2017年秋北师大版八年级数学上10分钟课堂训练2.1认识无理数(PDF版)
北师大版八年级上册数学第2章实数 第1节认识无理数
则
n m
2仍是一个分数，它不等于 2，所以 a 不是分数 .
感悟新知
知1－练
例1 图 2-1-3 是由五个边长为 1 的小正方形组成的图案பைடு நூலகம் 如果把它们剪拼成一个正方形 .
解题秘方：根据剪拼没有改变图形的面 积，确定正方形的面积及边 长，结合勾股定理解释无理 数的产生 .
感悟新知
(1)所拼成的正方形的面积是多少？
感悟新知
2. 常见无理数的几种类型
知2－讲
分类 一般的无限不循环小数 有规律但不循环的小数
举例
1.414 213 56… 0.101 001 000 1…( 相邻两个
1 之间 0 的个数逐次加 1)
感悟新知
知2－讲
某些含 π 的数
2π
开方开不尽的数的方根
(下节会学到)
—
无理数与有理数的和或差， 结果都是无理数
知1－练
解： 所拼成的正方形的面积是 5.
(2)设拼成的正方形的边长为 a， a 应满足什么条件？ 满足 a2=5.
感悟新知
(3) a 是整数吗？是分数吗？是有理数吗？ 解：a 不是整数，不是分数，不是有理数 .
(4)画出你所拼的正方形 . 所拼成的正方形如图 2-1-3.
知1－练
感悟新知
知识点 2 无理数的概念
感悟新知
知1－讲
特别提醒 若x2=a，当a不能写成一个整数或一个分数的平
方的形式时，x不是有理数 .
感悟新知
知1－讲
我们利用夹逼法进行探索：拼成的面积为 2 的大正方形
的面积夹在面积为 1 和面积为 4 的两个正方形的面积之间，
则它的边长也必然在 1 和 2 之间，显然 a 不能为整数 .
2.1 认识无理数(第1课时)北师大版八年级数学上册教学课件
再见
12
若a＝2，b＝3，则c²＝
13
，c可能是整数吗？
可能是分数吗？ 不可能
若a＝2，c＝3，则b²＝ 5 ，b可能是整数吗？
可能是分数吗？ 不可能
随堂练习
2．正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三
角形ABC中，边长为无理数的有（ D ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
3．以下各正方形的边长不是有理数的是（ C ）
无理数的发现
a、b既不是整数，也不是分数，所以a
、b都不是有理数，
但是它们是确实存在的数，目前还没有掌握它们的表示
方法
无理数的发现
在勾股定理的计算中感知无理数
3
2
3
直角三角形中斜边是多少？如何表示呢？
无理数的发现
在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度不是有
理数的线段
A
F
N
E
D G
第二章实数
1.认识无理数
学习目标
1．通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引入的
必要性．
2．能判断给出的数是否为有理数，并能说出理由．
复习巩固
1．一个整数的平方一定是整数吗？
2．一个分数的平方一定是分数吗？
3 . 整 数和 分 数统称为有理数.
整数分为 正整数、0、负整数 ；
分数分为 正分数、负分数 .
M
C
H
B
无理数的发现
在下图的正方形网格中，画出两条线段：
1．长度是有理数的线段a ，
2．长度不是有理数的线段b.
a
b
典型例题
例1．下面各正方形的边长不是有理数的是（ C ）
北师大版八年级数学上册：2.1《认识无理数》
解析:如图,俯视图小正方形中的数字代表此处小正方体的个数, 可知小正方体共有6个.
答案:6
规律方法探究
命题点1
命题点2
命题点3
规律方法探究
命题点1
命题点2
命题点3
变式训练如图是一个几何体的三视图,其中主视图、左视图都是 腰为13 cm,底为10 cm的等腰三角形,则这个几何体的侧面积是 ( )
A.6π cm2 B.65π cm2 C.70π cm2 D.75π cm2 解析:由三视图确定该几何体是圆锥,它的侧面展开图是一个扇 10 形,所以S侧=πrl=π× ×13=65π(cm2). 2 答案:B
几何体 圆柱 圆锥 球
主视图 长方形 三角形 圆
左视图 长方形 三角形 圆
俯视图 圆 圆和圆心 圆
3.三视图的画法 (1)长对正;(2)高平齐;(3)宽相等.
基础自主导学
考点梳理
自主测试
考点二 由视图到立体图形 由视图想象实物图形时不像由实物到视图那样唯一确定,由一个 视图往往可以想象出多种物体. 由视图描述实物时,需了解简单的、常见的、规则物体的视图, 能区分类似的物体视图的联系与区别,如主视图是长方形,可想象 出是四棱柱、三棱柱、圆柱等;俯视图是圆形,可想象出是球、圆 柱等.
规律方法探究
命题点1
命题点2
命题点3
命题点3 投影 【例3】 (1)一木杆按如图①的方式直立在地面上,请在图中画出 它在阳光下的影子(用线段CD表示); (2)图②是两根标杆及它们在灯光下的影子.请在图中画出光源 的位置(用点P表示),并在图中画出人在此光源下的影子(用线段EF 表示).
A.2
B.π
3 C. 2
( B )
D.-2
北师大版八年级数学上册--第二单元 2.1 《认识无理数》同步练习题(含答案)
1.下列数中是无理数的是（ ）A. 0.1223&&B.2πC.0D.722 2.下列说法中正确的是（ ）A.不循环小数是无理数B.分数不是有理数C.有理数都是有限小数D.3.1415926是有理数3.下列语句正确的是（ ）A.3.78788788878888是无理数B.无理数分正无理数、零、负无理数C.无限小数不能化成分数D.无限不循环小数是无理数4.在直角△ABC 中，∠C =90°，AC =23，BC =2，则AB 为（ ） A.整数 B.分数 C.无理数D.不能确定 5.面积为6的长方形，长是宽的2倍，则宽为（ ）A.小数B.分数C.无理数D.不能确定 6.在0.351，23-，4.969696…，6.751755175551…，0， －5.2333，5.411010010001…中，无理数的有 。
7.以下各数：－1，23，3.14，－π，3.⋅3，2，27，24，－0.2020020002……(相邻两个2之间0的个数逐次加1)，－5，4π，0.878878887…，1911，0. 其中，是有理数的是_________________________，是无理数的是___________________________. 在上面的有理数中，分数有__________________________，整数有__________________________.8.______小数或______小数是有理数，______小数是无理数.9.x 2=8,则x ______分数，______整数，______有理数.(填“是”或“不是”)10.如图是面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9的正方形，边长是有理数的正方形有________个，边长是无理数的正方形有________个。
参考答案1、 B2、D3、D4、B5、C6、6.751755175551…，5.4110100100017.有理数：－1，23，3.14，3.⋅3，2，27，24，－5，，1911，0。
北师大版八年级数学上册：2.1《认识无理数》说课稿
北师大版八年级数学上册：2.1《认识无理数》说课稿一. 教材分析《认识无理数》是北师大版八年级数学上册第2.1节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了有理数的概念和实数的概念的基础上进行的，是学生对实数系统的一次重要扩展。
无理数是实数的一个子集，它不能表示为两个整数的比例，其小数部分是无限不循环的。
这个概念的引入，不仅丰富了学生的数的概念，也为后续的三角函数、微积分等数学分支的学习打下了基础。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对实数和有理数有一定的了解。
但是，对于无理数的概念和性质，他们可能是初次接触，理解起来可能会有一定的困难。
因此，在教学过程中，我将会注意通过生活中的实例和具体的数学问题，引导学生理解和接受无理数的概念。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生理解无理数的概念，掌握无理数的性质，能够识别和估算无理数。
2.过程与方法：通过观察、实验、推理等方法，让学生体验发现和探究的过程，培养学生的数学思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的耐心和细心，使学生体验到数学的乐趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：无理数的概念和性质。
2.教学难点：无理数的理解和应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型和数学软件辅助教学。
六. 说教学过程1.导入：通过一个生活中的实例，如测量物体长度时遇到无法精确测量的情况，引出无理数的概念。
2.新课讲解：讲解无理数的概念，通过具体的例子和数学性质，使学生理解和掌握无理数。
3.案例分析：分析一些实际问题，让学生运用无理数的概念和性质解决问题。
4.小组讨论：让学生分组讨论，探索无理数的性质，分享自己的发现。
5.总结提升：对无理数的概念和性质进行总结，引导学生思考无理数在实际生活中的应用。
6.课后作业：布置一些有关无理数的练习题，巩固所学知识。
七. 说板书设计板书设计包括无理数的概念、无理数的性质和无理数的应用等方面的内容。
北师大版八年级上册数学习题练习及参考答案 2.1《认识无理数》
2.1 认识无理数一、选择题1.下列数中是无理数的是（ ）A. 0.1223B.2πC.0D.722 2.下列说法中正确的是（ ）A.不循环小数是无理数B.分数不是有理数C.有理数都是有限小数D.3.1415926是有理数3.下列语句正确的是（ ）A.3.78788788878888是无理数B.无理数分正无理数、零、负无理数C.无限小数不能化成分数D.无限不循环小数是无理数4.在直角△ABC 中，∠C =90°，AC =23，BC =2，则AB 为（ ） A.整数 B.分数 C.无理数 D.不能确定5.面积为6的长方形，长是宽的2倍，则宽为（ ）A.小数B.分数C.无理数D.不能确定二、填空题 6.在0.351，23-，4.969696…，6.751755175551…，0， －5.2333，5.411010010001…中，无理数的个数有______.7.______小数或______小数是有理数，______小数是无理数.8.x 2=8,则x ______分数，______整数，______有理数.(填“是”或“不是”)9.面积为3的正方形的边长______有理数；面积为4的正方形的边长______有理数.(填“是”或“不是”)10.一个高为2米，宽为1米的大门，对角线大约是______米(精确到0.01).三、解答题11.已知：在数－43， 1.42∙∙-,π, 3.1416, 32, 0,42, (－1)2n,－1.424224222…中， （1）写出所有有理数；（2）写出所有无理数；（3）把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用符号“<”连接.12.我们知道，无限不循环小数叫无理数.试根据无理数的意义，请你构造写出两个无理数.13.体积为3的正方体的边长可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？请说明你的理由.14.如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，AC =6，AD =5，问：CD 可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？15.设面积为5π的圆的半径为y ，请回答下列问题：（1）y 是有理数吗？请说明你的理由；（2）估计y 的值（结果精确到十分位），并用计算器验证你的估计.参考答案一、1.B 2.D 3.D 4.B 5.C二、6.2 7.有限小数 无限循环小数 无限不循环小数 8.不是 不是 不是9.不是 是 10.2.24三、11.(1)－43, 1.42∙∙-,3.1416,32 0, 42 ,(－1)2n (2)π,－1.424224222…(3 1.42∙∙-<－1.424224222…<－43<0<32<(－1)2n <π<3.1416<4212.略13.不可能 不可能 不可能 略不可能 不可能 不可能 （1）不是 略 （2）。
北师大版八年级数学上册：2.1《认识无理数》教案
北师大版八年级数学上册：2.1《认识无理数》教案一. 教材分析《认识无理数》是北师大版八年级数学上册第二章的第一节内容。
本节课的主要内容是让学生了解无理数的概念，理解无理数与有理数的关系，以及掌握一些估算无理数大小方法。
教材通过引入π和√2等实际例子，帮助学生建立起无理数的直观印象，进而引导学生通过观察、思考、探究，发现无理数的特点和性质。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了有理数的相关知识，对数的概念有一定的了解。
但是，学生对无理数的概念和性质可能感到陌生，理解起来有一定难度。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，通过生动具体的例子和实际操作，帮助学生理解和掌握无理数的概念。
三. 教学目标1.了解无理数的概念，理解无理数与有理数的关系。
2.能够运用逼近法估算无理数的大小。
3.培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
四. 教学重难点1.重点：无理数的概念和性质。
2.难点：理解无理数与有理数的关系，以及运用逼近法估算无理数的大小。
五. 教学方法1.采用情境教学法，通过引入实际例子，激发学生的学习兴趣。
2.采用探究教学法，引导学生通过观察、思考、动手操作，自主发现无理数的特点和性质。
3.采用讲解法，教师详细讲解无理数的概念和性质，引导学生理解和掌握。
4.采用小组合作学习法，鼓励学生互相讨论、交流，共同解决问题。
六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材。
2.准备计算器、纸张等学习工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示π和√2的实际应用场景，如圆的周长和物体尺寸的测量等，引发学生对无理数的兴趣。
同时，提出问题：“你们认为π和√2是什么类型的数？”让学生思考并发表观点。
2.呈现（15分钟）教师讲解无理数的概念，通过PPT展示无理数的定义和性质，让学生了解无理数的特点。
同时，举例说明无理数与有理数的关系，如π和√2都是无理数，而2和3是有理数。
3.操练（10分钟）教师提出问题：“如何估算无理数的大小？”引导学生运用逼近法估算无理数的大小。
北师大版八年级数学上册2.1.1认识无理数(教案)
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力：通过无理数的定义和性质的探究，使学生能够理解数学概念的形成过程，提高逻辑推理和论证能力。
2.培养学生的数学抽象思维：让学生从具体的实例中抽象出无理数的概念，发展数学抽象思维能力，从而加深对数学概念的理解。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了无理数的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对无理数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
北师大版八年级数学上册2.1.1认识无理数（教案）
一、教学内容
本节课选自北师大版八年级数学上册第二章《数的扩展》2.1.1节“认识无理数”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.无理数的定义：通过引入无限不循环小数的概念，引导学生理解无理数的本质特征，如π和√2等。
2.无理数的性质与估算：探讨无理数的一些基本性质，如无理数的乘除、加减运算规则，以及如何利用有理数去估算无理数的大小，例如通过逼近法估算π的值。同时，结合实例让学生了解无理数在实际问题中的应用。
-无理数的估算：如何利用有理数去逼近无理数，以及在实际问题中如何运用无理数的估算。
-无理数的运算：掌握无理数与有理数的混合运算规则，特别是乘方和开方运算。
举例解释：
-针对无限不循环性质，可以通过画图或动画展示无限不循环小数的构造过程，帮助学生形象地理解。
-在无理数估算方面，可以设计一些实际操作的课堂活动，如用正方形和圆形的纸片来估算π的值，让学生在实践中掌握估算方法。
北师大版八年级数学上册.1认识无理数课件
北师大版八年级《数学》上册 2.1.1认识无理数 例：在数轴上表示满足x2=2(x＞0)的x
仿：在数轴上表示满足x2=5(x＞0)的x
北师大版八年级《数学》上册 2.1.1认1.1认识无理数
议一议
a
a2 2
aaa
a可能是分数吗？
北师大版八年级《数学》上册 2.1.1认识无理数
释一释
a2 2
释1. 为什么不是整数？
释2. 为什么不是分数？
北师大版八年级《数学》上册 2.1.1认识无理数
忆一忆
有理数包括：整数和分数
如果一个数既不是整数也不是分数， 那么这个数不是有理数
想一想
1.一个整数的平方一定是整数吗？ 2.一个分数的平方一定是分数吗？
北师大版八年级《数学》上册 2.1.1认识无理数
算一算
x 1
x2 ?
2
问：x是整数（或分数）吗？
北师大版八年级《数学》上册 2.1.1认识无理数
剪一剪
把两个边长为1的小正方形通过剪、拼， 设法得到一个大正方形，你会吗？
北师大版八年级《数学》上册 2.1.1认识无理数
在a2=2中,a不是有理数
北师大版八年级《数学》上册 2.1.1认识无理数
找一找 在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，
再找出长度不是有理数的线段.
北师大版八年级《数学》上册 2.1.1认识无理数
画一画（1）在下面的正方形网格中，画出一条长度是有理数的线段和
一条长度不是有理数的线段
北师大版八年级《数学》上册 2.1.1认识无理数 画一画（2）
北师大版八年级数学上册课件：认识无理数
问题导学：
像上面研究过的a2=2,b2=5中的a，b是无限不 循环小数.无限不循环小数叫无理数
除上面的a，b外，圆周率π=3.14159265…也是 一个无限不循环小数，0.5858858885…(相邻两 个5之间8的个数逐次加1)也是一个无限不循环小 数，它们都是无理数.
自学检测：
1.如图，正三角形的边长为2，高为h，h可能是 整数吗？可能是分数吗？
1
1
奇 妙 的 组 合
问题导学：
(1)设大正方形的边长为a,a满足什么条件?
a
因为正方形的面积为2
S
所以 a
问题导学：
a可能是整数吗?
,
,
32 9，
a
越来越大，
所以a不可能是整数
问题导学：
a可能是以2为分母的分数吗?
,
a
3 3 9 ..... . 2 2 4,
巩固练习：
巩固练习：
巩固练习：
课堂小结：
谈谈你 这节课 的收获 吧！
作业：
习题：4.2 1、2
不能用有理数表示。
C
AB
D
巩固练习：
1、长和宽分别是3,2的长方形，它的对角线的长可 能是整数吗？可能是分数吗？
巩固练习：
2、请你在如图所示的方格纸上按照如下要求设 计直角三角形：
（1）使它的三边中有一边边长不是有理数。 （2）使它的三边中有两边边长不是有理数。 （3）使它的三边边长不是有理数。
结果都为分数，所以a不可能是以2 为分母的分数。
问题导学：
a可能是以3为分母的分数吗?
,
a
,
,
...... ,
结果都为分数，所以a不可能是以3 为分母的分数。
北师大版八年级数学上册2.1.1：认识无理数教案
举例解释：
-为了帮助学生理解无理数的抽象概念，可以使用数轴或图形来辅助说明，让学生通过直观的方式感受无理数的存在。
-在估算无理数大小时，可以通过比较无理数与有理数的大小关系，以及使用逼近法（如计算π的近似值）来降低难度。
-在讨论无理数的运算时，通过具体例题演示运算规则，如根号2与根号3的乘法运算，强调结果的不可简化性。
2.教学难点
-无理数的抽象理解：学生往往难以从具体数值中抽象出无理数的概念，对无限不循环小数的理解可能存在困难。
-无理数的估算：学生在估算无理数的大小时，可能会因为无理数的无限性而感到困惑。
-无理数的运算：尤其是乘除运算，学生可能会对结果的表示和运算规则感到不适应。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“无理数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了无理数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对无理数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在上完这节课后，我对教学过程进行了深入的思考。首先，我发现同学们对无理数的概念和表示方法掌握得还不错，但在我讲解无理数运算规则时，部分同学显得有些困惑。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加关注学生对难点知识的理解。
北师大版八年级数学上册2.1《认识无理数》教案
1.理论介绍：首先，我们要了解无理数的基本概念。无理数是无限不循环小数，它们不能表示为两个整数的比。无理数在数学中具有重要地位，如π、e等，它们在科学计算和现实生活中有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。以π为例，讲解其在计算圆周长、面积等实际中的应用，以及如何帮助我们解决问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“无理数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调无理数的定义和性质这两个重点。对于难点部分，如无限不循环小数的理解，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与无理数相关的实际问题，如π的应用、无理数的估算等。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用正方形模型估算√2的值。
学生小组讨论后，大家分享的成果让我看到了他们的思考过程。但我也发现，部分学生在解释无理数的应用时，还存在一些误区。这提醒我在今后的教学中，要更加关注学生对知识点的理解和掌握情况，及时纠正他们的错误。
总的来说，这次教学让我认识到，要在教学中关注每个学生的个体差异，充分调动他们的积极性。同时，针对难点和易错点，需要采用更多直观、生动的方法进行讲解，帮助学生真正理解无理数的概念。在今后的教学中，我会不断改进教学方法，努力提高教学效果。
新北师大版数学八上(教案)：2.1.认识无理数
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《认识无理数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过无法用分数表示的数？”（如圆的周长与直径的比值π）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索无理数的奥秘。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调无理数的定义和表示方法这两个重点。对于难点部分，如无理数的估算，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与无理数相关的实际问题，如估算√2的大小。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量一个正方形的对角线长度，验证√2的无理性。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解无理数的基本概念。无理数是指不能表示为两个整数之比的数，它们通常以无限不循环小数的形式出现。无理数在数学中具有重要地位，如在几何、物理等学科中有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。以圆的周长与直径的比值π为例，解释π是一个无理数，并探讨其在实际中的应用。
举例：计算√9和√16，解释其结果为3和4，强调开平方运算的结果可能是有理数，也可能是无理数。
（3）无理数在几何中的应用：学生可能难以理解无理数在几何图形中的应用，如勾股定理。教师应通过具体图形和实例，引导学生理解无理数在几何中的意义。
举例：直角三角形中，边长为1、√2、1的三角形的勾股定理应用，说明√2是无理数。
在讲授过程中，我注意到一些学生在理解无理数表示方法时显得有些困惑，特别是根号的使用。我通过重复解释和举例，让学生看到无理数表示的直观性，并强调它与有理数的区别。此外，通过小ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ讨论和实验操作，学生们有了更直观的感受，这有助于他们深化对无理数的认识。