角动量定理与万有引力
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1 S1 r1 v 1 2 1 S 2 r2 v 2 2
两个质点的孤立体系和角动量
而掠面速度对时间的微商为：
dS i 1 dri dv i 1 v i ri dt 2 dt 2 dt dv dv 1 1 1 v i v i ri i ri i 2 2 dt 2 dt
体系的角动量与质心的角动量
设在惯性系 K 中，体系相对原点的角动量为 L。在 质心系 KC 中，质心的角动量为 LC，则有： 令： L r m v 称为质心角动量 C C C C
LCM ( rC i mi v C i ) 称为体系相对于质心的角动量
i
则有：
L LC LCM
单质点孤立体系和掠面速度
单质点的孤立体系就是不 受外力作用的自由质点，它作 匀速直线运动（我们取惯性参 考系，且静止看成是匀速直线 运动的特例）。 如图，设该质点位于P点， 沿直线 AB 从 A 向 B 方向运动， 在相等的时间间隔 ⊿t的位移 是 ⊿s = v⊿t。 由于 OP 的方向（即 r 的方向）在不断改变，故 P 点相对于 O 点有转动。
单质点孤立体系和掠面速度
由图可见，各时间间隔 ⊿t 内矢径 r 扫过的那些小三角形具 有公共的高线 OH，因而有相等 的面积，于是我们找到的守恒量 是：矢径 r 在单位时间内扫过的 面积 S，我们称 该面积 S 为质点 P 的掠面速度。设矢径 r 与 AB 线的夹角为θ，故对单质点的孤 立体系有： 1 s 1 S r sin rv sin 常量 2 t 2
说明：
1. 角动量是矢量，单个质点的角动量是 r 和 p 的矢积， 因而既垂直于 r，又垂直于 p，即垂直于 r 和 p 所确 定的平面，其指向由右手定则决定。
2. 角动量的单位是千克· 米2 /秒，量纲为 ML2T -1
二、质点系角动量定理
质点角动量定理
我们知道，质点动量的变化等于外力的冲量。质点 的角动量如何随外力变化呢？这可以从牛顿运动定律得到。 在惯性参考系中考虑一个受力为 F 的质点，设其矢径为 r， 动量为 p，角动量为 l，有：
其中，v月 为月球的公转速度，T 为月亮绕地球的公转周 期（交点月）。而对于地面上的物体，所受到的引力应为： 其中，m 是物体的质量，R 是地球半径，于是得：
m F k地 2 mg R
k地 gR2
2. 认为这种引力是万有的、普适的、统一的
m月 F地月 k地 2 r月
v m月 2 r月 F地月 m月 r月 r月 T
质心系的角动量定理
由于角动量定理的推导过程中应用了牛顿定律，所 以角动量定理在惯性系中才成立。当在质心系中考虑体 系相对质心的角动量随时间的变化时，质心是固定点。 如果质心系是惯性系，角动量定理当然适用。如果质心 系是非惯性系，只要加上惯性力，牛顿定律仍然成立。 因此只要加上惯性力的力矩，角动量守恒定理也仍然成 立。
m F k 2 r
显然，k 应取决于太阳的性质。由此，牛顿得到第一个重 要结果：如果太阳引力是行星运动的原因，则这种力应和 r的平方成反比。
2. 认为这种引力是万有的、普适的、统一的 进一步，牛顿认为这种引力是万有的、普适的、统 一的，即所有物体之间都存在这种引力作用，称之为万 有引力。这一步是关键性的。我们一再强调，寻找各种 不同运动的统一原因，是物理学的追求，引力的万有性 就是基于这种统一观的一种猜测。
1 S rv 2
这样，对于单质点的孤立体系，我们找到的守恒量 是掠面速度矢量 S。当然，它与参考点的选择有关，若 参考点选在直线 AB 上，则掠面速度为零。
两个质点的孤立体系和角动量
对于两个质点的孤立体系， 它们虽然不受外力作用，但两个 质点之间是有作用力的。我们现 在来寻找守恒量，首先我们能想 到的是它们每个质点掠面速度的 和。为此，在空间建立惯性参考 系，如图，两个质点的质量分别 为 m1, m2，其位矢和速度分别为 r1, r2 和 v1, v2 。设其掠面速度分 别为 S1, S2 ，有：
即：
dL C MC dt
dL C dt
不论质心系是惯性系还是非惯性系，在质心系中，角动 量定理仍然适用。
体系的角动量与质心的角动量
说明： 虽然在质心系中角动量定理仍然适用，但体系在 质心系中相对质心的角动量与体系在惯性系中相对原点 的角动量并不相同。这一点应该是肯定的，因为即使在 惯性系中相对不同的点的角动量都不相同，何况质心往 往还是一个运动的点。
即：体系的角动量等于质心的角动量与体系相对于质心 的角动量之和。 类比于柯尼希定理。
四、万有引力定律
第 谷
第 谷 环 形 山
开 普 勒
开 普 勒 空 间 望 远 镜
开普勒的行星运动三定律
在牛顿之前，人类研究得最多也最清楚的运 动现象就是行星的运行。肉眼可以看到五颗行星： 水、金、火、木、土。对这五颗行星的运动有过 长期的观察，特别是丹麦天文学家第谷（Tyeho Brahe, 1546~1601）连续进行了二十年的仔细观 测、记录，他的学生开普勒（Kepler Johamnes, 1571~1630）则花费了大约二十年的时间分析这 些数据。开普勒前后总结出三条行星运动的规律。
如何来检验这一猜测呢？既然引力是普适的，那么， 地球和月亮之间也应当存在这类力，月亮之所以绕地球 运动，应当是地球施于月亮的吸引力，就象太阳有吸引 行星的力那样。
2. 认为这种引力是万有的、普适的、统一的
地球对月亮的吸引力应为：
m月 F地月 k地 2 r月 其中 r月 为月亮绕地球公转的半径，m月 为月球的质量， k地 应取决于地球的性质。地球对月亮的吸引力提供了月 亮绕地球公转所需的向心力，即： 2 2 v月 m月 2 r月 F地月 m月 r月 r月 T
开普勒的行星运动三定律
1. 所有行星都沿着椭圆轨道运行，太阳则位于这些椭圆 的一个焦点上。这称为轨道定律。 2. 任何行星到太阳的连线在相同的时间内扫过相同的面 积。这称为面积定律。 3. 任何行星绕太阳运动的周期的平方与该行星的椭圆轨 道的半长轴的立方成正比，即：T∝ r3/2 (式中，T 是行 星运动的周期；r 是椭圆轨道的半长轴）.这称为周期 定律。
说明：
• • 角动量守恒定律是一个独立的规律，并不包含在动量 守恒定律或能量守恒定律中。 角动量守恒定律是矢量式，它有三个分量，各分量可 以分别守恒。 (1) 当 Mx = 0，则 Lx = 常量； (2) 当 My = 0，则 Ly = 常量； (3) 当 Mz = 0，则 Lz = 常量；
三、质心系的角动量定理
其中 i =1, 2。为了对上式中的 i 求和，我们列出质点运动的牛顿 方程： dv 2 dv 1 f 21 f m1 f12 f m2 dt dt
dS1 1 dv1 1 r1 r1 f dt 2 dt 2m1
dS 2 1 dv 2 1 r2 r2 f dt 2 dt 2m2 dS1 dS 2 因 m1, m2 可以为任意值，故 0 dt dt
0
力矩对时间的积分 0 Mdt 称为冲量矩。上式表示质点角 动量的增量等于外力的冲量矩，这就是质点角动量定理的 积分形式。 不论角动量定理的微分形式还是积分形式，都可以写 成分量形式。
t
质点系角动量定理
设体系有n个质点， 令： L l1 l 2 l n , M M1 M2 Mn 则 L 为体系的总角动量，M 为体系所受的总外力矩。 可以证明
开普勒的行星运动三定律
把20余年里观测的几千个数据归纳成这样简洁的几 条规律，开普勒是应该为此而感到自豪的。只是开普勒 尚不理解，他所发现的三大定律已传达了重大的“天 机”。 我们知道，角动量正比于矢径的掠面速度，开普勒 的面积定律意味着角动量守恒，即行星受到的是有心力； 而轨道定律告诉我们该有心力为引力；至于力的大小， 开普勒的周期定律给出了定量的描述。 开普勒的行星运动三定律蕴涵着更为简洁、更为普 遍的万有引力定律，其中的奥秘直到牛顿才被破译出来。
该式也可以换一种表达法，即掠面速度对时间的微 商为零： dS 0 dt
单质点孤立体系和掠面速度
当然，上面所考虑的只是 平面运动的情况，对于单个的 自由质点，它只可能在某个平 面上运动。但是我们接下来要 考虑多个质点，仅考虑某一个 平面就不行了，我们可以利用 矢量运算法则，将掠面速度定 义为与该平面垂直的矢量。即：
dp F , dt
l r mv r p
角动量对时间的变化率为： dl d dr dp vp r F r F (r p ) p r dt dt dt dt 定义：M = r×F 称为力 F 对于原点的力矩。
质点角动量定理
于是上式又可写为： dl M dt 即质点对任一固定点的角动量的时间变化率等于外力对该 点的力矩。这就是质点角动量定理的微分形式。对上式积 分，得： t Mdt l l 0
第6-7章 角动量定理与万有引力
•另一个守恒量－角动量
•万有引力定律
一、孤立体系的角动量守恒
第4章我们介绍了与平动相联系的守恒量——动量， 对于转动我们希望能找到这样一个物理量——角动量， 它具备以下的条件： 1. 若质点关于空间某一点作平动，它取值为零，它取非 零值表示质点关于该空间点作转动； 2. 对于孤立体系，它保持守恒。 下面我们在孤立体系中寻找这样的物理量。
两个质点的孤立体系和角动量
但从前几式可看出：
d (2m1S1 2m2S 2 ) (r1 r2 ) f 0 dt
其中利用了牛顿第三定律：f 的 方向沿两质点 m1, m2 的连线， 即 f // (r1﹣r2 )。于是我们找到 了守恒量：
L 2m1S1 2m2S2 r1 m1v1 r2 m2 v 2 常矢量
质心系的角动量定理
设 LC 为质心系中体系对质心的角动量，MC为外力 对质心的力矩， MC惯 为惯性力对质心的力矩。则有：
M C M C惯
由于质心系是平动系，作用在各质点上的惯性力与 质量成正比，方向与质心加速度相反，对质心的力矩为： MC惯 rC i (mia) ( mirC i ) a 0
dL M dt
质点系角动量定理
dL M dt 即质点系对给定点的角动量的时间变化率等于作用在体 系上所有外力对该点力矩之和。这就是体系角动量定理 的微分形式。
对上式积分，可得体系角动量定理的积分形式：
t 0
Mdt L L 0
体系角动量定理指出：只有外力矩才对体系的角动 量变化有贡献。内力矩对体系的角动量变化无贡献，但 对角动量在体系内的分配是有作用的。 角动量守恒定律：当外力对给定点的总外力矩之和 为零时，体系的角动量守恒。
两个质点的孤立体系和角动量定义：Leabharlann l r mv r p
称为单个质点对于原点的角动量或动量矩；
L l i ri mi v i ri pi
i i i
称为体系对于原点的角动量或动量矩。 由上述的推导可知：两个质点孤立体系的角动量守恒。 对于多质点孤立体系同样可以得出角动量守恒的结 论，我们在下面介绍。
1. 引力的表达式
由开普勒轨道定律，为了简便，可把行星轨道看作圆 形。这样，根据面积定律，行星应作匀速圆周运动，只有 向心加速度 a = v2/r , 其中 v 是行星的速率；r 是圆轨道的 半径。根据开普勒第三定律： T∝ r3/2，而 v =2πr/T，故 r 1 v 3/ 2 r r m 于是： a 1 F ma r2 r2 其中 m 是行星的质量。取比例系数为 k，则得：
2 月
2
k地 gR2
于是得：
m月 2 r月 2 m月 gR 2 r月 r月 T
2 2 R gT 3 r月 4 2
2
即：
两个质点的孤立体系和角动量
而掠面速度对时间的微商为：
dS i 1 dri dv i 1 v i ri dt 2 dt 2 dt dv dv 1 1 1 v i v i ri i ri i 2 2 dt 2 dt
体系的角动量与质心的角动量
设在惯性系 K 中，体系相对原点的角动量为 L。在 质心系 KC 中，质心的角动量为 LC，则有： 令： L r m v 称为质心角动量 C C C C
LCM ( rC i mi v C i ) 称为体系相对于质心的角动量
i
则有：
L LC LCM
单质点孤立体系和掠面速度
单质点的孤立体系就是不 受外力作用的自由质点，它作 匀速直线运动（我们取惯性参 考系，且静止看成是匀速直线 运动的特例）。 如图，设该质点位于P点， 沿直线 AB 从 A 向 B 方向运动， 在相等的时间间隔 ⊿t的位移 是 ⊿s = v⊿t。 由于 OP 的方向（即 r 的方向）在不断改变，故 P 点相对于 O 点有转动。
单质点孤立体系和掠面速度
由图可见，各时间间隔 ⊿t 内矢径 r 扫过的那些小三角形具 有公共的高线 OH，因而有相等 的面积，于是我们找到的守恒量 是：矢径 r 在单位时间内扫过的 面积 S，我们称 该面积 S 为质点 P 的掠面速度。设矢径 r 与 AB 线的夹角为θ，故对单质点的孤 立体系有： 1 s 1 S r sin rv sin 常量 2 t 2
说明：
1. 角动量是矢量，单个质点的角动量是 r 和 p 的矢积， 因而既垂直于 r，又垂直于 p，即垂直于 r 和 p 所确 定的平面，其指向由右手定则决定。
2. 角动量的单位是千克· 米2 /秒，量纲为 ML2T -1
二、质点系角动量定理
质点角动量定理
我们知道，质点动量的变化等于外力的冲量。质点 的角动量如何随外力变化呢？这可以从牛顿运动定律得到。 在惯性参考系中考虑一个受力为 F 的质点，设其矢径为 r， 动量为 p，角动量为 l，有：
其中，v月 为月球的公转速度，T 为月亮绕地球的公转周 期（交点月）。而对于地面上的物体，所受到的引力应为： 其中，m 是物体的质量，R 是地球半径，于是得：
m F k地 2 mg R
k地 gR2
2. 认为这种引力是万有的、普适的、统一的
m月 F地月 k地 2 r月
v m月 2 r月 F地月 m月 r月 r月 T
质心系的角动量定理
由于角动量定理的推导过程中应用了牛顿定律，所 以角动量定理在惯性系中才成立。当在质心系中考虑体 系相对质心的角动量随时间的变化时，质心是固定点。 如果质心系是惯性系，角动量定理当然适用。如果质心 系是非惯性系，只要加上惯性力，牛顿定律仍然成立。 因此只要加上惯性力的力矩，角动量守恒定理也仍然成 立。
m F k 2 r
显然，k 应取决于太阳的性质。由此，牛顿得到第一个重 要结果：如果太阳引力是行星运动的原因，则这种力应和 r的平方成反比。
2. 认为这种引力是万有的、普适的、统一的 进一步，牛顿认为这种引力是万有的、普适的、统 一的，即所有物体之间都存在这种引力作用，称之为万 有引力。这一步是关键性的。我们一再强调，寻找各种 不同运动的统一原因，是物理学的追求，引力的万有性 就是基于这种统一观的一种猜测。
1 S rv 2
这样，对于单质点的孤立体系，我们找到的守恒量 是掠面速度矢量 S。当然，它与参考点的选择有关，若 参考点选在直线 AB 上，则掠面速度为零。
两个质点的孤立体系和角动量
对于两个质点的孤立体系， 它们虽然不受外力作用，但两个 质点之间是有作用力的。我们现 在来寻找守恒量，首先我们能想 到的是它们每个质点掠面速度的 和。为此，在空间建立惯性参考 系，如图，两个质点的质量分别 为 m1, m2，其位矢和速度分别为 r1, r2 和 v1, v2 。设其掠面速度分 别为 S1, S2 ，有：
即：
dL C MC dt
dL C dt
不论质心系是惯性系还是非惯性系，在质心系中，角动 量定理仍然适用。
体系的角动量与质心的角动量
说明： 虽然在质心系中角动量定理仍然适用，但体系在 质心系中相对质心的角动量与体系在惯性系中相对原点 的角动量并不相同。这一点应该是肯定的，因为即使在 惯性系中相对不同的点的角动量都不相同，何况质心往 往还是一个运动的点。
即：体系的角动量等于质心的角动量与体系相对于质心 的角动量之和。 类比于柯尼希定理。
四、万有引力定律
第 谷
第 谷 环 形 山
开 普 勒
开 普 勒 空 间 望 远 镜
开普勒的行星运动三定律
在牛顿之前，人类研究得最多也最清楚的运 动现象就是行星的运行。肉眼可以看到五颗行星： 水、金、火、木、土。对这五颗行星的运动有过 长期的观察，特别是丹麦天文学家第谷（Tyeho Brahe, 1546~1601）连续进行了二十年的仔细观 测、记录，他的学生开普勒（Kepler Johamnes, 1571~1630）则花费了大约二十年的时间分析这 些数据。开普勒前后总结出三条行星运动的规律。
如何来检验这一猜测呢？既然引力是普适的，那么， 地球和月亮之间也应当存在这类力，月亮之所以绕地球 运动，应当是地球施于月亮的吸引力，就象太阳有吸引 行星的力那样。
2. 认为这种引力是万有的、普适的、统一的
地球对月亮的吸引力应为：
m月 F地月 k地 2 r月 其中 r月 为月亮绕地球公转的半径，m月 为月球的质量， k地 应取决于地球的性质。地球对月亮的吸引力提供了月 亮绕地球公转所需的向心力，即： 2 2 v月 m月 2 r月 F地月 m月 r月 r月 T
开普勒的行星运动三定律
1. 所有行星都沿着椭圆轨道运行，太阳则位于这些椭圆 的一个焦点上。这称为轨道定律。 2. 任何行星到太阳的连线在相同的时间内扫过相同的面 积。这称为面积定律。 3. 任何行星绕太阳运动的周期的平方与该行星的椭圆轨 道的半长轴的立方成正比，即：T∝ r3/2 (式中，T 是行 星运动的周期；r 是椭圆轨道的半长轴）.这称为周期 定律。
说明：
• • 角动量守恒定律是一个独立的规律，并不包含在动量 守恒定律或能量守恒定律中。 角动量守恒定律是矢量式，它有三个分量，各分量可 以分别守恒。 (1) 当 Mx = 0，则 Lx = 常量； (2) 当 My = 0，则 Ly = 常量； (3) 当 Mz = 0，则 Lz = 常量；
三、质心系的角动量定理
其中 i =1, 2。为了对上式中的 i 求和，我们列出质点运动的牛顿 方程： dv 2 dv 1 f 21 f m1 f12 f m2 dt dt
dS1 1 dv1 1 r1 r1 f dt 2 dt 2m1
dS 2 1 dv 2 1 r2 r2 f dt 2 dt 2m2 dS1 dS 2 因 m1, m2 可以为任意值，故 0 dt dt
0
力矩对时间的积分 0 Mdt 称为冲量矩。上式表示质点角 动量的增量等于外力的冲量矩，这就是质点角动量定理的 积分形式。 不论角动量定理的微分形式还是积分形式，都可以写 成分量形式。
t
质点系角动量定理
设体系有n个质点， 令： L l1 l 2 l n , M M1 M2 Mn 则 L 为体系的总角动量，M 为体系所受的总外力矩。 可以证明
开普勒的行星运动三定律
把20余年里观测的几千个数据归纳成这样简洁的几 条规律，开普勒是应该为此而感到自豪的。只是开普勒 尚不理解，他所发现的三大定律已传达了重大的“天 机”。 我们知道，角动量正比于矢径的掠面速度，开普勒 的面积定律意味着角动量守恒，即行星受到的是有心力； 而轨道定律告诉我们该有心力为引力；至于力的大小， 开普勒的周期定律给出了定量的描述。 开普勒的行星运动三定律蕴涵着更为简洁、更为普 遍的万有引力定律，其中的奥秘直到牛顿才被破译出来。
该式也可以换一种表达法，即掠面速度对时间的微 商为零： dS 0 dt
单质点孤立体系和掠面速度
当然，上面所考虑的只是 平面运动的情况，对于单个的 自由质点，它只可能在某个平 面上运动。但是我们接下来要 考虑多个质点，仅考虑某一个 平面就不行了，我们可以利用 矢量运算法则，将掠面速度定 义为与该平面垂直的矢量。即：
dp F , dt
l r mv r p
角动量对时间的变化率为： dl d dr dp vp r F r F (r p ) p r dt dt dt dt 定义：M = r×F 称为力 F 对于原点的力矩。
质点角动量定理
于是上式又可写为： dl M dt 即质点对任一固定点的角动量的时间变化率等于外力对该 点的力矩。这就是质点角动量定理的微分形式。对上式积 分，得： t Mdt l l 0
第6-7章 角动量定理与万有引力
•另一个守恒量－角动量
•万有引力定律
一、孤立体系的角动量守恒
第4章我们介绍了与平动相联系的守恒量——动量， 对于转动我们希望能找到这样一个物理量——角动量， 它具备以下的条件： 1. 若质点关于空间某一点作平动，它取值为零，它取非 零值表示质点关于该空间点作转动； 2. 对于孤立体系，它保持守恒。 下面我们在孤立体系中寻找这样的物理量。
两个质点的孤立体系和角动量
但从前几式可看出：
d (2m1S1 2m2S 2 ) (r1 r2 ) f 0 dt
其中利用了牛顿第三定律：f 的 方向沿两质点 m1, m2 的连线， 即 f // (r1﹣r2 )。于是我们找到 了守恒量：
L 2m1S1 2m2S2 r1 m1v1 r2 m2 v 2 常矢量
质心系的角动量定理
设 LC 为质心系中体系对质心的角动量，MC为外力 对质心的力矩， MC惯 为惯性力对质心的力矩。则有：
M C M C惯
由于质心系是平动系，作用在各质点上的惯性力与 质量成正比，方向与质心加速度相反，对质心的力矩为： MC惯 rC i (mia) ( mirC i ) a 0
dL M dt
质点系角动量定理
dL M dt 即质点系对给定点的角动量的时间变化率等于作用在体 系上所有外力对该点力矩之和。这就是体系角动量定理 的微分形式。
对上式积分，可得体系角动量定理的积分形式：
t 0
Mdt L L 0
体系角动量定理指出：只有外力矩才对体系的角动 量变化有贡献。内力矩对体系的角动量变化无贡献，但 对角动量在体系内的分配是有作用的。 角动量守恒定律：当外力对给定点的总外力矩之和 为零时，体系的角动量守恒。
两个质点的孤立体系和角动量定义：Leabharlann l r mv r p
称为单个质点对于原点的角动量或动量矩；
L l i ri mi v i ri pi
i i i
称为体系对于原点的角动量或动量矩。 由上述的推导可知：两个质点孤立体系的角动量守恒。 对于多质点孤立体系同样可以得出角动量守恒的结 论，我们在下面介绍。
1. 引力的表达式
由开普勒轨道定律，为了简便，可把行星轨道看作圆 形。这样，根据面积定律，行星应作匀速圆周运动，只有 向心加速度 a = v2/r , 其中 v 是行星的速率；r 是圆轨道的 半径。根据开普勒第三定律： T∝ r3/2，而 v =2πr/T，故 r 1 v 3/ 2 r r m 于是： a 1 F ma r2 r2 其中 m 是行星的质量。取比例系数为 k，则得：
2 月
2
k地 gR2
于是得：
m月 2 r月 2 m月 gR 2 r月 r月 T
2 2 R gT 3 r月 4 2
2
即：