＋16t2x＋16t2－36＝0，(8分)
16t2－36 18－8t2 可知－2xM＝ 2 ，所以 xM＝ 2 ， 4t ＋9 4t ＋9
热点突破 热点一 圆锥曲线中的定点、定值问题
x2 y2 【例 1】(13 分)(2015· 石家庄模拟)椭圆 C： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的离 a b 3 心率为 ，过其右焦点 F 与长轴垂直的弦长为 1. 2 (2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A，B，点 P 是直线 x＝1 上的动 点，直线 PA 与椭圆的另一交点为 M，直线 PB 与椭圆的另一交点 为 N.求证：直线 MN 经过一定点．
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热点突破 热点一 圆锥曲线中的定点、定值问题
解答圆锥曲线中的定点、定值问题的一般步骤： 研究特殊情形，从问题的特殊情形出发，得到目 标关系所要探求的定点、定值．
第一步
第二步
探究一般情况．探究一般情形下的目标结论． 下结论，综合上面两种情况定结论．
第三步
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热点突破 热点一 圆锥曲线中的定点、定值问题
则 y
18－8t2 xM＝ 2 ， 4t ＋ 9 12t . M＝ 2 4t ＋9
8t2－2 xN＝ 2 ， 4t ＋1 同理得到 (10 分) 4t yN＝ 2 . 4t ＋1
由椭圆的对称性可知这样的定点在x轴上， 不妨设这个定点为Q(m，0)，
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高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.3 圆的方程试题 理 北师大版-北师大版高三全册数学试
第九章平面解析几何 9.3 圆的方程试题理北师大版圆的定义与方程定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要条件：D2＋E2－4F>0圆心坐标：(－D2，－E2)半径r＝12D2＋E2－4F【知识拓展】1．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ )(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( √ )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( √ )(4)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆．( × )(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.( √ )1．(教材改编)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0 答案 C解析 圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入检验选项C 满足．2．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 答案 B解析 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m . 因为∠APB ＝90°，连接OP ， 易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝32＋42＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.3．(2015·)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2答案 D解析圆的半径r＝12＋12＝2，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.4．(教材改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为______________．答案(x－2)2＋y2＝10解析设圆心坐标为C(a,0)，∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，∴|CA|＝|CB|，即a＋12＋1＝a－12＋9，解得a＝2，∴圆心为C(2,0)，半径|CA|＝2＋12＋1＝10，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.5．(2016·某某)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是______，半径是______．答案(－2，－4) 5解析由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．题型一 求圆的方程例1 (1)(2016·某某)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________．(2)(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．答案 (1)(x －2)2＋y 2＝9 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254解析 (1)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0， 所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.(2)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点， (4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2)，令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为52.思维升华 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．(2016·某某八校联考)已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成两段弧，弧长之比为1∶2，则圆C 的标准方程为________________． 答案 x 2＋(y ±33)2＝43解析 ∵圆C 关于y 轴对称，∴可设C (0，b )，设圆C 的半径为r ，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －b )2＝r 2，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋－b2＝r 2，|b |＝12r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝43，b ＝±33，于是圆C 的标准方程为x 2＋(y ±33)2＝43. 题型二 与圆有关的最值问题例2 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上．求x ＋y 的最大值和最小值． 解 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋－3－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1.∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究1．在本例的条件下，求y x的最大值和最小值．解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y x的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233.所以y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值．解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝x ＋12＋y －22，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1, 2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34，所以x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求：(1)y x的最大值和最小值； (2)y －x 的最小值；(3)x 2＋y 2的最大值和最小值．解 (1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设y x＝k ，即y ＝kx ，则圆心(2,0)到直线y ＝kx 的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值． 由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3， ∴k max ＝3，k min ＝－ 3. (2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，当且仅当直线y＝x＋b与圆切于第四象限时，在y轴上的截距b取最小值，由点到直线的距离公式，得|2－0＋b|2＝3，即b＝－2±6，故(y－x)min＝－2－ 6.(3)x2＋y2是圆上的点与原点的距离的平方，故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，则(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋3)2＝7＋43，(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－3)2＝7－4 3.题型三与圆有关的轨迹问题例3 (2016·潍坊模拟)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．(2016·某某模拟)设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹． 解 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况)．21．利用几何性质巧设方程求半径典例 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程．思想方法指导 本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法．(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题． 规X 解答解 一般解法 (代数法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则有⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，3＋222＋D3＋22＋F ＝0，3－222＋D3－22＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.巧妙解法 (几何法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)． 故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋t －12＝3，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.1．(2016·某某检测)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＝0 答案 B解析 根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.2．(2016·某某一模)方程|x |－1＝1－y －12所表示的曲线是( )A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆 答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|x |－12＋y －12＝1，|x |－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －12＋y －12＝1，x ≥1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12＋y －12＝1，x ≤－1.故原方程表示两个半圆．3．若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2 答案 D解析 由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上， ∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b≥3＋2b a ×2ab ＝3＋22， 当且仅当b a ＝2ab，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立．∴1a ＋2b的最小值为3＋2 2.4．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案 A解析 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．(2016·某某诊断)圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－y 23＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋(y －1)2＝1B ．x 2＋(y －3)2＝3C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D ．x 2＋(y ＋3)2＝3答案 A解析 依题意，得题中的双曲线的一条渐近线的斜率为3，倾斜角为60°，结合图形(图略)可知，所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此其方程是x 2＋(y －1)2＝1.6．(2016·某某模拟)已知P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线(A ，B 是切点)，C 是圆心，那么四边形PACB 的面积的最小值是( ) A. 2 B ．2 2 C. 3 D ．2 3答案 C解析 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，则C (1,1)，当|PC |最小时，四边形PACB 的面积最小，|PC |min ＝|3－4＋11|32＋42＝2，此时|PA |＝|PB |＝ 3. 所以四边形PACB 的面积S ＝2×12×3×1＝3，故选C. 7．(2016·某某模拟)若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是______________． 答案 (x －2)2＋(y ＋32)2＝254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )． 又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |，解之得m ＝－32. 所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋32)2＝254. 8．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为______________．答案 x ＋y －2＝0 解析 当圆心与点P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与点P 连线的斜率k ＝1，所求直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.9．已知D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ≥0， x ＋3y ≥0所确定的平面区域，则圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为________．答案 π2解析 作出可行域D 及圆x 2＋y 2＝4，如图所示，图中阴影部分所在圆心角θ＝α－β所对的弧长即为所求．易知图中两直线的斜率分别为12、－13，得tan α＝12，tan β＝－13， tan θ＝tan(α－β)＝12＋131－12×13＝1， 得θ＝π4，得弧长l ＝θ·R ＝π4×2＝π2(R 为圆的半径)． 10．(2016·某某模拟)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．答案 7＋1解析 设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆，又OA →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x－1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝x －12＋y ＋32. 问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值．∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为3－12＋0＋32＝7， ∴x －12＋y ＋32的最大值为7＋1.11．已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段的长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．解 (1)由题意知直线PQ 的方程为x ＋y －2＝0.设圆心C (a ，b )，半径为r ，由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32， 即y ＝x －1，所以b ＝a －1.①由圆C 在y 轴上截得的线段的长为43，知r 2＝12＋a 2，可得(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2，②由①②得a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4.当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13，满足题意，当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37，不满足题意．故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13.(2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m (m ≠2)， A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)．由题意可知OA ⊥OB ，即OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0，化简得2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.③由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋m ，x －12＋y 2＝13得 2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝m 2－122，代入③，得m 2－12－m ·(1＋m )＋m 2＝0，∴m ＝4或m ＝－3，经检验都满足题意，∴直线l 的方程为x ＋y －4＝0或x ＋y ＋3＝0.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得的线段长为22，在y 轴上截得的线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P 点的坐标为(x 0，y 0)，则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3.综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.13.已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值．解 (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝2＋22＋7－32＝4 2. 所以|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2.(2)可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率， 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k . 由直线MQ 与圆C 有交点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤22， 可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.。
北师大版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何抛物线教学案理
一、知识梳理１．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：（１）在平面内．（２）动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等．（３）定点不在定直线上．２．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y２＝２px（p＞0）y２＝—２px（p＞0）x２＝２py（p＞0）x２＝—２py（p＞0）p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O（0，0）对称轴y＝0x＝0焦点F错误!F错误!F错误!F错误!离心率e＝１准线方程x＝—错误!x＝错误!y＝—错误!y＝错误!范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向向右向左向上向下焦半径（其中P （x0，y0））|PF|＝x0＋错误!|PF|＝—x0＋错误!|PF|＝y0＋错误!|PF|＝—y0＋错误!１．抛物线y２＝２px（p＞0）上一点P（x0，y0）到焦点F错误!的距离|PF|＝x0＋错误!，也称为抛物线的焦半径．２．y２＝ax（a≠0）的焦点坐标为错误!，准线方程为x＝—错误!.３．如图，设A（x１，y１），B（x２，y２）．（１）y１y２＝—p２，x１x２＝错误!.（２）|AB|＝x１＋x２＋p＝错误!（θ为AB的倾斜角）．（３）错误!＋错误!为定值错误!.（４）以AB为直径的圆与准线相切．（５）以AF或BF为直径的圆与y轴相切．二、教材衍化１．过点P（—２，３）的抛物线的标准方程是（）Ａ．y２＝—错误!x或x２＝错误!yＢ．y２＝错误!x或x２＝错误!yＣ．y２＝错误!x或x２＝—错误!yＤ．y２＝—错误!x或x２＝—错误!y解析：选Ａ．设抛物线的标准方程为y２＝kx或x２＝my，代入点P（—２，３），解得k＝—错误!，m＝错误!，所以y２＝—错误!x或x２＝错误!y.故选Ａ．２．抛物线y２＝8x上到其焦点F距离为５的点P有（）Ａ．0个Ｂ．１个Ｃ．２个Ｄ．４个解析：选Ｃ．设P（x１，y１），则|PF|＝x１＋２＝５，y错误!＝8x１，所以x１＝３，y１＝±２错误!.故满足条件的点P有两个．故选Ｃ．３．过抛物线y２＝４x的焦点的直线l交抛物线于P（x１，y１），Q（x２，y２）两点，如果x１＋x２＝6，则|PQ|＝________．解析：抛物线y２＝４x的焦点为F（１，0），准线方程为x＝—１．根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x１＋１＋x２＋１＝x１＋x２＋２＝8．答案：8一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．（）（２）若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．（）（３）若一抛物线过点P（—２，３），则其标准方程可写为y２＝２px（p>0）．（）（４）抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．（）答案：（１）×（２）×（３）×（４）×二、易错纠偏错误!错误!（１）忽视抛物线的标准形式；（２）忽视p的几何意义；（３）忽视k＝0的讨论；（４）易忽视焦点的位置出现错误．１．抛物线8x２＋y＝0的焦点坐标为（）Ａ．（0，—２）Ｂ．（0，２）Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｃ．由8x２＋y＝0，得x２＝—错误!y.２p＝错误!，p＝错误!，所以焦点为错误!，故选Ｃ．２．已知抛物线C与双曲线x２—y２＝１有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是（）Ａ．y２＝±２错误!xＢ．y２＝±２xＣ．y２＝±４xＤ．y２＝±４错误!x解析：选D.由已知可知双曲线的焦点为（—错误!，0），（错误!，0）．设抛物线方程为y２＝±２px （p＞0），则错误!＝错误!，所以p＝２错误!，所以抛物线方程为y２＝±４错误!x.故选Ｄ．３．设抛物线y２＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．解析：由已知可得Q（—２，0），当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k （x＋２），代入抛物线方程，消去y整理得k２x２＋（４k２—8）x＋４k２＝0，当k＝0时，l与抛物线有公共点；当k≠0时，Δ＝6４（１—k２）≥0得—１≤k＜0或0＜k≤１．综上，—１≤k≤１．答案：[—１，１]４．若抛物线的焦点在直线x—２y—４＝0上，则此抛物线的标准方程为________．解析：令x＝0，得y＝—２；令y＝0，得x＝４．所以抛物线的焦点是（４，0）或（0，—２），故所求抛物线的标准方程为y２＝１6x或x２＝—8y.答案：y２＝１6x或x２＝—8y抛物线的定义（典例迁移）设P是抛物线y２＝４x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B（３，２），则|PB|＋|PF|的最小值为________．【解析】如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P１，则|P１Q|＝|P１F|.则有|PB|＋|PF|≥|P１B|＋|P１Q|＝|BQ|＝４．即|PB|＋|PF|的最小值为４．【答案】４【迁移探究１】（变条件）若将本例中“B（３，２）”改为“B（３，４）”，如何求解？解：由题意可知点B（３，４）在抛物线的外部．因为|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，由例题知，F（１，0），所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝错误!＝２错误!，即|PB|＋|PF|的最小值为２错误!.【迁移探究２】（变问法）在本例条件下，求点P到点A（—１，１）的距离与点P到直线x＝—１的距离之和的最小值．解：如图，易知抛物线的焦点为F（１，0），准线是x＝—１，由抛物线的定义知点P到直线x＝—１的距离等于点P到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A（—１，１）的距离与点P到F（１，0）的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点P，此时最小值为错误!＝错误!.【迁移探究３】（变问法）在本例条件下，求点P到直线l１：４x—３y＋6＝0和l２：x＝—１的距离之和的最小值．解：由题可知l２：x＝—１是抛物线y２＝４x的准线，设抛物线的焦点为F（１，0），则动点P到l的距离等于|PF|，故动点P到直线l１和直线l２的距离之和的最小值，即焦点F到直线l１：４x—３y＋6２＝0的距离，所以最小值是错误!＝２．错误!（１）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．（２）注意灵活运用抛物线上一点P（x，y）到焦点F的距离|PF|＝|x|＋错误!或|PF|＝|y|＋错误!.１．（２0２0·江西萍乡一模）已知动圆C经过点A（２，0），且截y轴所得的弦长为４，则圆心C的轨迹是（）Ａ．圆Ｂ．椭圆Ｃ．双曲线Ｄ．抛物线解析：选Ｄ．设圆心C（x，y），弦为BD，过点C作CE⊥y轴，垂足为E，则|BE|＝２，则有|CA|２＝|BC|２＝|BE|２＋|CE|２，所以（x—２）２＋y２＝２２＋x２，化为y２＝４x，则圆心C的轨迹为抛物线．故选Ｄ．２．（２0２0·成都模拟）已知抛物线C：y２＝２px（p＞0）的焦点为F，准线l：x＝—１，点M在抛物线C上，点M在直线l：x＝—１上的射影为A，且直线AF的斜率为—错误!，则△MAF的面积为（）Ａ．错误!Ｂ．２错误!Ｃ．４错误!Ｄ．8错误!解析：选Ｃ．如图所示，设准线l与x轴交于点N.则|FN|＝２．因为直线AF的斜率为—错误!，所以∠AFN＝60°.所以∠MAF＝60°，|AF|＝４．由抛物线的定义可得|MA|＝|MF|，所以△AMF是边长为４的等边三角形．所以S△AMF＝错误!×４２＝４错误!.故选Ｃ．抛物线的标准方程（师生共研）如图，过抛物线y２＝２px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝２|BF|，且|AF|＝３，则此抛物线的方程为（）Ａ．y２＝9xＢ．y２＝6xＣ．y２＝３xＤ．y２＝错误!x【解析】如图，过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝２a，由抛物线定义得|BD|＝a，故∠BCD＝３0°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝３，|AC|＝３＋３a，２|AE|＝|AC|，所以３＋３a＝6，从而得a＝１，|FC|＝３a＝３，所以p＝|FG|＝错误!|FC|＝错误!，因此抛物线的方程为y２＝３x，故选Ｃ．【答案】C错误!求抛物线的标准方程应注意以下几点（１）当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线的标准方程属于四种类型中的哪一种．（２）要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系．（３）要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．１．（２0２0·重庆调研）已知抛物线y２＝２px（p＞0），点C（—４，0），过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若△CAB的面积为２４，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是（）Ａ．y２＝４xＢ．y２＝—４xＣ．y２＝8xＤ．y２＝—8x解析：选Ｄ．因为AB⊥x轴，且AB过点F，所以AB是焦点弦，且|AB|＝２p，所以S△CAB＝错误!×２p×错误!＝２４，解得p＝４或—１２（舍），所以抛物线方程为y２＝8x，所以直线AB的方程为x＝２，所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y２＝—8x.故选Ｄ．２．已知双曲线C１：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的离心率为２，若抛物线C２：x２＝２py（p ＞0）的焦点到双曲线C１的渐近线的距离为２，则抛物线C２的方程是（）Ａ．x２＝１6yＢ．x２＝8yＣ．x２＝错误!yＤ．x２＝错误!y解析：选Ａ．因为双曲线C１：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的离心率为２，所以错误!＝２．因为双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，抛物线C２：x２＝２py（p＞0）的焦点错误!到双曲线的渐近线的距离为２，所以错误!＝错误!·错误!＝错误!＝２，解得p＝8，所以抛物线C２的方程是x２＝１6y.抛物线的性质（师生共研）已知抛物线y２＝２px（p>0）的焦点为F，A（x１，y１），B（x２，y２）是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：（１）y１y２＝—p２，x１x２＝错误!；（２）错误!＋错误!为定值；（３）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．【证明】（１）由已知得抛物线焦点坐标为F（错误!，0）．由题意可设直线方程为x＝my＋错误!，代入y２＝２px，得y２＝２p错误!，即y２—２pmy—p２＝0．（*）则y１，y２是方程（*）的两个实数根，所以y１y２＝—p２.因为y错误!＝２px１，y错误!＝２px２，所以y错误!y错误!＝４p２x１x２，所以x１x２＝错误!＝错误!＝错误!.（２）错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!.因为x１x２＝错误!，x１＋x２＝|AB|—p，|AB|＝x１＋x２＋p，代入上式，得错误!＋错误!＝错误!＝错误!（定值）．（３）设AB的中点为M（x0，y0），如图，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝错误!（|AC|＋|BD|）＝错误!（|AF|＋|BF|）＝错误!|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．错误!抛物线几何性质的应用技巧（１）涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．（２）与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定，是p与交点横（纵）坐标的和还是与交点横（纵）坐标的差，这是正确解题的关键．１．（２0２0·河南郑州二模）已知抛物线C：y２＝２x，过原点作两条互相垂直的直线分别交C于A，B两点（A，B均不与坐标原点重合），则抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．错误!Ｄ．４解析：选Ｃ．设直线AB的方程为x＝my＋t，A（x１，y１），B（x２，y２）．由错误!⇒y２—２my—２t＝0⇒y１y２＝—２t，由OA⊥OB⇒x１x２＋y１y２＝错误!＋y１y２＝0⇒y１y２＝—４，所以t＝２，即直线AB过定点（２，0）．所以抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为２—错误!＝错误!.故选Ｃ．２．（２0２0·洛阳模拟）已知F是抛物线C１：y２＝２px（p＞0）的焦点，曲线C２是以F为圆心，错误!为半径的圆，直线４x—３y—２p＝0与曲线C１，C２从上到下依次相交于点A，B，C，D，则错误!＝（）Ａ．１6 Ｂ．４Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．因为直线４x—３y—２p＝0过C１的焦点F（C２的圆心），故|BF|＝|CF|＝错误!，所以错误!＝错误!.由抛物线的定义得|AF|—错误!＝x A，|DF|—错误!＝x D.由错误!整理得8x２—１7px＋２p２＝0，即（8x—p）（x—２p）＝0，可得x A＝２p，x D＝错误!，故错误!＝错误!＝错误!＝１6．故选Ａ．直线与抛物线的位置关系（师生共研）（２0１9·高考全国卷Ⅰ）已知抛物线C：y２＝３x的焦点为F，斜率为错误!的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.（１）若|AF|＋|BF|＝４，求l的方程；（２）若错误!＝３错误!，求|AB|.【解】设直线l：y＝错误!x＋t，A（x１，y１），B（x２，y２）．（１）由题设得F错误!，故|AF|＋|BF|＝x１＋x２＋错误!，由题设可得x１＋x２＝错误!.由错误!可得9x２＋１２（t—１）x＋４t２＝0，则x１＋x２＝—错误!.从而—错误!＝错误!，得t＝—错误!.所以l的方程为y＝错误!x—错误!.（２）由错误!＝３错误!可得y１＝—３y２.由错误!可得y２—２y＋２t＝0．所以y１＋y２＝２．从而—３y２＋y２＝２，故y２＝—１，y１＝３．代入C的方程得x１＝３，x２＝错误!.故|AB|＝错误!.错误!解决直线与抛物线位置关系问题的方法（１）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．（２）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|x１|＋|x２|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．（３）涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[提醒] 涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．１．（２0２0·河南郑州二模）已知抛物线C：y２＝４x的焦点为F，直线l过焦点F与抛物线C分别交于A，B两点，且直线l不与x轴垂直，线段AB的垂直平分线与x轴交于点T（５，0），则S△AOB＝（）Ａ．２错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．３错误!解析：选Ａ．如图所示，F（１，0）．设直线l的方程为y＝k（x—１）（k≠0），A（x１，y１），B（x，y２），线段AB的中点E（x0，y0）．２则线段AB的垂直平分线的方程为y＝—错误!（x—５）．联立错误!化为ky２—４y—４k＝0，所以y１＋y２＝错误!，y１y２＝—４，所以y0＝错误!（y１＋y２）＝错误!，x0＝错误!＋１＝错误!＋１，把E错误!代入线段AB的垂直平分线的方程y＝—错误!（x—５），可得错误!＝—错误!·错误!，解得k２＝１．S△OAB＝错误!×１×|y１—y２|＝错误!错误!＝错误!错误!＝２错误!.故选Ａ．２．设A，B为曲线C：y＝错误!上两点，A与B的横坐标之和为２．（１）求直线AB的斜率；（２）设M为曲线C上一点，曲线C在点M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB 的方程．解：（１）设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１≠x２，y１＝错误!，y２＝错误!，x１＋x２＝２，故直线AB的斜率k＝错误!＝错误!＝１．（２）由y＝错误!，得y′＝x.设M（x３，y３），由题设知x３＝１，于是M错误!.设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N（１，１＋m），|MN|＝错误!.将y＝x＋m代入y＝错误!，得x２—２x—２m＝0．由Δ＝４＋8m＞0，得m＞—错误!，x１，２＝１±错误!.从而|AB|＝错误!|x１—x２|＝２错误!.由题设知|AB|＝２|MN|，即错误!＝错误!，解得m＝错误!或m＝—２（舍）．所以直线AB的方程为y＝x＋错误!.解析几何中的“设而不求”“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简．解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：（１）灵活应用“点、线的几何性质”解题；（２）根据题意，整体消参或整体代入等．类型一巧妙运用抛物线定义得出与根与系数关系的联系，从而设而不求在平面直角坐标系xOy中，双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的右支与焦点为F的抛物线x２＝２py（p>0）交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝４|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．【解析】设A（x１，y１），B（x２，y２），由抛物线的定义可知|AF|＝y１＋错误!，|BF|＝y２＋错误!，|OF|＝错误!，由|AF|＋|BF|＝y１＋错误!＋y２＋错误!＝y１＋y２＋p＝４|OF|＝２p，得y１＋y２＝p.k AB＝错误!＝错误!＝错误!.由错误!得k AB＝错误!＝错误!＝错误!·错误!，则错误!·错误!＝错误!，所以错误!＝错误!⇒错误!＝错误!，所以双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x.【答案】y＝±错误!x类型二中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，“点差法”实质上是“设而不求”的一种方法△ABC的三个顶点都在抛物线E：y２＝２x上，其中A（２，２），△ABC的重心G是抛物线E 的焦点，则BC边所在直线的方程为________．【解析】设B（x１，y１），C（x２，y２），边BC的中点为M（x0，y0），易知G错误!，则错误!从而错误!即M错误!，又y错误!＝２x１，y错误!＝２x２，两式相减得（y１＋y２）（y１—y２）＝２（x１—x２），则直线BC 的斜率k BC＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝—１，故直线BC的方程为y—（—１）＝—错误!，即４x ＋４y＋５＝0．【答案】４x＋４y＋５＝0类型三中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ>0已知双曲线x２—错误!＝１，过点P（１，１）能否作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？【解】假设存在直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点．设A（x１，y１），B（x２，y２），易知x１≠x２，由错误!两式相减得（x１＋x２）（x１—x２）—错误!＝0，又错误!＝１，错误!＝１，所以２（x１—x２）—（y１—y２）＝0，所以k AB＝错误!＝２，故直线l的方程为y—１＝２（x—１），即y＝２x—１．由错误!消去y得２x２—４x＋３＝0，因为Δ＝１6—２４＝—8<0，方程无解，故不存在一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点．类型四求解直线与圆锥曲线的相关问题时，若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系，可用“替代法”，“替代法”的实质是设而不求已知F为抛物线C：y２＝２x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l１，l２，直线l１与C交于A，B两点，直线l２与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为________．【解析】法一：由题意知，直线l１，l２的斜率都存在且不为0，F错误!，设l１：x＝ty＋错误!，则直线l１的斜率为错误!，联立方程得错误!消去x得y２—２ty—１＝0．设A（x１，y１），B（x２，y２），则y１＋y２＝２t，y１y２＝—１．所以|AB|＝错误!|y１—y２|＝错误!·错误!＝错误!错误!＝２t２＋２，同理得，用—错误!替换t可得|DE|＝错误!＋２，所以|AB|＋|DE|＝２错误!＋４≥４＋４＝8，当且仅当t２＝错误!，即t＝±１时等号成立，故|AB|＋|DE|的最小值为8．法二：由题意知，直线l１，l２的斜率都存在且不为0，F错误!，不妨设l１的斜率为k，则l１：y＝k错误!，l２：y＝—错误!错误!.由错误!消去y得k２x２—（k２＋２）x＋错误!＝0，设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１＋x２＝１＋错误!.由抛物线的定义知，|AB|＝x１＋x２＋１＝１＋错误!＋１＝２＋错误!.同理可得，用—错误!替换|AB|中k，可得|DE|＝２＋２k２，所以|AB|＋|DE|＝２＋错误!＋２＋２k２＝４＋错误!＋２k２≥４＋４＝8，当且仅当错误!＝２k２，即k＝±１时等号成立，故|AB|＋|DE|的最小值为8．【答案】8[基础题组练]１．（２0１9·高考全国卷Ⅱ）若抛物线y２＝２px（p>0）的焦点是椭圆错误!＋错误!＝１的一个焦点，则p＝（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．8解析：选Ｄ．由题意，知抛物线的焦点坐标为错误!，椭圆的焦点坐标为（±错误!，0），所以错误!＝错误!，解得p＝8，故选Ｄ．２．（２0２0·河北衡水三模）设F为抛物线y２＝４x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若A，B，C三点坐标分别为（１，２），（x１，y１），（x２，y２），且|错误!|＋|错误!|＋|错误!|＝１0，则x１＋x２＝（）Ａ．6 Ｂ．５Ｃ．４Ｄ．３解析：选Ａ．根据抛物线的定义，知|错误!|，|错误!|，|错误!|分别等于点A，B，C到准线x＝—１的距离，所以由|错误!|＋|错误!|＋|错误!|＝１0，可得２＋x１＋１＋x２＋１＝１0，即x１＋x２＝6．故选Ａ．３．（２0２0·河北邯郸一模）位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为５m，跨径为１２m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为（）Ａ．错误!m Ｂ．错误!mＣ．错误!m Ｄ．错误!m解析：选Ｄ．建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线的解析式为x２＝—２py，p＞0，因为抛物线过点（6，—５），所以３6＝１0p，可得p＝错误!，所以桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为错误!m．故选Ｄ．４．（２0２0·河南安阳三模）已知抛物线C：y２＝２px（p＞0）的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为P，点A在抛物线C上，过点A作AA′⊥l，垂足为A′.若四边形AA′PF的面积为１４，且cos∠FAA′＝错误!，则抛物线C的方程为（）Ａ．y２＝xＢ．y２＝２xＣ．y２＝４xＤ．y２＝8x解析：选Ｃ．过点F作FF′⊥AA′，垂足为F′.设|AF′|＝３x，因为cos∠FAA′＝错误!，故|AF|＝５x，则|FF′|＝４x，由抛物线定义可知，|AF|＝|AA′|＝５x，则|A′F′|＝２x＝p，故x＝错误!.四边形AA′PF的面积S＝错误!＝错误!＝１４，解得p＝２，故抛物线C的方程为y２＝４x.５．已知直线y＝k（x＋２）（k＞0）与抛物线C：y２＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝２|FB|，则k＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．设抛物线C：y２＝8x的准线为l，易知l：x＝—２，直线y＝k（x＋２）恒过定点P（—２，0），如图，过A，B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，由|FA|＝２|FB|，知|AM|＝２|BN|，所以点B为线段AP的中点，连接OB，则|OB|＝错误!|AF|，所以|OB|＝|BF|，所以点B的横坐标为１，因为k＞0，所以点B的坐标为（１，２错误!），所以k＝错误!＝错误!.故选Ｄ．6．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝４错误!，|DE|＝２错误!，则C的焦点到准线的距离为________．解析：由题意，不妨设抛物线方程为y２＝２px（p＞0），由|AB|＝４错误!，|DE|＝２错误!，可取A错误!，D错误!，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得错误!＋8＝错误!＋５，得p＝４．答案：４7．过抛物线C：y２＝２px（p＞0）的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若|MN|＝|AB|，则l的斜率为________．解析：设抛物线的准线为m，分别过点A，N，B作AA′⊥m，NN′⊥m，BB′⊥m，垂足分别为A′，N′，B′.因为直线l过抛物线的焦点，所以|BB′|＝|BF|，|AA′|＝|AF|.又N是线段AB的中点，|MN|＝|AB|，所以|NN′|＝错误!（|BB′|＋|AA′|）＝错误!（|BF|＋|AF|）＝错误! |AB|＝错误!|MN|，所以∠MNN′＝60°，则直线MN的倾斜角为１２0°.又MN⊥l，所以直线l的倾斜角为３0°，斜率是错误!.答案：错误!8．（一题多解）已知点M（—１，１）和抛物线C：y２＝４x，过C的焦点且斜率为k的直线与C 交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．解析：法一：由题意知抛物线的焦点为（１，0），则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k（x—１）（k≠0），由错误!消去y得k２（x—１）２＝４x，即k２x２—（２k２＋４）x＋k２＝0，设A（x１，y），B（x２，y２），则x１＋x２＝错误!，x１x２＝１．由错误!消去x得y２＝４错误!，即y２—错误!y—４１＝0，则y１＋y２＝错误!，y１y２＝—４，由∠AMB＝90°，得错误!·错误!＝（x１＋１，y１—１）·（x２＋１，y２—１）＝x１x２＋x１＋x２＋１＋y１y２—（y１＋y２）＋１＝0，将x１＋x２＝错误!，x１x２＝１与y＋y２＝错误!，y１y２＝—４代入，得k＝２．１法二：设抛物线的焦点为F，A（x１，y１），B（x２，y２），则错误!所以y错误!—y错误!＝４（x１—x），则k＝错误!＝错误!，取AB的中点M′（x0，y0），分别过点A，B作准线x＝—１的垂线，垂足分别２为A′，B′，又∠AMB＝90°，点M在准线x＝—１上，所以|MM′|＝错误!|AB|＝错误!（|AF|＋|BF|）＝错误!（|AA′|＋|BB′|）．又M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴，且y0＝１，所以y１＋y２＝２，所以k＝２．答案：２9．已知过抛物线y２＝２px（p>0）的焦点，斜率为２错误!的直线交抛物线于A（x１，y１），B（x，y２）（x１<x２）两点，且|AB|＝9．２（１）求该抛物线的方程；（２）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若错误!＝错误!＋λ错误!，求λ的值．解：（１）由题意得直线AB的方程为y＝２错误!·错误!，与y２＝２px联立，消去y有４x２—５px＋p２＝0，所以x１＋x２＝错误!.由抛物线定义得|AB|＝x１＋x２＋p＝错误!＋p＝9，所以p＝４，从而该抛物线的方程为y２＝8x.（２）由（１）得４x２—５px＋p２＝0，即x２—５x＋４＝0，则x１＝１，x２＝４，于是y１＝—２错误!，y２＝４错误!，从而A（１，—２错误!），B（４，４错误!），设C（x３，y３），则错误!＝（x３，y３）＝（１，—２错误!）＋λ（４，４错误!）＝（４λ＋１，４错误!λ—２错误!）．又y错误!＝8x３，所以[２错误!（２λ—１）]２＝8（４λ＋１），整理得（２λ—１）２＝４λ＋１，解得λ＝0或λ＝２．１0．（２0２0·河北衡水二模）已知抛物线C：x２＝２py（p＞0）的焦点为F，点M（２，m）（m ＞0）在抛物线上，且|MF|＝２．（１）求抛物线C的方程；（２）若点P（x0，y0）为抛物线上任意一点，过该点的切线为l0，证明：过点F作切线l0的垂线，垂足必在x轴上．解：（１）由抛物线的定义可知，|MF|＝m＋错误!＝２，１又M（２，m）在抛物线上，所以２pm＝４，２由１２解得p＝２，m＝１，所以抛物线C的方程为x２＝４y.（２）证明：１当x0＝0，即点P为原点时，显然符合；２x0≠0，即点P不在原点时，由（１）得，x２＝４y，则y′＝错误!x，所以抛物线在点P处的切线的斜率为错误!x0，所以抛物线在点P处的切线l0的方程为y—y0＝错误!x0（x—x0），又x错误!＝４y0，所以y—y0＝错误!x0（x—x0）可化为y＝错误!x0x—y0.又过点F且与切线l0垂直的方程为y—１＝—错误!x.联立方程得错误!消去x，得y＝—错误!（y—１）x错误!—y0.（*）因为x错误!＝４y0，所以（*）可化为y＝—yy0，即（y0＋１）y＝0，由y0＞0，可知y＝0，即垂足必在x轴上．综上，过点F作切线l0的垂线，垂足必在x轴上．[综合题组练]１．（２0２0·陕西西安一模）已知F为抛物线C：y２＝6x的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B 两点，且|AF|＝３|BF|，则|AB|＝（）Ａ．6 Ｂ．8Ｃ．１0 Ｄ．１２解析：选Ｂ．抛物线y２＝6x的焦点坐标为错误!，准线方程为x＝—错误!，设A（x１，y１），B（x２，y２），因为|AF|＝３|BF|，所以x１＋错误!＝３错误!，所以x１＝３x２＋３，因为|y１|＝３|y２|，所以x１＝9x２，所以x１＝错误!，x２＝错误!，所以|AB|＝错误!＋错误!＝8．故选Ｂ．２．过抛物线y２＝４x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝３，则△AOB的面积为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．２错误!解析：选Ｃ．由题意设A（x１，y１），B（x２，y２）（y１>0，y２<0），如图所示，|AF|＝x１＋１＝３，所以x１＝２，y１＝２错误!.设AB的方程为x—１＝ty，由错误!消去x得y２—４ty—４＝0．所以y１y２＝—４，所以y２＝—错误!，x２＝错误!，所以S△AOB＝错误!×１×|y１—y２|＝错误!，故选Ｃ．３．（２0２0·江西九江二模）已知抛物线C：x２＝４y的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，连接AF并延长交抛物线C于点D，若AB中点的纵坐标为|AB|—１，则当∠AFB最大时，|AD|＝（）Ａ．４Ｂ．8Ｃ．１6 Ｄ．错误!解析：选Ｃ．设A（x１，y１），B（x２，y２），D（x３，y３），由抛物线定义得y１＋y２＋２＝|AF|＋|BF|，因为错误!＝|AB|—１，所以|AF|＋|BF|＝２|AB|，所以cos∠AFB＝错误!＝错误!≥错误!＝错误!，当且仅当|AF|＝|BF|时取等号．所以当∠AFB最大时，△AFB为等边三角形，联立错误!消去y得，x２—４错误!x—４＝0，所以x１＋x３＝４错误!，所以y１＋y３＝错误!（x１＋x３）＋２＝１４．所以|AD|＝１6．故选Ｃ．４．已知直线y＝a交抛物线y＝x２于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则实数a的取值范围为________．解析：如图，设C（x0，x错误!）（x错误!≠a），A（—错误!，a），B（错误!，a），则错误!＝（—错误!—x0，a—x错误!），错误!＝（错误!—x0，a—x错误!）．因为CA⊥CB，所以错误!·错误!＝0，即—（a—x错误!）＋（a—x错误!）２＝0，（a—x错误!）（—１＋a—x错误!）＝0，所以x错误!＝a—１≥0，所以a≥１．答案：[１，＋∞）５．已知抛物线的方程为x２＝２py（p>0），其焦点为F，点O为坐标原点，过焦点F作斜率为k（k≠0）的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M.（１）求错误!·错误!；（２）设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为错误!p２，求直线AB的斜率k.解：（１）设直线AB的方程为y＝kx＋错误!，A（x１，y１），B（x２，y２），由错误!得x２—２pkx—p２＝0，则错误!所以y１·y２＝错误!，所以错误!·错误!＝x１·x２＋y１·y２＝—错误!p２.（２）由x２＝２py，知y′＝错误!，所以抛物线在A，B两点处的切线的斜率分别为错误!，错误!，所以直线AM的方程为y—y１＝错误!（x—x１），直线BM的方程为y—y２＝错误!（x—x２），则可得M错误!.所以k MF＝—错误!，所以直线MF与AB相互垂直．由弦长公式知，|AB|＝错误!|x１—x２|＝错误!·错误!＝２p（k２＋１），用—错误!代替k得，|CD|＝２p错误!，四边形ACBD的面积S＝错误!·|AB|·|CD|＝２p２错误!＝错误!p２，解得k２＝３或k２＝错误!，即k＝±错误!或k＝±错误!.6．已知抛物线C：x２＝２py（p＞0）和定点M（0，１），设过点M的动直线交抛物线C于A，B 两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.（１）若N在以AB为直径的圆上，求p的值；（２）若△ABN的面积的最小值为４，求抛物线C的方程．解：设直线AB：y＝kx＋１，A（x１，y１），B（x２，y２），将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x２—２pkx—２p＝0，则x１＋x２＝２pk，x１x２＝—２p.１（１）由x２＝２py得y′＝错误!，则A，B处的切线斜率的乘积为错误!＝—错误!，因为点N在以AB为直径的圆上，所以AN⊥BN，所以—错误!＝—１，所以p＝２．（２）易得直线AN：y—y１＝错误!（x—x１），直线BN：y—y２＝错误!（x—x２），联立，得错误!结合１式，解得错误!即N（pk，—１）．|AB|＝错误!|x２—x１|＝错误!错误!＝错误!错误!，点N到直线AB的距离d＝错误!＝错误!，则△ABN的面积S△ABN＝错误!·|AB|·d＝错误!≥２错误!，当k＝0时，取等号，因为△ABN的面积的最小值为４，所以２错误!＝４，所以p＝２，故抛物线C的方程为x２＝４y.。
2016届数学一轮(理科)北师大版课时作业第九章平面解析几何-7含答案
第 7讲双曲线基础稳固题组(建议用时： 40 分钟 )一、选择题x2y21． (2015 ·西安调研 )设双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2 3，则双曲线的渐近线方程为()1B． y＝±2A ．y＝± x2x2C．y＝± 2x D． y＝±2x分析由于 2b＝2，所以 b＝1，由于 2c＝2 3，所以 c＝3，所以 a＝c2－b2b2＝2，所以双曲线的渐近线方程为 y＝± x＝± x，应选 B.a2答案 Bx2y22． (2014 ·纲领全国卷 )双曲线C：a2－b2＝ 1(a＞ 0， b＞ 0)的离心率为 2，焦点到渐近线的距离为3，则 C 的焦距等于()A ．2B． 22C．4D． 42c1223分析由已知，得 e＝a＝ 2，所以 a＝2c，故 b＝ c － a＝2 c，进而双曲线的渐近线方程为b3，得3c＝3，y＝± x＝± 3x，由焦点到渐近线的距离为2 a解得 c＝ 2，故 2c＝ 4，应选 C.答案C2 3．设 F1，F2是双曲线 x2－24y＝1 的两个焦点， P 是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF 2|，则△ PF 1F 2 的面积等于 ( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48|PF 1 |－|PF 2|＝2， |PF 1|＝8， 分析由可解得3|PF 1 |＝4|PF 2|，|PF 2|＝6.又由 |F 1F 2|＝ 10 可得△PF 1F 2 是直角三角形，答案 C4．(2014 ·山东卷 )已知 a>b>0，椭圆 C 1的方程为x 2 y 2 x 22＋ 2＝1，双曲线 C 2 的方程为 2－a bay 23的渐近线方程为()2＝1，C 1 与 C 2 的离心率之积为 2 ，则 C 2bA ．x ± 2y ＝ 0 B. 2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝ 0D ． 2x ±y ＝0椭圆 C 1 的离心率为a 2－ b2a 2＋b 2分析a，双曲线 C 2 的离心率为a，所以a 2－b 2 a 2＋b 2344 3 44 4a· a＝ 2 ，所以 a －b ＝ 4a ，即 a ＝4b ，所以 a ＝ 2b ，所以双1曲线 C 2 的渐近线方程是 y ＝ ± x ，即 x ± 2y ＝0.2答案A225．(2014 ·重庆卷 )设 F 1，F 2 分别为双曲线x2－y 2＝ 1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲a b线上存在一点 P 使得 |PF 1 ＋2 ＝3b，1| |PF ·2 9| |PF | |PF |＝4ab ，则该双曲线的离心率为( ) 45A. 3B.39C.4 D ． 3分析由双曲线的定义得 ||PF 1|－|PF 2 ||＝2a ，又 |PF 1|＋ |PF 2|＝ 3b ， 所以 (|PF 1 |＋ |PF 2|)2 － (|PF 1| － |PF 2|)2 ＝ 9b 2 － 4a 2 ， 即2 24|PF 1| |PF ·2|＝9b －4a ， 又1·2＝，所以2－2＝ ，即 b 2－ 9b 3b ＋ 1 3b －44|PF | |PF | 9ab 9b4a9ab9 aa －4＝0，则 aa＝0，b 4 b1b 2 5解得 a ＝3 a ＝－ 3舍去 ，则双曲线的离心率 e ＝ 1＋ a ＝ 3.答案B二、填空题．·北京卷 设双曲线2Cy－x 2＝1 拥有同样渐近线，则6 (2014 ) C 经过点 (2,2)，且与 4的方程为 ________；渐近线方程为 ________．分析设 C 的方程为y 2－ x2＝λλ≠ 0)，把点 (2,2)代入上式得 λ＝－ ，所以 C 的4 ( 3x 2y 2方程为 3 －12＝ 1，其渐近线方程为 y ＝±2x.答案x 2－ y 2 ＝ 1y ＝±2x312222 24，则 n．已知双曲线 x－ y＝ 1 的一个焦点是 (0,2)，椭圆 y－x＝ 1 的焦距等于 7m 3mnm＝________.分析由于双曲线的焦点 (0,2)，所以焦点在 y 轴上，所以双曲线的方程为y2－ 3m2－ x ＝ 1，即 a 2＝－ 3m ，b 2＝－ m ，所以 c 2＝－ 3m － m ＝－ 4m ＝4，解得 m ＝－my22 2－1.所以椭圆方程为 n ＋ x ＝1，且 n ＞ 0，椭圆的焦距为 4，所以 c ＝ n － 1＝ 4或 1－n ＝4，解得 n ＝5 或－ 3(舍去 )．答案 522．已知 F 为双曲线C ： x－ y＝1 的左焦点， P ，Q 为 C 上的点．若 PQ 的长等于89 16 虚轴长的 2 倍，点 A(5,0)在线段 PQ 上，则△ PQF 的周长为 ________．x 2 y 2分析 由9 －16＝1，得 a ＝ 3，b ＝4，c ＝5.∴|PQ|＝4b ＝ 16>2a.又∵A(5,0)在线段 PQ 上，∴P ，Q 在双曲线的右支上，且 PQ 所在直线过双曲线的右焦点，|PF|－|PA|＝2a ＝6，由双曲线定义知 ∴|PF|＋ |QF|＝28.|QF|－|QA|＝ 2a ＝6，∴△PQF 的周长是 |PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋ 16＝44.答案44三、解答题229．已知椭圆 D ： 50x＋25y＝1 与圆 M ：x 2＋ (y －5)2＝9，双曲线 G 与椭圆 D 有同样焦点，它的两条渐近线恰巧与圆 M 相切，求双曲线 G 的方程．解 椭圆 D 的两个焦点为 F 1(－ 5,0)，F 2(5,0)，因此双曲线中心在原点，焦点在 x 轴上，且 c ＝ 5.x 2 y 2设双曲线 G 的方程为 a 2－b 2＝ 1(a ＞ 0， b ＞ 0)，22∴渐近线方程为 bx ±ay ＝ 0 且 a ＋ b ＝25，|5a|∴b 2＋ a 2＝3，得a ＝3，b ＝4，x 2 y 2∴双曲线 G 的方程为 9 －16＝ 1.y 2 x 210．已知双曲线 a 2－b 2＝ 1(a ＞ 0，b ＞0)的一条渐近线方程为2x ＋ y ＝ 0，且极点到2 5渐近线的距离为 5 .(1)求此双曲线的方程；(2)设 P 为双曲线上一点， A ， B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、→ →二象限，若 AP ＝PB ，求△ AOB 的面积．a＝2，a ＝2，解 (1)依题意得b解得|2×0＋a|2 5 b ＝1，5＝5 ，y 2故双曲线的方程为 4 － x 2＝1.(2)由 (1)知双曲线的渐近线方程为→ →n ＞ 0，由 AP ＝PB 得点 P 的坐标为y ＝ ±2x ，设 A(m,2m)，B(－ n,2n)，此中 m ＞0，m － n2， m ＋ n .2将点 P 的坐标代入y4－ x 2＝1，整理得 mn ＝1.π设∠ AOB ＝2θ，∵ tan 2－θ＝ 2，1 4则 tan θ＝2，进而 sin 2θ＝ 5.又|OA|＝ 5m ，|OB|＝ 5n ，1∴S △AOB ＝2|OA||OB|sin 2θ＝2mn ＝ 2.能力提高题组(建议用时： 25 分钟 )x 2 y 211．过双曲线 C ：a 2－b 2＝1 的右极点作 x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线订交于点A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A ，O 两点 (O 为坐标原点 )，则 双曲线 C 的方程为()x 2 y 2x 2 y 2 A. 4 －12＝1B. 7 －9 ＝1x 2 y 2 x 2 y 2C.8 － 8 ＝ 1D. 12－ 4＝1b分析 由双曲线方程知右极点为(a,0)，不如设此中一条渐近线方程为 y ＝ a x ，所以可设点 A 的坐标为 (a ，b)．设右焦点为 F(c,0)，由已知可知 c ＝4，且 |AF|＝ 4，即 (c －a)2＋b 2＝ 16，所以有2 22 2 2 2c222 2(c －a) ＋b ＝c ，又 c ＝a＋b ，则 c ＝2a ，即 a ＝2＝ 2，所以 b ＝c － a ＝4 2 x 2 y 2 －2 ＝12.故双曲线的方程为4 －12＝ 1，应选 A.答案 Ax2y212．(2015 ·石家庄模拟 )已知点 F 是双曲线 a 2－b 2＝1(a>0，b>0)的左焦点，点 E 是该双曲线的右极点，过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是()A ．(1，＋∞ )B ． (1,2)C ．(1,1＋ 2)D ． (2,1＋ 2)分析由题意易知点 F 的坐标为 (－c,0)， A(－c ，b 2，－ ，－ b 2，，a )B( ca )E(a,0)→ →→ →b 2由于△ABE 是锐角三角形，所以 EA ·EB>0，即EA ·EB ＝(－ c － a ， a ) ·(－c －a ，－ b 2 2 4 3a )>0，整理得 3e ＋2e>e ，∴e(e － 3e －3＋1)<0，∴e(e ＋1)2(e －2)<0，解得 e ∈(0,2)，又 e>1，∴e ∈(1,2)，应选 B.答案B13．(2014 ·惠州模拟 )已知 F 1，F 2x 2 y 2分别是双曲线 a 2－b 2＝ 1(a ＞ 0， b ＞ 0)的左、右焦点，过点 F 2 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点 M 在以线段 F 1F 2 为直径的圆外， 则双曲线离心率的取值范围是 ________．分析如下图，过点 F 2且与渐近线 bb(c,0)y ＝ a x 平行的直线为 y ＝ a (x － c)，与b另一条渐近线 y ＝－ a x ，b cy＝a x－c ，x＝2，c bc 联立得b解得bc即点 M 2，－2a.y＝－a x，y＝－2a，c 2bc 2c b 2∴|OM|＝ 2 ＋－2a＝21＋a .∵点M 在以线段 F1F2为直径的圆外，∴ |OM|＞ c，c b 2b2即21＋a＞c，得 1＋a＞2.c b 2∴双曲线率心率 e＝a＝1＋a＞ 2.故双曲线离心率的取值范围是 (2，＋∞ )．答案(2，＋∞ )14.如图， O 为坐标原点，双曲线 C1x2y2y2 x2： 2－ 2＝1(a1＞0，b1＞0)和椭圆C2： 2＋ 2＝a1b1a2 b22＞b2＞0)均过点P 23，1 ，且以 C1的两个极点和 C2的两个焦点为极点的1(a3四边形是面积为 2 的正方形．(1)求 C 1， C 2 的方程；→(2)能否存在直线 l ，使得 l 与 C 1 交于 A ，B 两点，与 C 2 只有一个公共点， 且 |OA→ →＋OB|＝|AB|？证明你的结论．解 (1)设 C 2 的焦距为 2c 2，由题意知， 2c 2＝2,2a 1＝2，进而 a 1＝1，c 2＝ 1.由于点 P 2 32y 22 3 2 － 1222 3，1 在双曲线 x －＝ 1 上，所以3 ＝1.故 b 1＝3.b 1b 1 由椭圆的定义知2a 2＝2 32＋1－12＋2 3 2＋ 1＋1 2＝2 3.33于是 a 2＝3，b 22＝ a 22－ c 22＝2，故 C 1，C 2 的方程分别为 x 2－y222 ＝1，y＋ x＝1.3 3 2(2)不存在切合题设条件的直线．①若直线 l 垂直于 x 轴，由于 l 与 C 2 只有一个公共点，所以直线l 的方程为 x＝ 2或 x ＝－ 2.当 x ＝ 2时，易知 A( 2， 3)，B( 2，－ 3)，所以 →→， → ＝＋OB ＝23.|OA| 2 |AB| 2 → → →此时， |OA ＋OB ≠|AB|.|当 x ＝－→→→2时，同理可知， |OA ＋ OB ≠|AB|.|②若直线 l 不垂直于 x 轴，设 l 的方程为 y ＝kx ＋m.y ＝ kx ＋m ，由x 2－y2＝1，3得(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－3＝0. 当 l 与 C 1 订交于 A ， B 两点时，设 A(x 1，y 1 ， B(x 2， y 2 )，则 1，x 2 是上述方程) x 2km m 2＋ 3的两个实根，进而 x 1＋x 2＝3－k 2， x 1x 2＝ k 2－3 .222 23k－3m于是 y 1y 2＝k x 1x 2＋km(x 1＋ x 2)＋m ＝k 2－ 3.y ＝ kx ＋m ，得(2k 2＋3)x 2＋ 4kmx ＋2m 2－6＝0. 由 y 2 x 23 ＋2＝1，由于直线 l 与 C 2 只有一个公共点，所以上述方程的鉴别式＝16k 2m 2－8(2k 2＋3)(m 2－3)＝0.化简，得2 2→ →m 2＋3 3k 2－3m 2 － k 2－32k ＝ m － 3，所以 OA · ＝ x 1 2＋y 1 2＝2＋2＝2≠0，OBxyk －3k －3k －3→ 2→ 2 →→→2 → 2→ → ，于是 OA＋OB ＋2OA ·≠OA ＋OB －2OA ·OBOB →→ 2 →→ 2→→→即|OA ＋OB≠|OA －OB，故|OA ＋OB ≠|AB|.| ||综合①，②可知，不存在切合题设条件的直线．。
高考数学一轮复习统考 第9章 平面解析几何 第6讲 双曲线课时作业(含解析)北师大版-北师大版高三全
双曲线课时作业1．双曲线x 236－m 2－y 2m2＝1(0<m <3)的焦距为()A ．6B ．12C ．36D ．236－2m 2答案 B解析 c 2＝36－m 2＋m 2＝36，∴c ＝6.双曲线的焦距为12. 2．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点是(0,3)，则k 的值是() A ．1 B ．－1 C ．653D ．－63答案 B解析 ∵双曲线8kx 2－ky 2＝8，焦点在y 轴上，∴双曲线的标准方程为y 2－8k －x 2－1k＝1，又c ＝3，∴－8k －1k＝9，解得k ＝－1.3．(2019·某某永州模拟)焦点是(0，±2)，且与双曲线x 23－y 23＝1有相同的渐近线的双曲线的方程是()A ．x 2－y 23＝1B ．y 2－x 23＝1C ．x 2－y 2＝2 D ．y 2－x 2＝2答案 D解析 由已知，双曲线焦点在y 轴上，且为等轴双曲线，故选D ．4．(2019·某某凌源联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的顶点(a,0)到渐近线y＝b a x 的距离为b2，则双曲线C 的离心率是() A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 A解析 因为顶点(a,0)到渐近线y ＝bax 的距离d ＝ab a 2＋b2＝b 2，所以a c ＝12，所以e ＝ca ＝2.故选A ．5．(2019·某某滕州月考)已知双曲线x 225－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于()A ．23B ．1C ．2D ．4答案 D解析 由双曲线x 225－y 29＝1，知a ＝5，由双曲线定义，得|MF 2|－|MF 1|＝2a ＝10，得|MF 1|＝8，所以|NO |＝12|MF 1|＝4.6．虚轴长为2，离心率e ＝3的双曲线的两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线的一支于A ，B 两点，且|AB |＝8，则△ABF 2的周长为()A ．3B ．16＋ 2C ．12＋ 2D ．24答案 B解析 由于2b ＝2，e ＝c a＝3，∴b ＝1，c ＝3a ， ∴9a 2＝a 2＋1，∴a ＝24. 由双曲线的定义知，|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝22，① |BF 2|－|BF 1|＝22，② 由①＋②，得|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝2， 又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝8＋2，则△ABF 2的周长为16＋2，故选B ．7．(2019·全国卷Ⅲ)已知F 是双曲线C ：x 24－y 25＝1的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若|OP |＝|OF |，则△OPF 的面积为()A ．32B ．52C ．72D ．92答案 B解析 由F 是双曲线x 24－y 25＝1的一个焦点，知|OF |＝3，所以|OP |＝|OF |＝3.不妨设点P在第一象限，P (x 0，y 0)，x 0>0，y 0>0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3，x 204－y 205＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＝569，y 20＝259，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫2143，53，所以S △OPF ＝12|OF |·y 0＝12×3×53＝52.故选B ．8．过双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的右焦点F 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，使得|AB |＝6，若这样的直线有且只有两条，则a 的取值X 围是()A ．(0,1]∪(3，＋∞)B ．(0,1)∪(3，＋∞)C ．(0,1)D ．(3，＋∞)答案 B解析 若A ，B 在同一支上，则有|AB |min ＝2b 2a ＝6a；若A ，B 不在同一支上，则|AB |min ＝2a .依题意， 得6a 与2a 不可能同时等于6，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a >6，6a <6或⎩⎪⎨⎪⎧2a <6，6a>6，解得a >3或0<a <1，故选B ．9．已知点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x ＋5)2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是()A ．6B ．8C ．10D ．12答案 C解析 由题意可知点C 3，C 2分别是双曲线C 1：x 216－y 29＝1的左、右焦点，点P 在双曲线的左支上，则|PC 2|－|PC 3|＝8.|PQ |max ＝|PC 2|＋1，|PR |min ＝|PC 3|－1，所以|PQ |－|PR |的最大值为(|PC 2|＋1)－(|PC 3|－1)＝|PC 2|－|PC 3|＋2＝8＋2＝10.故选C ．10．(2019·某某豫南、豫北联考)已知直线y ＝x ＋1与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，且线段AB 的中点M 的横坐标为1，则该双曲线的离心率为()A ． 2B ． 3C ．2D ． 5答案 B解析 由题意得M (1,2)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入双曲线方程，两式相减并整理得y 21－y 22x 21－x 22＝b 2a2＝k AB ·k OM ＝2.∴b 2＝2a 2，即c 2－a 2＝2a 2，∴e ＝ 3.故选B ．11．(2020·某某某某联考)已知双曲线x 24－y 22＝1的右焦点F ，P 为双曲线左支上一点，点A (0，2)，则△APF 的周长的最小值为()A ．4＋ 2B ．4(1＋2)C ．2(2＋6)D ．6＋3 2答案 B解析 双曲线x 24－y 22＝1的右焦点为F (6，0)，设其左焦点为F ′.△APF 的周长l ＝|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2a ＋|PF ′|，要使△APF 周长最小，只需|AP |＋|PF ′|最小．如图，当A ，P ，F ′三点共线时l 取到最小值，且l min ＝2|AF |＋2a ＝4(1＋2)．故选B ．12．(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为()A ． 5B ．2C ． 3D ． 2答案 C解析 由题可知|PF 2|＝b ，|OF 2|＝c ，∴|PO |＝a . 在Rt △POF 2中，cos ∠PF 2O ＝|PF 2||OF 2|＝bc， ∵在△PF 1F 2中，cos ∠PF 2O ＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|＝bc，∴b 2＋4c 2－(6a )22b ·2c ＝b c⇒c 2＝3a 2，∴e ＝ 3.故选C ．13．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．答案x 24－y 2＝1解析 根据渐近线方程为x ±2y ＝0，可设双曲线方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(4，3)，所以42－4×(3)2＝λ，即λ＝4.故双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.14．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________．答案 y ＝±2x解析 根据已知可得，|PF 2|＝b 2a 且|PF 1|＝2b 2a ，故2b 2a －b 2a ＝2a ，所以b 2a 2＝2，ba＝2，双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .15．(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若＝，·＝0，则C 的离心率为________．答案 2解析 解法一：由＝，得A 为F 1B 的中点．又O 为F 1F 2的中点，∴OA ∥BF 2. 又·＝0，∴∠F 1BF 2＝90°. ∴|OF 2|＝|OB |，∴∠OBF 2＝∠OF 2B ． 又∠F 1OA ＝∠BOF 2，∠F 1OA ＝∠OF 2B ， ∴∠BOF 2＝∠OF 2B ＝∠OBF 2， ∴△OBF 2为等边三角形．如图1所示，∵点B 在直线y ＝－bax 上，∴－b a ＝－3，∴离心率e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝2.解法二：∵·＝0，∴∠F 1BF 2＝90°.在Rt △F 1BF 2中，O 为F 1F 2的中点，∴|OF 2|＝|OB |＝c . 如图2，作BH ⊥x 轴于H ，由l 1为双曲线的渐近线，可得|BH ||OH |＝b a ，且|BH |2＋|OH |2＝|OB |2＝c 2，∴|BH |＝b ，|OH |＝a ，∴B (a ，－b )，F 2(c,0)． 又＝，∴A 为F 1B 的中点． ∴OA ∥F 2B ，∴b a ＝bc －a，∴c ＝2a ，∴离心率e ＝c a＝2.16．(2020·某某摸底)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，且|F 1F 2|＝2b2a，P 为双曲线C 右支上一点，I 为△PF 1F 2的内心，若S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2成立，则双曲线的离心率为________，λ的值为________．答案5＋125－12解析 由F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，且|F 1F 2|＝2b2a，可得2c ＝2b 2a ＝2c 2－2a 2a ，化简得e 2－e －1＝0.∴e >1，∴e ＝1＋52.设△PF 1F 2的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，S △IPF 1＝12|PF 1|·r ，S △IPF 2＝12|PF 2|·r ，S △IF 1F 2＝12·2c ·r ＝cr ，由S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2得，12|PF 1|·r ＝12·|PF 2|·r＋λcr ，故λ＝|PF 1|－|PF 2|2c ＝a c ＝11＋52＝5－12.17．(2019·某某崇明模拟)已知点F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2b2＝1的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，∠MF 1F 2＝30°.(1)求双曲线C 的方程；(2)过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1，P 2，求·的值．解 (1)设F 2，M 的坐标分别为(1＋b 2，0)，(1＋b 2，y 0)(y 0>0)，因为点M 在双曲线C 上，所以1＋b 2－y 20b2＝1，则y 0＝b 2，所以|MF 2|＝b 2.在Rt △MF 2F 1中，∠MF 1F 2＝30°，|MF 2|＝b 2， 所以|MF 1|＝2b 2.由双曲线的定义可知，|MF 1|－|MF 2|＝b 2＝2， 故双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1.(2)由条件可知，两条渐近线分别为l 1：2x －y ＝0，l 2：2x ＋y ＝0.设双曲线C 上的点P (x 0，y 0)，两条渐近线的夹角为θ，由题意知cos θ＝13.则点P 到两条渐近线的距离分别为 |PP 1|＝|2x 0－y 0|3，|PP 2|＝|2x 0＋y 0|3.因为P (x 0，y 0)在双曲线C ：x 2－y 22＝1上，所以2x 20－y 20＝2.所以·＝|2x 0－y 0|3·|2x 0＋y 0|3·cos θ＝|2x 20－y 20|3·13＝29.18．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解 (1)∵双曲线的渐近线为y ＝±b ax ，∴a ＝b ， ∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，∴a 2＝b 2＝2， ∴双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1， ∴x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程，得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ，∴x 0＝32c ，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，c 2，将其代入双曲线方程，得34c 2a 2－14c 2b 2＝1，即34b 2c2－14a 2c 2＝a 2b 2.② 又a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式， 整理得34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0，∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0，∴(3e 2－2)(e 2－2)＝0. ∵e >1，∴e ＝2，∴双曲线的离心率为 2.19．(2019·某某模拟)已知点M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足条件|PM |－|PN |＝22，记动点P 的轨迹为W .(1)求W 的方程；(2)若A 和B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求·的最小值．解 (1)由|PM |－|PN |＝22知动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，半实轴长a ＝ 2.又焦距2c ＝4，所以半虚轴长b ＝c 2－a 2＝ 2. 所以W 的方程为x 22－y 22＝1(x ≥2)．(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2，y 1＝－y 2， 从而·＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 21－y 21＝2.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠±1)，与W 的方程联立，消去y 得(1－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0，则x 1＋x 2＝2km 1－k 2，x 1x 2＝m 2＋2k 2－1， 所以·＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝(1＋k 2)(m 2＋2)k 2－1＋2k 2m 21－k2＋m 2＝2k 2＋2k 2－1＝2＋4k 2－1. 又因为x 1x 2>0，所以k 2－1>0.所以·>2. 综上所述，当AB ⊥x 轴时，·取得最小值2.20．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，某某数m 的取值X 围．解 (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知，得a ＝3，c ＝2.由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝12(m 2＋1－3k 2)>0，可得m 2>3k 2－1且k 2≠13.①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为B (x 0，y 0)． 则x 1＋x 2＝6km 1－3k 2，x 0＝x 1＋x 22＝3km1－3k2，y 0＝kx 0＋m ＝m1－3k2.由题意，知AB ⊥MN ，∴k AB ＝m1－3k 2＋13km 1－3k2＝－1k(k ≠0，m ≠0)，整理得3k 2＝4m ＋1.②将②代入①，得m 2－4m >0，∴m <0或m >4. 又3k 2＝4m ＋1>0(k ≠0)，∴m >－14，又k 2≠13，∴m ≠0，∴m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0∪(4，＋∞)．。
北师大版高考数学一轮复习统考第9章平面解析几何高考大题冲关系列5高考解析几何中的热点题型课件
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变式训练 1 (2019·浙江高考)如图，已知点 F(1,0)为抛物线 y2＝2px(p>0) 的焦点．过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 C 在抛物线上，使得△ ABC 的重心 G 在 x 轴上，直线 AC 交 x 轴于点 Q，且 Q 在点 F 的右侧．记 △AFG，△CQG 的面积分别为 S1，S2.
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8解
[冲关策略] 处理圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两 种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几 何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量 或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不 等式方法等进行求解．
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2
题型1 最值、范围问题
角度 1 最值问题
例 1 (2020·武汉摸底)如图，已知椭圆 C 的方程
为ax22＋by22＝1(a>b>0)，双曲线ax22－by22＝1 的两条渐近线
为 l1，l2.过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l，使 l⊥l1.设直
线 l 与椭圆 C 的两个交点由上至下依次为 A，B，直线
因为点 A(x0，y0)在椭圆ax22＋by22＝1 上，
所以a2cc22＋1λ＋a2λ22＋b2c2λa1b＋2λ2＝1，
即(c2＋λa2)2＋λ2a4＝(1＋λ)2a2c2，
等式两边同除以 a4 得
(e2＋λ)2＋λ2＝e2(1＋λ)2，e∈(0,1)．
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6解
所以 λ2＝e22－－ee24，
高三数学一轮(北师大版)第九章 平面解析几何：教案+基础达标+专题整合+阶段测试卷第9章 第8节
第九章 第八节一、选择题1．到点F (0,4)的距离比它到直线y ＝－5的距离小1的动点M 的轨迹方程为( ) A ．y ＝16x 2 B ．y ＝－16x 2 C ．x 2＝16y D ．x 2＝－16y[答案] C[解析] ∵动点M 到点F (0,4)的距离比它到直线y ＝－5的距离小1，∴动点M 到点F (0,4)的距离与它到直线y ＝－4的距离相等．根据抛物线的定义可得点M 的轨迹是以F (0,4)为焦点，以直线y ＝－4为准线的抛物线，其标准方程为x 2＝16y ，故选C ．2．下列各点在方程x 2－xy ＋2y ＋1＝0表示的曲线上的是( ) A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(1，－1) D ．(1，－2)[答案] D[解析] 验证法，点(0,0)显然不满足方程x 2－xy ＋2y ＋1＝0，当x ＝1时，方程变为1－y ＋2y ＋1＝0，解得y ＝－2，∴(1，－2)点在曲线上．故选D ．3．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM →·PN →＝0，则点P 的轨迹方程为( ) A ．x 216＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝4C ．y 2－x 2＝8D ．x 2＋y 2＝8[答案] B[解析] 设点P 的坐标为(x ，y )，即PM →·PN →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝－4＋x 2＋y 2＝0，即得点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.4．若θ是任意实数，则方程x 2＋y 2cos θ＝4的曲线不可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆[答案] C[解析] ∵θ是任意实数， ∴－1≤cos θ≤1.当－1≤cos θ<0时，方程x 2＋y 2cos θ＝4为双曲线； 当cos θ＝0时，x ＝±2为两条直线；当0<cos θ<1时，方程x 2＋y 2cos θ＝4为椭圆； 当cos θ＝1时，方程x 2＋y 2＝4为圆．5．一圆形纸片的圆心为O ，点Q 是圆内异于O 的一个定点，点A 是圆周上一动点，把纸片折叠使点A 与点Q 重合，然后展开纸片，折痕CD 与OA 交于点P ，当点A 运动时，点P 轨迹为( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆[答案] A[解析] ∵折痕所在的直线是AQ 的垂直平分线，∴|P A |＝|PQ |，又∵|P A |＋|OP |＝r ，∴|PQ |＋|OP |＝r >|OQ |. 由椭圆的定义知点P 的轨迹是椭圆．6．如图所示，已知两点A (－2,0)，B (1,0)，动点P 不在x 轴上，且满足∠APO ＝∠BPO ，其中O 为坐标原点，则点P 的轨迹方程是( )A ．(x ＋2)2＋y 2＝4(y ≠0)B ．(x ＋1)2＋y 2＝1(y ≠0)C ．(x －2)2＋y 2＝4(y ≠0)D ．(x －1)2＋y 2＝1(y ≠0) [答案] C[解析] 由∠APO ＝∠BPO ，设P 点坐标为(x ，y )， 则|P APB |＝|AOBO |＝2，即|P A |＝2|PB |，∴(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2， 整理得(x －2)2＋y 2＝4，且y ≠0. 二、填空题7．已知BC 是圆x 2＋y 2＝25的动弦，且|BC |＝6，则BC 的中点的轨迹方程是________． [答案] x 2＋y 2＝16[解析] 设BC 中点为P (x ，y )，则OP ⊥BC ， ∵|OC |＝5，|PC |＝3，∴|OP |＝4，∴x 2＋y 2＝16.8．长为3的线段AB 的端点A ，B 分别在x ，y 轴上移动，动点C (x ，y )满足AC →＝2CB →，则动点C 的轨迹方程是________．[答案] x 2＋y 24＝1[解析] 由题意设A (x A,0)，B (0，y B )，AC →＝(x －x A ，y )，CB →＝(－x ，y B－y )，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x A ＝－2x ，y ＝2(y B －y )⇒⎩⎪⎨⎪⎧x A ＝3x ，y B ＝32y .由x 2A ＋y 2B ＝9⇒9x 2＋94y 2＝9⇒x 2＋y 24＝1.9．过点P (1,1)且互相垂直的两条直线l 1与l 2分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，则AB 的中点M 的轨迹方程为________．[答案] x ＋y －1＝0[解析] 设M (x ，y )，则B (0,2y )，A (2x,0)，由题意知P A →·BP →＝0， 即(2x －1，－1)(－1,2y －1)＝0，化简得x ＋y －1＝0. 三、解答题10.如图所示，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程．[解析] 设动点P 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 1，y 1)，则N 点的坐标为(2x －x 1,2y －y 1)．∵点N 在直线x ＋y ＝2上， ∴2x －x 1＋2y －y 1＝2，①又∵PQ 垂直于直线x ＋y ＝2， ∴y －y 1x －x 1＝1.即x －y ＋y 1－x 1＝0.②由①、②联立，解得⎩⎨⎧x 1＝32x ＋12y －1，y 1＝12x ＋32y －1.又Q 在双曲线x 2－y 2＝1上，∴x 21－y 21＝1，即(32x ＋12y －1)2－(12x ＋32y －1)2＝1整理得 2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0，这就是所求动点P 的轨迹方程.一、选择题1．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线[答案] A[解析] 设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1，3)， ∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎨⎧λ1＝3x ＋y 10，y 2＝3y －x 10.又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．2．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( )A ．x 29－y 216＝1B ．x 216－y 29＝1C ．x 29－y 216＝1(x >3)D ．x 216－y 29＝1(x >4)[答案] C[解析] 如图|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2， |CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x >3)． 二、填空题3．(2015·佛山模拟)在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B (－a 2，0)，C (a2，0)(a >0)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是________．[答案] 16x 2a 2－16y 23a 2＝1(x >0且y ≠0)[解析] 由正弦定理：|AB |2R －|AC |2R ＝12×|BC |2R，即|AB |－|AC |＝12|BC |，故动点A 是以B ，C 为焦点，a4为实轴长的双曲线右支．4．已知O 为坐标原点，点P 为直线l ：x ＝－1上一动点，F 点坐标为(1,0)，点Q 为PF 的中点，点M 满足MQ ⊥PF ，且MP →＝λOF →(λ∈R )，则点M 的轨迹方程为________．[答案] y 2＝4x (x ≠0)[解析] 解法一：依题意，得点M 在PF 的垂直平分线上，则|PM |＝|FM |，又MP ＝λOF →， ∴MP ∥OF ，MP ⊥l .故点M 在以F 为焦点，以l 为准线的抛物线上，∴点M 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≠0)．解法二：依题意，得点M 在PF 的垂直平分线上， 则|PM |＝|FM |，又MP →＝λOF →，MP ∥OF .设M (x ，y )，则P (－1，y )， ∴(x ＋1)2＝(x －1)2＋y 2，化简，得y 2＝4x (x ≠0)． 三、解答题5．如图，ADB 为半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆圆心，且DO ⊥AB ，Q 为线段OD 的中点，已知|AB |＝4，曲线C 过Q 点，动点P 在曲线C 上运动且保持|P A |＋|PB |的值不变．求曲线C 的方程．[解析] 如图所示，以AB ，OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，O 为原点，建立平面直角坐标系．∵动点P 在曲线C 上运动且保持|P A |＋|PB |的值不变．且点Q 在曲线C 上，∴|P A |＋|PB |＝|QA |＋|QB |＝222＋12＝25， 且|P A |＋|PB |>|AB |＝4，∴曲线C 是以原点为中心，A ，B 为焦点的椭圆． 设其长半轴为a ，短半轴为b ，半焦距为c ， 则2a ＝25，∴a ＝5，c ＝2， 从而b ＝1.∴曲线C 的方程为x 25＋y 2＝1.6．在平面直角坐标系xOy 中，己知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． [解析] (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题意知y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而得y 2＋2＝x 2＋3. ∴点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设与直线y ＝x 平行且距离为22的直线为l ：x －y ＋c ＝0，由平行线间的距离公式得c ＝±1.∴l ：x －y ＋1＝0或x －y －1＝0.与方程y 2－x 2＝1联立得交点坐标为A (0,1)，B (0，－1)． 即点P 的坐标为(0,1)或(0，－1)，代入y 2＋2＝r 2得r 2＝3.∴圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3或x2＋(y－1)2＝3.。
北师版高考数学一轮总复习课后习题 第九章 平面解析几何 课时规范练40
课时规范练40《素养分级练》P374基础巩固组1.(山东青岛模拟)设集合A={(x,y)|y=2x-3},B={(x,y)|4x-2y+5=0},则A∩B=( )A.⌀B.{(118,1 4 )}C.{(18,-114)} D.{(-18,-134)}答案:A解析:由直线4x-2y+5=0,得y=2x+52.因为直线y=2x+52与直线y=2x-3的斜率相等,截距不相等,所以两直线相互平行,故A∩B=⌀.2.(江苏无锡高三检测)在平面直角坐标系xOy中,点(0,4)关于直线x-y+1=0的对称点为( )A.(-1,2)B.(2,-1)C.(1,3)D.(3,1)答案:D解析:设点(0,4)关于直线x-y+1=0的对称点是(a,b),则{a2-b+42+1=0,b-4 a =-1,解得{a=3,b=1.3.(多选)(山东青岛高三开学考试)已知直线l 1:4+2)+5=0(m ∈R),则( )A.直线l 2过定点(-3,-1)B.当m=1时,l 1⊥l 2C.当m=2时,l 1∥l 2D.当l 1∥l 2时,两直线l 1,l 2之间的距离为1 答案:ACD解析:对于A,l 2:(m+2)+5=0(m ∈R)变形为m(x-y+2)+2x-y+5=0,令{x -y +2=0,2x -y +5=0,则{x =-3,y =-1,因此直线l 2过定点(-3,-1),故A 正确;对于B,当m=1时,l 1:4x-3y+4=0,l 2:3x-2y+7=0,4×3+(-3)×(-2)≠0,故两直线不垂直,故B 错误;对于C,当m=2时,l 1:4x-3y+4=0,l 2:4x-3y+9=0,44=-3-3≠94,故两直线平行,故C 正确;对于D,当l 1∥l 2时,则满足m+24=-(m+1)-3≠2m+54⇒m=2,此时l 1:4x-3y+4=0,l 2:4x-3y+9=0,则两直线间的距离为√42+(-3)2=1,故D 正确.故选ACD.4.已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB 反射后,再射到直线OB 上,最后经直线OB 反射后又回到P 点,则光线所经过的路程是( )A.3√3B.6C.2√10D.2√5答案:C解析:由题意直线AB 的方程为x+y=4,设P 关于直线AB 的对称点Q(a,b),则{b a-2=1,a+22+b 2=4,解得{a =4,b =2,即Q(4,2).又P 关于y 轴的对称点为T(-2,0),所以光线所经过的路程为|QT|=√(-2-4)2+(0-2)2=2√10.5.(福建福州高三检测)若直线ax+2y+1=0与直线xcos 2π3+y-1=0互相垂直,则a= . 答案:4解析:由题意得a2·cos 2π3=-1,解得a=4.6.已知直线l 过点P(-1,2),且点A(2,3),B(-4,5)到直线l 的距离相等,则直线l 的方程为 . 答案:x+3y-5=0或x=-1解析:(方法1)当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.由题意知|2k -3+k+2|√k 2+1=|-4k -5+k+2|√k 2+1,即|3k-1|=|-3k-3|,解得k=-13,所以直线l 的方程为y-2=-13(x+1),即x+3y-5=0.当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x=-1,符合题意.故所求直线l 的方程为x+3y-5=0或x=-1.(方法2)当AB ∥l 时,直线l 的斜率k=k AB =-13,则直线l 的方程为y-2=-13(x+1),即x+3y-5=0.当直线l 过AB 的中点(-1,4)时,直线l 的方程为x=-1.故所求直线l 的方程为x+3y-5=0或x=-1.综合提升组7.(湖北武汉模拟)某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x+2y+1=0和x+2y+3=0,另一组对边所在的直线方程分别为3x-4y+c 1=0和3x-4y+c 2=0,则|c 1-c 2|=( ) A.2√3 B.2√5 C.2 D.4答案:B解析:设直线x+2y+1=0与直线3x-4y+c 2=0的交点为A,联立{x +2y +1=0,3x -4y +c 2=0,解得{x =-c 2+25,y =c 2-310,故A -c 2+25,c 2-310. 同理,设直线x+2y+1=0与直线3x-4y+c 1=0的交点为B,则B -c 1+25,c 1-310,设直线x+2y+3=0与直线3x-4y+c 1=0的交点为C,则C -c 1+65,c 1-910,设直线x+2y+3=0与直线3x-4y+c 2=0的交点为D,则D -c 2+65,c 2-910.由菱形的性质可知AC ⊥BD,且AC,BD 的斜率均存在,所以k AC ·k BD =-1,则c 2-310-c 1-910-c 2+25+c 1+65·c 1-310-c 2-910-c 1+25+c 2+65=-1,即36-(c 2-c 1)24[16-(c 2-c 1)2]=-1,解得|c 1-c 2|=2√5.8.(河北大名高三检测)已知点P(-2,2),直线l:(λ+2)x -(λ+1)y -4λ-6=0,则点P 到直线l 的距离的取值范围为 . 答案:[0,4√2)解析:把直线l:(λ+2)x -(λ+1)y -4λ-6=0化为(2x-y-6)+λ(x -y-4)=0,联立{2x -y -6=0,x -y -4=0,解得{x =2,y =-2,即直线l 过定点M(2,-2).又k PM =-2-22-(-2)=-1,且λ+2λ+1×(-1)≠-1,所以直线PM 与l 不垂直,所以点P 到直线l 的距离的最大值小于|PM|=√(2+2)2+(-2-2)2=4√2,即点P 到直线l 的距离的取值范围为[0,4√2).9.(四川成都七中高三检测)已知△ABC 的顶点B(5,1),AB 边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0. (1)求直线AB 的方程.(2)在①②两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答. ①角A 的平分线所在直线方程为x+2y-13=0; ②BC 边上的中线所在的直线方程为2x-y-5=0.,求直线AC 的方程.解:(1)因为AB 边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0,所以直线AB 的斜率为k=-2.又因为△ABC 的顶点B(5,1),所以直线AB 的方程为y-1=-2(x-5),即2x+y-11=0.(2)若选①:角A 的平分线所在直线方程为x+2y-13=0, 由{2x +y -11=0,x +2y -13=0,解得{x =3,y =5,所以点A(3,5).设点B 关于x+2y-13=0的对称点B'(x 0,y 0),则{y 0-1x 0-5×(-12)=-1,x 0+52+2×y 0+12-13=0,解得{x 0=375,y 0=295,所以B'375,295.又点B'375,295在直线AC 上,所以k AC =5-2953-375=211.所以直线AC 的方程为y-5=211(x-3),即2x-11y+49=0.若选②:BC 边上的中线所在的直线方程为2x-y-5=0, 由{2x +y -11=0,2x -y -5=0,解得{x =4,y =3,所以点A(4,3).设点C(x 1,y 1),则BC 的中点在直线2x-y-5=0上,所以2×5+x 12−1+y 12-5=0,即2x 1-y 1-1=0,所以点C 在直线2x-y-1=0上.又点C 在直线x-2y-5=0上,由{x -2y -5=0,2x -y -1=0,解得{x =-1,y =-3,即C(-1,-3),所以k AC =-3-3-1-4=65.所以直线AC 的方程为y-3=65(x-4),即6x-5y-9=0.创新应用组10.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC 的顶点A(2,0),B(0,4),C(-4,0),则其欧拉线方程为 . 答案:x-y+2=0解析:设△ABC 的重心为G,垂心为H,由重心坐标公式得x=2+0+(-4)3=-23,y=0+4+03=43,所以G -23,43.由题,△ABC 的边AC 上的高线所在直线方程为x=0,直线BC:y=x+4,A(2,0),所以△ABC 的边BC 上的高线所在直线方程为y=-x+2,联立{x =0,y =-x +2⇒H(0,2).所以欧拉线GH 的方程为y-2=2-430-(-23)x,即x-y+2=0.。
高考数学(理)创新大一轮北师大通用讲义：第九章 平面解析几何 第1节 Word含解析
第1节直线的方程最新考纲 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.知识梳理1.直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角，当直线l和x轴平行时，它的倾斜角为0.②倾斜角的范围是[0，π).(2)直线的斜率①定义：当α≠90°时，一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan__α，倾斜角是90°的直线斜率不存在.②过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1.2.直线方程的五种形式[常用结论与微点提醒]1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：2.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.3.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.()(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.()解析(1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2.(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°.(3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等.答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.(2018·衡水调研)直线x－y＋1＝0的倾斜角为()A.30°B.45°C.120°D.150°解析由题得，直线y＝x＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tan α＝1，又0°≤α＜180°，故α＝45°，故选B. 答案 B3.如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析 由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－CA >0，在y 轴上的截距 －CB >0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限. 答案 C4.(教材习题改编)若过两点A (－m ，6)，B (1，3m )的直线的斜率为12，则直线的方程为________. 解析 由题意得3m －61＋m＝12，解得m ＝－2，∴A (2，6)，∴直线AB 的方程为y －6＝12(x －2)， 整理得12x －y －18＝0. 答案 12x －y －18＝05.(教材习题改编)过点P (2，3)且在两轴上截距相等的直线方程为________. 解析 当纵、横截距均为0时，直线方程为3x －2y ＝0；当纵、横截距均不为0时，设直线方程为x a ＋y a ＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a ＝5.所以直线方程为x ＋y －5＝0. 答案 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0考点一 直线的倾斜角与斜率(典例迁移)【例1】 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3(2)(一题多解)直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________.解析 (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2·cos α∈[1，3].设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]. 又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，即倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3.(2)法一 设P A 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线P A 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP ＝－3，当直线l 由P A 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－3].故斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞). 法二 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为 y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(－3－k )≤0，即(k －1)(k ＋3)≥0，解得k ≥1或k ≤－ 3. 即直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞).答案 (1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)【迁移探究1】 若将例1(2)中P (1，0)改为P (－1，0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围.解 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为 y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0， 即(3k －1)(k －3)≤0，解得13≤k ≤ 3. 即直线l 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.【迁移探究2】 若将例1(2)中的B 点坐标改为B (2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的范围.解 由例1(2)知直线l 的方程kx －y －k ＝0， ∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(2k ＋1－k )≤0， 即(k －1)(k ＋1)≤0，解得－1≤k ≤1.即直线l 倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 规律方法 1.在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k ＝tan α的单调性，当α取值在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，即由0增大到π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2时，k 由0增大到＋∞，当α取值在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，即由π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 由－∞增大到0.2.斜率的两种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率.(2)公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率.【训练1】 (2018·惠州一调)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.[0，π) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π解析 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π，故选B. 答案 B考点二 直线方程的求法【例2】 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5.解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式. 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0≤α<π)，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4). 即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知纵、横截距不为0，设直线方程为xa ＋y12－a＝1， 又直线过点(－3，4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0满足题意；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0.由点线距离公式，得|10－5k|k2＋1＝5，解得k＝34.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.规律方法 1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).【训练2】求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；(3)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.解(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0，0)和(4，1)，∴l的方程为y＝14x，即x－4y＝0.若a≠0，则设l的方程为xa＋ya＝1，∵l过点(4，1)，∴4a＋1a＝1，∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0.综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.(2)由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－34.又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3，4)，由点斜式得y －4＝±(x －3). 所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0. 考点三 直线方程的综合应用【例3】 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R ). (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程. (1)证明 直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0， 令⎩⎨⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1. ∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2，1).(2)解 由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k >0； 当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞). (3)解 由题意可知k ≠0，再由l 的方程， 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0，1＋2k ). 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12， ∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.规律方法 1.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”.2.求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.【训练3】 (一题多解)已知直线l 过点P (3，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程.解 法一 设直线方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，点P (3，2)代入得3a ＋2b ＝1≥26ab ，得ab ≥24，从而S △ABO ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时等号成立，这时k ＝－b a ＝－23， 从而所求直线方程为2x ＋3y －12＝0.法二 依题意知，直线l 的斜率k 存在且k ＜0. 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k ＜0)， 且有A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ，0，B (0，2－3k )， ∴S △ABO ＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋（－9k ）＋4（－k ）≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2（－9k ）·4（－k ） ＝12×(12＋12)＝12.当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立，即△ABO 的面积的最小值为12. 故所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0.基础巩固题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1.直线x ＝π4的倾斜角等于( ) A.0B.π4C.π2D.π解析 由直线x ＝π4，知倾斜角为π2. 答案 C2.如图中的直线l1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( ) A.k 1<k 2<k 3 B.k 3<k 1<k 2 C.k 3<k 2<k 1 D.k 1<k 3<k 2解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2. 答案 D3.(2018·景德镇模拟)若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( ) A.1±2或0B.2－52或0 C.2±52D.2＋52或0解析 由题意知k AB ＝k AC ，即a 2＋a 2－1＝a 3＋a3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a＝1±2. 答案 A4.过点(2，1)且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( ) A.x ＝2B.y ＝1C.x ＝1D.y ＝2解析 ∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为3π4，依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，∴斜率不存在，∴过点(2，1)的所求直线方程为x ＝2.答案 A5.直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析 ∵直线的斜率k ＝－1a 2＋1，∴－1≤k ＜0，则倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 答案 B6.(2018·广州质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13B.－13C.－32D.23 解析 依题意，设点P (a ，1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13. 答案 B7.(2018·西安调研)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )解析 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0.选项B 符合.答案 B8.(2018·郑州一模)已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( )A.y ＝3x ＋2B.y ＝3x －2C.y ＝3x ＋12D.y ＝－3x ＋2解析 ∵直线x －2y －4＝0的斜率为12，∴直线l 在y 轴上的截距为2，∴直线l的方程为y ＝3x ＋2，故选A.答案 A二、填空题9.已知三角形的三个顶点A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________.解析 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0.答案 x ＋13y ＋5＝010.已知直线l 过坐标原点，若直线l 与线段2x ＋y ＝8(2≤x ≤3)有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________.解析 设直线l 与线段2x ＋y ＝8(2≤x ≤3)的公共点为P (x ，y ).则点P (x ，y )在线段AB 上移动，且A (2，4)，B (3，2)，设直线l 的斜率为k .又k OA ＝2，k OB ＝23.如图所示，可知23≤k ≤2. ∴直线l 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2 11.过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________.解析 若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.若直线不过原点，设直线方程为x a ＋y a ＝1，即x ＋y ＝a .则a ＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0.答案 4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝012.设直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________.解析 直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，所以直线l 恒过定点(2，－2).答案 (2，－2)能力提升题组(建议用时：10分钟)13.已知直线l 过点(1，0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( )A.4x －3y －3＝0B.3x －4y －3＝0C.3x －4y －4＝0D.4x －3y －4＝0解析 由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0.答案 D14.(2018·成都诊断)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 B.[－1，0] C.[0，1] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 解析 由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)，则k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12. 答案 A15.(2018·福州模拟)若直线ax ＋by ＝ab (a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则该直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为________.解析 ∵直线ax ＋by ＝ab (a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立.∴直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为4.答案 416.在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆O ：x 2＋y 2＝2(x ≥0)上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是________.解析 直线OA 的方程为y ＝x ，代入半圆方程得A (1，1)，∴H (1，0)，直线HB 的方程为y ＝x －1，代入半圆方程得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，－1＋32.所以直线AB的方程为y－1－1＋32－1＝x－11＋32－1，即3x＋y－3－1＝0.答案3x＋y－3－1＝0。
北师版高考数学一轮总复习课后习题 第九章 平面解析几何 课时规范练45
课时规范练45《素养分级练》P323基础巩固组1.(辽宁大连模拟)抛物线y=14x2的焦点到准线的距离为( )A.18B.14C.1D.2答案:D解析:y=14x2⇒x2=4y⇒p=2,焦点到准线的距离是p=2.2.(全国乙,理5)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=( )A.2B.2√2C.3D.3√2答案:B解析:设点A(x A,y A),由题意知点F(1,0),则|BF|=2.由抛物线的定义知|AF|=x A+1,又|AF|=|BF|,所以x A+1=2,即x A=1,所以y A2=4.所以|AB|=√(x A-3)2+y A2=2√2.3.(山东烟台一模)已知F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点P在抛物线上且横坐标为8,O为坐标原点,若△OFP的面积为2√2,则该抛物线的准线方程为( )A.x=-12B.x=-1C.x=-2D.x=-4答案:B解析:抛物线y2=2px(p>0)的焦点F p2,0. 由y2=16p,可得y=±4√p.不妨令P(8,4√p),则S△OFP=12×p2×4√p=p√p=2√2,解得p=2.则抛物线方程为y2=4x,其准线方程为(2,2√2),焦点为F,则( )A.点M到焦点的距离为3B.直线MF与F与C交于点N,以弦MN为直径的圆与C的准线相切D.过点M与C相切的直线方程为x-2y+1=0答案:AC解析:由题意知(2√2)2=4p,解得p=2,即y2=4x,焦点F(1,0),准线到焦点的距离等于到准线的距离为2-(-1)=3,故A正确;由焦点F(1,0)知直线MF不与N中点为P,过M,N,P作准线的垂线,垂足为M',N',P',易知PP'=MM'+NN'2=MF+NF2=MN2,故以弦MN为直径的圆与C的准线相切,故C正确;由2-2×2√2+1≠0知点M不在直线x-2y+1=0上,故D错误.故选AC.5.已知动点C到点F(0,-2)比到直线y=1的距离大1,动点C的轨迹为曲线W,点A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线W上两点,若y1+y2=-8,则|AB|的最大值为( )A.10B.14C.12D.16答案:C解析:由题意可知,动点C到点F(0,-2)与到直线y=2的距离相等,曲线W 是以点F为焦点的双曲线,方程为x2=-8y.根据抛物线的定义,得|AF|+|BF|=p-(y1+y2),又y1+y2=-8,所以|AF|+|BF|=12.因为|AF|+|BF|≥|AB|,当且仅当A,F,B三点共线时,等号成立,即|AB|≤12,所以|AB|的最大值为12.6.若三个点M(3,2√6),N(2,2√3),Q(3,-2√6)中恰有两个点在抛物线y2=2px上,则该抛物线的方程为.答案:y2=8(3,2√6)在抛物线上,则Q(3,-2√6)一定也在y2=2px上,∴点M,点Q在抛物线上,点N(2,2√3)不在抛物线上,∴6p=24,4p≠12,解得p=4,∴抛物线的方程为y2=8x.7.(河北沧州二模)已知抛物线C:y 2=4F,NF.若|MF|=√3|NF|,则直线AB 的斜率为 . 答案:√3解析:如图,由题意得|AF|=|AM|,|BF|=|BN|,所以∠AMF=∠AFM=∠MFO,∠BNF=∠BFN=∠NFO.因为∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO=π,所以∠MFO+∠NFO=π2,所以MF ⊥NF.又|MF|=√3|NF|,所以∠NMF=π6,所以∠MFO=∠AFM=π3,故∠AFx=π3,所以直线AB 的斜率为tan π3=√3.8.(新高考Ⅰ,14)已知O 为坐标原点,抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,P 为C 上一点,PF 与x 轴垂直,Q 为x 轴上一点,且PQ ⊥OP.若|FQ|=6,则C 的准线方程为 . 答案:x=-32解析:∵PF ⊥x 轴,∴x P =x F =p2,将x P =p2代入y 2=2px,得y=±p.不妨设点P 在x 轴的上方,则P (p2,p),即|PF|=p.如图,由条件得,△PFO ∽△QFP, ∴|OF ||PF |=|PF ||QF |,即p 2p=p6,解得p=3.故C 的准线方程为x=-32.综合提升组9.(新高考Ⅱ,10)已知O 为坐标原点,过抛物线C:y 2=2p(p,0),若|AF|=|AM|,则( ) A.直线AB 的斜率为2√6 B.|OB|=|OF| C.|AB|>4|OF| D.∠OAM+∠OBM<180° 答案:ACD解析:选项A,由题意知,点A 为FM 的中点,则x A =p2+p 2=34p,所以y A 2=2px A =2p·34p=32p 2(y A >0).所以y A =√62p,故k AB =√62p 34p -p2=2√6,故选项A 正确;选项B,由斜率为2√6可得直线AB 的方程为x=2√6y+p2,联立抛物线方程得y 2-√6py-p 2=0,设B(x B ,y B ),则√62p+y B =√66p,则y B =-√6p3,代入抛物线方程得(-√6p3)2=2p·x B ,解得x B =p3.所以|OB|=x B2+y B 2=p 29+2p 23=7p 29≠p 24,故选项B 错误;选项C,|AB|=34p+p 3+p=2512p>2p=4|OF|,故选项C 正确; 选项D,由选项A,B 知,A34p,√62p ,Bp 3,-√63p ,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =34p,√62p ·p 3,-√63p =p 24-p 2=-34p 2<0,所以∠AOB 为钝角.又MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-p 4,√62p ·-2p3,-√63p =p 26-p 2=-56p 2<0,所以∠AMB 为钝角.所以∠OAM+∠OBM<180°. 故选项D 正确.故选ACD.10.已知抛物线x 2=2py(p>0)的焦点为F,O 为坐标原点,A(t,1)是抛物线第一象限上的点,|AF|=5,直线AF 与抛物线的另一个交点为B,则S △AOB= .答案:40解析:∵|AF|=1+p2=5,则p=8,∴抛物线方程为x 2=16y.把A(t,1)代入抛物线方程得t 2=16且t>0,则t=4. ∵A(4,1),F(0,4),则直线AF 的斜率k=1-44-0=-34,∴直线AF 的方程为y=-34x+4,即3x+4y-16=0.联立{3x +4y -16=0,x 2=16y ,解得{x =4,y =1或{x =-16,y =16,即B(-16,16).则|AB|=√(-16-4)2+(16-1)2=25,点O 到直线AF:3x+4y-16=0的距离d=|-16|√32+42=165,∴S △AOB =12|AB|×d=40.11.已知抛物线y=14x 2的焦点为F,P 为抛物线上一动点,点Q(1,1),当△PQF的周长最小时,点P 的坐标为 . 答案:1,14解析:如图,设l:y=-1是抛物线的准线,过点P 作PH ⊥l 于点H,过点Q 作QN ⊥l 于点N,则|PF|=|PH|,F(0,1),|FQ|=1,|PF|+|PQ|=|PQ|+|PH|,易知当Q,P,H 三点共线时,|PQ|+|PH|最小,且最小值为1+1=2,所以△PQF 周长的最小值为3,此时P 1,14.创新应用组12.用平行于圆锥母线的平面(不过顶点)截圆锥,则平面与圆锥侧面的交线是抛物线一部分,如图,在底面半径和高均为2的圆锥中,AB,CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径,过CD 作平行于PA 的平面α,交母线PB 于点E,则平面α与圆锥侧面的交线为抛物线,其焦点到准线的距离为( )A.12B.√2C.√22D.1答案:B解析:由题意OB=OP=OC=2,E 是母线PB 的中点,所以OE=√2.在平面CDE 内建立平面直角坐标系,如图所示,可得C(-√2,2).设抛物线的方程为y 2=mx,将C 点坐标代入可得4=-√2m,所以m=-2√2,所以抛物线的方程为y 2=-2√2x.所以焦点坐标为-√22,0,准线方程为x=√22, 所以焦点到其准线的距离为√2.。
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(建议用时：80分钟)1．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (O 为原点)．(1)求证：1a 2＋1b 2等于定值；(2)若椭圆的离心率e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22，求椭圆长轴长的取值范围．(1)证明 由⎩⎨⎧b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2，x ＋y －1＝0消去y ，得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2(1－b 2)＝0， ①∵直线与椭圆有两个交点，∴Δ＞0，即4a 4－4(a 2＋b 2)a 2(1－b 2)＞0⇒a 2b 2(a 2＋b 2－1)＞0， ∵a ＞b ＞0，∴a 2＋b 2＞1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1 、x 2是方程①的两实根． ∴x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(1－b 2)a 2＋b 2.②由OP ⊥OQ 得x 1x 2＋y 1y 2＝0， 又y 1＝1－x 1，y 2＝1－x 2， 得2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0.③ 式②代入式③化简得a 2＋b 2＝2a 2b 2.④∴1a 2＋1b 2＝2.(2)解 利用(1)的结论，将a 表示为e 的函数 由e ＝ca ⇒b 2＝a 2－a 2e 2，代入式④，得2－e 2－2a 2(1－e 2)＝0. ∴a 2＝2－e 22(1－e 2)＝12＋12(1－e 2).∵33≤e ≤22，∴54≤a 2≤32. ∵a ＞0，∴52≤a ≤62.∴长轴长的取值范围是[5，6]．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 为圆x 2＋y 2＋2x ＝0的圆心，且椭圆上的点到点F 的距离最小值为2－1. (1)求椭圆方程；(2)已知经过点F 的动直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，0，证明：MA →·MB→为定值．(1)解 化圆的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝1，则圆心为(－1,0)，半径r ＝1，所以椭圆的半焦距c ＝1.又椭圆上的点到点F 的距离最小值为2－1，所以a －c ＝2－1，即a ＝2，则b 2＝a 2－c 2＝1，故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 ①当直线l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝－1. 可求得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22，B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－22.此时，MA →·MB→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋54，22·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋54，－22＝－716. ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.因为MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋54，y 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋54，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋54⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋54＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋54(x 1＋x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫542＋k (x 1＋1)·k (x 2＋1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋54(x 1＋x 2)＋k 2＋2516＝(1＋k 2)·2k 2－21＋2k 2＋⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋54⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 21＋2k 2＋k 2＋2516 ＝－4k 2－21＋2k 2＋2516＝－2＋2516＝－716.所以，综上得MA →·MB→为定值，且定值为－716.3．(2014·新课标全国Ⅰ卷)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解 (1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1.从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1. 所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0.所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 4.如图，已知点E (m,0)(m ＞0)为抛物线y 2＝4x 内一个定点，过E 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线交抛物线于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)若m ＝1，k 1k 2＝－1，求△EMN 面积的最小值； (2)若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点． (1)解 当m ＝1时，E 为抛物线y 2＝4x 的焦点， ∵k 1k 2＝－1，∴AB ⊥CD .设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎨⎧y ＝k 1(x －1)，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1＝0， y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4.∵M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋1，2k 1， 同理，点N (2k 21＋1，－2k 1)， ∴S △EMN ＝12|EM |·|EN |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 12·(2k 21)2＋(－2k 1)2＝2k 21＋1k 21＋2≥22＋2＝4，当且仅当k 21＝1k 21，即k 1＝±1时，△EMN 的面积取得最小值4.(2)证明 设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －m )，A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝k 1(x －m )，y 2＝4x 得k 1y 2－4y －4k 1m ＝0， y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4m ，∵M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋m ，2k 1， 同理，点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 22＋m ，2k 2，∴k MN ＝k 1k 2k 1＋k 2＝k 1k 2.∴直线MN 的方程为y －2k 1＝k 1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋m ，即y ＝k 1k 2(x －m )＋2，∴直线MN 恒过定点(m,2)．5．(2015·福建质量检查)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆Г：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(2,0)，焦距为2 3. (1)求椭圆Г的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过点C (－1,0)且交椭圆Г于A ，B 两点，试探究椭圆Г上是否存在点P ，使得四边形OAPB 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解 (1)由已知得a ＝2，c ＝3，因为a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆Г的方程为x 24＋y 2＝1.(2)依题意得，直线l ：y ＝k (x ＋1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，假设椭圆Г上存在点P (x 0，y 0)使得四边形OAPB 为平行四边形，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝x 0，y 1＋y 2＝y 0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4(k 2－1)＝0， 所以x 1＋x 2＝－8k 21＋4k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2＋2)＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 21＋4k 2＋2＝2k1＋4k2.于是⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－8k 21＋4k 2，y 0＝2k 1＋4k 2，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k21＋4k 2，2k 1＋4k 2.又点P 在椭圆Г上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 21＋4k 224＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 1＋4k 22＝1，整理得4k 2＋1＝0，此方程无解．故椭圆Г上不存在点P ，使得四边形OAPB 为平行四边形．6．(2014·四川卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)；②当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标．(1)解 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2b ，2c ＝2a 2－b 2＝4， 解得a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(2)①证明 由(1)可得，F 的坐标是(－2,0)，设T 点的坐标为(－3，m )， 则直线TF 的斜率k TF ＝m －0－3－(－2)＝－m .当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m ， 直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式． 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y 22＝1，消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0， 其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0. 所以y 1＋y 2＝4mm 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3.所以PQ 的中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 2＋3，2m m 2＋3，所以直线OM 的斜率k OM ＝－m3.又直线OT 的斜率k OT ＝－m3，所以点M 在直线OT 上， 因此OT 平分线段PQ . ②解 由①可得， |TF |＝m 2＋1，|PQ |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(m 2＋1)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2] ＝(m 2＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫4m m 2＋32－4·－2m 2＋3＝24(m 2＋1)m 2＋3所以|TF ||PQ |＝124·(m 2＋3)2m 2＋1＝124·⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1＋4m 2＋1＋4≥124·(4＋4)＝33.当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF ||PQ |取得最小值． 所以当|TF ||PQ |最小时，T 点的坐标是(－3,1)或(－3，－1).。