分子的对称性与点群
分子对称性和分子点群
1 2
3 2
0
3 2
1 2
0
0 0 1
1 2
3 2
0
3
2 1
2 0
0
0
1
1
0
0
0 0
1
0
0 1
1 2
3 2
0
1 2
3 2
1 2
0
3 2
0 0 1 0
3 2
0
1 2
0
0 1
三、 特征标表
为用更简便易行的方法进行群的表示,我们采用 矩阵的特征标来代替矩阵，其根据是：任何表示矩 阵的集合,包含了点群的全部对称信息,这些信息也包 含在矩阵的特征标之中，
对称元素和对称操作
元素符号
E C
σ
i
S
I
元素名称 单位元素 旋转轴
镜面 对称中心
映轴
反轴
操作符号
Ê
Ĉ σ∧
∧
i
Ŝ
Î
对称操作
恒等操作
绕中心旋转 2π/n
通过镜面反映
按分子中心反 演 绕中心旋转 2π/n 再镜面 对映 绕中心旋转 2π/n 再反演
下一页
分子点群的种类
点群
Cn群 C1 Cnv群 C2v Cnh群 C1h Dn群 D3 Dnh群 D2h Dnd群 D2d Sn群 S2 Td群 Td Oh群 Oh
第三章分子对称性和分子点群
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结构化学 精品课程
§3.1 分子的对称性
对称元素: 旋转轴
对称操作(symmetry operation )
不改变图形中任何两点的距离而
能使图形复原的操作叫做对称操 作； 对称操作据以进行的几何要素叫 做对称元素. 分子中的四类对称操作及相应的 对称元素如下:
其中n值最大的称为主轴。
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§3.1 分子的对称性
轴旋转能产生 n 个旋转操作
2 n1 n ˆ ˆ ˆ Cn , Cn ,...,Cn , Cn E
若取逆时针方向的旋转为 ˆ k ，则 正操作，表示为 C n 顺时针方向旋转为逆操作， ˆ k ，有 表示为 C
H2O中的C2和两个σv
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§3.2 点群
C2v群：臭氧
C2v 群：菲
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§3.2 点群
C3v ：NF3
C3v ：CHCl3
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2 n 1 2 n 1 Cnh E , Cn , Cn , , Cn , h , hC n , hC n ， ， hCn
第八节分子对称性和分子点群
二、分子点群
1、群的基本概念 i、群的定义 一个集合G含有A、B、C、D等元素，在这些元
素之间定义一种运算（通常称为“乘法”），如果满足下四个 件，则称为集合G为群。
封闭性 缔和性
有单位 元 素
G含有A、B、C、D等元素，若A和B是G中任意两个元 2 素，则有 AB C 及 A D ，C和D仍属G中的元素
Cn 轴定义
将分子图形以直线为轴旋转某个角度能产生 分子的等价图形。
单重（次）轴C1 二重（次）轴C2 三重（次）轴C3
2 2 / 2 2 / 3
n重（次）轴Cn 2 / n 操作定义
旋转轴能生成n个旋转操作，记为： … , C n , Cn …
2
…
C ,C
C
2 E , C n , C n , C n3 , … , C n 1 n n E ) (C n
n
C1
CHFClBr
Cn 群
点群示例
C2
C3
H 2O2
部分交错
CCl3CH3
Cnv 群
点群定义 点群表示 点群示例
群中有Cn 轴，还有通过 Cn轴的n个对称面.
的，每个元素与自身共轭，即
… E C2 C2 E
1 2 v
第三章 分子的对成性与点群
性分子，分子没有虚轴Sn ,也就没有σ、没有i、没有S4
（任何分子, 包括手性分子, 都能用“镜子”产生镜象, 但手性分子本身并无镜面）.
分子有旋光性的充要条件： 分子不能和其镜像（分子）完全重合。
旋光性的对称性判据：
1.有象转轴的分子必能与其镜像重合，因而无旋光性。
象转轴和旋转—反映连续操作相对应，但和连续操作的
次序无关。即 :
Sˆn cˆnˆ h ˆ hcˆn
转900
Cˆ 4
ˆ h
(A)
例如CH4，其分子构型可用图(A)表示： CH4没有C4，但存在S4
注意：①当分子中存在一个Cn轴和一个垂直Cn的对称 面，则分子必存在Sn轴。
PtCl4有C4 且有 ，有h S4
2.凡无对称中心 i ，对称面 和 S4n 轴的分子才可有旋光性。 3.属于 C1,Cn,Dn点群的分子有旋光性
其镜象迭合, 是非手性分子.
第二种情况: 分子不具有Sn (也就没有σ、或i、或S4),
分子与其镜象只是镜象关系，并不全同. 这种分子不能用实 际操作与其镜象完全迭合, 称为手性分子.
左手与右手互为镜象. 你能用一种实际操作把左 手变成右手吗？
对于手做不到的, 对 于许多分子也做不到. 这 种分子就是手性分子.
元素：E，Cn
第三章 分子对称性和点群
2 ( C ), C3 ( C ), C4 ( C2 ), C5 C-1 C6 , C6 3 2 6 3 6 6 6
-1 -1 Cn n Cn
Sn h Cn ,
2 2 2 S2 C C C C n h n h n h n n
例:
S4 h C4
例二：置换群（群元素为变换位置的操作，乘法规则为从右到左 相继操作）. S3 群 ( 三阶置换群 )
1 2 3 E 1 2 3 1 2 3 A 1 3 2
1 2 3 D 2 3 1 1 B 3 1 2 2 3 2 1 2 3 3 1
1 2 3 F 3 1 2 1 2 3 C 2 1 3
1 2 3 1 2 3 将 1、2、3 处之物分别放于 2、3、1 处
1 2 3 1 2 3 1 2 3 DF E 2 3 1 3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 AB D 1 3 2 3 2 1 2 3 1
当n为偶数时, 当n为奇数时,
nCn I Sn n h n 2n n n 2n 2n Sn n h C n h , Sn h C n I
3.2 群的定义和基本性质
3.2.1 群的定义与分类
• 定义: 群 G 是一个不同元素的集合{A,B,…,R,…}, 对于一定的乘法规则, 满足以下四个条件: • 1) 封闭性 群中任意两个元素R和S的乘积等于集合中另一个元素, T=RS • 2) 结合律 A(BC)=(AB)C • 3) 有唯一的恒等元素 E,使得对任意群元素 R, 有 RE=ER=R • 4) 每个元素 R 必有逆元素 R-1, 使得 RR-1 =R-1 R=E •性质: 1) 若 AB=AC 则 B=C
分子对称性和点群
a
29
规则一. 点群中不可约表示的数目等于共轭类的数目. 如 D3中有 3个共轭类 {e}, {d,f}, {a,b,c}, 故有 3个不可约表示.
规则二. 点群中所有不可约表示的维数的平方和等于群的阶 n. l12l22 lk2n
在 D3中, l12l22l326
从而 l1l21 , l32
a
30
标记分子的量子态需要用到对称性.
a
1
3.1 对称元素
对称性是指分子具有两个或更多的在空间不可区分的图象.
把等价原子进行交换的操作叫做对称操作.
对称操作依赖的几何集合(点,线,面)叫做对称元素.
a
2
3.1.1 n重对称轴, Cn (转动)
转角 2/n
C n,C n 2,C n 3,..C .n n. ,I
a 故 ad = b
11
D3群的乘法表
每一行和每一列都是所有群元素的重排
ad = b , da = c a
12
例5. 求3阶群的乘法表. (错)
(?)
G={E,A,A2} (循环群)
a
13
• 群的阶: 有限群中群元素的个数. 如 D3 群的阶为 6. • 循环群: 整个群是由一个元素及其所有的幂产生. • 如: C n,C 2 n,C 3 n,..C .n n. ,E
I 为恒等操作
第三章 分子对称性和点群
D3群的乘法表
每一行和每一列都是所有群元素的重排 ad = b , da = c
例5. 求3阶群的乘法表. (错)
(?)
G={E,A,A2} (循环群)
• 群的阶: 有限群中群元素的个数. 如 D3 群的阶为 6.
• 循环群: 整个群是由一个元素及其所有的幂产生. • 如: Cn , C2n , C3n ,....,Cnn E
例: D3={e,d,f,a,b,c}在三维空间的表示
1 0 0 A(e) 0 1 0
0 0 1
A (e) 3
A(d
)
cos 2
3
sin 2
sin 2
3
cos 2
0
0
A(
f
)
cos 4
3
sin 4
sin 4
3
cos 4
0
0
3
3
3
3
0
0 1
0
0 1
A
(d
)
1
2
cos
2
例1. 全部整数的集合, 乘法规则为代数加法, 则构成 一个群.
恒等元素为 0. 数 n 的逆元素为 (-n). 封闭性和结合律是显然的.
例2. 数的集合 {1, -1, i, -i}, 乘法规则为代数乘法, 则构成一个群.
恒等元素为1. 数 (-1) 的逆元素为(-1).数 (i) 的逆 元素为 (-i).
分子的对称性和点群
A和B是互为共轭 2020/4/23
共轭类：群中相互共轭的元素的集合
Eˆ1 Eˆ Cˆ31 Cˆ32 ˆv1 ˆv
用群中所有元素对 Cˆ 3 进行相似变换
E ˆ C ˆ 3 E ˆ C ˆ 3 , C ˆ 3 2 C ˆ 3 C ˆ 3 C ˆ 3 , C ˆ 3 C ˆ 3 C ˆ 3 2 C ˆ 3
轴的两个C2轴夹角的对称面
d
2020/4/23
对称面与对称轴关系示意图
2020/4/23
4 反演 iˆ
选取分子的中心为笛卡儿坐标原点，把分子 中任何一点（x, y, z）换到另一点（-x, -y, -z） 后能得到分子等价图形的操作。
反演中心：进行反演所凭借的中心点称作
i 对称中心。
iˆ2k1 iˆ （k=0，1，2，……）
Eˆ
2020/4/23
E 恒等元素
3 反映 ˆ
反映:将分子中各点移至某一平面另侧等 距离处后能够得到分子等价图形的操作。
对称面：进行反映所借助的平面。
镜面
ˆ2k1 ˆ （k=0，1，2，…）
ˆ2k Eˆ
2020/4/23
对称面分为三类：
（1）包含主轴的对称面
（2）垂直主轴的对称面
h
（3）包含主轴且平分垂直于主
和向右转构
chap3b第三章_分子的对称性和点群
D2 群
主轴C2垂直于荧光屏
D3：这种分子比较少见，其对称元素也不易看出.
[Co(NH2CH2CH2NH2)3]3+是一实例.
何其相似！
C2
唯一的C3旋转轴从xyz轴连成的 正三角形中心穿过, 通向Co; 三条C2旋转轴分别从每个N–N 键中心穿过通向Co. z C2 x y
C2
Dnh : 在Dn 基础上，还有垂直于主轴的镜面σh .
这类点群的共同特点是有多条高次(大于二次)旋转轴相交.
Td 群：属于该群的分子，对称性与正四面体完全相同。
CH4
P4 （白磷）
Td 群是24阶群： E ，8C3 ，3C2 ，6S4 ，6σd . 从正四面体上可以清楚地看出Td 群的对称性. 也可
以把它放进一个正方体中去看. 不过要记住：你要观察
的是正四面体的对称性，而不是正方体的对称性!
有多条高阶轴分子（正四面体、正八面体…)
只有镜面或对称中心, 或无对称性的分子:
只有S2n(n为正整数）分子:
S 4 , S 6 , S 8 ,...
C n , C nh , C nv D n , D nh , D nd
Cn轴(但不是S2n 的简单结果)
无C2副轴: 有n条C2副轴垂直于主轴:
3.4 分子对称性与偶极矩、旋光性的关系
分子手性与对称性的关系
分子对称性和分子点群课件
在材料科学中，分子对称性和点群对于理解晶体结构和物理性质至关重要。通过利用这些概念，可以设计具有所需性能的新型材料，例如半导体、超导体、磁性材料和光学材料等。
对称性破缺是分子对称性和点群研究中的一个重要概念，它指的是分子或体系在某些条件下失去了原有的对称性。研究对称性破缺有助于深入了解分子的结构和性质，以及其在不同环境下的行为。
分子对称性对反应选择性具有重要影响，某些对称性较高的分子在特定化学反应中表现出更高的选择性。
以烷烃为例，烷烃的对称性越高，其化学反应选择性越低，因为它们具有更稳定的分子结构。
以烯烃为例，烯烃的对称性较低，因此它们在加成反应中表现出较高的反应活性。
以芳香族化合物为例，由于芳香族化合物具有较低的对称性，它们在取代反应中表现出较高的反应活性。
确定分子的点群
分子的点群是根据分子的对称性进行分类的，通过确定分子的点群可以更好地理解分子的结构和性质。
指导药物设计和材料科学
分子对称性在药物设计和材料科学中具有重要意义，例如在药物设计中，可以利用分子对称性来设计具有特定性质的化合物。
分子点群的基本概念
CATALOGUE
02
第一类点群
第二类点群
分子对称性与物质性质的关系
CATALOGUE
05
分子对称性与光学性质的关系
具有对称结构的分子往往具有特定的光学性质，如旋光性、反射光谱等。这些性质与分子的对称元素密切相关，如镜面、对称中心等。
第三节分子的对称性与点群
2.常见分子的点群
我们知道，分子可以是千千万万，但它们所属的点群却是很有限的几 种类型。常见的分子点群主要有：
分子点群 的类型
Cn、Cnv、Cnh Dn、Dnh、Dnd Td 四面体群 Oh 立方体群
低阶群 高阶群
群中所含对称元 素的个数称为群阶
I 二十面体群
精品资料
⑴ Cn 群
若分子中只有1个 n 重旋转轴，它就属于 Cn 群。 Cn 群共有 n 个对称 元素（旋转操作）。
一、对称元素与对称操作 二、常见分子的点群
精品资料
一、对称(duìchèn)操作与对称(duìchèn)元素 Symmetry operation and symmetry chemical
element
1.什么(shén me)是对称性
所谓对称性是指，若某一现象（或体系）在某一变换下不改变，则该 现象（或体系）具有与该变换所对应的对称性。
两个氢原子连线的中点
与C-C键中心点的连线。
精品资料
⑸ Dnh 群
在Cn群的基础上，有 n 个垂直主轴的二重轴C2，还有1个垂直主轴的对 称面 σh 。由于垂直主轴对称面σh 的存在，必然导致产生( n - 1)个像 转操作。
1
6
5
6
2 Revolve 5
1 Revolve 4
6
5
第三章分子对称性和点群
(2) 保持群的乘法规律不变. 即 A(f)A(g)=A(fg)
则称为群的表示.
（表示的乘积等于乘积的表示）
在三维空间中对称操作的矩阵表示.
1 0 0
E 0 1 0
0
0
1
1 0 0
xy 0 1 0
0
0
1
1 0 0
yz 0 1 0
0
0
1
1 0 0 i 0 1 0
3.1.6 元素的生成
（注意顺序）
v = v C2 , v 包含CH2面, 而v 包含CF2面. 类似地, v = v C2 , C2 = v v 对Cn , 会产生(n-1)个对称操作. 如: C32 C3 C3 C6,C62( C3),C36( C2),C64( C32),C56 C-61
当n为偶数时, 当n为奇数时,
Snn hnCnn I Snn hnCnn h , S2nn h2nC2nn I
3.2 群的定义和基本性质
• 定义: 群 G 是一个不同元素的集合{A,B,…,R,…}, 对于一定的乘法 规则, 满足以下四个条件:
• 1) 封闭性 群中任意两个元素 R和 S的乘积等于集合中另一个元素, T=RS
是表示A的等价表示.
(因为 B(g)B(f)= X-1A(g)X X-1A(f)X= X-1A(g)A(f)X= X-1A(gf) X=B(gf),
第八节 分子对称性和分子点群
n1
n n
E
（2）对称轴 (Cn )和旋转操作 (Cn )
操作演示
C３
C２
（3）对称面 s 和反映操作 s
对称面所相应的对称操作是镜面的一个反映
s v 面：包含主轴
对称面
s h 面：垂直于主轴 s d 面：包含主轴且平分相邻 C2轴夹角
2
（4）对称中心 (i ) 和反演操作 ( i ) 对于分子中任何一个原子来说，在中心点的另一侧，必能 找到一个同它相对应的同类原子，互相对应的两个原子和 中心点同在一条直线上，且到中心点有相等距离。这个中 心点即是对称中心。
四 面 体
Oh群
一个分子若已有O群的对称元素（4个C3 轴，3个C4轴），再有一个垂直于C4轴的对 称面σ h，同理会存在3个σh对称面，有C4轴 与垂直于它的水平对称面，将产生一个对称 心I，由此产生一系列的对称操作，共有48 个：{E，6C4，3C2，6C2‘，8C3，I，6S4， 3σh,6σv,8S6}这就形成了Oh群。 属于Oh群的分子有八面体构型的SF6、 WF6、Mo(CO)6，立方体构型的OsF8、立方 烷C8H8，还有一些金属簇合物对称性属Oh 点群。
第八节
分子对称性与分子点群
（Molecular Symmetry and Introduction to Group Theory）
分子的对称性与点群
分子的对称性与点群
摘要：分子也像日常生活中见到的物体一样,具有各种各样的对称性。分子的对称性是分子的很重要的几何性质,它是合理解释许多化学问题的简明而重要的基础。例如,往往从对称性入手,我们就能获得有关分子中电子结构的一些有用的定性结论,并从光谱推断有关分子的结构。
关键词：对称性点群对称操作
一．对称操作与点群
如果分子的图形相应于某一几何元素(点、线、面)完成某种操作后,所有原子在空间的排布与操作前的排布不可区分,则称此分子具有某种对称性。一般将能使分子构型复原的操作,称为对称操作,对称操作所据以进行的几何元素称为对称元素。描述分子的对称性时,常用到“点群”的概念。所谓点群,就是指能使一个分子的图象复原的全部点操作的集合。而全部对称元素的集合构成对称元素系。每个点群具有一个持定的符号。一个分子的对称性是高还是低,就可通过比较它们所属的点群得到说明。
二．分子中的对称元素和对称操作
2.1 恒等元及恒等操所谓点群,就是指能使一个分子的图象复原的全部点操作的集合。作
分别用E、 E^表示。这是一个什么也没有做的动作，保持分子不动，是任何分子都具有的对称元素与对称操作。
2.2旋转轴和旋转操作
分别用C n、C^n表示。如果一个分子沿着某一轴旋转角度α能使分子复原，则该分子具有轴C n，α是使分子复原所旋转的最小角度，若一个分子中存在着几个旋转轴，则轴次高的为主轴（放在竖直位置），其余的为副轴。分子沿顺时针方向绕某轴旋转角度α，α=360°/n （n=360°/α（n=1,2,3……）能使其构型成为等价构型或复原，即分子的新取向与原取向能重合，就称此操作为旋转操作，并称此分子具有 n 次对称轴。n是使分子完全复原所旋转的次数，即为旋转轴的轴次，对应于次轴的对称操作有n个。 C n n=E﹙上标n表示操作的次数，下同﹚。
分子的对称性和点群
（3）集合中存在一单位元素E，它与G 中任何元素相乘都得该元素本身，即 ER=RE=R。
（4） 集合G中任何一个元素R都有一逆 元素R-1,且RR-1=R-1R=E。 例 全体整数（包括零） 立正、向左 对数学上的加法构成群。 转、向后转 和向右转构 2 群的阶 h 成群。
2 n n1 n
ˆ (1) , C ˆ (2) ,, C ˆ ( n) , ˆ , ˆ 2, ˆ ˆ ˆ , C , C C n 2 2 2 h h n h n n1 1 1 2 2 n n ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , hCn , hC2 v , hC2 v ,, hC2 v
24个对称操作分成5类
如SF6，[PtCl6]2-， Mo(CO)6，[Fe(CN)6]3具有正八面体构型的分子
分子的对称元素有3个C4轴，4个C3轴， 6个C2轴，3个h平面，6个d平面，3个 S4 轴，4个S6 轴和对称中心i
（2） Oh群
2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ,3 ˆ ˆ h ,6 ˆd E,8C3 ,6C2 ,6C4 ,3C2 C4 , i ,6S 4
特点是分子与它的镜象是一对对映异构体
判据：有象转轴Sn的分子无旋光性，无象 转轴Sn的分子有旋光性。
第三章分子对称性和点群
S
ji
Ski
i
i jk
jk
i
Ajk jk Ajj TrA
jk
j
(这个性质在群表示中很有用）
矩阵的直和
m 阶矩阵 A 与 n 阶矩阵 B 的直和为由下式定义的
m + n 阶矩阵 C ：
C
A
B
A 0
0 B
符号 代表直和。
这个概念很容易推广到多个矩阵的直和。例如矩阵
第三章 分子对称性和点群
分子具有某种对称性. 它对于理解和应用分子 量子态及相关光谱有极大帮助.
确定光谱的选择定则需要用到对称性. 标记分子的量子态需要用到对称性.
3.1 对称元素
对称性是指分子具有两个或更多的在空间不可区分的图象. 把等价原子进行交换的操作叫做对称操作. 对称操作依赖的几何集合(点,线,面)叫做对称元素.
矩阵乘法:
C AB,
cij aikbkj
k
矩阵与向量的乘法:
y1
a11
a12
a13
x1
3
y2 a21 a22 a23 x2 , yi aij x j
y3 a31 a32 a33 x3
j 1
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分子的对称性与点群
摘要：分子也像日常生活中见到的物体一样,具有各种各样的对称性。分子的对称性是分子的很重要的几何性质,它是合理解释许多化学问题的简明而重要的基础。例如,往往从对称性入手,我们就能获得有关分子中电子结构的一些有用的定性结论,并从光谱推断有关分子的结构。
关键词：对称性点群对称操作
一．对称操作与点群
如果分子的图形相应于某一几何元素(点、线、面)完成某种操作后,所有原子在空间的排布与操作前的排布不可区分,则称此分子具有某种对称性。一般将能使分子构型复原的操作,称为对称操作,对称操作所据以进行的几何元素称为对称元素。描述分子的对称性时,常用到“点群”的概念。所谓点群,就是指能使一个分子的图象复原的全部点操作的集合。而全部对称元素的集合构成对称元素系。每个点群具有一个持定的符号。一个分子的对称性是高还是低,就可通过比较它们所属的点群得到说明。
二．分子中的对称元素和对称操作
2.1 恒等元及恒等操所谓点群,就是指能使一个分子的图象复原的全部点操作的集合。作
分别用E、E^表示。这是一个什么也没有做的动作，保持分子不动，是任何分子都具有的对称元素与对称操作。
2.2旋转轴和旋转操作
分别用C n 、 C ^n 表示。 如果一个分子沿着某一轴旋转角度α能使分
子复原，则该分子具有轴C n ， α是使分子复原所旋转的最小角度，
若一个分子中存在着几个旋转轴，则轴次高的为主轴 （放在竖直位
置），其余的为副轴。分子沿顺时针方向绕某轴旋转角度 α，α=360°
/n （n=360°/α（n=1,2,3……） 能使其构型成为等价构型或复原，
即分子的新取向与原取向能重合，就称此操作为旋转操作，并称此分
子具有 n 次对称轴。n 是使分子完全复原所旋转的次数， 即为旋转
轴的轴次， 对应于次轴的对称操作有n 个。 C n n =E ﹙上标n 表示操
作的次数，下同﹚。
如NH3 （见图 1） 旋转 2π/3 等价于旋转 2π (复 原)，
基转角 α=360°/n C3 - 三重轴；再如平面 BF3 分 子，
具有一个 C3 轴和三个 C2 轴，倘若分子中有一个以 上
的旋转轴，则轴次最高的为主轴。
2.3 对称面与反映操作
分别用σ、σ^表示。对称面也称为镜面， 它将分子分为两个互为镜
像的部分。对称面所对应的操作是反映， 它使分子中互为镜像的两
个部分交换位置而使分子复原。 σ^ⁿ=E ^ ﹙n 为偶数﹚， σ^2n =E ^﹙n
为奇数﹚。 对称面又分为： σh 面﹙垂直于主轴的对称面﹚、σ
v 面﹙包含主轴的对称面﹚与σd 面﹙包含主轴并平分垂直于主轴的两
个C 2轴的夹角的平面﹚， σd 是σv 面的特殊类型。
图1
例如，水分子有两个对称面，一个面是分子平面，它 包含有 3 个原
子；另一个面垂直上述分子平面，并且平 分 H- O- H 键角（见图 2）
2.4 对称中心及反演操作
分别用i 及i ^表示。 选取分子的中心为笛卡尔坐标的原点， 将分子中
的任何一点﹙x ，y ，z ﹚移到另一点﹙-x ，-y ，-z ﹚后分子能复原的操
作称为反演， 进行反演时所依据的中心点称为对称中心i 。 i ^n =E ^﹙n
为偶数﹚， i ^2n =E ^
﹙n 为奇数﹚。
C- C 键的中点便是对称中心，如果从一 个 Cl 原子至中心连一直
线，则在其延长线的相等距离 处会遇到第二个 Cl 原子。对于两个
H 原子也存在同样 的关系。例如 C2H4Cl2(见图 3)
2.5 旋映轴和旋转反映操作
可用S n 及S ^
n 表示。若分子绕某轴旋转 2π/n ，再用垂直此轴的平面进
行反映操作，得到分子的等价构型，将该轴与平面组合 所得的对称
元素称为旋映轴，以 Sn 表示。 S n n =E ﹙n 为偶数﹚，S n 2n =E ﹙n 为
奇数﹚。 图 2
图3
在CH4分子中，存在着S4轴，绕垂直轴z 轴旋转2π/4。在经xy
4)
平面反映，则使分子的取向与原来的相重合。例如CH4(见图
图4
三．对称群
3.1 对称群的定义
群是元素的集合G（元素是广义的,可以是矩阵、向量、操作等），在中G定义一种运算法则（通常称为乘法），如能满足封闭性、乘法的结合律、包含恒等元素与逆元等条件，
则称集合G为一个群。对称操作的集合满足群的定义，可构成一个对称操作群。对称群中的恒等元是不动E。如NH3分子中有一个C3轴和三个包含C3轴的对称面σv，共有六个对称操作，G: {E, C13, C23, σv, σv', σv''}，符合群
的四个条件，组成C3v群。组成群的群元素的数目称为群阶，群阶越高，对称性越高。任意一个分子的对称操作集合都可构成一个群，同时分子中所有对称元素至少交于一点，或者说分子中至少有一点在所有对称操作下保持不动，例如在对称操作时NH3中N原子始终保持不动，因而称这类群为点群。
3.2 点群的分类
常见的分子点群有：
Cn 群：分子中只有一个Cn 轴，共有n 个操作。如H2O2分子属C2群。
Cnv群：分子中有一个Cn轴，且有n个包含Cn轴的σv面，共有2n个操作。如H2S分子属C2v群。
Cnh群：分子中有一个Cn轴，且有垂直于Cn的σh 面，2n 有个操作。n为偶数时必有C1h=Cs。没有其他
对称元素的平面型分子群均属均属Cs群
如分子
Dn群：分子中有一个Cn轴，另有n个垂直于Cn 轴的C2轴，该点群共有2n个操作。如既非交叉又非重叠的CH3CH3分子属
D3群。