高三数学一轮复习学案：专题《数列求通项》

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高三数学一轮复习学案：第31课时数列的通项

例1在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n )，求a n思考题1 (1)设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项公式a n ＝________.(2)设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1，求数列{a n }的通项公式．题型二累乘法例2 设数列{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式是a n ＝________.思考题2 若a 1＝1，a n ＋1a n＝n ＋1，则通项a n ＝________. 题型三换元法例3 已知数列{a n }，其中a 1＝43，a 2＝139，且当n ≥3时，a n －a n －1＝13(a n －1－a n－2)，求通项公式a n .思考题3 (1)已知数列{a n }中，其中a 1＝1，且当n ≥2时，a n ＝a n －12a n －1＋1，求通项公式a n .(2)若数列{a n }中，a 1＝3且a n ＋1＝a 2n (n 是正整数)，则它的通项公式a n ＝________.题型四待定系数法（构造新数列法）例4 (1)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求a n .(2)在数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1＝2a n ＋4·3n －1，求通项公式a n .(3)在数列{a n }中，a 1＝－1，a 2＝2，当n ∈N ，a n ＋2＝5a n ＋1－6a n ，求通项公式a n .思考题4 已知数列{a n }满足a 1＝12，3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1，a n a n ＋1<0，求数列{a n }的通项公式．题型五公式法例5设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝a，a n＋1＝S n＋3n，n∈N*.(1)记b n＝S n－3n，求数列{b n}的通项公式；(2)若a n＋1≥a n，n∈N*，求a的取值范围．思考题5(1)若a n>0，a n＋22＝2S n，求数列{a n}的通项公式．(2)设数列{a n}的前n项和为S n，数列{S n}的前n项和为T n，满足T n＝2S n－n2，n∈N*.①求a1的值；②求数列{a n}的通项公式．。

高三一轮复习--数列求通项公式

1-an=n ,a101=___________
2、 an 1
n n 1
an ，求 an
2.已知数列满足 an+1=an+2n-1,a1=1，求数列{an}的通项公式。
3、已知 1
a 3 ， an1

3n 1 3n 2
an (n 1) ，求 an .
n
②含有 an，Sn 的式子用
S1 an S n Sn 1
(n 1) (n 2)
③两个转化方向：全部转化为 an 或全部转化为 S n 1. Sn
2n2 n
（二）、累积法 1、已知 1
a 3 ， an 1
n 1 n
an
(n 1) ，求 an
2.
2. 数列{an}满足 a 2, a ，求数列 1 n 1 a n an an 1
an 的通项公式
an 2(an1 )
用待定系数法，展开对应得
1 ， an 1 2(an1 1)(n 1) ，所以 an 1 是一等比数列.
3.已知数列{an}满足 a1=1，an=2an-1 -2（n≥2），求 an
an
1 2(an 1) ，求 an
1 5.Sn＝ (an－1)(n∈N*)．(1)求 a1，a2，a3 的值；(2)求 an 的通项公式及 S10. 3
2. a 2, 1
1 1 1 ，求 an an 1 an 2
3. a1=1， 6. a 1, S n 1 1
3 2 S n 1( n N *) 求数列
S n 2n 2 n 1
3. a1=3 且 a
n
＝Sn－＋ 2n (n 2) ，求 an 及 S n 1

高考数学一轮复习-由数列的递推式求通项公式

复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
课后练习
点评：(1)累加法和累乘法是推导等差数列和等比数列的通项公式时所采用的方法，是递推关系求通项的两种最基本的方法．
(2)一般地，若 an－an－1＝f(n)，在 f(n)可求和的条件下，求 an 可采用累加法；
若aan－n1＝g(n)，在 g(n)可求积的条件下，求 an 可采用累乘法．
3．对给出辅助数列的问题，要充分利用辅助数列，转化为
上述类型的递推数列问题进行求解．不能变为上述类型的可以考
虑“归纳—猜想—证明”的方法进行求解．
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
课后练习
作业：
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
课后练习
思考
(2017·蚌埠期末)在数列{an}中，若它的前 n 项和为 Sn ＝1－nan(n∈N*)．
复习目标
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高频考点
课时小结
课后练习
1．数列{an}中，an＝an－1＋n(n≥2)，a1＝1，则数列{an}的通项公式为 an＝_____________.
2．已知 an>0，且 a1＝1，a2n－an2－1＝1，则{an}的通项公式 an＝____________.
3．已知数列{an}满足 a1＝1，an＋2＝3(an－1＋2)，则数列 {an}的通项公式 an＝__________.
复习目标
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高频考点
课时小结
课后练习
②转化法：通过变形，采用待定系数法、换元法或给出辅助数列等途径，将递推公式转化为等差数列、等比数列进行求解．
③归纳、猜想、证明的方法．先求出数列的前几项，发现规律得到数列通项公式的一个猜想，然后再进行证明．

高三数学一轮复习学案：数列的基本概念

高三数学一轮复习学案：数列的基本概念一、考试要求：（1）掌握数列及通项公式的概念（2）理解数列的表示方法与函数表示方法之间的关系二、知识梳理①数列的定义②数列的通项公式③数列的分类④数列可以看作是一个定义域为的函数当自变量从到依次取值时，对应的一列函数值，它的图象是一串的点。

⑤递推公式的定义是三、基础检测：1．已知数列3，7，11，15，…，则53是数列的( )A ．第18项B ．第19项C ．第17项D ．第20项2．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－n ＋1B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n (n ＋2)23．若数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＝a n －1a n －2(n ≥3且n ∈N *)，则a 17＝( ) A ．1 B ．2 C.12 D ．2－9874．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋2，若对所有的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n 成立，则实数k 的取值范围是( )A ．k ＞0B ．k ＞－1C ．k ＞－2D ．k ＞－35．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a n n ≤2的正整数n 的集合为A ．{1,2}B ．{1,2,3,4}C ．{1,2,3}D ．{1,2,4} 6．数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2010＝( ) A.40202011 B.40182010 C.20102011 D.200920107．已知数列{2n －1·a n }的前n 项和S n ＝9－6n ，则数列{ a n }的通项公式是________．8．已知数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a 2＝2，a n a n ＋1a n ＋2＝a n ＋a n ＋1＋a n ＋2，且a n ＋1a n ＋2≠1，则a 1＋a 2＋a 3＝________，S 2010＝________.10．已知在正项数列{a n }中，S n 表示前n 项和且2S n ＝a n ＋1，求a n .11．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(1＋1n )a n ＋n ＋12n ，若b n ＝a n n ，试求数列{b n }的通项公式．12．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－13，a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2n －6.(1)设b n ＝a n ＋1－a n ，求数列{b n }的通项公式．(2)求n 为何值时a n 最小．。

一轮复习课： §求数列的通项

§ 求数列的通项公式
解读高考
数列的通项公式是数列的核心内容之一,它如同函数中的解析式一样,有了解析式便可研究其性质等;
而有了数列的通项公式便可求出任一项以及前n项和等.因此,求数列的通项公式往往是解题的突破口、关键点.
方法回顾:
例:已知数列an满足下列条件 ,求数列的通项公式 an
问题一 : (1) a1 2, an1 an 2
利用等差数列定义
问题二 : (1) a1 2, an1 an n
(2) : a1 2, an1 3an
利用等比数列定义
(2) a1 2, an1 3n an
累加法
累乘法
问题三 : a1 2, an1 3an 2
构造新数列
方法三：待定系数法
例 :已知数列an满足下列条件,求数列的通项公式an
Ax
B
0，若有解，则an
x1n
x
n 2
.
方法四：取倒数法
例 (1)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝a2n＋an2，求数列{an}的通项公式. (2)已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝ana＋n 3(n∈N*)，求 an.
模型六：形如an1
Aan Ban C
,则构造 1 an1
Ban C Aan
（3）a1 2, an1 2an 2n
模型三：形如an1
Aan
m
An，则
构造 an1 An1
an An
m； A
（4）a1 2, an1 3an 2n
模型四：形如an1
Aan
m
Bn，
则
构造 an1 Bn1
A B
an Bn
m， B

2023年高考数学一轮复习精讲精练(新高考专用)专题22：常见数列的通项求法(讲解版)

专题22：常见数列的通项求法精讲温故知新一、知能要点1、求通项公式的方法：(1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式a n ；(2)利用前n 项和与通项的关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1S n －S n －1n ＝1，n ≥2；(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式；(4)累加法：如a n ＋1－a n ＝f (n )，累积法，如a n ＋1a n ＝f (n )；(5)转化法：a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0，且A ≠1)．一，观察法求通项例1：（2021·广东·普宁市普师高级中学模拟预测）数列1-，3，5-，7，9-，，的一个通项公式为（） A ．21n a n =-B ．(1)(12)nn a n =--C ．(1)(21)nn a n =--D ．1(1)(21)n n a n +=--【答案】C 【解析】【分析】根据数列每项的绝对值组成等差数列进行求解即可. 【详解】∵数列{an }各项值为1-，3，5-，7，9-，，∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，∴|an |＝2n ﹣1 又∵数列的奇数项为负，偶数项为正，∴an ＝（﹣1）n （2n ﹣1）. 故选：C 举一反三（2022·陕西咸阳·三模（文））观察下列等式111341359135716=+=++=+++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅照此规律，第n 个等式为______．【答案】()213521n n +++⋅⋅⋅+-=【解析】由已知等式结合等差数列的定义写出左侧表达式，再由右侧与行数的关系写出右侧表达式，即可确定第n 个等式. 【详解】由已知等式，对于第n 行有：左侧是首项为1，公差为2的等差数列前n 项和，左侧可写为1...(21)n ++-，右侧随行数n 增大依次为2222211,42,93,164,...,n ====，所以第n 个等式为21...(21)n n ++-=. 故答案为：21...(21)n n ++-= 二，公式法求通项1、等差数列公式 ()11n a a n d=+-推论公式：例2：（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.9【答案】D【分析】设11111OD DC CB BA ====，则可得关于3k 的方程，求出其解后可得正确的选项. 【详解】设11111OD DC CB BA ====，则111213,,CC k BB k AA k ===，依题意，有31320.2,0.1k k k k -=-=，且111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++，所以30.530.30.7254k +-=，故30.9k =，故选：D 举一反三1．（2022·全国·高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =_______．【答案】2 【解析】【分析】转化条件为()112+226a d a d =++，即可得解. 【详解】由32236S S =+可得()()123122+36a a a a a +=++，化简得31226a a a =++，即()112+226a d a d =++，解得2d =. 故答案为：2.2、等比数列公式11n n a a q -=推论公式：例3：（2022·全国·高考真题（文））已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（） A ．14 B ．12C ．6D ．3【答案】D 【解析】设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，易得1q ≠，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，若1q =，则250a a -=，与题意矛盾，所以1q ≠，则()31123425111168142a q a a a qa a a q a q ⎧-⎪++==⎨-⎪-=-=⎩，解得19612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以5613a a q ==.故选：D . 举一反三（2022·上海交大附中模拟预测）已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若4562a a a -=，则23S a 的值为___________．【答案】6 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，将题中所给的条件转化为关于首项和公比的关系式，化简求值，得到12q =，之后将待求式子转化为关于q 的关系式，代入求得结果. 【详解】可知3452111122102a q a q a q q q q -=⇒+-=⇒=，则211223116S a a q qa a q q ++===；故答案为：6. 三：累加法求通项 )(1n f a a n n +=+ （解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

2023届高考数学一轮复习考点训练——求数列的通项公式

2023考点专题复习——数列的通项公式考法一：累加法——适用于)(1n f a a n n +=+（)(n f 可以求和）例1、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。

例2、已知数列}{n a 中, 0>n a 且)(21nn n a na S +=,求数列}{n a 的通项公式.例3、已知数列{}n a 满足112313n n n a a a ，，求数列{}n a 的通项公式。

练习1、已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n nN 写出数列{}n a 的通项公式.练习2、已知数列}{n a 满足13a ，11(2)(1)n n a a n n n -=+≥-求此数列的通项公式.练习3、已知数列{}n a 满足11211nn a a n a ，，求数列{}n a 的通项公式。

练习4、已知在数列{}n a 中，13a =，112(2)n n n a a n --=+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21log (1)n n b a +=-，求11{}n n b b +的前n 项和n T ．练习5、在数列{}n a 中，12a =，122n n n a a +=++．（1）求数列{2}n n a -的通项公式；（2）设数列{}n b 满足2(22)n n b a n =+-，求{}n b 的前n 项和n S ．练习6、已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。

练习7、已知数列{}n a 满足11a =，1n n n a a +-=，则数列{}n a 的通项公式练习8、在数列{}n a 中，12a =，11ln 11n n a a n n n +⎛⎫⎪⎝+++⎭=，则数列{}n a 的通项公式练习9、已知数列{a n }满足11a =-，111+1n n a a n n +=-+，n ∈N *，求数列的通项公式a n .练习10、设数列{}n a 满足11a =，()*112n n n a a n +-=∈N ，则数列{}n a 的通项公式练习11、已知数列{}n a 满足112a =，121n n a a n n+=++，则数列{}n a 的通项公式考法二：累乘法例1、在数列{}n a 中，已知11,a =有()11n n na n a -=+，(2n ≥)求数列{}n a 的通项公式。

2024届高三数学一轮复习-求数列通项公式的方法课件(共25张ppt)

再得出的表达式
例五.2
在数列中，1 = 1，+1 =

，求通项公式？
3 +2
解：由题意，两边同取倒数，得
设
1
an+1
+k=2
1
an
+k
即
1
an+1
1
an+1
=
=
1
2
an
1
2 +3
an
+k
对比原式，得k = 3
∴
1
an
1
an
+ 3 为首项为4，公比为2的等比数列
+ 3 = 4 · 2n−1 = 2n+1
解题思路：设，构造等比数列{ + }
具体步骤：设+1 + = +
即+1 = ⋅ + − 1 ·
对比原式，得k =
q
p−1
得到以1 +为首项，为公比的等比数列{ + }
例四.1
在数列 an 中，a1 = 1，an+1 = 3an + 1，求通项公式an ？
故an =
1
2n+1 −3
六、取对数法
①形如+1 = ⋅
对数运算法则： log ⋅ = log + log
解题思路：等式两边同取对数，构造等比数列
log ⋅= · log
具体步骤：两边同取以p为底的对数，得log +1 = log + 1
使用条件：已知+1 − =
解题思路： 2 − 1 = 1

2023届高三数学一轮复习专题数列累加法构造等比等递推公式求通项及常用求和方法讲义 (解析版)

数列求解通项的方法总结方法一、公式法当已知数列的类型（如已知数列为等差或等比数列）时，可以设出首项和公差（公比），列式计算。

1、等差数列通项公式： dn a a n )1(1-+=2、等比数列通项公式：例1、设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1=a 1，b 2=2，q=d ，S 10=100．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式（2）当d ＞1时，记c n =，求数列{c n }的前n 项和T n ．变式1、已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1=b 1=1，b 2+b 3=2a 3，a 5﹣3b 2=7．（Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式；（Ⅱ）设c n =a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．11-=n n q a a方法二、利用前n 项和与通项的关系已知数列{ a n }前n 项和S n ，求通项公式，利用 a n ＝{)1()2(11=≥--n S n S S n n 特别地，当n=1的值与S 1的值相同时，合并为一个通项公式，否则写成分段的形式。

例2、（1）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n =3n+3．求{a n }的通项公式；（2）S n 为数列{a n }的前n 项和，己知a n ＞0，a n 2+2a n =4S n +3 （I ）求{a n }的通项公式.（Ⅱ）设b n =，求数列{b n }的前n 项和．变式2、（2015·四川）数列{a n }（n=1，2，3…）的前n 项和S n ，满足S n =2a n ﹣a 1，且a 1，a 2+1，a 3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n 项和为T n ，求T n ．方法三、利用递推关系式与通项的关系类型1、累加法形如)(1n f a a n n +=+例3、（2014·全国卷）数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=2a n+1-a n +2.（1）设b n =a n+1-a n ，证明{b n }是等差数列；（2）求数列{a n }的通项公式.变式3、已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

高三一轮复习专题：数列通项公式与求和方法总结(精编文档).doc

【最新整理，下载后即可编辑】专题一：数列通项公式的求法详解（八种方法）关键是找出各项与项数n 的关系.） 4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…（2） ,17164,1093,542,211（3） ,52,21,32,1（4） ,54,43,32,21-- 答案：（1）110-=nn a（2）;122++=n n n a n（3）;12+=n a n （4）1)1(1+⋅-=+n n a n n .公式法1：特殊数列例2：已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；答案：a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)； b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1例3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ⋅⋅=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（）(A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n (D)例 4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<<q ，设数列{}n b 的通项为21+++=n n n a a b ，求数列{}n b 的通项公式.简析：由题意，321++++=n n n a a b ，又{}n a 是等比数列，公比为q ∴q a a a a b b n n n n n n =++=+++++21321，故数列{}n b 是等比数列，易得)1()1(1+=⋅+=-q q q q q b n n n .点评：当数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求首项及公差公比. 公式法2：知n s 利用公式 ⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n s a n n n .例5：已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式.（1）13-+=n n S n .（2）12-=n s n答案：（1）n a =3232+-n n ，（2）⎩⎨⎧≥-==)2(12)1(0n n n a n 点评：先分n=1和2≥n 两种情况，然后验证能否统一.【型如)(1n f a a n n +=+的地退关系递推关系】a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得例5：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项. .答案：)(52N n n a n ∈+=例6. 若在数列{}n a 中，31=a ，n n n a a 21+=+，求通项n a .答案：n a =12+n例7.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 答案：a n12-=【形如1+n a =f (n)·n a 型】（1）当f(n)为常数，即：q a a nn =+1（其中q 是不为0的常数），此时数列为等比数列，n a =11-⋅n q a .（2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法.例8：在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式. 例9：已知数列{}n a 中，311=a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-=，试求通项公式n a . .答案：.)12(12(1-+=n n a n思考题1：已知1,111->-+=+a n na a n n ,求数列{a n }的通项公式.分析：原式化为 ),1(11+=++n n a n a 若令1+=n n a b ,则问题进一步转化为n n nb b =+1形式，累积得解.构造1：【形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型】（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列; （2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法如下：设)(1λλ+=++n n a c a ,得λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得)0(,1≠-=c c dλ，所以：)1(11-+=-+-c d a c c d a n n ,即⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d a n 构成以11-+c d a 为首项，以c 为公比的等比数列.例10：已知数}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a 求通项na .答案：12-=n n a构造2：相邻项的差为特殊数列例11：在数列{}n a 中，11=a ，22=a ，n n n a a a 313212+=++，求na .提示：变为)(31112n n n n a a a a --=-+++.构造3：倒数为特殊数列【形如sra pa a n n n +=--11】例12：已知数列｛n a ｝中11=a 且11+=+n nn a a a （N n ∈），，求数列的通项公式. 答案nb a n 11==}{n c 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c 1=2，c 2=4，c 3=7，c 4=12，求通项公式c n解析：设1)1(-+-+=n n bq d n a c 建立方程组，解得.点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n 项和公式为某一多项式，一般地，若数列}{n a 为等差数列：则c bn a n +=，cn bn s n +=2（b 、ｃ为常数），若数列}{a 为等比数列，则1-=n n Aq a ，)1,0(≠≠-=q Aq A Aq s n n .：（1）数列{n a }满足01=a ,且)1(2121-=++++-n a a a a n n ,求数列{a n }的通项公式. 解析：由题得 )1(2121-=++++-n a a a a n n ① 2≥n 时， )2(2121-=+++-n a a a n ②由①、②得⎩⎨⎧≥==2,21,0n n a n .（2）数列{n a }满足11=a ,且2121n a a a a nn =⋅⋅- ,求数列{a n }的通项公式（3）已知数列}{n a 中，,2121,211+==+n n a a a 求通项n a . 八、【讨论法-了解】（1）若d a a n n =++1（d 为常数），则数列{n a }为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为其通项分为奇数项和偶数项来讨论. （2）形如)(1n f a a n n =⋅+型①若p a a n n =⋅+1(p 为常数)，则数列{n a }为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;②若f(n)为n 的函数（非常数）时，可通过逐差法得)1(1-=⋅-n f a a n n ，两式相除后，分奇偶项来分求通项.例15：数列{n a }满足01=a ,21=++n n a a ,求数列{a n }的通项公式. 专题二：数列求和方法详解（六种方法）1、等差数列求和公式：d n n na a a n a a n a a n S n n n n 2)1(2)(2)(2)(123121-+==+=+=+=-- 2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn [例1]已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 答案xx x s n n --=1)1([例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.答案n ＝8时，1)(max =n f n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①(1≠x )解析：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积：设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=…②①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：nn n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=--.∴21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+.试一试1：求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.答案： 124-+-=n n n Sn 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +，然后再除以2得解.[例4] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值 .答案S ＝44.5当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组； [例5] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 答案2)13(11n n a a a s n n -+--=-.试一试1 求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和 .简析：由于与n kka =-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅)110(9199999111111个、分别求和. . 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项及分母有理化）如：（1）)()1(n f n f a n -+= ；（2）11++=n n a n =n n -+1；（3）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+；4）111)1(1+-=+=n n n n a n（5）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n . [例6] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,21,,421,311n n 的前n 项和. [例7] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.试一试1：已知数列{a n }：)3)(1(8++=n n a n ，求前n 项和. 试一试2：1003211321121111+++++++++++ ..方法简介：针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例8] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.答案 0[例9] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.（周期数列）[例10] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值; 答案 10。

2025版高考数学一轮总复习考点突破第六章数列专题突破10构造法求数列的通项公式

专题突破10 构造法求数列的通项公式数列通项公式常见求解形式如下（为直观简洁，各式中参数范围略去未写，如⑤中,1,,⑥中且（为等差型））,累加、累乘法6.1节已讲解，本节重点讲解构造法求通项公式.序号基本解题策略形式（,,,,,等均为常数）①累加②累乘③·a na n+1 两边同除以化为①④待定系数法化为等比数列⑤④的特例⑥两边同取倒数化为⑤⑦两边同除以化为⑤⑧配凑为等比数列⑨配凑为等比数列核心考点精准突破考点一构造等差数列求通项公式例1 求下列数列的通项公式.（1），;解：由,知.两边取倒数,得.所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，.（2），.[答案]等式两边同时除以，得,即.所以数列是等差数列，公差,首项.所以.所以.【点拨】通过对递推式变形得到为常数），可知数列是公差为，首项为的等差数列，进而求出以及.变式1 求下列数列的通项公式.（1）,；解：等式两边同时取倒数,得,所以.所以数列是等差数列,且首项,公差为2.则,所以.（2），.[答案]等式两边同时除以,得.所以数列是等差数列，公差,首项.所以.所以.考点二构造等比数列求通项公式例2 求下列数列的通项公式.（1），；解：由题意,知，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.所以，所以（2）,.[答案]（方法一）设,即,比较系数得.所以.则数列是首项为,公比为2的等比数列.所以,所以.（方法二）将的两边同除以,得.令,则.设,即.比较系数,得.则,所以是以为首项,为公比的等比数列.所以,则.所以.【点拨】是一个典型的可配凑成等比数列求解的递推关系，很多递推关系都可以化为这种类型，比如例或变.配凑时一般用待定系数法确定常数.变式2 求下列数列的通项公式.（1），；解：（方法一）（累乘法），得，即.所以，,, ,.将这些等式两边分别相乘,得.因为，所以，即.所以.又也适合上式，故数列的一个通项公式为.（方法二）（迭代法），即，所以.又也满足上式，故数列的一个通项公式为.（2），.[答案]（方法一）设，即，所以.即.则数列是首项为，公比为3的等比数列，所以，所以.（方法二）等式两边同时除以,得.所以，，所以是以为首项，为公比的等比数列.所以，则.所以.考点三型数列求通项公式例3 已知在数列中,,,,求这个数列的通项公式.解：因为,所以.又,所以是首项为7,公比为3的等比数列.则.又,,所以是首项为,公比为的等比数列.则.,得,所以.当时,符合上式.综上,.【点拨】可配凑化为，其中,是方程的两个根.若1是方程的根，则干脆构造;若1不是方程的根,则须要构造两个数列，利用消元法求.变式3 [2024年八省联考节选]已知各项都为正数的数列满足.若,，求的通项公式.解：因为，所以.又，所以为常数列，且，即. 所以是以为首项，3为公比的等比数列.所以.。

高中数学一轮复习数列概念及等差数列：第3节由递推公式求通项

f ( x), fn 1( x)
f ( f n( x)), n N ，则 f 2014 ( x) 的
【答案】
x
1 2014 x
5 、数列 an 满足 an 1
3an , n
N * , 且前 3 项之和等于 13 , 则该数列的通项公式
an
．
【答案】 3n 1
【练习巩固】 1．数列 { an} 中， a1 ＝ 1，对于所有的 n≥２，n∈ N* ，都有 a1·a2·a3·…a·n＝ n2 ，则 a3＋ a5＝
________ ．
拼搏的你，背影很美！
努力的你，未来可期 !
【解析】由题意知： a1·a2·a3·…a·n－1＝ (n－1)2，
∴ an＝
n n－1
2 (n≥ 2，) ∴ a3＋a5 ＝
3 2
2 ＋
5 4
2 ＝
61 16
.
【答案】
61 16
2．数列 { an} 中，已知 a1 ＝1， a2＝ 2， an＋1＝ an＋ an＋2(n∈N * )，则 a7＝ ________．
解法：在原递推公式两边同除以
qn
1
，得：
an 1 qn 1
p an q qn
1 q ，令 bn
an qn ，得：
p1
bn 1
bn ，再按第（ 3）种情况求解 .
qq
（5）待定系数法： an 1 pan an b ( p 1，0， a 0) 解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令 an 1 x( n 1) y p( an xn y) ，与已知递推式比较，解出 x, y ,从而转化为 an xn y 是公比为 p 的等比数列 . （6）待定系数法： an 1 pan an2 bn c( p 0,1, a 0)

数列求通项之构造新数列思维学案-2022届高考数学一轮复习

第1页共10页 ◎ 第2页共10页数列求通项之——构造新数列思维学案学习目标:1. 基础性目标：通过完两个选择题，学会小题答题技巧，体会数列新定义。

2. 拓展性目标：通过完成解答题，感受题干特点，学会选择恰当方法证明新的数列，并会根据新数列的求通项。

3. 挑战性目标：我能借助本节课的练习，体会新数列的构造特点，分析递推公式特点，并能尝试删除构造好的新数列，直接完成求通项。

一．选择题（共2小题）1．若数列{a n }满足a 1＝3，a n ＝3a n ﹣1+3n （n ≥2），则数列{a n }的通项公式a n ＝（）A ．2×3nB ．3n nC ．n •3nD ．n3n2．若数列{a n }满足a n +1＝3a n +2，则称{a n }为“梦想数列”，已知正项数列{1b n −1}为“梦想数列”，且b 1＝2，则b 4＝（） A ．281 B ．227 C ．18 D ．14 二．解答题（共9小题）3．已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0，4a n +1＝3a n ﹣b n +4，4b n +1＝3b n ﹣a n ﹣4．（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n ﹣b n }是等差数列；（2）求{a n }和{b n }的通项公式．4．数列{a n}满足a1＝1，a2＝2，a n+2＝2a n+1﹣a n+2．（Ⅰ）设b n＝a n+1﹣a n，证明{b n}是等差数列；（Ⅱ）求{a n}的通项公式．5．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a n+1＝2a n+1，且a1+2a2＝a3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求使得S n≤121成立的n的最大值．第3页共10页◎第4页共10页6．已知数列{a n}满足a1=73，a n+1＝3a n﹣4n+2．（1）求a2，a3的值；（2）试说明数列{a n﹣2n}是等比数列，并求出数列{a n}的前n项和S n．第5页共10页◎第6页共10页第7页共10页 ◎第8页共10页7．数列{a n }满足a 1＝1，a n+1=2n+1a na n +2n （n ∈N +）．（1）证明：数列{2na n }是等差数列；（2）求数列{a n }的通项公式a n ；8．在数列{a n }中，a 1＝1，a n +1=2a n2+a n （n ∈N *），试猜想这个数列的通项公式，9．数列{a n }满足a 1＝2，a n+1=2n+1a n (n+12)a n +2n (n ∈N ∗)．设b n =2na n，求数列{b n }的通项公式；10．已知数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝3a n+3n+1﹣2n（n∈N+）．设b n=a n−2n3n，证明：数列{b n}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；第9页共10页◎第10页共10页。

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5、（1）设则数列的通项公式
（2）若数列满足则an=
6、己知an=2an-l+1，al=1，则an=
7、已知数列共有m项,记的所有项和为 ,第2项及以后所有项和为，第3项及以后所有项和为，第n项及以后所有项和为 ,若是首项为2，公比为的等比数列的前n项和，则当n<m时，an=。
三：课堂研讨
课题：数列的通项班级姓名：
一：学习目标
掌握数列通项的常用求法。
二：课前预习
l、等差数列通项an=，等比数列通项an=
2、己知an=an-l+2，al=1，则an=，
3、已知，an= an-l，al=1，则an=
4、己知Sn，则an=；若sn=kn2+n,则an=；又am, a2m,
a4m对都成等比数列，则k=.
1、已知数列的前n项和为，，则an=
2、数列中，al=1，an+1= ，(n N*)，则a5的值为______．
3、数列是公差不为零的等差数列，并且是等比数列的相邻三项，若，则．
4、设数列的前n项和为
（1）求；（2）求；（3）若
课外作业——数列的通项姓名：
1、己知数列中，al=1，anan-1=an-1十(-l)n(n为大于l的正整数)，则的值是
2、将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
．．．．．．．
按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为
3、设数列满足
4、设数列的前n项和为数列的前n项和为
（1）分别求，通项公式；（2）设求证当
例1、（1）已知各项均为正数的数列{ }的前n项和满足，且，求{ }的通项公式；
（2）设数列前n项和为求。例2、（1）已知 Nhomakorabea列中，
（Ⅰ）求证为等比数列；（Ⅱ）求。
（2）已知数列的前n项和为
例3、（1）已知数列满足 ,求an;
（2）已知，数列满足，求通项公式
备注
课堂检测——数列的通项姓名：