向量的数量积 教案3 高中数学 必修四 苏教版 Word版

教学设计

2.4向量的数量积

整体设计

教学分析

课本从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的5个重要性质、运算律．向量的数量积把向量的长度和三角函数联系起来，这样为解决三角形的有关问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题．因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系．既然向量可以进行加减运算，一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢？如果能，运算结果应该是什么呢？另外，距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量

我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系．众所周知，向量概念的引入与物理学的研究密切相关，物理学家很早就知道，如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1)，那么力F所做的功

图1

W＝|F||s|cosθ.

功W是一个数量，其中既涉及“长度”，也涉及“角”，而且只与向量F，s有关．熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算，从而引进向量的数量积的定义a·b＝|a||b|cosθ.

这个定义不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等)，而且还可以用它来更加简捷地表述几何中的许多结果．

向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样，它也有明显的物理意义、几何意义．但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量．平面向量的数量积，教材将其分为两部分，在第一部分向量的数量积中，首先研究平面

向量所成的角，其次，介绍了向量数量积的定义，最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论；在第二部分平面向量数量积的坐标表示中，在平面向量数量积的坐标表示的基础上，利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式，得到了两向量垂直的判定的方法．

本节课可采用“启发探索”式的教学方法，从教材内容看，由于前面已经学习了平面向量的线性运算的坐标表示，因此在教学中运用指导探究为教学的主线，通过启发引导学生运用科学的思维方法进行自主探索，将学生的独立思考、自主探究、交流讨论等探索活动贯穿于课堂教学的全过程，突出学生的主体地位．

三维目标

1．通过经历探究过程，掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，并掌握向量垂直的条件．

2．通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力；培养学生的交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力．3．通过探究平面向量的数量积的坐标运算，掌握两个向量数量积的坐标表示方法；掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题．

4．通过平面向量数量积的坐标表示，进一步加深学生对平面向量数量积的认识，提高学生的运算速度，培养学生的运算能力，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质．重点难点

教学重点：平面向量数量积的定义，平面向量数量积的坐标表示．

教学难点：平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用，平面向量坐标表示的应用．

课时安排

2课时

教学过程

第1课时

导入新课

思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联

系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答地更简捷、更清晰．并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具，而且用数学的思想方法去审视相关物理现象，研究相关物理问题，可使我们对物理问题认识更深刻．物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移等都是向量，这些物理现象都可以用向量来研究．

在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W可由下式计算：

W＝|F||s|cosθ.

其中θ是F与s的夹角．我们知道力和位移都是向量，而功是一个标量(数量)．

故从力所做的功出发，我们就顺其自然的引入向量数量积的概念．

思路2.前面我们已学过，任意的两个向量都可以进行加减运算，并且两个向量的和与差仍是一个向量．我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算，就自然地会想到，任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能，其运算结果是什么呢？

推进新课

新知探究

1．平面向量数量积的概念，向量的夹角．

2．数量积的重要性质及运算律．

3．两向量垂直的条件．

活动：已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ(0≤θ≤π)，其中θ是a与b的夹角．图2为两向量数量积的关系，并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.

图2

教师在与学生的一起探究活动中，应特别点拨引导学生注意：

(1)两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积；

(2)零向量与任一向量的数量积为0，即a·0＝0；

(3)符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；

(4)当0≤θ<π2时cosθ>0，从而a·b >0；当π2

<θ≤π时，cosθ<0，从而a·b <0.与学生共同探究并证明数量积的运算律．

已知a ，b ，c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：

①a·b ＝b·a (交换律)；

②(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(数乘结合律)；

③(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c (分配律)．

特别是：(1)当a ≠0时，由a·b ＝0不能推出b 一定是零向量．这是因为任一与a 垂直的非零向量b ，都有a·b ＝0.

(2)已知实数a 、b 、c(b ≠0)，则ab ＝bc a ＝c ，但对向量的数量积，该推理不正确，即a·b ＝b·c 不能推出a ＝c .由图3很容易看出，虽然a·b ＝b·c ，但a ≠c .

图3

(3)对于实数a 、b 、c 有(a·b)c ＝a(b·c)，但对于向量a 、b 、c ，(a·b )c ＝a (b·c )不成立．这是因为(a·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线，所以(a·b )c ＝a (b·c )不成立．

讨论结果：

由向量数量积的定义可知，

当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；

当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |.

特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a .

应用示例

思路1

例1见课本本节例1.