第十一章全等三角形
人教版数学八年级上第十一章“全等三角形”简介
第十一章“全等三角形”简介课程教材研究所薛彬宋莉莉“全等三角形”一章首先让学生认识形状、大小相同的图形，给出全等三角形的概念，然后让学生探索两个三角形全等的判定方法，并利用三角形全等进行证明，最后学习角的平分线的性质及相关证明。
本章教学时间约需11课时，具体分配如下（仅供参考）：11．1 全等三角形1课时11．2 三角形全等的判定6课时11．3 角的平分线的性质2课时数学活动小结2课时一、教科书内容和课程学习目标本章知识结构框图：本章的主要内容是全等三角形，主要学习全等三角形的性质及各种三角形全等的判定方法，同时学会如何利用全等三角形进行证明。
本章分三节，第一节介绍全等形，包括三角形全等的概念，全等三角形的性质。
第二节介绍一般三角形全等的判定方法，及直角三角形全等的一个特殊的判定方法。
在第三节，利用三角形全等的判定方法证明了角平分线的性质，并利用角的平分线的性质进行证明。
学生已学过线段、角、相交线、平行线以及三角形的有关知识，七年级两册教科书中安排了一些说理的内容，这些为学习全等三角形的有关内容作好了准备。
通过本章的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识（如两个三角形满足一定的条件就完全一样了，角的平分线上的一点到角的两边的距离相等），同时为学习其他图形知识打好基础。
全等三角形是研究图形的重要工具，学生只有掌握好全等三角形的内容，并且能灵活地运用它们，才能学好四边形、圆等内容。
从本章开始，要使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式。
这既是本章的重点，也是教学的难点。
教科书把研究三角形全等条件的重点放在第一个条件（“边边边”条件）上，使学生以“边边边”条件为例，理解什么是三角形的判定，怎样判定。
在掌握了“边边边”条件的基础上，使学生学会怎样运用“边边边”条件进行推理论证，怎样正确地表达证明过程。
“边边边”条件掌握好了，再学习其他条件就不困难了。
在“三角形全等的判定”一节中，得出如下结论：三边对应相等的两个三角形全等；两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
第十一章 全等三角形小结与复习教案 新人教版
第十一章 全等三角形 全等三角形小结与复习考点呈现考点一 全等三角形的概念和性质例1 下列命题：①形状相同的三角形是全等三角形；②面积相等的三角形是全等三角形；③全等三角形的对应边相等，对应角相等；④经过平移得到的三角形与原图形是全等形.其中正确的命题有 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个解析：全等三角形是指两个完全重合的三角形，不仅形状相同，大小也相同，两者缺一不可.互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角，平移、翻折、旋转不改变图形的大小与形状，所以③④正确.故选B.点评：本题主要考查了全等三角形的概念和性质，注意把一个图形平移、旋转、折叠后得到的图形与原来的图形全等.例2 如图1，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若︒=∠64CDE ，则ADP ∠等于 （ ）A ．42°B ．48°C ．52°D ．58°解析：由题意知△C DE ≌△PDE ，所以︒=∠=∠64CDE PDE ,则︒=︒-︒-︒=∠-∠︒=∠526464180-180PDE CDE ADP .故选C.点评：本题以折叠为背景，主要考查全等三角形的性质，运用全等三角形的对应角相等结合平角的概念解决问题.考点二 三角形全等的判定例3 （2010年四川巴中）如图2，AB = AC ，要说明△ADC ≌△AEB ，需添加的条件 不能是 （ ）A ．∠B ＝∠C B. AD = AE C ．∠ADC ＝∠AEB D. DC = BE解析：已知AB =AC ，还有一个公共角∠A ，具备了一边一角的条件，可根据“SAS ”添加AD =AE ；可根据“ASA ”添加∠B =∠C ；可根据“AAS ”添加∠ADC =∠AEB ；若添加ＤC ＝ＢE ，则是 “ＳＳＡ”不能判定两个三角形全等.故选D. 点评：本题目是一道条件开放型问题，判定三角形全等的方法有“SSS 、SAS 、AAS 、ASA ”，要根据已知条件添加一条边或一个角满足以上四个判定方法即可，但是需注意添加边时，不能构成“SSA ”的形式. 例4 （2010年四川凉山州）如图3，已知∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝ ∠C ，AE ＝AF .有下列结论：①EM ＝FN ；②CD ＝DN ；③∠FAN ＝ ∠EAM ；④△ACN ≌△ABM .其中正确的有 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析：因为∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C ，AE ＝AF ，所以△AEB ≌△AFC .所以AC ＝AB, ∠EAB ＝∠FAC .在△ACN 和△ABM 中，∠C ＝∠B ，AC ＝AB ，∠CAB ＝∠BAC ，所以△ACN ≌△ABM ，④正确；因为∠EAB ＝∠FAC ，所以∠EAB －∠CAB ＝∠FAC －∠CAB ，即∠EAM ＝∠FAN ，③正确；在△EAM 和△FAN 中，∠EAM ＝∠FAN ，AE ＝AF ，∠E ＝∠F ＝90°，所以△EAM ≌△FAN . 所以A EF B CD M NEM ＝FN ，①正确；由已知条件不能判断出CD ＝DN .故正确的有3个，应选C.点评：本题主要考查三角形全等的判定，求解时应同时从题设条件和图形出发，寻求三角形全等的条件，准确判定.考点三 运用三角形全等证明线段（或角）相等例5 (2010年呼和浩特)如图4，点A ，E ，F ，C 在同一条直线上，AD ∥BC ，AD =CB ，AE =CF .求证BE =DF .分析：要证明的两条线段BE 和 DF 分别为△CBE 和△ADF 中的边，可以考虑通过证明△ADF ≌△CBE 来解决.证明：∵ AD ∥BC ，∴ ∠A ＝∠C .∵ AE ＝FC ， ∴ AF ＝CE .在△ADF 和△CBE 中，AD =CB ，∠A ＝∠C ， AF ＝CE ， ∴ △ADF ≌△CBE . ∴ BE ＝DF . 点评：如果要证明的两条线段分别是两个三角形的边时，通常可以尝试通过三角形全等进行证明.例6 （2010年北京，改编）如图5，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，EA ⊥AD ，FD ⊥AD ，EC =BF ，AB =DC ．求证∠ACE =∠DBF ．分析：要使∠ACE =∠DBF ，只要Rt △EAC ≌Rt △FDB 即可，两个三角形显然满足“HL ”．证明：∵ AB =DC , ∴ AC =DB .∵ EA ⊥AD ，FD ⊥AD ， ∴ ∠A=∠D=90°.在Rt △EAC 和Rt △FDB 中，EC =FB ，AC =DB ， ∴ Rt △EAC ≌Rt △FDB . ∴ ∠ACE =∠DBF ．点评：注意“HL ”只适用于直角三角形，而“SSS 、SAS 、ASA 、AAS ”适用于所有的三角形．考点四 三角形全等的实际应用例7 （2010年广安）某学校花台上有一块形如图6所示的三角形ABC 地砖，现已破损．管理员要对此地砖测量后再去市场加工一块形状和大小与此完全相同的地砖来换，现只有尺子和量角器，请你帮他设计一个测量方案，使其加工的地砖能符合要求，并说明理由.解析：本题是要利用尺子和量角器测量得到的数据作一个三角形与△ABC 全等，根据全等三角形的判定可以有多种测量方案. 如：⑴用量角器分别量出∠A 、∠B 的大小；⑵用尺子量出AB 的长，根据这三个数据，按照原来的位置关系加工地砖.DOBA 点评：本题是一道方案设计问题，主要考查运用三角形全等解决实际问题的能力，具有一定的开放性，主要依据“SAS 、ASA 、AAS 、SSS ”设计测量方案.考点五 角的平分线的性质例8 有下列说法：①角的平分线上任意一点到这个角两边的距离相等；②到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上；③三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等；④三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等.其中正确的有 （ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个解析：由角的平分线的性质可知①②④正确.故选C.点评：解题时要注意用角的平分线的性质，不要总是用全等去证明.例9 （2010年曲靖）如图7，在Rt△ABC 中， ∠C ＝90°，若BC ＝10，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，且BD ︰CD ＝3︰2，则点D 到线段AB 的距离为_________． 解析：要求点D 到AB 的距离，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，线段DE 长度即为所求. 因为AD 平分∠BAC ，所以DE ＝CD . 因为BD ︰CD ＝3︰2，所以4105252=⨯==BC CD ．故DE ＝CD ＝4． 点评：解决本题的而关键是运用角的平分线的性质把求点D 到线段AB 的距离转化为求线段CD 的长度.误区点拨误区一 对“对应”二字理解不深、不透例1 已知两个直角三角形中，有一锐角相等，又有一边相等，说明这两个三角形是否全等.错解：这两个三角形全等.剖析：对全等三角形判定定理中的“对应边相等”没有理解，错把边相等当成对应边相等.正解：这两个三角形不一定全等，如图1，在Rt △ABC 与Rt △EDC 中，CD =AB ，∠1=∠2，∠C =∠C =90°，显然△ABC 与△EDC 不全等.误区二 臆造全等的判定方法例2 如图2，AC 和BD 相交点于O ，且C D ∠=∠， BC AD =.求证△DAB ≌△CBA . 错解：在△DAB 和△CBA 中，AD =BC ，AB =BA ，∠D =∠C ，所以△DAB ≌△CBA .剖析：“SSA ”不能判定三角形全等，属于臆造三角形全等的判定方法导致错误. 正解：在△ODA 和△OCB 中，∠D =∠C ，∠AOD =∠BOC ，AD =BC ，所以△ODA ≌△OCB . 所以OD =OC ,OA =OB .所以OD +OB =OC +OA ，即BD =AC .在△DAB 和△CBA 中，AD =BC ，∠D =∠C ，BD =AC ,所以△DAB ≌△CBA . 误区三 忽视图形的多种情况例3 已知△ABC 和△A ′B ′C ′中，AB ＝A ′B ′，AC ＝A ′C ′，若AD ，A ′D ′分别是BC ，B ′C ′边上的高，且AD ＝A ′D ′.问△ABC 与△A ′B ′C ′是否全等？如果全等，给出证明；如果不全等，请举出反例.错解：这两个三角形全等.证明如下：如图3，在Rt △ABD 和Rt △A ′B ′D ′中，因为E DCBAB DAB ＝A ′B ′，AD ＝A ′D ′，所以Rt △ABD ≌Rt △A ′B ′D ′. 所以BD ＝B ′D ′. 同理可得DC ＝D ′C ′，所以BC ＝B ′C ′.在△ABC 和△A ′B ′C ′中，因为AB ＝A ′B ′，AC ＝A ′C ′，BC ＝B ′C ′，所以△ABC ≌△A ′B ′C ′.剖析：这两个三角形不一定全等.当这两个三角形均为钝角(或锐角)三角形时全等；若一个是锐角三角形，一个是钝角三角形时就不可能全等.正解：这两个三角形不一定全等.如图4，虽有BD ＝B ′D ′，DC ＝D ′C ′，但BC ≠B ′C ′，因此这两个三角形不全等.跟踪训练1．如果NMQ ∆∆≌MNP ，且8cm MN =，7cm PN =，6cm PM =，则MQ 的长为 （ ）A ．cm 8B ．cm 7C ．cm 6D ．cm 52．如图1，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC △≌△ 的是 （ ）A ．CB CD = B ．BAC DAC =∠∠ C ．BCA DCA =∠∠D ．90B D ==︒∠∠3．如图2，BOP CPO ∠=∠，PC ∥OA ，4=PD ，则点P 到OB的距离是 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．5A B CD图1PODCB AA ′B ′C ′D ′ABC D图3A BC D图4A ′B ′D ′4．尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA ，OB 于C ，D ，再分别以点C ，D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP △≌△的根据是 （ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS5．如果△ABC ≌△DEF ，△DEF 周长是32 cm ，DE=9cm ，EF=13 cm ，∠E=∠B ， 则AC=____ cm.6．如图3，已知AD AB =，DAC BAE ∠=∠，要使ABC △≌ADE △，可补充的条件是 ．（写出一个即可）7．如图4，ABE △和ACD △是ABC △分别沿着150BAC ∠=，则θ∠的度数是 ．8.如图5，在Rt△ABC 和Rt △BAD 中，AB 为斜边，AC =BD ，BC ，AD 相交于点E ．求证A D=BC ．9. 如图6，在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，CE BE ⊥，CE AD ⊥，垂足分别为E ，D ，且cm AD 5=，cm DE 3=，求BE 的长度．10. 如图7，正方形网格中有一个ABC △，请你在方格内画出满足条件1111A B AB BC BC ==，，1A A ∠=∠的所有的111A B C △，（形状相同算一个），并判断111A B C △与ABC △是否一定全等？你能够得到什么结ACE B D 图3CDA EBθ图4BA C图7论？跟踪训练参考答案1.B2.C3.C4.D5. 106.答案不唯一，如AC AE =或D B ∠=∠等 7．︒60 8.证明：在Rt △ABC 和Rt △BAD 中,AB =BA ,AC =BD , ∴ Rt △ABC ≌Rt △BAD . ∴ A D=BC ．9.解：∵ ︒=∠90ACB ， ∴ ︒=∠+∠90BCE ACD ． ∵ CE BE ⊥，CE AD ⊥，∴ ︒=∠=∠90CEB ADC ,︒=∠+∠90CAD ACD . ∴ ∠CAD =∠BCE . ∵ BC AC =，∴ ACD ∆≌CBE ∆.∴ cm CE AD 5==，BE CD =． ∵ )(235cm DE CE CD =-=-=． ∴ cm BE 2=. 10.解：如图所示：ABC △与111A B C △不一定全等．结论：由两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．BACB 1A 1C 1C 1B 1A 1。
人教版八年级数学上册知识点汇总框架图(最新整理)
人教版八年级上册数学知识点汇总第十一章全等三角形全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点。
对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边。
对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角。
三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性。
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
边边边（SSS ）：三边对应相等的两个三角形全等。
边角边（SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
角边角（ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
角角边（AAS ）：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
斜边、直角边（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
画法：课本第48页。
性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
1、明确命题中的已知和求证。
2、根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证。
3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
第十二章轴对称轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。
两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。
线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
1、不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对对称的性质 称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
2、对称的图形都全等。
第十一章 全等三角形及5种判定打包教案(全,实用)
第十一章 全等三角形11．1 全等三角形【学习目标】1．知道什么是全等形、全等三角形；2．能熟练找出全等三角形的对应元素，能用符号正确地表示两个三角形全等； 3．掌握全等三角形的性质． 【自能学习】一、全等形、全等三角形的概念阅读课本P 2内容，回答课本思考问题，并完成下面填空： 1．能够完全重合的两个图形叫做 ．全等图形的特征：全等图形的 和 都相同． 2．能够完全重合的两个三角形叫做 ． 二、全等三角形的对应元素及表示阅读课本P 3第一个思考及下面两段内容，完成下面填空：1． 平移 翻折 旋转甲DCABFE乙DCAB丙DCABE启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后， 变化了，•但 、 都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形 ，这也是我们通过运动的方法寻全等的一种策略．2．全等三角形的对应元素（1）对应顶点（三个）——重合的顶点 （2）对应边（三条） ——重合的边 （3）对应角（三个） ——重合的角 3．寻找对应元素的规律（1）有公共边的，公共边是对应边； （2）有公共角的，公共角是对应角； （3）有对顶角的，对顶角是对应角；（4）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （5）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （6）在两个全等三角形中，最长边对应最长边，最短边对应最短边；最大角对应最大角，最小角对应最小角．4．“全等”用“≌”表示，读作“全等于”如图甲记作：△ABC ≌△DEF 读作：△ABC 全等于△DEF 如图乙记作： 读作： 如图丙记作： 读作： 注意：两个三角形全等时，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 三、全等三角形的性质阅读课本P 3第二个思考及下面内容，完成下面填空： 全等三角形的性质：（要记下） 全等三角形的 相等； 全等三角形的 相等． 四、范例分析例1．如图1，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，说出这两个三角形中的对应边和对应角．DCABODCABE图1 图2判天地之美，析万物之理。
八年级数学上册知识梳理(11—12章)
).(, ,, SAS DEF ABC DEF ABC ∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧===∆∆ 中，与).(, , ,ASA DEF ABC DEF ABC ∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧===∆∆ 中，与 AC BFED图2八年级数学上册知识梳理第十一章 全等三角形11.1 全等三角形1.能够 的两个图形叫做全等形。
两个图形是否全等只与这两个图形的形状和大小有关，与图形所在位置无关。
2.能够 的两个三角形叫做全等三角形。
两个全等三角形中互相重合的顶点叫做对应 ，重合的角叫做对应 ，重合的边叫做对应 。
3.全等三角形的表示：全等用符号 表示，读作 。
4.全等三角形的性质有：（1）全等三角形的 相等；（2）全等三角形的 相等。
5.一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小 ，平移、翻折、旋转前后的两个图形 。
11.2 三角形全等的判定 三角形全等的识别方法 1.如图1，用文字表述“SSS ”： 。
2.如图1，用文字表述“SAS ”： 。
3.如图1，).(, , , SSS DEF ABC DEF ABC ∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧===∆∆ 中，与 A F E D C B 图1).(, , ,AAS DEF ABC DEF ABC ∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧===∆∆ 中，与用文字表述“ASA ”： 。
4.如图1，用文字表述“AAS ”： 。
5.如2，用文字表述“HL ”： 。
判断两个三角形全等的常见思路如下表：11.3角平分线的性质1.定义：角平分线是把一个角分成两个相等的角的射线。
2.角平分线的尺规作图作法。
（见课本P19）3.角平分线的性质（1）性质：角的平分线上的点到两边的 相等。
（2）符号语言：如图3，).(, , HL DEF ABC DEF Rt ABC Rt ∆≅∆∴⎩⎨⎧==∆∆ 中，与ODCPBA图3).( D,OB PD C OP AOB 角平分线的性质于，于上，在射线，点平分∴⊥⊥∠OA PC P OP（3）应用角平分线性质解题的格式的两边的距离相等）。
数学八年级上人教版第十一章全等三角形复习课件
三、解答题：
1 、 已 知 如 图 △ ABC≌△DFE ， ∠A=96º，∠B=25º，DF=10cm。
求 ∠E的度数及AB的长。
A
D
B
CE
F
2 已知如图 CD⊥AB于D，BE⊥AC于E， △ ABE≌△ACD ， ∠ C=20º， AB=10 ， AD=4，G为AB延长线上的一点。 求 ∠EBG的度数及CE的长。
C E
F
A
D BG
3如图：已知△ABC≌△ADE，BC的延长 线 交 DA 于 F ， 交 DE 于 G ， ∠ ACB=105º， ∠CAD=10º，∠D=25º。 求 ∠EAC，∠DFE，∠DGB的度数。
D
G FC
E
A
B
寻找对应元素的规律
（1）有公共边的，公共边是对应边； （2）有公共角的，公共角是对应角； （3）有对顶角的，对顶角是对应角； （4）两个全等三角形最大的边是对应边， 最小的边是对应边； （5）两个全等三角形最大的角是对应角， 最小的角是 对应角；
2、引平行线构造全等三角形
例2 如图2，已知△ABC中，AB＝AC， D在AB上，E是AC延长线上一点，且 BD＝CE，DE与BC交于点F． 求 证：DF=EF．
提示：此题辅助线作法 较多，如： ①作 DG∥AE交BC于G； ②作EH∥BA交BC的延 长线于H； 再通过 证三角形全等得DF＝ EF．
三角形中常见辅助线的作法
1.延长中线构造全等三角形
例1 如图1，已知△ABC中，AD 是△ABC的中线，AB=8，AC=6， 求AD的取值范围．
提示：延长AD至A＇，使 A＇D＝AD，连结 BA＇．根据“SAS”易证 △A＇BD≌△ACD，得AC ＝A＇B．这样将AC转移 到△A＇BA中，根据三角 形三边关系定理可解．
初二数学学习资料(学生版)
初二数学学习资料第十一章全等三角形一、全等三角形1.定义：能够完全的两个三角形叫做全等三角形。
理解：①全等三角形相等，与无关；②一个三角形经过可以得到它的全等形；③三角形全等不因发生变化而改变。
2、全等三角形有哪些性质？（1）全等三角形的相等、相等。
理解：①，最大角对最大角，最小角对最小角②，对应边对的角为对应角。
（2）全等三角形的相等、相等。
（3）全等三角形的对应边上的对应分别相等。
3、全等三角形的判定边边边：的两个三角形全等（可简写成“”)边角边: 两个三角形全等（可简写成“”)角边角: 两个三角形全等（可简写成“”)角角边: 的两个三角形全等（可简写成“”) 斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“”)4、证明两个三角形全等的基本思路：（1）已知两边：①②③（2）已知一边一角①1）2）3）②1)2)(3)已知两角①②二、角的平分线：定义：，称这条射线为这个角的平分线。
1、性质：角的平分线上的点相等.2、判定：角的内部到角的两边的的点在角的平分线上。
三、学习全等三角形应注意以下几个问题：（1) 要正确区分“”与“”，“”与“”的不同含义；（2 表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；（4）时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”（5）截长补短法证三角形全等。
四、定理推论定理复习：1. 过两点有且只有一条直线2. 两点之间线段最短3. 同角或等角的补角相等4. 同角或等角的余角相等5. 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7. 平行公理: 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8. 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9. 同位角相等，两直线平行10. 内错角相等，两直线平行11. 同旁内角互补，两直线平行12. 两直线平行，同位角相等13. 两直线平行，内错角相等14. 两直线平行，同旁内角互补15. 三角形两边的和大于第三边16. 三角形两边的差小于第三边17. 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°推论1：直角三角形的两个锐角互余推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角18. 全等三角形的对应边、对应角相等19. 边角边(SAS)：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等20. 角边角( ASA:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等推论(AAS):有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等21. 边边边(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等22. 斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等23.定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等24定理：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上推论：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合初二数学学习资料第十二章 轴对称一、轴对称图形1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够 ，那么这个图形就叫做轴对称图形。
第十一章《全等三角形》知识要点归纳
第十一章《全等三角形》知识要点归纳一、知识网络⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理二、基础知识梳理（一）基本概念1、“全等”的理解全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；（3）全等三角形周长、面积相等。
3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理证明两个三角形全等，必须根据已知条件与结论，认真分析图形，准确无误的确定对应边及对应角；去分析已具有的条件和还缺少的条件，并会将其他一些条件转化为所需的条件，从而使问题得到解决。
运用定理证明三角形全等时要注意以下几点。
1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
（1）已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等（ASA ）②任一组等角的对边相等(AAS)（2）已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等(AAS 或 ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)（三）疑点、易错点1、对全等三角形书写的错误在书写全等三角形时一定要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
初二数学上册目录完整版
初二数学上册目录Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】初二数学上册目录第十一章全等三角形11.1全等三角形11.2三角形全等的判定阅读与思考全等与全等三角形11.3角的平分线的性质教学活动小结复习题1 1 第十二章轴对称12.1轴对称12.2作轴对称图形12.3等腰三角形教学活动小结复习题1 2 第十三章实数13.1平方根13.2立方根13.3实数教学活动小结复习题1 3 第十四章一次函数14.1变量与函数14.2一次函数14.3用函数观点看方程（组）与不等式14.4课题学习选择方案教学活动小结复习题1 4 第十五章整式的乘除与因式分解15.1整式的乘法15.2乘法公式15.3整式的除法教学活动小结复习题1 5 部分中英文词汇索引初二数学下册目录第十六章分式16.1分式16.2分式的运算阅读与思考容器中的水能倒完吗16.3分式方程数学活动小结复习题1 6 第十七章反比例函数17.1反比例函数信息技术应用探索反比例函数的性质17.2实际问题与反比例函数阅读与思考生活中的反比例关系数学活动小结复习题17 第十八章勾股定理18.1勾股定理阅读与思考勾股定理的证明18.2勾股定理的逆定理数学活动小结复习题18 第十九章四边形19.1平行四边形阅读与思考平行四边形法则19.2特殊的平行四边形实验与探究巧拼正方形19.3梯形观察与猜想平面直角坐标系中的特殊四边形19.4课题学习重心数学活动小结复习题19 第二十章数据的分析20.1数据的代表20.2数据的波动信息技术应用用计算机求几种统计量阅读与思考数据波动的几种度量20.3课题学习体质健康测试中的数据分析数学活动小结复习题20。
第十一章 全等三角形和轴对称
第6题第7题8．如图，若△ABC DEF，AB＝2cm，则下列结论一定正确的是( )．2cmB'，DCB ，若∠1与∠2是对应角、写出其他各对应角、对应边(用“＝”，并说明理由． 等的条件顺序是A. C. °，.，? ..，）∠CAE=∠CDE 随堂练习1.证△DBC=( )(1)AB=CD ,(2) AD=BC”、求证：AE//CF第3题已知：如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥_______可证明Rt△____，从而有：（1）BD＝______；_____，∠B_____，．如图，已知∠ACB=∠BDA=90°,若要使△的延长线于F.求证：AE=AFC.30°D.45°第2题≌AD若FD3题 45．根据下列已知条件，的是（），⊥︰54题中，∠C=90°，∠A、，ID⊥AB于D.若AB=5，E，lACA ．1组B ．2组C ．3组D ．4组） ， BC3．如图所示的图案中，是轴对称图形且有两条对称轴的是（ ）4．把一个图形沿某一条直线_________，如果它能够与另一个图形________，•那么就说这两个图形关于这条直线____________． 5．如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两与△AEDBC 平，观察你所得的图案．位于折痕两侧的部分有什么关系？．）个）10．如图，已知点M、N和∠AOB，求作一点P，使P到点M、N的距离相等，•且到∠AOB的两边的距离相等．AM向，．．1），。
的正方形沿的对）12.如图所示实际时间是请° ° ．．⊥的0，AE 是等腰三角形。
ABF，．16点，。
八年级上册数学总复习
八年级上册数学总复习初二上册数学全册第十一章全等三角形综合复习人教新课标版1.全等三角形的概念及性质；2.三角形全等的判定；3.角平分线的性质及判定。
知识点一：证明三角形全等的思路通过对问题的分析，将解决的问题归结到证明某两个三角形的全等后，采用哪个全等判定定理加以证明，可以按下图思路进行分析：找夹角SAS已知两边找第三边SSS找直角HL边为角的对边找任一角AAS找夹角的另一边SAS已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角ASA找边的对角AAS找夹边ASA已知两角找任一对边AAS和切记：“有三个角对应相等”“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。
例1.如图，A,F,E,B四点共线，ACCE，，AEBF，ACBD。
求证：ACFBDE。
BDDF知识点二：构造全等三角形例2.例3.如图，在ABC中，ABBC，ABC90F为AB延长线上一点，点E在BC上，BEBF如图，在ABC中，BE是∠ABC的平分线，ADBE，垂足为D。
求证：21C。
，连接AE,EF和CF。
求证：AECF。
知识点三：常见辅助线的作法1.连接四边形的对角线例4.如图，AB//CD，AD//BC，求证：ABCD。
2.作垂线，利用角平分线的知识例5.如图，AP,CP分别是ABC外角MAC和NCA的平分线，它们交于点P。
求证：BP为MBN的平分线。
例6.如图，D是ABC的边BC上的点，且CDAB，ADBBAD，AE是ABD的中线。
求证：AC2AE。
4.“截长补短”构造全等三角形例7.如图，在ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点。
求证：ABACPBPC。
解答过程：法一：在AB上截取ANAC，连接PN在APN与APC中ANAC12APAPAPNAPCPNPC(SAS)在BPN中，PBPNBNPBPCABAC，即AB－AC>PB－PC。
法二：延长AC至M，使AMAB，连接PM在ABP与AMP中ABAM12APAPABPAMP(SAS)PBPM在PCM中，CMPMPCABACPBPC。
(完整版)全等三角形的基础和经典例题含有答案
第十一章：全等三角形一、基础知识1.全等图形的有关概念（1）全等图形的定义能够完全重合的两个图形就是全等图形。
例如：图13-1和图13—2就是全等图形图13-1图13—2(2）全等多边形的定义两个多边形是全等图形,则称为全等多边形。
例如：图13—3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。
图13-3 图13-4（3）全等多边形的对应顶点、对应角、对应边两个全等的多边形,经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角.（4）全等多边形的表示例如：图13—5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE≌五边形A’B’C’D’E’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。
图13—5表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置.（5）全等多边形的性质全等多边形的对应边、对应角分别相等。
（6)全等多边形的识别多边形相等、对应角相等的两个多边形全等。
2.全等三角形的识别 (1）根据定义若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。
(2)根据SSS如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等.相似三角形的识别法中有一个与(SSS ）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时,就成为全等三角形。
(3）根据SAS如果两个三角形有两边机器夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS ）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。
（4）根据ASA如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等.A BDC E B'A’ C ’D ’E’（5)根据AAS如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
3.直角三角形全等的识别(1）根据HL如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
初中数学(人教版)八年级上知识点最全总结
初中数学（人教版）八年级上知识点最全总结第十一章全等三角形一．知识框架二．知识概念1. 全等三角形：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。
2 ．全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。
3. 三角形全等的判定公理及推论有：（1 ）“ 边角边” 简称“SAS”（2 ）“ 角边角” 简称“ASA”（3 ）“ 边边边” 简称“SSS”（4 ）“ 角角边” 简称“AAS”（5 ）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL ）。
4. 角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。
5. 证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式( 顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题). 在学习三角形的全等时，教师应该从实际生活中的图形出发，引出全等图形进而引出全等三角形。
通过直观的理解和比较发现全等三角形的奥妙之处。
在经历三角形的角平分线、中线等探索中激发学生的集合思维，启发他们的灵感，使学生体会到集合的真正魅力。
第十二章轴对称一．知识框架二．知识概念1. 对称轴：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。
2. 性质：（1 ）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
（2 ）角平分线上的点到角两边距离相等。
（3 ）线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
（4 ）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
（5 ）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
3. 等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角）4. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。
第十一章 全等三角形
第十一章全等三角形11．1 全等三角形知识点1 全等形的概念例1 观察图中的备个图形，指出其中的全等形．答案：解①和⑧，②和④，⑥和⑦是全等形．点睛：在判断两个图形是否为全等形时，只要将它们放在一起，看能否完全重合即可．本题中①和⑧，②和④，⑥和⑦分别是全等形，各组图形的形状完全相同，通过平移、旋转、翻折等变换能使两个图形完全重合．知识点2 全等三角形及其对应元素的概念例2 如图，△ABC≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角．答案：解 AB与AC、AE与AD、BE与CD是对应边，∠BAE与∠CAD是对应角．点睛：(1)在两个全等三角形中，最长边与最长边、最短边与最短边、最大角与最大角、最小角与最小角是对应元素．(2)公共角、对顶角必为对应角，公共边必为对应边．(3)对应边所对的角是对应角，对应边所夹的角是对应角；对应角所对的边是对应边，对应角所夹的边是对应边．知识点3 全等三角形的性质例3 如图，△ABD≌△CDB，且AB、CD是对应边，下面四个结论中不正确的是( )A．△ABD和△CDB的面积相等 B．△ABD和△CDB的周长相等C ．∠4+∠ABD=∠C+∠CBD D．AD∥BC 且AD=BC答案：C点睛：由于△ABD 和△CDB 是全等的，所以这两个三角形完全重合．故面积相等．A 正确；由全等三角形的三对对应边相等，故周长相等，即B 正确；∠4与∠C 是对应角，但∠ABD 与∠CBD 不是对应角，故这两个角不一定相等．所以C 不正确：AD 与BC 是对应边，所以AD=BC ；∠ADB 与∠CBD 是对应角，所以∠ADB=∠CBD．故AD∥BC．即D 正确，本题选C ．知识点4 全等变换例4 如图，将△ABC 绕其顶点A 顺时针旋转30°后得到△ADE ．(1)△ABC 与△ADE 的关系如何?(2)求∠BAD 的度数．答案： 解 (1)由题意可得△ABC ≌△ADE ．(2)∵△ABC≌△ADE ．∴∠BAC=∠DAE ．∴∠BA D=∠DA E-∠BA E=∠DA E-(∠BA C-∠EA C)=∠EAC=30°．故∠BAD=30°．点睛：旋转变换是一种重要的全等变换，旋转前后的图形是全等的．典型题解例 1 如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，试求∠DFB 和∠DGB 的度数．答案： 解 ∵△ABC≌△ADE，∴ ∠DAE=∠BAC．∴∠DAE=∠BAC=12(∠EAB -∠CAD)=12(120°-10°)=55°． ∴ ∠DFB=∠FAB+∠B=∠FAC+∠CAB+∠B=10°+55°+25°=90°．∠DGB=∠DFB -∠D=90°-25°=65°.∴∠DFB 和∠DGB 的度数分别为90°和65°．点睛：根据全等三角形对应角相等的性质并结合三角形的内角和定理进行计算求解．例2 如图，△ACF≌△DBE，∠E=∠F，若AD=11，BC=7，求线段AB 的长．答案：解∵△ACF≌△DBE，∴AC=DB．∴AC -BC=DB-BC ，∴AB=DC．又AD=11，BC=7．∴AB=DC=12 (AD-BC)= 12×4=2。
八年级上册第十一章三角形
八年级上册第十一章三角形
八年级上册第十一章主要讲述了三角形的性质和应用。
这一章节的内容包括以下几个方面：
1.三角形的定义：三角形是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。
2.三角形的表示：三角形可以用三个大写字母表示其三个顶点，如三角形ABC，其中A、B、C分别表示三个顶点。
边ab可以用边ab所对的角C 的小写字母c表示，如ac、bc。
3.三角形的性质：三角形内角和为180度，角平分线定理，三角形的三边关系（三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）等。
4.三角形的分类：根据角度大小，三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
5.三角形的全等：如果两个三角形的三边分别相等，那么这两个三角形就是全等的。
全等三角形具有相同的形状和大小。
6.三角形的相似：如果两个三角形的对应角度相等，那么这两个三角形就是相似的。
相似三角形具有相同的形状，但大小不一定相同。
7.三角形的应用：三角形在实际生活中的应用，如测量、建筑、物理等领域的运用。
8.三角形的解题方法：学会利用三角形性质和全等、相似三角形解决实际问题。
八年级数学十一章全等三角形
全等三角形（1）一．知识点：1．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 含义：形状相同，大小相等. 2．符号：“≌”3．对应（边、角、顶点）：重合的边、重合的角，重合的顶点 4．全等三角形的性质：⑴全等三角形的对应边相等. ⑵全等三角形的对应角相等. ⑶全等三角形的周长、面积相等.二．例题：如图，ABC ∆≌ADE ∆，︒=∠30EAC ，求BAD ∠的度数.三．练习：1．如图，ABC ∆≌CDA ∆，并且AD BC =，则下列结论错误的是（ ） A ．21∠=∠ B ．CD AB = C ．D B ∠=∠ D ．DC AC =第1题 第2题 第3题2．如图，ABC ∆≌BAD ∆，A 和B ，C 和D 分别是对应顶点，若6=AB ，4=AC ，5=BC ，则AD 的长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．以上都不对3．如图，ABC Rt ∆沿直角边BC 所在直线向右平移得到DEF ∆，下列结论错误的事（ ） A ．ABC ∆≌DEF ∆ B ．︒=∠90DEF C ．DF AC = D ．CF EC =4．在ABC ∆中，C B ∠=∠，与ABC ∆全等的三角形有一个角为︒100，则ABC ∆中与这个︒100角对应相等的角是（ ）A ．A ∠B ．B ∠C ．C ∠D ．B ∠或C ∠5．如图，ABC ∆沿边BC 所在直线向右平移线段BC 的长后与ECD ∆重合，则ABC ∆≌ ；相等的边有 ，相等的角有 .第5题 第6题6．如图，若OAD ∆≌OBC ∆，且︒=∠65O ，︒=∠20C ，则OAD ∠= .7．ABC ∆≌C B A '''∆，且6=AB ，7=BC ，8=CA ，则C B A '''∆的周长为 . 8．已知ABC ∆≌DEF ∆，3=AB ，6=AC ，若DEF ∆的周长为偶数，则EF = .9．如图，ABC ∆≌DEF ∆，且A 、D 、B 、E 在同一条直线上，试找出图中互相平行的线段，并说明理由.10．如图，已知ABC ∆≌EBD ∆，求证：21∠=∠四．强化练习：1.如图，ABC ∆≌ADE ∆，BC 与DE ，AC 与AE 是对应边，则E ∠等于（ ） A ．CAE ∠ B ．B ∠ C ．C ∠ D ．D ∠2.如图，ABC ∆≌BAD ∆，A 和B ，C 和D 分别为对应顶点，若6=AB cm ，7=BD cm ，cm AD 4=，则BC 的长为（ ）A ．6cmB ．5cmC ．4cmD ．不确定第1题 第2题 第3题 第4题3.如图，ABC ∆≌ADC ∆，则与ACB ∠相等的角是（ ） A ．ACD ∠ B ．D ∠ C ．BAC ∠ D ．CAD ∠4.如图，D 是BC 上的点，ABD ∆≌ACD ∆，则ADB ∠的度数为（ ） A ．︒80 B ． ︒90 C ．︒100 D ．︒1105.如图，ABE ∆≌ACD ∆，21∠=∠，C B ∠=∠.求证：CAE BAD ∠=∠6.如图，ABC ∆≌EFC ∆，B 、C 、E 在同一条直线上，且cm BC 3=，cm CE 4=，︒=∠52EFC . 求AF 的长和A ∠的度数.7.如图，长方形ABCD 沿AE 折叠，使得点D 落在BC 边上的点F 处，且︒=∠50BAF .求DAE ∠的度数.8.如图，点A、E、B、F在同一条直线上，ABC∆≌FED∆.⑴判断AC与DF的位置关系，并说明理由；⑵判断AE与BF的数量关系，并说明理由.9. 如图，ABC∠110=B，试判断ACE∆的形状，并说明理由.=BAC，︒∆，︒∆≌EDC∠25全等三角形（2）一．全等三角形的判定1：三边对应相等的两个三角形全等.简写成“边边边”或“SSS”几何符号语言：在ABC ∆和DEF ∆中∵⎪⎩⎪⎨⎧===DF AC EF BC DE AB ∴ABC ∆≌DEF ∆（SSS ）二．例题：如图，小龙用四根木条钉了一个四边形ABDC ，其中木条AC AB =，CD BD =.小龙发现拉动A 、D 两点，B ∠和C ∠的大小发生变化，但B ∠和C ∠一直相等.你认为小龙的发现正确吗？说明理由.三．练习：1．下列说法正确的是（ ）A ．全等三角形是指形状相同的两个三角形B ．全等三角形的周长和面积分别相等C ．全等三角形是指面积相等的两个三角形D ．所有等边三角形都全等. 2．如图，在ABC ∆中，AC AB =，D 为BC 的中点，则下列结论中：①ABD ∆≌ACD ∆；②C B ∠=∠；③AD 平分BAC ∠；④BC AD ⊥，其中正确的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．如图，若AC AB =，DC DB =，根据 可得ABD ∆≌ACD ∆. 4．请你以下面提供的a 、b 、c 三条线段画一个三角形.5．如图，点B 、E 、C 、F 在同一直线上，CF BE =，DE AB =，DF AC =.求证：D EGC ∠=∠6．在ABC ∆中，︒=∠90C ，D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且BD AD =，BC AE =，DC DE =. 求证：AB DE ⊥7．如图，点A 、C 、F 、D 在同一直线上，DC AF =，DE AB =，EF BC = 求证：DE AB //四．强化练习：1．如图，AD AB =，CD CB =，︒=∠30B ，︒=∠46BAD ，则ACD ∠的度数是（ ） A ．120° B ．125° C ．127° D ．104°2．如图，线段AD 与BC 交于点O ，且BD AC =，BC AD =，则下面的结论中不正确的是（ ） A ．ABC ∆≌BAD ∆ B ．DBA CAB ∠=∠ C ．OC OB = D ．D C ∠=∠第1题 第2题 第4题3．在ABC ∆和111C B A ∆中，已知11B A AB =，11C B BC =，则补充条件____________，可得到ABC ∆≌111C B A ∆．4．如图，CD AB =，DE BF =，E 、F 是AC 上两点，且CF AE =．欲证D B ∠=∠，可先运用等式的性质证明AF =________，再用“SSS ”证明________≌_________•得到结论． 5．如图，在四边形ABCD 中，CD AB =，BC AD =.求证：①CD AB //；②BC AD //．6．如图，已知CD AB =，BD AC =，求证：D A ∠=∠．7．如图，AC 与BD 交于点O ，CB AD =，E 、F 是BD 上两点，且CF AE =，BF DE =． 求证：⑴B D ∠=∠；⑵CF AE //8.如图，已知DC AB =，DB AC =．求证：12∠=∠．全等三角形（3）一．全等三角形的判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.简写为“边角边”或“SAS ” 几何符号语言：在ABC ∆和DEF ∆中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EF BC E B DE AB ∴ABC ∆≌DEF ∆（SAS ）二．例题：如图，D 是ABC ∆中边BC 的中点，ACD ABD ∠=∠，且AC AB =.求证：⑴ABD ∆≌ACD ∆ ⑵EC EB =三．练习：1．如图，下列条件中能使ABD ∆≌ACD ∆的是（ ）A ．AC AB =，C B ∠=∠ B ．AC AB =，ADC ADB ∠=∠ C ．AC AB =，CAD BAD ∠=∠ D ．CD BD =，CAD BAD ∠=∠ 2．如图，线段AB 、CD 互相平分交于点O ，则下列结论错误的是（ ） A ．BC AD = B ．D C ∠=∠ C ．BC AD // D ．OB OC = 3．如图，已知BC AD //，BC AD =. 求证：ADC ∆≌CBA ∆4．点A 、D 、F 、B 在同一直线上，BF AD =，且BC AE //.求证：⑴AEF ∆≌BCD ∆ ⑵CD EF //5．如图，DE CD ⊥于D ，DB AB ⊥于B ，BE CD =，DE AB =. 求证：AE CE ⊥6．如图，ABC ∆和ECD ∆都是等边三角形，连接BE 、AD 交于O .求证：⑴BE AD = ⑵︒=∠60AOB四．强化练习：1.如图，BC DE ⊥于点E ，且CE BE =，15=+AC AB ，则ABD ∆的周长为（ ） A ．15 B ．20 C ．25 D ．302.已知两边及其中一边的对角，作三角形，下列说法中正确的是（ ） A ．能作唯一的一个三角形 B ．最多能作两个三角形 C ．不能作出确定的三角形 D ．以上说法都不对3.如图，已知1∠=∠B ，CF BE =，要使ABC ∆≌DEF ∆，下面所添的条件正确的是（ ） A ．DF AC = B ．EF BC = C ．EF AC = D ．DE AB =第1题 第3题 第4题4.如图，在ABC ∆中，AC AB =，点E 、F 是中线AD 上的两点，则图中可证明为全等的三角形有（ ） A ． 3对 B ．4对 C ．5对 D ．6对5.如图，点A 、E 、B 、D 在同一直线上，DE AB =，DF AC =，DF AC //. ⑴求证：ABC ∆≌DEF ∆⑵你还可以得到的结论是 （写出一个即可）6.如图，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OC OA =，OD OB =. 求证：CD AB =7.如图，已知E 、F 是线段AB 上的两点，且BF AE =，BC AD =，B A ∠=∠. 求证：CE DF =8.如图1，DEF ∆的顶点D 在ABC ∆的边BC 上（不与B 、C 重合），且︒=∠+∠180EDF BAC ，DF AB =，DE AC =，点Q 为EF 的中点，直线DQ 交直线AB 于点P .⑴猜想BPD ∠与FDB ∠的关系，并加以证明；⑵当DEF ∆绕点D 旋转，其他条件不变，⑴中的结论是否始终成立？若成立，请你写出真命题；若不成立请你在图2中画出相应的图形，并给出正确的结论（不需要证明）全等三角形（4）一．全等三角形的判定3：有两角和其夹边对应相等的两个三角形全等.简写成“角边角”或“ASA ”全等三角形的判定4：有两角和其一角对边对应相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS ”几何符号语言：在ABC ∆和DEF ∆中 或：在ABC ∆和DEF ∆中∵⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠E B DE AB D A ∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠EF BC E B D A∴ABC ∆≌DEF ∆（ASA ） ∴ABC ∆≌DEF ∆（AAS ）二．例题：如图，CE AE =，CE AE ⊥，︒=∠=∠90B D 求证：DB AB CD =+三．练习：1．如图，ABC ∆和DEF ∆中，下列能判定ABC ∆≌DEF ∆的是（ ）A ．DF AC =，EF BC =，D A ∠=∠B ．E B ∠=∠，FC ∠=∠，DF AC =C ．D A ∠=∠，E B ∠=∠，F C ∠=∠ D ．E B ∠=∠，F C ∠=∠，DE AC =2．如图为打碎的一块三角形玻璃，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（ ）A ．带①去B ．带②去C ．带③去D ．带①和②去第1题 第2题 第3题 第4题3．如图，BC AD =，BD AC =，则图中全等三角形有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对4．如图，AB CD ⊥于D ，AC BE ⊥于E ，AO 平分BAC ∠，则图中全等三角形有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对5．如图，21∠=∠，AD AB =，若想使ABC ∆≌ADE ∆，则需增加一个条件，你增加的条件为： .并加以证明.6．如图，已知21∠=∠，43∠=∠ 求证：BE BD =四．强化练习：1．已知B A AB ''=，A A '∠=∠，B B '∠=∠，则ABC ∆≌C B A '''∆的根据是（ ）A ．SASB ．SSAC ．ASAD ．AAS2．ABC ∆和DEF ∆中，DE AB =，E B ∠=∠，要使ABC ∆≌DEF ∆ ，则下列补充的条件中错误的是（ ）A ．DF AC =B ．EF BC = C ．D A ∠=∠ D ．F C ∠=∠3．如图，AD 平分BAC ∠，AC AB =，则图中全等三角形的对数是（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对4．如图，已知CD AB //，欲证明AOB ∆≌COD ∆，可补充条件_______．（填写一个适合的条件即可）第3题 第4题 第5题 第6题5．如图，AC AB ⊥，CD BD ⊥，21∠=∠，欲得到CE BE =，•可先利用_______，证明ABC ∆≌DCB ∆，得到______=______，再根据___________•证明________•≌________，即可得到CE BE =．6．如图，AC 平分DAB ∠和DCB ∠，欲证明AED AEB ∠=∠，•可先利用___________，证明ABC ∆≌ADC ∆，得到______=_______，再根据________，证明______≌________，即可得到AED AEB ∠=∠. 7．如图，AE AC =，E C ∠=∠，21∠=∠. 求证：ABC ∆≌ADE ∆．8．已知ABC ∆≌C B A '''∆，AD 和D A ''分别是BC 和C B ''边上的高，AD •和D A ''相等吗？为什么？9．如图，已知CE BD =，21∠=∠，那么AC AB =，你知道这是为什么吗？10．已知如图，AB CE ⊥于点E ，AC BD ⊥于点D ，BD 、CE 交于点O ，且AO 平分BAC ∠. ⑴图中有多少对全等的三角形？请你一一列举出来（不要求说明理由）⑵小明说：欲证CD BE =，可先证明AOE ∆≌AOD ∆得到AD AE =，再证明ADB ∆≌AEC ∆得到AC AB =，然后利用等式的性质即可得到CD BE =，请问他的说法正确吗？•如果不正确，请说明理由；如果正确，请按他的思路写出推导过程．⑶要得到CD BE =，你还有其他的思路吗？若有，请仿照小明的说法具体说一说你的想法．全等三角形（5）一．全等三角形的判定5：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写为“斜边、直角边”或“HL ”几何符号语言：∵︒=∠=∠90F C∴在ABC Rt ∆和DEF Rt ∆中∵⎩⎨⎧==DF AC DE AB ∴ABC ∆≌DEF ∆ 二．例题：如图，OA PC ⊥于C ，OB PD ⊥于D ，且PD PC = 求证：DPO CPO ∠=∠三．练习：1．下列命题中正确的有（ ）①两直角边对应相等的两直角三角形全等；②两锐角对应相等的两直角三角形全等；③斜边和一条直角边对应相等的两直角三角形全等；④一锐角和斜边对应相等的两直角三角形全等.A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个2．如图，ABC ∆和EDF ∆中，︒=∠=∠90D B ，E A ∠=∠，点B 、F 、C 、D 在同一条直线上，在增加一个条件，不能判定ABC ∆≌EDF ∆的是（ ）A ．ED AB = B ．EF AC = C ．EF AC //D ．DC BF =3．如图，AC AB =，AC BD ⊥于D ，AB CE ⊥于E ，图中全等三角形的组数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．如图，BD AE ⊥于E ，BD CF ⊥于F ，CD AB =，CF AE =. 求证：CD AB //5．如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，CD AB =，AD EB ⊥，AD FC ⊥，且DF AE = 求证：DE AF =6．在ABC ∆中，︒=∠90BAC ，AC AB =，AE 是过点A 的一条直线，且AE BD ⊥于D ，AE CE ⊥于E .⑴当直线AE 处于如图1的位置时，猜想BD 、DE 、CE 之间的数量关系，并证明.⑵请你在图2选择与⑴不同位置进行操作，并猜想⑴中的结论是否还成立？加以证明；⑶归纳⑴、⑵，请你用简洁的语言表达BD 、DE 、CE 之间的数量关系.四．强化练习：1．在下列所给的四组条件中，不能判定ABC Rt ∆≌C B A Rt '''∆ (其中︒='∠=∠90C C )的是( )A ．C A AC ''=，A A '∠=∠B ．C A AC ''=，C B BC ''=C. A A '∠=∠，B B '∠=∠D. C A AC ''=，B A AB ''=2.使两个直角三角形全等的条件是（ ）A ．一组锐角对应相等B ．两组锐角对应相等C ．一条边对应相等D ．两条边对应相等3.如图，在ABC ∆中，BC AD ⊥于点D ，AB CE ⊥于点E ，AD 、CE 交于点H ，已知3==EB EH ，4=AE ，则CH 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第3题 第4题 第5题4.如图，已知︒=∠=∠90ADB ACB ，欲说明BD BC =，可补充条件 .（填写一个即可）5.如图，A 、B 、C 、D 在同一条直线上，AD EA ⊥，AD FD ⊥，且CD AB =，BF CE =，则CE 与BF 的位置关系为 .6.如图，AC AB =，BC AD ⊥于D . 求证：AD 平分BAC ∠，CD BD =7.如图，AC AB =，AF AE =，EC AE ⊥于E ，FB AF ⊥于F . 求证：21∠=∠8.如图，在ABC ∆和C B A '''∆中，CD 、D C ''分别是高，并且C A AC ''=，D C CD ''=，B C A ACB '''∠=∠. 求证：ABC ∆≌C B A '''∆9.如图，A 、E 、F 、B 在同一条直线上，CE AC ⊥于C ，DF BD ⊥于D ，BF AE =，BD AC =. 探究CF 与DE 的关系，并说明理由.全等三角形（6）一．全等三角形的性质：全等三角形的对应角 ，对应边 .二．全等三角形的判定：1.判定两个三角形全等的方法有：⑴________________________________________的两个三角形全等(SSS )．⑵________________________________________的两个三角形全等(SAS )．⑶________________________________________的两个三角形全等(ASA )．⑷________________________________________的两个三角形全等(AAS AAS)．2，判定两个直角三角形全等的方法还有：_______________________的两个直角三角形全等(HL )．三．例题：1.如图已知ABC ∆的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和ABC ∆全等的图形是( )．A.甲和乙 B ．乙和丙 C.只有乙 D.只有丙2.如图，在ABC ∆和DEF ∆中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确．．的命题，并加以证明． ①DE AB =，②DF AC =，③DEF ABC ∠=∠，④CF BE =．3.如图，OB OA =，OD OC =，︒=∠=∠90COD AOB . 猜想线段AC 、BD 的关系，并说明理由.4. 如图1，正方形通过剪切可以拼成三角形.仿照上面图示的方法，解答下列问题：操作设计（在原图上画出即可）：⑴如图2，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积长方形；⑵如图3，对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积长方形．四．练习：1．下列给出的四组条件中，能判定ABC ∆≌DEF ∆的是（ ）A ．DE AB =，EF BC =,D A ∠=∠ B ．D A ∠=∠,F C ∠=∠,EF AC =C ．D A ∠=∠,E B ∠=∠,F C ∠=∠ D ．DE AB =, EF BC =, ABC ∆周长＝DEF ∆周长2．若ABC ∆≌DEF ∆，且ABC ∆的周长为20，5=AB ，8=BC ，则DF 长为（ ）A ．５B ．８C ．７D ．５或８3．如图,D 在AB 上，E 在AC 上，且C B ∠=∠，那么补充下列一个条件后，仍无法判定ABE ∆≌ACD ∆的是( )A ．AE AD =B ．ADC AEB ∠=∠ C ．CD BE = D ．AC AB =4．如图，将两根钢条A A '、B B '的中点O 连在一起，使A A '、B B '可以绕着点O 自由转动，就做成了一个测量工件，则B A ''的长等于内槽宽AB ，那么判定AOB ∆≌B O A ''∆的理由是( )A ．边角边 B.角边角 C.边边边 D.角角边第3题 第4题 第6题5．在ABC ∆和C B A '''∆中，︒=∠44A ，︒=∠67B ，︒='∠69C ，︒='∠44B ，且C A AC ''=，那么这两个三角形（ ）A ．一定不全等 B.一定全等 C.不一定全等 D.以上都不对6.如图，若ABC ∆≌DEF ∆，则E ∠等于（ ）A.30°B.50°C.60°D.100°7. 已知DE AB //，DE AB =，DC AF =，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予证明.8.如图，给出五个等量关系：①BC∠⑤CBADAB∠==∠．请AD=②BDD∠AC=③DECE=④C你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明．9.如图，以ABC∆的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG，试判断∆面积之间的关系，并说明理由．∆与AEGABC全等三角形（7）一．角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等. （证明线段相等的一种方法，也是引辅助线的一种方法） 几何符号语言：∵21∠=∠ OA PD ⊥ OB PE ⊥∴PE PD =二．例题：如图，OP 平分AOB ∠，OA PD ⊥于D ，OB PE ⊥于E ，F 为OP 上一点，连接DF 、EF . 求证：⑴EPO DPO ∠=∠ ⑵DF =EF三．练习：1．如图，AD AB ⊥于A ，DC BC ⊥于C ，BD 平分ABC ∠，则下列结论中正确的有（ ） ①CB AB =；②CD AD =；③BDC BDA ∠=∠A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，AD 平分BAC ∠，AC AE =，连接DE ，则下列结论错误的是（ ） A ．ADE ∆≌ADC ∆ B ．DC DE = C ．ADC ADE ∠=∠ D ．DE AC =第1题 第2题 第3题3．如上图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，BC AC =，AD 平分BAC ∠，AB DE ⊥于E ，且cm AB 6=，则DEB ∆的周长为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．104．如图，AD 平分BAC ∠，AB DE ⊥交AB 延长线于E ，AC DF ⊥于F ，且DC DB =. 求证：CF BE =5．如图，OC 平分AOB ∠，OA CA ⊥于A ，OB CB ⊥于B ，连接AB 交OC 于D . 求证：AB OD ⊥6．如图，CD BD =，AC BF ⊥于F ，AB CE ⊥于E . ⑴求证：D 在BAC ∠的平分线上；⑵若将⑴的条件“CD BD =”和结论“D 在BAC ∠的平分线上”互换，成立吗？说明理由.四．强化练习：1．如图所示，21∠=∠，OA PD ⊥，OB PE ⊥，垂足分别为D ，E ，则下列结论中错误的是（ ）A ．PE PD =B ．OE OD =C ．EPO DPO ∠=∠D ．OD PD = 2．如图所示，在ABC ∆中，AC AB =，AD 是ABC ∆的角平分线，AB DE ⊥，AC DF ⊥，垂足分别是E ，F ，则下列四个结论：①AD 上任意一点到C ，B 的距离相等；②AD 上任意一点到AB ，AC 的距离相等；③CD BD =，BC AD ⊥；④CDF BDE ∠=∠.其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，1==BC AC ，2=AB ，AD 为BAC ∠的平分线，AB DE ⊥于点E ，则DBE ∆的周长为（ ）A ．2B ．21+C ．2D ．无法计算4．ABC ∆中，︒=∠90C ，AD 平分BAC ∠，已知cm BC 8=，cm BD 5=，则点D •到AB 的距离为_______． 5．如图，AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于点F ，若想得到DF DE =，只需添加一个条件，•这个条件是__________．第3题 第5题 第6题6．如图，︒=∠40AOB ，OP 平分AOB ∠，OA PA ⊥于A ，OB PB ⊥于B ，•则PAB ∠的度数为________． 7．如图所示，AD 是BAC ∠的平分线，AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F ，且CD BD =，那么BE 与CF 相等吗？为什么？8.如图所示，︒=∠=∠90C B ，P 是BC 中点，DP 平分ADC ∠，判断AP 是否平分DAB ∠，说明理由．9．如图所示，已知AB PB ⊥，AC PC ⊥，且PC PB =，D 是AP 上一点，由以上条件可以得到CDP BDP ∠=∠吗？为什么？全等三角形（8）一． 角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上（证明两角相等的一种方法）几何符号语言：∵ OA PD ⊥ OB PE ⊥ PE PD =∴点P 在POB ∠的平分线上.注：三角形的三条角平分线交于一点，这点是三角形的内心，到三边的距离相等.二．例题：如图，在四边形ABCD 中，︒=∠=∠90B A ，EC 平分BCD ∠交AB 于E ，且BE AE =，求证：DE 平分CDA ∠三．练习：1．下面哪个点到三角形三边的距离相等（ ）A ．三条角平分线的交点B ．三条角中线的交点C ．三条角高线的交点D ．三条中垂线的交点2．如图，ABC ∆的两个外角平分线相交于点P ，则下面结论正确的是（ ） A ．BP 不平分ABC ∠ B ．BP 平分ABC ∠ C ．BP 平分APC ∠ D ．PC PA =3．如图，ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 的长分别为20、30、40，其三条角平分线的交点为O ，则=∆∆∆CAO BCO ABO S S S :: .4．如图，在四边形ABCD 中，︒=∠=∠90B A ，EC 平分BCD ∠交AB 于E ，且DE 平分CDA ∠ BE AE =，求证：BE AE =5．如图，在直线CD 上求一点P ，使得点P 到射线OA 和OB 的距离相等.6．如图，在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，点O 为三条角平分线的交点，BC OD ⊥于D ，AC OE ⊥于E ，AB OF ⊥于F ，且cm AB 10=，cm CB 8=，cm CA 6=，求OD 的长.四．强化练习：1.在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，AD 是BAC ∠的角平分线，若cm BC 5=，cm BD 3=，则点D 到AB 的距离为 .2.AOB ∠的平分线上一点P ，P 到OA 的距离为cm 5.1，则P 到OB 的距离为 cm .3.如图，︒=∠90A ，BD 是ABC ∆的角平分线，cm AC 8=，DA DC 3=，则点D 到BC 的距离为 .4.如图，21∠=∠， OA PD ⊥于D ，OB PE ⊥于E ，下列结论错误的是（ ） A.PE PD = B.OE OD = C.EPO DPO ∠=∠ D.OD PD =第3题 第4题 第6题 第7题5.三角形中到三边距离相等的点是（ ）A.三条边的垂直平分线的交点B.三条高的交点6.如图，ABC ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，AB DE ⊥于E ，且cm AB 6=，则DEB ∆的周长为（ ）A.4cmB.6cmC.10cmD.不能确定7.如图，AB AC ⊥，PB 为CAB ∆的角平分线，BA BD =，连接PD ，则下列结论中不正确的是（ ） A.PA PD = B.BPA BPD ∠=∠ C.︒=∠90PDB D.BPD CPD ∠=∠8.如图，AD 是BAC ∠的平分线，AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F ，且DC DB =. 求证：CF BE =9.已知，如图BD 为ABC ∠的平分线，BC AB =，点P 在BD 上，AD PE ⊥于E ，CD PF ⊥于F . 求证：PF PE =10.如图，B 是CAF ∠内一点，D 在AC 上，E 在AF 上，且EF DC =，BCD ∆与BEF ∆的面积相等. 求证：AB 平分CAF ∠《全等三角形》单元检测一．选择题（本题8小题，每题3分，计24分）1．①全等三角形对应边相等；②三个角对应相等的两个三角形全等；③三边对应相等的两个三角形全等；④有两边对应相等的两个三角形全等．上述命题中正确的个数有（ ） A ．4个 B ．3个 C ． 2个 D ．1个2．在ABC ∆和C B A '''∆中，B A AB ''=，B B '∠=∠，补充条件后仍不一定能保证ABC ∆≌C B A '''∆，则补充的条件是（ ）A ．CB BC ''= B ．A A '∠=∠ C ．C A AC ''=D ．C C '∠=∠3．如图，CD AB //，AD BC //，DF BE =，图中全等三角形的对数是（ ） A ．3对 B ．4对 C ．5对 D ．6对4．如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）A ．带①去B ．带②去C ．带③去D ．带①和②去第3题 第4题 第5题 第6题5．如图，BC AB ⊥于B ，CD AD ⊥于D ，若CD CB =，且︒=∠30BAC ，则BAD ∠的度数是（ ） A ．15oB ．30oC ．60oD ．90o6．如图，ABC ∆中，︒=∠90C ，BC AC =，AD 平分CAB ∠，交BC 于D ，AB DE ⊥于E ，且cm AB 6=， 则DEB ∆的周长为（ ）A ．4cmB ．6cmC ．10cmD ．以上都不对 7．ABC ∆≌BAD ∆，若BC AB CA >>，则下列结论中正确的是（ ）A ．AD BD AB >> B ．BD AD AB >>C ．AD AB BD >> D ．以上答案都不对 8．根据下列已知条件，能惟一画出ABC ∆的是（ ）A ．3=AB ，4=BC ，8=AC B ．4=AB ，4=BC ，︒=∠30A C ．︒=∠60A ，︒=∠45B ，4=ABD ．︒=∠90C ，6=AB二．填空题（本题8小题，每题3分，计24分）9．已知ABC ∆≌DEF ∆，若DE AB =，︒=∠50B ，︒=∠70C ，︒=∠50E ，则D ∠的度数为 ． 10．已知ABC ∆≌DEF ∆，cm EF BC 6==，ABC ∆的面积为218cm ，则EF 边上的高的长是cm ．11．如图，DFE ACB ∠=∠，EF BC =, 那么需要补充一个直接条件 （写出一个即可），才能使ABC ∆≌DEF ∆．12．如图，在ABC ∆中，AE AD =，EC BD =，︒=∠=∠105AEC ADB ，︒=∠40B ，则CAE ∠的度数为 ．第11题 第12题 第13题 第14题13．如图，DC AB =，BC AD =，DF BE =，︒=∠100AEB ，︒=∠30ADB ，则BC F ∠的度数为 ． 14．如图所示的长方体中，ABC ∆和DEF ∆的关系是________．（填“全等”或“不全等”） 15．已知ABC ∆≌DEF ∆，点A 、B 、C 的坐标分别为A （2-，1-），B （1-，2），C （1，0），若点D 的坐标为D （1，1），请你写出一组符合要求的点E 、F 的坐标_____________．16. 如图，有两个长度相同的滑梯（即EF BC =），左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，则DFE ABC ∠+∠＝___________度．三．解答题 （本题有6小题，每题9分，计54分）17．如图，DC AB //，CB DC AD ==，AD 、BC 的延长线相交于点G ，AG CE ⊥于点E ，AB CF ⊥于点F ．⑴请你写出图中4组相等线段（已知的相等线段除外）； ⑵选择⑴中你写出的一组相等线段，说明它们相等的理由．18．如图，已知21∠=∠，43∠=∠，AD EC =. 求证：BE AB =19．如图，线段AD 、BC 、EF 相交于点O ，FO EO =，CD AB //. 求证：OC OB =20．如图，ABD ∆和ACE ∆均为等边三角形，求证：BE DC =21．如图，已知：BE AD ⊥，垂足C 是BE 的中点，DE AB =. 求证：DE AB //22．右图的花环状图案中,ABCDEF 和111111F E D C B A 都是正六边形. ⑴求证:21∠=∠；⑵ 找出一对全等的三角形并给予证明.四．解答题（本题有4小题，每题12分，计48分）23．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，AOB∠是一个任意角，在C边OA，OB 上分别取OQOP=，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与P，Q重合，过角尺顶点C的射线OC 便是AOB∠的平分线．请同学用数学知识对这一做法的道理加以说明．24．如图，A、B两点是湖两岸上的两点，为测A、B两点距离，由于不能直接测量，请你设计一种方案，测出A、B两点的距离，并说明你的方案的可行性．25．如图，图1等腰ABC ∆与等腰DEC ∆共点于C ，且E C D B C A ∠=∠，连结BE 、AD ，若AC BC =、DC EC =．⑴求证：AD BE =；⑵若将等腰DEC ∆绕点C 旋转至图2、3、4情况时，其余条件不变，BE 与AD 还相等吗？为什么? （请你用图2加以证明）26．如图1，四边形ABCD 中，BC AD //，DCB ABC ∠=∠，DC AB =，DF AE =． ⑴求证：CE BF =；⑵当E 、F 相向运动，形成图2时，BF 和CE 还相等吗？请证明你的结论．《全等三角形》第一轮能力训练卷1．如图，ABC Rt ∆中，︒=∠90BAC ，AC AB =，直线l 经过A 点，l BE ⊥，l CF ⊥.求证：EF CF BE =+2．如图，ABC Rt ∆中，︒=∠90BAC ，AC AB =，直线l 经过A 点，且经过ABC ∆内部，l BE ⊥，l CF ⊥.试判断BE 、CF 、EF 三者的数量关系.3．如图，在平面直角坐标系中，ABC Rt ∆，︒=∠90BAC ，AC AB =，A （3，0），B （0，4）. 求C 点的坐标.4．如图，等腰直角ABC ∆的直角边2==BC BA ，点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，以相同的速度作直线运动，已知点P 沿射线AB 运动，点Q 沿边BC 的延长线运动，PQ 与直线AC 相交于点D ，设AP 的长为x ，PCQ ∆的面积为y .⑴求y 与x 的函数关系式（写出自变量的取值范围）⑵作AC PE ⊥于E ，当点P 、Q 运动时，线段DE 的长度是否改变？说明理由.5．在上题中，连接DB ，求证：DP DB =6．如图1，在等腰直角ABC ∆中，︒=∠90ACB ，O 为AB 的中点，P 为AB 上一动点，D 在BC 上，且满足PD PC =，AB DE ⊥于E . ⑴求证：DE PO =⑵如图2，点D 在BC 的延长线上，其他条件不变，⑴中的结论是否成立？ ⑶在图3中画出当点P 在BA 延长线上的情况，并给出相应的证明； ⑷还有什么样的情况？在图4中画出图形，给出证明.7．如图1，ABC Rt ∆中，AC AB =，点D 、E 是线段AC 上两动点，且EC AD =，BD AP ⊥于P ，交BC 于点Q ，直线BD 交直线QE 于F .⑴判断DEF ∆的形状，并说明理由.⑵如图2，若点D 、E 是直线AC 上两动点，其他条件不变，判断DEF ∆的形状，并说明理由.8．如左图，ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，BC AC =，一个直角三角板的直角顶点放在AB 的中点O 处，绕O 点旋转，两直角边分别交AC 于E ，交BC 于F . ⑴求证： OF OE =，BF CE =⑵如右图，将三角板继续旋转，两直角边分别交AC 延长线于E ，交BC 延长线于F .⑴中的结论是否正确？说明理由.9．如图，线段AB ，点P 在AB 的下方，⑴若PB PA =，在的AB 上方作AP A A ⊥'，且AP A A ='，作PB B B ⊥'，且PB B B ='，连接B A ''，取B A ''的中点O ，连接AOB ∆，试判断AOB ∆的形状并证明。
人教版八年级上册数学课本知识点归纳
人教版八年级上册数学课本知识点归纳第十一章全等三角形一、全等形能够完全重合的两个图形叫做全等形。
二、全等三角形１．全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
(两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
）２．全等三角形的符号表示、读法：△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′全等记作△ＡＢＣ≌△Ａ′Ｂ′Ｃ′，“≌”读作“全等于”。
(两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，这样对应的两个字母为端点的线段是对应边；对应的三个字母表示的角是对应角)。
３．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等,对应角相等。
二、三角形全等的判定：1．三边对应相等的两个三角形全等,简写成“边边边”或“ＳＳＳ"。
2．两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“ＳＡＳ”.3．两角和他们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ＡＳＡ”。
4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“ＡＡＳ”。
5．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“ＨＬ”.（ＳＳＡ、ＡＡＡ不能识别两个三角形全等，识别两个三角形全等时，必须有边的参与，如果有两边和一角对应相等时，角必须是两边的夹角.）三、角的平分线的性质1．性质：角平分线上的点到角的两边距离相等。
２．逆定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角平分线上。
（３．三角形的内心：利用角的平分线的性质定理可以导出：三角形的三个内角的角平分线交于一点，此点叫做三角形的内心，它到三边的距离相等。
）第十二章轴对称一、轴对称1．轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴。
折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
2．线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线3．轴对称的性质：1。
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A 1
B
E
D 2
图7
C
例题6、如图，若AO=OB，∠1=∠2，加上条件
，则有ΔAOC≌ΔBOC。
A C B 1 2 图5 O
例题7、如图，AE=BF，AD∥BC，AD=BC，则有ΔADF≌
，且DF=
。
A F C
D
E B
图6
知识点2、角平分线的性质 角平分线上的点到角两边的距离相等
例题8、如图12，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC， AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于D，若AB＝10，则△BDE的周长等于＿＿＿＿
证明题的思路：
找夹角（SAS） 已知两边 找直角（HL） 找第三边（SSS） 任意角（AAS） 若边为角的对边，则找 找已知角的另一边（SAS） 已知一边一角 边为角的邻边 找已知边的对角（AAS） 找夹已知边的另一角（ ASA） 找两角的夹边（ASA） 已知两角 找任意一边（AAS）
例题1、如图，已知AB=DE，∠B=∠E， 若要使△ABC≌△DEF，那么还要需要一个条件， 这个条件可以是：_____________， 理由是：_____________； 这个条件也可以是：_____________， 理由是：_____________；
D A
F C B E
例题2、 如右图，已知∠B=∠D=90°，，若要使△ABC≌△ABD， 那么还要需要一个条件， 这个条件可以是：_____________， 理由是：_____________； 这个条件也可以是：_____________， 理由是：_____________； 这个条件还可以是_____________， 理由是：_____________；
C
D
A E 图12
B
A
B
D
C
例题3、如图，⊿ABC≌⊿ADE，若∠B=40°，∠EAB=80°， ∠C=45°，则∠EAC= ，∠D= ，∠DAC= 。
E A
BDLeabharlann 图5C例题4、如图，已知AB=CD，AD=BC，则
A D
≌
，
≌
。
B
图6
C
例题5、如图7，已知∠1=∠2，AB⊥AC，BD⊥CD， 则图中全等三角形有 _____________；
第十一章
全等三角形
知识点1、全等三角形的性质和判定
一般三角形 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS） 边边边（SSS） 对应边相等，对应角相等 性质
直角三角形
判定
具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等（HL）
对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等
注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； ② 全等三角形面积相等； ③全等三角形周长相等。