平面向量简单练习题

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人教版高中数学必修二第9章9.4向量的应用精品课程课后练习及详解大全

反思感悟
用向量法求长度的策略 (1)根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式 |a|2＝a2求解. (2)建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2.
跟踪训练2 在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边上的中线AD的长是
∴A→B＝－32C→D，∴A→B与C→D共线. 又|A→B|≠|C→D|，∴该四边形为梯形.
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4.当两人提起重量为|G|的旅行包时，两人用力方向的夹角为θ，用力大
小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为
A.30°
B.60°
C.90°
√D.120°
解析作O→A＝F1，O→B＝F2，O→C＝－G(图略)，则O→C＝O→A＋O→B，
答案物理中的向量：①物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移都具有大小和方向，因而它们都是向量. ②力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法，因而它们也符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则；力、速度、加速度、位移的分解也就是向量的分解，运动的叠加也用到了向量的加法. ③动量mv是数乘向量. ④力所做的功就是作用力F与物体在力F的作用下所产生的位移s的数量积.
解析对于 A，A→B－A→C＝C→B，故 A 中结论错误；对于 B，设 θ 为向量A→B与B→C的夹角，因为A→B·B→C＝A→B·B→C·cos θ，而 cos θ<1，故A→B·B→C<A→B·B→C，故 B 中结论正确；对于 C，A→B＋A→C·A→B－A→C＝A→B2－A→C2＝0，故A→B＝A→C，所以△ABC 为等腰三角形，故 C 中结论正确；
A.v1－v2
√B.v1＋v2

十年高考分类解析：第5章平面向量与直线、平面、简单几何体

十年高考分类解析第五章平面向量与直线、平面、简单几何体一、选择题1.（2002上海春，13）若a 、b 、c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定．．．成立的是（） A.（a +b ）+c =a +（b +c ） B.（a +b ）·c =a ·c +b ·c C.m （a +b ）=m a +m b D.（a ·b ）c =a （b ·c ）2.（2002天津文12，理10）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1），B （－1，3），若点C 满足OB OA OCβα+=，其中α、β∈R ，且α+β=1，则点C 的轨迹方程为（） A.3x +2y －11=0 B.（x －1）2+（y －2）2=5 C.2x －y =0 D.x +2y －5=0 3.（2001江西、山西、天津文）若向量a =（3，2），b =（0，－1），则向量2b －a 的坐标是（）A.（3，－4）B.（－3，4）C.（3，4）D.（－3，－4）4.（2001江西、山西、天津）设坐标原点为O ，抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OB OA ⋅等于（）A.43B.－43 C.3 D.－35.（2001上海）如图5—1，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1=a ，11D A =b ，A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是（）A.－21a +21b +c B.21a +21b +c C.21a －21b +c D.－21a －21b +c 6.（2001江西、山西、天津理，5）若向量a =（1，1），b =（1，－1），c =（－1，2），则c 等于（）A.－21a +23bB.21a －23b C.23a －21bD.－23a +21b 7.(2000江西、山西、天津理，4)设a 、b 、c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则①（a ·b ）c －（c ·a ）b =0 ②|a |－|b |<|a －b | ③（b ·c ）a －（c ·a ）b 不与c 垂直 ④（3a +2b ）（3a －2b ）=9|a |2－4|b |2中，是真命题的有（） A.①② B.②③ C.③④ D.②④8.（1997全国，5）如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率为（）A.－31 B.－3 C.31 D.3二、填空题 9.（2002上海文，理2）已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |=2，|b |=5，则（2a －b ）·a =_____. 10.（2001上海春，8）若非零向量α、β满足|α+β|=|α－β|，则α与β所成角的大小为_____.11.（2000上海，1）已知向量OA =（－1，2），OB =（3，m ），若OA ⊥AB ，则m = . 12.（1999上海理，8）若将向量a =（2，1）围绕原点按逆时针方向旋转4π得到向量b ，则向量b 的坐标为_____.13.（1997上海，14）设a =（m +1）i －3j ，b =i +（m －1）j ，（a +b ）⊥（a －b ），则m =_____. 14.（1996上海，15）已知a +b =2i －8j ，a －b =－8i +16j ，那么a ·b =_____.15.（1996上海，15）已知O （0，0）和A （6，3）两点，若点P 在直线OA 上，且21=PA OP ，又P 是线段OB 的中点，则点B 的坐标是_____. 三、解答题16.（2003上海春，19）已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1，在某个空间直角坐标系中，1},0,0,{},0,23,2{AA m AC m AB =-=={0，0，n }.（其中m 、n >0）.如图5—2.（1）证明：三棱柱ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱；（2）若m =2n ，求直线CA 1与平面A 1ABB 1所成角的大小.17.（2002上海春，19）如图5—3，三棱柱OAB —O 1A 1B 1，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1OB =60°，∠AOB =90°，且OB =OO 1=2，OA =3.求：（1）二面角O 1—AB —O 的大小；（2）异面直线A 1B 与AO 1所成角的大小. （上述结果用反三角函数值表示）18.（2002上海，17）如图5—4，在直三棱柱ABO —A ′B ′O ′中，OO ′=4，OA =4，OB =3，∠AOB =90°，D 是线段A ′B ′的中点，P 是侧棱BB ′上的一点，若OP ⊥BD ，求OP 与底面AOB 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）图5—3 图5—4 图5—519.（2002天津文9，理18）如图5—5，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a .（1）建立适当的坐标系，并写出点A 、B 、A 1、C 1的坐标；（2）求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.20.（2002天津文22，理21）已知两点M （－1，0），N （1，0），且点P 使,MN MP ⋅,PN PM ⋅NP NM ⋅成公差小于零的等差数列.（1）点P 的轨迹是什么曲线？（2）若点P 坐标为（x 0，y 0），θ为PM 与PN 的夹角，求tan θ.21.（2001江西、山西、天津理）如图5—6，以正四棱锥V —ABCD 底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O —xyz ，其中Ox ∥BC ，Oy ∥AB ，E 为VC 的中点，正四棱锥底面边长为2a ，高为h .（1）求cos<DE BE , >；（2）记面BCV 为α，面DCV 为β，若∠BED 是二面角α—VC —β的平面角，求∠BED .图5—6 图5—7 图5—822.（2001上海春）在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别在BB 1、DD 1上，且AE ⊥A 1B ，AF ⊥A 1D.（1）求证：A 1C ⊥平面AEF ；（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角）.则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等.试根据上述定理，在AB =4，AD =3，AA 1=5时，求平面AEF 与平面D 1B 1BD 所成角的大小.（用反三角函数值表示）23.（2001上海）在棱长为a 的正方体OABC —O ′A ′B ′C ′中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE =BF .如图5—8.（1）求证：A ′F ⊥C ′E .（2）当三棱锥B ′—BEF 的体积取得最大值时，求二面角B ′—EF —B 的大小（结果用反三角函数表示）24.（2000上海春，21）四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形， ={2，－1，－4}，AD ={4，2，0}，AP ={－1，2，－1}.（1）求证：P A ⊥底面ABCD ；（2）求四棱锥P —ABCD 的体积；（3）对于向量a ={x 1，y 1，z 1}，b ={x 2，y 2，z 2}，c ={x 3，y 3，z 3}，定义一种运算：（a ×b ）·c =x 1y 2z 3+x 2y 3z 1+x 3y 1z 2－x 1y 3z 2－x 2y 1z 3－x 3y 2z 1，试计算（AB ×AD ）·AP 的绝对值的值；说明其与四棱锥P —ABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算（AB ×AD ）·AP 的绝对值的几何意义.25.（2000上海，18）如图5—9所示四面体ABCD 中，AB 、BC 、BD 两两互相垂直，且AB =BC =2，E 是AC 中点，异面直线AD 与BE 所成的角的大小为arccos 1010，求四面体ABCD 的体积.图5—9 图5—10 图5—1126.（2000天津、江西、山西）如图5—10所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.（1）求的长；（2）求cos<11,CB BA >的值；（3）求证：A 1B ⊥C 1M .27.（2000全国理，18）如图5—11，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°.（1）证明：C 1C ⊥BD ；（2）假定CD =2，CC 1=23，记面C 1BD 为α，面CBD 为β，求二面角α—BD —β的平面角的余弦值；（3）当1CC CD的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明.28.（1999上海，20）如图5—12，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD =90°，AD ∥BC ，AB =BC =a ，AD =2a ，且P A ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角.（1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ；（2）求异面直线AE 与CD 所成角的大小.29.（1995上海，21）如图5—13在空间直角坐标系中BC =2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是（21,23，0），点D 在平面yOz 上，且∠BDC =90°，∠DCB =30°.（1）求向量OD 的坐标；（2）设向量AD 和BC 的夹角为θ，求cos θ的值.●答案解析 1.答案：D解析：因为（a ·b ）c =|a |·|b |·cos θ·c 而a （b ·c ）=|b |·|c |·cos α·a 而c 方向与a 方向不一定同向.评述：向量的积运算不满足结合律. 2.答案：D解析：设OC =（x ，y ），OA =（3，1），OB =（－1，3），αOA =（3α，α），β=（－β，3β）又α+β=（3α－β，α+3β）∴（x ，y ）=（3α－β，α+3β），∴⎩⎨⎧+=-=βαβα33y x又α+β=1 因此可得x +2y =5评述：本题主要考查向量法和坐标法的相互关系及转换方法. 3.答案：D解析：设（x ，y ）=2b －a =2（0，－1）－（3，2）=（－3，－4）. 评述：考查向量的坐标表示法. 4.答案：B解法一：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 所在直线方程为y =k （x －21），则⋅=x 1x 2+y 1y 2.又⎪⎩⎪⎨⎧=-=x y x k y 2)21(2，得k 2x 2－（k 2+2）x +42k =0，∴x 1·x 2=41，而y 1y 2=k （x 1－21）k （x 2－21）=k 2（x 1－21）（x 2－21）=－1.∴x 1x 2+y 1y 2=41－1=－43.解法二：因为直线AB 是过焦点的弦，所以y 1·y 2=－p 2=－1.x 1·x 2同上. 评述：本题考查向量的坐标运算，及数形结合的数学思想.5.答案：A解析：)(21111BC BA A A BM B B MB ++=+==c +21（－a +b ）=－21a +21b +c评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.6.答案：B解析：设c =m a +n b ，则（－1，2）=m （1，1）+n （1，－1）=（m +n ，m －n ）.∴⎩⎨⎧=--=+21n m n m ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2321n m 评述：本题考查平面向量的表示及运算.7.答案：D解析：①平面向量的数量积不满足结合律.故①假；②由向量的减法运算可知|a |、|b |、|a －b |恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；③因为［（b ·c ）a －（c ·a ）b ］·c =（b ·c ）a ·c －（c ·a ）b ·c =0，所以垂直.故③假； ④（3a +2b ）（3a －2b ）=9·a ·a －4b ·b =9|a |2－4|b |2成立.故④真. 评述：本题考查平面向量的数量积及运算律. 8.答案：A解析：设直线l 的方程为y =kx +b （此题k 必存在），则直线向左平移3个单位，向上平移1个单位后，直线方程应为y =k （x +3）+b +1即y =kx +3k +b +1因为此直线与原直线重合，所以两方程相同.比较常数项得3k +b +1=b .∴k =－31. 评述：本题考查平移变换与函数解析式的相互关系. 9.答案：13解析：∵（2a －b ）·a =2a 2－b ·a =2|a |2－|a |·|b |·cos120°=2·4－2·5（－21）=13. 评述：本题考查向量的运算关系. 10.答案：90°解析：由|α+β|=|α－β|，可画出几何图形，如图5—14.|α－β|表示的是线段AB 的长度，|α+β|表示线段OC 的长度，由|AB |=|OC |∴平行四边形OACB 为矩形，故向量α与β所成的角为90° 评述：本题考查向量的概念，向量的几何意义，向量的运算.这些知识不只在学习向量时用到，而且在复数、物理学中也是一些最基本的知识.11.答案：4解析：∵OA ={－1，2}，OB ={3，m }，OA OB AB -=={4，m －2}，又OA ⊥AB ， ∴－1×4+2（m －2）=0，∴m =4.评述：本题考查向量的概念，向量的运算，向量的数量积及两向量垂直的充要条件. 12.答案：（223,22）解析：设a =OA =2+i ，b =OB ，由已知OA 、OB 的夹角为4π，由复数乘法的几何意义，得OB =OA （cos4π+isin4π）=（2+i ）i i 22322)2222(+=+. ∴b =（223,22）评述：本题考查向量的概念，向量与复数一一对应关系，考查变通、变换等数学方法，以及运用数学知识解决问题的能力.13.答案：－2∵（a +b ）⊥（a －b ），∴（m +2）×m +（m －4）（－m －2）=0，∴m =－2.评述：本题考查平面向量的加、减法,平面向量的数量积及运算,两向量垂直的充要条件. 14.得∴a ·b =（－3）×5+4×（－12）=－63.评述：本题考查平面向量数量积的坐标表示及求法. 15.答案：（4，2）解析：设P （x ，y ），由定比分点公式12113210,22116210=+⋅+==+⋅+=y x ，则P （2，1），又由中点坐标公式，可得B （4，2）.16.（1）证明：∵}0,23,2{mm AB AC BC =-=，∴| BC |=m ，又}0,0,{},0,23,2{m AC m m AB =-= ∴|AB |=m ，|AC |=m ，∴△ABC 为正三角形.又·1AA =0，即AA 1⊥AB ，同理AA 1⊥AC ，∴AA 1⊥平面ABC ，从而三棱柱ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱.（2）解：取AB 中点O ，连结CO 、A 1O .∵CO ⊥AB ，平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，∴CO ⊥平面ABB 1A 1，即∠CA 1O 为直线CA 1与平面A 1ABB 1所成的角.在Rt △CA 1O 中，CO =23m ，CA 1=22n m +， ∴sin CA 1O =221=CA CO ，即∠CA 1O =45°. 17.解：（1）取OB 的中点D ，连结O 1D ，则O 1D ⊥O B.∵平面OBB 1O 1⊥平面OAB ， ∴O 1D ⊥平面OA B.过D 作AB 的垂线，垂足为E ，连结O 1E . 则O 1E ⊥A B.∴∠DEO 1为二面角O 1—AB —O 的平面角. 由题设得O 1D =3，sin OBA =72122=+OB OA OA ， ∴DE =DB sin OBA =721 ∵在R t △O 1DE 中，tan DEO 1=7，∴∠DEO 1=arctan7，即二面角O 1—AB —O 的大小为arctan 7.（2）以O 点为原点，分别以OA 、OB 所在直线为x 、y 轴，过O 点且与平面AOB 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系如图5—15.则O （0，0，0），O 1（0，1，3），A （3，0，0），A 1（3，1，3），B （0，2，0）.设异面直线A 1B 与AO 1所成的角为α，则}3,1,3{},31,3{1111-=-=--=-=OO OA A O OA OB B A ， cos α71||||1111=⋅A O B A A O B A ， ∴异面直线A 1B 与AO 1所成角的大小为arccos71.18.解法一：如图5—16，以O 点为原点建立空间直角坐标系. 由题意，有B （3，0，0），D （23，2，4），设P （3，0，z ），则 ={－23，2，4}，OP ={3，0，z }.∵BD ⊥OP ，∴BD ·OP =－29+4z =0，z =89.∵BB ′⊥平面AOB ，∴∠POB 是OP 与底面AOB 所成的角. tan POB =83，∴∠POB =arctan 83. 解法二：取O ′B ′中点E ，连结DE 、BE ，如图5—17，则DE ⊥平面OBB ′O ′，∴BE 是BD 在平面OBB ′O ′内的射影. 又∵OP ⊥B D.由三垂线定理的逆定理，得OP ⊥BE .在矩形OBB ′O ′中，易得Rt △OBP ∽Rt △BB ′E ， ∴B B OBE B BP '='，得BP =89. （以下同解法一）19.解：（1）如图5—18，以点A 为坐标原点O ，以AB 所在直线为Oy 轴，以AA 1所在直线为Oz 轴，以经过原点且与平面ABB 1A 1垂直的直线为Ox 轴，建立空间直角坐标系.由已知，得A （0，0，0），B （0，a ，0），A 1（0，0，2 a ），C 1（a aa 2,2,23-）. （2）坐标系如图，取A 1B 1的中点M ，于是有M （0，2,2aa ），连AM ，MC 1有 1MC =（－23a ，0，0），且AB =（0，a ，0），1AA =（0，0，2 a ）由于1MC ·AB =0，1MC ·1AA =0，所以MC 1⊥面ABB 1A 1. ∴AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角. ∵1AC =（a a a 2,2,23-），AM =（0，2,2a a ），∴1AC ·AM =0+42a +2a 2=49a 2.而|1AC |=a a a a 32443222=++. |AM |=a a a 232422=+. ∴cos ＜1AC ，AM ＞=23233492=⋅aa a. 所以1AC 与AM 所成的角，即AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.20.解：（1）记P （x ，y ），由M （－1，0），N （1，0）得PM =－MP =（－1－x ，－y ），PN =－NP =（1－x ，－y ），MN =－NM =（2，0）∴MP ·MN =2（1+x ），PM ·PN =x 2+y 2－1，NM ·NP =2（1－x ）. 于是，MP ·MN ，PM ·PN ，NM ·NP 是公差小于零的等差数列等价于⎪⎩⎪⎨⎧<+---++=-+,0)1(2)1(2)],1(2)1(2[21122x x x x y x 即⎩⎨⎧>=+0,322x y x 所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆.（2）点P 的坐标为（x 0，y 0）.·PN =x 02+y 02－1=2.|PM |·|PN |=20202020)1()1(y x y x +-⋅++.∴cos θ2202043tan .41||||x x x PB PM PN PM --=-=⋅θ 21.解：（1）由题意知B （a ，a ，0），C （－a ，a ，0），D （－a ，－a ，0），E （2,2,2ha a -）.由此得，)2,23,2(),2,2,23(h a a DE h a a BE =--= ∴42322)232()223(22h a h h a a a a +-=⋅+⋅-+⋅-=⋅， 222221021)2()2()23(||||h a h a a +=+-+-==. 由向量的数量积公式有cos<DE BE , >222222222210610211021423||||h a h a h a h a h a DE BE DE BE ++-=+⋅++-=⋅ （2）若∠BED 是二面角α—VC —β的平面角，则CV BE ⋅，则有CV BE ⊥＝0.又由C （－a ，a ，0），V （0，0，h ），有＝（a ，－a ，h ）且)2,2,23(ha a BE --=，∴02223222=++-=⋅h a a CV BE . 即h ＝2a ，这时有cos<DE BE ,>＝31)2(10)2(610622222222-=++-=++-a a a a h a h a ， ∴∠BED ＝<DE BE ,>＝arccos （31-）＝π－arccos 31评述：本小题主要考查空间直角坐标的概念、空间点和向量的坐标表示以及两个向量夹角的计算方法；考查运用向量研究空间图形的数学思想方法.22.（1）证明：因为CB ⊥平面A 1B ，所以A 1C 在平面A 1B 上的射影为A 1B . 由A 1B ⊥AE ，AE ⊂平面A 1B ，得A 1C ⊥AE . 同理可证A 1C ⊥AF .因为A 1C ⊥AF ，A 1C ⊥AE ，所以A 1C ⊥平面AEF .（2）解：过A 作BD 的垂线交CD 于G ，因为D 1D ⊥AG ，所以AG ⊥平面D 1B 1BD .设AG 与A 1C 所成的角为α，则α即为平面AEF 与平面D 1B 1BD 所成的角.由已知，计算得DG =49. 如图5—19建立直角坐标系，则得点A （0，0，0），G （49，3，0），A 1（0，0，5）， C （4，3，0）.AG ={49，3，0}，A 1C ={4，3，－5}. 因为AG 与A 1C 所成的角为α，所以cos α=25212arccos ,25212||||11==⋅⋅αC A AG C A AG .由定理知，平面AEF 与平面D 1B 1BD 所成角的大小为arccos25212. 注：没有学习向量知识的同学可用以下的方法求二面角的平面角.解法一：设AG 与BD 交于M ，则AM ⊥面BB 1D 1D ，再作AN ⊥EF 交EF 于N ，连接MN ，则∠ANM 即为面AEF 与D 1B 1BD 所成的角α，用平面几何的知识可求出AM 、AN 的长度.解法二：用面积射影定理cos α=AEFABDS S ∆∆. 评述：立体几何考查的重点有三个：一是空间线面位置关系的判定；二是角与距离的计算；三是多面体与旋转体中的计算.23.建立坐标系，如图5—20.（1）证明：设AE =BF =x ，则A ′（a ，0，a ），F （a －x ，a ，0），C ′（0，a ，a ），E （a ，x ，0）∴A '={－x ，a ，－a }，E C '={a ，x －a ，－a }. ∵F A '·E C '=－xa +a （x －a ）+a 2=0 ∴A ′F ⊥C ′E（2）解：设BF =x ，则EB =a －x 三棱锥B ′—BEF 的体积 V =61x （a －x ）·a ≤6a （2a ）2=241a 3 当且仅当x =2a时，等号成立. 因此，三棱锥B ′—BEF 的体积取得最大值时BE =BF =2a，过B 作BD ⊥EF 于D ，连B ′D ，可知B ′D ⊥EF .∴∠B ′DB 是二面角B ′—EF —B 的平面角在直角三角形BEF 中，直角边BE =BF =2a ，BD 是斜边上的高.∴BD =42a .∴tan B ′DB =22='BDBB 故二面角B ′—EF —B 的大小为arctan22.评述：本题考查空间向量的表示、运算及两向量垂直的充要条件.二次函数求最值或均值不等式求最值，二面角等知识.考查学生的空间想象能力和运算能力.用空间向量的观点处理立体几何中的线面关系，把几何问题代数化，降低了立体几何的难度.本题考查的线线垂直等价于F A '·E C '=0，使问题很容易得到解决.而体积的最值除用均值不等式外亦可用二次函数求最值的方法处理.二面角的平面角的找法是典型的三垂线定理找平面角的方法，计算较简单，有一定的思维量.24.（1）证明：∵AB AP ⋅=－2－2+4=0，∴AP ⊥AB . 又∵AD AP ⋅=－4+4+0=0，∴AP ⊥AD .∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线，∴AP ⊥底面ABCD . （2）解：设AB 与AD 的夹角为θ，则 cos θ1053416161428||||=+⋅++-=⋅AD AB AD ABV =31|AB |·|AD |·sin θ·|AP |=161411059110532=++⋅-⋅ （3）解：|（×AD ）·AP |=|－4－32－4－8|=48它是四棱锥P —ABCD 体积的3倍.猜测：|（AB ×AD ）·AP |在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积（或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积）.评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力.25.解：如图5—21建立空间直角坐标系由题意，有A （0，2，0）、C （2，0，0）、E （1，1，0）设D 点的坐标为（0，0，z ）（z >0）则BE ={1，1，0}，AD ={0，－2，z }，设BE 与AD 所成角为θ. 则AD ·BE =2·224+cos θ=－2，且AD 与BE 所成的角的大小为arccos1010.∴cos 2θ=101422=+z ，∴z =4，故|BD |的长度为4. 又V A —BCD =61|AB |×|BC |×|BD |=38，因此，四面体ABCD 的体积为38.评述：本题考查空间图形的长度、角度、体积的概念和计算.以向量为工具，利用空间向量的坐标表示、空间向量的数量积计算线段的长度、异面直线所成角等问题，思路自然，解法灵活简便.26.解：如图5—22，建立空间直角坐标系O —xyz . （1）依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1）∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.（2）依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2）∴1BA ={－1，－1，2}，1CB ={0，1，2，}，1BA ·1CB =3，|1BA |=6，|1CB |=5∴cos<1BA ，1CB 30101||||1111=⋅CB BA . （3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），A 1={－1，1，2}， M C 1={21,21，0}.∴B A 1·M C 1=－2121++0=0，∴B A 1⊥M C 1，∴A 1B ⊥C 1M . 评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.27.（1）证明：设CB =a ，CD =b ，1CC =c ，则|a |=|b |，∵CB CD BD -==b －a ， ∴BD ·1CC =（b －a ）·c =b ·c －a ·c =|b |·|c |cos60°－|a |·|c |cos60°=0，∴C 1C ⊥BD .（2）解：连AC 、BD ，设AC ∩BD =O ，连OC 1，则∠C 1OC 为二面角α—BD —β的平面角.∵21)(21=+=CD BC CO（a +b ），2111=-=CC C （a +b ）－c∴CO ·211=OC （a +b ）·［21（a +b ）－c ］=41（a 2+2a ·b +b 2）－21a ·c －21b ·c=41（4+2·2·2cos60°+4）－21·2·23cos60°－21·2·23cos60°=23.则|CO |=3，|O C 1|=23，∴cos C 1OC 3311=⋅O C CO （3）解：设1CC CD =x ，CD =2，则CC 1=x2. ∵BD ⊥平面AA 1C 1C ，∴BD ⊥A 1C ∴只须求满足：D C C A 11⋅=0即可. 设A A 1=a ，AD =b ，=c ， ∵A 1=a +b +c ，C 1=a －c ，∴C A 11⋅=（a +b +c ）（a －c ）=a 2+a ·b －b ·c －c 2=x x 242+－6，令6－242x x -=0，得x =1或x =－32（舍去）. 评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题.28.（1）证明：∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AB ，又AB ⊥AD .∴AB ⊥平面P AD .又∵AE ⊥PD ，∴PD ⊥平面ABE ，故BE ⊥PD .（2）解：以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C 、D 的坐标分别为（a ，a ，0），（0，2a ，0）.∵P A ⊥平面ABCD ，∠PDA 是PD 与底面ABCD 所成的角，∴∠PDA =30°.于是，在Rt △AED 中，由AD =2a ，得AE =a .过E 作EF ⊥AD ，垂足为F ，在Rt △AFE 中，由AE =a ，∠EAF =60°，得AF =2a，EF =23a ，∴E （0，23,21a a ）于是，CD a a AE },23,21,0{=={－a ，a ，0} 设AE 与CD 的夹角为θ，则由cos θ||||CD AE CDAE ⋅420)()23()21(002321)(0222222=++-⋅++⋅+⋅+-⋅a a a a a a a a ∴θ=arccos42，即AE 与CD 所成角的大小为arccos 42. 评述：第（2）小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段.29.解：（1）过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中,由∠BDC =90°,∠DCB =30°，BC =2，得BD =1，CD =3，∴DE =CD ·sin30°=23. OE =OB －BE =OB －BD ·cos60°=1－2121=. ∴D 点坐标为（0，－23,21），即向量OD [TX →]的坐标为{0，－23,21}. （2）依题意：}0,1,0{},0,1,0{},0,21,23{=-==，所以}0,2,0{},23,1,23{=-=--=-=OB OC BC OA OD AD . 设向量AD 和BC 的夹角为θ，则cos θ222222020)23()1()23(0232)1(023||||++⋅+-+-⨯+⨯-+⨯-=⋅BC AD BC AD 1051-=. 评述：本题考查空间向量坐标的概念，空间向量数量积的运算及空间向量的夹角公式.解决好本题的关键是对空间向量坐标的概念理解清楚，计算公式准确，同时还要具备很好的运算能力.。

人教版高二必修四数学第二章平面向量试题

以下是为⼤家整理的关于《⼈教版⾼⼆必修四数学第⼆章平⾯向量试题》的⽂章，供⼤家学习参考！第四部分练习与试卷2.1 平⾯向量的概念及其线性运算（练习）【练习⽬标】1、理解平⾯向量和向量相等的含义，理解向量的⼏何表⽰；2、掌握向量加、减法的运算，并理解其⼏何意义；3、掌握向量数乘的运算，并理解其⼏何意义，以及两个向量共线的含义；4、了解向量线性运算的性质及其⼏何意义。

【⾃我测试】1、下列命题中（1）与⽅向相同（2）与⽅向相反（3）与有相等的模（4）若与垂直其中真命题的个数是 ( )A、0B、1C、2D、32、已知AD、BE是 ABC的边BC、AC上的中线，且，，则为 ( )A、 B、 C、 D、3、O是平⾯上⼀定点，A、B、C是平⾯上不共线的三个点，动点P满⾜，则P的轨迹⼀定经过 ABC的( )A、外⼼B、内⼼C、垂⼼D、重⼼4、若⾮零向量、满⾜| + |=| — |，则与所成⾓的⼤⼩为_________________。

5、已知点M是 ABC的重⼼，若，求的值。

6、 ABC的外接圆的圆⼼为O，两条边上的⾼的交点为H，，求实数的值。

2.2 平⾯向量的坐标运算【练习⽬标】1、知识与技能：了解平⾯向量的基本定理及其意义、掌握平⾯向量的正交分解及其坐标表⽰；理解⽤坐标表⽰的平⾯向量共线的条件。

2、能⼒⽬标：会⽤坐标表⽰平⾯向量的加、减与数乘运算；3、情感⽬标：通过对平⾯向量的基本定理来理解坐标，实现从图形到坐标的转换过程，锻炼学⽣的转化能⼒。

【⾃我测试】1、下列命题正确的是（）A、 B、C、 D、2、已知正⽅形ABCD的边长为1，，则 = （）A、0B、3C、D、3、已知，则共线的条件是（）A、 B、 C、 D、或4、如图，在中D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则（）A、 B、 C、 D、5、若，则实数p、q的值为（）A、 B、 C、 D、6、已知A、B、C是坐标平⾯上的三点，其坐标分别为A（1，2），B（4，1），C（0，-1），则是（）A、等腰三⾓形B、等腰直⾓三⾓形C、直⾓三⾓形D、以上都不对2.3 平⾯向量的数量积及其运算【学习⽬标】1．知识与技能：（1）理解向量数量积的定义与性质；（2）理解⼀个向量在另⼀个向量上的投影的定义；（3）掌握向量数量积的运算律；（4）理解两个向量的夹⾓定义；【⾃我测试】1、已知，，和的夹⾓为，则为（）A． B． C． D．2、已知向量，，若，则（）A． B． C． D．3、在△ABC中，a,b,c分别为三个内⾓A,B,C所对的边，设向量，若 ,则⾓A的⼤⼩为（）A. B. C. D.4、设是任意的⾮零平⾯向量，且它们相互不共线，下列命题：①②③不与垂直④其中正确的是（）A.①②B.②③C.③④D.②④5、若向量与的夹⾓为，，则向量的模为（）A. B. C. D.6、为锐⾓三⾓形的充要条件是（）A． B．C． D．7、设是两个⾮零向量，是在的⽅向上的投影，⽽是在的⽅向上的投影，若与的夹⾓为钝⾓，则（）A． B． C． D．8、在中，若且，则的形状是（）A．等边三⾓形 B．直⾓三⾓形 C．等腰⾮等边三⾓形 D．三边均不相等的三⾓形9、若，则与的夹⾓为； = ．10、已知， ,如果与的夹⾓为锐⾓,则的取值范围是11、 = 时，与垂直12、设向量其中，则的值是．13、已知向量与的夹⾓为，，则 = ．14、已知，⑴求与的夹⾓；⑵求；⑶若，，求的⾯积．15、已知向量且．⑴求及；⑵若的最⼩值是，求的值．2.4平⾯向量的应⽤【学习⽬标】1.经历⽤向量⽅法解决某些简单的平⾯⼏何问题、⼒学问题与其他⼀些实际问题的过程，体会向量是⼀种处理⼏何问题、物理问题等的⼯具，发展运算能⼒2.运⽤向量的有关知识对物理中的问题进⾏相关分析和计算，并在这个过程中培养学⽣探究问题和解决问题的能⼒1．在△ABC中，AB=a，AC=b，当a•b ＜0时，△ABC为（）Ａ．直⾓三⾓形Ｂ．锐⾓三⾓形Ｃ．钝⾓三⾓形Ｄ．等腰三⾓形2．若向量a、b、c满⾜a +b+c=0，|a|=3，|b|=1，|c|=4，则a b+b c+c a等于（）Ａ． 11 Ｂ． 12 Ｃ． 13 Ｄ． 143．已知点，则∠BAC 的余弦值为．4．已知，且a 与b的夹⾓为钝⾓，则x的取值范围是．5．的顶点为，重⼼．求：（1）边上的中线长；（2）边上的⾼的长．6．已知O为△ABC所在平⾯内的⼀点，且满⾜，试判断△ABC的形状．7．已知，设C是直线OP上的⼀点，其中O为坐标原点．（1）求使取得最⼩值时向量的坐标；（2）当点C满⾜（1）时，求cos∠ACB．8、已知O为△ABC所在平⾯内的⼀点，且满⾜，试判断△ABC的形状．9、已知，设C是直线OP上的⼀点，其中O为坐标原点．（1）求使取得最⼩值时向量的坐标；（2）当点C满⾜（1）时，求cos∠ACB．平⾯向量测试卷命题⼈：蓝承⼀、选择题：本⼤题共8⼩题，每⼩题4分，共32分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1、设向量，，则下列结论中正确的是（）A、 B、C、与垂直D、∥2、在平⾏四边形ABCD中，AC为⼀条对⾓线，若， ,则（）A．（3，5） B．（2，4） C、（－2，－4） D．（－3，－5）3、义平⾯向量之间的⼀种运算“ ”如下，对任意的，，令，下⾯说法错误的是（）A.若与共线，则B.C.对任意的，有D.4、已知向量a,b满⾜a•b＝0，|a|=1，|b|=2，则|2a－b|＝（）A、8B、4C、2D、05、在中，，．若点满⾜，则（）A． B． C． D．6、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则（）A、8B、4C、 2D、17、中，点在上，平⽅．若，，，，则（）A、 B、 C、 D 、8、已知和点满⾜ .若存在实数使得成⽴，则 =（）A． 2 B. 3 C. 4 D. 5⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．9、如图，在中，，，则 = 。

平面向量基本定理

选择题A．B．C．D．C本题考查向量数量积的定义及运算、平面向量基本定理、解方程（组）等基础知识，考查转化与化归思想、分析问题与解决问题的能力．选择题在△ABC中，若cosAcosB＞sinAsinB，则△ABC为( )．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判定CcosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)>0，即-cosC>0,∴cosC<0，∴C为钝角．选择题已知向量a、b，且，，，则一定共线的三点是( )．A．A、B、DB．A、B、CC．B、C、DD．A、C、DA，∴A、B、D三点共线．选择题记，设为平面向量，则( )A.B.C.D.D本题考查平面向量的模、数量积以及分段函数、函数最值，考查向量的加法和减法的几何意义．中档题．和是以为邻边的平行四边形的两条对角线对应的向量，所以选择题平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则（）A．B．C．D．D本题考查平面向量中的有关知识：平面向量基本定理、向量加法的几何含义、向量数量积的定义以及利用数量积求夹角等基础知识．单选不同的方法难易度不一样，中档题．方法一）因为，，所以，又，所以即．方法二）由几何意义知为以，为邻边的菱形的对角线向量，又，故．选择题设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不向的四点，若，，且，则称A3，A4调和分割A1，A2．已知点C(c，0)，D(d��0)，(c，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是( )．A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上D由题意得，，且，若C，D都在AB的延长线上，则λ＞1，μ＞1，，这与矛盾，故选D．选择题设分别为的三边的中点，则（）A.B.C.D.A本题考查平面向量基本定理、向量的线性运算，简单题。

=, 选A.选择题O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，＋∞]则P的轨迹一定通过△ABC的( )．A．外心B．内心C．重心D．垂心B解法一：如图所示，设为上的单位向量，为上的单位向量，则的方向为∠BAC的平分线的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴的方向与的方向相同．∵，∴点P在上移动．∴P的轨迹一定通过△ABC的内心．故选B．解法二：由于P点轨迹通过△ABC内一定点且该定点与O点位置和△ABC的形状无关，故取O点与A点重合，由平行四边形法则，很容易看出P点在∠BAC的平分线上，故选B．选择题如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P i（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（）A．1B．2C．3D．4A平面向量数量积的运算．，，，同理可得．选择题设向量a,b满足|a+b|=，|a-b|=，则a b = ( )A. 1B. 2C. 3D. 5A本题考察向量的运算，简单题。

【高中数学】平面向量的应用典型例题课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

+
.

×

+ ×

=
题型8 三角形的面积公式
.
典例8、[分析计算能力]在△ 中, = ∘ , = ,其面积为 ,则
++
等于(
+ +
A.
思路

B.

)

C.

D.

根据三角形面积公式分析计算,再利用正弦定理和余弦定理解三角形进行
由余弦定理得
即 =
=

+

− = + − × = ,
++
,由于
+ +
=

=

=

.

的值;

(2)若 = , =
思路

,求△

的面积.
本题通过直观图形,利用正、余弦定理进行分析计算.(1)在△ 和△ 中,利用
正弦定理表示出和,从而运算求解比值.(2)直接利用正弦定理解三角形.
题型6 正、余弦定理在几何中的运用
.
典例6、[分析计算能力、观察记忆能力]如图,在△ 中,平分∠,且

− ,从而得

出角的值;(2)先利用余弦定理找出, 的关系,再利用基本不等式放缩,求出 +
的取值范围.
题型4 平面向量基本定理的应用
典例4、[分析计算能力]在△ 中,角, , 的对边分别为, , ,且 +
( + ) − = .

平面向量的线性运算练习题

平面向量的线性运算练习题1. 已知平面向量a = 3i - 2j，b = 2i + 5j，求向量a + b的结果。

求解：a +b = (3i - 2j) + (2i + 5j)= 3i - 2j + 2i + 5j= 5i + 3j所以，向量a + b的结果为5i + 3j。

2. 已知平面向量u = 4i - 3j，v = 2i + 7j，w = -i + 2j，求向量2u - 3v + 4w的结果。

求解：2u - 3v + 4w = 2(4i - 3j) - 3(2i + 7j) + 4(-i + 2j)= 8i - 6j - 6i - 21j - 4i + 8j= -2i - 19j所以，向量2u - 3v + 4w的结果为-2i - 19j。

3. 已知平面向量p = -3i + 4j，q = 5i + 2j，r = 2i - j，s = -i - 5j，求向量(p + q) - (r - s)的结果。

求解：(p + q) - (r - s) = (-3i + 4j + 5i + 2j) - (2i - j + -i - 5j)= (-3i + 5i + 2i) + (4j + 2j - j - 5j)= 4i + 0j= 4i所以，向量(p + q) - (r - s)的结果为4i。

4. 已知平面向量a = 2i + 3j，b = 4i - 5j，求向量a与向量b的数量积。

求解：a ·b = (2i + 3j) · (4i - 5j)= 2i · 4i + 2i · -5j + 3j · 4i + 3j · -5j= 8i^2 - 10ij + 12ij - 15j^2= 8i^2 + 2ij - 15j^2 （注意i^2 = -1，j^2 = -1）= 8(-1) + 2ij - 15(-1)= -8 + 2ij + 15= 7 + 2ij所以，向量a与向量b的数量积为7 + 2ij。

平面向量坐标运算知识点

平面向量坐标运算知识点一、知识概述《平面向量坐标运算知识点》①基本定义：平面向量坐标运算，简单说就是用坐标来表示平面向量，然后做各种运算。

就像给向量这个抽象的东西在平面上找好了“住址”（坐标），方便计算向量的和、差、数乘等。

比如向量A在平面直角坐标系里，有个坐标（x,y），这就是它在这个“数学小区”里的具体位置信息。

②重要程度：在数学学科里，平面向量坐标运算就像是一把魔力钥匙，能打开很多难题的大门。

它在几何图形的平移、伸缩，力的合成与分解等问题里都占着相当重要的分量。

要是不掌握这个，很多跟向量相关的稍微复杂点的题都搞不定。

③前置知识：要学这个，得先把平面直角坐标系、向量的基本概念（比如向量的大小和方向是啥）、向量的加法、减法这些基础知识掌握得妥妥的。

就像盖房子，前面那些知识是地基，平面向量坐标运算这楼才能盖起来。

④应用价值：实际应用场景超多。

比如说在物理里计算力的分解与合成，把力当成向量，用坐标运算就能轻松算出各个方向的分力或者合力。

在计算机图形学里，图形的平移、旋转、缩放都可以用向量坐标运算来描述，这样才能让图形在屏幕上“乖乖听话”，准确地实现各种效果。

二、知识体系①知识图谱：在整个向量知识体系里，平面向量坐标运算像是一条主线。

它跟向量的基本运算（向量加法等）、向量的性质（如平行、垂直的判定）都有千丝万缕的联系。

就像一张复杂的人际关系网里的关键角色，联系着很多其他相关概念的。

②关联知识：跟三角函数有点联系呢，有时候在计算向量夹角的时候会用到三角函数的知识。

还有跟解析几何也相关，有时候在解析几何里表示直线的方向或者图形在平面上的位置关系时，平面向量坐标运算就派上大用场了。

③重难点分析：- 掌握难度：这个知识点理解起来不算太难，但是要熟练运用还是有一定难度的。

刚开始接触时，让向量和坐标对应起来，建立这种思维转换有点挑战。

- 关键点：坐标的正确选取和运算规则的准确应用是关键。

一个坐标错误，后面的计算统统白搭。

高一数学第二章平面向量检测题及答案解析

高一数学平面向量测试题本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，只将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。

参考公式：将点),(y x P 按向量),(b a 平移后得点),(y x P '''，则⎩⎨⎧+='+='b y y ax x第Ⅰ卷（选择题部分共40分）注意事项：1. 答第Ⅰ卷时，考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中，仅一项符合要求）1．已知向量b a ,,则“R b a ∈=λλ,”成立的必要不充分条件是（）A ．0 =+b aB ．a 与b 方向相同C ．b a ⊥D ．a∥b2．在△ABC 中,AB =a ,AC=b ,如果|||=|a b ,那么△ABC 一定是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形3．1(26)32+-a b b 等于（）A ．2-a bB ．-a bC ．aD ．b4．下列命题正确的是（）A ．若ABC 、、是平面内的三点,则AB AC BC -= B ．若12e e 、是两个单位向量,则12e e =。

C ．若a b 、是任意两个向量,则a b a b +≤+D ．向量12(0,0),(1,2)e e ==-可以作为平面内所有向量的一组基底5．一质点受到平面上的三个力123,,F F F (单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知12,F F 成120 角,且12,F F 的大小分别为1和2,则有（）A ．13,F F 成90角B ．13,F F 成150角C ．23,F F 成90角D ．23,F F 成60角6．如图,设,P Q 为ABC ∆内的两点,且2155AP AB AC =+,AQ ＝2AB ＋1AC ,则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积之比为 A ．15B ．45 C ．14 D ．137．设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,216,BCAB AC AB AC =∣+∣=∣-∣,则AM ∣∣=（）A ．8B ．4C ．2D ．18．平面上O,A,B 三点不共线,设,OA a OB b ==,则△OAB 的面积等于（）A ．222|||()|a b a b -B ．222|||()|a b a b +C ．2221|||()2|a b a b - D ．2221|||()2|a b a b + 9．函数2)62cos(-+=πx y 的图像F 按向量a 平移到F /，F /的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时，向量a 可以等于（）A ．)2,6(-πB ．)2,6(πC ．)2,6(--πD ．)2,6(π-10．定义平面向量之间的一种运算“”如下,对任意的a=(m,n),b p,q)=（,令 a b=mq-np ,下面说法错误的是（）A ．若a 与b 共线,则a b=0B ．ab=b aC ．对任意的R λ∈,有a)b=(λλ（ab)D ．2222(ab)+(ab)=|a||b|第Ⅱ卷（非选择题部分共60分）二、填空题（本大题6小题，每题4分，共24分。

题型04 平面向量数量积与三角形平面向量中线定理(解析版)

秒杀题型：三角形中平面向量中线定理秒杀策略：中线定理：如AM 为ABC ∆边BC 上的中线，则1()2AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r。

1.(2014年新课标全国卷I15)已知C B A ,,是圆O 上的三点,若)(21+=,则与AC 的夹角为 .【解析】：由向量中线定理可知AO 是ABC ∆底边BC 的中线，即O 是BC 的中点，即BC 是直径，AB 与AC 的夹角为2π。

2.(2017年新课标全国卷II12)已知ABC ∆是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是 ( )A.2-B.32-C. 43- D.1- 【解析】：几何法：PD PC PB 2=+(D 为BC 中点)，()2PA PB PC PD PA ⋅+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,要使PA PD ⋅u u u r u u u r 最小，则PA u u u r ，PD u u u r 方向相反，即P 点在线段AD 上，min 22PD PA PA PD ⋅=-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ,即求PD PA ⋅u u u r u u u r最大值，2PA PD AD +==u u u r u u u r u u u r ,则22324PA PD PA PD ⎛⎫+ ⎪⋅== ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ≤,则min 332242PD PA ⋅=-⨯=-u u u r u u u r ．解析法：建立坐标系，以BC 中点为坐标原点，∴(0A ,()10B -，,()10C ，.设()P x y ，，()PA x y =-u u u r,()1PB x y =---u u u r ，,()1PC x y =--u u u r ，,∴()2222PA PB PC x y ⋅+=-+u u u r u u u r u u u r22324x y ⎡⎤⎛⎢⎥=+-- ⎢⎥⎝⎭⎣⎦,则其最小值为33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭,此时0x =,y =选B 。

2021-2022学年上海高一数学下学期考试满分全攻略第8章平面向量(典型30题专练)(解析版)

第8章平面向量（典型30题专练）一、单选题1．（2021·上海·高一课时练习）下列结论中正确的个数为（）①若a 、b 都是单位向量，则a b =；②物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量；③方向为南偏西60的向量与方向为北偏东60的向量是共线向量； ④直角坐标平面上的x 轴、y 轴都是向量. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】【分析】根据单位向量、共线向量以及向量的定义来对①②③④中的命题的正误进行判断. 【详解】①若a 、b 都是单位向量，则1a b ==，方问不一定相同，故①不正确；②物理学中的作用力与反作用力是一对大小相等，方向相反的向量，因而它们是一对共线向量，故②正确；③方向为南偏西60的向量与方向为北偏东60的向量在一条直线上，是共线向量，故③正确；④直角坐标平面上的x 轴、y 轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量，故④不正确. 故选：B. 【点睛】本题考查向量、单位向量以及共线向量概念的理解，要从向量的大小与方向两方面去理解，属于基础题.2．（2021·上海·高一课时练习）对任意向量a ,b ,“a ⃑=b ⃑⃑”是“22a b =”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．非充分非必要条件【答案】A 【解析】【分析】由2222,a a b b ==,结合22a b =可以得到|a ⃗|=|b ⃑⃗|,这样先判断由a b =能不能推出 |a ⃗|=|b ⃑⃗|,再判断由|a ⃗|=|b ⃑⃗|能不能推出a b =,最后选出正确答案. 【详解】因为2222,a a b b ==,所以由22a b =可以推出|a ⃗|=|b ⃑⃗|,两个向量相等,根据定义,它们的模相等,因此由由a b =能推出|a ⃗|=|b ⃑⃗|,但是当两个向量模相等时,它们不一定相等,例如： (1,0),(0,1)a b ==,显然它们的模相等,但是方向不能,故由由|a ⃗|=|b ⃑⃗|不一定能推出a b =,所以向量a ,b ,“a b =”是“22a b =”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断,理解平面向量相等与模相等之间的关系是解题的关键. 3．（2021·上海·高一课时练习）已知向量()2,1a =-,()3,4b =,如果向量ta b +与a -垂直,则实数t 的值为（） A ．323B ．2C ．233D ．25-【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量运算的坐标表示求出向量ta b +的坐标,再根据两个平面向量互相垂直它们的数量积为零,得到等式,求出实数t 的值. 【详解】因为向量()2,1a =-，()3,4b =,所以(23,4)ta b t t +=+-+,()2,1a -=-,因为向量ta b +与a-垂直,所以()()0ta b a +⋅-=,即2(23)(2)(4)105t t t +⋅-+-+⋅=⇒=-.故选：D 【点睛】本题考查了两平面向量互相垂直求参数问题,考查了数学运算能力.4．（2021·上海·高一课时练习）下列命题中正确的是（） A ．//a b ，//b c ，则//a cB ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点C ．向量a 与b 不平行，则a 与b 都是非零向量D ．有相同起点的两个非零向量不平行【答案】C 【解析】【分析】当b 是零向量时，可知A 不正确；当表示两个向量的有向线段在一条直线上时可以否定B ；根据零向量与任何向量都平行，可以判定C ；根据有相同起点的非零向量可以同向或反向，可以否定D. 【详解】由于零向量与任意向量都共线，所以当b 是零向量时，a 与c 不一定共线，故A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时不能构成四边形，所以不可能是一个平行四边形的四个顶点，故B 不正确；零向量与任意向量都共线，故C 正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，故D 不正确. 故选:C.5．（2021·上海·高一专题练习）ABC ∆中，·0AB BC >，则ABC ∆一定是 A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定【答案】C 【解析】【分析】表示出向量的点乘，结合已知条件进行判定三角形形状【详解】因为ABC ∆中，·0AB BC >，则()··cos 0AB BC B π->，即()cos 0B π->，cos 0B <，角B 为钝角，所以三角形为钝角三角形故选C【点睛】本题考查了由向量的点乘判定三角形形状，只需运用公式进行求解，较为简单 6．（2021·上海·高一课时练习）设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】∵A ､B ､C 三点不共线,∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AB -AC |⇔|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇔•AC >0AB ⇔与AC的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件,故选C. 【点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.7．（2021·上海·高一课时练习）设0a 是与向量a 同向的单位向量，0b 是与向量a 反向的单位向量，则下列式子中不正确的是（） A ．a 0⃑⃑⃑⃑⃑∥b 0⃑⃑⃑⃑⃑ B ．0a a a =C ．000a b +=D ．0ab a=-【答案】C 【解析】【分析】根据单位向量的性质对四个选项进行判断，得到答案. 【详解】因为a 0⃑⃑⃑⃑⃗是与向量a 同向的单位向量，b 0⃑⃑⃑⃑⃗是与向量a 反向的单位向量所以a 0⃑⃑⃑⃑⃗与b 0⃑⃑⃑⃑⃗以及a 都共线，得到00a b ∥，所以A 选项正确；因为|a ⃗|是a 的模长，且a 0⃑⃑⃑⃑⃗是与向量a 同向的单位向量，所以有0a a a =，所以B 选项正确；因为a 0⃑⃑⃑⃑⃗和b 0⃑⃑⃑⃑⃗是方向相反的单位向量，所以000a b +=，所以C 选项错误；因为因为|a ⃗|是a 的模长，且b 0⃑⃑⃑⃑⃗是与向量a 反向的单位向量，所以有0a a b =-，整理得到0a b a=-，所以D 选项正确；故选： C. 【点睛】本题考查单位向量的性质，属于简单题.8．（2021·上海·高一课时练习）向量a ，b 不平行，2AB a b =+，2BC a b =-，142CD a b =-，且CD AB BC λμ=+，则λ，μ分别是（）A ．1λ=-，3μ=B ．32λ=，1μ= C ．2λ=，12μ=D ．2λ=，1μ=【答案】B 【解析】【分析】把2AB a b =+，2BC a b =-，代入CD AB BC λμ=+，将CD 用a 和b 表示，再与142CD a b =-对应，从而得到λ和μ的方程组，解出λ和μ的值，从而得到答案.【详解】因为向量a ，b 不平行，2AB a b =+，2BC a b =-，所以CD AB BC λμ=+()()22a b a b λμ=++-()()22a b λμλμ=++-因为142CD a b =-，所以可得24122λμλμ+=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得321λμ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故选：B. 【点睛】本题考查向量的线性运算，平面向量基本定理，属于简单题.9．（2021·上海·高一课时练习）给定两个向量a ⃗=(3,4)，b⃑⃗=(2,−1)，若()()a xb a b +⊥-，则x 的值是（）A ．23B ．232C ．233D ．234【答案】C 【解析】【分析】先求出()()a xb a b +-,的坐标,然后利用向量垂直等价于数量积为零，利用数量积的坐标运算得到关于x 的方程，求解即得. 【详解】()()3,4,2,1a b ==-,()()32,4,1,5a xb x x a b ∴+=+--=，又()(),a xb a b +⊥-()()0a xb a b ∴+⋅-=，即()321(4)50x x +⨯+-⨯=，整理得323x =,解得233x =，故选:C.10．（2021·上海·高一课时练习）下列各式中不能化简为AD 的是（） A ．()AB DC CB -- B ．()AD CD DC -+ C ．()()CB MC DA BM -+-+ D ．BM DA MB --+【答案】D 【解析】【分析】根据向量加减法的法则，分别判断每个选项，得到正确答案. 【详解】()AB DC CB AB BC CD AD --=++=；()0AD CD DC AD AD -+=-=；()()()CB MC DA BM CB BM DA MC CM DA CM AD -+-+=-+--=--+=； 2BM DA MB MB AD AD --+=+≠.故选：D. 【点睛】本题考查向量的加减运算，关键是准确灵活使用向量的加法和减法运算法则，注意使用相反向量进行转化.二、填空题11．（2021·上海·高一课时练习）若A 、B 、C 、D 是共面的四点，则AB CD BC DA +++=__________.【答案】0 【解析】【分析】利用向量的加法运算的交换律，和加法运算的几何意义可以得到答案. 【详解】AB CD BC DA +++=0A AB BC CD DA A +++==,故答案为：012．（2021·上海·高一课时练习）若6a =，|b ⃑⃗|=3，3a b +=，则向量a 与b 的方向必为__________. 【答案】反向【解析】【分析】注意到a b +=a b -，利用向量加法的几何意义可得答案. 【详解】由已知可得3a b +=63=-=a b -，由向量加法的几何意义可知，向量a 与b 的方向的方向相反，故答案为：反向.13．（2021·上海·高一课时练习）如图，在菱形ABCD 中，若120DAB ∠=︒，则以下说法中正确的是__________.（填序号） ①与AB 相等的向量只有一个（不含AB ）； ②与AB 的模相等的向量有9个（不含AB ）；③BD 的模恰为DA ④BD 与OB 不平行.【答案】①②③ 【解析】【分析】根据相等向量的概念判定①；根据菱形的性质和120DAB ∠=︒的条件，可得对角线AC 与菱形的边长相等，可以判定②；根据菱形的对角线垂直且互相平分，结合已知角度，利用特殊角的三角函数，可以得到,BO =进而得到BD =，从而判定③；注意到方向相同或相反的向量都叫做平行向量，表示向量的有向线段可以在同一直线上，可以对④作出否定. 【详解】与AB 相等的向量需要方向相同,模相等,只有DC ,故①正确；根据菱形的性质结合120DAB ∠=︒,可知对角线AC 与菱形的边长相等，故与AB 的模相等的向量有,,,,,,,,BA AD DA DC CD BC CB AC CA ,共9个向量，故②正确；易得,BO BD =∴==,∴BD 的模恰为DA向量BD 与OB 的方向是相反的，是平行向量，故④不正确. 故答案为：①②③.14．（2021·上海·高一课时练习）若0a 为单位向量，3a =，则可用0a 表示a =__________. 【答案】03a【解析】【分析】根据单位向量的模和3a =的倍数关系即可得到答案. 【详解】∵0a 为单位向量,∴01a =,又∵3a =,∴a =03a , 故答案为: 03a .15．（2021·上海·高一课时练习）a 、b 均为非零向量，叙述下列等式成立的条件：（1）a b a b +=+成立的条件是__________；（2）a b a b +=-成立的条件是__________；（3）a b a b -=+成立的条件是__________；（4）a b a b -=-成立的条件是__________；（5）a b a b +=-成立的条件是__________.【答案】 a 、b 方向相同； a 、b 方向相反； a 、b 方向相反； a 、b 方向相同，且a b ≥； a b ⊥. 【解析】【分析】利用向量的加法，减法的几何意义可以得到各项的成立的条件. 【详解】（1）如图，由向量加法的几何意义可知，a b a b +=+成立的条件是a 、b 方向相同；（2）如图，由向量加法的几何意义可知，a b a b +=-成立的条件是a 、b 方向相反；（3）如图，由向量的减法的几何意义可知，a b a b -=+成立的条件是a 、b 方向相反；（4）如图，由向量的减法的几何意义可知，a b a b -=-成立的条件是a 、b 方向相同，且a b ≥；（5）如图，有向量的加法和减法的几何意义，可知a b a b +=-成立，等价于平行四边形OAPB 的对角线相等，即平行四边形OAPB 为矩形，即a b ⊥.故答案为：（1）a 、b 方向相同；（2）a 、b 方向相反；（3）a 、b 方向相反；（4）a 、b 方向相同，且a b ≥；（5）a b ⊥.16．（2021·上海·高一课时练习）若|a ⃗|=|b ⃑⃗|=2，23a b +=，则a b -=__________. 【答案】2 【解析】【分析】根据向量的加减法的几何意义，结合菱形的判定与性质可以求解【详解】如图所示，由|a ⃗|=|b ⃑⃗|=2可知四边形OAPB 为菱形，∵23a b +=，∴对角线OP =于是∠OAP =120°，∴∠AOB =60°，∴三角形OAB 为等边三角形，∴对角线2BA =，即a b -=2，故答案为：2.17．（2021·上海·高一课时练习）若D 是△ABC 的边BC 上的点，且:1:2BD DC =，AB a =，AC b =，则AD =___________.（用a 、b 表示）【答案】2133a b +【解析】【分析】将已知条件转化为向量关系得到2BD DC =，然后利用向量的减法法则转化为,,AB AC AD 的表达式，进而求解即得. 【详解】因为D 是△ABC 的边BC 上的点，且:1:2BD DC =，故2BD DC =,∴()2AD AB AC AD -=-,∴21213333AD AB AC a b =+=+, 故答案为：2133a b +.18．（2021·上海·高一课时练习）若平面向量()1,a m =，(1,3b =-，若a b a b -=+，则a =__________.【解析】【分析】由a b a b -=+，两边平方，整理可得·0a b =，进而利用数量积的坐标表示，求得m 的值，然后利用模的坐标公式计算. 【详解】∵a b a b -=+，∴()()22a ba b -=+，即·0a b =，又∵()1,a m =，(1,3b =-，∴()110⨯-=,解得m =31,3a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,∴113a =+19．（2021·上海中学高一期中）已知正六边形ABCDEF ，若AC a =，AD b =，则AE 用a ，b 表示为________．【答案】32b a - 【解析】【分析】根据向量加法的三角形法则，即可求解【详解】如图，1322AE AF FE CD FE AD AC AD b a =+=+=-+=-，故答案为：32b a -20．（2021·上海·高一课时练习）下列说法正确的是__________（写序号）． ①若AB 与CD 共线，则点A 、B 、C 、D 共线； ②四边形ABCD 为平行四边形，则AB CD =； ③若,a b b c ==，则a c =；④四边形ABCD 中，,||||AB DC AB AD ==，则四边形ABCD 为正方形．【答案】③ 【解析】【分析】利用向量共线、相等的定义，分别进行判断，即可得出结论．【详解】①若AB 与CD 共线，则点A ，B ，C ，D 共线，不正确，比如平行四边形的对边； ②若四边形ABCD 为平行四边形，则AB DC =，不正确； ③若a b =，b c =，则a c =，正确；④在四边形ABCD 中，AB DC =，且||||AB AD =，则四边形ABCD 为正方形或菱形，不正确；故答案为：③.三、解答题21．（2021·上海·高一课时练习）在下图田字格中，以图中的结点为向量的起点或终点.（1）写出与12A A 相等的向量；（2）写出与12A B 平行的向量；（3）写出13A A 的负向量.【答案】（1）23A A ，12B B ，23B B ，12C C ，23C C ；（2）13AC ，23A B ，12BC ，23B C ，21B A ，32B A ，21C B ，32C B ，31C A ；（3）31A A ，31B B ，31C C 【解析】【分析】（1）根据相等向量的概念进行寻找，注意方向要相同，大小（长度）要相等, 表示向量的有向线段可以共线也可以平行；（2）根据平行向量的概念进行寻找，注意方向可以相同或相反，长度可以相同也可以不同, 表示向量的有向线段可以共线也可以平行；（3）根据负向量的概念寻找，注意方向要相反，长度要相等，表示向量的有向线段可以共线也可以平行. 【详解】（1）如图①标出了与12A A 方向相同，大小相等的向量，是与12A A 相等的向量，有23A A ，12B B ，23B B ，12C C ，23C C ；（2）与12A B 平行的向量是指与12A B 方向相同或相反的向量，长度可以相等也可以不相等，故有13AC ，23A B ，12BC ，23B C ，21B A ，32B A ，21C B ，32C B ，31C A ，如图②所示；（3）13A A 的负向量是指方向相反，长度相等的向量，故有31A A ，31B B ，31C C ，如图③所示.22．（2021·上海·高一课时练习）在ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，F、G分别是DB、EC的中点，判别下列命题是否正确.（1）DE FG=；（2）DE和FG是平行向量；（3）DE FG<.【分析】（1）画出图形，根据平面几何知识，结合相等向量的概念进行判定；（2）根据平面几何知识，结合平行向量的概念进行判定；（3）注意到向量的概念，包括方向和大小（模），模可以比较大小，方向没法比较大小，因此向量没有大小的比较可以判定.【详解】（1）不正确.DE和FG的模不相等，为此它们必不是相等向量；DE FG，所以DE和FG为平行向量；（2）正确.由平面几何知识可知//（3）不正确.向量是无法比较大小的，只有向量的模可以比较大小.23．（2021·上海·高一课时练习）已知向量()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC m m =---.（1）若点A ，B ，C 能够成三角形，求实数m 应满足的条件；（2）若△ABC 为直角三角形，且A ∠为直角，求实数m 的值. 【答案】（1）12m ≠；（2）74m =.【解析】【分析】(1)点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线，即AB 与BC 不共线，利用向量共线的坐标公式计算即可．(2)△ABC 为直角三角形，且A ∠为直角，则AB AC ⊥，利用向量的数量积坐标公式计算即可．【详解】（1）已知向量()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC m m =---，若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线，即AB 与BC 不共线. AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3,1)，()2,1AC m m =--，故知()312m m -≠-， ∴实数12m ≠时，满足条件. （2）若△ABC 为直角三角形，且A ∠为直角，则AB AC ⊥， ∴()()3210m m -+-=，解得74m =. 【点睛】本题考查平面向量共线的坐标公式和数量积的坐标运算，考查学生逻辑思维能力，属于基础题．24．（2021·上海·高一单元测试）如图，两个长度为1的平面向量OA 和OB ，夹角为120︒，点C 在以O 为圆心的圆弧AB⏜上移动，若OC xOA yOB =+，求x y +的最大值.【答案】2 【解析】【分析】首先以O 为原点，向量OA 的方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系，并设COA θ∠=，从而可写出A ，B ，C 三点的坐标，从而根据条件OC xOA yOB =+便可得到(cos ,sin )(2y x θθ=-，这样便可得到cos x y θθθ⎧+⎪⎪⎨⎪⎪⎩，根据两角和的正弦公式即可得到2sin(30)x y θ+=+︒，根据θ的范围即可得出x y +的最大值．【详解】解：如图，以O 为坐标原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，则：(1,0)A，1(2B -，设AOC θ∠=， (cos ,sin )C θθ∴；∴(,0)(((cos ,sin )22y y OC xOA yOB x x θθ=+=+-=-=；∴cos 2sin y x θθ⎧-=⎪⎪=；∴cos x y θθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；∴cos 2sin(30)x y θθθ++=+︒； 3090θ∴+︒=︒，即60θ=︒时x y +取最大值2．25．（2021·上海·高一课时练习）在一次航模实验中，小船受到两个力的作用，已知16N OF =，28N OF =，且1260FOF ∠=︒，求合力OF 的大小及1FOF∠的大小.【答案】合力大小为，1FOF ∠的大小为arcsin 371FOF ∠=）. 【解析】【分析】解法一：根据加法的几何意义，结合余弦定理求得OF 的长度，即为合力的大小；利用正弦定理求得1sin FOF ∠，即可求得1FOF ∠的大小. 解法二：利用向量的数量积运算求解. 【详解】解法一：如图，∠OF 1F =180°-∠F 1OF 2=120°，|F 1F 2|=|OF 2|=8,|OF 1|=6.由余弦定理得：22268268cos120148OF =+-⋅⋅⋅︒=，可得，OF =N )，又由正弦定理得：18sin FOF=∠∴18sin FOF∠==又∵∠FOF1+∠OF1F<180°，∠OF1F=120°，∴∠FOF1为锐角，故1arcsin37FOF∠=所以，合力大小为，1FOF∠的大小为arcsin37.解法二：()22122221212cos60OF OF OF OF OFF OFO+=++︒=221682681482⎛⎫=++⨯⨯⨯=⎪⎝⎭，所以237OF=（N），112111cos,OF OF OFOF OFOF OFOFOF⋅+⋅==226816⎛⎫+⨯⨯ ⎪===则1FOF∠=.26．（2021·上海·高一课时练习）如图，平行四边形ABCD中，2AB=，4AD=，3DABπ∠=.求：（1）DB；（2）CAB∠的大小.【答案】（1）2）【解析】【分析】（1）根据()22DB AB AD =-，利用向量的数量积运算，即得得解；（2）由()22AC AB AD =+，利用向量的数量积运算，求得AC ，()··AC AB AB AD AB =+运算求得·AC AB ，进而利用向量的夹角余弦公式计算. 【详解】（1）()22222cos DB AB ADAB AD AB AD DAB =-=+-∠1416224122=+-⨯⨯⨯=∴22DB =（2）()22222cos AC AB ADAB AD AB AD DAB =+=++∠1416224282=++⨯⨯⨯=, ∴27AC =;()21 (42482)AC AB AB AD AB AB AB AD =+=+=+⨯⨯=，∴·cos 2·AC AB CAB AC AB∠===,而该角为三角形内角，∴CAB ∠=27．（2021·上海·高一课时练习）如图，质点O 受到两个力1F 和2F 的作用，已知12135F OF ∠=︒，18N OF =，242N OF =，求这两个力的合力OF 的大小以及1FOF ∠的大小.【答案】42OF =145FOF ∠=︒.【解析】【分析】由向量的数量积的运算，结合向量的模和夹角余弦值公式求解即得.【详解】 ()22121212222cos135OF OF OF OFOF OF OF +=+=+︒ ((2282832⎛=++⨯⨯⨯= ⎝⎭，所以42OF =（牛），112111cos,OFOF OF OF OFOF OF OFOF ⋅+⋅==2288⎛+⨯ ==则145FOF ∠=︒.28．（2021·上海·高一课时练习）已知a 、b 是两个非零向量，同时满足a b a b ==-，求a 与a b +的夹角.【答案】6π.【解析】【分析】利用向量的加法和减法的几何意义分析即得.【详解】由a b a b ==-，结合向量减法的几何意义，如图所示，可知△OAB 为等边三角形，∴平行四边形OAPB 为菱形，且π6AOP ∠=, 故答案为：π6.29．（2021·上海·高一期末）作五边形ABCDE ，求作下列各题中的和向量：（1）AB BC +；（2）AB ED DB BE +++.【答案】（1）AC ；（2）AB .【解析】【分析】（1）利用平面向量的加法法则求解即可；（2）利用平面向量的加法法则求解即可．【详解】（1）AB BC AC ；（2）AB ED DB BE AB EB BE AB +++=++=.30．（2021·上海市嘉定区第一中学高一期中）已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos 3α=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β. （1）求|a ⃗|，b ；（2）求cos β的值.【答案】（1）=3a ，|b ⃑⃗|=2√2；（2. 【解析】【分析】（1）利用平面向量的数量积的运算求解；（2）利用数量积的运算求得a b ⋅，结合（1）中求得的模，利用向量的夹角余弦值公式计算即得.【详解】（1）()21212329412943a e e e e =-=+-⋅=+，|b ⃑⃑|=√(3e 1⃑⃑⃑⃑−e 2⃑⃑⃑⃑)2=√9+1−6e 1⃑⃑⃑⃑⋅e 2⃑⃑⃑⃑=√10−6×13=2√2 ；（2）()()22121212123239291138a b e e e e e e e e ⋅=-⋅-=+-⋅=-= 所以cos β=a ⃑⃗⋅b ⃑⃗|a ⃑⃗|⋅|b ⃑⃗|=3×2√2=2√23.。

平面向量专题练习(带答案详解)

平面向量专题练习(带答案详解)一、单选题1．已知向量()1,2a =-，()1,1b =，则a b ⋅=（） A ．3B ．2C ．1D ．02．已知向量()1,2a =-，() 2,x b =，若//a b ，则x 的值是（） A ．-4B ．-1C ．1D ．43．已知向量()()1,1,0,1,0,2a b ==-，且ka b +与2a b -互相垂直，则k 的值是（） A ．1B ．15C ．35D ．754．等腰直角三角形ABC 中，2ACB π∠=，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上一点，且2BP PA =，那么CP CA CP CB ⋅+⋅=（） A ．4-B ．2-C ．2D ．45．设,a b 是非零向量，则2a b =是a b a b=成立的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件6．在ABC ∆中,4,3A b c E F π=+=、为边BC 的三等分点，则AE AF ⋅的最小值为（）A B ．83C ．269D ．37．若2a =，2b =，且()-⊥a b a ，则a 与b 的夹角是（） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 8．已知非零向量,a b 满足||6||a b =，,a b 的夹角的余弦值为13，且()a a kb ⊥-，则实数k 的值为（） A ．18B ．24C ．32D ．369．已知向量, m n 的夹角为60︒，且13213m m n -==，,则n =（）A ．32- B ．32C ．32D ．210．已知向量0.52log sin log cos OA OB OC θθ=⋅+⋅，若A 、B 、C 三点共线，则sin cos θθ+=（）A ．BC ．D 11．在ABC ∆中，22AB AC ==，60BAC ∠=︒，且2BD DC =，则AD BC ⋅=（）．A ．1-B ．1CD12．已知椭圆222:19x y C b +=，且,M N 是椭圆C 上相异的两点，若点()2,0P 满足PM PN ⊥，则PM MN ⋅的取值范围为（）A ．125,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[]25,1--D ．[]5,1--13．已知向量()2,a m =-，()1,b n =，若a b b ∥，且2b =，则实数m 的值为（） A ．2B ．4C ．2-或2D ．4-或414．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且M 为BC 中点，则（）A ．33AB AC HM MO +=+ B ．33AB AC HM MO +=- C ．24AB AC HM MO +=+D ．24AB AC HM MO +=-15．已知向量a ，b 满足22a a b a b =⋅=-，，当a ，b 的夹角最大时，则a b ⋅=（）A ．0B ．2C ．D ．416．已知O 是ABC ∆的重心，且20OA OB BC λ++=，则实数λ=( )A ．3B ．2C ．1D ．1217．设a ，e 均为单位向量，当a ，e 的夹角为4π时，a 在e 方向上的投影为（）A ．2-B ．12C ．2D 18．若向量a ，b 满足||3a =，||26b =，且满足(2)a b a +⊥，则a 与b 的夹角为（） A ．3π B ．23π C ．4π D ．34π 19．已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m =( ) A ．−8 B ．−6 C ．6 D ．8二、填空题20．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且4CD DB r AB sAC ，则3r s +的值为__________.21．已知1a =，2b =，且()a ab ⊥-，则向量a 与向量b 的夹角是________.22．已知在Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，()()()1,,3,1,4,AC m AB BD n ===，若B 、C 、D 三点共线，则m +n ＝_____.23．ABC △中，2A B =，1BC =，则AC 的取值范围是__________，BA BC ⋅的取值范围是__________.24．已知向量(4,3)a =-，若向量(2,1)b =-，则向量a 在向量b 方向上的投影是_____． 25．已知()3,4a =，()2,1b =，则a 在b 方向上的投影为______.26．设向量(1,)AB m =，(2,1)BC m =-，其中[1,)m ∈-+∞，则AB AC ⋅的最小值为__________．27．设向量a ，b 满足10a b +=，6a b -=，则⋅=a b ___________28．已知||1,||2,0,()()0a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=,则||c 的最大值为_________________.三、解答题29．已知以F 为焦点的抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)P -，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 中点，且OM OP OF λ+=.（1）当3λ=时，求点M 的坐标；（2）当12OA OB ⋅=时，求直线l 的方程.30．已知OA a OB b ==，，对于任意点M ，点M 关于点A 的对称点为点S ，点S 关于点B 的对称点为点N . （1）用a ，b 表示向量MN ；（2）设122a b MN ⎡==∈⎣，，，求a 与b 的夹角θ的取值范围.参考答案1．C直接根据向量数量积的坐标表示即可得出结果. 【详解】∵()1,2a =-，()1,1b = ∴11211a b ⋅=-⨯+⨯=，故选：C . 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的坐标表示，属于基础题. 2．A利用向量平行的坐标表示直接求解即可. 【详解】∵向量()1,2a =-，() 2,x b =，//a b ， ∴()122x ⨯=-⨯，解得4x =-， ∴x 的值为4-，故选：A . 【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示，属于基础题. 3．D由ka b +与2a b -互相垂直得()()20a b ka b +⋅=-,再代入()()1,1,0,1,0,2a b ==-求解即可. 【详解】由题()()20a b ka b +⋅=-,即()()31,,202,,2k k --⋅=.故7332405k k k -+-=⇒= . 故选：D 【点睛】本题主要考查了空间向量的基本运算与垂直的运用,属于基础题型. 4．D 【解析】【分析】将CP 用CA 与CB 进行表示，代入可得答案. 【详解】解：由题意得：1121()3333CP CA AP CA AB CA AC CB CA CB =+=+=++=+ 22218443333CP CA CP CB CA CB ⋅+⋅=+=+=,故选：D. 【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及平面向量的数量积，相对不难. 5．B 利用||aa 的意义，即a 方向上的单位向量，再根据充分条件与必要条件的定义，即可求得答案. 【详解】由2a b =可知,a b 方向相同，||a a ，||b b 表示,a b 方向上的单位向量，所以||||a ba b =成立；反之不成立. 故选：B . 【点睛】本题考查单位向量的概念、向量共线、简易逻辑知识，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意向量的方向. 6．C 【解析】()22122125 (33339)9AE AF AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()()22222251212126992969649b c c b bc b c bc b c +=++⨯=+-≥+-⨯= （b c = 时等号成立），即AB AC 的最小值为269, 故选C. 【易错点晴】本题主要考查平面向量的基本运算以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.7．B根据相互垂直的向量数量积为零，求出a 与b 的夹角. 【详解】由题有()20a b a a b a -⋅=-⋅=，即22b a a ⋅==，故cos 2cos b a a b θθ⋅=⨯⨯=⇒= 因为[]0,θπ∈，所以4πθ=.故选：B. 【点睛】本题考查了向量的数量积运算，向量夹角的求解，属于基础题. 8．A根据向量垂直关系和数量积运算公式()0a a kb ⋅-=，可得关于k 的方程，解得k . 【详解】由||6||a b =可设||b t =，则||6(0)a t t =>. 因为221()||36603a a kb a ka b t k t t ⋅-=-⋅=-⨯⨯⨯=，所以18k =. 故选：A . 【点睛】本题考查平面向量数量积及其运算，同时考查向量垂直关系的运算，属于简单题. 9．D把向量的模用向量的数量积表示出来，由数量积的定义求解．【详解】222232(32)912cos 60413m n m n m m n n ︒-=-=-+=，又1m =，∴22320n n --=，解得2n =，故选：D 【点睛】本题考查求向量模，掌握数量积的定义和性质是解题关键． 10．B由A 、B 、C 三点共线和对数的运算性质，可得sin 1cos 2θθ=，再结合三角函数的基本关系式，求得sinθθ==，即可求解. 【详解】由题意，向量0.52log sin log cos OA OB OC θθ=⋅+⋅，若A 、B 、C 三点共线，根据平面向量的基本定理，可得0.52log sin log cos 1θθ+=，即0.50.5log sin log cos 1θθ-=，即0.5sin log 1cos θθ=，可得sin 1cos 2θθ=，且sin 0,cos 0θθ，又由22sin cos 1θθ+=，解得sinθθ==，所以sin cos θθ+=. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了向量的共线定理，以及同角三角函数的基本关系式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 11．A由向量的运算法则，可得1233AD AB AC =+，BC AC AB =-，结合向量的数量积的运算，即可求解，得到答案. 【详解】由向量的运算法则，可得2212()3333AD AB BC AB AC AB AB AC =+=+-=+，BC AC AB =-，又由22AB AC ==，60BAC ∠=︒，所以AD BC ⋅=2212112()()33333AB AC AC AB AB AB AC AC +⋅-=--⋅+ 22112221cos6011333=-⨯-⨯⨯⨯+⨯=-.故选：A . 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的基本定理，以及向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 12．A根据椭圆的离心率，求出b 的值，得到椭圆的标准方程，然后根据()PM MN PM PN PM ⋅=⋅-，结合PM PN ⊥，得到PM MN ⋅的坐标表示，得到关于x 的函数，结合x 的范围，得到答案. 【详解】椭圆222:19x y C b+=的3a =，其离心率为3，所以3c a =，所以c =所以2221b a c =-=，所以椭圆标准方程为22+19x y =，设(),P x y ，[]3,3x ∈-，则()PM MN PM PN PM ⋅=⋅-2PM PN PM =⋅- 因为PM PN ⊥，所以0PM PN ⋅=，所以()2222PM MN PM x y ⎡⎤⋅=-=--+⎣⎦()22219x x ⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦2891942x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭所以PM MN ⋅是关于x 的二次函数，开口向下，对称轴为94x =，所以当94x =时，取得最大值为12- 当3x =-时，取得最小值为25-，所以125,2PM MN ⎡⎤⋅∈--⎢⎥⎣⎦.故选：A. 【点睛】本题考查根据离心率求椭圆的标准方程，向量数量积的坐标表示，二次函数求值域，属于中档题. 13．C根据已知得到a b -的坐标，然后根据a b b ∥，2b =得到关于m ，n 的方程组，从而得到答案. 【详解】向量()2,a m =-，()1,b n =，所以()3,a b m n -=--，因为a b b ∥，2b =，所以()2312n m n n ⎧-=-⎨+=⎩，解得21m n =-⎧⎨=⎩或21m n =⎧⎨=-⎩ 所以m 的值为2-或2. 故选：C. 【点睛】本题考查根据向量平行求参数的值，根据向量的模长求参数的值，属于简单题. 14．D构造符合题意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的线性运算法则进行计算即可得解．【详解】解：如图所示的Rt ABC ∆，其中角B 为直角，则垂心H 与B 重合，O 为ABC ∆的外心，OA OC ∴=，即O 为斜边AC 的中点，又M 为BC 中点，∴2AH OM =， M 为BC 中点，∴22()2(2)AB AC AM AH HM OM HM +==+=+．4224OM HM HM MO =+=-故选：D ．【点睛】本题考查平面向量的线性运算，以及三角形的三心问题，同时考查学生分析问题的能力和推理论证能力．15．D先建系, 设(2,0),(,)OA a OB b x y ====,再结合平面向量数量积的坐标及运算性质,将a ，b 的夹角最大转化为直线OB 与抛物线相切,利用0∆=求出,即可(,)b x y =,即可解得所求.【详解】设(2,0),(,)OA a OB b x y ====,因为2||a b a b ⋅=-,所以2x =即24(1)y x =-,为点B 的轨迹方程.由上图易知,当直线OB 与抛物线相切时,,a b 的夹角最大.由24(1)y kx y x =⎧⎨=-⎩消去y 得22244016160,1k x x k k -+=∆=-==±，. 所以2x =,即点(2,2)B 或1(2,2)B -时，即(2,2)b =或(2,2)b =-时，,a b 的夹角最大. 此时，4a b ⋅=.故选:D .【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算,考查转化与化归思想, ,将a ，b 的夹角最大转化为直线OB 与抛物线相切,考查数形结合的解题思想,难度一般.16．C将BC 用OA ，OB 表示出来，根据O 是重心，即可列方程求得参数的值.【详解】()()2220OA OB BC OA OB OC OB OA OB OC λλλλ++=++-=+-+=因为O 是ABC ∆的重心，所以211λλ-=⎧⎨=⎩，解得1λ=. 故选：C.【点睛】本题考查向量的线性运算，涉及三角形重心的向量表示，属基础题.17．C利用向量投影公式，结合向量数量积的运算，求得a 在e 方向上的投影.【详解】a 在e 方向上的投影为cos 42a e a e π⋅=⋅=. 故选：C【点睛】本小题主要考查向量投影的计算，属于基础题.18．D【解析】利用向量垂直关系，可得a b ⋅，然后根据向量夹角公式，可得结果.【详解】由(2)a b a +⊥，所以(2)0a b a +⋅=则220a a b +⋅=，又||3a =，所以6a b ⋅=-，由||26b = 则2cos ,2a b a b a b ⋅==-，又[],0,a b π∈，所以3,4a b π=故选：D【点睛】本题考查向量的垂直关系以及向量的夹角公式，掌握公式，细心计算，属基础题. 19．D由已知向量的坐标求出a b +的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】 ∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-，又()a b b +⊥，∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝8．故选D ．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．20．85根据4CD DB =得到4455CD AB AC ，再由CD r AB sAC =+，根据平面向量的基本定理，求得,r s 的值，代入即可求解.【详解】如图所示，由4CD DB =，可得444555CD CB AB AC ==-，又由CD r AB sAC =+，所以44,55r s ==-，所以44833555r s +=⨯-=，故答案为：85.【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法则，以及平面向量的基本定理是解答的关键.着重考查了推理与计算能力，属于基础题.21．4π 根据()a a b ⊥-得到1a b =，再带入夹角公式即可.【详解】因为()a a b ⊥-，所以()0a a b ⋅-=.即20a a b -⋅=，10a b -⋅=，1a b ⋅=.1cos 22a ba b θ===所以夹角是4π. 故答案为：4π 【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，熟练掌握夹角公式为解题的关键，属于简单题。

高三数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析

高三数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析1.[2013·辽宁朝阳一模]在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为()A．B．C．D．1【答案】A【解析】∵M为边BC上任意一点，∴可设＝x＋y (x＋y＝1)．∵N为AM中点，∴＝＝x＋y＝λ＋μ.∴λ＋μ＝ (x＋y)＝.2.若向量=（1,2），=（3,4），则=A．（4,6）B．(-4，-6)C．(-2，-2)D．(2,2)【答案】A【解析】因为=+=,所以选A.【考点】本题考查平面向量的坐标运算(加法),属基础题.3.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量．【答案】【解析】以为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系.设正方形的边长为，则设 .又向量所以，∴，∴，∴．由题意得∴当时，同时，时，取最小值为.【考点】平面向量的坐标运算，三角函数的性质.4. 平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列问题: (1)求3a+b-2c.(2)求满足a=mb+nc 的实数m,n. (3)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k. 【答案】(1) (0,6 (2)(3)k=-.【解析】(1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(0,6). (2)∵a=mb+nc,∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n). ∴解得(3)∵(a+kc)∥(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2). ∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0, ∴k=-.5. 如图，Ox 、Oy 是平面内相交成120°的两条数轴，e 1，e 2分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量＝xe 1＋ye 2，则将有序实数对(x ，y )叫做向量在坐标系xOy 中的坐标．(1)若＝3e 1＋2e 2，则||＝________；(2)在坐标系xOy 中，以原点为圆心的单位圆的方程为________．【答案】(1) (2)x 2－xy ＋y 2－1＝0 【解析】由题意可得e 1·e 2＝cos 120°＝－. (1)||＝；(2)设圆O 上任意一点Q (x ，y )，则＝xe 1＋ye 2，||＝1，即x 2＋2xy ×＋y 2＝1，故所求圆的方程为x 2－xy ＋y 2－1＝0.6. 设向量，，若满足，则( ) A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】因为,所以,,解得：，故选D.【考点】向量共线的条件.7. 已知点，，O 为坐标原点，，，若点在第三象限内，则实数的取值范围是__________. 【答案】【解析】令，，则，解得.【考点】平面向量的坐标运算.8.“”是“向量与向量共线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由“向量与向量共线”得．故选A．【考点】1、向量共线的充要条件；2、常用逻辑用语．9.已知正方形ABCD的边长为1,则=_______.【答案】【解析】.因为正方形ABCD的边长为1，所以，. 与夹角为.所以.代入得.【考点】向量的运算10.已知，，，若，则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】，从而解得.【考点】向量垂直的充要条件，向量坐标形式的数量积运算.11.已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若i，j，k，l∈{1，2，3}，且i≠j，k≠l，则的最小值是．【答案】﹣5【解析】不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，．如图建立坐标系．（1）当i=1，j=2，k=1，l=2时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣5；（2）当i=1，j=2，k=1，l=3时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，0）+（0，﹣1）]=﹣3；（3）当i=1，j=2，k=2，l=3时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，﹣1）+（0，﹣1）]=﹣4；（4）当i=1，j=3，k=1，l=2时，则=[（1，0）+（0，1）]•[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣3；同样地，当i，j，k，l取其它值时，=﹣5，﹣4，或﹣3．则的最小值是﹣5．故答案为：﹣5．【考点】平面向量数量积的运算点评：本小题主要考查平面向量坐标表示、平面向量数量积的运算等基本知识，考查考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力12.已知向量满足，则的夹角为．【答案】【解析】根据题意，由于向量满足，根据向量的平方等于其模长的平方可知有9+48+4=33，=-6,那么可知其的夹角的余弦值为-，因此可知其向量的夹角为。

初一数学上册综合算式专项练习题简单平面向量计算

初一数学上册综合算式专项练习题简单平面向量计算在初一数学上册的学习中，综合算式是一个重要的内容，而平面向量的计算也是其中的一部分。

本文将为大家介绍一些简单的平面向量计算的练习题，帮助大家更好地掌握这一知识点。

1. 给定向量AB(3, -2)和向量AC(4, 1)，计算向量AB + 2向量AC。

解析：根据向量的加法规则，我们可以将向量AB和向量AC的对应分量相加，得到向量AB + 2向量AC的结果向量。

向量AB + 2向量AC = (3, -2) + 2(4, 1)= (3, -2) + (8, 2)= (3 + 8, -2 + 2)= (11, 0)所以，向量AB + 2向量AC的结果向量是(11, 0)。

2. 给定向量AB(-5, 2)和向量AC(3, -1)，计算向量AB - 向量AC。

解析：根据向量的减法规则，我们可以将向量AB和向量AC的对应分量相减，得到向量AB - 向量AC的结果向量。

向量AB - 向量AC = (-5, 2) - (3, -1)= (-5 - 3, 2 - (-1))= (-8, 3)所以，向量AB - 向量AC的结果向量是(-8, 3)。

3. 给定向量AB(2, 3)，计算向量AB的模长。

解析：向量的模长可以通过使用勾股定理计算。

根据勾股定理，向量AB的模长等于向量AB的横坐标的平方加上纵坐标的平方的平方根。

向量AB的模长= √(2² + 3²)= √(4 + 9)= √13所以，向量AB的模长是√13。

4. 给定向量AB(1, 2)和向量AC(2, 3)，计算向量AB与向量AC的数量积。

解析：向量的数量积可以通过分别将两个向量的对应分量相乘后相加得到。

向量AB与向量AC的数量积 = 1*2 + 2*3= 2 + 6= 8所以，向量AB与向量AC的数量积是8。

5. 给定向量AB(2, 1)和向量AC(-3, 4)，计算向量AB与向量AC的夹角的余弦值。

平面向量基础知识填空

平面向量基础知识填空嘿，朋友！咱今天来聊聊平面向量这档子事儿。

你说啥是平面向量？简单说，它就像是在一个平面上有方向有大小的小箭头。

那这小箭头可神奇啦！平面向量有模长，这模长就好比是箭头的长度。

你想想，一个长长的箭头和一个短短的箭头，能一样吗？肯定不一样啊！还有方向，方向那可是平面向量的灵魂。

就好像你在沙漠里走路，方向错了，能走到目的地吗？不能啊！零向量呢，就像是个原地不动的懒家伙，长度是零，没方向。

这多特别呀！相等向量，那就是长得一模一样的双胞胎，不仅长度相同，方向也一致。

相反向量呢，就像是一个往东，一个往西，方向完全相反，长度却一样。

单位向量，那就是长度为 1 的小箭头，就像尺子上的刻度，是衡量其他向量的标准。

向量的加法，就像是你把两段路合起来走。

比如从 A 走到 B，再从B 走到 C，那从 A 直接到 C 走过的路，不就是前面两段路加起来的效果吗？减法呢，就好比是你多走了一段冤枉路，得把多走的那段减掉。

数乘向量，这就好比是给向量放大或者缩小。

乘个正数，就放大；乘个负数，不仅大小变了，方向还反过来啦！向量的数量积，这可有点复杂，不过咱可以想象成两个人用力推一个箱子。

力的大小乘以位移，不就是做的功嘛，这和向量的数量积有点像哟！平面向量的坐标表示，这就像是给向量穿上了数字的衣服，让咱们能更清楚地了解它。

你说平面向量重要不？那可太重要啦！在物理、数学，好多领域都用得着。

要是没学好平面向量，就像炒菜没放盐，总觉得少了点啥。

所以呀，可得把平面向量的基础知识学扎实喽，这样以后遇到相关的难题，才能轻松应对，你说是不是这个理儿？。

平面向量简单计算方法

平面向量简单计算方法我折腾了好久平面向量简单计算方法，总算找到点门道。

咱先说向量的加法吧。

我一开始是照着书上的法则死记硬背，三角形法则和平行四边形法则。

三角形法则呢，就好比你从一个地方先走到A点，再从A点走到B点，那么从起点到B点这个总的位移就相当于两个向量相加。

我开始的时候老是把顺序弄混，走错了路径，这结果就不对了。

后来我就想啊，这个向量相加就像两个人接力跑一样，第一个人跑一段，第二个人接着在前一个人的终点开始跑。

这样想就不容易出错了。

平行四边形法则呢，就像是两个人拉一个东西，都朝不同方向拉，这两个力的合成就是平行四边形的对角线。

有个小窍门啊，如果是两个同起点的向量要相加，用平行四边形法则就很方便。

向量的减法又有点不同。

我试过把减法看成加法的逆运算，这是个很聪明的想法。

比如说向量a减去向量b，我就想成向量a加上向量b的相反向量。

就好像你本来有一笔钱，花出去一些，求剩下的钱，那可以想成是本来的钱加上负的花出去的钱。

但是这里面要记得向量相反向量的概念啊，大小相等方向相反的向量就是相反向量。

我在计算的时候有时候会忘掉改变方向这个事儿，就容易算错。

还有向量的数乘，这个是各个坐标对应相乘就好。

比如说向量a是（x，y），乘以一个数k，那就得到（kx，ky）。

就像是给每个方向上的分量都放大或者缩小k倍似的。

我感觉这个是最容易的部分了，不过有时候坐标多了也会马虎。

还有就是计算向量的模，这就是求向量的长度呗。

对于二维向量（x，y），就用勾股定理，根号下x平方加y平方。

我一开始不确定这公式到底该啥时候用，后来发现只要是要求向量的长度了就用这个。

我以前有那种计算错误的情况，比如说x的值是3，我可能一马虎就写成9了，在平方的时候要仔细啊。

这就是我在平面向量简单计算里摸索出来的一些经验，其实这东西多做做练习题就会熟练多了。

平面向量加减口诀

平面向量加减口诀以下是为您生成的十个关于平面向量加减的口诀：口诀一：一观方向二看长，向量加减不慌张。

同起同终连首尾，首尾相连指方向。

加法如同走折线，起点重合路顺畅。

减法如同追和逃，起点相同终点到。

平移向量再运算，如同实物好比较。

认真仔细别马虎，向量加减轻松搞。

口诀二：一找起点二定终，向量加减在心中。

同向相加轻松算，长度相加方向同。

反向相减仔细瞧，大减小来方向保。

首尾相连成折线，和向量就出现了。

起点相同连终点，差向量马上晓。

平面向量要学好，加减口诀记得牢。

口诀三：一明概念二知晓，向量加减不难搞。

加法如同接竹竿，首尾相连路不遥。

方向顺着连接走，长度相加要记牢。

减法如同回回头，起点相同终点瞧。

指向被减就是差，清晰明确错不了。

多多练习多思考，向量加减我能傲。

口诀四：一思起点二思终，向量加减思路通。

加法首尾顺次连，和向量就露真容。

如同拼图接一块，方向长度都看重。

减法起点须相同，终点相连方向懂。

就像走路向后转，计算准确不懵懂。

牢记口诀多应用，数学天地任君冲。

口诀五：一讲加法二论减，向量运算心不乱。

同起之加连首尾，和向明确很简单。

长度相加方向随，形象好比把线牵。

减法同起连终点，差向清晰在眼前。

如同拔河有输赢，方向大小仔细辨。

轻松学会向量算，知识海洋勇扬帆。

口诀六：一探加法二究减，向量世界展新篇。

相加首尾依次连，方向跟着线儿转。

长度相加别混乱，心中有数算得全。

相减同起指终点，差值立马能呈现。

好比走路有往返，方向明确不绕弯。

勤加练习多钻研，向量加减不再难。

口诀七：一抓起点二抓终，向量加减趣无穷。

加法顺着连首尾，和向如同建长虹。

长度累加方向定，直观形象脑海中。

减法起点要相同，终点相连定西东。

就像箭头有指向，清晰明了不迷蒙。

数学奥秘多探索，向量加减显神功。

口诀八：一论方向二论长，向量加减有妙方。

加法首尾连一线，和向顺着路不偏。

长度相加要仔细，如同积木堆成山。

减法同起连终点，差向就像箭离弦。

形象记忆多联想，轻松解题笑开颜。