7.7二元函数的极值和最值

则对于( x0 , y0 ) 的某邻域内任意
( x , y ) ( x0 , y0 ) 都有 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ),
故有 f ( x , y0 ) f ( x 0 , y0 ),
故有 f ( x , y0 ) f ( x 0 , y0 ),
此时y0类似于常数k
四个条件缺一不可
若实际问题存在最值，且目标函数为可导函数 最值不会在边界上 （即不会在极端情况取得）
若只有唯一驻点， 则该驻点必为所求的最值点.
对该唯一驻点无需用ABC法则 判断其是否为极值点。 （为什么？） 类似题：P297例3、 P299例5；P325：27，28
例 6 要造一个体积为 2 m3 的长方体箱子，问 要选择怎样的尺寸，才能使所用的材料最少？
说明一元函数 f ( x , y0 ) 在 x x 0 处有极大值,
所以一元函数 f ( x, y0 )在x x0处的导数为 0,
必有 f x ( x 0 , y0 ) 0 ; 同理可证 f y ( x 0 , y0 ) 0 .
推广 若三元函数 u f ( x , y , z )在 P ( x0 , y0 , z0 ) 具有 偏导数，则它在 P ( x0 , y0 , z0 ) 有极值的必要条件为 f x ( x 0 , y 0 , z 0 ) 0 ， f y ( x 0 , y0 , z 0 ) 0 ， f z ( x 0 , y0 , z 0 ) 0 .
3 3 2 2
类似P295、296例1 、例2;P325第23题 简单而重要！
2 f 3 x 6x 9 0 x 1 , x 3 x 解 (1)由 得: 2 y 0, y 2 f y 3 y 6 y 0
驻点有(1,0), (1,2), (3,0), (3,2)
y
y f ( x)
min f ( x ) f ( x2 )
a x1o
x2
x3 b c x
区间[a, c]上 max f ( x ) f (c ), min f ( x) f ( x2 ) 可见, 闭区间上连续函数最值只能在极值 点和端点处取得. 为什么要单独考虑端点？
因端点没有资格做极值点，但可能取最值
2
二. 多元函数的最大值和最小值
1.定理（详见P72性质1） 闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值:
A 闭区域D上可导函数的最值一般求法
注：极值点（见P107定义） 和驻点（见P75偏导定义） 一定是内点
极值点 驻点
A闭区域D上可导函数的最值一般求法 (1)求出函数在D内部的一切可疑 极值点（驻点）处的函数值（内点） 边界 (2)求函数在区域边界上的最值 （边界上）上的 最值 (3)PK 比较这些函数值的大小, 最大的就是 函数在D上的最大值, 最小的就是函数在D上的 最小值. 注：可疑极值点（驻点）无需用ABC （why？） 法则确认其是不是真正的极值点。
复习：一元函数的极值、最值.
（1）极值：由P146极值点定义： 端点没有资格做极值点 y 极值点一定在区间内部.
y f ( x)
（2）最值：
a x1 o
x2
x3
b cx
如果f (x)在闭区间[a ,c]上连续, 则f (x)
在[a ,c]上必定能取得最大值与最小值.
在区间[a, b]上，
max f ( x ) f ( x3 ),
A 0 时有极大值 (1)当AC B 0时, 有极值： A 0时有极小值
2
(2)当AC B2 0时, 没有极值 ;
(3)当AC B2 0时, 为可能极值 , 需另作讨论 . （证略）
求函数 z f ( x , y ) 极值的一般步骤：
第一步 解方程组 f x ( x , y ) 0, f y ( x , y ) 0
A f xx 6 x 6, B f xy 0, C f yy 6 y 6
在(1,2)处A 12 0, B 0, C 6,
B AC 72 0, f ( x, y)在点(1,2)无极值。
2
驻点有(1,0),
在(3,0)处A 12 0, B 0, C 6,
2 1 2 1 M 1 (0,0) ， M 2 ( , )， M 3 ( , )， 2 2 2 2
1 且有 f ( M 1 ) ＝0， f ( M 2 ) ＝ f ( M 3 ) ＝ ． 4
例 5 求 f ( x , y )＝ x 2 2 x 2 y y 2 在圆域 D {( x , y ) | x 2 y 2 1}内的最大值与最小值．
类似一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的驻点.
注： 可导函数的极值点 例如函数 z xy
驻点
在 (0,0) 处无极值．
(3)
类似于一元函数y x3 在 x 0处非极值．
问题：可导函数的驻点未必是极值点，那什 么样的点才是极值点呢？ 这是寻找极值点的 充分 条件
定理2（极值存在的充分条件）
(2) A f xx 6 x 6,
2
B f xy 0, C f yy 6 y 6
(3)在(1,0)处A 12 0, B 0, C 6,
B AC 72 0, f ( x, y)在点(1,0)取极小值， 极小值为f (1,0) 5.
由方程组
解得
x 3 2， y 3 2．
根据问题的实际情况知，长方体箱子表面积的
最小值一定存在，
并且在开区域
D ＝{( x , y ) | x 0, y 0}内取得．又可导函数 A( x , y )
在 D 内只有唯一的驻点 M ( 3 2, 3 2)，因此可断定当
x 3 2 ， y 3 2 时， A 取得最小值．此时 z ＝ 3 2 ．
比较 g ( 1) g (1) ＝1，
类似题： P325： 25（2）
3 4 3 3 4 3 g ( ) ＝1 ) ＝1 ， g( 3 9 3 9
4 3 可知 f ( x , y ) 在 D 的边界上的最小值是1 ， 9
4 3 最大值是1 ．比较 f ( x , y )在 D 内驻点处的函数值: 9
值，最小的即为最小值 闭区间上可导函数最值只存在于驻点、端点
一、多元函数的极值 1.引例 观察二元函数 z
xy e
x2 y2
的图形
二元函数极值播放
2、二元函数极值的定义
设点 ( x0 , y0 )是 z f ( x , y )在定义域的内点。 若存在 ( x0 , y0 )的某一邻域， 使得对于该领域内 异于 ( x0 , y0 ) 的任一点 ( x , y ) ：即P( x, y) U 0 ( P 0 ), （1）都有 f ( x , y ) f ( x0 , y0 )，则称函数 在 ( x0 , y0 )有极大值； （2）都有 f ( x , y ) f ( x0 , y0 )，则称函数 在 ( x0 , y0 )有极小值；
解
设箱子的长，宽，高分别为 x m， y m
2 和 z m ，则高为 z ＝ m ．设箱子的表面积为 A，则 xy
2 2 x ) A＝ 2( xy yz zx ) ＝ 2( xy y xy xy
2 2 ＝ 2( xy ) x y
（ x ＞0， y ＞ 0）
即此时面积 A＝ A( x , y )就是 x 和 y 的二元函数，
ABC法则
设z f ( x , y)在U ( P0 , )内连续, 且有一阶及二阶连续 偏导数, 又 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0,
令 A f xx ( x0 , y0 ), B f xy ( x0 , y0 ), C f yy ( x0 , y0 ), 则
B AC 72 0, f ( x, y)在点(3,0)无极值。
2
(1,2),
(3,0),
(3,2)
在(3,2)处A 12 0, B 0, C 6,
B AC 72 0, f ( x, y)在点(3,2)取极大值， 极大值为f (3,2) 31.
2 2 A＝ 2( xy ) x y
（ x ＞0， y ＞0）
称为目标函数．于是问题就成为求目标函数
A在区域 D ＝{( x , y ) | x 0, y 0} 上的最小值问题．
A x 2( y A y 2( x 2 )0 2 x 2 )0 2 y
极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
例1 函数 z 3 x 2 4 y 2
在 (0,0) 处有极小值．
2 2 函数 z x y 例２
(1)
(2)
在 (0,0) 处有极大值．
例３ 函数 z xy 在 (0,0) 处无极值．
(3)
3、多元函数取得极值的条件
定理 1（必要条件） 设函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 )具有偏导数， 且在 点( x0 , y0 )处有极值， 则它在该点的偏导数必然为 零：
f x ( x0 , y0 ) 0 ，
f y ( x0 , y0 ) 0 .
证 不妨设 z f ( x , y ) 在点( x 0 , y0 ) 处有极大值,
闭区间上连续函数最值只能在极值点 y 和端点处取得. 而极值点只会在 驻点和不可导点处
所以闭区间上连续 函数最值只能在
a
x1
o
x2
x3
b
x
驻点、不可导点和端点 处取得
1.求闭区间[a ,b]上连续函数最值的步骤： (1)求出f (x)在[a,b]内的可疑最值点（驻 点、不可导点、区间端点)及其函数数值 注：对这些可疑最值点不需采用第一或第 二充分条件确认其是否为极大（小）值点 (2)PK:以上各函数值中最大的即为最大